t

i

l

t . Fyz , r r f , LNE yEL IC tN r , ICH MEn ,ANIELY7 .T , IUY MEDZI N I l t t I

Z vymedzenia nd,plne chemick6ho inZinierstva vyplyva, i,e analfza pro-cesov patriacich do oblasti tohto vedndho odboru, ako aj konkr6tne vjpodtysrivisiace s navlhovanim zariad:eni pre tieto llroce-cy a ich hodnotenim opierajirsa o zrikonitosti fyzily.

S fyzikd,lnymi vztahmi opisujricimi prirodn6 zdkonitosti prostrednictvomfyzikr{,lnych velidin pracuje chemickf iniinier ako so vzdahmi matematickli'mi.Hoci prechod od fyzik6.lnej reality k matematickej abstrakc.ii sa zd6 byt naprv1y' pohlad celkom prirodzen5i, je 6asto pridinou taZkosti a nejasnostl, ktor6m6Zu viest, k chybnfm zhverom.

Cielom tejto kapitoly je objasnit konvencie umoZirujrice prevod fyzik6l-nych idei prostrednictvom fyzikrilnych velidin do matematickej redi. Lenddslednost v tlichto z6,sad6"ch.?aruduje sprd,vne pouiivanie fyzikrilnvch rovnicpri qfpodtoch, ba do viac, je predpokladom sprdvnvch teoretickfch z6,verovwyplf vajricich z matematickej analj, zy fyzikri,lneho dej a.

I.I FYZIKAT,NN VELIEINY

Pri pozorovaxi dejov prebiehajircich v prirode samovolne alebo na5impridinenim zistujeme, Ze sN sprev6,dzan6 zmenami vlastnosti lifiok a ie naich priebeh majri vplyv rozlidn6 faktory. Tieto zmeny a vplyvy moZno opisaf,kvalitativne alebo kvantitativne. Pre vedeck6 zov5eobecnenie poznatkov, aleaj pre ich praktich6 vyuZitie je potrebnd pr6ve kvantitativne, t. j. dfulomvyjadren6 zhodnotenie

Kvantitativne hodnotenia javov v prirode pozorovanych sa uskutodf,ujfiprostrednictvom fyzikrilnych velidin. Takto sa oznadujri pojmy z oblastifyziky, ktor;fch hodnotu, velkost alebo froveir moZno vyjadrit E selne. Fyzi-luiilna ueliiina je ted.a fyzi,hilny pojem opi,satelnli rnatematicley.

Fyzikrilne velidiny rnoZno lozdelit do dvoch skrrpin. Prvri sknpinu tvoriat'zv. substancidlne aeli,iiny (dli:ka, das, objem, pr6ca a pod.). Pre substancid,lnuvelidinu je charakteristickd, ie akrikolvek jej hodnotu - velkost - moZnodiselne vyjadrit iba relativne ako ndsobok urditej jej hodnoty - velkosti -zVolenej za z6,Had porovnd,vania. Trito miera hodn6t'fyzikrilnej velidiny -jej Standardnri velkosd - sa nazliva jerlnotlca merania fyzilcdlnej uel,idiny, alebo

Chemicko inllnierstro I

iIi

f

t 8 Fvzrrir,we ver-r6rNy. rcu MiTRANTE

*rdLh jed19!!a fyziki,lnej velidiny. Druhri skupintr tvoria tzv. prirodzen|Jyzi'hilne aeli(iny. .Hodnotu

- velkost - prirodzenfch fyzik6lny-ch velidinpo-zno vyjadrit dislom absohitne, t. j. bez vztahu-k nejakej biand.ardnejhodnote. Na uldenie ich diselnej hodnoty netleba teda zvolid jeanbtku merania.

1.1.1 Meranie substauoiitnyeh. voliEin

. . - fkon, na zi,klade ktor6ho sa hodnota substancid,lnej velidiny vyjadrujedislom_ p_rostrednlctvom jej jednotky, sa nazlva meranie.

Medzi absohitnou hodnotou substa'cid,lnej velidiny (24), hodnotou jej jed-ngtky (a)-a dislom vyjadrujricim jej velkosri -: jej diddori'hodnotou (ti,i -plati vztah:

A : A,a (l.t)

zo,.uzt'ahu.je zrejm6,.ite- prostrednictvom merania sa hod.nota substancid,lnejveliiiny udd,va ako n6sobok hodnoty jej jednotky.vztah (l.l) rnoznoprepisald o t v a r u : .

- -

! : l , ( 1 . 2 )

z ktordho pri3m9 vidied, i,e merat hod,notu substancialnej ueri,\iny znameruiporoanati ju s hodnotou jej jed,notky

' ciselnri, hodnota velidiny zistend, meranim md, Statistick;i charakter.Presnost, ; aJ<ou. vystihuje ,hodnotu meranej velidiny, zrivisi ol preciznostiyegg,nia; chyby-merania a r6zne.vplyyy uplaifiujrice ia pri m6rani

^sp6sobujri,

Ze iiadnym opakovanfm meranim nemoZno zis[.ad absdhitne zhodriri diselnirhodnotu fyzikrilriej velidiny.

Realizd,cia merania, tak ako vypl;iva z tovnic (l.l), resp. (1.2), je priamo-diaro zrejm,t.lgtt pI tzv. extenzitnfch velidinri,ch. Tieto-velidiny riaj6 trivlastnosf,, Le ich velkosii - mnoistvo - rastie priradovanim eleientd,inychvelkosti - mnoistiev. Preto nie je fazko predstavit si ich hodnotu ako vy"ste-dok niekolkond,sobn6bo priradenia jednotkovej hodnoty. zloiitejilie je t6 priintenzitn;ich velidinrictr. Tieto velidiriy nemajri charakteimnoistiei. Vyiaarrilnspravid-la stav, resp. vlastnosti litok alebo systdmov a ich hod.nota nie le dan6,ako sridet elementdrnych, resp. jednotkovfth hodn6t. preto meranij inten-zitn!'ch velidin.ako porovn6vanie hodnotSl velidiny a hodnoty jej jednotkysa di, realizovat len nepriamo. Ak intenzitnr{, velidina je definoianri-vb vzfahuk ur6itej exte-nzitnej velidine; jej meranie sa uskutodni prostrednictvom me-rania tejto velidin-y. Ak-napr. rj'chlosf _je definovanr{, ako podiel drrihy a dasu,jej --eran-ie sa uskutodiuje melanim clrany (extenzitriej velitiny; -'j't orrut

"jza jednotku dasu.Predstava merania vyplyvajfca z rovnic (l.r) a (1.2), sa v5ak st6,va e6te

pe;rej sapgzrejmou pri intenzitnych-velidinrich, ktorllch meranie si vyiadujedefinovad nielen jednotku meranii, ale havyse aj stufnicu hodn6t. prit<tadoinvelidiny tohto druhu je teplota. spdsob jej-merania

-si objasnime nesk6r.

1.1.2 Prirorlzond fyzikfilne velidiny

-. {r.r1o-{29n6 fyzikriJne velidiny, t. j. velidiny, ktorych hodnotu moinovyjldrid disloT absohitne, sri funkcie substanciilnych velidin. rch definlcievyp$vajrfr z vlastnosti fyzikri,lneho syst6mu, ktor11?-opisujri.

Fyzrrdr,Np vnr-rdrxv

Najjednocluch$ie prirodzen6 fyzikrilne velidiny sri definovand akir pomeuclvoch substanciilnyoli velidin toho ist6ho druhu, diZe velidin merauyclt ror'-trak5?m sp6sobom - r'ovnakou jednotkou. Napriklad Stihlost valcov6ho telesrr,clefinovanrh ako pomer jeho vf5ky k priemeru z6kladne moZno YJja{ri-f dislorubez toho, Ze by sa.r'olila alebo odvodila jednotka Stihlosti. Takto definovanii,Stihlost valcov6ho telesa je teda plirodzenou fyzikri,lnou velidinou. Ako-in5ipriklacl prirodzenej veli6irly tohto dtuhu moZno uviest fidinrtost stroja defino-i'anir alio pomel leho vykonu k prikonu alebo Nlachovo dislo - syrnbolnIu, -, I'tor6 je defirtovan6 ako pomer ryichlosti telesa pohybujirceho sav urditom plostledi k rri'clilosti Silenia ia zvuku v tomto m6diu.

PrirodZend f-vzikr{,lne velidinv sir v$ak definovan6 aj ako zloZitejSie funkciesubstancid,lnych velidin. Aj kecl to na prv5i pohlacl nie je zlejm6, napr. tzv.lleynoldsouo ii,slo - sy'rubol 1ie - clefinovau6 r'ztahotn

p : !-J!e.' p

kde d je piierner potr'ubitr,zsr - r';ichlost' plirclenia telnrtinv.o - hustota tekutiny,/l - visliozita tekutin-v,

je plilodzenri, fyzikrilna plernennii. -{ko sa o tom ruoino plesvecliif, uk6Zemev clal5ich paragrafoch tejto l<apitoly.

Z prikladu Jlachovho a Reyuoldsovho disla, vicliet', Ze niektor'd plirodzerGfvzikilire velidinv sfi Poureuovau6 po vlizuamnlich uderlcoch, ktoli sa preslivilipld,corr v ulditVch vednych odboroch. In6 vBak, ako Irapr'. r'6zrte cltuhv ridiu-irosti procesov aleljo str:ojov, r'6zne sirdinitele a v6bec vridSiua jednoduchS?chpomelov dvoch substaucid,lnych velidin, tak6to personilikujfice ozuadertierrernajfi. Priloclzer.t6 f1'zikrl.lne premenn6.sa v sfivislosti s te6r'iotr podobuosti,o ktorej budeme hovorit uesk6r, ob.ydajne oznadujfi alio sirnlllex.l', resp.kornplexy podobnosti, Pliiom ako sirnplexv sa ozuadujrh jeduocluch6 pomerv.dvoch substancid,lnvch velidin a ,alio komplexy zloZitejSie funlicie viacer'5ichsubstancid,lnvch veiidin. V rozmelovej airaljze, o ktolej br.rdeme hovoritv jeduom z oclsekov tejto kapitoly, sa pliloclzen6 fyzillilne pternerlll6 budiroznadovat alio z-alguur.ent.v.

Ako z clalSieho pojednania o jeclnotkich fyziliiluvch 'i'elidin vvplynie,rnoZuo substancidlue velii:inv oznat",it aj ako velidiny rozmelol'6 a prirodzen6velidiny ako bezloznlcLor'6- velidiuy. T1i rnto sa ztl6raziruje ich ulditi vlastuost,nevysvetluje sa v5ak zm.\rsel a r';iznarn rozdelenia velidirr clo, tychto liateg6r'ii.Zm5'sel triedeuia veliiiirr ua substaucidlne a plilodzen6 spodiirr predov5etk;irnv tonl, Ze majfi v ulditonr srnere rozlidnir filohu v opise firzikrilnej skutodnosti.

Fyzikri,lny svst6nr moZno jeclnozuadne livantitativne opisat leu prostlecl-nictvom substanciii,lnvch velidin. No rrredvidat a folmulovat rnatematickfrz6,vislost rnedzi fyzik6,hrvrni pteurerttiyrlri, charakteristickfi pre skirmartysystdm, je vhodn6, ba vyhodu6 ako zdvislosf medzi prirodzenymi prernenufrni.Ako e5te uvidlme, vyhoclnosd tak6hoto opisu f.yzikdlnej skutodnosti vypl;ivaokrem jn6ho z toho, Ze podet prirodzeu5ich premenn;ich chatakterizujticichsyst6m je uren6i ako .podet substancirilnych premenufch, ptostrednictvomktorSich sri prirodzeu6 pterneun6 clefinovau6.

l 9

f,'vzrrfi,Np vrr,rdrxv, rcr MERANTE 'f roxor xrr ME n.{Nr-A. ryzr rtir,Nyc rr vnr,rdf N 2r

I.2 JEDNOTKY MERANIA FYZIKALNYCH VELIEIN

Ui drivno predtfm, ako sa .fyzika stala samostatnfm vednlim odborom,kai,dodennly' ,triiomtili stvk ludi si vyiiadal meranie velidin a teda aj volbuich jednotiek.

"vyznam jednotky merania velidiny vypllivajfrci z -prvotnych potriebspodiv-al iba v tom, Ze sa jej zna,sobovanim vyjadrovala velkosf .meranejv'elitiny. Volba jednotky meiania nebola teda vymedzovani, -Ziadnou dalSoupoZiadivkou a preto sa, beZne uskutodriovala ta|, Le pre kaZdir velidinu sa'volila

jednotka -nezrivisle

od jednotie\ inlich velidin' -T6to prax sa udrzalaeste aj v obdobi, ked uz fyzika dosiahla pomerne vysok;f stuperi_prepracov-a-nosti, stala sa vSak neirnosnou, kect sa s rozvojonr poznatkov prisridila jednotke

velidiny dalSia irloha, a to: umoZnid jedlrotnrh mateuratickir interpretd,ciufvzikrilnvch z6,konitosti." tsol- to Gauss, ktorli eSte zadiatkon rninuldho storo6ia plvli upozornil

nielen na moZnost, ale aj na vhodnost urditej systematiky vo volbe jednotiekfyzikri,lnych veli6in. T6to systematika spodiva v tom,_ ze len pre niektor'6 tzv.iantqAni oelitiny sa volia jbdnotky rrez6visle, k;frn jednotky ostatnlich !rY-oclaoclenych uel,ilin sa odvodzujir od jednotiek zik]adnj'ch velidin. _Napriklad,ak sa zi zriklacln6 velidiny pokladairi diZka a das tym, Ze sa ich jednotk5"

zvohanez6"visle, moZno r;ichlosf na zriklade jej definicie povaZovat za odvodenfr -velidinu a merat ju odvodenou jednotkou, ktorri, ie totoi:nh s jednotko-u podielnctrd,hy a, dasu; odvodehou jednotkou r;ichlosti je potom- takri ryichlost, priktorej sa jednotkovd, dr6,ha prekond, za jeclnotliu dasu. Poclobne al;o jecln-otkurfchl6sti moZuo aj jednotky d'al$ich.velidin oclvodit od jednotkv dliky.a_dasu.Ako pliklad moznouviesd jednotky tj'chto velidin: plocha, objelu, zrycltlenie'a pod.-

Tu este nemoiuo uviesd v5etky qfhodl'sp6sgbu volby a od.rrodzovanitujettnotiek velidin, ktorli navrlrol Gauss. Tieto vyhocly srivisia s.uratematickouirrterpretriciou fyzikrilnych zd,konitosti, o dom bucleme hovorit nesli6r'. Zat'ialilen s-odvolanim sa na existujr.'rcu pra,x moZno kon5tatovat, Ze jednotky r'5e,t-kych velidin potrebnlich na opisanie zdkonitosti nrechaniliy sa spravidlrr,odvodzujrh od jednotiek troch zd,kladn;ich velidin. Za tieto velidinv i,a nfj-dastejiie povaZirjri: diZha, hrnotnost a das alebo dllka, sila a ias.,Iednotkyvelidin c[arakteristickllich pre termodynamikrr sa spravidla od.voclzujir odjednotiek velidirt zvolenich za zrikladn6 r' mechani\e a od jednotlry teplo_tn6hoi'ozdielu ako dhl5ej zrikladnej velidiny. \r kaZdej d'alSei veclnej oblasti fyz]kysa pri re5pektovani Gaussovho odporfidania voli maximiilne iedna d'alSiaz6,kladnd" velidina. Napriklad, pre Ir6uliu o elektrine sa oclllolirda volit, zaz6,kladnir velii.inu intenzita elektrick6ho plficlu a v optike svietivost.

Volba zrikladnlich velidin, ich podet ako aj definicia Btandarclu pre ichmeranie, t. i. volba jednotky zrikladuej velidinv je iba vec konveucie. \''elkosdjednotiek zikladnfch velidin je danri stanovenim rnedzind,r'odne uzniiwanychetal6nov, resp. postupov ich realiz6cie. Replodukcia trtchto rnier je predmetomzrikonnfch nstanoveni a'kontrolu v.ykondva prisltr5nri, Std,tua inStititcia.\r CSSR je to Ui'ad pro:nounalizaci a rndi'eni, Pralla.

1.2.1 lllatenratick6 interpretieia fyzikilnej veliCiny

_ Pojem fyzikLi,hrej velidiny sa zavidza preto a tak, aby urnoinil operovats fyzikd,lnou realitou -- fyzikrilnou prenennou - ako s matematickbu pre-lnennou, t. j. s dislom. Fyzikrilna premennd, nadobrida charakter mai'ematickejpremennej na zd,klade symbolick6ho matematickdho z6pisu replezentovan6horovnicou (l.l). S-vmbol .{ v tejto lovnici reprezeutuje fyzikrilnu premennri -fyzikrilnu lealitu -.- a ako takri ruri svoj fyzikrilny obsah. Srhdasne v$ak akosymbgl fyzikrilnej velidiny mri aj charakter matematickej prenennej, t. j.charaktel v5eobecndho disla.

lle-teruaticky obsah f.yzikrilnej velidin)' sa dri, uajjednoduchlie irkrizat, kedv sirhlase.s terminol6giou sa vo vzdahu (1.1) prisridi jednotke urerania fyzikd,lnejvelidinv jeduotkovd. hoduota. Potorn rovnica (l.l) prechridza na identitu

kde , { ' je d is lo.

. Tr{,io interpretridia rnaternatickdho obsahu pojmu fyzikrilna.velidina jbsice priamodiara, ale nie vZdy vhodnd,. ZnamenS, totiit, i:e ria jednotku meraniasa divame ako na sridasd pojpu fyzikrilna velidina. To by bolo vhodn6, kebysa fyzikri,lna velidina ruerala len jednor4 r'idy. rovnako velkou jednotkou. Ai<sa vSak, ako je to v praxi belnd a vlihodu6, fyzikrilna velidina meria r6znevelkll mi j ednotkami, z uvede^nej -interpretricie matematick6ho obsahu fyzikrilnejvelidiny- vy_pl]iva,. i.e ulditej- fy zikd,lnej premennej- zodpovedri tolko tyzitamycdvelidin, kolko je jednotiek, ktorjmi ju meriame. Naprlklad, at aiZm meridmeraz v metroch, inoked;r_v-centimetloch, nem6zeme r1a zri,klade uvedenej inter-pretd,cie povaiovaf vzdialenosd dvoch bodov rneranf v metroch za velidinutotoZnri so vzdialenosdou {?ch ist3ich dvoch bodov meranou r. centimetror:h,hoci v oboch pripadoch ide o jedinri a tri istri fyzikrilnu realitu.- .- uvedeaej interp.etri,cii matematick6ho obsahu fyzikri,lnej velidiny sa vy-JrVlaqe aj -preto, lebo staZuje pochopenie matemltick;;ich- vztahoi medzijednotkami fvzikrilnych velidin. Na zriklade tejto interprelri,cie napr. nemoznovyjadrit das trvania nejak6ho deja inr{,d sarnozrej.mym zd,pisom:

z : l 0 h : 3 6 0 0 s

lebo "- hladislia prisfdenia jednotkovej hodnoty jednotkd,m mer.ania je qb-zmyselny.

Na zriklade lovnice (l.l) je v6ak rnoZny aj in1f, pre prax vhodnej5i sp6sobinterpretd,cie matematick6ho obsahu symbolu 1'reprezentuj(rceho ?yrit,i,ltrovelidinu. MoZno ho formulovat takto: Iyzikalna oelitina alcolmatematictai pre=m,ennd je aieobecn.6. [.i.slo roanajilce sa sdi'inu d,aoch i,'[,si,el, z ktorljch jedno -- 6i,-s.eln(t'.ho-cJnota..aelii,in11 - je sprauidla zald,ltne iislo a d,nrhi, - jerli,otka ueli\i,ny -je tiei (i.slo uieobeoti.

tejto-interpret6cie r-.r'pl}?va, Ze_ jednotka rnerania sa priradirje k diselnejhodnote veliCiny, do v5ak znarnend,, Le fvzjkl"lna velidina ie invariantnd,vzhladom. na jednotkS.. ktor;frni je merand,. T;f m chceme povedai, i,e pri zmenehodnoty jeduotky merania meni sa len diselnri,_hodnpti fyzikri,lnej- velidiny,k;frir na riu samotnfi sa t6to zmen& nevztahuje. Moino teda napisai:

- '

A = A ' '0 :3)

A : A ' & ! : A " & z (1 .4 )

! ' vzr n,(t.^* l: vnlrdrtN Y. rcr H l\I l t R.rrNlr')

Iesp.

z doho vidiet, Zenlel'a]1ej velidin.l'

nt : 4--Q z A '

i iur je hodnota jechrotky viidsia. t ' .vm je

rnenSi a rtaopali.

( 1 . 5 )

i,iselu.lf irclai itott

1.2.g llaterlatick6 vztahy meilzi jeihrotliami rtrerania fyzikirlnej TelitYirty

Rovlako ako f.r,zih6,lna velidina, aj jej jednotka m5, svoj f.vzikrihl.v i ma-

t""r#.t yi obsah. livzik6,lnv obsah. je[irlotlw 'spodiva, t' tgl]; .Ze-predstavujeftzikdlnti D.u*errr,,i kon5iantnej hodnot.y' Jej mateural'ickf obsah sin-isi

s'matematickou interpretri,ciou fyzikriluej velidinl'a je zre;nry' Dapr. z I'ovlrlce

ii.il.' Z t"tto. Ze 'a ied*otk* fvzik6,lnej velidiri.y sa 'roZtro pozerat ako .a

;i;iJ; ;it;; , zL ,;itini mgdzi jednotkaini *r'dlij v.elidinv rnoz'o forrnulova0

at o mattrnutick6 rov'ice. Tietorov'ice sir d'ojak6ho dtultq.

Do prvej skupiu.y patria vztahy meclz.i r6zne velkyuri jedlotkami tej istej

tvzin?tn6i.rdtiaittv. ici i fonnulicia vypllfva 1x'iamo z rovnice- (l '5)' ked sa

i it"j potir". diselirich hodndt velidin nahradi jeho iiselnou hodnotort

A "- ) , : l t .

Dosatlenim zo vztahu 1f .01 ao rovtrice (1.5) po rlPl'a'r-e dostaher[e:

a t : k ' t t "

Ifatematicky chalakf,er vztahu

( 1 . 6 )

( 1 . 7 )

h : 3 6 0 0 s

ktorrl' ie konkr'6tn.yn-r prikladom vSeobecnej zd'vislosti (l'7), je evidentnti"

2'il"t.j*rli"f.ef- titrai.t" sa tu tvrdi, Ze rnatenatickd, premeund, - h, na-

"yru"a rr.aina, je 3 600-kr6t viidsia ako matematickS, plemeDnd, - s, naz'?va-

nii, sekunda.Druhfr skupinu matematickfch rovnic .rnedzi.

jedrrothami !,voria

vzdahv

medzi iednotkou odvoclenej fyzikrilnej velidiny a jednotliami _zdkladnych.r'e-i;;i;.'dffi;ii.ir ty.rtto n/tuhov srivisi s Gairssovfm odportdanirn plisfidit

itu "i"f.t""lim

velidindm chatakter zrikladnlich velidin a ostatn6 povaZovat

za velidiuv odvoden6.Gaussovo odponidanie vych6,d.za zo snahy. formulor-at .25'vislosti

medzi

fyzikrilnyni prerninnfmi pomocou matem-aticliVch operdcii tak, a,by obe z6-

;J;-t, fyrik'rihra i tni,i"*luti.k6, boli totoZn6. r"o sa "s.ary

dri, splnif len vted.1',

f".i'-i"a"6U.a odvodenej velidiny je defi.novan6, ako utdit6 rnatematick6 zosltu-

""riil-llJ""liel zaxtaa'nych vel6i1. Toto zoskupenie r'.vnl1iva z fvzikil'ej

hefinicie odvodenej velidinY.--*Iiiljr6;oir*uiirr.5; vztah nredzi jednotkou odvodenej veliiinv a jednot-

t "t"i "i,tiruanlich

velilirt znameuS, teda odvodi-t' t1ki1- jednotku odvodene,ivelidiny, ktor6, umoi,riuje stotoznit zri,vislosd medzi-f.vzikrihryrni prernennfrni

;;;i-i"rt;o *"ari rni,tematick5imi premenn;imi. Takto odvodend, jedrrotka

odvodenej velidinv sa nazVva jei hlaand' ied'notka'

JpoNorry MERANTa ryzrxir.uycn vpr.rdiN 23

- Sp6sob odvodenia.hlavn;ich jednotiek odvodenSich velidin najlep5ie ilus-trujri konkr6tne priklady.

Priklad odvodenle hlovnej jednotky rfchlosti

. R;i^chlost ako odvodend,velidina.je vo-rztaht k diZke a dasu ako z6kladlfrn velidi-1t61 $,efinovg,nri ako podiel dr6hy a dbsu. Na z6klacle tejto definlcie moino f6rmulovaOrYztRB't''Y vztan

- : J- (r.g)

Z ro-vnice (l.l) r,yglyrvajf pre fyzikritne v"feiLy, rfchlosti - a:, drdhu - I a Cas - rvzta}rv:

1I : ID' @w

L : L ' a t

t : t ' O t

kde ul, l,', t' str diselu6 hodnotv prfulu.inlich velidin a, au, a4,Dosadenlm z rovn{c (a) do iovnice (f .Sy dostaneme:'

(a)

o" sfr ich jednotl,y.

( l .e)

I,' A,u ) ' a w : : ( b )

Ak poi,adujeme, aby vzdah. medzi -matematickjmi a fyzik6ln;nni promeqnVmi bol totoZ-ny, -pTegPn_qJemo vlastne, aby vztah modzi fyzik6lnyrui ve.lidinami

-bol totoi,-n1i so vzdahonr

medzi ich dlseln5;miJrodnotsmi. ZiaAame t6da, ab.y platilo:

, | ' , 'W : - - - - 7

T

do v5ak vzhladom na rovnicu (b) rr6Ze by0 splnerr6 len vtedy, kecl sirdasrre plati:

" . :# ( r . lo )T;im pjedpisujeme. ze riqlp-ed mri byti mera'6 ror.nako ako podiol d.rrih* a casu.Itlavnu Jednotku r)tchlosti odvodlmo zo vztahrr (l.lb), ked zvbfime jednotkyztikladnfch velid1n. Ah za jednotku dii,ky povazujgryg -".ti,"

",i;"ar,ott o-a".u iekundtiz rovnice (1.10) wyplfva, ie hlarrroti jednbtkou ;Jrchlosti j; ;;t';;; ;-f..,dt,,

@p : neter zs sekundu : I as ( l . l l )

,. _Z uveden€ho-prikladu vidiet, ile vzf,ah medzi hlavnou jed.notkou od,vodenejvelidiny a jednotkami zrikladnych velidin je identita, l"do prepofitacl faktoi.y lo* vystupujrici mri, jednotkovri diselnri hodnotu. fat5iniito identitamidefi,nova16, jednotky odvodenfch velidin - ich lrJpvn6 jednotky _ tvoriaspolu. s_ jednotJiami zr{,kladnfch, velidin sribor, v irimci kior6ho sa oznadujri7k9 ied,notka koherentni,, resp. konzistentnd,. Iiorrerentn6 - konzistentnd -jednotky velidin umozilujri piacovat s fyzikri,lnymi vztahmi ako s matematic-k;17Ti rovnicami, lebo umozriujri closadz-ovat do nich zafyzikl,lne velidiny ich6iseln6 hodnoty.

- _Itlrl ty

Ttu\ aj opad4y zi"ver. Ak nejakri.fyzilr{lnu velidinu povaiujemeza'.zat6ladnfi, hoci by ome ju s ohladom na jej dofiniciu mohli p6vai:ovi,t, zuvelrdrnu odvodenri, t. j.-?! jednotku nejakej fyzikri,lnej velidin.v zvolime ne_zri,vislo 9d jednot_iek vetidin z.volenfch uz i,reapym zL z6"klaiiie, fyzikr{,lnyvztah platnf medzi. touto velidinou a ostati;y'mi'zr{"kladnymi vetioiriami ne-moino priamo stotoznif s matematickou rovni6ou platnou irre diselni hodnoty

24 Fyzrr&,rs vurdDrc, rcE mn,ANTE

t.ichto veliCin. Ak sa pripadne stotoi,nenie tfchto vztahov form6lne uskutodni,n"ie je fyzik6,lna rovnica^konformn6 s fyzikrilnou definlciou veliCiny. Ilustruje

sa to zase najlepSie n& Priklade'

povaiuimg rovnako a;.o v predch6dzajircom priklade di;ko a Cas za z6kladn6

velidiny, pre-ktor6 podla rovnice (l.t) plati:

t : t ' r nr : N 's (c )

Sirdasne v5ak povaZujme aj rfchlost za z6kladnir veli{inu a merajme ju na rozdiol odpia"t aa*iuc6ho prtttadu lednotkou kilometer zb hodinu - km/h. Potom pre r;y'chlostpodle rovnice (l.l) plati:

ut : u:" |<mlb (d)

S ohladom na zndine vztahY:r k m : 1 0 0 0 mr h : 3 6 0 0 g

je,. k r n 1 0 0 0 m I mt+:ffi:5-,0? (e)

do je vz0ah medzi jednotkou rychloeti e jednotkou Pomeru dr6hy a iasu'- Na z6klade rovnice (1.4) m6Zeme naptsat:

u; : w" km/h: u 'm/s

a s ohladom na vzdah (e)

Ito : ut";i *A : u' mls

itiito

, a "- : g S (f)

(1 .1?)

(1 .13)

(1.14)

I(ed z rormice (f) dosadime do rovnico (1.9), po riprave dostaneme:

-" : g,6!

- : *L

Matematick6 rovnica (1.f 2) sa nedd stotoinill s fyzik6lnou rovnicou (1.8). Form6lneju moZno stotoinid iba s fyzik6lnym vztahom

Tento vztah v5ak obsa,huje novri velidinu /c, existencia'ktorej nie je obsiahnutd vo fyzi-k6lnej-.definlcii rfghlosti, nie jo teda s fiou konforrnnli.-dleeln6

hodnota v6tioitry /c vyplfva z rovnice (t.tz; a jej jednotka sa, odvodl nezdklade rovnico (f.13) a rovnic (c) o (d):

r : s ,o !8 "n m

Ak sa zmenie jednotky zd,kladnfch volid{ir: rfchlosti, Ca.gu a diZky, zment sa ajjednotke a CIsoInd hodnota odvodonej veliCiny &. Jej Clseln6 hodnota je vidy provr6tenouhodnotou preoodltavacieho faktore z rovnice uddvairicei kolkokr6t io nez6vislo zvolondjodnotka rych'loeti vii.C6ie ako jednotka pqdielu dr6try a'iasu. (Porov:naj Clsetn6 hodnotyitCinitelov v rovniciech (l.la) e (e)).

JroNorxt ITERANTa ryzrx:(r,N:*cn vpr-ri.ix 25

..Jednotku r'Sichlosti km/h z predchridzajriceho plikladu rnoino povaiovadza-jbdnotku zri_kladnej velidiny, mozno sa vsak na riu pozelat aj ako na lle-koherentnri jednotku odvodenej velidiny. V sirhlase s touto cli'uhou inter-pret{,ciou sa lychlost.povaiuje zir, velidinu odrrodenir s hlavnou jednotkou 1r/s(ak jeduotkou dlZky je meter a jednotkou dasu sekuncla) rr, jedriotka km/h sa,potom oznaltuje ako vedlaj5ia jednotka rr?chlosti. l,edlujiie jednotky fyzi,kdt-nych aeliiin sir veid5ie alebo mer:(ie ako ich hlavnd jednotky, siiteda n"riioikamihlavn;ich jednotiek [pozii vztah (e)].

_ Predpokladom sprd,vnosti vfpodtu na zd,klacle ruatelu&tickej lovnice,akou je_napr'. r'ov_nica_ (1.12), ktolrile jecline vzfahom meclzi diselniini hod.rio-tami velidin, je dosadenie_diselnych hodn6t udd,r'an)'ch v r-rrditfcir pre teltovztah predpisanlich jednotkri,ch velidin. Preto sa fouriulic.ii r:ovuit tolito clnrhlvyhlibame, Na rozdiel -od matematicklich Lovnic tvpu (f .12) srh fyzili6|reI'ovnice invariantn6 vzhladorn. na jednotk.v velidin a ich pouiitie pli v;ipod,tesi nevyiaduje nijakf _osobit'y p'edpis.o jed.otkach .r'eliiir, Iitoi'.;ich diiel'6hodnoty sa do nich dosadzujri. Zo samotnej lovnice v;'pl;ivajrl iloher,entrr6jednotky, v ktor.'fch tleta udd,vat dosadzovaird iiseln6 liocliiotv velidin.

.Fyzikt{,lne vztalty, v ktorych vystupujir velidinv s fyzikiinym obsahorlnesrivisiacim..s .opisovanjp javom, a]e, iba .s volbori jechiotiel< [i.ovnice tyin(1.l3lt, povaiujeme za nekonvendn6. V spr6,vne forruirlovanej f-r,'zikrilnej r:qr-nici m4r'r..vystupovaf_ iba v.elidiny, ktorG na oPisoyany. jav- niajr,r skutodnevplyv. P'e5pektovaf trhto poZiadavku, ktorri je podstatou Gar,sronho od.porir-iania, v5ak znamend, obmedzit podet zri,ktadnjch velidin na rlininuni. eov tomto smere moZno oznadif za racibnd,lne rninirnrrrn, vysvetlime si na pri-klade.

Prikhd odvoilenio jcdnotky sily a hurotnosti

- .^_P_"i skrirnani p6sobcnia,.strilej sih' na hmot.nt!_telr.so |ohr-brr,jrict, srr, llriamodialoa.rrez.ocl_ponr Pozorovatcl zist'uje, Ze zljchlenic Pohybu teltstr jt'1r,nr r-iidiie, dirn t.rii,{it_u

sila p6sobi na tcltrso.Pozorovatel n6Ze kolrStato\-otl tL'nto ftrlit-len tted1.,-lir.rl rr2 po.iruortr sita, ry-chlost'.

,"1;l#1"

prisrltlil viznafir f.1'ziltrihl'r'h ":t:t:t. .i. ticrt ir.h liri rirr.r'atr. Potorir rn6ze

(g)

rL : a ' at (h i

lrde l, a sir s;auboly sily :r, zlychlerlja, l', u' sir ich disehrd hothrot.y i-. (tJ, (tq sir icl jed1 otkl.Svoje pozorovanie zapiJe pozolovutcl nratct.nal jckr. lrrlilo:

lide m' je IionStauta irmerr-rosti.

_^_.,I!!t__.-!_.lej5jrn sl;irmaninr sleclovandho javu r'.ia.li zisri. 2e lroclnot.a konstanty riurr.r'-

nostl v rovnrcr (I.r5) m6.p^nr6znych-tclesiich r'6znu hodnotrr. Z toho usrldi, Ze lio'nStarrtrr,rirnernosl,i - m' nt6' hlb5t fyzik6liy obsah; Ze ju nemoZno povaZor-nt, Ie1 za prepoditar.acifaktor srivisiaci s nezri,visle-zvolen6u jeclnorlioir sill' a zrjehle";n o-io- jii ti,"fu ir;;t;.-,iza fyzikd,lnu velidinu, ple litorri plati:

l ' : n { a

ln : n{ dnt

Z kombinricie rovnic (g), (h), (ch) a (l.ld) vyplliva:

| _ n t a .ay . Ctn As

( l . l 5 )

(ch)

( i )

26 Fr:zmir.xe vnr-rolrNy, rcu MEn'^A.NrE

Na zri,klado tejto rovnice, :: l"l,lq€u s poiiadavkou totoZnosti fyzikrilnej a matematickejrovnlco vJrvodf pozorovatel defulidnf vzliah pre velidinu - zr,-ktorrl nizve hrnotnosfo;

* : J_

a'predpl5o sp6sob odvodenia jej jednotky

d fA 6 : :

(lq

kp s2

m ( 1 . 1 8 )

( r .1e)

( r . r6)

( 1 . l 7 )

Tttp*$ je-dnotku.hrnotnosti odvodi.pozorovatel z rovnice (l.l7), kecl do nej clostrdijednolky, ktglymi meria silu a zry'chlinie., PrectFokla.da,jme,.-ie po_zo-rovbtel povaiuje silu za zdkladnri jed.4otku s rrez6visle

zvorFnou JecuroDl<ou-kllopond (kp) a Zo zrfchlenio ako odvoden(r r-olidinu lreria v m/s2.fotom z rovnrce (1.17) vypl;ivu hlavnd jednotka hmotnosti

__-,-^,I11y"tr jednotku zr5i'chlenia, - m/st odvodi pozorovatel z definidnej rovnice prezrvchlenre

d2I

" : E , ( j )

a z toho, ie dlZku a ias povaZuje za zriklg4n6 veliiin}, rneral6 nezdvisl5irni jednotkamimetor, reap. sekunda. Na z6klade rolrrice (j) a rovnlc:-

a : q , & a

I , :1 , , a t : I , n tT : T , a t : T , B

potom nap{5e:

- r d.( l ' a,\ t

a, n- _ d2(t'orl _d |ia6';iyl _ at d2!,@q :

A(t aclz : --TVd- :AF

Aa (k)

Potom z poZiadavky rovnosti fyzikrilnej a matematickej rovnice vyplf'a:

, d}l, .t : u n

a

o r r nao :

a "z : s ' ( l )

Pri od'odenf rownico !r.l,g).:tt". p^redpokladali, ze pozorovatel povazuje silu zavelidinu zrikladnf a rovnicou (r.16) de'finuji oavoa6.ta

"!iill"

-_--r,iri"tnos"ri. Sp6sobodvodenia rovnice (r.16) viak nbUreiri povaZbvat 1" ua lrutat

-ae-n ui,i"i.ii" ako velidinuodvodenrl, ked ea za z6kladn(r veridinri povazuje'rtmot;;;i.-p;;il';;'rl"t"h.r,

sa odvodl hlavn6 jodnotka sily:

t : r n a

d n d t k g mo r : - 4 : - ' -

1*Il:_q^ry_!Eli: nez6viete zvolond.jednorka hmornosri. T6ro jednorka siry m6 po.menovanle, oznaeuJe sa ako newbon (N). M6Zeme tede naplsad

N: kg.3( l .20)

(r.23)

Jrnxorry MERANTA ryzrrir,lrycx vpr,riiN

I(edie je tu moinosd povaZovef.silu za velidinu zrikladnri merenrl v kp, resp. ze velidinuodvodenri meranfi v N.ireba urdi[, v a]om ";d"hu;tti;b-i,il;;ri? "u"

navzdjom.Zd,vislosr medzi kp a N jo p*apdr"'e-B-Slv, k-#;-#p;LdJ;;;lidodn6 dohody:

r kp : 9,806 65 N: 9,806 65lgl1

Na z6klade tejto rovnice a v efhrdse so vzdahom_(l.rg) moino povedari, ze sira r kp iesila, ktor6 telesu s hmornoef,ou r kg 'aeri-""ycHJ"i; 's,fo66EiljJ;";;"".

Terminompresne sa tu zd6razftuie. ?^1r^*"1":r.jchlenid e,soo or rirTsz ji;h;,,ir#;ir.rli il;l;J"r1zdokonalenlfm sp6sglom merania_nem6zno spresnif, rLL.-iri" j" *iri"ailm merania, ale;e urden6 normou. V tomto zm;rsle s& t6to tr'oanota zrl,ichlenia oznaduje ako normalizo_van6zq,ichlenie zemskej -tiai.e (e": O,AO6 OS-i"ry.

v emerrckei chemicko-inZinierskej literattire'sa-moino stretnff aj s tzv. inZinier-skou. sfstsvou jd.dnotiek. T6to sfstav-; j" "-rr*"tq".istick6

tjm, ze sili i hmotnosd sa* nej povazujLr sridasne za zd,kradni velidirv- to s ohladom ;';6:r;;y J iieochddzajricichprikladov znamen6. irc vztat' medzi hmJtn""t."-,-lil"ii'";";il;""firtuet marl, akofyzikrilna rovnica. tvar| : km" ( . r r )

kde velidina /c m6 charakter,pr.epoditacieho faktora, ktor6ho hodnota vypryva z rowrice(1.21) s jednotka z rovnice (in):- 'vu'uq vvP

( r .s l )

(r .22)

r . _ I k p I k p s s' : 0.80il65

-N- : Op0a oe r.e --

Rovnica (m) bj'va da.sto fornulovand, v tvare:

t - m ?kde

gc

c": +: e,806 uu+ : e,806 65ffi#Faktor g" mri diselnri hodlotu normalizovan6ho zrychrenia zernskej tiaze, avsak, ako toi#"#1"'#'*''ll"Jfit?,fffi :1"*:*,,"#il*::*,ii:li::";"i"g,tkf;.*'f,f T;

S ohladom-na jednotky zdkladn;ich velidtn pouiiva,nlich v anglo-saskej literatrire:j =,*)';^ lli:_:'iH:",ilff1 I'Il**,,, -

a: o ' f t ls2 ( f t : 1oo1;je

n" : eZ,fZe ffiSSrt:"gt**t'y"?.::lllil;w ktorv'ch ea'vvskvtuje raktor sc, na t'ar, ktor;i zodpoved6

(n)

(o)

(p)

9 c : l

(r)

(s)

'"ridJ;*ihJlltl$:';;Xhi#j"y'" vztahom medzi hmot.osdou a silou. Msdzi ri'miro. nL, rn.

t _ n - - _

IF-'Tl* opisllj! silov6 pO-sobonie medzi dvoma teroeomi hmotnosti mt a rnzumiestonymiod sebe na vzdialenosf r. Konr.tanru rimernosti v tejto "";i"i ;;;;;;i;;"" univerzdlnu

llxtf i;*!;:"i,Try"* j"iil-;;;il;;;fi ;i;;;r5iJ?liiil""tr*;*,v*;:1c : (6 ,670 :E 0 ,005) l0 - r , .D '=

kg "t

28 Fyzrr-.t-Nn vnlrdrNv, rcf MERANTE

Rorryricu (1.22) nroino vEak povaioval' aj za definidnri rormicu, ked sa do nejdosadi z poiiadavky

x: | (t)

To potorn znamen6, Ze tak silu, ako aj hmotnosd trc.ba povaZovati za odvodend velidiny,lebo kombind,ciou r:ovnic (7'), (1,22), (1.19) za predpokladu, Ze platl:

Costanene vzdah

l m t : r l l 2 : r m

r n : a i 2

ktorV ie definidnou rormicou hmotnosti..

-Nta zdklado rovnico (u) s ohladom na ui uveden6 jednotky zdkladnfch velidin

diZky a Casu by sa lxnotndsd male merali odvodenou jednotkou rn3/s2 a sila na z6kladerovn"ico (1.19)

-odvodenou jdilnotkou ma/s{. Z poZiailavky formulovanej rovnicou (t]

teda wypljva redukcia poitu z6kladn;Tch velidin. Ci sa takdto prax zavedie alebo nie,ie len vecou konvencie.

Z uveden6ho ptikladu vidiet, Ze hlavn6 jednotka odvodenej fyzikri,lnej ve-lidiny zrivisi od tva,ru vzta,hu, ktorliim je odvodend, velidiua definovand,. Ztoht'opozrratku vypliva poZiadavka definovat fyzikrihru velidinu vZdy rovnakSimipdsobom. Inri,d sa nedd vytvolit sribor koherentn5ich - l<onzistentn;ich -jednotiek. Definicie fyzikr{,lnych veliCin sri preto dan6 rnedzind,rodne uzn6va-nrimi dohodami.-

Z ptikladu dalej vidiet, ie zv5iSenie podtu zrikladn;ich velidiu trd za nA,-sledok vznik uovJich odvoden;ich velidiu s kon5tantnou hodnotou, a naopa,kzase, i,e odstrinenie t;lichto velidin z fyzikil'htych vzdahov mi," za ni,sledokzmetl3enie podtu zrikladngfch velidin.

Je vecou konvencie, di velidinu g" v rovnici (o) povaZujeule z& faktor,ktor6lio existencia srivisi so zbytodn;y'm roziitenim podtu zd,kladir;ich veli6in,a naopak, velidinu z v rovnici (I.22) povai:ujeme za univerzd,lnu fyzik6,lnukon5tantu. O prijati uriitdho ndzoru rozhoduje jedine jeho praktickosli.

Z praktickdho hladiska povaZujeme za spriivne,pouZivat rovnicu (1.22),v kt'orej vystupuje univerzd,lna kon5tahta z, lebo jej odstrrinenie by malo za,nS,sledok vznik hlavnll?ch jednotiek sily a hmotnosti, ktor6 nie sf v rel6,ciis beZnjmi'predstavarni, ktor6 md,me o fyzikri,lnej podstate tllichto velidin.Z rj,ch istfch d6'i'odov sme pri odvodeni rovnice (1.19) nepovaZovali velidinum - hrnotnosf - za velidinu plirodzenri, lebo by to znamenalo, ie sila akoodvoden6 velidina by bola merand, hlavnou jednotkou, ktorr{, by bola totoZnri,s jednotliou zqichlenia.

Z6"verom moino teda konStatovat, Ze podet zrikladn;1ich velidin a ichvSiber urduje jedine praktickost hlavn;ich jednotiek odvodenfch velidin a po-Ziaclavka, aby podet univerz6lnych konStrint vo fyzikrilnych rovniciach,bol minimd,lny.

1.2.3 RozmoroYi symbolika

Rozmerovri symboliku zaviedol J. C. ilfuxwnr,r,. Dnes sa uZ nedd, presnezistit, aklf v;iznam jej on pripisoval, ba nie je jednota ani v defuricii rozmeruvelidin.

V sirhlase s tfm,'ako to zaviedol Maxwell, ilri pouZivani rozmerovejsl.rnboliky oznadime v5eobecnrh (vzhladom na velkost nekonkretizovn,nri) ied-nolku zrikladnej velidiny urditfm symbolom. Naprililad jednotku hmotnostioznattme symbolom M, jodnothu dliky symbolom L, jednotku sily (ak je

(u)

Jeoxorry lrene.Nia ryzrxir,rrct vrr,rdfN 2 S

z6kladnou veliiinou) svmbolorn F, jednotku dasu symbolom r, jednotkuteploty syrnbolom T, jednotku tepla (ak ho povaZujeme.za z*,kladnri velidinu)symbolom Gl a pod.

z&Pis

[rir]: Y

potorn ditame takto: r'ozrnetovJi symbol hmotuosti je M. VSetkv velibius',ktor6 sa merajfr jednotkami hmotnosti, majf. rozmerov}i svmbol M. Poclobrienapr. ple tllZku uapiSeme:

Ul : Lalebo pre silu (ali je zri.kladnou velidinou)

l f l : F

Odvodeuf m velidinim prish.'rcha v rozrnerovej symbolike rozrnerovy r.zorec.'I'ento vzorec sa odvodi z definidnej rovnice velidiny rovnako ako jej hlavutijednotlia, to znarnenS, tali. ze sa do uej za z:5"klacln6 velidiny dosadia-ich roz-merov6 symboll'. Napliklad z definidnej rovnice pre r;y'chlosli vralyva. Ze jeiIozmero\r)' \-zol'ec le :

Ll10J : -

a z definid'nej lot'nice llle zr{'chlelrie dostaneme jeho lozmerovy vzorec r. torntotvale:

Podobne nr.oZno oclvodid rozrnerovli vzor.ec sil.r' ako oclvodenej velidinS' z fle-finidnej lovnice (1.19):

I[ / ] : M * : L M t - :

Z tej istej rovttice. v5'plyva aj rozrnerovy rrzolec hurotnosti, ali silu povrri,ujemeza zikladurl velidiuu:

F F r g[ , r r ] :

f : t - L -1 F r :

t2

. . liozluelor-f vzorec r-eiidirr.r'rnoZiro teda povaZovat za lionceutr.or.anfi deti-tiiciu f.vzikiluej velidin.v. Tri,to_'charakteristiki r'o"n urel,jch vzorcov vstr,k uie jecelkorn na ruieste vted-y,-kecl_pli odvodeni roznerovdho vzolca velidin.y str,lu'r{,tili lozrttetor'd svrnboly. V- tomto_ plpade definiciu fyziliri,lnej i'elidin;'z rozrnelo\-6ho r-zolcil pliinro nevidief. Nalrliklact , ..orur"i.or'eho vzorca pretlali

lP l : L - t M t -g

L[rr.i : Te

30 Fyzrrri,r,r.Tg vnlrtitNy, rcrl MER.q.NIE

Na urditom mieste tejto kapitoly sme Reynoldpovo dislo

R E : d W Ql.t

uvddzali-al<o priklad p-rirodzenej.premenuej. Ak -rBe dislo je skutodne priro-dzenri velidina, musi, ako to $. aj z jeho oCnadenia (dislo) vypl;fva, by€ bez-rozmerovou velidinou. Presveddinie sa o tom takto:

Na zr{,klade definicie Re disla mdieme napisat:

[R" ) :

I Po dosade.ni dostaneme:

L !!!' [Ret : -+j3 : rM

T;Reyuoldsovo dislo je teda plirodzeni, fyzikrilna velidjna.

vel'mi beinri ie pras oznacovad termino'r roz're' veliciny to, co sme d.osial oznado-vali ako ro'*urot'.i iyrtl"t, "J"ir""""r#il"Jy_vzorec-"Nehlad'iac na to, iie t*toprax iepo. s6nra'nticke j stirink"e^

_r'o ,poni6,.1"j . "e!i ingg

, "u*02,, .ry"*,"iiif ,

-p""oo sa prirbdzeriri,ve'rrerna oznaduie a,ko bezroime*ii'ari,r". vlriirrase s touto p"g*o,.r!r totrz rozmer pri_.odzenej veridinv rovn6, l ." ;;-b-,'"i.J'u'v'to z o,znadenia,' ,,uur"oime.rrg,, wyprfvalo.

f,:il:""';:ffi:T"'l:"" *'8"r"*t i"""i,l iii" ii"*" "oa byi vyvrlzeni moinosrou lednod.ch-

HIav'6 v;ihody vypili vajrice z pouilv aniaroz'rerovej symboliky sri :l . R ozmerovl,X:1,"- :f

oirl.u j e, jedn of rlcho od vocl it j ed'otku od.vodene i' velidi'v koherenr"nri s jednorkami rar.rrdffi;ffii::jiHt*or,ri jednorku.odvodenie hravnej- j.h"otky ;"ll*J"""erro vzorca sa. uskutodni prost,imdosadenim jednotiek"zit i"aiv"rr ""ffi

za prisru,i'6 rororLrre symbory., 2. Na zriklade "ormgloyej symboliky,s*.*g.rlo l,ahko p'esveddit, di urditfvztah ud, charakter fyrik6l";ti;;"i"", ,. :. di je invarianrny vzhladom nikonzistentn. iednor-ky"verit;.'p;;r##iqg

* o rom tak, i,e d.o vztahumiestovetidin dosadime i"h;o";;;;"3 .ir",i"1l'ar. r.aza?m.,r;"" ,yo.r'icu prishlcha' rovnakli rozmerovry'_

11*g".F;I;;';;;r?r!o* ho*osiirf,-l t"a, invar.iant'i-' vzhlbdom na ,<brrerentne j'iinotty "Jioi".

-ivlo#;""':;";io'J,,

nr"rrr"ddit aj' tak, i'e eeli rovnicupred."t'ilj"d;,y,^'je; orenom. Ak po tejto transformdciipredstavuie kai.di dre'r'ovnice p"i"o-drenn premennf , t. j. ak je bezrozmerov'.vydetrovai6 r'ovriica.je tydir".t*;hom, Iebo je nijen z'6visrosdou nrcdli

*]:l'i,{#..hod'orami'.,"iidin, ;i;.-'il;"" i zrvisi;si;;',,i"i,i fyzikrilny'ri3' Rozmerovri symborika zjed'od.'suje_tec,r'ik' zipis' vzdahov, s ktorfmisa pracuje pri r.ozmerovej analyze, ; ;;;l b,,,il;;r;'ir;;;;;lii"r.

I.2.4 Sristary jeihrotiek

:0"r"f,;.113,13 J:!llrt"*;: sirbor jedrtotiek nrelania fyzikriurnych velidin spiria-

sristava iednotiek je $'dza, kecl sri v 'ej zalurrut6 iba zrikladn6 jed'otkvzrikladrjch veridr' a fila;;l;;r;rur'"d",".1";+;h";;ffitu; j" exaktn6. ai<kai;ddr' odvodend veridi'a j" ";

J;dri;;7ri.u-arr1iri, *riti"eor'"rz'ay defi'ova'6I'ovnakjm sp6sobom; je hoko'arri,-J.'jJn"iarre vzf,arry velidi' sri racio'd,r'evvb.a'6 a ak d'uh a- Podet zathdiryci'veridin ;;;i"d#;;oren5?. Kedzetermf'y racio''rne a vhodne;t" .,r-ri":*y mate'ratick6, rn6!e bytl dokona_J ost, resp. 11up"+. {"ko."..t"lU r,r.tr"y"i'.iametom diskusie.

. - "ou.v sa prrJara ctohoda,-o_vorbe a podte zd,kradnych veridi', kebv boraJed'ora vo volbe vel'kosti z{kladn;ich i"a,i"iili, l"UV f.?ra,lf,i,"ra""ri, v_elidi'abola definovan6 vZdy rovnaklirn';p6;;L';"r, keb.y sa poui,ivali len h]ain6jeduotky odvoden;icli"erftin a"rIr.iJJJlia""tkY z'kladni,eh *etidin, existo_

Jno Norriy ItE R-A.NrA ryzr xir,rvr*c rr vpr,r iix 3 lnevidief hned, ie tlak je definovanSi ako sila p6sobiaca na jednotkovri plochua teda, i,e rozmerovy vzorec tlaku bol odvodenf takto:

M Lr-fr

-a-lnl: ffi: 1u- : L-r M r-2

.Rozmerov3i vzorec plochy

l a l : t zdosadzovan;i do poslednej rovnice vyp\fva z tnho, i,e plocha ako odvodend,velidi:ra sa meria plochou Stvorca, s jednotkovou dlZkou strany.

. . ! .uyedgnfch prikladov vi4iot, ie rozmorovy vzorcc fyzikrilnej velidinyz6vi{-jednak od toho, ako je definovanri,, jednak od volby zr{,kladnfoh velicin.

V rd,mci rozmerovej symboliky budeme rozmerom fyzikri,lnej velidinynazj,vat sribor expon_e1_tov, na ktor6 sf povlf$end rozmeroi6 symb6ly v ,oi-merovom vzorci fyzikrilnej velidiny. Je to v srihlase s prvotnfm v;iznamomslova rozmer. Potom n&pr., rozmdr tlaku j" -f pri Ll I pri M, -2 pri r.Keby-platila dohoda, ie exponenty pri jedirotliv;fch rozmerovfch symbblochsa ddsledne uvridzajri v urditom poradi, bolo by moZn6 rozmer tliku formulovatnapr. tak;i'mto zd,pisom (-1, l, -2).

V srihlase so zavedenlim v;?znamom terminu-rozmer moino povedat, Zerozmer nryo_{z9n9l velidiny sa rovnd, o a i,e teda prirodzen6 veli6iny sd bez-rozmerov6. Krit6rium, na zd,klade ktor6ho zistujeme, di urditri v6teina 1eprirodzen6 premenn6, je teda platnosf vztahu

fvelidina] : I

Do tohto vztahu dosadime rozmerov6 vzorce velidin: d, u, Q, p,ktu|vypllivajriz ich definidn;ich rorrnic a srl:

[ r l ] : LLt

r 1 MLgJ : Lt

MT;tpl --

FvzrxAr,rd vwtdrwv, rcn MER'aNIE

vala' by len jedna sristava jednotiek'. Je- t'o prili'5 vela poZiadaviek' aby sa

*ofrf" "p*apbHadat, i" lu'ttit- pfii?t6; V sfr6as'ost1 je- vo. vedeckom svet'e

oraktickv zhod.a iUr "o "offu-adf"t'iA"1i"tt

vztahov odvode'11ch velidi'' Zvl1bt

+"ifi;';ir;#;""1" i"r ";;;b"

rauia"f"r' velidin. Mensia je.uz zhoda v ich

ilt; ;";it#"5'si"'-"ai"lV .ne{zi, jedl.notliv'imi sristavami jednotiek^stiv definovani velkosti

-"-af.f"d"y.ft jedriotiek zriidad'1fch velidin' Od r' 1963

i";'t$Jfr;;;;;-";;;"-c"sx br rloo, ktorou sa ustanovuje, ze podlaI ar.L"XT"il;

";;;# A

"eut"arre vehd inv : alztS r .hmotno{,- 1 as' iutenzitu

;I";;;t;il p*a", *pf*"y r"rdiel a svietivos6. T6to uorma urdujg t'ie7t, lze

,itir,-i:*riir i;dr"tL";i -tSiitto

velidin sri jednotkv.: m9ter.(m), kilogram(ks). sekundu (s), t*p?. ii);-;;pbdtf stupgir (deg)'"ka'deln.("$)' T':b^t:i-$?t; ;i""6kilfi";;i

"i"h;tr"'*i {ea"11aq9aneJ' sristavy jednotiek. rrito

;;."tJ;;r .rrvo"iti,t il;"j";Fbolom SI (Systdme Inteinational) alebo aj

.v-toro* rurse tp.ar" ,a"tiudocu11"h pismen-zrikladnllich jednotiek)' . .- * $"i"*ir* ;;"ir;'- ;d"oa""1i"fr ielidiin _norma eSN 0i I 300 urduje \y y' L"

p.ir^o pr"dpisuje i6h hft*ie l"a"otky' VSetky ostatn6. jednotkyrelidin sa

+^;h;$;dSN b;"r;"il ; r,dkoh"r"irtt 6, r.esp. 'ekonzislent*6 v SI sirstave

a ako tak6 sa oz-na6uj6-ako vedlajEie jednotky'VedlaiSie iednoti.i .u-oa"oai"jri" od zri(ladnfch a hlavn;ich -jed19ti'ek

", "ati"'al'pi-".1ffi;t;"h "rtuno", " titor'ich sfdinit6le rimer'osti sri dvojak6ho

druhu. Spravidla "n

io-*o*i"y'6isla 1"0, priCom urdit6 n6sobky, resp',diely

Urr""": ti"to "ar.rua"L; ,"dtt;tky sa vystihtijf {fmito predponami a znadkami:

Predpona Znadka Sfrdinitel

teragigamegakilomilimikronanopikofemtoatto

hekto hdeka dadeci dcenti c

TGMk

10 ls

I0e106r03

m lo-3p lo-u; ro-eo to - t tt to-tu* to-t t

Vo zvlistnych pripadoch moino pouZit aj tieto predpony a znaiky:

I02l0rI0 -110-2

Pledpona sa sprija s menom zrikladnej alebo hla.vnej jednotky^R l:*9,-:1"-":bk."- tdktb tvoren'ich vedlaj$ich jodnotiek pripri5ta CSN pouzrvat a

niektordaedlaj5ie jednotliy odvodeir6 od hlavnfch. jefurotiek SI sustavy tari'

Ze prepoditaci iriOiniteT n#i" ilor"i"o" disla 10, priiadne *ie je ani dislo celd,

"i"'.,n2'ay je to dtslo

";;i-";t""6 ; a.d; pt-".*.SO !o povdtsine jednotky

tt"aiU# $ouZivand nielen v obdiansko* .tyt o,.olg."j.vo,vede a techuike'

Niektor6 z t,tchto ""dioisi.tt

i"a""ii"t sf hiavrifmi jednotkami v sfstavdchpouiivanfch v eSSn do r'. tS'61, t. j. do uzikoneuia CSN 0t f 300'

Do tejto kateg6rie patria aj jednotky, ktor6 sf zr{,kladnfmi !gsp-. hlavnfmijednotkanii v sfstavdc[ pouilvanfch v anglosaskej literature. Kedie iniinier

lrichridza do styku s touto litoratrirou dost Casto, treba sa oboznrimif ajs tlimito jednot[ami, aj ked sb o nich na6a norma nezmieiuje.*)

I.3 FYZIKALNE R,OVNICE

Fyzikrilna rovnica je matematicklf z6pis fyzikrilnej zrikonitosti. Fyzik6lnerovnice sri teda matematickd vztahy, v ktorych aho premennd vystupujrifyzikr{,lne velidiny.

Ako fyzikrilne rovnice oznadujeme len rozmerove homoginne vzfahymedzi velidinami. Len tak6to vzlahy moino totii transformovat na z6vislostimedzi prirodzen;?mi premenn5imi, t. j. na vztahy, ktord sri apriori, tak akovelidiny a rovnako ako opisovan6, fyzik{,lna zd,konitosd, invariantn6 vzhladomna jednotky velidin. Rovnice, ktor6 nio sri rozmerove homog6nne, sri iba n3a-tematick;imi vzfahmi medzi diseln;imi hodnotami velidin; nie sri Leda z6'-vislostami medzi fyzikri,lnymi velidinami a ozna6enie fyzikrilna rovnica imnepaEi'I.

Vbetky elementiirne zd,konitosti a definicie vo fyzike sa dajri zapisad akofyzik{"lne rovnice. To vSak znamen6,, ie aj v6etky vztahy z nich odvoden6rnajfr charakter fyzikri,lnych rovnic, ak matematick6 spracovanie bolo korektn6.Rozmerovri.homogenitu odvodendho vztahu moZno teda vyuiit ako kriteriumsprd,r'nosti odvodendho vztahu.-

Yztahy odvodend korektnlim matematicklf m postupom z rovnic opisujri-cich elementirne z6,konitosti sir exaktn6. Majri tri vlastnosd, Ze v nich vystupujriien zvl65tne disla presnej hodnoty a fyzikri,lne velidiny ako premenni alebo

X\zlrlr.rYs tlovll-roE

*) Zrikladn,i veliCiny a zrihladn6 jednotk5' v srlstav6ch pouiivanych u nds do uz6-honenia SI srlstar..y:

Sfislava CGS, naz;i'vanri aj fyzikdlna

Z:ihladnri, velidina Z6,kladnd, jednotka Symbol jednotky

hmotnosdalztadas

Sristava tochnickri:

ditkasiladas

gram ccentimeter cnrsekr:nda s

meterkilopondsekunda

mkps

Sustavy pouiivan6 v anglosaskej literatrire moino odvodit od niekl,orej z uvedenfchsristav tak, ie velkosf z6kladnfch jednotiek sa definuie prisluSnirn sp6sobom: hmotnostd meria v librrich hmotnogti (tU,ni, aiZm vo foot (ft), ias v gekun<irich (soc), teplotnl'rozdiel v stupiroch Fahrenhoita (dF) alebo v stupiobh Idankina fR). V]tnimku tvoritzv. iniiniersla efstava pouZivan6 v USA v niektorrich technickrich kruhoch vrd'taneohomick6ho iniinieretva,

^Je to s0stava, v ktoroj popii hmotnosti je sridasne aj sila po-

vaiovand za zrikladnri velidinu, a meria sa z6klidnou jednotkou libra sily (lb1). :

Chercickd bzirieretio I

34 Fyzrrir.lw vnr,rdrNt, rcE MEBANTE Fxzrr-ir,Nr F,orrNrcE.

velidiua, treba aj zd,pis iI. vety termodSznamiky, s ktorlirn sa rn6Zeme stretnri0.v star'5ej litelatirre, v tvele

JQ:JU+Walebo

Q:U+AWpovaZov&f za uesprivuy, ba neplipustny. V t;ichto vztahoch tzv. tnechanickyekvivalent tepla, (./), r'esp. tepelny ekvivalent mechtr,nicliej plrice (,{):

I, l :

, : { , l l i ( i t i j o r r l e / ca l

majfr opodstatnenie iba v srivislosti s t.1irn, Ze teplo sa povrr,Zuje za velidinuzdkladnu, kecl sa rnet'ia v cal, r'esp. l;cal, rniesto toho, aby sa ako odvodellivelidina urelalo rovnako ako pr'6.ca- Sprd,vtra formuld.cia tejto lovlrice vypllivri,z pledpisu I

' I - - -T : r

c) Tval rovnice srivisi s nel<onveudnou definiciou fyzil<6,lrtej rrelidin)'.Tvar fyzik6,lnej lovnice z6,r'isi od toho, ako sir clefino,vand velidiny vpl.y-

vajr.'rce na ciej opisovanli rovnicou. Prijatie nekonvendnej clefinicie velidirty urd,

1teto za n6,sledok nesprS,vnu {blmuLi,ciu plisluSnej rovnice.Napliklacl melrr.6- teplo (c) je definovan6 al<o mnoZstvo tellla potlebni

na olrriatie telesa s. jednotkovoti hrnotnostou o 1". Z tejto definicie vypl;ivasprd,vna fyzikrihia lovnica :

Q : n t ' c L t

V technicl<ej literatrire sa vSali ur6Zerne stleturif aj s lovnicou opisujircouten istri' fyzil<d,lnv clej, fonnulo\'&l1otl v tt'&te

Q : G c t \ t

Iide G je tiai: telesa.Tdto formuldcia je nielen nespriivna, ale je uelrlipustnri,, lello nere5pektuje

rrorrnarni z6"vdzne pledpisanir definiciu rneur6ho tepla. Vznikla Lotivz ua z6klade.svojvolnej definicie menrdho tepla alio luloistva tepla potlebn6ho na olrriatietelesa s jednotkovou tiaZou o I stupeir.

Ako inlf plihlad nesprd,vne formulovanej lovnice tohto dt:uhu rndie 1:o-slfiZid vztah pte plochu kruhu (8;):

8 p : d 2

Svoje oprd,vnenie by td,to lovuica mala len vtetly, keby sa ztr, jetlnotku plochypovaZovala plocha lit'uhu s jednotJrovyur polomerom. l(ecTZe sa r'3ak plochapodla CSN clefinuje rovnicou

, S : l l

a v sfrhlase s touto r:ovlricoll jej jednotkou je plocha Stvot'ca s jedrlotliovoudiZkou strany, jecline spr:d,raroit i'ovnicou ple plochu klullr je vztah

kon$tanty. V technickej praxi sa vdak hojne pouilvajf aj empirickd fyzikdlnorovnice odvodend na zd,klade experimentd,lne zistenfch ridajov.. X'yzikr{lnerovnice tohto druhu sri spr6vne, ak obsahujri v6etky velidiny, ktoii na skri-manlf jav vplfyajrfi a sf natolko presn6, nakolko presn6 sri diseln6 hodnotybezrozmerovfch .koeficientov a exponentov v nich vystupujricich. Zvl{Atnedisla v t;ichto rorrniciach majri teda Statisticklf charakter.

Sprrivne formulovani, fyzikrilna ro''rniea je rovnica rozmerove homog6nna,spr6vne informujfca o povahe skriman6ho javu. To znamen6, irc je to rovnica,ktord, obsahuje okrem zvli5tnych disel iba konitantn6 a premenn6 velidiny,ktor6 majri na opisova,nf jav skutodne vpl5rv. Nesprdvne formulovan6 rovnicem6iu vzniknrit spravidla -trojaklim sp6sobom:

a) V sprrivne formulovanej rovnici sa urditri, ve[dina vyjadri ako funkciainlfch velidin, aj lred td,to matematickd, operdcia nev5rplj,va z povahy fyzikrilnejrea,lty oprsova,neJ rovrucou.

Napriklad y rovnici clefinujricej kineticlrli energiu:

E x : I . "T*- '

sa hmotnosll telesa (za) vyjadri platnym fyzikr{,lnym vztahom

*:9c

kde G je tiai, telesa a.9 je zrlfchlenie zemskej tiaile, takile.vznikne vztahl

I GEK:

T ; * ,

Tento. vzdah nie je sprrivne formulovan{, fyziki,Jna rovnica, lebo informujerresprdvne,v lgy._zmysle, Ze na kinetickri energiu m6 vplyv lia| lelesa a zr,!ch-lenle zemsKeJ Tiaze'.

bJ X,'yzikd,lna rovnica obsahuje univerz6lne rozmerov6 konbtanty zbytodn62 ftIs,,cliska prijatej sristavy jednotiek.

CSN 0f 1300 jednoznadne urduje podet a druh zri,kladnfch velidin. Preto,napr. zd,pis Newtonovho silovdho z6,kona v tvare

^ m a, :

*

moZno oznadif nielen za nesprdvrru formul6,ciu, ale v na5ej technickej literatri'renepripustnlf. z{pis fyz-ikrilnej rorrrice. Existencia univerzrilnej rozmerovej kdn-SPtltI ga srivisi totiZ len s t1im, ie sa popri hmotnosti aj sila povaZuje zazr{_kladui velidinu, cb je v rozpore s esN.-vZtahy provzat6 i aadzej litorairiry,v ktor;fch vystupuie tritci velidina, treba upravit tak, Ee sa predpi5e:

' $ c : L

Z blch istfoh tl6vodov sa belne za spri,vne formulovant rovrdcu povaZujevztah (1._lz) a_ni9 vzfah (u), ktordho pripustnost. z6visi od toho, 8i sa pie?:rgtyj odbor'fyziky (napr. rulron6miu) dovoli '6pecir{,lnou..normou vjnimkaz.CSN 0f 1300. KedZe podla'eSN 0l 1300 je teplo o.dvoderid a nie z6Uaane ,Sr-: A d,t. . . l

a

Fyzrr&arn vnr.rdrNy, rcx ![Eaa!uE

Podobne rovnica pre kinetickd energiu v tvare

E i i : m w2

by bola nospr6vne formulovan;im fyzikrilnym vztahom, lebo vypl;iv& z n€-konvendnej definidnej rovnice

f : 2 m a

1.3.1 PrepoCot Ciselnfch hoiln6t fyzikilnych velidin

Fyzikrilne rovnice v integr6,lnom fvare sri algebrick6 vztahy. V tomto tvaresa najdastej$ie pouZivajri v praxi na vydislenie neznd,mej diselnej hodnotyniektorej velidiny. Vydlslenie sa uskutodni dosadenim Ciselnfch hodn6t znri-mych velidin a vykonanim prisluSn;ich matematicklich oper6cii. Nevyhautn6,,av5ak nie dostatoind, podmienka sprri,vnosti vydislenej hodnoty velidiny jesplnenri,, ked sa do fyzikrilnej rovnice dosadili diseln6 hodnoty velidin v kon-ristentnSich - koherentnfch jednotkr{ch.

Kedie fyzikri,lna rovnica je rozmerove homog6nny vzta}i., konzistentn6jednotky dosadzovanfch velidin a vydislenej velidiny vypllivajri priamo z roy-nice. Ak je fyzikrilna rovnica sprd,vne formulovanii, sri konzistentnly'mi jed-notkami veliCin zrikladn6 a hlavn6 jednotky'Sl sristavy. To vSak neznameni,ie by vjpodet pomocou fyzikrilnej rovnice bolo moZn6 robif iba d.osadzovanimhodn6t velidin v jednotkr{,ch SI sistavy. Vypodet bude'sprd,vny, aj ked jed-notky velidin nebudti jednotkami SI sristavy, musia viak' by€ navziijomkonzistentn6 -- koherentn6. Jednotky vyhovujrice tejto poiiadavke sa zistiadosadenim jednotiek zrikladnl;?ch velidin do rozmeroy5ich vzorcov pouZitS?chpri lrontrole rozmerovej homogenity rovnice. Volba jeclnotiek zrikladnlich..velidin sa pritom riadi jedine hladiskom jednoduchosti qfpodtu. Tento postuppriprflEta aj CSN t!,m, i;p povoluje merat fyzikr{lne velidiny aj vedlaj5imi jed-not'kami.

Kedie eSW Of f300 pripri5ta pouZivati aj vedlajiie jednotky a naviacv -niektorfch Etr{,toch sri platnd normy, ktord nie st v srilade s dSN, ridajeo.hodnotri,ch velidin tak ako sri k dispozicii z literatriry neb;ivajri vidy kon-zistentnd. Pred dosadenim do rovnic6 treba ich prepoCitrt i,-uriat v lionzis.tentnfch jednotkrich. Prepoity diseln;fch hodn6t velidin moino robif r6znymsp6solgm, V kaidom pripade v6ak ide o urditri aplikriciu rovnic (f.4), reip.(1.5). NajbeZnej6ie postupy sri tieto:

a) prepodet dosadenim,b) prgpodet na zriklade rimery,c) prepodet na; z6klado rovnice (1.5).

^V6etkyxvede.n6 postupy sri.ilustrovan6 v prikladoch rieSen;ich v para-ggafe 1.7 tejto kapitoly.,Tu uvedieme.irriklad na postup podla-a), lebb hoodporridame .pouZivpt,

?rikloril

Treba udat hodqotu 9r4.y Pa. Jedrotka pascal (pa) ie hlsvnou iednot\CU tlakwv SI swtave, K. dispozicii je nidaj 5 at,

Fyzrrft,Nn RovNrcr: 37

R i e B e n i e :

Podla rovnice (1.4) je:p : p , s t , : p , , p a

Vieme, i,eat : kp/cm2

P a : N / m 2 : f +m s 2

Vztah medzi t;imito jednot'karui odvodims takto:Vieme. i,e:

I kg : 9,806 05 N : 9,SOO Os lg-^-

l r n : l 0 0 c m

Potom:

at : lip/cmz - 9'-896 65 Jv : 9.80G 6,

Nt3-a mz

-5 ' l0r +: 9'806 65 ' l0{ Pa

Dosadenlm do prvej rovnice dosta,nerne:

I - 5 a t : 5 . 9 ,806 65 . l0 { Ps : 49 ,3 . l0 .Pa

I.3.2 Transformicia vztahov meilzi Cisolnfrni hoilnotami veliCln

Matematickf vztahy meclzi diseln;imi'hodnotami veli6in nemoZno po-vaz'ovat za fyzrk6'lne rovnice, pretoie nie sri sfrdasne zS,vislostami medzifyzikr{,lnymi velidinami. Opisuje-sa nimi sice kvantitativne urditri, fyzikri,lnazd,konitosf, no opis nemd, vseobecnri platnosf. K vzniku takfchto vzfahovmdZg d9j$ alebo nesprri,vnym zd,pisom v5eobecne platnej zdkonitosti aleboY!"dy, ked poznatky qisl:umnika o povahe skriman$ho javu sir nedostatodn6.Ako pril<lad pre prvf pripad nech shiZia rovnice:

" A :mAta

s : 4 ,905 ze

Ani jedna.z, tfchto roviric nic je rozmelove homog6una a nie je teda fyzikrilnourovnicou. Obe vznil<li zo spr6r'ne for:mulovanSich fyzikrilnyrch rovnic

A : m c L t

resp.

tak, i,e sa do nich dosadili urdit6 hodnoty fyzikr{,lnych velidin

c - l h c a l / k g d e g

1 "s :n '0 r "

38 Fvzrr&,rvp ver,rdrNr, rcrr MERANTE

r e s ' ' g : 9 ' 8 l m / s ?

Cim sa zmenSil rozsah ic\ platnosti, lebo v tomto llovom tvare platia len preLitku, ktorej me116 teplo mrl diselnri hodnotu c : I (voda;, iesp. len

-pre

drdhu voln6ho pr{du v syst6me, v ktorom tiai:ovd zrSichlenie me noanotu SlSt(urCit6 miesto na zemskom povrchu).

Pre druhlf prlpad moino -ako priklad uviest m'ozstvo tzv. empiricklfchrovnic-pouiivanych.-v_ t_echnickej praxi pri vly'podtoch. sir to vztaliy, k[or6boli odvoden6 na zdklade experimentri,lneho materiatu. Z nejakj,ch idvodovr'Sak.tento experimentd,lny materi6l nie je dostatodne reprezentativny. Naj-dastej5ie_ preto, ze ako premenn6 n!9 sri zistend vbetky velidiny, ktor6-na javvplyvajri...Experimentriln^y -nrateriril sa teda vedom-e alebo

-nevedome (pri

nedostatodnom pozrrani fyzikrilnej pova_hy skrimau6ho javu) ziskal pri k6n-Stantnlich- hodnotd,ch urdit;ich velidin. Hodnoty tjchto velidin sri zihmut6v diselnlijh hodnotri,ch sridiniterov a exponentov vystupujfrcich v odvodenejrov-nici. .Rovrrica potom, prirodzene, nie je vieobecne platnr{, lebo zo sriborupodobn;ich.j.r"9y opisuje iba tie, pri ktorlich velidinjz povaiovan6 za kon-Stantn6_majri tf istir hgdnotu, akri mali pri zhromaZdovaii experimentdlnehomateri6,lu, na zd,klade ktor6ho bola rovnica odvodend,.

- Do tejto kateg6rie patria aj rovnice, ktor;ich pravii strana m6 charaktetradu s para_metrom, ktorj nie je prirodzenou fyzili6lnou velidinou.

Formulicii vztahov, ktor6 rlie sri viac ako matematickd zrivislosti medziiiselnlfmi hodnotami velidin, sa vyhllbame predovsetkfm preto, Ze fyzik6lnurealitu neopisujri vseobecne, av5ak aj preto, ite tieto vitahi nie sri

"o'zmerovehomogdnne a teda nie sri invariantn6-vzhladom na iednoiky velidin. Z tohoyJrplfva, ze sprri,vne vydislenie hodnoty velidin pomocou tlkrtchto vztahovje mozn6 iba vtedy, l<ed sa do rovnice dosadia diselnd hodnoty velidin v jed-notk:ich predpjsanly'ch pre tento vztah. Napriklad vydislit drrihir voln6ho p"riduvo vzduchoprd,zdnom priestore na zemskom povrchu podla rovnice

s : 4,905 12

je mozn6 len vtedR hecl das trvania pri,du sa dosadzuje v sekund6,ch. Drrihavoln6ho.pri{]r vydislen6,.z rovnice bud-e potom udanri, v metroch. Keby sa dasmeral v hodinri,ch a diseln6, hodnota drd,hy v5ryoditanri, z rovnice by niala byfudand,-napr. v cm, bolo by treba dosadiooiril, resp. vydisle'6 ho"d'oty pr"e.poditat, alebo rovnicu prislu5n;y'm sp6sobom upravii, .a io takto:

s ' : 490,5 . (3 600) , 12 :6 357 . L06 *

Hoci tri,to ro-vnica opistje td istri fyzikrihru realitu ako predoili,, tvar rovnicje.r6zny (vz!a! n1e je,invariantnli vzhladorn na; jednotky velidin) a aj sp6sobqipodtu je inli. Do druhej rovnice treba dosaciit das v hodinri,ch a ciseln6hodnota, drd,hy, zistend, rie5enim rovnice, bude vydisleni v cm.

_ v_ypolty pomocou rozmerove nehomog6nuych rovnic moz'o robit teda.t'ak, t'e ud6van6 hodnoty velidin sa-prepoditajri na hodnoty v jednotkrflch,ktor6.si pre dosadenie do rorrnice predpfuand, alebo tak, i,e toir.i"air prevediedo,tvaru zodpovedajriceho jednotkrim, v ktorfch sri diseln6 hodnotf velidink dispozicii. T"rto d.1!y postup je vjhodnf niima vtedy, ked qfpodty hebacastokrrit opakovat. R6zne sp6soby ripravy vztlahov me,lzi rtetirJimihodno:

Fvzrxir,sa RovNrcE 3 0

tami velidin sri uvederr6 v prikladoch v paragrafe 1.7 tejto kapitoly. Tu ako

priklad uvddzame postup, ktorli' odporfdame pouiivat.

Priklad

V urditej publikri,cii sa uv6dzo vzt'ah prc vj'podet stlaty tlaliu pli prietoku tekutinyihlov.im ventilom t' tvare:

^ ^ ^ o 7 1 s 2On : u,ue _)irr.

l<de2\p je strata tlaliu,p - lrustota tekutiny,u - rlichlost jej prfdqnia.d - priemer vcntilu na zirZenom konci.

Rovnica je rozmerorre nehomog6rura, o dom sa moZno lahko presvedii0

M M L z-L;r ' : Ls r, Lt i

Tri,to rovnica je tedo iba matematickly'm vzfahom medzi iiselnfmi hodnotami veliCln..Mali by srne ju preto vlastne zapisali takto:

nt' : O.OS -e?'1D r - , - - d ' , 1 "

a sridaene predPisad jeclnotky velidin, v lrtorJich sa, budri dosadzovalj ich diseln6 hodnoty.Y literatrlre uvridzajrlcej trlto rovnicu sa predpisuje:

Lp : trp'lb1lft2P : u'ft'lsd : d " f r

p : s'slug/ft3 (slu$: l!rs).

\ L v t

Tento predpis jednotiok jei z hladiska naSich noriern a zr'5rklosti nevhodnj'. -{-li budemerovnicri poriZivle pri vly'poCte iastoj3ie, prepiEeme ju do tvaru, ktory urnoZhuje dosadzo-vat q vydlslif hodnotu velidin v jednotktich SI sristavy

Ap : Ap" N/mz : 7\p" hg/m q2p : p', kglrngw : w" tnlsr J : d " r n

Trancformdcia sa uskutoCnl takto:Rovnica sa zapiSe ako rozmerove homogdnny vztah

- o 7 l : 2 'Ap: k_;_rt"_

ktorjm je definovaird, velilina /c. Podla p6vodnej rovnice je:

k : k' ftus : 0,09 ft1/3

I(ed sa Cfuelnd hodnoty volidin budrl do rovnice dosadzovall v jednotk6ch SI sfstavy,bude pro velidinu /c platit:

h : k,, ,,,rt:.

u r : f o " Y a t l s : I c ' f 0 l r

tiedze Podra noriern: ft : o.io4 zg m

Fnzrrir-Nn r.nltdtxv, rclr MERANTE

Je :k" ntTts: 0,09(0,304 ?9)r / r t t rTr : 0,061 nr i /s

Po dosadeni bude nat rovnica tvar:.

ao : o.oor-991-

resp. sprrivnej5ie:o"'rD"2

l o " : 0 .061 s . - -" , - " . d | , L | 3

r.4 DEFINICTS T JEDNOTKY NIEKTOR\:CHFYZIKALNYCH VELIEIN

V tomto paragrafe uvd,dzame definicie niektorj'ch odvodelych velidintak, ako sri uzriko;en6 normou eSN ot 1300. Sridasne sf tu uveden6 aj ichhlavn6 jednotky a niektor6 dasto pouZivan6 a normou plipusten6 vedlaj5iejednotky. Dal5ie vedlaj5ie jednotky tlfchto velidin sri uveden6 v tabulliichprepoditacich koeficientov.

1.4.1Z6ftladn6 veliCiny a ich jeilnotky podla dSN

Ako sme uZ v kapitole o- stistavd,ch jednotiek uviedli, podla eSN sa zazrikladn6 velidiny povaZujri diZka, hmotnost, das, teplotu;i rozdiel, intenzitaelektrickdho prudu a svietivosd. Velkost ich zrikladnlfch jednotiek: meter (m),kilogram (kg), sekunda (s), teplotnlf stupei (deg), ampdr (A), kandela (cd)je definovanri v eSN 0r 1300 srihlasne s meidzindrodne uznS,vanymi normami.Z6,Hadnd velidiny v5ak moZno meraf,, a je to v srihlase s OSN 01 1300, aijednotkami vedlajSimi, ktord sri definovan6 ako nrisobky a diely zd'kladnfchjednotiek. Nrisobk5r a diely sf spravidla mocninami dlsla 10. V;fnimku tvoria'vedld,isiE jednotky dasu, ktor6 sa odvodzujri od zrikladnej jednotky takto:

l d e r i : 2 4 h

l h ' : 6 0 m i n : 3 6 0 0 s

a tedal d e r i : 2 4 h - 8 6 4 0 0 s

V urditom zmysle tvolia vjnimku aj vedlajSie jednotky hmotnosti, litord sanetvoria ako nrisobky a diely zrikladnej jednotky (kg), ale ako nri,sobliy a dielyr 000-krrit men5ej jednotky gram (g). Pre jednotku megagram (Mg) : f 000 kgpripri5ta CSN pomenovanie tona -(t).

Pri vedlaj$ieh jednotkr{,ch dlZky plati tr{to v;inimka: Miesto normd,lnetvorendho nd,zvu jednotky mikrometer (pm) : 10-6 m sa povoluje oznadeniemikr6n. Naproti tomrt oznadenig jednotky rnilimikt6n sa povaZuje za ne-sprd,vne. Za spr6,vre sa povaiuje iba oznadenie nanometer (nm) : l0-e m.

Meranie teploty je v porovnani s meranlm in;ich velidin zvlddtne t'1im, i'esi vyiaduje nielen definiciu jednotky merania, ale i definiciu stupnice hodndt.

DnrrNlcrp a JEDNoTEY

( r .23)

kde ?' je diselnf thdaj fzv. a.bsohitnej teploty uddnej v oK (stuperi Kelvina),t. j. v deg v Kelvinovej stupnici a tr je disehrf fdaj teplcity. v'C (stup.eri Celsia),t. j. v deg v CelsioVej stupnici.*)

Kedie v oboch stupniciach.je teplotnlf rozdiel meranli rovnako, plati, i.e

At :. .4r: C"g : Ar"oK': Ar'oC (r .24)

1.4.2 Sila - symbol,/

Sila ako vedlaj5ia velidiua je definovanri IL Newtonovlim pohybovymz6konom

l : r na ( r . le ) 'kde m je hmotnost telesa,

a - zrfchlenie.

Illavnri, jednotka sily, odvod.enir na z6"klade tejto definicie, je newton (N):

N - k g mg 2

+) V anglosa€kei literatriro sam6Zome sfretnritl s ridaimi teplctv v stupioch Fahren-he+q ("F), resp. v stripioch Ra,nkina ("R). Pre rtdaje tepioty v tlic-frto sluirniciach pLati*vzdahv:

T ' " 3 , : r " F + 4 5 9 , 6 7

. { , o C : " g A , . F _ 8 2 )

kQe T' je Ciseln6 hodnota teploty v stupioch Rankinovfch ('8,),' r' -

pfuetnri, hodnota teirtotj' v stuiioch Fahrenhoita ('F),",." - tlseln6 hoclnota t"irl*f ." stuinoch Cblsia ('C).

Pre rldajo teplotn6ho rozdielu plati:

Lt : Lt' o11 : 61',oF

1,8 at'oC :. ar" oF'

1,8 [!'."K : Lt" oll"

4 L

Je'dr-rptka,',pre deranie teploty. je definovand, ako jednotka teplotndhorozjirclu l- stupei (deg). Stupnica hodn6t teploty v6ak mdie byt t sfhlaseo':.CSN definovan6, dvojako. -.ako absohitna alebo ako Celsiova. V obochstupniciach je teplotnli rozdiel mcranSi rovnako a jeho jednotkou je stupef,(deg). Stupnice sg, v6ak li6ia navzrijom.umiestenim nulov6ho bodu. V absolrit-nei stupnici tepl6t - Kelvinovej -.z,aLiatok 'stupnice

(jej nulovri hodnota)zodpovedri, absohitnej nule teploty, kf* zadiatok Celsiovej stupnice (nulov6,hodnota) je:umiestenli 0,01deg pod lrojitl;im.bodom vody. S ohladom nateplotu t'rojit6ho bodu vody plati pre diselnd hodnoty teploty udri,van6 v tychtostupniciach,tento iztah

8e8P.

42 Fvzrx.ir,sr vnr,rdrNr, rcn lrbnexrs

Najvjznamlej5ie r.edlaj5ie jednotky'sily sri kiloporrd (kp) a dyn:

I kp : 9,806 65 N: 9,806 ̂t kg*rr -?-

' d y n : € $ : t o - 6 N

7.4.3 Tiat - s]'mbol G

silovfBrejav telesa I'not'osti ,,& v silovoru poli ,s koustant';irn tiazowrrr(gravitadnllm).zrlichlenim (g) sa naz!,va tiai.. Z tijto d.efi1icie oygriy1,o, r.ovnrca:C l : n t , g (1. :5) ,

kde 9 je tzv. Iokdlne tiai.ov6 (grar-itacxn6) zljchlenie. Lok6lne tiazovd ztich_lenie, na zemskom pov.chu 'rI pr.eme'livri_"hoclnotu. J"h; i;dr;L]r' -" ls.lmeni od miesta Ii ruiestu letr rtepatnre a v CiJSP" sa nelisi od uormalizonrrr"lhodnoty-gn-:-9,806.65m/s2_ o

^-riac alio l_prornile. pr.eto pri te"rr"ia.ycri

r{p-o.dlo_"1_: f"$ "i: je porreb'd, zvki'st vysok-ri p."*no.t, r" p'ooit" s jerro"za-

oKrunlenou a kotrstanti lou hodnotou: g: 9,gl m/s2... z rovnice (1.25) je zrejm6, tze tiai sa nieria iymi ist;;rni jeduotliapri alio,

sila.' Tiat' definovau6 r'ovnicou (r.2;;) sa v mimrlosti ozladovala al<o yii,ha,

telesa. Teuto termin, pre nejeduotubst u6,zoru uu i"tro-ofsutr, ,u nern6, uZporrl ivataeSNodporfidarraliradidlror'celotur;;;"] i l iy;ikyi! ' ' i ir ' i" ' i i i i#

1.4.4 illnoZstro lirtkl' - s.vnrltol ar.. ri.

Mierou rnnoZstr-a l6tkv.je jej hruotlostt. IlpoZstyo litk.v lclriya16 r, jed_totkd,clr hmot'osti sa sp.a'ihla oz'ad.je s.yrurrolo'r ,ir.-----'

---'

MnoZstvo l6tkv rnoino r5ali ucld,i'at'aj v tzv. mtilovlich jeclnotkich;takto udan6 sa sprar.id.la ozrrad.uie ,""rUofo*

".Zav edenie ur6lovych j edu otiek mnoZstva. ld,tk.v j e_ poclla, nonny pripustn6:":H::t ?llr+{'f"i. cir6nii. tebo trr znamend, z;earilairseiii" ,ipi* i";,'"1 J..;l,vztahov' zavedenie tlichto. jednotiel< r,sak_zna,rnena, il.e muozitvo Li,tk.v sapo,r'aZuje za d'al5iu z6klaclnfr velidinu so vsetk;l-mi ci6sledkami, ako bola o 1ic1red vpredchri,dzaj(rcich paragrafoch tejto kapitolir.

llolove lednotkv }],lozrlt? l6tli.y. sa, odvodzujit od zdlilad.nej jednotkr- ,kilom6l

lkmrill Kilom6l.i? g"{}ror:r:iy -"f.g mnoZslvo titky, ktor6 obsahujel*y.poeet dastie (molekrii;, kolko icrr"obsahuje rz r.g bresr'riy-irotopo 'hlika.C12. Tento podet l.astic je clanli AvogadrovoutonStaito-rr?i;-j'-

r\ ia : 6,0238 . 1026 kmol-l

Tisfckrrit mengou jeduot,liou je mol:

I kmol : I 000 rnol a z nej_hlavnri jednotka hustoty v lig/m3. Hustota sa vsak velmi dasto udri,vavo vedlaj$ich jednotk6ch g/cmi, g/liter a podobpc.

Dnrrxicrn A JEDNoTKy 43

V srihlase s definiciou kilom6lu, resp. m6lu m6Zeme napisaf

" : YM (r -26)

kcle z je mnoZstvo Litky v kmo'I, respt v mol,nz - mnoistvo kitkv v lig, r-esu.'v g.Jl/ - m6lori hmotuos"f li"tkSi y kg/Emol, resp. g/inol.

M6lovii hmotnosf je charaliteristickri kon6tanta tr{,tkv. Jei diselnri hod.nota

"93"1I.kgikmol i v g/rnol je rovnahri a rovnd, sa diselnej hodnote molekulovej

vri,hy litky.llolekulori v6ha chcmick6ho individua je bezlozmern6 dislo dan6 ako

sridet.atrimovj,cii vdh pt'_"koy tv_oriacich molei<ulu zhideniuy.Zmesiam cherniikj-ch individui prislf cha strednd, m6lov"6 hmotnost, ktold;

sa vypodita.z m4ozsti6v chemiqhlicfi individui tvoriacich zmes a z ich m6lo-v5ich hmotnosti talito:

\ -- 2r,a ro : -w

kde Jf, je strednd, rn6lor.'d, hmotnost zmesi a

Zt :nr*nn*...: ff i*ff i*

rnQ : v (1 .2e)

kde h4,'tl,v sri mnoZstv6 chemick5ich individui v kmol resp. mol,nLA, rnB - mnoZstvri, chemickych individui v kg resp. g,

-116, tr[s - rn6lov6 hmot'osti cheniickych indiviairi"v kg/k'rol resp.g/mol.

_---,,n.[rtoZ.!vo ld,tkv moino-udaf aj.ud.anim jej objemu. Sfvisi to s tym, ie

medzi mnozstvom l6tky, jej hmot'ostou a objemom plati znri,my vztah,litor:ymje definovanri jei hustota.

, , objem litky nie je vsak vid.1' v6o4t ou mierou jej mnozstva. srivisi tos tym, Ze ani hustota chemick6ho ind.ividua nie je velidina kon5tantn6, ale sanli trltom r6arych yplrvol (replota, tlak, $6rovitosd a pod.). rvairritr.aobJe,T pJ)I" j." jednoznadnym ridajom jeho mnoZstva len vted!, ked sa iidr.rreuvedre ;eho tlak a teplota. velmi dasto sa rnnoistvo plynu udriva objemovev normdlny-ch kubick..ich metroch (Nmt). Tymto ridtr,jom'sa rozumie mnozstvopl{"r v m3 p'i_tzv..irormd,lnv-ch podmien(ach, t. j. pri teplote 0oC a tlaku760 torr. I kmoi iiaZdeho ideii,lneho plynu mii objeru 22,+i+ ryps.

1.4.5 l-Iustota - symbol g

- . Hustota_je definovand, ako pomer hmotuosti r6,tky (m) a jej objemu (z).' Z tejto definicie vypl;iva rorarici:

( r .27)

(1 .28 )

Fl'zrr {r.lrn vErJdrNy, rcn MEnANTE

V sta,r$ej technickej literatrire sa moino stretnfd aj s pojmom 5pecifick6 alobomern6 v6he - symbol y. TAto veliiina je definovan6 rovnicou

Gy :

V( 1.30)

hde G je ti,ai telesa,trz - objem telesa,

resp. vzllahomy : a g (1 .3 r )

J srihlase s rovnicami (f .30) a (1.31) hlavnou jednotkou Epecifickej v*ihy je m-2 kg s-2Specifickti vdtra sa vBak velmi iasto neria vedlajiimi iednotkami kp/m", resp. kp/litcra,'pod. Normy platn6 vo viidsine eur6pskych $t6tdv aj 6SN neodporridaju pou'Ziva'O'tftovelidinu, Iobo pro maternatick;/ opis fyzikdlnych zdkonitosti nie je potrebnd.

1.4.6 Mornf objom - symbol u

.r;Iernf objem je definovanf ako objem }i,tky jednotkovej hmotnosti.Z tejto definicie vypll/va vztah

V, :

*

.alebo s ohladom na definiciu hustoty vzdah

Ia : -

e

( r .32)

( 1 .33)

( r .34)

To zuamend,, ie jednotky mern6ho objemu sri reciprokjmi jednotkami hustoty.' Kedi,e mierou mnoZstva Li,tky je jej hmotnosd, moino merny objem

definovatl aj ako objem jednotkov6ho mnoistva l{,tky. Vo fyzikr{,lnej ch6miia, ch6mii je 16.ak mnoistvo l6tky meran6 v kmol resp. mol a tak z posledaejdefinlcie vyplliva

V4 t - _

n

Velidina definovand rovnicou (f.34) sa oznaduje ako mdlovj objem. Mernf9bi9* a m6lovj objem sri odliSn6 fyzikr{,lne vetidiny. Treba ich rozliSovat, ajked sa spravidla oznadujri rovnak;im symbolom.

Hlavnri jednotka m6lov6ho objemu vypl;/vajrica z rovnice (1.3a) jem3/kmol. Velmi dasto sa v5ak meria vedlajBou jednotkou cm3/mol.

1.4.7 Tlak - Eymbol p

Tlak je definovanlf ako sila pdsobiaca ua jednotku plochy. Definidnr{,rovnica tlaku mri teda tvar:

f. p :7 (1 .35)

kde z4 je plocha, na ktorri p6sobi sila /.

Dnrrxicrp a,rEDNorry

. , Z.,novnice.(1.35) yyp. lyy", le hlavnou jednotkou tlaku je N/m2. Trirolednotka se vol6, paskal (Pa):

Pa: JL: kg=lm., m s2

Tlak sa casto meria r6znymi vedlajblmi jednotkami; sri uved.en6 v tabul-kr{,ch, prepoditacich koeficientov. esw iepripritrta udrivad tlak v'milimetrochortufovdho a vodn6ho stlpca; v tjchto ji&iotk6ch sa diseln{i hodnota tlakuud6vala v minulosti velri dasto. Tieto jednotky treba nahradif presne defi.-novan;f'mi vedlaj5imi jednotkami torr, r-Csp. kpi-r.

1.4.8 Pr6ca, onergia, teplo - symboly W, E,e

7-fyztk6,lnej podstaty pr6ce, energie a tepla v54ll5iva, Ze ich treba meraf,rovnak;im sp6sobom. rch hlavnri, jednotka vyplfvi Lo vztahu definujricehopracu:

w: fs ( r .36)

(1 .37 )

kde s je drd,ha, po ktorej p6sobi sila /.Hla'rmou jednotkou pr6ce, energie a tepla je teda joule (J):

, k g m t, : --F-

okrem tejto jednotky_es{ uv1'dza ako zdkonnd m'''oh6 vedlajsie jednotkyprd,ce, e.n. ergig a tepla. Z nich n_ajznrimejSie sri kilokal6ria (kcal), erg, kilopond-meter_(kp T): elektr6nvolt (eV), watthodina (Wh) atd.'(pozri tieZ ta6utt<uprevodovSich koefi cientov).

1.4.9 lrfkon - symbol N

V;fkon je definovanli? ako prd,ca za das:

N:Y

Z rovnice (1.3?) sa odvodi hlavnti jednotka vlf.konu watt (W)

\\I :

. - Ako vedlajSiu 1e{no-tku 1';ilionu uvri,dza eSN jednotku f k6i (k). Tritojed-uotka je ua rozdiel od defiriicii platnliich v minulosti definovand, vrf"lro*

, I k: 73b,b W (presne)

. rn6 vedlaj5ie jednotky vjhonu sf uvedend v tabulke prepoditacich koefi.-crentov.

1.4.10 Mern6 teplo - symbol c

Mern6 teplo je defi.uovan6 alio mnoZstvo tepla potrebnd na ohriatie telesa

Fyzrx.(r,np'ver,tirNn, rci{ }TERANTD Rozurnov-i exer-*z.l 17

s iedlotkovorr horotrrostou o jeden teplotnly' stupeir. 'ftito clefiniciu memdho

tepla moZno zaPisat rovnicou

" : Q- ru , [ t

z ktorej vyplyva hlavn6, jednotka meln6ho tepla:

J - m gl;g deg si deg

Tri,to jed'otka 'em6 pome'ova'ie. |astej3ie sa v5ak rne'u6 teplo meria ved-

Iaj[ou jeclnotl<ou:kcal me

IgTeg - + rbDruIgT"g

s ohladom na to, i,e mierou mnoZstva kitky je jej hruotnost, rnozno

-"1116 teplo clefinovat aj ako mnozstvo tepla potr-ebn6-na ohriatie -jednotko-

"eno *"6Zrtva litky o itden stupefi. Obe definicie sri vsak totoZnd len vtedy,

ak mnoZstvo litky"sa'meria jednotkami hmotnosti. Ak sa vbak mnoZstvo

tepla ud6,va v km6l resp. v mol, z druhej definicie vypl.'ivc rovniea

"_ a." -

nAt

Takto definovana veliiina sa uazSiva rn6lov6 teplo a jej lilavni jednotka je:

J - k g m tkr"ol deg kmol se deg

Vedlaj5ou jednotkou m6lov6ho tepla je

kcalkmoiaeg

Il6lov6 a mern6 teplo treba rozliSovat, lebo sri- to dve y6zne fyziki'lne velidiny,

ai ked sa pre ne v-elmi.dasto pouZiva rovnaky symbol'-' - N;lo;to mieste je vtrodire spome'rit, Z6 jednotka metn6ho tepla poui,i-

vand; r' anglosaskej literatrire:B.T.U.lE;"F

ie rovnako velk6 ako jednotka kcal kg-l d"g-t, do zrraurenri, ie diseln;i ridaj

mern6ho tepla ud6,van1;?'v tfchto jednotkrl,ch je rovnali5i'

' 1.4.11. Viskozita - symbol p, I

Dyramickri viskozita je defurovan6 rovnicou

. xr, : -pA #

(1.40)

ktle .F'r je sila trenia,^4 - plobha,

duldr - gradient r;ichlosti,

z ktorej vypl;1?va jej hlavnri jeduotka:

kg' l n s

l0-krrit men$ou jednothou je vedlajSia jednotka I poise (P):

p : - € -

a I 000-kri,t uren$ou jednothou je I centipoise (cP):

kg : ro p: I our") cpn s

Kinematickd, viskozita - syrubol'/ - je definovanf, rovnicou:

,:TIllavtrou jednotkou liinematickel vi'skority je teda m:/s. V praxi bdi-

nej5ia je v5ak jednotka stok (St): cm2/s a od nej 100-krri,t meu$ia jednotka -

centistok (cSt).

1.5 R,OZMEROVA .\NAL\:ZA

KoneduSim cielom chemicko-iniinierskeiho vyskurnu je k'r'antitativn.v opiszdkonitosti, ktorfmi sa riadia deje v procesoch chemickej technol6gie.

llatematick6 formul6cie tllichto z6konitosti sa ziskavajr.'r odvodenim fyzi-krilnych rovnic.matematicko-analytickym postupom alebo spracovanim ex-perimentdlneho materid,lu. Napriek vyznamn6mu pokroku v te6rii procesol'chemickej technol6gie, v rozvoji na tomto poli je experiment eite strile naj-vj;znamnejiirn zdrojom poznatkov. Je to v5ak jeden z najdrah$ich pristupovpozui,vania prirody.

Jednou z met6d; Iitor'6 umoZirujri zhospodd,rnenie vfskumu, je lozmelov{,analfza. Trito met6da umoZiruje totii:

a) zostavid systematickli program experimentov,^ b) zmeniid podet experimentov redukciou podtu prenrcnuy"ch 'r'elidiu bez

toho, ie by v;isledn;i vztah mal meu5i rozsah platnosti.

ZmenSenie podtu expdrinentov dosiahnut6 zniZenim podtu premennychvelidirr sa vidy odlazi v zniileni nrikladov na vliskum a v jeho uryqhleni.lloZno sa o tom Iahko plesveddlf, ked porovnd,me podet experimentov potreb-nfch pre nrijdenie zdvislosti rnedzi dvoma, resp. Styrrni premenninri. Ak saria,pr'. nir, zakreslenie zrivislosti medzi dvoma premennymi vyZaduje 5 experi-mentd,lne zistenfch bodov, na, zakreslenie sirstavy parametrick;y'ch diar r'.y-stihujrircej zri,vislost medzi 5t;'rmi premenny'mi pri 5 hodnotor';ich rirovnia'chje potrebnych 125 kusov.

Pri viidSom podte premennych alebo vii,d5om podte ich hodnotovychirrovni podet experimentov prudko rastie, do ohrem zvy5enlfch ndkladov na

(1 .s8)

(1 .3e)

48 Fyzrrll,rvs vor,rdnry, ris usn.l,xrs

( 1 . 4 1 )

kde r, a/z xn si. velidiuy vpl;f'ajrice na dej, je rozmerove homogduna, moZnoju transformovat na zrivislosf medzi prirodzenlfmi premennlfmi

(r.42)

t 6 : a f " . x l u - . . . . f r k r , . . . . . x k (1 .43 )

kde. exponenly hi1 ai'.kp sri disla cel6 alebo zlomky, disla kladn6 alebo zd,porn6a niektor6 z nich majri nulovir hodnotu.

Aby_sridin mocn_in velidin defi.novan;i rovnicou (l.aB) bol z-argu'mentom,musi byt, ako prirodzend premennd, bezrozmerovlli. To je splnen6-, ked:

lnil : f;t1lkt fr"fko lcrlk" . . . lnili' . . . . . frofk," - 1 ( 1 .44 )

Maxinrrihry podet nezrivislly'ch z-argumentov v rovnici (1.42), t. j. podetz-argumentov, z ktorlch kaZdlf mri tri vlastnost, ze ho nemoino vytvoritziadnou kombind,ciou zly6nlfch z-argumentov, je podla Buckinghamoiej teo-r6my dan;f vztahom

F : n - r (1 .45 )

opil$rngl skf1a,nyr- dej rovnako, ako funkcia substanciri}nych premenn5lchvelidin (1.41). \r rovnici (1.42) symboly nrai, zp zastupujri prirodzen6 predeu,n6, ktor'6 sa v r'5,rnci rozmerovej anal'lzy oznadujir a[o

-z-argumenty.-

.. Ktorll-kolvek z-aigument ; priiodzenri prlmennri -".r rontii"i (1.42)mozlo utvorid ako srirJin mocuin substancid,lnych premenn;ich vpllivajricichna skrimau;i dej

vliskum znamend, podstatnd staienie, ak nie aj znemoinenie spracovaniaexporimentrilneho materii,lu vo forme fyzikdlnej rovnice. V takfchto prlpadoohm6ie sa rozmorovd, anal1iza uk6,zal ako jedinri, met6da, pomocou ktoiej moinodosiahnut riplnd alebo diastodn6 riedenie probl6mu.

1.6.1 Te6ria rozmerovej analfzy

Rozmerovi, anal,.iza je met6da, pomocou ktorej sa ziskavajri. informicieo skrimanom jale ria

",ikl"de jedin6ho predpokhhu, ie ho iloZno oplsat

rozmerove homogdnnou zd,vislostlou medzi velidinami, ktor6 nai. rrp$vajrn.Ak zri,vislost

kde p je maximri,lny podet nezd,r'isllfch z-argumerltov,n - podet substaucidlnych velidin vpl;ivajricich na skriman5i jav,r - pgd_et zri,kladnlich rozmerov5ich symbolov v rozmerovSich vzorcoch

{;ichto veli6in.

Podla VeN Dnrnsre maximri,hy podet nezd,visll;ich z-argumentov je danSiI9""i99" (l:15), pridom v5ak dislo r 1namend, podet velidln z funkcie (f .4li,\tgryich^vzrijornnou kombinriciou nemoino vyitvorid prirodzenri premennrfi.Trito defuricia maximd,lneho podtu z-argumentov je exaltnri a je splinenri, vidyvtedy, ked radv v matici:

Iiozvnnovl eNlrfzl

(r.46)

sri line6,rne nez5,visl6. Hodnoty k' aL kpn sri exponenty, na ktor6 sri povy6en6velidiny v rovniciach typu (La3). l

Maximilny podet z-argumentov sa beZne urduje podla Buckinghamovejn-teordmy,lebo je to najjednoduchbi postup a len vynimodne ugvedie k sprr{v-nemu vSisledku.

Z uvedendho rozboru vidiet, i,e na z6.klade rozrnerovej'anal'fzy molnozmeniit podet premenn;ich velidin vpl;ivajricich na skfmanli dej o r, do m6i,eznamenat velmi podstatnd zjednodu5enie programu experimentd,lneho vli-.skumu a tlfm aj jeho zhospodd,rnenie. Rozmerovi" anal,fza v5ak neumoZf,ujevynechat experimenty l'rplne. Charakteristiku zd,vislosti medzi z-argumentmi(1.42) treba zistit pokusne.

Zrivislost medzi z-argumentmi odvodend, spracovauim experimentd,lnychv)isledkov opisuje skrirnonf dej.exalctne, ak z-argumenty tvoria kompletnrizostavu. To je splnen6 vtedy, ked sri navzS"jom nezii,visl6 a ked na ich vytvo-renie boli pouZit6 v5etk.y velidiny, ktor6 na jav vpl;ivajir. Z toho je zrejm6,Ze rozmorovri aual5izu moZno pri experimentd,lnorn vjskume fyzikri,lneho dejavyuZit len vtedy, kecl pozrratky o jeho podstate sri aspori uatolko dostatodn6,aby sa dalo uldit, ktor6 substanci6lne velidiu5' rozhodujri o jeho priebehu.

Z porovnarria rovnic (l.al) a (I.a2) vidiet dvojakf charakter fyzikr{lnychvelidin. Pre jednoznadn6 charakterizovanie urditeho deja alebo syst6mu, ktor;ije opisan;i rovnicou (1.41), treba udat diseln6 hodnotv (z - l) substancid,luychvelidin vystupujricich v tomto vzdahu. Hoduota poslednej velidiuy sa urdipotom rie$enim rovnice, a dej, resp. syst6m je tahto jednoznadne Speciflkovanf.Naopak, udanirn iiselnfch hodn6t z-argumentov z lovnice (1.42), ktorri, opisujeten ist}i dej alebo syst6m ako rovnictr, (I.41), nernoZno tento dej alebo syst6mjednoznadne Specifikovat, lebo z-algumeuty, ako prirodzen6 prbmenn6, srifunkcie viacerych substancidlnyclr. velidin a ich hodnota mdZe byt urditri prir6znych kombinriciri,ch diseln;fch hodn6t substancid,lnych velidin. Z rovnice(1.42) zasa ale vidiet, Ze o priebehu deja lozhodujfr plirodzen6 prememr6, lebosubstancirilne velidiny majrl nari vplvv len piostreduictvom z-a,rgumentov.To v5ak je velmi podstatn6 pre orgarfzd,ciu expe.rimentd,lnvch prri,c. Kedledej alebo syst6m moino opisat ako zd,vislosd medzi plirodzen'1imi premenn}imi(z-argumentmi) a pretoZe hodnota prirodzeuej premenuej sa dd, menit zmenouhodnoty ktorejkolvek substancidlnej velidinv obsiahnutej v jej definicii, moZnoexperimentd,lne skrimanie charakteristiky funkcie (1.42) olganizovai tak, i;e

49

nr

7vz

np

50 Fyzrx-ilNn vnltt':lwy. rc lr lrrER-{\nt

s& pri pokusoclr budri menid hgdnot.y z-ar.gurneutov zrnenou diseln;ich hodn6ttjcfr substh,ncirilnych velidiu, ktor;ich zmen& sa pri experirnentoclidd, dosilh-nul) najjednoduchgie, alebo ktorrich. hodnoty sfi najprtrsnej5ie merateln6.

Prispevok 1o_zgerovej anal1izv pri lieSeni zloi:,it4ho probl6mu ilustlujemettr na takmel uZ klasickom pliklade:'

H\ed(t sa zriai,slosi umoli,ujtlca uypotitctt stratu tlul;tc pri, prildeni kuapali,nyoo ood,oroanom priamom potrubi kruhoai,ho prierezu,, s hladkymi stenami. Preil-beinljmskilmnnim tulrto d,eja sa zistilo, ie. strata. tlo,ku, (-/p) zd,uisi od, tljchteaeli6i:n: rljchlosti prtld,enia kaa,paliny u:, hustoty lcuapalin,y p, uiskozi,ty kuapaliny* liiky

'potrubia L a .jeho pVi"*iru tl. Ako" m6ii .pr;ipiet t'ozmeriad inalljzalc ri,eieni,u ti,Iohy ?

Ak strata tlaku zd,visi od uvederijch veliriin, rnoZuo vztah (1.?2) napisafpre tento konlir6tny pripacl talito:

(-/'P) : f(I', d, Q, lt, tL')alebo

f'[(-/p), L, i l , Q, p, luf : O

t{by sa dal urdit podet z-algumentov, treba napisaf rozmelov6 vzorce ivelidin vystupujricich vo vzdahu (a) resp. (b): pritom sa treba rozhodnrid plesristavu jednotiek s urditou volbou zrikladn,ich velidin. Volime sristavu,y lto1gj_zrikladnlilui veliiinami sri: hmotnost, d.iZka a das s rozmerovSl'mi sym-bobni M, L a c. Rozmerovd vzorce velidin z'funkcie (a) budri v tejtb sristavenasledovn6:

Velidina(-ztp)Lclgp'lt)

Roznrerovf vzoLecML-rr-2

L, LML-3ML-rr-r

Lr-r

\riclime, ze v roznrerovych vzorcoch tychto siestich velidin v.ystupujti tti z6-kladnd rozmerbv6 syrnboly: M, L, c a podla pravidla 1t.ZZ1 Uuae podet:'-argulnentov:

9 : 6 - 3 : 3'Iieto__argurnelrty oznadilll€,.[1: i,t21 ir..

v srihlase s rz-teor6mou [t.zs; niozno lovnice (a) a (b) transforrnovad nalorrnako hoduotnd vzfahv:

z1 : Q(n,, ns)resp.

et,(zr, :t2, zs) : 0 (d)

Chalaktelistik.y funkcii (c) r:esp. (d) sa rnusia udjsd experiment6,lne. V tom-to smere nem6Ze rozmer.ovd, anal|i,za dad nijakir odpoveel. No aj tak je zrejm.ivSiznamuf prispevok rozmer<lvej-anal'lzy pri lieserii probl6rnu,-lebo v srihia#s rovnicou (c) resp. (d) treba experirnentd,lne hladat', zdvislosd len medzi trourapremennr?mi. z ktor;ich clve sr.'i v srihlttse s lovnicou (c) nezd,r'isle premeun6r, jedna je zivisle pr.emenu6,.

( c )

Rozlrnnovi .lNer.fz,t 5I

Tvar z-argumentov nrijdeme v sfhlase s rovnicou.(1.?3), ktor6 1usi sp]iatpodmienku (1.-24). Ktorlfk6lvek z n-argamentov moino formulovat vztahom

ni : (-/p), . Lv . d" . QP . Pq .wk (e)

kde exponenty ,, y, z, g, Q, k sri dleny matice (1.?l). V sfhlase s (1.7a) musi byd :

Lnil: l?/p)] . lLlu . ldl . [ep]. l t")q . lwfk : L

a po dosadeni rozmerov5Tch vzorcov velidin:

lntf : f[L-tr-21" . L! . Lz .fffiL-s|n. [llr'!L-1t-r1a . [Lt-tp - t (f)

resp. po riprave:

lntf : Mn'+p+q . L-r+u +z-sp-(]+k - T-zr'-q-k : I

Poslednj vzfah je splnenf len vtedy, ke.cl_ex_ponentyr t" ktor6.sf-pov;y"6en6

4ozme"o-v6 symb6ly -M,

L, t, majri nulovri hodnotu: Musi teda platit:

M : * l ? * q : OL : -:t: * y * z - 3p - {I + lc - 0r : - 2 r - q - k : t l

I(edzo v tejto sristave troch rovnie je Best premenn;ich, platnost rovnic

bude zachovau6, pri Iubovolnej vollre hodn6t troch premennfch. Urditouvolbou hodn6t tr6ch premennfch sir jednoznadne urden6 hodnoty zvy5n;fchtroch premenn;ich. Pii volbe-nezavisle prgmgrlnl'ch postupujeme_tak, abyv kaZclij rovnidi bola aspori jedna plemennS, z6,visle premerulou: zvolme -napr.n, A & q za nez1,visle pr?meirn6;,riesenim sristavy rovnic ziskame nasledovn6vztahy pre zd,visle premenn6 p, k a z:

x=- -;=oz :_A_e

Dosadenim do rovnice (e) z tlichto vzdahov dostauerne:

ni: (-/p)x . Lu - d-v-q ' Q-x-q ' p$ ' 111-u-q

a, po'fprave:

",:(w). e),(ry)'trZtahom (g) je definovanlii ktorlikolveli z troch z-ar.g'-:.:e:rt.r',-. It'r kcir-

kr6tny tvar zrivisi od volby lubovolne volitelnfeh hodni,o cxlloncubov r, y,q. Exiolenty sa bezne volia-tak, a-by vznilili komplexy, litolrj s(r v te6rii fJ'zikri,l-irVch'proces-ov ui, zn6,me. Tieto kornplexy sri nazvau6 po slii,vnych vedcoch,kiori ia vJ'zrlamenali na danom poli vedy. Z tob.;o hla'.lisla sa usliutodni volbaexponentov v rovnici (g) takto:

pre nr : '$ : l , lJ : 0 , . -Q: 0

potom podla rovnice (g) je:

(-A!) : nu Eulerovo iislo (kriterium);f r l : _

p 1 c z

(g)

Fyzrr{r,xs ver.rdnrr, rcE uEaANrE

p r e z 2 : t : O , 9 : 1 , - 8 : O

potom z rovnice (g) je,

Lnz: il, Dez pomenovarua;

pre fiz'. f i .: Q, A : O, -q -- |

potom je:

ito":

#: ?e Reynold.sovo dislo (kriterium).

. . .-nr-?rg-one3t- j9 jednoduch;i pomer dvoch rovnako meran5i.ch velidin tohoistdho druhu. Tak6to poTerl sa volajri simpleuy podobnosti,. iento ni,zov vy-pl!'va z-tn&ie p-odobnosti, o 6om sa zmienime ne"t or. zr-argument je simptergeomctri'ckej pod,obnostd, lebo je pomerom. velidin sriviiiacich s girometiiousyst6mu.

Odvodenie z-argumentov umoZiuje prepisati rovnicu (a).do tvaru

Eu: (D (*, ' " )

(h)

(k)

5#:*(+,ry)alebo pri inej symbolike do tvaru

. Rovnice lWu (_h).1eqp.- (k), v.ktolyglr vystupujf bezrozmern6 komplexya simple-xy, sri tzv. kriteridlne rormice. Velkli podet vztahov, s ktoryimi sd prd-cuje w che_mickom inZinierstve, je naplsanlf v kriterieilnom tvare.

Pri odvodzovani tvaru_-z-Tgqmeltov- sp6sobuje volba nez6visle premen-n;ich exponentov, ako.aj-volba ich diselnej hodnoty iazkosti. Rozpaky siivisiaces t)imto -probl6m_om sri zbytodn6, lebo r6zna vo-Jba nezd,visle prenienifch expo-T.""loy dri sa-vidy vykompenzov'at urditou volbou ich diselnij hodndty. voibaiiselnlich hodn6t exponentov.v rovnici (g) je cellrom lubovoind,, Iebd qisled-ko.m. rozmerov_ej anaJ;izy. nie- je k_onkr6tny tvar funkcion6lnej zrivislosti \pozriprry?d 1.4). z moi:nosti Iubovolne volii hodnoty e*poreniov v rovnicii (g)v5rpl;iva.pravidlo,- Le n-argamentSr moino nd,sobei'rim,'delenim, povyEovaniil-a odmociovanirn lubovolne kombinova,t, no vzdy tak, aby po8e? vjsledn;ich,z-arg-um€ntov zostal nezmenenlf- a aby boli navzrijom nezrivisl6 v srih[ases poiiadavkou lined,rnej nez6vislosti ridov v matidi (1.76). Td,to vlastnosf,,z-argumentov sa vyuiiva pri experimentd,lnom hladani z6vislosti medzi nimia.z tohto hladiska blfva vol'b-a exponentov v rovnici (g) z6,mem6,._ - vybel velidiny, menenim ktorej sa pri experimen*toch dosiahne zmena"ho-ddoty -z-argumento, j9-. Iubovollf. Ako premennd, sa obydajne voli trivelidina, ktorri mozno najlahdie alebo najpreinej5ie merat. Z"tohto hladiska,sa volia hodnoty. exponentov y 1ov1i9i 19 tak,- aby velidina, ktorri mri bytvo. fJ'nkcii explicitne vyjadrend, (_ 4il, vystupovala iba v jednom kompleie

" qk, aby.aj v_elidiny, ktorich hodnoty-budh sa pri experimentoch denif,

vystupovali ryodla,moZnosti iba.v jednorn z-argume^nte. Mb;no teda povedat,

Ze rozmerovfl, ana$'za umoiiuje v5ryracovaf, systematickf prograd experi-

fiozunnovl, eNlrrize

mentov. Napriklad zdvislost straty tlaku od uveden;ich velidin pqZno nri,jstexperimentri,lne tak, ie v srihlase s funkciou (h) bude sa strata tlaku meratpri prrideni vody urditej teploty (urdit6, hodnota a a p').lVleranie sa uskutodniv priamych potrubiach r6znych priemerov a rdvnakej dliky. V sirhlase s for-muli,ciou rilohy budri mat potrubia hladkd steny a pri merani budf vodorovneuloien6. V potrubiach r6znych priemerov sa bude merat strata tlaku: prir6znych r;ichlostiach vody. Ziskanf v;isledky sa spracujri graficky ako 26,-vislost z-argumentov. Z grafickej zri,vislostisaodvodi matematickf vztah, dimsa urdi charakteristika funkcie (h). Takto odvodend, zA,vislost plati vleobecnepre akdholvek kvapaliny v akokolvek dlhrtch potrubiach, hoci sa zistovalaiba pre vodu a v po',r'ubiach urditej dlZky.

Exaktnosf vysledn6ho vztahu medzi"n-argumentani zisl<andho matema-ticklim spracovanim experimentri,lnych vjsledkov, je vymedzeni, jednak za-danim rilohy, z ktordho vyplyva podet aj druh velidin pre spracovanie rozmero-vou anal;izou, jednak rozsahom hodn6t z-argumentov, v ktolom sa zd,vislosf,experimentd,lne sledovala. Extrapoli;cia platnosti odvodenej rovnice na hod-noty z-argumentov nespadajrice do rozsahu.ich zmien pri experimentoch jeneprfpustn6.

Ak sa sleduje zA,vislost medzi velk;im podtom z-argum.:ntov, redukuje saich podet v zdujme zjednodu5enia programu experimentov zvydajne tak, Le zozrikladnej zostavy velidin sa vynechS, velidina, ktor6; nevpl5iva v5iznamne napriebeh deja. Tlfm sa sice zjednodu5i progrem experimentov a spracovanieqisledkov,'no exaktno3d vfsledndho vztahu sa zniLi, lebo takto odvodenyvzfah bude platit' len vtedy, ked vynechand, velidina nebude vplfvat na dejalebo ked bude mat ako parameter urditri konStantnri hodnotu. Ak jevplyv vynechanej velidiny mal1i, m6Ze byt obmedzenie platnosti vfsledn6liovztahu prijateln6. (Napr. vynechanim drsnosti stien potrubia ako'velidinyvplfvajricej na stratu tlaku bola platnosf vztahu (h) vymedzend, len prepotrubia s hladkllimi stenami).

Spracovanie experimentd,lne zistenej zd,vislosti medzi z-argumentami jeobydajne grafick6. Urdenie matematick6ho oper6tora @ v.rovnici (h) jenie-kedy - najmii, pri vd,dSom podte z-argumentov - taik6. Pomerne dasto vbakkriteririlny vzfah (h) mri, charakter mocninovej zri,vislosti, znL,zornenie ktorejna dvojn6,sobnom logaritmickom alebo semilogaritmickom ph,pieri je dan6priamkou. Spracovanie experimentd,Inych ridajov do empirickeJ kriterid,hrejrovnice sa v takomto pripade urobi pomocou met6dy najmenbich Stvorcov.

Z r6znych interpretricii rozmerovej anal1izy, beZn;ich v literatfre ilustru-jricej jej pouiitie na jednoduchlich prikladoch, vznikd, dasto nesprr{,vna pred-stava o dosahu jej vlliznamu.'Strhuje jednoduchost jej matematickej stavbya -vytv6ra sa dojem, i,e rozmerovou analyzou moino nahradit experiment.Odhliadnuc od skutodnosti, Ze rozmerovd, anal5iza v$bobecne neumoZiluje nri,jsdcharakteristiku fyzikrilnej rovnice, ktord, sa musi hladat vZdy experiment6lne,stupeir exaktnosti v5isledkov, ku ktorfm sa pomocou rozmerovej. analj,zyd6jhe, z6,visi vi:dy o& slupfia, teoretick3ho a eiperimentri,Ineho oboznr{menilsa s povahou skriman6ho probl6mri. Rozmerovd, anal1iza sa sice aplikuje oby-d_ajne vtedy, ked in6 met6dy rie5enia probl6mu zlyh|,vaji alebo sri pre ne-dostatok teoretickly'ch. vedomosti o slirimanom d-eji neschodn6, no prrivov skutodnosti, i,e' je met6dou ,,minimd,lnych vedbmosti", tkvie nielen jei,,si la", ale aj ,,slabina".

Fyzrxir-xn vrr-rirxr:. rcn MERANTE

' Podmienky, od splnenia ktor;y'ch zivisi stuperi exaktuosti vllsledkov ziska-

nfch rozmerovou analyzou, moZlto zhrnirt clo tjchto bodov:-1. Zrivislost medzi z-argumentami plati iba v rozsahu hodn6t premenuych,.

v ktoroin sa pokusne sledovala; nijakri extrapold,cia nie je pripustnri,.2. Dq zostavy velidin, z ktorej sa pri rozmerovej analfze vych&dza, musia,

byf zahrnute v5etky velidiny, ktor6 na dej vpl;ivajd. Ak sme pre nedostatodn6obozn6menie sa s povahou skriman6ho deja alebo v snahe zjednodu5it rieSenieurditri velidinu vynechali, m6 zrivislost medzi z-argurnentami zmett5en5i roz-.sah platnosti, pretoZe plati len pre tie pripady, v litorlich vynechand, r'elidinana priebeh deja nevplfva, alebo md,.kon5tantnri hodnotu.

3. Do p6vodnej zostavy velidin uesmt byt zahmut6 nijak6 velidiuy, ktor6na dej nevplfvajri. Ak sme pri rozmerovej analjze ulobili takirto chybu, priexperimentS,lnom sledovani z6vislosti rnedzi z-argutneutami zistime, ile nie*klort z nich nevpl;ivajri na hodnoty ostatnSich a Ze ich teda trebd, vynechat'-Takd,to chyba zbytodne skomplikuje hladanie charakteristiky funkcie.

4. Velidiny vystupujrice v p6vodnej zostave musia byt rovnakohodnotu6premenn6. To znamen6, ie ktorrikolveh z uich ruoZno explicitne vvjaclrit akofunkciu ostatnSich a Le ani jeduu z nich uemoZuo explicitue vyjadrit len akounkciu niektorlfch zvy5n1y'ch velidiu. Tu m6Zu nastat tlva pripady;

a) Pre velidinu.cr' z fuukcie (1.72) plati:

'ttj : f(xt,'.v2 . . . :r:1-1)

Ak veli6ina q nez{"visi sirdasne aj od velidin a:i-,velidin pre rozm.erovir aualyzu vyuechatl, dim sa,

b) Plati:

U : f ( r r , x z - . - r J )

a sfrdasne' ! l : f ' ( r l+v . . - xn)

r. i.

(1.47)

... xra, treba ju "o

,ort"t5izrnen5i podet z-arguntentov.

( r .48 )

(r .,{r))

(1 .50 )f ( e : r , . . . e i ) : f ' ( . . J - t - t , . . . . t ' r )

V takomto pripacle podet prememr5ich velidin v zrikladnej zostave pre lozlne-rovri anally'zu moZno zredukovat najmenej o jednu. Z6,kladn6, zostava velidfu-pre rozmerovri analyzu zodpovedd, v tomto pripade vzdahu

g(xr, x2 . . . x',j, ?J) .: 0 ( r . 51 )

Pravidlo v bocle 4. moZno cl.emoustrolat na rie5euom priklade ,ti'at ttrt lr.Skrisenbj5iemu pracovnikovi v hydraulike je na prv;i pohlacl zrejrn6, Ze stratatlaku bude rd,st fmetne s dlZliou potrubia, do sa d6, folmulovat vztahom

l a f l : kL

.Ak sa expelimentdhe dbkriie, ie kon$tanta fmernosti I; rneni svoju hodnotu€n pti zmeue ostat'nych velidin, rnoZuo uapisat vztah

I; : g(Q, tt,, 1t, il)

Tp6nIA PoDoBNosrr

Platnost tohto vztahu moino experitrent6lne dokrizad. Spojenim oboch po-slednjch vztahov v ychS"dza'.

( - a p l#

: f ( u , Q . p , d )

tim sa podet premennl/ch v zri,kladnej zostave pre rozmerovri analfzu zredu-koval o jednu, lebo za rovnako hodnotnfi premennri sa nepovaZrije ani (-/plani L, ale ich pomer (-Ap)lL. Z tnjto zostavy vfchodiskovly'ch velidin saziskajfr dva z-argurnenty:

W+:'" * (1 .52 )

a, .Re dislo.Experimentrilne hladanie zd,vislosti medzi premennlimi velidinami sa {im

e5te dalej zjednoduSi, lebo pri pokusoch nebude potrebn6 menif ani priemerpotrubia 6 yjsledky ziskan6 uZ predtf:n opisan;im postupom pri meraniachla. jedinom potrubi urdit6ho priemeru budri platn6 pre potrubia akliichkolvekprlemerov.

I.6 TE6R,IA PODOBNOSTI

B,ozm€rovd, analyza bola charakterizovan|, ako met6da ,,najmenSich ve-domosti", do je jej prednostou, ale aj nedostatkom. Prednost spodiva v tom,ie aj pri neriplnom teoretickom, pripadne experimentd,lnom obozndmeni sas povahou skfman6ho deja m6Ze dat cenn6 informii,cie, nedostatok zase v tom,Ze nevedie vidy k exaktnfm qfsledkom.

Cennej5im postuporrr v chemicko-inZinierskom qiskume je matematickianalyza skriman6ho javu na zri,klade element6rnych fyzikrilnych zrikonitosti.Takri,to analyiza vedie I< sristave diferenciri,lnych rovnic, ktor6, ak je rie5itelnri,znd,mymi matematickymi postupmi, poskytuje exaktni rie5enie probl6mu.

Velmi dast;i je v6ak pripad, ie analyticky odvodend, sfstava diferenciril-nych rovnic opisujricich jav nie je znrimymi matematickS?mi postupp,i rie5itel-nd,. V takomto pripade moZno nrijsli rie5enie postupom podla zri,rad.,te6riepodobnosti.

Vychri,dzajric zo sristavy diferencirilnych rovnic, moino pomoccu te6riepodobnosti rieSid fyzikd,lny probl6m podobn;im postupom ako pomocou roz-merovej anal1izy, pridom te6ria podobnosti predpisuje, ako sa nr4,jdu z-argu-menty charakteristick6 pre skfmanll' fyzik{"lny dej (II. veta podobnosti).

Te6ria podobnosti je v5ak okrem.toho i te6riou modelovania a jej L a III.veta drivajri nd,vod, ako riesid probl6m v5iskumom na modeloch.

L.6.1 Moilelovanio

Priebeh chemickych reakcii v reaktoroch, ako aj priebeh procesoy v za-riadeniach, o ktorllich sa hovori v r6mci chemickdhb iiiinierst-va, je podmie-nen;f alebo rizko srivisf s cel1y'm radom dejov fyzikrilnej povahy. Teoretickri,

Tyzrrir,r,rr vsr,rdrxv, rcr IIERANTE

a,naliza irivielosti medzi veli6inami rozhodujricimi o priebehu tfghto -dejovbfva velmi komplikovani, a dasto v tak;ichto prlpadoch nemoinri,. Jedinfmvhodnly'm postupom ziskavania vedomostl bfva viskum.

Vliskumne sa probl6m rieii. v laborat6rnom zariadeni poqerne mq,lfchrozmeriov - natzv. mod,eli,. Skftmanie chemickich a fyziki'lnych dejov na labo-rat6rnyqh- aqdsloch r,"!d, mnoh6 prednosti pred ich sledovanim.vo velkfchvytobn;f ch zariadeniach, predovSetkfm je mnohond,sobne lacnej5re.

V srivislosti s laborat6rnym vly'skumbm na modeloch sa vyn6ra ot6'zka, Eipoznatky ziskan6 na laborat6rnoni modeli sri dokonallfm obrazom toho, Co sabude odohrrivad vo velkom rifrobnom zariadeni, 6i teda moino odak6vad, iev11?sledky dosiahnut6 laborat6rnym v3iskumom budri sa dosahovat aj na vf-robnom zariadenl. Rozpaky srivisiace so zodpovedanim tly'chto ot6zok vedrik postupu dodnes sa e5te hojne vyskytujricemu, pri ktorom na zriklade v1l'-sledkov laborat6rneho vlfskumu sa postavl viidiie, t'zv. itrtrtpreodd'zlcoud zari'a-il,en'ie a za nim dal6ie, eSte viid5ich rozmetov, .Lzv. pol'opreaddzkoai zari,ailen'i,e.Ai vllisledky ziskan6 v jednotlivfch stupioch vliskumu sa pouziiri n& na-wrhnutie velkdho v;foobn6ho zariadenia. Tento postup prevddzania qisledkovlaborat6rneho vlfskumu do praxe je zdlhavj,, nrikladnj; a v mnohly'ch pripadochho moino obist, ak sa postupuje podla zdsad te6rie podobnosti.

Te6ria podobnoSti dd,va odpoved na ot6,zku: do treba splnif, aby qfsledkyziskan6 na labora.t6rnom modeli dali sa dosiahnut aj vo velkom vfrobnomzariadeni. Te6ria podobnosti umoZfiuje teda nawhovat vyrobn6 zariadeniaa d6,va piedpis na vedenie procesov, ktor6 sa v nich uskutodiujri priamo nazdklade vly'sledkov laborat6rneho v;iskumu. Alebo naopak, na zriklade te6riepodobnosti moino predpisat, ako sa m6 skonBtnrovat model a ako sa m6,organizovaf,.qiskum na iom, aby ziskan6 vlfsledky drivali skutoCnf obrazo priebehu dejov vo velkom zariadeni. Podla te6rie podobnosti deje prebiehajricelkom zhodne v modeli a hotovom diele, ak model a dielo sri geometrickypodobn6, a ak aj deje v nich prebiehajrice sri podobn6.

l . 6 . l . l Geomet r i ck r i , podobnosd

Pojem podobnosti je v geometrii ddvno zn6"my a sirvisi s prvlimi poznat-kami rra tomto poli vedy. Za geomeLrticky podobn6 sa povaZujf dva rovinndalebo priestorov6 ritvary, pri htorlich pomer sebe odpovedajricich dlZok jekon5tantn;i. Ak .v jednom z.porovnrivanly'ch ritvarov majri charakteristick6dlZky lrodnoty Ir, lr, l" . . . a Qimto dlZkam odpovedajrice dlZky v druhomritvare hodnoty 11, 12, ls, . . ., podmienkou podobnosti tly'chto ritvarov je:

+:+:t: ", (1.53)r

Kon5tanta c7 je tzv. kondtanta geornetri,ckej podpbnosti,.Ak sri p od obn 6 geometiicikE-ft nfry--uini estnen dT-sriradnic ovom systdme

s, y, z, pre sriradnioe akfchkolvek dvoch bodov geometricky podobne Umies-tenfch v tj,chto ritvar-qch plati vzf,ah

r' 'u' z'- : : - : - : C lf i y z '

Tp6nre poooswogti

kd,e.;r, g, z stt srirad,nico bodu v prvom ritvare ?fi',9', z'sli sliradnice jemuodpovedajriceho bodu v druhom ritvare. Priry bodov vyhovujrice rovnici (1.54)sa nazlivajri sebe oil,poaeilajilcimi, boilmi.

Z-rovnic (r.53lmoino odvodit dal5i vztah, pomocou ktoriho moZno tiedformulovat podmienky podobnosti :

atd. (1.55)

(1.56)

Ur Ua

wr wz

+:+: Bzri +:+: ssriV srihlase s rovnicami (1.55) moZno povedat, Le dva ritriary sri geometricky

podobn6, ak pomery dvoch dliok v jednom ritvare diselne sa, rovnajri pomerombdpovedajricictr dlZbk v dquhom ritvare. Tieto pomery sri zn6me ako simpilerygeometrickej poilobnosti. Z rovnice (1.55) vypl;iva, Le odpovedajrice si uhlydvoch podobnlfch geometrick;fch ritvarov sir rovnak6'

Prauid,lo o geometri,ckej poil'obnosti, vypl;ivajrice z rovnice (I.55), moinoformulovatl aj takto: Dua geometri,ckd iltaary sil s'i' poilobnt, ak aietky od'poueilajd'cesi, d,i1ky oboch iltiaroa merani o relati,unych iednothinh majil rovnahi hndnotu,pridom jed,notkou merani'a.illiole a jeilnom iltaare ie napr. d'Il'ka l" a u ilruhctrndtaare jej oilpoaeilajdna d,lika Il.

Pojem simpleiu a kon$tanty podobnosti sa nesmie zamieiiat.

1 .6 .1 .2 Fyz i k r i l na podobnos t

, Pojem podobnosti moZno roz$irit i na fyzikrilne deje. Podmienky podob-nosti fyzikd,lnych dejov vystihuje pruti aeta podobnosti v podani AreNlsrnvovn.r-EnnrrnsrovnJ: Fyzikdlne poilobni s& d'ua'd'eje rounakej tyzihilnej poaahy(opisan6 tvarove i obsahove ro'rnak5imi fyzikrilnymi rovnicami), prebiehajilrcea geometri,clcy ltoilobn{ch silstawi',ch, alc pomery hoil,n6t ael,i,ii,n rozhod'ujtlcich o prie-behu d,eja a sebe s'i, od,poaed'aj&ci'ch bod'och s&staa stl konitantni,t. i. s'k polia Jyzihil-nych oeli,ii,n sti a oboch silntaad,.ch pod'obn6. (Polom fyzi,hilnej ueli4i,ny sa rozumiesfhrn miestnych hodn6t velidiny vo v5etkllch bodoch sristavy.)

Ak fvzikrilny dej prebieha tak, ie polia fyzikrilnych veJidin mbnia sas dasom, je podrnienkou podobnosti javov aj \asouti podobnost':

'Er Te: : - : . . . : e .Tr Tz

Ak napr. na skrimanf dej majri vplyv velidiny: r1l'chlost w, viskozita' p,hustota p atd., podmienkou podobnosti tohto deja s.inlim dejom prebiehajri-

.cim v geometricky podobnom systeme je sristava vZdahov:

1 4 - l t z -- , , . - v u

Itr Fz

8 r - Q z - - . . , - v oQr Qz

(1.54)

( r .57)

Fyzrx,(r,rr I'nr,titwr, rcH TTERANTE Tp6nrl PoDoBNosrr

Velidiny b_ez iialok sa {ikajri jedn6ho systdmu a velidiny diarkovan6 druh6ho:y.l6ny. I-nde1f l, 2, 3, ... sa vztahujri na jednotliv6 sebe odpovedajricebody oboch sfstav.

Poclobnou tlansformd,ciou, ako srne z rovnice (1.53) clostali vzfahy (1,5b),*919_*u z lovnic (1.57) odvodit vztahy pre simplexy podobnosti fyzikritnyciiveliCin:

th - Pi - ,s,,..; atrl.ltt Pt

Z porovnania rovnice (e) a rovuice (a) vyp$va:

cmco .r: : c i i : Iclt

Volba konbt6nt podobnosti sa musi teda urobit tak, aby komplex vytvo-ren1i'z nich pomocou rovnice spri,jajricej velidiny rozhodujrice o priebehu dejarovnal sa jednej. Komplexy tohto druhu (Ci sa volajri i'n'd'i'hitorg poilobnosti.Deje s& pod,obn6, keiX i,nd'ilcdtory gtoilobnostd majil hoilnotu /, do je dal5ia moZnriformulii,cia prvej vety podobnosti.

Spiitnfm dosadenim do rovnice (f) z rovnic (c) dostaneme:

m' e,'

- : !T'r

odkial

m ' . a ' n L , aT:f f : .const

: Ne (S)

Zpoi:iadavkv, ie indikritor podobnosti mri, maf hodnotu l, bol odvoden;f

komplex: ry#: Ne, ktor6ho hodnota v srihlase s rovnicou (g) musi bylB

vo v5etklfch sebeodpovedajfrcich bodoch obidvoch sristav rovnakri,. (emplexytohto druhu sa nazfvajri kri,tiriti poil,obnosti. Ako sa moZno zo vztaha (g)Iahko presveddit, krit6rium podobnosti je bezrozmerov6 6islo; trito jeho vlast-nost sa vyrtLiva pri kontrole sprd,vnosti jeho zostavenia.

Rovnakly'm postupom, ako v tu uvedenom priklade moZno odvodilikritdrir{ podobnosti z diferenciri,lnych rovnic, ktord opisujri tieto deje.

Krit6riri podobnosti odvoden6 v srivislosti s rie5enim rdznych riloh, dostri,-vajri nrizvy pod.Ia vedcov, ktori sa vyzn&menali v prfuluSnom vednom odbore.Naprlklad lcit6rium podobnosti .ly'e definovan6 rovnicou (g) sa nazfvaNew-lonoao leritdri,um.

V11?sledok ziskany v uvedenom priklade moino zovEeobecnit, dim sa vy-slovi dalBia moln6, formuldcia prvej vety podobnosti: Duafgzihii,ne ileje opf'saniluaroae i obsalwue rounak'1jmi d,i,ferencidlnym'i, rooni,cam'i, sti poilobni, alc prebiehaj&o geometri,cky pod,obnlich silstaudnh a ak kritiri,ri pod,obnosti, od,aod,end z kornpletnejsdstaay ili,Jerencidl,nych rotmic (vr6tane okrajovjch podmienok), ktord tieto d'ejeoytisuje, majil uo aiethlich sebe si od,poaed,ajilni,ch bod,och oboch systimou roan&k'fihotlnotu.

Pre praktickd v.ytiiitie tejto poudky je vel'mi v;iznamn6 tretia aeta poilob-nosti, formulovand, Krnprdnvou Neayhnutnou a postaiujilcou gtod,m'i,enlcou, abyilua ileje rounakej fyzikd,l,nej pod,st(tty, prebi,ehajrhae a geornetriclry poil'obn{ch'sdstaadch boli nauuijom 'poilobnd,, je, aby kri,tiri,d a simplery poilobnosti .tokoistiho d,ruhu,, oiluoilend, z diferencidlnych, roani,c opi,sujil,cich il,cr'nd d'eje, mali roa-nokti hodnotu, keiX sa d,o nich dosad,ili hod,noty ueliii,n d,and pod,mi,enkami, jeilno-znainost'i a prao?n a ilru,hont, systime.

(f)

0 s - Q g

Qr 8r sJr 1

P z : l t - i : J " . , ;lf,t Ft

Q z - 0 i - , s ,cr el

- "0""

( I . i rS)

atd.

V srilrlase s rovnicami (1.58) rnoZno pruil, aehr, pod,obnosti fornulovat takt6:Dyqfazikdlne-d,eje toho.'istih,o dt'uhtt',.prelriehaiuce a-geanetricky podobnljch sdstq,-wch',_sti gtod,obni,, alt, simplexy fyzihilnych ueiitin mqiil pre tcizari ear iebe si otl-rcueilajil,ni,ch bo_iloa stiLstau rounalci hodngtyi alebo -aj takto: Dia'fyzihitne tlijeoho istiho clruhu', rrebi,ehaiilce y qeynetlig4y pod.obitich, stistu,aticii stl Ttortobi(,tly .u,el.i(!,na.merand_a relati,unych-.ied,notkdci_(q, /1 resp. pi, u', a|cl.)hr,jri ui\tlcll.oh sebe si oclpoa.ed,_aidci9h, bod,och oboch-itLitiu riuniirt liotlnotzc, [ire silnhlad,om na silntaau jednotielc inuariu,ntni.

sirstavo'_rovnic (1.53) ? (1.52, r'esp. 5g) je danli predyris, v akom vzdahunusi byt model a hotovd dielo, ak deje v'rii"h piet;etruj,:,." majri byf po-lobn6.

Hodnoty konStd,nt podobrrosti ct, ct, c(t atrl. nemozno volif, lubovolne;e*'iektor6 z nich sri 'ez6visle volitetn6, kyrn hodrrotv ostat'lich sri volbori;1gfglaazaifcich

jednoznadne predpisan6. srivisi to s tyru, Ze Jelidirry "o"iro-

lLJ,rfl".o pueb-ehu deja st'r navzd,jom qniit6 fyzikd,lnymi vztiahrni opisujriciuri

teJ. rymto vztaho'r musia vyhovovat aj kousta'tv Podob'osti.Ak napr'. urditly' dej preLriehajfrci v-jednej sriila"e je opisa'f vztahorn

! : 7 1 . a ( a )

dej toho ist6ho druhu, prebiehajrici v geometrick;. podobnej'sfrstave, vztahon

!' : 717' g' (b)

r priebeh t;i-chto dvdch dejov ritrlne zhoduj', t. j. sfi si podobn6, ak v celomozsah* oboch sfistav pre sebe odpovedajfcl si body plaiia r-ztair.1-

Yzt'ahmedzi hodnotauri lion$t6,nt podobnosti n6jdeme dosaclenim z rovlic:) do rovnice (b):

Cfn : Cntltl CaCC

r.r Cn&oI : - l n 0

CF

F'tr,

: cr;

(d)

po riplave:

(e)

Fvzrrir,No vnr,tdtNv, rcu MER'ANIE

Pod,m'i,enleami' jed'noznahnoslt-rie3enia rilohv rozumieme konkr6tne hodnoty

velidin, ktor6 treba "i,i;i:;;;"iro-rru-uoru iiJirozlr"o"e danri a riesitelnri" t' j' '

oodmienkv, ktor6 zo Jrii6rl;'ffi;"fl9 rn'''ozst"a javov opisanvch da'otr^sirstavou

diferencirilnycTr' rorn ic -r,ymedzujri^

i"J"r, k;nkrdtny. lav' Kriterle

a simplexy -poao'.#i' a""fi".l;"t-"ri aoiaai"e podmienky jednoznadnostr

riebenia problemu, ttt l'"' u'rtujice,kritt1?1 " sitnple'tg'

v srihlase s tretou-vetou fodobnosti tt"it"ui r' ;elorn r:ozsahu sfstav od

iedn6ho.'d,ru sebe,i #;;!ui'ffill iffi.ilk dru'6mu atd. kontrolovat rovno-

irodnotnost k.it6rii a si'mplexov podolnosti i*ntteno druhu,, lebo ah sa urdu-

irice krit6riri "

,i*pl;;i;;rrt St o arorr.. ., ot o"6 sristav6,ch diselne rov*ajir,

iovnaiir sa disetne ;""S;;#;i;-.LUe o.tpouldajfrcich bodoch sristav aj ne-

iliii{i;; l*iiZ'iJ t simplexv rovr.rak6ho druhu'

Pri prakticko* pooZiti zrisad modelovania sa postupuje takto:

a) Pre *oa"fo.r,i'ly dej sa "d,""ql

kompletna sirstava 'diferenci6hiych

lovnic, zahrnrrjrica i rovnide vypllivajirce'z bkrajovi:11--l:*o]iuttok'

b)Zkompletrrejsirstavydifei 'enciri lrryclrrovnicsaodvoclia]rrit6ri6asim-nlexv rrodobnosti'u'"""

f b?'iJi'iu'f outupu 5 e podla trete j vetv poclob' osti'

Postup vypll;vajiici'z iletej vetl'.-poaJUio*ti tpori"" v tom' :ze z cba'-ak-

teristik model. u.,'yil".rko' ziskanyich ".iio,"

r" J.upoditajir hodrroty ::1ll:;cich krit6rii u *i*pf"*"o"'plJ"fr""-1i. Dielo - velk6 zariadenie - s& posf,avr

tak, abv bola splnenri' poZiadavka."vtton'J't'i t ttfilrl"t" podobnosti' Uloha

sa vsak m6ze form.lovat aj naopak ., torr'r ,iny.le, z"'Pottroco,r llodn6t uriujf-

cich lirit6rii a simplexov podobnosti ooar<,i,va"u;i9it ."ip. pleclpokladai'-.rich na'

hotovom diele sa ,turruf,t'Jrnodel a systernati"tiy ptoginttt vf ikumu tak' aby

;;;[ilJ obraz o poneroch vo zvddse.om svst6me'

St6va sa casro, ze zloLit| deje sa tr"iiii,-iii"a"l"y* alebo rirer-r65at rlo

viidsei mier.ky pri ,oiir#i"i"..-rioL"; rr"i"iii."-i:setkych urduiircich krit6r'ii

a simplexov p.aorrJ".ii'r''*oaufi r hiuful'i"ialiornto p'ipacle sa rnodel.je

priblifne. Priblizne ;;,"d"i";;; 'L"o*""a il,i i"Jit';r' lf. 'f i{::l: z utiujricich

krit6rii a simplexov'i]iili"i"ttii-.e*rali.li'e ttielc' ir r'oclel 'ovrrakri hodnottt'

To je prip.st,re .'t"aili"uA'iieL-irLit6Lid . *iiiipf"*r-.*e'ra jfr :ra 'tiebeh deja

vyznamny ypryv. ii i;*q" "tt"k

;J;*l -i*i;iz'io'o'roclelo'ar:ia

nestadi

Dotrebd,m. ,l u neostd,va nid i*6, ahoitavatl'infi;i t" 'ajvii'iSich I'ozutero' aleSo

iiekolko nodelov r6znej velkosti, '.,n oZn,q-f,.i.tt o"ni'i"". pro5l6rnor- zviiiSo-

vania. R iebenirn *6#;i't' ;j ^;;h;;;';i"'i'",ii

1iitit ";

ua st i za'iaclenia' hoci aj

v nezmenSenej rnierke.

1.6.2 Yztah rozmerovej analfzy k te6rii porlohnosti

vztah medzi rozmelovou analyzou a te6riorr podobnosti rrriuic IJ' ttcttt'

nod,obnosti,forrrr,rtoilrJ iooron oud ̂ r, Sr"riir-,i,irooi ,i,pto^'y .1, lcon'plcty (kri-

l6riri nodobn osti\ oduod,eni zo stistauy ,t7rrntit;ilt yrn ,orrilt op-it"iile'ei sktLman'i1

dej si totoini so simplermi a kontple.,r"t "ii",tir,'i,i,i , t,iirg,:,it" titt'i'y diferen-

tn*"r;!{.Wpodob'osti vyplli'a.. ze erpe'irne'td,l*e zistend, 2{1.lslost medzi

krit6riami poclob'osti je rie5enim ,,:,rtarrjj'.tiietelci6lnych rovtlic - jej integ-

r6lom.

6 IPnirlenY

Taktoodvod'en6,zrivislosfplati-prevEetkvdeieopfuan6srista'voudiferen-cirilnvch rovnfc,, tt"--*i uoii,davoaitte krit6iit pbdoinosti, n9..len v rozsahu

nokusn,ich psa'.i"toi-1. 66il;l;"tu rilohf' ak um-oiiuie urrit hodnotu

#;""ik"ri"""tk-""lii;y v'Iub&ofnom mieste svst6"mu a v Iubovolnom Case' Pro

#;';*i;ffi d"id 'ir#, t*Ila"r[""6'."zdvislost jewzfahom m'edzi cha-

iakreristickf-i f*t."ii/-i aieto extremnymi; nodnotamr-pl9Te.ln'fch velidin'

Tak6to vztahy sa odvohzujrfi 9vgla. Iahsie .#i'J"-ffi -"aii t6triVmi hoctno-

tami premennlfch vetilin d sri dostatoU"" pl-et"e, "i.43i1,

Ze pqlia velidin sri

iffi.;ffi;"r""k. iou i "h

strednlich. al ebb extr6mn y-c!r hodn6t''"*";i.

;;l;; fiao6";tilr t"-tt" i"aava nr{,vod na ri66dnie bhemicko-iniinier-

skvch probl6mov, " f"ititt" 'rtldny s-posiupom podla rozmerovej anal'fzy'

s i1miozdielom, Ze ffi;;;-;d*de'i-ia- 6ezroi"gtg"y+ simplexov a komple-

l#?:;;dil;"il ffii; t"6ti" foaon"o'ti ie in1;i rieZ v rozmerovej anallfze'

Z rozmerov"i ";;I;;y-;;i'il;ivajri priJ'mo "26'sady podobnosti fvzikril-

nych dejov, , pruro'iii-Jn-rJdo'o&rreir6 irimietky vodi iozmerovej a,nalyze,

casr6 v titeratrire, ";;il;;f;ii

-poi,i"daviek" te6rie podobnosti' Jedin6'

loqick' ot6"zka-. t"5to'J.,,itio'ti-'", Aii-argumenty ziskandro7'merovon 3"'"ly-;;";?;il;rili pda"rrir".ti, tl"i,.i^i". Tri"to otduzi<u moZno zodpovedaf jedno-

;;;il; ;;;i.b,";;';:;;s;;""ty sir.kiit6riami pod.obnosti, ak ich zostava

ie kompletn {r, a, aku.ifi""Ll"it" ao J-""5r'1'."i"tty i"Uritty',kto16 na skfmanf

f""i ffifi;fi; #; 'o.ifi;il."f,J "s"ity i, olirdavliy na e xiktnost tak, ako. b oli

formulovan6 -, ,eo"rJufitoly o rozder'ovej analy'ze. Pravda,.pri konkr6tnom

rieseni probl6mu rozmero-vou anal5izou sanir;,lnia taZkosii s(rvisiace so splne-

nim t,l.chto poa*t"rr;ilI,'t""1*ri ich splnenia, ie velmi taik6,. No na druhej

ffi# il;#""Jil2"^""i oaooa""i" to-ir"t""1 shst-a,1y diferencirilnych rovnio;;;)rrJ'"dd l"a"oJ"-"fte. Prednostoo- teOri6 podobnosti pred rozmerovou'

anal;izou ;e n"rporrrl-r;;;""rt i"p6E kontrolv'kqmpletnosti sirstavy rovnic,

Cim ie danri, viid3ia "-"t"""*tf.t"5=tivisledko"v. .le iit9, Ze rozmerovi' ?rc:al!'zu-

i"-t"'iii.lr,La"t ;;;A; oaooa""i" zl,vislosti l.eclzi prgnelnyni velidinami

f ;;ffi;-i;;J;;ili;;ft;;;t probrematike sr6iak6 slab6, ze uestadia'i"f ,ii"irltr"J"*-kompletnei sustarr'i diferenciri,Inych rovnis'

. '.7 PR,IKLADY

Priklsil 1'1 !-1 s-1' Ak6 butle 6Geh6 hotlnote vtuko'

Viskozita glycerolu je p5i 3-0'C 6'29 g cmzitv gii"""oit'v'filavttfch je^dnotkdch sustavy SI?

R'ieseniet ^" "iolnzirv v sirst'awe s me&i iednotkou]Ilavnou jeclnotkou viskozity v sfs[a'vo Sf ie ke m-r s-l' Yztiah :

g "m--i;ji;l3ar"it"."*f.ir":i

.:' u" trejau potirocdu vztahov'predpisa.qiigb ngrrnemr

1 k g : 1 0 0 0 91 m : l 0 0 c r r

?otom je:. l k g - l o o o g : 1 0 - g -

m s l O O c m e c m s

Jednotka kg cm-l g-r je tud& l0.kr6t viiiiia ako jetlnotlsa g cm-r s-t" Potqiu ltodlspravidla (t.t) plati: . p, _ !0 lf

,-lrde

p, je dtuelrld hodnoia viskozity v g om-I e-l d p" je joj niseln6 hoclnota v kg sn:l s-I'

62 FYzrrLr,re wer,rdrrv, rcn IIERANTc

Po dosadenl do tohto vzta,hu podla zada'nia rllohy je:

ll : 0.62S -\Lm s

Pri prepoCte moino postupovat aj podla rlnrery

r k B . . . . . . 1 s - - g - -m s c m s

p " . . . . . . 6 , 2 9

odkial6.29 kE ^ ker

p : frl;? : 0,62e _::o_

D6 sa v5ak postupovad aj takd. Do rovnice:

P: 6'29 -+

sa priamo dosadia nov6 zdkladn6 jednotky:I

- E O

p:6,2sS : o,ozg trg-

1 0 0 * "

Tento postup je najvhoclnej6i a odporfrdame ho pouiivaf'

Priklad 1.9

lbeba udad hodnotu viskozity glycerolu z predch1rJza,iirceho prikladu v kp s/me-Pre jednotky diZky platt:

1 p : l Q O c r n

Z rovnice (1.21) vyplyva zas:

I kp : geo oes gg-

'na, zrildade doho moino napisad

r 1.p." :99_98 s."*: : gs,oeos _g_m2 I0 000 ss cmz cm s

z doho vidied, ie jeclnotka kps/m je 98,0665-krrit viid.{ia al<o jednotka g/crn s. Podlapravidla (1.5) tecla platl:

6,29 liP st, : O[Ooos

"r,Prikled 1.8

Pre vfpodet mern6ho odporu filtradn6ho kol6ia pri filtrri<rii zo urditych pocltnierlolisa v jednei'publihdcii uvridzdempirickf tr*"n,

",o ",-,,,-a : 1,72. 1010p0'363 ft / lb

kde p je pretlak clanj.. v lb/sqin. Treba urdit hochrotu rnerngh_o odpolu 6ltradn6ho ltolridan-*foii Fif;tt"k,i o,sa;t-'tft je sy'rbol pre jerlnotkrr dizkv -1fo-ot';'.lb

je svmbol,pr'>

;eanbtihti sity llibra -'pounrl), s.1i"-1o s1'trib,tl-1rre jtrdnotku plochy (Ftvot'covi inch)l'

D i s k u s i a :Rovnica'pre vyipodet a je zrejme rozrnelove nehonrogdrura.",l'tiq -j:

ill:rr-lillllll:

vzhl'adom na iristavti iednotiek. Jei platnost) j9 vynetlzerrti, PgZiadavliou' ze p tteoe

ao;d"o"at,.r lb/sqin, p'"ito- iiseluri,"hbdnota a ie dind,-v f\/lb. Pri rioicni-rllohy mojzno

[."itp"""t taii :ti.i'ir"a""tr aa,n?ho lrr:etlat ri prepodita na hodnotrt v lb/sqin; td sa

Pnirr,eov 63

dosadl do rovnice a vypoClton6 hodnota a ea prevedio z jedlotiek ft/lb na hodnotuv m&p. Ak takjto vjpoCet treba Castej5ie opakovat pre r6zrre hodnoty pretlaku v at,je vhodnej5t druhf postup, pri ktorom sa rovnica tra,neformuje do tvaru umoif,ujricehopriame dosadenie pretla,ku v at a vydlslenie or priamo v m/kp. RieSenie podla druheimetddy moino uskuto,lnit dvoma postupmi.

R, ie5en io a )

Rovnica sa prepi5e do rozrnerove homog6nneho tvam

d' : kpo'353

kde t je lion6tanta, ktorej hodnota a rozrner z6visi od jednotieJ< mera,nia veliCtr or a p-Pororryranlm s denou rovnicou je:

k : t,72 ro,. [+][ .il$

]''Jednotkou mera.nia velidiny ft v novej sfstave bude jednotka:

l m ' l t I 1 [ m l l - c m s l o ' r c aIIFJ ta6;5d5i :

1m11'n JIlodnotu velidiny ft v novej sfustave jednotieli ndjdeme znrim5rm postupom:

I ft : 9'394 79 *r lb : 0,453 59 kp

l lL : o,o7o Bl ar.. "q*

t ; : 7 , 7 2 . 1 0 " 9 , 1 9 = 4 J 9 = - . ( - L \ 0 ' 3 6 3 r r Itz ' tv'" 0-Ise30-kp' \o,ozo sI/

't"tca;r1

tc : r ,7 .2. r0r0 . 0 ,62.1 s5 .2,62r : 8,02e . ,0 , " [# ] [+] ' ' * '

Dosadenirn do ro'"'nicc pro a rlosta.neme:

a' : 3,029 . 1010p/0'3Gs m/kp

kde p' sa dosa&uje v at,, t. j. w kp/emz, a diselnri hodnota e' je darr6 v m/kp.

R, ieBen io b )

JednotJia velidiny a v p6voclnej srlstavo je ft/lb a v novej sirstave m/kp. Vzliahrnedzi t;y'rnito jednotharni je nastedovnf :

t Il : :'19,119"' : 0,67I er m/r;p- lb 0,4s3 59 kp

Jednotlia ft/lb je 0,671 $5-krdt vddiir ako jcdnotiia rn/kp. Preto medzi diselnymi hodnota-mi tspecifickeiho odporu v p6vodnt'j a novej eristave budo 1:latili vztah

a ' : 0 ,671 95 a

kde e' je hodnota Specificktlho oJpolu v rn/kp a c vo ft/lb.Pre jednotky tJaliu plat.i:

-L : o,o?o 3l atsqDl

Vztlah nreclzi diseln;iini hodnotarni tlaliu v t;y'ehto jednothri,ch jc:

7t ' : 0,070 3l p

kdo p' je diselnd hodnota tlal;u v at.

e4 Fvzrxir,xn vrlri'txr, rcrr tllERANrt

Po dosadeni clo p6vocln6ho vztahu zs' d a p dogtanerne:

"-- : l ,?i. lolo . -3::-O.6Z f SS U 'u lO 3 l o ' 303

a po irprave

to vedie ku vztahu

Prikloil 1.{

Pri rieSenivztahom (e):

z doho sa odvoclili vztahy medzi exponentnri:

M z r * q t z : 0- L : - t : + U + 2 . - J 1 p - S + f r : 0

r : - 2 r - q - E : u

Odvodte z-argumenf,y tak, Ze za nezd'visle premenn6 zvolile p' q t\ z!

R , i e S e n i e :

Rieienim rovnic pre M, L a x sa zisliajir vztahy:

! .= - i : "k - 2 p * c .

Dosadeninr do vztahu (e) dostaneme:

U -- (-Ap)-p-7 ' L-z-q 'd' ' Qp ' l tq "wzp+c

a zoradonlnr Podla exponentor':I o t o z \ P I p l D \ 4 / d \ tz r : ( 1 _ 2 1 4 ) ' \ - g t p T T ) ' \ T l

Pre z, sa volia hodnoty esponentov talito:

p : 1 , q - - 0 , z : o

potom

Pii rr, sa voli:

pot'om

Pre z, aa voli:

potom

e , : 3 , 029 . 1010 p ,0 ,363

Poclla zaclania tllohy pri tlaliu 0,34 at ipecifick;i oclpor filtradn6ho lioltida:

d , : 3 ,O2g . 0 ,350 , s0s . 1010 : 2 , 84 . 1010 m /kp

a ' : t , 75 . I 01o . 0 , 6? l 95 . 2 , 621 t ' o ' t u t

6lohy str'6t tlaktt lozmerovotl aualj-zon boli z-argr'rtnenty de6novan6

n 1 : ( - A p ) r . L l t . d ' . n n . 1 t ' I ' I o t

Q W 2:tt : (- art)

p : 0 , q : O , z - - )

dJ . 2 -

L

p : 0 , 8 : L , z : 0

ri'w*' "3 -

( - /p l L

Pnllrr.ent' 66

Ilned vidief, zo argumenty t\ I 11. sa utia-od z.a,rgumontov odvodenjch pri riodenttnito dlohy v kapitole o rrozmorovoj a,nalfzo lon t_Ifm' Ze.p-redst'evulU rctr.PlievraEenuhddnotu. Volboub: -l pre ,h a z: -l pre ts by 88 zlskalr Prrs,mo tre rato z'al'gu';;;t.;r;g"-At moino'previes6 na predtlm oilvoden6 8e dls-lo nasledovnou kombi:n6ciou odvodenfch z-a'rgumentov:

n , . o - F l p l . ! : d t e : n "{ r t - P U L P

(-API I'

Rovnalrf w5?sledok sa dosia,bne, ked.erponenty pro ,zs 88 volia tskto:

p : 1 , e - - 1 , 2 : L '

Prtkloil 1.6

pri modelovom pokue€'sme olovenrl tyiku diUly 0,1 m ohrievali zdrojom teplana iednom konci tak.-ie iei toplota na tomlo konci bola stuila 20"C. Po uplynuti lsod iapodatia ohrievania s;e ns druhom konci tydky na,rnerali teplotu 4"C. Zaliabolndtenlot'a tvCkv botre 0 oC. A.ko sa, prevedie tentp rr.feledok modelov6ho pokusu na prlpad'pii ktoro- i" bllde ohrievat hliiikov6 tyd dlZky I m rre jednom konci na konEtantnfieplotu 200 "C. Zaliat'odnf toplota hlintkovoj tydo je tieZ 0 oC'

R i o S e n i e :

fioha je prlkladom pre neustdlen;i prestup tepla v tuhom tolose. Tento doj je opfua,n1idiferenci6lnou rovnicou v tvare

u 1 fr2tr, 02t art 1-a " : " \ f f i+@t-F)

I(odZe prestup tepla sa uskutoCfiuje iba v jednom smere, t. j. po alirc tyie, ktorri m6-ieme uiniestnit niprfklad v smore bsi a, moino rovnicu zjednoduiid do tvaru

at I a?,\E: " \E )

":#[+]kde X je tepeln6 r'odivost,

o - hustote ac| - mern6 teplo rnatoridlu.

Podmienk5r jodnoznadnosti rie5enia rllohy sri nasledujrlce:

kdo

diuka tydetepeln6 vodivostmern6 teplohustotazadiatodnd teplotatoplota na ohiievanom konci

Z diferenci6lnej rovnice opisujricej dej sa odvodia krit6ri6 podobnostr:pre hlinlkovri tyd bude Platif :

aq - | 0'4\7i: " ' \ -dq )

pre olovenrl tyi bude platid:

#:",(#)5 Chomickd inziniers'lvo I

l. hlintkovd tydt r ' : l ml', : tZS kcal/m h deg

cot : 0,22 kcal/kg degb;: 2 700 kglmglor : 0 degtr: 200 dag

2, olovend tydt r r : 0 , 1 m.Xg : 30 kcel/m h deg

clr : 0,031 kcal/kgdeger.- 11 300 kg/m8lor : 0 dogt r : 2O deg

( a )

(b)

Pri podobnosti dejov v prvom a druhom prl@o musl plotit:

@Jaz : co, allar: cs' t1lt7 : 62' t1lt2: a1

a fpravou

IkdZp medzi veliEincmi v diferencid,Inej rovnici platt iba jeden vztah, t_ri 3 uv9$9nfc.hFotf-tgJ-poaoUnoeti moino volid lubo-volne a StvrtC ea

-v54loClta. Zad3;drn rlloly je

when6 ao,'ar, cr; Prcto treba vypodlt'af c'

Do rovnico pre hlintkovrl tyd sa dosadia vzda,hy pre konitanty podobnosti:

0(cfi'1. - - Ar@qr|)adrl: c"@'@ffs

Co po rlp:ave vodie k vzdehu azt^o, - d, :9o^

a.al

u' ur - -q- ' * ,

Ak m6 grlCasne platie aj rovnica (b), mud by0:

.At _ AaCt

cJ cz'

fpravou tohto vzta,hu sa zlska indik6tor Podobnosti:af t :Q:r

alebo po doeadenl z rovnlc p"" toortrity podobnosti zleke sa bit6nium podobnosti:

r t . a t

" ' - o t : lGi

4

w:t:4:,oVo Fourierovom krit6riu .E'o moZno natrra,di0 veliCinu c dfiLou ty6e; potom je:

7o : i1,= ,Qaer'

Eodnota konBtortty podobnosti pre Cas wyplfva z poZiixlavky rovnakoj bodnoty kritdriopodobnoeti -Po v prlpade I a 2:

t, -o"tgrlj-,brs o76Qy'|lr

Dosadenlm z podmienok jodnoznadaosti dos0aneme:t1 3O' . O,22 .2 7OO . l , ^u:m:""

Vfsledok sa z,hodnot{ nasledowe:

Kedie pro toplbty platf:

L_t , :2ootzo _ rot, te"

a pro Cas bolo odvodon6:' tt - zg

tl

budo no konci hlinlkovej tyde na,meran6 teplote 40 "C po rrplyautl 29 g, lebo na modelibolo aaoeran6 toplgto 4'C po uplyautil I e.

LrrsnerfaL

I J I T E B A T U t r A

[t] dunrov, A. G.z Edininy Jizirhabdch oeri6dn: Goe. izdot. ,,yydEaja Ekole,rMoekva lg60

[2] Weuor, J.: Qriie*nglnichungen, Einlwibrt utrit Dimansior*n: J. A. Barth (Vorlag),Leipzig l9b7

: t3l Merz, w.: A"ypy"!^g annttuhkeitagnndaatzcs in itur vcrfahr'enetachni.hz sprin-. ger - Vqrlag, Berlin lg54[4] Koir5xk, J.: Egzilailni, poilobrwat a sta,oba mod,el&: Jdlm,, praha Ig48[6] Krniudnv, M. V'-Kor.r.r,rov, p. K.z MatematiEeakic,oanoqtnoriipodob.rlia:AN sssR,

Moskve lg49[6] sroov, L. r.z Metaily poilobrcati a rozndrnoetd o maclnniaez SNTL, haha lg5b[7] Bnurszwe,ronn, s.: zagdnenia projehtooatrio proceahut przemgalw. chemhzrv4o: r,

PWT, Warszawa lg56[8] Jonrsro'lra, R,. E.-Ttrnnra, M. w.: pibt ptranr Mdprs ord scala up Metlnila inClwnielErrgi,rueriny: McGraw-Ifiil, New york lgES[9] D'raxouov, G. K.z

_voprory taori'i' podobiia o obbati Jiziko-chi,mi.{etlcich proenssol).AN SSSR, Moekva lg56

FOl Lhresrrn,H.L:: Dimnrwiorwr arnrydtand?heory oJMod,eta:Johnwireyetcomp-INC., New york lgSl

r [rl] Dor,ElrrJx, Y; Podobnoet a mod,erouittt o chenialc| tecfufugiiz SNTL, pra,ho lg6g