Grupo 100402_146Luis Fernando Muriel Delgado

Código 80227496Juan Miguel RubioCódigo 79672257

EJERCICIOS UNIDAD 2

EJERCICIO 1 TEMA: VARIABLE ALEATORIA DISCRETAPropuesto por: Luis Fernando Muriel DelgadoEnunciado:Esta es una tabla en la que se muestran los resultados del lanzamiento de un par de dados y la variable aleatoria que representa la suma de las caras.

ResultadoValor de la variable

aleatoriaNúmero de ocurrencias

Probabilidad

(1,1) 2 1 1/36(1,2),(2.1) 3 2 2/36(1,3),(2,2),(3,1) 4 3 3/36(1,4),(2,3),(3,2),(4,1) 5 4 4/36(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) 6 5 5/36(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) 7 6 6/36(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) 8 5 5/36(3,6),(4,5),(5,4),(6,3) 9 4 4/36(4,6),(5,5),(6,4) 10 3 3/36(5,6),(6,5) 11 2 2/36(6,6) 12 1 1/36

Considere el lanzamiento de los dados. Si X es la variable aleatoria que representa la suma de las caras, ¿la función de probabilidad de X es:

0 para cualquier otro valor

a). Evaluar la función de distribución acumulativa de X (Ejercicio No. 1 Tomado de Canavos G. (1988) Probabilidad y Estadística. McGraw-Hill. México).

Solución:

F (1) = P(X ≤ 1) = 0F (2) = P(X ≤ 2) = 1/36F (3) = P(X ≤ 3) = 3/36F (4) = P(X ≤ 4) = 6/36F (5) = P(X ≤ 5) = 10/36F (6) = P(X ≤ 6) = 15/36F (7) = P(X ≤ 7) = 21/36F (8) = P(X ≤ 8) = 26/36F (9) = P(X ≤ 9) = 30/36F (10)= P(X ≤ 10)= 33/36F (11)= P(X ≤ 11)= 35/36F (12)= P(X ≤ 12)= 1

EJERCICIO 2 TEMA: VARIABLE ALEATORIA DISCRETAPropuesto por: Juan Miguel RubioEnunciado:Un total de 4 buses que transportan 148 estudiantes llega a un estadio de football Los buses llevan respectivamente: 40, 33, 25, y 50 estudiantes.Uno de los estudiantes es seleccionado aleatoriamente. Dejar X que denote el número de estudiantes que estuvieron en el bus donde fue transportado el estudiante que fue seleccionado. Calcular E [X]. (Ejercicio No. 2 Tomado de Sheldon Ross. A first course in probability)

Solución:Entonces tenemos:

Número de Estudiantes

Bus #1: --------- 40Bus #2:---------- 33Bus #3:---------- 25Bus #4:---------- 50____________________________________Total de estudiantes 148

Ahora calculamos E [X],

P{x = 40} = 40/148

P{x = 33} = 33/148

P{x = 25} = 25/148

P{x = 50} = 50/148

Entonces:

E [X]= (40)(40/148) + (33)(33/148) + (25)(25/148) + (50)(50/148)

E[X]= (1600 + 1089 + 625 + 2500) / 148

E[X]= (5814 / 148) = 39.28

EJERCICIO 3 TEMA: VARIABLE ALEATORIA CONTINUAPropuesto por: Luis Fernando Muriel DelgadoEnunciado:La variable aleatoria que representa la proporción de accidentes automovilísticos fatales en Estados Unidos, tiene la siguiente función de densidad:

¿Cuál es la probabilidad de que no más del 25% de los accidentes automovilísticos sean fatales? En otras palabras, ¿Cuál es P[X ≤ 0.25]?(Ejercicio No. 3 Tomado de Canavos G. (1988) Probabilidad y Estadística. McGraw-Hill. México).

Solución:

La función f(x) es una densidad de probabilidad dado que:

Cuando la variable aleatoria X es 1/4, la función de densidad es f(1/4) = 2.4917. Entonces la función de distribución acumulativa es:

La probabilidad de que la proporción de accidentes automovilísticos fatales sea menor del 25% es:

EJERCICIO 4 TEMA: VARIABLE ALEATORIA CONTINUAPropuesto por: Juan Miguel RubioEnunciado:Dejar X que denote una variable aleatoria continua con una función de densidad de probabilidad dada de la siguiente manera:

F(x) == C (1 - X²) -1 < X < 1

0 otherwise

a-cuál es el valor de C ?b- encontrar P{ X> 1/2} (Ejercicio No. 4 Tomado de Sheldon Ross. A first course in probability)

Solución:

a- entonces por ser F una función de densidad de probabilidad, tenemos que:

ʃ F(x)dx = 1 , (ʃentre (-∞ y ∞) ) por definición.

Entonces:

C ʃ (1- X²) dx = 1 ( ʃentre -1 y 1)

C [ 2- (1/3 + 1/3)] = 1

C [ (4/3)] = 1

C= ¾

b- Encontrar P{ X>1/2}, entonces tenemos:

P{X>1/2} = ʃF(x)dx , (ʃentre ½ y ∞) == ʃF(x)dx, (ʃentre ½ y 1)

Entonces:

P{X>1/2} = ʃ C(1-X²)dx , (ʃ entre ½ y 1)

= ʃ (3/4) (1-X²)dx, (ʃentre ½ y 1)

= ¾ [ (1- ½ )- (1/3 – 1/24)]

Evaluando todas las integrales tenemos:

P{X>1/2} = (5)/(32)

EJERCICIO 5 TEMA: DISTRIBUCIÓN BINOMIALPropuesto por: Luis Fernando Muriel DelgadoEnunciado:Todos los días se seleccionan, de manera aleatoria, 15 unidades de un proceso de manufactura con el propósito de verificar el porcentaje de unidades defectuosas en la producción. Con base en información pasada, la probabilidad de tener una unidad defectuosa es de 0.05. La gerencia ha decidido detener la producción cada vez que una muestra de 15 unidades tenga dos más defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que en, cualquier día, la producción se detenga?(Ejercicio No. 5 Tomado de Canavos G. (1988) Probabilidad y Estadística. McGraw-Hill. México).

Solución:

Como esta es una situación de la distribución binomial, podemos suponer que las 15 unidades que se seleccionan al día, constituyen un conjunto de ensayos independientes de manera tal que la probabilidad de tener una unidad defectuosa es 0.05 entre ensayos. Sea X el número de unidades defectuosas que se encuentran entre las15. Para n = 15 y p = 0.05, la probabilidad de que la producción se detenga es igual a la probabilidad de que X sea igual o mayor que 2. De esta manera tenemos lo siguiente:

La probabilidad de que en cualquier día la producción se detenga es de 0.1709.

EJERCICIO 6 TEMA: DISTRIBUCIÓN BINOMIALPropuesto por: Juan Miguel RubioEnunciado:La variable aleatoria X tiene una distribución binomial con n=10 y p=0.01.Calcule las probabilidades siguientes:

a) P(X = 5)

b) P(X ≤ 2)

c) P(X ≥ 9)(Ejercicio No. 6 Tomado de Douglas Montgomery & Runger. Probabilidad y Estadística).

Solución:

a) P(X = 5)

F( X; p, n ) = ( n ) ( x ) P^x (1-p)^(n-x), para x=0,1,2,3…,m Ahora: P(X=5) = ( 10 ) ( 5 ) ((0.01)^5) (0.99)^(5) = (252)(1x10^(-10))(0.951) = 0.000000023 = 2.3 x 10^(-8) b) P (X≤2)

P (X≤2) = ( 10 ) ( 10 ) ( 0 ) ((0.01)^(0)) (1-0.01)^(10) + ( 1 ) (0.01)(0.99)^(9) + ( 10 ) ( 2 ) (0.01)^(2)(0.99)^(8) == 0.999 c) P ( X ≥ 9 )

P ( X ≥ 9 ) = 1 - P(X < 9) =1 - Ʃ( de X=0 hasta X=8) ( 10 ) ( X )(0.01)^(X)(0.99)^((10-X))Ahora tenemos:( 10 )( 0 ) (0.01)^(0) (0.99)^(10) === 0.9043

( 10 )( 1 ) (0.01)^(1) (0.99)^(9) === 0.09135

( 10 )( 2) (0.01)^(2) (0.99)^(8) === 0.00415

( 10 )( 3 ) (0.01)^(3) (0.99)^(7) === 0.00011

( 10 )( 4 ) (0.01)^(4) (0.99)^(6) === 0.000001976

( 10 )( 5 ) (0.01)^(5) (0.99)^(5) === 0.000000023

( 10 )( 6 ) (0.01)^(6) (0.99)^(4) === 2.016 x 10^(-10)

( 10 )( 7 ) (0.01)^(7) (0.99)^(3) === 1.164 x 10^(-12)

( 10 )( 8 ) (0.01)^(8) (0.99)^(2) === 4.41 x 10^(-15)

Finalmente sumamos todos valores y obtenemos que :

P ( X ≥ 9 ) = 1 - P(X < 9) === 9.91 x 10^(-18)

EJERCICIO 7 TEMA: DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA Y GEOMETRICAPropuesto por: Luis Fernando Muriel DelgadoEnunciado:En un examen en el que se va haciendo preguntas sucesivas, para aprobar hay que contestar correctamente a 10 preguntas. Suponiendo que el alumno sepa el 80% de las respuestas, ¿cuál es la probabilidad de que apruebe en las 12 primeras preguntas?(Ejercicio No. 7 Tomado de Canavos G. (1988) Probabilidad y Estadística. McGraw-Hill. México).

Solución:

Definimos la v.a. X = número de fallos antes del décimo éxito, si el éxito es contestar bien a una pregunta, la probabilidad de éxito es p = 0,8.La distribución de X será entonces una binomial negativa de parámetros 10 y 0,8. Entonces la probabilidad que se nos pide será la misma que la v.a X sea 2:

= 0,2362232

EJERCICIO 8 TEMA: DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA Y GEOMETRICAPropuesto por: Juan Miguel RubioEnunciado:Suponga que X es una variable aleatoria binomial negativa con p= 0.2 y r =4Entonces, calcule lo siguiente:

a) la media de X

b) P(X=20)

c) P(X=19)

d) P(X=21)(Ejercicio No. 8 Tomado de Douglas Montgomery & Runger. Probabilidad y Estadística).

Solución:

a) la media de X es:

μ(x) = E(x) = r / p = 4 / 0.2 = 20

b) P(X=20)

P(X=20) = ( 20 – 1 ) ( 4 – 1 ) (1—(0.2))^(16) (0.2)^(4) ==(969)(0.8)^(16) (0.0016)

= 0.04363

c) P(X=19)

P(X=19) = ( 19 – 1 )

( 4 – 1 ) (1—(0.2))^(15) (0.2)^(4) ==(816)(0.0351)(0.0016) == 0.04593Por tanto : P(X=19) = 0.04593

d) P(X=21)

P(X=19) = ( 21 – 1 ) ( 4 – 1 ) (1—(0.2))^(17) (0.2)^(4) == (1140)(0.0225)(0.0016)

== 0.04107

EJERCICIO 9 TEMA: DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICAPropuesto por: Luis Fernando Muriel DelgadoEnunciado: Considérese un fabricante de automóviles que compra los motores a una compañía donde se fabrican bajo estrictas especificaciones. El fabricante recibe el lote de 40 motores. Su plan para aceptar el lote consiste en seleccionar 8, de manera aleatoria y someterlos a prueba. Si encuentra que ninguno de los motores presenta serios defectos, el fabricante acepta el lote; de otra forma lo rechaza. Si el lote contiene dos motores con serios defectos, ¿cuál es la probabilidad de que sea aceptado?(Ejercicio No. 9 Tomado de Canavos G. (1988) Probabilidad y Estadística. McGraw-Hill. México).

Solución:

Sea X el número de motores defectuosos en la muestra. Para N = 40, n = 8, y k=2, la probabilidad de que el lote sea aceptado es:

Entonces el lote de 40 motores tiene una probabilidad menor de 2/3 de ser aceptado si tiene 2 motores defectuosos.

EJERCICIO 10 TEMA: DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICAPropuesto por: Juan Miguel RubioEnunciado:Suponga que X tiene una distribución hipergeometrica con N=100, n = 4, y k = 20

Calcule lo siguiente:

a) P(X=1)b) P(X=6)c) P(X=4)(Ejercicio No.10 Tomado de Douglas Montgomery & Runger. Probabilidad y Estadística).

Solución:

a) P(X=1)

( 20 ) (100 – 20) ( 1 ) ( 4 – 1 ) 1.643.200 P(X=1) = --------------------------- == --------------------------- == 0.419052 ( 100 ) 3.921.225 ( 4 )

Recordando esto : ( 100 ) 100 ! ( ) = --------------------------- ( 4 ) 4 ! (100 – 4) ! ( 20 ) (100 – 20) ( 6 ) ( 4 – 6 ) (38760) / ( 1/(--13284))b) P(X=6) = --------------------------- == -------------------------------- ( 100 ) 3921225 ( 4 ) == --0.000000744

( 20 ) ( 100—20 ) ( 4 ) ( 4 – 4 ) 4845c) P(X=4) = ----------------------------- == ---------------------------------- ( 100 ) 3921225 ( 4 )

== 0.001235

EJERCICIO 11 TEMA: DISTRIBUCION UNIFORME DISCRETA Y UNIFORME CONTINUAPropuesto por: Luis Fernando Muriel DelgadoEnunciado:Dow Chemical produce un fertilizante inorgánico para césped, para aquellos quienes fertilizan su pasto en casa, de manera que lo puedan podar con más frecuencia. Este tipo de fertilizante se vende en bolsas con un peso uniformemente distribuido, con una media de 25 libras y un rango de 2.4 libras. Harry homeowner necesita 23 libras para fertilizar su césped, pero duda si comprar solo una bolsa ya que se desvía de las 25 libras en un rango de 2.4. También tiene curiosidad sobre la probabilidad de comprar una bolsa con más de 25.5 Libras.(Ejercicio No. 11 Tomado de Canavos G. (1988) Probabilidad y Estadística. McGraw-Hill. México).

Solución:

Si las bolsas tienen un promedio de 25 libras sobre un rango de 2,4 libras, entonces la mitad de ese rango, o sea 1,2 libras debe estar por debajo de 25 libras y la otra mitad por encima de 25 libras.Entonces el peso mínimo será 25 – 1,2 = 23,8 libras y el peso máximo será de 25 + 1,2 = 26,2 libras. Entonces la probabilidad de seleccionar una sola bolsa que contenga entre 25,5 y 26,2 libras es:

EJERCICIO 12 TEMA: DISTRIBUCION UNIFORME DISCRETA Y UNIFORME CONTINUAPropuesto por: Juan Miguel RubioEnunciado:En un proceso de recubrimiento se toman varias mediciones del espesor, hasta la centésima de milímetro más cercana.Las mediciones están distribuidas de manera uniforme, con los valores siguientes:

0.150.160.17

0.180.19Ahora, para este proceso calcule la media y la varianza del espesor del recubrimiento.(Ejercicio No.12 Tomado de Douglas Montgomery & Runger. Probabilidad y Estadística).

Solución:

La media:

0.15 + 0.16 + 0.17 + 0.18 + 0.19 0.85μ (x) = ------------------------------------------------------------- == ------------ = 0.17 (5) 5 Su varianza: ( ( ( (b – a) + 1)² -- 1)) Var(x)² == ---------------------------------------- (12) Entonces, tenemos:

El intervalo ( a , b) = (0.15 , 0.19 ) es decir : ( 0.15 ≤ X ≤ 0.19 )

Por esto: ( (0.19 – 0.15 + 1)² -- 1) 0.0816 Var(x) = ------------------------------- == ------------------- (12) 12

Var(x) == 0.0068

EJERCICIO 13 TEMA: DISTRIBUCIÓN DE POISSONPropuesto por: Luis Fernando Muriel DelgadoEnunciado:A una estación de gasolina llegan en el horario de mayor demanda un promedio de 5 vehículos que requieren servicio adicional como limpieza de vidrios, revisión de nivel de aire, agua, aceite, etc.Calcular las siguientes probabilidades:a) De que 3 vehículos necesiten servicio adicional en cualquiera de las horas de

mayor demanda.b) De que 8 vehículos requieran servicio adicional en 2 horas consecutivas.

(Ejercicio No. 13 Tomado de Canavos G. (1988) Probabilidad y Estadística. McGraw-Hill. México).

Solución:

Dado que la función de densidad para calcular la distribución de Poisson es:

Entonces:

a) Para X =3 ; = 5 ; e= 2.718

Hay una probabilidad del 14% de que 3 vehículos necesiten servicio adicional en cualquiera de las horas de mayor demanda.

b) Para

Hay una probabilidad de 11.27% de que 8 vehículos requieran servicio adicional en dos horas consecutivas.

EJERCICIO 14 TEMA: DISTRIBUCIÓN DE POISSONPropuesto por: Juan Miguel RubioEnunciado:Suponga que X tiene una distribución de poisson con media 0.4 = μ,Calcule entonces, las siguientes probabilidades:

a) P( X=0 )

b) P( X≤2 )

c) P( X=4 )

d) P( X=8 )(Ejercicio No.14 Tomado de Douglas Montgomery & Runger. Probabilidad y Estadística).

Solución:

Entonces, μ(x) = E(x) = 0.4

( ℮ ^ (--0.4)).(0.4)^(0) (℮^(--0.4)).(1)a) P( X=0 ) = -------------------------------- = -----------------------------== 0.6703 0 ! 1

(℮^(--0.4)). (0.4)^4 (℮^(--0.4)). (0.0256) c) P( X=4 ) = -------------------------------- = ------------------------------== 0.000715 4 ! 24

(℮^(--0.4)). (0.4)^8 (0.00065536) d) P( X=8 ) =-------------------------------- = ------------------------------== 1x 10^(-8) 8 ! (40320)(1.4918)

b) P( X≤2 ) (de i=0 hasta i=2) Ʃ ℮^(--0.4). (0.4)^i P( X≤2 ) = --------------------------------------------------------- i !

℮^(--0.4). (0.4)^(0) ℮^(--0.4). (0.4)^(1) ℮^(--0.4). (0.4)^(2) = ------------------------- + --------------------------- + --------------------------- 0 ! 1 ! 2 ! = 0.6703 + 0.2681 + 0.0536 == 0.992

EJERCICIO 15 TEMA: DISTRIBUCIÓN NORMALPropuesto por: Luis Fernando Muriel DelgadoEnunciado:Supóngase que el diámetro externo de cierto tipo de cojinetes se encuentra, de manera aproximada, distribuido normalmente con media igual a 3.5 cm y desviación estándar igual a 0.02 cm. Si el diámetro de estos cojinetes no debe ser

menor de 3.47 cm ni mayor de 3.53 cm, ¿cuál es el porcentaje de cojinetes, durante el proceso de su manufactura, que debe desecharse?(Ejercicio No. 15 Tomado de Canavos G. (1988) Probabilidad y Estadística. McGraw-Hill. México).

Solución:

Si X es el diámetro del cojinete, entonces X es N (3.5, 0.02). La probabilidad de que el diámetro se encuentre entre 3.47 cm y 3.53 cm es:

Ya que el 86.64% de los cojinetes cumple con las especificaciones determinadas se llega a la conclusión de que 1 – 0.8664 = 0.1336, entonces debe desecharse el 13.36% de la producción.

EJERCICIO 16 TEMA: DISTRIBUCIÓN NORMALPropuesto por: Juan Miguel RubioEnunciado:Si X es una variable aleatoria normal con parámetros μ= 10, σ² = 36,Calcule esto:

a) P{X>5} b) P{4<X<16} c)P{X<8}(Ejercicio No. 16 Tomado de Sheldon Ross. A first course in probability)

Solución:a) P{X>5} (X—10) (5—10) P{X>5} = P{------------------- > ------------} = P { Z > --5/6} 6 6 P{Z>--5/6} = 1 – ф(--5/6)

= ф(5/6) = ф(0.8333) = 0.7967

b) P{4<X<16}

(4—10) ( X—10) (16—10) P{4<X<16} =P {------------------- < ----------------- < ----------------------} 6 6 6 = P{ --1 < Z < 1 } = ф( 1 ) – ф( --1 )

= ф( 1 ) – [1—ф( 1)]

= 0.8413 – [ 1 – (0.8413)]

= 0.8413 – [ 0.1587 ]

= 0.6826

c) P{X<8}

( X—10 ) ( 8 – 10) P { X<8 } = P{------------------- < ---------------------} 6 6 = P { Z < --2/6 } = P { Z < --1/3 }

= P { Z < --1/3 } = 1 – ф (--1/3)

= 1 – ф (1/3)

= 1 – ф (0.3333)

= 0.6667