1

T3 – Trigonometría

Definiciones.

Las razones trigonométricas del ángulo agudo, , de un triángulo rectángulo son:

sen = cateto opuesto

hipotenusa =

a

c cosec =

hipotenusa

cateto opuesto =

c

a

cos = cateto adyacente

hipotenusa =

b

c sec =

hipotenusa

cateto adyacente =

c

b

tg = cateto opuesto

cateto adyacente =

a

b ctg =

cateto adyacente

cateto opuesto =

b

𝑎

Valores de ángulos determinados.

0º 30º 45º 60º 90º

sen x 0 1/2 √2/2 √3/2 1

cos x 1 √3/2 √2/2 1/2 0

tg x 0 √3/3 1 √3

ctg x √3 1 √3/3 0

Reducción al 1er cuadrante: Ángulos complementarios.

Dos ángulos son complementarios suman 90. Se denotan por

y 90-. La relación entre dichos ángulos es:

sen(90-) = cos

cos(90-) = sen

tg(90-) = ctg

ctg(90-) = tg

sec(90-) = cosec

cosec(90-) = sec

Ángulos suplementarios.

Dos ángulos suplementarios suman 180. Se denotan por y

180-. La relación entre dichos ángulos es:

sen(180-) = sen

cos(180-) = -cos

tg(180-) = -tg

ctg(180-) = -ctg

sec(180-) = -sec

cosec(180-) = cosec Ángulos que difieren 180º.

Dos ángulos que difieren 180 se denotan por y 180+. La relación entre dichos ángulos es:

sen(180+) = -sen

cos(180+) = -cos

tg(180+) = tg

ctg(180+) = ctg

sec(180+) = -sec

cosec(180+) = -cosec

180-

180+

90-

2

Ángulos que difieren 90º.

Dos ángulos que difieren 90 se denotan por y 90+. La relación entre dichos ángulos es:

sen(90+) = cos

cos(90+) = -sen

tg(90+) = -ctg

ctg(90+) = -tg

sec(90+) = -cosec

cosec(90+) = sec

Ángulos opuestos.

Dos ángulos son opuestos si su suma es 360. Se denotan por

y 360-. La relación entre dichos ángulos es:

sen(-) = -sen

cos(-) = cos

tg(-) = -tg

ctg(-) = -ctg

sec(-) = sec

cosec(-) = -cosec

Relaciones entre razones trigonométricas: Identidades Relaciones entre las diversas funciones trigonométricas:

sen2 + cos2 = 1

1+ctg2 = cosec2

1+tg2 = sec2

Razones trigonométricas de la suma.

sen(x+y) = senx cos y + cosx sen y

cos(x+y) = cosx cos y - senx sen y

tg(x + y) = tgx+tgy

1−tgx.tgy

Razones trigonométricas de la diferencia.

sen(x - y) = senx cos y - cosx sen y

cos(x - y) = cosx cos y + senx sen y

tg(x - y) = tgx−tgy

1+tgx.tgy

Razones trigonométricas del ángulo doble.

sen(2x) = 2 senx cos x

cos(2x) = cos2x- sen2x

tg(2x) = 2 tgx

1−tg2x

Razones trigonométricas de l ángulo mitad.

sen(x

2) = √

1−cosx

2

cos(x

2) = √

1+cosx

2

tg(x

2) = √

1−cosx

1+cosx

90+

3

Transformaciones de suma en producto.

sen x + sen y = 2 senx+y

2cos

x−y

2

sen x - sen y = 2 cosx+y

2sen

x−y

2

cos x + cos y = 2 cosx+y

2cos

x−y

2

cos x - cos y = -2 senx+y

2sen

x−y

2

Transformaciones de producto en suma.

senx cos y = 1

2 [sen(x+y) + sen(x-y)]

cos x sen y = 1

2 [sen(x+y) - sen(x-y)]

cos x cos y = 1

2 [cos(x+y) + cos(x-y)]

sen x sen y = - 1

2 [cos(x+y) - cos(x-y)]

Resolución de triángulos Teorema del seno. Si A, B y C son los tres ángulos de un triángulo y a, b, c son los tres lados opuestos respectivamente a dichos ángulos, se cumple que:

a

sen A =

b

sen B =

c

sen C

Teorema del coseno. Si A, B y C son los tres ángulos de un triángulo y a, b, c son los tres lados opuestos respectivamente a dichos ángulos, es posible demostrar el teorema del coseno: a2 = b2 + b2 –2bc cos A El teorema del coseno tiene otras dos expresiones: b2 = a2 + c2 –2ac cos B c2 = a2 + b2 –2ab cos C

Área de un triángulo. El área de un triángulo, conocidos sus lados a, b y c, es decir p = a+b+c, es igual a:

S = √p. (p − a). (p − b). (p − c)

4

Ejercicios

1. Halla las razones trigonométricas del ángulo agudo de un triángulo rectángulo sabiendo que su

hipotenusa mide 10 cm, su cateto adyacente 6 cm y su cateto opuesto 8 cm.

2. Calcula las restantes razones de α sabiendo que tg α = -√2 y que 90 < α < 180.

3. Calcula las restantes razones de α sabiendo que ctg α = √2

2 y que 180 < α < 270.

4. Halla los valores de las razones trigonométricas del ángulo de 210.

5. Halla el valor exacto de estas expresiones sin usar la calculadora:

a) cos5π

3+ tg

4π

3− tg

7π

6

b) √3cosπ

6+ sen

π

6− √2cos

π

4− 2√3 sen

π

3

6. Halla el valor exacto de estas expresiones sin usar la calculadora:

a) cosπ

6+ tg

5π

6+ cos

π

3 b) sen

5π

6− tg

π

3− sen

2π

3

7. Demuestra que se verifica la igualdad:

1 + sen 2α = 2 sen (α+ 45°) cos (α−45°)

8. Demuestra que se verifica la siguiente identidad: sen(3x)

sen(x)−

cos(3x)

cos(x) = 2

9. Demuestra que se verifica la identidad:

2 tg α.sen2 α

2 + sen α = tg α

10. Resuelve la ecuación trigonométrica:

sen 2x + cos x = 0

11. Resuelve la ecuación trigonométrica:

sen x + cos x = √2

12. Resuelve la ecuación trigonométrica: 2sen2 x + 3cos x = 3

13. Resuelve el siguiente sistema en el intervalo [0, 90]

{cos(x + y) =

1

2

sen(x − y) =1

2

14. Resuelve el siguiente sistema en el intervalo [0, 360]

{senx. cosy = 1/2 cosx. seny = 1/2

(Indicación: suma y resta ambas ecuaciones)

15. Resuelve el siguiente sistema en el intervalo [0, 360]

{sen2x + cos2y =

3

4

sen2x + sen2y =1

4

5

16. Resuelve un triángulo ABC rectángulo sabiendo que b = 3 y la hipotenusa c = 5.

17. Resuelve un triángulo ABC sabiendo que a= 41, b = 9 y c = 40.

18. Resuelve el triángulo ABC de la figura sabiendo que: a = 4, b = 5 y c = 6.

19. Resuelve un triángulo ABC sabiendo que a = 33, c = 19 y B = 48.

20. Hemos colocado un cable sobre un mástil que lo sujeta como muestra la figura. ¿Cuánto miden el mástil y el cable?

21. En una pared hay dos argollas distantes 8 m entre sí. Un niño ata cada extremode una cuerda a las argollas y se aleja de la pared hasta que la cuerda queda tensa. En ese momento, la cuerda forma ángulos de 50° y 37° con la pared.

a) ¿Cuánto mide la cuerda? b) ¿A qué distancia está el niño de la pared?

22. El faro de la figura aparece sobre un promontorio de altura desconcida sobre el mar. La altura del faro es de 50 m. y la distancia al barco desde los extremos inferior y superior es 65 y 85 m. Halla la altura del promontorio.

23. En lo alto de un edificio en construcción hay una grúa de 4 m. Desde un punto del suelo se ve el

punto más alto de la grúa bajo un ángulo de 50° con respecto a la horizontal y el punto más alto del edificio bajo un ángulo de 40° con la horizontal. Calcula la altura del edificio.

24. Un globo aerostático se encuentra sujeto al suelo, mediante dos cables de acero, en dos puntos

que distan 60 m. El cable más corto mide 80 m y el ángulo que forma el otro cable con el suelo es de 37°. Calcula:

a) La medida del otro cable. b) La distancia del globo al suelo.

25. Dos amigos están en una playa a 150 m de distancia y en el mismo plano vertical que una cometa

que se encuentra volando entre ambos. En un momento dado, uno la ve con un ángulo de elevación de 50° y el otro con un ángulo de 38°. ¿Qué distancia hay de cada uno de ellos a la cometa?

6

Solución de los ejercicios

1. Halla las razones trigonométricas del ángulo agudo de un triángulo rectángulo sabiendo que su

hipotenusa mide 10 cm, su cateto adyacente 6 cm y su cateto opuesto 8 cm. Solución: Sabemos que b = 6, a = 8, c = 10, luego:

sen = c

a=

8

10 = 0,8 cos =

c

b=

610

= 0,6

tg = b

a =

8

6 = 1,33 ctg =

a

b=

6

8 = 0,75

2. Calcula las restantes razones de α sabiendo que tg α = -√𝟐 y que 90 < α < 180. Solución: Al ser un ángulo del 2º cuadrante son negativas todas las razones salvo el seno y cosecante. La cotangente la hallamos como la inversa de la tangente:

ctg = 1

tg ∝ = −

1

√2 = −

√2

2

El coseno lo obtenemos dividiendo la ecuación fundamental de la Trigonometría por coseno y despejamos la expresión obtenida:

sen2 + cos2 = 1 tg2 ∝ +1 =1

cos2∝

cos2 = 1

tg2∝+1 cos2 =

1

2+1 =

1

3 cos = −

1

√3 = −

√3

3

Determinamos la secante a partir del coseno:

sec = 1

cos ∝ =

1

− √3

3

= −3

√3 = −

3√3

3 = −√3

De la ecuación fundamental de la Trigonometría despejamos sen :

sen2 + cos2 = 1 sen2 = 1 - cos2 sen2 = 1 - 1

3 =

2

3 sen = √

2

3=

√6

3

Determinamos la cosecante a partir del seno:

cosec = 1

sen ∝ = √

3

2=

√6

2

3. Calcula las restantes razones de α sabiendo que ctg α = √2

2 y que 180 < α < 270.

Solución: Al ser un ángulo del 3º cuadrante son negativas todas las razones salvo el tangente y cotangente. La tangente la hallamos como la inversa de la cotangente y racionalizando la expresión obtenida:

tg = 1

tg ∝ =

1

√2/2 =

2

√2 =

2√2

2 = √2

El seno lo obtenemos dividiendo la ecuación fundamental de la Trigonometría por seno y despejando la expresión obtenida:

sen2 + cos2 = 1 1 + 𝑐tg2 ∝ = 1

sen2∝

sen2 = 1

1+ctg2∝ sen2 =

1

1+1/2 =

1

3/2 =

2

3 sen = −√

2

3 = −

√6

3

7

Determinamos la cosecante a partir del seno:

cosec = 1

cos ∝ =

1

− √6

3

= −3

√6 = −

3√6

6 = −

√6

2

De la ecuación fundamental de la Trigonometría despejamos cos :

sen2 + cos2 = 1 cos2 = 1 - sen2 cos2 = 1 - 2

3 =

1

3 cos = −√

1

3 = −

√3

3

Determinamos la secante a partir del coseno:

sec = 1

cos ∝ = -√3

4. Halla los valores de las razones trigonométricas del ángulo de 210. Solución:

sen (210) = sen(180+30) = -sen(30) = - 12

cos (210) = cos(180+30) = -cos(30) = -√3

2

tg (210) = tg(180+30) = tg(30) = √3

3

ctg (210) = ctg(180+30) = ctg(30) = √3

5. Halla el valor exacto de estas expresiones sin usar la calculadora:

a) 𝐜𝐨𝐬𝟓𝛑

𝟑+ 𝐭𝐠

𝟒𝛑

𝟑− 𝐭𝐠

𝟕𝛑

𝟔

b) √𝟑𝐜𝐨𝐬𝛑

𝟔+ 𝐬𝐞𝐧

𝛑

𝟔− √𝟐𝐜𝐨𝐬

𝛑

𝟒− 𝟐√𝟑 𝐬𝐞𝐧

𝛑

𝟑

Solución:

a) cos5π

3+ tg

4π

3− tg

7π

6 =

1

2+ √3 −

√3

3 =

1

2+

2√3

3 =

3+4√3

6

b) √3cosπ

6+ sen

π

6− √2cos

π

4− 2√3 sen

π

3 = √3.

√3

2+

1

2− √2.

√2

3− 2√3 .

√3

2 =

3

2+

1

2 - 1 - 3 = -2

6. Halla el valor exacto de estas expresiones sin usar la calculadora:

a) 𝐜𝐨𝐬𝛑

𝟔+ 𝐭𝐠

𝟓𝛑

𝟔+ 𝐜𝐨𝐬

𝛑

𝟑 b) 𝐬𝐞𝐧

𝟓𝛑

𝟔− 𝐭𝐠

𝛑

𝟑− 𝐬𝐞𝐧

𝟐𝛑

𝟑

Solución: a)

Sustituimos valores:

cos

π

6+ tg

5π

6+ cos

π

3 =

√3

2−

√3

3+

1

2 =

3√3−3√3+3

6 =

√3+3

6

b)

Sustituimos valores:

sen

5π

6− tg

π

3− sen

2π

3 =

1

2−

√3

3−

√3

2 =

3−2√3−3√3

6 =

3−5√3

6

7. Demuestra que se verifica la igualdad:

1 + sen 2α = 2 sen (α+ 45°) cos (α−45°)

Solución: Aplicamos las fórmulas del seno y coseno de una suma 2 sen (α+ 45°) cos (α−45°) = 2(senα⋅ cos 45°+cosα⋅ sen 45°)(cosα⋅ cos 45°+senα⋅ sen 45°) = Sustituimos los valores de cos 45° y sen 45° y efectuamos factor común:

8

= 2(senα⋅√2

2 +cosα⋅

√2

2 ).(cosα⋅

√2

2 +senα⋅

√2

2 ) = 2.

√2

2 √2

2.(senα⋅ +cosα).(cosα+senα)

Multiplicamos las expresiones obtenidas y usamos las formulas del ángulo doble: sen2α+2 senα.cosα+cos2α = cos2α + sen2α + 2senα.cosα = 1+sen 2α

8. Demuestra la siguiente identidad: 𝐬𝐞𝐧(𝟑𝐱)

𝐬𝐞𝐧(𝐱)−

𝐜𝐨𝐬(𝟑𝐱)

𝐜𝐨𝐬(𝐱) = 2

Solución: Reducimos a común denominador la expresión: sen(3x)

sen(x)−

cos(3x)

cos(x) =

sen(3x).cos(x)−cos(3x).sen(x)

sen(x).cos(x)

aplicamos las fórmulas de la diferencia de dos ángulos: sen(3x).cos(x)−cos(3x).sen(x)

sen(x).cos(x) =

sen(3x−x)

sen(x).cos(x) =

sen(2x)

sen(x).cos(x)

aplicamos las fórmulas del seno del ángulo doble:

sen(2x)

sen(x).cos(x) =

2 sen(x).cos(x)

sen(x).cos(x) = 2

con lo que queda demostrada la identidad

9. Demuestra que se verifica la igualdad:

2 tg α.sen2 𝛂

𝟐 + sen α = tg α

Solución:

Sustituimos en la expresión anterior utilizando la fórmula del ángulo mitad sen2 α

2 =

1 – cos α

2 :

2 tg α.sen2 α

2 + sen α = 2 tg α.

1 – cos α

2 + sen α

Sustituimos tangente como cociente de seno y coseno y sacamos sen α como factor común:

2 tg α.sen2 α

2 + sen α =

sen α

cos α. (1 - cos α).sen α = sen α (

1−cos α

cos α+ 1)

Hallamos común denominador y efectuamos la diferencia indicada:

2 tg α.sen2 α

2 + sen α = sen α (

1−cos α+cos α

cos α) = sen α (

1

cos α)

Efectuamos la operación indicada y aplicamos la definición de tangente:

2 tg α.sen2 α

2 + sen α =

sen α

cos α = tg α

10. Resuelve la ecuación trigonométrica:

sen 2x + cos x = 0 Resolución: Aplicando la fórmula del seno del ángulo doble: 2 senx cosx + cos x = 0 Sacando factor común cos x:

cos x (2senx +1 ) = 0 {cos x = 0

2senx + 1 = 0

La primera de las ecuaciones tiene como solución:

cos x = 0 x = 90 + 180K La segunda de las ecuaciones es:

9

2sen x +1 = 0 sen x = -1

2 x = {

x = 210° + 360°Kx = 330° + 360°K

11. Resuelve la ecuación trigonométrica:

sen x + cos x = √𝟐

Solución: Expresamos cos x en función de sen x y elevamos al cuadrado la ecuación obtenida:

sen x + √1−𝑠en2𝑥 = √2 √1−𝑠en2𝑥 = √2 - sen x 1 - sen2x = 2+ sen2x - 2√2 sen x Reordenamos y obtenemos una ecuación de 2º grado con variable sen x:

2 sen2x - 2√2 sen x+1 = 0 Con soluciones:

sen x = 2√2±√8−8

4 =

2√2

4 =

√2

2

Por lo tanto:

x = 45+360.K solución válida

x = 135+360.K solución no válida

12. Resuelve la ecuación trigonométrica: 2sen2 x + 3cos x = 3

Solución: Aplicando la fórmula fundamental del Álgebra expresamos sen x en función de cos x:

sen2 x + cos2 x = 1 sen2 x = 1-cos2 x Sustitumos en la ecuación y desarollamos la expresión obtenida:

2(1-cos2 x) + 3cos x = 3 2 -2cos2 x + 3cosx = 3 Reordenamos y obtenemos una ecuación de 2º grado con variable cos x: 2cos2 x - 3cosx + 1 = 0 con soluciones:

cos x = 3±√9−8

4 =

3±1

4 = {

11/2

Por lo tanto:

cos x = 1 x1 = 0+ 360.K, solución válida

cos x = 1

2 x2 = 60+360.K solución válida

x3 = -60+360.K o 300+360.K solución válida

13. Resuelve el siguiente sistema en el intervalo [0, 90]

{𝐜𝐨𝐬(𝐱 + 𝐲) = 𝟏/𝟐 𝐬𝐞𝐧(𝐱 − 𝐲) = 𝟏/𝟐

Solución: Como me piden soluciones en el primer cuadrante, teniendo en cuenta los valores de las razones

trigonométricas de los ángulo de 30 y 60:

{x + y = 60° x − y = 30°

Sumamos ambas ecuaciones:

2x = 90° x = 45° Sustituyendo en la primera ecuación y despejando:

10

y = 60° – x = 60° – 45° = 15° La solución pedida es (45°, 15°)

14. Resuelve el siguiente sistema en el intervalo [0, 360]

{𝐬𝐞𝐧𝐱. 𝐜𝐨𝐬𝐲 = 𝟏/𝟐 𝐜𝐨𝐬𝐱. 𝐬𝐞𝐧𝐲 = 𝟏/𝟐

Resolución: Sumando y restando la 2ª ecuación de la 1ª:

{senx. cosy + cosx. seny = 1 cosx. seny − cosx. seny = 0

Que aplicando las razones trigonométricas de sumas y diferencias da lugar al sistema:

{sen(x + y) = 1 sen(x − y) = 0

Es decir:

{x + y = 90° x − y = 0°

Sumando y restando ambas ecuaciones:

2x = 90 x = 45

2y = 90 y = 45

15. Resuelve el sistema de ecuaciones trigonométricas:

{𝐬𝐞𝐧𝟐𝐱 + 𝐜𝐨𝐬𝟐𝐲 =

𝟑

𝟒

𝐬𝐞𝐧𝟐𝐱 + 𝐬𝐞𝐧𝟐𝐲 =𝟏

𝟒

Solución: Restando la 2ª ecuación de la 1ª:

cos2y - sen2y = 1

2 cos(2y) =

1

2

con solución:

2y =

K360300

K36060 y =

K180150

K18030

Sustituyendo valores en la 1ª ecuación:

sen2x - 3

4 =

𝟑

𝟒 sen2x = 0 sen x = 0

con solución: x = 90 + 180K 16. Resuelve un triángulo ABC rectángulo sabiendo que b = 3 y la hipotenusa c = 5.

Solución: El cateto conocido es b y la hipotenusa c:

El cateto a:

a = √52 − 32 = √16 = 4

El ángulo A:

A = arc cos 4

5 A = 53 8'

El ángulo B:

B = arc sen 3

5 B = 36 52'

c =5

b= 3

a

B

C A

11

17. Resuelve un triángulo ABC sabiendo que a= 41, b = 9 y c = 40. Solución: De la ecuación del coseno a2 = b2 + c2 – 2bc.cos A:

cos A = b2+c2−a2

2bc =

92+402−412

2.9.40 = 0 A = 90

De la ecuación del coseno b2 = a2 + c2 – 2ac.cos B:

cos B = a2+c2−b2

2ac =

412+402−92

2.40.41 = 0,9756

B = 12 41

Como la suma de los ángulos de un triángulo son 180

C = 180- (A+B) = 180- (90+12 40 58”) = 77 19 18. Resuelve el triángulo ABC de la figura sabiendo

que a= 4, b = 5 y c = 6. Solución:

El ángulo A se halla con el teorema del coseno:

cos A = b2+c2−a2

2bc =

52+6−42

2.5.6 =

= 45

60 = 0,75

A = arc cos(0,75) A = 41 25'

El ángulo B:

B sen

5

)25'sen(41

4

sen B = .0,66

4

5= 0,825

B = arc sen(0,825) B = 55 35'

El ángulo C:

C = 180-(41 25' + 55 35') C = 83

19. Resuelve un triángulo ABC sabiendo que a = 33, c = 19 y B = 48. Solución: De la ecuación del coseno b2 = a2 + c2 – 2ac.cos B:

b2 = 332 + 192 – 2.33.19.cos 48= 610,9 b = 24,72cm Hallamos A aplicando asimismo el teorema del coseno: a2 = b2 + c2 – 2bc.cos A:

cos A = b2+c2−a2

2bc =

24,722+192−332

2.24,72.19 = -12,45

A = 979’

Como la suma de los ángulos de un triángulo son 180

C = 180- (A+B) = 180- (979’+48) = 34 51

12

20. Hemos colocado un cable sobre un mástil que lo sujeta como muestra la figura. ¿Cuánto miden el mástil y el cable? Solución: Como tenemos dos triángulos rectángulos:

tg 45 = b

x x =

b

tg 45° =

b

1 = b

tg 30 = b

20−x 20-x =

b

tg 30° =

b

√3/3

Sustituyendo el valor de x obtenido en la primera ecuación:

20-b = b

√3/3 20-b =√3b b =

20

1+√3 = 7,32 m

El mástil mide 7,32 metros. Para hallar cuánto mide le cable Sustituimos valores en el triángulo rectángulo de la izquierda de la figura adjunta.

sen 45 = b

a a =

b

sen 45° =

7,32

√2/2 = 10,35 m.

sen 30 =b

d d =

b

sen 30° =

7,32

1/2 = 14,64 m.

El cable mide a+d 30 m.

21. En una pared hay dos argollas distantes 8 m entre sí. Un niño ata cada extremode una cuerda

a las argollas y se aleja de la pared hasta que la cuerda queda tensa. En ese momento, la cuerda forma ángulos de 50° y 37° con la pared. a) ¿Cuánto mide la cuerda? b) ¿A qué distancia está el niño de la pared?

Solución: a) La altura del lado conocido divide al triángulo inicial en dos triángulos rectángulos. Aplicamos la definición de tangente en los ángulos conocidos y formamosun sistema de ecuaciones.

{tg 50° =

h

x

tg 37° =h

8−x {

h = x. tg 50°

h = (8 − x). tg 37°

Que resolvemos por igualación:

x.tg 50 = (8-x) .tg 37 x = 8.tg 37°

tg 37°+tg 50° = 3,1 m

Calculamos la longitud de la cuerda:

sen 50° = 3,69

c c = 3,69.sen 50° = 4,82 m

sen 37 = 3,69

b b = 3,69.sen 37° = 6,13 m

Sumamos los valores de los pedazos: 4,82+6,13=10,95m La cuerda mide 10,95 m. b) Sustituyendo en la 1º ecuación:

h = 3,1.tg50° = 3,69m El niño está a una distancia de 3,69 m de la pared.

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22. El faro de la figura aparece sobre un promontorio de altura desconcida sobre el mar. La altura del faro es de 50 m. y la distancia al barco desde los extremos inferior y superior es 65 y 85 m. Halla la altura del promontorio. Solución: Para hallar la altura del promontorio suponemos que el barco está en la horizontal de su base. A continuación resolvemos el triángulo superior de la figura adjunta, aplicando el Teorema del coseno: c2 = a2+b2-2ab cos C

cos C =a2+b2−c2

2ab =

652+502−852

2ab = -0,077

C = arc cos (-0,07) C = 94 25' Y el ángulo correspondiente a D será:

D = 180 - 94 25' D = 85 35' Para hallar el valor de la altura aplicamos la fórmula trigonométrica del coseno al ángulo D en el triángulo inferior.

cos D = h

a

a

h h = a .cos D = 65. Cos (85 35') = 5 h = 5 metros.

23. En lo alto de un edificio en construcción hay una grúa de 4 m. Desde un punto del suelo se ve

el punto más alto de la grúa bajo un ángulo de 50° con respecto a la horizontal y el punto más alto del edificio bajo un ángulo de 40° con la horizontal. Calcula la altura del edificio.

Solución: Tal como se ve en la figura podemos considerar dos triángulos rectángulos. Aplicamos la definición de tangente en los ángulos conocidos y formamosun sistema de ecuaciones.

{tg 40° =

h

x

tg 50° =h+4

x {

h = x. tg 40° x. tg 50° = h + 4

Sustituyendo la altura definida en la primera ecuación en la segunda:

x.tg 50 = x.tg 40+4 x = 4

tg 50°−tg 40° = 11,34 m

Volviendo a sustituir en la primera ecuación:

h = 11,34.tg 40 = 9,52 m La altura del edificio es 9,52 m.

24. Un globo aerostático se encuentra sujeto al suelo, mediante dos cables de acero, en dos puntos

que distan 60 m. El cable más corto mide 80 m y el ángulo que forma el otro cable con el suelo es de 37°. Calcula.

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a) La medida del otro cable. b) La distancia del globo al suelo.

Solución: a) Aplicamos el teorema del seno para calcular la medida del otro cable:

c

sen C =

a

sen A

60

sen C =

80

sen 37° sen C = 0,4514

C = 26 50

Como la suma de los ángulos de un triángulo son 180

B = 180- (A+C) = 180- (90+26 50) B = 116 10' Aplicando el teorema del seno nuevamente:

b

sen B =

a

sen A

b

sen 116° 10´ 8” =

80

sen 37° b = 119,31 m

La medida del otro cable es 119,31 m. b) Calculamos la distancia del globo al suelo:

sen 37 = ℎ

119,31 h = 71,8 m

El globo está a 71,8 m de altura.

25. Dos amigos están en una playa a 150 m de distancia y en el mismo plano vertical que una

cometa que se encuentra volando entre ambos. En un momento dado, uno la ve con un ángulo de elevación de 50° y el otro con un ángulo de 38°. ¿Qué distancia hay de cada uno de ellos a la cometa?

Solución: Consideremos el triángulo de la figura adjunta, donde C es el ángulo que forma la cometa con ambos amigos. Como la suma

de ángulos de un triangulo es de 180:

C = 180- (A+B) = 180-(50°+38°) = 92° Aplicamos el teorema del seno para calcular la distancia entre el amigo situado en B y el cometa:

c

sen C =

a

sen A

150

sen 92° =

a

sen 50° a = 114,98m

Aplicando el teorema del seno nuevamente para calcular b:

b

sen B =

csen C

b

sen 38° =

150

sen 92° b = 92,41 m

Las distancias de ambos amigos a la cometa son 114,98 m y 92,41 m, respectivamente.