Szolnoki Főiskola Műszaki és Mezőgazdasági Fakultás...

Szolnoki Főiskola

Műszaki és Mezőgazdasági Fakultás

ELEKTROTECHNIKA

Összeállította : Dr. Gulyás László

fõiskolai tanár

M E Z Ő T Ú R

2006.

Jegyzet

a Szolnoki Főiskola Műszaki és Mezőgazdasági Fakultás Mezőtúr

Mezőgazdasági és élelmiszeripari gépészmérnök szakos hallgatói számára

Lektorálta:

Dr. Győrfi György főiskolai docens Tisza László főiskolai adjunktus, Nyíregyháza

1. Áramlástani alapismeretek 3

BEVEZETÉS

A fizikának az elektromos jelenségekkel foglalkozó része az elektromosságtan, amelybe a mágnességtant is beleértjük, rendkívül jelentős tudományág. Az elektromosság a természetre, az anyag szerkezetére vonatkozó alapvető ismereteink egyik fő forrása, és gyakorlati alkalmazásai révén mintegy másfél évszázada, az elektrotechnika kialakulása óta a gazdasági és kulturális fejlődés egyik leghatékonyabb tényezője. A görögök már az ókorban észrevették, hogy a gyapjúval dörzsölt borostyánkő a porszemeket, a haj- és gyapjúszálakat magához vonzza. A jelenséget a borostyánkő görög neve (elektron) után elektronnak nevezték el. Ismerték a mágneses jelenségeket is, ugyanis a Magnesia tartományok hegyeiben olyan vastartalmú ércet találtak, amely csak a vasra, vagy egy másik mágneses tulajdonságokat mutató ércre volt hatással, más fémekre és anyagokra nem. Ezt a vaskövet magnetitnek nevezték, és ebből származik a mágnes szavunk. A görögök ismereteit csak a XVII-XVIII. században sikerült jelentősen továbbfejleszteni. Elsőként említendő dörzs-elektromos gép, amellyel a borostyánkő megdörzsölésénél sokkal erősebb kölcsönhatásokat lehetett elérni, ami Otto Guericke (1602-1686) magdeburgi polgármester nevéhez fűződik. Később Franklin Benjámin (1706-1790) kiderítette, hogy a villám is elektromos jelenség. Luigi Galvani (1737-1798) megfigyelte, hogy a boncolt állatok izmai nemcsak akkor rándulnak össze, ha a közeli dörzselektromos gépek kisülése történik, hanem akkor is, ha az izmokba szúrt két különböző fém összeér. A jelenség alapján Alexsandrov Volta (1745-1827) olasz fizikus készítette el az első olyan generátort (galván elemet), amellyel hosszabb időn át lehetett áramot fenntartani. Ez tette lehetővé a két német fizikusnak Georg Ohm-nak (1787-1854) és Gustav Kirchoff-nak (1824-1887) a róluk elnevezett áramköri törvények felfedezését.

Ampere francia (1775-1836), Oersted dán (1777-1851), Faraday angol (1791-1867) megállapították, hogy az elektro-mos és a mágneses jelenségek között szoros kapcsolat van. Kutatásaikat a szintén német Maxwell (1831-1879) foglalta össze egységes, matematikai alakban is kifejezett tudományos rendszerré. Ez a Maxwell-féle vagy klasszikus elektrodinamika az alaptörvényeinek tekinthető Maxwell-egyenletek révén, miként a klasszikus mechanika a Newton axiómák révén, lehetővé teszi a jelenségek nagy sokaságának egységes értelmezését. A Maxwell-egyenletek bizonyítása és tovább fejlesztése terén Herz (1857-1894) kimutatta az elektro-mágneses hullámok létezését, Lorentz (1853-1928) pedig a klasszikus eletronelmélettel foglalkozott. Joseph John Thomson (1856-1940) 1887-ben felfedezte az elektront, mint a jelenségek és kölcsönhatások anyagi részének okozóját. Ezek után a megismert jelenségek alkalmazása is felgyorsult. A tranzisztort az 1940-es évek végén készítették el, ami az elektronika, egy új villamos szakterület kialakulását eredmé-nyezte. A számítógép elterjedésével az elektronika és az informatika naponta szolgál új eredményekkel. A Szolnoki Főiskola Műszaki és Mezőgazdasági Fakultásán a mezőgazdasági és élelmiszeripari gépészmérnök szakos hallgatók számára szükséges elektrotechnikai alap-ismereteket tartalmazza a jegyzet. Az oktatás előadásokból és szemináriumi- és laborgyakorlatokból áll. A gyakorlatokon számpéldák megoldásával, konkrét mérésekkel lehet elmélyíteni az elméleti ismereteket.

1. Általános elektrotechnikai alapfogalmak

4

1. ÁLTALÁNOS ELETROTECHNIKAI ALAPFOGALMAK

A villamosság ma már a környezetünkben mindenütt jelen van. A villamosság azonban nemcsak technikai eszközeinkben fordul elő, hanem az élővilágban és az élettelen természetben is. Gyenge villamos folyamatok zajlanak le testünkben az izom és idegrendszer működése közben is, de az elektromos rája, angolna áramütéssel kábítja el áldozatát. A sokkal erősebb külső elektromos folyamatok az élőlényeket megzavarhatják, ezért az iparban és a háztartásban alkalmazott készülékek villamos egységeinek érintése veszélyes. Az elektromágneses hullámoknak élettani hatása van, de annak konkrét tisztázása még hátra van. Az elektromos és a villamos elnevezések a magyar nyelvben egyenértékűek. A nemzetközi szakirodalom általában a görög eredetű elektromos kifejezést, a magyar nyelv inkább a villám szóból származtatott villamos elnevezést használja.

Thomson fedezte fel, hogy az elektromosság az atomból származik, az atomot alkotó részecskék alaptulajdonsága és ennek következménye minden elektromos és mágneses jelenség is. Korábban az elektrotechnikát erős- és gyengeáramú részre osztották és a gyengeáramú résszel azonosították az elekt-ronikát. Ezt a különbséget azonban nem az áram nagysága, hanem az áramvezető közeg adja. A vezetés létrejöhet fémekben (elsőrendű vezetők), folyadékokban (másodrendű vezetők), valamint félvezetőkben, gázokban és légüres térben (harmadrendű vezetők). Az elektrotechnikának azt a részét, amely a félvezetőkben,, gázokban és a légüres térben áramló elektromos töltések által kiváltott jelenségeket hasznosítja, elektronikának nevezzük.

ELEKTROTECHNIKA

ELEKTRONIKA

1. ábra Az elektrontechnika és az elektronika kapcsolata Az áramok nagysága szerinti megkülönböztetést természetesen alkalmazzuk az elektronikára is, így nagy áramok esetén teljesítményelektronikáról, ha az áramkört alakító elemek mérete igen kicsi, az áramerősség is kicsi milli- illetve mikroamper, mikroelektronikáról beszélünk.

ELEKTRONIKA

2. ábra Az elektronika felosztása

Az elektronikus készülékek közös jellemzője

- Alkatrészekből állnak, amelyek térfogatában tovább csak roncsolással oszthatók,

- áramkörökből állnak, amelyek a vezetővel összekötött alkatrészek rendszerei és maghatározott elektromos funkcióik vannak.

Sajátos helyzet az integrált áramkör, mert a benne levő

áramköri elemek nem vehetők ki és egész áramkört alkotnak. Az integrált áramkör elektromos funkció ellátására alkalmas alkatrész.

- Működésük közben információ hordozó jelet hasz-nálnak, így információt adnak, továbbítanak, vagy dolgoznak fel, ezért az elektronika és az informatika egymástól elválaszthatatlan.

1.1. Az elektromos töltés

Az atom atommagból és elektronburokból áll. A mag protont és neutront tartalmaz, míg a burokban elektronok vannak.

3. ábra Az atom elvi felépítése

Az atomot felépítő protont, elektront, neutront elemi részecskéknek nevezzük, és közülük a proton és az elektron elektromos kölcsönhatásra képes, és ez általában erőként nyilvánul meg. A villamos kölcsönhatás az atomot alkotó részecskék között vonzó vagy taszító erőként nyilvánul meg. Ez az adott részecskékre jellemző tulajdonság nem szüntethető meg és nem is változtatható meg, állandóan van és mindig ugyan-akkora. Azt a részecskét, aminek elektromos kölcsönható képessége van, elektromosan töltöttnek nevezzük. A töltések nagysága arányos a kölcsönható képességével. A proton és a neutron elektromos töltése ellentétes. Az elektron töltését negatívnak (-), a protonét pozitívnak (+) jelöljük. A neutron nem mutat elektromos kölcsönhatást, töltéssel nem rendel-kezik, semleges. Az azonos nemű töltések taszítják a különbözőek vonzzák egymást. A proton és az elektron töltése azonos, csak ellen-tétes előjelű. A töltés jele Q, az egysége a Coulomb, jelen C, vagy amper-secundum, jele As. 1 C = 1As Mivel az elektron és a proton töltése ellenkező előjelű, de a töltése azonos

Qelektron = -Qproton (1) A proton és az elektron töltése elemi töltés, mert ennél kisebb töltés nincs, ezért minden elektromos töltés ennek egész számú többszöröse. Ha egy elektron töltését (elemi töltés) q-val jelöljük

qelektron = -1,6 ·10-19 As (2)

Áram fémekben

Áram folyadé-kokban

Áram gázokban

Áram lég- üres

térben

Áram fél- vezetőkben

Teljesít-mény-

elektronika

Általános elektronika

Mikro- elektronika

1. Általános elektrotechnikai alapfogalmak 5

qproton = +1,6 ·10-19 As (3)

Az 1 As rendkívül nagy töltés, mert

1819

1025,6106,1

1

q

Q⋅=

⋅=

− (4)

elektronnak vagy protonnak van 1 As töltése Ha egy atomban a negatív elektronok és a pozitív protonok száma azonos, kifelé nem mutat elektromos kölcsönhatást, semleges. 1.2. Az elektrosztatika fontosabb össze-

függései A térnek azt a részét, amelyben a villamos kölcsönhatás kimutatható, villamos térnek vagy elektromos mezőnek nevez-zük. Az elektrosztatika a villamosságtan nyugvó töltésekkel foglalkozó része. 1.2.1. Coulomb törvénye

Az elektromosan töltött részecskék és testek hatnak egymásra, vonzzák illetve taszítják egymást. Az erő nagyságát Coulomb határozta meg. Törvénye alapján (4. ábra) az erő egyenesen arányos a töltések nagyságával és fordítottan arányos a köztük levő távolság négyzetével.

4. ábra Coulomb törvénye

2

21

r

QQkF

⋅±= (5)

ahol: k - arányossági tényező ε⋅π

=4

1k

Q1; Q2 - a töltések nagysága

εr - a teret kitöltő anyagra jellemző permittivitás

ε = ε0 · εr

ε0 - vákuum permittivitása

A 2

29

)sA(

mN109k

⋅

⋅⋅= légüres térben, ami azt jelenti,

hogy két 1 As nagyságú, és egymástól 1 m távolságra levő töltés között F = 9·10

9 N, rendkívül nagy erő hat. 1.2.2. A térerősség (E)

A villamos mező a térbe helyezett elektromos töltéssel mutatható ki. A tér a töltésre erővel hat. Ha a térbe egységnyi töltést teszünk, vagyis az erőt +1 As-nyi töltésre vonatkoztatjuk, a térerősséget kapjuk.

]m

V[ ]

sA

N[

Q

FE

⋅= (6)

Ha a Coulomb törvényét

221

r0 r

QQ

4

1F

⋅ε⋅ε⋅π

= (7)

alakban írjuk és behelyettesítjük, akkor a villamos térerősség

2r0 r

Q

4

1E

ε⋅ε⋅π= (8)

1.2.3. A villamos eltolás (D)

A villamos eltolást egységnyi felületre ható töltésként vagy töltéssűrűségként definiáljuk.

A

QD = ]

m

As[

2 és A = 4r

2π (9)

vagy a térerővel kifejezve

ED r0 ⋅ε⋅ε= (10)

1.2.4. A potenciál

Ha a pontszerű töltésre az elektromos térben QEF = (11)

erő hat (v. ö. 7). Ha ezt a töltést F erő ellenében A pontból a B pontba d távolságra visszük, munkát kell befektetni.

5. ábra A térerősség meghatározása homogén térben

A munka értéke dFW ⋅= (J) (12) 11-et behelyettesítve

dEQW ⋅⋅= (13)

A kiegyenlítődésre törekvés miatt a d távolságra levő lemezek között U feszültség, a térben pedig E térerősség van. A feszültség a villamos tér munkavégző képessége.

Q

WU = (V) (14)

vagyis a kiegyenlítődő töltések által végzett munka ω és a kiegyenlítődő töltések mennyiségének (Q) hányadosa. 13-al egybevetve a feszültség

dEU ⋅= (V) (15) A feszültség mindig két pont között értelmezendő. 1.2.5. Az elektromos áram (I)

A szabad töltéshordozók egyirányú mozgását elektromos áramnak nevezzük. Mértékét (intenzitását) az áramerősség fejezi ki. Nagy az áramerősség, ha egységnyi idő alatt sok töltéshordozó áramlik át.

t

QI = (A) (16)


6

A töltéshordozó sebessége lényeges kérdés az elektronikus eszközök működésének vizsgálatakor. Ennek érdekében vizsgáljunk meg egy V térfogatot, amelyben térfogategységként n szabad elektron van.

6. ábra Az áramerősség szemléltetése

Minden elektron q töltéssel rendelkezik, és a V térfogatban N = V · n darab szabad elektron van, melynek a töltése Q = N · q. Mozduljon el az összes töltés t idő alatt éppen

d távolságra. Ekkor a sebességük t

dv = , innen

v

dt = .

Ezt a (16) egyenletbe helyettesítve

d

vqN

v

dqN

t

QI

⋅⋅=

⋅== (17)

tovább

d

vqnVI

⋅⋅⋅= (18)

mivel V = A · d

vNvqnAd

vqndAI ⋅≈⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅= (19)

Az áramerősség egyenesen arányos a töltéshordozó sebességével és az áramló töltéshordozók számával. A tapasztalat szerint a V térfogat bal oldalán egy elektront betéve, a jobb oldalon egy másik elektron kilép. Ez a hatás a fény sebességével vagyis c = 300 000 km/s sebességgel terjed. Az anyagban az elektron azonban csak a most meghatározott, a fénynél sokkal kisebb, áramerősségtől és anyagtól függően csak 0,001-10 mm/s sebességgel halad. 1.3. Egyszerű áramkör

Egy anyagban, annak ellenállása miatt a töltésáramlás tartósan csak akkor marad fenn, ha a töltéshordozóknak az ütközéskor elvesző energiáját rendszeresen pótoljuk, a töltéshordozókat a két ütközés között elektromos térrel felgyorsítjuk. A gyakorlatban ezt egy generátor feszültségével biztosítjuk.

Összekötő vezeték ÁTALAKÍTÓ ÁTALAKÍTÓ TÖLTÉS TÖLTÉS KIEGYENLÍTŐ

7. ábra Az energiaátalakítás folyamata Az áramkör elemei a generátor és a fogyasztó, melyeket jó vezető anyagból készült huzal köt össze. A generátor energiaátalaqkító. A befektetett mechanikai, hő, vegyi, stb energiát a villamos töltés mozgatására alkalmas energiává, vagyis villamos energiává alakítja oly módon, hogy a töltéseket szétválasztja. Az erőművi generátorokban mecha-nikai, zsebtelepben vegyi, hőelemben hő, fényelemben fény-energia választja szét a töltéseket, amelyek a generátor egyik kivezetésén kilépve, majd az összekötő vezetéken és a fogyasztón áthaladva a generátor másik kivezetéséhez áramlanak, ahol ellentétes töltésekkel találkoznak és kiegyen-lítődnek. A generátor kivezetéseit kapcsoknak vagy pólu-soknak nevezzük. A generátor legfontosabb jellemzője a feszültség, amely a kivezetései között lép fel. A feszültség készteti a töltéseket mozgásra, kiegyenlítődésre. A feszültség polaritását nyíllal jelöljük. A nyíl a kiegyenlítő pozitív töltéshordozó haladási irányát jelöli, ezért a generátor pozitív pólusától a negatív felé mutat.

8. ábra Az áramkör elvi jelölése

Egy generátor feszültsége általában állandó értékű, de lehet változó nagyságú is. Ha a változás ellenére a polaritása állandó, akkor egyenfeszültségnek, ha polaritást is vált, váltakozófeszültségnek nevezzük. A generátort más néven áramforrásnak is nevezik. 1.4. Egyenáramú körök

Egyenáramú körök esetében az áramforrás polaritása állandó. Az egyszerű egyenáramú körök legfontosabb elemei az áramforrás, a vezető és a fogyasztó. Ezek természetesen egyéb kiegészítő egységekkel egészülnek ki. A fogyasztó lehet ellenállás, induktív és kapacitív jellegű.

1.4.1. Az áramforrás és helyettesítő kapcsolása

Áramforrásra ideális esetben az a jellemző, hogy feszültsége a rákapcsolt fogyasztó ellenállásától függetlenül állandó. A gyakorlatban alkalmazott generátorok feszültsége terheléskor csökken. Egy valódi áramforrás mindig valamilyen anyagból készül, aminek ellenállása van. Ez az ellenállás a generátoron belül, annak szerkezeti részeiben elosztva található, ezért belső ellenállásnak nevezzük, és Rb-vel jelöljük. A generátor tulaj-donságainak megváltozását az Rb okozza. Thevenin tétele: Egy valódi generátor, vagy bármilyen aktív kétpólusú hálózat viselkedése pontosan modellezhető egy ideális feszültséggenerátorból és egy ehhez kapcsolódó Rb ellenállásból álló hálózattal, melyet a generátor, illetve az aktív kétpólus helyettesítő kapcsolásának nevezünk.

Mechanikai, hő, vegyi stb energia

GENERÁTOR

FOGYASZTÓ

Mechanikai, hő, fény stb energia


Ennek alapján egy valódi feszültséggenerátor U0 feszült-séget szolgáltató ideális generátorral és ezzel sorosan kapcsolódó Rb belső ellenállással helyettesíthető. (9. ábra)

9. ábra A feszültséggenerátor helyettesítő kapcsolása

Az U0 feszültséget forrásfeszültségnek vagy belső

feszültségnek, ritkán elektromotoros erőnek nevezzük. Az elektromotoros erő valójában a töltés-szétválasztáskor végzett munka, amelynek okozataként lép fel a hasznosítható belső feszültség.

Terheléskor az Rb belső ellenállás az Rt terhelő ellenállással feszültségosztót alkot. A generátor kivezetésein emiatt U0 –nál kisebb ún. kapocsfeszültség jelenik meg.

10. ábra A valódi generátor feszültsége terheléskor csökken

RtRb0 UUU += (20)

mivel

kRt UU =

ezért

Rb0k UUU −= (21)

btRb RIU ⋅=

behelyettesítve

bt0k RIUU ⋅−= (22)

A kapocsfeszültség a terhelő áram növekedésével csökken. 1.4.2. Az áramforrások üzemi állapotai

Egy áramforrásnak terheléstől függően üresjárási,, rövidzárási és terhelt üzemi állapotát különböztetjük meg. Az üresjárási vagy terheletlen állapothoz Rt = ∞ terhelő ellenállás tartozik.

11. ábra Üresjárati állapot

Ekkor It = 0, Uk = U0, vagyis terheletlen állapotban a kapocsfeszültség megegyezik a forrásfeszültséggel. Üres-járásban a generátor nem végez munkát, hiszen az áram nulla. A másik szélsőséges eset a rövidzárás, mely Rt = 0 esetében lép fel.

12. ábra Rövidzárás

Ekkor az áramkörben csak az Rb belső ellenállás van, ezért az

áramerősség b

0t R

UI = lesz. Az Rb nagyon kis értéke miatt a

rövidzárási áram rendkívül nagy. Rövidzáráskor a kapocsfeszültség nulla, mert

0RR

UURIUU b

b

00bt0k =−=⋅−= (23)

Emiatt a rövidzáron nem keletkezik teljesítmény, a generátor által szolgáltatott U0 · It teljesítmény a belső ellen-álláson teljes mértékben hővé alakul. A generátor legjellemzőbb üzemi állapota a terhelés.

13. ábra Terhelés

Ekkor az Rt nem nulla, de nem is végtelen 0 < Rt < ∞ Az áramerősség és a kapocsfeszültség

bt

ot RR

UI

+= ;

bt

t0k RR

RUU

+=

A kapocsfeszültség Uk a terhelés szerint nulla és U0 között változik. (12. ábra) A belső ellenálláson átfolyó áram veszteség, amely a generátor melegedését okozza. A jó feszültséggenerátor belső ellenállása rendkívül kicsi.


8

14. ábra Áramforrások soros kapcsolása

Az összekapcsolás a feszültséget és a belső ellenállást változtatja meg. Soros kapcsolás esetén az egyik generátor pozitív pólusához a másik negatív pólusát kapcsoljuk. A feszültségek ekkor összeadódnak, az eredő feszültség:

.......UUUU 321e ++= (24)

Általában azonos feszültségű elemeket kapcsolunk össze, ezért az eredő feszültség.

nUUe =

Ezt a jelenséget használjuk ki elemekből összeállított telepek, akkumulátorok esetén. Sorbakapcsoláskor az ellenállások is összeadódnak.

.....RRRR 3b2b1be ++= (25)

Azonos elemek esetén

nRR e =

Csak azonos árammal terhelhető generátorokat lehet sorosan kapcsolni. A terhelőáram

te

et RR

UI

+= (26)

A kapocsfeszültség

etettk RIURIU −== (27)

a zárlati áram

te

e2 I

R

UI >>= (28)

Párhuzamos kapcsolás Párhuzamos kapcsolás esetén az azonos pólusokat kötjük össze.

15. ábra Áramforrások párhuzamos kapcsolása

Csak azonos feszültségű generátorokat szabad így összekapcsolni, különben a nagyobb feszültségűt a kisebb

állandó Ik kiegyenlítő árammal terhelné. Eltérő feszültségek esetén a két áramforrás között

2b1b

0201k RR

UUI

+−

= (29)

lkiegyenlítő áram lép fel, ezért terheléskor a nagyobb feszültségű túl is terhelődhet anélkül, hogy a külső terhelés a két áramforrás teljesítőképességének összegét meghaladná. Az eredő feszültség megegyezik az összekapcsolt elemek feszültségével

0e UU = (30)

A belső ellenállások is párhuzamosan kapcsolódnak, ezért eredőjük kisebb lesz, és az így kialakított telep nagyobb árammal terhelhető.

n

RR b

e = (31)

Vegyes kapcsolás Vegyes kapcsolást használunk, ha nagyobb feszültség mellett nagyobb terhelő áram is szükséges. A soros elemek száma a feszültséget, a párhuzamosan kapcsolódó ágak száma a belső ellenállást és ezzel az áramerősséget határozza meg. Azonos elemek esetén

ose UnU = és

p

bsbe n

RnR =

ahol az ns a soros elemek np pedig a párhuzamos ágak száma.

16. ábra Áramforrások vegyes kapcsolása

Az áramforrások teljesítményviszonyai

Az áramforrás külső energia felhasználásával villamos energiát állít elő.

Ha az áramforrást terheljük, a villamos energia egy része a generátor belső ellenállásán hővé, a többi része a külső fogyasztói hálózatban alakul át.

Az energia-megmaradás törvényéből következik:


tvö PPP += (ω) (32)

ahol: Pö az összes teljesítmény

Pv a veszteségi teljesítmény

Pt a leadott, fogyasztói teljesítmény

Az áramforrás hatásfoka

bt

t

0

k

t0

tk

ö

t

RR

R

U

U

IU

IU

P

P

+==

⋅⋅

==η (33)

Ez az összefüggés azt mutatja, hogy a hatásfok a terhelő és a belső ellenállástól függ. A belső ellenállást állandónak véve feltehető a kérdés, hogy az áramforrásokat meddig érdemes terhelni.

- ha Rt < Rb, akkor η < 0,5, az előállított teljesítmény nagy, de nagyobbik része az áramforrást terheli.

- ha Rt > Rb, a hatásfok igen jó. Az előállított teljesítmény kisebb ugyan, de túlnyomó része a fogyasztóra jut.

- Az áramforrás akkor szolgáltatja a legnagyobb

teljesítményt, ha Rt = Rb. Ilyenkor beszélünk illesztésről η = 0,5. Illeszteni csak akkor szabad, ha a fejlődő hő, a veszteségi teljesítmény az áramforrást nem károsítja.

1.5. Az ellenállás és a vezetőképesség 1.5.1. Az ellenállás meghatározása Egy anyagi rendszer ellenállása egyenesen arányos a hosszával és fordítottan a keresztmetszetével, ezen kívül függ még az anyagától és a hőmérsékletétől. Állandő hőmér-sékleten az ellenállás:

A

lR ρ= [Ω] (34)

ahol ρ a fajlagos ellenállás l a vezető hossza A a vezető keresztmetszete A fajlagos ellenállás az egységnyi hosszúságú és egységnyi keresztmetszetű anyag ellenállását mutatja. A (34) összefüggés ρ-ra rendezve

l

AR ⋅=ρ ]

m

m[

2Ω

így mértékegysége SI mértékrendszerban Ωm. A gyakorlatban a keresztmetszetet praktikusabb mm2-ben

mérni. Ilyenkor a mértékegységet inkább m

mm2Ω -ben adják

meg, ami 1 mm2 keresztmetszetű és 1 m hosszú anyag

ellenállását jelenti. A fajlagos ellenállás reciproka a fajlagos vezetés, jele γ

ρ=γ

1 (35)

Az ellenállás reciproka a vezetőképesség (konduktancia)

G

1R = ]

1[Ω

= 1 siemens = 1S (36)

1.5.2. Az ellenállás hőmérsékletfüggvénye

Ha egy fémhuzal 20 oC-on mért ellenállása R0, a hőmérséklet-változásra ∆R ellenállás-változást tapasztalunk.

∆R = R0 α ∆T (37) ahol: α hőfoktényező

∆T = T – T0 T0 = 293 K T = az új hőmérséklet A hőfoktényező megmutatja, hogy az adott anyag 1Ω

ellenállású darabja 1oC hőmérsékletváltozás hatására

mennyivel változtatja az ellenállását. Mértékegysége 1/oC. (A Celsius és a Kelvin skála osztása megegyezik). Az új ellenállásértéket

R = R0 + ∆R illetve R = R0 + R0’ · α · ∆T rendezve R = R0(1 + α · ∆T) (38) összefüggéssel számolhatjuk. 1.5.3. Az ellenállások kapcsolása

Az áramforrásokhoz hasonlóan lehetséges az ellenállások soros, párhuzamos és vegyes kapcsolása. Az ellenállások soros kapcsolása

Az ellenállások együttes, eredő hatása egyetlen ellenállással helyettesíthető. Soros kapcsolás keletkezik, ha az egyik ellenállás végéhez a másik kezdetét kötjük és így tovább. Soros kapcsolásban (17. ábra) ugyanakkora áram folyik át minden ellenálláson, hiszen nincs elágazás.

17. ábra Az ellenállások soros kapcsolása

Iilyenkor U = U1 + U2 + U3 (39) Illetve

U1 = IR1; U2 = IR2; U3 = IR3

Behelyettesítve: U = IR1 + IR2 + IR3 és U = I(R1 +R2 +R3) Rendezve:


10

321 RRRI

U++=

Az I

U éppen az eredő ellenállás

R = R1 +R2 +R3 ^.. (40) A sorosan kapcsolt eredő ellenállást az ellenállások összegzésével kapjuk. Azonos ellenállások esetén

R = nR1 Az ellenállások párhuzamos kapcsolása Párhuzamos kapcsolás esetén az összes ellenállás kezdő majd végződő végeit kötjük össze egymással.

18. ábra Az ellenállások párhuzamos kapcsolása

A 18. ábrán látszik, hogy valamennyi ellenálláson a feszültség azonos, míg az eredő áramot a párhuzamosan kapcsolt ágakban folyó áram összege adja: I = I1 + I2 + I3 (41) Mivel

;R

UI;

R

UI;

R

UI

33

22

11 ===

321 R

U

R

U

R

U

R

U++=

A feszültséggel egyszerűsítve

321 R

1

R

1

R

1

R

1++= (42)

Az összefüggés az eredő ellenállás reciprokát adja. Azonos ellenállások esetén az eredő

n

RR 1=

A párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredője mindig kisebb a kapcsolást alkotó legkisebb ellenállásnál is. Két ellenállás esetén

21

12

21 RR

RR

R

1

R

1

R

1

⋅+

=+=

iinnen

21

21

RR

RRR

+⋅

=

Az ellenállások vegyes kapcsolása A vegyes kapcsolásokat a sorosan és párhuzamosan kapcsolódó elemek összevonásával egyszerűsíthetjük. (19. ábra)

19. ábra A vegyes kapcsolású hálózat egyszerűsítése Első lépésként az R1 és R2 párhuzamosan kapcsolt ellenállásokat helyettesítjük RA-val.

21A R

1

R

1

R

1+=

vagyis

21

21A RR

RRR

+⋅

=

Második lépés RA és R3 soros ellenállás helyett RB-t helyettesítünk.

3AB RRR +=

A harmadik lépés R5 és RB párhuzamosan kapcsolt

ellenállások helyettesítése Rc-vel.


B5

B5c RR

RRR

+⋅

=

Végül a sorba kapcsolt Rc és RH helyettesítése R-rel.

Hc RRR +=

1.6. A kapacitás

Az elektromos töltést egy testen vagy annak felületén helyezhetjük el. Minden test alkalmas töltések befogadására, tárolására. A testnek ezt a tulajdonságát idegen szóval kapacitásnak nevezzük és C-vel jelöljük.

Egy rendszer kapacitása annál nagyobb, minél több töltés tehető rá kis feszültség mellett.

U

QC = (43)

A töltésnek és a feszültségnek a hányadosa

(a kapacitás) jellemző az adott rendszerre, és annak csak szerkezeti kialakításától és a benne található dielektrikumtól függ.

Az összefüggés alapján a kapacitás mértékegysége As/v.

1 As/V = 1 F (farad) Az elnevezés Faraday nevéből származik, aki az

elektrolízisen kívül az elektromos és mágneses térrel is foglalkozott. 1 F kapacitása van annak a rendszernek, amelybe 1 As töltést téve 1 V feszültség lép fel.

Az 1 F igen nagy kapacitás, ezért a gyakorlatban csak kisebb (µF, nF, pF) értékekkel találkozunk.

1.6.1. A síkkondenzátor

A kapacitás jelentősen megnövekszik, ha a töltések

tárolására használt vezető test mellé egy másikat helyezünk. A töltés tárolására készített technikai eszközöket kondenzá-toroknak (sűrítőknek) nevezzük. A kondenzátorok legegy-szerűbb változata a 20. ábrán látható síkkondenzátor.

20. ábra A síkkondenzátor felépítése és rajzjele

A két sík fémlemez (fegyverzet) között szigetelő (dielektrikum) van. A kapacitást a következőképpen határozhatjuk meg. Az „A” felületen Q = D · A töltés van, ezért

U

AE

U

AD

U

QC r0 ⋅⋅ε⋅ε

=⋅

==

Mivel d

UE = , így

d

AC r0 ⋅ε⋅ε= (44)

Az ellenállás után a kondenzátor az elektronika másik

leggyakrabban használt alkatrésze. A (43) összefüggés feszültségre rendezve

C

QU =

Ez az összefüggés a kondenzátor fegyverzetei között fellépő feszültséget mutatja meg. Hatására a dielektrikumban E térerősség alakul ki, amely a szigetelőben polarizációt, nagy térerősség esetén átütést okoz. A dielektrikum anyagától és vastagságától függő azt a legnagyobb feszültséget, amelynél a kondenzátor dielektrikuma még biztosan nem károsodik, a kondenzátor névleges feszültségének nevezzük. A kapacitás és a névleges feszültség a kondenzátor legfontosabb jellemzője, ezért a kondenzátoron ezeket feltüntetik.

A (43) összefüggés harmadik alakja Q = CU Ez a C kapacitású kondenzátor az U feszültség fellépése

mellett tárolt töltések mennyiségét mutatja. A töltések bevitelét, felhalmozását a kondenzátor feltöltésének, az ezzel ellentétes folyamatot a kondenzátor kisülésének nevezzük. A feltöltött kondenzátor egyik fegyverzetén pozitív, a másikon negatív töltések vannak, mennyiségük azonos +Q, ill. –Q. Ez az állapot Q mennyiségű töltés szétválasztásával keletkezett, ezért kisüléskor éppen Q töltés áramlik át, ezzel mindkét oldal töltöttsége megszűnik. A kisülés a fegyverzetek vezetővel vagy ellenállással történő összekötésével lehetséges.

1.6.2. A kondenzátor energiája

A feltöltött kondenzátorban elektromos töltés, fegyverzetei között pedig feszültség van, ezért mint egy áramforrás energiával rendelkezik. Az energiát a W = Q . U összefüggéssel kellene számítani, de az U és a Q kölcsönösen függenek egymástól. A tárolt energia meghatározására végezzünk el egy gondolati kísérletet. (21. ábra)

21. ábra Az energia meghatározása

Tegyünk a kondenzátorba egymás után 1-1 elektront. Az első után a feszültség U0, az energia pedig qU0 és így tovább. Az elektronok energiái egy-egy téglalap területének felelnek meg, és az eredő energia ezen területek összege, vagyis a Q alapú és U magasságú derékszögű háromszög területe.


12

Mivel Qi töltést és a hozzá tartozó Ui feszültség a Wi = Qi · Ui szorzat egy téglalap területét adja, a tárolt energia ennek éppen a fele, ezért

UQ2

1W ⋅= (45)

Az összefüggésbe Q = CU behelyettesítve

2CU

2

1W = (46)

Nagy feszültség és nagy kapacitás esetén a kondenzátor jelentős mennyiségű energiát tárol. A kondenzátor a töltését és energiáját hosszú ideig megőrzi, ezért egy feltöltött kondenzátor halálos áramütést okozhat, amit a kondenzátor kisülésével megelőzhetünk. 1.6.3. A kondenzátor veszteségei A feltöltött kondenzátor egy bizonyos idő után elveszti töltését, magától kisül. Az önkisülést a dielektrikum nem tökéletes szigetelése, vagyis a végtelennél kisebb ellenállása okozza. A kiegyenlítődés a kondenzátoron belül, a dielektrikumon át történik, ezért átvezetésnek nevezzük. A dielektrikum szigete-

lési ellenállása Rsz > 106 Ω.

Ha a fegyverzetek közötti feszültség polaritását periódikusan cserélgetjük, jelentős polarizációs veszteség is fellép. Az átvezetés és a polarizációs veszteség együtt a kondenzátor eredő veszteségét adja. Az eredő veszteséget a kondenzátorral párhuzamosan kapcsolt ellenállással fejezzük

ki. (22. ábra). Az Rv mindkét veszteséget tartalmazza.

22. ábra A kondenzátor helyettesítő kapcsolása

1.6.4. A kondenzátorok kapcsolása A kondenzátorokat az ellenállásokhoz hasonlóan sorosan, párhuzamosan és vegyesen kapcsolhatjuk. Párhuzamos kapcsolás Párhuzamos kapcsolásban a kondenzátorokra azonos U feszültség jut. Hatására a kapacitásukkal arányos töltés halmozódik fel. (23. ábra)

23. ábra A kondenzátorok párhuzamos kapcsolása

Az eredő töltés az egyes kondenzátorok töltésének összege.

321 QQQQ ++= (47)

Mivel Q = C· U, így

UCUCUCUC 321 ⋅+⋅+⋅=⋅ , U-val osztva

321 CCCC ++= (48)

Párhuzamos kapcsolásban a kapacitások összeadódnak. Azonos kapacitások esetén:

1CnC ⋅=

Soros kapcsolás (24. ábra)

24. ábra A kondenzátorok soros kapcsolása

Soros kapcsolásban az összekapcsolt kondenzátorok töltése lesz azonos, így a kapacitástól függően az egyes kondenzátorokon U1; U2; U3 feszültség lép fel és ezek összeadódnak.

321 UUUU ++= (49)

A feszültségek a töltéssel és a kapacitással kifejezve

321 C

Q

C

Q

C

Q

C

Q++= , Q-val osztva

321 C

1

C

1

C

1

C

1++=

Két kondenzátor esetében az eredő kapacitás

21

21

21

2

21

1

21 CC

CC

CC

C

CC

C

C

1

C

1

C

1

⋅+

=⋅

+⋅

=+=

vagyis

21

21

CC

CCC

+⋅

=

Azonos kondenzátorok esetén az eredő kapacitás

n

CC 1=

Vegyes kapcsolás A vegyes kapcsolásokat az ellenállás hálózathoz hasonlóan belülről kifelé haladva egyszerűsíthetjük. (25. ábra)


13

25. ábra A vegyes kapcsolás egyszerűsítése

Először a C3 és a C4 sorba kapcsolt kondenzátort helyettesítjük.

43A C

1

C

1

C

1+=

Második lépésként a C2 és CA párhuzamosan kapcsoltakat

A2B CCC +=

Végül C1 és CB sorba kapcsoltakból

B1 C

1

C

1

C

1+=

1.7. Az egyenáramú hálózatok törvényei 1.7.1. Ohm törvénye

Ohm német fizikus az ellenállást a feszültségből és az áramerősségből határozta meg. Azt tapasztalta, hogy egy áramkörben a két mennyiség hányadosa jellemző egy adott fogyasztóra és állandó érték:

I

UR = (50)

Ezt nevezzük Ohm törvénynek. Az összefüggés másik két alakban is felírható

R

UI = vagy

U = I R 1.7.2. Kirchhoff törvények A csomóponti törvény Egy tetszőlegesen bonyolult hálózat bármely elemére külön-külön alkalmazható az egyszerű áramkörnél megismert Ohm törvény, hiszen ez az összetartozó U, I és R mennyiségek közötti kapcsolatot mutatja meg. Több elemből álló rendszerben a Kirchhoff törvények nyújtanak segítséget. Kirchhoff I. törvénye párhuzamos (elágazó) áramkörökre vonatkozik. Az elágazásnál csomópont keletkezik.

26. ábra Kirchhoff I. törvénye

A törvény értelmében a csomópontba befolyó áramok

összege megegyezik az onnan elfolyó áramok összegével.

321 IIII ++= (51)

Ha az áramokat irányuk alapján előjellel látjuk el, pl. a befelé folyót pozitívnak, a kifelé folyót negatívnak tekintjük, akkor a be- és kifolyó áramok összege 0 lesz.

0I =Σ (52)

A hurok törvény Kirchhoff II. törvénye soros kapcsolásra (hurokra)

vonatkozik, másik neve ezért huroktörvény (27. ábra).

27. ábra Kirchhoff II. törvénye

Bármely zárt hurokban az áramköri elemeken levő feszültségek előjelhelyesen vett összege nulla. 0U =Σ (53)

Másképpen 321 UUUU ++= (54)

A sorba kapcsolt fogyasztókra jutó feszültségek összege megegyezik az áramforrás feszültségével.


14

1.8. A feszültségelosztás, az áramosztás és a hídkapcsolás törvénye 1.8.1. A feszültségosztás törvénye

Az Ohm és Kirschoff törvényeket nevezetes kapcsolásokra alkalmazva további fontos törvényszerűségeket állapíthatunk meg. Az ellenállások soros kapcsolásából vezethető le a feszültségosztás törvénye. (28. ábra)

28. ábra A feszültségosztó elve

Ekkor az ellenállásokon azonos az áramerősség, miközben R1-en U1, az R2-n pedig U2 feszültség lép fel. Az Ohm törvény külön-külön felírható.

2

2

1

1

R

U I ;

R

UI ==

összevonva

2

2

1

1

R

U

R

U=

átrendezve

2

1

2

1

R

R

U

U= (55)

Soros kapcsolásban az egyes ellenállásokon fellépő feszültségek úgy aránylanak egymáshoz, mint az ellenállások értékei. 1.8.2. A feszültségosztó

A feszültségosztás törvényén alapszik az elektronika egyik leggyakrabban alkalmazott áramköre, a feszültségosztó. A feszültségosztó négypólusú. A legegyszerűbb esetben két sorbakötött ellenállásból áll. (29. ábra)

29. ábra A feszültségosztó

A rendszer A és B pontja közé feszültséget kapcsolva áram alakul ki, és az ellenállásokon feszültség lép fel. Kirchhoff II. törvénye értelmében a két feszültség összege mindig

megegyezik a tápláló generátor feszültségével. Kimenetként bármelyik ellenállás felhasználható, most az R2 ellenállás C és D pontjai választjuk. Tehetetlen állapotban ideális osztóról beszélünk. Ekkor

Uki = UR2 és UR2 = I R2, valamint 21

be

RR

UI

+= , ezért

21

2beki RR

RUU

+⋅=

Ha az osztót terheljük az Rt terhelő ellenállást az R2-vel párhuzamosan kapcsoljuk. (30. ábra)

30. ábra A terhelt feszültségosztó R2 helyett

t2

t2

RR

RRR

+⋅

=

eredő ellenállásunk lesz, ami R2-nél kisebb, ezért a terhelt osztó kimeneti feszültsége mindig kisebb, mint az ideálisé. 1.8.3. A feszültség mérése

Minden alapműszer egy Rm ellenállással rendelkező fogyasztónak felel meg. A műszer végkitéréséhez, az alap méréshatárhoz meghatározott nagyságú feszültség (Um) és áramerősség (im) tartozik. Im az az áramerősség, amely az alapműszer mutatóját végkitérésbe lendíti, Um az a feszültség, amely ilyenkor a műszer Rm ellenálláson fellép.

m

mm I

UR =

Az elektronikában leggyakrabban alkalmazott Deprez vagy lengőtekercses műszereknél Um = 50-200 mV és Im = 10-1000 µA. Ha Um = 100 mV és Im = 100 µA, ekkor a műszer ellenállása

Ω=Ω=⋅

⋅==

−

−k110

10100

10100

I

UR 3

6

3

m

mm

A feszültségmérő méréshatárának bővítése A példában szereplő alapműszer feszültség és áramerősség mérésére egyaránt használható. Ha az alap méréshatárhoz tartozó Um értékét növeljük, akkor az alap-műszerből a gyakorlatban is jól használható feszültségmérő, Im növelésekor pedig árammérő lesz. A feszültségmérő méréshatárának bővítése a feszültségosztó elvén működik oly módon, hogy a műszerrel sorba kötünk egy ellenállást. (31. ábra)


15

31. ábra A feszültségmérő méréshatárának bővítése

Ez az áramkörben a műszer előtt van, ezért előtét-ellenállásnak nevezzük. A rendszerre U feszültséget kapcsolva a műszer a végkitérésekor Im áram folyik, közben az előtét-ellenálláson

URe, a műszeren pedig URm = Um feszültség lép fel. A huroktörvény értelmében

mRe UUU +=

ahol az U az új méréshatárhoz tartozó feszültség. Azt, hogy az új méréshatárhoz tartozó feszültség hányszorosa az alap méréshatár feszültségének, a kiterjesztés mérőszáma (n) mutatja meg.

mU

Un = (56)

Az n általában egész szám, pl. 2, 3, 5, 10 stb. A soros kapcsolás miatt Im mindkét ellenálláson átfolyik, így a huroktörvény szerint

)RR(IRIRIUUU memmmemmRe +=+=+=

Az 56 egyenletbe behelyettesítve

mm

mem

m RI

)RR(I

U

Un

⋅+

==

Im- mel egyszerűsítve és Re előtétellenállást kifejezve

me R)1n(R −= (57)

vagyis az előtét ellenállásnak nem n-szer, hanem csak (n-1)-szer kell nagyobbnak lenni az alapműszer ellenállásának. 1.8.4. Az áramosztó

A másik nevezetes hálózat az áramosztó, amely Kirchhoff I. törvénye alapján az ellenállások párhuzamos kapcsolásából vezethető le. (32. ábra)

32. ábra Az áramosztó

A párhuzamos kapcsolás miatt az ellenállásokon azonos U feszültség van. Ennek hatására az egyik ellenálláson

11 R

UI = , a másikon pedig

22 R

UI = áram folyik,. U-ra

rendezve I1R1 = I2R2 vagyis

1

2

2

1

R

R

I

I= (58)

Párhuzamos kapcsolás esetén az áramerősségek fordítottan arányosak az ágak ellenállásaival. A csomópontba befolyó áram az ellenállásokon megoszlik, a nagyobb ellenálláson kisebb, a kisebb ellenálláson nagyobb áram folyik. Az árammérő méréshatárának bővítése Az árammérő méréshatárát az áramelosztás törvénye alapján bővíthetjük. Az alapműszerrel párhuzamosan kapcsolunk egy Rs ellenállást, amelyet sönt ellenállásnak nevezünk. (33. ábra)

33. ábra Az árammérő méréshatárának kiterjesztése A kiterjesztés mérőszáma

mI

In = (59)

A párhuzamos kapcsolás miatt a műszeren is és a sönt ellenálláson is Um feszültség van. A sönt árama Is = I – Im, így

Um = Im · Rm és Um = Is · Rs = (I – Im)Rs. A feszültségek azonossága miatt (I - Im) Rs = Im· Rm mindkét oldal Im-mel osztva

m

mm

m

sm

I

IR

I

R)II(⋅=

−

Az (59) felhasználásával és Im-mel egyszerűsítve

ms RR)1n( =− , ebből

1n

RR m

s −= (60)

A sönt ellenállásnak tehát (n – 1)-szer kisebbnek kell lenni, a műszer belső ellenállásánál, emiatt a méréshatár kiterjesztése után kapott árammérő eredő ellenállása kisebb lesz. 1.8.5. A hídkapcsolás törvénye (Wheatstone híd)

A híd olyan négypólus, amelyben az áramkörei elemek értékét úgy választjuk meg, hogy a kimeneti feszültség nulla legyen. Ezt nevezzük a híd kiegyenlített állapotának.

34. ábra A Wheatstone híd

A 34. ábrán látható, hogy az R1 és R2, illetve R4 és R3

azonos feszültségről táplált feszültségosztók, és Ube a hídnak mint négypólusnak bemenő feszültsége. Kiegyenlítéskor az osztók terheletlenek, mert az Uk = UA – UB = 0, így nem folyik áram. Ekkor teljesül, ha a két osztó kimeneti feszültsége

azonos, vagyis UA = UB. A feszültségosztás törvényét alkalmazva:

43

3beA RR

RUU

+⋅= és

21

2beB RR

RUU

+=

A két egyenlet egyenlő, ezért

21

2be

43

3be RR

RU

RR

RU

+=

+⋅ ,


16

egyszerűsítve Ube-vel és átrendezve

)RR(R)RR(R 432213 +⋅=+ tovább

42322313 RRRRRRRR +⋅=+⋅ ,

R2 · R3 mindkét oldalon, így

4231 RRRR ⋅=⋅ (61)

A Wheatstone híd kiegyenlített, ha az egymással szemben levő hídágak ellenállásainak szorzata azonos. Ellenállás mérésére alkalmas Wheatstone híd kapcsolását a 35. ábra mutatja.

35. ábra Ellenállás mérésére alkalmas híd

A kimeneti feszültséget egy nagy érzékenységű műszer a G galvanométer érzékeli és az R1 helyére kell tenni az

ismeretlen Rx ellenállást. RN hitelesen szabályozható ún. normál ellenállás, amelynek beállított értéke egy skálán pontosan leolvasható. Kiegyenlítéskor

3x4N RRRR ⋅=⋅ , amelyből

3

4Nx R

RRR =

Az 3

4

R

Rnevezetes érték, az ún. hídáttétel (pl 0,01; 0,1; 1;

10 stb.) Rx ezért könnyen számítható. A kiegyenlítéskor a

leolvasott RN értéket kell a hídáttétellel szorozni. 1.8.6. A villamos munka és teljesítmény

A villamos áram az elektromos erő hatására elmozduló töltések mennyisége. Az áramló töltés munkát képes végezni. Mivel a feszültség egységnyi töltés energiája, a termelt vagy a fogyasztott energiát UQW ⋅= összefüggéssel számoljuk.

mivel a Q = I t ]I[ ]sVA[ tIUW ⋅⋅⋅=

A teljesítmény az időegység alatt végzett munka

]W[ ]VA[ IUt

WP ⋅== (62)

Kérdések:

1. Sorolja fel az atom részeit! 2. Fogalmazza meg Coulomb törvényét! 3. Hogyan jelöli a dielektromos állandót? 4. Mi a térerősség összefüggése? 5. Mi az elektromos áram fogalma és összefüggése? 6. Sorolja fel az áramforrások üzemállapotait! 7. Ismertesse Kirchoff törvényeit! 8. Mi a feszültségosztás elve? 9. Mi az áramosztás elve? 10. Fogalmazza meg a villamos munkát!

Feladatok:

1. Egy generátor forrásfeszültsége U = 120 V, belső ellen-

állása Rb = 0,1 Ω. A fogyasztóval A = 1 mm2

keresztmetszetű és l = 30 m hosszú, kéterű vezeték köti össze. A fogyasztó ellenállása R = 20 Ω. Mekkora a fogyasztón átfolyó I áram erőssége? Mekkora a generátor és a fogyasztó kapocs-feszültsége?

ρréz = 0,0178 m

mm 2Ω.

(I = 5,68 A, Uk = 113,6 V) 2. A 2 mm vastag szigetelőanyag 30 kV-on ütött át. Mekkora

volt a villamos szilárdsága? (E = 150 kV/cm)

3. Számítsuk ki az R2 = 5 Ω ellenállással sorba kötendő Rx

ellenállás nagyságát, ha az ágon I2 = 3 A erősségű áramnak kell átfolynia. U = 24 V feszültségű áramforrás

bekapcsolása esetén! (Rx = 3 Ω)

P é l d a: A 200 m távolságban bekapcsolt 50 db izzót (60 W, 120 V)

tápláló generátor U feszültsége 130 V és belső ellenállása Rb = 0,2 Ω. Mekkorára válasszuk a rézvezeték kereszt-metszetét,

hogy az izzók megkapják Uizzó = 120 V névleges feszültségüket? Megoldás:

A huzal A keresztmetszetét a vezeték ellenállásából Rv-ből ezt pedig a vezetékben és a gépben megengedett feszültség-esésből és az izzók áramából számíthatjuk ki. A vezetékben és a generátorban 10 V a megengedhető feszültségesés:

V10120130UU i =−=−

Egy izzó árama 0,5 A, az 50 db izzó együttes áramfelvétele pedig

A25I50I i =⋅=

Ez az áram átfolyik a generátoron, és a tekercselésén feszültségesés keletkezik.

V52,025RIU bb =⋅=⋅=

A vezetékben megengedhető feszültségesésre (oda és vissza) marad tehát

10 V – 5 V = 5 V

aminek egyenlőnek kell lennie vv RIU ⋅= szorzattal. Ebből

a vezeték ellenállása

Ω=== 2,025

5

I

UR v

v

A vezeték ellenállása azonban A

lR v ρ= alakban is

kifejezhető és ebből a keresztmetszet:

RN


17

2

vmm 6,35

2,0

22000178,0

R

lA =

⋅⋅=⋅ρ=

2. Mágneses alapfogalmak

18

2. MÁGNESES ALAPFOGALMAK

A térnek azt a részét, ahol a mágneses kölcsönhatás kimutatható, mágneses térnek, vagy mágneses mezőnek nevezzük. Mágneses kölcsönhatás tapasztalható az áramjárta vezetékek és a különleges ötvözetekből készült tárgyak környezetében. Ezeket állandó vagy permanens mágneseknek nevezzük. A mágneses tér az elektromos térhez hasonlóan láthatatlan, ezért szemléltetésére vonalakat használunk. A mágneses teret indukció vonalakkal szemléltetjük. A térerősséget a vonalak sűrűsége, irányát a vonalra felrajzolt nyíl fejezi ki. Az indukcióvonalak az elektromos tér erővonalaival ellentétben mindig zártak, nincs kezdetük és végük. 2.1. Az állandó mágnes

36. ábra Az állandó mágnes tere

A 36. ábra egy rúd alakú állandó mágnes terét ábrázolja. A mágnesnek azt a részét, ahol a kölcsönhatás a legerősebb, mágneses pólusnak nevezzük. Az indukcióvonalak az északival (É) jelzett pólusból kiindulva a téren át a déli (D) pólus felé haladnak, majd a mágnes belsejében záródnak. A két pólus között mindig található egy hely, ahol mágneses kölcsönhatás nem tapasztalható. Ez a semleges vonal. A mágneses pólusok az elektromos töltésekkel ellentétben mindig csak együtt létezhetnek. Az északi pólus nem létezik déli nélkül és fordítva. Egy mágnest eltörve két darab két-két pólussal rendelkező gyengébb mágneseket kapunk. A mágnes mindkét pólusa néhány fémre (pl. vas, nikkel, kobalt) vonzó erővel hat, a két mágneses pólus között is erőhatás lép fel. Az egynemű pólusok taszítják, a különneműek vonzzák egymást. E jelenség alapján a semleges vonal egy másik mágnessel vagy egy vasból készült tárggyal kereshető meg. A mágnes egyik pólusát a másik mágneshez közelítve, majd mellette mozgatva a semleges vonal közelében a vonzó erőből taszító lesz, míg vasat használva, és a pólusoktól a semleges vonal felé haladva a vonzó erő egyre csökken. 2.2. A mágneses indukció A mágneses kölcsönhatást mágnestűvel, vagy mérőhurokkal mutathatjuk ki, melyekre a mágneses tér forgatónyomatékkal (M) hat. A tű vagy a mérőhurok elfordul. (37. ábra)

37. ábra Mérőhurok a mágneses indukció kimutatásához

Minél erősebb a tér, annál nagyobb a nyomaték, amely függ a mérőhurok a térhez viszonyított helyzetétől, szögétől is. A legnagyobb nyomatékot akkor kapjuk, amikor a mérőhurok felülete merőleges a tér indukció vonalaira. A tér erősségét az egységnyi (1 m

2 felületű és 1A-es

áramú) mérőhurokra ható forgatónyomatékkal fejezzük ki, melyet mágneses indukciónak nevezünk és B-vel jelöljük.

mm

max

AI

MB

⋅= (63)

ahol: Im a mérőhurok árama Am a mérőhurok felülete Az elnevezés az indukál szóból származik, és azt fejezi ki,

hogy a mágneses tér erőssége a legfontosabb jellemzőjével, a mágneses indukcióval arányos.

Az elektromos térrel ellentétben tehát a mágneses tér

erősségét nem a mágneses térerősség, hanem a mágneses indukció (B) mutatja meg.

A (B) vektormennyiség, a mértékegysége

222 m

Vs

mA

sAV

mA

Nm

]A][I[

]M[]B[ =

⋅

⋅⋅=

⋅==

T1m

Vs12= (tesla)

2.3. A vezetékek mágneses tere Minden mágneses teret (az állandó mágnesét is) elektromos töltések áramlása hozza létre, és iránya függ az áram irányától. Az áramjárta egyenes vezetőt a mágneses tér örvényszerűen körülveszi, és a B mágneses indukció érintő irányú. (38. ábra)

38. ábra Az egyenes vezetők mágneses tere

A mágneses indukció irányát az ún. jobbkéz szabály segítségével határozhatjuk meg. (39. ábra)

39. ábra A jobbkéz szabály értelmezése


19

Ha jobb kezünkkel a vezetőt képzeletben megmarkoljuk és hüvelyk ujjunk az áram irányába mutat, a többi ujjunk a forgatás irányába, az indukcióvonalak irányába mutat. Azonos és ellentétes áramú vezetékpárok terét a 40. ábra mutatja.

40. ábra Az azonos (a) és ellentétes áram irányú (b) vezeték

mágneses tere

Az azonos áramirányú vezetékek vonzzák, az ellentétes irányúak pedig taszítják egymást, vagyis az erő éppen fordított irányú, mint az elektromos töltések vagy a mágneses pólusok esetén. 2.4. A tekercs mágneses tere (41. ábra)

a)

b)

41. ábra Az egymenetes tekercs (a) és a szolenoid (b) tere

A szabályos sokmenetű tekercs (szolenoid) terét az egymás melletti menetek eredő tere adja. Ilyenkor nem az indukció vonalak irányát, hanem az északi pólus helyét szoktuk a jobbkéz szabállyal meghatározni. Helyezzük jobb kezünket a tekercsre úgy, hogy ujjaink a menetekben folyó áram irányába mutasson. Kifeszített hüvelykujjunk ekkor az északi pólust, illetve az abból kilépő indukcióvonalak irányát mutatja.

2.5. A mágneses indukció és fluxus A mágneses tér legfontosabb jellemzője az indukcióvonalak sűrűsége, vagyis a mágneses indukció: B. Ez fejezi ki a tér erejét. Számítások esetén előnyösen használható az indukció folyam vagy a fluxus. A fluxus egy adott felületen áthaladó összes indukcióvonal, jele Φ. A felület nagyságának és a mágneses indukciónak ismeretében AB ⋅=Φ (64) Mértékegysége

Wb vagy Vsmm

Vs]A[]B[][ 2

2=⋅=⋅=Φ

2.6. A gerjesztés A mágneses teret az áram hozza létre. Azt mondjuk, hogy az áram gerjeszti a teret. Gerjesztésnek nevezzük a teret létrehozó áramok összegét. A jele: Θ (théta). (42. ábra)

42. ábra A gerjesztés a teret létrehozó áramok összege

Kézenfekvő, hogy a mértékegysége azonos az áramerősség mértékegységével, vagyis A (amper). Egy tekercs esetében az áram N-szer halad át a téren, ezért IN ⋅=Θ A mértékegysége továbbra is A (amper), mert N a menetek számát jelöli. Ennek ellenére tekercsek esetén az ampermenet elnevezést használjuk. 2.7. A mágneses térerősség A tapasztalat azt mutatja, hogy egy adott gerjesztés, teljesen azonos egyéb körülmények esetén, erősebb mágneses teret hoz létre, ha a térben az indukcióvonalak rövidebbek, vagyis, B az indukcióvonalak hosszával fordítottan arányos. A tér egy adott pontjában az áramok gerjesztő hatásának mértékét az egységnyi hosszúságra jutó gerjesztés mutatja meg, melyet mágneses térerősségnek nevezünk. A tér-erősséget H-val jelöljük, és a gerjesztési törvény alapján lehet meghatározni.

43. ábra A gerjesztési törvény


20

Vegyük körül a gerjesztő áramokat egy tetszőleges zárt görbével és keressük meg a görbének azokat a kis ∆l szakaszait, ahol a gerjesztő hatás (H) azonosnak tekinthető. A H∆l értékek összege, mindig a gerjesztést adja.

......lHlHlH 332211 ∆⋅+∆⋅+∆⋅=Θ (66)

Ha a H térerősség a teljes l mentén állandó

Gl=Θ lesz, amelyből

l

HΘ

=

A térerősség mértékegysége: m

A

Egy tekercs belsejében a H értékét a 44. ábra segítségével határozhatjuk meg.

44. ábra A térerősség egy tekercs környezetében

A görbe legyen egy indukcióvonal. A gerjesztési törvény ekkor

2211 lHlH ⋅+⋅=Θ (67)

alakban írható, ahol a H2 és l2 a tekercs külső részére, a H1 és l1 pedig a belsejére vonatkozik. Mivel H2 <<H1, ezért a második tag elhanyagolható.

11 lH ⋅≅Θ

Ha l1 helyébe a tekercs l hosszát helyettesítjük, akkor a

l

HΘ

=

összefüggést kapjuk, amelyben l a tekercs hossza. 2.8. A mágneses permeabilitás A gerjesztés, majd a mágneses térerősség hatására kialakuló mágneses indukció függ a térben levő anyagtól is. A mágneses indukció és a térerősség között a teret kitöltő anyagra jellemző mennyiség a mágneses permabilitás (µ) teremt kapcsolatot. B = µH (68)

A µ tényező µ0-ra és µr-re bontható.

µ = µ0µr

ahol µ0 a vákuum mágneses permeabilitása

Am

Vs10π4µ 7

0−⋅=

µr a relatív permeabilitás, egy szám, amely megmutatja, hogy a mágneses indukció hányszor lesz nagyobb, ha a teret a vákuum helyett valamilyen anyag tölti ki. Az elektromágnesek

azért erősek, mert a tekercseik belsejét nagy µr-rel rendelkező anyag sokszorosra növeli. 2.9. A Biot-Savart törvény A Biot-Savart törvény értelmében, ha egy l zárt vezetékben I áram folyik és a permeabilitás mindenütt egyforma, akkor a mágneses térerősség egy P pontban, r távolságban:

r

I

π4

1H ⋅= (69)

45. ábra A Biot-Savart törvény

2.10. Erőhatás a mágneses térben Helyezzünk B erősségű mágneses térbe egy vezetőt, amelyben I erősségű áram folyik A B és I legyen egymásra merőleges. (46. ábra)

46. ábra Az állandó mágnes és az áramjárta vezető terének eredője, valamint a fellépő erő

A vezető mágneses tere és a homogén tér egymással kölcsönhatásba lép.

lIBF ⋅⋅= (70) erő keletkezik, ahol az l a vezetőnek a mágneses térben levő hossza. Ha B és I nem merőleges egymásra, akkor az erő kisebb. l-nek csak azt a részét szabad figyelembe venni, amely a B-re merőleges. (46. ábra)


21

46. ábra Az erőhatás mágneses térben

A 46. ábra alapján

α⋅⋅⋅= sinlIBF (71) 2.11. Mágneses erőhatás számítása A ferromágneses anyagot a mágnes mindkét pólusa vonzza, mert a mágnes a ferromágneses anyagban az elemi mágneseket rendezi és így a két mágnes között keletkezik kölcsönhatás. Nagyon kis távolság esetén az erő az indukció négyzetével arányos.

Aµ2

BF

2= (72)

47. ábra Az elektromágnes

A testek közötti távolság légrésnek tekinthető, ami a mágnesező hatást rontja. Kisebb távolságok esetén az erő a távolság négyzetével csökken. 2.12. A mágneses körök törvényei A mágneses Ohm törvény A mágneses körök nagyon hasonlítanak az áramkörhöz, ezért nagyon bonyolultnak látszó számításokat az Ohm és a Kirchhoff törvényhez hasonló összefüggésekkel könnyíthetjük. A mágneses Ohm törvényt a B = µH összefüggésből

vezetjük le. Helyettesítsünk be A

BΦ

= és l

HΘ

= és

rendezzük Θ-ra.

µA

lΦ=Θ (73)

Ha a törtet µA

lR m = mágneses ellenállásnak nevezzük, az

U = I ·R összefüggéshez hasonló.

mRΦ=Θ alakot kapjuk.

A mágneses ellenállások is kapcsolhatók sorosan, pár-huzamosan és vegyesen. Az eredő meghatározása megegyezően történik, miként a villamos ellenállásoknál.

Soros kapcsolás: 3m2m1mm RRRR ++=

Párhuzamos kapcsolás:

3m2m1mm R

1

R

1

R

1

R

1++=

Kirchhoff törvényei A mágneses térben is felírhatjuk a villamos Kirchhoff-törvényekhez hasonló képleteket. A csomóponti törvény: A mágneses csomópontba belépő fluxusok algebrai összege zérus 0=ΣΦ (74) A hurok törvény: A hurok törvény nem más, mint a gerjesztési törvény, amely kifejezi, hogy egy hurok mágneses feszültségeinek összege a gerjesztéssel egyenlő:

ii

n

lilH ⋅Σ=Θ

= (75)

48. ábra Az elágazó mágneses kör

2.13. Elektromágneses indukciók Egy vezetőben vagy egy tekercsben feszültség (Ui) keletkezik (indukálódik), ha a vezetőt körülvevő mágneses tér, illetve a tekercset metsző fluxus megváltozik. Ez a jelenség az elektromágneses indukció, és ezt használjuk fel pl. az erőművi generátorokban is a villamos energia előállítására. Az indukált feszültség jellemzőinek meghatározása az indukciótörvény alapján lehetséges, amely a Faraday és a Lenz törvényt egyesíti. Az egyik a feszültség nagyságának, a másik az irányának megállapítására alkalmas. A Faraday törvény értelmében az Ui arányos a fluxus-változás sebességével:

t

U i ∆∆Φ

=


22

Feszültség csak akkor keletkezik, ha a fluxus változik, a mágnes és a tekercs egymáshoz képest mozog. A keletkezett feszültség egyenesen arányos a mozgatás sebességével. A feszültség irányát Lenz az energia-megmaradás törvénye alapján határozta meg. Az indukált feszültség polaritása mindig olyan, hogy az általa létrehozott áram mágneses tere gátolja az őt létrehozó folyamatot. 2.14. A mozgási indukció A mozgással történő feszültségkeltést mozgási indukciónak nevezzük. Egy l hosszúságú vezető B indukciójú mágneses térben ha v sebességgel mozog a mágneses térre merőlegesen az indukált feszültség nagysága

vlBU i ⋅⋅= (77)

Tekercs esetén a feszültség N-szer nagyobb

vlBNU i ⋅⋅⋅=

A 49. ábrán a vezető nem a mágneses térre merőleges irányba mozog

49. ábra A vezető mozgása α szöget zár be

Ebben az esetben az indukált feszültség kisebb, mert a sebességnek csak a merőleges irányba eső komponensét kell figyelembe venni.

α⋅⋅⋅⋅= sinvlBNU i (78)

2.15. A nyugalmi indukció Nyugalmi indukcióról beszélünk, ha a feszültséget létrehozó elemek a mágnes vagy a tekercs nem mozognak, e helyett a fluxust létrehozó áram változik. (50. ábra)

50. ábra A nyugalmi indukció

Az N2 menetszámú tekercsben azért indukálódik feszültség, mert benne a mágneses indukciót az N1 menetszámú tekercs árama változtatja

t

ABN

tNU 222 ∆

⋅∆=

∆∆Φ

=

de HµB ∆=∆ és l

INH 11 ∆⋅=∆ , ezért

tl

IAµNNU 1

212 ∆∆

⋅= (79)

2.16. Az önindukció Feszültség indukálódik abban a vezetőben vagy tekercsben is, amely a fluxus változását áramának megváltozásával saját maga idézte elő. A keletkezett feszültséget most is az indukciótörvény

t

NU i ∆∆Φ

=

alapján határozzuk meg. Szorozzuk be I

I

∆∆

-vel az egyenletet

t

I

IN

I

I

tNU i ∆

∆⋅

∆∆Φ

=∆∆⋅

∆∆Φ

=

Az összefüggés a rendszertől függő állandóra, és az áramváltozás sebességét tartalmazó részre bontható.

t

ILU i ∆∆

= (80)

ahol az L a rendszertől függő állandó. A neve az önindukciós

tényező vagy induktivitás. Mértékegysége A

Vs.

H1A

Vs1= (henry)

Azokat a rendszereket (pl. tekercseket), amelyek önindukciós tényezővel rendelkeznek, induktivitásoknak nevezzük. L értékét a tekercs adatai határozzák meg.

l

AµNL 2 ⋅=

2.17. A kölcsönös indukció Két rendszer csatolásban (kölcsönhatásban) van egy-mással, ha az egyikből energia vihető át a másikba. Induktivitások között akkor van csatolás, ha az egyik által keltett indukcióvonalak áthaladnak a másikon is, ezáltal áramuk meg-változásakor kölcsönösen feszültséget indukálnak egymásban. A keltett feszültség

t

IMU 1

2 ∆∆⋅= (81)

ahol M a kölcsönös induktivitás, mértékegysége a H (henry).


23

51. ábra Csatolás tekercsek között

Az M függ a csatolási tényezőtől (k), ami megmutatja, hogy az egyik tekercs indukcióvonalainak hányad része megy át a másik tekercsen.

21 LLkM ⋅= (82)

Azonos tekercsek esetén M = kL. Kérdések:

1. Jellemezze az állandó mágnest és az elektro mágnest mágneses szempontból!

2. Fogalmazza meg a fluxust! 3. A jobb-kéz szabály értelmezése a mágnesességben! 4. Mi a gerjesztés? 5. Hogyan számítja ki a térerősséget? 6. Értelmezze a mágneses permeabilitást! 7. A mozgási indukció fogalma és meghatározása! 8. Az önindukció fogalma és meghatározása! 9. A kölcsönös indukció és meghatározása! 10. Sorolja fel a tanult indukció változatokat!

Feladatok:

1. A 10 cm hosszú, 100 menetes tekercsben H = 4000 A/m erősségű mágneses teret kell gerjesztenünk. Mekkora az ehhez szükséges áramerősség? (I = 4 A)

2. Mekkora feszültség indukálódik a B = 0,8 T indukciójú térben v = 5 m/s sebességgel mozgó l = 25 cm hosszú vezetőben? α = 90o

(Ui = 1 V)

3. Határozzuk meg a 300 menetes, d = 2 cm átmérőjű és l = 10 cm hosszúságú henger alakú légmagos tekercs L önindukciós tényezőjét! (L = 0,355 mH)

Példa: Mekkora a 800 menetes, d = 5 cm átmérőjű és l = 16 cm hosszú tekercs önindukciós együtthatója vasmag nélkül, illetve

dv = 4,5 cm átmérőjű vasmaggal, ha az áramerősség I = 0,5 A? Megoldás: A vasmag nélküli (légmagos) tekercs induktivitása

NI

L ⋅φ

=

AlHAHAB 0 ⋅µ⋅⋅=⋅µ⋅=⋅=φ

A légmagos tekercsben a H térerősség

l

INH

⋅=

behelyettesítés után

Al

N104L

27

⋅⋅π

=−

A kör keresztmetszetű tekercsre ,4

dA

2 π⋅= és így:

7

222 10

l

NdL −π=

H 00987,0016,0

80014,305,0L 7

222 ≅⋅⋅= −

A tekercs induktivitását dv = 4,5 cm átmérőjű vasmaggal a B indukciótól függő permeabilitás figyelembevételével számítjuk. A mágneses térerősség a tekercsben:

m

A2500

16

400

16,0

8005,0

l

INH ==

⋅=

⋅=

Az alábbi mágnesezési görbe szerint a dinamólemezben a

cm

A25

m

A2500H == térerősséghez B = 1,6 T indukció

tartozik.

A tekercs induktivitása ezzel az indukcióval:

NI

ABN

IL ⋅

⋅=⋅

φ=

H 069,480045,0

045,06,1L

2=⋅

⋅π⋅⋅

=

3. Váltakozó áramú rendszerek

24

3. VÁLTAKOZÓ ÁRAMÚ RENDSZEREK

Az egyenáramról tudjuk, hogy nagysága az idő függvényében nem változik, bármely időpontban egységnyi idő

alatt a vezetőben áramló töltésmennyiség és a töltések haladási iránya azonos. (51. ábra)

51. ábra Az elektronikában előforduló néhány áramtípus

Az 51. b. ábrán egy szabályosan váltakozó egyenáramot látunk. Az 51. c. és d. ábrán váltakozó áramot látunk, aminek a jellemzője, hogy iránya és nagysága az idő függvényében változik, itt a töltések áramlása nem folyamatos, hanem valamilyen függvény szerint lengőmozgást végez. 3.1. A szinuszosan váltakozó feszültség előállítása Ha homogén mágneses térben egyenletes szög-sebességgel vezető keretet forgatunk, amelynek forgástengelye merőleges a mágneses erővonalakra, a forgástengellyel párhuzamos vezetőkben feszültség indukálódik.

52. ábra A szinuszosan váltakozó feszültség létrehozása

A keletkező feszültség a mozgási indukció szerint

α⋅⋅⋅= sinvB2U ahol: α - az indukció és a sebesség által bezárt szög 2 – a vezető két ágában indukálódik feszültség Az α szög a keret helyzetét határozza meg, és kifejezhető a szögsebességgel és az idővel t2t ⋅π=⋅ω=α

(n – fordulatszám [s-1

] Az α helyére behelyettesítve az indukált feszültség

tsinvlB2U ω⋅⋅⋅= (83) Az egyenlet azt mutatja, ha a B, l és v állandó, a feszültség

az idő függvényében szinuszosan változik.

tsinkU ω⋅= Olyan feszültség keletkezik, és az áramkör zárása esetén

olyan áram indul, mely irányát és nagyságát is periódikusan változtatja.

3.2. A szinuszosan váltakozó feszültség illetve áram jellemzői A váltakozó mennyiségek legszemléletesebben vonal diagramban ábrázolhatók. Elemezzük az 53. ábrát!

53. ábra A szinuszosan változó feszültség

A szinuszos váltakozó mennyiségek jellemzője a maximális pillanatérték, amelyet amplitúdónak nevezünk. Jele: U; I stb. A tetszőleges időpillanatban mért értéket kis betűvel u; i jelöljük. A változás szinusz alakú és periódikusan ismétlődik. Két egymáshoz legközelebb eső azonos fázishelyzetű pont (pillanat érték) közötti tartomány a periódus. Az ehhez tartozó idő a periódus idő, melynek jele: T. A váltakozó mennyiségek fontos jellemzője a másod-percenkénti rezgések száma vagy frekvencia.

]s

1[

T

1f = (84)


25

Az s

1 mértékegységet hertz-nek is nevezzük.

Hz1s

11 =

Az elektrotechnikában előforduló feszültségek és áramok frekvenciája néhány Hz-től több száz GHz-ig terjed. Az Európában használatos hálózati feszültség frekvenciája 50 Hz. A periódusidő az az időtartam, amely alatt a szinuszos mennyiség egy teljes periódusa lejátszódik. A forgó keretben indukált feszültség esetén egy körülfordulás időtartama. Jele: T. Az f frekvenciájú rezgés periódusideje:

f

1T = (85)

A vonal diagram pillanat értékei az

tωsinUu o= összefüggéssel írhatók le.

Szinuszos villamos mennyiség esetén nem szög-sebességről beszélünk, mivel az a körmozgás jellemzője, hanem körfrekvenciáról.

fπ2ω ⋅= (86) Ez olyan eset, amikor a körfrekvencia éppen megegyezik a forgókeret szögsebességével. (A mágneses teret 1 póluspár hozza létre.) Más a helyzet, ha a vezetőkeret több póluspár által létrehozott mágneses térben forog. (54. ábra)

54. ábra A több póluspár által létrehozott mágneses tér

Póluspárnak nevezzük egy északi és egy déli pólust együttesen. Jele: p. A teljes feszültségperiódus lefolyásához 120 oC-os elfordulás elegendő, mivel a vezetőkeret ismét azonos mágneses körülmények közé kerül. Egy teljes körülfordulás alatt p periódus játszódik le. Így a frekvencia

npf ⋅=

Ennek megfelelően a körfrekvencia a szögsebesség p-szerese lesz.

geomvill ωpω =

3.3. A szinuszosan változó mennyiségek középértékei A váltakozó mennyiséget, a könnyebb kezelhetőség érdekében egyetlen átlagértékkel helyettesítjük, mely meg-könnyíti a mennyiségek összehasonlítását. Az átlag – vagy középérték közül kettőt használunk:

- egyenáramú, számtani vagy elektronikus középérték, - effektív, vagy négyzetes középérték.

3.3.1. Az egyenáramú középérték

Vannak esetek, amikor nem a villamos energia, hanem az áram által szállított töltésmennyiség a lényeges. Ilyenkor a váltakozó áram pillanatnyi értékei helyett, annak az egyenáramnak az értékét adjuk meg, amely ugyanannyi idő alatt, ugyanannyi töltést szállít. Tetszőleges y = f(x) függvény esetében (55. ábra) a számtani középérték

55. ábra Az elektrolitikus középérték

∫ ⋅⋅=⋅0x

00k dx)x(fxy innen

dx)x(fx

1y

0x

0k ⋅∫=

Az elektrolitikus középértéket Uk; Ik-val jelöljük. Egyenirányított váltakozó áramok és elektrokémiai folyamatok számításakor használatos.

3.3.2. Az effektív középérték

Az áramkörben a leglényegesebb mennyiség általában a villamos energia. A váltakozó áram pillanatértékei helyett annak az egyenáramnak az értékét adjuk meg, amely ugyanannyi idő alatt ugyanannyi hőt fejleszt egy ellenálláson. Ezt nevezzük a váltakozó áram effektív vagy négyzetes középértékének.

tRIW 2 ⋅⋅=

vagyis a villamosenergia az I2 mennyiséggel arányos.

Ezért, ha valamilyen váltakozó áram effektív értékét ki akarjuk számítani a pillanatérték négyzetét kell átlagolni. Tetszőleges y = f(x) függvény effektív középértéke a következőképpen határozható meg: (56. ábra)


26

56. ábra Az effektív középérték

∫=⋅0x

0

20

2eff dxyxy ebből

∫=0x

0

2

0eff dxy

x

1y

3.3.3. A szinuszos villamos mennyiség effektív középértéke Az effektív középérték általános egyenletébe

behelyettesítve az tωsinuu 0= függvényt, a következő

kifejezést kapjuk:

dttsinut

1u 20t

0

20

0⋅ω⋅= ∫

A t változó helyett az egyszerű számítás érdekében

bevezetjük a ωt változót, és mivel sin2ωt mindig pozitív

Behelyettesítve

∫π

⋅π

=0

220 dttωsin

uu

a levezetést mellőzve

00 u707,02

uu ==

Az effektív áramerősség

00 I 707,02

II ==

A változó mennyiségek jellemzéséhez még használjuk a

csúcstényezőt Kcs és alak- vagy formatényezőt. A csúcstényező:

41,1u

2u

u

uK

0

00cs ===

Az alaktényező

11,122

π

uπ

2v

u

u

uK

02

0

kf =

⋅=

⋅==

A szinuszos váltakozó feszültségre vonatkozó jellemzők bármely más szinuszos mennyiségre (áram, fluxus) is érvényesek. 3.3.4. A szinuszos váltakozó mennyiségek ábrázolása

A szinuszos lefolyású függvényeket legszemléletesebben koordináta rendszerben tudjuk ábrázolni, ha a vízszintes tengelyre az időt mérjük fel. (57. ábra)

57. ábra A szinuszosan váltakozó mennyiségek ábrázolása

Ez az eljárás azonban csak egyszerűbb esetben használható, ha csak 1-2 függvényt kell felrajzolni. Bonyolultabb esetben azonban a sok görbe között már nehéz kiigazodni. Sokkal szemléletesebb és könnyebben kezelhető a vektoros ábrázolás.

Ha egy abszolút értékű vektort a koor-dinátarendszer kezdő pontja körül állandó szögsebességgel forgatunk, ennek a vektornak egy álló tengelyre vetett vetülete az időben szinuszosan változik. Logikus tehát, ha a szinuszos váltakozó mennyiséget is forgó vektorként kezeljük.


27

3.3.5. Komplex számok

A szinuszosan váltakozó feszültséget és az áramot ábrázoló forgó vektorokat a könnyű kezelhetőség miatt legcélszerűbb komplex számokkal megoldani. A komplex szám, mint a matematikában tanultuk, egy valós és egy képzetes (imaginárius) szám összegéből jön létre, amelyet komplex számsíkon tudunk ábrázolni. Ez a számsík a matematikában tanultaktól abban tér el, hogy itt a valós tengely a függőleges, a képzetes a vízszintes tengely, vagyis a matematikában szokásos rendszert 90 o-kal balra elforgatva használjuk. (58. ábra)

58. ábra A forgó vektor értelmezése a komplex síkban

Az imaginárius egység jelölése az elektrotechnikában

1j −= .

Ha a valós tengelyre a valós részt, a képzetes tengelyre a képzetes részt mérjük fel, a komplex számsíkon egy pontot tudunk meghatározni. Ha a pontot összekötjük az origóval, megkapjuk a komplex vektort. A komplex számnak három alakja van. Az algebrai alak: bjaz +=

A trigonometrikus alak: )sinj(coszz ϕ+ϕ⋅=

Ahol 22 baz +=

a

b tg;

z

a sin ;

z

bcos =ϕ=ϕ=ϕ

A ϕ a komplex vektor fázisszöge, a valós tengely pozitív felével bezárt szög.

Exponenciális vagy Euler alak: ϕ= jezz

Ahol e a természetes szám. A komplex szám konjugálja a valós tengelyen való tükörképe. (57. ábra)

bjaz_

−=

A konjugált komplex szám jelölésére a vízszintes felülvonást

használjuk )z(_

. A komplex számokkal való összeadási,

kivonási, szorzási, osztási műveleteket a matematikában tanultak szerint végezzük. Speciális esetként írjuk fel a 2 = j vektor exponenciális alakját.

Ha: z= j, akkor 2

π a ,1z =ϕ=

A vektor exponenciális alakja

2j

2

πj

ej ekkor ,ezz

π

=⋅=

A komplex szám j-vel való szorzása exponenciális alakban

)

2(j(

2j

j ezeezjz

π+ϕ

πϕ =+⋅=⋅

Az eredmény ugyanakkora abszolút értékű vektor, amelynek szöge 90 okal nagyobb. A j-vel való szorzás tehát a vektor 90 o-os elforgatását jelenti a pozitív szögek irányában. A komplex szám j-vel történő osztása:

)

2(j

2j

j

ez

e

ez

j

zπ

−ϕ

π⋅

ϕ

==

A j-vel történő osztás a vektor 90 o-os elforgatását jelenti a negatív szögek irányában. A komplex számokkal végzett matematikai műveletek során

előfordul az j

1 hányados. Számítsuk ki az értékét!

jj

1 tehát ,j

1

j

j

j

j

j

j

1

j

12

−=−=−−

=−

−=

−−⋅=

3.3.6. Egyszerű váltakozó-áramú villamos körök

Az eddig ismert kapcsolási elemek (generátor, ellenállás, önindukciós tekercs, kondenzátor) váltakozó áramú körben egészen különböző viselkedést mutatnak, mint egyenáram esetén. 3.3.6.1. Váltakozó mennyiségek összegzése

Az összegzés vonaldiagramban A váltakozó feszültséget előállító generátorok az egyenáramhoz hasonlóan sorosan, párhuzamosan és vegyesen kapcsolhatók. Részletesen csak a soros kapcsolással foglalkozunk (59. ábra), mert az összegzés ezen jól bemutatható.

59. ábra Váltakozó feszültségű generátorok soros kapcsolása

Szinuszos rezgések összegzésekor új rezgés keletkezik. Két rezgés találkozását majd összegződésük révén új rezgés kialakulását interferenciának nevezzük. Soros kapcsolásban a generátorok belső ellenállása és feszültsége összeadódik. Az összegzést most a pillanat-

értékekkel kell elvégezni, ami a végeredmény megállapítását nehezíti. Vonal diagram esetén ez úgy történik, hogy minden pillanatban megállapítjuk mindegyik feszültség pillanat értékének nagyságát és előjelét, majd az összetartozókat előjel helyesen összeadjuk.


28

60. ábra Azonos fázisú (a), fázissal eltolt (b), ellentétes fázisú (c) rezgések összegzése Azonos frekvenciájú szinusz rezgés esetén az eredő és szinusz, és a frekvencia is megegyezik az összetevők frekvenciájával. Érdekes esetet mutat a 60. c. ábra. A két feszültség ϕ = 180 o-kal tér el egymáshoz képest, ezért változásuk ellentétes irányú. Azokat a váltakozó mennyiségeket, amelyeknél a fáziseltolás ϕ = 180 o, ellentétes fázisúaknak nevezzük. Ha két ellentétes fázisú rezgés amplitudója azonos, az eredőjük nulla, a rezgések kioltják egymást.

A különböző frekvenciájú rezgések esetén az eredő eltér a szinusz hullámtól.

Összegzés vektor diagramban Vektor diagramban az összegzés sokkal egyszerűbben elvégezhető. Minden összeadandónak egy-egy vektor felel meg, amelynek hossza megegyezik az amplitudóval, irányát pedig a fázisszög határozza meg. A 60. ábra rezgéseit vektorosan a 61. ábra szemlélteti.

61. ábra A feszültségek vektoros ábrázolása

Azonos frekvencia esetén a két vektor együtt forog. Azonos fázis esetén (ϕ = 0o) a vektorok egy egyenesbe esnek és

azonos értelműek (a) ellentétes fázis esetén (ϕ = 180 o) is egy egyenesbe esnek, de ellentétes értelműek. (c)


29

Ha a rezgések között más értékű fázis eltérés van, akkor a vektorok ennek megfelelő szöget zárnak be egymással, de ugyanúgy együtt forognak (b). Különböző frekvenciák esetén olyan kettős vektordiagramot kell használni, amelynél a nagyobb frekvenciájú rezgéshez tartozó kör középpontja a kisebb frekvenciájú vektor végpontjában van. (62. ábra)

62. ábra Különböző frekvenciájú rezgések vektoros ábrázolása

Egyszerűsített vektordiagramban nem rajzoljuk le a kört, csak az amplitúdónak megfelelő hosszúságú vektorokat. Ha nincs fáziseltérés, az egyik vektor végéhez hozzámérjük a másikat. (63. ábra)

63. ábra Az azonos értelmű vektorok eredője

Ellentétes értelmű vektorok esetén hasonlóan járunk el, de az összegzés az ellentétes irány miatt kivonást jelent. (64. ábra)

64. ábra Az ellentétes értelmű vektorok eredője

Egymással tetszőleges ϕ szöget bezáró vektorokat paralelogramma módszerrel összegezzük. (65. ábra)

65. ábra A szöget bezáró vektorok eredőjének szerkesztése

Az összegzés nemcsak generátori feszültségekkel végezhető el, hanem sorba kapcsolt áramköri elemeken fellépő feszültségekkel, sőt a csomópontban elágazó áramokkal is. 3.3.6.2. Ellenállás a váltakozó áramkörben

Kapcsoljunk váltakozó feszültségű generátorra egy R ellen-állású fogyasztót.

65. ábra Ellenállás a váltakozó áramú körben A töltéshordozók sebességének nagysága és iránya a feszültség pillanatnyi értéke szerint fog változni, vagyis az áram is váltakozó lesz. Mivel az áram pontosan követi a feszültség változását, U és I között nincs fáziseltérés (ϕ = 0). Mondhatjuk, hogy az áram fázisban van a feszültséggel. Az R ellenállású fogyasztóban hő keletkezik akkor is, ha a töltéshordozók jobbra vagy balra mozognak, mert az anyag atomjaival mindkét esetben ütköznek, és mozgási energiájuk egy részét leadják. Az ohmos ellenálláson átfolyó áram

RIU R ⋅=

feszültségesést hoz létre. 3.3.6.3. Induktív ellenállás az áramkörben

Kapcsoljunk szinuszos váltakozó feszültséget szolgáltató generátorra egy ideális induktivitást. (66. ábra) A Lenz törvény értelmében az induktivitás az áram minden változására

t

ILU L ∆∆

= (87)

Önindukciós feszültséggel válaszol, amely a változás ellen hat.

66. ábra Az induktivitás a váltakozó áramkörben

Ebben az esetben ez azt jelenti, hogy olyan áramnak kell kialakulni, amely a változása révén minden pillanatban a generátor feszültségével megegyező nagyságú, szinusz feszültséget indukál. A (87) összefüggés differenciális alakja

dt

diLU L ⋅= (88)

Az áram szinuszos változását feltételezve, az áramot

komplex vektorral exponenciális alakba írva I = |I|·ejωt

Behelyettesítve az önindukciós feszültség egyenletbe és a műveletet elvégezve


30

IωjLejLIdt

)eI(dLU tj

tj

L ⋅⋅=⋅=⋅

= ωω

(89)

A feszültség és az áram között a kapcsolat most is lineáris, az I áram vektor azonban 90o-ot késik a feszültség vektorhoz képest, vagy azt mondjuk a feszültség siet 90 o-ot az áramhoz viszonyítva. (67. ábra)

67. ábra Az induktivátás árama és feszültsége

A váltakozó áramkörben a fázisszöget a feszültség és az áramerősség között értelmezzük és a fáziseltérést mindig az

áramhoz viszonyítjuk. Ha az áramhoz képest a feszültség előbbre tart (siet), akkor a fázisszög előjele pozitív. Az induktív fogyasztó fázisszöge ezért pozitív (+90 o).

Az induktív fogyasztó teljesítménye Egyenáramú körben a teljesítményt a P = U · I össze-függéssel határozzuk meg. Mivel váltakozóáramú körben általában fáziskülönbség van az áram és a feszültség között, ezért az U · I szorzat nagyobb értéket ad, mint amekkora a pillanatnyi teljesítmény. A teljesítmény pillanatértéke p = u i. A váltakozóáram teljesítményszámítás megértése céljából vizsgáljuk meg a tiszta Ohmos, induktív és kapacitív fogyasztók teljesítményviszonyait. (68. ábra)

68. ábra A teljesítmények időbeni változása a) Ohmikus, b) induktív, „Z” impedancia esetén

Az Ohmikus terhelés pillanatnyi teljesítménye (68. ábra)

tω2cosIUIU)tω2cos1(2

1IU2

tωsinIU22

tωsinItωsinUiup

2

00

⋅−⋅=−⋅=

=⋅⋅⋅⋅=

=⋅=⋅=

Az effektív teljesítmény P = U I Az áram és feszültség szorzata tiszta pozitív teljesítménygörbét ad. Egy tiszta induktív fogyasztó teljesítménye (68. ábra)

tω2sinIU

t2ωsin2

1IU22

tωsinI)90tωsin(Uiup 0o

0

⋅=

=⋅⋅⋅⋅=

=⋅+=⋅=

A pillanatnyi teljesítmény kétszeres frekvenciával változik,

tehát egy periódus alatt az eredő teljesítmény zérus. Amennyi teljesítményt az egyik fél periódusban felvesz az induktív fogyasztó a hálózatból azt a következő félperiódusban vissza is adja a hálózatnak. Az energia ide-oda leng a fogyasztó és az áramforrás között. A kapacitív fogyasztó pillanatnyi teljesítménye szintén kétszeres frekvenciával változik, időbeni átlaga zérus, hasznosítható részt nem tartalmaz, tisztán meddő teljesítmény. Ha a fázisszög nem nulla, de nem is 90o, akkor – amint ezt a 68. c. ábra is mutatja – a teljesítménygörbe alatti +wattos és –meddő terület összege + wattos teljesítményt eredményez.


31

Egy váltakozóáramú villamos fogyasztó a hálózatból olyan áramot vesz fel, amely ϕ fázisszöggel késik a feszültséghez képest. Az áram és a feszültség viszonyát a 69. ábra mutatja.

69. ábra A ϕ fázisszögű váltakozó áram és feszültség viszonya

Az áram két komponensre bontható. A feszültség irányába

eső áram komponenst (Iw wattos áramnak, míg a feszültség

irányára merőleges áramkomponenst (Im) meddő áramnak nevezzük. A wattos áram a hálózatból felvett áramnak az a komponense, amely a hasznos munkát végzi, a meddő áram jelen esetben a tiszta induktív terhelés árama, amely a meddő teljesítményt végzi. A 69. ábrából kitűnik, egy fogyasztó akkor kedvező, ha kis meddő áramhoz nagy wattos áram tartozik, vagyis ha a fázisszög kicsi. Ekkor ugyanis a hálózaton ténylegesen átfolyó eredő áram a látszólagos áram viszonylag kicsi. Ez azért fontos, mert a hálózati feszültségesés és vezetékveszteség ezzel az I árammal arányos. Az áramok a 69. ábra alapján

2

m2

wm

w

III

és cosII

+=

ϕ=

valamint a három között fennálló összefüggés

2

m2

w2 III +=

A háromféle áramerősségnek megfelelően háromféle teljesítményt különböztetünk meg. A hatásos, wattos teljesítmény [w] cosIUP ϕ⋅⋅= (90)

A meddő teljesítmény

[VAr] sinIUPm ϕ⋅⋅= (91)

Látszólagos teljesítmény

[VA] IUPl ⋅=

A gyakorlatban fázistényezővel, vagy más néven teljesítménytényezővel jellemzik a fogyasztókat. A fázistényező a fázisszög cosinusa (cosϕ). A háromféle teljesítmény vektorábráját a 70. ábra szemlélteti.

70. ábra A háromféle teljesítmény vektorábrája

Ebből a látszólagos teljesítmény értéke

2m

2l PPP +=

A teljesítménytényező:

lP

Pcos =ϕ

Komplex alakban értelmezve a teljesítmény vektorát, a látszólagos teljesítmény

ml jPPP +=

Minden olyan váltakozóáramú fogyasztó, amelyik üzeméhez mágneses fluxus fenntartása szükséges, meddő teljesítményt fogyaszt. Ilyenek a fojtótekercsek, transzfor-mátorok, aszinkron gépek, indukciós hevítők, fénycsövek. 3.3.7. Kapacitás váltakozó áramú körben

Az egyenáramú áramforrásra kapcsolt kondenzátor a bekapcsolás pillanatában igen nagy áramot vesz fel, amely fokoztosan nullára csökken. A kondenzátor feszültsége a bekapcsolás pillanatában nulla, feltöltött állapotban pedig a töltő áramforrás U feszültségével egyenlő. A kondenzátor az egyenáramot nem engedi át.

Váltakozó áramú körben a kondenzátor váltakozva feltöltődik és kisül. A szigetelésen (dielektrikum) a váltakozó-áram sem megy át, bár az ampermérő az állandó töltő-kisülő áramot mutatja.

A kondenzátor feszültsége:

tIQ a ahol ,C

QUC ⋅==

Váltakozóáram esetén a töltés az idő függvényében

változik.

dtiDQ ⋅=

A feszültség kifejezésbe helyettesítve:

C

dti

U

0t

0∫ ⋅

=

Az áram exponenciális komplex alakja: I = Iejωt

Behelyettesítve

Ij

1Iej

C

dteI

UC

tjC

10t

0

tj

C ⋅==∫ ⋅⋅

=ω

ω

ω

mivel j

j

1−=

IC

1jUC ⋅

ω⋅−= (93)

A feszültség arányos az áramerősséggel, vektora

azonban 90 o-kal késik az áraméhoz viszonyítva, mert az I vektor j-vel van szorozva.


32

71. ábra A kapacitás a váltakozó áramú körben

A 72. ábra a kondenzátor áramát és feszültségét ábrázolja

72. ábra A kondenzátor árama és feszültsége

Az ábrán látható, hogy a t

U

∆∆

és az áramerősség abban a

pillanatban a legnagyobb, amelyekben a feszültség görbéje metszi a t-tengelyt (a feszültség nulla), és a legkisebb akkor, amikor a feszültség pillanatértéke megegyezik az amplitudóval. Az áramerősség és a feszültség között most is 90 o-os fáziseltérés van, de most a feszültség késik az áramhoz képest. Az áram koszinusz görbe szerint változik, amely 90 o-kal a feszültség szinusz görbéje előtt van. Az áram sietését könnyebb megérteni, ha arra gondolunk, hogy a kondenzátoron csak akkor van feszültség, ha feltöltjük, vagyis töltéseket vezettünk be. A töltéseket viszont az áramerősség szállítja, amelynek ezért meg kell előznie a feszültség kialakulását. 3.3.8. Az általános Ohm törvény

Foglalja össze a váltakozó áramú körben vizsgált elemekkel kapcsolatos eredményeket! Az ohmos ellenállás egyen- és váltakozó árammal szemben egyformán viselkedik. Az áram és a feszültség fázisban vannak. Az effektív értékre egyúttal a pillanatértékekre is felírható az Ohm törvény.

R

UI R

R =

Az impedancia tiszta és valós RZ = Az önindukció és a kondenzátor váltakozó áram esetén látszólagos ellenállást mutat, ezeket induktív, illetve kapacitív reaktanciáknak nevezzük. Jelük XL és XC. Hatásukra az áram 90 o-ot késik vagy siet a feszültséghez képest. Ez az áram az ún. meddő áram.

ω=⋅ω⋅= LXinnen ,IjLU LL

ω=⋅

ω−=

C

1Xinnen ,I

C

1jU CC

valamint

LL jXjLZ =ω⋅= és

CC jXC

1jZ −=ω

=

A fentiek figyelembevételével kapjuk

IZU és IZU CCLL ⋅=⋅= kifejezéseket.

Ha a Z tetszőleges eredő impedanciára értelmezzük az

előbbi összeföggéseket, akkor U = I · Z összefüggést kapjuk, ami nem más, mint az

általános Ohm törvény.

3.3.9. A Kirchhoff-törvények váltakozóáramú körökben Kirchhoff csomóponti törvénye váltakozóáramok esetében az áramok pillanatnyi értékére igaz. Tudjuk, hogy a szinuszos váltakozó áram forgó síkvektorral ábrázolható, ahol a valós tengelyre vetített rész adja a pillanatértékeket, Ha valamely csomópontban több szinuszosan váltakozó áram találkozik (folyik be- és ki) és ezeket forgó síkvektorokkal ábrázoljuk, az eredő áramot vektoriális összegzéssel kapjuk meg. (73. ábra)

73. ábra A csomóponti áramok vektoriális összegzése

A vektoriális összegzés szabályai szerint a csomópontba futó áramok vektorális összege megegyezik a csomópontból kifutó vektor(ok) összegével. Az egyszerűbb átlátás kedvéért

csak I4 kifutó vektorral szemléltettünk a 73. ábrán. Hangsúlyozni kell, hogy ez csak akkor igaz, ha a váltakozás frekvenciája minden áramnál azonos és a forgó áram vektorok egymáshoz viszonyított helyzete nem változik. A szinuszos váltakozó mennyiségek eredője is szinuszos és az összetevőkkel azonos frekvenciájú. A Kirchhoff csomóponti törvénye a 73. ábra alapján a szinuszos mennyiségekre felírva a következő:

3214 IIII ++= , ami a pillanatnyi értékekre is igaz

3214 iiii ++=

A csomóponti törvény általános alakja:

∑ = 0I

A Kirchhoff második, huroktörvényének általánosításakor hasonlóan a csomóponti törvényhez, itt sem kell mást tenni, csak a pillanatértékekre alkalmazni a már ismert képletet. A huroktörvény általános alakja

∑ = 0U Szavakban, bármely hurokban a feszültségek vektoriális összege zérus, a vektorok záródó vektorsokszöget alkotnak. A huroktörvény felírása során ügyelni kell arra, hogy az ohmos,


33

induktív és kapacitív feszültségesések vonatkozási irányainak meg kell egyezni a rajta átfolyó áram irányával.


34

3.3.10. Összetett váltakozóáramú körök

Az impedanciák váltakozóáramú körben rendszerint nemcsak egyedül vannak, az ellenállásokhoz hasonlóan kapcsolhatók sorosan, párhuzamosan és vegyesen. 3.3.10.1. Az impedanciák soros kapcsolása, a soros RLC áramkör

Ebben a kapcsolásban mind a három áramköri elem megtalálható. (74. ábra)

74. ábra A soros RLC kapcsolás

A soros kapcsolásban az ellenállásokon azonos

nagyságú és irányú áram folyik, amely rajtuk UR, UL, UC feszültségesést okoz, és Kirchhoff II. törvénye értelmében a feszültségesésnek vektoriális összege egyenlő a kapocs-feszültséggel. A feszültségesések az általános Ohm törvény szerint:

IC

1jU

IjLU

RIU

C

L

R

⋅ω⋅

−=

ω=⋅=

Az eredő feszültség

)C

1jjLR(I

IC

1jIjLRIUUUU CLR

ω−ω+=

=ω

−⋅ω+⋅=++=

Az egyenletben szereplő I együtthatója az eredő

impedancia, amit Z-vel jelölünk.

)C

1L(jRZ

ω−ω+= (94)

Az eredő impedancia értelmezése ismét az általános Ohm

törvényhez vezet ZIU ⋅=

Az eredő impedancia nem más, mint a részimpedanciák összege

Z n321 Z....ZZZ ++=

Az eredő impedancia szerkesztéssel is meghatározható.

(75. ábra)

75. ábra Az eredő impedancia szerkesztése

A koordináta rendszerbe a pozitív valós tengelyre az R ohmos ellenállást, a képzetes tengelyre +j irányba az XL = Lω

induktív reaktanciát, majd –j irányba az ω⋅

=C

1XC kapacitív

reaktanciát mérjük fel. A Z eredő szerkezete a 75. ábrán jól látható. A Z eredő vektor abszolút értéke:

2CL

2 )XX(RZ −+=

A Z valós tengellyel bezárt szöge, az ún. impedancia belső szöge, ami nem más mint az áram és a feszültség közötti fázisszög. Kifejezi, hogy a Z impedancia hatására az áram hány fokkal siet vagy késik a feszültséghez képest. A fázisszög a 75. ábra jelölései szerint:

Z

Rcos =ϕ

Mind az induktív, mind a kapacitív reaktancia (XL; XC) az ω-tól is függ. Az ω viszont frekvenciafüggő, hiszen

fπ2=ω Ebből levonható az a következtetés, hogy a Z nagysága és fázisszöge frekvenciafüggő. Mivel az egyenfeszültségen (0Hz) az induktív reaktancia nulla, ezért az induktivitás rövidzárként viselkedik. A kapacitív reaktancia viszont végtelen (0Hz), ezért nem vezet, szakadásként viselkedik. Az eredő feszültség (kapocsfeszültség) nemcsak az általános Ohm-törvény (U = I· Z) alkalmazásával, hanem Kirchhoff II. törvényének felhasználásával és vektoros szer-kesztéssel meghatározható. Kirchhoff II. törvénye értelmében az eredő feszültség egyenlő a részfeszültségek vektoriális összegével.

CLR UUUU ++=

Vektoros összegzéssel a következőképpen határozható meg a soros impedancia eredő feszültsége. A szerkesztés előtt rögzíteni kell az áram irányokat. A feszültségesés irányának meg kell egyezni az áram irányával. Soros kapcsolásnál az áram minden tagon azonos, ezért először az áramvektort vegyük fel. Mivel az áram forgóvektor, tetszőleges irányt választhatunk, pl. a valós tengely irányát. Ezzel rögzítettük a feszültségek helyzetét is.

Az UR ohmos feszültségesés az árammal fázisban van, nagysága (UR = I R) számítható.

Az UL induktív feszültségesés 90o-ot siet az áramhoz viszonyítva, nagysága, vagyis abszolút értéke


35

ILU L ⋅ω⋅=

Az UC kapacitív feszültségesés 90o-ot késik az áramhoz képest, ami az

IC

1UC ω

= összefüggéssel számolható.

A vektorábra szerkesztését Kirchhoff II. törvényét figyelem-bevéve megkapjuk az eredő feszültséget. (76. ábra)

76. ábra Az eredő feszültség meghatározása

A szerkesztés eredménye azt mutatja, hogy a kapcsolás eredője induktív jellegű, mivel az áram késik a feszültséghez képest. Az áram és a feszültség közötti fázisszög értéke

U

Ucos R=ϕ

A feszültség abszolút értékét a Phytagorasz tétellel számíthatjuk ki.

2CL

2R )UU(UU −+=

Felmerülhet az a kérdés, hogy milyen nagyságú áram és feszültség forgóvektorokat vegyünk fel. Általában a villamos mennyiségek pillanatértékeinek ismerete nem fontos, csak az effektív vagy csúcs értéke, és az egymáshoz viszonyított fázishelyzete, ezért a forgóvektorokat megállítva vizsgálhatjuk. 3.3.10.2. Az impedanciák párhuzamos kapcsolása

77. ábra A párhuzamos RLC-kapcsolás

A párhuzamos impedanciákon a feszültség azonos U, amely rajtuk IR; IL; IC nagyságú áramot hajt át. Kirchhoff I. törvénye értelmében a részáramok vektorális összege egyenlő a főárammal. Az ágáramok Ohm törvénye szerint:

R

UIR =

ω⋅

=jL

UIL

ω⋅−

=

C

1j

UIC

Az eredő áram

e

CZR Z

UI vagy IIII =++=

Behelyettesítve az ágáramokat

ω⋅−

+ω⋅

+==

c

1j

U

jL

U

R

U

Z

UI

e

U-val egyszerűsítve

ω⋅+ω⋅

+= jCjL

1

R

1

Z

1

e (95)

Az összefüggést általánosítva párhuzamos kapcsolásnál az eredő impedancia reciprokát a részimpedanciák reciprokának összege adja.

n321 Z

1.....

Z

1

Z

1

Z

1

Z

1+++=

Az eredő impedancia belső szöge ebben az esetben is az U feszültség és I főáram közötti fázisszöget jelenti. Az eredő impedancia nemcsak számítással, hanem szerkesztéssel is meghatározható. Párhuzamos kapcsolásnál a feszültség minden tagon azonos, ezért célszerű először a feszültségvektort felvenni a valós tengely irányába. (78. ábra)

78. ábra Az eredő áram szerkesztése

Az IR valós áram a feszültséggel fázisban van, az IL induktív áram 90o-ot siet a kapocsfeszültséghez viszonyítva. Az I eredő áramot a részáramok vektoriális összegzésével kapjuk meg. A vektorábra alapján az eredő effektíváram abszolút értékét a Phytagorasz-tétellel számíthatjuk ki:

2CL

2R )II(II −+=

A szerkesztés azt mutatja, hogy az áram ϕ szöggel késik a feszültséghez képest. Az áram és a feszültség közötti fázisszög értéke

I

Icos R=ϕ


36

3.3.11. Rezgőkörök

Ha induktív és kapacitív impedanciákat sorosan, vagy párhuzamosan kapcsolunk az L és a C tagok frekvenciafüggő viselkedéséből arra következtethetünk, hogy található egy olyan frekvencia, ahol UL = UC. Ezt nevezzük feszültség-rezonanciának, az áramkört pedig soros rezgőkörnek. A rezgőkör jellegzetes módon viselkedő áramkör, melyet az elektronikában nagyon gyakran alkalmazunk.

79. ábra A soros rezgőkör

A 79. ábra egy soros rezgőkört mutat. A rezgőkörbe ohmos ellenállást nem építenek be, jelenlétével számolni kell az induktív és a kapacitív elem veszteségei miatt, vagyis a gyakorlatilag L és C tagból álló rezgőkört elvileg három tagból állónak vesszük. Rezonanciakor UL = UC. vagyis

0UU CL =−

ezért U = UR és a ϕ = 0

80. ábra A soros rezgőkör elvi vázlata

Az UL = UC feltétel az azonos áram miatt XL = XC fennállásával teljesül. Ebből következik, hogy rezonciakor XL – XC = 0 és Z = R és ϕ = 0. Feszültség rezonanciakor a soros áramkörben az L és C elemek egymás hatását kioltják, ezért az áramkör ohmos ellenállásként viselkedik. A feszültség rezonanciához tartozó frekvenciát rezonancia frekvenciának nevezzük, amelyet fo-val vagy fr-rel jelölünk. Rezonanciakor XL = XC, vagyis

Cf2

1Lf2

⋅⋅π=⋅π

Az egyenletet f-re rendezve kapjuk az fo rezonencia frekvenciát.

CL2

1fo

⋅π= (96)

Az összefüggést felfedezőjéről Thomson angol fizikusról Thomson képletnek nevezzük. A soros rezgőkör impedanciájának és fázisszögének változását a 81. ábrán látjuk.

81. ábra A soros rezgőkör impedanciájának és fázisszögének változása

A soros rezgőkört a rezonancia frekvenciájával megegyező frekvencia kiválasztására vagy kiszűrésére használjuk. A kiválasztás azt jelenti, hogy a sokféle frekvencia közül csak egyet használunk fel, a kiszűrés pedig azt, hogy a rezonancia frekvencia kivételével az összes frekvenciát megtartjuk és felhasználjuk. A párhuzamos rezgőköröknél az L és C tagok pár-huzamosan vannak kötve. A soros rezgőkörben mind a három tag szerepel, így a párhuzamos rezgőkörök esetén is mind a három tagot beépítjük az elméleti vizsgálathoz.

82. ábra A párhuzamos rezgőkör elvi vázlata

Az IR fázisban van a feszültséggel, az IC ehhez képest 90o-

ot siet, az IL pedig ugyanannyit késik. A rezonancia most is XC = XL esetén teljesül, ezért a rezonanciafrekvencia levezetésekor ismét a Thomson képletet kapjuk.

CL2

1fo

⋅π=

A párhuzamos rezgőkör impedanciájának és fázisszögének változása a 83. ábrán látható


37

83. ábra A párhuzamos rezgőkör impedanciájának és fázisszögének változása

Rezonanciakor legnagyobb a párhuzamos rezgőkör impedanciája. Ez a rezonancia-ellenállás: Z = R. A fázisszög ekkor nulla, az áramkör ohmos jellegű. A rezonanciafrekvencia alatt az áramot az induktivitás határozza meg, ezért itt az áramkör indutkív jellegű, a rezonanciafrekvencia felett pedig a kapacitás. Éppen fordítva van mint soros rezgőkörnél. A párhuzamos rezgőkört a soros rezgőkörhöz hasonlóan bizonyos frekvenciák kiválasztására illetve kiszűrésére használjuk. A párhuzamost azonban gyakrabban. Párhuzamos rezgőkör alkotja pl. egy rádióvevő állomásválasztóját, amely az antennán beérkező jelek, sokféle rezgés közül a nekünk megfelelőt választja ki. Kérdések:

1. Hogyan állítható elő a szinuszosan váltakozó feszültség?

2. Határozza meg a szinuszosan váltakozó mennyi-ségek középértékeit!

3. Mi a vonaldiagram? 4. Fogalmazza meg a vektor diagramot! 5. Jellemezze a hatásos ellenállást váltakozó áramú

körben! 6. Hogyan viselkedik az induktív ellenállás váltakozó

áramú körben? 7. Mi a kapacitív reaktancia? 8. Határozza meg az eredő impedanciát soros R L C

áramkörben! 9. Határozza meg az eredő impedanciát párhuzamos

R L C áramkörben! 10. Fejtse ki a rezgőkör lényegét!

Feladatok:

1. Mekkora az áramkör eredő ellenállása, ha az R = 37 Ω-os ellenállás sorba van kapcsolva az L = 0,5 H induktivitású tekerccsel 50 Hz frekvencián?

( Z = 161,3 Ω)

2. Mekkora a látszólagos, a hatásos és az induktív

ellenállása annak a tekercsnek, amelyen 220 V

váltakozó feszültség hatására Ivált= 1 A, és az

akkumulátor 4 V-os feszültsége hatására Iegy = 0,2 A folyik át? (Z = 220 Ω, R = 20 Ω, XL = 219 Ω)

3. A soros áramkört R = 5 Ω-os hatásos ellenállás, L = 14 induktivitású tekercs, C = 4µF kapacitású kondenzátor és U = 50 V (f = 50 Hz feszültségű váltakozó áramú áramforrás alkotja. Számítsuk ki az eredő ellenállást, az áramkör áramát és az egyes ellenállásokon fellépő feszültségeséseket!

(Z = 482 Ω; I = 0,103 A; UR = 0,515 V; UL = 32,34 V;

UC = 82 V)

Példa: Az U= 230 V (f = 50 Hz) váltakozófeszültségű hálózatra kapcsolt elektromágnes tekercsén átfolyó áram 2 A. Mekkora a tekercs hatásos ellenállása R = 21 Ω? Mekkora a tekercs induktivitása, a ϕ fáziseltolódás és a teljesítménytényezője?

A látszólagos ellenállás (impedancia):

Ω=== 1152

230

I

UZ

2

L22 XRZ +=

2

22222L

1278444113225

21115RZX

Ω=−=

=−=−=

Az induktív ellenállás:

Ω≅= 11312784X L

314

XLf2LLX L

L =⇒π⋅=ω⋅=

mH 360H 360,0314

113L ===

A cosϕ teljesítménytényező az ellenállás háromszögből:

191,0110

21

Z

Rcos ≈==ϕ

191,0cos =ϕ

'1079o=ϕ

4. A háromfázisú áramrendszer

38

4. A HÁROMFÁZISÚ ÁRAMRENDSZER

A villamos energia kisebb távolságú átvitelére és a kisebb teljesítményű egyfázisú berendezések táplálására az egyfázisú rendszer általában jól bevált, de már villamos motorok hajtására kevésbé alkalmas. Erre a többfázisú rendszereket alkalmazzuk. Ezek közül is – szembetűnő előnyeinél fogva – a háromfázisú rendszer terjedt el leginkább, mert ez a rendszer még ott is biztosíthat gazdasági előnyöket, ahol nem kell igazodni a motorhajtás különleges követelményeihez.

A napjainkban mind nagyobb szerepet játszó teljesítmény elektronika is túlnyomórészt többfázisú (3, 6, 12) berendezéseket alkalmazza jobb hatásfokuk és az egyen-irányításnál jelentkező előnyük miatt. A tantárgy keretében az alkalmazási gyakoriság és az áttekinthetőség követelményeinek megfelelően a háromfázisú rendszert tárgyaljuk részletesen.

4.1. A háromfázisú rendszer felépítése Egy egypóluspárú homogén mágneses térben forgassunk teljesen egyforma, egymástól 120o-kal elforgatott és egymáshoz képest rögzített keretet állandó szögsebességgel.

84. ábra A háromfázisú feszültség előállításának elve

Ebben az esetben mindegyik keretben azonos frekvenciájú és csúcsértékű, de egymástól 120o-kal eltolt szinuszos feszültség indukálódik. Ugyanerre az eredményre jutnánk, ha a keretet rögzítjük és a mágneses teret forgatjuk. Az álló armatúra különösen nagyfeszültségű és nagyteljesítményű

gépek üzemében nyújt jelentős szerkezeti előnyöket és ugyanakkor nagyobb biztonságot is, mert feleslegessé teszi a termelt villamos energia kivitelezését keféken és csúszó-gyűrűkön keresztül. Gyakorlatban természetesen nem egy menetből áll a keret, hanem többmenetű tekercsekből. Ha a homogén mágneses térben három egymással 120o-os szögben elhelyezett vezetőkerekeket (tekercseket) forgatunk, akkor mindegyikben szinuszos feszültség keletkezik. Az egyes keretekben indukált feszültségek közötti fáziseltérés akkora, mint a keretek egymással bezárt szöge. Jelen esetben 120o. Az egyes fázistekercsekben indukált feszültség egyenletei:

tsinUU 01 ω=

)120tsin(UU o02 −ω=

)240tsin(UU o03 −ω=

Ha a fázistekercsekre külön-külön azonos nagyságú R ellenállást kapcsolunk, megindul a szinuszos váltakozó áram, amelyek a feszültséggel fázisban vannak, és egymáshoz képest 120o-os fáziskésést mutatnak. A fázisáramok egyenletei

)240tsin(Ii

)120tsin(Ii

tsinIi

o03

o02

01

−ω=

−ω=

ω=

Természetesen ugyanígy igaz ez általános Z impedanciájú terhelés esetében is, akkor azonban a feszültség és az áram között fáziseltolódás van.

)240tsin(Ii

)120tsin(Ii

)tsin(Ii

03

o02

01

ϕ−−ω=

ϕ−−ω=

ϕ−ω=

4.2. Csillagkapcsolás Kössük össze a három fázistekercs azonos végét (pl. a kezdőpontjait) egy pontba, amit nevezzünk csillagpontnak és a másik három végéhez kapcsoljunk ellenállásokat. (85. ábra)

85. ábra A csillagkapcsolás


39

Az összekapcsolás feltétele, hogy a Kirchhoff csomóponti törvényeinek teljesülni kell, azaz a csillagpontban az áramok összegének zérust kell eredményezni.

0iii 321 =++

Az egyes áramok Ohmos terhelés esetén:

)240tsin(Ii

)120tsin(Ii

tsinIi

o3

o2

1

−ω⋅=

−ω⋅=

ω⋅=

Ezeket az értékeket a kiinduló egyenletekbe behelyettesítve, és a trigonometriai műveleteket elvégezve igazolható, hogy a kifejezés baloldala valóban zérus. A kapcsolás tehát ilyen formában elvégezhető, ezáltal sem az áramokban, sem a feszültségekben változás nem áll be. Ez az állapot csak szimmetrikus terhelés esetén lehet-séges. Aszimmetrikus terhelés esetén az egyes fázisokban folyó áramok és feszültségek nagysága nem lesz azonos. Mivel az áramok összegének feltétlenül zérust kell adni, ezért a két csillagpontot nullavezetővel szokásos összekötni. Így aszim-metrikus terhelés esetén kiegyenlítő áram folyik, ami a feszültségek lényeges eltérését meggátolja. Vizsgáljuk meg a csillagkapcsolás feszültségviszonyait! Mint az a 86. ábrán látható, a csillagkapcsolás négyvezetékes rendszert alkot.

86. ábra A csillagkapcsolás feszültségviszonyai

Az egy fázistekercsben indukálódott feszültség, valamilyek (R, S, T) vezető ún. vonal és a csillagponthoz csatlakozó nullavezető között mérhető. Ezt a feszültséget nevezzük

fázisfeszültségnek. (Uf). A két vonal között is mérhetünk feszültséget. Ezt a feszültséget vonalfeszültségnek (Uv) nevezzük, amelynek nagyságát legegyszerűbben a vektorábra segítségével határoz-hatjuk meg. (87. ábra)

87. ábra A vonali feszültség vektorábrája

A 87. ábrán bejelölt Uv feszültség a huroktörvény alapján az RS körre Uv = U1 – U2. A vonalfeszültséget a két fázis-feszültség vektorális különbsége adja. Az eredő vektor szerkesztése a 87. ábra szerint végezhető el. Látható, hogy az eredő vonali feszültséget az U2 végpontjából az U1 végpontjáig húzott vektor adja. Ennek nagysága a vektorháromszögből

11o

12,1 U32

3U260sinU2U ===

mivel

f321 UUUU ===

v3,13,22,1 UUUU ===

A két vonal között mérhető vonalfeszültség értéke

fv U3U = (97)

Ugyanezt a két mennyiséget használjuk az áramoknál is. A fázistekercsekben a fázisáram, a három vonalban pedig a vonaláram folyik. Könnyű belátni, hogy a csillagkapcsolásban a kettő megegyezik

fv II = (98)

A 88. ábrán egy Z impedanciával szimmetrikusan terhelt csillagkapcsolás áram és feszültségviszonyai láthatók.

88. ábra A Z impedanciával szimmetrikusan terhelt csillag kapcsolás


40

4.3. A háromszögkapcsolás A három fázistekercset most úgy kapcsoljuk össze, ahogy a 89. ábra mutatja.

89. ábra A delta kapcsolás

Az összekapcsolás feltétele, hogy az ABCA körre Kirchhoff huroktörvénye teljesüljön.

Vagyis .0UUU 321 =++

Mivel a feszültségek hasonlóan az áramokhoz 120o-kal vannak eltolva matematikailag igazolható, hogy a feltétel valóban teljesül, vagyis a tekercsek a 89. ábra szerint összekapcsolhatók. Egyszerűen belátható, hogy a fázisfeszültség megegyezik a vonalfeszültséggel

fv UU = (99)

Az áramok esetében fázis és vonaláramról beszélhetünk. A vonaláram Kirchhoff első törvénye az 1 csomópontra

21v III −=

A vonaláramot a fázisáramok vektoriális különbsége adja. A vektorábrából a vonaláram nagysága a 90. ábra szerint meghatározható.

90. ábra A vonali áram vektorábrája

111v I 3Z

3ZI60sinIZI =⋅=⋅⋅=

Mivel

f321 IIII ===

A vonaláram:

fv I 3I = (100)

Az áram- feszültség vektorábra a 88. ábra elvei alapján a deltakapcsolásra is lerajzolható. Az eddigieket összefoglalva

csillagkapcsolásnál

fv U 3U =

fv II =

háromszög-kapcsolásnál

fv UU =

fv I 3I =

4.4. A háromfázisú rendszer teljesítménye A teljesítmény egyfázisú váltakozóáramú körben:

ϕ⋅⋅= cosIUP ff

A háromfázisú rendszerben egy fázis teljesítménye

ffff cosIUP ϕ⋅⋅=

A három fázis összes teljesítménye szimmetrikus terhelés

esetén

ffff3 cosIU3P ϕ⋅⋅=

Mivel a vonalmennyiségek könnyebben mérhetők, mint a fázismennyiségek, a kifejezést célszerű átírni vonalértékre.

Csillagkapcsolás esetén:

fv U 3U = ebből 3

UU v

f =

és fv II =

Ezeket behelyettesítve:

ϕ⋅⋅=ϕ⋅⋅= cosIU3cosI3

U3P vvfv

vf3 (101)

Háromszögkapcsolásnál

fv UU = 3

II v

f =

Behelyettesítve

ϕ⋅⋅=ϕ⋅= cosIU3cos3

IU3P vv

vvf3

Függetlenül attól, hogy milyen kapcsolásról van szó, a

teljesítmény kifejezés azonos. Az összefüggésben a ϕ a fázismennyiségekre vonatkozik. A háromfázisú szimmetrikus terhelés teljesítményeit összefoglalóan az alábbi össze-függéssel számolhatjuk:

Hatásos (wattos) teljesítmény: ϕ⋅⋅⋅= cosIU3Pn (w)

Meddő teljesítmény: ϕ⋅⋅= sinIU3Pm (VAr)

Látszólagos teljesítmény: IU3Pl ⋅= (VA)


41

4.5. Fázisjavítás

Meddőfogyasztók, meddőforrások

A hatásos teljesítmény mindig az energiaforrástól az energiafogyasztó felé áramlik. Ezen elv alapján tehát a hatásos energia-fogyasztót az energia áramlási iránya szerint egyértelműen megkülönböztethetjük a hatásos energia-forrástól. A fogyasztókon átfolyó áram iránya megegyezik a feszültségesés irányával, hiszen a feszültség hozza létre az áramot, s a villamos rendszer ezzel adja le energiáját egy másik rendszernek. Az energiaforráson belül az áram iránya a feszültségével ellentétes, mert itt egy más, legtöbbször mechanikai rendszer legtöbbször azáltal ad át energiát a villamos rendszernek, hogy az áramot a feszültséggel ellentétes irányba kényszeríti. (91. ábra)

91. ábra A hatásos teljesítmény feszültség és áram irányai

A meddő energia tulajdonképpen hatásos energia lengése a forrás és a fogyasztó között, ebből következően a meddőáramlás iránya fiktív, csupán megállapodás kérdése. Gyakorlatban az induktív jellegű áramköri elemeket meddőfogyasztóknak, a kapacitív jellegűeket pedig meddő-forrásoknak nevezzük. Ezek alapján tehát váltakozó áramú körökben meddőfogyasztók mindazok az áramátjárta vezetők, amelyek maguk körül számottevő mágneses teret keltenek, így különösen a vasmagos tekercsek, transzformátorok, forgó-gépek, szabadvezetékek, gázkisüléses fényforrások, egyen-irányítók. Váltakozó áramú körökben meddőforrások a számottevő kapacitású berendezések, pl. kondenzátorok, kábelek, túl-gerjesztett szinkrongépek. A villamos rendszerekben a meddő energia éppen úgy nem tárolható, mint a hatásos energia, ennek megfelelően minden időpillanatban ugyanannyi meddő energiát kell termelni, mint amennyit a fogyasztók elfogyasztanak. Mivel a meddő energia tárolására sincs ugyanúgy lehetőség mint a hatásos energia esetében, ezért a meddő-források (rendszerint kapacitív jellegű) bekapcsolására az igény fellépése esetén van szükség. Ezt megoldhatják a generátorok önműködő gerjesztés szabályozásával, meddő források szük-ség szerinti ki-, be kapcsolásával illetve egyedi kompenzá-cióval. A konkrét megoldásokat üzemi ismeretek és villamos tarifák ismeretében célszerű megválasztani. K é r d é s e k : 1. Ismertesse a háromfázisú rendszer felépítését! 2. Fogalmazza meg a csillaqkapcsolás lényegét! 3. Elemezze a csillagkapcsolás feszültségviszonyait! 4. Csillagkapcsolásban hogyan alakul a fázis- és a vonal-

áram? 5. Fogalmazza meg a háromszögkapcsolás lényegét! 6. Elemezze a delta kapcsolás áramviszonyait! 7. Delta kapcsolásban hogyan alakul a fázis- és a vonal-

feszültség? 8. Hogyan számítja ki a wattos teljesítményt? 9. Milyen összefüggések alapján számítja a meddő és

látszólagos teljesítményt? 10. Fogalmazza meg a fázisjavítás lényegét!

Feladatok: 1. Mekkora az aszinkron motor teljesítménye csillag- illetve

háromszög-kapcsolásban, ha a vonali feszültség

Uv = 400 V és a vonali áram Iv = 20 A? A teljesítménytényező cosϕ = 0,7. A voltmérő és az

ampermérő az effektív vonali feszültséget és áramot méri.

)kW 7,9pp( =−∆ f

2. A háromfázisú négyvezetős (R-S-T-N) hálózatban az

izzólámpákat a fázisok és a nulla vezető közé, míg a motorokat a három fázisra kötjük. Mindegyik fázist 100 db 40 W-os izzólámpa és 10 db 5 kW teljesítményű motor terheli. Mekkora a szinkron generátor hatásos teljesít-ménye, ha a hálózat teljesítmény-tényezője cos ϕ = 0,8?

Mekkora az áram a nulla-vezetőkben? Mekkora a fázisáram

és a vonali áram, ha a vonali feszültség Uv = 400 V?

(PG = 62 kW, PL = 77,5 kW, Iv = 0 A, Iv = If = 111,861 A)

3. Egy soros R – L taggal mekkora C kondenzátort kell

párhuzamosan kötni, hogy cos ϕ jav = 0,9 legyen?

R = 8 Ω; L = 15 mH; U = 230 V (C = 27,693 µF) Példa: Az alábbi ábra szerint az S fázist az 500 W-os rezsó, a T fázist a 60 W-os izzólámpa és mindhárom fázist a 2 kW teljesítményű és cosϕ = 0,7 teljesítménytényezőjű motor, valamint a 3 kW

teljesítményű takaréktűzhely terheli. Mekkora a fogyasztók meddő hatásos és látszólagos teljesítménye? Mekkora az egyes fázisok árama, ha a hálózatban a vonali feszültség

Uv = 400 V?

A fogyasztók hatásos teljesítménye:

kW 56,5W 55603000200060500Pf ==+++=

A motor látszólagos teljesítménye:

VA 28577,0

2000

cos

PP M

LMOT ==ϕ

=

A motor meddő teljesítménye

var20007,02857sinPP LMOTM =⋅=ϕ⋅=

A többi fogyasztó meddő teljesítménye nulla. A fogyasztók eredő látszólagos teljesítménye:

kVA 92,592,5256,5PPP 222M

2FLFO ==+=+=

A rezsó árama


42

A 17,2230

500

3

U

P

R

UI

v

R

R

FR ====

Az izzólámpa árama:

A 27,0220

60

U

PI

f

ii ===

A takaréktűzhely áramát a háromfázisú teljesítmény képletéből számítjuk ki cosϕ = 1 figyelembevételével (csak hatásos

jellegű terhelés!):

⇒⋅⋅=ϕ⋅⋅⋅= rvTvT IU3cosIU3P

A 56,43803

3000

U3

PI

v

Tr =

⋅=

⋅=

A motor árama:

A 34,43803

2857

U3

P

cosU3

PI

v

LMOT

v

MM =

⋅=

⋅=

ϕ⋅=

A motor hatásos árama:

A 038,37,034,4cosII MMH =⋅=ϕ⋅=

A motor meddő árama:

A 099,37141,034,4sinII mMm =⋅=ϕ⋅=

Az R fázis vezetőjében folyik a motor és a takaréktűzhely árama:

A 60,756,4038,3III TMURU =+=+=

A 0992,3II MmRm ==

A 2,8III 2Rm

2RhR =+=

Az S fázis vezetékében a motor, rezsó és takaréktűzhely áram folyik:

87,956,427,2038,3Ish =++= A

A 099,3Ism =

A 345,10III 2sm

2shs =+=

A T fázis vezetékében a motor, az izzólámpa és a takaréktűzhely árama folyik:

A 87,756,427,0038,3ITU =++=

A 099,3ITm =

A 45,8III 2Tm

2TUT =+=

1. Áramlástani alapismeretek 43

Szolnoki Főiskola Műszaki és Mezőgazdasági Fakultás...

Documents

Transcript of Szolnoki Főiskola Műszaki és Mezőgazdasági Fakultás...