制御系の設計

現実には不可能!!制御偏差：e(t) = r(t) ! y(t)

制御の目的：e(t) ! 0, t " 0

か，これを出来るだけ小さくする

e(!) = limt!"

e(t) = 0

閉ループが安定であれば...

= lims!0

sE(s)

目標値から誤差までの伝達関数：E(s) =1

1 + G(s)C(s)R(s)

制御偏差

€

−R(s) E(s)

C(s) G(s)Y (s)+

t

（分母多項式がsでくくれる）

「1型の制御系」と呼ぶ

：定常位置偏差，オフセットep(!)

ep(!) = limt!"

e(t) = lims!0

sE(s)

=P0

1 + lims!0 G(s)C(s)

= lims!0

s1

1 + G(s)C(s)

P0

s

：位置偏差定数Kp = lims!0

G(s)C(s)

G(s)C(s) =(!)

s(•) Kp = !

ep(!) = 0

ステップ状目標値信号の場合：r(t) = P0, R(s) =P0

s

：速度偏差定数t

（分母多項式がs2でくくれる）

「2型の制御系」と呼ぶ

：定常速度偏差ev(!)

ev(!) = limt!"

e(t) = lims!0

sE(s)

=r0

1 + lims→0

sG(s)C(s)

= lims!0

s1

1 + G(s)C(s)

r0

s2

Kv = lims!0

sG(s)C(s)

G(s)C(s) =(!)

s2(•)

ランプ状目標値信号の場合：r(t) = r0t, R(s) =r0

s2

Kv = !

ev(!) = 0

例題

€

−R(s) E(s)

C(s) G(s)Y (s)

D(s)

H(s)

Y (s) =G(s)C(s)

1 + G(s)C(s)H(s)R(s) +

G(s)

1 + G(s)C(s)H(s)D(s)

W (s) Yd(s)

Y (s) =G(s)C(s)

1 + G(s)C(s)H(s)R(s) +

G(s)

1 + G(s)C(s)H(s)D(s)

W (s) Yd(s)

ステップ状の外乱について：D(s) =d0

s

yd(!) = lims!0

sYd(s) = lims!0

sG(s)

1 + G(s)C(s)H(s)

d0

s

D(s) =d0

lims!0

!

1

G(s)+ C(s)H(s)

"

1

G(s)+ C(s)H(s)が 1型のとき yd(!) = 0

例題：タンクのレベル制御u(t)

y(t)

v(t)A

k

Ady(t)

dt= u(t) ! v(t)

v(t) !

v0

s: ステップ状外乱

R(s) : ステップ状信号C(s)をどのように設計すればよいか？

：一定に保つ

1

AsC(s)

R(s)+ E(s) U(s)

V (s)

Y (s)!

!

1.システムを安定化する!システムの極は0だから安定限界

しかし...

u(t) = Ke(t)とする

W (s) =K/As

1 + K/As=

K

As + K

1

AsC(s)

R(s)+ E(s) U(s)

V (s)

Y (s)!

!

Kを適切に選べば から までは安定化できるR(s) Y (s)

目標値信号に対して...

1型の制御系となる

ステップ状外乱に対して...

どうすればよいのか...

1型とはならない!!

G(s)C(s) =K

As

1

G(s)+ C(s)H(s) = As + K

y(!) = r "

v0

Kとなる

目標値信号に対して…

ステップ状外乱にして...

2型の制御系となる．

ステップ状目標値に対する定常偏差は0となる．

1型となる!!

としてみる...C(s) = KP +KI

s

W (s) =(KP s + KI)/As2

1 +1

As

KP s + KI

s

G(s)C(s) =1

As

(

KP s + KI

s

)

1

G(s)+ C(s)H(s) = As +

KP s + KI

s

yd(∞) = 0

を適切に選べば から は安定となる．

R(s)

Y (s)

KP , KI

PI制御と呼ぶ！

誤差に比例した入力誤差の積分値による入力Proportional

Integral

で表されるu(t) = KP e(t) + KI

! t

0

e(! )d!

なるコントローラは...C(s) = KP +KI

s

制御系の設計：状態フィードバックを用いたもの制御対象：状態空間表現：

d

dt

!

x1(t)

x2(t)

"

=

!

0 1

0 −1

" !

x1(t)

x2(t)

"

+

!

0

2

"

u(t)

y(t) =!

1 0"

#

x1(t)

x2(t)

$

伝達関数表現：

G(s) =2

s(s + 1)

設計仕様を満足する伝達関数： 状態フィードバックではシステムの零点を変えることはできない!

補償器：

安定であれば任意

Wd(s) =1000/3(s + 3)

(s2 + 7s + 25)(s + 40)

C(s) =s + 3

s + 2

= 1 +1

s + 2

の零点と同じWd(s)

2

s(s + 1)

制御対象

u y

補償器：補償器：

1

s + 2

補償器

+

+

補償器の状態空間表現：dx3(t)

dt= !2x3(t) + v(t), u(t) = x3(t) + v(t)

v(t)から y(t)までの状態空間表現d

dt

!

"

#

x1(t)

x2(t)

x3(t)

$

%

&=

!

"

#

0 1 0

0 !1 2

0 0 !2

$

%

&

!

"

#

x1(t)

x2(t)

x3(t)

$

%

&+

!

"

#

0

2

1

$

%

&v(t)

y(t) =!

1 0 0"

#

$

%

x1(t)

x2(t)

x3(t)

&

'

(

1

s + 2

+

+

x3v u

状態フィードバックで安定化（極配置）する．v(t) = Kr ! k1x1(t) ! k2x2(t) ! k3x3(t)

2

s(s + 1)

u y1

s + 2

補償器

+

+

x3

x1 x2

k2k1k3

vK

+

!

r

! ! !+

閉ループ系：

閉ループ伝達関数：

係数比較より...

d

dt

x1(t)

x2(t)

x3(t)

=

0 1 0

!2k1 !1 ! 2k2 2 ! 2k3

!k1 !k2 !2 ! k3

x1(t)

x2(t)

x3(t)

+

0

2K

K

r

Wd(s) =2K(s + 3)

s3 + (3 + 2k2 + k3)s2 + (2 + 2k1 + 6k2 + k3)s + 6k1

K =500

3, k1 =

500

3, k2 = !

223

12, k3 =

487

6

設計仕様を満たす r(t)から y(t)までの伝達関数Wd(s) =

1000/3(s + 3)

(s2 + 7s + 25)(s + 40)

2

s(s + 1)

u y1

s + 2

補償器

+

+

x3

x1 x2

k2k1k3

vK

+

!

r

! ! !+

新たな制御対象

オブザーバ