INDEX DES NOTATIONS

fl(xo), fd(xo), f;(~o), Df(xo): 1, P. 12 f', f,, f,, Df, dfldx: 1, p. 13 Dnf(x,), f(")(x0) : 1, p. 28 Dnf, f'"): 1, p. 28

f(t)dt, Szo f : II, p. 8

lXo f(t)dt7 lxo f : 11, p. 8 h(t) l",: II, p. 9 1; f: II, p. 13

SI f ( t ) dt: II, p. 15 e, exp x ( x réel) : III, p. 2 log x (x réel > 0) : III, p. 2 n: III, p. 4 cos x, sin x (x réel) : III, p. 5 tg x, cotg x, sec x, cosec x: III, p. 5 Arc sin .x, Arc cos x, Arc tg x: III, p. 5 e', exp (z) (z complexe) : III, p. 7 log z (z complexe non situé sur le demi-axe réel négatif) : III, p. 10 cos z, sin z, tg Z, cotg z ( Z complexe) : III, p. 12 ch x, sh x, th x: III, p. 12 Arg sh x, Arg ch x, Arg tli x : III, p. 13

(:) (m réel, n entier > 0) : III, p. 18

eA, cxp A (-4 endomorphisme continu d'un espace norme) : IV, p. 27 = p ( 6 , V), R,, yfm (a, V) : V, p. 2 f +- g, fh, J/f 11, fg (f, g fonctions dc X (5, V)) : V, p. 3 f < g, g > f (,f et g fonctions nurnériquîs 2 0) : V, pl 3 fi < fi, f, 2 fl (fl fonction dc X(5 , V,), f, fonction de T(5, V,)): V, p. 3 f x g : V , p . 3 f « g, g » f (f et g fonctions numériqucs 3 0) : V, p. 5 fl « f2, f2 » f, (f, fonction de If($, VI), f, fonction de X (8, V,)) : V, p. 5 f N g: V, p. 6 O(f ), Qdf 1, o(f ), o d f 1 : V, S. 9 Zox7 Z,x: V, p. 19 ~ ( y ) (iY corps de Hardy) : V, p. 38 e~ (x) 7 : V, p. 41

3 akDk: VI, p. 4 k = O

B,(x) : VI, p. 7 6,: VI, p. 7 u% (f ( 4 ) ) : VI, p. 9 F(x) (x réel) : VII, p. 7 B(x, y) : VII, p. 8 r (z ) (z compIexe) : VII, p. 10.

INDEX TERMINOLOGIQUE

Absolument convergente (intégrale -) : II, p. 18 Accroissements finis (théorème des -) : 1, p. 23 Adjonction à un corps différentiel d'une racine d'un polynôme, d'une primitive, d'une

exponentielle de primitive: III, p. 28, exerc 25. Adjointe (équation -) d'une équation différentielle linéaire: IV, p. 25 Appel1 (polynômes d' -) : VI, p. 5 Approchée (solution ?) à c prèsd'une équation di-ffé~entielle: IV, p. 4- - - - - - -

~ S ~ m ~ t o t i ~ u e (développement -) : voir Développement asymptotique Au-dessous (point -) d'un graphe: 1, p. 32 Au-dessus (point -) d'un graphe: 1, p. 32

Bernoulli (nombres de -) : VI, p. 7 Bernoulli (polynômes de -) : VI, p. 7 Binôme (formule du -, série du -) : III, p. 18

Caractère local (relation de -) : V, p. 2 CaractCristiques (racines -) d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants:

IV, p. 30 Cauchy (critère de -) pour les intégrales: II, p. 16 Cauchy (critère de convergence de -) : V, p. 28 Cauchy (théorème de -) : IV, p. 10 Cauchy-Maclaurin (critère de convergence de -) : V, p. 27 Changement de variables (formule de -) : II, p. 1 1 Coefficients d'un développement asymptotique: V, p. 12 et p. 17 Coefficients binomiaux: III, p. 18 Comparables (fonctions -) : V, p. 7 Comparables d'ordre k (fonctions -) : V, - p. - 22 - - - - - - - - - - - - -

- - Comparaison (échelle-de L) i V,-p. 1 0 Compléments (relation des -) : VII, p. 12 Concave (fonction -) : 1, p. 35 Condition de Lipschitz.: IV, p. 7 Congruences de Kummer: VI, p. 25, exerc. 9 Constante d'Euler: V, p. 32 Convergente (intégrale -) : II, p. 14 Convexe (fonction -) : 1, p. 32 Corps de Hardy: V, p. 36 Corps différentiel: III, p. 28, exerc. 25 Cosécante: III, p. 5 Cosinus d'un nombre complexe: III, p. 12 Cosinus hyperbolique: III, p. 12 Critère de Cauchy pour les intégrales: II, p. 16 Critère de convergence de Cauchy: V, p. 28 Critère de convergence de Cauchy-Maclaurin: V, p. 27 Critère de convergence de d'Alembert: V, p. 35 Critère de convergence d'Ermakoff: II, p. 34, exerc. 8 Critère de convergence de Raabe: V, p. 34 Critères de convergence de seconde espèce: V, p. 34

- - Crit2resdecowergenee legarithmiquesponr les intégrales: V, p. 19 - - - - - - -

FVR VII. 28 FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

Critères de convergence logarithmiques pour les séries: V, p. 28

D'Alembert (critère de convergence de -) : V, p. 35 Demi-tangente à droite, demi-tangente à gauche: 1, p. 19 Dérivable (fonction -) en un point: 1, p. 11 Dérivable (fonction -) dans un intervalle: 1, p. 12 Dérivable à droite, à gauche (fonction -) en un point: 1, p. 12 Dérivable à droite, à gauche (fonction - ) dans un intervalle: 1, p. 12 Dérivable (fonction n fois -) en un point: 1, p. 28 Dérivable (fonction n fois -) dans intervalle: 1, p. 28. Dérivée d'une fonction: 1, p. 11 Dérivée à droite, dérivée à gauche: 1, p. 12 Dérivée infinie: 1, p. 18 Dérivée logarithmique: III, p. 4 Dérivée n-ème: 1, p. 28. Dérivée première : 1, p. 1 1. Dérivée seconde: 1, p. 28 Dérivée symétrique: 1, p. 45, exerc. 13 Déterminant de n intégrales d'un système de n équations différentielles linéaires: IV, p. 23 Détermination principale du logarithme d'un nombre complexe: III, p. 10 Développement asymptotique d'une fonction par rapport à une échelle de comparaison: V, p. 12 Développement asymptotique à la précision g,: V, p. 12 Développement asymptotique plus précis qu'un autre: V, p. 13 Développement asymptotique réduit à la précision go: V, p. 13 Développement asymptotique à coefficients variables: V, p. 17 Développement de Stirling de log F(z) : VII, p. 15 Développement de Taylor d'ordre n: 1, p. 30 Développement eulérien de cotg z : VI, p. 15 Développement eulérien de sin z : VI, p. 17 Développement taylorien généralisé d'un polynôme: VI, p. 6. Développement taylorien généralisé d'une fonction: VI, p. 10 Dominée (fonction -) par une autre: V, p. 3 Droite asymptote à un graphe: 1, p. 51, exerc. 7 Droite d'appui du graphe d'une fonction convexe: 1, p. 37 Droite localement au-dessous, localement au-dessus d'un graphe: 1, p. 39 Droite localement sur un graphe: 1, p. 39

Echelle de comparaison: V, p. 10 Equation différentielle à variable réelle: IV, p. 1 Equation différentielle adjointe: IV, p. 25 Equation différentielle d'ordre n: IV, p. 2 Equation différentielle du premier ordre: IV, p. 2 Equation différentielle linéaire: IV, p. 16 Equation différentielle linéaire homogène: IV, p. 2 Equation différentielle linéaire d'ordre n: IV, p. 30 Equation différentielle lipschitzienne: IV, p. 10 Equation différentielle localement lipschitzienne: IV, p. 10 Equation différentielle scalaire: IV, p. 2 et p. 30 Equivalentes (fonctions -) : V, p. 6 Escalier (fonction en -) : II, p. 4 Euler (constante d' -) : V, p. 32 Euler (formules d' -) : III, p. 9 Euler-Maclaurin (formule sommatoire d' -> : VI, p. 14 Eulérien (développement -) de cotg z: VI, p. 15

INDEX TERMINOLOGIQUE FVR VII. 29

Eulérien (développement -) de sin z: VI, p. 17 Eulériennes (intégrales -) : VII, p. 6 Exponentielle complexe: III, p. 7 Exponentielles itérées: V, p. 41 Extension élémentaire d'un corps différentiel: III, p. 29, exerc. 28 Extension (H) d'un corps de Hardy: V, p. 41

Faiblement comparables (fonctions - ) : V, p. 4 Fonction à variation bornée: II, p. 29, exerc. 5 Fonction concave, fonction convexe: 1, p. 34 Fonction croissante à droite: 1, p. 43, exerc. 1 Fonction dérivable: 1, p. 12 Fonction dérivable à droite, dérivable à gauche: 1, p. 12 Fonction dérivée: 1, p. 13 Fonction dominée par une autre: V, p. 3 Fonction élémentaire: III, p. 29, exerc. 28 Fonction en escalier: II, p. 4 Fonction (H): V, p. 41 Fonction indéfiniment dérivable: 1, p. 28 Fonction lipschitzienne: IV, p. 7 Fonction localement lipschitzienne: IV, p. 10 Fonction logarithmiquement bornée: V, p. 4 Fonction logarithmiquement convexe: VII, p. 6 Fonction négligeable devant une autre: V, p. 5 Fonction n fois dérivable: 1, p. 28 Fonction prépondérante sur une autre: V, p. 5 Fonction réglée: II, p. 4 Fonction réglée par morceaux: II, p. 13 Fonction régulièrement convexe: V, p. 49, exerc. 5 Fonction strictement concave, strictement convexe : 1, p. 34 Fonction suradditive: 1, p. 54, exerc. 25 Fonctions comparables : V, p. 7 Fonctions comparables d'ordre k: V, p. 22 Fonctions équivalentes: V, p. 16 Fonctions faiblement comparables: V, p. 4 Fonctions fortement comparables : V, p. 7 Fonctions semblables: V, p. 4 Fondamental (système -) d'intégrales d'un système d'équations différentielles linéaires:

IV, p. 2 1 Formule de Gauss: VII, p. 3 Formule de Leibniz: 1, p. 28 Formule de multiplication de Legendre-Gauss: VII, p. 12 Formule de Stirling: V, p. 33 Formule de Taylor: 1, p. 29 Formule de Wallis: III, p. 31, exerc. 32 Formule de Weierstrass: VII, p. 3 Formule d'intégration par parties: II, p. 10 Formule d'intégration par parties d'ordre n : II, p. 10 Formule du changement de variables: II, p. 11 Formule sommatoire d'Euler-Maclaurin: VI, p. 14 Formules d'Euler: III, p. 9 Fortement comparables (fonctions -) : V, p. 7

Gauss (formule de -) : VII, p. 3 Gauss (intégrale de -) : VII, p. 10

FVR VII. 30 FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

(H) (extension -) : V, p. 41 (H) (fonction -) : V, p. 41 Hardy (corps de -) : V, p. 36 Hermite (polynômes d' -) : VI, p. 13 Homogène (équation différentielle linéaire -) : IV, p. 17 Hyperboliques (fonctions -) : III, p. 12

Identité de Redheffer: II, p. 37, exerc. 10 Indéfiniment dérivable (fonction -) : 1, p. 28 Indicatrice d'un opérateur de composition: VI, p. 10 Inégalité de Carleman: III, p. 25, exerc. 9 Inégalité de Carlson: III, p. 24, exerc. 4 Inégalité de Cauchy-Buniakowsky-Schwarz: III, p. 24, exerc. Y Inégalité de Hadamard: III, p. 26, exerc. 12 Inégalité de Hardy: III, p. 26, exerc. 10 Inégalité de Hardy-Littlewood: II, p. 38, exerc. 10 Inégalité de Hlawka: II, p. 38, exerc. 10 Inégalité de Holder: III, p. 23, exerc. 3 Inégalité d'Opial: II, p. 38, exerc. 10 Inégalité de H. Weyl: II, p. 38, exerc. 10 Intégrale absolument convergente: II, p. 18 Intégrale convergente: II, p. 18 Intégrale de Gauss: VII, p. 10 Intégrale de Raabe: VII, p. 14 Intégrale d'une équation différentielle: IV, p. 2 Intégrale d'une fonction réglée dans un intervalle compact: II, p. 13 Intégrale d'une fonction réglée par morceaux: II, p. 14 Intégrale normalement convergente: II, p. 23 Intégrale uniformément convergente: II, p. 21 Intégrales eulériennes : VII, p. 6 Intégration par parties (formule d' -) : II, p. 10 Intégration par parties d'ordre n (formule d' -) : I I p. 10 Itérées (exponentielles -) : V, p. 41 Itérés (logarithmes -) : V, p. 19

Legendre-Gauss (formule de multiplication de -) : VII, p. 12 Leibniz (formule de -) : 1, p. 28 Linéaire (équation différentielle -) : IV, p. 16 Linéaire homogène (équation différentielle -) : IV, p. 16 Linéaire d'ordre n (équation différentielle -) : IV, p. 30 Lipschitz (condition de - ) : IV, p. 7 Lipschitzienne (équation différentielle -) : IV, p. 10 Lipschitzienne (fonction -) : IV, p. 7 Localement au-dessous, localement au-dessus d'un graphe (droite -) : 1, p. 39 Localement lipschitzienne (équation différentielle -) : IV, p. 10 Localement lipschitzienne (fonction - ) : IV, p. 10 Localement sur un graphe (droite -) : 1, p. 39 Logarithme d'un nombre complexe (détermination principale du - ) : III, p. 10 Logarithme naturel: III, p. 2 Logarithme népérien: III, p. 2 Logarithmes itérés: V, p. 19 Logarithmique (dérivée -) : III, p. 4 Logarithmiques (critères de convergence -) : V, p. 19 Logarithmiquement bornée (fonction -) : V, p. 4 Logarithmiquement convexe (fonction -) : VII, p. 6

INDEX TERMINOLOGICUE FVR VII. 31

Maximum relatif, maximum relatif strict: 1, p. 19 Méthode de variation des constantes: IV, p. 20 Minimum relatif, minimum relatif strict: 1, p. 19 Moyenne arithmétique ordinaire, moyenne arithmétique pondérée: III, p. 3 Moyenne géométrique ordinaire, moyenne géométrique pondérée: III, p. 3 Moyenne (théorème de la -) : II, p. 11 Moyenne (valeur -) d'une fonction: II, p. 8

Naturel (logarithme -) : III, p. 2 Négligeable (fonction -) devant une autre: V, p. 5 Népérien (logarithme -): III, p. 2 Nombre premier régulier, nombre premier irrégulier: VI, p. 25, exerc. II Nombres de Bernoulli: VI, p. 7 Normalement convergente (intégrale -): II, p. 23

Opérateur de composition: VI, p. 1, et p. 9 Opérateur de composition régulier: VI, p. 11 Opérateur de translation: VI, p. 2 et p. 9 Ordre d'un opérateur de composition: VI, p. 5 Ordre d'une fonction par rapport à une autre: V, p. 8

Partie principale d'une fonction relative à une échelle de comparaison: V, p. I l Partie principale d'une fonction relative à une échelle de comparaison et à un domaine de

coefficients: V, p. 17 Peano (théorème de -) : IV, p. 6 Plus précis (développement asymptotique -) qu'un autre : V, p. 13 Polygone de Newton: V, p. 48, exerc. 3 Polynômes d'Appel1: VI, p. 5 Polynômes de Bernoulli: VI, p. 7 Polynômes d'Hermite: VI, p. 13 Précision d'un développement asymptotique: V, p. 12 Prépondérante (fonction -) sur une autre: V, p. 5 Primitive d'une fonction dans un intervalle de R: II, p. 1 Primitive d'ordre n : II, p. 13 Primitive seconde : II, p. 12 Primitive stricte: II, p. 2 Principe de comparaison des intégrales: II, p. 17

Raabe (critère de -) : V, p. 34 Raabe (intégrale de -) : VII, p. 14 Racines caractéristiques d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants: IV,

p. 30 Réduit à la précision go (développement asymptotique -) : V, p. 13 Réglée (fonction -) : II, p. 4 Réglée par morceaux (fonction -) : II, p. 13 Régulier (opérateur de composition -) : VI, p. I l Relation de caractère local: V, p. 2 Relation des compléments: VII, p. 12 Résolvante d'une équation différentielle linéaire: IV, p. 19 Reste de la formule de Taylor: 1, p. 30 et II, p. 12 Reste de la formule sommatoire d'Euler-Maclaurin: VI, p. 14 et p. 19 Reste d'un développement asymptotique: V, p. 12 Rolle (théorème de -) : 1, p. 20

FVR VII. 32 FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

Scalaire (équation différenticlle -) : IV, p. 1 Sécante: III, p. 5 Second théorème de la moyenne: II, p. 31, exerc. 16 Semblables (fonctions -) : V, p. 4 Série génératrice des polynômes d'Appel1 attaches à un opératrur de composition: VI, p. 6 Signe constant (fonction de -) : V, p. 7 Sinus d'un nombre complexe: III , p. 12 Sinus hyperbolique: III, p. 12 Solution d'une équation différentielle: IV, p. 2 Solution approchée à E près d'une équation différentielle: IV, p. 3 Solution strictc d'une équation différentielle: IV, p. 2 Stirling (développcrnent de -) : VII, p. 15 Stirling (formule de -) : V, p. 33 Stricte (prirnitivr -) : II, p. 2 Stricte (solution - ) d'unr équation différentielle: IV, p. 2 Strictement au-dcssous, strictement au-dessus d'un graphe (point -) : 1, p. 32 Strictement concave, strictement convexe (fonction -) : 1, p. 34 Suite de définition d'une fonction (H) : V, p. 4 1 Système d'équations différentielles: IV, p. 2 Système d'équations diff6rcntielles linéaires: IV, p. 16 Système fondamental d'intçgralcs d'un système d'équations différentielles lintaires: IV, p.

2 1

Tangente à un graphe: 1, p. 19 Tangent? hyperboliquc: III, p. 12 Taylor (développement de - ) : 1, p. 30 'Taylor (formule de -) : 1, p. 29 'Termes d'un développement asymptotique: V, p. 12 TliCorèmc dc Cauchy: IV, p. 10 Théorème de Clauscn-von Staudt: VI, p. 24, exerc. 6 Théorème de la moyenne: II, p. 11 Théorème de Liouville: III, p. 30, exerc. 29 Théorème de Peano: IV, p. 6 Théorème de Rolle: 1, p. 20 Théorème dcs accroisscmcnts finis: 1, p. 23 'Théorèmes de Du Bois-Reymond: V, p. 53, exerc. 8 Théorèmc taubérien de Hardy-Littlewood: 1, p. 50, exerc. 18

Uniformément convergente (intégrale -) : II, p. 21

Valeur moyenne d'une fonction: II, p. 8 Variation des constantes (méthode de -) : IV, p. 20

Weierstrass (formule de -) : VII, p. 3 Wronskicn de n intégrales d'une équation différcnticllc linéaire d'ordre n: IV, p. 32

TABLE DES MATIÈRES

INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CHAPITRE I .. DÉRIVÉES

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1 . Dérivée première . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . Dérivée d'une fonction vectorielle

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . Linéarité de la dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . Dérivée d'un produit

4 . Dérivée de l'inverse d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . Dérivée d'une fonction composée

6 . Dérivée d'une fonction réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . 7 . Dérivées des fonctions numériques ................

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2 Le théorème des accroissementsjnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . Le théorème de Rolle

2 . Le théorème des accroissements finis pour les fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 . Le théorème des accroissements finis pour les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vectorielles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . Continuité des dérivées

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 Dérivées d'ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Dérivées d'ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Formule de Taylor

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 Fonctions convexes d'une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . Définition des fonctions convexes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . Familles de fonctions convexes . . . . . . 3 . Continuité et dérivabilité des fonctions convexes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . Critères de convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du 3 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du § 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du 5 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du fj 4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. CHAPITRE II PRIMITIVES ET INTÉGRALES

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 . Primitives et intégrales

FVR VI1 . 34 FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

1 . Définition des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . Existence des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . Fonctions réglées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . Intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . Propriétés des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 . Forme intégrale du reste de la formule de Taylor;

primitives d'ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $ 2 . Intégrales dans les intervalles non compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 . Définition d'une intégrale dans un intervalle non compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 . Intégrales de fonctions positives dans un intervalle non compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 . Intégrales absolument convergentes . . . . . . . . . . . . . . .

$ 3 . Dérivées et intégrales de fonctions dépendant d'un paramèt~e . . . . 1 . Intégrale d'une limite de fonctions dans un intervalle

compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . Intégrale d'une limite de fonctions dans un intervalle

non compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . Intégrales normalement convergentes . . . . . . . . . . . . . . 4 . Dérivée par rapport à un paramètre d'une intégrale

dans un intervalle compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . Dérivée par rapport à un paramètre d'une intégrale

dans un intervalle non compact . . . . . . . . . . . . . . . . 6 . Interversion des intégrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du 5 1 Exercices du 5 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du $ 3

CHAPITRE III . - FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 . Dérivées des fonctions exponentielles et circulaires . . . . . . . . . . . . .

1 . Dérivées des fonctions exponentielles; nombre e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . Dérivée de log, x

3 . Dérivées des fonctions circulaires; nombre 7~ . . . . . . . . 4 . Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . L'exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 . Propriétés de la fonction e2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 . Le logarithme complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 . Primitives des fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . 9 . Fonctions circulaires complexes; fonctions hyper-

boliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I I I .1 I I I .1 I I I .1 111.3 111.4 111.5 111.7 111.8

111.10 III .11

III .12

TABLE DES MATIÈRES FVR VI1 . 35

§ 2 . Dévelop~ements des fonctions exponentielles et circulaires. et des fonc- tions qui s'y rattachent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . Développement de l'exponentielle réelle . . . . . . . . . . . 2 . Développements de l'exponentielle complexe. de cos x

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et sin x 3 . Le développement du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . Développements de log (1 + x). de Arc tg x et de

Arcsinx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du f j 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du 5 2 Note historique (chapitres 1-11-111) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CHAPITRE IV .. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Théorèmes d'existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 . La notion d'équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . Équations différentielles admettant pour solutions des

primitives de fonctions réglées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . Existence de solutions approchées . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . Comparaison des solutions approchées . . . . . . . . . . . . . 5 . Existence et unicité de solutions des équations lipschit-

ziennes et localement lipschitziennes . . . . . . . . . . . . 6 . Continuité des intégrales en fonction d'un paramètre . 7 . Dépendance des conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . .

§ 2 . Équations d$érentielles linéaires .......................... 1 . Existence des intégrales d'une équation différentielle

linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . Linéarité des intégrales d'une équation différentielle

linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . Intégration de l'équation linéaire non homogène . . . . 4 . Systèmes fondamentaux d'intégrales d'un système

. . . . . . . linéaire d'équations différentielles scalaires 5 . Equation adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 . Équations différentielles linéaires à coefficients cons-

tants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 . Équations linéaires d'ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 . Équations linéaires d'ordre n à coefficients constants . 9 . Systèmes d'équations linéaires à coefficients constants .

Exercices du 5 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du f j 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111.15 I I I .15

FVR VI1 . 36 FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

Note historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliographie ..........................................

CHAPITRE v .. ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS .................. $ 1 . Comparaison des fonctions dans un ensemblejltré . . . . . . . . . . . . .

1 . Relations de comparaison: 1 . Relations faibles . . . . . . 2 . Relations de comparaison: II . Relations fortes ...... 3 . Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . Relations de comparaison entre fonctions strictement

positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

$ 2 . Développements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . Echelles de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . Parties principales et développements asymptotiques . 3 . Sommes et produits de développements asymptotiques 4 . Composition des développements asymptotiques . . . . . 5 . Développements asymptotiques à coefficients variables

$ 3 . Développements asymptotiques des fonctions d'une variable réelle . . . 1 . Intégration des relations de comparaison: I . Relations

faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . Application: critères logarithmiques de convergence

des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . Intégration des relations de comparaison: II . Rela-

tions fortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . Dérivation des relations de comparaison

5 . Partie principale d'une primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 . Développement asymptotique d'une primitive

§ 4 . Application aux séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . Critères de convergence des séries à termes positifs . . 2 . Développement asymptotique des sommes partielles

d'une série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . Développements asymptotiques des produits partiels

d'un produit infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . Application : critères de convergence de seconde espèce

pour les séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . .

Appendice . Corps de Hardy . Fonctions ( H ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . Corps de Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . Extension d'un corps de Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TABLE DES MATIÈRES FVR VIL 37

3 . Comparaison des fonctions d'un corps de Hardy .... 4 . Fonctions (H) ................................. 5 . Exponentielles et logarithmes itérés ............... 6 . Fonction réciproque d'une fonction (H) . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du 5 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du $ 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du 5 4 Exercices de l'Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CHAPITRE VI . . DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS . FOR-

.................... MULE SOMMATOIRE D'EULER-MACLAURIN

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 . Développements tayloriens généralisés 1 . Opérateurs de composition dans une algèbre de poly-

nômes ...................................... 2 . Polynômes d'Appell attachés à un opérateur de com-

..................................... position 3 . Série génératrice des polynômes d'Appel1 .......... 4 . Polynômes de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . Opérateurs de composition sur les fonctions d'une

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . variable réelle 6 . Indicatrice d'un opérateur de composition . . . . . . . . . 7 . La formule sommatoire d'Euler-Maclaurin . . . . . . . . .

$ 2 . Développements eulériens des fonctions trigonométriques et nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de Bernoulli

1 . Développement eulérien de cotg z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Développement eulérien de sin z

. . . . . . . . . . . . . 3 . Application aux nombres de Bernoulli

$ 3 . Majoration du reste de la formule d'Euler-Maclaurin . . . . . . . . . 1 . Majoration du reste de la formule d'Euler-Maclaurin 2 . Application aux développements asymptotiques . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du 9 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du 3 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du 5 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Note historique (chapitres V et VI)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliographie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CHAPITRE VIL . LA FONCTION GAMMA

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 . La fonction gamma dans le domaine réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . Définition de la fonction gamma

FVR VI1 . 38 FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . Propriétés de la fonction gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . Les intégrales eulériennes

. . . . . . . . . . . . . . . . $ 2 . La fonction gamma dans le domaine complexe . . . . . . . . . . 1 . Prolongement à C de la fonction gamma

2 . La relation des compléments et la formule de multipli- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cation de Legcndre-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Le développement de Stirling

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du $ 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du 3 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Note historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliographie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Index des notations

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Index terminologique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Table des matières