T3.2.sistemas 1er orden 1314 v02

1

Respuesta temporal de sistemas de primer orden3.2

Respuesta de un sistema de primer orden ante señales de entrada de prueba típicas

Polos y ceros en la respuesta de un sistema Tipos de respuestas Características de respuestas transitorias Calcular un modelo a partir de datos.

PALABRAS CLAVE Y TEMAS Sistemas de primer orden Respuesta temporal de sistemas de primer

orden Tiempo de respuesta del sistema Ganancia del sistema Estabilidad Identificación

OBJETIVOS

2

Sistemas de primer orden

X(s) Y(s)1s

K

Los sistemas que tienen la misma función de transferencia presentarán la misma salida en respuesta a la misma entrada.

Características de la forma estándar:• El segundo término del denominador es 1• K = ganancia del sistema (el numerador)• = constante de tiempo (el coeficiente de s)• El polo del sistema (la raíz del denominador) es –1/

3

Ejemplo sistema de primer orden.Depósito

Función de transferencia:

kh

Kk

hA

qKhdt

hd

qkh

hdt

hdk

hA

qhh

kdt

hdA

00

00

0

2

2

22

02

q

h

F

)()( sUtqL )()( thLsY

1sK

4

Sistemas de primer orden: entrada salto

U(s)=A/s Y(s)1s

Kt=0 t

u(t)

A

)1()1()1(

111)(

ss

ssss

sssA

sK

sA

sKsY

KA ;0s KA

);1

()(

s

KAs

KAsY

KAKA ;1s

Los residuos

Es decir

5


Siempre que >0 (sistema estable):

)(1

lim)(lim00

yKAsKAssY

ss

)1()]([)( //1 tt eKAKAeKAsYLty

Resp.Transit. (Se hace cero

cuando t-> )

Resp.Estac.

);1

()(

s

KAs

KAsYU(s)=A/s Y(s)1s

Kt=0 t

u(t)

A

6

1sK

U(s) Y(s))()()( tKuty

dttdy

)1()( t

eKAty

K = KA/A es la ganancia u(t)

t

y(t)

KA

A

t=0: y(0)=0t=: y()=KA


Si u(t) es un salto (escalón) de magnitud A

> 0 es la constante de tiempo

Respuesta estable, sin retardo ni cambio de concavidad y sobreamortiguada.

7

Sistemas de primer orden: entrada saltoInterpretación en el plano s (>0).

Plano s

x

polo en la parte real izquierda del plano s

s+1=0

polo = -1/

Si > 0: Respuesta estable, sin cambio de concavidad y sobreamortiguada

t

y(t)

KA

u(t)A

)1()( t

eKAty

t

8

t)1()(

teKAty

s+1=0 Si el polo = -1/ es positivo

Si < 0 Respuesta inestable

y(t)Plano s

x

polo en la parte real derecha del plano s

Sistemas de primer orden: entrada saltoInterpretación en el plano s (<0).

9

Sistemas de primer orden. Entrada impulso

t=0

u(t)

A

0)( :

)0( :0

0

yt

KAyt

si

01/

/1/

1)(

s

KAAsKA

sKsY

Resp.Estac.Resp.Transit

/)( teKAty

KA/

0 4 t

La estabilidad viene determinada por la posición del polo, no por el tipo de entrada

U(s)=A Y(s)1s

K

10

t

y(t)

t98

0.98KA

Plano s

x1 < 2

x-1/1 -1/2

)1()( t

eKAty

4)1(98.0)(

98

98

98

teKAKAty

t

Tiempo de asentamiento (Ts): tiempo que se tarda en alcanzar y mantenerse en una banda de ±2% del valor final A mayor constante de tiempo, más lento

el sistema (cuanto más cerca esté el polo del origen más lento será el sistema)

Ts

4sT

KA

Sistemas de primer orden: entrada saltoTiempo de asentamiento o establecimiento.

U(s)=A/s Y(s)1s

K

11

)1()( t

eKAty

)1(98.0)(98

98t

eKAKAty

Tiempo de asentamiento (Ts): tiempo que se tarda en alcanzar y mantenerse en una banda de ±2% del valor final

4sT

t

y(t)

t98

0.98KA

Ts

KA


U(s)=A/s Y(s)1s

K

498 t

12

Plano s

xx-1/1 -1/2

A mayor constante de tiempo, más lento el sistema (cuanto más cerca esté el polo del origen más lento será el sistema)

t

y(t)

t98

0.98KA

1 < 2

Ts

KA


s+1=0 polo = -1/

13


14

KAeKAy

eKAtyt

632.0)1()(

)1()(1

KAdt

tyd

eKAdt

tyd

t

t

0

)(

)()(

Derivada en el origen:

1sK

U(s)=A/s Y(s)

Cuando t= el sistema ha alcanzado el 63,2% de su valor final

La pendiente de la tangente en t=0 es KA/

KA

0

63,2

%

t

0.63KA

y(t) tKA

KA

Sistemas de primer orden: entrada saltoConstante de tiempo ().

15

Tiempo que tarda el sistema en ir del 10% al 90% del valor final

KA

0

10%

t

y(t)

KA

2.2rT

90%

rT

Sistemas de primer orden: entrada saltoTiempo de subida Tr

16

11

)( 22

sKA

sKA

sAK

sA

sKsY

Y(s)1s

K

t=0 t

/

/

)(

)(t

t

eKAtKA

eKAKAKAtty

0 t

2)(sAsU

Attu )(

/)()( teKAtKAty

Respuesta transitoria

)( :0)0( :0

ytyt

Sistemas de primer orden: entrada rampa.

17

t

c

t

diC

tv

diC

tRitv

0

0

)(1)(

)(1)()(

)(1)(

)(1)()(

sICs

sV

sICs

sRIsV

c

)()( ssCVsI c

)(1

1)(

)()1()()1()(

sVRCs

sV

sVRCsssCVCs

RsV

c

cc

Función de transferencia:

)(sV )(sVc

1sK

RC

K

1

Sistemas de primer orden: ejemplo.Circuito RC

18

)(sV )(sVc

11s

t=0 t

5

v(t) cambia de repente en t=0 de 0 a 5 Voltios

v(t)

RC

La respuesta de vC(t) ante entrada escalón para varios valores de

Constante de tiempo del sistema

=1

=2=3


19

)(sV )(sVc

11s

t=0 t

5

v cambia de repente en t=0 de 0 a 5 Voltios y vuelve a bajar inmediatamente a 0 Voltios

v(t)

RC

La respuesta de vC(t) ante entrada impulso para varios valores de


=1=2

=3


20

)(sV )(sVc

11s

v cambia en t=0 gradualmente con una pendiente igual a 1.

v(t)=t

RC

La respuesta de vC(t) ante entrada rampa para varios valores de


t=0 t

=1=2

=3


21

IdentificaciónEl modelo se obtiene a partir de datos experimentales de entrada-salida del proceso

tt

YU

UY

Proceso

Modelo

22

Identificaciónt

y(t)

t

y(t)

y

t =

0.63 y

Si la respuesta desde el equilibrio a un salto u en u(t) es como la figura sistema de primer orden

Estimación de parámetros:

K = y/ u

dos métodos

u

u(t)

23

U(s) Y(s)

1sK

)()()( tKuty

dttdy

u(t)=At

t0

u(t)=A

t0

u(t)

t0Rampa Escalón Impulso

A

dtd

dtd

)1()( 2

ssKAsY )1(

)(

ssKAsY )1(

)(

sKAsY

)()( / tetKAty )1()( /teKAty

/)( teKAty

Repaso: relación entre salidas ante entradas tipo.

24

Repaso: algunos comandos de Matlab interesantes

Algunos comandos de Matlab de interés:

tfpolezerozpkimpulsesteponeszeroslsimseriesparallelfeedback

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