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ftÁtomos hidrogenoides TEMA: ÁTOMOS HIDROGENOIDESIntroducción 1

©Adolfo Bastida PascualUniversidad de Murcia.España.

I. Ec. de Schrödinger para átomos

hidrógenoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

I.A. Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

I.B. Niveles de energía. . . . . . . . . . . . . . . . . .4

I.C. Orbitales atómicos. . . . . . . . . . . . . . . . . .7

I.D. El espín electrónico . . . . . . . . . . . . . . . 12

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ftI.A. Hamiltoniano ÁTOMOS HIDROGENOIDESI. Ec. de Schrödinger pa-ra átomos hidrógenoides 2Átomos hidrogenoides⇒ Un solo electrón. Ej. H,He+, Li2+,. . .Hamiltoniano del sistema

Ĥ(x,y,z) =−~2

2µ

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)− k Ze

2√x2+ y2+ z2︸ ︷︷ ︸

r• Partículas puntuales• Nucleo fijo origen coordenadas mnucleo� me

µ =mnucleome

mnucleo+me' me

• Coordenadas polares esféricas

Ĥ(r,θ,φ) =−~2

2µ

(1r2

∂∂r

r2∂∂r

)+

L̂2(θ,φ)2µr2

− kZe2

r

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ftI.A. Hamiltoniano: númeroscuánticos ÁTOMOS HIDROGENOIDESI. Ec. de Schrödinger pa-ra átomos hidrógenoides 3Funciones propias⇒ Ĥψn,l,m(r,θ,φ) = Eψn,l,m(r,θ,φ)

ψn,l,m(r,θ,φ) = Rn,l(r)︸ ︷︷ ︸radial

Y ml (θ,φ)︸ ︷︷ ︸angular

Origen de los números cuánticos

• ψ(r,θ,φ) = ψ(r,θ+2π,φ)• ψ(r,θ,φ) = ψ(r,θ,φ+2π)• lı́m

r→∞ψ(r,θ,φ) = 0

Valores discretos

• n = 1,2,3, . . .⇒ Ĥψ = Eψ⇒ E =−µe4k2

2~2Z2n2

• l = 0,1,2, . . . ,n−1⇒ L̂2ψ = L2ψ⇒ L2 = l(l +1)~2

• m =−l,−l+1, . . . ,0, . . . , l−1, l⇒ L̂zψ = Lzψ⇒ Lz = m~

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ftI.B. Niveles de energía ÁTOMOS HIDROGENOIDESI. Ec. de Schrödinger pa-ra átomos hidrógenoides 4En =−

µe4k2

2~2︸ ︷︷ ︸RH

Z2n2

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ftI.B. Niveles de energía:espectroscopía ÁTOMOS HIDROGENOIDESI. Ec. de Schrödinger pa-ra átomos hidrógenoides 5Emisión

Absorción

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ftI.B. Niveles de energía:capas y subcapas ÁTOMOS HIDROGENOIDESI. Ec. de Schrödinger pa-ra átomos hidrógenoides 6

Degeneración subcapa⇒ 2l +1

Degeneración capa⇒n−1∑

l=0(2l +1)

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ftI.C. Orbitales atómicos ÁTOMOS HIDROGENOIDESI. Ec. de Schrödinger pa-ra átomos hidrógenoides 7Densidad de probabilidad

|ψn,l,m(r,θ,φ)|2 = |Rn,l(r)|2︸ ︷︷ ︸radial

|Y ml (θ,φ)|2︸ ︷︷ ︸

angular

Funciones radiales

n l Rn,l(r)

1 0 2(

Za′o

)3/2e−Zr/a

′o

2 0 12√

2

(Za′o

)3/2(2− Zra′o

)e−Zr/2a

′o

2 1 12√

6

(Za′o

)3/2 Zra′o

e−Zr/2a′o

a′o = ~2/kµe2 = aome/µ

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ftI.C. Orbitales atómicos:distribución radial ÁTOMOS HIDROGENOIDESI. Ec. de Schrödinger pa-ra átomos hidrógenoides 8Función de distribución radial⇒ |Rn,l(r)|2 r2

P(r ∈ (a,b)) =∫ b

a|Rn,l(r)|2 r2 dr

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ftI.C. Orbitales atómicos:orbitales s ÁTOMOS HIDROGENOIDESI. Ec. de Schrödinger pa-ra átomos hidrógenoides 9

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ftI.C. Orbitales atómicos:orbitales p ÁTOMOS HIDROGENOIDESI. Ec. de Schrödinger pa-ra átomos hidrógenoides 10

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ftI.C. Orbitales atómicos:orbitales d y f ÁTOMOS HIDROGENOIDESI. Ec. de Schrödinger pa-ra átomos hidrógenoides 11

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ftI.D. El espín electrónico ÁTOMOS HIDROGENOIDESI. Ec. de Schrödinger pa-ra átomos hidrógenoides 12Medidas experimentales de desdoblamiento energético

Dirac⇒ Efectos relativistas⇒Momento angular intrínseco

Ŝ2 = Ŝ2x + Ŝ2y + Ŝ

2z

Ŝ2 f = s(s+1)~2 f ; s = 0, 12,1, 32 . . .{

bosones⇒ enterofermiones⇒ semientero

Ŝz f = ms~ f ; ms =−s,−s+1, . . . ,s−1,s

e−⇒ s = 12 ⇒ ms =±12 ⇒{

Ŝzα = 12αŜzβ =−12β

ψn,l,m,ms = ψn,l,m(r,θ,φ)Sms

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ftI.D. El espín electrónico:Principio de Pauli ÁTOMOS HIDROGENOIDESI. Ec. de Schrödinger pa-ra átomos hidrógenoides 13Partículas indistinguibles

q1 = (x1,y1,z1,ms,1)q2 = (x2,y2,z2,ms,2)...qn = (xn,yn,zn,ms,n)

ψ(q1,q2, ...,qi, ...,q j, ...,qn) ψ(q1,q2, ...,q j, ...,qi, ...,qn)↓ ↓

|ψ(q1,q2, ...,qi, ...,q j, ...,qn)|2 ≡ |ψ(q1,q2, ...,q j, ...,qi, ...,qn)|2

La función de onda de un sistema de electrones (fermoines)

debe de ser antisimétrica con respecto al intercambio de dos

electrones cualesquiera.

ψ(q1,q2, ...,qi, ...,q j, ...,qn) =−ψ(q1,q2, ...,q j, ...,qi, ...,qn)

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ftI.D. El espín electrónico:Principio de Pauli ÁTOMOS HIDROGENOIDESI. Ec. de Schrödinger pa-ra átomos hidrógenoides 14Consecuencia. Si el e− 2 tiene las mismas coordenadas que ele− 1 entonces

ψ(q1,q1, ...,qi, ...,q j, ...,qn) =−ψ(q1,q1, ...,qi, ...,q j, ...,qn)ψ(q1,q1, ...,qi, ...,q j, ...,qn) = 0|ψ(q1,q1, ...,qi, ...,q j, ...,qn)|2 = 0 ⇒ repulsión de Pauli