2010 場の理論と超弦理論の最先端soken.editorial/ProcQFT2010.pdf · 2 弦理論および重力理論: ブラックホール、量子重力、弦の場の理論、弦理論の現象論や宇宙論への
t) am , m b mf (t) am , bm すべての信号は、正弦波の和で出来ている...
Transcript of t) am , m b mf (t) am , bm すべての信号は、正弦波の和で出来ている...
1
( 第5回 )
Ⅰ部 C科 1年
信号理論
本日の内容
1.前回の復習
フーリエ級数とスペクトル
2.本日の内容
◇フーリエ係数算出式の証明
◇ フーリエ級数の例
◇ 複素正弦波によるフーリエ級数
3.演習
すべての 周期信号 f (t) は、
基本 (角) 周波数 ω0 = 2πf0および、
その2倍、3倍・・・(2ω0 、3ω0 ・・・ )の周波数の
正弦波の和として表すことができる。
( 表したもの → フーリエ級数 )
前回の復習 (1): フーリエ級数
)3sin2sinsin(
)3cos2coscos()(
030201
0302010
tbtbtb
tatataatf
周期
10 f
)32sin()22sin()2sin(
)32cos()22cos()2cos()(
030201
0302010
tfbtfbtfb
tfatfatfaatf
正弦波の「表現2」が使われている
表現2
周波数 f0 の正弦波
周波数 2・f0 の正弦波
周波数 3・f0 の正弦波
+ +
周期信号
「分析」と「合成」
水 400g
醤油 10g
みりん 5g
塩 2g
砂糖 0.2g
昆布汁 5g
煮干汁 20g
うどんのスープ 材料(成分)
分析
合成
)32sin()22sin()2sin(
)32cos()22cos()2cos()(
030201
0302010
tfbtfbtfb
tfatfatfaatf
フーリエ級数との対応
周波数 f0 の正弦波
周波数 2・f0 の正弦波
周波数 3・f0 の正弦波
+ +
スープ = 400g の水 + 10g の醤油 + 5g のみりん +・・・
信号
2
信号の「分析」と「合成」
信号 材料(成分)
500Hz の正弦波 1
1000Hzの正弦波 0.5
1500Hzの正弦波 0.3
2000Hzの正弦波 0.25
分析
合成
mm ba ,)(tf
すべての信号は、正弦波の和で出来ている
「スペクトル」は、成分のグラフ化
f
成分
500Hz の正弦波 1
1000Hzの正弦波 0.5
1500Hzの正弦波 0.3
2000Hzの正弦波 0.25
mm ba ,
0 500 1000 1500 2000
周波数 (Hz)
1
0.50.3
0.25
大きさ(振幅)
パワースペクトル
f
成分
500Hz の正弦波 1
1000Hzの正弦波 0.5
1500Hzの正弦波 0.3
2000Hzの正弦波 0.25
mm ba ,
0 500 1000 1500 2000
周波数 (Hz)
2/22nn ba
パワー
(0.5)2/2
(0.3)2/2(0.25)2/2
(1)2/2
パワー
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-3
-2
-1
0
1
2
3
信号 f(t)
時間
どういう正弦波成分から作られているのだろうか?
分析の例
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-3
-2
-1
0
1
2
3
信号 f(t)
時間
分析 ・ 周波数 100Hzの sin (振幅が) 1
・ 周波数 200Hzの cos (振幅が) 2
成分
分析結果
( 分析「方法」は、後で説明 )
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-3
-2
-1
0
1
2
3
信号 f(t)
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-3
-2
-1
0
1
2
3
時間
時間
周期 0.01s 周期 0.005s
分析 ・ 周波数 100Hzの sin (振幅が) 1
・ 周波数 200Hzの cos (振幅が) 2
成分
sin(2π100 t) 2・cos(2π200 t)
分析結果 (波形)
3
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-3
-2
-1
0
1
2
3
信号 f(t)
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-3
-2
-1
0
1
2
3
時間
時間
周期 0.01s 周期 0.005s
分析 ・ 周波数 100Hzの sin (振幅が) 1
・ 周波数 200Hzの cos (振幅が) 2
成分
f(t) =sin(2π100 t)+2・cos(2π200 t)
式で書くと
sin(2π100 t) 2・cos(2π200 t)
分析結果 (式)
)32sin()22sin()2sin(
)32cos()22cos()2cos()(
030201
0302010
tfbtfbtfb
tfatfatfaatf
フーリエ級数と対比すると
f(t) =sin(2π100 t)+2・cos(2π200 t)
)32sin()22sin()2sin(
)32cos()22cos()2cos()(
030201
0302010
tfbtfbtfb
tfatfatfaatf
フーリエ級数と対比すると
f(t) =sin(2π100 t)+2・cos(2π200 t)
0,,2,1,100 210 ii baabf その他の
)32sin()22sin()2sin(
)32cos()22cos()2cos()(
030201
0302010
tfbtfbtfb
tfatfatfaatf
フーリエ級数と対比すると
0,,2,1,100 210 ii baabf その他の
1・sin(2π100 t)
2・cos(2π200 t)0 0 00 0
100Hz 200Hz
( 先週の演習問題)
)32sin()22sin()2sin(
)32cos()22cos()2cos()(
030201
0302010
tfbtfbtfb
tfatfatfaatf
0,,2,1,100 210 ii baabf その他の
1・sin(2π100 t)
2・cos(2π200 t)0 0 00 0
100Hz 200Hz
f0 100 200
周波数 (Hz)
2/22nn ba (2)2/2
(1)2/2
よってパワースペクトルは
パワー
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-3
-2
-1
0
1
2
3
信号 f(t)
時間
分析 ・ 周波数 100Hzの sin (振幅が) 1
・ 周波数 200Hzの cos (振幅が) 2
成分
分析の方法は?
4
「フーリエ係数」 a0, a1 , ・・・,b1 , b2 , ・・・ は、
同じ周波数の正弦波 sin nω0 t をかけて積分すれば得られる。
an、bn の求め方 (=分析方法)
T
n dttntfT
b0 0sin
2
)3sin2sinsin(
)3cos2coscos()(
030201
0302010
tbtbtb
tatataatx
1)1002sin(2
0
Tdtttf
T 2)2002cos(
20
T
dtttfT
100Hz の sin の大きさ(成分) 200Hz の cos の大きさ(成分)
本日の内容
1.前回の復習
フーリエ級数とスペクトル
2.本日の内容
◇フーリエ係数算出式の証明
◇ フーリエ級数の例
◇ 複素正弦波によるフーリエ級数
3.演習
すべての周期信号は、正弦波の和として合成できる
→ フーリエ級数
のこぎり波
方形波
+
+
+
+
方形波は正弦波の和として合成できる
x(t) = sin(ωt) +1/3・sin(3ωt)
+1/5・sin(5ωt) +1/7・sin(7ωt)+ ・・・・・
+
+
+
+
-1
0
1
2つの正弦波の和
f = 100 Hz (基本波)
f = 300 Hz (3倍波)1/3
時間
振幅
-1
0
1
2つの正弦波の和
f = 100 Hz (基本波)
f = 300 Hz (3倍波)1/3
時間
振幅
5
-1
0
1f = 100 Hz
f = 300 Hz
時間
2つの正弦波の和
青+緑 → 赤
1/3
振幅
1,3,5倍周波数の正弦波の和
0
-1
0
1
時間
100 Hz+300Hz
500 Hz
1/5
振幅
1,3,5倍周波数の正弦波の和
0
-1
0
1
時間
100 Hz+300Hz
500 Hz
青+緑 → 赤
1/5
振幅
0 20 40 60 80-2
-1
0
1
2
0 20 40 60 80-2
-1
0
1
2
0 20 40 60 80-2
-1
0
1
2
0 20 40 60 80-2
-1
0
1
2
sin t
t3sin3
1
tt 3sin3
1sin
t5sin5
1
tt 3sin3
1sin
ttt 5sin5
13sin
3
1sin
tsin
t7sin7
1
ttt 5sin5
13sin
3
1sin
tttt 7sin7
15sin
5
13sin
3
1sin
ω0 =1
方形波 の合成
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
tsin tsin
tt 2sin2
1sin
t2sin2
1
t3sin3
1tt 2sin
2
1sin
ttt 3sin3
12sin
2
1sin
t4sin4
1ttt 3sin
3
12sin
2
1sin
tttt 4sin4
13sin
3
12sin
2
1sin
ω0 =1
6
のこぎり波 の合成
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 20 40 60 80-2
-1
0
1
2
0 20 40 60 80-2
-1
0
1
2
0 20 40 60 80-2
-1
0
1
2
0 20 40 60 80-2
-1
0
1
2
sin t
t3sin3
1
tt 3sin3
1sin
t5sin5
1
tt 3sin3
1sin
ttt 5sin5
13sin
3
1sin
tsin
t7sin7
1
ttt 5sin5
13sin
3
1sin
tttt 7sin7
15sin
5
13sin
3
1sin
方形波
0 20 40 60 80-2
-1
0
1
2
0 20 40 60 80-2
-1
0
1
2
0 20 40 60 80-2
-1
0
1
2
0 20 40 60 80-2
-1
0
1
2
sin t
t3sin3
1
tt 3sin3
1sin
t5sin5
1
tt 3sin3
1sin
ttt 5sin5
13sin
3
1sin
tsin
t7sin7
1
ttt 5sin5
13sin
3
1sin
tttt 7sin7
15sin
5
13sin
3
1sin 1
2ω0
方形波のパワースペクトル
周波数ω
ω0 3ω0 4ω0 5ω0 6ω0 7ω0
1
(1/3)2
tttt 7sin7
15sin
5
13sin
3
1sin 1
含まれている正弦波の大きさを表すグラフ
(1/5)2(1/7)2
・・・・・2
2 2
2パワー
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
tsin tsin
tt 2sin2
1sin
t2sin2
1
t3sin3
1tt 2sin
2
1sin
ttt 3sin3
12sin
2
1sin
t4sin4
1ttt 3sin
3
12sin
2
1sin
tttt 4sin4
13sin
3
12sin
2
1sin
のこぎり波
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
tsin tsin
tt 2sin2
1sin
t2sin2
1
t3sin3
1tt 2sin
2
1sin
ttt 3sin3
12sin
2
1sin
t4sin4
1ttt 3sin
3
12sin
2
1sin
tttt 4sin4
13sin
3
12sin
2
1sin 1
7
2ω0
のこぎり波のパワースペクトル
周波数ω
ω0 3ω0 4ω0 5ω0 6ω0 7ω0
含まれている正弦波の大きさを表すグラフ
tttt 4sin4
13sin
3
12sin
2
1sin 1
(1/3)2(1/2)2
(1/4)2
・・・・・
2
2
2
12
パワー
フーリエ級数の意義
すべての周期波形は正弦波の和
◇ 各正弦波成分の大きさを分析
an、bn (スペクトル)が信号の特徴を表す。
・ 音声認識
◇ 合成できる
◇ 周波数操作
・ フィルタ
◇ 周波数で見る・考える
音声(短時間周期信号)は、(短時間)正弦波の和
aiueok_fem.wav
周波数
大きさ
音声の音色 → 母音のスペクトル
「あ」 「う」「い」
音声の音色 → 母音のスペクトル
「あ」 「う」「い」
GoldWave