t = · 2010-05-31 · +∞, fereastra temporală "mătură", forma de undă a întregului semnal de...

Capitolul 1

INTRODUCERE

"Prelucrarea semnalelor" are ca scop modelarea matematică a fenomenelor utilizate în tehnică. Garanţia evoluţiei în acest domeniu de cercetare este permanenta îmbunătăţire a preciziei cu care modelele create descriu realitatea fenomenului modelat. De aceea e necesar să se utilizeze metode matematice tot mai evoluate. Deşi fenomenele staţionare sunt mai simplu de modelat, în prezent este tot mai cerută analiza fenomenelor nestaţionare.

1.1. CONCEPTUL DE REPREZENTARE TIMP FRECVENŢĂ Unul dintre semnalele cel mai des utilizate este semnalul sinusoidal. Acesta este descris matematic de funcţia: ( ) tsinAtx 000 ω = (1) parametrizată după constantele: 0A - amplitudine şi ωo - pulsaţie. Pentru cunoaşterea acestui semnal este suficientă cunoaşterea legii sale de variaţie în timp (relaţia (1)) şi a parametrilor săi 0A şi 0ω . Este evident vorba de un semnal staţionar. Un alt exemplu de semnal staţionar este impulsul descris în relaţia : ( ) ( ) ( )( ) -t t = τσ−σ11 Atx (2) Parametrii acestui semnal sunt: amplitudinea sa A1 , durata sa τ, precum şi momentul declanşării, t =o 0. Pe baza celor două exemple se poate afirma că semnalele staţionare au parametrii constanţi. Această observaţie este valabilă şi pentru semnalele aleatoare staţionare, dacă considerăm că în acest caz, parametrii semnalului sunt momentele sale statistice (media, dispersia, ...). De aceea se poate afirma că semnalele nestaţionare (deterministe) au parametrii variabili în timp. Astfel, dacă : t = 00 10 ωcosA (3) sau: ω o = t (4) semnalul descris de relaţia (1) va fi unul nestaţionar. În primă aproximaţie semnalul din relaţia (1) este util pentru descrierea funcţionării unui oscilator, putând fi folosit pentru proiectarea acestui circuit. Dar variaţiile tensiunii de alimentare a oscilatorului se reflectă asupra amplitudinii semnalului de la ieşirea sa, iar variaţiile de temperatură pot produce modificări ale frecvenţei de oscilaţie. De asemenea, relaţia (1) nu este adecvată pentru descrierea regimurilor de pornire ale oscilatorului. Iată de ce, la o analiză mai atentă, semnalul de la ieşirea unui oscilator trebuie considerat ca fiind nestaţionar. Şi în cazul semnalelor aleatoare, folosite pentru modelarea unor fenomene reale (vibraţiile unei maşini unelte, zgomotul unui motor electric, ş.a.), ipoteza de staţionaritate trebuie evitată tot mai frecvent. Fenomenele nestaţionare pot fi clasificate în doua categorii: adaptive şi evolutive [85].

Capitolul 2

REPREZENTAREA TIMP-FRECVENŢĂ DE TIP TRANSFORMARE

FOURIER SCURTĂ

În anul 1890, în teza sa de doctorat, Sommerfeld a folosit pentru prima oară noţiunea de spectru instantaneu. Ideea sa era să înlocuiască analiza Fourier "globală", care pierde noţiunea de cronologie, printr-o succesiune de analize "locale" relative la o fereastră de observare alunecătoare. Această idee s-a materializat în anul 1945 prin inventarea "sonografului". Prin construcţie acest aparat lucrează în domeniul frecvenţă. El măsoară succesiv puterea de la ieşirile unor filtre trece-bandă conectate în derivaţie. Rezultatul analizei făcute de sonograf se numeşte sonogramă. Sonograma reprezintă pătratul modulului reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă (RTFTFS). Descrierea acestei reprezentări timp-frecvenţă este: ( ) ( ) ( ) τ−ττω ∫

∞

∞−

ωτ− dtwxtTF jSTFTx e = ,

(20)

unde ( )tw reprezintă fereastra de observare. De obicei se consideră că fereastra de observare este un semnal de energie unitară: ( ) 12

2 = tw L

Pe baza relaţiei (20) se constată faptul că la momentul t, funcţia ( )ωt, TF STFTx

reprezintă spectrul semnalului ( ) ( )t wx −ττ , obţinut prin localizarea în timp, în jurul momentului considerat, a semnalului de analizat, ( )τx . Modificând t de la − ∞ la +∞, fereastra temporală "mătură", forma de undă a întregului semnal de analizat. Rezultă că fereastra temporală folosită este responsabilă pentru localizarea temporală a semnalului de analizat. Dar, după cum s-a arătat deja, cea mai bună localizare în planul "timp-frecvenţă" o are semnalul Gaussian. De aceea, o reprezentare timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă cu proprietăţi bune de localizare în planul timp-frecvenţă ar trebui să fie aceea care foloseşte fereastra temporală Gaussiană. Acest tip de transformare Fourier scurtă se numeşte transformare Gabor. Pentru a putea analiza proprietăţile reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă este utilă prezentarea unor exprimări alternative ale acestor reprezentări timp-frecvenţă.

2.1 EXPRIMAREA REPREZENTĂRII TIMP-FRECVENŢĂ DE TIP

TRANSFORMARE FOURIER SCURTĂ CA ŞI PRODUS DE CONVOLUŢIE

Se consideră familia de funcţii: ( ) ( ) ( ) 2

j,t ,t R

w = e w tωτω ω ∈

τ τ −

Relaţia (20) poate fi rescrisă ca şi produs scalar dintre semnalul de analizat şi fiecare element al acestei mulţimi. Într-adevăr: ( ) ( ) ( ) 2,,STFT

x t LTF t, = x w ωω τ τ (21)

Această exprimare are avantajul că transferă propietăţile produsului scalar asupra reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă. Valoarea reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă în punctul de coordonate ( )0 0, t ω depinde de funcţia: ( ) ( )0

0 0 0j τ

,tw = e w tωω τ τ −

Transformata Fourier a acestei ferestre temporale este:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0

F F

F

j τ,t

j t + j t +

W e w t = w t + =

= e w t + = e W +

ωω

− ⋅ ω ω − ⋅ ω ω

ω = τ− τ− ω ω

ω ω ω ω (22)

În continuare această transformată Fourier va fi numită fereastră frecvenţială. Se constată că fereastra temporală ( )τ00 ,tω w este centrată pe momentul t0 şi că fereastra frecvenţială ( )ωω 00 ,tW este centrată pe pulsaţia - 0ω . Deci la momentul t0, prin modificarea lui 0ω între − ∞ şi + ∞, fereastra frecvenţială ( )ωω 00 ,tW "mătură" spectrul semnalului ( )tx . La momentul t0 şi la pulsaţia 0ω , reprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă descrie semnalul ( )tx într-o regiune din planul timp-frecvenţă limitată de suporturile ferestrelor temporală ( )

0 0, twω τ şi frecvenţială ( )ωω 00 ,tW . Prin modificarea valorilor t0 şi 0ω , poate fi acoperit întreg planul timp-frecvenţă.

Rezultă că localizarea în planul timp-frecvenţă a porţiunii din semnalul ( )tx analizată la momentul t0 şi la pulsaţia 0ω , depinde de localizarea în planul timp-frecvenţă a ferestrei ( )

0 0, twω τ . De aceea se poate afirma că dintre toate transformările Fourier scurte cea care face cea mai bună localizare în planul timp-frecvenţă a unui semnal este transformarea Gabor. Pe lângă fereastra Gaussiană se mai folosesc şi alte ferestre temporale în prelucrarea semnalelor. Câteva dintre acestea, folosite în analiza spectrală, sunt prezentate în tabelul 1.2.1. Din analiza tabelului se constată că nici una dintre aceste ferestre nu are o localizare în frecvenţă satisfăcătoare.

Tipul ferestrei

Descrierea analitică σ t2 σω

2

Dreptun-ghiulară 0 0

0

12 2t t

t + t t

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ − σ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

to

12

∞

Hamming generali - zată

( )0 0

0 0

1 2( ) 1 cos

2 2

Hgw t tt t

t tt t

α

⎡ ⎤⎛ ⎞π= α + −α⎢ ⎥⎜ ⎟α ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ + − σ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( )2 202

2

6 6

12

t +=

tα

π α α −σ

α π

∞

Hann 0 5, wHg 0 5

2, σ t ∞

Hamming 0 54, wHg 0 54

2, σ t ∞

Blackman

0 0

0 0

2 40, 42 0,5 0,08

2 2

t t+ +

t t

t tt+ t

k cos cos⎛ ⎞π π⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ −σ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

finit

∞

Tabelul 1.2.1 Exemple de ferestre temporale.

Revenind la relaţia (21) şi considerând că fereastra temporală este o funcţie reală se poate scrie:

( ) ( ) ( )*STFT j

x

TF t, = x e w t dτ∞

ωτ

−∞

⎡ ⎤ω τ τ −⎣ ⎦∫

Cu notaţia: ( ) ( )j tx t e = u t− ω⋅ ultima relaţie devine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )STFTx

TF t, = u t w t dt = u t w t dt = u t w t ∞ ∞

∨ ∨

−∞ −∞

ω τ − − τ ∗∫ ∫ (23)

unde s-a folosit notaţia: ( ) ( ) t = wt w −∨ Realţia (23) a dat titlul acestui paragraf. Importanţa sa rezidă în faptul că permite o nouă interpretare fizică a reprezentării timp-frecvenţă de tipul tranformare Fourier scurtă. Într-adevăr, pentru fiecare pulsaţie, ω , se poate afirma că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Fourier scurtă reprezintă răspunsul sistemului liniar şi invariant în timp cu răspunsul la impuls ( ) tw∨ , la semnalul ( )tu . Acest semnal se obţine prin modularea semnalului ( )tx , folosind semnalul purtător tje ω− .

În figura 1.2.1 este prezentată schema sistemului analogic care transformă semnalul ( )tx în reprezentarea sa timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă. x(t)

Figura 1.2.1 Sistem analogic de implementare a reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă.

O exprimare alternativă a relaţiei (23) este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )j t τSTFT j t j t j t x

TF t, = e x w t e dτ= e x t w t e ∞

ω ⋅− ω − ω ∨ ω

−∞

⎡ ⎤ω τ τ− ∗⎣ ⎦∫ (24)

cu implementarea prezentată în figura 2.2.1. Fig. 2.2.1. O altă metodă de implementare a reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă.

2.2 PROPRIETĂŢILE REPREZENTĂRII TIMP-FRECVENŢĂ DE TIP TRANSFORMARE FOURIER SCURTĂ

La fel ca şi în cazul transformării Fourier şi reprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă poate fi calculată mai uşor pe baza proprietăţilor sale. De aceea este important studiul acestora. În primul rând trebuie remarcat că această reprezentare este descrisă de un operator liniar.

R1. ( ) ( ) ( ) ( )R L t, xt x 221 ∈∀ şi ( ) , C∀ α β ∈

modulare filtrare trece-jos

w(-t)

tje ω−

( )STFTxTF t, ω

( )STFTxTF t, ω

w(-t)ejωt

tje ω−

( )tx

Filtrare trece bandă modulare

( ) ( ) ( )

1 2 1 2 STFT STFT STFT

αx + x x xTF t, = TF t, + TF t, β ω α ω β ω

Demonstraţie:

( ) ( ) ( )( ) ( ) dτtwx+ xTF jSTFTxx e = t,

- +

ωτ−βα ∫

∞

∞

−ττβταω 2121

sau pe baza liniarităţii operaţiei de integrare:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 2

1 2STFT j jx x

STFT STFTx x

- - TF t, = x w t e d + x w t e d =

= TF t, + TF t,

∞ ∞− ωτ − ωτ

α +β∞ ∞

ω α τ τ− τ β τ τ− τ

α ω β ω

∫ ∫

În consecinţă, pentru evaluarea reprezentării timp-frecvenţă de tip transformare Fourier scurtă poate fi aplicat principiul superpoziţiei. Această observaţie permite extinderea clasei semnalelor ce pot fi analizate cu reprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă de la clasa semnalelor de energie finită la alte clase de semnale, cum ar fi de exemplu semnalele periodice. În continuare se verifică dacă reprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă are proprietăţile specificate în paragraful 1.2. Se calculează integrala dublă:

( ) ωω∫ ∫∞

∞−

∞

∞− dt dt, TFI =

STFTx

Se începe cu calculul integralei:

( ) ωω∫∞

∞− dt, TF = I

STFTx1

Ţinând seama de definiţia reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă, ultima integrală devine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )t w x =

= tτwx = dtτwx = I =

∨

−∞

∞−

π

τω−τπω−ττ∫

02

2 01

1 FFF

S-a demonstrat că:

( ) ( ) ( )t wπ x= dt, TF

STFTx

∨∞

∞−ωω∫ 02 (25)

Valoarea integralei I este deci:

( ) ( ) ( ) ( ) dtt w x dt = t w xI = ∫∫∞

∞−

∨∞

∞−

∨ ππ 0202

Până acum s-a presupus că fereastra temporală ( )w t este de energie unitară. Dacă facem ipoteza suplimentară că fereastra temporală este şi absolut integrabilă, atunci putem afirma că integrala I este convergentă. Dar valoarea sa este diferită de energia semnalului x(t). Deci proprietatea P1 nu este satisfăcută. Reprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă nu este o densitate spectro-temporală de energie. Totuşi trebuie remarcat că ea

reprezintă o izometrie până la o constantă de proporţionalitate între spaţiile ( )R2L şi

( )22 RL , [1].

R2. ( ) 22STFT

x x

TF t, dt dω E∞ ∞

−∞ −∞

ω = π∫ ∫ (26)

Demonstraţie: ( ) ( ) ( ) ( )ω−ττω F= t, t wxTFSTFT

x Se calculează pentru început integrala:

( ) ( ) ( ) ( )22

FSTFTx

I = TF t, dtd = x w τ t d

- -

∞ ∞

∞ ∞

ω ω τ − ω ω∫ ∫

Aplicând relaţia lui Parseval se obţine:

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞∞

∞∞

τ−ττπτ−ττπ -

dtw x = d-

twxI = 222 22 (27)

Cu notaţiile: ( ) ( )ττ = fx 2 şi ( ) ( )t = gtw −τ−τ 2 ultima relaţie devine:

( ) ( ) ( ) ( )( )t g tf dtgfI ∨∞

∞−∗πτ−ττπ ∫ = 2 =

2

De aceea:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

22 2 0

2 0 0

, = = F =

= F F

STFTxTF t d dt f t g t dt f t g t

f t g t

∞ ∞ ∞∨ ∨

− ∞− ∞ − ∞

∨

ω ω π ∗ π ∗

π

∫ ∫ ∫ (28)

Dar:

( ) ( ) ( ) dt = Etx = tf

x∫∞

∞−

20F

şi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 22222 =tw = tw dt = tw = tg

LL

∫∞

∞−

∨∨∨F

În consecinţă:

( )∫ ∫∞

∞−

∞

∞−πωω

x

STFTx E = dt dt, TF 2

2

Relaţia (26) este demonstrată.

De fapt şi funcţia ( )2

ωt, TF STFTx este o reprezentare timp-frecvenţă. Ea poartă

numele de spectrogramă. Pe baza observaţiei R2 se poate afirma că spectrograma are proprietatea P1, adică se poate spune că această reprezentare timp-frecvenţă este o densitate spectro-temporală de energie. În continuare vom utiliza pentru spectrogramă următoarea notaţie:

( ) ( )2

ωω t, TF = t, TF STFTx

Sx (29)

Trebuie remarcat că spectrograma nu mai are proprietatea de liniaritate (R1). În schimb profitând de liniaritatea reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă poate fi scrisă relaţia:

( ) ( )21( ) x t L R∀ ∈ şi ( )2

2 ( ) x t L R∈ şi ( ) , C∀ α β ∈

( ) ( ) ( ) ( ) =ωβωαωω βαβα

22

212121 t, TF + t, TF=t, TF = t, TF STFT

xSTFT

xSTFT

x +xS

x +x

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ωωαβ

ωβωαωωβα

ωωαβωβωα

ω⋅βω⋅αω⋅βω⋅α

*t, TF t, TF* +

+ t, TF + t, TF = t, TF*

t, TF* +

+*

t, TF t, TF* + t, TF + t, TF=

=*

t, TF + t, TF t, TF + t, TF=

STFTx

STFT x

Sx

S x

STFTx

STFT x

STFTx

STFT x

Sx

S x

STFTx

STFT x

STFTx

STFT x

21

2121

2121

2121

Re2

22

22

S-a demonstrat în acest fel că:

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ωωαβωβωα

ω⋅β⋅α

*t, TF t, TF* +t, TF+t, TF=

=t, TF

STFTx

STFT x

Sx

S x

Sx + x

2121

21

Re222 (30)

Proprietatea exprimată de relaţia (30) se numeşte biliniaritate. De fapt o transformare T este numită biliniară dacă satisface relaţia:

,xx T + ,xxT +

+,xxT + ,xxT = x+ x, x+xT **

1221

222

112

2121

βααβ

βαβαβα (30')

În cazul spectrogramei:

( ) ( ) ( )( )*t, TF t, = TFt, ,xxT STFTx

STFTx ωωω

2121

adică: ( ) ( )ωω t, = TFt, ,xxT S

x111

Ţinând seama de această observaţie se constată identitatea relaţiilor (30) şi (30'). Deci spectrograma este o reprezentare timp-frecvenţă biliniară. Cel de-al treilea termen din relaţia (30) este numit termen de interferenţă. El exprimă modul în care se influenţează reprezentările timp-frecvenţă ale componentelor ( )tx1 şi ( )tx2 în structura reprezentării timp-frecvenţă a semnalului ( ) ( )t x + t x 21 βα . Evident el deranjează "lizibilitatea" spectrogramei semnalului ( ) ( )txtx 21 β+α . În continuare se verifică dacă reprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă sau spectrograma prezintă proprietăţi "marginale" utile. Cu alte cuvinte se verifică dacă proprietatea P2 din paragraful 1.2, este sau nu verificată de către aceste reprezentări timp-frecvenţă. În acest scop trebuie estimate integralele:

( ) ( )

( ) ( ) dt ; t, TF = ; I dt, TF = I

dt ; t, TF = ; I dt, TF = I

Sx

Sx

STFTx

STFTx

∫∫

∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

ωωω

ωωω

43

21

Integrala I1 a fost calculată în relaţia (25). Întrucât: ( ) ( ) ( )202 tx t w x ≠π ∨ rezultă că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă nu are comportări "marginale" utile (nu verifică proprietatea P2). La aceeaşi concluzie s-ar fi ajuns şi calculând integrala I2. Integrala I3 a fost calculată în relaţia (27). Deoarece:

( ) ( ) ( )2222 tx tw tx ≠⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∗π ∨

se poate afirma că nici spectrograma nu verifică proprietatea P2. Analizând proprietatea P3 din paragraful 1.2 se constată că nici aceasta nu este verificată de reprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă ( ( ), STFT

xTF t Cω ∈ ). În schimb se poate afirma că această proprietate este verificată de spectrogramă. În continuare se verifică cauzalitatea celor două reprezentări timp-frecvenţă care reprezintă subiectul acestui paragraf. Prima dintre ele, reprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă, se poate exprima pe baza convoluţiei dintre semnalele ( )tu şi ( )tw∨ (relaţia (23)). Deci ea poate fi privită ca răspuns al sistemului cu răspunsul la impuls ( )tw∨ la semnalul ( )tu . Dar acest sistem nu este unul cazual. În consecinţă se poate afirma că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă nu este cauzală. Din acest motiv rezultă că nici spectrograma nu este cauzală. În consecinţă nici una dintre reprezentările timp-frecvenţă descrise în acest paragraf nu are proprietatea P4 din paragraful 1.2. În continuare se analizează inversabilitatea celor două reprezentări timp-frecvenţă (proprietatea P5 din paragraful 1.2). Conform proprietăţii următoare reprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă este inversabilă:

P5. ( ) ( ) ( )∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

ωτ τω−τωτπ

jSTFTx d d et w , TF = tx

21 (31)

Nu acelaşi lucru se poate afirma însă şi despre spectrogramă. Într-adevăr, pot exista două semnale ( )tx1 şi ( )tx2 distincte pentru care:

adică:

( ) ( )

( ) ( )ω≡ω

ω≡ω

t , TF t , TF

t , TF t , TF

Sx

Sx

STFTx

STFTx

21

21

Dacă spectrograma ar fi descrisă de un operator inversabil, atunci ultima

relaţie ar implica identitatea semnalelor ( )tx1 şi ( )tx2 . În concluzie spectrograma nu are proprietatea P5 din paragraful 1.2. Se analizează în continuare modul în care reacţionează cele două reprezentări timp-frecvenţă care constituie subiectul acestui paragraf la translaţii în planul timp-frecvenţă. Se consideră în acest scop semnalul ( )tx ,t 00 ω definit în enunţul proprietăţii P6 din paragraful 1.1. Se stabileşte legătura între reprezentările timp-frecvenţă ale semnalelor ( )tx ,ωt 00

şi ( )tx .

( ) ( ) ( )∫∞

∞−

ωτ−τω τ−τ−τωω

j j STFTx d et w etx = t, TF

,t0

000

Făcând schimbarea de variabilă: = ut0−τ se obţine:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )∫∞

∞−

ω−ω−ω−ω− −−ωω

uj tj STFTx du ettu wux = et, TF

,t000

000

Legătura căutată este deci: ( ) ( ) ( )0000

00ω−ω−ω ω−ω−

ω, ttTF = et, TF STFT

x tj STFT

x ,t (32)

Deci relaţia (11) (care descrie proprietatea P6 din paragraful (1.1) nu este satisfăcută stricto-senso. Ea este totuşi verificată cu excepţia unui factor de proporţionalitate de modul unitar. Luând modulul în cei doi membrii ai relaţiei (32) şi ridicând la pătrat se obţine: 1P6. ( ) ( )00

00ω−ω−ω

ω, tt = TFt, TF S

xSx ,t

(33)

Cu alte cuvinte spectrograma este invariantă la translaţii în planul timp-frecvenţă. Se analizează în continuare modul în care reacţionează reprezentările timp-frecvenţă care constituie subiectul acestui paragraf la dilatare, convoluţie şi modulaţie în domeniul timp. Se constată că nici transformarea Fourier scurtă, nici spectrograma nu au proprietăţile P7 şi P8 din paragraful 1.2, iar proprietatea P9 o are doar spectrograma [2]. Referitor la proprietatea P10, se poate afirma că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă nu verifică formula lui Moyal. În schimb poate fi demonstrată o formulă de tipul:

1P10. ( ) ( )( ) ∫∫ ∫∞∞ ∞

∞−∞− ∞−

πωωω

(t) dt*x(t) y = dt d*

t, TF

t, TF STFTy

STFTx 2 (34)

Se constată că în cazul particular când semnele x şi y sunt identice relaţia (34) se transformă în relaţia (26). Relaţia (34) poate fi pusă şi în forma: ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2, , , 2 , STFT STFT

x y L RL RTF t TF t x yω ω = π (34’)

Deci izometria până la constanta de proporţionalitate 2π, dintre spaţiile ( )22 RL şi

( )R2L , introdusă de transformarea Fourier scurtă conservă produsul scalar. Nici spectograma nu verifică formula lui Moyal.

În continuare se verifică proprietăţile utile pentru analiza nestaţionarităţilor din semnalul de analizat, prezentate în paragraful 1.1. Se consideră în acest scop semnalul: ( ) ( ) ( )0tt t = tx −σ−σ . Suportul său temporal este intervalul [ ) 0,0 t . Transformata sa Fourier scurtă se poate exprima, conform relaţiei (23), în forma: ( ) ( ) ( )t w et = xt, TF tj STFT

x∨ω− ∗ω .

Chiar dacă suportul ferestrei temporale este limitat, suportul reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă va avea o lungime mai mare decât lungimea intervalului [ ]0,0 t . În consecinţă se poate afirma că proprietatea P11, din paragraful 1.1, nu este verificată de către reprezentările timp-frecvenţă care reprezintă subiectul acestui paragraf. Nici proprietatea de identificare a semnalelor staţionare, P12, nu este verificată de către reprezentările timp-frecvenţă de tip transformare Fourier scurtă, respectiv spectrogramă. De asemenea se poate afirma că aceste reprezentări timp-frecvenţă nu se concentrează "perfect" pe legea temporală a frecvenţei instantanee a semnalului de analizat, aşa cum pretinde proprietatea P13 din paragraful 1.2. Rezultatele obţinute în acest paragraf sunt sintetizate în tabelul 2.2.1.

Proprietăţi Reprezentarea timp frecvenţă Observaţii Fourier scurtă

STFTTF Spectogramă

STF

Liniaritate Da Nu 1R1 Biliniaritate Nu Da Densitate spectro- temporală de energie

Nu Da 1R2

Marginale (P2) Nu Nu Pozitivitate (P3) Nu Da Cauzalitate (P4) Nu Nu Inversabilitate (P5) Da Nu 1P5 Invarianţă la translaţie (P6) Nu Da 1P6 Invarianţă la scalare (P7) Nu Nu Convoluţie (P8) Nu Nu Modulaţie (P9) Nu Da

Unitaritate (P10) Nu Nu 1P10 Conservarea suporturilor (P11) Nu Nu Identif. staţionar. (P12) Nu Nu Concentrare pe legea frecvenţei instantanee (P13)

Nu Nu

Tabelul 2.2.1 Proprietăţile reprezentărilor timp-frecvenţă de tip transformare Fourier scurtă şi spectogramă.

2.3 EXEMPLU

În continuare se vor calcula reprezentările timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă, respectiv spectrogramă, pentru un semnal nestaţionar determinist de energie finită. Pe acest exemplu vor fi evidenţiate proprietăţile demonstrate în paragraful precedent. Se consideră semnalul modulat în amplitudine:

( ) t = etx t

021 cos2

ωπ

−

Acesta este obţinut ca produs al amplitudinii instantanee 2

2t

eπ

−cu purtătoarea 0cos tω .

Un exemplu de forme de undă este prezentat în figura 1.2.3, unde este exemplificată amplitudinea instantanee (figura 1.2.3 a)), purtătoarea (figura 1.2.3 b)) şi forma de undă a semnalului ( )1x t (figura 1.2.3 c)). Se va utiliza fereastra temporală:

( )2

2 t

= etwπ

−

adică se va calcula transformarea Gabor:

( )( )

ττωω ωτ−−τπ

−∞

∞−

τπ

−∫ de e e = t, TF jt

o

STFTx

22

122 cos

Ultima relaţie poate fi pusă în forma echivalentă:

( )( )( )

ττωω ωτ−∞

∞−

−ττπ

−∫ d e e = t, TF j

t+ STFTx 02 cos

22

1

respectiv în forma:

( )2

2

1

22 2

0

, = t

STFT t jxTF t e e cos e d

⎛ ⎞π∞ − τ−⎜ ⎟− π − ωτ⎝ ⎠

− ∞

ω ω τ τ∫

Pentru orice valoare a lui t, integrala din membrul drept reprezintă transformarea Fourier a semnalului obţinut prin modularea în amplitudine a semnalului purtător

τω0 cos cu un semnal modulator de tip Gaussian. Se poate deci scrie:

( ) ( )2

2

1

22 2

0

t

, = F STFT txTF t e e cos

⎛ ⎞π− τ−⎜ ⎟

− π ⎝ ⎠⎧ ⎫⎪ ⎪ω ω τ ω⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

Aplicând proprietăţile transformării Fourier de întârziere în timp, scalare în timp şi modulaţie se obţine:

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ω−ω⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ωω−

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ω−ω⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ωωω

πω−ω

−πωω

−π−

πω−ω

−πωω

−π−

2221

2221

0404

0404

2202

20

202

1

tsine

tsinee

tcose

tcoseetTF

ot

tSTFTx

+

+j

+

+ =,

+

+

(35)

De aceea spectrograma acestui semnal are expresia:

( )( ) ( )

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ωω π

ωω−

πω−ω

−πωω

−⋅π− teeeeTF tSTFTx + + = t,

+

+

cos241 222

220

220

202

1 (36)

Analizând modulul reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă se constată că aceasta este rădăcina pătrată a unei sume de trei distribuţii Gaussiene. Fiecare este o distribuţie mixtă timp-frecvenţă. În cazul primilor doi termeni variabilele timp şi frecvenţă sunt separate. În cazul celui de al treilea termen variabilele nu sunt separate, datorită factorului cos tω . Oricum, din punct de vedere al distribuţiei în domeniul timp se constată că toţi cei trei termeni au maxime în origine (t = 0). Ţinând seamă de faptul că: − ≤ ≤t 1 1cos ω rezultă :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

e e e + e + e t

e + e

+

+

+

+

− −−

− −−

−

− −−

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ≤ ≤

≤⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

ω ω

π

ω ω

π

ω ω

π

ω ω

πω ω

π

ω ω

π

ω ω

π

ωo o o o o

o o

cos2 2 2 2 2 2

2 2

4 4

2

2 2 2

4 4

2

2

(37)

Având în vedere că primul membru şi ultimul membru al relaţiei de mai sus nu depind de timp şi că aceasta se poate pune în forma:

( ) ( )( )

( ) ( )

+

+

+

t,

πω−ω

−πωω

−π

−

πω−ω

−πωω

−π−

≤

≤ω≤−

442

44

20

20

2

20

202

21

41

eee

TFeee

t

STFTx

t

rezultă comportamentul Gaussian (dat de factorul 2

2t

e

π

−) al modulului reprezentării

timp-frecvenţă a semnalului din acest exemplu, în domeniul timp. Acest comportament descrie primul factor din expresia semnalului ( )tx1 . Comportarea în domeniul frecvenţă a semnalului este descrisă de radicalul celui de al doilea membru din relaţia (37). Aceasta este mărginit inferior de funcţia:

( )( ) ( )2 2

0 0

4 4 +

= A e e

ω ω ω − ω− −

π πω −

şi superior de funcţia:

( ) ( )

+

+ = )( π

ω−ω−

πωω

−ω 44

20

20

eeB

Cu notaţiile:

( )( )

+

= π

ωω−

ωα 4

20

e şi ( )( )

= π

ω−ω−

ωβ 4

20

e ultimele două relaţii devin: ( ) ( ) ( )ωβ−ωαω = A şi ( ) ( ) ( )ωβωαω + = B . Se constată că funcţiile ( )ωα şi ( )ωβ sunt Gaussiene, centrate pe pulsaţiile − ωo şi ωo. În continuare se consideră că valoarea pulsaţiei ωo este suficient de mare, astfel încât să aibă loc relaţia:

14

20

<<π

ω−

e Dacă acestă ipoteză este satisfăcută atunci pot fi făcute aproximaţiile: ( ) ( ) ( ) ( ) −∈ω∀ωα≅ωω BBA , = unde B_ reprezintă un interval de pulsaţii centrat pe - ωo, respectiv: ( ) ( ) ( ) ( ) +∈ω∀ωβ≅ωω BBA , = în care +B reprezintă un interval de pulsaţii centrat pe ωo. În consecinţă se poate afirma că modulul reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă are o comportare în domeniul frecvenţă descrisă de funcţia ( )ωα în intervalul de pulsaţii B_ şi de funcţia ( )ωβ în intervalul de pulsaţii B+. Dar

aceste funcţii au valori maxime la pulsaţiile − ωo şi ωo. În consecinţă se poate afirma că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă are maxime în planul timp-frecvenţă poziţionate pe dreptele de ecuaţie: ω ω= o şi ω ω= − o . Acest comportament descrie faptul că semnalul ( )tx1 este un semnal modulat, pulsaţia purtătoare fiind ωo. Este evidenţiat în acest mod factorul cos otω din expresia semnalului ( )tx1 . Deoarece, pulsaţia instantanee a semnalului ( )tx1 este ωo, se poate afirma că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare Gabor a acestui semnal se concentrează pe legea pulsaţiei sale instantanee. Calculele anterioare sunt verificate cu ajutorul toolbox-ului Matlab, tftb, care poate fi descărcat de pe pagina web a lui Patrick Flandrin, http://tftb.nongnu.org/ . Într-adevăr, acest pachet de programe conţine funcţia tfrgabor de calcul a pătratului modulului reprezentării timp-frecvenţă de tip Gabor. În figura 1.2.3 d) se prezintă pătratul modulului reprezentării timp-frecvenţă de tip Gabor a semnalului cu forma de undă reprezentată în figura 1.2.3 c). Se observă cele două Gaussiene centrate pe pulsaţiile

0ω şi 0−ω . În consecinţă, rezultatele obţinute în relaţiile (36) şi (37) sunt corecte.

Figura 1.2.3. a) Amplitudinea instantanee a semnalului de analizat; b) Purtătoarea semnalului de analizat,

c) Forma de undă a semnalului de analizat; d) Pătratul modulului reprezentării timp- frecvenţă de tip Gabor a semnalului de analizat.

Programul MATLAB folosit pentru generarea figurii 1.2.3 este: %Explcap2 % Generarea semnalului de analizat % AMGAUSS Generate gaussian amplitude modulation. %Y=AMGAUSS(N,T0,T) generates a gaussian amplitude modulation %centered on a time T0, and with a spread proportional to T. %This modulation is scaled such that Y(T0)=1 %and Y(T0+T/2) and Y(T0-T/2) are approximately equal to 0.5 . % N : number of points. % T0 : time center (default : N/2). % T : time spreading (default : 2*sqrt(N)). % Y : signal. % Examples: % z=amgauss(160); plot(z); % z=amgauss(160,90,40); plot(z); % z=amgauss(160,180,50); plot(z); amplitude=amgauss(128,64,30);

%FMCONST Signal with constant frequency modulation. % [Y,IFLAW] = FMCONST(N,FNORM,T0) generates a frequency modulation % with a constant frequency fnorm. % The phase of this modulation is such that y(t0)=1. % % N : number of points. % FNORM : normalised frequency. (default: 0.25) % T0 : time center. (default: round(N/2)) % Y : signal. % IFLAW : instantaneous frequency law (optional). % frecventa purtatoarei este 0.05 [carrier,IFLAW]=fmconst(128,0.05,64); z=amplitude.*carrier; signal=real(z); figure(1); plot(amplitude); figure(2); plot(real(carrier)); figure(3); plot(signal); % Calculul reprezentarii timp-frecventa de tip Gabor % TFRGABOR Gabor representation of a signal. %[TFR,DGR,GAM]=TFRGABOR(SIG,N,Q,H,TRACE) computes the Gabor %representation of signal X, for a given synthesis window H, on a %rectangular grid of size (N,M) in the time-frequency plane. M and N %must be such that % N1 = M * N / Q %where N1=length(X) and Q is an integer corresponding to the %degree of oversampling. % SIG : signal to be analyzed (length(SIG)=N1). % N : number of Gabor coefficients in time (N1 must be a multiple % of N) (default : divider(N1)). % Q : degree of oversampling ; must be a divider of N % (default : Q=divider(N)). % H : synthesis window, which was originally chosen as a Gaussian % window by Gabor. Length(H) should be as closed as possible % from N, and must be >=N (default : Gauss(N+1)). % H must be of unit energy, and CENTERED. % TRACE : if nonzero, the progression of the algorithm is shown % (default : 0). % TFR : Square modulus of the Gabor coefficients. When % called without output arguments, TFRGABOR runs TFRQVIEW. % DGR : Gabor coefficients (complex values). % GAM : biorthogonal (dual frame) window associated to H. % If Q=1, the time-frequency plane (TFP) is critically % sampled, so there is no redundancy in the TFP. % If Q>1, the TFP is oversampled, allowing a greater % numerical stability of the algorithm.

% Example : % sig=fmlin(128); % tfrgabor(sig,64,32); [tfr,dgr,gam]=tfrgabor(signal,64,32); % In cazul nostru SIG este semnalul obtinut prin modularea in amplitudine % de produs a semnalului purtator carrier cu semnalul modulator Gaussian % amplitude figure(4); %Reprezentare grafica bidimensionala mesh(tfr); Concentrarea reprezentării timp-frecvenţă pe frecvenţa instantanee este specifică unor funcţii Gaussiene şi nu satisface exigenţele proprietăţii P13. În figura 1.2.3 d) poate fi observată concentrarea pe legea frecvenţei instantanee în domeniul timp. Într-adevăr formele celor două funcţii sunt Gaussiene. Din păcate localizarea în frecvenţă este mai greu de observat în această figură. Dar figura 1.2.3 d) poate fi rotită în MATLAB, obţinându-se cu uşurinţă reprezentarea din figura 2.2.3, în care se poate observa mai bine localizarea în domeniul frecvenţă a reprezentării timp-frecvenţă considerate. Se constată că secţiunea prin reprezentarea timp-frecvenţă făcută pe o direcţie paralelă cu axa frecvenţelor are tot o formă Gaussiană, neasigurându-se o localizare perfectă în frecvenţă. Continuând rotirea figurii 1.2.3 d) se poate obţine o vedere de sus a reprezentării timp-frecvenţă, variantă prezentată în figura 3.2.3. Se constată că proiecţia reprezentării timp- frecvenţă are forma a două elipse cu axele principale descrise de ecuaţiile 0ω = ω şi 0ω = −ω . În consecinţă, localizarea în planul timp-frecvenţă a reprezentării timp-frecvenţă considerată nu este perfectă. Având în vedere faptul că orice reprezentare timp-frecvenţă, fiind o funcţie de două variabile, poate fi considerată ca o imagine, rezultă că pentru creşterea concentrării sale pe legea de variaţie a frecvenţei instantanee, pot fi folosite tehnicile de detecţie de maxim din prelucrarea imaginilor. Utilizând aceste tehnici reprezentarea timp-

Figura 2.2.3. O variantă rotită a reprezentării timp-frecvenţă din figura 1.2.3 d).

Figura 3. Vedere de sus a reprezentării timp-frecvenţă din figura 1 d).

frecvenţă considerată poate fi transformată într-o altă imagine care să descrie o nouă reprezentare timp-frecvenţă. Aceasta va satisface exigenţele proprietăţii P13. În acelaşi mod poate fi prelucrată o reprezentare timp-frecvenţă pentru a se obţine o nouă reprezentare bidimensională care să satisfacă oricare dintre proprietăţile enunţate în capitolul precedent. Practic este vorba despre o filtrare în planul timp-frecvenţă. Evident filtrul bidimensional folosit poate fi liniar sau nu. Aceste tehnici de filtrare în planul timp-frecvenţă sunt prezentate pe larg în [2]. Deşi a fost una dintre primele reprezentări timp frecvenţă introduse totuşi există numeroase aplicaţii practice ale reprezentării timp frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă. Bibliografie capitol 2 [1] S. Mallat. Multifrequency Channel Decomposition. IEEE Trans. on ASSP, vol. 37,

No.12, pp. 2091-2110, Octobre 1989. [2] P. Flandrin. Representation temps-fréquence. Hermes, 1993.

În cazul fenomenelor nestaţionare adaptive, nestaţionaritatea este suficient de lentă pentru a se putea presupune, pentru intervale scurte de timp, că parametrii semnalelor sunt constanţi. Fenomenele nestaţionare evolutive necesită modalităţi de descriere globală a variaţiilor parametrilor lor. De aceea, în acest caz, aceste variaţii pot fi rapide. Rezultă că pentru analiza semnalelor nestaţionare adaptive este necesară o prelucrare localizată în timp. De aceea în acest caz nu poate fi utilizată transformata Fourier. Această afirmaţie este justificată de următorul fragment din articolul "Cables et Transmision" scris de J.Ville în anul 1948: "Dacă considerăm un fragment de muzică compus din mai multe măsuri şi dacă o notă, "la", de exemplu, figurează o dată în acest fragment, analiza Fourier ne va prezenta frecvenţa corespunzătoare cu o anumită amplitudine şi cu o anumită fază, fără a localiza "la" - ul în timp. Ori, este evident că pe parcursul bucăţii există momente de timp când nu se aude nota "la ". Deci a apărut necesitatea introducerii unor noi transformări. Reprezentările timp-frecvenţă sunt uneltele necesare pentru analiza semnalelor nestaţionare. Această analiză presupune identificarea parametrilor acestor semnale. Pe lista acestor parametri trebuie incluşi: momentele de timp de începere şi terminare a semnalului, energia sau puterea semnalului, amplitudinea instantanee, frecvenţa instantanee, banda de frecvenţă instantanee a semnalului, etc. Se reaminteşte definiţia frecvenţei instantanee a unui semnal, [37]. Se consideră în acest scop semnalul real ( )tx . Definiţia 1 Se numeşte transformată Hilbert a semnalului ( )tx , semnalul:

( ) ( ) ( ) ττ−

τπ

∗⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∫+∞

∞− d

t x

ttx

πtVPtx = = H

11

Definiţia 2 Se numeşte semnal analitic asociat semnalului ( )tx , semnalul:

( ) ( ) ( ) tx + j t= xtxa H

Definiţia 3 Se numeşte anvelopă a semnalului ( )txa , semnalul:

( ) ( ) ( ) tx +t x =tA 22 H Definiţia 4 Se numeşte pulsaţie instantanee a semnalului ( )tx , semnalul:

( ) ( ) ( )t f = tx dtdt iai πω 2arg =

În funcţie de aplicaţia avută în vedere este importantă estimarea unuia sau mai multor parametri ai semnalului nestaţionar. Acum câţiva ani firma Hewlet Packard a început să producă o gamă de aparate numite analizoare în domeniul modulaţiei. Primul produs din această gamă a fost HP-5371A. Aceste aparate măsoară frecvenţa instantanee a semnalelor pe

care le analizează. În figura 1.1.1 este prezentată o reprezentare "timp-frecvenţă" ideală a semnalului nestaţionar:

( ) ( )( )ttω = Atx ⋅00 cos ; cu ( )[ )[ )[ )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∈π∈π∈π

ω

t in res , ,,tt t ,f,, tt , t f,, tt , t f

t

0222

653

432211

0 =

Semnalul analitic asociat acestui semnal are forma: ( ) ( ) ttj

oa e = Atx ⋅ω⋅ 0 Frecvenţa instantanee a semnalului ( )tx este:

( ) ( )( )[ )[ )[ )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∈∈∈

⋅ω

n rest i, ,,ttt , f,, tt , t f,, tt , t f

= tt dtd

π =tfi

021

653

432211

0

Se constată că linia îngroşată din figura 1.1.1 este tocmai graficul acestei funcţii. Analizând reprezentarea tridimensională din figura 1.1.1, se constată faptul că semnalul ( )tx se declanşează la momentul t1, fiind o sinusoidă cu frecvenţa f1, până la momentul t2, când semnalul încetează, pentru a se redeclanşa la momentul t3, fiind o sinusoidă cu frecvenţa f2 până la momentul t4 când încetează pentru a doua oară declanşându-se din nou la momentul t5 fiind o sinusoidă cu frecvenţa f3 până la momentul t6 când se sfârşeşte definitiv. Se constată că proiecţia "reprezentării timp- frecvenţă" din figura 1.1.1 pe planul ( )A, t

Figura 1.1.1. O reprezentare timp frecvenţă ideală.

reprezintă oscilograma semnalului ( )tx , că proiecţia pe planul ( )f, A reprezintă spectrul

"ideal" al semnalului ( )tx şi că proiecţia pe planul ( )f, t reprezintă frecvenţa instantanee a

aceluiaşi semnal. Proiecţia pe planul ( )A, t permite analiza în domeniul timp a semnalului

considerat. Proiecţia pe planul ( )A, f permite analiza semnalului în domeniul frecvenţă iar

proiecţia pe planul ( )f, t permite analiza în domeniul modulaţiei [69]. Analizoarele în domeniul modulaţiei afişează legea de variaţie temporală a frecvenţei instantanee a semnalului de analizat. Figura 1.1.1 este o reprezentare timp-frecvenţă a semnalului x(t). Se remarcă faptul că această reprezentare face o localizare perfectă în domeniile timp şi frecvenţă ale semnalului considerat. Într-adevăr, momentele t1, t2, t3, t4, t5 şi t6 ca şi frecvenţele f1 f2 şi f3 pot fi exact localizate cu ajutorul acestei reprezentări. De aceea această reprezentare a fost numită ideală. O astfel de reprezentare nu poate fi obţinută în practică, dar poate fi utilizată ca model pentru optimizarea reprezentărilor timp-frecvenţă care se utilizează în practică. În realitate există o limitare a concentrării unui semnal în planul timp-frecvenţă, dată de principiul lui Heisenberg [99].

1.1.1. LOCALIZAREA SEMNALELOR ÎN PLANUL TIMP-FRECVENŢĂ

Într-adevăr, pe baza dualităţii transformatei Fourier semnalele de durată limitată (perfect localizate în timp) sunt de bandă nelimitată, (deci nu sunt localizate în domeniul frecvenţă). Reciproc, semnalele de bandă limitată au durata infinită. De aceea pentru măsurarea acestor cantităţi se utilizează noţiunile de "durată efectivă",σt şi de “bandă de frecvenţe” efectivă, σω definite astfel:

( ) ( )∫ ∫∞

∞−

∞

∞−ω ωωωστττσ

= ; = dX dxt

222222

Conform principiului lui Heisenberg [99] este adevărată inegalitatea:

2

22 π≥σ⋅σ ω t

Cu cât durata efectivă a unui semnal este mai scurtă cu atât banda sa efectivă de frecvenţe este mai largă. Deci nici un semnal nu poate fi localizat oricât de bine şi în domeniul timp şi în domeniul frecvenţă. Semnalul cu cea mai bună localizare în planul timp-frecvenţă este acela pentru care în ultima relaţie este valabil semnul egal. Acesta este semnalul Gaussian:

( )2

2t

tx

e = π−

Pentru toate celelalte semnale localizarea în planul timp-frecvenţă se face în intervale şi mai lungi. Câteva exemple sunt prezentate în tabelul 1.1.1. Se constată că există semnale, cum este de exemplu impulsul dreptunghiular, care nu pot fi localizate în planul timp-frecvenţă. Totuşi, şi aceste semnale au o anumită "semnătură" în planul timp-frecvenţă. Pe baza acesteia ele pot fi identificate în planul timp-frecvenţă. Revenind la exemplul din figura 1.1.1 se constată că semnalului ( )x t i s-a asociat o funcţie de două variabile, reprezentarea sa timp-frecvenţă. În continuare se va nota reprezentarea timp-frecvenţă a semnalului ( )x t cu ( )t , ωxTF . Semnalul ( )x t va fi considerat de energie finită. Reprezentarea timp-frecvenţă va fi privită ca şi un operator care transformă spaţiul ( )2L R într-un spaţiu ( )2L A R× . Cel mai adesea acesta va fi ( )2 2L R . Valoarea operatorului TF aplicat semnalului x este deci funcţia de 2 variabile ( )t , ωxTF . Valoarea acestei funcţii în punctul ( )00 ω ,t reprezintă valoarea la momentul 0t , a componentei spectrale de pulsaţie 0ω a semnalului considerat.

Deci funcţia ( )t , ωxTF are semnificaţia de densitate spectro-temporală a semnalului ( )x t . Funcţia ( )0t , ωxTF are semnificaţia de spectru instantaneu al semnalului considerat.

Pentru a fi util în analiza semnalelor nestaţionare, operatorul TF ar trebui să aibe câteva proprietăţi. În continuare se face un inventar al acestor proprietăţi. Tipul semnalului Expr. analitică a semnalului Transformata Fourier Gaussian

e t−π2

2

22

2 e −ω

π Chirp ( )2

42α

πα β e + t− j

( )( )24

4

2

2 2 + j

e

+ α π

α β

ω α βα β

−− j

Impuls dreptunghiular ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −σ−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛σ22

1 00

0

tt

t+t

t sinc

ω2

Tipul semnalului

σ t2 σω

2 σ σωt2 2

Gaussian 12 π

π 2 π2

Chirp 14 α

( )2 2π α βα

+ 2 π β

α21 2 +

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Impuls dreptunghiular 12

0t ∞ ∞

Tabelul 1.1.1. Localizarea în planul timp-frecvenţă a câtorva semnale uzuale.

1.2. PROPRIETĂŢI CERUTE UNEI REPREZENTĂRI TIMP-FRECVENŢĂ

Aceste proprietăţi trebuie să răspundă unor deziderate legate de: - interpretarea fizică a reprezentării considerate,

- compabilitatea reprezentării considerate cu celelalte reprezentări utilizate în prelucrarea semnalelor - evidenţierea nestaţionarităţilor din structura semnalului analizat.

În continuare se prezintă câteva proprietăţi ale reprezentărilor timp-frecvenţă care le

fac capabile să corespundă dezideratelor de mai sus. După cum s-a arătat deja semnificaţia fizică a unei reprezentări timp-frecvenţă este cea de densitate spectro-temporală de energie. În acest sens, este necesar ca energia semnalului analizat să reprezinte integrala densităţii spectro-temporale de energie. E deci util ca să aibe loc proprietatea:

P1. ( )∫ ∫∞

∞−

∞

∞−πωω

xx E = dt dt, TF 2 (5)

Dar energia semnalului ( )x t poate fi calculată pe baza relaţiilor:

( )∫∞

∞− = xEdttx 2 (6)

( )∫∞

∞−πωω

xE = dX 22 (7)

Comparând relaţiile (5) şi (6), respectiv (5) şi (7) rezultă utilitatea proprietăţilor marginale descrise de relaţiile:

P2. ( ) ( ) 22 tx = dTFx πωω∫∞

∞− t, (8)

( ) ( ) 2 X dt = t,TFx ωω∫∞

∞− (9)

Aceste proprietăţi marginale arată necesitatea ca densităţile energetice de o singură variabilă ( ) 2 tx şi ( ) 2 ωX să se poată calcula pe baza reprezentării timp-frecvenţă ( )ω , tTFx . Relaţiile (8) şi (9) arată că densităţile energetice de o singură variabilă sunt funcţii reale şi pozitive. Din necesitatea ca reprezentarea timp-frecvenţă să reprezinte o funcţie reală pozitivă rezultă proprietatea: P3. ( ) ( ) ( ), , , xt R R TF t R+∀ ω ∈ × ω ∈ (10) ( ) ( )2( ) x t L R∀ ∈ Tot din raţiuni de interpretare fizică ar fi util ca: P4. Reprezentarea timp-frecvenţă să fie o transformare cauzală; şi ca: P5. Reprezentarea timp-frecvenţă să fie o transformare inversabilă. Cea mai utilizată reprezentare în domeniul prelucrării semnalelor rămâne transformarea Fourier. De aceea este util ca reprezentările timp-frecvenţă să fie compatibile cu acestă transformare. Următoarele cinci proprietăţi ale reprezentărilor timp-frecvenţă sunt utile scopului de compatibiliazare cu transformarea Fourier. De fapt ele sunt echivalente unor proprietăţi corespunzătoare ale transformării Fourier. Scopul acestor proprietăţi este de a transfera asupra reprezentărilor timp-frecvenţă caracterul de dualitate al transformării Fourier. Prima dintre acestea corespunde proprietăţii de translaţie în timp a transformării Fourier. P6. Fie ( )tx , ωt 00 semnalul obţinut prin translatarea în planul timp-frecvenţă a semnalului ( )x t :

( ) ( ) tjω, ωt e tt = xtx 0

00 0− Legătura dorită între reprezentările timp-frecvenţă ale semnalelor ( )x t şi ( )txt 00 , ω este:

( ) ( )000,0

ω−ω−ωω ,t t = t, xx TFTF t (11)

Această proprietate exprimă invarianţa în timp a reprezentării timp frecvenţă. Motivul pentru care o astfel de proprietate este foarte utilă este dat de utilizarea în teoria prelucrării semnalelor a modelului de sistem liniar şi invariant în timp. Acest model este utilizat pe scară largă deoarece permite determinarea simplă a răspunsului sistemului considerat la orice excitaţie. Este suficient să se calculeze convoluţia dintre semnalul de intrare şi răspunsul la impuls al sistemului considerat. Aşa cum transformata Fourier a răspunsului la impuls al sistemului liniar şi invariant în timp reprezintă răspunsul în frecvenţă al acestuia, o reprezentare timp-frecvenţă a răspunsului la impuls al unui sistem ar putea fi folosită ca semnătură a acelui sistem în planul timp-frecvenţă. E clar că pentru sisteme invariante în timp ar fi bine ca şi această reprezentare să fie invariantă în timp. Următoarea proprietate dorită pentru reprezentările timp-frecvenţă corespunde proprietăţii de dilatare a transformării Fourier. P7. Fie ( )tkx semnalul obţinut prin dilatarea semnalului ( )x t : ( ) ( ) , 0 kx t k x kt k= > Legătura dorită între reprezentările timp-frecvenţă ale semnalelor ( )x t şi

( )kx t este :

( ), ,kx xTF t TF kt

kω⎛ ⎞ω = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (12)

În cazul transformării Fourier proprietatea de scalare este auto duală (scalarea în timp conduce la scalare în frecvenţă). Prin relaţia (12) se încearcă conservarea auto-dualităţii şi la reprezentările timp-frecvenţă. O astfel de proprietate permite reprezentării timp-frecvenţă care o posedă să fie folosită într-o analiză multi-rezoluţie. Una dintre cele mai importante proprietăţi ale transformării Fourier este cea de filtraj. Această operaţie este descrisă în domeniul timp prin convoluţie. Proprietatea corespunzătoare a reprezentărilor timp-frecvenţă ar fi: P8. Fie ( )ty semnalul obţinut prin filtrarea semnalului ( )x t cu un filtru cu răspunsul la impuls ( )th : ( ) ( ) ( )t h t = xty ∗ Legătura dorită dintre reprezentările timp-frecvenţă ale semnalelor ( )x t , ( )h t şi ( )y t este:

( ) ( ) ( )dssTFstTFtTF xhy ωω−ω ∫∞

∞

,-

, = , (13)

Conform acestei proprietăţi se conservă operatorul de convoluţie aplicat asupra variabilei timp şi pentru reprezentarea timp-frecvenţă. O altă proprietate importantă a transformării Fourier este cea de modulaţie. Proprietatea corespunzătoare pentru reprezentările timp frecvenţă ar fi:

P9. Fie ( )y t semnalul obţinut prin modularea de produs a semnalului ( )x t cu semnalul ( )m t : ( ) ( ) ( )y t x t m t= ⋅ Legătura dorită dintre reprezentările timp-frecvenţă ale semnalelor ( )x t , ( )m t şi ( )y t este:

( ) ( ) ( ), , ,y m xTF t TF t TF t d∞

−∞

ω = ω − ξ ⋅ ξ ξ∫ (14)

Conform acestei proprietăţi asupra variabilei frecvenţă a reprezentării timp-frecvenţă a semnalului modulat în timp trebuie să acţioneze operatorul de convoluţie (în cazul transformării Fourier operaţiile de înmulţire şi convoluţie sunt duale).

În sfârşit, o altă proprietate remarcabilă a transformării Fourier a semnalelor de

energie finită este că aceasta reprezintă o izometrie între spaţiile ( )R2L şi ( )R2L . Este deci conservat produsul scalar:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222 1( ), ( ) ; ( ), ( ) ,

2

L RL Rx t y t L R x t y t X Y ∀ ∈ = ω ω

π

[99]. Conservarea produsului scalar în cazul reprezentărilor timp-frecvenţă s-ar putea exprima prin următoarea proprietate de unitaritate: P10. Oricare ar fi semnalele ( )x t şi ( )y t de energie finită, are loc relaţia:

( ) ( ) ( ) ( )2

∫∫ ∫∞

∞−

∞ ∞

∞ ∞

ωωω

**yx dt t ytx =

- dt d

-t, TFt, TF (15)

Formula din relaţia (15) poartă numele lui Moyal [59]. Următorul grup de proprietăţi ale reprezentărilor timp-frecvenţă ar fi utile pentru evidenţierea nestaţionarităţilor semnalului de analizat. După cum s-a arătat deja în paragraful anterior este de dorit ca reprezentarea timp-frecvenţă analizată să localizeze bine semnalul de analizat în planul timp-frecvenţă. De aceea ar fi util ca reprezentarea timp-frecvenţă considerată să conserve suporturile temporal şi/sau frecvenţial ale semnalului de analizat. Proprietatea de conservare a suporturilor are enunţul următor: P11. ( ) ( )0, , 0, xx t t T TF t t T= > ⇒ ω = > (16) ( ) ( )0, , 0, xX B TF t Bω = ω > ⇒ ω = ω > (17) Ar fi, de asemenea util, dacă pe baza reprezentării timp-frecvenţă s-ar putea decide dacă semnalul de analizat este staţionar sau nu. După cum s-a arătat în paragraful anterior un semnal staţionar determinist este unul care are toţi parametrii constanţi. Deci un semnal staţionar determinist poate fi privit ca şi o sumă de componente, fiecare având amplitudinea instantanee şi frecvenţa instantanee constante.

Reprezentarea timp-frecvenţă a unui astfel de semnal ar trebui să fie independentă de timp. De aceea proprietatea de staţionaritate a semnalului de analizat în planul timp-frecvenţă ar putea avea următorul enunţ: P12. Fie ( )sx t un semnal staţionar determinist. Atunci are loc relaţia:

( ) ( )

,0

sxTF t

t Rt

∂ ω= ∀ ∈

∂ (18)

În sfârşit, ar fi evident util dacă reprezentarea timp-frecvenţă a unui semnal s-ar concentra cât mai mai mult în jurul curbei din planul timp-frecvenţă care descrie frecvenţa instantanee a acestui semnal (aşa cum se vede în figura 1.1.1). În acest mod ar fi uşor de estimat legea de variaţie a frecvenţei instantanee a semnalului analizat pe baza reprezentării sale timp-frecvenţă. Proprietatea care exprimă această concentrare are următorul enunţ: P13. Fie ( )ax t semnalul analitic asociat semnalului ( )x t cu frecvenţa instantanee ( )tfi . Atunci are loc relaţia: ( ) ( )( )tπ f = t,TF ixa 2−ωδω (19) În ultima relaţie cu δ s-a notat distribuţia Dirac. Alte proprietăţi utile pentru reprezentările timp-frecvenţă sunt prezentate în [59]. Orice reprezentare timp-frecvenţă ar trebui să aibe cele 13 proprietăţi enunţate mai sus. Din păcate nu există nici o reprezentare timp-frecvenţă care să aibe toate cele 13 proprietăţi. De aceea pentru diferite clase de semnale de analizat este utilă folosirea unor reprezentări timp-frecvenţă diferite. În continuare se prezintă câteva reprezentări timp-frecvenţă dintr-o perspectivă istorică. [1] O. Macchi. Adaptatif et non stationnaire. Traitement du signal, vol. 6, No.5 pp.325-387,

1989. [2] F. de Coulon. Théorie et traitement des signaux. Presses polytechniques romandes. Lausanne 1984. [3] ***. Catalog HP (de dat si un link) [4] I. Nafornita, A. Câmpeanu, A. Isar. Semnale circuite si sisteme. vol. I, Editura UPT, 1995. [5] P. Flandrin. Representation temps-fréquence. Hermes, 1993.

Capitolul 3

REPREZENTAREA TIMP-FRECVENŢĂ DE TIPUL “FUNCŢIE DE

INCERTITUDINE “

Unul dintre dezavantajele reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă este numărul redus de proprietăţi utile. O cauză este aceea că fereastra temporală folosită este o funcţie care descrie un semnal staţionar. În consecinţă fereastra temporală nu se poate adapta la nestaţionarităţile semnalului de analizat. Pentru a putea face această adaptare ar fi necesar ca fereastra temporală să depindă de semnalul de analizat. În acest mod se pot obţine noi reprezentări timp-frecvenţă, care se diferenţiază prin legea care exprimă legătura dintre fereastra temporală şi semnalul de analizat. Una dintre acestea este şi reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine. Această reprezentare este definită de relaţia:

( ) dτ et τ x*tτ + x = t, TF j

FIx

ωτ∞

∞−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ω ∫ 22

Dacă în integrala din membrul drept se face schimbarea de variabilă:

u = t

+ 2

τ

se obţine:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )*

2*

***2 2

,

,

tj uFI

x

t tj jj u STFTx

TF t x u x u t e du

e x u x t u e du e TF t

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∞ ω −

−∞

∞− ω − ω− ω∨

−∞

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ω = − ⋅ =

= − = ω

∫

∫ (38)

În consecinţă se poate afirma că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine este o reprezentare timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă, cu fereastra temporală: ( ) ( )w xτ = τ

3.1. EXPRIMĂRI ALTERNATIVE ALE FUNCŢIEI DE INCERTITUDINE În relaţia (37), reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine este exprimată ca şi o integrală a produsului dintre variantele avansată şi întârziată ale

semnalului de analizat. În continuare se prezintă o exprimare alternativă a acestei reprezentări timp-frecvenţă bazată pe transformarea Fourier a semnalului ( )tx , ( )ωX . În acest scop se constată faptul că:

( ) ( ) ( ) R t , t x*t + x = t, TF FIx ∈∀ω−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛τω

22F

Deci pentru fiecare număr real t, reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine poate fi exprimată ca şi o transformare Fourier. De aceea, folosind proprietatea de înmulţire în timp a transformării Fourier, ultima relaţie se mai poate scrie sub forma:

( ) ( ) ( ) t x t + x π

= t, TF *FIx ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ω−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ∗ω−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛τω

2221

FF (39)

Folosind proprietatea de translaţie în timp a semnalului ( )tx se poate scrie:

( ) ( )ω−ω−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛τ

ω− X = e t + x

t j 2

2F

şi:

( ) ( )ωω−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ

ω *X = e t x*

t j 2

2F

De aceea relaţia (39) devine:

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

( ) ( ) du eu X*u Xe =

du = u X* eu Xe =

= X* e Xe =t, TF

-jut

t j

t uj tj u

t j t j FIx

∫

∫

∞

∞−

ω

∞

∞−

−ω−

ωω−

−ω−π

−ω−π

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ω∗ω−

πω

2

21

21

2

22

22

Efectuând în ultima integrală schimbarea de variabilă:

+ vu = 2ω−ω

se obţine:

( ) dv ev+ X* v X e = t, TF t vj

t j FIx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω−∞

∞−

ω

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω−

πω 22

222

sau:

( ) dv ev+ X* v X =t, TF j v t

FIx ∫

∞

∞−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω−

πω

2221 (40)

Aceasta este o formulă alternativă celei din relaţia (37) pentru calculul reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine. Această reprezentare timp-frecvenţă a fost utilizată pentru prima dată în radiolocaţie. În continuare se explică semnificaţia fizică a reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine, în legătură cu problema de bază a radiolocaţiei. Se consideră că radiolocatorul emite unda electromagnetică ( )ts . În urma reflectării acesteia pe suprafaţa avionului şi a întoarcerii sale se recepţionează unda ( )tsr . Legătura între aceste semnale este: ( ) ( ) ( )0

0j t t

rs t s t t e ∆ω −= − ⋅ . (41) Pe baza măsurării întârzierii to se poate determina distanţa dintre ţintă şi radiolocator. Pe baza măsurării deviaţiei de frecvenţă ω∆ se poate măsura valoarea vitezei instantanee a ţintei. Spectrul semnalului ( )tsr este: ( ) ( )ω∆−ω=ω ω− S eS tj

r 0 (42) Filtrul adaptat la semnalul ( )ts are răspunsul în frecvenţă, [1]: ( ) ( )ω⋅⋅=ω ω− S* e kH itj

a unde ti reprezintă momentul la care are loc maximizarea raportului semnal pe zgomot la ieşirea acestui sistem. Pentru: 0 = ti ultima relaţie devine:

( ) ( )ω=ω * k SH0 Răspunsul acestui filtru la semnalul recepţionat, ( )tsr este:

( ) ( ) ( ) ( )0, ,

2oj t t*

ky t t = S S e d∞

ω −

− ∞

∆ω ω ω − ∆ω ωπ ∫

Cu notaţia: τ− = tt 0 şi schimbarea de variabilă:

u=ω∆−ω

2

ultima relaţie devine:

( ) 2,2 2 2

j * j u

ky = S u + S u e du e∞ ∆ω ττ

− ∞

⎡ ⎤∆ω ∆ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ ∆ω −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟π ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫

Făcând abstracţie de factorul de modul unitar τω∆

2j

e şi considerând pentru constanta k valoarea 1, ultima relaţie devine:

*1

1( )2 2 2

, = + jy S S e d

∞ωτ

− ∞

∆ ω ∆ ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ ∆ ω ω ω − ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟π ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

Dar:

( )∫∞

∞−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω∆+ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω∆ω

* =

+ dt'etsS

tj*

'2'

2

şi deci:

( ) ( ) dω eSetsy jtj

*

=

'

+ ωτ

∞

∞−

∞

∞−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω∆ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω∆−ω

πω∆τ ∫ ∫ 2

'21, 2

1

Cu schimbarea de variabilă:

' =

ωω∆−ω2

şi cu observaţia:

( ) ( ) ( )''21 tsdeS tj +τωωπ ∫

∞

∞−

τω = '

+ ' '


( ) ( ) ( ) dt' et sts= y

t' + j *∫

∞

∞−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω∆τω∆

+τω∆τ 21 '',

sau cu schimbarea de variabilă:

2

' τ+= tt

( ) dtets tsytj

*∫∞

∞−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τω∆ω∆τω∆

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ−ω∆τ

- + + = , 22

1 22

Aşadar:

( )1 2 2

, = + * j ty s t s t e dt∞

∆ ω

− ∞

τ τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ ∆ω −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ (43)

Deci modulul răspunsului filtrului adaptat la semnalul emis ( )ts , pentru semnalul recepţionat ( )tsr , este egal cu modulul reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine a semnalului emis. Iată semnificaţia fizică a reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine. În continuare se arată cum poate fi utilizată reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine la măsurarea mărimilor t0 şi ∆ ω. În acest scop se stabileşte legătura dintre reprezentările timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine ale semnalelor, emis ( )ts şi recepţionat ( )tsr . Reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine a semnalului recepţionat este:

( ) τ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛τω ωτ

∞

∞−∫ detststTF j*

rrFI

sr + = ,

22

Ţinând seama de relaţia (41), ultima relaţie devine:

( ) τ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−τ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −τω ω

∞

∞−

ω∆ ∫ dettsttsetTF tj*tjFIsr

+ = ,

22 00

sau, cu schimbare de variabilă: ut = 0−τ se poate scrie:

( ) ( ) ( )ωω ωω∆ , = , + tTFetTF FIs

ttjFIsr

0 (44)

Având în vedere că semnalul emis ( )ts este cunoscut, reprezentarea sa timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine poate fi calculată. Ea se consideră deci cunoscută. Prin înregistrarea semnalului recepţionat ( )tsr şi prin calculul reprezentării sale timp-frecvenţă poate fi determinată exponenţiala complexă ( )ottje + ωω∆ . Particularizând relaţia (44) la ω = 0 se obţine:

( ) ( )0 0r

FI j t FIs sTF t, = e TF t, ∆ω (45)

Se determină semnificaţia fizică a reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine a semnalului emis la ω = 0:

( ) ( )trdtststTF *s s

*FIs = + = ,

τ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛τ∫

∞

∞− 220

(46)

Deci proiecţia reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine pe planul ( )0, , tA reprezintă autocorelaţia semnalului analizat. În consecinţă relaţia (45) se mai scrie:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ω∆⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ω∆

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ω∆⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−ω∆

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

t trt + I tr =t, TF I

t tr It tr = t, TF

**

**

s sms sFIrsm

s sms sFIrs

cossinRe0

sincosRe0Re

Prin rezolvarea acestui sistem de ecuaţii pot fi determinate funcţiile tω∆cos şi

tω∆sin şi deci mărimea ω∆ . Particularizând relaţia (44) la 0 t = , se obţine: ( ) ( )ωω ω , = , 00 0 FI

stjFI

rs TFeTF (47)

Dar:

( ) ( )∫∞

ωτ

∞−

ωτω

e = , dsTF jFIs

20 (48)

funcţie care poate fi determinată având în vedere că semnalul emis este cunoscut. Deoarece ( )2τs este o funcţie reală şi pară, rezultă (pe baza relaţiei (48)) că funcţia

( )ω ,0FIsTF este o funcţie reală. Relaţia (47) conduce la sistemul:

( ) ( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

ωωω

ωωω

, t = , I

, = ,

00

00

0

0

FIs

FIrsm

FIs

FIrs

TFsinTF

TFtcosTFRe

Rezolvând acest sistem pentru orice valoare a pulsaţiei ω se obţin funcţiile 0sin tω şi 0cos tω şi cu ajutorul lor valoarea întârzierii t0. Se constată că impreciziile de calcul

respectiv măsurare a reprezentărilor timp-frecvenţă ( )ω ,tTF FIs , ( )ω ,tTF FI

sr sunt cauza

impreciziilor de determinare ale mărimilor t0 şi ω∆ . Deci incertitudinea asupra valorilor acestor reprezentări timp-frecvenţă determină incertitudinea asupra valorilor t0 şi ω∆ . Iată de ce aceste reprezentări timp-frecvenţă sunt numite de tipul funcţie de incertitudine. În încheierea acestui paragraf trebuie specificat că la fel ca şi în cazul reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă şi reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine poate fi exprimată ca şi transformare Fourier a unui nucleu. În cazul reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă expresia nucleului era: ( ) ( ) ( )STFTK τ, t = x w tτ τ − (49) În cazul reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine este valabilă relaţia:

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛τω−

22txtxtTF *FI

x + F = , (50)

şi deci expresia nucleului este:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ττ

22txtxtK *

FI + = , (51)

3.2 PROPRIETĂŢILE REPREZENTĂRII TIMP-FRECVENŢĂ DE TIPUL

FUNCŢIE DE INCERTITUDINE

În continuare se investighează proprietăţile reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine (RTFFI). Pentru început se verifică dacă această reprezentare este liniară sau biliniară. În acest scop se consideră semnalele de energie finită ( )tx1 şi ( )tx2 cu reprezentările timp-frecvenţă ( )ω ,tTF FI

x1 şi ( )ω ,tTF FI

x2 şi

constantele complexe α şi β . Se calculează reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine a semnalului 21 xx βα + .

( )

τ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛τ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −τβ⋅ατ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛τβ⋅α

τ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛τβτ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛τα

τ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τβ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −τα⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛τβ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ταω

ωτ∞

∞−

ωτ∞

∞−

ωτ∞

∞−

ωτ∞

∞−

ωτ∞

∞−βα

∫∫

∫∫

∫

d exx*dexx

dexxd exx

dexxxxTF

jj*

jj

j*

FIxx

**

**

2222

2222

2222

2121

222

112

212121

t+

t +

t

t+ +

+ t

t

+ +t

t

+ =

t+

t

t++

t+= t,

+

E clar că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine nu este liniară. Cu notaţia:

( )1 2 1 22 2

t t, = + FI j

x xTF t x x e d*∞ωτ

− ∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ω τ τ − τ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ (52)


( ) ( ) ( ) ( )( )

, +

+ + + , = ,

+

ωβα

ωβαωβωαωβα

tTF

t,TFt,TFtTFtTF

FIxx

*

FIxx

*FIx

FIx

FIxx

12

21121 2

22

(53)

Se contată identitatea relaţiilor (30') şi (53) dacă:

( )1 2 1 22 2

t , , = + jtT x x t x x e d*∞

ωτ

− ∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ω τ τ − τ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

Se poate deci afirma că: 2 1R . Reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine este biliniară. Ţinând seama de simetria prezentă în definiţia reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine poate fi formulată o altă proprietate a acestei reprezentări. În acest scop se calculează:

( ) dτtxtxtTF j*FIx

ωτ−∞

∞−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛τ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −τω−− ∫ e + = ,

22

Trecând în ambii membri la conjugata complexă se obţine:

( ) ( )ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛τω−− ωτ

∞

∞−∫ , = + = ,

tTFdτetxtxtTF FIx

j**

FIx 22

(54)

În acest mod s-a demonstrat că:

2 2R . Reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine este o funcţie complexă conjugată simetric. În continuare se studiază modul în care reacţionează reprezentarea de tipul funcţie de incertitudine la translaţii în planul timp-frecvenţă. Pentru început se studiază reacţia la translaţii în timp. În acest scop se consideră semnalul ( )tx cu reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine ( )ω , tTF FI

x . Fie: ( ) ( )01 tt = xtx − Se calculează reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine a semnalului ( )tx1 :

( ) τ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛τω ωτ

∞

∞−∫ detxtxt,TF j*FI

x + = 22 111

Făcând schimbarea de variabilă: ut =−τ 0 se obţine:

( ) ( )dutuxtuxtTF tuj*FIx

01 22

+

e + = , ω

∞

∞−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ω ∫

În consecinţă: ( ) ( )ω⋅ω ω− , = , tTFetTF FI

xtjFI

x0

1. (55)

Unei translaţii în domeniul timp îi corespunde înmulţirea cu o exponenţială complexă (comportare specifică transformatei Fourier). Se constată că: ( ) ( )ω−≠ω , , 01

ttTFtTF FIx

FIx

Deci reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine nu are proprietatea P5 din paragraful 1.2. În continuare se studiază modul în care această reprezentare timp-frecvenţă reacţionează la translaţii în domeniul frecvenţă. Fie în acest scop semnalul: ( ) ( ) tj et = xtx 02

ω Reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine a acestui semnal este:

( )2 2 22 2 2 2

, = + = + oj tFI * j * jx

t t t tTF t x x e d x x e e d∞ ∞

ωωτ ωτ

− ∞ − ∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ω τ τ− τ τ τ− τ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫

Deci: ( ) ( )0

2, = e , j tFI FI

x xTF t TF tωω ⋅ ω (56) Reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine este invariantă la înmulţirea cu exponenţiale complexe în domeniul timp. Deoarece: ( ) ( )02

ω−ω≠ω , t,TFtTF FIx

FIx

rezultă că această reprezentare timp-frecvenţă nu este invariantă nici la translaţii în domeniul frecvenţă. Reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine a semnalului: ( ) ( ) tj

t e ttxtx 000 0,

ωω − =

este legată de reprezentarea timp-frecvenţă de acelaşi tip a semnalului ( )tx , pe baza proprietăţilor de mai sus (relaţiile (55) şi (56)) prin formula: ( ) ( )ωω ω−ω

ω , = , tTFeetTF FItjtjFI

xtx00

0,0 (57)

Deşi nu este invariantă la translaţii în planul timp-frecvenţă, totuşi reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine pune bine în evidenţă valorile constantelor

0ω şi 0t . Această proprietate o face foarte utilă. În continuare se studiază proprietăţile marginale ale reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine. În acest scop se calculează:

( ) ωω∫∞

∞−ω dtTFI FI

x , =

Se mai poate scrie:

τω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛τ ∫∫

∞

∞−

ωτ−∞

∞−ω d dtxtxI j* e + =

22

Dar:

( ) ( ) ( )τδπτω∫∞

∞−

ωτ− = F =

21dτe j

În consecinţă:

( )2

222 txtxtxI * = ≠⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛πω

Deci nici proprietatea P2 din paragraful 1.2 nu este satisfăcută. Totuşi reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine are o proprietate marginală interesantă în domeniul frecvenţă. Pentru a evidenţia această proprietate se calculează:

( ) τ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛τ∫

∞

∞−dtxtxtTF *FI

x + = , 22

0

Făcând schimbarea de variabilă:

2tu = τ −


( ) ( ) ( ) ( )0

, = = FI *x xx

*TF t x u x u t du r t∞

− ∞

+∫ (58)

Deci proiecţia reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine pe planul amplitudine-timp reprezintă autocorelaţia semnalului de analizat. În consecinţă valoarea în origine a reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine a semnalului ( )tx este tocmai energia acestui semnal: ( ) x

FIx ETF = , 00 (59)

Pentru a vedea comportarea marginală a reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine, în domeniul timp se calculează:

( )dttTFI FIxt , =

∫∞

∞−ω

Ţinând seama de formula din relaţia (40), integrala tI devine:

∫∫∞

∞−

∞

∞−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω−

π

+ = dvdtevXvXI tvj*

t 2221

Dar:

( ) ( ) ( )11 12

j

e = F = v t dt t∞

−

− ∞

ν δ νπ ∫

În consecinţă:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω−

22X*XIt =

Se poate afirma că tI nu reprezintă o densitate spectrală de energie. Proiecţia reprezentării timp frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine pe planul amplitudine - frecvenţa are expresia:

( ) dvv XvXTF *FIx ∫

∞

∞−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω−

πω

+ = ,222

10

Cu schimbarea de variabilă:

u= 2ω−ν


( ) ( ) ( ) ( )ωπ

ωπ

ω ∫∞

∞−XX

*FIx rduuXuXTF = + = ,

21

210

(60)

Deci ( )ω ,0FIxTF este proporţională cu autocorelaţia spectrului semnalului de analizat.

Relaţiile (58) şi (60) îndreptăţesc afirmaţia că funcţia de incertitudine este o reprezentare timp-frecvenţă corelativă. Ea nu este o densitate spectrotemporală de energie, deci proprietatea P1, din paragraful 1.2 nu este verificată de această reprezentare timp-frecvenţă. Având în vedere că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine este o funcţie complexă rezultă că nu este satisfăcută nici proprietatea P3 din paragraful 1.2. Reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine nu este cauzală. Această afirmaţie rezultă din interpretarea fizică a acestei reprezentări, ca răspuns al unui filtru adaptat, deoarece filtrele adaptate nu sunt întotdeauna şi sisteme cauzale. În consecinţă nici proprietatea P4 din paragraful 1.2 nu este verificată. În schimb se poate demonstra că această reprezentare timp-frecvenţă este inversabilă [2].

În continuare se stabileşte legătura dintre reprezentările timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine ale semnalelor: ( ) ( ) 0 > , = kktxktxk şi ( )tx . Avem:

( ) τ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛τω ωτ

∞

∞−∫ det*xtxtTF j

kkFIxk

+ = ,

22

Făcând schimbarea de variabilă: u k= τ ultima relaţie devine:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ω

ω∞

∞−∫ k

k tTFduek t u xk tuxtTF FIx

kuj*FI

xk , = + = ,

22

Deci reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine este invariantă la scalare (proprietatea P7 din paragraful 1.2 este satisfăcută). Reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine are şi proprietatea de filtrare (P8 din paragraful (1.2)), conform [3]:

( ) ( ) ( ) τωτ−ωτω ∫∞

∞−dTFTFtTF FI

hFIx

FIy , t , = ,

unde: ( ) ( ) ( )t h t = xty ∗ (61) Pe baza aceleaşi referinţe bibliografice se poate afirma că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine are şi proprietatea de modulaţie (P9 din paragraful 1.2). Cu alte cuvinte dacă: ( ) ( ) ( )txt = mty ⋅ atunci:

( ) ( ) ( ) ξξξ−ωω ∫∞

∞−dtTFtTFtTF FI

xFI

mFIy , , = ,

(62)

Formula lui Moyal se exprimă în cazul reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine în forma:

( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 2 2

2 21 2 1 2

*, , , , , L R

FI FIx y x y L R L R

TF t TF t x x y yω ω = (63)

relaţie care este verificată pentru orice semnale ( )tx1 , ( )tx2 , ( )ty1 şi ( )ty2 de energie finită [3]. În continuare se investighează în ce măsură reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine conservă suporturile temporal sau frecvenţial ale semnalului de analizat. Se consideră, în acest scop că semnalul analizat are suportul intervalul

[ ]1 2,t t . În consecinţă semnalul 2tx⎛ ⎞τ +⎜ ⎟

⎝ ⎠ va fi identic nul în exteriorul intervalului

1 2,2 2t tt t⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎣ ⎦

iar semnalul *

2

tx ⎛ ⎞τ −⎜ ⎟⎝ ⎠

va fi identic nul în exteriorul intervalului

t +t

, t +t

1 22 2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

. De aceea *

2 2t tx x⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ + ⋅ τ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ va fi identic nul în exteriorul

intervalului [ ]1221 tttt −− , . Deci suportul temporal al reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine este intervalul [ ]1221 tttt −− , . Se poate afirma că proprietatea P11 din paragraful 1.2 nu este verificată. Rezultatul aplicării transformării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine este dublarea lăţimii suportului temporal al semnalului de analizat.

Consideraţii similare pot fi făcute şi în legătură cu suportul frecvenţial. Se poate demonstra în acelaşi mod că:

2R11

( ) [ ] ( ) [ ]122121 00 ω−ωω−ω∉ωω⇒ωω∉ωω , , = t, , , = FIxTFX

În sfârşit, se poate demonstra că nici proprietăţile P12 şi P13 din paragraful 1.2 nu sunt verificate de către reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine. Mai trebuie remarcat că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine poate fi folosită pentru calculul frecvenţei instantanee a semnalului ( )tx , fiind valabilă formula [3]:

( )( )

( )∫

∫∞

∞−

τω

∞

∞−

ωτ

ωω

ωωττ∂

∂

π

=

,

,

j

=

d eTF

deTFtf

jFIx

tjFIx

i0

21 0

(64)

În finalul acestui paragraf trebuie menţionat că prin ridicarea la pătrat a modulului reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine se obţine o nouă reprezentare timp-frecvenţă:

( ) ( ) 2 , = , ωω tTFtTF FI

xSIx (65)

numită suprafaţă de incertitudine.

3.3 EXEMPLU

Se consideră semnalul "chirp":

( ) ( ) R CeCtx tj ∈βα− , = + 2 (66)

Reprezentarea sa timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine este:

( )( ) ( )

τ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ω τω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τβα−∞

∞−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τβα−

∫ deeCeCtTF jtjtj

FIx

*

= , +

+ + 22

22

Aducând integrandul din membrul drept la o formă mai compactă relaţia de mai sus devine:

( ) ( ) τω ∫∞

∞−

βω⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛τα−

deCtTF τtj

t

FIx e = ,

- +

222

2

22

adică:

( ) ( )ω−β

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ω⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛τα−

F = , +

teCtTF

t

FIx 2

22

2

22

sau ţinând seama de expresia transformării Fourier a semnalului Gaussian, [4]:

( )( )

αω−β−α−

απω

= , 82

22

22

2

ttFIx eeCtTF

(67)

În final se poate scrie:

( )( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ω−β

αα−

απω

22 281

222

+

= ,

ttFIx eCtTF

Semnalul de analizat este complex. Amplitudinea sa instantanee este:

2tC e α−

iar faza sa instantanee este: 2t β În consecinţă pulsaţia sa instantanee este:

( ) tti = βω 2 (68) Analizând relaţia (67) se constată că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine a semnalului "chirp" este o funcţie reală pozitivă. Deoarece:

( )

= ,α

π2

00 2CTF FIx

rezultă că energia semnalului "chirp" (membrul drept al relaţiei de mai sus) nu depinde de constanta β (cea care descrie modulaţia de frecvenţă a semnalului considerat). Autocorelaţia semnalului de tip "chirp" este:

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

α

βα−

απ

22

2

2222

0tt

FIx CtTF

+

e

= ,

adică:

( )2

2

2222

t

xx eCtr

+

= ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

α

βα−

απ

Se observă caracterul Gaussian al acestei funcţii de autocorelaţie. Atât suporturile temporal şi frecvenţial ale semnalului de tip "chirp" cât şi suporturile temporal şi frecvenţial ale reprezentării sale timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine sunt de lungime infinită. Proiecţia reprezentării timp-frecvenţă considerată pe planul amplitudine-pulsaţie este:

( ) αω−

απω

e

= , 82

2

20 CTF FI

x .

Această formulă confirmă caracterul Gaussian al comportării semnalului "chirp" în domeniul frecvenţă. În sfârşit, întrucât:

( )

122 2

81

2

+

≤⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω−β

αα− tt

e rezultă că pentru o valoare a lui t impusă, valoarea maximă a reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine se obţine pentru acea valoare a pulsaţiei care este soluţia ecuaţiei: ω β t = − 2 0 Această observaţie justifică afirmaţia că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine se concentrează în jurul legii de variaţie a frecvenţei instantanee a semnalului de analizat. De fapt se constată că la fel ca şi în cazul exemplului din paragraful 2.3, proiecţia curbei care uneşte maximele reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine pe planul ( )t, ω este tocmai legea de variaţie a frecvenţei

instantanee a semnalului de analizat. Această observaţie justifică concentrarea reprezentării timp-frecvenţă pe legea frecvenţei instantanee. Din păcate nici în cazul reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă nici în cazul reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine această concentrare nu este perfectă, nefiind descrisă de o lege de forma: ( )( )tiω−ωδ . În toolbox-ul tftb există o reprezentare timp-frecvenţă, numită narrow-band ambiguity function, ( ),nb xA t ω , care calculează ( )FI

xTF t, − ω . În continuare se demonstrează justeţea afirmaţiilor făcute mai sus prin aplicarea acestei funcţii unui semnal de tip chirp. Acesta are expresia analitică din relaţia (66) în care s-au ales următoarele valori ale parametrilor, C=1, α=ln2 şi β=3.5×10-3. Este un semnal dublu modulat, în amplitudine (modulaţie caracterizată de parametrul α) şi în frecvenţă (modulaţie caracterizată de parametrul β). Deoarece legea de modulaţie de frecvenţă este liniară semnalul este numit de tip “chirp”. Semnalul considerat este obţinut prin modularea de produs a unui semnal purtător (reprezentat în partea din stînga a figurii 1.3.3. b)) cu un semnal modulator Gaussian. Amplitudinea instantanee a semnalului considerat este reprezentată în figura 1.3.3.a). Purtătoarea este un semnal modulat în frecvenţă a cărui lege de variaţie a frecvenţei instantanee este reprezentată în partea din dreapta a figurii 1.3.3.b). Se constată că aceasta este liniară. Partea reală a produsului dintre semnalul Gaussian şi purtătoare reprezintă semnalul considerat în acest exemplu, a cărui formă de undă este prezentată în figura 1.3.3.c). Modulul reprezentării timp-frecvenţă de tipul narrow-band ambiguity function a semnalului cu forma de undă din figura 1.3.3.c) este prezentat în figura 1.3.3.d). Aceasta a fost obţinută cu ajutorul toolbox-ului tftb, ca rezultat al programului următor: %Explcap3 % Generarea semnalului de analizat % AMGAUSS Generate gaussian amplitude modulation. %Y=AMGAUSS(N,T0,T) generates a gaussian amplitude modulation %centered on a time T0, and with a spread proportional to T. %This modulation is scaled such that Y(T0)=1 %and Y(T0+T/2) and Y(T0-T/2) are approximately equal to 0.5 . % N : number of points. % T0 : time center (default : N/2). % T : time spreading (default : 2*sqrt(N)). % Y : signal. % Examples: % z=amgauss(160); plot(z); % z=amgauss(160,90,40); plot(z); % z=amgauss(160,180,50); plot(z); amplitude=amgauss(128,64,30); % FMPAR Parabolic frequency modulated signal. % [X,IFLAW]=FMPAR(N,P1,P2,P3) generates a signal with % parabolic frequency modulation law. % X(T) = exp(j*2*pi(A0.T + A1/2.T^2 +A2/3.T^3)) % N : the number of points in time

% P1 : if NARGIN=2, P1 is a vector containing the three % coefficients [A0 A1 A2] of the polynomial instantaneous phase. % If NARGIN=4, P1 (as P2 and P3) is a time-frequency point of % the form [Ti Fi]. % The coefficients (A0,A1,A2) are then deduced such that % the frequency modulation law fits these three points. % P2,P3 : same as P1 if NARGIN=4. (optional) % X : time row vector containing the modulated signal samples % IFLAW : instantaneous frequency law % Examples : % [X,IFLAW]=fmpar(128,[1 0.4],[64 0.05],[128 0.4]); % subplot(211);plot(real(X));subplot(212);plot(IFLAW); % [X,IFLAW]=fmpar(128,[0.4 -0.0112 8.6806e-05]); % subplot(211);plot(real(X));subplot(212);plot(IFLAW); [carrier,IFLAW]=fmpar(128,[1 0.0035],[64 0.224],[128 0.418]); z=amplitude.*carrier; signal=real(z); figure(1); plot(amplitude); figure(2); subplot(121); plot(real(carrier)); subplot(122); plot(IFLAW); figure(3); plot(signal); % Calculul reprezentarii timp-frecventa de tip narrowband ambiguity % function % AMBIFUNB Narrow-band ambiguity function. % [NAF,TAU,XI]=AMBIFUNB(X,TAU,N,TRACE) computes the narrow-band % ambiguity function of a signal X, or the cross-ambiguity % function between two signals. % X : signal if auto-AF, or [X1,X2] if cross-AF (length(X)=Nx). % TAU : vector of lag values (default : -Nx/2:Nx/2). % N : number of frequency bins (default : length(X)). % TRACE : if nonzero, (default : 0) % the progression of the algorithm is shown. % NAF : doppler-lag representation, with the doppler bins stored % in the rows and the time-lags stored in the columns. % When called without output arguments, AMBIFUNB displays % the squared modulus of the ambiguity function by means of % contour. % XI : vector of doppler values. % Example : % sig=anabpsk(256,8); % ambifunb(sig); tfr=ambifunb(signal); figure(4);

%Reprezentare grafica bidimensionala mesh(abs(tfr));


(forma de undă în stânga şi legea de variaţie a frecvenţei instantanee în dreapta) c) Forma de undă a semnalului de analizat (se observă dubla modulaţie); d) Modulul reprezentării timp- frecvenţă de tip

narrow-band ambiguity function a semnalului de analizat.

Analizând reprezentarea timp-frecvenţă din figura 1.3.3 d) se constată simetria acesteia în raport cu variabila ω. De aceea se poate afirma că modulul reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine are aceaşi formă. Acum poate fi apreciată corectitudinea relaţiei (67):

( )( )

αω−β−α−

απω

= , 82

2222

2

ttFIx eeCtTF

(67)

În figura 2.3.3 este ilustrată în detaliu reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine din figura 1.3.3. d).

Figura 2.3.3. Reprezentarea timp-frecvenţă a semnalului de tip chirp.

Se observă dependenţele Gaussiene în domeniile timp şi frecvenţă relevate de relaţia (67). Analizând structura din centrul planului timp-frecvenţă se constată că ea este compusă din două suprafeţe, una concentrată pe legea de variaţie a frecvenţei instantanee, conform relaţiei (68) şi figurii 1.3.3. b) şi una concentrată pe o curbă perpendiculară pe legea de variaţie a frecvenţei instantanee. Cea de a doua structură este compusă din termeni de interferenţă, demonstrând caracterul bilinear al reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine. Profitând de facilitatea oferită de Matlab de a roti figurile, în figura 3.3.3 este prezentată figura anterioară rotită în aşa fel încât să se poată analiza dependenţa de timp a reprezentării timp-frecvenţă. Se constată caracterul Gaussian al acestei dependenţe. Această observaţie este în acord cu relaţia (67). De asemenea, este sesizată şi componenta de interferenţă a acestei reprezentări, prin intermediul vârfului care apare în centrul figurii 3.3.3. Deoarece forma acestui vârf nu este Gaussiană se poate deduce că această structură rezultă ca şi sumă a două Gaussiene (una concentrată pe legea de variaţie a frecvenţei instantanee a semnalului analizat şi cea de a doua de interferenţă).

Figura 3.3.3. Reprezentarea timp-frecvenţă de tip funcţie de incertitudine a semnalului chirp văzută de pe

direcţia axei frecvenţelor. După o nouă rotire se obţine imaginea din figura 4.3.3, cu ajutorul căreia poate fi analizată comportarea în domeniul frecvenţă a reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine a semnalului de tip chirp. Se constată că şi această dependenţă are un caracter Gaussian. Mai mult, datorită prezenţei celor trei lobi se poate spune că este vorba despre spectrul unei modulaţii de produs de bandă îngustă. Şi această observaţie este în acord cu relaţia (67). De asemenea, poate fi sesizată încă odată şi componenta de interferenţă a reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine, prin intermediul vârfului care apare în centrul figurii 4.3.3. Deoarece forma acestui vârf nu este Gaussiană se poate deduce că această structură rezultă ca şi sumă a două Gaussiene (una concentrată pe legea de variaţie a frecvenţei instantanee a semnalului analizat şi cea de a doua de interferenţă). În sfârşit, după o ultimă rotire, se obţine vederea de sus a reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine a semnalului de tip chirp, prezentată în figura 5.3.3. Se constată că această vedere (care nu este altceva decât proiecţia reprezentării timp-frecvenţă pe planul timp-frecvenţă) poate reprezenta baza unui estimator al frecvenţei instantanee a semnalului supus analizei. Detectând maximul reprezentării timp-frecvenţă şi proiectând această curbă pe planul timp-frecvenţă, poate fi recuperată o parte din

Figura 4.3.3. Reprezentarea timp-frecvenţă de tip funcţie de incertitudine a semnalului chirp văzută de pe

direcţia axei timpului.

Figura 5.3.3. Vederea de sus a reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine a semnalului

de tip chirp. Cu ajutorul acestei vederi poate fi estimată legea de variaţie a frecvenţei instantanee.

legea de variaţie a frecvenţei instantanee, dacă se elimină ambiguitatea produsă de termenii de interferenţă. Bibliografie capitol 3 [1] A. Spataru. Fondements de la théorie de la transmission de l’information. Presses Polytechniques Romandes, Lausanne, 1987. [2] G. Rulea. Prelucrarea optima a semnalului radio. Ed. Tehnica, Bucuresti 1980. [3] F. Hlawatsch, G. F. Boudreaux-Bartels. Linear and Quadratic Time-Frequency Signal Reprsentations. IEEE S.P.Magazine, pp.21-65, April 1992. [4] I. Naforniţă, A. Câmpeanu, A. Isar. Semnale circuite si sisteme. vol. I, Editura UPT, 1995.

Capitolul 4

REPREZENTAREA TIMP-FRECVENŢĂ DE TIPUL WIGNER-VILLE

Semnalului de energie finită ( )tx , i se asociază nucleul:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ττ− 22

t xt+ = x t, K *VW

Transformarea Fourier a acestei funcţii, în raport cu variabila τ , poartă numele de reprezentare timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville:

( ) τ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τω ωτ−

∞

∞−

− ∫ d e t xt+ x = t, TF j

*VWx 22

4.1. EXPRIMĂRI ALTERNATIVE ALE REPREZENTĂRII DE TIP

WIGNER - VILLE Comparând nucleele reprezentărilor timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville şi funcţie de incertitudine se constată că: ( ) ( ), t = Kt, K FIVW ττ− (69) Deci cele două nuclee se pot obţine unul pe baza celuilalt prin schimbarea de variabilă:

τ↔t De aici rezultă asemănarea remarcabilă între reprezentările timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville şi funcţie de incertitudine ale aceluiaşi semnal. De aceea şi reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville poate fi privită ca şi o reprezentare adaptivă. În continuare se calculează transformata Fourier bidimensională a reprezentării timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville.

( ) ( ) ( ) ( ) βαβαωβα βαω−∞

∞−

∞

∞−

−− ∫ ∫ d d e, TF = t, , TF t + j

VWx

VWxF

sau ţinând seama de expresia reprezentării timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville:

( ) ( )

( ) βα⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡τ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τ−α⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τα

ωβα

βαω−∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

βτ

−

∫ ∫ ∫ d d ed e x + x =

=t, , TF

t + j

-j*

VWx

22

F

Schimbând în membrul drept ordinea de integrare, ultima relaţie devine:

( ) ( )

βτ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡α⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τ−α⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τα

ωβα

β−βτ−∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

αω

−

∫ ∫ ∫ d ed ed e x + x =

=t, , TF

tj j

-j *

VWx

22

F

sau:

( ) ( ) ( ) βτω−τωβα β−βτ−∞

∞−

∞

∞−

− ∫ ∫ d ed e , TF =t, , TF t jj

FIx

VWxF

Dar, transformata Fourier a reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine ( )ω−τ ,FI

xTF , în raport cu variabila τ este:

( ) ( ) ( ) τω−τβω−τ βτ−∞

∞−∫ d e, TF = , TF j

FIx

FIxF

De aceea, expresia transformării Fourier bidimensionale a reprezentării timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville devine:

( ) ( ) ( ) ( ) ββω−τωβα β−∞

∞−

− ∫ d e , TFF =t, , TF tj

FIx

VWxF

Deoarece membrul drept reprezintă o transformare Fourier în raport cu variabila β , ultima relaţie devine: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t , TF = t, , TF FI

xVW

x βω−τωβα− FFF sau pe baza teoremei simetriei: ( ) ( ) ( )ω−−πωβα− t, TF = t, , TF FI

xVW

x 2F În sfârşit, ţinând seama de proprietatea de conjugare simetrică a reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine, se obţine:

( ) ( ) ( )ωπωβα− t, TF = t, , TF *FI

xVW

x 2F (70)

În consecinţă se poate afirma că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine reprezintă transformarea Fourier bidimensională a reprezentării timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville. Această legătură este utilă pentru demonstrarea proprietăţilor reprezentării timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville pe baza proprietăţilor reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine.

4.2 PROPRIETĂŢILE REPREZENTĂRII TIMP-FRECVENŢĂ DE TIPUL WIGNER-VILLE

În primul rând se verifică dacă această reprezentare timp-frecvenţă este o densitate spectrotemporală de energie. În acest scop se calculează integrala:

( ) βαβα∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

− d d, TFI =

VWx

Dar această integrală reprezintă valoarea în origine a transformării Fourier bidimensionale a reprezentării timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville. În consecinţă:

( ) ( ) ( ) x*FI

xVW

x E = , TF = , , TF I = ππβα− 200200F (71) Deci proprietatea P1 din paragraful 1.2 este verificată, reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville este o densitate spectrotemporală de energie. În continuare se studiază proprietăţile marginale ale acestei reprezentări timp-frecvenţă. În acest scop se calculează pentru început integrala:

( ) ωω∫∞

∞−

− dt, TF=I

VWx1

Se constată că:

ω⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡τ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

ωτ d d e t xt + x = I

-j *221

Inversând ordinea de integrare rezultă:

τ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ω⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

ωτ d d e t xt + x = I

-j*221

Dar:

( ) ( )τδ⋅πτωω∫∞

∞−

ωτ 21 = d = d e

-j F

De aceea:

( ) ( ) 21 2

222 tx = d t xt + x =I

* πττδ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τπ ∫

∞

∞−

Deci reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville reprezintă o densitate temporală de energie. În continuare se calculează integrala:

( )∫∞

∞−

− ω

VWx dtt, TF = I2

Pe baza definiţiei reprezentării timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville se poate scrie:

dt d e t xt + x = I

-j*∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

ωτ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡τ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

222

sau schimbând ordinea de integrare:

τ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τ ωτ

∞

∞−

∞

∞−∫ ∫ d e dt t xt + x = I -j

*222

Făcând în integrala interioară schimbarea de variabilă:

= uτ t 2

−

aceasta devine:

( ) ( )∫∫∞

∞−

∞

∞−τ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

* duu xu*x = dt t xt + x 22

Membrul drept al ultimei relaţii reprezintă funcţia de autocorelaţie a semnalului ( )tx* ,

( )τ** xxr . De aceea integrala I2 devine:

( ) τ⋅τ∫∞

∞−

ωτ der = I

-j xx **2

Este vorba despre transformata Fourier a autocorelaţiei semnalului x* (t), care după cum se ştie reprezintă densitatea spectrală de energie a acestui semnal:

( ) ( ) ( ) ( )2222 ω−ω−ω X = *X= ux* = I F

Deci reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville este şi o densitate spectrală de energie. În consecinţă se poate afirma că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville are proprietatea P2 din paragraful 1.2. În continuare se calculează conjugata complexă a reprezentării timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville:

( )( ) τ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τω ∫

∞

∞−

ωτ− d e t x t + x=*

t, TF

j*VWx 22

Făcând schimbarea de variabilă: τ−u = se obţine:

( ) du eu t xut + x =t, TF

uj**VWx ∫

∞

∞−

ω− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ω

22

adică tocmai expresia reprezentării timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville. S-a demonstrat aşadar relaţia:

( ) ( )ωω −− t, =TFt, TF VWx

*VWx (72)

În consecinţă se poate afirma că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville este reală. Din păcate ea nu este şi pozitiv definită. În continuare se va demonstra afirmaţia aceasta. În acest scop se va demonstra pentru început că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville este biliniară. Se consideră în acest scop semnalele x1(t) şi x2(t). Se calculează reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville a semnalului ( ) ( ) tx+tx 21 βα unde α şi β sunt constante complexe. Folosind relaţiile:

( ) τ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τω ∫

∞

∞−

ωτ−− d e t * xt + x=t, TF

jVWxx 22 2121

( ) τ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τω ∫

∞

∞−

ωτ−− d e t * xt + x=t, TF

jVWxx 22 1212

se obţine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωβαωβαωβωαω −−−−−

βα t, TF+t, TF +t, TF +t, TF =t, TF VWxx

*VWxx

*VWx

VWx

VWx + x 12212121

22 (73)

Se constată identitatea acestei relaţii cu relaţia (30') dacă: ( ) ( ) k , l t, = TFt, , xxT VW

xxkl kl≠ωω −

respectiv: ( ) ( ) 21,= , l t, = TFt, , xxT VW

xll lωω −

În consecinţă se poate afirma că: 3R1 Reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville este biliniară. Membrul drept al relaţiei (73) poate fi pus chiar într-o formă mai simplă. Se calculează în acest scop conjugata complexă a lui ( )ω− ,tTF VW

xx 21.

( ) τ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τω ∫

∞

∞−

ωτ− d e t xt + *x=t, TF

j*VWxx 22 2121

Făcând schimbarea de variabilă: τ−u = ultima relaţie devine:

( ) ( )ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ω −

∞

∞−

ω−− ∫ t, du = TF eut + xu t *x=t, TF VWxx

uj*VWxx 1221 22 21

De aceea relaţia (73) mai poate fi scrisă în forma: ( ) ( ) ( ) ( ) ωαβωβωαω −−−−

βα t,TF+t,TF+t,TF=t,TF VWxx

*VWx

VWx

VWx+x 212121

Re222 (74)

Revenind la demonstraţia afirmaţiei că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville nu este pozitiv definită, se presupune că semnalele ( )tx1 şi ( )tx2 de mai sus au suporturi compacte disjuncte, intervalele In1 şi In2. Se face notaţia: ( ) ( ) ( )tx +tx = txo 21 βα Se face ipoteza că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville este pozitivă, oricare ar fi semnalul căruia i se aplică. Rezultă relaţiile: ( ) 2100 , , = , k t, TF VW

xk≥ω−

Prin aplicarea proprietăţii marginale din domeniul timp se pot scrie relaţiile:

( ), 2 ( ) , 0, 1, 2

k

W Vx kTF t d x t k

∞−

− ∞

ω ω = π⋅ =∫

În consecinţă: ( ) ( ), 0 , , 0, 1, 2

k

W Vx kTF t t In k− ω = ∀ ∉ =

În ultima relaţie s-a folosit notaţia: 1 2= oIn In InU Dar pe baza proprietăţii de biliniaritate: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2

2 2 *, , , 2Re , o

W V W V W V W Vx x x x xTF t TF t TF t TF t− − − −ω = α ω + β ω + α β ω (75)

În exteriorul intervalului In1, funcţia de două variabile ( )

1,W V

xTF t− ω este nulă iar semnalul ( )ox t este identic cu semnalul 2 ( )x tβ . De aceea relaţia (75) devine: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2

2 2 *, , 2Re , W V W V W Vx x x xTF t TF t TF t− − −β ω = β ω + α β ω

În consecinţă: ( ) ( ) 1 2

*1 , 2 Re , 0 W V

x xt In TF t−∀ ∉ α β ω =

În exteriorul intervalului 2 In , ( )

1,W V

xTF t− ω este nulă iar semnalul ( )ox t este identic cu semnalul 1( )x tα . De aceea relaţia (75) devine: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2

2 2 *, , 2 Re , W V W V W Vx x x xTF t TF t TF t− − −α ω = α ω + α β ω

De aceea: ( ) ( ) 1 2

*2 , 2 Re , 0 W V

x xt In TF t−∀ ∉ α β ω =

Întrucât intervalele 1In şi 2In sunt disjuncte rezultă că: ( ) ( ) 1 2

*, 2Re , 0 W Vx xt R TF t−∀ ∈ α β ω = .

De aceea relaţia (75) devine: ( ) ( ) ( )

1 2

2 2, , , o

W V W V W Vx x xTF t TF t TF t− − −ω = α ω + β ω

Integrând în ambii membrii de la ∞− la ∞ , în raport cu variabila t, se obţine: 2 2 2 2 2

1 2( ) ( ) ( ) oX X X−ω = α −ω + β −ω sau: ( ) ( ) ( ) 2

222

122 X + X = X o ωβωαω

adică: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2

222

12

2121 ωβωαωβ+ωαωβ+ωα X +X =*XXXX respectiv:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2

222

12

21212

222

12

+ =

= + + +

ωβωα

ωωβαωωβαωβωα

XX

X*X*XXXX **

Ultima relaţie se mai scrie: ( ) ( ) ( ) R , = * XX * ∈ω∀ωωαβ 0Re2 21 (76) Acest rezultat este în contradicţie cu faptul că semnalele ( )tx1 şi ( )tx2 sunt de durată limitată (deci de bandă nelimitată). Conform principiului reducerii la absurd rezultă că ipoteza de pozitivitate a reprezentării timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville este falsă. Deci reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville nu are proprietatea P3 din paragraful 1.2. Negativitatea locală a reprezentării timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville afectează interpretarea fizică a acestei reprezentări. Atât densitatea temporală de energie cât şi densitatea spectrală de energie ale unui semnal sunt pozitiv definite. De aceea şi densitatea spectrotemporală de energie ar trebui să fie pozitiv definită. De aceea negativitatea locală a reprezentării timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville este o insuficienţă remarcabilă a acestei reprezentării. Se poate demonstra că această reprezentare timp-frecvenţă nu este cauzală. Deci reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville nu verifică proprietatea P4 din paragraful 1.2. În schimb se poate demonstra că această reprezentare timp-frecvenţă este inversabilă.

În continuare se determină modul în care reacţionează reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville la translaţii în planul timp-frecvenţă. În acest scop se determină legătura între reprezentările timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville ale semnalelor ( )tx şi : ( ) ( ) tj

,t ett = xtx 000 0

ωω −

Pentru aceasta se foloseşte faptul că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine este transformata Fourier bidimensională a reprezentării timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville, se foloseşte legătura dintre reprezentările de tipul funcţie de incertitudine ale semnalelor ( )tx şi ( )tx ,t 00 ω precum şi proprietăţile de translaţie în timp şi în frecvenţă ale transformării Fourier bidimensionale. Se obţine: ( ) ( )00

00ω−ω−ω −−

ω, tt = TFt, TF VW

xVW

x ,t. (77)

Deci reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville verifică proprietatea P6 din paragraful 1.2. În continuare se calculează reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville a semnalului: ( ) ( )ktxk = txk ⋅ Aceasta este:

( ) τ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τω ωτ

∞

∞−

− ∫ d ek k t * xk k t + x = k t, TF -j

VWxk 22

Cu schimbarea de variabilă: = ukτ se obţine:

( )k

du eu k t * xuk t + x = k t, TF u

k-j

VWkx

ω∞

∞−

− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ω ∫ 22

adică:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ωω −−

kk t, = TFt, TF VW

xVW

xk (78)

Deci reprezentarea Wigner-Ville verifică proprietatea P7 din paragraful 1.2.

În continuare se prezintă legătura dintre reprezentarea Wigner-Ville a semnalului obţinut prin convoluţia a două semnale şi reprezentările Wigner-Ville ale acestora. Conform [1] se poate afirma că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville are proprietatea de filtrare (P8 în paragraful 1.2):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dss, TFs,tTF=t, TF th t =xty

VWx

VWh

VWy ∫

∞

∞−

−−− ωω−ω⇒∗ (79)

Dar şi reprezentarea de tipul funcţie de incertitudine are această proprietate. Ţinând seama de dualitatea timp-frecvenţă indusă de transformarea Fourier precum şi de faptul că cele două reprezentări timp-frecvenţă sunt legate prin transformarea Fourier bidimensională rezultă că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville are şi proprietatea de modulaţie (P9 în paragraful 1.2):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ξξξ−ωω⇒⋅ ∫∞

∞−

−−− dt, TFt, TF= t, TF txt = mty

VWx

VWm

VWy (80)

În continuare se verifică proprietăţile de suport ale reprezentării timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville. Se consideră că semnalul ( )tx are suportul temporal intervalul

[ ]t , t1 2 . Produsul ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

22 t xt + x * va fi nenul dacă:

tt t t t t+ t 22222 2121 −≤τ≤−⇔≤τ≤

şi

12

2121

2222

22222

t t t t

t t t t t t t

−≤τ≤−⇔

⇔−≤τ−≤−⇔≤τ−≤

adică dacă: [ ] [ ]1221 22222222 t t , tt ttt , t −−∩−−∈τ Intersecţia este nevidă dacă: 222 2222 t < t t tt > t ⇔−− sau dacă: t > t t tt < t 111 2222 ⇔−− În consecinţă suportul temporal al funcţiei ( )ω− t, TF VW

x este intervalul [ ]21, tt . Deci reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville conservă suportul temporal al semnalului căruia i se aplică.

Reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville a semnalului ( )tx poate fi pusă în forma:

( ) ( )

( )

( ) ( )=FF

FF

F

ω⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ−∗ω

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

π

ω⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ∗

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

π

ω⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τω−

t x t +x =

= t-xt+x =

= t- xt+x = t, TF

*

*

*VWx

22

22

21

2221

22

( ) ( ) ( ) ( ) = F + = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω−−τ∗ωτ

π222222

21 t*xtxF

( ) ( ) * X e X e = tj tj ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω∗ω

πωω 221 44 .

Considerând că suportul frecvenţial al semnalului ( )tx este intervalul [ ]− ω ω1 1,

rezultă că suportul funcţiei ( )ω2X este intervalul −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

ω ω1 12 2

, şi deci că suportul

frecvenţial al funcţiei ( )ω− t, TF VWx este intervalul [ ]− ω ω1 1, . S-a demonstrat că

reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville conservă şi suportul frecvenţial al semnalului căruia i se aplică. În consecinţă proprietatea P11 din paragraful 1.2 este verificată de către reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville. Această reprezentare verifică şi proprietatea de unitaritate (formula lui Moyal). Într-adevăr, ţinând seama de legătura dintre reprezentările timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine şi Wigner-Ville, relaţia (63) din paragraful 3.1 devine pentru: ( ) ( )t = ytx 11 şi ( ) ( )t = ytx 22

( ) ( ) ( ) ( ) 22121

, xx = , t, TF* ,, t, TF* VWx

VWx βαωβαω −− FF

sau pe baza relaţiei lui Parseval, din cazul transformării Fourier bidimensionale: ( ) ( ) ( )

2212221

, xx = t, , TFt, TFRL

VWx

VWx ωω −−

Deci reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville verifică şi proprietatea P10 din paragraful 1.2. Nici reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville nu se concentrează perfect pe legea de variaţie a frecvenţei instantanee (aşa cum se va vedea din exemplul prezentat în paragraful următor). Totuşi există un semnal a cărui reprezentare timp-

frecvenţă de tipul Wigner-Ville are proprietatea de concentrare perfectă, dar aceasta nu este un semnal de energie finită. Este vorba despre semnalul: ( ) 22cos t = Atx π Şi asupra acestei proprietăţi a reprezentării sale de tipul Wigner-Ville se va reveni mai târziu. Deci reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville nu verifică proprietatea P13 din paragraful 1.2. Un semnal determinist staţionar de energie finită poate fi scris în forma: ( ) ∑ ω

n

tjns n ea = tx

Reprezentarea sa timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville este:

( ) ( ) τω ∫∑∑∞

∞−

τ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ωω−ω−

ω−ω− de e*aa = t, TF

+ j

n m

t jmn

VWx

mn mn

s2

Deoarece integrala din membrul drept reprezintă transformarea Fourier a semnalului ( )τ1 , ultima relaţie se mai scrie:

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ωω−ωδπω ∑∑ ω−ω−

22 mn

n m

t j mn

VWx

+ e*aa = t, TF mns

De aceea se constată că nu este îndeplinită relaţia:

( )

( ) R t = t

t, TF VWxs ∈∀

∂

ω∂ −

0

În consecinţă se poate afirma că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville nu verifică proprietatea P12 din paragraful 1.2, neputând fi utilizată pentru identificarea semnalelor staţionare. În tabelul 1.4.1. sunt prezentate proprietăţile reprezentărilor timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine respectiv Wigner-Ville. Numărul mare de proprietăţi ale reprezentării timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville fac din aceasta arhetipul reprezentărilor timp-frecvenţă de tipul densitate spectrotemporală de energie.

Tabelul 1.4.1 Proprietăţile reprezentărilor timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine şi Wigner-Ville.

Reprezentarea timp-frecvenţă Proprietăţi Funcţie de

incertitudine FITF

Wigner-Ville

VWTF −

Observaţii

Liniaritate NU NU Biliniaritate DA DA Densitate spectrotemporală de energie (P1)

NU

DA

. ( )ω ,tTF FI este o

reprezentare timp-frecvenţă corelativă

Pozitivitate (P3)

NU

NU

( )ω− t,VWxTF este o

reprezentare timp-frecvenţă reală

Cauzalitate (P4) NU NU Inversabilitate (P5) DA DA Invarianţă la translaţii (P6)

NU

DA

. ( )

( )ω⋅

ω

ω−ω

ω

,ee

= ,

tTF

tTF

FIx

tjtj

FIxt

00

0,0

Invarianţă la scalare (P7) DA DA Convoluţie (P8) DA DA Modulaţie (P9) DA DA Unitaritate (P10) DA DA Conservarea suporturilor (P11)

NU DA

Identificarea staţionarităţii (P12)

NU NU

Concentrare pe legea frecvenţei instantanee

NU NU

4.2 EXEMPLU

Fie semnalul:

( ) t = etx t 0cos

2ωα−

Semnalul analitic asociat acestui semnal este:

( ) tjt e = etx 02

0ωα−

Pulsaţia instantanee a acestui semnal este: ( ) 0ω = tωi În continuare se calculează reprezentarea Wigner-Ville a semnalului considerat:

( )2 2

2 20

0

cos2

cos .2

t + t W Vx

j

TF t, = e t + e

t e d

τ τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∞ − α − α −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− ∞

− ωτ

⎡ ⎤τ⎛ ⎞ω ω⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤τ⎛ ⎞⋅ ω − τ⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

sau:

( ) ( ) ( )ω⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧τωω

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ωω

τα−α−τα−α−−

022202 cos2cos

22

22

e+e et = et, TF t

t VW

x FF

Ţinând seama de expresia transformării Fourier a semnalului Gaussian se obţine:

( )( ) ( )

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ω

απω α

ωω−

αω−ω

−αω−α−−

+

t VWx e+e+t e e =t, TF 222

02

20

20

22

21

212cos2 (79)

Se constată că în domeniul frecvenţă această funcţie are 3 maxime, la pulsaţiile 0=ω şi 0ω±ω= . În consecinţă se poate afirma că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville se concentrează pe curba de variaţie a frecvenţei sale instantanee, dar că această concentrare nu este perfectă. Se remarcă similitudinea dintre relaţiile (36) şi (79). De aceea comentariile făcute la exemplul de spectrogramă din paragraful 2.3 sunt valabile şi în exemplul de faţă. Tool-box-ul tftb conţine şi o funcţie pentru calculul reprezentării timp-frecvenţă de tip Wigner-Ville. Întrucât în acest exemplu a fost considerat acelaşi semnal ca şi în exemplul din capitolul 2, programul de ilustrare a proprietăţilor reprezentării timp-frecvenţă de tip Wigner-Ville folosit în continuare va fi foarte

asemănător cu cel folosit în capitolul 2. Singura diferenţă între aceste două programe este că de această dată nu se mai calculează reprezentarea timp-frecvenţă de tip Gabor ci reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville. Programul are forma: %Explcap4 % Generarea semnalului de analizat % AMGAUSS Generate gaussian amplitude modulation. %Y=AMGAUSS(N,T0,T) generates a gaussian amplitude modulation %centered on a time T0, and with a spread proportional to T. %This modulation is scaled such that Y(T0)=1 %and Y(T0+T/2) and Y(T0-T/2) are approximately equal to 0.5 . % N : number of points. % T0 : time center (default : N/2). % T : time spreading (default : 2*sqrt(N)). % Y : signal. % Examples: % z=amgauss(160); plot(z); % z=amgauss(160,90,40); plot(z); % z=amgauss(160,180,50); plot(z); amplitude=amgauss(128,64,30); %FMCONST Signal with constant frequency modulation. % [Y,IFLAW] = FMCONST(N,FNORM,T0) generates a frequency modulation % with a constant frequency fnorm. % The phase of this modulation is such that y(t0)=1. % % N : number of points. % FNORM : normalised frequency. (default: 0.25) % T0 : time center. (default: round(N/2)) % Y : signal. % IFLAW : instantaneous frequency law (optional). % frecventa purtatoarei este 0.05 [carrier,IFLAW]=fmconst(128,0.05,64); z=amplitude.*carrier; signal=real(z); figure(1); plot(amplitude); figure(2); plot(real(carrier)); figure(3); plot(signal); % Calculul reprezentarii timp+frecventa de tipul Wigner-Ville %TFRWV Wigner-Ville time-frequency distribution. % [TFR,T,F]=TFRWV(X,T,N,TRACE) computes the Wigner-Ville distribution % of a discrete-time signal X, % or the cross Wigner-Ville representation between two signals. % X : signal if auto-WV, or [X1,X2] if cross-WV. % T : time instant(s) (default : 1:length(X)). % N : number of frequency bins (default : length(X)). % TRACE : if nonzero, the progression of the algorithm is shown

% (default : 0). % TFR : time-frequency representation. When called without % output arguments, TFRWV runs TFRQVIEW. % F : vector of normalized frequencies. % Example : % sig=fmlin(128,0.1,0.4); tfrwv(sig); tfrWiVi=tfrwv(signal); figure(4); %Reprezentare grafica bidimensionala %mesh(abs(tfrWiVi)); mesh(tfrWiVi); În urma rulării sale se obţin rezultatele prezentate în figura 1.4.2.


c) Forma de undă a semnalului de analizat; d) Reprezentarea timp- frecvenţă de tip Wigner-Ville a semnalului de analizat.

Comparând figurile 1.2.3 şi 1.4.2 se constată identitatea componentelor a), b) şi c). În figura 1.4.2 d) se vede reprezentarea timp-frecvenţă de tip Wigner-Ville a semnalului cu forma de undă reprezentată în figura 1.4.2 c). Se observă cele două Gaussiene centrate pe pulsaţiile 0ω şi 0−ω . De asemenea pot fi observaţi şi termenii de

interferenţă de forma 2

20cos 2

t e

ω−αω care au amplitudini mai mari şi frecvenţe de

oscilaţii mai mari decât cele două componente centrate pe pulsaţiile 0ω şi 0−ω . În consecinţă, rezultatele obţinute în relaţia (79) sunt corecte. În figura următoare se compară pătratul modulului reprezentării timp-frecvenţă de tip Gabor (figura 1.2.3. d)) şi reprezentarea timp-frecvenţă de tip Wigner-Ville (figura 1.4.2.d)) ale semnalului considerat.

Figura 2.4.2. Pătratul modulului reprezentării timp-frecvenţă de tip Gabor (stânga) şi reprezentarea timp-frecvenţă de tip Wigner-Ville (dreapta) ale semnalului modulat în amplitudine cu modulaţie de produs considerat în acest exemplu. Analizând ultima figură se constată că termenii de interferenţă sunt mai bine separaţi atât din punct de vedere al formei cât şi din punct de vedere al frecvenţelor în cadrul reprezentării timp-frecvenţă de tip Wigner-Ville decât în cazul pătratului modulului reprezentării timp-frecvenţă de tip Gabor. În figurile următoare se prezintă cîteva variante rotite ale figurii 1.4.2.d) pentru a evidenţia comportamentele în timp şi în frecvenţă ale reprezentării de tip Wigner-Ville. Analizând figura 3.4.2, în care este aratată o vedere a reprezentării timp-frecvenţă paralelă cu axa timpului, se constată că lizibilitatea reprezentării este afectată de componenta de interferenţă, care maschează amplitudinea instantanee a semnalului modulat în amplitudine. Se remarcă caracterul oscilant al componentei de interferenţă şi faptul că amplitudinea sa este mai mare decât amplitudinea Gaussienei. După o nouă rotire a reprezentării timp-frecvenţă, se obţine figura 4.4.2, în care este pus în evidenţă comportamentul în domeniul frecvenţă al acesteia. Pe lângă cele două benzi laterale constituite din Gaussienele centrate pe pulsaţiile 0ω şi 0−ω în figura 4.4.2 pot fi observate şi cele două componente de interferenţă, a căror amplitudine depăşeşte amplitudinile benzilor laterale. În sfârşit, în figura 5.4.2 este aratată vederea de sus a reprezentării timp-frecvenţă de tip Wigner-Ville a semnalului modulat în amplitudine analizat în acest exemplu. Se constată încă odată că această vedere poate fi utilizată pentru estimarea frecvenţei instantanee a semnalului analizat. Şi în acest caz poate fi apreciat caracterul perturbator al componentei de interferenţă.

Figura 3.4.2. Comportarea în domeniul timp a reprezentării timp-frecvenţă de tip Wigner-Ville a semnalului modulat în amplitudine din acest exemplu. Se evidenţiază amplitudinea instantanee a

semnalului care are un aspect Gaussian şi componenta de interferenţă care are un caracter oscilant.

Figura 4.4.2. Comportarea în domeniul frecvenţă a reprezentării timp-frecvenţă de tip Wigner-Ville a

semnalului modulat în amplitudine din acest exemplu. Se evidenţiază benzile laterale ale semnalului care au un aspect Gaussian şi componenta de interferenţă care are amplitudine mai mare.

Figura 5.4.2. Vederea de sus a reprezentării timp-frecvenţă de tip Wigner-Ville a semnalului modulat în

amplitudine din acest exemplu. Se evidenţiază legea de variaţie a frecvenţei instantanee a semnalului considerat. De asemenea se poate observa şi efectul perturbator al componentei de interferenţă la

extremităţile reprezentării.

Bibliografie capitol 4 [1] P. Flandrin. Representation temps-fréquence. Hermes, 1993.

Capitolul 5

REPREZENTAREA TIMP-FRECVENŢĂ DE TIPUL "WAVELET"

Admiţând că semnalul nestaţionar ( )tx este descris printr-o succesiune de semnale de durată limitată, dintre care primele sunt de durată mare şi cu viteză de variaţie redusă iar ultimele sunt scurte şi cu variaţie rapidă, ar fi util ca acest semnal să fie prelucrat cu ajutorul unei reprezentări timp-frecvenţă care să folosească o fereastră temporală lungă la începutul analizei şi scurtă la sfârşit. O fereastră temporală de acest fel este funcţia wavelet: ( ) ( )( ) tss w −τψ=τ unde funcţia ( )ψ τ se numeşte "mother wavelets" iar s este un parametru numit factor de scară care ţine seama de durata semnalului de analizat. O reprezentare bidimensională a semnalului ( )tx , care foloseşte o astfel de fereastră este transformarea “wavelet” continuă:

( ) ( ) ( )( ) τ−τψτ∫∞

∞− dts x s = tsCWT

x , (80)

Aceasta este o reprezentare de tipul timp-factor de scară.

Dacă se consideră că parametrul s este un raport de pulsaţii: 0ω

ωs = , ωo

fiind pulsaţia centrală a filtrului trece bandă cu răspunsul la impuls ( )τψ atunci transformarea “wavelet” devine o reprezentare timp-frecvenţă adaptivă:

( ) ( ) ( ) τ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−τ

ωωψτ

ωω=ω ∫

∞

∞− dt x tTF

CWTx

00, (81)

5.1. EXPRIMĂRI ALTERNATIVE ALE REPREZENTĂRII DE TIP “WAVELET”

Folosind notaţia: ( ) ( )τψτψ s s= s se observă că transformarea "wavelet" poate fi exprimată cu ajutorul unui produs scalar, pentru fiecare valoare a lui s:

( ) ( ) ( ) tx =tsCWT sx −τψτ ,, De obicei funcţia ( )τψ reprezintă răspunsul la impuls al unui filtru trece-bandă. Dacă funcţia ( )τψ este reală, ultima relaţie devine: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t = t ; t t = xtsCWT sssx −ψψψ∗ ∨∨, Deci pentru fiecare valoare pozitivă a lui s, transformarea "wavelet" a semnalului ( )tx este răspunsul sistemului liniar şi invariant în timp, cu răspunsul la impuls ( )ts

∨ψ , la semnalul ( )tx . Acest sistem are răspunsul în frecvenţă:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω−ψωψω−ψωψ∨

st

s-ststt ss F = F = F= F

1

Deci pentru localizarea în timp a semnalului ( )tx , în cazul transformării “wavelet”, este responsabilă fereastra temporală ( )tsψ iar pentru localizarea în frecvenţă,

fereastra ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω−ψ

st F . Durata ferestrei temporale este:

( )∫∞

∞−

σψσ

= = 2

222

22 1

sduuu

st

t

unde cu σt s-a notat durata ferestrei temporale ( )τψ , care este o constantă. În consecinţă localizarea temporală a semnalului ( )tx depinde de parametrul s. Banda ferestrei frecvenţiale este:

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞

∞−

∞

∞−

∨ω ψωωψωσ

tF = F = duuusdts

222222

sau: 222 σσ ωω s = unde s-a notat cu σω banda ferestrei frecvenţiale ( ) ( )ωψ F t . În consecinţă şi localizarea frecvenţială a semnalului ( )tx , realizată de transformarea “wavelet” depinde de parametrul s. Se constată că localizarea temporală se înrăutăţeşte cu creşterea lui s şi că localizarea frecvenţială se înbunătăţeşte cu creşterea lui s. Se constată de asemenea că: 2222 σσσ⋅σ ωω tt =

În consecinţă, indiferent de valoarea lui s, localizarea în planul timp-frecvenţă realizată de fereastra ( )τψs este identică cu cea realizată de fereastra "generatoare"

( )τψ . De aici rezultă superioritatea reprezentării timp-frecvenţă de tipul “wavelet” asupra celorlalte reprezentări timp-frecvenţă la prelucrarea semnalelor care pot fi descompuse într-o succesiune de semnale de durată limitată, cu viteza de variaţie tot mai mare şi cu durata tot mai scurtă odată cu creşterea timpului. Dacă frecvenţa centrală a filtrului trece bandă cu răspunsul la impuls ( )tψ este ωo , atunci, având în vedere legătura dintre răspunsurile în frecvenţă ale celor două filtre,

( ) ( ) ( ) ( )ss

sss

F = F 0

01 ωτψωτψ

rezultă că: 00 ωω = ss . De aceea se poate scrie:

Qs

= = 00 ω

σωσ ωω

Rezultă că toate filtrele trece-bandă cu răspunsurile în frecvenţă ( ) ( )ωψ F ts au acelaşi factor de calitate Q, indiferent de s.

5.2 PROPRIETĂŢILE REPREZENTĂRII TIMP-FRECVENŢĂ DE TIP "WAVELET"

Având în vedere exprimarea acestei reprezentări timp-frecvenţă ca şi produs de convoluţie rezultă că reprezentarea timp-frecvenţă de tip "wavelet" este liniară. Ea nu reprezintă o densitate spectrotemporală de energie şi nu are proprietăţi marginale corecte. La fel ca şi în cazul reprezentării timp-frecvenţă de tip transformare Fourier scurtă şi în cazul reprezentării timp-frecvenţă de tip “wavelet” prin ridicarea modulului la pătrat se obţine o nouă reprezentare timp-frecvenţă:

( ) ( )2ωω , = , tTFtTF CWT

xScx

numită scalogramă. Această reprezentare timp-frecvenţă este biliniară (la fel ca şi spectrograma). Scalograma este o densitate spectrotemporală de energie. De fapt, în [1], este demonstrată relaţia:

( ) ( )[ ] *, yxCdt dtTFtTF*CWT

yCWTx ψ

∞

∞−ωωω∫ = , ,

(82)

unde constanta ψC se calculează cu relaţia:

( )

∫∞

∞−ψ

ψ

= duuu

C2

(83)

De aceea este necesar ca funcţia generatoare ( )τψ să îndeplinească condiţia:

( )

∞ψ

∫∞

∞− <

du

uu 2

(83')

Dacă semnalele x şi y se consideră identice atunci relaţia (82) devine:

( ) xCWTx ECddtt,TF ⋅ωω ψ

∞

∞−

∞

∞−∫ ∫ =

2 (84)

Se poate deci afirma că ( )2ω ,tTF CWT

x reprezintă o densitate spectrotemporală de

energie. Nici scalograma nu are proprietăţi marginale corecte. În schimb se constată că scalograma este reală şi pozitivă pentru orice punct din planul timp-frecvenţă. Din păcate reprezentarea timp-frecvenţă de tip "wavelet" nu are aceeaşi proprietate. Conform [2] reprezentarea timp-factor de scară de tip "wavelet" este inversabilă fiind valabilă relaţia:

( ) ( ) ( )∫ ∫∞

∞−

∞

∞−ψ−ψ

=t ds duutusCWT

Cx sx ,1 (85)

Scalograma, în schimb, nu este inversabilă. Fie: ( ) ( )00 tt = xtxt − Se determină legătura dintre reprezentările timp-frecvenţă de tip “wavelet” ale semnalelor ( )tx şi ( )txt0 . Având în vedere că reprezentarea timp-frecvenţă de tip “wavelet” se poate exprima printr-o operaţie de convoluţie care este invariantă la translaţii rezultă că se poate scrie:

( )ω−ω ,0ttTFt,TF CWTx

CWTx ot

= ) (

Deci această reprezentare timp-frecvenţă este invariantă la translaţii în timp. În consecinţă şi scalograma are această proprietate. Din păcate cele două reprezentări nu sunt invariante şi în domeniul frecvenţă. Deci ele nu au proprietatea P6 din paragraful 1.2. În schimb se poate afirma, [3], că acestea au proprietatea de invarianţă la dilatări (P7 în paragraful 1.2). Celelalte proprietăţi utile pentru o reprezentare timp-frecvenţă, propuse în paragraful 1.2, nu sunt verificate nici de către reprezentarea timp-frecvenţă de tip “wavelet” nici de către scalogramă. În schimb alte proprietăţi interesante ale acestor reprezentări sunt prezentate în [2].

5.3 EXEMPLU

Fie semnalul de analizat: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )TtTttpetptx TT

tj −σ−+σω = ; = 1 Vom considera, pentru comoditate, că 10 = ω . În acest caz se obţine:

( ) ( )( ) τ−τωψτωω τω∞

∞−∫ dtptTF jCWT

x T e )( =

1,

sau, cu schimbare de variabilă: ( )= ut −τω rezultă:

( ) ( )

( ) ( ) + F e

= e e

=

= + = ) (

* -

-

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ωω

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ωψ

ωψ

ω

ψ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ωωω

ωωω

ωω−

ωωω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ωω∞

∞−

−

∫

∫

1

1

111

1

tupuduu

du eutupt,TF

T

T

tjtT

tT

ujtj

tujCWTx

Prin particularizarea funcţiei ψ(u), analiza din acest exemplu poate fi încheiată. Se poate totuşi constata că variabilele au fost separate. Comportarea în domeniul timp este descrisă de exponenţiala complexă tje 1ω . Comportarea în

domeniul frecvenţă este descrisă de transformata Fourier a produsului ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ωψ tupu T +

împărţită la ω . În tool-box-ul tftb există o funcţie de calcul a scalogramei. Această funcţie permite calculul scalogramei pentru două funcţii mother wavelets, Morlet şi pălărie mexicană. Programul conceput pentru ilustrarea acestui exemplu este: %Explcap5 % Generarea semnalului de analizat % AMRECT Generate rectangular amplitude modulation. % Y = AMRECT(N,T0,T) generates a rectangular amplitude modulation % centered on a time T0, and with a spread proportional to T. % This modulation is scaled such that Y(T0)=1. % N : number of points. % T0 : time center (default : N/2). % T : time spreading (default : 2*sqrt(N)). % Y : signal. % Examples: % z=amrect(160);plot(z); % z=amrect(160,90,40);plot(z); % z=amrect(160,180,70);plot(z); amplitude=amrect(128); %FMCONST Signal with constant frequency modulation. % [Y,IFLAW] = FMCONST(N,FNORM,T0) generates a frequency modulation % with a constant frequency fnorm. % The phase of this modulation is such that y(t0)=1. % % N : number of points. % FNORM : normalised frequency. (default: 0.25) % T0 : time center. (default: round(N/2)) % Y : signal. % IFLAW : instantaneous frequency law (optional). % frecventa purtatoarei este 0.05 [carrier,IFLAW]=fmconst(128,0.1,64); z=amplitude.*carrier; signal=real(z); % Calculul reprezentarii timp-frecventa de tipul scalograma % TFRSCALO Scalogram, for Morlet or Mexican hat wavelet. %[TFR,T,F,WT]=TFRSCALO(X,T,WAVE,FMIN,FMAX,N,TRACE) computes %the scalogram (squared magnitude of a continuous wavelet %transform). %X : signal (in time) to be analyzed (Nx=length(X)). Its % analytic version is used (z=hilbert(real(X))). %T : time instant(s) on which the TFR is evaluated % (default : 1:Nx). %WAVE : half length of the Morlet analyzing wavelet at coarsest % scale. If WAVE = 0, the Mexican hat is used. WAVE can also be

% a vector containing the time samples of any bandpass % function, at any scale. (default : sqrt(Nx)). %FMIN,FMAX : respectively lower and upper frequency bounds of % the analyzed signal. These parameters fix the equivalent % frequency bandwidth (expressed in Hz). When unspecified, you % have to enter them at the command line from the plot of the % spectrum. FMIN and FMAX must be >0 and <=0.5. %N : number of analyzed voices. %TRACE : if nonzero, the progression of the algorithm is shown % (default : 0). %TFR : time-frequency matrix containing the coefficients of the % decomposition (abscissa correspond to uniformly sampled time, % and ordinates correspond to a geometrically sampled % frequency). First row of TFR corresponds to the lowest % frequency. When called without output arguments, TFRSCALO % runs TFRQVIEW. %F : vector of normalized frequencies (geometrically sampled % from FMIN to FMAX). %WT : Complex matrix containing the corresponding wavelet % transform. The scalogram TFR is the square modulus of WT. %Example : % sig=altes(64,0.1,0.45); tfrscalo(sig); %scalogram=tfrscalo(signal,1:128,0,0.01,0.25,0,0); scalogram=tfrscalo(signal,1:128,0); scalogram1=tfrscalo(signal,1:128,sqrt(128)); figure(2); plot(signal); figure(3); %Reprezentare grafica bidimensionala %mesh(abs(tfrWiVi)); mesh(scalogram); figure(4); mesh(scalogram1); În figurile următoare se prezintă rezultatele obţinute în urma rulării acestui program. În figura 1.5.3 este prezentat semnalul supus analizei. În figura 2.5.3 se face o comparaţie între scalogramele semnalului considerat calculate folosind funcţia mother wavelets de tipul pălărie mexicană respectiv funcţia mother wavelets de tip Morlet. Se constată mai bună localizare în timp asigurată de funcţia mother wavelets de tip pălărie mexicană şi mai buna localizare în frecvenţă asigurată de funcţia mother wavelets de tip Morlet. În figura 3.5.3 se analizează comportarea în domeniul timp a reprezentării timp-frecvenţă de tip scalogramă a semnalului considerat, calculată cu ajutorul celor două tipuri de funcţie mother wavelets. Se observă că folosind funcţia mother wavelets de tip pălărie mexicană se obţine o localizare în domeniul timp

Figura 1.5.3. a) Forma de undă a semnalului de analizat, b) Densitatea sa spectrală de energie.

Figura 2.5.3. Reprezentarea timp-frecvenţă de tip scalogramă a semnalului considerat calculată cu

ajutorul funcţiei mother wavelets de tip pălărie mexicană a) şi Morlet b).

Figura 3.5.3. Vedere de pe o direcţie paralelă cu axa frecvenţelor a scalogramei semnalului considerat

calculată cu funcţia mother wavelets de tip pălărie mexicană a) respectiv Morlet b). superioară.

În figura 4.5.3 se analizează comportarea în domeniul frecvenţă a reprezentării timp-frecvenţă de tip scalogramă a semnalului considerat, calculată cu ajutorul celor două tipuri de funcţie mother wavelets.

Figura 4.5.3. Vedere de pe o direcţie paralelă cu axa timpului a scalogramei semnalului considerat

calculată cu funcţia mother wavelets de tip pălărie mexicană a) respectiv Morlet b).

Se observă că folosind funcţia mother wavelets de tip Morlet se obţine o localizare în domeniul frecvenţă superioară. În sfârşit, în figura 5.5.3. se prezintă vederea de sus a scalogramei semnalului considerat calculată, cu cele două funcţii de tipul mother wavelets.

Figura 5.5.3. Vedere de sus a scalogramei semnalului considerat calculată cu funcţia mother wavelets de

tip pălărie mexicană a) respectiv Morlet b).

Se constată că scalograma calculată folosind funcţia mother wavelets de tip Morlet se concentrează mai mult pe legea de variaţie a frecvenţei instantanee a semnalului considerat decât scalograma calculată folosind funcţia mother wavelets de tip pălărie mexicană şi că indiferent de funcţia mother wavelets folosită proiecţia scalogramei pe planul timp-frecvenţă nu poate conduce la un estimator al frecvenţei instantanee destul de precis în cazul în care aceasta este constantă.

Pălăria mexicană este derivata de ordinul II a unei Gaussiene, normată în aşa fel încât să aibă energie unitară:

( ) ( ) 224 11

32 2

e

= τ−τ−π

τψmh .

Dacă se roteşte graficul funcţiei ( )mhψ τ în jurul axei sale de simetrie se obţine o suprafaţă care seamănă cu o pălărie mexicană. Funcţia mother wavelets de tip Morlet are expresia analitică:

( )2

2 24

20

0 = jM

Mc

e e eω τ− −ω τ

⎛ ⎞⎜ ⎟ψ τ − ⋅⎜ ⎟π ⎝ ⎠

(137)

unde constanta de normalizare 2

2 00

34

1

1 2Mc

e e− ω−ω

=

+ −

.

În practică se alege: 50 ≥ω ,

pentru a se asigura o localizare temporală suficient de bună. Fiind vorba despre o funcţie complexă rezultatul aplicării reprezentării timp-frecvenţă de tipul "wavelet" bazată pe utilizarea acestei funcţii unui semnal real va fi de asemenea o funcţie complexă. În figura următoare se compară formele de undă ale funcţiilor mother wavelets de tip pălărie mexicană şi Morlet.

Figura 6.5.3. Formele de undă ale funcţiilor mother wavelets de tip pălărie mexicană a) respectiv Morlet

b) (sus partea reală şi jos partea imaginară). Bibliografie [1] P. Flandrin. Representation temps-fréquence. Hermes, 1993. [2] I. Daubechies. Ten Lectures on Wavelets. SIAM, Philadelphia 1992.

[3] I. Daubechies. Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets. Comm. Pure Appl. Math., No. 41, pp.909-996, 1988.

Capitolul 6

GENERALIZĂRI

În capitolele anterioare au fost introduse câteva reprezentări timp-frecvenţă. Fiecare dintre acestea este de fapt un exemplu pentru câte o clasă de reprezentări timp-frecvenţă. Rolul acestui capitol este de a prezenta aceste clase, prin generalizarea exemplelor din capitolele anterioare. Toate reprezentările timp-frecvenţă prezentate până acum se aplică semnalelor de energie finită, fiind funcţionale definite pe ( )RL2 . Dacă acest spaţiu se înlocuieşte cu un spaţiu mai cuprinzător atunci se obţin reprezentări timp-frecvenţă generalizate. În sfârşit, pot fi introduse conexiuni între teoria reprezentărilor timp-frecvenţă şi teoria semnalelor aleatoare. După cum s-a constatat există două tipuri de reprezentări timp-frecvenţă, cele liniare, ca de exemplu reprezentarea timp-frecvenţă de tip “wavelet” şi cele biliniare, ca de exemplu reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville. Pentru început vor fi prezentate generalizări ale reprezentărilor timp-frecvenţă liniare.

6.1 CAZUL REPREZENTĂRILOR LINIARE

În continuare se va utiliza următoarea definiţie pentru o reprezentare timp-frecvenţă liniară. Definiţie. Dacă sunt satisfăcute ipotezele: 1) CA, K : RRA n →×⊂ ;

2) ( ) ( ), a K A, a τ→τ∈∀ este măsurabilă şi ( ) A , a=d, aK

∈ττ∫∞

∞−12

3) ( ) ( ) ( )ωτ→∈ω∀ , aK R, a F este măsurabilă şi ( ) ( ) da= C, aKA ∞<ωτ∫ F 2 atunci se numeşte reprezentarea timp-frecvenţă a semnalului de energie finită ( )τx , funcţia:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∞

∞−τω−ττω−ττω→×

*xx dtKx=t, , K x=t, C, TFR:ATF , (86)

În funcţie de expresia nucleului ( )x, yK se obţin expresiile unor reprezentări timp-frecvenţă liniare diferite. Dacă expresia nucleului este:

( ) ( ) τττ j a e = w, aK1 , cu ( )∫∞

∞−ττ

, A = R = dw 12 (87)

funcţie care verifică ipotezele 1), 2) şi 3) atunci se obţine reprezentarea timp-frecvenţă:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ω⋅τ−ττω ω−τω−∞

∞−∫ t, TF = e d et wx = t, TF STFT

x tj t j *

x1

Cu alte cuvinte, pentru această alegere a nucleului se obţine reprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă. Dacă expresia nucleului este:

( ) ( )τψ −− 112 aa=τ,aK , cu 2( ) 1, - 0

d A R∞

−∞

ψ τ τ = =∫ şi ( ) ( ) 00 = F τψ (88)

funcţie care verifică ipotezele 1), 2) şi 3) atunci se obţine reprezentarea timp-factor de

scară ( )a

, s = t, sCWTx1 , respectiv timp-frecvenţă:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 * CWTTF t, = x t d = TF t, , s = x x

∞ω τ ω ψ ω τ− τ ω ω∫

− ∞

Pentru stabilirea ultimei egalităţi s-a folosit relaţia (81) în care s-a considerat că ωo are valoarea 1. Deoarece, alegând nucleele pe baza relaţiilor (87) şi (88), se obţin două reprezentări timp-frecvenţă remarcabile, se poate afirma că definiţia de la începutul acestui paragraf este consistentă. O reprezentare timp-frecvenţă definită astfel are două proprietăţi remarcabile: P1. Pentru orice cuplu de semnale de energie finită ( )tx1 şi ( )tx2 , se poate scrie:

( ) ( ) ( ) ( ) , xx da db = ca, bTF a, b TFL

RA*

xx 221 21∫ × (89)

unde c este o constantă, şi : P2. Spaţiul KH obţinut aplicând operatorul TF oricărui semnal de energie finită: ( ) RL = TF H K

2 este un spaţiu Hilbert cu nucleu reproducător, [1]. Cu alte cuvinte are loc o relaţie de tipul:

( ) ( ) ( ) da' db'b'a, b, a', K a', b' TF c

= a, bTF RA ff ∫ ×1 (90)

unde: ( ) ( ) ( )a', b'a, b , KK = b'a, b, a', K .

Proprietăţile obţinute prin particularizările proprietăţii P1 conform relaţiilor (87) şi (88) au fost deja prezentate în capitolele 2 şi 5. Proprietăţile obţinute prin particularizarea proprietăţii P2 conform relaţiilor (87) şi (88) sunt prezentate în [2].

Relaţia (87) arată că nucleul ( )x, aK1 se obţine prin modularea de amplitudine a purtătoarei xaje cu fereastra temporală ( )xw . De aceea reprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă este invariantă la translaţii în frecvenţă. Relaţia (88) arată că nucleul ( )x, aK2 se obţine prin scalarea funcţiei generatoare ψ. De aceea reprezentarea timp-frecvenţă de tip "wavelet" este invariantă la scalare. De fapt se spune că cele două reprezentări timp-frecvenţă sunt cazuri particulare de reprezentări de grup de pătrat integral. Reprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă corespunde grupului Weyl-Heisenberg (caracterizat de invarianţa la translaţii) iar reprezentarea timp-frecvenţă de tip “wavelet” corespunde grupului ax + b [3]. O reprezentare timp-frecvenţă liniară, invariantă atât la translaţii în planul timp-frecvenţă cât şi la scalare, ar putea fi aceea al cărei nucleu ar reuni proprietăţile nucleelor ( )x, aK1 şi ( )x, bK2 . Nucleul unei astfel de reprezentări ar putea fi:

( ) ( ) ( ) ( ) j b x exa a = x, b Kx, a = Kx, a, bK 11213

−− ψ (91) Se poate verifica că acest nucleu satisface ipotezele definiţiei de la începutul acestui paragraf pentru alegerea 0A = R - . Reprezentarea timp-frecvenţă corespunzătoare a fost utilizată în [4]. Această nouă reprezentare timp-frecvenţă are expresia:

( ) ( ) ( )( ) τ−τωτ

ωω

∞

∞−τ∫ d etsf s= ,st, TF

-j

*genf

0 (92)

şi are proprietăţile P1 şi P2 enunţate în acest paragraf. Ea este invariantă la translaţii în planul timp-frecvenţă precum şi la scalări în timp. În continuare se stabileşte o formulă alternativă de calcul al reprezentărilor timp-frecvenţă liniare bazată pe dezvoltarea în serie a acestor funcţii. Se consideră în acest scop că mulţimea de funcţii ( ) Zkk tαB = ∈

este o bază ortonormală a spaţiului Hilbert ( )RL2 . Orice semnal de energie finită se poate exprima în forma: ( ) ( ) ( ) ( ) tatx = ; ct αc = tx kk

kkk ,∑

De aceea reprezentarea timp-frecvenţă generalizată (definită la începutul acestui paragraf) a semnalului ( )tx poate fi pusă în forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, , , ,

, ,

x k kk

k k k αk k

k

TF t, = x K t = c a K t =

= c a K t = c TF t,

ω τ τ − ω τ τ − ω

τ τ − ω ω

∑

∑ ∑ (93)

Deci reprezentările timp-frecvenţă liniare ale unui semnal de energie finită pot fi calculate pe baza reprezentărilor timp-frecvenţă ale elementelor bazei B. Dacă funcţiile ( )tαk se obţin prin translatarea unei funcţii generatoare: ( ) ( )kk tt = αtα − atunci relaţia (93) se mai scrie: ( ) ( )ω−ω ∑ , tt TFc = t, TF kα

kkx (94)

şi pentru cunoaşterea reprezentării timp-frecvenţă a semnalului ( )tx este suficientă doar cunoaşterea coeficienţilor ck şi a reprezentării timp-frecvenţă a semnalului ( )tα . Reprezentarea timp-frecvenţă a semnalului x poate fi calculată şi mai uşor dacă funcţia

( )αTF t, ω are un suport compact în planul timp-frecvenţă, I, şi dacă momentele de timp tk sunt astfel alese încât intervalele kI şi 1 + kI , suporturile funcţiilor ( )ω− , ttTF kα şi

( )ω− − , ttTF kα 1 , să fie disjuncte. Această condiţie este satisfăcută dacă funcţiile ( )tαk au o bună localizare în planul timp-frecvenţă. Astfel de funcţii se numesc atunci atomi timp-frecvenţă [5]. Fie:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

222

1T, T= LH

O bază ortonormală a acestui spaţiu este Zk

tT j k

eT

= B

∈

π

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ 2

11 . Orice element al

lui H1 se poate descompune în serie Fourier [6] în forma:

( ) ∑π

k

tT j k

k ec = tx2

(95)

De aceea orice reprezentare timp-frecvenţă liniară a acestui semnal poate fi scrisă în forma: ( )

( )( )∑ ωω

τ

πk

p t

T j k

e

kx t, TFc = t, TF

T2

2

Această exprimare nu este însă cea mai avantajoasă, deoarece deşi exponenţialele complexe au o localizare perfectă în frecvenţă ele sunt complet nelocalizate în timp. La fel ca şi în cazul dezvoltării în serie Fourier (în relaţia (95) semnalul ( )tx poate fi

prelungit prin periodicitate în exteriorul intervalului ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

22TT

, , ieşind din spaţiul

H1) şi funcţia ( ) ωt, TFx (nulă în exteriorul intervalului ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

22TT

, ) poate fi prelungită

prin periodicitate după variabila t, cu perioada T. În acest mod se poate vorbi despre

reprezentări timp-frecvenţă liniare ale semnalelor periodice. Acestea vor fi funcţii periodice de aceaşi perioadă T după variabila t. Fie de exemplu semnalul periodic:

( ) tT = tx π2cos

Revenind la relaţia (86) se constată că: ( ) ( ) ( )ω−∗ω t, K t = xt, TF *

x (96) Deci această reprezentare timp-frecvenţă liniară reprezintă răspunsul sistemului liniar şi invariant în timp cu răspunsul la impuls ( )ω− t, K* la semnalul ( )tx . Dar după cum se ştie, [6], răspunsul sistemului cu răspunsul la impuls ( )th la semnalul t ωocos este semnalul: ( ) ( ) ( ) ( )( )000 argcos ωωω th t + th y(t) = FF În consecinţă reprezentarea timp-frecvenţă liniară generalizată a semnalului cosinusoidal este: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )000 argcos ωωωω ω−ω− t,*t, *

x K t+KF=t, TF F

Se constată periodicitatea sa după variabila t, cu perioada T. În sfârşit, ţinând seama de faptul că definiţia reprezentării timp-frecvenţă liniară generalizată se bazează pe operaţia de convoluţie în timp (conform relaţiei (96)) şi că această operaţie este definită şi pentru distribuţii, rezultă că se pot calcula şi reprezentări timp-frecvenţă liniare ale distribuţiilor. Astfel reprezentarea timp-frecvenţă liniară generalizată a distribuţiei Dirac este: ( ) ( ) ( ) ( )ωω−∗δωδ ,0* = Kt,* K t = t, TF În consecinţă se poate vorbi despre reprezentări timp-frecvenţă sau timp-factor de scară definite pe spaţiul distribuţiilor temperate. Problema reprezentărilor timp-frecvenţă liniare este însă interpretabilitatea lor fizică. În capitolele anterioare au fost prezentate şi reprezentări timp-frecvenţă biliniare cum ar fi reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine. Reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville este o pseudodensitate de energie. Ea nu este o densitate spectrală de energie deoarece nu este pozitiv definită. De fapt reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville este prototipul unei întregi clase de reprezentări timp-frecvenţă, aşa numita clasă a lui Cohen.

6.2 CAZUL REPREZENTĂRILOR BILINIARE. CLASA LUI COHEN

Se studiază reprezentările timp-frecvenţă sau timp-factor de scară care pot fi puse în forma unei funcţionale biliniare.

( ) ( ) ( ) ( )∫∞

∞−∫∞

∞−λλ

du du'u* xu xu, u', t, K = t, xTFc ' (97)

unde λ reprezintă o pulsaţie ( )ω sau un factor de scară ( )s , iar K reprezintă nucleul tranformării. În funcţie de expresia şi proprietăţile nucleului ales se obţine o reprezentare bidimensională cu anumite proprietăţi. Dacă se impun constrângeri reprezentării bidimensionale rezultă constrângeri asupra nucleului său. Printre aceste constrângeri este firesc să figureze proprietăţi de invarianţă la diferite transformări ale reprezentării bidimensionale. Dacă este vorba despre o anumită transformare T efectuată asupra semnalului de analizat ( ) ( )R L tx 2∈ :

( ) ( ) tx T tx T⎯→⎯ (98) invarianţa la această transformare se exprimă prin condiţia: ( ) ( ) ωω t, TF = Tt, TF xcxTc (99) Este firesc să se impună invarianţa reprezentărilor bidimensionale la grupul de transformări asociate la cele două tipuri de abordare: timp-frecvenţă respectiv timp-factor de scară. Se va arăta în continuare cum aceste condiţii de invarianţă generează clase de reprezentări bidimensionale biliniare de tipul Cohen.

6.2.1 CAZUL REPREZENTĂRILOR TIMP-FRECVENŢĂ

Se va impune invarianţa la translaţii în planul timp-frecvenţă: ( ) ( )0000

ω−ω−ωω

, ttTF= t, TF xc t fxc t f ,t (100)

unde 00 ω,tx este semnalul:

( ) ( ) tj ,t ett = xtx 0

00 0ω

ω − Ţinând seama de relaţia (97), condiţia (100) impune următoarea condiţie asupra nucleelor: ( ) ( ) ( ) , tu, u', t = K e , t, , u'+tu+tK u'uj

0000 0 ω−ω−ω −ω sau, fixând: 0t = t şi 0ωω =

( ) ( ) ( )00, u, u', = K e t, u+t, u'+t,K u'u j −ωω adică: ( ) ( ) ( )u'uj e , t, t, u'u = K u, u', t, K −ω−−−ω 00 (101)

De aceea se poate scrie:

( ) dsd es xs+ x , , t, st+sK=t, TF j *xc t f τ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

−−τ

−ω τω−∞

∞−

∞

∞−∫ ∫ 22

0022

(102)

sau:

( ) ( ) ds s xs+ x , , t, st+sK=t, TF *xc t f ω

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

−−τ

−ω ∫∞

∞− 2200

22F

Dar:

( )

( ) ( )

0 02 2 2 2

1 0 0 .2 2 2 2 2

F

F F

*

*

K s t + , s t , , x s+ x s

= K s t + , s t , , x s+ x s

⎧ ⎫τ τ τ τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − − ω =⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫τ τ τ τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − ω ∗ − ω⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟π ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦

(103)

Trebuie observat că:

( ) ( )ωω⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ − s, = TFs xs+ x VW

x*

22F .

Cu notaţia: ( ) τ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

−τ

ω ωτ∞

∞−∫ d e, , , tt+K=t, TF j

K 0022

, relaţia (103) devine:

( )

( ) ( )

( ) ( ) du t, us TFs, u TF

=

du =u , , t, st+sK s, u TF

=

= s xs+ x , , t, st+sK

KVW

x

VWx

*

∫

∫

∞

∞−

−

∞

∞−

−

ω−−π

−ω⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

−−τ

−π

ω⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

−−τ

−

21

00222

1

2200

22

F

F

De aceea se poate scrie:

( ) ( ) ( ) du ds t, us TFs, u TF

=t, TF KVW

xxc t f ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

− ω−−π

ω21 (104)

sau explicitând reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville din integrand:

( ) ( ) dudsdesxs+xt,usTF=t,TF j *Kxc t f ∫ ∫ ∫

∞

∞−

τω−∞

∞−

∞

∞−τ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

ω−−π

ω222

1 (105)

Se face notaţia:

( ) ( ) ( ) ωωτ ωτ−∞

∞−

∞

∞−∫ ∫ dt d et, TF = u, f + u tj

K (106)

şi:

( ) ( ) ( ) dudsdu, fesxs+x=t,TF u s + u tj*xc t f ∫ ∫ ∫

∞

∞−

−ωτ−∞

∞−

∞

∞−ττ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

πω

2221 (107)

Aceasta este expresia generală a unei reprezentări timp-frecvenţă de tip Cohen. Se observă că prin specificarea funcţiei de parametrizare ( )τ,uf , se obţine un anumit membru al acestei clase. În următorul tabel se prezintă condiţiile pe care trebuie să le îndeplinească funcţia de parametrizare pentru ca reprezentarea timp-frecvenţă corespunzătoare să îndeplinească fiecare dintre proprietăţile din paragraful 1.2.

În tabelul 2.6.2.1 se prezintă câteva funcţii de parametrizare, expresiile reprezentărilor timp-frecvenţă din clasa lui Cohen asociate precum şi proprietăţile pe care le verifică aceste reprezentări. Se constată că numărul cel mai mare de proprietăţi utile le au reprezentările timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville şi Richaczek. Trebuie remarcat că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville are în plus şi calitatea de a fi reală. De aceea ea poate fi considerată prototipul clasei lui Cohen. Proprietatea

Condiţia asupra funcţiei de parametrizare

P1 ( ) 100 = , f P2 ( ) ( ) 100 = u, =f, τf P3 Această proprietate este satisfăcută doar de reprezentările timp-

frecvenţă de tipul modul la pătrat P4

( )( )2τ

τuj

= eu, f P5 ( ) 0 u, f ≠τ P6 Toate reprezentările timp-frecvenţă din clasa lui Cohen satisfac

această condiţie. P7

. ( ) ( ) k , , k

ku = f u, f ∀⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ττ

P8 .

( ) ( ) ( )'+u, = f 'u, f u, f ττττ P9

. ( ) ( ) ( )τττ u+u',= f u', f u, f

P10 .

( ) 1, = f τξ P11

( )

( ) 02

02

= d eu, f u

>

du = eu, f

> s

j

j u s

ττ−⇒ω

τ⇒τ

τω−∞

∞−

∞

∞−

∫

∫

P12 Nu există nici o funcţie de parametrizare care să facă posibilă verificarea acestei proprietăţi.

P13 Nu există nici o funcţie de parametrizare care să facă posibilă verificarea acestei proprietăţi.

Tabelul 1.6.2.1 Proprietăţi utile ale funcţiilor de parametrizare.

Mai trebuie observat că singura reprezentare timp-frecvenţă cauzală este cea de tipul Page-Levin şi că singura reprezentare timp-frecvenţă pozitivă din tabel este cea de tip spectrogramă. Trebuie remarcată diversitatea reprezentărilor timp-frecvenţă din clasa lui Cohen. De altfel aceste reprezentări timp-frecvenţă sunt subiectul unui număr impresionant de lucrări, dintre care se amintesc: [7-12].

Ultimele două prezintă alte generalizări ale noţiunii de reprezentare timp-frecvenţă biliniară.

( )τu, f Denumire ( )ωt, TFxc t f Proprietăţi verificate

1 Wigner-Ville τ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τ ωτ

∞

∞−∫ d et xt+x j

*22

P1, P2, P5, P6, P7, P8,

P9, P10, P11 . τ

e 2uj

Richaczek

( ) ( ) tj * e Xtx ω−ω

P1, P2, P5, P6, P7, P8,

P9, P10, P11 τ±

e 2uj

Page-

Levin ( ) ( )( )2

ds est sx t

sj ∫∞

∞−

ω−−±σ∂∂

P1, P2, P4, P5, P6, P7,

P11

τ

τ

u

u

2

2sin

Born- Jordan

τ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

τωτ−

∞

∞−

τ

τ−

∫ ∫ d edssxs+x

j

t+

t

*2

2

221

P1, P2, P6,

P7, P11

22

2

u

e⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

στ

−

Choi-

Williams

( )

τ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

τσ

ωτ−

∞

∞−

∞

∞−

τ

−σ−

∫ ∫

ds d e

s xs+x e

j

*ts

222

222

P1, P2, P5,

P6, P7

( )τ u,*FIwTF

Spectro-gramă ( ) ( )

2

ds ets wsx

sj *∫∞

∞−

ω−− P1, P3, P6,

P10

Tabelul 2.6.2.1 Exemple de reprezentări timp-frecvenţă aparţinând clasei lui Cohen.

6.2.2 CAZUL REPREZENTĂRILOR TIMP-FACTOR DE SCARĂ

Se va impune invarianţa la translaţii şi la dilatări în timp. Fie în acest scop semnalul:

( ) 00 0

00

1t , a

t tx t = x

aa⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

Invarianţa invocată mai sus revine la:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

00

0,00 a

a, a

tt TF = atTF xa t sxa t s ,at (108)

Trebuie remarcată legătura dintre variabilele s şi a (ambele introduse pentru a descrie factorul de scară):

a

s = 1

Ţinând seama de relaţia (97), cu λ = a , condiţia (108) impune următoarea condiţie asupra nucleelor:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

00

000000 a

a, a

ttu, u', = K , t, au' + t, au + ta K a

Fixând variabilele: 0t = t şi 0a = a ultima relaţie devine:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−− , ,

atu',

atu K a = au, u', t, K 101

De aceea expresia reprezentării timp-factor de scară biliniară generalizată este:

( ) ( ) ds dus, u TF, a ua

tsTS = t, aTF VWx

Kxa t s

−∞

∞−

∞

∞−∫ ∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − (109)

unde s-a notat:

( ) τ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

−τ

ω ωτ∞

∞−∫ d e,,, tt+K =t,TS j

K 10

22 (110)

Relaţia (109) reprezintă expresia generală a unei reprezentări timp-factor de scară afină. Cu notaţia:

( ) ( ) dt et, TS = u, g j u t

K

−∞

∞−∫ ωω (111)

relaţia (109) poate fi rescrisă în forma:

( ) ( )∫ ∫∞

∞−

−∞

∞−ω⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ω⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ωω

atj u

*xats dud eu+

a Xu

aXu, g

a =t, aTF

21

211 (112)

în care intervine funcţia de parametrizare ( )ωu, g . Aceasta clasă se mai numeşte şi clasa afină. O reprezentare remarcabilă a acestei clase este reprezentarea timp-factor de scară de tip scalogramă. Alte exemple de reprezentări timp-factor de scară afine, precum şi constrângerile impuse funcţiilor lor de parametrizare de diferite proprietăţi dorite sunt prezentate în [7]. Până aici s-a considerat că semnalul de analizat este de energie finită. De fapt şi reprezentările biliniare pot fi utilizate pentru analiza unor semnale care aparţin şi altor clase de semnale. Acest lucru se datorează faptului că aceste reprezentări pot fi privite ca şi transformate Fourier. Atât membrul drept al relaţiei (105) cât şi membrul drept al relaţiei (112) pot fi exprimate cu ajutorul transformatei Fourier. Dar după cum se ştie, [6], transformarea Fourier este definită pe clase mai largi de semnale. De aceea se poate vorbi despre reprezentări timp-frecvenţă sau timp-factor de scară ale semnalelor periodice sau ale distribuţiilor. De exemplu, se calculează în continuare reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville a semnalului periodic ( )tx , cu dezvoltarea în serie Fourier:

( ) ∑π

k

tT

j kk ec=tx

2

Se obţine:

( ) ( )

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ω

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ−∗ω

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

π

ω⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

ω−

2221

22

txt+x

=

=t xt+x = t, TF

*

*VWx

FF

F

Dar:

( ) =ec=t+x k

t+T

j k k

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ω

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

∑⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τπ

22

2FF

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ωδπ

ω⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∑

∑∑

π

τππ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τπ

Tk ec=

=eec=ec=

k

tT

jkk

k

T

j ktT

j kk

k

t+T

jkk

22

22

2

FF

şi:

( )

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ωπδω⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ω

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

−

∑ ∑

∑

π−τ

ππ−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ−

π−

Tkec=e ec=

=ec= t x

k k

tT

jk*kT

jktT

jk*k

k

tT

jk*k

*

2

2

22

22

F

FF

În consecinţă:

( ) ( )

( )( )

( ) .2

2

2

22

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+−ωδπ

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ωδ∗⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−δπω

π−

π−

π−

∑∑

∑∑

Tlkecc =

=T

l ec T

kω ec = t, TF

tT

lkj*l

kk

l

l

tT

jl*l

k

tT

jkk

VWx

S-a demonstrat în acest mod că reprezentarea timp-frecvenţă a semnalului periodic ( )tx este discretă în domeniul fecvenţă (distanţa între două componente succesive

fiind Tπ ) şi periodică de periodă T în domeniul timp.

Considerente similare pot fi făcute şi pentru celelalte reprezentări biliniare prezentate în acest capitol. Trebuie remarcat că prelungirea prin periodicitate în domeniul timp a semnalului analizat este o cale pentru discretizarea în domeniul frecvenţă a reprezentărilor timp-frecvenţă biliniare. Mai trebuie menţionat că pot fi construite şi alte clase de reprezentări biliniare prin obţinerea transformării Fourier bidimensionale a elementelor clasei lui Cohen respectiv elementelor clasei afine (a se vedea legătura dintre reprezentarea Wigner-Ville şi cea de tipul funcţie de incertitudine).

6.3 LEGĂTURA DINTRE TEORIA REPREZENTĂRILOR BIDIMENSIONALE ŞI TEORIA SEMNALELOR ALEATOARE

Pentru început se justifică această legătură. Fără îndoială că elementul comun

cel mai important pentru cele două teorii este noţiunea de nestaţionaritate. Această observaţie lasă loc speranţei ca să poată fi caracterizate semnalele nestaţionare aleatoare cu ajutorul reprezentărilot timp-frecvenţă. S-a văzut deja că deşi cadrul natural al reprezentărilor timp-frecvenţă este spaţiul semnalelor de energie finită se poate vorbi despre reprezentări timp-frecvenţă ale unor semnale care aparţin unor clase mai generale decât ( )RL2 . În cazul semnalelor deterministe semnificaţia unei reprezentări timp-frecvenţă era aceea de densitate spectrotemporală de energie. După cum se ştie realizările unui semnal aleator sunt semnale de energie infinită. De aceea se vor căuta reprezentări timp-frecvenţă care să poată fi interpretate fizic ca şi densităţi spectrotemporale de putere. Întâi de toate se vor identifica elementele din teoria semnalelor aleatoare care au fost deja utilizate în această lucrare.

Când au fost definite noţiunile de durată şi bandă ale unui semnal, cu scopul analizei localizării acestuia în planul timp-frecvenţă, au fost folosite formulele:

( ) ( ) ωωωστττσ ∫∫∞

∞−ω

∞

∞− d X = , d x =

t

222222

Aceste formule reprezintă momentele de ordinul II ale variabilelor aleatoare cu densităţile de probabilitate: ( )2τx respectiv ( ) 2 X ω . Se poate considera că şi relaţiile care descriu proprietăţile P1 şi P2 au fost împrumutate din teoria semnalelor aleatoare.

Într-adevăr, reprezentarea timp-frecvenţă: ( )x

xEt, TF

πω

2 poate fi privită ca şi

densitate de probabilitate bidimensională deoarece conform proprietăţii P1, are loc relaţia:

( ) 12

= dt dEt, TF

x

x ωπ

ω∫ ∫∞

∞−

∞

∞−.

În această interpretare condiţiile proprietăţii P2 sunt proprietăţile marginale ale unei densităţi de probabilitate bidimensională. În continuare se face o introducere alternativă a reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine bazată pe teoria semnalelor aleatoare inspirată din lucrarea [13]. Să considerăm problema clasică a testului de ipoteze binare. Pe baza măsurării semnalului recepţionat ( )ty se face ipoteza Ho că s-a transmis doar zgomotul ( )tz sau ipoteza H1 că s-a transmis suma dintre semnalul util ( )txu şi zgomotul ( )tz . Se poate scrie:

( ) ( )( ) ( ) ( )⎩

⎨⎧

t+zt = xt, yHt = zt, yH

u1

0

Semnalul ( )txu este de forma unui semnal generator ( )tx , dar este caracterizat de un anumit set de parametrii care îl diferenţiază de semnalul generator. Se doreşte determinarea parametrilor semnalului ( )txu pentru ca aceasta să fie perfect cunoscut. Prima sarcină este una de detecţie şi constă în a decide dacă la momentul t este corectă ipoteza Ho sau H1. Cea de a doua este una de estimare a parametrilor semnalului şi este condiţionată de faptul că ipoteza H1 a fost reţinută. Se notează cu V vectorul parametrilor semnalului care trebuie estimaţi. Se poate scrie:

( ) ( )t = xtxu 0V . Conform teoriei detecţiei optimale, [13], trebuie reţinută ipoteza H1, dacă cantitatea ( ) , yx =λ V

VVmax depăşeşte un anumit prag. Cu alte cuvinte trebuie

corelată observaţia făcută, ( )ty , cu un set de replici ale semnalului ( )tx care se diferenţiază între ele prin valorile diferite ale elementelor vectorului V. Se declară că semnalul căutat este prezent în semnalul recepţionat dacă cea mai mare valoare a funcţiei de corelaţie astfel obţinută este superioară unui anumit prag. Intuitiv, această valoare maximă ar trebui să se obţină la coincidenţa dintre vectorul testat şi valoarea sa adevărată, deoarece atunci corelaţia (neperturbată) este maximală. Se poate demonstra că într-adevăr este aşa şi că este posibil să se estimeze V pe baza relaţiei:

( ) 1max Hλ = VVV

∧

Două exemple simple ale acestei strategii sunt furnizate de radar şi de sonar. În cele două cazuri, există emisia unui semnal şi recepţia unui ecou. În primă aproximare, făcând abstracţie de zgomotul aditiv, se poate considera că diferenţa de structură dintre semnalul emis şi semnalul recepţionat este datorată unei întârzieri de propagare (legată de distanţa dintre emiţător şi ţintă) şi de efectul Doppler (datorat mişcării relative dintre emiţător şi ţintă). Astfel, vectorul Vo care parametrizează modificările semnalului emis ( )tx este un vector cu două componente, una care codează întărzierea şi una care codează efectul Doppler. Dacă se presupune că semnalul emis este de bandă îngustă şi /sau că viteza relativă este mică (aşa cum este de obicei cazul în radar), efectul Doppler se traduce printr-o alunecare globală a spectrului semnalului, decalajul Doppler. Deci transformarea semnalului emis este descrisă de relaţia: ( ) ( ) ( )t = y et x tx tj ωτ−→ unde τ măsoară întârzierea iar ω decalajul Doppler. De aceea în acest caz:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωττ−∫∞

∞−

ω− , dt = TF et xtx = tytx =λ FIx

tj *,V .

Dar membrul drept este reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine. Iată cum, pornind de la o problemă bine cunoscută în teoria semnalelor aleatoare, s-a ajuns la necesitatea utilizării unei reprezentări timp-frecvenţă. În literatura dedicată radarului, integrala din ultima relaţie este numită funcţie de incertitudine de bandă îngustă, sau în translaţie în sensul lui Woodward. Ea măsoară o corelaţie timp-frecvenţă, adică gradul de asemănare dintre un semnal şi variantele sale translatate în planul timp-frecvenţă.

6.3.1 DISTRIBUŢII DE PUTERE

Fie ( )tx un semnal aleator de medie nulă care are momente de ordinul 4 nenule. Fie mulţimea de funcţii ortogonale ( ) R R, tt k ∈λ∈λ τ . Acestea au proprietatea:

( ) ( ) ( )∫ ∫∞

∞−

∞

∞−λλ −δ

*t t s'sdt dλt s' hsh

Fie în sfârşit integrala:

( ) ( ) ( )∫∞

∞−λλ

*t x dss hsx =t, L

unde λ reprezintă frecvenţa sau factorul de scară. Evident şi acesta este un semnal aleator, fiecărei realizări a lui x corespunzându-i o realizare a lui ( )λ ,tLx . Se calculează fluctuaţiile acestei integrale:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ds ds's' hs h xsxE =

= ds ds's' hs h xsx = Et, λLE

t λ

*t λs'*

t λ

*t λs'*

x

∫ ∫

∫ ∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞− ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧2

Cu E s-a notat operatorul de mediere statistică. Dar: ( ) ( ) ( )s's = r xsxE xxs'* − reprezintă autocorelaţia semnalului aleator considerat. De aceea ultima relaţie devine:

( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−λ

t λ

*t λxxx ds ds's' hs hs,s'r =t, LE 2 . (113)

Această funcţie de două variabile poate fi privită ca şi o reprezentare timp-factor de scară a semnalului aleator ( )tx . Ea reprezintă o distribuţie de putere. Într-adevăr, integrala sa dublă este o constantă. Să justificăm această afirmaţie. Avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ds ds'dt dλs' hs hs,s'r = dt dλt, λLE

t λ*t λ

xx

x

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∫ ∫∫ ∫∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

2

Conform proprietăţii funcţiilor ortogonale se poate scrie:

( ) ( ) ( )2 x x

E L t, dt d = r s, s' s - s' ds ds'∞ ∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞ −∞

λ λ δ∫ ∫ ∫ ∫

sau:

( ) ( ) ( ) 2 2

x xx

E L t, dt d = r s,s ds = E x s ds∞ ∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞ −∞

λ λ∫ ∫ ∫ ∫

Conferind constantei din membrul drept al ultimei relaţii semnificaţia de putere a semnalului aleator ( )tx , rezultă că într-adevăr ( ) 2

xE L t, λ este o distribuţie de

putere. O altă posibilitate de a introduce o reprezentare timp-frecvenţă a unui semnal aleator este de a considera media statistică a unei reprezentări timp-frecvenţă definită pentru semnale deterministe, calculată pe ansamblul realizărilor semnalului aleator considerat, ( ) ωt, TFE x . În acest mod se poate generaliza de exemplu clasa lui Cohen. Conform relaţiei (107), forma generală a unei reprezentări timp-frecvenţă din clasa lui Cohen este:

( ) ( ) ( ) ττ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

πω ∫ ∫ ∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

−ωτ− du ds du, f es xs+x

=t, TF

u s+u tj*xc t f 222

1

Folosind relaţia:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) st u, f du = eu, f =t, sF

st j u −τττ− ∫∞

∞−

−− F

ultima relaţie se mai scrie:

( ) ( ) τ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

τ−π

ω ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

ωτ− dsd es xs+xt,sF

=t, TFE

j*xc t f 222

1 .

Considerând că semnalul ( )tx este aleator rezultă că şi funcţia ( )ωt, TFxc t f este aleatoare. Valoarea sa medie statistică, calculată pe ansamblul realizărilor este:

( ) ( ) τ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

τ−π

ω ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

ωυ− ds desxs+x Et,sF

=t, TF

j *xc t f 222

1

adică:

( ) ( ) τ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

−τ

τ−π

ω ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

ωτ− ds d e,ss+ rt, sF

=t, TFE

j xxxc t f 222

1 .

Se constată că s-a obţinut în acest mod o nouă clasă de reprezentări timp-frecvenţă parametrizată prin intermediul funcţiei ( )τ− t, sF . Prin particularizarea acestei funcţii de parametrizare se obţin diferite elemente ale clasei. Alegerea funcţiei de parametrizare ar trebui făcută în aşa fel încât în cazul în care semnalul ( )tx ar fi staţionar reprezentarea timp-frecvenţă să devină la fiecare moment de timp densitatea spectrală de putere a semnalului considerat. Ipoteza de staţionaritate a semnalului aleator se exprimă prin: ( ) ( )t't = rt, t'r xxxx − Notând cu ( )ωxP densitatea spectrală de putere a semnalului ( )tx ar trebui să fie satisfăcută relaţia:

( ) ( ) ( )ωπτττ−∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

ωτ−x

j xx P = ds d e rt, sF 2 .

Având însă în vedere că autocorelaţia unui semnal aleator staţionar şi densitatea sa spectrală de putere sunt perechi Fourier, pentru ca ultima relaţie să aibe loc ar fi necesar ca:

( ) .2πτ−∫∞

∞−ds = t,sF

Ultima relaţie se mai scrie:

( ) ( ) π−τ∫∞

∞−2 ds = st u, f

F ,

sau cu schimbarea de variabilă s = wt − se obţine:

( ) ( ) πτ∫∞

∞−2 dw = w u, f

F .

Având în vedere că membrul stâng reprezintă o transformată Fourier calculată în origine, ultima relaţie devine: ( ) ( ) ,20 πτ = w u, f F u = F

sau aplicând teorema simetriei: ( ) πτπ 202 = , f . Deci condiţia pe care trebuie să o satisfacă funcţia de parametrizare pentru ca reprezentarea timp-frecvenţă definită de relaţia (114) să se particularizeze la fiecare moment de timp, în cazul semnalelor de analizat staţionare, la o densitate spectrală de putere este: ( ) 10 = , f τ . Aceasta este tocmai condiţia ca reprezentarea timp-frecvenţă corespunzătoare din cazul semnalelor deterministe să aibe o distribuţie marginală corectă în domeniul frecvenţă (a se vedea tabelul 1.6.2.1). Alte clase de reprezentări timp-frecvenţă, respectiv timp-factor de scară ale semnalelor aleatoare nestaţionare sunt prezentate în [7], [11], [14], [15].

6.3.2 O ANALIZĂ STATISTICĂ DE ORDINUL 2

Se presupune că semnalul de analizat ( )n t , este unul aleator staţionar. Reprezentarea sa timp-frecvenţă liniară este :

( ) ( ) ( )*, ,l nTF t n K t d∞

−∞

ω = τ ⋅ τ − ω τ∫ (114)

Această reprezentare poate fi calculată ca răspuns al sistemului liniar şi invariant în timp cu răspunsul la impuls ( )* ,K t− ω la semnalul ( )n t , unde frecvenţa ω reprezintă un parametru. La orice frecvenţă ω, acest sistem răspunde la semnalul ( )n t cu semnalul ( )0n t , reprezentarea timp-frecvenţă liniară ( ),l nTF t ω , calculată la frecvenţa considerată. Acesta este un semnal aleator cu media statistică :

( ) ( )*, ,l n nE TF t M K t d∞

−∞

ω = ⋅ τ − ω τ∫ (115)

unde nM reprezintă media statistică a semnalului aleator ( )n t . Dacă acest semnal are medie statistică nulă atunci şi reprezentarea sa timp-frecvenţă liniară are medie statistică nulă. Funcţia de autocorelaţie a reprezentării timp-frecvenţă din relaţia (7) este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )* *1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2, , , ,l n l n nE TF t TF t K t K t R d d

∞ ∞

−∞ −∞

ω ⋅ ω = τ − ω ⋅ τ − ω ⋅ τ − τ τ τ∫ ∫ (116)

unde ( )nR τ reprezintă autocorelaţia semnalului aleator ( )n t . Dacă acesta este de tip zgomot alb de medie nulă şi dispersie σ2 atunci ultima relaţie devine:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 * *1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1

1 2 1 2

, , , ,

,l n

l n l n

TF

E TF t TF t K t K t d

R t t

∞

−∞

ω ⋅ ω = σ ⋅ τ − ω ⋅ τ − ω τ =

= − ω −ω

∫ (117)

Se observă că reprezentările timp-frecvenţă liniare conservă staţionaritatea semnalului de analizat. Întrucât ( ) ( ), ,

l nTFR t tω ≠ δ ω se poate afirma că reprezentările timp-frecvenţă liniare corelează zgomotul alb. În figura 1.6.3.2 este reprezentată densitatea spectrală de putere a reprezentării timp-frecvenţă de tip Gabor a unui zgomot alb Gaussian de medie nulă şi de dispersie 0.03052. Efectul de corelare poate fi observat deoarece densitatea spectrală de putere nu este constantă. Figura a fost realizată în Matlab, folosind toolbox-ul tftb cu ajutorul următorului program: %Explcap6f1 % Generarea semnalului de analizat signal=0.0305.*randn(1,1024); figure(1); plot(signal); % Calculul densitatii sale spectrale de putere psdi=abs(fft(signal)).^2; % Filtrare cu un mediator m=(1./128).*ones(1,128); psdin=conv(psdi,m); psdint=psdin(129:1024); medie=mean(psdint).*ones(1,1024); psd=[medie(1,64) psdint medie(1,64)]; figure(2); plot(psd); hold on; plot(medie,'r'); hold off; % Calculul reprezentarii timp-frecventa de tip Gabor [tfr,dgr,gam]=tfrgabor(signal,512,256); %Reprezentare grafica bidimensionala figure(3); mesh(tfr); % Calculul densitatii spectrale de putere a reprezentarii timp-frecventa psdrtfi=abs(fft2(tfr)).^2; m=(1./(128).^2).*ones(128,128); psdtfrin=conv2(psdrtfi,m); psdtfrint=psdtfrin(129:512,129:512); medie=mean(mean(psdtfrint)).*ones(512,512); psdtfr(1:128,1:512)=medie(1:128,1:512); psdtfr(129:512,1:128)=medie(1:384,1:128); psdtfr(129:512,129:512)=psdtfrint; % Reprezentarea grafica a densitatii spectrale de putere a reprezentarii

% timp-frecventa figure(4); mesh(psdtfr);

Figure 1.6.3.2 Densitatea spectrală de putere a reprezentării timp-frecvenţă de tip Gabor a unui zgomot

alb: a) o realizare a zgomotului alb, b) reprezentarea timp-frecvenţă a realizării de la a), c) densitatea spectrală de putere a realizării de la a) (cu linie roşie este reprezentată media statistică a densităţilor

spectrale de putere obţinute pe ansamblul realizărilor, d) densitatea spectrală de putere a reprezentării timp-frecvenţă a realizării considerate de la b).

Puterea reprezentării timp-frecvenţă liniară a semnalului ( )n t este:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 22

*

2 22

*

1 1 ,2 2

1 1, .2 2

F

F

on o

n

P N d N K t d

N d K t d N d P

∞ ∞

−∞ −∞

∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞

= ⋅ ω ω = ⋅ ω − ω ω ω ≤π π

≤ ⋅ ω ω⋅ − ω ω ω= ⋅ ω ω =π π

∫ ∫

∫ ∫ ∫

(118)

Deci, la orice frecvenţă, puterea semnalului ( )0n t este mai mică decât puterea semnalului ( )n t . În consecinţă reprezentările timp-frecvenţă liniare realizează o împrăştiere a zgomotului în planul timp-frecvenţă. În concluzie în planul timp-frecvenţă se manifestă două efecte utile: concentrarea părţii utile a unui semnal determinist perturbat aditiv de zgomot (de exemplu pe legea de variaţie a frecvenţei sale instantanee) şi împrăştierea zgomotului perturbator. Cu această concluzie se încheie analiza statistică a reprezentărilor timp-frecvenţă liniare. În continuare se face analiza statistică a reprezentărilor timp-frecvenţă biliniare. Media statistică a unei reprezentări timp-frecvenţă din clasa lui Cohen a semnalului ( )n t , considerat anterior este:

( ) ( ) ( ) ( )1, ,2

j us utC n nE TF t R e f u dudsd

∞ ∞ ∞− ωτ− +

−∞ −∞ −∞

ω = ⋅ τ ⋅ τ τπ ∫ ∫ ∫

(119)

Dacă ( )n t este un semnal aleator de tip zgomot alb de medie nulă cu dispersie σ2 atunci media statistică a reprezentării timp-frecvenţă din clasa lui Cohen considerate este dată de relaţia :

( ) ( )2, 0,0C nE TF t fω = σ ⋅ (120)

care nu este neapărat nulă. Media statistică a reprezentării timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville a unui zgomot alb de medie nulă este egală cu dispersia acestui zgomot,

2σ . Deci o estimare foarte bună a puterii zgomotului alb analizat poate fi realizată calculând media statistică a reprezentării sale timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville. Calculul corelaţiei statistice a unei reprezentări timp-frecvenţă din clasa lui Cohen a semnalului ( )n t este mai dificil:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

1 1 2 2

4 1 2 1 2 1 1 2 2

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2

1, ,

24

, , , , ,

C n C n

n

E TF t TF t

R s s f u f u

j u s u t u s u te du du ds ds d d

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞

ω ω = ⋅π

⋅ τ τ ⋅ τ ⋅ τ ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

− ω τ − + + ω τ − +⋅ ⋅ τ τ

(121)

unde ( )4 1 2 1 2, , ,nR s sτ τ reprezintă autocorelaţia semnalului ( )n t :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

4 1 2 3 4 1 2 3 4

4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 2 4

1 4 2 3

, , ,

, , , ,

, ,

n

n n n n

n n

R t t t t E n t n t n t n t

cum n t n t n t n t R t t R t t R t t R t t

R t t R t t

= ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ +

+ ⋅

(122)

iar cumulantul de ordinul 4 poate fi calculat cu relaţia:

( ) ( ) ( ) ( ) 4 24 1 2 3 4 3cum n t n t n t n t E n E n⋅ ⋅ ⋅ = − (123)

Dacă ( )n t este un zgomot alb de medie nulă şi dispersie σ2 atunci :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 1 2 3 4 4 1 2 3 4

41 2 3 4 1 3 2 4 1 4 2 3

0, , , ,

( )ncum n t n t n t n t şi R t t t t

t t t t t t t t t t t t

⋅ ⋅ ⋅ = =

σ δ − δ − + δ − δ − + δ − δ −

(124)

iar autocorelaţia reprezentării sale timp-frecvenţă din clasa lui Cohen devine :

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 2 2

44

2 2 1 2 1 1 2 1 2

4

2 2 2 2 2 2 1 2 1

, ,

, , , 0,02

, , ,

F

F

C n C nE TF t TF t

f u f u t t f

f u f u t t

ω ω =

σ= − τ − τ ω +ω + + σ +

πσ

+ τ − τ ω −ω −π

(125)

unde 2F reprezintă transformata Fourier bidimensională. În cazul reprezentării timp-frecvenţă de tipul Wigner – Ville ultima relaţie devine :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

441 1 2 2 2 1 2 1

42 1 2 1

, , 4

2

W V W Vn nE TF t TF t t t

t t

− −ω ω = πσ ⋅δ ω −ω ⋅δ − + σ −

− πσ ⋅δ ω +ω ⋅δ +

(126)

Deci reprezentarea timp-frecvenţă de tip Wigner – Ville a unui zgomot alb de medie nulă şi de dispersie 2σ este un semnal aleator bidimensional foarte asemănător cu un zgomot alb bidimensional. Pentru zgomotul considerat în experimentul prezentat în figura 1.6.3.2 densitatea spectrală de putere a reprezentării sale timp-frecvenţă de tipul Wigner – Ville este prezentată în figura următoare. Această funcţie este practice constantă. Deci, în general reprezentările timp-frecvenţă din clasa lui Cohen corelează semnalul pe care îl analizează (a se vedea relaţia (18)) dar reprezentarea de tip Wigner–Ville este o excepţie. Deoarece această reprezentare timp-frecvenţă este o densitate spectro-temporală de energie care nu corelează zgomotul pe care îl analizează ea posedă proprietatea de împrăştiere a zgomotului în planul timp-frecvenţă. Acesta este motivul pentru care această reprezentare poate fi o soluţie bună pentru estimarea unor parametri ai unui semnal nestaţionar perturbat de zgomot aditiv. Din nefericire ea conţine termeni de interferenţă. Prezenţa lor face “citirea” reprezentării timp-frecvenţă de tip Wigner-Ville mai dificilă.

Figura 2.6.3.2 Densitatea spectrală de energie a reprezentării timp-frecvenţă de tipul Wigner - Ville a unui zgomot alb. a) o realizare a zgomotului alb, b) reprezentarea timp-frecvenţă a realizării de la a), c)

densitatea spectrală de putere a realizării de la a) (cu linie roşie este reprezentată media statistică a densităţilor spectrale de putere obţinute pe ansamblul realizărilor, d) densitatea spectrală de putere a

reprezentării timp-frecvenţă a realizării considerate de la b).

Bibliografie capitol 6 [1] P. Găvruţă, A. Isar. Time-Frequency Representations. A Unitary Presentation. Proceedings of International Symposium Etc’94, vol. 3, pp. 25-30, Timisoara Septembrie 1994. [2] I. Daubechies. Ten Lectures on Wavelets. SIAM, Philadelphia 1992. [3] I. Daubechies. The Wavelet Transform: A Method for Time-Frequency Localization. În Advances in Spectrum Analysis and Array Processing. S. Haykin (editor), Prentice-Hall, New-Jersey 1991. [4] S. Mallat, Z. Zhang. Matching Pursuits with Time-Frequency Dictionary. IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 41, No.12, pp.3397-3415, December 1993.

[5] M. Wickerhauser. Adapted Wavelet Analysis from Theory to Software. A. K. Peters Wesley ,1994. [6] I. Naforniţă, A. Câmpeanu, A. Isar. Semnale circuite şi sisteme. vol. I, Editura UPT, 1995. [7] P. Flandrin. Representation temps-fréquence. Hermes, 1993. [8] F. Hlawatsch, G. F. Boudreaux-Bartels. Linear and Quadratic Time-Frequency

Signal Reprsentations. IEEE S.P.Magazine, pp.21-65, April 1992. [9] B. Boashash. Time-Frequency Signal Analysis. În Advances in Spectrum Analysis and Array Processing. S. Haykin (editor), pp.418-519, Prentice Hall 1991. [10] H. I. Choi, W. J. Williams. Improved Time-Frequency Representation of Multicomponent Signals Using Exponentials Kernels. IEEE Trans. on ASSP, vol. 37, no. 6, pp.862-871, 1989. [11] A. Papandreu, F. Hlavatsch, G. F. Boudreaux-Bartels. The HyperbolicClass of Quadratic Time-Frequency Representations. Part I: Constant-Q Warping, the Hyperbolic Paradigm, Properties and Members. IEEE Trans. on SP, vol. 41, No.12, December 1993. [12] R. G. Baraniuk, L. Fridtjof Wisur-Olssen. Optimal Phase Kernels for Time-Frequency Analysis. Propusa spre publicare în IEEE Transactions on Signal Processing, Ianuarie 1996. [13] P. Duvaut. Traitement du signal-concepts et applications. Hermes, Paris 1991. [14] B. Boashash, P. O. Shea. Polynomial Wigner-Ville Distributions and Their Relationship to Time-Varying Higher Order Spectra. IEEE Transactions on Signal Processing, January 1994. [15] F. Hlawatsch, W. Kozek. Time-Frequency Analysis of Linear Signal Spaces. IEEE Conference ICASSP-91, pp.2045-2048, Toronto, May 1991.

Capitolul 7

DISCRETIZAREA REPREZENTĂRILOR TIMP-FRECVENŢĂ

Toate reprezentările timp-frecvenţă şi timp-factor de scară prezentate sunt funcţii continue de două variabile continue. Utilizarea lor presupune construcţia unor aparate care pe baza semnalului ( )tx să reprezinte grafic ( )ωt, TFx . Fiind vorba despre o reprezentare în trei dimensiuni, este utilă afişarea sa pe monitorul unui calculator. Din păcate sistemele de calcul numeric nu pot decât să aproximeze funcţiile continue de variabile continue prin funcţii discrete de variabile discrete. De aceea este interesantă discretizarea reprezentărilor timp-frecvenţă. Aceasta se realizează prin eşantionarea uniformă a funcţiei ( )ωt, TFx . Se obţin eşantioanele ( )00 ω, m n tTFx . Este important să se cunoască valorile minime ale paşilor to şi ωo pentru ca pe baza eşantioanelor ( )00 ω, m n tTFx să se poată reconstrui exact ( )ωt, TFx . Conform teoremei de eşantionare [1], [2], ar fi necesar ca suportul în planul timp-frecvenţă al funcţiei ( )ωt, TFx să fie limitat. Pentru aceasta ar fi necesar ca atât suportul semnalului ( )tx cât şi suportul transformatei sale Fourier să fie limitate (proprietatea P11 din

paragraful 1.2). Dar acest lucru nu este posibil, orice semnal de durată limitată fiind de bandă nelimitată şi reciproc. În consecinţă funcţia ( )ωt, TFx nu va putea fi reconstruită perfect din eşantioanele sale. E clar că reconstrucţia va fi cu atât mai bună cu cât valorile t0 şi 0ω vor fi mai mici, dar ea nu va fi niciodată perfectă. De aceea se vor căuta alte strategii de eşantionare cum ar fi, de exemplu, eşantionarea neuniformă. În continuare se va analiza pentru început discretizarea reprezentării timp-frecvenţă respectiv timp-factor de scară prin eşantionare în raport doar cu cea de-a doua variabilă, pentru ca apoi să se analizeze cazul în care se eşantionează în raport cu ambele variabile. La început va fi analizat cazul reprezentărilor bidimensionale liniare pentru ca apoi să se prezinte şi cazul reprezentărilor biliniare.

7.1 DISCRETIZAREA REPREZENTĂRILOR LINIARE

Pentru început ne vom referi la discretizarea realizată prin eşationarea în raport cu cea de a doua variabilă. Acest caz este important deoarece face legătura între teoria reprezentărilor timp-frecvenţă sau timp-factor de scară şi teoria băncilor de filtre. Aceste sisteme, constituind ansambluri de filtre, se folosesc cu precădere în construcţia analizoarelor de spectru în timp real, aparate pentru analiza semnalelor nestaţionare [3]. După cum s-a arătat în capitolul precedent orice reprezentare timp-frecvenţă sau timp-factor de scară liniară este de forma:

( ) ( ) ( )λ−∗λ t, K t = xt, TF *x

Eşantionarea acestei funcţii în raport cu cea de a doua variabilă conduce la obţinerea următoarelor valori: ( ) ( ) ( )k

*kx t, K t = x t, TF λ−∗λ

Fiecare dintre acestea este o funcţie de timp parametrizată de valorile kλ , reprezentând

răspunsul filtrului cu răspunsul la impuls ( ) t, K k* λ− la semnalul de analizat. Practic

este vorba de prelucrarea semnalului ( )tx cu o familie de filtre parametrizată de valorile kλ . În cazul reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă expresiile răspunsurilor la impuls ale acestor filtre sunt: ( ) ( ) ( ) tj tkj

k* k et = w et = wt, K ω∨ω−ω−1

Se observă că toate aceste filtre se obţin dintr-un prototip (filtrul cu răspunsul la impuls ( )tw∨ ) prin modulaţie de amplitudine (înmulţirea cu exponenţiala complexă

tj ke ω ). În consecinţă, toate aceste filtre au acelaşi gabarit. Diferenţa între răspunsurile lor în frecvenţă este dată doar de valoarea diferită a pulsaţiilor centrale kω . Dacă eşantionarea în domeniul frecvenţă este uniformă atunci,

0 , .k k k Zω = ω ∈ În consecinţă distanţa dintre frecvenţele centrale a două filtre consecutive este egală cu ωo. Întrucât toate aceste filtre au aceeaşi bandă la - 3 dB rezultă că factorul lor de calitate (definit ca raport între frecvenţa centrală şi banda la -3dB) este crescător cu k. În consecinţă selectivitatea acestor filtre (proporţională cu factorul de calitate) creşte odată cu creşterea frecvenţei lor centrale. Aducând la intrarea unei astfel de bănci de filtre semnalul de analizat, ( )tx , la ieşirea fiecărui filtru se va obţine câte o secţiune verticală prin reprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă a lui ( )tx . La ieşirea filtrului cu numărul de ordine k se va obţine funcţia ( )0, ωktTF STFT

x . În cazul reprezentării timp-factor de scară de tipul "wavelet" expresia răspunsurilor la impuls ale filtrelor din structura băncii este:

( ) ( ) ( )* 1 * 1 1 * 12 , k k k k kK t a a a t a a t− − − −∨− = ψ − = ψ .

Toate aceste filtre se obţin prin dilatări ale răspunsului la impuls ( )t*∨ψ al filtrului prototip. Ultima relaţie mai poate fi pusă şi în forma:

( ) ( )* *2

1, ; k k k kk

K t s s s t sa

∨− = ψ =

Conform afirmaţiilor din capitolul 5, aceste filtre (pentru ksk = ) au factor de calitate constant, şi în consecinţă şi banda lor de trecere variază de la o valoare a indicelui k la alta. Este tocmai cazul analizorului de spectru în timp real [4].

De aceea se poate afirma că rezoluţia frecvenţială este constantă în cazul reprezentărilor de tipul transformare Fourier scurtă şi că rezoluţia frecvenţială creşte odată cu creşterea frecvenţei în cazul reprezentării de tip “wavelet”. În continuare se trece la cazul eşantionării bidimensionale. În acest scop se consideră că la ieşirea fiecărui filtru (cu răspunsul la impuls ( )k

* t, K λ− ) din banca de filtre amintită mai sus se conectează câte un circuit de eşantionare ideal. Considerând că eşantioanele se prelevează la momentele de timp tm, ele vor avea valorile: ( ) ( ) ( )

mttkkmx tKtxtTF =

λ−∗=λ ,, *

Problema este determinarea distribuţiei momentelor de timp tm care permite, pe baza valorilor ( )kmxTF λ ,t construcţia semnalului ( )kx tTF λ, , sau mai general a semnalului x(t). Legitimitatea acestei probleme provine din faptul că deşi reconstrucţia perfectă a funcţiei ( )λ,tTFx pe baza eşantioanelor sale ( )00, λkmtTFx (obţinute în urma eşantionării uniforme) nu este posibilă, totuşi reprezentarea ( )λ,tTFx este redundantă. Această afirmaţie este justificată de proprietatea P2 din paragraful 6.1:

( ) ( ) ( )1, ', ' , , ', ' ' ' = x xA RTF t TF t K t t dt d

c ×λ λ λ λ λ∫

Această redundanţă îndreptăţeşte speranţa reconstrucţiei funcţiei de două variabile pe baza eşantioanelor sale ( )kmx tTF λ, . Dacă totuşi această reconstrucţie nu este posibilă, rămâne speranţa reconstrucţiei semnalului iniţial x(t). 7.1.1 DISCRETIZAREA REPREZENTĂRII TIMP-FRECVENŢĂ DE TIPUL TRANSFORMARE FOURIER SCURTĂ

S-a demonstrat deja că localizarea în domeniul timp a reprezentării depinde de durata ferestrei temporale ( )w t , tσ şi că localizarea în domeniul frecvenţă a reprezentării depinde de banda ferestrei temporale, σω . Se poate deci afirma că semnalul de analizat este descris prin intermediul reprezentării sale timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă, la momentul t şi la pulsaţia ω, într-o anumită zonă din planul timp-frecvenţă numită "celulă de rezoluţie" şi descrisă de produsul cartezian:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ σ

ωσ

−ω×⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ σσ− ωω

2222 + , + t , t tt .

Cu alte cuvinte nu are rost să se caute informaţii despre acest semnal pentru momentul t şi pulsaţia ω în alte zone ale planului timp-frecvenţă. În figura 1.7.1.1 se prezintă acoperirea planului timp-frecvenţă cu celulele de rezoluţie în cazul reprezentării de tipul transformare Fourier scurtă.

Figura 1.7.1.1 Acoperirea planului timp-frecvenţă în cazul reprezentării de

tipul transformare Fourier scurtă. E clar că o densitate minimă de eşantionare poate fi obţinută dacă se prelevează câte un eşantion din reprezentarea timp-frecvenţă cu coordonatele în fiecare celulă de rezoluţie. Într-adevăr, dacă în mulţimea ( )

, , STFT

x m k m Z k ZTF t

∈ ∈ω nu ar exista nici un

eşantion care să îndeplinească condiţia:

2222 0000ωω σ

ω≤ω≤σ

−ωσ

≤≤σ

− + ; + kt

mt ttt

atunci nu s-ar putea spera ca pe baza eşantioanelor achiziţionate să se determine valoarea reprezentării timp-frecvenţă în jurul punctului ( )00 ω ,t . Evident că ar putea fi achiziţionate şi mai multe eşantioane având coordonatele în interiorul fiecărei celule de rezoluţie. De aceea s-a vorbit mai sus de o densitate minimă de eşantionare. În consecinţă se poate afirma că eşantionarea reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă la densitatea minimă de eşantionare poate fi făcută alegând coordonatele eşantioanelor în centrele celulelor de rezoluţie. În consecinţă paşii de eşantionare au valorile: ωσωσ = ; = 00 tt . Eşantionând în acest mod se obţine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )00 0

* *0 0 0 ,, jmSTFT

x nt mTF nt m x w nt e d x w d∞ ∞

− ω τω

−∞ −∞

ω = τ τ − τ = τ τ τ∫ ∫ .

Relaţia de mai sus defineşte o reprezentare timp-frecvenţă discretă. Pentru calculul său numeric, integrala se înlocuieşte cu o sumă având un număr finit de termeni, obţinându-se:

[ ] [ ] [ ]1 2*,1

Nj mkSTFTTF n m x k w k n ex k

− π= −∑=

.

Se constată că s-au ales valorile t0=1 şi ω0=2π. N1 reprezintă lungimea secvenţei [ ]x n . În cazul pachetului de programe tftb rezultatul funcţiei care implementează transformata Fourier scurtă este o matrice cu N linii şi M coloane. Aceste numere trebuie să satisfacă condiţia, 1M N Q N× = × , unde Q reprezintă gradul de supraeşantionare (care trebuie să fie un divizor al lui N). Fereastra w are energie

unitară, este centrată şi trebuie să aibă o valoare cât mai apropiată de N (dar mai mare decât N). Ultima formulă reprezintă reprezentarea timp-frecvenţă de tip transformare Fourier scurtă discretă. Această reprezentare este descrisă de un operator definit pe ( )RL2 cu valori în 2l (Z). În [5] se demonstrează că acest operator este inversabil şi că operatorul invers este mărginit dacă π≤ω 200 t . Expresia operatorului invers este:

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0, ,, m nt m nt

m = n = x t = x w w

∞ ∞

ω ω−∞ −∞

τ τ ⋅ τ∑ ∑ ,

adică:

( ) [ ] ( )0 0,,STFT

x m ntm = n =

x t = TF n m w t∞ ∞

ω−∞ −∞

⋅∑ ∑ .

Această relaţie are două interpretări. Prima interpretare se referă la faptul că semnalul ( )tx poate fi reconstruit pe baza eşantioanelor reprezentării sale timp-frecvenţă de

tipul transformare Fourier scurtă prelevate corespunzător unei densităţi minime. Cea de a doua interpretare este aceea că semnalul nestaţionar, de energie finită, ( )tx poate fi descompus cu ajutorul mulţimii de funcţii ( ) 0 0 , , m nt m Z n Z

w tω ∈ ∈.

Dar: ( ) ( ) 0

0 0 0

, j m tm ntw t w t nt e ωω = − ⋅ .

Se observă că toate aceste funcţii pot fi generate pe baza funcţiei w, prin translatare şi înmulţire cu exponenţiale complexe. Condiţia de inversare se poate rescrie în forma,

π≤σσ ω 2 t şi exprimă necesitatea ca fereastra temporală folosită, w, să aibă o bună localizare în planul timp-frecvenţă. De aceea se poate afirma că funcţiile ( )tw ntm 00 ,ω reprezintă atomi timp-frecvenţă. Ultima relaţie stabilită pentru descompunerea semnalului ( )x t descrie o posibilitate simplă de analiză timp-frecvenţă a acestuia. Pentru a face această analiză este suficient să se identifice valorile semnificative ale coeficienţilor

( )00, ωmntTF STFTx . Acestea specifică zonele din planul timp-frecvenţă în care semnalul ( )x t are componente semnificative.

E clar că eşantionarea cea mai eficientă corespunde cazului: πω 200 = t . Ar fi foarte bine ca să se poată îndeplini această condiţie şi ca în acelaţi timp mulţimea

( ) Z Z, nm, ntm tw

∈∈ω 00 să reprezinte o bază ortonormală a spaţiului ( )RL2 . În acest mod

reprezentarea dată de descompunerea obţinută mai sus ar fi complet neredundantă. De exemplu, dacă se consideră fereastra temporală:

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −σ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛σχ

21

21

21 t t + = t = tw ,

se poate construi mulţimea: ( )Z Z, nm

, n + n j m e

∈∈⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

πτ

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

τχ21

21

2 , care este o bază

ortonormală a spaţiului ( )RL2 , [5]. Se observă că în acest caz, πω 21 00 = , = t . Din păcate fereastra temporală dreptunghiulară nu are o localizare suficient de bună în planul timp-frecvenţă, ∞σσ ω = t . Deci această fereastră temporală nu îndeplineşte condiţiile pentru ca reprezentările timp-frecvenţă de tip transformare Fourier scurtă care o folosesc să poate fi eşantionate eficient (complet neredundant) în scopul reconstrucţiei semnalului de analizat. De fapt există o teoremă care arată că cele trei condiţii: - πω 200 = t , - ( )

Z Z, nm, n tm tw∈∈ω 00 - bază ortonormală a lui ( )RL2 ,

- ( )tw bine localizată în planul timp-frecvenţă (în aşa fel încât să se poată alege t = t σ0 şi ωσω = 0 ), sunt contradictorii. Enunţul acestei teoreme , conform [6], este: Teorema Balian-Low Nu există nici o fereastră temporală care să aibă o localizare bună în timp şi în frecvenţă şi care să genereze o mulţime ( )

ZZ, nm, ntmw∈∈ω τ00 , bază

ortonormală a lui ( )RL2 , dacă: πω 200 = t . De fapt acele funcţii ( )τw care pot genera baze ortonormale ale lui ( )RL2 au

produsul ωσσt infinit. În sfârşit, paşii de eşantionare ar trebui aleşi astfel încât să fie îndeplinită condiţia, π<ω 200 t . Ţinând seama de condiţiile: t = t σ0 ; ωσω = 0 şi de principiul incertitudinii rezultă condiţia:

π<ω≤π 22 00 t .

Deci pentru reconstrucţia semnalului ( )tx este necesară eşantionarea redundantă a reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă. De altfel nici în cazul eşantionărilor redundante ( π<ω 200 t ), condiţia ca mulţimea

( ) Z Z, nm, ntmw

∈∈ω τ00 să fie o bază ortogonală a lui ( )RL2 nu poate fi verificată decât

de ferestre temporale cu, [5], ∞σσ ω = t . Această obstrucţie datorată teoremei Balian-Low poate fi evitată dacă se renunţă la constrângerea ca ( ) 0

0 0 0j m t

m , ntw = w t n t e− ωω − şi dacă exponenţiala se

înlocuieşte cu o funcţie trigonometrică. Procedând în acest mod Coifman şi Meyer au construit bazele sinusoidale şi cosinusoidale localizate ale spaţiului ( )RL2 , [7 96].

Elementele acestor baze sunt numite "funcţiile wavelet" ale lui Malvar, în onoarea lui Malvar care a introdus aceste funcţii într-un cadru diferit (compresia semnalelor) în articolul său [8]. Ideea bazelor trigonometrice localizate a fost reluată şi dezvoltată de către Mladen Wickerhauser în cartea sa [9]. Dacă se renunţă la pretenţia că mulţimea ( )

Z Z, nm, ntmw∈∈ω τ00 să reprezinte o

bază ortonormală atunci se poate lucra într-un cadru mai general dat de teoria cadrelor (frame în limba engleză). Această teorie, elaborată de R. J. Duffin şi A.C. Schaeffer, [10], este folosită de Ingrid Daubechies în cartea sa [5] pentru a studia discretizarea reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă. În această lucrare se lucrează în ipoteza că mulţimea ( )

Z Z, nm, n tm w∈∈ω τ00 are structură de cadru. În

continuare se prezintă câteva rezultate remarcabile ale teoriei cadrelor. Definiţie. Mulţimea de funcţii ( ) Znng ∈τ , elemente ale spaţiului Hilbert H, se numeşte cadru, dacă există două constante A şi B cu ∞<≤< BA0 , astfel încât pentru fiecare f din H să fie îndeplinită condiţia:

∑∞

∞−≤≤

n = n f B gff A 222 , .

Constantele A şi B se numesc marginile cadrului. Dacă: A = B atunci este vorba despre un cadru îngust ("tight frame" în limba engleză). O bază ortogonală este un cadru îngust cu: A = B = 1. Reciproca nu este însă valabilă. Nu orice cadru îngust cu marginile unitare este o bază ortogonală. Dacă mulţimea ( ) Znng ∈τ este un cadru şi dacă elementele sale sunt liniar independente atunci această mulţime se numeşte bază Riesz. Orice cadru este o mulţime completă. Orice bază Riesz poate fi transformată într-o bază ortogonală prin procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt [11]. În cazul unui cadru îngust, oricare ar fi elementul f din H, se poate scrie:

∑∈ Jj

j f = A gf 22, .

Mai mult, orice element din H poate fi exprimat ca şi combinaţie liniară de elemente ale cadrului îngust, în forma: ∑−

jjj

ggff = A ,1 .

Această formulă este foarte asemănătoare cu cea de descompunere a semnalului f într-o bază ortogonală a spaţiului H. Totuşi trebuie remarcat că din punct de vedere al transmiterii informaţiei există o deosebire fundamentală între descompunerea într-o bază ortogonală şi descompunerea într-un cadru îngust. Şi anume, în comparaţie cu descompunerea într-o bază orotgonală descompunerea într-un cadru îngust este redundantă. Această comportare se datoreşte faptului că elementele unui cadru îngust nu sunt ortogonale între ele. Condiţia de ortogonalitate:

⎩⎨⎧

, in rest, j = k

= , gg kj 01

asigură independenţa informaţiei conţinute în elementele jg şi kg dacă j k≠ . Datorită acestui fapt descompunerea într-o bază ortogonală poate fi considerată neredundantă. Partea din informaţia asociată lui f conţinută în jg este descrisă doar

de coeficientul jf, g . În cazul descompunerii într-un cadru îngust partea din

informaţia asociată lui f conţinută în jg este descrisă de mai mulţi coeficienţi ai descompunerii. În consecinţă, descompunerea unui semnal într-o bază ortonormală este mai “economică” decât descompunerea într-un cadru a aceluiaşi semnal, conţinând mai puţini coeficienţi.

Oricărui cadru din H i se poate asocia un operator, numit operator al cadrului şi notat cu F. Acesta este un operator liniar care asociază spaţiului H spaţiul ( )Jl2 cu:

( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∞<∑∈

∈ Jj j Jj j c =c ; cc = = Jl

222

şi care este definit prin: ( ) .jj f, g= F f

Acest operator este mărginit: ( ) 22 f B Ff H ; f ≤∈∀ . Operatorul adjunct lui F se notează cu F* şi se exprimă pe baza relaţiei: ∑

∈ Jj jj

*c gc = F .

Prin compunerea operatorilor F* şi F se obţine operatorul F*F care este inversabil. Inversul operatorului F*F se va nota cu (F*F) - 1.

Făcând notaţia ( ) j*

j gFF = g1~ −

se obţine mulţimea Jj jg

∈~ .

Şi această mulţime are structură de cadru cu constantele 1−B şi 1−A . Operatorul acestui cadru se notează cu F~ . În [5] se demonstrează că acest operator are următoarele proprietăţi:

1 ( ) 1~ −FFFF * = ,

2 ( ) 1~~ −FFFF ** = ,

3 IdFFFF = = ** ~~ , 4 ** = FFFF ~~ . unde cu Id s-a notat operatorul identitate. Propietatea 3 permite exprimarea oricărui element f al lui H şi cu ajutorul cadrului

Jj jg∈

~ :

∑∑∈∈ Jj

jjj Jj

j ggf, = f = g f, g ~~ .

De aceea cadrul Jj jg

∈~ este numit cadru dual al cadrului j j J

g∈

.

În consecinţă pentru dezvoltarea semnalului f într-un cadru este necesară atât cunoaşterea elementelor acestui cadru cât şi cunoaşterea cadrului dual. Ar fi mai utilă o relaţie de descompunere de forma: j

Jj j gf, g∑

∈,

asemănătoare cu cea din cazul cadrelor înguste. În [5] se demonstrează că dacă marginile cadrului A şi B sunt suficient de apropiate:

11 ABr = <<− ,

atunci e valabilă descompunerea:

+ R f gf, g A + B

f = j Jj

j∑∈

2 ,

unde operatorul rest R este definit prin:

FFBA

dR * +

I = 2

− .

Dacă constanta r este de valoare mică atunci eroarea medie pătratică de aproximare a lui f obţinută prin înlăturarea termenului Rf din membrul drept este de valoare

f + rr

2.

În consecinţă poate fi utilizată pentru descompunere formula aproximativă:

j Jj

j gf, g A + B

f ∑∈

≅2 .

În continuare se aplică rezultatele enunţate anterior la studiul discretizării reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă. Întrebările care se pun în acest caz sunt: - Pentru ce alegeri ale lui ( )tw , 0ω şi 0t poate fi caracterizată o funcţie pe baza produselor 00 , ntmf, w ω ?

- Când este posibil să se descompună f, pe baza unui algoritm stabil, din aceste produse scalare ? Răspunsul la aceste întrebări rezultă din condiţiile care trebuiesc impuse pentru ca mulţimea ( )

Z Z, n m , ntm oow∈∈ω τ să aibă structură de cadru.

În continuare se va folosi notaţia: ( ) ( )ττ ω oo, ntmm , n = ww Mulţimea ( ) Z Z, n m m, n w ∈∈τ constituie un cadru dacă există constantele strict

pozitive A şi B astfel încât:

( ) ( )∫∫ ∑∞

∞−

∞

∞−≤≤

m, nm, n dt tf Bf, w dt tfA 222 .

Dacă această condiţie este îndeplinită, atunci orice semnal de energie finită, ( )tf , poate fi descompus în forma:

m, nm, n

m, nm, nm, n

m, n wwf, = w f, wf = ∑∑ ~~ .

Se poate demonstra că pentru ca mulţimea ( ) Z Z, n m m, n w ∈∈τ să aibă o

structură de cadru este necesar ca să fie satisfăcută condiţia:

B w t A ≤

ωπ

≤ 2

00

2 ,

sau, ţinând seama de faptul că fereastra temporală este de energie unitară:

B t A ≤

ωπ

≤00

2 .

Dacă ar fi vorba despre un cadru îngust (A = B = 1) atunci ar fi necesar ca: πω 200 = t . Dar conform teoremei Balian-Low (extinsă la cadre) ferestrele temporale care conduc la cadre înguste la care se respectă această condiţie nu sunt bine localizate în planul timp-frecvenţă. Condiţia π>ω 200 t ar conduce la reconstrucţia lacunară a semnalului ( )tf . Pentru π<ω 200 t , mulţimea ( ) Z Z, n m m, n w ∈∈τ poate fi un cadru, ba chiar un cadru

îngust, generat de ferestre temporale ( )tw cu o bună localizare în planul timp-frecvenţă. Exemplele de ferestre temporale care satisfac aceste condiţii sunt prezentate în [5]. Va fi reluat în continuare doar exemplul ferestrei temporale Gaussiene având în vedere poziţia privilegiată a acestei ferestre (ea conduce la reprezentarea timp-frecvenţă de tip Gabor):

( ) 24

21

τ−

π=τ

e w .

În următorul tabel sunt prezentate valorile marginilor cadrului generat pentru

diferite valori ale pasului 0t , în cazul 200π

ω = t . Deci, semnalul ( )tx poate fi

analizat pe baza eşantioanelor reprezentării sale timp-frecvenţă de tip transformare Fourier scurtă. Pornind de la aceste eşantioane semnalul poate fi reconstruit. În figura 2.7.1.1 este prezentat un sistem de analiză şi reconstrucţie a semnalului ( )tx bazat pe utilizarea reprezentării sale timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă. 0t A B 0,5 1,221 7,091 1 3,854 4,147 1,5 3,899 4,101 2,0 3,322 4,679 2,5 2,365 5,664 3,0 1,427 6,772 Tabel 1.7.1.1. Valorile marginilor cadrului asociat ferestrei temporale Gaussiene pentru diferite valori ale pasului temporal.

Bancă de Bancă de filtre Bancă de Bancă de filtre modulatoare trece bandă circuite trece bandă de eşantionare

tje 0ω− ( )tt0δ x(t) y(t) 1 ( )tt0δ tje 0ω ( )tt0δ Sistem de analizã Sistem de sintezã Figura 2.7.1.1 Sistem de analiză şi sinteză a semnalelor de energie finită bazat pe utilizarea reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă. Principalul dezavantaj al sistemului prezentat în figura anterioară este că el necesită un număr infinit de blocuri. Acest dezavantaj dispare dacă se analizează un semnal a cărui energie se localizează aproape în totalitate într-un anumit interval timp-frecvenţă [ ] [ ]0000 ΩΩ−×− , ,TT . În acest caz numărul de circuite din figura anterioară poate fi finit. Acest fapt poate fi reformulat în forma următoarei teoreme prezentată în [5]: Dacă funcţiile ( ) ( )00 nt w= ew j m

m, n −ττ τω sunt elementele unui cadru de margini A şi B şi dacă fereastra temporală ( )τw satisface condiţiile:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 11α

−α

−≤ωτ≤τ + ω C w , + τ C w F

cu 1>α , atunci, oricare ar fi 0>ε există constantele pozitive εt şi εω , astfel încât oricare ar fi semnalul ( )τx din ( )RL2 şi oricare ar fi constantele 0T şi 0Ω să aibă loc relaţia:

w(-t)

w(-t)

w(-t)

w(t) 0j te− ω

w(t)

w(t) 0j te ω

( ) ( )

( ) ( )⎥⎥⎥

⎦

⎤ε

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ωωτ

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ττ≤−τ

∫

∫∑

Ω>ω

>τ

≤

ω+Ω≤ω

ε

ε

f + dx +

+dx AB w wx x

T

+ t T n t

m n, mn, m

212

212

0

0

00

00

~,

F

(128)

E clar că dacă semnalul ( )τx se localizează, aproape în întregime în intervalul [ ] [ ]0000 ΩΩ−×− , , TT atunci valorile integralelor: ( )∫

>ττ

0

2

T dτx şi ( )∫

Ω>ωωω

0

2

d X

sunt foarte mici. Cum şi ε poate fi oricât de mic rezultă că semnalul ( )τx poate fi aproximat oricât de bine în medie pătratică de suma: ∑

ε

ε

≤

ωΩ≤ω

+ t T n t

+ m m, n m,n w x, w

00

00

~ .

Această teoremă este foarte utilă deoarece asigură aproximarea cu o calitate foarte bună a oricărui semnal de energie finită localizat aproape în întregime într-un domeniu din planul timp-frecvenţă printr-o sumă (nu serie) de atomi timp-frecvenţă. Interpretarea grafică a teoremei enunţate mai sus este prezentată în figura 3.7.1.1. În finalul acestui paragraf , se revine pe scurt la cazul bazelor ortogonale. S-a afirmat mai devreme că dacă se renunţă la constrângerea ca:

( ) ( ) tj m m , n en tt = wtw 00

ω−− şi că dacă exponenţiala se înlocuieşte cu o funcţie cosinusoidală sau sinusoidală atunci funcţiile ( )τm , n w devin elementele unei baze ortonormale şi au o bună localizare în planul timp-frecvenţă chiar şi în cazul πω 200 = t .

În continuare se prezintă definiţia funcţiilor "wavelet" ale lui Malvar aşa cum se găseşte aceasta în [7]. Se porneşte de la un şir crescător ma de numere reale cu proprietăţile: ∞−

∞−→ = a m

m lim şi ∞

∞→ = + a m

m lim

Se notează, mm + m a = al −1 şi se definesc numerele pozitive mη cu condiţia, 1m m m l+η + η ≤ .

Atunci, intervalele [ ]mmmm + , a a ηη− sunt disjuncte două câte două. Ferestrele ( )τmw sunt construite astfel încât să furnizeze o variantă netezită a funcţiilor indicatoare ale intervalelor [ ]1m + m, aa . Se impun condiţiile:

1. ( ) 10 ≤τ≤ mw , 2. ( ) 1= wm τ , dacă 11 m + m + mm a + a η−≤τ≤η , 3. ( ) 0= wm τ , dacă τ≥η− mm a sau dacă 11 ++ η≥τ mm + a . 4. ( ) ( )τ−τ+ − mmmm a= waw 1 , dacă mη≤τ ,

5. ( ) ( ) 122 = + ta + w taw mmmm − , dacă mη≤τ . Se definesc funcţiile "wavelet" ale lui Malvar prin:

Figura 3.7.1.1 Mulţimea punctelor de eşantionare a reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă, necesare pentru reconstrucţia semnalului ( )tx care este aproape perfect localizat în

domeniul [ ] [ ]0000 ΩΩ−×− , ,TT .

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −τ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛πττ

m

mm

mm, n l

a n + wl

= u21cos2

(129)

Se observă înlocuirea exponenţialei complexe din produsul din membrul drept cu funcţia cosinusoidală. În referinţa bibliografică anterior citată este demonstrată următoarea teoremă : “Şirul ( )τm, nu reprezintă o bază ortonormală a spaţiului ( )RL2 ”. Exemple de funcţii ( )τmw , modul lor de construcţie precum şi aplicaţii ale funcţiilor "wavelet" de tip Malvar sunt prezentate în [9]. Conform acestei referinţe bibliografice cu ajutorul funcţiilor wavelet ale lui Malvar se construiesc pachetele de funcţii cosinusoidale. Aplicaţiile acestora pot fi simulate cu ajutorul unui alt toolbox Matlab, numit WaveLab, care poate fi descărcat de la adresa http://statistics.stanford.edu/software/wavelab/index.html Folosind funcţia toon0811 din cadrul acestui pachet de programe pot fi obţinute câteva forme de undă de pachete cosinusoidale care reprezintă particularizări ale relaţiei (129) pentru o fereastră w dreptunghiulară şi diferite valori ale indicilor m şi n. O parte dintre acestea sunt prezentate în figura următoare.

Figura 4.7.1.1. Şase forme de undă ale unor funcţii wavelet de tip Malvar, obţinute pentru o fereastră dreptunghiulară şi diferite valori ale indicilor m şi n din relaţia (129).

7.1.2 DISCRETIZAREA REPREZENTĂRII DE TIP "WAVELET"

Localizarea în timp a acestei reprezentări depinde de durata funcţiei generatoare ( ) στψ t, şi de valoarea factorului de scară s iar localizarea în frecvenţă depinde de banda funcţiei generatoare σω şi de valoarea factorului de scară s. De aceea se poate afirma că în cazul acestei reprezentări celula de rezoluţie este:

s

, t + s

t tt⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ σσ

−22 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ σ

ωσ

−ω× ωω22

+s , s . Dacă este vorba despre reprezentarea

timp-frecvenţă de tipul "wavelet" atunci:

0ωωs =

unde 0ω reprezintă pulsaţia centrală a răspunsului în frecvenţă al filtrului cu răspunsul la impuls ( )τψ . În continuare se va considera pentru comoditate că 10 = ω . În consecinţă se constată că aria celulei de rezoluţie este egală cu:

σσσσ

ωω = ss

t

t

adică independentă de s (sau ω). Fie '

0ω respectiv ω1 centrele a două celule de rezoluţii învecinate. Se presupune că '

1 0 0 = aω ω . Lăţimile de bandă ale celor două celule de rezoluţie sunt: '0ω

σ şi 1ωσ . Ţinând seama de faptul că acestea reprezintă benzile de trecere a două

filtre care au acelaşi factor de calitate se poate scrie:

= 1'

0

1'0

ωωσω

σω ,

adică:

1'

0

'00

'0

ωωσω

σω a

=

de unde rezultă că: '

01 0 ωω σ=σ a . (130)

Având în vedere invarianţa ariei celulei de rezoluţie şi notând cu 0t

σ şi σt1 duratele

celor două celule de rezoluţie în discuţie se poate scrie: 1100 ωω σσσσ tt = , de unde rezultă că:

0

01 a

tt

σσ = (131)

Acoperirea planului timp-frecvenţă cu astfel de celule de rezoluţie (pentru a = o 2) este prezentată în figura 1.7.1.2. Trebuie remarcat că o astfel de acoperire impune o condiţie suplimentară asupra funcţiei "wavelet" generatoare (mother wavelets). Într-adevăr, având în vedere că distanţa dintre coordonatele centrelor a două celule vecine (pe verticală) este:

22

1'0'

01ωω σσ

ω−ω + =

şi ţinând seama de relaţiile de mai sus, se poate scrie:

( ) ( )12

1 00'0

'0 + = aa ω

σ−ω

sau:

( )( )12

1

0

0'0

'0

−σω

ωa

a

+ = . (132)

În consecinţă rezultă că valoarea factorului de calitate al filtrului cu răspunsul în frecvenţă ( ) ( )ωψ tF este fixată. La fel şi în cazul reprezentării timp-frecvenţă de tipul

Figura 1.7.1.2. Acoperirea planului cu celulele de rezoluţie în cazul reprezentării

timp-frecvenţă de tip "wavelet".

ω

t

1tσ

0tσ

1ωσ

'0ωσ

ω1

'0ω

transformare Fourier scurtă şi în cazul reprezentării timp-frecvenţă de tip “wavelet” se poate vorbi despre o densitate minimă de eşantionare. Aceasta se obţine şi de această dată dacă coordonatele punctelor în care se eşantionează sunt tocmai coordonatele centrelor celulelor de rezoluţie (din figura 1.7.1.2). Legea care descrie repartiţia acestor puncte în domeniul frecvenţă este

'0 1 0 0

mm m= a = a −ω ω ω . Legea care descrie repartiţia acestor puncte în domeniul timp este,

00 tnat mn

−= . Se constată că este vorba despre o eşantionare neuniformă. De aceea, întrebările: Este posibilă reconstrucţia funcţiei ( )ω,tTF CWT

x pe baza eşantioanelor sale ( )mn

CWTx tTF ω, ? În ce condiţii ?"

sunt foarte interesante şi actuale. În continuare urmând aceeaşi cale ca şi în cazul discretizării reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă se va studia modul în care poate fi reconstruit semnalul x(τ) din eşantioanele reprezentării sale de tip "wavelet". În acest scop în [5] se studiază cadrele de tip "wavelet". În continuare se prezintă pe scurt rezultatele obţinute în această lucrare. Se face notaţia:

( ) ( )2, 0 0 0

mm

m n t a a nt− −ψ = ψ τ −

(133)

Următoarea teoremă arată condiţiile pe care trebuie să le îndeplinească funcţia "mother wavelets" ( )τψ pentru ca mulţimea ( ) ZnZmnm ∈∈τψ , , să aibă o structură de

cadru. Teoremă. Dacă ( ) ZnZmnm ∈∈τψ , , constituie un cadru pentru ( )RL2 cu marginile A şi

B atunci:

( ) ( )

BatdAat

F

π

≤ωω

ωτψ≤

π ∫∞

2ln

2ln 00

0

200

şi: (134)

( ) ( )

BatdAat

F

π≤ω

ωωτψ

≤π ∫

∞− 2ln

2ln 00

0 200

Se observă similitudinea dintre condiţia de admisibilitate a funcţiei "mother wavelets" din relaţia (83') din paragraful 5.1 şi condiţiile de admisibilitate din enunţul teoremei de mai sus. Diferenţa dintre cele două forme ale condiţiei de admisibilitate provine din faptul că în cazul teoremei de mai sus sunt considerate doar dilatări pozitive ale funcţiei ( )τψ , deoarece ( ) Zmam ∈∀> ,00 . Din acest motiv sunt disociate în formula (134) domeniile frecvenţelor pozitive şi negative. Dacă s-ar fi considerat şi dilatări negative, atunci cele două condiţii de admisibilitate ((83') şi (134)) ar fi fost identice. În continuarea acestui paragraf se va presupune că se lucrează cu funcţii ( )τψ

admisibile. Nu orice alegere a tripletului ( )00, t, aψ conduce la un cadru de funcţii "wavelet", chiar dacă funcţia ( )τψ este admisibilă. Chiar dacă se face o alegere corectă mai rămâne problema determinării marginilor cadrului. Următoarea propoziţie este utilă în elucidarea chestiunilor menţionate mai sus. Propoziţie. Dacă ψ şi ao sunt astfel încât:

( ) 0inf2

01 0

>ωψ∑∞

∞−≤ω≤ m =

m a

a F

(135)

( ) ∞<ωψ∑∞

∞−≤ω≤ = F

m

m

aasup

20

1 0

şi dacă: ( ) ( ) ( )∑ +ωψωψβ

ω m

mm saasups 00 F F =

descreşte cel puţin la fel de repede ca şi funcţia ( ) ( )1 +1+ , 0s

− εε > atunci există o

valoare Mt0 astfel încât ( ) ZnZnm ∈∈τψ ,m , să reprezinte un cadru pentru orice alegere a

lui t0 cu 00 tt M < . Pentru t0 astfel ales marginile cadrului sunt:

( ) ∑∑∞

≠∞−

∞

∞−≤ω≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π−β⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ πβ−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ωψπ

000

2

10

222

0

= = F =

kkm

mo

ak

tk

tainf

tA

( )0

2

10 0 00

2 2 2 = =

= F mo

a m kk

B inf a k kt t t

∞ ∞

≤ ω ≤ − ∞ − ∞≠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞π π π⎧ ⎫ψ ω + β β −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑

În scopul reconstrucţiei semnalului ( )x τ pe baza unui cadru de funcţii "wavelet" este necesară cunoaşterea cadrelor ( ) , ZnZmnm ∈∈τψ , şi ( ) ZnZmnm ∈∈τψ ,

~ , . În

continuare se prezintă câteva exemple de cadre de funcţii "wavelet". Exemplul 1. Pălăria mexicană. Aşa după cum s-a spus deja la sfârşitul capitolului 5, această funcţie este derivata de ordinul II a unei Gaussiene, normată în aşa fel încât să aibă energie unitară:

( ) ( ) 224 11

32 2

e

= τ−τ−π

τψ (136)

Dacă se roteşte graficul funcţiei ( )τψ în jurul axei sale de simetrie se obţine o suprafaţă care seamănă cu o pălărie mexicană. În tabelul 1.7.1.2 sunt prezentate valorile marginilor cadrului ( ) , ZnZmnm ∈∈τψ , pentru diferite valori ale lui to şi 20 =a .

to A B

0,25 13,091 14,183 0,5 6,546 7,092 0,75 4,364 4,728

1 3,223 3,596 1,25 2,001 3,454

Tabelul 1.7.1.2 Margini de cadre de tip "wavelet" generate de pălăria mexicană.

Exemplul 2. Funcţia Gaussiană modulată (propusă de Morlet) Şi această funcţie a fost menţionată la sfîrşitul capitolului 5. Această "mother wavelets" are expresia analitică:

224

220

01τ

−ω

−τω− ⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

πτψ eee j = )( (137)

În practică se alege: 50 = ω .

Fiind vorba despre o funcţie complexă rezultatul aplicării reprezentării timp-frecvenţă de tipul "wavelet" bazată pe utilizarea acestei funcţii semnalului ( )x τ va fi de forma:

nmx ,,ψ şi nmxarg ,,ψ (138)

Reprezentarea nmxarg ,,ψ este foarte utilă pentru detectarea singularităţilor conţinute în semnalul ( )x τ . Formele de undă ale acestor două funcţii de tipul “mother wavelets” au fost prezentate în ultimul paragraf al capitolului 5 în figura 6.5.3 şi ele au fost folosite la construcţia figurilor 2.5.3-5.5.3. Evident că şi în cazul reconstrucţiei unui semnal pe baza eşantioanelor reprezentării sale timp-frecvenţă de tip "wavelet" se poate vorbi despre implementarea bazată pe utilizarea unui sistem compus dintr-un bloc de analiză şi unul de sinteză. De fapt relaţia:

( ) ( ) ( )t =t= , = =

, = =

nmm n

nmnmm n

nm xxtx ψψψψ ∑ ∑∑ ∑∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−,,

~,~, (138')

poate fi implementată cu sistemul din figura 2.7.1.2. La fel ca şi în cazul reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă un astfel de sistem poate fi utilizat doar dacă în structura sa intră un număr finit de subsisteme. Această situaţie poate apărea dacă semnalul ( )x t este localizat aproape în întregime într-un domeniu compact al planului timp-frecvenţă. Acesta este motivul pentru care în [5] este demonstrată o teoremă referitoare la descompunerea în cadre a unor astfel de semnale. Această teoremă se referă la cadrele generate de funcţii "mother wavelets", ( )tψ cu proprietatea că ψ şi Fψ sunt funcţii simetrice bine localizate în planul timp-frecvenţă.

Figura 2.7.1.2 Sistem de analiză şi sinteză a semnalelor de energie finită bazat pe utilizarea reprezentării

timp-frecvenţă de tipul wavelet.

Teoremă. Fie ( ) m , ZnZnm ∈∈τψ , o mulţime cu structură de cadru cu marginile A şi B

generată de o funcţie ( )τψ cu proprietăţile:

( ) 221α

−τ≤τψ + )( C , ( ) ( ) ( )

( )221γ+β

−β ωω≤ωτψ + F C , 1, 0, 1α > β > γ > .

Oricare ar fi ε > 0 , există o mulţime ( ) 210 RTB ⊂ΩΩε , , , astfel încât pentru orice

semnal de energie finită ( )x t să aibă loc relaţia:

( ) ( )

( )

( )⎥⎥

⎦

⎤εττ

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ωω≤ψψ−

∫

∫∑

>τ

Ω>ωΩ<ωΩΩ∈ ε

x + dx +

+dX AB xx

T

sau ,T, B m, n

n, mmn

2

2,

1010

~,

(139)

( )*1,0 t∨ψ

( )x t ( )*

0,0 t∨ψ

( )*1,0 t∨−ψ

( )0t

tδ

( )0

0

ta

tδ

( )0 0a t tδ

( )*1,0 t∨ψ%

( )*0,0 t∨ψ%

( )*1,0 t∨−ψ%

( )x t

( ),1CWTxTF n

( ),0CWTxTF n

( ), 1CWTxTF n −

Bancă de Bancă de Bancă de filtre de circuite de circuite de analiză eşantionare reconstrucţie Subsitem de analiză Subsitem de sinteză

Dacă semnalul ( )x τ este localizat aproape total în domeniul [ ] [ ]( , 01 Ω−Ω−×−T, T ∪ [ ] )oΩ Ω, 1 atunci primii doi termeni ai sumei din membrul drept al relaţiei (139) au valori foarte mici. Cum şi ε poate fi oricât de mic rezultă că semnalul ( )x τ poate fi aproximat în medie pătratică oricât de bine prin relaţia:

( ) ( )∑

ΩΩε∈ψψ≅

,T, B m, nm, n nm x x

10

~, , . (140)

Deci în cazul în care sunt satisfăcute condiţiile din teorema enunţată mai sus sistemul din figura 2.7.1.2 are un număr finit de blocuri constitutive. În acest caz el ar putea fi utilizat pentru eşantionarea cu reconstrucţie perfectă a semnalului ( )x t (care este localizat aproape total într-un domeniu compact din planul timp-frecvenţă). În acest sens ar putea fi generalizată teorema de eşantionare a lui Papoulis (de dat o referinta bibliografica sau o anexa). De altfel sistemul din figura 2.7.1.2 este foarte sugestiv pentru legătura care există între teoria eşantionării şi teoria funcţiilor "wavelet". Printre articolele scrise pe această temă pot fi amintite [12], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20], [21]. Interpretarea grafică a ultimei teoreme enunţate este prezentată în figura 3.7.1.2. În practică se lucrează cu valoarea 2 pentru 0a . Această valoare conduce la funcţii"wavelet" de forma:

( ) ( ) , , = Zmnmnm

m

∈−τψτψ 22 2 . Generarea numerică a acestor funcţii este mult uşurată de faptul că se lucrează cu puteri ale lui 2. Nu întotdeauna însă această valoare a lui 0a conduce la o structură de cadru convenabilă pentru mulţimea ( ) m , ZnZnm ∈∈τψ , . De aceea se prezintă în

continuare o modalitate de completare a mulţimii ( ) m , ZnZnm ∈∈τψ , pentru a se ajunge

la o structură de cadru convenabilă. Un cadru cu o astfel de structură este unul ale cărui margini satisfac condiţia:

11 AB

<<− .

Această condiţie este apropiată de condiţia 1 = = BA , care face cadrul să devină o bază ortonormală.

Figura 3.7.1.2 Mulţimea ( ), T, B 10 ΩΩε necesară pentru reconstrucţia aproximativă a unui semnal

aproape complet localizat în domeniul [ ] [ ] [ ]( )1001 ,, ΩΩ∪Ω−Ω−×−T, T pe baza eşantioanelor reprezentării timp-frecvenţă de tip "wavelet" a acestui semnal. După cum s-a arătat, structura de bază ortonormală este cea mai puţin redundantă. De aceea un cadru cu structura apropiată de cea a unei baze ortonormale merită să fie utilizat. În construcţia acestor tipuri de cadre nu se mai porneşte de la o singură funcţie "mother wavelets" ci de la mai multe. Fie acestea funcţiile ψψψ N , , , K21 . Aceste funcţii se aleg în aşa fel încât pulsaţiile la care transformatele lor Fourier au maxime să fie diferite. Ele vor trebui să fie bine localizate în frecvenţă. Procedând în acest mod se poate obţine mulţimea: Z, Z, n , m m, n ∈∈ψν N , = K1ν . În [5] se demonstrează că această mulţime este un cadru cu structură favorabilă. Prin analogia dintre un astfel de cadru şi o formaţie corală, acesta se mai numeşte şi cadru pe mai multe voci. Întrebarea firească este: Cum se aleg funcţiile

( )τψν ? O posibilitate de a alege versiuni dilatate, cu factori fracţionari, ale unei singure funcţii "mother wavelets" este:

( )( ) ( )

= ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛τψτψ

−ν−ν

νNN

11

22 . (141)

Transformatele Fourier ale acestor funcţii sunt:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

FF⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ω

τψωτψ−ν−ν

−ν

ν

NN

N = 11

1

22

12 ,

adică:

( ) ( ) ( ) ( )

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ωτψωτψ

−ν−

νN =

1

2FF .

Dacă pulsaţia la care funcţia ( ) ( )ωτψ F este maximă este cω atunci pulsaţia la care funcţia ( ) ( ) F ωτψν este maximă este:

( )

cNc = ωω−ν

ν

1

2 . Într-adevăr pulsaţiile cων sunt diferite între ele. Selectivitatea funcţiilor ( ) ( ) F ωτψν este impusă de selectivitatea funcţiei ( ) ( )ωτψ F . Deci relaţia (141) poate conduce (prin alegerea judicioasă a funcţiei ( )τψ ) la cunoaşterea unui cadru pe mai multe voci. În figura 4.7.1.2 este prezentată distribuţia punctelor în care trebuie eşantionată reprezentarea timp-frecvenţă de tip "wavelet" pentru ca semnalul de analizat să poată fi reconstruit folosind un cadru pe mai multe voci. Trebuie remarcat faptul că figurile 1.7.1.2, 3.7.1.2 şi 4.7.1.2 pot fi interpretate şi altfel. Folosind distribuţiile punctelor de eşantionare din aceste figuri pot fi imaginate procedee de reconstrucţie aproximativă prin interpolarea bidimensională a reprezentării timp-frecvenţă de tip “wavelet”. În acest context, calitatea reconstrucţiei se înbunătăţeşte cu cât creşte numărul punctelor de eşantionare utilizate. Acesta este un argument suplimentar pentru utilizarea cadrelor pe mai multe voci.

Figura 4.7.1.2 Distribuţia punctelor de eşantionare ale reprezentării timp-frecvenţă de tip "wavelet" care

permite reconstrucţia semnalului de analizat cu ajutorul unui cadru pe 4 voci (pe octavă). Profesorul de statistică de la Universitatea Stanford, David Donoho, a conceput un toolbox Matlab specializat pentru utilizarea funcţiilor wavelet, numit WaveLab, care poate fi descărcat de la adresa: http://statistics.stanford.edu/software/wavelab/index.html

În acest pachet de programe există şi o funcţie de calcul a transformării wavelet continue, CWT. Aceasta poate fi calculată folosind una sau mai multe voci. În continuare se dă un exemplu care evidenţiază diferenţele care apar atunci când se folosesc numere diferite de voci. În acest scop a fost conceput programul următor. % Explcap71 % Evidentierea efectului utilizarii unui numar diferit de voci % Generarea semnalului de analizat for x=1:512, a(x)=sin((2.*pi./128).*x); b(x)=exp(((x-255).^2)./(256.^2)); y(x)=a(x).*b(x); end % Reprezentarea grafica a acestuia figure(1); plot(y); % Calculul transformarii sale wavelet continue cu diferite numere de voci % CWT -- Continuous Wavelet Transform % Usage % cwt = CWT(x,nvoice,wavelet,oct,scale) % Inputs % x signal, dyadic length n=2^J, real-valued % nvoice number of voices/octave % wavelet string 'Gauss', 'DerGauss','Sombrero', 'Morlet' % octave Default=2 % scale Default=4 % Outputs % cwt matrix n by nscale where % nscale = nvoice .* noctave % Folosirea unei singure voci cwt = CWT(y,1,'Morlet'); % Calculul scalogramei asociate scal=(abs(cwt)).^2; scalm=max(max(scal)); scalr=scal./scalm; % Folosirea a 4 voci cwt4 = CWT(y,4,'Morlet'); % Scalograma asociata scal4=(abs(cwt4)).^2; scal4m=max(max(scal4)); scal4r=scal4./scal4m; % Reprezentarea grafica a celor doua scalograme figure(2); subplot(211); mesh(scalr); title('o voce'); subplot(212); mesh(scal4r); title('4 voci');

Semnalul supus analizei are forma de undă din figura 5.7.1.2.

0 100 200 300 400 500 600-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Figura 5.7.1.2. Se analizează un semnal modulat în amplitudine cu modulaţie de produs, semnalul

modulator fiind Gaussian.

Pătratele modulelor transformărilor wavelet continue (scalogramele) ale acestuia, calculate folosind o voce (sus) respectiv patru voci (jos) sunt prezentate în figura următoare. Aceste reprezentări sunt normalizate în amplitudine, dar au conţinuturi frecvenţiale diferite. Pentru a aprecia mai corect diferenţele de reprezentare datorate folosirii unui număr diferit de voci în figurile 7.7.1.2-9.7.1.2 sunt prezentate reprezentările mariginale corespunzătoare obţinute prin proiecţia celor două reprezentări pe planele amplitudine-timp, amplitudine-frecvenţă respectiv timp-frecvenţă. În figura 7.7.1.2 se compară comportamentul în domeniul timp al celor două variante de scalogramă. Proiecţiile au fost obţinute folosind facilitatea Matlab-ului de rotire a figurilor. Comparând cele două proiecţii cu forma de undă a semnalului analizat din figura 5.7.1.2 (şi ţinând seama de faptul că scalograma este o reprezentare timp-frecvenţă pozitiv definită) se constată că utilizarea unui număr mai mare de voci îmbunătăţeşte rezoluţia temporală a scalogramei.

Figura 6.7.1.2. Scalograma normalizată a semnalului din figura anterioară calculată cu o voce (sus) şi

patru voci (jos).

Figura 7.7.1.2. Proiecţiile pe planul amplitudine-timp ale scalogramelor din figura anterioară cu o voce

(sus) şi cu patru voci (jos).

În figura 8.7.1.2 se compară comportamentul în domeniul frecvenţă al celor două variante de scalogramă.

Figura 8.7.1.2. Proiecţiile pe planul amplitudine-frecvenţă ale scalogramelor din figura anterioară cu o

voce (sus) şi cu patru voci (jos).

Se constată că reprezentarea obţinută folosind patru voci este mai corectă deoarece componenta continuă a semnalului din figura 7.7.1.2 este practic nulă. În figura 9.7.1.2 sunt comparate proiecţiile pe planul timp-frecvenţă ale celor două variante.

Figura 9.7.1.2. Proiecţiile pe planul timp-frecvenţă ale scalogramelor din figura anterioară cu o voce (sus)

şi cu patru voci (jos).

Se constată încă odată că reprezentarea timp-frecvenţă de tip wavelet nu se concentrează prea bine pe legea frecvenţei instantanee, dacă aceasta este constantă.

7.1.2.1 BAZE ORTONORMALE DE FUNCŢII "WAVELET"

După cum s-a arătat deja, analiza cea mai puţin redundantă a unui semnal de energie finită cu ajutorul atomilor timp-frecvenţă sau timp-factor de scară are loc dacă aceştia reprezintă elementele unei baze ortonormale a spaţiului ( )RL2 . În acest paragraf se prezintă câteva exemple de baze ortonormale de funcţii "wavelet" precum şi metodele de construcţie ale unor astfel de mulţimi. Bazele ortonormale de funcţii "wavelet" sunt rezultatul unei lungi evoluţii care a început la sfârşitul secolului al XIX-lea. În anul 1873, Dubois-Raymond a dat un exemplu de funcţie continuă şi periodică cu perioada 2π a cărei serie Fourier era divergentă într-un punct dat. Această observaţie l-a condus pe A. Haar la construcţia, în anul 1909, a unei baze ortonormale foarte simplă a spaţiului [ ]10

2 ,L . El a pornit de la funcţia:

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

τ<−

<τ≤

τψ

restinH

,021,1

210,1

=

Elementele bazei sale sunt funcţiile:

( )2, ( ) 2 2 ,

mm

H m n H n m Z n Z− −ψ τ = ψ τ − ∈ ∈

Un an mai târziu, G. Faber a integrat elementele bazei Haar obţinând o bază de tip Schauder a spaţiului funcţiilor continue cu suportul [ ]0 1, . Pornind de la funcţia

( )τψH , prin integrare se obţine funcţia:

12 , 02

1( ) 2 2 , 12

0,

F

in rest

⎧ τ ≤ τ ≤⎪⎪⎪ψ τ = − τ < τ <⎨⎪⎪⎪⎩

Elementele bazei de tip Schauder sunt funcţiile:

( ) ( )nmF

m

nmF −τψτψ −−22 2

, = Dezavantajul bazei de tip Schauder este că nu pot fi dezvoltate cu ajutorul său funcţiile discontinue. În anul 1927 profesorul Ph. Franklin de la M.I.T. a avut ideea să ortogonalizeze baza lui Faber, folosind procedeul Gram-Schimdt. În acest fel el a obţinut o bază care combină avantajele bazelor de tip Haar respectiv de tip Faber [22 95]. Dezavantajul bazei lui Franklin este că elementele sale nu au formă explicită. S. Jafard a demonstrat în anul 1987 că elementele bazei lui Franklin sunt "aproape"

funcţii "wavelet". Conform aceleiaşi referinţe bibliografice o funcţie de tip "wavelet" are următoarea definiţie. Definiţia 1.7.1.2.1. Funcţia ψ de variabilă reală τ este o funcţie wavelet de regularitate r, r R∈ , dacă sunt satisfăcute următoarele două condiţii:

1) ( ) ( )τψτ + m21 aparţine spaţiului Sobolev ( )RH r pentru orice număr

natural m.

2) ( )ZnZm

mm

n

∈∈⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−τψ

,

22 2 este o bază ortonormală a lui ( )RL2 .

De fapt funcţia ψ este numită "mother wavelets" iar funcţiile ( )τψ nm , sunt funcţii "wavelet". Funcţia ψ îndeplineşte condiţia de admisibilitate:

( ) ( )∞<ω

ωωτψ

∫∞

∞−d

F .

Pentru ca această condiţie să fie îndeplinită este necesar ca ( ) ( ) 00 = F τψ . Funcţia ψ trebuie să reprezinte răspunsul la impuls al unui filtru de tip trece bandă. Dar orice astfel de funcţie are un caracter oscilant. Deoarece oscilaţiile descriu propagarea undelor (wave în limba engleză) funcţia ψ a fost numită "wavelet". Denumirea acestei funcţii în limba franceză este "ondelette". Traducerea în limba română ar putea fi "undişoară". Având în vedere rolul generator al funcţiei ψ ea fost numită "mother wavelets". După cum se va vedea în continuare există şi o funcţie "father wavelets", care se va nota cu ϕ . Ea mai poartă şi numele de funcţie de scară. Ea trebuie să verifice condiţia 1) din definiţia anterioară şi în plus mulţimea

( )ZnZm

mm

∈∈⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−τϕ

,

n 22 2 trebuie să fie o bază ortonormală a lui ( )RL2 . Problema care

reprezintă subiectul acestui paragraf este construcţia unor funcţii ( )τψ care să conducă la funcţiile:

( ) ( )nmm

nm −τψτψ 22 2 = , , (142)

cu proprietatea că mulţimea ( ) ZnZmnm ∈∈τψ , , este o bază ortonormală a lui ( )RL2 . În

continuare se vor prezenta câteva astfel de funcţii în ordine istorică. Elementele mulţimii ( ) ZnZmnm ∈∈τψ , , trebuie să fie ortonormale:

( ) ( )

⎩⎨⎧

ψψst in re, m', n' = m, n,

= , m', n'm, n 01

(143)

iar mulţimea trebuie să fie completă:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2,, m n m, n

m = n = x L R , x = x

∞ ∞

−∞ −∞

∀ τ ∈ τ ψ ψ τ∑ ∑ (144)

În continuare se stabilesc condiţii echivalente condiţiilor (108) şi (109) în domeniul frecvenţă. Pe baza relaţiei lui Parseval se poate scrie:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = nmnmnmnm ωτψωτψπ

τψτψ ',',',', ,21, FF (145)

Dar:

( ) ( ) ( )ωψωτψ −ω−− − m n j m

m, nm

e = 22 22 FF Relaţia (145) devine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )'

2 2 ' '2, '. '

'1, 2 2 22

+ -j *

= e F Fm m

n n m mm n m n

m m

d∞

− ω − − −

− ∞

− −

ψ τ ψ τ ⋅ ψ ω ψ ω ωπ ∫

(146) Se calculează membrul drept al ultimei relaţii. Se face schimbarea de variabilă

vm = ω−2 . Se obţine:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ννψνψ⋅⋅⋅⋅

πτψτψ −

∞

∞−

π

π−

νν−∑ ∫−

dee mm

k

k

k

njnjmm

nmnm

mm'

12

12

'22

'

',', 2221,

'

F F = *

=

+

-

Cu schimbarea de variabilă, π−ω k = v 2 şi cu notaţia: m '= l m − , se obţine în final:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ω⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡πωψπωψ

πτψτψ −ω−

π

π−

∞

∞−∫ ∑ de k + k + = n'n j

k =

l*l

nmnml22',', 222

212, FF

Se face notaţia:

( ) ( ) ( )( )∑∞

∞−πωψπωψω

k =

l*l k + k + =f 222 FF (147)

şi se obţine:

( ) ( ) ( ) ( )∫π

π−

−ω− ωωπ

τψτψ

n'n j l

l

nmnm d e f =l22',', 2

12, (148)

unde ( )ωlf este o funcţie periodică de perioadă 2π . Se pune condiţia de ortonormalitate (143). Se vor analiza două cazuri. Cazul I. m = m' În acest caz, 0l = . Funcţia ( )ω0f este constantă şi egală cu 1. Într-adevăr, pentru 0l = şi n = n' pe baza relaţiilor (143) şi (148) se poate scrie:

( )∫π

π−ωω

π = d f 1

21

0 .

Deci componenta continuă a funcţiei periodice ( )ω0f este egală cu 1. Pentru 0l = şi n'n ≠ pe baza relaţiilor (143) şi (148) se poate scrie:

( ) ( ) 021

0 = d e f

n'n j ∫π

π−

−ω− ωωπ

.

Deci toţi coeficienţii Fourier ai funcţiei ( )ω0f , cu excepţia componentei sale continue sunt identic nuli. În consecinţă: ( ) ( ) R = f ∈ω∀ω 10 Această relaţie este echivalentă cu:

( )∑∞

∞−πωψ

k = = k + 12 2F . (149)

Cazul II. m'm ≠ În acest caz 0 l ≠ . Funcţia ( )ωlf este constantă şi egală cu 0. Într-adevăr, pe baza relaţiilor (143) şi (148) se poate scrie:

( ) ( ) 021 2 = d e f

n'nj l

l∫π

π−

ω−− ωωπ

.

Oricare ar fi întregii l şi n' fixaţi, poate fi ales n astfel încât, n' = p n l2− , unde p este un număr întreg. De aceea, ultima relaţie arată că toţi coeficienţii Fourier ai funcţiei ( )ωlf sunt identic nuli. În consecinţă:

( ) ( ) 00 −∈∈ω∀ω ZR, l , = fl . Ultima relaţie se mai scrie în forma:

( ) ( )( ) ( ) 00222 −∈∈ω∀πωψπωψ∑∞

∞−ZR, l , = k + k +

k =

l*F F (150)

Relaţiile (149) şi (150) sunt echivalentele condiţiei de ortonormalitate în domeniul frecvenţă. Conform [23], echivalentul în domeniul frecvenţă al condiţiei de completitudine (144), este sistemul de ecuaţii:

( )( ) ( ) ( )

2

0 0

0

12

2 2 2 0 nr. int reg impar

ll

l l

l Zl

*

=

+ p = , p

∈

∈≥

⎧ ω⎛ ⎞⎪ ψ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎨

ψ ω π ψ ω ∀⎪⎪⎪⎩

∑

∑

ZF

F F

Deci mulţimea Z Z, n m m, n ∈∈ψ este bază ortonormală dacă funcţia ψ

satisface condiţiile: (149), (150), (151) şi (152). Pentru a găsi o astfel de funcţie ψ, în vara anului 1985, Yves Meyer a făcut o ipoteză "ad-hoc" şi anume:

8 2 2 8supp3 3 3 3M , , π π π π⎡ ⎤ ⎡ ⎤ψ ⊂ − − ∪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

F (153)

Dacă această ipoteză este respectată atunci devin valabile relaţiile: ( ) ( )2 0 ptr . 2l

M M l ψ ω ψ ω ≥F F = (154)

( ) ( )2 0 ptr . 3M M + k = k ψ ω ψ ω π ≥F F . (155) Într-adevăr:

(151) (152)

( ) 3 1 1 32 2 2 2supp 23 3 3 3

l l l ll

M , , − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤π π π π

ψ ω ∈ − − ∪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

F .

Dacă, 2 l ≥ , atunci:

3

23

23 π<

π−

l şi 0

321

l

>π−

şi încă:

3

23

23 π−>

π−

−

l şi 0

321

l

<π

−−

,

adică: ( ) ( ) supp supp 2l

M M = ψ ω ∩ ψ ω ∅F F , pentru l ≥ 2 .

De aceea este adevărată relaţia (154). De asemenea, suportul funcţiei ( )πωψ k +M 2F se obţine prin translatarea la dreapta cu 2kπ a suportului funcţiei ( )ωψMF . Pentru k=3 marginea stângă a

suportului funcţiei ( )ωψMF se deplasează în punctul 10

3π

. De aceea, pentru k ≥ 3

are loc relaţia: ( ) ( ) supp supp 2M M + k = ψ ω ∩ ψ ω π ∅F F .

În acelaşi fel se poate demonstra că pentru k ≤ −3 are loc relaţia: ( ) ( ) supp supp 2M M + k = ψ ω ∩ ψ ω π ∅F F . În consecinţă şi relaţia (145) este adevărată. De aceea, relaţia (149) se scrie: ( ) ( ) ( ) ( )2222 42212 π−ωψωψπ−ωψωψ MMMM + ==+ FFFF (156) Relaţia (150) conduce la: ( ) ( ) ( ) ( ) 04222 = + *

MM*

MM π−ωψπ−ωψωψωψ FFFF (157) Relaţiile (151) şi (152) conduc tot la relaţiile (156) şi (157). Soluţiile sistemului de ecuaţii (156), (157) sunt: ( ) ( )ωψπ−ωψ MM = FF 42 (158)

( ) ( ) ( )2122 ωψ−ωψπ−ωψ MMM = = FFF (159)

( ) ( ) ( )

( ) .2arg2arg42argarg

ππ−ωψ−−ωψ−π−ωψωψ

= F +

M

MMMF

FF (160)

Dacă:

( ) 2

arg ηηψ = MF ,

atunci condiţia (160) este verificată. Aceasta a fost ideea care a stat la baza soluţiei date de Yves Meyer în anul 1985. El a considerat o funcţie continuă şi indefinit

derivabilă pe intervalul ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ππ

34

32

, , ( )ωo , cu proprietăţile:

1. ( ) ( ) ( ) 03

43

21 = = o o k kk ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

≥∀ ,

2. ( ) 13

403

210 = ; o = o ; o ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

≤ω≤ ,

3. ( ) ( ) ( )2 2 43 3

F Mπo ; , π⎡ ⎤ω = ψ ω ∀ ω∈⎢ ⎥⎣ ⎦

Folosind relaţiile (187) şi (188) se prelungeşte funcţia ( )ωo la intervalul

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ππ

∪⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

−π

−3

83

23

23

8 , , . În exteriorul acestui interval funcţia se va considera nulă.

Construcţia se încheie punând:

( ) ( )ωωψω

o = e j

M 2F .

Această funcţie nu aparţine doar lui ( )RL2 ci chiar şi clasei lui Schwartz. În [5 42] este dat un exemplu de construcţie al funcţiei ( )ωo . Transformata Fourier a funcţiei "mother wavelets", la care se ajunge în această lucrare este:

( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

π≤ω≤

π⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ω

πν

ππ

π≤ω≤

π⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ω

πν

ππ

ωψω

ω

, in rest

, , e

, , e

= j

j

M

0

38

341

43

2cos

21

34

321

23

2sin

21

2

2

F (161)

unde ( )ων este o funcţie indefinit derivabilă care satisface condiţiile:

( )⎩⎨⎧

≥ω<ω

ων1100

, daca , daca

= (162)

şi: ( ) ( )1 1+ = ν ω ν −ω . (163) Un exemplu de funcţie care satisface aceste condiţii este:

( ) ( )4 2 3

0 daca 0

35 84 80 20 daca 0 1

1 daca 1

,

= ,

,

ω <⎧⎪⎪ν ω ω − ω− ω − ω ≤ ω ≤⎨⎪

ω ≥⎪⎩

(164)

Comportarea în domeniul timp a funcţiei ( )Mψ τ descrisă mai sus este prezentată în figura 1.7.1.2.1, iar comportarea sa în domeniul frecvenţă în figura 2.7.1.2.1.

Se constată buna localizare în frecvenţă şi regularitatea funcţiei lui Meyer. Din păcate viteza sa de scădere când τ → ∞ nu este foarte mare şi de aceea localizarea sa în timp nu este foarte bună. Pentru determinarea, pe baza condiţiilor (149), (150), (151) şi (152) a unor noi funcţii de tipul "mother wavelets" o altă ipoteză "ad-hoc" a fost făcută de către P.G. Lemarié în anul 1986. Având în vedere faptul că în relaţiile (149) ÷ (152) operaţiile de dilatare cu 2 şi de translaţie cu 2π au un rol important, Lemarié a încercat să disocieze aceste două operaţii, căutând soluţii de forma: ( ) ( ) ( )ωβωαωψ = LF unde funcţia ( )ωα să fie omogenă iar funcţia ( )ωβ să fie periodică de perioadă π4 . Pentru alegerea: ( ) 1−−ωωα p = relaţiile (149) ÷ (152) se reduc la: ( ) ( ) ( ) ( ) 14224 222222 = k + + + k

Zk

p

Zk

p ∑∑∈

−−

∈

−− π−πωπωβπ−ωωβ (165a)

( ) ( ) ( ) ( ) 04224 2222 = k + + + k Zk

p

Zk

p ∑∑∈

−−

∈

−− π−πωπωβπ−ωωβ (165b)

( ) 222

1

24 p+

m Zm

p+m = ω⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ωβ∑

∈ (165c)

( ) ( ) ( ) ( )π2+ωβωβωβ∑≥

− *l

l

p+l =- 2

1

1 24 . (165d)

Figura 1.7.1.2.1 Graficul funcţiei ( )τψM pentru alegerea funcţiei ν din relaţia (164).

Figura 2.7.1.2.1 Graficul modulului

transformatei Fourier a funcţiei ( )τψM .

Primele două relaţii ((165a) şi (165b)) sunt suficiente pentru determinarea funcţiei ( )ωβ (modulo un factor arbitrar de modul unitar, periodic de perioadă 2π ):

( ) ( ) ( )ωγωβωβω

e = j

2 cu ( ) 1 = ωγ şi ( ) ( )ωγπ+ωγ =2 . O astfel de soluţie verifică şi relaţiile (165c) şi (165d). Funcţia Lψ verifică relaţia: ( ) ( )ωβωψω + = L

p F1 . De aceea se poate afirma că "funcţia" )1( +ψ p

L este o combinaţie liniară de distribuţii Dirac centrate în multiplii întregi de 1/2. De aceea este clar că funcţia Lψ este o funcţie "spline". Deci ea este continuă şi derivabilă de p-1 ori (aceste derivate sunt şi

ele continue). Restricţia funcţiei Lψ la intervale de forma ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

21

2k + , k este un polinom

de grad mai mic sau egal cu p. Mai mult, dacă se face alegerea:

( ) 2

arg ωωβ = ,

atunci atât funcţia Lψ cât şi primele sale p derivate sunt cu descreştere exponenţială.

7.1.2.2 CONCEPTUL DE ANALIZĂ MULTIREZOLUŢIE

Metodele de construcţie a funcţiilor mother wavelets prezentate până aici se bazau pe ipoteze "ad-hoc". La sfârşitul anului 1986 Stephan Mallat şi Yves Meyer au fondat conceptul de "multirezoluţie". Pe baza acestui concept pot fi construite sistematic funcţii mother wavelets generatoare de baze ortonormale ale spaţiului

( )RL2 . Definiţia 1.7.1.2.2. Mulţimea de spaţii Hilbert închise (subspaţii ale lui ( )RL2 ), ZmmV ∈ se numeşte analiză multirezoluţie a spaţiului ( )RL2 dacă elementele sale satisfac următoarele condiţii: 1. KK 21012 VVVVV ⊂⊂⊂⊂ −− 2. ( )RLVm

m2 =

Z∈∪

3. 0 = m

ZmV

∈∩

4. ( ) ( ) m

m VfVf ∈τ⇔∈∀ 20 5. Există o funcţie ϕ în Vo astfel încât mulţimea ( ) Zn∈−τϕ n să reprezinte o bază ortonormală a spaţiului Vo.

Această definiţie este ilustrată în figura următoare, pentru cazul în care funcţia f considerată este o imagine, prezentată pe coloana din stânga. Pe coloana din mijloc este prezentată proiecţia imaginii f pe spaţiul V1 iar pe coloana din dreapta este prezentată proiecţia imaginii f pe spaţiul V2.

Figura 1.7.1.2.2. Exemplu de analiză multirezoluţie. Cea mai bună rezoluţie o are imaginea din stânga

(matricea asociată acestei imagini are 256 de linii şi 380 de coloane). Imaginea din mijloc are o rezoluţie de două ori mai mică (matricea asociată are 128 de linii şi 190 de coloane). Imaginea din dreapta are cea

mai mică rezoluţie (matricea asociată are 64 de linii şi 95 de coloane).

Funcţia ϕ , după cum s-a spus deja, poartă numele de funcţie de scară. În continuare se prezintă un prim exemplu de analiză multirezoluţie a spaţiului ( )RL2 . Exemplul 1. Analiza multirezoluţie de tip Haar:

( ) 1, 0 10, altfelH

≤ τ <⎧ϕ τ = ⎨

⎩

Dacă se analizează mulţimea ( ) ZnH n ∈−τϕ se constată că aceasta este ortonormală. Pentru a demonstra această afirmaţie se calculează:

( ) ( ) ( ) ( )∫∞

∞−τ−τϕ−τϕ=−τϕ−τϕ dnnnn HHHH '', *

Ţinând seama de faptul că ( ) [ )1, +=−τϕ nnnsupp H , rezultă că ( ) ( ) 0', =−τϕ−τϕ nn HH dacă 'nn ≠ .

De asemenea:

( ) ( ) 1',1

0=τ=−τϕ−τϕ ∫ dnn HH

Mulţimea ( ) ZnH n ∈−τϕ este o bază ortonormală a spaţiului:

( )RLfVH2

0 ∈= f este constată pe intervalul [ ) ( ) Znnn ∈∀+ ,1, . Deci condiţia 5 este verificată. Fie f1 un element al lui 0VH . Se constată că funcţia ( )τ21f este constantă pe

orice interval de forma ⎟⎠⎞

⎢⎣⎡ +

21,

2nn , adică este un element al spaţiului 1VH . Deci

condiţia 4 este verificată.

Se constată că odată cu creşterea lui m intervalul ⎟⎠

⎞⎢⎣

⎡ +mm

nn2

1,2

, din definiţia spaţiului

mHV se îngustează. Atunci când m tinde la ∞ , lăţimea acestui interval tinde la 0. De aceea se poate afirma că şi condiţia 2 este verificată.

Când m tinde la - ∞, lăţimea intervalului ⎟⎠

⎞⎢⎣

⎡ +mm

nn2

1,2

tinde la ∞. Dar singura

funcţie din ( )RL2 , constantă, este funcţia identic nulă. Deşi şi condiţia 3 este verificată. Deoarece verificarea condiţiei 1 este trivială rezultă că într-adevăr, mulţimea ZmmHV ∈ este o analiză multirezoluţie a lui ( )RL2 . Se remarcă, aplicând

relaţiile (4’), buna localizare în timp, 2 13

Htϕσ = şi slaba localizare în frecvenţă,

2Hϕ ωσ = ∞ , a funcţiei ( )τϕH .

În continuare se demonstrează următoarea teoremă, care permite construcţia de noi baze ortonormale ale spaţiului ( )RL2 pornind de la diferite analize multirezoluţie.

Teorema 1.7.1.2.2. Mulţimea ( ) ( )Zn

mnm n

m

∈⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−τϕτϕ

= 22 2, este o bază ortonormală a

spaţiului Vm. Demonstraţie. Se demonstrează pentru început că mulţimea considerată este ortonormată.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 '

, , ' , , '

222 2

2 '

1, ,2

1 2 2 , 22

1 2 2 * 22

F

F F

F

F F

mj n mm

m

m n m n m n m n

m m ej n m

j n nm m m

e

e d

−− ω −−

−

− − ϕ ω− ω −

∞− ω −− − −

−∞

ϕ ϕ = ϕ ϕ =π

= ϕ ω =π

ϕ ω ϕ ω ωπ ∫

sau făcând schimbarea de variabilă: νω− = m2 se obţine:

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,= F , F =

= e FeF=

= e Fe F =

= e F = ,

, ,

''21

,21

21

21

'

'

'2'

nnvnvn

dvvv

dvv

jvnjvn

*jvnjvn

nnvjnmnm

−τϕ−τϕ−τϕ−τϕπ

ϕνϕπ

ϕϕπ

ϕπ

ϕϕ

−−

−−∞

∞−

−−∞

∞−

∫

∫

Dar funcţiile ( )n−τϕ şi ( )'n−τϕ sunt elemente ale mulţimii ( ) Znn ∈−τϕ care este baza ortonormală a spaţiului Vo. De aceea :

( ) ( ) [ ]⎩⎨⎧

≠−δτϕτϕ

n', n, n=n'

n'n nmm,n 01

', = = ,

Deci mulţimea Znm, n ∈ϕ este ortonormată. Fie semnalul ( )τ0x element al spaţiului Vo. Se poate scrie: ( ) ( ) ( ) ( )nn, x= x

Zn −τϕ−τϕττ ∑

∈00

Semnalul: ( ) ( )0 2m

mx xτ = τ

va putea fi scris în forma:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

20 ,

, 2

2 ,

mm

n Zm

m nn Z

x x n n

x n

∈

−

∈

τ = τ ϕ τ − ϕ τ − =

= τ ϕ τ − ϕ τ

∑

∑

Se calculează:

( ) ( ) ( ) ( ) τ−τϕττϕτ ∫∞

∞dnxx m*m

nmm

m

= -

222, 20,

Făcând schimbarea de variabilă: 2 = mu τ se obţine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nxduu-nuxxmm

*nmm −τϕτϕτϕτ

−∞

∞−

−∫ ,22, 0220, = =

De aceea se poate scrie: ( ) ( ) ( ) ( )τϕτϕττ ∑

∈nm

Znnmmm xx ,

= ,,

În concluzie mulţimea Znnm ∈τϕ , )( este şi completă. Enunţul este demonstrat. În continuare se exploatează dualitatea indusă de transformarea Fourier pe spaţiul ( )RL2 demonstrându-se următoarea teoremă.

Teorema 2.7.1.2.2. Dacă mulţimea ( ) Znn ∈τϕ ,0 este o bază ortonormală a

spaţiului Vo atunci mulţimea ( ) ( )Zn

nt∈⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

ω−ϕπ

F 21 este o bază ortonormală a

spaţiului F Vo. Demonstraţie: Se notează cu F Vo mulţimea formată din transformatele Fourier ale elementelor lui Vo.

Pentru început se verifică ortonormalitatea mulţimii ( ) ( )Zn

nt∈⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

ω−ϕπ

F 21 .

Avem:

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]n'nnnnn −δ−τϕ−τϕππ

−τϕπ

−τϕπ

= ,=F ,F '22'

21

21

Deci mulţimea ( ) 12

Fn Z

n∈

⎧ ⎫ϕ τ −⎨ ⎬

π⎩ ⎭este ortonormală.

Fie ( )x τ un element al spaţiului Vo. Se poate scrie:

( ) ( ) ( ) ( ),n

x x n n∞

=−∞τ = τ ϕ τ − ϕ τ −∑

Luând în ambii membrii transformata Fourier se obţine:

( ) ( ) ( ) ( ) nnxXn

−τϕ−τϕτω ∑∞

∞−F =

=,

Dar:

( ) ( ) ( ) ( ) 1, ,2

F Fx n x nτ ϕ τ − = τ ϕ τ −π

Deci:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,2

F F -n

X x n∞

=−∞ω = τ ω ϕ τ ω

π∑

Rezultă că mulţimea ( ) ( )12

Fn Z

n∈

⎧ ⎫ϕ τ − ω⎨ ⎬

π⎩ ⎭este şi completă şi enunţul teoremei este

demonstrat.

Aplicând teorema de mai sus în cazul spaţiilor Vm rezultă că în spaţiile F Vm avem bazele ortonormale Znnm ∈ϕ ,F . De fapt dacă ZmmV ∈ este o analiză

multirezoluţie a lui ( )RL2 atunci şi mulţimea ZmmV ∈ F este o analiză multirezoluţie

a lui ( )RL2 . Aceste modalităţi de construcţie a noi analize multirezoluţie, pornind de la analize multirezoluţie deja cunoscute au fost prezentate în [18]. Se continuă seria exemplelor de analiză multirezoluţie. Având în vedere că:

( )ωπ

⎯→←τπ

π2

22

p Fsinc

şi că:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ=τψ

21

21pH

pe baza ultimei propoziţii demonstrate şi pe baza exemplului 1, rezultă cel de al doilea exemplu de analiză multirezoluţie din acest paragraf. Exemplul 2. Analiza multirezoluţie de tip Palley - Wiener ( ) ( )πττϕ − = sincWP

( ) ( ) ( ) 20 0, cuF V f L R f= ∈ ω = ∀ ω ω > π

Se remarcă identitatea spaţiilor Hilbert Vo şi B2π (spaţiul semnalelor de energie finită şi

bandă limitată, π ). Condiţia 5 din definiţia analizei multirezoluţie reprezintă pentru acest exemplu tocmai cunoscuta teoremă de eşantionare WKS [24]. Trebuie de asemenea remarcat că funcţia ( )τϕ −WP are o bună localizare în frecvenţă dar că localizarea sa în timp este slabă. Într-adevăr, aplicînd formulele (4’):

2P Wt

−ϕσ =∞ şi

32

12P W−

ϕ ωπ

σ = .

Teorema 2.7.1.2.2 poate fi reformulată chiar şi într-o formă mai generală. Teorema 3.7.1.2.2 Fiind dată funcţia reală, ( )ωµ , continuă pe porţiuni şi baza ortonormală a subspaţiului Hilbert închis F Vm :

( ) ,012

F mn Z

n∈

⎧ ⎫ϕ τ −⎨ ⎬

π⎩ ⎭

şi mulţimea:

( ) ( ) ( ),012

Fjm

n Ze nµ ω

∈

⎧ ⎫ϕ τ − ω⎨ ⎬

π⎩ ⎭

este o bază ortonormală a unui spaţiu Hilbert. O demonstraţie a acestei teoreme este prezentată în [25]. Pentru ca

mulţimea ( ) ( ) ( ),012

Fjm

n Ze nµ ω

∈

⎧ ⎫ϕ τ − ω⎨ ⎬

π⎩ ⎭să reprezinte baza ortonormală a unui

subspaţiu F Vo, element al unei analize multirezoluţie este necesar ca funcţia ( )ωµ să satisfacă condiţia: ( ) ( ) ( ) Zm m ∈∀ωµωµ = 2 (166) Această condiţie este satisfăcută de exemplu de funcţia:

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π−ωωµ

2 = sgn

În acest caz se obţine: ( ) sgnje jµ ω = − ω

De aceea mulţimea ( ) ( ) ( ),012

Fjm

n Ze nµ ω

∈

⎧ ⎫ϕ τ − ω⎨ ⎬

π⎩ ⎭devine de forma

( ) ( ) Zn

m, n ∈⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

ω−τϕπ

021

HF . Cu H s-a notat transformarea Hilbert. De aceea se

poate formula următoarea teoremă. Teorema 4.7.1.2.1 Dacă mulţimea ( ) ,0m n Z

n∈

ϕ τ− este o bază ortonormală a unui

spaţiu Vm, atunci mulţimea ( ) ,0H m n Zn

∈ϕ τ − este o bază ortonormală a spaţiului

HVm. De fapt, deoarece: ( ) ( ) ( ) ( )2 2H Hm mf u t f u t=

rezultă că dacă ZmmV ∈ este o analiză multirezoluţie a lui ( )RL2 atunci şi H Vm este

o analiză multirezoluţie a lui ( )RL2 . În consecinţă se poate trage concluzia că dacă ϕ generează o analiză multirezoluţie a spaţiului ( )RL2 atunci şi funcţia H ϕ generează o astfel de analiză. În continuare se prezintă câteva comentarii referitoare la conceptul de analiză multirezoluţie. În primul rând trebuie observat că acest concept se păstrează chiar dacă condiţia 5 este puţin mai generală, impunând ca mulţimea Znn ∈−τϕ )( să fie o bază Riesz a spaţiului Vo. Făcând notaţia: ( ) ( )2 2

2Fk

m kω = ϕ ω+ π∑

se constată că pentru ca mulţimea considerată să fie o bază Riesz este necesar ca să existe constantele pozitive A şi B astfel încât:

( ) 2A m B≤ ω ≤

Dar ( )2ωm reprezintă transformata Fourier în timp discret a semnalului obţinut prin eşantionarea ideală, cu pas unitar a autocorelaţiei semnalului ( ) [ ]n rt ϕϕ , ( ) [ ], t r nϕϕϕ . În continuare se demonstrează câteva propoziţii ajutătoare, [26]. Propoziţia 1.7.1.2.2. Oricare ar fi funcţia de scară generatoare a unei baze Riesz a lui Vo, ( ) Znn ∈τϕ - există o funcţie ( )ω0m , indefinit derivabilă, astfel încât: ( ) ( ) ( )ωϕωωϕ FF = m02

Demonstraţie. Deoarece spaţiul V- 1 este inclus în Vo, funcţia ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τϕ

2 , din V- 1 poate fi

descompusă în baza lui Vo, în forma:

( ) ( )nnn

−τϕ−τϕ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τϕ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τϕ ∑ = ,

221

221

Se face notaţia:

[ ] ( )01 ,2 2

m n nτ⎛ ⎞= ϕ ϕ τ −⎜ ⎟⎝ ⎠

Trecând ultima relaţie în domeniul frecvenţă, se obţine:

( ) [ ] ( )02F Fj n

nm n e− ω⎛ ⎞

ϕ ω = ϕ ω⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∑

Deci funcţia ( )0m ω reprezintă transformata Fourier în timp discret a secvenţei [ ]0m n . În continuare se consideră mulţimea ( ) Znn ∈−τϕ0 , cu:

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )0 , 0,

FF m R

m

ϕ τ ωϕ τ ω = ω ≠ ∀ ω∈

ω (167)

Se descompune funcţia generatoare a acestei mulţimi în baza ( ) n Zn

∈ϕ τ − . Se obţine:

( ) ( ) ( ) ( )nnZn

−τϕ−τϕτϕτϕ ∑∈

=

,00

sau trecând în domeniul frecvenţă: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 ,F Fj n

n Zn e− ω

∈ϕ τ ω = ϕ τ ϕ τ − ϕ ω∑

adică, pe baza relaţiei (167):

( ) ( ) ( )ω⋅−τϕτϕ ω−

∈∑ m

en nj

Zn

1,0 =

(168)

se caută condiţiile pentru ca mulţimea ( ) Znn ∈−τϕ 0 să fie ortonormată. Se poate demonstra imediat că:

( ) ( ) ( ) ( )21

0 0 0, ' 'F Fn n n n− ⎧ ⎫ϕ τ − ϕ τ − = ϕ τ −⎨ ⎬⎩ ⎭

sau ţinând seama de relaţia Wiener-Hincin: ( ) ( ) ( )nnrnn −−τϕ−τϕ ϕϕ '', 0000 = (168')

Deci pentru ca mulţimea considerată să fie ortonormată este necesar ca: ( ) [ ]kkr = δϕϕ00 (168'') Trecând, în domeniul frecvenţă, cu ajutorul transformatei Fourier în timp discret se obţine: ( ) 1

00= e

kkr kj

ω−

ϕϕ∑

adică: ( ) 12 2=

k k + ∑ πωϕF (169)

Propoziţia 2.7.1.2.2 Mulţimea ( ) Zn n ∈−τϕ0 este o bază ortonormală a lui Vo. Demonstraţie: Pentru început se verifică ortonormalitatea.

( ) ( )( )

22

02

22

FF

k k

kk

m kϕ ω+ π

ϕ ω+ π =ω+ π∑ ∑

Ţinând seama de periodicitatea cu π2 a funcţiei ( ) 2m ω , rezultă:

( )( )

( )2 20 2

12 2F Fk k

k km

ϕ ω+ π = ϕ ω+ πω

∑ ∑

sau ţinând seama de definiţia funcţiei ( ) 2m ω , se obţine:

( ) 20 2 1F

kkϕ ω+ π =∑

În consecinţă mulţimea este ortonormată. În continuare se demonstrează că această mulţime este şi completă. Fie ( )x τ un semnal din Vo. Se poate scrie: ( ) ( ) ( ),

k Zx x k

∈τ = τ ϕ τ −∑

sau trecând în domeniul frecvenţă:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), F Fj kx

n ZX x k e m− ω

∈

⎛ ⎞ω = τ ϕ τ − ⋅ ϕ ω = ω ϕ ω⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

adică: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0FxX m mω = ω ⋅ ω ⋅ ϕ τ ω Revenind în domeniul timp: ( ) ( ) ( )0x pτ = τ ∗ ϕ τ

unde: ( ) ( ) ( )xp m mτ ↔ ω ω

Ţinând seama de periodicitatea cu π2 a produsului ( ) ( )xm mω ω rezultă că ( )p τ trebuie să fie de forma:

( ) ( )kk

p p kτ = δ τ −∑

În consecinţă expresia lui ( )x τ devine:

( ) ( )∑ −τϕ=τk

k k px 0

Deci mulţimea considerată este completă. Cu alte cuvinte oricărei baze ortonormale ( ) Znn ∈−τϕ 0 îi corespunde baza Riesz a lui Vo, ( ) Znn ∈τϕ - , legătura între aceste mulţimi făcându-se cu relaţia:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )22

0 2cu ∑ πωϕωωωτϕ

ωτϕk

k + = m m

= FF

F

De aceea condiţia 5 din definiţia analizei multirezoluţie poate fi generalizată. Se continuă seria exemplelor de analiză multirezoluţie. Exemplul 3. Analiza multirezoluţie cu funcţii spline. ( ) ( ) ( ) 2

0V x L R x= τ ∈ τ este o funcţie de gradul I pe [ ) , 1 , k k k Z+ ∈ .

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧≤τ<τ−≤τ≤−τ

τϕaltfel ,

, , +

= 0

101011

1 S

Mulţimea ( ) ZnS n ∈−τϕ 1 este o bază Riesz a lui Vo. Într-adevăr:

( )

2

1

2

2

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ω

ω

↔τϕ

sin

S

De aceea:

( ) ( )

4

22sin

22

2

FS Sk k

km k

k

ω⎛ ⎞+ π⎜ ⎟⎝ ⎠ω = ϕ ω+ π =ω+ π

∑ ∑ (170)

Dar ( ) 2m ω este transformata Fourier în timp discret a semnalului ( )τϕϕ SSr 11

obţinut prin eşantionarea ideală cu pas unitar a autocorelaţie semnalului ( )τϕS1 . În continuare se calculează [ ]nr SS ϕϕ 11 .

[ ] ( ) ( ) ( )32110

0

1

21

0

22111 = + + = =

∫∫∫−

∞

∞−ϕϕ ττττ−ττϕ dddr SSS

[ ] ( ) ( ) ( )( )1 1

0

1 11

11 1 16S S S Sr d d

∞

ϕ ϕ−∞ −

± = ϕ τ ϕ τ + τ = + τ −τ τ =∫ ∫

[ ] 011 = kr SS ±ϕϕ dacă 1k > Deci:

( ) ( ) ωω ωω− + = + + = coseem jjS 3

132

61

322 (171)

În consecinţă:

( ) 131 2 ≤ω≤ Sm

Aşadar mulţimea ( ) ZnS n ∈τϕ -1 este bază Riesz a spaţiului Vo. Pentru a determina şi funcţia ( )τϕ 01 S trebuie identificată funcţia ( )ωSm . Se va presupune că aceasta este de forma: ( ) ωω j

S a + b em = Pe baza relaţiei (171) se poate scrie:

( ) ( ) ( ) ( )*2 1 cos3 3

j jS Sm m a be a beω − ω+ ω = ω ω = + +

adică:

2 2 2

316

a b

ab

⎧ + =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

Soluţiile acestui sistem sunt:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

311

21

311

21

= ; + = ba

Deci:

( ) ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω + + = j

S em3

1121

311

21

În consecinţă:

( ) e + +

=F

ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

τϕj

S

sinc

311

21

311

21

2

2

1

Aplicând transformata Fourier inversă se determină funcţia generatoare a bazei ortonormale de translatate a spaţiului Vo. Se remarcă faptul că: ( ) ( ) ( )τϕ∗τϕτϕ HHS = 1 Convoluţionând în continuare cu ( )τϕH se obţin noi funcţii de scară (spline de ordin superior): ( ) ( ) ( )τϕ∗τϕτϕ HSS = 12 (şi aşa mai departe) care generează noi analize multirezoluţie ale spaţiului ( )RL2 . Acestea se numesc analizele multirezoluţie de tip Battle-Lémarié. Formula generală de calcul este: ( ) ( ) ( )τϕ∗τϕτϕ − HSmSm = 1 Această formulă poate fi rescrisă în forma:

( ) ( )∑ −τϕτϕ −m

mkm

mSm

kkC

022 1

= =

sau în forma [27]:

( ) j

e = F

mj

Sm ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ω−

ωϕω−1

Funcţia ( )τϕS1 este bine localizată în timp dar localizarea sa în frecvenţă este

mai slabă. Într-adevăr, aplicând relaţiile (4’) se obţine: 1

2 16S

tϕσ = şi 1

2S

ωϕ σ = ∞

Convoluţionând de mai multe ori cu ( )τϕH se îmbunătăţeşte localizarea frecvenţială, dar localizarea temporală se înrăutăţeşte. În continuare se interpretează noţiunea de analiză multirezoluţie precum şi cerinţele care intervin în definiţia sa. Să începem cu semnificaţia spaţiilor Vm. Fie ( )x τ un semnal de energie finită şi ( )mx τ proiecţia sa pe spaţiul Vm, element al unei

analize multirezoluţie, indusă de funcţia de scară ϕ . Pe baza teoremei proiecţiei, [28], se poate scrie: ( ) ( ),0, 0 m mx x n m Z− ϕ τ − = ∀ ∈ adică: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),0 ,0, , m m mx n x n n Zτ ϕ τ − = τ ϕ τ − ∀ ∈ (172)

Aparţinând lui Vm, semnalul ( )mx τ se poate descompune în baza ( ) Znm n ∈−τϕ , 0 în forma:

( ) ( ) ( ) ( ),0 ,0,m m m mn

x x n n∞

=−∞τ = τ ϕ τ − ϕ τ −∑

sau ţinând seama de relaţia (172):

( ) ( ) ( ) ( ),0 ,0,m m mn

x x n n∞

=−∞τ = τ ϕ τ − ϕ τ −∑ (173)

Eroarea medie pătratică cu care aproximează semnalul ( )mx τ semnalul ( )x τ este:

( ) ( ) 222 τ−τ= mm xxe Se zice că semnalul ( )mx τ este aproximarea de rezoluţie m a semnalului ( )x τ . De exemplu în figura 1.7.1.2.2, pe coloana din stânga este prezentată imaginea x0(t), pe coloana din mijloc este prezentată aproximarea de rezoluţie 1, x1(t) iar pe coloana din dreapta este prezentată aproximarea de rezoluţie 2, x2(t) [34]. Folosind o analiză multirezoluţie pot fi deci obţinute aproximările de diferite rezoluţii ale semnalului analizat. După cum se ştie în diferite aplicaţii ale prelucrării semnalelor sunt necesare aproximări de diferite rezoluţii ale semnalului de interes. Dacă este vorba de exemplu de deplasarea unui robot pe urmele unei ţinte în mişcare atunci din întreaga imagine achiziţionată de robot, acesta are nevoie doar de o anumită porţiune (cea care conţine imaginea ţintă). Aceasta va putea fi extrasă din imaginea achiziţionată prin scăderea rezoluţiei acesteia până la nivelul corespunzător posibilităţii de identificare a unor obiecte cu dimensiuni comparabile cu cele ale ţintei. Realizarea acordului dintre semnalul de analizat şi rezoluţia necesară aplicaţiei este foarte importantă pentru aplicaţia avută în vedere deoarece conduce la suprimarea

detaliilor inutile (pentru aplicaţia considerată) din semnalul de analizat. Iată de ce o primă aplicaţie a analizei multirezoluţie este în compresia semnalelor. Pe baza relaţiei (173) se constată că semnalul ( )mx τ se obţine prin analiza semnalului ( )x τ bazată pe funcţiile ( )τϕ nm , . Dacă funcţia ( )τϕ are suport compact (aşa cum este de exemplu cazul funcţiei

( )τϕH sau al funcţiilor ( )τϕSk k Z∈ ) atunci suportul funcţiilor ( )τϕ nm , va fi de m ori mai scurt. De aceea analiza în spaţiul Vm a semnalului ( )x τ va fi mai localizată (mai detailată) decât analiza aceluiaşi semnal în spaţiul Vo (pentru 0>m ). Se observă caracterul de "microscop matematic" al analizei multirezoluţie. În continuare se prezintă modul în care poate fi utilizat conceptul de analiză multirezoluţie la construcţia bazelor ortonormale de funcţii "wavelet" ale spaţiului

( )RL2 . În acest scop se detaliază pentru început conceptul de descompunere ortogonală a acestui spaţiu.

7.1.2.3 CONCEPTUL DE DESCOMPUNERE ORTOGONALĂ

Acesta este bine cunoscut în analiza funcţională, [11], şi reprezintă o modalitate de construcţie a unei baze ortonormale a unui spaţiu Hilbert pornind de la bazele ortonormale ale unor subspaţii ortogonale. Definiţia 1.7.1.2.3 Şirul de subspaţii Hilbert închise ZmmW ∈ este o descompunere

ortogonală a lui ( )RL2 , dacă sunt îndeplinite condiţiile: 1. m pm p W W≠ ⇒ ⊥

2. ( )RLWmZm

2 = ∈∪

În continuare se vor construi descompuneri ortogonale ale lui ( )RL2 corespunzătoare unor analize multirezoluţie. Aceste descompuneri ortogonale vor fi generate de funcţii "mother wavelets". În paragraful anterior s-a demonstrat că oricare ar fi funcţia ( )τϕ0 există o funcţie ( )0m ω astfel încât: ( ) ( ) ( )ωϕωωϕ 000 2 FF = m În continuare se demonstrează o proprietate a funcţiilor ( )0m ω . Funcţia ( )τϕ0 generează o bază ortonormală de translatate pe Vo.

De aceea:

( ) ( ) R , = k + k =

∈ω∀πωϕ∑∞

∞−12 2

0F (174)

Făcând în ultima relaţie schimbarea de variabilă: ω→ω 2 se poate scrie:

( )( ) 12 20 F =+ k

k = ∑∞

∞−πωϕ

sau:

( ) ( ) 120

20 F =+ k m+ k

k = ∑∞

∞−πωπωϕ

sau:

( ) ( )

( )( ) ( )( ) 11212

22

20

20

20

20

= F

F

∑

∑

∞

∞−

∞

∞−

πωπωϕ

πωπωϕ

p =

p =

p++ m p++ +

+ p + m p +

şi ţinând seama de periodicitatea cu 2π a funcţiei ( )0m ω (acesta reprezintă răspunsul în frecvenţă al unui filtru numeric):

( ) ( ) ( ) ( )( ) 1122 20

20

20

20 =+ +F+++F

= = ∑∑∞

∞−

∞

∞−πωϕπωπωϕω

pppmpm

Ţinând seama de ortonormalitatea mulţimii Znn ∈−τϕ )(0 rezultă:

( ) ( ) 120

20 = + π+ωω mm (175)

Deci răspunsul în frecvenţă al filtrului numeric care face legătura între generatoarele bazelor ortonormale ale spaţiilor Vo şi V- 1 are proprietatea exprimată de relaţia (175). În continuare se consideră funcţia: ( ) ( ) 101 = = π+ωω ω− *j mem Cu ajutorul acesteia se construieşte funcţia ( )τψ cu transformata Fourier: ( ) ( ) ( )ωϕωωψ 012 FF = m

Fie W spaţiul vectorial generat de mulţimea Zk

k∈⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ

ψ

2

şi fie:

( )RLWW 21 ∩− =

În [26] este demonstrată următoarea afirmaţie. Propoziţia 1.7.1.2.3 Se consideră analiza multirezoluţie a lui ( )RL2 , ZmmV ∈ şi spaţiul vectorial 1−W definit mai sus. Sunt valabile următoarele proprietăţi: 1. 11 −− ⊥VW ,

2. Mulţimea Zk

k∈⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ

ψ

2

este o bază ortonormată a spaţiului W−1,

3. 11 −⊥

− ⊕ WVVo = . Demonstraţie. Pentru a demonstra consecinţa 1, se arată pentru început că:

oVW ⊂−1 Pornind de la relaţia:

( ) [ ] nj

nnm

= e = m ω−

∞

∞−∑ω 00

se obţine:

( ) ( ) [ ] ( )πω∞

∞−

ω−ω− ∑πωω + = += m nj

n =

j*j enmem e 001

S-a presupus că ( )ω0m este răspunsul în frecvenţă al unui filtru numeric cu răspunsul la impuls funcţie reală. Deci:

( ) [ ] ω∞

∞−

ω− ∑ω jn

n =

j enm em 01 =

sau cu schimbarea de indice: 1−− nk =

( ) ( ) [ ] ω−∞

∞−

−∑ −−=ω j k

n =

k ek m m 11 01

1 (176)

Se remarcă relaţia dintre coeficienţii filtrelor numerice cu răspunsurile în frecvenţă

( )ω0m şi ( )ω1m :

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ]1111 01

01

1 −−−− ∨−− n m = n m =nm nn (177)

Dar ( )ωψ 2F este transformata Fourier a funcţiei ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τψ

221

.

De aceea pe baza relaţiei (176) se poate scrie că:

( ) [ ] ( )n n m= n =

n −τϕ−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τψ ∑

∞

∞−

−00

1 1122

1 (177')

Pe baza ultimei relaţii se poate afirma că toate funcţiile ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ

ψ k2

sunt elemente ale lui

Vo. Deci şi combinaţiile lor liniare vor fi elemente ale lui Vo. Dar aceste combinaţii liniare sunt şi elemente ale lui W-1. Deci:

oVW ⊂−1 Înainte de a demonstra consecinţa 1 a propoziţiei de care ne ocupăm, se demonstrează consecinţa 2. În acest scop se calculează în primul rând suma: ( )( )22∑

∈πωψ

Zk +k S = F

Se poate scrie:

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )2

02

1

20

21

20

21

1212

22

∑

∑∑

∈

∈∈

πωϕπω

+πωϕπωπωϕπω

Zp

Zp Zk

p++ p++ m +

p+p+ m=+k+k mS=

F

FF

sau pe baza periodicităţii cu 2π a funcţiei ( )21 ωm :

( ) ( ) ( ) ( )( )20

21

20

21 122 ∑∑

∈∈πωϕπ+ωπωϕω

Zp Zp p++m+p+m S= FF

Ţinând seama de ortonormalitatea mulţimii ( ) Zk k ∈−τϕ0 se obţine:

( ) ( )21

21 π+ωω mmS + =

Dar:

( ) ( ) ( )20

20

21 π+ωπ+ωω ω− m = me= m *j

şi:

( ) ( ) ( ) ( )20

20

21 ωωπ+ω πω− m = me= m * + j

Deci, pe baza relaţiei (175), se poate scrie:

( )( ) ( ) ( ) ( )1 12 2 21 2 ,F S k m m R

k = = ψ ω+ π = ω + ω+π ∀ ω∈∑ (178)

Se remarcă că şi filtrul cu răspunsul în frecvenţă ( )ω1m îndeplineşte o condiţie de tipul (175).

Dacă în relaţia (178) variabila ω se înlocuieşte cu 2ω se poate scrie:

12

22

= +k k ∑ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ πω

ψF

adică: ( ) 12 2= k +

k ∑ πωψF (179)

S-a demonstrat în acest mod că mulţimea ( ) Znn ∈−τψ este ortonormată:

( ) ( ) [ ],k l k lψ τ− ψ τ− = δ − (180) În continuare se calculează produsele scalare:

( ) ( ) ( )1 1

1 1 1 * 12 22 2 , 2 2 2 2k l k l d∞− −− − − −

−∞

ψ τ − τ − = ψ τ− ψ τ− τ∫

După schimbarea de variabilă: τ−12 = u ultima relaţie devine: ( ) ( ) [ ]1, 1,, ,k l k l k l− −ψ ψ = ψ τ− ψ τ − = δ − (181)

În consecinţă mulţimea Zk

k∈⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ

ψ22

1 este ortonormată.

Fie ( )0x τ un element al lui Vo: ( ) ( )∑ −τϕτ

k,k ka= x 000

În domeniul frecvenţă această relaţie devine: ( ) ( ) ( )ωϕωω 00 F = xmX Fie semnalul ( )τ−1x obţinut prin filtrarea semnalului ( )τ0x cu filtrul cu răspunsul în frecvenţă ( )ω1m . Se obţine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = m m = m X mX xx ωψωωϕωωωω=ω− 201011 FF În consecinţă semnalul ( )τ−1x se exprimă ca şi o combinaţie liniară de elemente ale

mulţimii Zk

k∈⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ

ψ22

1 . De aceea se poate afirma că această mulţime este

completă în W−1 . În consecinţă ea este o bază ortonormală a acestui spaţiu. Consecinţa 2 a teoremei pe care o analizăm este deci demonstrată. Se revine la consecinţa 1. Se calculează suma seriei:

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )2001

2001

2001

0

121212

222

22

∑

∑

∑

∑

πωϕπωπω

πωϕπωπω

πωϕπωπω

πωϕπωψ

p

*

p

*

k

*

k

*

p++ p++ mp++m+

+p+ p+ mp+m =

=+k +k m+km =

=+k +k

F

F

F

FF

sau ţinând seama de periodicitatea cu perioada π2 a funcţiilor ( )ω1m şi ( )ω*m0 :

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )2001

2001

0

12

2

22

∑

∑

∑

πωϕπ+ωπ+ω

πωϕωω

πωϕπωψ

p

*

p

*k

*

pmm

pmm

kk

++ F +

++ F

= + F + F

În sfârşit, ţinând seama de ortonormalitatea mulţimii ( ) Znn ∈−τϕ0 :

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )π+ωπ+ωωω

πωϕπωψ∑

**k

*

m+ mm m

=+k +k

0101

0 22 FF

Dar pe baza legăturii dintre funcţiile ( )ω1m şi ( )ω0m :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 011 0000

000101

= m m = e mme + e

+ mm = e m + mmm**j**j j

**j**

π+ωω−π+ωω

ωπ+ωπ+ωπ+ωωωω−π−ω−

ω−

S-a demonstrat că: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 0 0* *m m + m m = Rω ω ω+ π ω+ π ∀ ω∈ (182) Se poate deci scrie: ( )( ) ( )( ) ( ) R =+k +k

k

* ∈ω∀πωϕπωψ∑ 022 0FF (183)

Înlocuind în această relaţie variabila ω cu variabila 2ω se obţine:

( ) ( ) 022 0 = k + k +k

*∑ πωϕπωψ FF

Integrând pe intervalul [-π,π] această relaţie rezultă:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ZZp, q

, = de k + k +π

k

qpj*

×∈∀

ω⋅πωϕπωψ∫ ∑π

π−

ω−− 02221

0FF

sau:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ZZp, q

, = de k + k + π k

qpj*

×∈∀

ω⋅πωϕπωψ∑ ∫π

π−

ω−− 02221

0FF

Făcând schimbarea de variabilă: πω k + u = 2 ultima relaţie devine:

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ZZp, q

, du =e u u k

k+

k

uqpj*

×∈∀

⋅ϕψπ∑ ∫

π

π−

−−12

120 0

21

FF

adică:

( ) ( ) ( )∫∞

∞−

−−⋅ϕψπ

uqpj* du =e u u 021

0FF

sau pe baza definiţiei produsului scalar pe ( )RL2 :

( )( )*

01 , 0, ,

2F F jpu jque e p q Z Z− −⎡ ⎤ψ ϕ = ∀ ∈ ×⎣ ⎦π

Conform relaţiei lui Parseval, ultima relaţie este echivalentă cu: ( ) ( ) ( )( )0, 0, , p q p q Z Zψ τ− ϕ τ − = ∀ ∈ × (184) Dar:

( ) ( )0 01 , ,2 2 2

p q p qτ τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ψ − ϕ − = ψ τ − ϕ τ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(185)

Se poate deci scrie:

( ) ( )01 1, 0 ,

2 22 2 p q p q Z Zτ τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ψ − ϕ − = ∀ ∈ ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

De aceea rezultă că mulţimileZp

pτ

∈⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ψ

221

şi Zq

qτ

∈⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ϕ

221

0 sunt

ortogonale. Având în vedere că aceste mulţimi reprezintă baze ortonormale ale spaţiilor W-1 şi V-1 rezultă că aceste două spaţii sunt ortogonale. Deci consecinţa 1 a propoziţiei 1.7.1.2.3 este demonstrată. Mai rămâne justificarea consecinţei 3. Fie ( )τ−1x proiecţia semnalului ( )τox din Vo pe spaţiul V-1. Se poate scrie: ( ) ( )∑ −τϕ=τ

k, k ka x 000

şi: ( ) ( ) ( )ττ=τ −− 11 + d xxo Conform teoremei proiecţiei semnalul eroare ( )τ−1d este ortogonal pe spaţiul V-1. Deci conform consecinţei 1°, ( )τ−1d aparţine spaţiului W-1. Se poate scrie:

( ) ( )1 0 0 01 ,2 2 2k

x x k k−τ τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ = τ ϕ − ϕ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ (186)

şi:

( ) ( )1 01 ,2 2 2k

d x k k−τ τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ = τ ψ − ψ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ (187)

Ultima relaţie este valabilă deoarece:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) k d=k d+kx=

= k , + dx = k , x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ

ψτ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ

ψτ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ

ψτ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ

ψττ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ

ψτ

−−−

−−

2,

2,

2,

22

111

110

(188)

Ţinând seama de descompunerea lui ( )τ0x în baza ( ) Zk k ∈−τϕ0 relaţiile (186) şi (187) devin:

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ

ϕ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ

ϕ−τϕτ ∑ ∑− k k , l a=xk l

, l 2221

00001 (189)

şi:

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ

ψ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ

ψ−τϕτ ∑ ∑− k k , l a =dk l

, l 2221

001 (190)

Cu notaţiile:

( ) k , l a = al

,l,k ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ

ϕ−τϕ∑− 221

0001 (191)

şi:

( ) k , l a = dl

,l,k ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ

ψ−τϕ∑− 221

001 (192)

relaţiile (189) şi (190) devin:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ

ϕτ ∑ −− k a = xk

,k 221

011 (193)

şi:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ

ψτ ∑ −− k d = dk

,k 221

11 (194)

Iată cum se exprimă componentele semnalului ( )τ0x ca descompuneri în bazele ortonormale ale spaţiilor V-1 şi W-1. Deci oricare ar fi semnalul ( )τ0x din Vo există semnalul ( )τ−1x (din V-1 inclus în Vo) şi ( )τ−1d (din W-1 inclus în Vo) astfel încât: ( ) ( ) ( )τττ −− 110 + d = xx De aceea se poate afirma că: 011 = V WV −− ∪ Conform consecinţei 2 a teoremei de care ne ocupăm rezultă că spaţiul W-1 este complementul ortogonal al spaţiului V-1 în raport cu spaţiul Vo. Consecinţa 3 şi teorema propriu-zisă sunt astfel demonstrate. În continuare se fac câteva comentarii inspirate de propoziţia demonstrată. A) Relaţiile (191) şi (192) permit calculul coeficienţilor proiecţiilor semnalului ( )τ0x pe spaţiile V-1 şi W-1, ka , -1 , kd , -1 cu ajutorul coeficienţilor dezvoltării acestui semnal în baza lui Vo, koa , . B) Relaţiile (191) şi (192) se mai pot pune în forma: [ ]kl ma = a *

l,l,k 22 001 −∑− (195)

[ ]kl ma = d *

l,l,k 22 101 −∑− (196)

ţinând seama de definiţiile funcţiilor ( )ω0m şi ( )ω1m . Aceste relaţii stau la baza unui algoritm modern (introdus de Mallat) de calcul al coeficienţilor proiecţiilor semnalului ( )τ0x pe spaţiile V- m şi W- m (m > 0) care stabileşte legătura dintre teoria funcţiilor "wavelet" şi filtrele piramidale. De asemenea cu ajutorul acestor relaţii se pune în evidenţă legătura dintre teoria funcţiilor "wavelet" şi metoda de codare în subbenzi a semnalelor. Aceste legături vor fi evidenţiate în cadrul unor paragrafe următoare din lucrarea de faţă. C) Semnalul a0,n poate fi reconstruit perfect dacă se cunosc semnalele

na , -1 şi nd - ,1 . Într-adevăr:

( ) ( ) [ ] [ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ

ψ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ

ϕττ ∑∑ −−−− n nd +n na =+ dxnn 22

122

110111

Dar:

[ ] ( )0 0 01 2 2

22 p k = m p τ k pτ⎛ ⎞ϕ − ϕ − −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

şi:

[ ] ( )1 01 2 2

22 p k = m p k pτ⎛ ⎞ψ − ϕ τ − −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

Deci:

( ) ( )

[ ] [ ] ( ) [ ] [ ] ( )

1 1

1 0 0 1 1 02 2 2

n p p

x d =

= a n m p τ n p + d n m p τ n p

− −

− −

τ + τ

⎛ ⎞⎜ ⎟ϕ − − ϕ − −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑

Făcând schimbarea de indice: n + pl = 2 ultima relaţie devine:

( ) ( )

[ ] [ ] ( ) [ ] [ ] ( )

[ ] [ ] [ ] [ ] ( ) 222

222

01101

011001

11

l nlmn + d nl mna =

= l nlmn+dl nlmna =

=d x

n l

n ll

−τϕ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−τϕ−−τϕ−

τ+τ

∑ ∑

∑ ∑∑

−−

−−

−−

Identificând membrul drept al ultimei relaţii cu descompunerea semnalului ( )τ0x în baza ( ) Zn n ∈−τϕ0 , se obţine:

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) 222 11010 nl mn+ dnl mna = an

, l ∑ −− −− (197)

S-au folosit notaţiile: [ ] ,n-- = ana 11 şi [ ] ,n-- = dnd 11

Deci semnalul ( )τ0x poate fi reconstruit pornind de la semnalele în timp discret [ ]na -1 şi [ ]nd -1 , folosind filtrele numerice cu răspunsurile în frecvenţă ( )ω0m şi ( )ω1m , care respectă condiţiile:

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

π+ωπ+ωωω

π+ωω

π+ωω

0

1

1

1010

21

21

20

20

= m+m mm

mm

mm

**

= +

= +

(198)

unde:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎩

⎨⎧

ωϕωωψωϕωωϕ

= m = m

01

00022

FFF F

(199)

D) În continuare se consideră că spaţiul Wm este complementul ortogonal al spaţiului Vm în raport cu spaţiul Vm+1. Se constată că: ( ) 00 V∈τϕ şi ( ) 10 2 V ∈τϕ Se pune întrebarea: În ce spaţiu se găseşte funcţia ( )τψ ?

Se ştie că funcţia ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ψ

221 τ generează mulţimea

Zk k

∈⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ

ψ22

1 baza

ortonormală a spaţiului W-1, inclus în Vo. Pe baza ipotezei 4 din definiţia analizei multirezoluţie rezultă că ( ) 1 V ∈τψ . Dar pe baza relaţiei (180) rezultă că funcţia ( )τψ este ortogonală pe mulţimea ( ) Zk k ∈−τϕ0 . Dar această mulţime generează spaţiul Vo. În consecinţă: 1V∈ψ şi 0V ⊥ψ Dar funcţia ψ aparţine complementului ortogonal al lui Vo în V1, Wo:

001 WVV = ⊥⊕

Se constată că mulţimea ( ) Zk k ∈−τψ este inclusă în Wo. Această mulţime este completă în W0. Se va demonstra această afirmaţie prin reducere la absurd. S-a presupus că semnalul ( )τ0w este un element din Wo, ortogonal pe toate elementele mulţimii ( ) Zk k ∈−τψ . Se poate scrie:

( ) ( ) Z k, k,w ∈∀=−τψτ 00 Conform relaţiei (180) rezultă că semnalul ( )τ0w este de forma :

( ) ( )∑ −τϕ=τl

l l cw 00

Deci semnalul ( )τ0w aparţine spaţiului Vo. Această afirmaţie contrazice ipoteza făcută. Deci mulţimea ( ) Zk k ∈−τψ este completă în Wo. Pe baza relaţiei (181) se poate afirma că această mulţime este şi ortonormată. În consecinţă ea este o bază ortonormală a spaţiului Wo.

La fel se poate demonstra că mulţimea ( ) Znnm ∈τψ , este o bază ortonormală a spaţiului Wm. E) Iterând de mai multe ori relaţiile între mulţimi, deja demonstrate, se poate scrie:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⊕⊕==⊕⊕=⊕=⊥

≤≤

⊥−

⊥−

⊥−−

⊥− p

JpMMMMMM WVWWVWVV

0012211 ... (200)

Dar pentru că ZmmV ∈ reprezintă o analiză multirezoluţie a lui L2( R) se poate scrie:

( )RLVmZm

2=∈U

sau :

( )RLWmZm

2=⊕⊥

∈

adică:

( )RLWmZm

2=∈U

Ţinând seama de faptul că: mm VW ⊂−1 şi că: mm VW ⊥ rezultă că: mm WW ⊥−1 În consecinţă se poate afirma că Zm mW ∈ reprezintă o descompunere ortogonală a lui

( )L2 R . Pe baza unei teoreme celebre de analiză funcţională care afirmă că prin concatenarea bazelor ortogonale ale unei descompuneri ortogonale a lui ( )L2 R se obţine o bază ortonormală a lui ( )L2 R rezultă că mulţimea ( ) Z Z, m n m, n ∈∈τψ este

o bază ortonormală a lui ( )L2 R . În continuare se prezintă două exemple de descompuneri ortogonale ale lui ( )L2 R . Exemplul 1. Expresia funcţiei de scară corespunzătoare este:

( )⎩⎨⎧ <τ≤

τϕrestin 0

101 ,

, , = H

De aceea:

⎪⎩

⎪⎨⎧ <τ≤

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τϕ

restin 0

2021

221

,

,, = H

Se constată că:

( ) ( )121

21

221

−τϕτϕ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τϕ HHH + =

În consecinţă:

[ ] [ ] [ ]121

21

0 −δδ n + n = nm H

respectiv:

( )2

10

ω−ω

j + e= m H

De aceea folosind relaţia (177') se obţine:

( ) ( )121

21

221

−τϕτϕ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τψ HH + =

adică:

( ) ( )121

21

221

−τϕτϕ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τψ HH + =

Dar având în vedere că dacă funcţia ( )τψα este o funcţie de tip "mother wavelets” şi funcţia ( )τψ− α este o funcţie de tip "mother wavelets" şi rezultă expresia funcţiei generatoare a descompunerii ortogonale de tip Haar:

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎢⎣⎡∈τ−

⎟⎠⎞

⎢⎣⎡∈τ

τψ1

211

2101

, ,

,, , = H

Se recunoaşte în mulţimea ( )

Z Z, m n Hm,n ψ ∈∈

τ expresia binecunoscutei baze

ortonormale de tip Haar a lui ( )L2 R . Din păcate localizarea în frecvenţă a funcţiei ( )τψH nu este prea bună. În plus această funcţie nu este nici regulată. Exemplul 2. Descompunerea ortogonală de tip Palley -Wiener. În [25] se demonstrează că pe baza analizei multirezoluţie de tip Palley -Wiener poate fi construită o descompunere ortogonală a lui ( )L2 R , generată de funcţia:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1cos2sin2−πτ

πτπτ

=τπ

τπ−τπτψ

= sinsin

WP

Această funcţie este foarte bine localizată în frecvenţă 3

2 14=3

P W−ψ ω

πσ dar din păcate nu

este foarte bine localizată în timp, 2P Wt

−ψσ = ∞ . Expresia raspunsului la impuls al

filtrului numeric corespunzator este:

[ ] [ ]2

20k = km

P W

δ şi [ ] ( )( ) Z , k

k+= k+m

k

P W∈

π−

121120

Acesta nu este un filtru FIR, deoarece funcţia corespunzătoare nu are suport compact. Exemplul 3. Descompunerea ortogonală de tip Battle Lemarié. Când s-a studiat exemplul E3 de analiză multirezoluţie s-a determinat transformata Fourier a funcţiei de scară de tip Battle Lemarié de ordinul 2:

( )

2cos21

2sin4

23

22

2

20ω

ω

ω

πωϕ

+

= BLF

Pe baza relaţiei:

( ) 0 2 0 2 0 22 2F FBL BL BLm ω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞ϕ ω = ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

se determină expresia răspunsului în frecvenţă:

( )ω

ωω

ω 2

22

2021

221

2 cos

coscosBL +

+ = m

de unde:

( )2

21 2 2

1 2sin2sin

2 1 2cosj

BLm e ω

ω+ω

ω =+ ω

Deci, transformata Fourier a funcţiei mother wavelets de tip Battle Lemarié de ordinul 2 este:

( )2 4

22 22 2

1 2sin 4sin3 4 42 1 2cos 1 2cos2 4 4

Fj

BL eω

ω ω+

ψ ω =ωπ ω ω+ +

Din păcate funcţiile ( )τϕ20BL

şi ( )τψ 20BL nu au reprezentări compacte. Graficele lor sunt prezentate în figura 1.7.1.2.3.

Funcţiile B-L de ordin superior sunt prezentate în [5].

7.1.2.4 CARACTERIZAREA ANALIZELOR MULTIREZOLUŢIE CU

AJUTORUL POLINOAMELOR. BAZELE ORTONORMALE DE FUNCŢII WAVELET CU SUPORT COMPACT

În paragraful anterior a fost subliniat rolul central al filtrelor cu răspunsurile în frecvenţă ( )ω0m şi ( )ω1m , la construcţia analizelor multirezoluţie respectiv la construcţia descompunerilor ortogonale ale spaţiului ( )RL2 .

a) Funcţia de scară.

b) Funcţia mother wavelets corespunzătoare.

Figura 1.7.1.2.3 Funcţiile generatoare de tip Batle-Lemarié de ordinul II.

S-a arătat că pentru generarea spaţiului V-1, pornind de la spaţiul Vo se utilizează filtrul cu răspunsul în frecvenţă ( )ω0m , fiind valabilă relaţia: ( ) ( ) ( )ωϕωωϕ F = F 000 2 m (205) S-a demonstrat că filtrele cu răspunsul în frecvenţă ( )ω0m , trebuie să satisfacă condiţia: ( ) ( ) ( ) R , = m+m ∈ω∀π+ωω 12

02

0 (206) Luând în relaţia (205) pentru ω valoarea 0, se obţine: ( ) 100 = m (207) De aceea, pe baza relaţiei (206) se poate scrie: ( ) 00 =πm (208) Pentru generarea spaţiului W-1 pornind de la spaţiul Vo, se utilizează filtrul cu răspunsul în frecvenţă ( )ω1m , fiind valabilă relaţia: ( ) ( ) ( )ωϕωωψ =m 012 FF (209) unde: ( ) ( )π+ω=ω ω− *j m em 01 (210) Rezultă: ( ) ( ) 00 01 = = mm * π (211) şi: ( ) 11 m =π (212) Filtrele cu răspunsurile în frecvenţă ( )ω0m şi ( )ω1m , care îndeplinesc condiţiile de mai sus, au fost introduse în [29], în contextul teoriei codării în subbenzi şi se numesc filtre conjugate în cuadratură (Conjugate Quadratur Filters). În paragraful de faţă se va stabili o legătură între modalităţile de construcţie a acestor filtre şi teoria polinoamelor. În acest scop se formulează următoarea propoziţie, [26].

Propoziţia 1.7.1.2.4 Dacă ( )20 ωm este strict pozitivă pentru ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ π

∈ω2

0, , atunci:

1. ( ) 020 >ωϕ πω = F ;

2. ( ) ( ) 0022

0 Z - k ; = k = ∈∀ωϕ πωF ;

3. ( ) 102

0 = = ωωϕF ; Demonstraţie. Iterând relaţia (195) se obţine:

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ωϕ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ωωϕ Nn

N

n = m=

2200

10 FF

Luând în ultima relaţie pentru ω valoarea π se obţine:

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ πϕ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ππϕ Nn

N

n = m=

2200

10 FF

Având în vedere că:

( ) N - n , m n 002

0 ∈∀≠⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π

şi că ( )τϕ este răspunsul la impuls al unui filtru trece jos: ( ) 000 ≠ϕF rezultă că, pentru N suficient de mare:

02

0 N ≠⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ πϕF

deoarece funcţia ( )ωϕ0F este considerată continuă. În consecinţă: ( ) 00 ≠πϕF Consecinţa 1 a fost demonstrată. Pentru ca funcţia ψ să fie de tipul mother wavelets este necesar, conform definiţiei 1.7.1.2.1 să fie regulată de regularitatea r. Această condiţie se poate exprima în forma:

( ) ( ) , ..., r, m, m = , = d

m 100∫∞

∞−∀ττψτ (213)

adică: ( ) ( ) 00 = =

mωωτψτF

sau:

( ) , ... , r, , , m = = d d

= m

m21000ωτψ

ωF (214)

Se ştie că orice funcţie de tipul mother wavelets reprezintă răspunsul la impuls al unui filtru de tip trece bandă. De aceea ca o consecinţă directă a condiţiei de admisibilitate (83'): ( ) 00 =ψF Pe baza relaţiei (209) se poate scrie:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ωϕ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ωψ

22 01 ω=m FF

Derivând în cei doi membri ai ultimei relaţii se obţine:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ωϕ

ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ωϕ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

ωωψ

ω 22222 0101 FFF

d d + mm

d d =

d d

sau, pentru: 0 = ω rezultă:

( ) ( ) ( ) 000 200

22 0101 === F

d d+m m

d d=

d d

ωωω ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ωϕ

ωϕ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

ωωψ

ωFF

adică pe baza relaţiilor (211) şi (214): ( ) 001 = m' Procedând prin recurenţă se poate demonstra că:

( )( ) , ..., r, , k = = m k 10001 (215) Derivând relaţia (210) se obţine: ( ) ( ) ( )π+ωπ+ω−=ω ωω− * '-j*j ' m +emj e m 001 sau pentru: 0 = ω ( ) ( ) ( )ππ− * '*' + mj m = m 001 0 Pe baza relaţiei (208) se poate scrie: ( ) 00 = m' π Procedând prin recurenţă se poate demonstra că: ( ) ( ) ( )( ) 0000 = ... = m=mm r' =πππ (216) Pe baza relaţiei (205) se poate scrie:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ωϕ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ωωϕ

22 000 =m FF (217)

Pentru: πω 2 = se obţine: ( ) ( ) ( ) 02 000 = =m πϕππϕ FF Pentru: πω 4 = se obţine: ( ) ( ) ( ) 0204 000 = =m πϕπϕ FF Pentru: πω 6 = se obţine: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 03336 00000 = =m =m πϕππϕππϕ FFF Continuând în acest mod se poate demonstra că: ( ) ( ) 0020 Z - k , = k ∈∀πϕF Deci şi consecinţa 2 este demonstrată. Pentru a găsi valoarea lui ( )00 ϕF , se utilizează relaţia:

( ) 12 20 F = k +

k = ∑∞

∞−πωϕ (218)

Pe baza relaţiei (207) se poate scrie:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ πω

ϕ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ πω

πωϕ +k +k = m k + 22

2 000 FF (219)

Substituind relaţia (219) în relaţia (218) şi considerând: 0ω = se obţine:

( ) ( ) 120

20 F =k k m

k =

∑∞

∞−πϕπ

sau:

( ) ( )

( )( ) ( )( ) 11212

22

20

20

20

20

F

F

= k + k + m +

+ k k m

k =

k =

∑

∑

∞

∞−

∞

∞−

πϕπ

πϕπ

Dar: ( )( ) ( ) 012 00 = = m k + m ππ Folosind şi consecinţa 2, ultima relaţie devine: ( ) ( ) 100 2

02

0 = m ϕF sau, pe baza relaţiei (207), se poate scrie: ( ) 10 2

0 = ϕF Deci şi consecinţa 3 este verificată. În legătură cu teorema demonstrată pot fi făcute următoarele comentarii: A. ( ) ( ) .F , .., p = , ..., r ,, , k = = p k 2121020 πϕ Demonstraţie. Derivând relaţia (205), se obţine: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) FFF ωϕωωϕωωϕ + m =m '''

00000 22 Pentru: πω = ultima relaţie devine: ( ) = ' 020 πϕF Pentru: πω 2 = ultima relaţie devine: ( ) = ' 040 πϕF Se poate demonstra prin recurenţă că: ( ) ( ) 0020 Z - p , = p ' ∈∀πϕF Pentru celelalte valori ale lui k se poate proceda la fel. B. Polinoamele de grad inferior lui r sunt elemente ale spaţiului Vo. Demonstraţie. Transformata Fourier a semnalului ( ) ( )τ−ϕττ t = tx k

0, , în raport cu variabila τ poate fi pusă în forma:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( )[ ] e d dj

d d = j

=td d =jtτ

tj k

kk

k

kkk

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω−ϕ

ωω

ωτ−ϕω

ωτ−ϕ

ω−−

−−

01

11

00

F

FF

Dar:

( )[ ] ( ) ( )ω−ϕ−ω−ϕω−ϕω

ω−ω−ω−000

' j e = t ee d dj tj tj tj FFF

Deci:

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω−ϕ−ω−ϕ

ωωτ−ϕτ ω−ω−

−

−−

001

11

0' j et e

d d=jt tj tj

k

kkk FFF (220)

Eşantionând cu pas unitar semnalul ( )τ,tx după variabila τ se obţine

semnalul: ( ) ( )n = nntx k −τϕ0, . Ţinând seama de legătura dintre spectrul unui semnal în timp discret şi spectrul semnalului analogic prin a cărui eşantionare s-a obţinut semnalul în timp discret [2], se poate scrie: ( ) ( ) ( )

Ωω∑∑ π−ωτ−ϕτ−ϕ Ω− =

p

k

n

j n k p t = ent n 200 F (221)

Pentru: 0 = Ω

ultima relaţie devine: ( ) ( ) ( )∑∑ π−τ−ϕτ−ϕ

p

k

n

k p t = nt n 200 F (222)

Membrul drept al acestei relaţii este un polinom de gradul k, în variabila t. Deoarece, membrul stâng este o combinaţie liniară de elemente ale mulţimii ( ) Zn nt ∈−ϕ0 , bază în Vo, rezultă că polinomul în t obţinut este element al lui Vo. Astfel enunţul este justificat. Remarca făcută stabileşte prima legătură dintre noţiunea de analiză multirezoluţie şi teoria polinoamelor. O altă legătură a fost sesizată şi exploatată de Ingrid Daubechies în lucrarea [30]. Având în vedere rezultatele acestui paragraf, se constată că se poate presupune că răspunsul în frecvenţă ( )ω0m este de forma:

( ) ( )ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

ω−P + e = m

Nj

21

0 (223)

Primul factor descrie regularitatea funcţiei de scară (respectiv a funcţiei mother wavelets) iar cel de al doilea este un polinom în variabila ω− j e . Întradevăr o astfel de alegere satisface atât condiţiile impuse de relaţia (198), cât şi propoziţia 1.7.1.2.4. Bineînţeles relaţia (223) nu este singura alegere posibilă. Avantajul său este că această alegere conduce la construcţia de funcţii mother wavelets cu suport compact. Într-adevăr, conform relaţiei (223) filtrul cu răspunsul în frecvenţă

( )ω0m nu are poli. Având în vedere că este vorba despre un filtru numeric rezultă că este un filtru cu răspuns finit la impuls. De aceea şi filtrul cu răspunsul în frecvenţă

( )ω1m este tot cu răspuns finit la impuls. În consecinţă membrul drept al expresiei (177'):

( ) [ ] ( )∑∞

∞−−τϕτψ

n = n nm = 22 01

va conţine un număr finit de termeni nenuli. Deci dacă funcţia ( )τϕ0 are un suport compact atunci şi funcţia ( )τψ are suport compact. Mai mult, se poate afirma că lungimea suporturilor funcţiilor ϕo şi ψ depinde de alegerea lui N. Cu cât N este mai mare, cu atât suporturile sunt mai lungi. Se poate scrie:

( ) ( )2

2

20 2

1ω⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

ω−P + e = m

Nj (224)

Dar:

= e

= + e

j j

2cos

22

cos2

21

2ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

ω−

ω−

De aceea:

2cos1

21

2ωω− + = + e

j

În consecinţă relaţia (214) se mai scrie:

( ) ( )220 2

cos1ω⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

ω P + = mN

După cum s-a văzut deja, filtrul cu răspunsul în frecvenţă ( )ω0m trebuie să satisfacă condiţiile: ( ) ( ) 010 00 = ; m = m π Se poate demonstra, prin verificare, că aceste condiţii sunt satisfăcute de polinoame de forma:

( )

ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

α

ωω−ω

αω

ω

+ +

+ ... + + + + = m

NN

N cos2cos1

2cos1

cos2cos1

2cos1

2cos1

12

0

(225)

Aceste polinoame verifică şi condiţia: ( ) ( ) 12

02

0 = m+ m π+ωω Cu notaţia:

2cos1 ω + X =

membrul drept al relaţiei (225) devine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )(

( ) ( ))121

12112111

221

−−α

−−α−−α− X XX +

... X+XX+X X+=X XQNN

N

(226)

În [30] coeficienţii kα , , Nk = 1 sunt presupuşi reali. Cea mai simplă alegere pentru coeficienţii kα , , Nk =1 este valoarea 0. În acest caz:

( ) ( )2

10

ω−ω

j + e = m = X ; XQ H

Este cazul filtrului folosit în legătură cu funcţia de scară de tip Haar. Dacă se face alegerea: ,N , k = = ; = k 2011 αα relaţia (216) devine: ( ) ( )X = XXQ 232 − (227) Deci:

( ) ( ) ( ) + e = + = mj

ω−ω−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

ωω−

cos22

1cos22cos1

422

0 (228)

Se determină funcţia ( )ωm cu proprietatea că:

( ) ω−ω = m cos22 Fie: ( ) ωβα=ω j e + m Ţinând seama de identitatea: ( ) ( ) ( )ωωω * m= mm 2 rezultă sistemul:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

αβ

βα

21

222

=

= +

cu soluţiile:

2

312

31 = ; + = −βα

Relaţia (228) devine:

( ) ( ) e + + + e = mm j j ω

*DD

24

2020 231

231

21 ω

− −ωω (229)

Există mai multe soluţii pentru această ecuaţie. Una dintre ele este:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω ω−

ω−j

j

D e + + + e = m2

312

312

12

20

Cu excepţia unui factor de tip exponenţială complexă, acestui răspuns în frecvenţă îi corespunde răspunsul la impuls:

[ ]

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

restin 0

38

31

28

33

18

33

08

31

20

,

, n =

, n =

, n = +

, n = +

= nm D (230)

Deoarece acest filtru a fost proiectat pentru prima dată în [30 41] şi deoarece el corespunde cazului N = 2, funcţia mother wavelets pe care o generează este notată în majoritatea lucrărilor DAU2. Construcţia filtrelor cu răspunsul în frecvenţă ( )ω0m poate fi continuată prin recurenţă. Dacă se consideră că şi coeficientul 2α este nenul ( , N , k = =k 30α ), atunci expresia polinomului Q(X) devine:

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) XXX+ = X

= XXX+XX=X XQ

12123

121232

22

22

−−α−

−−α−

Funcţia de scară asociată va avea regularitatea maximă dacă factorul comun din membrul drept va fi X3. Deci valoarea lui 2α ar trebui determinată astfel încât termenul liber al polinomului: ( ) ( )12123 2

2 −−α− XXX+ să se anuleze. De aceea se obţine: 32 = α Cu această alegere rezultă: ( ) ( )23 61510 XX+ = XXQ − adică:

( ) + + + + = m D ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ωω

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

ω23

230 2

cos162cos11510

2cos1

Coeficienţii acestor filtre, amplificaţi cu 2 , pentru valori ale lui N cuprinse între 2 şi 10, sunt prezentaţi în tabelul 1.7.1.2.4. Câteva exemple de funcţii de scalare respectiv de funcţii de tipul mother wavelets sunt prezentate în figura 1.7.1.2.4. Funcţiile mother wavelets obţinute astfel au un suport compact (deci localizare bună în timp) au regularitatea prescrisă de valoarea lui N şi o localizare în frecvenţă destul de bună. Localizarea lor în planul timp-frecvenţă a fost studiata în [31]. Ele pot fi considerate atomi timp-frecvenţă. Dezavantajul acestor funcţii este că nu au expresii analitice explicite. Totuşi expresiile lor pot fi determinate numeric.

În cadrul demonstraţiei propoziţiei 1.7.1.2.4 s-a demonstrat şi relaţia:

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ωϕ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ωωϕ Nn m

N =

n = 22000

1

FF

N = 2 : 0.4829629131445341 0.8365163037378079 0.2241438680420134 -0.1294095225512604 N = 3 : 0.332670552950 0.806891509311 0.459877502118 -0.135011020010 -0.085441273882 0.035226291882 N = 4 : 0.230377813309 0.714846570553 0.630880767930 -0.027983769417 -0.187034811719 0.030841381836 0.032883011667 -0.010597401785 N = 5 : 0.160102397974 0.603829269797 0.724308528438 0.138428145901 -0.242294887066 -0.032244869585 0.077571493840 -0.006241490213 -0.012580751999 0.003335725285

N = 6 : 0.111540743350 0.494623890398 0.751133908021 0.315250351709 -0.226264693965 -0.129766867567 0.097501605587 0.027522865530 -0.031582039318 0.000553842201 0.004777257511 -0.001077301085 N = 7 : 0.077852054085 0.396539319482 0.729132090846 0.469782287405 -0.143906003929 -0.224036184994 0.071309219267 0.080612609151 -0.038029936935 -0.016574541631 0.012550998556 0.000429577973 -0.001801640704 0.000353713800

N = 8 : 0.054415842243 0.312871590914 0.675630736297 0.585354683654 -0.015829105256 -0.284015542962 0.000472484574 0.128747426620 -0.017369301002 -0.044088253931 0.013981027917 0.008746094047 -0.004870352993 -0.000391740373 0.000675449406 -0.000117476784 N = 9 : 0.038077947364 0.243834674613 0.604823123690 0.657288078051 0.133197385825 -0.293273783279 -0.096840783223 0.148540749338 0.030725681479 -0.067632829061 0.000250947115 0.022361662124 -0.004723204758 -0.004281503682 0.001847646883 0.000230385764 -0.000251963189 0.000039347320

N = 10 : 0.026670057901 0.188176800078 0.527201188932 0.688459039454 0.281172343661 -0.249846424327 -0.195946274377 0.127369340336 0.093057364604 -0.071394147166 -0.029457536822 0.033212674059 0.003606553567 -0.010733175483 0.001395351747 0.001992405295 -0.000685856695 -0.000116466855 0.000093588670 -0.000013264203

Tabelul 1.7.1.2.4. Coeficienţii filtrelor care generează funcţiile mother wavelets propuse de I.

Daubechies.

Figura 1.7.1.2.4. Funcţiile mother wavelets ( psi(x)) şi funcţiile de scară corespunzătoare

cu suport compact introduse de Ingrid Daubechies (phi(x)).

Figura 1.7.1.2.4. (continuare) Funcţiile mother wavelets cu suport compact introduse de Ingrid Daubechies ( psi(x)) şi funcţiile de scară corespunzătoare (phi(x)).

Trecând la limită pentru N tinzând la infinit ultima relaţie devine:

( ) ( )02

0001

m

= nn =

ϕ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ωωϕ∞

FF

sau ţinând seama de faptul că valoarea transformatei Fourier a oricărei funcţii ( )τϕ0 , în origine este 1 rezultă:

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ωωϕ∞

nm

= n = 2

001

F (231)

În consecinţă, pe baza relaţiei (231) poate fi calculată transformata Fourier a oricărei funcţii de scară corespunzătoare uneia dintre funcţiile mother wavelets introduse de Daubechies. Inversând această transformare Fourier ar putea fi obţinută expresia funcţiei de scară corespunzătoare. Din păcate aceasta nu are o formă compactă.

Mai mult, pornind de la relaţia (199):

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ωϕ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ωωψ

22 01 FF = m

pe baza relaţiei (221) se poate scrie:

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ωωψ

∞∞

+ nn m

= mm

= m n = n = 2222 01101

21

F

Folosind această relaţie poate fi determinată direct expresia funcţiei mother wavelets. Convergenţa produselor infinite din relaţiile (221) şi (222) trebuie considerată în sensul distribuţiilor. În [30] se prezintă o metodă grafică, care se poate implementa cu uşurinţă pe calculatoare numerice pentru calculul produselor infinite din relaţiile (221) şi (222). Principalul dezavantaj al funcţiilor mother wavelets propuse de I. Daubechies, descrise în acest paragraf este lipsa lor de simetrie. De fapt pentru nici una dintre aceste funcţii nu există vreo axă de simetrie. În consecinţă, filtrele lor generatoare, cu răspunsurile în frecvenţă ( )ωD km0 , ( )ωD km1 nu sunt filtre cu caracteristica de fază liniară.

Acesta este un dezavantaj în unele aplicaţii mai ales atunci când este vorba de prelucrarea imaginilor. În continuare se reiau pe scurt principalele rezultate obţinute în [31].

Până aici au fost date două exemple extreme de localizare ale funcţiilor mother wavelets. Funcţia mother wavelets de tip Haar este bine localizată în timp dar prost localizată în frecvenţă, în timp ce funcţia mother wavelets de tip Palley-Wiener este bine localizată în frecvenţă dar prost localizată în timp. Aceste funcţii mother wavelets reprezintă cazuri extreme pentru funcţiile mother wavelets din familia propusă de Daubechies. Între aceste două cazuri extreme se situează funcţiile mother wavelets din familia Daubechies care au localizare timp-frecvenţă, măsurată prin produsul 2 2

tωσ ⋅σ de valoare finită. Funcţiile mother wavelets din familia Daubechies au o localizare temporală mai proastă decât funcţia mother wavelets de tip Haar şi o localizare frecvenţială mai proastă decât funcţiile mother wavelets de tip Palley-Wiener, dar ele au o localizare timp-frecvenţă mai bună decât localizarea timp-frecvenţă a funcţiei mother

wavelets de tip Haar sau decât localizarea timp-frecvenţă a funcţiei mother wavelets de tip Palley-Wiener. Funcţiile de tipul mother wavelets din familia Daubechies au suport compact

Dau Dau,N Nm Mα α⎡ ⎤⎣ ⎦ de lungime proporţională cu N (numărul de momente nule).

În relaţia anterioară, precum şi în relaţiile următoare α poate fi identic cu φ (caz în care este vorba despre o funcţie de scară) sau cu ψ (caz în care este vorba despre o funcţie de tip mother wavelets) Duratele efective ale acestor funcţii sunt mărginite superior:

( ) ( ) ( ) Dau

3 322 2 2

Dau2 2Dau max

3max

N

N

N NN Dau

N

N

MN

t Nm

M

Nm

M m tt t dt t t dtα

α

α αα

α

α−

= ⋅ ασ = α < α∫ ∫

Aceste funcţii au o proprietate remarcabilă [32]: ( ) ( )Daulim N P WNt t−→∞

α = α

În consecinţă:

( ) ( )

( ) ( )

22 2

22 2

lim lim

.

F

F

NN DauN N

P WP W

t d

t d

∞

α ω→∞ →∞−∞

∞−

− α ω−∞

σ = ω α ω ω =

= ω α ω ω = σ

∫

∫

Şirul benzilor efective ale funcţiilor Daubechies (de scară sau mother wavelets) este convergent, mai precis monoton descrescător cu creşterea lui N având ca limită banda efectivă a funcţiei Palley-Wiener corespunzătoare. În consecinţă toate elementele şirului sunt finite. Deoarece atât duratele efective cât şi benzile efective ale acestor funcţii sunt finite şi produsele acestor numere vor fi finite. În consecinţă oricare dintre elementele familiei Daubechies are o localizare timp frecvenţă mai bună decât localizările timp-frecvenţă ale funcţiilor Haar sau Palley-Wiener. În concluzie aceste funcţii pot genera baze ortonormale de translatate şi scalate chiar şi pentru 0 1t = şi

0 2ω = π (cantităţi definite în paragraful 7.1.1) cu elemente bine localizate în planul timp-frecvenţă. Având în vedere faptul că nu sunt cunoscute expresiile analitice ale acestor funcţii, în [31] au fost estimate duratele şi benzile lor efective prin simulare în Matlab. Funcţiile wavelet au fost generate ca răspuns al sistemului de calcul al transformării wavelet discrete inverse la impulsuri unitare. Integralele din definiţiile duratei şi benzii efective au fost aproximate cu sume. Pasul de eşantionare folosit în aceste simulări a fost de valoare 1. În figurile următoare duratele efective şi benzile efective sunt normalizate la valoarea maximă. Analizând primele două figuri pot fi trase câteva concluzii interesante. Aşa după cum s-a afirmat deja, în conformitate cu analiza teoretică realizată, durata efectivă a funcţiilor mother wavelets creşte monoton cu numărul de momente nule. Pentru benzile efective se observă o evoluţie inversă. Funcţia mother wavelets Daubechies-4 are comportamentul cel mai apropiat de cel al funcţiei mother wavelets de tip Haar (durata efectivă scurtă), în timp ce comportamentul funcţiei Daubechies-20 seamănă cel mai mult cu cel al funcţiei mother-wavelets de tip Palley-Wiener (bandă efectivă îngustă).

4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Daubechies mother effective duration

No vanishing moments Figura 1.7.1.2.4. Dependenţa duratei efective a funcţiilor mother wavelets din familia Daubechies de numărul de

momente nule N.

4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Daubechies mother effective bandwidth

No vanishing moments Figura 2.7.1.2.4. Dependenţa benzii effective a funcţiilor mother wavelets din familia Daubechies de numărul de

momente nule N. O altă remarcă este că durata efectivă este mai puternic influenţată de numărul de

momente nule decât banda efectivă. Dependenţa produsului t ωσ ⋅σ de numărul de momente nule al funcţiei mother wavelets este prezentată în figura următoare.

4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7Daubechies mother time-frequency tradeoff

No vanishing moments Figura 3.7.1.2.4. Dependenţa localizării timp-frecvenţă a funcţiilor mother-wavelets din familia Daubechies de

nunmărul de momente nule N. Aşa după cum s-a afirmat deja numărul de momente nule are un impact mai puternic

asupra localizării în timp decât asupra localizării în frecvenţă. În consecinţă localizarea

timp-frecvenţă a funcţiilor mother-wavelets din familia Daubechies creşte monoton cu creşterea numărului de momente nule.

7.1.2.5 ALGORITMUL LUI MALLAT

Acest algoritm permite calculul rapid al proiecţilor semnalelor de energie finită pe diferite subspaţii, elemente ale unei analize multirezoluţie sau ale unei descompuneri ortogonale. El stabileşte o legătură interesantă între metodele de prelucrare ale semnalelor analogice şi metodele de prelucrare ale semnalelor discrete. S-a demonstrat deja în relaţiile (193) şi (194) că proiecţiile semnalului ( )τ0x din Vo pe spaţiile V-1 şi W-1 se pot calcula cu relaţiile: ( ) ( )τϕτ −−− ∑ k

kkax , = 10,11 (233)

şi: ( ) ( )τψτ −−− ∑ k

kkdd ,, = 111 (234)

Coeficienţii acestor descompuneri pot fi exprimaţi pa baza coeficienţilor descompunerii semnalului ( )τ0x în baza lui Vo, ( ) Zkk ∈−τϕ 0 , ka , 0 cu relaţiile (195) şi (196): [ ]*

1, 0, 02 2k ll

a a m l k− = −∑ (235)

şi: [ ]*

1, 0, 12 2k ll

d a m l k− = −∑ (236)

Aceste relaţii permit calculul coeficienţilor proiecţiilor ( )τ−1x şi ( )τ−1d cu ajutorul coeficienţilor la ,0 . Fie ( )τ−mx şi ( )τ−md proiecţiile semnalului ( )τ0x pe spaţiile V-m şi W- m. Aceste proiecţii se pot descompune în bazele ( ) Zkkm ∈− τϕ ,0 şi

( ) Zkkm ∈− τψ , ale acestor spaţii: ( ) ( )τϕτ

−∑ −− kmk

kmm ax ,

= , 0 (237)

şi: ( ) ( )τψτ −−− ∑ km

kkmm dd , , = (238)

Fie ( )τ+− 1mx proiecţia semnalului ( )τ0x pe spaţiul V- m +1: ( ) ( )∑ τϕτ +−+−+−

kkmkmmx , , a = 1011 (239)

[ ]*, 1, 02 2m k m l

la a m l k− − += −∑ (240)

şi: [ ]*

, 1, 12 2m k m ll

d a m l k− − += −∑ (241)

În consecinţă, pornind de la coeficienţii a0,l şi iterând de un număr corespunzător de ori, pe baza relaţiilor (240) şi (241), pot fi determinaţi coeficienţii

m, ka− şi m, kd− . Având în vedere că structura bazelor spaţiilor V-m şi W-m este cunoscută rezultă că apoi pot fi determinate proiecţiile semnalului ( )τ0x pe spaţiile V-

m şi W-m. Relaţiile (240) şi (241) descriu algoritmul de calcul al proiecţiilor semnalului ( )τ0x pe spaţiile V-m şi W-m. În acelaşi timp, aceste relaţii descriu o modalitate de

prelucrare numerică a semnalului [ ]la , km 1+− cu ajutorul filtrelor cu răspunsurile la

impuls [ ]lm*0 şi [ ]lm*

1 , în scopul obţinerii semnalelor [ ]ka m− şi [ ]kd m− . Această prelucrare presupune o filtrare şi o decimare. De exemplu semnalul [ ]ka m− poate fi generat cu ajutorul sistemului din figura 1.7.1.2.5.

Într-adevăr:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]*

*01 1 02m m

lu n a n m n a l m l n

∨

− + − += ∗ = −∑

Blocul de decimare cu 2 răspunde la semnalul [ ]u n cu semnalul [ ]2u n . Deci:

[ ] [ ] [ ] [ ]*1 02 2 2m m

la n u n a l m l n− − += = −∑

S-a regăsit relaţia (240). De aceea sistemul care transformă semnalul [ ]a no în semnalele [ ]na m− şi [ ]nd m− are structura din figura 2.7.1.2.5. De fapt sistemul din figură generează şi semnalele [ ] 1,, kd n k m− = . Se constată că acest sistem are o

intrare şi m+1 ieşiri. Dacă se consideră că semnalul [ ]nao are 12 +m eşantioane nenule atunci se constată că semnalele [ ]na 1− şi [ ]nd 1− au m2 eşantioane nenule (datorită

operaţiilor de decimare cu factor 2) că semnalele [ ]na 2− şi [ ]nd 2− au 12 −m eşantioane nenule şi aşa mai departe. Semnalele [ ]ma n− şi [ ]nd m− vor avea doar câte 2 eşantioane nenule. Fie semnalul [ ]y no obţinut prin concatenarea semnalelor

[ ]na m− , [ ]nd 1− , [ ]nd 2− , ..., [ ]nd m− . Se spune că semnalul [ ]ny0 a fost obţinut prin aplicarea transformării wavelet discretă semnalului [ ]n0a . Se constată că această transformare este liniară (deoarece sistemul din figura 2.7.1.2.5 este liniar). Din păcate transformarea wavelet discretă nu este invariantă la translaţii (decât dacă translaţiile se fac cu multiplii de 12 +m ), deoarece sistemul considerat este variant în timp.

Figura 1.7.1.2.5 Prelucrarea numerică sugerată de relaţia (240).

Să calculăm numărul eşantioanelor secvenţei [ ]ny0 . Acesta este:

11

0

2 212

121212222 ++

−−

∑ mmm

k

km = + = + =+ ... +++ =

Deci prin transformarea wavelet discretă numărul de eşantioane ale semnalului de prelucrat nu se modifică (dacă el este o putere corespunzătoare a lui 2). Trebuie remarcat faptul că transformarea wavelet discretă este inversabilă. În continuare se justifică această afirmaţie. Procedând la fel ca şi la demonstraţia relaţiei (197) se poate arăta că: [ ] [ ]nlmdnlmaa nm

nnmlm 222 10,1 −+− −−+− ∑ , , = (242)

Deci pe baza semnalelor [ ]na m− şi [ ]nd m− se poate determina semnalul [ ]na m 1+− . Pe baza semnalelor [ ]na m 1+− şi [ ]nd m 1+− se poate determina semnalul [ ]na m 2+− . În consecinţă pornind de la semnalele [ ]na m− , [ ]nd m− , [ ]nd m 1+− , ... , [ ]nd 1− poate fi reconstruit semnalul [ ]nao . Relaţia (242) poate fi implementată cu ajutorul sistemului din figura 3.7.1.2.5. Dacă la intrarea unui interpolator cu factorul 2 este adus semnalul [ ]nx atunci la ieşirea sa se obţine semnalul [ ]ny , dat de relaţia:

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

restin 0

22

,

, n nx = ny

M (243)

De aceea semnalele [ ]nu1 şi [ ]nv1 din figura 3.7.1.2.5 pot fi descrise cu relaţiile:

Figura 2.7.1.2.5. Sistemul numeric de proiecţie al semnalului pe spaţiile V- m şi W- k, k=1…m.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

1 0 0

0 0

2 2 2 2

2 2 1 2 1 2 2l p

mp p

u n u l m n l u p m n p

u p m n p a p m n p−

= − = − +∑ ∑

+ + − − = −∑ ∑

[ ] [ ] [ ] 2211 ln mld =nvl

m∑ −−

Se constată că într-adevăr sistemul din figura 3.7.1.2.5 implementază relaţia (242). De aceea se poate afirma că transformarea wavelet inversă este implementată de către sistemul din figura 4.7.1.2.5. Şi transformarea wavelet inversă este o transformare liniară. Algoritmul lui Mallat este un algoritm piramidal deoarece la fiecare iteraţie a sa (proiecţie pe spaţiile V- k , W- k din spaţiul V- k +1) numărul de eşantioane al secvenţelor obţinute este jumătate din numărul de eşantioane ale secvenţei iniţiale. Dacă se consideră o singură iteraţie din transformatele wavelet directă şi inversă se poate obţine sistemul de analiză - sinteză din figura 5.7.1.2.5. Blocul de analiză face codarea semnalului [ ]na0 în două subbenzi. Aceasta este legătura dintre teoria funcţiilor wavelet şi sistemele de codare în subbenzi. Astfel de sisteme sunt descrise în [33]. Sistemul din figura 2.7.1.2.5, codează semnalul [ ]na0 în 1m + subbenzi. Modul în care se face acestă codare este descris în [27]. Câteva aplicaţii interesante ale sistemelor de decimare şi interpolare sunt prezentate în [25]. Utilizarea unor astfel de sisteme face legătura dintre teoria funcţiilor wavelet şi teoria sistemelor multirating [35]. Algoritmul lui Mallat şi-a găsit deja numeroase aplicaţii. O parte dintre acestea vor fi prezentate în capitolele următoare.

Figura 3.7.1.2.5. Sistem de sinteză care implementează relaţia (242).

Figura 5.7.1.2.5 Sistem de analiză şi sinteză cu funcţii "wavelet"

7.1.2.6 DERIVAREA ŞI INTEGRAREA ÎN ANALIZELE MULTIREZOLUŢIE

În paragraful 7.1.2.2 au fost prezentate câteva propoziţii al căror scop era construcţia unor noi analize multirezoluţie pornind de la o anumită analiză multirezoluţie, deja cunoscută. Acestea sunt: teorema 2.7.1.2.2, teorema 3.7.1.2.2 şi teorema 4.7.1.2.2. În acest paragraf se arată că şi operatorii de derivare şi integrare pot fi folosiţi în acelaşi scop. Fie funcţia de scară ( )τϕ . Transformata sa Fourier poate fi calculată folosind o relaţie de forma:

( ) 01 2

F nnm

∞

=

ω⎛ ⎞ϕ ω = ∏ ⎜ ⎟⎝ ⎠

De aceea transformata Fourier a derivatei ( )τϕ' poate fi pusă în forma:

( ) 01

'2

F nnj m

∞

=

ω⎛ ⎞ϕ ω = − ω∏ ⎜ ⎟⎝ ⎠

Ţinând însă seama de forma generală a răspunsului ( )ω0m :

( ) ( )ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

ωP + e = m

Nj

21

0

Figura 4.7.1.2.5 Sistemul numeric care implementază transformarea "wavelet" inversă.


( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ω

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ω−ωϕ∞

ω∞

n

Nj

P + e j = '

n =

n

n = 221

11

2F (244)

Dar:

1

21 sin c2 2

n

n =

Nj N + e =

ω∞⎛ ⎞⎜ ⎟ ω⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

(245)

Deci:

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

ω−ωϕ∞

n

N P j = '

n = 22csin

1

F (246)

Dar: 1

221

2csin

2csin

2csin

2sin

−ωω−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

ω−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

ω−Nj j NN

ee=j =j c

În consecinţă relaţia (246) se mai scrie:

( )1

2 21

' sin c2 2

FNj j

nne e P

ω ω − ∞−

=

⎛ ⎞ ω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ϕ ω = − ∏⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

sau pe baza relaţiei (245):

( )

1

22 2

1

1'2 2

Fn

Nj

j j

nn

ee e P

−ωω ω ∞−

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟+ ω⎛ ⎞⎜ ⎟ϕ ω = − ⋅∏ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

⎝ ⎠

Folosind notaţia:

( ) ( )1

1 01

2

Njem P−ω⎛ ⎞+

ω = ω⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

se obţine:

( ) 2 21 0

1'

2F

j j

nne e m

ω ω ∞−

=

⎛ ⎞ ω⎛ ⎞⎜ ⎟ϕ ω = − ∏ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Fie ( )τϕ1 funcţia de scară corespunzătoare filtrului cu răspunsul în frecvenţă ( )ω01m . Ultima relaţie devine:

( ) ( )ωϕ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−ωϕ

ωω−

ee = 'j j

122 FF

sau:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛τϕ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −τϕτϕ

21

21

11 + = '

Având în vedere că ( )τϕ1 este o funcţie de scară rezultă că şi ( )τϕ' este o funcţie de scară. Mai multe despre legătura dintre operatorii de derivare şi conceptul de analiză multirezoluţie pot fi găsite în [35] şi în [36].

7.1.2.7 VARIAŢIUNI PE TEMA BAZELOR ORTONORMALE DE FUNCŢII

"WAVELET" CU SUPORT COMPACT

În articolul său [37], Ingrid Daubechies revine asupra subiectului bazelor ortonormale de funcţii "wavelets" cu suport compact. În acest articol autoarea studiază următoarele probleme: 1. Creşterea simetriei funcţiilor ϕ şi ψ, 2. Creşterea localizării în frecvenţă, 3. Creşterea numărului de momente nule ale funcţiilor ϕ şi ψ. 1. Nu pot fi determinate funcţii de tipul mother wavelets cu suport compact, înafara funcţiei Hψ , simetrice, deoarece filtrele ( )ω0m corespunzătoare nu pot avea caracteristica de fază liniară. Totuşi având în vedere că pentru fiecare filtru ( )ω

kDm

0 ,

k 102 , = există mai multe alegeri posibile (pentru k = 2, ecuaţia (229) are mai multe soluţii posibile) se poate pune problema care dintre acestea conduce la un filtru a cărui caracteristică de fază este cel mai apropiată de una liniară. De fapt numărul de alegeri

posibile este ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

22N

. Fiecare dintre aceste alegeri presupune fixarea unei mulţimi de rădăcini ale ecuaţiei: ( ) 00 =

ωkDm (247)

Acestea reprezintă o submulţime a mulţimii soluţiilor ecuaţiei:

( ) 02

0 = ωkDm (248)

Dar elementele acestei mulţimi pot fi grupate în perechi de rădăcini complex conjugate. Fiecare element al mulţimii rădăcinilor ecuaţiei (247) aparţine unei perechi de elemente (complex conjugate) din mulţimea rădăcinilor ecuaţiei (248). Bineînţeles că o altă alegere posibilă a filtrului ( )ωkDm

0 poate fi făcută alegând ca rădăcini ale ecuaţiei (247) celelalte elemente ale perechilor din mulţimea rădăcinilor ecuaţiei (248). În tabelul următor sunt listaţi coeficienţii filtrelor cu răspunsurile în frecvenţă

( )ωD km0 care au caracteristica de fază cea mai apropiată de una liniară, pentru k cuprins între 4 şi 10.

n N, nc n N, nc N = 4 0 - 0.075765714789 N = 8 5 - 0,027219029916

1 - 0,029635527645 6 - 0,051194583810 2 0,497618667632 7 0,364441894836 3 0,803738751805 8 0,777185751699

4 0,297857795605 9 0,481359651259 5 0,099219543576 10 - 0,061273359167 6 0,012603967262 11 - 0,143294238351 7 0,032223100604 12 0,007607487325

N = 5 0 0,027333068345 13 0,031695087810 1 0,029519490926 14 - 5,4213233163560 e5 2 - 0,039134249302 15 0,003382415951 3 0,199397533977 N = 9 0 0,001069490032 4 0,723407690040 1 - 4,731544985873 e5 5 0,633978963456 2 0,010264064027 6 0,016602105764 3 0,008859267493 7 - 0,175328089908 4 0,062077789302 8 - 0,021101834024 5 - 0,018233770779 9 0,019538882735 6 - 0,191550831296

N = 6 0 0,015404109327 7 0,035272488035 1 0,003490712084 8 0,617338449140 2 - 0,117990186193 9 0,717897082763 3 - 0,048311742373 10 0,238760914607 4 0,491055941927 11 - 0,054568958430 5 0,787641141028 12 5,834627463305 e4 6 0,337929421728 13 0,030224878857 7 - 0,072637522786 14 - 0,011528210207 8 - 0,021060292512 15 - 0,013271967781 9 0,044724901770 16 6,197808890541 e4 10 0,001767711864 17 0,001400915225 11 - 0,007800708324 N = 10 0 7,701598089417 e4

N = 7 0 0,002681814568 1 9,563267176371 e5 1 - 0,001047384888 2 - 0,008641299274 2 - 0,012638303403 3 - 0,001465382583 3 0,030515513165 4 0,045927239214 4 0,067892693501 5 0,011609893910 5 - 0,049552834937 6 - 0,159494278824 6 0,017441255087 7 - 0,070880535796 7 0,536101917090 8 0,471690666743 8 0,767764317004 9 1,769510036853 9 0,288629631751 10 0,383826761145 10 - 0,140047240442 11 - 0,035536740298 11 - 0,107808237703 12 - 0,031990056821 12 0,004010244871 13 0,049994972068 13 0,010268176708 14 0,005764912044

N = 8 0 0,001889950332 15 - 0,020354939799 1 - 3,0292051455170 e4 16 - 8,043589343686 e4 2 - 0,014952258336 17 0,004593173582 3 0,003808752014 18 5,703608432707 e5 4 0,261269214029 19 4,593294204519 e4

Tabelul 1.7.1.2.7. Coeficienţii filtrelor Daubechies cu faza cea mai apropiată de una liniară.

În acest mod se obţine însă un răspuns în frecvenţă complex conjugat. Caracteristica de fază a acestuia este la fel de neliniară ca şi caracteristica de fază a filtrului de la care s-a pornit. În consecinţă numărul de alegeri posibile ale răspunsului în frecvenţă

( )ωD km0 este de 1

22 −⎥⎦

⎤⎢⎣⎡N

. De aceea pentru N = 2 şi N = 3 există o singură alegere posibilă (pentru N = 2 este cea corespunzătoare relaţiei (230)). În figura 1.7.1.2.7 sunt date câteva exemple de funcţii de scară respectiv de funcţii de tipul mother wavelets generate folosind tabelul de mai sus.

Figura 1.7.1.2.7. Funcţiile de scară şi mother wavelets de tip Symmlet pentru N cuprins între 2 şi 10.

Rezultatele obţinute sunt valabile în ipoteza că la o valoare a lui N impusă, funcţia ( )τψN are N momente nule şi lungimea suportului funcţiei ( )τψN este 2N - 1. Dacă se

acceptă o lungime mai mare pentru suportul funcţiei ( )τψN , atunci aceasta poate fi făcută să fie şi mai simetrică [37]. În paragraful 7.1.2.4 au fost utilizate doar filtre (cu răspunsurile în frecvenţă

( )ωkm0 , ( )ωkm1 ) cu răspunsuri la impuls funcţii reale. În [38] se afirmă că dacă răspunsurile la impuls sunt funcţii complexe, atunci se pot construi funcţii ϕN şi ψN perfect simetrice. Răspunsul la impuls [ ]nm0 este simetric dacă este îndeplinită condiţia: [ ] [ ]0 0 1m n m N n= − − Cu N s-a notat numărul de coeficienţi nenuli ai răspunsului la impuls, [ ]nm0 . Ultima relaţie se scrie în domeniul frecvenţă în forma: ( ) ( ) ( )1

0 0j Nm e m− ω −ω = −ω (249)

În cazul construcţiei funcţiilor mother wavelets, cu suport compact, generatoare de baze ortonormale ale lui ( )RL2 propuse de Ingrid Daubechies, descrisă mai devreme, se folosea descompunerea:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 *0 0 0 0 0m m m m mω = ω ω = ω −ω

deoarece funcţia [ ]0m n era considerată reală. Dacă se renunţă la această ipoteză atunci:

( ) [ ]1* *

0 00

N jn

nm m n e

− ω

=ω = ⋅∑

Cu notaţia:

( ) [ ]*

1 *00

0

N jn

nm m n e

− − ω

=ω = ⋅∑

ultima relaţie devine: ( ) ( )*

*0 0m mω = −ω (250)

De aceea pentru determinarea zerourilor funcţiei ( )ω0m , zerourile polinomului ( )ωQ (definit în relaţia (226)) trebuiesc realocate în acord cu relaţia: ( ) ( ) ( )ωωω Qmm = -*00 (251) Realocarea trebuie făcută în aşa fel încât să fie satisfăcută relaţia (249). 2. Problema îmbunătăţirii localizării în domeniul frecvenţă a funcţiilor wavelet, elemente ale unor baze ortonormale ale spaţiului ( )RL2 este analizată în [39]. Transformatele Fourier a funcţiilor mother wavelets ψ, generatoare de baze ortonormale ale spaţiului ( )RL2 se concentrează într-o anumită bandă de frecvenţe. De

exemplu pentru funcţia lui Meyer, ( )τψM , (definită prin relaţia (161)), banda de

frecvenţe este cuprinsă în intervalul ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ππ

38

32 , .

În cazul funcţiilor mother wavelets introduse de Ingrid Daubechies suportul frecvenţial nu este finit, deoarece acestea au suport temporal compact. Totuşi transformatele lor Fourier au viteză mare de scădere în interiorul intervalului:

π≤ω≤π 2 De aceea se poate afirma că lungimea efectivă a benzilor de frecvenţe ale acestor funcţii este de ordinul de mărime al unei octave. Această localizare frecvenţială este datorată alegerii valorii 2 pentru factorul de dilatare ao (definit în paragraful 7.1.2). Uneori se doreşte o localizare frecvenţială mai bună. În continuare se prezintă două metode pentru creşterea localizării frecvenţiale a funcţiilor generatoare de baze ortonormale de funcţii wavelet, inspirate din teoria cadrelor pe mai multe voci (descrisă la sfârşitul paragrafului 7.1.2). Deoarece valoarea lăţimii de bandă de o octavă este impusă de valoarea 2 a factorului de dilatare, rezultă că o cale naturală de a obţine o lăţime de bandă mai îngustă este să se utilizeze un factor de dilatare de valoare mai mică, de exemplu 3 2. Din nefericire, folosind factori de dilatare neîntregi nu pot fi construite analize multirezoluţie descrise de funcţii de scară cu suport compact, care să genereze funcţii mother wavelets cu suport compact. Pentru 230 = a , spaţiul Vo ar trebui să fie generat de baza ( ) Zn n ∈−τϕ0 iar

spaţiul V1 de baza Zn

n∈⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τϕ

23

23

0 .

Ţinând seama de faptul că Vo este inclus în V1 rezultă că se pot scrie relaţiile:

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τϕ−τϕ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τϕτϕ

∑

∑

n, n

n, n

n c =

n c =

231

23

020

010 (252)

Dacă funcţia ( )τϕ0 ar avea suport compact, atunci secvenţele , nc1 şi , nc2 ar trebui să fie de durate finite. Trecând în domeniul frecvenţă, relaţia (252) devine:

( )

( )

23

0 1, 0

23

0 2, 0

2 23 3

2 23 3

F F

F F

j nn

n

j njn

n

c e

e c e

− ω

− ω− ω

⎧ ⎛ ⎞⎪ ϕ ω = ϕ ω∑ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎨⎪ ⎛ ⎞ϕ ω = ϕ ω∑⎪ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩

(253)

Făcând schimbarea de variabilă:

ω u = 32

se poate scrie:

( )

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

ϕ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ϕ

ϕ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ϕ

∑

∑

−−

−

n

j u n, n

uj

n

j u n, n

u ec = u e

u ec = u

02023

010

23

23

23

23

FF

FF

(254)

Rezultă:

( ) ∑∑ −− ϕn

j u n, n

uj

n

j u n, n ec = eu ec 22

3

01 F (255)

Dacă secvenţele , nc1 şi , nc2 ar fi de durată finită, atunci transformatele lor Fourier în

timp discret ar trebui să fie polinoame de variabilă j u e− . Notând polinomul asociat secvenţei , nc1 cu ( )j u eP − relaţia (255) se scrie:

( ) ( ) e = ujujuj eQeP −− 23

sau cu schimbarea de variabilă: ve uj = −

( ) ( )23vvQvP =

Dar, chiar dacă ( )vQ este un polinom, ( )vP nu mai este o funcţie polinomială. În consecinţă ipoteza făcută (că secvenţele nc ,1 şi nc ,2 sunt de durată limitată) este falsă. Deci funcţia ( )τϕ0 nu poate avea suport compact. La fel se întâmplă pentru orice valoare neîntreagă a factorului de dilatare, ao. Deci nu poate fi vorba ca o singură funcţie oϕ cu suport compact să genereze o analiză multirezoluţie a lui ( )RL2 cu ao de valoare fracţionară. S-ar putea construi o astfel de analiză multirezoluţie pornind de la mai multe funcţii ϕ0 , aşa cum sugerează modelul cadrului pe mai multe voci. A doua metodă de creştere a localizării frecvenţiale a funcţiei mother wavelets cu suport compact generatoare de baze ortonormale a lui ( )RL2 este bazată pe folosirea unor factori de dilatare întregi, de valoare superioară lui 2. Pentru construcţia unei analize multirezoluţie folosind un factor de dilatare N (N > 2) este necesară o funcţie de scalare ϕ şi N - 1 funcţii mother wavelets diferite ψl , l 11 − , = N . Funcţia de scară trebuie să satisfacă o condiţie de forma: ( ) ( )∑ −τϕτϕ

nn nN00 a = (256)

Trecând în domeniul frecvenţă se obţine:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ωϕωϕ ∑

ω−

N ea

N =

n

nN

j n 00

1FF

Folosind notaţia:

( ) ∑ ω−ωn

nj n ea

N = m 1

0


( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ωϕ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ωωϕ

N

N = m 000 FF (257)

Funcţiile ( )τψl , l 11 − , = N se exprimă ca şi combinaţii liniare ale elementelor mulţimii ( ) ZnnN ∈−τϕ 0 .

Presupunând că funcţiile ϕ0 şi lψ , l 11 − , = N au suporturi compacte rezultă că există polinoame trigonometrice ( ) 1, 1, l m l Nω = − care să satisfacă relaţii de forma:

( ) 0F Fl l mN Nω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞ψ ω = ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Mulţimea ( ) ( ) ( ) ZnNnnN ∈− τψ−τψ−τϕ , ... , , 110 generează spaţiul iVo al analizei multirezoluţie iniţiale. Mulţimea ( ) ZnnN ∈−τϕ 0 generează spaţiul nVoo al spaţiului Vo, iar mulţimea ( ) Znl n ∈−τψ generează subspaţiul nWol al spaţiului Vo. În continuare se prezintă modul în care se face trecerea de la o analiză multirezoluţie obişnuită la o analiză multirezoluţie cu N = 4. Analiza multirezoluţie iniţială este generată cu ajutorul filtrului numeric cu răspunsul în frecvenţă ( )ω0m . Pe baza sa se construiesc 4 noi filtre:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0 0 0

1 0 1

2 1 1

3 1 0

2222

m m mm m mm m mm m m

⎧ ω = ω ω⎪ ω = ω ω⎪⎨ ω = ω ω⎪⎪ ω = ω ω⎩

(258)

unde: ( ) ( )π+ω=ω ω *

01 mem j (259) Cu ajutorul filtrului ( )ωm0 se generează nVoo. Cu ajutorul filtrelor ( )ωml , l 31 , = se generează subspaţiile nWo, l. Condiţia ca toate aceste subspaţii să fie ortogonale între ele este ca matricea

( )ωM , al cărei elemente sunt:

( ) ( ) 414114

21 , ; k = , , l = k + m M ll ,k ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

πω=ω −

să fie unitară pentru orice valoare a lui ω , [39]. Această condiţie poate fi verificată prin calcul. (Se foloseşte relaţia: ( ) ( ) 12

02

0 = m+ m π+ωω ). Funcţia de scară a noii analize multizeroluţie se determină cu formula:

( ) ( )ωωϕ −∞

p

p = n m = 40

10F

Dar: ( ) ( ) ( )( )ωωω −−−− 12

02

00 224 ppp m = mm De aceea:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 120 0 0 0 0

1 12 2 2F Fpp p

n np p

m m m∞ ∞− −− −

= =ϕ ω = ω ω = ω = ϕ ω∏ ∏

În consecinţă: ( ) ( ) = τϕτϕ nn 00 (260) Prin scalare cu 4 şi translaţie cu întregi se obţin mulţimile ( ) Zk

mn k ∈−τϕ 40 . Acestea

sunt baze ortonormale în spaţiile nVm,o ale noii analize multirezoluţie. Spaţiile iVp ale analizei multirezoluţie iniţiale erau generate de bazele ortonormale ( ) Zk

p k ∈−τϕ 20 . Se constată că este valabilă relaţia: iV2 m = nVm,o (261) Funcţiile mother wavelets ale noii analize multirezoluţie au transformatele Fourier date de expresiile:

( ) 0 , 1, 34 4

F F l l m lω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞ψ ω = ϕ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Pentru l = 1 se obţine:

( ) 1 1 04 4F Fm ω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞ψ ω = ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠


( ) 1 1 0 02 4 4F Fm mω ω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ψ ω = ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (262)

Dar în cazul analizei multirezoluţie iniţială era valabilă relaţia:

( ) 0 0 02 2F Fm ω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞ϕ ω = ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

În consecinţă relaţia (262) poate fi rescrisă în forma:

( ) 1 1 02 2F Fm ω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞ψ ω = ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (263)

Dar aceasta este tocmai relaţia de definiţie a funcţiei mother wavelets asociată analizei multirezoluţie iniţiale, ψ. În consecinţă: ( ) ( ) ( ) R , = ∈τ∀τψτψ1 De aceea se poate scrie: iW2 m = nWm, 1 Pentru l = 2 se poate scrie:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ωϕ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ωωψ

44 022 m = FF


( ) 2 1 1 04 2 4F Fm mω ω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ψ ω = ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

adică:

( ) 2 1 2 2F Fm ω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞ψ ω = ψ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (264)

În sfârşit, pentru l = 3 se poate scrie:

( ) 3 3 04 4F Fm ω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞ψ ω = ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

sau:

( ) 3 1 0 04 2 4F Fm mω ω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ψ ω = ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

adică:

( ) 3 0 2 2F Fm ω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞ψ ω = ψ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (265)

Mulţimile ( ) Zkm k ∈−τψ 42 generează spaţiul nW2 m, 2 iar mulţimile

( ) Zkm k ∈−τψ 43 generează spaţiul nW2 m, 3.

Funcţiile ψ1 şi ψ2 nu aveau nici o semnificaţie în analiza multirezoluţie iniţială. Ele sunt însă elementele din noua analiză multirezoluţie care au localizarea frecvenţială îmbunătăţită. În cadrul noii analize multirezoluţie se poate scrie: = , , , , , 312111010 −−−− ⊕⊕⊕ mnmnmnmnmn WWWVV Ţinând seama de legătura dintre elementele analizei multirezoluţie iniţială şi elementele noii analize multirezoluţie ultima relaţie devine: = , , 312122222 −−−− ⊕⊕⊕ mnmnmimimi WWWVV sau ţinând seama de legătura dintre elementele analizei multirezoluţie iniţială şi elementele descompunerii ortogonale asociate, ultima relaţie devine:

= , , 3121122 −−− ⊕⊕ mnmnmimi WWVV În consecinţă spaţiile nW m-1, 2 şi nW m-1, 3 trebuie să satisfacă relaţia: = , , 312112 −−− ⊕ mnmnmi WWV (266) În figura 2.7.1.2.7 se face o prezentare schematică a celor două analize multirezoluţie studiate, ZmmiV ∈ şi ZmmnV ∈ , în scopul comparării lor. Pe baza relaţiei (266) cele două scheme din figura 2.7.1.2.7 pot fi echivalate cu

schema din figura 3.7.1.2.7. Se constată faptul că toate subspaţiile Wm de indice impar corespunzătoare analizei multirezoluţie iniţială, iW2 m -1, se descompun în câte două subspaţii corespunzătoare noii analize multirezoluţie nW m -1, 2 şi nW m -1, 3. În timp ce spaţiile iW2 m -1 sunt generate de baza ortonormală ( ) , Zkkm ∈− τψ 12 , spaţiile nW m -1, 2 şi

nWm-1, 3 sunt generate de bazele ortonormale ( ) Zkm k ∈− −τψ 1

2 4 respectiv

( ) Zkm k ∈− −τψ 1

3 4 . Pe baza relaţiilor (264) şi (265) se constată că semnalele ( )τψ2 şi

( )τψ3 se obţin prin filtrarea semnalului ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τψ

2 folosind filtrele cu răspunsurile în

frecvenţă ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

21m şi ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

20m . Despre funcţia ( )τψ s-a presupus mai devreme că

transformata sa Fourier se concentrează în banda de frecvenţă [ ]ππ 2 , . În consecinţă

spectrul semnalului ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τψ

2 se concentrează în banda [ ]ππ 42 , .

Figura 2.7.1.2.7 O comparaţie a celor două analize multirezoluţie prezentate.

Sistemele cu răspunsurile în frecvenţă ( )ω0m şi ( )ω1m sunt filtre numerice de tip

trece jos respectiv trece sus. De aceea funcţiile ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

20m şi ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

21m se concentrează în

intervale de forma ( )[ ]ππ k + , k 122 respectiv ( ) ( )[ ] k + , k + ππ 2212 , Zk ∈ . În consecinţă spectrele semnalelor ( )τψ2 şi ( )τψ3 se concentrează în intervalele: [ ]ππ 32 , respectiv [ ]ππ 43 , . Se constată că lungimea acestor intervale este egală cu jumătate din lungimea intervalului [ ]ππ 42 , . De aceea se spune că localizarea frecvenţială a funcţiilor ( )τψ2 şi ( )τψ3 este de ordinul unei semioctave. Iată cum pot fi construite noi descompuneri ortogonale ale spaţiului ( )RL2 bazate pe utilizarea unor funcţii wavelet cu localizarea frecvenţială îmbunătăţită. Subspaţiile Wm de indice par, corespunzătoare analizei multirezoluţie iniţială, iW2 n, sunt identice cu subspaţiile nW m -1 corespunzătoare noii analize multirezoluţie. În continuare se arată cum poate fi îmbunătăţită construcţia anterioară, descompunând fiecarea spaţiu iWm, corespunzător analizei multirezoluţie iniţială, în câte două subspaţii corespunzătoare noii analize multirezoluţie. În acest scop se vor demonstra pentru început câteva rezultate ajutătoare. Relaţia:

[ ] [ ] [ ]kknmnmn

δ+∑ 21200 = (267)

Figura 3.7.1.2.7 O reprezentare echivalentă a celor două analize multirezoluţie.

reprezintă primul dintre aceste rezultate. Demonstraţia acestei relaţii se bazează pe faptul că mulţimea ( ) Zn n ∈−τϕ0 este o bază ortonormală a spaţiului Vo şi pe faptul că funcţia generatoare a spaţiului

V- 1, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τϕ

20 se poate exprima în forma:

[ ] ( )∑ −τϕ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τϕ

nn nm = 022

1 (268)

Mulţimea Zn

n ∈⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ

ϕ22

1 este o bază ortonormală a spaţiului V- 1. De aceea se

poate scrie:

[ ]1 1,2 22 2

k kτ τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ϕ ϕ − = δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


[ ] ( ) [ ] ( ) [ ]0 02 , 2 2n p

m n n m p k p kϕ τ − ϕ τ − − = δ∑ ∑

adică:

[ ] [ ] ( ) ( ) [ ]*0 0

1, 22n p

m n m p n k p kϕ τ − ϕ τ − − = δ∑ ∑

sau:

[ ] [ ] [ ]*0 0

122n

m n m n k k− = δ∑ (269)

Dacă se consideră că funcţia [ ]nm0 este reală atunci se poate afirma că relaţia (267) a fost demonstrată. Cel de-al doilea rezultat ajutător se referă la funcţiile:

( ) [ ] ( )

( ) ( ) [ ] ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−τψ−−τψ

−τψτψ

∑

∑

n

nn

nnm

nm

=

n =

112

2

02

01

Se poate afirma că mulţimea ( ) ( ) Znnn ∈−τψ−τψ 2,2 21 este o altă bază ortonormală a spaţiului Wo. În continuare se demonstrează această afirmaţie. Pentru început se verifică ortonormalitatea mulţimii considerate. Cazul I

( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( )

[ ] [ ] ( ) ( )

[ ] [ ] [ ] ( ) [ ]

1 1 0 0

*0 0

*0 0 0 0

2 , 2 2 2 , 2

2 2 , 2

12 2 2 2 2 22

p q

p

p p

n m m p n p m q m q

m p m q n p m q

m p m n m p m p m p n m n m

ψ τ − ψ τ − = ψ τ − − ψ τ − − =∑ ∑

= ψ τ − − ψ τ − − =∑

⎡ ⎤− + = + − = ⋅ ⋅ δ −∑ ∑ ⎣ ⎦

Deci: ( ) ( ) [ ]1 12 , 2n m n mψ τ − ψ τ − = δ −

Cazul II

( ) ( ) ( ) [ ]( ) [ ] ( ) ( )

( ) [ ]( ) ( ) ( ) [ ] ( )

2 2 0 0

20 0 0 0

2 , 2 2 1 1 1 1 2 , 2

2 1 1 1 1 2 2 1 1 2

p q

p q

p p n m

p p

n m m p m q n p m q

m p m p n m m p m p n m+ −

ψ τ − ψ τ − = − − − − ψ τ − − ψ τ − − =∑∑

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − − − − − = − − − −∑ ∑⎣ ⎦ ⎣ ⎦

sau făcând transformarea de indice: l = p1− ultima relaţie devine:

( ) ( ) [ ] ( )[ ] [ ]2 22 2 2 2 212

ψ τ ψ τ δ− − − ⋅ −∑n , m = m l m l + m n = m nl

o o

Deci:

( ) ( ) [ ]2 22 2ψ τ ψ τ δ n , m = m n− − − Cazul III De fapt: ( ) [ ] ( )2 12

nm n nψ τ = ψ τ −∑

deoarece: [ ] ( ) [ ]1 01 1nm n m n= − − De aceea:

( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( )

[ ] [ ]

1 2 0 1

0 1

2 , 2 2 2 , 2

2 2 2p q

p

n m m p m q n p m q

m p m p n m

ψ τ − ψ τ − = ψ τ − − ψ τ − − =∑∑

= + −∑ (270)

Dar:

[ ] [ ] ( )[ ]mnrmnpmpm mmp

−−∑ = + , 222 1010

unde cu 10 mmr , s-a notat intercorelaţia secvenţelor reale [ ]nm0 şi [ ]nm1 .

Întrucât:

[ ] ( ) ( )[ ]π+ΩΩ↔ + RR kr212

ţinând seama de expresia transformatei Fourier discrete a unei funcţii de intercorelaţie, se poate scrie:

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( )π+Ωπ+ΩΩΩ↔ **, mm m + m mm k r 10102

1210

Dar conform relaţiei (198), membrul drept al ultimei relaţii este identic nul. În consecinţă: ( ) Z n ∈∀ şi ( ) Z m ∈∀ ( )[ ] 0210 = mn r , mm − Pe baza relaţiei (270) rezultă că: ( ) ( )1 22 , 2 0n mψ τ − ψ τ − = (271) Deci mulţimea ( ) ( ) Znn, n ∈−τψ−τψ 22 21 este ortonormată. Mai rămâne să se demonstreze că această mulţime este completă în Wo. Pentru aceasta ar trebui să dovedim că orice funcţie de forma: ( ) ( ) ( )[ ]∑ −τψ−τψτ

nnn n c + n c =x 22 22110

este un element al lui Wo. Pe baza relaţiei (269) relaţia (271) devine:

( ) [ ] ( )

( ) [ ] ( )∑ ∑

∑ ∑

−−τψ−−

−−τψτ

n q

qn

n pon

qn qm c+

+pn pm c=x

2112

22

02

10

(272)

Deci semnalul ( )τ0x este o combinaţie liniară a elementelor mulţimii: ( ) Zk k ∈−τψ . Dar aceasta este bază ortonormală în Wo. În consecinţă orice semnal din Wo poate fi pus în forma (272). Deci mulţimea considerată este completă. În consecinţă ea este o bază ortonormală a lui Wo. Pe baza faptului că Zm mW ∈ este o descompunere

ortogonală a lui ( )RL2 rezultă că mulţimea:

( ) ( )Z Z, nm

mm

mm

n, n

∈∈⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−τψ−τψ 222222 2212

este o bază ortonormală a spaţiului ( )RL2 . Atfel s-a demonstrat că spaţiul iWm poate fi descompus în subspaţiile ortogonale nWm, 1 şi nWm, 2 generate de bazele ortonormale:

( )Z n

mm

n

∈⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−τψ 222 12 şi ( )Z n

mm

n

∈⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−τψ 222 22

Mai rămâne să se studieze localizarea în frecvenţă a funcţiilor ( )τψ1 şi ( )τψ2 . Trecând în domeniul frecvenţă relaţia (269) devine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

ωψωωψ

ωψωωψ

FF

FF

m =

m =

12

01

2

2 (273)

Având în vedere că funcţia ( )ω0m descrie un filtru trece jos şi că funcţia ( )ω1m descrie un filtru trece sus, rezultă că funcţia ( )ωψ1F se localizează în partea stângă a zonei de localizare a funcţiei ( )ωψF şi că funcţia ( )ωψ2F se localizează în partea dreaptă a zonei de localizare a funcţiei ( )ωψF . De aceea se poate afirma că funcţiile 1ψ şi 2ψ sunt mai bine localizate decât funcţia ψ. O descompunere a spaţiului

( )RL2 care foloseşte tehnica prezentată mai sus este schematizată în figura 4.7.1.2.7.

În continuare se dă un exemplu de construcţie a funcţiilor 1ψ şi 2ψ. Să considerăm că funcţia ψ ar fi funcţia wavelet de tip Haar:

( ) ( )τψτψ H = şi să considerăm că filtrele ( )ω0m şi ( )ω1m ar fi cele introduse de Ingrid Daubechies:

Figura 4.7.1.2.7 O nouă descompunere ortogonală a spaţiului ( )RL2 .

[ ]

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

,

, n =

, n =

, n = +

, n = +

= nmD

restin 0

38

31

28

33

18

33

08

31

20

Se obţin funcţiile:

( ) ( ) ( )

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞−τψ

−−τψ

−

⎜⎜⎝

⎛−τψτψτψ

38

3128

133

18

3138

31221

HH

HHHD

+ +

+ + + + =

( ) ( ) ( )

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞−τψ−τψ

⎜⎜⎝

⎛+τψ

−−+τψ

−τψ

18

318

133

18

13328

31222

HH

HHHD

+ + +

+ =

cu graficele din figura 5.7.1.2.7. Se compară spectrele semnalelor ( )τψH , ( )τψH

D 21 şi ( )τψH

D 22 .

( ) ( )

4sin

4

4sin

24

2sin241

42sin

42cos

22

12

cos222

2cos2

22211

21211

21

21

01

1

21

21

0

111

21

21

0

ωω

ωω−ω

ω

ω−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

ω−

ωω

ω−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

ωω

ω−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

ωω

ω−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ ω−

−ω−ω

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ ω−ω−−−

ω−

ω−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ τω−−τω−ω

−

∫ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ τω−

∫ω

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ τω−

ω−∫ ττω−−∫ ττω−ωτψ

j

= je j

j e =

j

j e=

= j

j e =

j

j e =

j ej + e

j =

= j

+ej ej

ej

= /

j e/ j e

j =

=/

j ed/

j + j ed

j =

/ d j e

/ d j e =HF

Deci:

( ) ( )4

sin4

sinc2 ωωωτψ

ω−

= j ej

HF (274)

Pe baza relaţiei (273) se poate scrie:

Figura 5.7.1.2.7 Un exemplu de construcţie a unor funcţii wavelets mai bine

localizate în frecvenţă decât funcţia lui Haar.

( ) ( ) ( )

( )

( )314

sin4

sinc31311

22

4sin

4sinc

3131131

2cos4

82

4sin

4sinc

231

231

212

2

23

22

22

021 2

+

FF

e +

+ e =j

= j e e +

+ + e=

= j ee + + + e =

= m=

j j

j j j

j j j

HHD

D

ωω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

ωω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

ωω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ωψωωψ

ω−ω

−

ω−ω−ω−

ω−ω−

ω−

(275)

S-a obţinut:

( )4

sin4

sinc ωωωψ = HF (276)

( ) ( )

( )4

sin4

sinccos31312

324324131

22

4sin

4sinc

2sin

3131

2cos

3131131

222

1

ωωω

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

ωω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

−+ωψ

+

+ +

+ =

= +++

++=H

DF (277)

Pentru a compara localizările în frecvenţă ale funcţiilor ( )τψH şi ( )τψH

D21 se

reprezintă graficele modulelor spectrelor lor folosind acelaşi sistem de coordonate, în figura 6.7.1.2.7. OBSERVAŢII 1. În cazul în care se doreşte o localizare în frecvenţă şi mai bună, atunci procedura de descompunere a elementelor descompunerii ortogonale se poate repeta. Spaţiul Wo poate fi descompus în 2M subspaţii fiecare dintre acestea având baza ortonormală

( ) Zn

MMl , , l = n

∈⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −τψ 212 .

2. Funcţiile ( )τψHD 2

1 şi ( )τψHD 2

2 sunt cazuri particulare de funcţii de tipul wavelet packets introduse de Coifman şi Meyer. Acest tip de funcţii va fi descris într-un paragraf ulterior. 3. În paragraful 7.1.2.4. a fost formulată condiţia ca o funcţie de tipul mother

wavelets să aibă o regularitate impusă pe baza anulării momentelor de ordinul m ale acestei funcţii, (233):

( )∫∞

∞−ττψτ

m , r , m = = d 10 (278)

Uneori este important ca şi funcţia de scară ϕ care generează funcţia ψ din relaţia de mai sus să aibă câteva momente nule. În acest scop este utilă condiţia:

( )∫∞

∞−ττϕτ

m , r , m = = d 10 (279)

după cum se poate vedea din exemplul următor. Fie semnalul ( )τ0x din Vo. Descompunerea sa în baza Riesz a spaţiului Vo ( ) Zk k ∈−τϕ este :

( ) ( ) ( ) ( )0 0 ,k

x x k kτ = τ ϕ τ − ϕ τ −∑ (280)

Coeficienţii acestei descompuneri sunt:

( ) ( ) ( ) ( )0 0,x k x k d∞

−∞τ ϕ τ − = τ ϕ τ − τ∫ (281)

Funcţia ( )τϕ s-a presupus reală. Descompunerea în serie Taylor a semnalului ( )τ0x în jurul punctului k este:

Figura 6.7.1.2.7 Localizarea în domeniul frecvenţă a funcţiei ( )τψH

D21 este superioară

localizării funcţiei ( )τψH .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) K

K

+ xr!

k +

++ x!k+ x

!k + k = xx

= kr

r

= k''

= k'

τ

ττ

τ−τ

τ−τ

τ−τ

τ

0

0

2

000 21

Având în vedere că funcţia ( )τϕ se localizează în timp în jurul momentului 0, funcţia ( )k−τϕ se va localiza în jurul momentului k , şi relaţia (281) devine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

' ''0 0 0 0, ...

1! 2!k kkkx k x k x xτ= τ=

τ −τ −τ ϕ τ − = + τ + τ + +

( )( ) ( ) ( )∫∞

∞−τ−τϕ−τ

rr

+ ... dkk r!

kx+ 0


( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )∫

∞

∞−≅τ−τϕ−τ−τϕτ

rr

kx + ... dk k r!

kx + k = xk, x 0

000

În consecinţă coeficienţii descompunerii semnalului ( )τ0x în baza lui Vo (relaţia (280)) pot fi aproximaţi cu ajutorul eşantioanelor semnalului considerat, ( )kx0 .

Această proprietate este foarte importantă deoarece conduce la posibilitatea analizei semnalului ( )τ0x (care este un semnal în timp continuu) cu ajutorul calculatorului numeric. Într-adevăr, relaţia (280) devine: ( ) ( ) ( )∑ −τϕ≅τ

kk kx x 00 (282)

Este deci suficient să fie cunoscută varianta discretizată ( )kx0 a semnalului ( )τ0x pentru ca aceasta din urmă să poată fi reconstruit.

Mai mult, algoritmul lui Mallat poate fi iniţializat cu semnalul în timp discret [ ]x ko şi transformarea wavelet discretă a acestuia poate fi utilizată pentru calculul

transformării wavelet continuă a semnalului ( )τ0x . Iată cum poate fi utilizat un algoritm rapid (este vorba despre algoritmul lui

Mallat), pentru calculul reprezentării timp-frecvenţă sau timp-factor de scară de tip wavelet a semnalului ( )τ0x . Evident aproximarea din relaţia (282) este cu atât mai bună cu cât valoarea lui r este mai mare. Ar fi de dorit aşadar ca funcţia de scară ( )τϕ să aibă cât mai multe momente nule. Principala limitare a metodei de calcul numeric a reprezentării bidimensionale de tip wavelet descrisă mai sus este că aceasta presupune ca semnalul ( )τ0x să fie derivabil şi să aibă cel puţin r derivate. În continuare se studiază cum pot fi construite funcţiile ϕ şi ψ astfel încât să aibă suport compact şi să fie îndeplinite condiţiile:

( )

( )

( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−ττψτ

−ττϕτ

ττϕ

∫

∫

∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

l

l

, L, l = = d

, L, l = = d

= d

100

110

1

(283)

Trebuie observat că prin creşterea numărului de momente nule ale funcţiei ϕ (relaţia 279), creşte şi simetria acestei funcţii. În onoarea profesorului Ronald Coifman, cel care a fost primul care a observat utilitatea acestui tip de funcţii wavelet cu acelaşi număr de momente nule ca şi funcţiile de scară din care provin, aceste funcţii wavelet au fost numite "coiflet" de ordinul L [37]. Condiţiile din relaţia (283) se scriu în domeniul frecvenţă, în forma:

( )

( )

( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−ωψω

−ωϕω

ϕ

100

110

10

, L, l = = d d

, L, l = = d d

=

l

l

l

l

F

F

F

(284)

Pe baza acestor condiţii pot fi formulate condiţiile corespunzătoare pentru răspunsurile în frecvenţă ( )ω0m şi ( )ω1m . Acestea sunt:

( )( )( )

( )( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

−π+ω

1000

10100

0

0

0

, L, l = = m

= m, L, l = = m

l

l

(285)

Se caută răspunsuri în frecvenţă de forma:

( ) ( )ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

ωQ + e = m

Lj

21

0 (286)

Ultima relaţie este identică cu relaţia (223). De aceea vor fi satisfăcute condiţiile (198). Datorită ultimelor condiţii din relaţia (285), ( )ω0m trebuie să fie în acelaşi timp de forma:

( ) ( ) ( )ω−ω ω S e + =mLj 110 (287)

unde ( )ωS este un polinom în ω e j . Modul în care se construieşte polinomul ( )ωQ a fost deja prezentat în paragraful 7.1.2.4. Trebuie rezolvată ecuaţia:

( ) ( ) ( )ω−ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ωω

S e + = Q + e Lj j

112

1 (288)

în care necunoscuta este polinomul ( )ωS . Coeficienţii acestui polinom pot fi obţinuţi pe baza relaţiei (288) prin identificare. În acest mod se obţine un sistem de ecuaţii. Acest sistem poate fi rezolvat direct pentru valori ale lui L inferioare lui 6. Pentru valori mai mari trebuie folosite metode numerice de rezolvare a sistemelor de ecuaţii. Aceste sisteme de ecuaţii au fost rezolvate în [37] pentru L cu valori între 2 şi 10. Rezultatele sunt prezentate în tabelul 2.7.1.2.7 pentru L cuprins între 2 şi 6. Nici coeficienţii lui ( )ωQ , descris în paragraful 7.1.2.4, nu pot fi determinaţi decât numeric pentru valori mai mari ale lui N. Câteva tehnici numerice utile în acest scop sunt prezentate în raportul de cercetare [40]. În figura următoare sunt prezentate funcţiile de scară respectiv funcţiile mother wavelets de tip Coiflet corespunzătoare valorilor lui L cuprinse între 2 şi 5.

L n [ ]nm0 L n [ ]nm0

2 - 2 - 0,51429484095 4 -9 -0.00268241867100 -1 0,238929728471 -8 0.00550312670900 0 0,602859456942 -7 0.01658356047900 1 0,272140543058 -6 -0.04650776447900 2 - 0,051429972847 -5 -0.04322076356000 3 - 0,011070271529 -4 0.28650333527400

3 -5 0.01158759673894 -3 0.56128525687000 -4 -0.02932013797985 -2 0.30298357177300 -3 -0.04763959030976 -1 -0.05077014075500 -2 0.27302104653363 0 -0.05819625076200 -1 0.57468239385412 1 0.02443409432100 0 0.29486719369452 2 0.01122924096200 1 -0.05408560709173 3 -0.00636960101100 2 -0.04202648046079 4 -0.00182045891600 3 0.01674441016291 5 0.00079020510100 4 0.00396788361298 6 0.00032966517400 5 -0.00128920335599 7 -0.00005019277500 6 -0.00050950539899 8 -0.00002446573400

5 -11 0.00063096104600 6 -1 0.02919587949708 -10 -0.00115222485200 0 0.02311077699769 -9 -0.00519452402600 1 -0.01397368789860 -8 0.01136245924400 2 -0.00648008999935 -7 0.01886723537800 3 0.00478300139952 -6 -0.05746423442900 4 0.00172065469983 -5 -0.03965264851700 5 -0.00117582219988 -4 0.29366739089500 6 -0.00045122699996 -3 0.55312645256200 7 0.00021372979998 -2 0.30715732619800 8 0.00009937759999

Tabelul 2.7.1.2.7 Coeficienţii filtrelor generatoare ale funcţiilor de scară respectiv

mother wavelets de tip Coiflet.

-1 -0.04711273886500 9 -0.00002923210000 0 -0.06803812705100 10 -0.00001507200000 1 0.02781364015300 11 0.00000264080000 2 0.01773583743800 12 0.00000145930000 3 -0.01075631851700 13 -0.00000011840000 4 -0.00400101288600 14 -0.00000006730000 5 0.00089559452900 6 -0.00041650057100 7 -0.00018382976900 8 0.00004408035400 9 0.00002208285700 10 -0.00000230494200 11 -0.00000126217500

6 -15 -0.00014996379998 -14 0.00025356119998 -13 0.00154024569985 -12 -0.00294111079971 -11 -0.00716378189928 -10 0.01655206639835 -9 0.01991780429801 -8 -0.06499726279350 -7 -0.03680007359632 -6 0.29809232347019 -5 0.54750542934525 -4 0.30970684896903 -3 -0.04386605079561 -2 -0.07465223889254

Tabelul 2.7.1.2.7 (continuare). Coeficienţii filtrelor generatoare ale funcţiilor de scară respectiv mother

wavelets de tip Coiflet.

Figura 7.7.1.2.7 Cateva exemple de funcţii de scară respectiv mother wavelets

de tip Coiflet.

Bibliografie [1] M. Kunt. Traitement numérique des signaux. Traité d’Electricité de l’EPFL, vol.

XX, 3-eme édition, Presses Polytechniques Romandes, 1984. [2] E. Pop, I. Nafornita, V. Tiponut, L.Toma, A. Mihaescu. Metode în prelucrarea

numerica a semnalelor. vol I si vol II, Ed. Facla, Timisoara 1986 si 1989. [3] R. B. Randall. Applications of B&K Equipment to Frequency Analysis. B&K,

1987. [4] A. De Sabata, A. Isar. Semnale Circuite si Sisteme. Indrumator de laborator,

Litografia UPT, 1993. [5] I. Daubechies. Ten Lectures on Wavelets. SIAM, Philadelphia 1992. [6] P. Flandrin. Representation temps-fréquence. Hermes, 1993. [7] Y. Meyer. Ondelettes et algorithmes concurents. Herman, Paris 1993. [8] H. S. Malvar. Lapped Transforms for Efficient Transform/Subband Coding. IEEE Trans. on ASSP, vol. 38, pp.969-978, June 1990. [9] M. Wickerhauser. Adapted Wavelet Analysis from Theory to Software.

A. K. Peters Wesley ,1994. [10] R. J. Duffin, A. C. Schaeffer. A Class of Nonharmonic Fourier Series. Trans. Amer. Math. Soc., No. 72, pp.341-366, 1952. [11] R. Cristescu. Analiza functionala. Editura Didactica si Pedagogică, Bucuresti 1965. [12] C. K. Chui (editor). An Introduction to Wavelets. Academic Press, New York

1992. [13] C. K. Chui (editor). Wavelets. A Tutorial in Theory and Applications. Academic

Press, New York 1992. [14] A. N. Akansu, R. A. Hadad. Multiresolution Signal Decomposition. Academic Press, New York, 1992. [15] A. P. Pentland. Interpolation using Wavelet Bases. IEEE Trans. on PAMI,

vol.16, no.4, April 1994. [16] J. Benedetto, A. Teolis. A Wavelet Auditory Model and Data Compression. În Applied and Computational Harmonic Analysis. No.1, pp.3-28, February 1993. [17] A. Isar, D. Isar. A Generalization of the W.K.S. Theorem Using Orthogonal

Decomposition of L2( R ). Applications in Signal Processing Theory. Revista ATM, anul III, pp.91-97, Bucuresti, 1993.

[18] A. Isar. Nouvelles modalités de décomposition multirésolution. Quatorzieme Colloque GRETSI, Juan-Les Pins, pp.363-366, 13-16 Septembre 1993.

[19] A. Isar. L’estimation de la transformée en ondelettes avec bancs de filtres a temps continu. Colloque TOM’94, pp. 34.1-34.4, Lyon, 9-11 Mars 1994.

[20] D. Isar. De-noising adaptatif. Seizieme Colloque GRETSI, pp.1249-1252, Grenoble, 15-19 Septembre 1997.

[21] D. Isar, A. Isar. A New Class of Identity Systems. International Workshop on Sampling Theory and Applications, Universidad de Aveiro, June 16-19 1997.

[22] Y. Meyer. Ondelettes, filtres miroirs en quadrature et traitement numérique de l’image. În Les ondelettes en 1989. P. G. Lemarié (editor), Springer-Verlag, 1990.

[23] P. G. Lemarié-Rieusset. Analyses multi-echelles et ondelettes a support compact. În Les ondelettes en 1989. P. G. Lemarié (editor), Springer Verlag, 1990.

[24] M. Nafornita, A. Isar, D. Isar. A Generalization of the Sampling Theorem. Rev. Roum. Sci. Tehn.-Electrotehn. Et Energ., 37, pp. 177-183, Bucarest 1992.

[25] A. Isar. Tehnici de masurare adaptiva cu aplicatii în aparatura de masurare numerica. Teza de doctorat, Universitatea “Politehnica” Timisoara 1993.

[26] G. Malgouyres. Introduction a la théorie des ondelettes. Curs de vara, Timisoara 1994.

[27] B. Jawerth, W. Swelden. An Overwiev of Wavelet Based Multiresolution Analysis. Preprint, Katolike Universiteit Leuven, Belgium 1995. [28] I. Nafornita, A. Câmpeanu, A. Isar. Semnale circuite si sisteme. vol. I, Editura

UPT, 1995. [29] M. J. T. Smith, T. P. Barnwell III. Exact Reconstruction Techniques for Tree-Structured Subband Coders. IEEE Trans. on ASSP, vol. 34, pp.434-441, 1986. [30] I. Daubechies. Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets. Comm.

Pure Appl. Math., No. 41, pp.909-996, 1988. [31] Marius Oltean, Alexandru Isar, On the Time-Frequency Localization of the Wavelet Signals with Application to Orthogonal Modulation, Proceedings of IEEE International Symposium SCS’09, Iasi, Romania, July 9-10, 2009, ISBN 1-4244-0968-3, pp. 173-176. [32] A.M. Atto, D. Pastor, A. Isar, On the statistical decorrelation of the wavelet packet coefficients of a band-limited wide-sense stationary random process, Signal Processing, Elsevier, Volume 87, Issue 10, October 2007, Pages 2320-2335. [33] M. Kunt, R. Boite. Traitement de la parole. Presses Polytechniques Romandes,

1987. [34] Tony F. Chan, Jianhong Shen, Image Processing and Analysis, SIAM, 2005. [35] C. Taswell. Image Compression by Parametrized-Model Coding of Wavelet

Packet Near-Best Bases. Preprint, Stanford University, 1996. [36] Y. Meyer. Wavelets and Operators. În Proceedings of Symposia in Applied

Mathematics. I. Daubechies (editor), vol. 47, AMS, 1993. [37] I. Daubechies. Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets II.

Variations on a Theme. SIAM J. Math. Anal., vol. 24, No. 2, pp. 499-519, March 1993.

[38] L. Gagnon, J. M. Lina, B. Goulard. Application of Complex Daubechies’ Wavelets to Numerical Simulation of a Nonlinear Signal Propagation Model. Preprint of the Labo. de Phys. Nucl. Univ. de Montreal, 1994.

[39] A. Cohen, I. Daubechies. Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets III. Better Frequency Resolution. SIAM Journal Math. Anal., vol. 24, No.2, pp. 520-527, March 1993.

[40] N. N. Temme. Asymtotics and Numerics of Zeros of Polynomials that are Related to Daubechies Wavelets. Technical report AM-R9613, National Research Institute for Mathematics and Computer Science, Amsterdam, 1996.

[41] A. Cohen, I. Daubechies, J. C. Feauveau. Biorthogonal Bases of Compactly Supported Wavelets. Communcations on Pure and Applied Mathematics, vol. XLV, pp.485-560, 1992.

[42] J. Bukheit, D. Donoho. WaveLab Architecture. Preprint, Stanford University, November 1995. [43] A. Cohen. Ondelettes et traitement numérique du signal. Masson, 1992. [44] L. Tolhuizen, N. Hollmann, T.A.C.M. Kalker. On the Realizability of Biorthogonal, m-Dimensional Two-Band Filter Banks. IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 43, No.3, March 1995. [45] S. Basu, C. H. Chiang, H. M. Choi. Wavelets and Perfect Reconstruction Subband Coding with Causal Stable IIR Filters. IEEE Trans. On Circuits and Systems II, vol. 42, No.1, January 1995. [46] O. Rioul. A Discrete Time Multiresolution Theory. IEEE Trans. on SP, vol. 41,

no. 8, pp. 2591-2606, August 1993. [47] A. De Sabata, C. Iung, J. F. Aubry. A Variabile Scale DWT. Proceedings of the International Symposium Etc’94, vol. III, pp.43-48, Timisoara Sept. 1994. [48] W. Sweldens. The Lifting Scheme: A Custom-Design Construction of

Biorthogonal Wavelets. Preprint University of South Carolina, 1994.

t = · 2010-05-31 · +∞, fereastra temporală "mătură", forma de undă a întregului semnal de...

Documents

Transcript of t = · 2010-05-31 · +∞, fereastra temporală "mătură", forma de undă a întregului semnal de...