TABLA UNIVERSAL DE PARTICIONES DE UN ENTERO m

O TABLA DEL N° DE PARTICIONES DE m EN r CIFRAS SIGNIFICATIVAS, PARA CADA

CASO DE 𝟎 < 𝒓 ≤ 𝒎

(tercera exploración complementaria)

Enrique R. Acosta R. Enero 2018

En este trabajo intentamos hacer un examen exhaustivo de las propiedades de lo que hemos

denominado “Tabla Universal de Particiones de Enteros” , o Tabla del n° de particiones de un

entero m, en r cifras significativas, para cada caso de 0 < 𝑟 ≤ 𝑚 , ya que dicha tabla permite la

determinación en una misma línea de los tres tipos de particiones que hemos definido previamente

en otros trabajos anteriores: Particiones de un número entero m, (𝒎 ≥ 𝟎), Particiones de un

número entero m, (𝒎 ≥ 𝟎), en r enteros significativos (𝟏 ≤ 𝒓 ≤ 𝒎), y Particiones Discretas de un

entero m, (𝒎 ≥ 𝟎), en un n° siempre de r cifras , y que aquí, intentamos precisar con más énfasis

y claridad.

Para nuestro análisis, hemos considerado suficiente desarrollar una tabla de valores desde m=0, hasta m=18, ya que con ella, podemos resaltar la mayoría de las propiedades que describimos detalladamente en la lista numerada que va desde 1., hasta 13. Se han agregado algunas propiedades que no habíamos determinado en nuestras exploraciones

anteriores, p.ej. la determinación de la razón incremental, que permite el cálculo previo de los

elementos de la tercera y cuarta columnas, y su posibilidad de extensión a cualquier columna de la

tabla. Así como las propiedades de Escalera Ascendente y Descendente, que permiten la

determinación por filas o escalonadamente de los elementos de la tabla cuando queremos pasar

desde los valores conocidos para una fila m, hasta los valores por determinar de una fila 2m

Aunque la propiedad fundamental (12), o los métodos alternativos (13.1, y 13.2) permiten la

construcción de la tabla desde m=0 , hasta cualquier entero positivo m > 0, para valores

relativamente altos de m, será necesario, y conveniente la utilización de un programa

computarizado de cálculo, que permita en base a las relaciones ya determinadas, la obtención

inmediata de los valores correspondientes a cualquiera par de valores de m, y r

Estamos en proceso de elaboración de dicho programa de cálculo computacional, con ayuda de

expertos programadores y esperamos que en un futuro cercano contaremos con esta excelente

herramienta complementaria.

TABLA DEL N⁰ DE P.D. DE m EN r, CON r CIFRAS SIGNIFICATIVAS PARA CADA CASO DE 𝟎 < 𝒓 ≤ 𝒎

O “TABLA UNIVERSAL DE PARTICIONES DE ENTEROS” PARA 𝒎 = 𝟎, 𝒉𝒂𝒔𝒕𝒂 𝒎 = 𝟏𝟖

r

m

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 N⁰T

P.D.

0 1 1

1 1 1

2 1 1 2

3 1 1 1 3

4 1 2 1 1 5

5 1 2 2 1 1 7

6 1 3 3 2 1 1 11

7 1 3 4 3 2 1 1 15

8 1 4 5 5 3 2 1 1 22

9 1 4 7 6 5 3 2 1 1 30

10 1 5 8 9 7 5 3 2 1 1 42

11 1 5 10 11 10 7 5 3 2 1 1 56

12 1 6 12 15 13 11 7 5 3 2 1 1 77

13 1 6 14 18 18 14 11 7 5 3 2 1 1 101

14 1 7 16 23 23 20 15 11 7 5 3 2 1 1 135

15 1 7 19 27 30 26 21 15 11 7 5 3 2 1 1 176

16 1 8 21 34 37 35 28 22 15 11 7 5 3 2 1 1 231

17 1 8 24 39 47 44 38 29 22 15 11 7 5 3 2 1 1 297

18 1 9 27 47 57 58 49 40 30 22 15 11 7 5 3 2 1 1 385

Hemos definido tres tipos de Particiones de un entero positivo m:

Particiones de un número entero m, (𝒎 ≥ 𝟎) La partición de un número entero m, es la forma de descomponerlo en forma de suma, con uno o más sumandos positivos (a los que se les conoce como partes). La permutación de los sumandos se considera como la misma partición (el orden no tiene relevancia). Por ejemplo, el número 4 tiene 5 particiones: 4, 3+1, 2+2, 2+1+1 y 1+1+1+1.). Las particiones de m en sí, pueden considerarse como grupos de números enteros o de cifras

significativas (c.s.), cuya suma constante es igual a m. El n° total de particiones posibles de un entero

m, se acostumbra denominar como 𝑷(𝒎). Así para el ejemplo anterior tendríamos: 𝑃(4) = 5

Particiones de un número entero m, (𝒎 ≥ 𝟎), en r enteros significativos (𝟏 ≤ 𝒓 ≤ 𝒎) La cantidad de particiones correspondientes a los diferentes casos posibles de las particiones de un entero m, en grupos de r cifras significativas que pueden variar entre 1 y m, podemos identificarlos mediante la expresión 𝑷𝒓(𝒎), donde r podría ir variando sucesivamente desde r=1 hasta r=m cifras significativas. Así para 𝑚 = 4, resultan: 𝑃1(4) = 1, 𝑃2(4) = 2, 𝑃3(4) = 1, y 𝑃4(4) = 1,

Evidentemente que ∑ 𝑃𝑟4𝑟=1 (4) = 1 + 2 + 1 + 1 = 𝑃(4) = 5, y en general ∑ 𝑃𝑟(𝑚) = 𝑃(𝑚)𝑚

𝑟=1 Particiones Discretas de un entero m, (𝒎 ≥ 𝟎), en un n° siempre de r cifras Denominamos así, aquellas particiones de un entero m, (𝑚 ≥ 0), en grupos todos de r cifras c/u, cuyos valores pueden variar entre 0 y m, pero que en conjunto en cada grupo de r cifras, suman m, y donde si el número de cifras significativas (c.s.) que lo verifican en un grupo, es menor que r, los lugares o valores faltantes para completar los r elementos del grupo, se asumen como ceros. La cantidad de Particiones Discretas de un entero m, en r cifras, la solemos representar como 𝑃𝐷𝑟(𝑚). Así p. ej. Las Particiones Discretas de 4, en 3 serian: 0.0.4, 0.1.3, 0.2.2, y 1.1.2, y por ende, resulta: 𝑃𝐷3(4) = 4

Esta tabla, permite obtener en una misma línea, los tres tipos de particiones que hemos

definido con anterioridad:

Sí 𝒎 = 𝒓, 𝒑. 𝒆𝒋. 𝒎 = 𝒓 = 𝟗, resultan: 𝑷(𝟗) = 𝑷𝑫𝟗(𝟗) = ∑ 𝑷𝒓𝟗𝒓=𝟏 (𝟗) = 𝟏 + 𝟒 + 𝟕 + 𝟔 + 𝟓 +

𝟑 + 𝟐 + 𝟏 + 𝟏 = 𝟑𝟎

En cambio, sí 𝒓 < 𝒎, 𝒑. 𝒆𝒋. 𝒎 = 𝟗, 𝒚 𝒓 = 𝟓, resulta: 𝑷𝟓(𝟗) = 𝟓, que corresponde al valor del

término ubicado en el 5⁰ lugar de la fila 9 de la tabla

Mientras que 𝑷𝑫𝟓(𝟗) = 𝟏 + 𝟒 + 𝟕 + 𝟔 + 𝟓 = 𝟐𝟑, que corresponde a la suma de los primeros 5

valores de la fila 9 de la tabla

Analizando la tabla, notamos las siguientes propiedades:

1. El n° total de elementos de una fila 𝑚, es también 𝑚, (exceptuando a la fila m=0)

2. Los elementos de la primera columna, son todos iguales a la unidad

3. Los elementos de la segunda columna, aumentan secuencialmente una unidad cada

dos filas, siguiendo los valores de la sucesión natural 1,2,3, … , 𝑛, a partir de 𝑚 = 2

4. Los elementos de la tercera columna, responden a la secuencia incremental de sus primeras diferencias:

0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 5, 6,6,.., lo cual permite su construcción previa hasta el 𝑚 considerado, a partir de su inicio unitario, en 𝑚 = 3, 𝑦 𝑟 = 3

5. La secuencia de las segundas diferencias de la sucesión de valores de la cuarta columna, responde a la siguientes razones incrementales:

1,0,1,-1,2,-1,2,-1,2, -1,3,-2,3,-1,3, -2,4,-2,4,-2,4, -2,5,-3,5,-2,5, -3,6,-3,6,-3,6, -3,7,-4,7,-3,7,…, y como partimos siempre de un valor unitario, correspondiente a m=r, ello permite obtener la secuencia de las primeras diferencias, y con estas últimas determinar los valores correspondientes a la cuarta columna…..Inferimos que esta propiedad, puede extenderse a cada una de las columnas de la tabla, considerando siempre para la columna r, partir de las secuencias de las r-2 diferencias

6. Los elementos iniciales de cada columna, son siempre iguales a la unidad, y

corresponden a las coordenadas 𝑚 = 𝑟, en cada fila de la tabla, (con excepción de la 1ᵃ columna, que inicia en 𝑚 = 0, 𝑦 𝑟 = 1). Simbólicamente, 𝑃1(𝑚) = 1, ∀ 𝑚 ≥ 0

7. Los elementos de las 2 primeras diagonales son todos unitarios.

8. Cada una de las diagonales siguientes comienzan con la unidad y contienen valores

constantes, que aparecen en ellas, al avanzar diagonalmente un número de lugares

que sigue la sucesión natural 1, 2,3,….Los dos valores que preceden en cada una de

estas diagonales al valor constante, forman con este, una sucesión aritmética de razón

igual a la unidad. Así p.ej. los dos valores previos a la diagonal que contiene al 7 como

constante, serán el 5, y el 6, como puede observarse en la tabla.

9. Los valores constantes en cada diagonal, forman en conjunto, una sucesión cuyos

valores coinciden con los valores correspondientes a la sucesión de valores totales

de Particiones Discretas para cada caso de 𝑟 = 𝑚, es decir:

1,1,2,3,5,7,11,15,22, …resaltados en verde en la tabla.

10. Para una fila de valor par de 𝑚, sus elementos incluyen a partir del término de lugar 𝑚 2⁄ (inclusive), la secuencia de valores suma de particiones, acumulados desde la fila 𝑚 = 0, hasta la fila 𝑚 2⁄ , (leídos de derecha a izquierda). Para la fila siguiente con un valor impar de 𝑚, dicha secuencia se desplaza un lugar a la derecha, con respecto a como aparece en la fila anterior. P.ej. para la fila 𝑚 = 12, a partir del sexto elemento se presenta la secuencia de elementos 11, 7, 5, 3, 2, 1, 1, que corresponde a la sucesión de valores suma totales de particiones acumuladas desde la fila 𝑚 = 0, hasta la fila 𝑚 = 6, sucesión que aparece también en la fila siguiente 𝑚 = 13, pero desplazada un lugar a la derecha (como se muestra en las dos bandas sombreadas en verde en el gráfico)

11. Como podemos comprobar de esta tabla se pueden obtener el total de P.D de los casos

donde 𝑟 ≤ 𝑚, así p. ej., las Particiones Discretas de 15, en 5, o 𝑷𝑫𝟓(𝟏𝟓), se obtienen

al sumar los primeros 5 valores de la fila correspondiente a m=15, es decir:

𝑷𝑫𝟓(𝟏𝟓) = 1 + 7 + 19 + 27 + 30 = 84, como ya habíamos calculado previamente

al desarrollar nuestras expresiones de cálculo por secuencias internas. Dicho n⁰,

corresponde también al número de Coeficientes Básicos (C.B.), del polinomio

(𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥5)15

12. La propiedad fundamental que permite la construcción inmediata de la tabla a partir del valor común 𝑷(𝟎) = 𝑷𝟏(𝟎) = 𝑷𝑫𝟏(𝟎) = 𝟏, es la siguiente*:

La suma de los valores del número de P.D. de r cifras significativas contenidos en cada fila

horizontal correspondientes a cada valor de m, según el número de columnas que

consideremos, da como resultado una sucesión de valores que se corresponden con los valores

constitutivos de la columna de igual número o valor de r, siempre comenzando dicha columna

en 𝑚 = 𝑟

*También por convención, serán: 𝑃0(𝑚) = 0, ∀𝑚 ≥ 0 y 𝑃𝑟(0) = 0, ∀ 𝑟 ≥ 2

La construcción por columnas del triángulo de 𝑷𝑫𝒓(𝒎), se realiza de la

manera siguiente:

La primera columna, como ya hemos establecido, está constituida por valores todos iguales a la

unidad, independientemente del caso de 𝑚 ≥ 0. Pero por razones didácticas vamos a proceder a

su construcción solo partiendo del valor convenido 𝑷(𝟎) = 𝑷𝟏(𝟎) = 𝑷𝑫𝒓(𝟎) = 𝟏,

correspondiente a r=1 y m=0.

Para calcular el valor que corresponde a la primera columna (r=1), para m=1, sumamos todos los

valores contenidos en la primera fila (m=0), hasta la 1ª columna, con lo cual obtenemos en este

caso, un solo valor igual a la unidad. Este valor será el primer valor que corresponde a la primera

columna para m=1

De manera similar, procedemos a sumar todos los valores contenidos en la 2ª fila (m=1), hasta la 1ª

columna, con lo cual, de nuevo obtenemos un solo valor igual a la unidad. Este valor será el segundo

valor que corresponde a la 1ª columna, para m=2

Siguiendo este procedimiento, encontraremos que todos y c/u de los valores de la primera columna

son iguales a la unidad, para cualquier valor de 𝑚 ≥ 0.

Conocidos los valores de esta1ª columna, para construir la 2ª columna aplicamos un procedimiento

totalmente análogo:

Para ello, partimos de los valores contenidos en la1ª fila del triángulo (m=0), hasta la segunda

columna (r=2), cuya suma nos da de nuevo un valor igual a 1 + 0 = 1. Este valor, será el primer

valor de la 2ª columna, correspondiente a m=2, y r=2

A continuación, sumamos los valores contenidos en la 2ª fila del triángulo (m=1), hasta la 2ª

columna, con lo cual obtenemos un valor igual a 1 + 0 = 1. Este valor, será el segundo valor de la

2ª columna, correspondiente a m=3, y r=2

Ahora, sumamos los valores contenidos en la 3ª fila del triángulo (m=2), hasta la segunda columna,

con lo cual, obtenemos un valor igual a 1 + 1 = 2. Este valor, será el tercer valor de la 2ª columna,

correspondiente a m=4, y r=2

Aplicando este mismo procedimiento, podemos obtener todos los valores de la2ª columna, hasta el

m considerado, y conocidos los valores de la 1ª y 2ª columnas, podemos de manera recurrente,

aplicar el mismo procedimiento anterior para obtener los valores de la tercera columna.

Este método, puede aplicarse sucesivamente para obtener cada uno de los valores de las columnas

restantes de la tabla, y de este modo completar la construcción del triángulo de Particiones

Discretas de m en r, hasta el valor de m considerado.

Esta propiedad puede definirse de manera equivalente como:

El resultado de sumar los primeros r elementos de una fila 𝒎, se corresponde con el valor del elemento de lugar r, de la fila 𝒎 + 𝒓.

Así p.ej. Si sumamos los primeros 4 elementos de la fila m= 9, obtenemos el valor 1+4+7+6= 18, que corresponde al valor del 4⁰ elemento de la fila m=9+4=13, subrayados en amarillo en la tabla

13. Propiedades de Escalera Descendente (E.D.) y de Escalera Ascendente (E.A.)

13.1 Escalera Descendente (E.D.)

Entonces de manera más general, las sumas de los r términos sucesivos de una fila m, se corresponden con los términos de lugar r, en las sucesivas filas 𝑚 + 𝑟 de la tabla.

Esta correspondencia, se extiende hasta un valor máximo de 𝑟 = 𝑚, ubicado siempre en la fila 𝑚 + 𝑚 = 2𝑚. Dicho valor representa el valor de la suma total de los elementos de la fila 𝑚 Así p. ej. las sumas sucesivas de elementos de la fila 9: 1=1, 1+4=5, 1+4+7=12, 1+4+7+6=18, 1+4+7+6+5=23, 1+4+7+6+5+3=26, 1+4+7+6+5+3+2=28, 1+4+7+6+5+3+2+1=29, Y 1+4+7+6+5+3+2+1+1=30 se corresponden respectivamente, con los términos 1°, 2°, 3°, 4°, 5°, 6°, 7° , 8°, Y 9° de las filas 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, Y 18 , Donde cómo podemos observar en la tabla, el valor del término correspondiente a la fila 2x9=18 coincide con el valor total 30, de la suma de todos los términos de la fila 9. Los términos sucesivos de la escalera descendente, se obtienen inmediatamente, si a cada término obtenido de la E.D., se le adiciona el elemento siguiente de la fila considerada. Ver fila 9 y su E.D. resaltadas en amarillo en la tabla .Esto se puede expresar matemáticamente como: 𝑃𝑟(𝑚) = 𝑃𝑟−1(𝑚 − 1) + 𝑃𝑟(𝑚 − 𝑟), con 𝑚 > 0, 𝑦 1 < 𝑟 ≤ 𝑚 Así p.ej. si 𝑚 = 13, 𝑦 𝑟 = 4, se tendrá: 𝑃4(13) = 𝑃3(12) + 𝑃4(9), es decir: 18 = 12 + 6 13.2. Escalera Ascendente (E.A.) También podemos observar que los términos sucesivos de una fila m, se obtienen como las sumas de los primeros r términos o elementos de las filas 𝑚 − 𝑟, sucesivamente, con 𝑟 = 1,2, … , 𝑚. P.ej. para la misma fila 9, sus elementos 1, 4, 7, 6, 5, 3, 2, 1, 1, corresponden sucesivamente a la suma de los términos ubicados por encima de la escalera cuyos peldaños (en rojo en la tabla), ascienden desde la fila 8 hasta la fila 0, correspondientes a 𝑚 − 𝑟 , 𝑐𝑜𝑛 𝑚 = 9, 𝑦 𝑟 = 1,2, … ,9 Es decir a las sumas parciales 1=1, 1+3=4, 1+3+3=7, 1+2+2+1=6, 1+2+1+1=5, 1+1+1=3, 1+1=2, 1=1, y 1=1. Análogamente al caso de la E.D., Los valores correspondientes a la fila 9, utilizando la E.A., se obtienen directamente si recorremos la fila 8, y a cada elemento de dicha fila, vamos adicionándole el término ubicado en el escalón ascendente siguiente de la E.A. (en rojo), que parte de dicha fila. Su formulación matemática es idéntica al caso de la E.D., es decir, se cumple: 𝑃𝑟(𝑚) = 𝑃𝑟−1(𝑚 − 1) + 𝑃𝑟(𝑚 − 𝑟) Análogamente a la propiedad fundamental descrita en 12., La aplicación simultánea de las propiedades de E.D., y de E.A., permite desarrollar la tabla hasta cualquier valor de 𝒎, entero positivo considerado.

Conocidos los elementos de la tabla, hasta un valor 𝒎 dado, aplicando las propiedades de

escalera, podemos construir la tabla, hasta un valor 𝟐𝒎, y luego prolongar su construcción

exponencialmente, hasta cualquier valor dado por 𝟐𝒏𝒎

Evidentemente esta tabla puede extenderse para cualquier valor de m, y r, enteros positivos con

𝑟 ≤ 𝑚 , y obtener fácilmente el número de particiones correspondientes a cualquiera de los tres

tipos de particiones, anteriormente definidas.

Enrique R. Acosta R. Enero 2018

Bibliografía:

1. Particiones Discretas de m, en r. Coeficientes polinomiales y su cadena valor 2017

2. Particiones Discretas de m en r. Formulaciones Matemáticas 2017

3. Particiones con repetición. Composición de enteros 2017

ANEXO: TABLA UNIVERSAL DE PARTICIONES DE ENTEROS I ( De 𝒎 = 𝟎, hasta 𝒎 = 𝟑𝟎) r

m

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

𝑃(𝑚)

0 1 1

1 1 1

2 1 1 2

3 1 1 1 3

4 1 2 1 1 5

5 1 2 2 1 1 7

6 1 3 3 2 1 1 11

7 1 3 4 3 2 1 1 15

8 1 4 5 5 3 2 1 1 22

9 1 4 7 6 5 3 2 1 1 30

10 1 5 8 9 7 5 3 2 1 1 42

11 1 5 10 11 10 7 5 3 2 1 1 56

12 1 6 12 15 13 11 7 5 3 2 1 1 77

13 1 6 14 18 18 14 11 7 5 3 2 1 1 101

14 1 7 16 23 23 20 15 11 7 5 3 2 1 1 135

15 1 7 19 27 30 26 21 15 11 7 5 3 2 1 1 176

16 1 8 21 34 37 35 28 22 15 11 7 5 3 2 1 1 231

17 1 8 24 39 47 44 38 29 22 15 11 7 5 3 2 1 1 297

18 1 9 27 47 57 58 49 40 30 22 15 11 7 5 3 2 1 1 385

19 1 9 30 54 70 71 65 52 41 30 22 15 11 7 5 3 2 1 1 490

20 1 10 33 64 84 90 82 70 54 42 30 22 15 11 7 5 3 2 1 1 627

21 1 10 37 72 101 110 105 89 73 55 42 30 22 15 11 7 5 3 2 1 1 792

22 1 11 40 84 119 136 131 116 94 75 56 42 30 22 15 11 7 5 3 2 1 1 1002

23 1 11 44 94 141 163 164 146 123 97 76 56 42 30 22 15 11 7 5 3 2 1 1 1255

24 1 12 48 108 164 199 201 186 157 128 99 77 56 42 30 22 15 11 7 5 3 2 1 1 1575

25 1 12 52 120 192 235 248 230 201 164 131 100 77 56 42 30 22 15 11 7 5 3 2 1 1 1958

26 1 13 56 136 221 282 300 288 252 212 169 133 101 77 56 42 30 22 15 11 7 5 3 2 1 1 2436

27 1 13 61 150 255 331 364 352 318 267 219 172 134 101 77 56 42 30 22 15 11 7 5 3 2 1 1 3010

28 1 14 65 169 291 391 436 434 393 340 278 224 174 135 101 77 56 42 30 22 15 11 7 5 3 2 1 1 3718

29 1 14 70 185 333 454 522 525 488 423 355 285 227 175 135 101 77 56 42 30 22 15 11 7 5 3 2 1 1 4565

30 1 15 75 206 377 532 618 638 598 530 445 366 290 229 176 135 101 77 56 42 30 22 15 11 7 5 3 2 1 1 5604