T.A. Nur Haryaty
-
Upload
rahmat-fosil -
Category
Documents
-
view
123 -
download
6
Transcript of T.A. Nur Haryaty
PENDUGAAN PARAMETER SEBARAN POISSON DENGAN
ALGORITMA CROSS-ENTROPY
Tugas Akhir
Untuk memenuhi sebagian persyaratan
mencapai derajat diploma tiga
Oleh:
Nur Haryaty
F3A208005
PROGRAM STUDI D-III STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS HALUOLEO
KENDARI
2011
HALAMAN PENGESAHAN
Pendugaan Parameter Sebaran Poisson dengan Algoritma Cross-Entropy
Oleh:
Nur Haryaty
F3A208005
telah dipertahankan di depan Tim Penguji
pada tanggal 21 Oktober 2011
dan diyatakan telah memenuhi syarat
Susunan Tim Penguji
Pembimbing I,
Drs. Asrul Sani, M.Sc., Ph.D.
NIP. 19690212 199303 1 003
Pembimbing II,
Bahriddin Abapihi, S.Si., M.Si.
NIP. 19720619 200212 1 002
Penguji I,
Irma Yahya, S.Si., M.Si.
NIP. 19711208 200112 1 003
Penguji II,
Agusrawati, S.Si., M.Si.
NIP. 19720808 200112 2 003
Penguji III,
Rahmaliah Sahupala, S.Si., M.Sc.
NIP. 19821128 200604 2 001
Kendari, 21 Oktober 2011
Universitas Haluoleo
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Dekan,
Drs. Pasrun Adam, M.S.
NIP. 19511231 198211 1 001
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kota Kendari Provinsi Sulawesi Tenggara pada tanggal
12 Mei 1990 dari Ayah La Aga dan Ibu Wa Ndaria. Penulis merupakan anak kedua
dari tiga bersaudara.
Tahun 1996 penulis lulus dari TK Aisyah Bustanul Alfa, tahun 2002 penulis
lulus dari SD Negeri 15 Baruga dan tahun 2005 penulis lulus dari SMP Negeri 10
Kendari. Tahun 2008 penulis lulus dari SMA Negeri 2 Kendari dan pada tahun yang
sama diterima masuk Universitas Haluoleo pada Program Studi D-III Statistika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Haluoleo
melalui jalur Program Penelusuran Minat dan Potensi (PPMP).
Selama mengikuti perkuliahan, penulis mendapat beasiswa Peningkatan
Prestasi Akademik (PPA) dari pihak Universitas Haluoleo atas prestasi akademik
yang diraih. Pada awal tahun 2011 penulis dipercayakan menjadi asisten Praktikum
Rancangan Percobaan pada program studi D-III Statistika Universitas Haluoleo.
Selain itu, penulis juga turut berperan dalam beberapa organisasi kemahasiswaan
yakni Badan Eksekutif Mahasiswa (BEM) F-MIPA Universitas Haluoleo,
Mahasiswa Pencinta Mushola (MPM) serta Himpunan Mahasiswa Statistika
(HIMASTIKA).
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT sehingga penulisan
tugas akhir yang berjudul “Pendugaan Parameter Sebaran Poisson dengan Algoritma
Cross-Entropy” dapat terselesaikan sebagaimana mestinya. Tugas akhir ini
merupakan salah satu persyaratan untuk menyelesaikan pendidikan pada Program
Studi D-III Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Haluoleo.
Penulis menyadari sepenuhnya bahwa banyak keterbatasan dalam
penyelesaian tugas akhir ini, dimulai dari tahap awal penyusunan hingga
penyelesaiannya. Namun, berkat bimbingan dan arahan yang penuh dengan
kesabaran dan keikhlasan dari Bapak Drs. Asrul Sani, M.Sc., Ph.D selaku
pembimbing I dan Bapak Bahriddin Abapihi, S.Si., M.Si selaku pembimbing II
akhirnya penulis dapat menyelesaikan penulisan tugas akhir ini. Untuk itu, penulis
haturkan ucapan terima kasih yang tak terhingga dan semoga dinilai sebagai amal
ibadah disisi Allah SWT.
Pada kesempatan ini pula dengan segala kerendahan hati penulis
menyampaikan terima kasih kepada:
1. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Haluoleo.
2. Ketua Program Studi D-III Statistika serta seluruh dosen dan staf pada Program
Sudi D-III Statistika.
3. Ayahanda La Aga dan Ibunda Wa Ndaria atas segala doa dan limpahan kasih
sayang yang tak ternilai harganya.
4. Saudaraku tercinta Abdul Gasar, SH dan Muh. Ady Saputra serta seluruh
keluarga besarku yang selalu memberikan doa dan motivasi. (smoga kita selalu
saling menyayangi dan menjaga satu sama lain, maaf kalau belum bisa jadi
saudara yang baik).
5. Teman-teman seangkatan: Ayu, Dika, Makrum, Nining, Muna, Alif, Dias, Karim,
Viska, Vinda, Muli, Kiki, Sani, Lusi, Lina, Mina, Ifa, Nia, Sanaf, Olis, Erna, Ani,
Idam, Jusma, Aty, dan Satma (sahabatku tersayang) serta kawan-kawan lainnya
yang tak bisa disebutkan satu-persatu atas kekompakan dan kebersamaan dalam
menyelesaikan studi. (Smoga kita semua diberikan kesuksesan hidup di dunia
maupun di akhirat oleh Allah SWT).
6. Teman-teman Asisten Laboratorium Statistika dan Aljabar tahun 2011 (Tetap
smangat dalam membimbing anak praktikan!).
7. Teman-teman jurusan Matematika F-MIPA: Piti, Untung, Ansar, Glen, dan Yudi
atas bantuannya selama menyelesaikan studi. (Senang bisa belajar bersama kalian
semua).
8. Keluarga Besar MPM Al-Misykat F-MIPA Unhalu atas kebersamaan,
kehangatan, dan kasih sayang yang tulus dari kalian semua, dan terkhusus untuk
teman-teman Akhwat: Yuyun, Aztin, Sri, serta yang tak bisa disebutkan satu-
persatu (Tetap smangat Ukhti…!).
9. Murobbiku: Ka’ Yuni dan Ka’ Derina (Kalian salah satu penyemangat hidupku)
serta teman-teman liqoan: Sat’m, Muly, Adra, Acha, Lia dan Indra (Smoga kita
selalu istiqomah di jalan-Nya).
10. Adik-adik di program studi D-III Statistik angkatan 2009 dan 2010: Budi,
Taufan, Fajar, Cici, Sarni, Masna, Inca, Azlan, Irma, Viny dan yang tak bisa
disebutkan satu persatu. (Jaga kekompakkannya ya…!).
11. Seluruh pihak yang ikut membantu terselesaikannya tugas akhir ini, yang penulis
tidak dapat sebutkan satu-persatu.
Penyusunan tugas akhir ini tentunya masih banyak keterbatasan dan
kekurangan. Oleh karena itu, saran dan kritik dari semua pihak sangat diharapkan
demi perbaikan dan penyempurnaannya kelak.
Harapan yang paling besar dari penyusunan tugas akhir ini ialah mudah-
mudahan apa yang penulis susun ini penuh manfaat, baik untuk pribadi, teman-
teman, serta orang lain yang tertarik mengembangkan metode yang digunakan dalam
penelitian ini.
Kendari, september 2011
Penulis
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL
DAFTAR LAMPIRAN
ABSTRAK
ABSTRACT
viii
ix
x
xi
BAB I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Tujuan Penelitian 2
1.3 Manfaat Penelitian
1
2
2
BAB II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Percobaan Poisson dan Sebaran Poisson
2.2 Metode Pendugaan Parameter Sebaran Poisson
2.1.1 Metode Maximum Likelihood
2.1.2 Metode Cross-Entropy
3
4
4
6
BAB III. METODE PENELITIAN
3.1 Sumber Data
3.2 Prosedur Penelitian
8
8
BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Pendugaan Parameter Sebaran Poisson
4.1.1 Pembangkitan Data
4.1.2 Penerapan Metode Cross Entropy (CE)
4.1.3 Penerapan Metode Maximum Likelihood
4.1.4 Penerapan Metode Cross Entropy (CE) dan Metode
Maximum Likelihood dengan Ukuran Contoh
Berbeda
4.1.5 Penerapan Metode Cross Entropy (CE) dan Metode
Maximum Likelihood Menggunakan Data Bangkitan
dengan µ Berbeda
4.1.6 Iterasi dan Waktu yang Digunakan Metode Cross
Entropy (CE)
9
9
9
11
11
12
14
BAB V. PENUTUP
5.1 Kesimpulan
5.2 Saran
16
16
DAFTAR PUSTAKA 17
LAMPIRAN 18
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 4.1 Nilai parameter sebaran Poisson menggunakan metode
CE dan Maximum Likelihood.
12
Tabel 4.2 Hasil pendugaan parameter menggunakan data bangkitan
dengan µ = 1.
12
Tabel 4.3 Hasil pendugaan parameter menggunakan data bangkitan
dengan µ = 3.
13
Tabel 4.4 Hasil pendugaan parameter menggunakan data bangkitan
dengan µ = 4.
13
Tabel 4.5 Hasil pendugaan parameter menggunakan data bangkitan
dengan µ = 5.
14
Tabel 4.6 Banyaknya iterasi dan waktu yang dibutuhkan dalam
menggunakan metode CE.
15
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Lampiran 1 Data bangkitan menggunakan software Matlab versi
5,3 dengan µ = 2 sebanyak 40 amatan.
18
Lampiran 2 Nilai parameter inisial awal untuk pendugaan
parameter sebaran Poisson menggunakan metode CE.
19
Lampiran 3 Program Matlab untuk menduga parameter sebaran
Poisson dengan menggunakan algoritma CE dengan
µ = 2 dan N = 40.
20
Lampiran 4 Output pendugaan parameter sebaran Poisson
menggunakan metode Maximum Likelihood dengan
µ = 1, 2, dan 3.
21
Lampiran 5 Output pendugaan parameter sebaran Poisson
menggunakan metode Maximum Likelihood dengan
µ = 4 dan 5.
22
ABSTRAK
NUR HARYATY. Pendugaan Parameter Sebaran Poisson dengan Algoritma Cross-
Entropy (CE) dibimbing oleh Bapak Asrul Sani dan Bahriddin Abapihi.
Tujuan penelitian ini adalah menerapkan metode Cross-Entropy (CE) dalam
melakukan pendugaan parameter sebaran Poisson. Hasil penelitian menunjukkan
bahwa program Matlab menggunakan algoritma Cross- Entropy (CE) yang dibuat
dengan konsep Metode Maximum Likelihood dapat digunakan untuk menduga
parameter dari data yang menyebar Poisson dengan waktu yang relatif singkat.
ABSTRACT
NUR HARYATY. Parameter Estimation of Poisson Distribution using Cross-
Entropy Algorithm, supervised by Asrul Sani and Bahriddin Abapihi.
The main purpose of this study is to apply Cross-Entropy method in the
parameter estimation of Poisson distribution. The results show that the Cross-
Entropy (CE) algorithm with the concept of maximizing likelihood function
converge to the estimated parameters of Poisson distributed data with relatively short
in time frame.
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Peubah acak adalah suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada
setiap unsur dalam ruang sampel (Walpole & Myers, 1995). Suatu peubah acak
disebut peubah acak diskret bila himpunan kemungkinan hasilnya terhitung. Suatu
peubah acak diskret mendapat setiap nilainya dengan peluang tertentu. Sebaran
peluang diskret adalah sebuah tabel atau rumus yang mencantumkan semua
kemungkinan nilai suatu peubah acak diskret berikut peluangnya (Walpole, 1995).
Salah satu sebaran peluang diskret yaitu sebaran Poisson. Menurut Walpole (1995),
sebaran Poisson adalah sebaran peluang acak Poisson X, yang menyatakan
banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu.
Suatu kesimpulan statistik mengenai parameter populasi harus dibuat
khususnya populasi yang menyebar Poisson. Oleh karena itu, perlu diterapkan teori
inferensia statistik. Teori inferensia statistik mencakup semua metode yang
digunakan dalam penarikan kesimpulan atau generalisasi suatu populasi (Walpole,
1995). Salah satu proses dalam inferensia statistik yaitu pendugaan parameter
populasi.
Metode yang dapat digunakan dalam pendugaan parameter populasi,
khususnya populasi yang menyebar Poisson yaitu metode kemungkinan maksimum
(Maximum Likelihood). Metode Maximum Likelihood merupakan metode pendugaan
parameter yang menggunakan sebaran peluang bersama dari sekumpulan data
pengamatan (Collet, 1991).
Dalam kenyataannya metode kemungkinan maksimum dianggap sebagai
metode yang rumit/kompleks dalam pendugaan parameter, sebab metode tersebut
membutuhkan teknik perhitungan matematis yang cukup rumit. Oleh karena itu,
dalam penelitian ini penulis mencoba menerapkan metode alternatif yang dianggap
lebih mudah dalam menyelesaikan masalah pendugaan parameter yakni metode
Cross Entropy (CE). Metode CE merupakan algoritma baru yang telah diaplikasikan
untuk penyelesaian masalah optimasi. Salah satu kelebihan dari metode CE untuk
simulasi kejadian langka adalah memberikan suatu cara cepat untuk menentukan atau
menduga parameter secara optimal.
Beranjak dari uraian di atas, penulis tertarik untuk melakukan penelitian
dengan judul “Pendugaan Parameter Sebaran Poisson dengan Algoritma Cross -
Entropy”.
1.2 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dalam penelitian ini yakni menerapkan metode Cross- Entropy
dalam melakukan pendugaan parameter sebaran Poisson.
1.3 Manfaat Penelitian
Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat memberikan tambahan informasi
mengenai metode alternatif yang dapat digunakan dalam pendugaan parameter
sebaran Poisson.
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Percobaan Poisson dan Sebaran Poisson
Percobaan yang menghasilkan peubah acak X yang bernilai numerik, yaitu
banyaknya hasil selama selang waktu tertentu atau dalam daerah tertentu disebut
percobaan Poisson dan sebaran peluangnya disebut sebaran Poisson. Panjang selang
waktu tersebut boleh berapa saja, semenit, sehari, seminggu, sebulan atau bahkan
setahun. Jadi, percobaan Poisson dapat menghasilkan pengamatan untuk peubah acak
X yang menyatakan banyaknya hubungan telepon perjam yang diterima suatu kantor,
banyaknya hari sekolah yang ditutup karena banjir, banyaknya pertandingan sepak
bola yang terpaksa diundurkan karena hujan selama musim kompetisi sepak bola.
Daerah yang dimaksud dapat berupa sepotong garis, suatu luas daerah, suatu isi
benda, ataupun sepotong benda. Dalam hal seperti ini X mungkin menyatakan
banyaknya tikus sawah perhektar, banyaknya bakteri dalam suatu kultur, ataupun
banyaknya salah ketik perhalaman.
Sebaran peluang bagi peubah acak Poisson X, yang menyatakan banyaknya
hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu atau daerah tertentu adalah:
(2.1)
Dalam hal ini µ adalah rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi
selama selang waktu atau dalam daerah yang dinyatakan dimana µ > 0 dan e =
2,71828... (Walpole, 1995).
Menurut Walpole & Myers (1995), himpunan pasangan terurut (x, f(x))
merupakan suatu fungsi peluang, fungsi massa peluang, atau sebaran peluang peubah
acak diskret X bila, untuk setiap kemungkinan hasil x sebagai berikut:
1. p(x) ≥ 0
2.
3. P(X = x) = f(x)
Ada beberapa ciri untuk menentukan apakah percobaan tersebut temasuk
dalam kriteria percobaan Poisson atau tidak (Walpole, 1995). Adapun ciri-ciri
tersebut adalah:
a. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu
daerah tertentu, tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi
pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah.
b. Peluang terjadinya suatu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang singkat
sekali atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang selang
waktu tersebut atau besarnya daerah tersebut, dan tidak bergantung pada
banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar selang waktu atau daerah tersebut.
c. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu
yang singkat tersebut atau dalam daerah yang kecil tersebut, dapat diabaikan.
2.2 Metode Pendugaan Parameter Sebaran Poisson
Menurut Walpole (1995) sifat-sifat yang harus dimiliki oleh suatu fungsi
keputusan yang baik yang akan digunakan dalam mempertimbangkan pemilihan
penduga yang satu daripada lainnya yaitu:
1. Penduga takbias. Statistik dikatakan penduga takbias bagi parameter Ө bila
= E( ) = Ө.
2. Penduga paling efisien. Diantara semua kemungkinan penduga takbias bagi
parameter Ө, yang ragamnya terkecil adalah penduga paling efisien bagi Ө.
2.2.1 Metode Maximum Likelihood
Metode kemungkinan maksimum (Maximum Likelihood) ialah metode yang
memaksimumkan fungsi kemungkinan. Fungsi kemungkinan paling baik dijelaskan
menggunakan contoh sebaran diskret berparameter tunggal. Misalkan X1, X2, …, Xn
menyatakan peubah acak bebas diambil dari sebaran peluang diskret yang dinyatakan
dengan f(X,Ө), Ө adalah parameter tunggal sebaran tersebut.
L(X1, X2, …, Xn;Ө) = f(X1, X2, …, Xn;Ө)
= f(X1,Ө) . f(X2,Ө) . … . f(Xn;Ө)
(2.2)
Persamaan (2.2) adalah sebaran gabungan dari peubah acak. Ini sering disebut
sebagai fungsi kemungkinan. Misalkan x1, x2, …, xn menyatakan nilai pengamatan
pada sampel. Dalam kasus peubah acak diskret, tafsirannya amat jelas. Besaran L(x1,
x2, …, xn;Ө), kemungkinan dari sampel, adalah peluang gabungan.
P(X1 = x1; X2 = x2; …, Xn = xn) (2.3)
Dengan kata lain, besaran ini adalah peluang mendapatkan nilai sampel x1, x2, …, xn.
Untuk kasus diskret, penaksir kemungkinan maksimum ialah penaksir yang
diperoleh dengan memaksimumkan nilai peluang gabungan atau memaksimumkan
kemungkinan dari sampel.
Filosofi penaksiran kemungkinan maksimum muncul dari gagasan bahwa
penaksir parameter yang wajar yang berdasarkan informasi sampel ialah nilai
peluang yang menghasilkan peluang terbesar untuk mendapatkan sampel. Metode
kemungkinan maksimum menggunakan sebaran peluang bersama dari sekumpulan
data pengamatan. Jika sebaran peluang bersama ini dipandang sebagai fungsi dari
parameter-parameter untuk suatu amatan maka fungsi parameter tersebut dinamakan
fungsi likelihood.
Misalkan bahwa suatu sampel acak x1, x2, …, xn diambil dari sebaran Poisson,
maka taksiran kemungkinan maksimum untuk µ yaitu:
Fungsi kemungkinan berbentuk:
(2.4)
Untuk memudahkan pendugaan parameter µ, kedua ruas persamaan (2.4) dinyatakan
dalam bentuk logaritma natural.
(2.5)
Penyelesaian untuk , penaksir kemungkinan maksimum menyangkut menyamakan
turunannya sama dengan nol dan menyelesaikan parameternya
(2.6)
Sehingga diperoleh:
(2.7)
Karena µ adalah rataan sebaran Poisson, rata-rata sampel ini tentunya
merupakan penaksir yang wajar.
2.2.2 Metode Cross - Entropy
Metode Cross-Entropy (CE) merupakan suatu metode simulasi Monte Carlo
yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi dan simulasi yang
telah diaplikasikan untuk memecahkan berbagai permasalahan optimasi dengan hasil
yang baik.
Cross-Entropy menyelesaikan suatu permasalahan dengan membangkitkan
data sejumlah N secara random dengan sebaran tertentu yang kemudian difikskan
pada fungsi tujuan. Kemudian dari sampel tersebut dipilih sejumlah n sampel terbaik
yang kemudian dijadikan inputan untuk memperbaharui parameter yang digunakan
sehingga kandidat solusi pada iterasi berikutnya berasal dari sampel terbaik pada
iterasi sebelumnya.
Metode CE pada beberapa permasalahan dapat menghasilkan penyelesaian
yang cukup optimal dengan perbandingan waktu penghitungan yang relatif lebih
singkat.
Secara umum, CE dapat diaplikasikan dalam dua tipe masalah yaitu:
1. Pendugaan. Dengan menduga ( )E H X , dimana X adalah variabel acak atau
vektor yang nilainya merupakan anggota dari beberapa pasangan X dan H
adalah fungsi dari X. Khusus pada kasus pendugaan suatu peluang
( )P S X , dimana S adalah fungsi lain pada X.
2. Optimasi. Optimasi dalam hal ini adalah memaksimumkan atau meminimumkan
S(X), dimana S adalah beberapa fungsi objektif pada . S dapat merupakan
sebuah fungsi yang diketahui atau sebuah fungsi yang banyak. Namun, kasus
pada fungsi objektif membutuhkan pendugaan melalui simulasi.
Dalam pendugaan, metode CE dapat dipandang sebagai suatu penyesuaian
prosedur importance sampling yang menggunakan Cross-Entropy atau Kullback-
Leibler Divergence sebagai suatu ukuran pendekatan antara dua sebaran sampling.
Pada pengaturan optimasi, masalah optimasi pertama kali diterapkan ke dalam
pendugaan suatu kejadian yang jarang terjadi dan kemudian metode CE untuk
estimasi digunakan sebagai algoritma adiptif untuk mencari nilai optimal.
Menurut Kroese (2002), Cross-Entropy (CE) atau jarak Kullback-Leiber
antara dua fungsi densitas dari adalah suatu jarak yang didefinisikan sebagai:
)(
)(ln)(
)(
)(ln),(
xh
xgxg
xh
xgEhgD g
dxxhxgdxxgxg )(ln)()(ln)(
(8)
Jadi, berdasarkan definisi tersebut, metode CE memiliki fungsi tujuan yakni
meminimumkan jarak dua fungsi densitas. Misalkan fungsi densitas yang menjadi
target adalah dengan parameter , maka akan dibangkitkan fungsi-fungsi densitas
dengan parameter dan diharapkan akan konvergen ke . Teori tentang CE
cukup rumit, namun dalam aplikasinya sangat sederhana.
Secara singkat metode CE dapat dikatakan sebagai metode iterasi dengan dua
prosedur utama yaitu:
1) Membangkitkan sampel data dengan sebaran tertentu
2) Memperbaharui parameter sebaran tersebut berdasarkan sampel terbaik untuk
menghasilkan sampel yang lebih baik pada iterasi berikutnya.
BAB III
METODE PENELITIAN
3.1 Sumber Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data bangkitan dengan
menggunakan aplikasi Matlab versi 5,3.
3.2 Prosedur Penelitian
Adapun prosedur pengembangan metode Cross-Entropy dalam menduga
parameter sebaran Poisson dapat dijelaskan dengan tahapan sebagai berikut:
1. Merumuskan fungsi tujuan, dalam hal ini memaksimumkan fungsi Likelihood.
2. Menentukan mekanisme acak yang akan digunakan.
3. Membuat algoritma.
4. Membuat program dalam Matlab.
5. Melakukan simulasi.
Ada beberapa proses yang dilalui dalam melakukan simulasi yaitu sebagai
berikut:
(i) Membangkitkan data yang memiliki sebaran Poisson dengan parameter
tertentu.
(ii) Mengaplikasikan algoritma yang telah dikembangkan terhadap data tersebut
untuk menduga parameter yang digunakan.
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.2 Pendugaan Parameter Sebaran Poisson
4.2.1 Pembangkitan Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini yaitu data bangkitan. Untuk
memperoleh data bangkitan tersebut, ditetapkan parameter dari suatu sebaran
Poisson kemudian dibangkitkan dengan menggunakan aplikasi Matlab versi 5,3.
Adapun parameter yang digunakan dalam pembangkitan data yaitu µ = 2 sebanyak
40 amatan, hasil yang diperoleh dapat dilihat pada Lampiran 1.
4.2.2 Penerapan Metode Cross Entropy (CE)
Metode CE menyelesaikan pendugaan parameter sebaran Poisson
menggunakan suatu program simulasi yang dirancang menggunakan konsep metode
Maximum Likelihood. Program simulasi tersebut dibuat menggunakan aplikasi
Matlab versi 5.3.
Konsep dasar metode CE dalam menduga parameter sebaran Poisson adalah
memaksimumkan fungsi tujuan. Dalam hal ini, mencari nilai parameter yang
menghasilkan fungsi Likelihood yang paling maksimum. Oleh karena itu, akan
terjadi proses update parameter secara berulang-ulang hingga fungsi tujuannya
terpenuhi. Adapun algoritma CE dalam pendugaan parameter sebaran Poisson hingga
mendapatkan nilai parameter paling optimum dipaparkan sebagai berikut:
Tidak
Ya
Gambar 4.1. Flowchart algoritma CE dalam pendugaan parameter sebaran Poisson
Proses pendugaan parameter sebaran Poisson dengan metode CE diawali
dengan menginputkan data hasil bangkitan, selanjutnya menentukan parameter inisial
awal dari µ dengan asumsi bahwa µ ~ N(µ, σ), misalkan µ = 0 dan σ = 100. Setelah
itu dilanjutkan dengan membangkitkan parameter µ. Hasil bangkitan parameter µ
kemudian difikskan/dimasukkan pada fungsi tujuan yakni fungsi Likelihood. Setelah
itu, dipilih 10% nilai µ yang menghasilkan nilai Likelihood terbesar yang dinamakan
parameter elit. Selanjutnya dilakukan penghitungan nilai µ dan σ berdasarkan nilai
parameter elit, dimana nilai µ dan σ tersebut akan dijadikan inputan untuk
memperbaharui parameter inisial awal, setelah itu dilakukan kembali pembangkitan
parameter µ. Proses pembaruan (update) dan pembangkitan parameter µ akan terus
Mulai
Input Data
Penentuan Parameter
Inisial Awal
(µ = 0, σ = 100)
Membangkitkan
Parameter
(µ = 0, σ = 100)
Selesai
σ ≈ 0
Pemilihan
Parameter Elit
Update Parameter
berlanjut dan akan berhenti ketika nilai parameter yang diperoleh merupakan
parameter yang paling optimum (nilai σ ≈ 0). Program Matlab yang dibuat
ditampilkan pada Lampiran 3. Adapun hasil yang diperoleh
dengan menggunakan metode CE untuk data sebanyak 40 amatan diperoleh nilai µ =
1,9250.
4.2.3 Penerapan Metode Maximum Likelihood
Pendugaan parameter sebaran Poisson dengan menggunakan metode
Maximum Likelihood dilakukan dengan menggunakan aplikasi SPSS versi 13. Data
yang digunakan sama seperti pada metode CE yakni menggunakan data bangkitan
yang terdapat pada Lampiran 1. Hasil pendugaan parameter menggunakan metode
Maximum Likelihood untuk data sebanyak 40 amatan diperoleh nilai µ = 1,9250.
Nilai parameter tersebut relatif sama dengan parameter yang dihasilkan dengan
menggunakan metode CE.
4.2.4 Penerapan Metode Cross Entropy (CE) dan Metode Maximum Likelihood
dengan Ukuran Contoh Berbeda
Nilai Parameter yang diperoleh dari metode CE dan metode Maximum
Likelihood dengan menggunakan data bangkitan sebanyak 40 amatan dan µ = 2
memperoleh hasil yang relatif sama. Oleh karena itu, perlu dilakukan penerapan
metode CE dan metode Maximum Likelihood dengan ukuran sampel yang berbeda
agar dapat dilihat konsistensi dari nilai parameter yang dihasilkan oleh metode CE
dan bisa lebih menegaskan bahwa metode CE dapat diaplikasikan dalam pendugaan
parameter sebaran Poisson. Berikut nilai parameter yang diperoleh dengan
menggunakan data dengan jumlah amatan yang berbeda-beda:
Tabel 4.1. Nilai parameter sebaran Poisson menggunakan metode CE dan
Maximum Likelihood
No Banyaknya Amatan
(N)
Metode CE Maximum Likelihood
µ µ
1 10 1,8000 1,8000
2 20 2,4500 2,4500
3 30 2,2667 2,2667
4 40 1,9250 1,9250
5 50 2,1200 2,1200
6 60 2,2167 2,2167
7 70 2,3571 2,3571
8 80 2,1625 2,1625
9 90 2,1111 2,1111
10 100 2,0300 2,0300
Berdasarkan tabel di atas dapat diketahui bahwa untuk data bangkitan dengan
µ = 2, metode CE dan metode Maximum Likelihood menghasilkan nilai parameter
yang relatif sama meskipun menggunakan banyaknya amatan yang berbeda-beda.
4.2.5 Penerapan Metode Cross Entropy (CE) dan Metode Maximum Likelihood
Menggunakan Data Bangkitan dengan µ Berbeda
Pendugaan parameter sebaran Poisson dengan metode CE dan metode
Maximum Likelihood perlu pula dilakukan dengan menggunakan data bangkitan
yang berbeda. Dalam hal ini, dilakukan pada data bangkitan dengan nilai µ yang
berbeda dan jumlah amatan yang berbeda pula.
Tabel 4.2. Hasil pendugaan parameter menggunakan data bangkitan dengan µ = 1
No Banyaknya Amatan
(N)
Metode CE Maximum Likelihood
µ µ
1 10 1,0000 1,0000
2 20 1,0000 1,0000
3 30 0,8667 0,8667
4 40 0,9750 0,9750
5 50 1,1200 1,1200
6 60 1,1333 1,1333
7 70 1,1571 1,1571
8 80 1,0625 1,0625
9 90 1,0778 1,0778
10 100 1,0400 1,0400
Berdasarkan tabel di atas dapat diketahui bahwa untuk data bangkitan dengan
µ = 1, metode CE dan metode Maximum Likelihood tetap menghasilkan nilai
parameter yang relatif sama meskipun menggunakan banyaknya amatan yang
berbeda-beda.
Tabel 4.3. Hasil pendugaan parameter menggunakan data bangkitan dengan µ = 3
No Banyaknya Amatan
(N)
Metode CE Maximum Likelihood
µ µ
1 10 2,2000 2,2000
2 20 3,4000 3,4000
3 30 2,5333 2,5333
4 40 2,8500 2,8500
5 50 3,3200 3,3200
6 60 3,2167 3,2167
7 70 3,3000 3,3000
8 80 3,0875 3,0875
9 90 3,1333 3,1333
10 100 3,1700 3,1700
Berdasarkan tabel di atas dapat diketahui bahwa untuk data bangkitan dengan
µ = 3, metode CE dan metode Maximum Likelihood tetap menghasilkan nilai
parameter yang relatif sama meskipun menggunakan banyaknya amatan yang
berbeda-beda..
Tabel 4.4. Hasil pendugaan parameter menggunakan data bangkitan dengan µ = 4
No Banyaknya Amatan
(N)
Metode CE Maximum Likelihood
µ µ
1 10 3,9000 3,9000
2 20 3,7500 3,7500
3 30 4,4667 4,4667
4 40 3,8000 3,8000
5 50 4,2600 4,2600
6 60 4,1167 4,1167
7 70 4,1714 4,1714
8 80 3,9625 3,9625
9 90 4,0889 4,0889
10 100 4,1300 4,1300
Berdasarkan tabel di atas dapat diketahui bahwa untuk data bangkitan dengan
µ = 4, metode CE dan metode Maximum Likelihood tetap menghasilkan nilai
parameter yang relatif sama meskipun menggunakan banyaknya amatan yang
berbeda-beda.
Tabel 4.5. Hasil pendugaan parameter menggunakan data bangkitan dengan µ = 5
No Banyaknya Amatan
(N)
Metode CE Maximum Likelihood
µ µ
1 10 5,5000 5,5000
2 20 5,3000 5,3000
3 30 5,5000 5,5000
4 40 5,3250 5,3250
5 50 5,1400 5,1400
6 60 4,9500 4,9500
7 70 5,0714 5,0714
8 80 4,9625 4,9625
9 90 5,1333 5,1333
10 100 5,1700 5,1700
Berdasarkan tabel di atas dapat diketahui bahwa untuk data bangkitan dengan
µ = 5, metode CE dan metode Maximum Likelihood tetap menghasilkan nilai
parameter yang relatif sama meskipun menggunakan banyaknya amatan yang
berbeda-beda.
4.2.6 Iterasi dan Waktu yang Digunakan Metode Cross Entropy (CE)
Sebagai metode pendekatan baru dalam menduga parameter sebaran Poisson,
metode CE dapat menghitung nilai parameter dengan waktu yang relatif singkat.
Dalam proses pendugaan tersebut terjadi beberapa kali iterasi (ulangan) hingga
fungsi tujuan terpenuhi atau sampai diperoleh nilai parameter yang memiliki fungsi
Likelihood yang paling maksimum. Waktu dan ulangan (iterasi) yang dibutuhkan
dalam pendugaan parameter pada setiap amatan ditampilkan dalam tabel berikut:
Tabel 4.6. Banyaknya iterasi dan waktu yang dibutuhkan dalam menggunakan
metode CE (untuk data bangkitan dengan µ = 1)
No Banyaknya Amatan
(N) Iterasi Waktu
(detik)
1 10 43 0.1100
2 20 46 0.1250
3 30 24 0.0930
4 40 33 0.0780
5 50 61 0.1250
6 60 83 0.1400
7 70 39 0.1100
8 80 58 0.1250
9 90 40 0.1100
10 100 87 0.1250
Rata-rata 51,4 0,1141
Waktu yang dibutuhkan untuk mendapatkan nilai parameter jika
menggunakan metode CE dirata-ratakan selama 0,1141 detik dan iterasi sebanyak
51,4 kali. Lamanya proses yang dibutuhkan oleh metode CE dalam pendugaan
parameter ini tergantung pada spesifikasi kerja komputer.
BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil pembahasan dapat disimpulkan bahwa program Matlab
menggunakan metode CE yang dibuat dengan konsep Metode Maximum Likelihood
dapat digunakan untuk menduga parameter dari data yang menyebar Poisson. Hal ini
telah dibuktikan bahwa nilai parameter yang diperoleh dengan menggunakan metode
CE relatif sama dengan hasil yang diperoleh dengan metode Maximum Likelihood.
Selain itu, metode CE membutuhkan waktu yang singkat dalam proses pendugaan
parameter.
5.2 Saran
Bagi pembaca, diharapkan dapat mengembangkan ataupun menerapkan
metode Cross-Entropy dalam membuat suatu simulasi kejadian atau proses tertentu
agar diperoleh suatu cara cepat dan tepat dalam penyelesaiannya.
LAMPIRAN
Lampiran 1. Data bangkitan menggunakan software Matlab versi 5,3 dengan µ = 2
sebanyak 40 amatan
x = Poissrnd (2,40,1)
x =
3
2
3
0
1
1
4
2
2
2
1
2
2
1
3
0
3
3
2
2
5
2
2
2
3
2
3
2
4
1
1
0
2
1
0
1
0
3
3
1
Lampiran 2. Nilai parameter inisial awal untuk pendugaan parameter sebaran
Poisson menggunakan metode CE
n : length(x); (banyaknya data yang digunakan)
np : 100; (banyaknya parameter yang akan dibangkitkan)
ne : 10; (banyaknya sampel parameter elit akhir)
eps : 1x10-10
; (nilai eksponensial sebagai keadaan kondisi)
Like : zeros(100, 1); (matriks tujuan untuk memperoleh parameter)
mubar : 0; (nilai µ awal)
mustd : 10; (nilai standar deviasi awal)
it : 0; (iterasi/ulangan)
toc : waktu
Lampiran 3. Program Matlab untuk menduga parameter sebaran Poisson
menggunakan algoritma CE dengan µ = 2 dan N = 40
tic
x = poissrnd (2,40,1);
n = length (x);
x = x';
for i= 1: n
facx(i) = factorial(x(i));
end
np = 100;
ne = 10;
eps = 1e-10;
it = 0;
sumx = sum(x);
mubar = 0;
mustd = 100;
Like = zeros(100,1);
while mustd > eps
mu = mubar + mustd*randn(100,1);
for i = 1:100
mu(i) = abs(mu(i));
Like(i) = -n*mu(i) + sumx*log(mu(i)) - sum (log(facx));
end
Likes = sortrows([Like mu], 1);
mubar = mean(Likes(np-ne+1:np,2));
mustd = std(Likes(np-ne+1:np,2));
it = it + 1;
end
mubar
it
toc
Lampiran 4. Output pendugaan parameter sebaran Poisson menggunakan metode
Maximum Likelihood dengan µ = 1, 2, dan 3
Descriptive Statis tics
10 1,0000
20 1,0000
30 ,8667
40 ,9750
50 1,1200
60 1,1333
70 1,1571
80 1,0625
90 1,0778
100 1,0400
10
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
Valid N (lis tw ise)
N Mean
Descriptive Statis tics
10 1,8000
20 2,4500
30 2,2667
40 1,9250
50 2,1200
60 2,2167
70 2,3571
80 2,1625
90 2,1111
100 2,0300
10
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
Valid N (lis tw ise)
N Mean
Descriptive Statis tics
10 2,2000
20 3,4000
30 2,5333
40 2,8500
50 3,3200
60 3,2167
70 3,3000
80 3,0875
90 3,1333
100 3,1700
10
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
Valid N (lis tw ise)
N Mean
Lampiran 5. Output pendugaan parameter sebaran Poisson menggunakan metode
Maximum Likelihood dengan µ = 4 dan 5
Descriptive Statis tics
10 3,9000
20 3,7500
30 4,4667
40 3,8000
50 4,2600
60 4,1167
70 4,1714
80 3,9625
90 4,0889
100 4,1300
10
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
Valid N (lis tw ise)
N Mean
Descriptive Statis tics
10 5,5000
20 5,3000
30 5,5000
40 5,3250
50 5,1400
60 4,9500
70 5,0714
80 4,9625
90 5,1333
100 5,1700
10
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
Valid N (lis tw ise)
N Mean