Szilárdságtan - nyme.hu¡rdságtan_példatár.pdf · 4 El őszó, bevezetés A mechanika a...
Transcript of Szilárdságtan - nyme.hu¡rdságtan_példatár.pdf · 4 El őszó, bevezetés A mechanika a...
A tananyagfejlesztés a TÁMOP-4.1.1.C-12/1/2012-0010. sz. projekt keretében valósult meg
Nyugat-magyarországi Egyetem
Simonyi Károly Műszaki, Faanyagtudományi és Művészeti Kar
Műszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet
Szilárdságtan
Dr. Karácsonyi Zsolt
Digitális jegyzet/tananyag
Sopron, 2015
A tananyagfejlesztés a TÁMOP-4.1.1.C-12/1/2012-0010. sz. projekt keretében valósult meg
Szerző:
Dr. Karácsonyi Zsolt
egyetemi adjunktus
Lektorálta:
Dr. Andor Krisztián
egyetemi docens
ISBN 978-963-334-267-1
Kiadja:
Nyugat-magyarországi Egyetem Kiadó
9400 Sopron, Bajcsy-Zs. u. 4.
Felelős kiadó:
Prof. Dr. Németh Róbert tudományos és külügyi rektorhelyettes
A digitális tananyag a TÁMOP-4.1.1.C-12/1/2012-0010. számú projekt keretében, az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával
valósult meg. ©Karácsonyi Zsolt, 2015.
3
Tartalomjegyzék
Tartalomjegyzék ......................................................................................................................... 3
Előszó, bevezetés ....................................................................................................................... 4
1. Keresztmetszeti jellemzők (terület, súlypont, súlyponti tengelyre számított inercia,
keresztmetszeti tényező, inerciasugár) meghatározása .............................................................. 5
2. Síkbeli erőrendszerek kiegyensúlyozásának ismétlése ........................................................ 18
3. Kéttámaszú, egyenes tengelyű tartók igénybevételeinek ismétlése ..................................... 46
3.1. Igénybevételi ábrák szerkesztési szabályai ................................................................... 46
4. Merev befogású, egyenes tengelyű tartók igénybevételeinek ismétlése .............................. 63
5. Tört tengelyű tartók igénybevételeinek ismétlése ................................................................ 69
6. Gerber tartók igénybevételeinek ismétlése .......................................................................... 93
7. Háromcsuklós keretek igénybevételeinek ismétlése .......................................................... 104
8. Húzó igénybevétel, húzófeszültség .................................................................................... 120
9. Nyomó igénybevétel, nyomófeszültség ............................................................................. 129
10. Hajlító igénybevétel, hajlításból származó normál (húzó-nyomó) és nyírófeszültség ..... 133
11. Csavaró igénybevétel, csavarásból származó nyírófeszültség ......................................... 140
11.1. Kör és körgyűrű keresztmetszetek poláris másodrendű nyomatéka és poláris
keresztmetszeti tényezője ................................................................................................... 140
11.2. Kör és körgyűrű keresztmetszetek csavarásakor fellépő nyírófeszültség ................. 141
12. Közelítően tiszta nyíró igénybevétel, nyírófeszültség ...................................................... 146
13. Kihajlás ............................................................................................................................. 149
Felhasznált és ajánlott irodalom ............................................................................................. 154
4
Előszó, bevezetés
A mechanika a fizikának egy területe, általánosan úgy lehet megfogalmazni, hogy a testek moz-
gásával, a testekre ható erőkkel és a kettő közötti összefüggésekkel foglalkozó tudomány. E
szerint a mechanika felosztható (1. ábra) kinematikára és dinamikára.
1. ábra: A mechanika felosztása
A kinematika csak a testek mozgását vizsgálja térben és időben, de a mozgást kiváltó okokat
(az erőket) nem tárgyalja. A dinamika a testek egymásra hatásával foglalkozik, figyelembe ve-
szi a testekre ható erőket, a mozgások kiváltó okait. Eszerint a dinamika további két csoportra
bontható: statikára és kinetikára. A statika azokat a testeket vizsgálja, melyek nyugalomba van-
nak a rá ható erők következtében, míg a kinetika az erők hatására mozgásban lévő testeket
tárgyalja.
A merev testek statikájában (röviden statika) vizsgált tartószerkezetek anyagát teljesen merev-
nek tekintjük. Ez azt jelenti, úgy tekintjük a terhelt testet (tartót), hogy az alakját, méreteit nem
változtatja a rá ható erők következtében.
A szilárd testek statikájában (röviden szilárdságtan) vizsgált tartószerkezetek anyagát szilárd-
nak tekintjük. Ez azt jelenti, nem csak a tartóra működő külső erők egyensúlyával, azok elosz-
lásával (igénybevételek) foglalkozunk, hanem a test (tartó) alakváltozásait és a keletkező/éb-
redő feszültségeket is vizsgáljuk.
A mechanika a mérnökképzések műszaki alapozó tárgya, amelynek az ismeretek elsajátításán
túl nagy jelentősége van a mérnöki problémafelismerő és megoldó készség fejlesztésben.
A jegyzet döntően a szilárd testek statikájával (szilárdságtan) foglalkozik gyakorlati példák be-
mutatásán keresztül. Ehhez azonban nagyon fontos ismerni a tartók egyensúlyi helyzetének
feltételeit, körülményeit. Emiatt a példatár első felében a lehető legrészletesebben foglalkozunk
a merev testek statikájának (statika) átismétlésével és elmélyítésével, míg a második részben
háttérbe szorítjuk ezeket, és a szilárdságtani ismeretekre fektetjük a hangsúlyt. Az egyes fejezet
címeknek megfelelően fordítjuk a figyelmet a különböző témakörökre.
5
1. Keresztmetszeti jellemzők (terület, súlypont, súlyponti tengelyre számított inercia, ke-
resztmetszeti tényező, inerciasugár) meghatározása
1.1.1. példa
Adott a 2. ábra szerinti keresztmetszet. Határozzuk meg a keresztmetszeti jellemzőket, a sík-
idom területét, súlyponti koordinátáit (xS; yS) a súlyponti tengelyeire vett inerciákat és kereszt-
metszeti tényezőket, illetve az inerciasugarakat. Adott: a = 2,5 cm.
2. ábra: Súlypontszámítás, viszonyítási koordinátarendszer elhelyezése
A megoldáshoz a keresztmetszetek elsőrendű statikai nyomatékának a definícióját használjuk
fel. Először egy viszonyítási koordinátarendszert veszünk fel – lehetőség szerint a megadott
keresztmetszet valamelyik szélső, sarokpontjában (2. ábra). Ezután felosztjuk a síkidomunkat
olyan szabályos keresztmetszetrészekre, melyek súlypontjának a helye egyértelmű (3. ábra). Ez
négyszög, háromszög, kör vagy félkör is lehet.
A keresztmetszet területét az egyes keresztmetszet részek területeinek összegzésével kapjuk.
=⋅=⋅=⋅+⋅+⋅= 221 5,225,3a25,3)a1,5a0,75(aaA 20,31 cm2.
=⋅=⋅=⋅⋅⋅= 222 5,2125,1a125,1a,750a5,1A 7,03 cm2.
== 13 AA 20,31 cm2.
=++=⋅=⋅+⋅+⋅=++=∑ 31,2003,731,20a625,7a25,3a125,1a25,3AAAA 2222321
=47,65 cm2.
6
A súlypont meghatározásához az elsőrendű statikai nyomatékot írjuk fel a felvett viszonyítási
koordinátarendszer tengelyeire külön - külön.
3. ábra: Az összetett keresztmetszet felosztása súlypontszámításhoz
4. ábra: A súlyponti tengelyek helyzete a viszonyítási koordinátarendszerhez képest
A keresztmetszet x’ tengelyre vett statikai nyomatéka:
a5,0)a25,3(a75,1)a125,1(a3)a25,3(a625,7
yAyAyAA2222
332211'
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅→
→⋅+⋅+⋅=⋅=∑∑S
Sx
y
yS→
7
→⋅+⋅+⋅=⋅⋅→ 3332 a63,1a97,1a75,9a625,7 Sy
amiből: cm38,45,275,1a75,1a625,7
a35,132
3
=⋅=⋅=⋅
⋅=Sy
Látható, hogy az x súlyponti tengely éppen a keresztmetszet y irányú hosszának a felébe esik.
Ha alaposan szemügyre vesszük 4. ábra elrendezését, látható, hogy az x súlyponti tengely szim-
metria tengely is egyben.
A későbbiekre nézve azt a megállapítást tehetjük, hogy amennyiben egy keresztmetszet rendel-
kezik szimmetriatengellyel, akkor az egyben súlyponti tengely is.
A keresztmetszet y’ tengelyre vett statikai nyomatéka:
a625,1)a25,3(a375,1)a125,1(a625,1)a25,3(a625,7
xAxAxAA2222
332211'
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅→
→⋅+⋅+⋅=⋅=∑∑S
Sy
x
xS→
→⋅+⋅+⋅=⋅⋅→ 3332 a28,5a55,1a28,5a625,7 Sx
amiből: cm98,35,259,1a59,1a625,7
a11,122
3
=⋅=⋅=⋅⋅
=Sx .
5. ábra: A súlyponti tengelyekre számított inerciához a teljes keresztmetszet és az egyes keresztmetszet részek
súlyponti tengelyeinek elhelyezkedése
A súlyponti tengelyekre vonatkozó inercia számításához az összegzési, kiegészítési és a Steiner
tételeket alkalmazzuk (5. ábra).
A keresztmetszet x súlyponti tengelyére vett inerciája:
8
=
⋅⋅⋅+⋅
⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅=
12
a)5,1(a75,02)a(1,25a)a(3,25
12
aa3,25 32
3
xI
=⋅=⋅=⋅+⋅+⋅= 44444 5,291,10a91,10a21,0a16,10a54,0 426,17 cm4.
A keresztmetszet y súlyponti tengelyére vett inerciája:
=
⋅⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+⋅
⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅= 2
32
3
)a(0,215a)75,0a5,1(12
a)75,0(a5,12)a(0,035a)3,25(a
12
)a3,25(ayI
=⋅=⋅=⋅+⋅++⋅= 44444 5,282,5a82,5a05,0a05,00a72,5 227,34 cm4.
A keresztmetszet x súlyponti tengelyére vett keresztmetszeti tényezője:
=⋅==⋅=⋅⋅
== 334
y
5,223,64,38
17,426a23,6
a1,75
a91,10
tx
x
IW 97,34 cm3.
A keresztmetszet y súlyponti tengelyére vett keresztmetszeti tényezője:
=⋅==⋅=⋅⋅
== 334
x
5,251,34,15
34,227a51,3
a1,66
a82,5
ty
y
IW 54,84 cm3.
A keresztmetszetek jellemzésére gyakran használatos mennyiség az inerciasugár: A
Ii = .
A keresztmetszet x súlyponti tengelyére vett inerciasugara:
=⋅=⋅=⋅⋅
== 5,2196,1a196,1a625,7
a91,102
4
A
Ii xx 2,99 cm.
A keresztmetszet y súlyponti tengelyére vett inerciasugara:
=⋅=⋅=⋅
⋅== 5,2874,0a874,0
a625,7
a82,52
4
A
Ii
y
y 2,19 cm.
1.1.2. példa
Adott a 6. ábra szerinti keresztmetszet. Határozzuk meg a keresztmetszeti jellemzőket, a sík-
idom területét, súlyponti koordinátáit (xS; yS), a súlyponti tengelyeire vett inerciákat és kereszt-
metszeti tényezőket, illetve az inerciasugarakat.
Adott: a = 1,6 cm.
A 6. ábra szerint az összetett keresztmetszetet vastag vonallal jelöltük és három téglalapra osz-
tottuk fel.
A keresztmetszet területét az egyes keresztmetszet részek területeinek összegzésével kapjuk.
=⋅=⋅=⋅⋅= 221 6,15,1a5,1a5,1aA 3,84 cm2.
=⋅=⋅=⋅⋅⋅= 222 6,19a9a5,4a2A 23,04 cm2.
9
==⋅=⋅=⋅⋅⋅= 223 6,14a4a2a2A 10,24 cm2.
=++=⋅=⋅+⋅+⋅=++=∑ 24,1004,2384,3a5,14a4a9a5,1AAAA 2222321 37,12 cm2.
6. ábra: Összetett keresztmetszet felbontása téglalapokra
A súlypont meghatározásához az elsőrendű statikai nyomatékot írjuk fel a felvett viszonyítási
koordinátarendszer tengelyeire külön - külön.
A keresztmetszet x’ tengelyre vett statikai nyomatéka:
a5,3)a4(a25,2)a9(a75,3)a5,1(a5,14
yAyAyAA2222
332211'
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅→
→⋅+⋅+⋅=⋅=∑∑S
Sx
y
yS→
→⋅+⋅+⋅=⋅⋅→ 3332 a14a25,20a63,5a5,14 Sy
amiből: cm4,46,175,2a75,2a5,14
a88,392
3
=⋅=⋅=⋅⋅
=Sy
7. ábra: A súlyponti tengelyek helyzete a viszonyítási koordinátarendszerhez képest
10
A keresztmetszet y’ tengelyre vett statikai nyomatéka:
a4)a4(a2)a9(a5,0)a5,1(a5,14
xAxAxAA2222
332211'
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅→
→⋅+⋅+⋅=⋅=∑∑S
Sy
x
xS→
→⋅+⋅+⋅=⋅⋅→ 3332 a16a18a75,0a5,14 Sx
amiből: cm84,36,14,2a4,2a5,14
a75,352
3
=⋅=⋅=⋅⋅
=Sx .
A súlyponti tengelyekre vonatkozó inercia számításához az összegzési, kiegészítési és a Steiner
tételeket alkalmazzuk (8. ábra).
A keresztmetszet x súlyponti tengelyére vett inerciája:
=
⋅⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+
+
⋅⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+
⋅⋅=
23
23
23
)a(0,75a)2a(212
a)2(a2
)a(0,5a)4,5a2(12
)a(4,5a2aa)1,5(a
12
)a(1,5axI
=⋅=⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 44444444 6,18,22a8,22a25,2a33,1a25,2a19,15a5,1a28,0
=149,42 cm4.
A keresztmetszet y súlyponti tengelyére vett inerciája:
=
⋅⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+
+
⋅⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅=
23
23
23
)a(1,6a)2a2(12
a)2(a2
)a(0,4a)2a5,4(12
a)2(a5,4)a(1,9a)a(1,5
12
aa5,1yI
=⋅=⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 44444444 6,155,21a55,21a24,10a33,1a44,1a3a415,5a125,0
=141,23 cm4.
A keresztmetszet x súlyponti tengelyére vett keresztmetszeti tényezője:
=⋅==⋅=⋅⋅
== 334
y
6,129,84,4
42,149a29,8
a2,75
a8,22
tx
x
IW 33,96 cm3.
A keresztmetszet y súlyponti tengelyére vett keresztmetszeti tényezője:
=⋅==⋅=⋅⋅
== 334
x
6,129,84,16
23,141a29,8
a6,2
a55,21
ty
y
IW 33,95 cm3.
A keresztmetszet x súlyponti tengelyére vett inerciasugara:
=⋅=⋅=⋅⋅
== 6,1254,1a254,1a5,14
a8,222
4
A
Ii xx 2,0 cm.
A keresztmetszet y súlyponti tengelyére vett inerciasugara:
11
=⋅=⋅=⋅⋅
== 6,122,1a22,1a5,14
a55,212
4
A
Ii
y
y 1,95 cm.
8. ábra: A súlyponti tengelyekre számított inerciához a teljes keresztmetszet és az egyes keresztmetszet részek
súlyponti tengelyeinek elhelyezkedése
1.1.3. példa
Adott a 9. ábra szerinti keresztmetszet. Határozzuk meg a keresztmetszeti jellemzőket, a sík-
idom területét, súlyponti koordinátáit (xS; yS), a súlyponti tengelyeire vett inerciákat és kereszt-
metszeti tényezőket, illetve az inerciasugarakat.
Adott: a = 8 cm.
9. ábra: T alakú keresztmetszet
A keresztmetszet területét az egyes keresztmetszet részek (az ábrán nem tüntettük külön fel,
egyértelmű kell legyen) területeinek összegzésével kapjuk.
=⋅=⋅=⋅⋅= 221 84a4a4aA 256 cm2.
=⋅=⋅=⋅⋅= 222 84a4aa4A 256 cm2.
=+=⋅=⋅+⋅=+=∑ 256256a8a4a4AAA 22221 512 cm2.
12
A súlypont meghatározásához az elsőrendű statikai nyomatékot írjuk fel a felvett viszonyítási
koordinátarendszer tengelyeire. Mivel az y tengely szimmetria tengely, ezért súlyponti tengely
is egyben, ezért csak x’ tengelyre írjuk fel a statikai nyomatékot.
A keresztmetszet x’ tengelyre vett statikai nyomatéka:
a2)a4(a5,4)a4(a8yAyAA 2222211' ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅→⋅+⋅=⋅=∑∑ SSx yyS →
→⋅+⋅=⋅⋅→ 332 a8a18a8 Sy amiből: cm26825,3a25,3a8
a262
3
=⋅=⋅=⋅⋅
=Sy .
A súlyponti tengelyekre vonatkozó inercia számításához az összegzési, kiegészítési és a Steiner
tételeket alkalmazzuk (10. ábra).
A keresztmetszet x súlyponti tengelyére vett inerciája:
=
⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅+
⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅= 2
32
3
)a(1,25a)4(a12
)a(4aa)25,1(a)a(4
12
aa4xI
=⋅=⋅=⋅+⋅+⋅+⋅= 444444 816,18a16,18a25,6a33,5a25,6a33,0 74383 cm4.
A keresztmetszet y súlyponti tengelyére vett inerciája:
=⋅=⋅=⋅+⋅=⋅⋅
+⋅⋅
= 444433
866,5a66,5a33,0a33,512
aa4
12
a)4(ayI 23183 cm4.
10. ábra: A súlyponti tengelyekre számított inerciához a teljes keresztmetszet és az egyes keresztmetszet részek
súlyponti tengelyeinek elhelyezkedése
A keresztmetszet x súlyponti tengelyére vett keresztmetszeti tényezője:
=⋅==⋅=⋅⋅
== 334
y
859,526
74383a59,5
a25,3
a16,18
tx
x
IW 2861 cm3.
A keresztmetszet y súlyponti tengelyére vett keresztmetszeti tényezője:
=⋅==⋅=⋅⋅
== 334
x
883,216
23183a83,2
a2
a66,5
ty
y
IW 1449 cm3.
A keresztmetszet x súlyponti tengelyére vett inerciasugara:
13
=⋅=⋅=⋅
⋅== 851,1a51,1
a8
a16,182
4
A
Ii x
x 12,08 cm.
A keresztmetszet y súlyponti tengelyére vett inerciasugara:
=⋅=⋅=⋅
⋅== 884,0a84,0
a8
a66,52
4
A
Ii
y
y 6,72 cm.
1.1.4. példa
Adott a 11. ábra szerinti keresztmetszet. Határozzuk meg a keresztmetszeti jellemzőket, a sík-
idom területét, súlyponti koordinátáit (xS; yS), a súlyponti tengelyeire vett inerciákat és kereszt-
metszeti tényezőket, illetve az inerciasugarakat.
Adott: a = 2 cm.
11. ábra: Aszimmetrikus I alakú keresztmetszet (vastaggal kiemelve) és felosztása téglalapokra
A keresztmetszet területét az egyes keresztmetszet részek (11. ábra) területeinek összegzésével
kapjuk.
=⋅=⋅=⋅⋅= 221 23a3a3aA 12 cm2.
=⋅=⋅=⋅⋅= 222 28a8aa8A 32 cm2.
=⋅=⋅=⋅⋅= 223 25a5a5aA 20 cm2.
=++=⋅=⋅+⋅+⋅=++=∑ 203212a16a5a8a3AAAA 2222321 64 cm2.
A súlypont meghatározásához az elsőrendű statikai nyomatékot írjuk fel a felvett viszonyítási
koordinátarendszer tengelyeire. Mivel az y tengely szimmetria tengely, ezért súlyponti tengely
is egyben, ezért csak x’ tengelyre írjuk fel a statikai nyomatékot.
A keresztmetszet x’ tengelyre vett statikai nyomatéka:
a5,0)a5(a5)a8(a5,9)a3(a16
yAyAyAA2222
222211'
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅→
→⋅+⋅+⋅=⋅=∑∑S
Sx
y
yS→
→⋅+⋅+⋅=⋅⋅→ 3332 a5,2a40a5,28a16 Sy
14
amiből: cm88,824375,4a4375,4a16
a712
3
=⋅=⋅=⋅⋅
=Sy .
A súlyponti tengelyekre vonatkozó inercia számításához az összegzési, kiegészítési és a Steiner
tételeket alkalmazzuk (12. ábra).
12. ábra: A súlyponti tengelyekre számított inerciához a teljes keresztmetszet és az egyes keresztmetszet részek
súlyponti tengelyeinek elhelyezkedése
A keresztmetszet x súlyponti tengelyére vett inerciája:
=
⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅+
+
⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅+
⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅=
23
23
23
a)94,3(a)a(512
aa5
)a(0,56a)8(a12
)a(8aa)06,5(a)a(3
12
aa3xI
=⋅=⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 44444444 228,200a28,200a62,77a42,0a51,2a67,42a81,76a25,0
3204 cm4.
A keresztmetszet y súlyponti tengelyére vett inerciája:
=⋅=⋅=⋅+⋅+⋅=⋅⋅
+⋅⋅
+⋅⋅
= 44444333
234,13a34,13a42,10a67,0a25,212
a)5(a
12
aa8
12
a)3(ayI
213 cm4.
A keresztmetszet x súlyponti tengelyére vett keresztmetszeti tényezője:
=⋅==⋅=⋅⋅
== 334
y
23611,12
3204a36
a5625,5
a28,200
tx
x
IW 288 cm3.
A keresztmetszet y súlyponti tengelyére vett keresztmetszeti tényezője:
=⋅==⋅=⋅⋅
== 334
x
234,55
213a34,5
a2,5
a34,13
ty
y
IW 42,6 cm3.
A keresztmetszet x súlyponti tengelyére vett inerciasugara:
=⋅=⋅=⋅
⋅== 254,3a54,3
a16
a28,2002
4
A
Ii x
x 7,08 cm.
15
A keresztmetszet y súlyponti tengelyére vett inerciasugara:
=⋅=⋅=⋅
⋅== 291,0a91,0
a16
a34,132
4
A
Ii
y
y 1,82 cm.
1.1.5. példa
Adott a 13. ábra szerinti keresztmetszet. Határozzuk meg a keresztmetszeti jellemzőket, a sík-
idom területét, súlyponti koordinátáit (xS; yS), a súlyponti tengelyeire vett inerciákat és kereszt-
metszeti tényezőket, illetve az inerciasugarakat.
Adott: a = 3 cm.
13. ábra: Szimmetrikus I alakú keresztmetszet (vastaggal kiemelve)
A keresztmetszet területét az egyes keresztmetszet részek területeinek összegzésével kapjuk.
=⋅=⋅=⋅⋅== 2231 35a5a5aAA 45 cm2.
=⋅=⋅=⋅⋅= 222 38a8aa8A 72 cm2.
=++=⋅=⋅+⋅+⋅=++=∑ 457245a18a5a8a5AAAA 2222321 162 cm2.
A keresztmetszet x és y tengelye is szimmetriatengely, így súlyponti tengelyek is. A súlyponti
tengelyekre vonatkozó inercia számításához az összegzési, kiegészítési és a Steiner tételeket
alkalmazzuk.
=⋅+⋅+⋅=⋅⋅
+
⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅= 444
32
3
a67,42a52,202a83,012
)a(8aa)5,4(a)a(5
12
aa52xI
=⋅=⋅= 44 3246a246 19926 cm4.
A keresztmetszet y súlyponti tengelyére vett inerciája:
=⋅=⋅=⋅+⋅=⋅⋅
+
⋅⋅⋅= 4444
33
35,21a5,21a67,0a83,2012
aa8
12
a)5(a2yI 1741,5 cm4.
A keresztmetszet x súlyponti tengelyére vett keresztmetszeti tényezője:
=⋅==⋅=⋅⋅
== 334
y
32,4915
19926a2,49
a5
a246
tx
x
IW 1328,4 cm3.
16
A keresztmetszet y súlyponti tengelyére vett keresztmetszeti tényezője:
=⋅==⋅=⋅⋅
== 334
x
36,87,5
5,1741a6,8
a2,5
a5,21
ty
y
IW 232,2 cm3.
A keresztmetszet x súlyponti tengelyére vett inerciasugara:
=⋅=⋅=⋅⋅
== 37,3a7,3a18
a2462
4
A
Ii x
x 11,1 cm.
A keresztmetszet y súlyponti tengelyére vett inerciasugara:
=⋅=⋅=⋅⋅
== 309,1a09,1a18
a5,212
4
A
Ii
y
y 3,27 cm.
1.1.6. példa
Adott a 14. ábra szerinti keresztmetszet. Határozzuk meg a keresztmetszeti jellemzőket, a sík-
idom területét, súlyponti koordinátáit (xS; yS), a súlyponti tengelyeire vett inerciákat és kereszt-
metszeti tényezőket, illetve az inerciasugarakat.
Adott: Ød = 20 cm.
14. ábra: Kör keresztmetszet (vastaggal kiemelve)
A keresztmetszet területe:
==⋅
=⋅
=∑ 4
π02
4
πdA
22
314,16 cm2.
A keresztmetszet x és y tengelye is szimmetriatengely, így súlyponti tengelyek is.
A súlyponti tengelyekre vonatkozó inercia számítása:
=⋅
=⋅
==64
π02
64
πd 44
yx II 7854 cm4.
A súlyponti tengelyekre vonatkozó keresztmetszeti tényező számítása:
=⋅
=
⋅
=⋅
=
⋅
===32
π02
2
2064
π02
432
πd
2
d64
πd
2
d
3
4
3
4
IWW yx
785,4 cm3.
A súlyponti tengelyekre vonatkozó inerciasugár számítása:
17
====⋅
⋅⋅
=⋅
⋅
====4
20
4
d
16
d
πd
4
64
πd
4
πd64
πd2
2
4
2
4
A
I
A
Iii
yxyx 5 cm.
1.1.7. példa
Adott a 15. ábra szerinti keresztmetszet. Határozzuk meg a keresztmetszeti jellemzőket, a sík-
idom területét, súlyponti koordinátáit (xS; yS), a súlyponti tengelyeire vett inerciákat és kereszt-
metszeti tényezőket, illetve az inerciasugarakat.
Adott: ØD = 15 cm, Ød = 11 cm.
A keresztmetszet területe: ( ) ( )
=⋅
=⋅
=∑ 4
π11-15
4
πd-DA
2222
81,68 cm2.
15. ábra: Gyűrű (cső) keresztmetszet (vastaggal kiemelve)
A keresztmetszet x és y tengelye is szimmetriatengely, így súlyponti tengelyek is.
A súlyponti tengelyekre vonatkozó inercia számítása:
=⋅−
=⋅−
==64
π)11(15
64
π)d(D 4444
yx II 1766 cm4.
A súlyponti tengelyekre vonatkozó keresztmetszeti tényező számítása:
=⋅
⋅−=
⋅−
=⋅
⋅−=
⋅−
===5132
π)11(15
2
1564
π)11(15
D32
π)d(D
2
D64
π)d(D
2
d
44
44
44
44
IWW yx
235,5 cm3.
A súlyponti tengelyekre vonatkozó inerciasugár számítása:
( )
( )( )
( )( )
( ) =⋅
=⋅
⋅⋅
=⋅
⋅
==== 22
44
22
44
22
44
d-D61
d-D
πd-D
4
64
πd-D
4
πd-D64
πd-D
A
I
A
Iii
yxyx
( )( )
( )( ) =
⋅=
⋅= 22
44
22
44
11-5161
11-51
d-D61
d-D4,65 cm.
18
2. Síkbeli erőrendszerek kiegyensúlyozásának ismétlése
2.1.1. példa:
Adott a 16. ábra szerinti szerkezet, az AC és BC tartószerkezeti elemek, az A, B és C pontok
helye és a C csuklót terhelő koncentrált erő. Határozzuk meg a támaszoknál fellépő reakcióerő-
ket számítással és a zárt szelvény keresztmetszetű AC tartóelemet ellenőrizzük tiszta húzásra.
Adott: a=3 m, b=2 m, c=4 m, F=34 kN. A keresztmetszet: 80X60X2 zárt szelvény, A = 5,39
cm2. A rúd szilárdsága: f h.=100 N/mm2.
A számító eljárás során először az erőrendszer ismeretlen erőit, nagyságukat és irányukat (ér-
telmüket), meg kell becsülni, feltételeznünk kell azokat. Jelen példában: az A és B csuklóknál
fellépő reakciók nagyságát FA–nak és FB–nek feltételezzük. Az irányuk: mivel az AC és BC
tartószerkezeti elemeket csak a végükön, a csuklókon keresztül éri hatás, magán a tartószerke-
zeti elemen nincs erő (önsúlytól eltekintünk) – ez azt jelenti, hogy ebben a két tartószerkezeti
elemben rúdirányú erők lépnek fel. Azaz: két végén terhelt, csuklós rudakban csak rúdirányú
erő ébred. Amiből következik, hogy ezek a tartószerkezeti elemek rúdirányban akarnak elmoz-
dulni, és a támaszok ezt az elmozdulást akarják megakadályozni.
16. ábra: Közös metszéspontú erőrendszer kiegyensúlyozása – daruszerkezet
Azaz az ismeretlen támaszerők hatásvonalai párhuzamosak a tartószerkezeti elemek hosszten-
gelyével, a kérdés csak az irányításuk. Ha azt nem tudjuk kikövetkeztetni a külső ható erőkből
és a tartószerkezet elrendezéséből, akkor feltételeznünk kell (17. ábra). A következő lépésben
a vetületi egyenleteket használjuk fel, amit egyensúlyozási feladatok megoldása során vetületi
egyensúlyi egyenleteknek nevezünk. Az egyenlőség egyik oldalán az erőrendszer valamennyi,
ismert és ismeretlen elemének összegezzük előjelhelyesen a viszonyítási koordinátarendszerrel
párhuzamos komponenseit, és ezeket egyenlővé tesszük nullával. Ugyanis ha az erőrendszer
19
eredője nulla, akkor 022 =+= RyRxR FFF egyenlőség csak úgy lehet igaz, ha az eredő erő
viszonyítási tengelyre vett komponensei külön – külön egyenlők nullával.
17. ábra: Támaszerők nagyságának és értelmének a feltételezése
( ) ( )βFαF BA coscos0Fx ⋅+⋅==∑ és
( ) ( ) Fsinsin0Fy −⋅+⋅==∑ βFαF BA.
Előbbi két egyenletben két ismeretlen szerepel. Feladatunk, hogy a két egyenletből álló két–
ismeretlenes egyenletrendszert megoldjuk. Az α és β szögek meghatározása:
°=
+=
+= 38,66
23
4arctan
ba
carctanα és
°=
=
= 63,432
4arctan
b
carctanβ .
Behelyettesítés a vetületi egyenletekbe:
( ) ( ) ( ) ( )°⋅+°⋅=⋅+⋅==∑ 63,43cos38,66coscoscos0Fx BABA FFβFαF és
( ) ( ) ( ) ( ) 4363,43sin38,66sinFsinsin0Fy −°⋅+°⋅=−⋅+⋅==∑ BABA FFβFαF
Az első egyenletből:
( )( )°
°⋅−=
38,66cos
63,43cosB
A
FF ,
majd behelyettesítve második egyenletbe:
20
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( ) 4363,43sin38,66sin38,66cos
63,43cos
4363,43sin38,66sin38,66cos
63,43cos0
−
°+°⋅
°
°−⋅=
=−°⋅+°⋅°
°⋅−=
B
B
B
F
FF
, ahonnan
( )( )
( ) ( )kN3,376
63,43sin38,66sin38,66cos
63,43cos
43=
°+°⋅
°°
−
=BF ( ).
Visszahelyettesítés után FA–ra a következőt kapjuk:
( )( )
( )( )
→−=°
°⋅−=
°°⋅
−= 36,338,66cos
63,43cos37,36
38,66cos
63,43cosBA
FF kN36,3=AF ( ).
Ezek szerint az ismeretlen támaszerők nagysága kN36,3A =F és kN63,37=BF . Az FB kény-
szererőnek feltételezett irányítás helyes volt, mivel pozitív értéket kaptunk. Azonban az A tá-
masznál feltételezett támaszerőnek az előjele negatív, ami annyit jelent, hogy az ismeretlen
értelmű erőnek a feltételezett irány nem volt jó. A valós irányítása az erőnek éppen ellentétes
(18. ábra).
Másik megoldási lehetőség, ha két darab nyomatéki egyensúlyi egyenletet írunk fel. Előbb az
A pontra:
)ba(Fasinβb)a(Fa0MA +⋅−⋅⋅=+⋅−⋅==∑ BBy FF , majd a B pontra:
18. ábra: Az ismeretlen támaszerők nagysága és irányítása helyesen ábrázolva
bFasinαbFa0MB ⋅−⋅⋅=⋅−⋅−==∑ AAy FF
Az első egyenletből:
21
=⋅°
+⋅=
⋅
+⋅=
3)sin(63,43
)23(43
asinβ
)ba(FBF kN36,63 ( ).
A második egyenletből:
→−=⋅°
⋅=
⋅⋅
= 28,363)sin(38,66
243
asinα
bFAF kN28,36=AF ( ).
Az AC tartószerkezeti elem igénybevétele tiszta húzás, nyíró és hajlító igénybevétel nem lép
fel, a maximális normál igénybevétel megegyezik az FA reakcióerővel.
Az AC tartószerkezeti elemben fellépő húzófeszültség:
=⋅
⋅==
2
3maxhúzó
1039,5
1028,36
A
Nσ 67,31 N/mm2.
Összehasonlítás a szilárdsággal:
f h.=100 N/mm2 > 67,31 N/mm2 = σhúzó →MEGFELEL
2.1.2. példa:
Adott a 19. ábra szerinti szerkezet, az AC és BC tartószerkezeti elemek, az A, B és C pontok
helye és a C csuklót terhelő koncentrált erő. Feladat, hogy meghatározzuk az A és B csuklóknál
fellépő támaszerőket számítással és az AC, BC kör keresztmetszetű tartószerkezeti elemek
szükséges átmérőjét.
Adott: a=4 m, b=2,5 m, c=4,5 m, F=27 kN. A rudak/kötelek szilárdsága: f h.=100 N/mm2.
19. ábra: Közös metszéspontú erőrendszer
Feltételeznünk kell az ismeretlen reakció erők nagyságát és értelmét (20. ábra). A hatásvonaluk
ismert, mivel az AC és BC tartószerkezetei elemeket csak a végükön lévő csuklókon keresztül
éri terhelés. Így ezek az elemek hossztengelyükkel párhuzamosan akarnak elmozdulni.
22
20. ábra: Reakció erők nagyságának és értelmének a feltételezése
Ezt az elmozdulást akadályozzák meg a támaszoknál fellépő kényszererők, amik hatásvonala
így az AC és BC tartószerkezeti elemek hossztengelyével párhuzamos.
Következő lépésként célszerű felvenni a viszonyítási koordinátarendszert, és elhelyezni abba a
pontba, ahol az erőrendszer elemeinek hatásvonalai metszik egymást – jelen esetben ez a C
pont. Ugyanekkor feltüntetjük a két tartószerkezeti elem hossztengelyének (azaz a feltételezett
reakcióerők hatásvonalának is egyben) a viszonyítási koordinátarendszer tengelyeivel bezárt
szögeit (21. ábra). Ezután kezdhetjük meg a számolást. Először az α és β szögeket számítjuk
ki: °=
=
= 582,5
4arctan
b
aarctanα és °=
=
= 41,634,5
4arctan
c
aarctanβ .
Következő lépésben írhatjuk fel a vetületi egyensúlyi egyenleteket:
( ) ( )βcosαcos0Fx ⋅+⋅−==∑ BA FF és
( ) ( ) Fβsinαsin0Fy −⋅+⋅==∑ BA FF
A két egyenletből álló két ismeretlenes (FA, FB) egyenletrendszer megoldása után a következő-
ket kapjuk eredményül a reakcióerőkre: kN74,20=AF ( ) és kN51,14=BF ( ). Ezek a re-
akció erők nagyságai. Mivel az egyenletrendszer megoldásából pozitív értékeket kaptunk meg-
oldásul, ez annyit jelent, hogy a támaszerőknek feltételezett irányítás helyes volt, azok megfe-
lelnek a 21. ábra szerint feltüntetettnek.
Másik megoldási lehetőség, hogy felírunk az A és B pontokra nyomatéki egyensúlyi egyenle-
teket:
( ) c)(bβsinbF0MA +⋅⋅+⋅−==∑ BF és
23
21. ábra: Reakcióerők hatásvonalának és a viszonyítási koordinátarendszer tengelyeinek a bezárt szöge
( ) c)(bαsincF0M +⋅⋅−⋅==∑ AFB .
Ezekből ugyanazokat az eredményeket kapjuk a támaszerőkre.
Az AC és BC tartószerkezeti elemek igénybevétele tiszta húzás, nyíró, hajlító igénybevétel nem
lép fel. A maximális húzóerők megegyeznek a támaszoknál ébredő reakcióerőkkel.
A szükséges dAC átmérő meghatározása:
=⋅
===→=100
1047,20
ffA
Af
3
h.h.AC
ACh.
ASS ACAC 204,7 mm2 →
=⋅
=→⋅
=π
47,204d
4
πdA AC
2AC
AC 16,14 mm → =≈ ACd 2 cm.
A szükséges dBC átmérő meghatározása:
=⋅
===→=100
1051,14
ffA
Af
3
h.h.BC
BCh.
BSS BCBC 145,1 mm2 →
=⋅
=→⋅
=π
41,145d
4
πdA BC
2BC
BC 13,59 mm → =≈ BCd 1,5 cm.
2.1.3. példa:
Adott a 22. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet, ami egyik végén egy csuklóval (A
pont), másik végén egy görgővel (B pont) van megtámasztva. Határozzuk meg a támaszerőket
számítással, számítsuk ki a hajlításból származó maximális normál és nyírófeszültség és ellen-
őrizzünk.
Adott: F = 17 kN, a = 1 m, α1=50 ° és α2=30 °. Szelvény: I-200→ Iz = 2140 cm4, Sz = 125 cm3,
v = 7,5 mm. A hajlítási szilárdság: f hajl. = 95 N/mm2, a nyírási szilárdság: f nyírás = 74 N/mm2.
24
22. ábra: Közös metszéspontú erőrendszer kiegyensúlyozása
Az erőrendszernek három eleme van, az F ható erő és az A és B ismeretlen támaszerők. Ennek
a három erőnek kell egyensúlyban lennie. Három erő egyensúlyának a feltétele, hogy hatásvo-
nalaiknak egy pontban kell metszeniük egymást és a vektorsokszögnek folytonos nyílértelem-
mel kell záródnia. A vetületi egyenleteknek egyenként zérussal kell egyenlőnek lennie.
23. ábra: A viszonyítási koordinátarendszer elhelyezése a közös metszéspontban, reakcióerők nagyságának és
irányának feltételezése
Sinus tételből: ( )
( )( )( )
( )m1,63
70sin
50sin2
α90α180sin
αsin2
21
1 =°
°⋅=
−°−−°
⋅=b
Cosinus tételből:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m48,30390cos63,114263,114α90cos4a24a 221
22 =°−⋅⋅⋅⋅−+⋅=−⋅⋅⋅−+= bbc
Cosinus tételből: ( )
( )( )
( )°=
⋅⋅⋅−⋅+
=
⋅⋅−+
= 9,231448,32
63,11448,3arccos
4ac2
4aarccos
222222bc
β
x és y irányú vetületi egyensúlyi egyenletek:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )°°⋅−°⋅+°⋅−=
=°⋅−⋅+⋅−==∑30-90cos23,9cos50cos17
α-90coscosαcosF0F 21x
BA
BβA
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )°−°⋅+°⋅+°⋅−=
=−°⋅+⋅+⋅−==∑3090sin23,9sin50sin17
α90sinsinαsinF0F 21y
BA
BβA
A két egyenletből álló két–ismeretlenes egyenletrendszer megoldása A–ra és B–re:
25
A = 16,07 kN( ) és B=7,53 kN( ).
Mivel a mindkét ismeretlen támaszerőre pozitív értéket kaptunk, ezért a támaszerőknek felté-
telezett irányítások helyesek.
A másik megoldási lehetőség szerint a kényszerek azonosítása alapján vesszük/tételezzük fel
az egyensúlyozó erők nagyságát és irányát. A B pontban a görgő támasztja meg a tartót, ezért
ott a támaszra merőleges irányban vesszük fel az ismeretlen támaszerőt. Az A pontban csukló
biztosítja, hogy ne mozduljon el a tartó. Ez a kényszer csak a forgást engedi meg a tartónak, az
elmozdulást nem. Emiatt tételezhetjük fel a viszonyítási koordinátarendszer x és y irányával
párhuzamosan fellépő támaszerőket az A pontban (24. ábra).
24. ábra: Reakcióerők nagyságának és irányának feltételezése
Ebben az esetben három egyensúlyi egyenlet felírásával és az egyenletrendszer megoldásával
megkapjuk az eredményeket.
Nyomatéki egyensúlyi egyenlet az A pontra:
( ) ( ) →⋅°⋅+⋅⋅−==∑ a4α-90sina2αsinF0M 21A B B=7,52 kN( ).
Nyomatéki egyensúlyi egyenlet a B pontra:
( ) →⋅−⋅⋅==∑ a4a2αsinF0M 1B yA Ay=6,51 kN(↑).
x irányú vetületi egyensúlyi egyenlet:
( ) ( )→°⋅−+⋅−==∑ 21x α-90cosαcosF0F BAx Ax=14,69 kN (→).
Az A pontban ébredő támaszerő eredője:
=+=+= 2222 69,1451,6yx AAA 16,07 kN( ).
Az ébredő belső erőket és az igénybevételek eloszlását a tartó hossztengelye mentén a 25. ábra
mutatja be:
26
25. ábra: A fellépő reakcióerők és igénybevételek ábrázolása
A hajlításból származó maximális normálfeszültség:
=⋅⋅
⋅⋅=⋅= (mm)001
)mm(1014,2
)mmN(1002,31t
I
M47
6
(y)z
max.maxhajlσ 60,84 N/mm2→
→ =.maxhajlσ 60,84 N/mm2 < 95 N/mm2 = f hajl. →MEGFELEL
A hajlításból származó maximális nyírófeszültség:
=⋅
⋅⋅
⋅=⋅=
7,5(mm)
)mm(1025,1
)mm(1014,2
N)(1051,6
v(y)
(y)S
I
T 35
47
3z
z
(max)x,.maxhajlτ 5,07 N/mm2→
→ =.maxhajlτ 5,07 N/mm2 < 74 N/mm2 = f nyírás →MEGFELEL
2.1.4. példa:
Adott a 26. ábra szerinti tartószerkezet, ami két csuklóval (A és B pontban) van megtámasztva.
Határozzuk meg a támaszerőket számítással. Határozzuk meg a kör keresztmetszetű BC tartó-
szerkezeti elem szükséges átmérőjét. Ellenőrizzük a felfüggesztett, I szelvényű, vízszintes tar-
tóelemet hajlításra (normál– és nyírófeszültség).
Adott: F = 23 kN, a = 2 m és α=40 °. Vízszintes tartóelem keresztmetszete: I 200 szelvény, Iz
= 2140 cm4, Sz = 125 cm3, v = 7,5 mm, a hajlítási szilárdság: f hajl. = 95 N/mm2, a nyírási szi-
lárdság: f nyírás = 74 N/mm2. A BC kötél szilárdsága: f h.=80 N/mm2.
27
26. ábra: Közös metszéspontú erőrendszer kiegyensúlyozása
27. ábra: A viszonyítási koordinátarendszer elhelyezése a közös metszéspontban, reakcióerők nagyságának és
irányának feltételezése
28. ábra: Rosszul feltételezett A támaszerő irányának javítása
28
x irányú vetületi egyensúlyi egyenlet:
( ) ( ) ( ) ( )°⋅+°⋅=⋅+⋅==∑ 40sin40sin32αsinαsinF0Fx AA →
A = –23 → A = 23 kN ( ).
Ez azt jelenti, hogy az A támaszerő nagysága 23 kN, iránya azonban ellentétes azzal, amit fel-
tételeztünk (28. ábra).
Az y irányú vetületi egyensúlyi egyenlet:
( ) ( ) ( ) ( ) BBA −°⋅−°⋅−=−⋅−⋅−==∑ 40cos3240cos32αcosαcosF0Fy →
→ B = –35,24 → B = 35,24 kN (↑).
29. ábra: Rosszul feltételezett B reakcióerő irányának javítása
30. ábra: Feltételezett reakcióerők
29
Ez azt jelenti, hogy az B támaszerő nagysága 35,24 kN, iránya azonban ellentétes azzal, amit
feltételeztünk (29. ábra).
A másik megoldási lehetőség, hogy a B pontban ébredő támaszerő nagyságát felvesszük, irá-
nyát pedig a BC rúdelem hossztengelyével párhuzamos.
Ebben nincs változás. Mivel az A pontban nem ismerjük az elmozdulás irányát, ezért felvesszük
külön – külön az Ay és Ax támaszerőket (30. ábra).
Nyomatéki egyensúlyi egyenlet az A pontra:
( ) →⋅⋅−⋅−==∑ a2αcosFa0MA B B = –35,24→B = 35,24 kN(↑).
Nyomatéki egyensúlyi egyenlet a C pontra:
( ) →⋅⋅−⋅−==∑ aαcosFa0MC yA Ay = –17,62→ Ay = 17,62 kN(↓).
x irányú vetületi egyensúlyi egyenlet:
( ) →⋅+==∑ αsinF0Fx xA Ax = –14,78→ Ax = 14,78 kN(←).
Az A pontban ébredő támaszerő eredője:
0,2362,1778,14 2222 =+=+= yx AAA kN( ).
A függőleges, BC tartóelem igénybevétele tiszta húzás, a fellépő maximális belső erő meg-
egyezik a B kényszernél ébredő reakcióerővel.
31. ábra: A fellépő reakcióerők és igénybevételek ábrázolása
30
A szükséges dBC átmérő meghatározása:
=⋅
===→=80
1024,35
ffA
Af
3
h.h.BC
BCh.
BSS BCBC 440,5 mm2 →
=⋅
=→⋅
=π
45,440d
4
πdA BC
2BC
BC 23,68 mm → =≈ BCd 2,5 cm.
A felfüggesztett, I szelvényű tartón ébredő igénybevételeket és eloszlásukat a 31. ábra mutatja
be.
A hajlításból származó maximális normálfeszültség:
=⋅⋅
⋅⋅=⋅= (mm)50
)mm(102140
)mmN(1024,35t
I
M44
6
(y)z
max.maxhajlσ 82,34 N/mm2→
→ =.maxhajlσ 82,34 N/mm2 < 95 N/mm2 = f hajl. →MEGFELEL
A hajlításból származó maximális nyírófeszültség:
=⋅
⋅⋅
⋅=⋅=
7,5(mm)
)mm(1025,1
)mm(1014,2
N)(1062,17
v(y)
(y)S
I
T 35
47
3z
z
(max)x,.maxhajlτ 13,72 N/mm2→
→ =.maxhajlτ 13,72 N/mm2 < 74 N/mm2 = f nyírás →MEGFELEL
2.1.5. példa
Adott a 32. ábra szerinti tartószerkezet, ami két csuklóval (A és B pont) van megtámasztva.
Határozzuk meg a támaszerőket számítással. Ellenőrizzük a zárt szelvény (60 x 60 x 3) kereszt-
metszetű BC tartóelemet kihajlásra!
Adott: F = 40 kN, a = 3 m, b = 1 m és α=60 °. A BC tartóelem keresztmetszetére, anyagára és
a megtámasztására vonatkozó adatok táblázatból: ν = 1 (két végén csuklós megtámasztás), A =
6,61 cm2, I = 35,1 cm4, E = 210000 N/mm2, λh = 105.
32. ábra: Közös metszéspontú erőrendszer kiegyensúlyozása
31
Megoldás: az erőrendszert az F koncentrált erő, és a támaszoknál keletkező ismeretlen reakció-
erők alkotják – három erő összesen.
Az egyensúly feltétele, hogy ennek a három erőnek a hatásvonala egy pontban metssze egy-
mást. A B pontban a támaszerő hatásvonalának az iránya ismert, mivel a BC tartószerkezeti
elemet csak a két, csuklós végén éri terhelés. A B ismeretlen erő nagyságát és értelmét vesszük
fel ismeretlenként, és hatásvonalát meghosszabbítva metszésre hozzuk az F erő hatásvonalával
(33. ábra). Ez lesz a D pont. Ezen a ponton kell az A támaszerő hatásvonalának is áthaladnia az
egyensúly feltételének a teljesítéséhez. Ebben az esetben a tartó geometriájából ki tudjuk szá-
molni a vektorháromszög szögeit, amik a vetületi egyensúlyi egyenletek felírásához kellenek.
Az AB távolság (d+c) meghatározása:
( )m46,3
5,0tan60
3
5,0
atanα =
⋅°=+→
⋅+= cd
cd
Az α’ meghatározása:
33. ábra: Támaszerők irányításának feltételezése, majd hatásvonalaik meghosszabbítása az F erő hatásvonaláig
( )°=→
−
+=
−+
+=→=
°
+=→
+= 9,73
31,246,3
13batanm31,2
tan60
13batanα α'
ccdα'c
c.
x irányú vetületi egyensúlyi egyenlet:
( ) ( ) ( ) ( )°⋅−°⋅+=⋅−⋅+==∑ 60cos9,73cos04αcoscosF0Fx BABα'A .
32
34. ábra: Rosszul feltételezett A reakcióerő irányának javítása
y irányú vetületi egyensúlyi egyenlet:
( ) ( ) ( ) ( )°⋅+°⋅=⋅+⋅==∑ 60sin9,73sinαsinsin0Fy BABα'A .
A két egyenletből álló, két ismeretlenes egyenletrendszer megoldása:
A = –48,08→ A= 48,08 kN( ), iránya a feltételezettel ellentétes (34. ábra),
B = 53,34 kN( ), iránya megegyezik a feltételezett iránnyal (34. ábra).
A másik megoldás, hogy nyomatéki egyensúlyi egyenleteket írunk fel. Ebben az esetben a ki-
indulási támaszerők nagyságának és irányának a feltételezései a 35. ábra szerintiek.
35. ábra: Reakcióerők feltételezése
Nyomatéki egyensúlyi egyenlet az A pontra:
→+⋅−⋅⋅==∑ b)a(Fαsin
aαsin0MA B B = 53,33 kN( ).
33
Nyomatéki egyensúlyi egyenlet a B pontra:
→+⋅−⋅−==∑ b)a(Fαsin
a0MB yA Ay = –46,19→ Ay = 46,19 kN(↓).
x irányú vetületi egyensúlyi egyenlet:
( ) →⋅−+==∑ αcosF0Fx BAx Ax = –13,34→ Ax = 13,34 kN(←).
Az A pontban ébredő támaszerő eredője:
07,4819,4634,13 2222 =+=+= yx AAA kN( ).
A BC tartóelem keresztmetszeti jellemzőjének, a kisebbik inerciasugár meghatározása:
===61,6
1,35minmin
A
Ii 2,3 cm.
A tartó redukált hosszának a meghatározása:
=⋅=⋅+= 146,3ν)( cdlred 3,46 m = 346 cm.
A karcsúsági tényező számítása:
===3,2
346
mini
lλ red 150,43.
λh = 105 < 150,43 = λ → a kritikus feszültséget a rugalmas kihajlás, az Euler-féle képlet szerint
kell meghatározni:
=⋅
=⋅
=2
2
2
2
43,150
210000ππ
λσ
Ekrit
91,59 N/mm2.
A BC rúdban ébredő normál igénybevétel megegyezik a B támasztási pontban fellépő reakció-
erővel.
A BC rúdban fellépő normálfeszültség meghatározása:
=⋅
==661
1033,53
A
3BC
fel
Nσ 80,68 N/mm2 < =kritσ 91,59 N/mm2 → MEGFELEL!
2.1.6. példa
Adott az 36. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet, baloldali végén egy csuklóval (A
pont), jobboldali végén egy görgővel (B pont) megtámasztva. A tartószerkezetet hossztenge-
lyére merőlegesen terheli F1, F2 és F3 koncentrált erők. Határozzuk meg a kényszereknél ébredő
támaszerőket számítással és ellenőrizzük a tartót hajlításra.
Adott: F1=19 kN, F2=26 kN és F3= 15 kN, a = 1 m. Keresztmetszet: 200 x 100 x 5 zárt szelvény,
Iz = 1459 cm4, a hajlítási szilárdság: f hajl. = 95 N/mm2.
34
36. ábra: Párhuzamos hatásvonalú erőrendszer kiegyensúlyozása – reakció erő meghatározás
A számító eljárás során az első lépés, hogy a támaszoknál fellépő támasz erők nagyságát és
irányát feltételezzük. Az A csukló megakadályozza a tartószerkezet elmozdulását úgy x, mint
y irányban. Ezért ott Ax és Ay erőket is feltételeznünk kell. A B támasz csak a támaszra merőle-
ges elmozdulását akadályozza meg a tartószerkezetnek, így ott csak egy y tengellyel párhuza-
mos hatásvonalú erő nagyságát és értelmét feltételezzük (37. ábra). A tartószerkezetet terhelő
erőrendszernek így öt eleme van jelen példában, F1, F2 és F3 ható erők és FA, FB ismeretlen erők.
37. ábra: Párhuzamos erőrendszer kiegyensúlyozása – támaszerők nagyságának és irányának feltételezése
Az egyensúly feltétele, hogy az eredő nagysága nulla legyen. Ha ez fenn áll, akkor a tartószer-
kezet sem x, sem y irányban nem mozdul el. Azonban ha az eredő erő zérus, az nem jelenti
automatikusan, hogy nem mozdul el a szerkezet. Ugyanis az eredő erő lehet erőpár is. Azaz az
erőrendszer eredőjének erőértéke zérus, de nyomatéka van. Ebben az esetben a tartószerkezet
egy adott pont körül forgómozgást végez. Természetesen az egyensúly feltétele, hogy a tartó-
szerkezet sem haladó, sem forgómozgást nem végezhet. Ehhez nem elegendő a már ismert két
vetületi egyensúlyi egyenletet felírni:
xA−==∑ 0Fx és 321y FFF0F −+−+==∑ yy BA .
Matematikai szempontból sem megoldható a két egyenletből álló három–ismeretlenes egyen-
letrendszer. Az erőrendszerre ugyanúgy érvényes a nyomatéki tétel is. Ha azonban az erőrend-
szer eredője nulla, annak nyomatéka bármely tetszőlegesen kiválasztott pontra is nulla lesz. Így
írhatjuk fel tetszőlegesen választott pontra a nyomatéki egyensúlyi egyenletet. A pontot, amire
vesszük az erőrendszer valamennyi elemének a nyomatékösszegét, úgy célszerű felvenni, hogy
35
az egyenletben az ismeretlenek száma minimális legyen. Ezt úgy érhetjük el, hogy a nyomaté-
kot olyan pontra írjuk fel, amelyen minél több ismeretlen erő hatásvonala átmegy. Jelen példá-
ban először az A pontra írunk fel egy nyomatéki egyensúlyi egyenletet:
3a)1,75a1,75a(1,5a1,75a)1,75a(1,5aF1,75a)(1,5aF(1,5a)F
0M
123
A
+++⋅+++⋅−+⋅+⋅−=
==∑B
.
Az egyenlőségben az egyetlen ismeretlen a B támasznál fellépő B reakcióerő, mivel Ax és Ay
hatásvonala is átmegy az A ponton, így nyomatékuk az A pontra zérus. Behelyettesítés után:
0,80,50,9125,30,625,1,0510M A ⋅+⋅−⋅+⋅−==∑ B . Az egyenletből B–re a következőt
kapjuk: B = 4,125 kN(↑). Mivel eredményül pozitív értéket kapunk, ez azt jelenti, hogy helyes
volt a B erőnek feltételezett iránya. Az eredmény felírása helyesen: B = 4,125 kN (↑).
38. ábra: A fellépő reakcióerők és igénybevételek ábrázolása
A következő lépésben a B pontra is felírunk egy nyomatéki egyensúlyi egyenletet:
3a)1,75a1,75a(1,5a1,75a)1,75a(3aF1,75a)(3aFa)3(F
0M
321
B
+++⋅−++⋅++⋅−⋅=
==∑yA
.
Az egyenlőségben az egyetlen ismeretlen az A támasznál fellépő Ay reakcióerő, mivel Ax és By
hatásvonala is átmegy a B ponton, így nyomatékuk a B pontra zérus. Behelyettesítés után:
36
0,85,60,5175,40,620,30,190MB ⋅−⋅+⋅−⋅==∑ yA . Az egyenletből Ay–ra a következőt
kapjuk: Ay = 3,875 kN (↑). Mivel eredményül pozitív értéket kapunk, ez azt jelenti, hogy helyes
volt az Ay erőnek feltételezett iránya. Az eredmény felírása helyesen: Ay = 3,875 kN (↑).
Az x irányú vetületi egyensúlyi egyenletből egyértelműen kiderül, hogy az A pontban feltéte-
lezett Ax komponens zérus.
Az y irányú vetületi egyenletbe, ha behelyettesítünk, ellenőrizhetjük a nyomatéki egyensúlyi
egyenletek eredményeit: 516291125,4875,30ΣFy −+−+== . Az egyenlőség fennáll. Az A
reakcióerő nagysága megegyezik az Ay–nal ( )kN(3,8753,8750 2 ↑=+=+= 2
y
2
x AAA ), ha-
tásvonala párhuzamos az y tengellyel, míg irányítása pozitív a viszonyítási koordinátatengely-
hez képest.
A reakcióerőket és az ébredő igénybevételeket a 38. ábra mutatja be.
A hajlításból származó maximális normálfeszültség:
=⋅⋅
⋅⋅=⋅= (mm)100
)mm(101459
)mmN(1063,13t
I
M44
6
(y)z
max.maxhajlσ 93,42 N/mm2→
→ =.maxhajlσ 93,42 N/mm2 < 95 N/mm2 = f hajl. →MEGFELEL
2.1.7. példa
Adott a 39. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet és a viszonyítási koordinátarendszer.
Határozzuk meg a támaszoknál ébredő kényszererőket számítással és adjuk meg az alkalma-
zandó I szelvényt a hajlítás szilárdsága alapján, ellenőrízzünk nyírásra.
Adott: F=11 kN koncentrált erő, q1=5 kN/m és q2=3 kN vonal mentén egyenletesen megoszló
erők, a = 2 m. Keresztmetszet: I-szelvény. A hajlítási szilárdság: f hajl. = 95 N/mm2, a nyírási
szilárdság: f nyírás = 74 N/mm2.
39. ábra: Párhuzamos erőrendszer kiegyensúlyozása – koncentrált és vonal mentén megoszló erővel terhelt egye-
nes tengelyű tartószerkezet
37
Első lépésben a megoszló erőket helyettesítjük koncentrált erőkkel – erre azért van szükség,
mert a megoszló erőknek a nyomatékát egy tetszőlegesen választott pontra a helyettesítő erők-
nek a hatásvonala fogja meghatározni, ezek alapján olvassuk le az erőkarokat. A q1=5 kN/m
egyenletesen megoszló terhelés 1,5a = 3 m hosszon hat, míg a q2=3 kN/m egyenletesen meg-
oszló terhelés 3a = 6 m hosszon hat. A helyettesítő erők nagysága:
kN152)(1,55(1,5a)q1 =⋅⋅=⋅=1Q és kN182)(33(3a)q2 =⋅⋅=⋅=2Q .
Látható, a helyettesítő erő nagysága az azt szimbolizáló téglalap területével egyezik meg, a
hatásvonalát mindig a megoszló terhelés súlypontjába helyezzük el (40. ábra).
40. ábra: Egyenletesen megoszló erők helyettesítése koncentrált erőkkel
41. ábra: Reakcióerők nagyságának és irányának, értelmének feltételezése
Ezután a tartót megtámasztó kényszereknél feltételezzük az ismeretlen reakcióerők nagyságát
és irányát. Az A pontban egy csukló a támasz, ami megakadályozza a tartószerkezet elmozdu-
lását x és y irányokban. Így az A pontban Ax és Ay kényszererőket feltételezünk. A B pontban
egy görgő a kényszer, így ott a támaszra merőleges hatásvonalú B reakcióerőt feltételezünk (41.
ábra). Ezután már felírhatjuk az egyensúlyi egyenleteket.
Először az A pontra írjunk fel egy nyomatéki egyensúlyi egyenletet:
( ) ( ) =++⋅++⋅−
+++⋅−⋅−==∑ aa1,5aa1,5aF
2
aaa1,5a
2
1,5a0MA BQQ 21
38
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )3,5a2,5aF2
3a1,5a3aq
2
1,5aq
aa1,5aa1,5aF2
aaa1,5aaaaq
2
1,5a1,5aq
2
21
21
⋅+⋅−
+⋅⋅−⋅
−=
=++⋅++⋅−
+++⋅++⋅−⋅⋅−=
B
B
Behelyettesítés után:
( ) ( ) ( ) ( )23,522,5112
2321,5233
2
21,550M
2
A ⋅⋅+⋅⋅−
⋅+⋅⋅⋅⋅−
⋅⋅−==∑ B .
Az egyenlőségből a B ismeretlent kifejezve: B = 26,5 kN(↑).
A B pontra írjunk fel egy nyomatéki egyensúlyi egyenletet:
( )
( ) ( )( ) ( )
( ),5a3aF2
3aq
2
25,8aq
1,5aaaaFa2
aaaaaaq
2
1,5aaa1,5aq
1,5aaaaFa2
aaa
2
1,5aaa0M
22
21
21
B
⋅−⋅+⋅⋅
+⋅⋅
=
=++⋅−⋅+
−
++⋅++⋅+
++⋅⋅=
=++⋅−⋅+
−++
⋅+
++⋅==∑
y
y
y21
A
A
AQQ
Behelyettesítés után:
72112
323
2
25,8250M
22
B ⋅−⋅+⋅⋅
+⋅⋅
==∑ yA
Az egyenlőségből az Ay ismeretlent kifejezve: Ay = 17,5 kN(↑).
Ellenőrzésként az y irányú vetületi egyensúlyi egyenletet írjuk fel:
( )( ) 026,517,511222321,55
Faaaq1,5aq0F 21y
=++−++⋅−⋅⋅−=
=++−++⋅−⋅−==∑ BAy
Az x irányú vetületi egyenletben csak az Ax ismeretlen szerepel, ami így nullával egyenlő.
A keresett reakcióerők eredményei helyesen feltüntetve:
Ay = 17,5 kN (↑) és B = 26,5 kN (↑).
A reakcióerőket és az ébredő igénybevételeket az 42. ábra mutatja be.
A hajlításból származó maximális normálfeszültség:
=⋅
==→=⋅==95
1004,31
f
MW
W
Mt
I
Mf
6
hajl.
maxz
z
max(y)
z
maxhajl.
.maxhajlσ 326736 mm3 = 326,7 cm3→
→ táblázatból: I 240 szelvény hajlítás tengelyére keresztmetszeti tényezője: Wz = 354 cm3, Sz
= 206 cm3, v = 8,7 mm.
39
42. ábra: A fellépő reakcióerők és igénybevételek ábrázolása
Ellenőrzés nyírásra, a hajlításból származó maximális nyírófeszültség:
=⋅
⋅⋅
⋅=⋅=
8,7(mm)
)mm(1006,2
)mm(1025,4
N)(105,20
v(y)
(y)S
I
T 35
47
3z
z
(max)x,.maxhajlτ 11,42 N/mm2→
→ =.maxhajlτ 11,42 N/mm2 < 74 N/mm2 = f nyírás →MEGFELEL
2.1.8. példa
Adott az 43. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet és a viszonyítási koordinátarendszer.
Határozzuk meg a támaszoknál ébredő kényszererőket, és ellenőrizzük a tartót hajlításra.
Adott: F=17 kN, α=30 °, q1=2 kN/m és q2=3 kN vonal mentén egyenletesen megoszló erők,
a=2 m. Keresztmetszet: U-szelvényből és lapos acélból (b x v) összeforgatott négyszög kereszt-
metszet: U 180, b = 20 cm, v = 5 mm. A hajlítási szilárdság: f hajl. = 95 N/mm2.
Előbb felvesszük a kényszereknél az ismeretlen nagyságú és feltételezett irányú erőket (44.
ábra), majd nyomatéki egyensúlyi egyenletet írunk fel az A és B pontokra.
40
43. ábra: Egyenes tengelyű tartó általános terhelése
44. ábra: Ismeretlen nagyságú és irányú reakcióerők felvétele
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )221,52sin30221,5712
25,1221,525,123
2
21,52
a1,5a2sinαa1,5aF2
a5,1a1,5aa5,1aq
2
1,5aq0M
2
2
21
A
+⋅⋅⋅+°⋅+⋅⋅−
⋅++⋅⋅⋅+⋅−
⋅⋅−=
=+⋅⋅+⋅+⋅−
++⋅+⋅−
⋅−==∑
B
B
B ismeretlenre a következőt kapjuk: B=16,75 kN(↑).
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )221,522
25,125,1221,52
2
25,123sin3021,571
a1,5a22
a5,1a5,1a1,5aq
2
a5,1aqsinα1,5aF0M
2
1
22
B
+⋅⋅⋅−
⋅+⋅+⋅⋅⋅+
⋅+⋅+°⋅⋅⋅=
=+⋅⋅−
++⋅⋅++⋅
+⋅⋅==∑
y
y
A
A
Ay ismeretlenre a következőt kapjuk: Ay =12,75 kN(↑).
Az x irányú vetületi egyensúlyi egyenlet felírása után kifejezhetjük az Ax ismeretlent is:
→−⋅==∑ xAcosαF0Fx Ax =14,72 kN(←).
Az reakcióerő nagysága: kN47,1975,1272,14 2222 =+=+= yx AAA ( ).
Az ismeretlen erőknek feltételezett irányok és irányítások minden esetben jók voltak.
A másik megoldási lehetőség, hogy visszavezetjük a példát három erő egyensúlyára. Ehhez
meg kell határozni az aktív erők eredőjét. Ebben az esetben a viszonyítási koordinátarendszert
célszerű a tartó valamelyik végén elhelyezni (45. ábra), amit most az A pontban veszünk fel.
41
45. ábra: A viszonyítási koordinátarendszer felvétele az aktív erők eredőjének a meghatározásához
).kN(72,14cosαF →=⋅=∑ xF
)kN(5,295,292,5aq1,5aqsinαF 21 ↓=→−=⋅−⋅−⋅−= ∑∑ yy FF .
=+=+= ∑∑ 22225,2972,14yxR FFF 32,97 kN( ).
46. ábra: Aktív erők eredőjének helye és helyzete a tartón
°=→=∑∑
48,63tg R
x
y
RF
Fαα
( ) ( ) ( ) →+⋅⋅−
++⋅+⋅−
⋅−=⋅−== ∑∑ a1,5asinαF
2
a5,1a1,5aa5,1aq
2
1,5aq2
21
RRyAO xFMM
→ m45,4≅Rx (46. ábra)
Az aktív erők eredőjének (FR) a hatásvonala az M pontban metszi a B támaszerő hatásvonalát,
ebből adódóan az A pontban ébredő egyensúlyozó erő hatásvonalának is ezen az M ponton kell
áthaladnia, irányítása pedig adódik a vektorháromszögből.
42
Meghatározható az A támaszerő hatásvonalának a viszonyítási koordinátatengelyekkel bezárt
αA szöge:
m93,6)4a(4a
tg =−⋅=→−
= RR
R
R xtgMBx
MBαα és
=→= AA
MBαα
ABtg 40,92°
47. ábra: A fellépő reakcióerők és igénybevételek ábrázolása
Ez alapján az x és y irányú vetületi egyensúlyi egyenletek:
→⋅−⋅==∑ ARRx αAαFF coscos0 A = 19,48 kN( ) és
)kN(74,16sinsin ↑=→⋅++⋅−=∑ BABαFF ARRy α .
A reakcióerőket és az ébredő igénybevételeket az 47. ábra mutatja be.
A keresztmetszet z súlyponti, hajlítás tengelyére vett inerciája:
=
+⋅⋅+
⋅+⋅=
+⋅⋅+
⋅+⋅= −
2321803180
zIIz 2
5,0180,502
12
5,00213502
2
vhvb
12
vbU2I
= 4412 cm4.
43
A hajlításból származó maximális normálfeszültség:
=⋅⋅
⋅⋅=⋅= (mm)95
)mm(1041,4
)mmN(1075,36t
I
M47
6
(y)z
max.maxhajlσ 76,17 N/mm2→
→ =.maxhajlσ 76,17 N/mm2 < 95 N/mm2 = f hajl. →MEGFELEL
2.1.9. példa
Adott az 48. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket és
a kör keresztmetszetű tartó szükséges Ød átmérőjét és ellenőrízzünk nyírásra.
Adott: F=20 kN koncentrált erő, q=5 kN/m vonal mentén egyenletesen megoszló erő, M=8
kNm koncentrált nyomaték, a = 1 m. A hajlítási szilárdság: f hajl. = 110 N/mm2, a nyírási szi-
lárdság: f nyírás = 74 N/mm2.
48. ábra: Kéttámaszú tartó kiegyensúlyozása
Megoldás: előbb felvesszük a kényszereknél az ismeretlen nagyságú és irányú erőket (49. ábra),
majd nyomatéki egyensúlyi egyenletet írunk fel az A és B pontokra. Az A pontban csak függő-
leges, y irányú erőt veszünk fel, mivel az Ax kivételével x irányú erő nem működik az erőrend-
szerben. Így a vízszintes vetületi egyensúly csak úgy teljesül, ha Ax=0.
( )
( ) 141022
10,751211,25110,751258
4aaF2
0,75a2a1,25aa0,75a2aqM0MA
⋅⋅+⋅−
⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅−=
=⋅+⋅−
+++⋅+⋅−==∑
B
B
A B ismeretlenre a következőt kapjuk: B=15,46 kN (↑).
537,075,2583024
5a37,0a75,2qM3aF4a0MB
⋅⋅++⋅+⋅=
=⋅⋅++⋅+⋅==∑A
A
Az A ismeretlenre a következőt kapjuk: A = –18,29 → A=18,29 kN (↑).
A reakcióerőket és az ébredő igénybevételeket az 50. ábra mutatja be.
44
49. ábra: Ismeretlen támaszerők felvétele / feltételezése
50. ábra: A fellépő reakcióerők és igénybevételek ábrázolása
A hajlításból származó maximális normálfeszültség:
=⋅
⋅⋅=
⋅
⋅=→⋅
⋅=⋅== 3
6
3
hajl.
max4
max(y)
z
maxhajl.
.max
π101
231029,81
πf
23Md
2
d
64
πd
Mt
I
Mfhajlσ 119,22 mm→
→ d ≈ 120 mm.
A félszelvény statikai nyomatéka a hajlítás tengelyére:
45
=
⋅⋅
⋅⋅=
⋅⋅
⋅⋅==
2
1204244,0
4
201π
2
1
2
d4244,0
4
dπ
2
10)(yS
22
z
= =⋅ 46,2587,5654 143,97 cm3.
A súlyponti tengelyekre vonatkozó inercia számítása:
=⋅
=⋅
=64
π012
64
πd 44
zI 1018 cm4.
Ellenőrzés nyírásra, a hajlításból származó maximális nyírófeszültség:
=⋅
⋅⋅
⋅=⋅=
120(mm)
)mm(1044,1
)mm(1002,1
N)(1029,18
v(y)
(y)S
I
T 35
47
3z
z
(max)x,.maxhajlτ 2,15 N/mm2→
→ =.maxhajlτ 2,15 N/mm2 < 74 N/mm2 = f nyírás →MEGFELEL
46
3. Kéttámaszú, egyenes tengelyű tartók igénybevételeinek ismétlése
A tartószerkezetre ható erőrendszer (külső erők és támaszerők együttesen) hatására a tartó bel-
sejében is erők keletkeznek. Ezeket az erőket nevezzük belső erőknek vagy más néven igény-
bevételeknek. A tartószerkezet egy tetszőleges K keresztmetszetének igénybevételét oly módon
határozzuk meg, hogy a K–keresztmetszettől jobbra vagy balra ható külső erők (aktív és reakció
erőket együttesen értjük) eredőjét számítjuk ki. Megkülönböztetjük a normál igénybevételt (tar-
tószerkezet hossztengelyével párhuzamos hatásvonalú külső erők eredője), nyíró igénybevételt
(tartószerkezet hossztengelyére merőleges hatásvonalú külső erők eredője) és a hajlító igény-
bevételt.
Az egyes igénybevételekről, belsőerő típusokról már ejtettünk szót. Ebben a fejezetben olyan
egyenes tengelyű tartószerkezetekkel foglalkozunk, amelyekre nemcsak tengelyirányú, hanem
hossztengelyre merőleges külső erők is hatnak. Így nemcsak normál, hanem nyíró és hajlító
igénybevételek is fellépnek. A feladat, hogy a belső erők változását a tartó hossztengelye men-
tén megszerkesszük, illetve megrajzoljuk. Ehhez a tartó valamennyi keresztmetszetében ismer-
nünk kell a fellépő igénybevételeket.
Az igénybevétel (belső erő) definícióját megismételjük: a tartószerkezet egy tetszőleges K ke-
resztmetszetének igénybevételén az adott K–keresztmetszettől jobbra vagy balra ható külső
erők (aktív és reakció erők) eredőjét értjük.
3.1. Igénybevételi ábrák szerkesztési szabályai
Jelölések: N – normálerő ábra
T – nyíróerő ábra
M – hajlító nyomatéki ábra
1. A tartó azon szakaszán, ahol nincs erőhatás, az N és T ábra vonala a tartótengellyel
párhuzamosan halad.
2. Koncentrált erő helyén az N és T ábrán az erő megfelelő irányú összetevőjének megfe-
lelő ugrás van.
3. A nyomatéki ábra vonala lineárisan halad azon a szakaszon, ahol nincs erőhatás. A kon-
centrált erő helyén az M ábrában törés van.
4. Az M és T ábra között differenciális kapcsolat van. A nyíróerő ábra függvényét integ-
rálva kapjuk a nyomatéki ábra függvényét, illetve a nyomatéki ábra függvényét deri-
válva kapjuk a nyíróerő ábra függvényét.
5. Előző pontból következik, hogy a nyomaték helyi/lokális szélsőértékei ott lépnek fel,
ahol a nyíróerő nulla.
47
6. A tartó végein, ha nincs koncentrált nyomaték, akkor a nyomaték nulla.
7. Koncentrált erő helyén a nyomatéki ábrában törés van.
8. Megoszló terhelés alatt a T ábra vonala ferde helyzetű egyenes, meredeksége a teherin-
tenzitás.
9. Megoszló terhelés alatt az M ábra parabola, adott pontjához húzott érintő iránytangense
az adott hely nyíróereje.
10. Az N és T ábrán a koncentrált nyomaték nem okoz változást.
11. A koncentrált nyomaték helyén, az M ábrán a nyomatéknak megfelelő ugrás van.
3.1.1. példa
Adott az 51. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket,
rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat, ellenőrizzük a tartó hajlításra és nyírásra.
Adott: F=7 kN, q1=2 kN/m és q2= 3 kN/m, a = 2 m és α=60 °. A keresztmetszet: I 280 szelvény.
A hajlítási szilárdság: f hajl. = 95 N/mm2, a nyírási szilárdság: f nyírás = 74 N/mm2.
51. ábra: Egyenes tengelyű, kéttámaszú tartó – terhelések és támaszerők
Először mindig a normál igénybevételi ábrát rajzoljuk meg. Azokat az erőket összegezzük az
egyes keresztmetszetekben, amelyek hatásvonala párhuzamos a tartó hossztengelyével. Ebben
az esetben az Ax–ből és az F erő x irányú komponenséből származik normál igénybevétel. A
52. ábra mutatja a normál igénybevételnek az eloszlását a tartó hossztengelye mentén. A szer-
kesztési szabályoknak megfelelően láthatjuk, hogy a tartóra két helyen koncentrált normál erő
(Ax és F) hat. Ezeken a helyeken azonos nagyságú, de ellentétes irányú ugrás található, mivel a
két erő irányítása ellentétes. A terheletlen szakaszon a tartó hossztengelyével párhuzamosan
haladunk. Nagyon egyszerűen ellenőrizhetjük, hogy jól dolgoztunk–e. Ugyanazon keresztmet-
szetben két oldalról nézve a belső erőknek ki kell egyensúlyozniuk egymást. Azaz azonos ke-
resztmetszetet két oldalról vizsgálva azonos nagyságú, de ellentétes irányítású erőket kell kap-
nunk eredményül.
48
52. ábra: Normálerő ábra
Előbb az A ponttól tetszőleges x < 5 m távolságban található K keresztmetszetet vizsgáljuk. A
53. ábra felső részén láthatjuk, hogy a K keresztmetszettől jobbra eső tartószerkezeti részt meg-
tartottuk. A balra található összes (jelen esetben egy) normálerőnek a hatását vettük figyelembe
a vizsgált K keresztmetszetre. A 53. ábra alsó részén a tartó bal oldali részét tartottuk meg, és
a K keresztmetszettől jobbra lévő normálerők hatását összegeztük a vizsgált keresztmetszetre.
Látható, hogy két oldalról nézve ugyanazon K keresztmetszetben a belső erő nagysága azonos,
irányítása ellentétes.
53. ábra: Normál igénybevétel értelmezése ugyanazon K keresztmetszetben, két oldalról nézve
A normálerő ábra alá közvetlenül rajzoljuk a nyíróerő ábrát. Azoknak az erőknek a hatását
vizsgáljuk, melyeknek a tartó hossztengelyére merőleges komponense van. Ezek az Ay, q1, q2,
Fy és B erők. A tartó bal oldalán az A pontban az Ay koncentrált erőhatás miatt az erő nagysá-
gának megfelelően ugrunk (54. ábra), a nyíró igénybevétel értéke az A keresztmetszetben 11,84
kN – első lépés. Onnan q1 terhelés miatt ferde helyzetű egyenessel indulunk el az ugrással el-
lentétesen, mivel q1 és Ay egymással ellentétes irányba mutatnak – második lépés. A C kereszt-
metszet nyíró igénybevételének meghatározás a keresztmetszettől jobbra és balra eső nyíróerők
eredőjének külön – külön meghatározásával (55. ábra).
49
54. ábra: Nyíróerő ábra – első, második lépés
55. ábra: C keresztmetszet nyíró igénybevételének értelmezése két oldalról nézve
Ha a C keresztmetszettől balra eső nyíró erőket összegezzük:
84,53284,113q1 =⋅−=⋅−=∑ y
b
C AT → ( )↑=∑ kN84,5b
CT .
Ha C keresztmetszettől jobbra eső nyíró erőket összegezzük:
83,55306,615,235qF 2y −=⋅−−=⋅−−=∑ BTj
C → ( )↓=∑ kN83,5j
CT .
Láthatjuk, hogy ugyanazon keresztmetszetben két oldalról vizsgálva a két nyíró igénybevétel
éppen kiegyenlíti egymást. Azaz a C keresztmetszetben fennáll az egyensúly, mivel a nagyság
megegyezik (a minimális eltérés a kerekítésekből adódik), míg az irányok ellentétesek egymás-
sal.
Innen a q2 megoszló terhelés intenzitásának megfelelő meredekségű egyenessel haladunk to-
vább egészen az F koncentrált erő támadáspontjáig – harmadik lépés, ahol az F erő y kompo-
nensének megfelelően ugrunk lefele (56. ábra) – negyedik lépés.
50
56. ábra: Nyíróerő ábra – harmadik, negyedik lépés
16,0233284,112q3q 21 −=⋅−⋅−=⋅−⋅−=∑ y
b
D AT → ( )↓=∑ kN0,16b
DT .
Az ábrán az erők nagysága és a geometria miatt nehezen látható, de a nyíró erő értéke a tengely
alá esik a vizsgált keresztmetszetben. Ezután jön az F erő y komponensének a figyelembevétele:
6,226,060,16F0,16233284,112q3q y21 −=−−=−→−=⋅−⋅−=⋅−⋅−=∑ y
b
D AT →
( )↓=∑ kN6,22b
DT .
Ha D keresztmetszettől jobbra eső nyíró erőket összegezzük:
57. ábra: D keresztmetszet nyíró igénybevételének értelmezése két oldalról nézve
23,63315,233q2 =⋅−=⋅−=∑ BTj
D → ( )↑=∑ kN23,6j
DT .
Az F erő y komponensének a figyelembevétele:
→ 17,006,623,6F23,63315,233q y2 =−=−→=⋅−=⋅−=∑ BTj
D → ( )↑=∑ kN17,0j
DT .
51
Innen továbblépve a q2 megoszló terhelésnek megfelelően ferde helyzetű egyenessel haladok
tovább a következő koncentrált erőhatásig, ami a B erő – ötödik lépés. Végül pedig a B kon-
centrált erő nagyságának megfelelően felfelé ugrunk – hatodik lépés (58. ábra).
58. ábra: Nyíróerő ábra – ötödik, hatodik lépés
A B keresztmetszetet vizsgálata mindkét oldalról hasonló módon történik, mint a C és D ke-
resztmetszeteké.
59. ábra: Nyomatéki ábra szerkesztése – első lépés
52
Az utolsó igénybevétel fajta a hajlító nyomaték és eloszlásának a vizsgálata a tartó hossztenge-
lye mentén. Ezt az ábrát közvetlenül a nyíróerő ábra alá rajzoljuk. Fontos tudnivaló (ahogy a
szerkesztési szabályoknál már említettük), hogy a nyomatéki és nyíróerő ábra között differen-
ciális kapcsolat áll fenn.
Ennek figyelembevételével legelőször megnézzük, melyik keresztmetszetben áll fenn a T = 0
egyenlőség – ott lokális (adott keresztmetszet közeli) szélsőértéknek kell lenni. Ezután, meg-
nézzük, hogy a tartó végein működik–e koncentrált nyomaték – ha nem, ott a nyomaték értéke
zérus. Végül pedig megtekintjük, hogy a tartón működik–e valahol koncentrált nyomaték – ha
igen, ott ugrás lesz a nyomatéki ábrán. Ezek figyelembevételével tesszük meg az első lépést a
nyomatéki ábra rajzolásakor. A 59. ábra mutatja, hogy T = 0 a D keresztmetszet közvetlen
közelében lesz – mivel nagyon kis távolságról van szó, ezért úgy tekintjük, hogy a D kereszt-
metszetben van a zérus. Azt is láthatjuk, hogy a tartón sehol, se a végeken, se a tartószerkezeten
nem működik koncentrált nyomaték, így a tartó két végén zérus a nyomaték, és nem lesz ugrás
sem a nyomatéki ábrában.
Következő lépésben a D keresztmetszet hajlító igénybevételét vizsgáljuk meg két oldalról
nézve, megkeressük a lokális szélsőértéket (60. ábra).
60. ábra: D keresztmetszet hajlító igénybevételének értelmezése két oldalról nézve
2,32584,115,3322
2355,33q
2
2q 2
1
22 −=⋅−⋅⋅+
⋅=⋅−⋅⋅+
⋅=∑ y
b
D AM →
2,32=∑ b
DM kNm ( ) és
19,32323,515,13335,13q 2 =⋅+⋅⋅−=⋅+⋅⋅−=∑ BMj
D → 19,32=∑ j
DM kNm ( ).
Láthatjuk, hogy a hajlító igénybevétel nagysága mindkét esetben 32,2 kNm, és mindkét esetben
az alsó a húzott oldal. Ugyanazon D keresztmetszetben két oldalról nézve az igénybevételek
kiegyenlítik egymást, azaz az egyensúly fennáll.
53
Következő lépésben a C keresztmetszet hajlító igénybevételét vizsgáljuk meg két oldalról
nézve (61. ábra).
52,62311,842
323
2
3q 221 −=⋅−
⋅=⋅−
⋅=∑ y
b
C AM → 52,62=∑ b
CM kNm ( ) és
61. ábra: C keresztmetszet hajlító igénybevételének értelmezése két oldalról nézve
62. ábra: Nyomatéki ábra szerkesztése – második lépés
54
53,26523,51206,62
5352F
2
5q 2
y
22 =⋅+⋅−
⋅−=⋅+⋅−
⋅−=∑ BM j
C →
53,62=∑ j
CM kNm ( ).
Láthatjuk, hogy a hajlító igénybevétel nagysága mindkét esetben 26,52 kNm, és mindkét eset-
ben az alsó a húzott oldal. Ugyanazon C keresztmetszetben két oldalról nézve az igénybevéte-
lek kiegyenlítik egymást, azaz az egyensúly fennáll.
Ezután már csak össze kell kötni az eddig meghatározott pontokat (62. ábra). Négy „nevezetes”
pontunk van. Mivel a tartó hossztengelye mentén végig megoszló terhelés működik, ezért a
nyomatéki ábra végig másodfokú függvény (parabola) szerint változik.
A hajlításból származó maximális normálfeszültség:
=⋅⋅
⋅⋅=⋅= (mm)140
)mm(1059,7
)mmN(102,32t
I
M47
6
(y)z
max.maxhajlσ 59,39 N/mm2→
→ =.maxhajlσ 59,39 N/mm2 < 95 N/mm2 = f hajl. →MEGFELEL
A hajlításból származó maximális nyírófeszültség:
=⋅
⋅⋅
⋅=⋅=
10,1(mm)
)mm(1016,3
)mm(1059,7
N)(1022,15
v(y)
(y)S
I
T 35
47
3z
z
(max)x,.maxhajlτ 6,27 N/mm2→
→ =.maxhajlτ 6,27 N/mm2 < 74 N/mm2 = f nyírás →MEGFELEL
3.1.2. példa
Adott a 63. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket, raj-
zoljuk meg az igénybevételi ábrákat, ellenőrizzük a tartót hajlításra.
Adott: F=15 kN, q=4 kN/m, a = 1 m és α = 30 °, Ød = 12 cm. A hajlítási szilárdság: f hajl. = 150
N/mm2, a nyírási szilárdság: f nyírás = 74 N/mm2.
63. ábra: Egyenes tengelyű, kéttámaszú tartó – támaszerők felvétele és meghatározása a terhelések és geometria
ismeretében
55
A feladat megoldását, a felírt egyenleteket most már kevesebb magyarázó szöveggel egészítjük
ki.
Először a támaszerőket kell meghatározni. x irányú vetületi egyensúlyi egyenlet felírása:
°⋅−−=⋅−−==∑ 03cos51αcosF0Fx xx AA → 13−=xA →
13=xA kN (→).
Az A pontra felírt nyomatéki egyensúlyi egyenlet:
161503sin5112
17174
a6a5αsinFa2
a7a7q0M A
⋅⋅+⋅⋅°⋅−
+⋅
⋅⋅⋅−=
=⋅⋅+⋅⋅⋅−
+⋅
⋅⋅⋅−==∑
B
B
→
25,27=B kN (↑).
A B pontra felírt nyomatéki egyensúlyi egyenlet:
16103sin5111,5174a6aαsinFa1,5a7q0M B ⋅⋅−⋅°⋅+⋅⋅⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==∑ yy AA →
25,8=yA kN (↑) (64. ábra).
A C keresztmetszet vizsgálata két oldalról nézve, normál igénybevétel szempontjából (65.
ábra):
0,13==∑ x
b
C AN kN (→) és
13,030cosFx =°⋅−=∑ j
CN kN (←).
64. ábra: Támaszerők és normál igénybevételi ábra
A C keresztmetszet vizsgálata két oldalról nézve, nyíró igénybevétel szempontjából:
25,8==∑ y
b
C AT kN (↑) és
56
25,8-25,7230sin5117430sinFa7q x =+°⋅−⋅⋅−=+°⋅−⋅⋅−=∑ BTj
C→
25,8=∑ j
CT kN (↓).
A D keresztmetszet vizsgálata két oldalról nézve, nyíró igénybevétel szempontjából:
65. ábra: A C keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata két oldalról nézve
75,714425,8a4q −=⋅⋅−=⋅⋅−=∑ y
b
D AT →
75,7=∑ b
DT (↓) és =↓+↓=∑ )(F)(7,75 yb
DT 15,25 kN (↓).
25,1525,72134a3q =+⋅⋅−=+⋅⋅−=∑ BTj
DkN (↑)
A B keresztmetszet vizsgálata két oldalról nézve, nyíró igénybevétel szempontjából:
25,197,5-15425,8F-a5q y −=⋅⋅−=⋅⋅−=∑ y
b
B AT →
25,19=∑ b
BT (↓) és 825,2725,1925,91 =+−=+−=∑ BTb
BkN (↑).
0,8124a2q −=⋅⋅−=⋅⋅−=∑ j
BT →
0,8=∑ j
BT kN (↓) (66. ábra).
Az F keresztmetszet pontos helyének a meghatározása fontos, mert ott a nyíróerő értéke nulla
lesz. Ez azt jelenti, hogy az F (és B) keresztmetszet(ek)ben lokális nyomatéki szélsőérték lesz.
Az F keresztmetszet helye a C–től számítva:
[ ][ ]
m306,24
25,8
kN/mq
kN=== C
F
Tx ,
Az F keresztmetszet helye a D–től számítva:
[ ][ ]
m793,14
75,7
kN/mq
kN=== D
F
Tx (66. ábra).
Az F keresztmetszet vizsgálata két oldalról nézve, nyíró igénybevétel szempontjából (67. ábra):
0~063,2425,8063,2q =⋅−=⋅−=∑ y
b
F AT
0~25,275,7937,44F4,937q y =+−⋅−=+−⋅−=∑ BTj
F
57
66. ábra: Nyíró–igénybevételi ábra
67. ábra: Az F keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata két oldalról nézve
A hajlító igénybevétel meghatározása az F keresztmetszetben két oldalról nézve:
75,162
063,24063,325,8
2
063,2q063,3
22
−=⋅+⋅−=⋅+⋅−=∑ y
b
F AM →
75,16=∑ b
FM kNm ( ),
75,16937,2,2572937,15,72
4,9374937,2937,1F
2
4,937q
2
y
2
=⋅+⋅−⋅−=⋅+⋅−⋅−=∑ BM j
F
→ 75,16=∑ j
FM kNm ( ) (69. ábra).
A hajlító igénybevétel meghatározása a B keresztmetszetben két oldalról nézve:
0,817,52
54625,81F
2
5q6
2
y
2
=⋅+⋅
+⋅−=⋅+⋅
+⋅−=∑ y
b
B AM → 0,8=∑ b
BM kNm ( ),
58
0,82
24
2
2q 22
−=⋅
−=⋅
−=∑ j
BM → 0,8=∑ j
BM kNm ( ) (70. ábra).
A hajlító igénybevételi ábra (68. ábra) szélsőértékeinek a meghatározásán kívül tetszőleges ke-
resztmetszet igénybevételének a meghatározását hasonló módon kell elvégezni. Ami érdekes
lehet számunkra, annak a keresztmetszetnek a meghatározása, ahol a hajlító igénybevétel értéke
zérus. Láthatjuk, hogy ez a keresztmetszet valahol közelítően a D és B keresztmetszetek közé
esik. Pontos meghatározása:
( ) ( )2
42-25,72
2
q2-B0M
22j...
xx
xx
⋅−⋅=
⋅−⋅==∑ →
A másodfokú egyenletből: x1 = 11,2 m és x2 = 2,44 m. Mivel a tartó hossza összesen nincs 11m,
ezért csak az x2 = 2,44 m a jó megoldás. Azaz a nyomaték a tartó jobb oldali végétől (E kereszt-
metszet) 2,44 m–re lesz zérus.
68. ábra: Nyomatéki ábra
59
69. ábra: Hajlító igénybevétel maghatározása az F keresztmetszetben két oldalról nézve
70. ábra: Hajlító igénybevétel maghatározása a B keresztmetszetben két oldalról nézve
A súlyponti tengelyekre vonatkozó inercia számítása:
=⋅
=⋅
=64
π21
64
πd 44
zI 1018 cm4.
A hajlításból származó maximális normálfeszültség:
=⋅⋅
⋅⋅=⋅= (mm)60
)mm(1002,1
)mmN(1075,16t
I
M47
6
(y)z
max.maxhajlσ 98,53 N/mm2→
→ =.maxhajlσ 98,53 N/mm2 < 150 N/mm2 = f hajl. →MEGFELEL
A félszelvény statikai nyomatéka a hajlítás tengelyére:
=
⋅⋅
⋅⋅=
⋅⋅
⋅⋅==
2
1204244,0
4
201π
2
1
2
d4244,0
4
dπ
2
10)(yS
22
z
= =⋅ 46,2587,5654 143,97 cm3.
Ellenőrzés nyírásra, a hajlításból származó maximális nyírófeszültség:
=⋅
⋅⋅
⋅=⋅=
120(mm)
)mm(1044,1
)mm(1002,1
N)(1025,19
v(y)
(y)S
I
T 35
47
3z
z
(max)x,.maxhajlτ 2,26 N/mm2→
→ =.maxhajlτ 2,26 N/mm2 < 74 N/mm2 = f nyírás →MEGFELEL
3.1.3. példa
Adott a 71. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket, raj-
zoljuk meg az igénybevételi ábrákat, számítsuk ki a kör keresztmetszetű tartó szükséges Ød
átmérőjét.
Adott: F=15 kN, q=4 kN/m, a=1 m és α = 30 °. A hajlítási szilárdság: f hajl. = 120 N/mm2.
60
71. ábra: Egyenes tengelyű, kéttámaszú, két oldalt konzolosan túlnyúló tartó
14,51)(2,5154-12,512-10,5133
a4,5a)a(2,5a5q-a2,5F-a0,5a3q0M 21A
⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
=⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==∑B
B →
B=21,22 kN (↑),
14,5-12211)3,51(1,51331154
a4,5-a2Fa)3,5a(1,5a3qaa5q0M 12B
⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
=⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==∑y
y
A
A →
Ay=19,78 kN (↑),
Ax=0.
Az A keresztmetszet nyíró igénybevételének számítása:
6123a2q1 −=⋅⋅−=⋅⋅−=∑ b
AT → ∑ b
AT = 6 kN (↓), majd ugrás az ábrán
13,786 =+−=∑ y
b
A AT kN (↑).
A C keresztmetszet nyíró igénybevételének számítása:
78,1078,91133a3q1 =+⋅⋅−=+⋅⋅−=∑ y
b
C AT kN (↑).
A D keresztmetszet nyíró igénybevételének számítása:
78,478,9111,54-133a5,1q-a3q 21 =+⋅⋅⋅⋅−=+⋅⋅⋅⋅−=∑ y
b
D AT kN (↑), majd ugrás az áb-
rán 7,22124,78F4,78 −=−=−=∑ b
DT → 7,22=∑ b
DT kN (↓).
A B keresztmetszet nyíró igénybevételének számítása:
22,15-1219,7813,54-133Fa3,5q-a3q 21 =−+⋅⋅⋅⋅−=−+⋅⋅⋅⋅−=∑ y
b
B AT →
22,15=∑ b
BT kN (↓), majd ugrás az ábrán 622,2122,15- =+=∑ b
BT kN (↑).
61
72. ábra: Nyíró igénybevételi ábra
Az A keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása:
( ) ( )6
2
123
2
a2q 221 =
⋅⋅=
⋅⋅=∑ b
AM kNm ( ).
-614,522,1212,5211)1(2,51542
13
a4,5a2,5Fa)a(2,5a5q2
aq
2
2
21
=⋅⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅−⋅
−=
=⋅⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅−⋅
−=∑ BMj
A
→
6=∑ j
AM kNm ( ).
A D keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása:
( ) ( )94,171222,12
2
13,54a2
2
a3,5q 222 =⋅⋅+
⋅⋅−=⋅⋅+
⋅⋅−=∑ BM j
D kNm ( ),
( )
( )95,1712,578,91
2
11,541)1,51(1,5133
a2,52
a1,5qa)1,5a(1,5a3q
2
22
1
−=⋅⋅−⋅⋅
+⋅+⋅⋅⋅⋅=
=⋅⋅−⋅⋅
+⋅+⋅⋅⋅⋅=∑ y
b
D AM
→
95,71=∑ b
DM kNm ( ).
62
73. ábra: Hajlító igénybevételi ábra
A B keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása:
( ) ( )5,4
2
11,54
2
a1,5q 222 =
⋅⋅−=
⋅⋅−=∑ j
BM kNm ( ).,
( ) ( )
( ) ( ) 49,414,578,91122113,511,51332
13,54
a4,5a2Fa3,5a1,5a3q2
a3,5q
2
1
22
=⋅⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅
=⋅⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅
=∑ y
b
B AM
→
=∑ b
BM 4,49 kNm ( ).
A hajlításból származó maximális normálfeszültség:
=⋅
⋅⋅=
⋅
⋅=→⋅
⋅=⋅== 3
6
3
hajl.
max4
max(y)
z
maxhajl.
.max
π201
231095,17
πf
23Md
2
d
64
πd
Mt
I
Mfhajlσ 115,07 mm→
→ d ≈ 120 mm.
63
4. Merev befogású, egyenes tengelyű tartók igénybevételeinek ismétlése
A mereven befogott tartók reakcióerőinek a számítására korábban nem tértünk ki, ezért ezzel
most részletesen foglalkozunk.
4.1.1. példa
Adott a 74. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket, raj-
zoljuk meg az igénybevételi ábrákat, ellenőrizzük a tartót hajlításra.
Adott: F=8 kN, q=2 kN/m, M= 25 kNm és a=1 m. Keresztmetszet: 250 x 150 x 8 zárt szelvény,
Iz = 4972 cm4, a hajlítási szilárdság: f hajl. = 150 N/mm2.
Első lépésben a kényszernél fellépő ismeretlen nagyságú és irányú reakciókat kell meghatá-
rozni. A merev befogás megakadályozza a tartó x és y irányú elmozdulását, illetve az elfordu-
lást a sík normálisa, a z irány körül. Ennek megfelelően az A pontban x és y irányú támaszerők
(Ax és Ay) és forgatónyomaték (MA) ébred. Ezek nagyságát és irányát vesszük fel a 75. ábra
szerint.
74. ábra: Egyenes tengelyű, mereven befogott tartó
75. ábra: Egyenes tengelyű, mereven befogott tartó –ismeretlen reakciók felvétele
Az ismeretlenek meghatározásához a vetületi és nyomatéki egyensúlyi egyenleteket használjuk
fel:
x irányú vetületi egyensúlyi egyenlet:
xA==∑ 0Fx ,
y irányú vetületi egyensúlyi egyenlet:
8162Fa6q0Fy −⋅⋅−=−⋅⋅−==∑ yy AA → Ay=20 kN (↑),
az A pontra felírt nyomatéki egyensúlyi egyenlet:
64
( ) ( )168
2
16252a6F
2
a6qM0M
22
A ⋅⋅−⋅⋅
−+=⋅⋅−⋅⋅
−+==∑ AA MM → MA=59 kNm ( ).
Normál igénybevétel nem lesz a tartón, a nyíró igénybevételi ábra szerkesztését az eddig tanul-
tak szerint végezzük el. Az A pontban az Ay, tengelyre merőleges erő hat, mint nyíró erő. Ennek
megfelelően ugrás lesz ebben a pontban, és a C pontban is az F koncentrált erő miatt, ami a
tartó másik végén helyezkedik el (76. ábra).
A nyomatéki ábra szerkesztése során annyi újdonság lesz az eddigi példákhoz képest, hogy a
szerkesztési szabályok (3.1) 12. pontja értelmében a tartón működő koncentrált nyomatéknak
megfelelő ugrás lesz a hajlító igénybevételi ábrán. A tartó bal oldali végén (az A pontban) az
MA koncentrált nyomaték működik. Mivel a nyomaték értékét kivétel nélkül a tartó húzott ol-
dalára mérjük fel, abba az irányba ugrunk, amelyik oldalt a koncentrált nyomaték húzza.
76. ábra: Nyíró igénybevételi ábra
Az A keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata két oldalról nézve:
59==∑ A
b
A MM kNm ( ), és
( ) ( )5925168
2
162Ma6F
2
a6q 22
−=+⋅⋅−⋅⋅
−=+⋅⋅−⋅⋅
−=∑ j
AM → 59=∑ j
AM kNm ( ).
Láthatjuk, mindkét esetben azonos eredményt kapunk, a nyomaték nagysága 59 kNm és a felső
a húzott oldal.
A B keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata két oldalról nézve (77. ábra):
( ) ( )81302
2
13295a3
2
a3q 22
=⋅⋅−⋅⋅
+=⋅⋅−⋅⋅
+=∑ yA
b
B AMM kNm ( ) és az M koncentrált
nyomaték figyelembevétele:
8=∑ b
BM ( ) + 25 ( ) =33 kNm ( ).
65
77. ábra: A B keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata két oldalról nézve
( ) ( )33-138
2
132a3F
2
a3q 22
=⋅⋅−⋅⋅
−=⋅⋅−⋅⋅
−=∑ j
BM → 33=∑ j
BM kNm ( ) és az M kon-
centrált nyomaték figyelembevétele:
33=∑ j
BM kNm ( ) – 25 kNm ( ) = 8 kNm ( ).
A hajlító igénybevételi ábrát a 78. ábra mutatja.
78. ábra: Hajlító igénybevételi ábra
A hajlításból származó maximális normálfeszültség:
=⋅⋅
⋅⋅=⋅= (mm)125
)mm(1097,4
)mmN(1059t
I
M47
6
(y)z
max.maxhajlσ 148,39 N/mm2→
→ =.maxhajlσ 148,39 N/mm2 < 150 N/mm2 = f hajl. →MEGFELEL
66
4.1.2. példa
Adott a 79. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket, raj-
zoljuk meg az igénybevételi ábrákat, ellenőrizzük a tartót hajlításra.
Adott: F1=10 kN, F2=15 kN, q=3 kN/m, M= 40 kNm, a=2 m, b=2,5 m, c=d=1 m, e=1,5 m és
α=68 °, ØD = 20 cm, Ød = 16 cm, a hajlítási szilárdság: f hajl. = 120 N/mm2.
79. ábra: Egyenes tengelyű, mereven befogott tartó
Egyensúlyi egyenletek:
°⋅+=⋅+==∑ cos6810cosαF0F 1x xx AA → Ax=3,75 kN (←),
51sin68011,5)(13FsinαFe)(dq0F 21y +°⋅−+⋅−=+⋅−+⋅−==∑ yy AA →
Ay=1,77 kN (↑),
( )
( ) )5,2(2sin68012
5,1115,225,11q1)15,2(25104
b)(asinαF2
edcbaedqd)cb(aFM0M 12A
+⋅°⋅−
++++⋅+⋅−+++⋅++
=+⋅⋅−
++++⋅+⋅−+++⋅++==∑
A
A
M
M
→ MA=45,15 kNm ( ).
80. ábra: Normál és nyíró erő ábra
67
A C keresztmetszet nyíró igénybevételének számítása (80. ábra):
1,77==∑ y
b
C AT kN (↑), majd az F1 erő y komponensének megfelelő ugrás: 1,77=∑ b
CT (↑)
+ F1y (↓) = 1,77 – 9,27=–7,5 → 7,5 kN (↓).
5,7)5,1(1351e)(dqF2 =+⋅−=+⋅−=∑ j
CT kN (↑), majd az F1 erő y komponensének megfe-
lelő ugrás:
5,7=∑ j
CT (↑) + F1y (↓) = 7,5 – 9,27=–1,77 → 1,77 kN (↓).
A D keresztmetszet nyíró igénybevételének számítása (80. ábra):
5,10-1327,977,1dqF1y =⋅−−=⋅−−=∑ y
b
D AT →10,5 kN (↓), majd az F2 erőnek megfelelő
ugrás:
5,01=∑ b
DT (↓) + F2 (↑) = –10,5 +15=4,5 kN (↑).
81. ábra: Nyomatéki ábra
68
5,41,53eq −=⋅−=⋅−=∑ j
DT → 4,5 kN (↓), majd az F2 erőnek megfelelő ugrás:
5,4=∑ j
DT (↓) + F2 (↑) = –4,5 +15=10,5 kN (↑).
A nyomatéki ábrán (81. ábra), a tartó bal oldali végén az MA nyomatéknak megfelelően ugrunk.
Az alsó oldalt húzza, ezért lefele ugrunk.
A B keresztmetszet nyomatékának számítása:
69,48277,115,54a −=⋅−−=⋅−−=∑ yA
b
B AMM → 69,48=∑ b
BM kNm ( ), majd az M ug-
rásnak megfelelően ugrás a nyomatéki ábrán:
69,48=∑ b
BM ( ) + 40 ( )=–48,69+40=–8,69→8,69 kNm ( ).
=
+++
⋅+⋅−⋅−++⋅=
=
+++
⋅+⋅−⋅−++⋅=∑
15,22
5,111,5)1(35,227,91)1(2,551
cb2
ede)(dqbFd)c(bF 1y2
j
BM
=8,7 kNm ( ), majd az M ugrásnak megfelelően ugrás a nyomatéki ábrán:
7,8=∑ j
BM ( ) + 40 ( ) = 8,7+40 = 48,7 kNm ( ).
A C keresztmetszet nyomatékának számítása:
12,31)5,2(277,10415,54b)(aM −=+⋅−+−=+⋅−+−=∑ yA
b
C AMM →
→ 12,31=∑ b
CM kNm ( ),
=+⋅+
++
⋅+⋅−=+⋅+
++
⋅+⋅−=∑ 1)(15112
1,51)5,1(13d)(cFc
2
ede)(dq 2
j
CM
= 13,13 kNm ( ).
A súlyponti tengelyekre vonatkozó inercia számítása:
=⋅−
=⋅−
==64
π)16(20
64
π)d(D 4444
yz II 4637 cm4.
A hajlításból származó maximális normálfeszültség:
=⋅⋅
⋅⋅=⋅= (mm)100
)mm(1064,4
)mmN(1069,48t
I
M47
6
(y)z
max.maxhajlσ 104,94 N/mm2→
→ =.maxhajlσ 104,94 N/mm2 < 120 N/mm2 = f hajl. →MEGFELEL
69
5. Tört tengelyű tartók igénybevételeinek ismétlése
Ebben a fejezetben a törttengelyű tartók igénybevételei ábráinak a megszerkesztését és az egyes
keresztmetszetek egyes igénybevételeinek kiszámítását tanulmányozzuk. Az belső erőkre vo-
natkozó szabályok, definíciók változatlanok, ugyanúgy kell alkalmazni azokat, mint az előző
két fejezetben.
A nehézséget a következő szokta okozni. Egyenes tengelyű tartók esetében hozzászoktunk,
egyértelmű volt, hogy a tartó hossztengelye egybe esik az x viszonyítási tengellyel. Ebből adó-
dóan magától értetődőnek tűnik, hogy egy x iránnyal párhuzamos hatásvonalú erő normál
igénybevételt okoz. Előbbi, tulajdonképpen hibás megállapítás a tört tengelyű tartókra nem ér-
vényes.
Mindig az adott külső erő (terhelés vagy reakció erő) és a vizsgált tartószerkezeti rész hossz-
tengelyének egymáshoz viszonyított elhelyezkedését kell szem előtt tartanunk és vizsgálnunk.
Azokra kell alkalmazni a már megtanult definíciókat, szerkesztési szabályokat.
5.1.1. példa
Adott a 82. ábra szerinti tört tengelyű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk
meg az igénybevételi ábrákat, adjuk meg az alkalmazandó I szelvényt a hajlítás szilárdsága
alapján, ellenőrízzünk nyírásra.
Adott: F=10 kN, q=3 kN/m, a=0,5 m. Keresztmetszet: I-szelvény. A hajlítási szilárdság: f hajl. =
95 N/mm2, a nyírási szilárdság: f nyírás = 74 N/mm2.
82. ábra: Tört tengelyű tartó
Először a kényszernél felvesszük az ismeretlen nagyságú és irányú támaszerőket (82. ábra),
majd felírjuk az egyensúlyi egyenleteket.
10F0Fx −=−==∑ xx AA → Ax=10 kN (→),
0,533a3q0Fy ⋅⋅−=⋅⋅−==∑ yy AA → Ay=4,5 kN (↑),
( ) ( )AA MM −
⋅⋅+⋅=−
⋅⋅+⋅==∑ 2
5,0335,001
2
a3qaF0M
22
A → MA=8,38 kNm ( ).
70
A vízszintes tartószerkezeti elem (AB) normál igénybevételének meghatározása során azoknak
az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala megegyező irányú (Ax és F) a tartórész
hossztengelyével.
Az A keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata:
0=∑ b
AN , majd az Ax–nek megfelelően ugrás 100 =+=∑ x
b
A AN kN (→).
83. ábra: Normál igénybevételi ábra – vízszintes (AB) tartó elem
A B keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a vízszintes (AB) tartórészen:
10==∑ x
b
B AN kN (→), illetve
10-F −==∑ j
BN → 01=∑ j
BN kN (←).
A függőleges tartószerkezeti elem (BC) normál igénybevételének meghatározása során azok-
nak az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala megegyező irányú (Ay és q) a tartórész
hossztengelyével.
A B keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a függőleges (BC) tartórészen:
05,0335,4a3q =⋅⋅−=⋅⋅−=∑ y
b
B AN , illetve ha a B keresztmetszettől jobbra lévő normál
(y iránnyal párhuzamos hatásvonalú) erőket szeretnénk összegezni, láthatjuk, hogy nincs ilyen
erő. A függőleges tartószerkezeti elem normál igénybevétele zérus (84. ábra).
84. ábra: Normál igénybevételi ábra – függőleges (BC) tartó elem
A vízszintes tartószerkezeti elem (AB) nyíró igénybevételének meghatározása során azoknak
az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala merőleges irányú (Ay és q) a tartórész
hossztengelyére.
71
Az A keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata:
0=∑ b
AT , majd az Ay–nak megfelelően ugrás
5,40 =+=∑ y
b
A AT kN (↑).
A B keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a vízszintes (AB) tartórészen:
05,0335,4a3q =⋅⋅−=⋅⋅−=∑ y
b
B AT .
85. ábra: Nyíró igénybevételi ábra
A B keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a függőleges (BC) tartórészen:
10==∑ x
b
B AT kN (→).
A hajlító igénybevételi ábra megrajzolásához először megnézzük, hogy a tartó két végén (A és
C pontok) van–e koncentrált nyomaték. Mivel az A pontban van (MA), ezért ott ugrás lesz a
nyomatéki ábrán. Ezután megnézzük, hogy működik–e valahol a tartó hossztengelye mentén
koncentrált nyomaték. Ha a nyíróerő ábrát vizsgáljuk meg, akkor láthatjuk, hogy nyomatéki
lokális szélsőértékhelyet nem kell keresnünk, mivel a nyíró igénybevételi ábra sehol sem metszi
a nulla vonalat.
Az A keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:
0=∑ b
AM , majd az MA–nak megfelelően ugrás
38,80 =+=∑ A
b
A MM kNm ( ).
A B keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:
55,035,4,501,55,03338,8a3a1,5a3q =⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+=∑ yA
b
B AMM kNm ( ),
55,010aF −=⋅−=⋅−=∑ j
BM → 5=∑ j
BM kNm ( ) (86. ábra).
86. ábra: A B keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata két oldalról nézve
72
87. ábra: A vízszintes (AB) tartószerkezeti elem hajlító igénybevételi ábrája
A B keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata során arra kell figyelni, hogy a sarok-
kapcsolat a nyomatékot továbbadja egyik tartószerkezeti elemről a másikra (88. ábra). A nyo-
matéki ábrán az értékeknek a megfelelő, húzott oldalra kell kerülni.
88. ábra: A függőleges (BC) tartószerkezeti elem hajlító igénybevételi ábrája
A hajlításból származó maximális normálfeszültség:
=⋅
==→=⋅==95
1038,8
f
MW
W
Mt
I
Mf
6
hajl.
maxz
z
max(y)
z
maxhajl.
.maxhajlσ 88211 mm3 = 88,21 cm3→
→ táblázatból: I 160 szelvény hajlítás tengelyére keresztmetszeti tényezője: Wz = 117 cm3, Sz
= 68 cm3, v = 6,3 mm.
Ellenőrzés nyírásra, a hajlításból származó maximális nyírófeszültség:
=⋅
⋅⋅
⋅=⋅=
6,3(mm)
)mm(108,6
)mm(1035,9
N)(100,10
v(y)
(y)S
I
T 34
46
3z
z
(max)x,.maxhajlτ 11,54 N/mm2→
→ =.maxhajlτ 11,54 N/mm2 < 74 N/mm2 = f nyírás →MEGFELEL
5.1.2. példa
Adott a 89. ábra szerinti tört tengelyű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk
meg az igénybevételi ábrákat, határozzuk meg a hajlításból származó maximális normál és nyí-
rófeszültséget, végezzük el az ellenőrzést.
Adott: F=15 kN, q=3 kN/m, M=4,0 kNm, a=1,0 m. A keresztmetszetek: kör, Ød = 12 cm. A
hajlítási szilárdság: f hajl. = 110 N/mm2, a nyírási szilárdság: f nyírás = 74 N/mm2.
73
89. ábra: Tört tengelyű tartó; támaszerők feltételezése
Először a kényszereknél felvesszük az ismeretlen nagyságú és irányú támaszerőket (89. ábra),
majd felírjuk az egyensúlyi egyenleteket.
14,5112313154a4,5aa2qa3FM0MA ⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅+−=⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅+−==∑ BB →
B = –7,78 → B=7,78 kN (→),
90. ábra: A tartóra ható külső erők a kiszámolt támaszerők feltüntetésével
74
112311,55144,5aa2qa1,5FM4,50MC ⋅⋅⋅−⋅⋅−−⋅=⋅⋅⋅−⋅⋅−−⋅==∑ xx AA →
Ax = 7,22 kN (→),
13A14,522,74-11,515-12123
a3a4,5M-a1,5F-a2a2q0M
y
B
⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅==•
∑ yx AA→Ay = 6,0 kN (↑) (90. ábra).
A függőleges tartószerkezeti elem (AC) normál igénybevételének meghatározása során azok-
nak az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala megegyező irányú (Ay és q) a tartórész
hossztengelyével.
Az A keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata:
0=∑ b
AN , majd az Ay–nak megfelelően ugrás:
60 =+=∑ y
b
A AN kN (↑).
A C keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a függőleges (AC) tartórészen (91.
ábra):
6==∑ y
b
C AN kN (↑), illetve
612-3a2-q −=⋅⋅=⋅⋅=∑ j
CN → 6=∑ j
CN kN (↓).
91. ábra: Az AC tartószerkezeti elem normál igénybevétele
A vízszintes tartószerkezeti elem (BC) normál igénybevételének meghatározása során azoknak
az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala megegyező irányú (Ax, F és B) a tartórész
hossztengelyével.
A C keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a vízszintes (BC) tartórészen:
7,78157,22F −=−=−=∑ x
b
C AN → 7,78=∑ b
CN kN (←), illetve
7,78==∑ BNj
CkN (→).
A B keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata:
0=∑ j
BN , majd a B–nek megfelelően ugrás
75
92. ábra: A BC tartószerkezeti elem normál igénybevétele
7,780 =+=∑ BNj
BkN (→), illetve
7,78157,22F −=−=−=∑ x
b
B AN → 7,78=∑ b
BN kN (←) (92. ábra).
A függőleges tartószerkezeti elem (AC) nyíró igénybevételének meghatározása során azoknak
az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala merőleges irányú (Ax, F és B) a tartórész
hossztengelyére.
Az A keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata:
0=∑ b
AT , majd az Ax–nek megfelelően ugrás:
22,70 =+=∑ x
b
A AT kN (→).
A C keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a függőleges (AC) tartórészen (93. ábra):
7,78157,22F −=−=−=∑ x
b
C AT → 7,78=∑ b
CT kN (←), illetve
78,7==∑ BTj
CkN (→).
93. ábra: Az AC tartószerkezeti elem nyíró igénybevétele
A vízszintes tartószerkezeti elem (BC) nyíró igénybevételének meghatározása során azoknak
az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala merőleges irányú (Ay és q) a tartórész
hossztengelyére.
A C keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a vízszintes (BC) tartórészen:
6==∑ y
b
C AT kN (↑), illetve
612-3a2-q −=⋅⋅=⋅⋅=∑ j
CT → 6=∑ j
CT kN (↓).
A B keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata: 0=∑ j
BT .
76
94. ábra: A BC tartószerkezeti elem nyíró igénybevétele
A hajlító igénybevételi ábra megrajzolásához először megnézzük, hogy a tartó két végén (A és
B pontok) van–e koncentrált nyomaték. Mivel nincs, ott a nyomaték értékek zérus. Ezután meg-
nézzük, hogy működik–e valahol a tartó hossztengelye mentén koncentrált nyomaték. A füg-
gőleges tartószerkezeti elemen működő M koncentrált nyomaték miatt a hajlító igénybevételi
ábrán ugrás lesz abban a pontban. Ha a nyíróerő ábrát vizsgáljuk meg, akkor láthatjuk, hogy
nyomatéki lokális szélsőértékhelyet a függőleges tartószerkezeti elemen kell keresnünk.
A D keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata (95. ábra):
95. ábra: A D keresztmetszet hajlító igénybevételének meghatározása
10,8311,57,22a1,5 =⋅⋅=⋅⋅=∑ x
b
D AM kNm ( ), majd az M–nek megfelelően ugrás
83,6483,10483,01 =−=−=∑ b
DM kNm ( ),
84,61378,71112315,151a3a1a2q5,1F −=⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅=∑ BaMj
D→
84,6=∑ j
DM kNm ( ), majd az M–nek megfelelően ugrás
84,10484,6 −=−−=∑ j
DM → 84,10=∑ j
DM kNm ( ).
A C keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata (96. ábra):
6,011,515-4-14,57,22a1,5F-M-a4,5 =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∑ x
b
C AM kNm ( ),
6,011123a1a2q −=⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅⋅−=∑ j
CM → 0,6=∑ j
CM kNm ( ).
Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata (97. ábra):
0,01212311,515-4-14,57,22136
a2a2qa1,5F-M-a4,5a3
=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−=
=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−=∑ xy
b
E AAM
0,0=∑ j
EM .
77
96. ábra: A C keresztmetszet hajlító igénybevételének meghatározása
97. ábra: Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének meghatározása
98. ábra: Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének meghatározása
78
Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata (98. ábra):
67,1715,178,711123a5,1a1a2q −=⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=∑ BMj
F→
→ 67,17=∑ j
FM kNm ( ).
66,714137,22Ma3 =−⋅⋅=−⋅⋅=∑ x
b
F AM kNm ( ),
Ezek alapján már megrajzolhatjuk (megszerkeszthetjük) a hajlító igénybevételi ábrát (99. ábra).
99. ábra: A hajlító igénybevételi ábra
A súlyponti tengelyekre vonatkozó inercia számítása:
=⋅
=⋅
=64
π21
64
πd 44
zI 1018 cm4.
A hajlításból származó maximális normálfeszültség:
=⋅⋅
⋅⋅=⋅= (mm)60
)mm(1002,1
)mmN(1067,17t
I
M47
6
(y)z
max.maxhajlσ 103,94 N/mm2→
→ =.maxhajlσ 103,94 N/mm2 < 110 N/mm2 = f hajl. →MEGFELEL
A félszelvény statikai nyomatéka a hajlítás tengelyére:
=
⋅⋅
⋅⋅=
⋅⋅
⋅⋅==
2
1204244,0
4
201π
2
1
2
d4244,0
4
dπ
2
10)(yS
22
z
= =⋅ 46,2587,5654 143,97 cm3.
Ellenőrzés nyírásra, a hajlításból származó maximális nyírófeszültség:
=⋅
⋅⋅
⋅=⋅=
120(mm)
)mm(1044,1
)mm(1002,1
N)(1078,7
v(y)
(y)S
I
T 35
47
3z
z
(max)x,.maxhajlτ 0,92 N/mm2→
→ =.maxhajlτ 0,92 N/mm2 < 74 N/mm2 = f nyírás →MEGFELEL
79
5.1.3. példa
Adott a 100. ábra szerinti tört tengelyű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzol-
juk meg az igénybevételi ábrákat, határozzuk meg a hajlításból származó maximális normálfe-
szültséget, végezzük el az ellenőrzést.
Adott: F1=15 kN, F2=10 kN, q=4 kN/m, M=15 kNm, α=40 °, a=1,0 m. A keresztmetszetek:
függőleges (AD, BC elemek), U260, Iz = 4820 cm4, vízszintes (DC elem), I240, Iz = 4250 cm4,
A hajlítási szilárdság: f hajl. = 110 N/mm2.
100. ábra: Tört tengelyű tartó; támaszerők irányainak feltételezése
1510112cos405113,5sin4051511124
a5aFa2cosαFa3,5sinαFMaa2q0M 211B
⋅⋅−⋅−⋅⋅°⋅−⋅⋅°⋅++⋅⋅⋅
=⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅++⋅⋅⋅==∑A
A→
A=4,75 kN (↑),
1575,410113,5sin4051511124-12
a5aFa3,5sinαFMaa2q-a20M 21C
⋅⋅−⋅+⋅⋅°⋅++⋅⋅⋅⋅⋅=
=⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅==∑x
x
B
AB→
Bx=–13,49 → Bx=13,49 kN (←) és
151249,311124-5111,5sin4015-101
a5a2aa2q-Ma1,5sinαF-aF0M 12D
⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅°⋅⋅=
=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==∑y
yx
B
BB→
By=4,89 kN (↑).
Az igénybevételi ábrák megrajzolása (megszerkesztése) során a három tartószerkezeti elemet
(AD, DC és BC) külön – külön vizsgáljuk. Az egyes részek különböző igénybevételének a
meghatározásánál mindig az adott tartószerkezeti elem hossztengelyének és a tartó egészén mű-
ködő egyes erők hatásvonalának a viszonyát kell szem előtt tartanunk.
80
101. ábra: A tartóra ható külső erők a kiszámolt támaszerők feltüntetésével
A függőleges tartószerkezeti elemek (AD és BC) normál igénybevételi ábráit a tartórészek
hossztengelyével párhuzamos hatásvonalú erők (A, F1y és By) határozzák meg. A vízszintes tar-
tószerkezeti elem (DC) normál igénybevételi ábráját a tartó hossztengelyével párhuzamos ha-
tásvonalú erők (F2, F1x, q és Bx) határozzák meg (102. ábra).
Az A keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata:
0=∑ b
AN , majd az A–nak megfelelően ugrás
75,40 =+=∑ ANb
AkN (↑).
A D keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata az AD függőleges tartórészen:
75,4==∑ ANb
DkN (↑), illetve
75,489,440sin15F1y −=+°⋅−=+−=∑ y
j
D BN → 75,4=∑ j
DN kN (↓).
A D keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata az DC vízszintes tartórészen:
10F2 ==∑ b
DN kN (→), illetve
10,013,49124cos4015a2qF1x −=−⋅⋅−°⋅=−⋅⋅−=∑ x
j
D BN → 0,10=∑ j
DN kN (←).
Az E keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata:
21,4913,49124a2q −=−⋅⋅−=−⋅⋅−=∑ x
j
E BN → 49,21=∑ j
EN kN (←), majd az F1x –nek
megfelelő ugrás:
0,01cos401521,49cosαF21,49 1 −=°⋅+−=⋅+−=∑ j
EN → 10=∑ j
EN kN (←), illetve
10F2 ==∑ b
EN kN (→), majd az F1x–nek megfelelő ugrás:
81
21,49cos401510cosαF10 1 =°⋅+=⋅+=∑ b
EN kN (→).
A C keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a DC vízszintes tartórészen:
21,49cos401510cosαFF 12 =°⋅+=⋅+=∑ b
CN kN (→), illetve
21,4913,49124a2q −=−⋅⋅−=−⋅⋅−=∑ x
j
C BN → 49,21=∑ j
CN kN (←).
A C keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a CB függőleges tartórészen:
4,89sin40154,75sinαF1 −=°⋅−=⋅−=∑ ANb
C→ 89,4=∑ b
CN kN (↓), illetve
89,4==∑ y
j
C BN kN (↑).
A B keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata:
0=∑ b
BN , majd a By–nak megfelelően ugrás
89,40 =+=∑ y
b
B BN kN (↑).
102. ábra: Normál igénybevételi ábra
A függőleges tartószerkezeti elemek (AD és BC) nyíró igénybevételi ábráit a tartórészek hossz-
tengelyére merőleges hatásvonalú erők (F2, F1x, q és Bx) határozzák meg. A vízszintes tartószer-
kezeti elem (DC) nyíró igénybevételi ábráját a tartó hossztengelyére merőleges hatásvonalú
erők (A, F1y és By) határozzák meg (103. ábra).
Az F keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata:
0=∑ b
FT , majd az F2–nek megfelelően ugrás:
0,10F0 2 =+=∑ b
FT kN (→).
A D keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata az AD függőleges tartórészen:
0,10F2 ==∑ b
DT kN (→), illetve
0,0149,3112440cos51a2qF1x −=−⋅⋅−°⋅=−⋅⋅−=∑ x
j
D BT → 0,10=∑ j
DT kN (←).
82
A D keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata az DC vízszintes tartórészen:
75,4==∑ ATb
DkN (↑), illetve
75,44,89sin4015F1y −=+°⋅−=+−=∑ y
j
D BT → 75,4=∑ j
DT kN (↓).
Az E keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata:
89,4==∑ y
j
E BT kN (↑), majd az F1y –nak megfelelő ugrás:
75,4sin40154,89sinαF4,89 1 −=°⋅−=⋅−=∑ j
ET → 75,4=∑ j
ET kN (↓), illetve
75,4==∑ ATb
EkN (↑), majd az F1y–nak megfelelő ugrás:
-4,89sin40154,75sinαF1 =°⋅−=⋅−=∑ ATb
E→ 4,89=∑ b
ET kN (↓).
A C keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a DC vízszintes tartórészen:
89,4-sin40154,75sinαF1 =°⋅−=⋅−=∑ ATb
C→ 89,4=∑ b
CT kN (↓), illetve
89,4==∑ y
j
C BT kN (↑).
A C keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a CB függőleges tartórészen:
21,49cos401510cosαFF 12 =°⋅+=⋅+=∑ b
CT kN (→), illetve
49,1213,49124a2q −=−⋅⋅−=−⋅⋅−=∑ x
j
C BT → 49,12=∑ j
CT kN (←).
A B keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata:
0=∑ b
BT , majd a Bx–nek megfelelően ugrás:
49,1349,3100 −=−=−=∑ y
b
B BT → 49,13=∑ b
BT kN (←).
A hajlító igénybevételi ábra megszerkesztését, megrajzolását a következők határozzák meg: a
tartó végein, illetve magán a tartón működő koncentrált nyomaték(ok), a lokális szélsőértékhe-
lyek (T=0 helyek) és az egyes keresztmetszetek hajlító igénybevételei.
Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata (104. ábra):
0=∑ b
FM , illetve
0~1,05,04,891,01,013,49151,01,0cos40151,01,5sin4015
a5,0a1,0Ma1,0cosαFa1,5sinαF 11
=⋅⋅+⋅⋅−+⋅⋅°⋅−⋅⋅°⋅−=
=⋅⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=∑ yx
j
F BBM
A D keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata (105. ábra):
10,01,010aF2 =⋅=⋅=∑ b
DM kNm ( ), illetve
100,15,089,40,12,049,310,10,124511,01,5sin4051
a5,0a2,0aa2qMa1,5sinαF1
−=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅−+⋅⋅°⋅−=
=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅−=∑ yx
j
D BBM→
0,10=∑ j
DM kNm ( ).
83
103. ábra: Nyíró igénybevételi ábra
104. ábra: A F keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása
105. ábra: A D keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása
84
Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata (106. ábra):
106. ábra: Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása
2,881,0101,01,54,75aFa1,5A 2 =⋅+⋅⋅−=⋅+⋅⋅−=∑ b
EM kNm ( ), illetve
87,20,15,389,40,12,049,310,10,12451
a5,3a2,0aa2qM
−=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅−=
=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅−=∑ yx
j
E BBM→ 87,2=∑ j
EM kNm ( ).
A G keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata (107. ábra):
107. ábra: A G keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása
66,121,02,0sin40151,0101,03,54,75a2sinαFaFa3,5 12 =⋅⋅°⋅+⋅+⋅⋅−=⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅−=∑ AMb
G
kNm ( ), majd az M–nek megfelelő ugrás:
66,271566,21M66,21 =+=+=∑ b
GM kNm ( ), illetve
65,270,15,189,40,12,049,310,10,124
a5,1a2,0aa2q
−=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅−=
=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅−=∑ yx
j
G BBM→ 65,27=∑ j
GM kNm ( ), majd az
M–nek megfelelő ugrás:
65,121565,27M65,27 −=+−=+−=∑ j
GM → 65,12=∑ j
GM kNm ( ).
A C keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata (108. ábra):
85
108. ábra: A C keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása
=⋅⋅−⋅+⋅⋅°⋅+=
=⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅+=∑1,05,04,751,0101,03,5sin401515
a5,0aFa3,5sinαFM 21 AMb
C
=35,0 kNm ( ), illetve
0,35~0,12,049,310,10,124a2,0aa2q −=⋅⋅−⋅⋅⋅−=⋅⋅−⋅⋅⋅−=∑ x
j
C BM → 0,35~=∑ j
CM
kNm ( ).
A tartó hajlító nyomatéki igénybevételi ábrája (109. ábra):
109. ábra: Hajlító nyomatéki igénybevételi ábra
A hajlításból származó maximális normálfeszültség a függőleges tartóelemen:
=⋅⋅
⋅⋅=⋅= (mm)130
)mm(1082,4
)mmN(1035t
I
M47
6
(y)z
max.maxhajlσ 94,4 N/mm2→
→ =.maxhajlσ 94,4 N/mm2 < 110 N/mm2 = f hajl. →MEGFELEL
86
A hajlításból származó maximális normálfeszültség a vízszintes tartóelemen:
=⋅⋅
⋅⋅=⋅= (mm)120
)mm(1025,4
)mmN(1035t
I
M47
6
(y)z
max.maxhajlσ 98,82 N/mm2→
→ =.maxhajlσ 98,82 N/mm2 < 110 N/mm2 = f hajl. →MEGFELEL
5.1.4. példa
Adott a 110. ábra szerinti tört tengelyű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzol-
juk meg az igénybevételi ábrákat, határozzuk meg a ferde tartószerkezeti elemen (EB elem) a
hajlításból származó maximális normálfeszültséget, végezzük el az ellenőrzést.
Adott: F=16 kN, q=3 kN/m, M=20 kNm, a=1,25 m. A keresztmetszetek: I240, Iz = 4250 cm4,
A hajlítási szilárdság: f hajl. = 110 N/mm2.
110. ábra: Tört tengelyű tartó; támaszerő irányainak feltételezése
111. ábra: A tartóra ható erőrendszer – külső erők és a kiszámolt támaszerők
87
A reakció erők kiszámítása (111. ábra):
25,17,625,12,46125,15,625,14302
a7,6a2,4Fa5,6a4qM0M B
⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+=
=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+==∑A
A→
A=18,21 kN (↑),
xB==∑ 0Fx = 0 és
25,17,625,15,216-25,1225,14302
a7,6a5,2F-a2a4qM0M A
⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=
=⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅−==∑y
y
B
B→By=12,79 kN (↑).
A normál igénybevételi ábra (113. ábra) megszerkesztését, megrajzolását a következők hatá-
rozzák meg: az erőrendszer egyes elemeinek az adott tartószerkezeti elem hossztengelyével
párhuzamos hatásvonalú elemei.
Az A keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata:
0=∑ b
AN , majd az A–nak megfelelően ugrás:
21,180 =+=∑ ANb
AkN (↑), illetve
18,2112,79161,2543Fa4q −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ y
j
A BN → 21,18=∑ j
AN kN (↓), majd az
A–nak megfelelően ugrás:
018,2118,2118,21 =+−=+−=∑ ANj
A.
A D keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata az AD függőleges tartórészen:
21,18==∑ ANb
DkN (↑), illetve
21,1879,216125,143Fa4q −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ y
j
D BN → 21,18=∑ j
DN kN (↓).
A D keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata az DE vízszintes tartórészen:
0=∑ b
DN , illetve
0=∑ j
DN .
Az E keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a ferde helyzetű tartórészen (112.
ábra):
05,2sin39,825,143sin39,821,81sinαa4qsinα =°⋅⋅⋅−°⋅=⋅⋅⋅−⋅=∑ ANb
EkN ( ), illetve
05,2sin39,812,79sin39,816sinαsinαF −=°⋅+°⋅−=⋅+⋅−=∑ y
j
E BN → 05,2=∑ j
EN kN ( ).
88
112. ábra: Az EB tartószerkezeti elemre ható normál és nyíró erők
Az F keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata (112. ábra):
05,2sin39,825,143sin39,821,81sinαa4qsinα =°⋅⋅⋅−°⋅=⋅⋅⋅−⋅=∑ ANb
FkN ( ), majd IIF –
nak megfelelően ugrás:
19,8sin39,81605,2sinαF05,2 −=°⋅−=⋅−=∑ b
FN → 19,8=∑ b
FN kN ( ), illetve
19,8sin39,812,79sinα =°⋅=⋅=∑ y
j
F BN kN ( ), majd IIF –nak megfelelően ugrás:
2,05sin39,8168,19sinαF8,19 −=°⋅−=⋅−=∑ j
FN → 05,2=∑ j
FN kN ( ).
A B keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata (112. ábra):
19,8sin39,861sin39,825,143sin39,821,81
sinαFsinαa4qsinα
−=°⋅−°⋅⋅⋅−°⋅=
=⋅−⋅⋅⋅−⋅=∑ ANb
B →
→ 19,8=∑ b
BN kN ( ), majd yIIB –nak megfelelően ugrás:
0sin39,812,798,19sinα8,19 =°⋅+−=⋅+−=∑ y
b
B BN , illetve
0=∑ j
BN , majd yIIB –nak megfelelően ugrás:
8,19sin39,812,790sinα0 =°⋅+=⋅+=∑ y
j
B BN kN ( ).
113. ábra: Normál igénybevételi ábra
89
A nyíró igénybevételi ábra (114. ábra) megszerkesztését, megrajzolását a következők határoz-
zák meg: az erőrendszer egyes elemeinek az adott tartószerkezeti elem hossztengelyére merő-
leges hatásvonalú elemei.
Az A keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata:
0=∑ b
AT , illetve 0=∑ j
AT .
A D keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata az AD függőleges tartórészen:
0=∑ b
DT , illetve 0=∑ j
DT .
A D keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata az DE vízszintes tartórészen:
18,21==∑ ATb
DkN (↑), illetve
18,2112,79161,2543Fa4q −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ y
j
D BT → 18,21=∑ j
DT kN (↓).
Az E keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata az DE vízszintes tartórészen:
21,325,14318,21a4q =⋅⋅−=⋅⋅−=∑ ATb
EkN (↑), illetve
21,312,7916F −=+−=+−=∑ y
j
E BT → 21,3=∑ j
ET kN (↓).
Az E keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a ferde helyzetű tartórészen (112. ábra):
2,47cos39,81,2543cos39,818,21cosαa4qcosα =°⋅⋅⋅−°⋅=⋅⋅⋅−⋅=∑ ATb
EkN ( ), illetve
2,47cos39,812,79cos39,816cosαcosαF −=°⋅+°⋅−=⋅+⋅−=∑ y
j
E BT → 47,2=∑ j
ET kN ( ).
Az F keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata (112. ábra):
47,2cos39,81,2543cos39,818,21cosαa4qcosα =°⋅⋅⋅−°⋅=⋅⋅⋅−⋅=∑ ATb
FkN ( ), majd ⊥F –
nek megfelelően ugrás:
9,82cos39,8162,47cosαF2,47 −=°⋅−=⋅−=∑ b
FT → 82,9=∑ b
FT kN ( ), illetve
82,9cos39,812,79cosα =°⋅=⋅=∑ y
j
F BT kN ( ), majd ⊥F –nek megfelelően ugrás:
2,47cos39,8169,82cosαF9,82 −=°⋅−=⋅−=∑ j
FT → 47,2=∑ j
FT kN ( ).
A B keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata (112. ábra):
82,9cos39,816cos39,81,2543cos39,818,21
cosαFcosαa4qcosα
−=°⋅−°⋅⋅⋅−°⋅=
=⋅−⋅⋅⋅−⋅=∑ ATb
B →
→ 82,9=∑ b
BT kN ( ), majd ⊥yB –nek megfelelően ugrás:
0cos39,812,799,82cosα9,82 =°⋅+−=⋅+−=∑ y
b
B BT , illetve
0=∑ j
BT , majd ⊥yB –nek megfelelően ugrás:
82,9cos39,812,790cosα0 =°⋅+=⋅+=∑ y
j
B BT kN ( ).
90
114. ábra: Nyíró igénybevételi ábra
A hajlító igénybevételi ábra megszerkesztését, megrajzolását a következők határozzák meg: a
tartó végein, illetve a magán a tartón működő koncentrált nyomaték(ok), a lokális szélsőérték-
helyek (T=0 helyek) és az egyes keresztmetszetek hajlító igénybevételei (119. ábra).
A C keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (115. ábra):
115. ábra: A C keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása
0,201,257,612,791,255,2161,2521,2543
a7,6a5,2Fa2a4q
−=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=
=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=∑ y
j
C BM→ 0,20=∑ j
CM kNm ( ), majd az
M koncentrált nyomatéknak megfelelően ugrunk:
020,020,0M20,0 =+−=+−=∑ j
CM .
91
116. ábra: A D keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása
0=∑ b
CM , majd a M koncentrált nyomatéknak megfelelően ugrunk:
20,020,00M0 =+=+=∑ b
CM kNm ( ).
A D keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (116. ábra):
0,201,257,612,791,255,2161,2521,2543
a7,6a5,2Fa2a4q
−=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=
=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=∑ y
j
D BM→ 0,20=∑ j
DM kNm ( ), illetve
20,020,0M ===∑ b
DM kNm ( ).
Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (117. ábra):
117. ábra: Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása
56,331,253,612,791,251,216a6,3a1,2F =⋅⋅+⋅⋅−=⋅⋅+⋅⋅−=∑ y
j
E BM kNm ( ), illetve
55,3325,1421,810225,1225,143a4Ma2a4q −=⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅=⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅=∑ AMb
E→ →
55,33=∑ b
EM kNm ( ).
92
118. ábra: Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása
Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (118. ábra):
37,381,254,212,79a4,2 =⋅⋅=⋅⋅=∑ y
j
F BM kNm ( ), illetve
37,3825,12,521,810225,12,325,143a2,5Ma2,3a4q −=⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅=⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅=∑ AMb
F→
37,38=∑ b
FM kNm ( ).
A hajlításból származó maximális normálfeszültség:
=⋅⋅
⋅⋅=⋅= (mm)120
)mm(1025,4
)mmN(1037,38t
I
M47
6
(y)z
max.maxhajlσ 108,39 N/mm2→
→ =.maxhajlσ 108,39 N/mm2 < 110 N/mm2 = f hajl. →MEGFELEL
119. ábra: Hajlító igénybevételi ábra
93
6. Gerber tartók igénybevételeinek ismétlése
Ebben a fejezetben olyan egyenes tengelyű tartók igénybevételei ábráinak a megszerkesztésé-
vel foglalkozunk, amelyekbe egy (vagy több) plusz csuklót építünk be. A többletcsuklók szá-
mának megfelelően a kényszerek szabadságfokának a számát is ugyanúgy növeljük a szerkezet
stabilitásának megőrzése miatt. A belső erőkre (igénybevételekre) vonatkozó szabályok válto-
zatlanok, ugyanúgy kell alkalmazni azokat, mint az előző fejezetekben. Amit tudni kell, hogy
a szerkezetbe épített csukló(k) az erőket (N, T) átadják, de a nyomatékot nem. A nyomatéki
ábra a csukló pontjában zérus értéket vesz fel. Ezt használjuk ki a többlet kényszer(ek)nél éb-
redő ismeretlen támaszerő(k) meghatározására.
6.1.1. példa
Adott a 120. ábra szerinti Gerber tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg
az igénybevételi ábrákat, ellenőrizzük a tartót hajlításra. Ellenőrizzük a D csuklópont kapcso-
latát (125. ábra) a kötőelem nyírása és palástnyomása szerint.
Adott: F1=35 kN, F2=20 kN, q=4 kN/m, a=2,0 m. A keresztmetszet: 350 x 250 x 10 zárt szel-
vény, Iz = 19672 cm4. A zárt szelvény szilárdsága: f hajl. = 95 N/mm2. Ød=8 mm, e=15 mm. A
kötőelem nyírási szilárdsága: fny = 77 N/mm2. A kötőelem palástnyomási szilárdsága: fpny = 150
N/mm2.
120. ábra: Gerber tartó; támaszerők irányainak feltételezése
Reakcióerők meghatározása (121. ábra):
Tudjuk, hogy a D pontban beépített csukló nyomatékot nem ad át, ami annyit jelent, a D ke-
resztmetszet hajlító igénybevétele zérus: 0MM jD
bD ∑∑ == .
2
)0,2(1,3540,21,35
2
a)(1,35qa1,350M
22jD
⋅⋅−⋅⋅=
⋅⋅−⋅⋅==∑ CC →C=5,4 kN (↑).
94
0,254,50,22,250,2022
)0,25(4
2
0,240,253
a5a2,25aF2
a)5(q
2
aqaF0M
22
2
22
1A
⋅⋅+⋅⋅+⋅−⋅⋅
−⋅
+⋅=
=⋅⋅+⋅⋅+⋅−⋅⋅
−⋅
+⋅==∑
B
CB
→ B=24,0 kN (↑).
0,250,22,750,240,26530,24022
)0,2(64
a5a2,75a6Fa4F2
a)(6q0M
2
12
2
C
⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
=
=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
==∑
A
AB
→ A=73,6 kN (↑).
xA==∑ 0Fx .
121. ábra: A tartóra ható erőrendszer – külső erők és a kiszámolt támaszerők
A tartó hossztengelyével párhuzamos hatásvonalú erő nincs, ezért a tartón normál igénybevétel
nem ébred.
Az E keresztmetszet nyíró igénybevételének a vizsgálata:
0=∑ b
ET , majd ugrás az F1 erőnek megfelelően:
35350F0 1 −=−=−=∑ b
ET → 35=∑ b
ET kN (↓), illetve
352,06420245,473,6a6qF2 =⋅⋅−−++=⋅⋅−−++=∑ BCAT y
j
EkN (↑), majd ugrás az F1
erőnek megfelelően:
035-35F-35 1 ===∑ j
ET .
Az A keresztmetszet nyíró igénybevételének a vizsgálata:
432,0435aqF1 −=⋅−−=⋅−−=∑ b
AT → 34=∑ b
AT kN (↓), majd ugrás az Ay erőnek megfe-
lelően:
30,673,64343 =+−=+−=∑ y
b
A AT kN (↑), illetve
6,302,05420245,4a5qF2 −=⋅⋅−−+=⋅⋅−−+=∑ BCTj
A→ 6,30=∑ j
AT kN (↓), majd
ugrás az Ay erőnek megfelelően:
4373,630,630,6 =+−=+−=∑ y
j
A AT kN (↑).
95
Az F keresztmetszet nyíró igénybevételének a vizsgálata:
6,226,370,22435a2qF1 =+⋅⋅−−=+⋅⋅−−=∑ y
b
F AT kN (↑), majd ugrás az F2 erőnek
megfelelően:
2,62022,6F22,6 2 =−=−=∑ b
FT kN (↑), illetve
6,22,044245,4a4q −=⋅⋅−+=⋅⋅−+=∑ BCTj
F→ 6,2=∑ j
FT kN (↓), majd ugrás az F2
erőnek megfelelően:
22,6202,6F2,6 2 −=−−=−−=∑ j
FT → 22,6=∑ j
FT kN (↓).
A B keresztmetszet nyíró igénybevételének a vizsgálata:
4,76,37200,225,3435Fa25,3qF 21 −=+−⋅⋅−−=+−⋅⋅−−=∑ y
b
B AT → → 4,7=∑ b
BT kN
(↓), majd ugrás a B erőnek megfelelően:
16,6247,47,4 =+−=+−=∑ BTb
B kN (↑), illetve
6,160,275,244,5a75,2q −=⋅⋅−=⋅⋅−=∑ CTj
B→ 6,16=∑ j
BT kN (↓), majd ugrás a B erő-
nek megfelelően:
4,724,661,661 =+−=+−=∑ BTj
BkN (↑).
A D keresztmetszet nyíró igénybevételének a vizsgálata:
4,5426,370,265,440253a65,4qFF 21 =++⋅⋅−−−=++⋅⋅−−−=∑ BAT y
b
DkN (↑), illetve
4,50,235,144,5a35,1q −=⋅⋅−=⋅⋅−=∑ CTj
D→ 4,5=∑ j
DT kN (↓).
122. ábra: Nyíró igénybevételi ábra
A C keresztmetszet nyíró igénybevételének a vizsgálata:
96
4,52,06420532473,6a6qFF 21 −=⋅⋅−−−+=⋅⋅−−−+=∑ BAT y
b
C→ 4,5=∑ b
CT kN
(↓), majd ugrás a C erőnek megfelelően:
04,55,4C5,4 =−=−=∑ b
CT , illetve
0=∑ j
CT , majd ugrás a C erőnek megfelelően:
4,55,40C0 =+=+=∑ j
CT kN (↑).
A hajlító igénybevételi ábra megszerkesztését, megrajzolását a következők határozzák meg: a
tartó végein, illetve magán a tartón működő koncentrált nyomaték(ok), a lokális szélsőértékhe-
lyek (T=0 helyek), az egyes keresztmetszetek hajlító igénybevételei (124. ábra). A nyíró erő az
A, G, B és H pontokban lesz zérus. A G és H pontok helyének a megadása (123. ábra):
65,04
2,6
q=== F
FG
Tx m vagy 85,1
4
7,4
q=== B
BG
Tx m és
15,44
16,6
q=== B
BH
Tx m vagy 35,1
4
5,4
q=== C
CH
Tx m.
123. ábra: A nyíróerő zérus értékei – a hajlító nyomaték lokális szélsőérték helyei
Az A keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:
0,782
0,240,235
2
aqaF
22
1 =⋅
+⋅=⋅
+⋅=∑ b
AM kNm ( ), illetve
0,782
)0,25(40,2020,225,2420,254,5
2
a)5(qaFa25,2a5
2
2
2
−=⋅⋅
−⋅−⋅⋅+⋅⋅=
=⋅⋅
−⋅−⋅⋅+⋅⋅=∑ BCMj
A
→ 0,78=∑ j
AM kNm ( ).
A G keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:
97
=⋅⋅−⋅⋅
+⋅⋅+⋅⋅=
=⋅⋅−⋅⋅
+⋅⋅+⋅⋅=∑
0,21,3256,372
)0,2(2,32540,2325,0020,2325,253
a1,3252
a)(2,325qa325,0Fa325,2F
2
2
21 AMb
G
= 23,96 kNm ( ), illetve
96,232
)0,2675,3(40,2925,0420,2675,34,5
2
a)675,3(qa925,0a675,3
2
2
−=⋅⋅
−⋅⋅+⋅⋅=
=⋅⋅
−⋅⋅+⋅⋅=∑ BCMj
G
→ 96,23=∑ j
GM kNm ( ).
A B keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:
=⋅⋅−⋅⋅
+⋅⋅+⋅⋅=
=⋅⋅−⋅⋅
+⋅⋅+⋅⋅=∑
0,225,26,372
)0,2(3,2540,225,1020,225,353
a25,22
a)(3,25qa25,1Fa25,3F
2
2
21 AMb
B
= 30,8 kNm ( ), illetve
124. ábra: Hajlító igénybevételi ábra
8,302
)0,275,2(40,275,24,5
2
a)75,2(qa75,2
2
2
−=⋅⋅
−⋅⋅=
=⋅⋅
−⋅⋅=∑ CMj
B
→ 8,30=∑ j
BM kNm ( ).
A H keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:
98
=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅
+⋅⋅+⋅⋅=
=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅
+⋅⋅+⋅⋅=∑
0,2075,2420,2325,46,372
)0,2(5,32540,2325,3020,2325,553
a075,2a325,42
a)(5,325qa325,3Fa325,5F
2
2
21 BAMb
H
= –3,65→ 65,3=∑ b
HM kNm ( ), illetve
65,32
)0,2675,0(40,2675,04,5
2
a)675,0(qa675,0
22
=⋅⋅
−⋅⋅=⋅⋅
−⋅⋅=∑ CM j
H kNm ( ).
A hajlításból származó maximális normálfeszültség:
=⋅⋅
⋅⋅=⋅= (mm)175
)mm(1067,19
)mmN(1078t
I
M47
6
(y)z
max.maxhajlσ 69,4 N/mm2→
→ =.maxhajlσ 69,4 N/mm2 < 95 N/mm2 = f hajl. →MEGFELEL
125. ábra: A D csuklópont csomóponti kialakítása
A kötőelemekben (csavar) fellépő nyírási feszültség:
=⋅⋅
⋅=
⋅⋅⋅
=⋅⋅
= ∑∑
42""4
π8
5400
n2""4
πdnszáma"tszetekkeresztemenyírt"A 22
b
D
b
D TTτ 13,43 N/mm2
=τ 13,43 N/mm2 < 77 N/mm2 = fny →MEGFELEL.
A fellépő palástnyomási feszültség a kötőelem és a zárt szelvény érintkezési felületén:
( ) ( )=
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅== ∑
42018
5400
n201dA
F
0
b
DpnyT
σ 8,44 N/mm2 < 95 N/mm2 = fpny →MEGFELEL.
A fellépő palástnyomási feszültség a kötőelem és lapos acél (e) érintkezési felületén:
99
( ) ( )=
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅== ∑
42518
5400
n2edA
F
0
b
DpnyT
σ 5,63 N/mm2 < 150 N/mm2 = fpny →MEGFELEL.
6.1.2. példa
Adott a 126. ábra szerinti Gerber tartó. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igény-
bevételi ábrákat, ellenőrizzük a tartót hajlításra. Ellenőrizzük a C csuklópont kapcsolatát (131.
ábra) a kötőelem nyírása és palástnyomása szerint.
Adott: F = 16 kN, q = 3 kN/m, a = 2,0 m. ØD = 24 cm, Ød = 20 cm, Ød’ = 8 cm, v = 5,0 mm,
a hajlítási szilárdság: f hajl. = 120 N/mm2. A kötőelem nyírási szilárdsága: fny = 77 N/mm2. A
kötőelem palástnyomási szilárdsága: fpny = 150 N/mm2.
126. ábra: Gerber tartó; támaszerők irányának feltételezése
Reakcióerők meghatározása (127. ábra):
0MM jC
bC ∑∑ == .
2
0,230,2
2
aqa0M
22jC
⋅−⋅=
⋅−⋅==∑ BB → B=3,0 kN (↑).
2,03,2532
2,0)(3,2532,01,2516
a3,252
a)(3,25qa1,25F0M
2
2
A
⋅⋅+⋅⋅
−⋅⋅−=
=⋅⋅+⋅⋅
−⋅⋅−==∑
A
A
M
BM
→ MA=83,875 kNm ( ).
0,225,3875,830,22612
)0,2(3,253
a25,3a2F2
a)(3,25q0M
2
2
B
⋅⋅−+⋅⋅+⋅⋅
=
=⋅⋅−+⋅⋅+⋅⋅
==∑
y
yA
A
AM
→ Ay=32,5 kN (↑).
xA==∑ 0Fx .
A tartó hossztengelyével párhuzamos hatásvonalú erő nincs, ezért a tartón normál igénybevétel
nem ébred.
Az A keresztmetszet nyíró igénybevételének a vizsgálata:
100
0=∑ b
AT , majd ugrás az Ay erőnek megfelelően:
5,3232,500 =+=+=∑ y
b
A AT kN (↑), illetve
32,53162,03,253Fa3,25q −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ BTj
A→ 32,5=∑ j
AT kN (↓), majd ugrás
az Ay erőnek megfelelően:
05,325,3232,5 =+−=+−=∑ y
j
A AT .
127. ábra: A tartóra ható erőrendszer – külső erők és a kiszámolt támaszerők
A D keresztmetszet nyíró igénybevételének a vizsgálata:
252,01,25332,5a1,25q =⋅⋅−=⋅⋅−=∑ y
b
D AT kN (↑), majd ugrás az F erőnek megfelelően:
9,01625F25 =−=−=∑ b
DT kN (↑), illetve
0,932,023a2q −=+⋅⋅−=+⋅⋅−=∑ BTj
D→ 0,9=∑ j
DT kN (↓), majd ugrás az F erőnek
megfelelően:
25169,0F9,0 −=−−=−−=∑ j
DT → 0,25=∑ j
DT kN (↓).
A C keresztmetszet nyíró igénybevételének a vizsgálata:
3612,02,25332,5Fa2,25q =−⋅⋅−=−⋅⋅−=∑ y
b
C AT kN (↑), illetve
330,23aq −=+⋅−=+⋅−=∑ BTj
C→ 0,3=∑ j
CT kN (↓).
A B keresztmetszet nyíró igénybevételének a vizsgálata:
0=∑ j
BT , majd ugrás a B erőnek megfelelően:
0,3300 =+=+=∑ BTj
BkN (↑), illetve
0,35,23162,03,253Fa3,25q −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ y
b
B AT → 0,3=∑ b
BT kN (↓), majd ug-
rás a B erőnek megfelelően:
00,30,30,3 =+−=+−=∑ BTb
B.
101
128. ábra: Nyíró igénybevételi ábra
A hajlító igénybevételi ábra megszerkesztését, megrajzolását a következők határozzák meg: a
tartó végein, illetve magán a tartón működő koncentrált nyomaték(ok), a lokális szélsőértékhe-
lyek (T=0 helyek) és az egyes keresztmetszetek hajlító igénybevételei (130. ábra). A nyíró erő
az E pontban lesz zérus. A E pont helyének a megadása (129. ábra):
33
9,0
q=== D
DE
Tx m vagy 0,1
3
3,0
q=== B
BG
Tx m.
129. ábra: A nyíróerő zérus értékei – a hajlító nyomaték lokális szélsőérték helyei
Az A keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:
0=∑ b
AM , majd az MA koncentrált nyomatéknak megfelelően ugrunk:
83,87583,87500 =+=+=∑ A
b
A MM kNm ( ), illetve
875,832
)0,225,3(30,225,1610,225,33
2
a)25,3(qa25,1Fa25,3
2
2
−=⋅⋅
−⋅⋅−⋅⋅=
=⋅⋅
−⋅⋅−⋅⋅=∑ BMj
A
→ 875,83=∑ j
AM kNm ( ), majd az
MA koncentrált nyomatéknak megfelelően ugrunk:
083,87583,87583,875 =+−=+−=∑ A
j
A MM .
A D keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:
102
0,210,21,255,232
)0,2(1,253875,38a1,25
2
a)(1,25q 22
=⋅⋅−⋅⋅
+=⋅⋅−⋅⋅
+=∑ yA
b
D AMM
kNm ( ), illetve
122
)0,22(30,223
2
a)2(qa2
22
−=⋅⋅
−⋅⋅=⋅⋅
−⋅⋅=∑ BM j
D→ 0,12=∑ j
DM kNm ( ).
A C keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:
02,02,2532,52,0162
2,0)(2,25383,875
a2,25aF2
a)(2,25q
2
2
=⋅⋅−⋅+⋅⋅
+=
=⋅⋅−⋅+⋅⋅
+=∑ yA
b
C AMM
, illetve
02
0,230,23
2
aqa
22
=⋅
−⋅=⋅
−⋅=∑ BM j
C.
130. ábra: Hajlító igénybevételi ábra
Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:
5,12,02,7532,525,1162
2,0)(2,75383,875
a2,75a5,1F2
a)(2,75q
2
2
−=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅
+=
=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅
+=∑ yA
b
E AMM
→ 5,1=∑ b
EM kNm ( ), illetve
5,12
)0,25,0(30,25,03
2
a)5,0(qa5,0
22
=⋅⋅
−⋅⋅=⋅⋅
−⋅⋅=∑ BM j
EkNm ( ).
103
131. ábra: A C csuklópont csomóponti kialakítása
A súlyponti tengelyekre vonatkozó inercia számítása:
=⋅−
=⋅−
==64
π)02(24
64
π)d(D 4444
yz II 8432 cm4.
A hajlításból származó maximális normálfeszültség:
=⋅⋅
⋅⋅=⋅= (mm)120
)mm(1043,8
)mmN(1088,83t
I
M47
6
(y)z
max.maxhajlσ 119,4 N/mm2→
→ =.maxhajlσ 119,4 N/mm2 < 120 N/mm2 = f hajl. →MEGFELEL
A kötőelemekben (csavar) fellépő nyírási feszültség:
=
⋅⋅⋅
=
⋅⋅⋅
=⋅⋅
= ∑∑
12""4
π80
3000
n2""4
πd'nszáma"tszetekkeresztemenyírt"A 22
b
C
b
C TTτ 0,3 N/mm2
=τ 0,3 N/mm2 < 77 N/mm2 = fny →MEGFELEL.
A fellépő palástnyomási feszültség:
( ) ( )=
⋅⋅≈=
⋅⋅≈== ∑
2580
3000
2v'dA
F
0
b
CpnyT
σ 3,75 N/mm2 < 150 N/mm2 = fpny →MEGFELEL.
104
7. Háromcsuklós keretek igénybevételeinek ismétlése
A háromcsuklós keretek támaszainál ébredő reakcióerők meghatározásánál ugyanazt az elvet
használjuk fel, mint a Gerber–tartók esetében. Az eltérés annyi lehet, hogy itt legfeljebb egy
csuklót építünk be a szerkezetbe. Az igénybevételi ábrák meghatározása során ugyanazon sza-
bályok érvényesek, mint a tört tengelyű tartók esetében.
7.1.1. példa
Adott a 132. ábra szerinti tört tengelyű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzol-
juk meg az igénybevételi ábrákat, határozzuk meg a vízszintes tartószerkezeti elemen (DE
elem) a hajlításból származó maximális normálfeszültséget, végezzük el az ellenőrzést.
Adott: F=15 kN, q=4 kN/m, M=25 kNm, a=1,0 m. A keresztmetszetek: I260, Iz = 5740 cm4. A
hajlítási szilárdság: f hajl. = 110 N/mm2.
132. ábra: Tört tengelyű tartó – három csuklós keret; támaszerők feltételezése
A reakció erők kiszámítása (133. ábra):
0,11,07,61,02,4151,05,61,04425
aa7,6a2,4Fa5,6a4qM0M B
⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+=
=⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+==∑xy
xy
AA
AA→
xy AA +⋅−= 6,76,1500 → 6,1506,7 −⋅= yx AA
0,120,140,120,14452
a2a4a2a4qM0M bE
⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+=
=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+==∑xy
xy
AA
AA→
02)6,1506,7(45724570 =⋅−⋅−⋅−=⋅−⋅−= yyxy AAAA →
Ay=18,66 kN (↑) →
Ax= −8,78→ Ax= 8,78 kN (→).
105
aa7,60,12,5510,120,14452
aa7,6a2,5Fa2a4qM0M A
⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=
=⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−==∑xy
xy
BB
BB→
xy BB +⋅+−= 6,7850 → 6,785 ⋅−= yx BB
0,11,2510,130,13,6
a1,2Fa3a3,60M jE
⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=
=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅==∑xy
xy
BB
BB→
0183)6,7(856,31836,30 =−⋅⋅−+⋅=−⋅+⋅= yyxy BBBB →
By=12,34 kN (↑) →
Bx= −8,78 → Bx= 8,78 kN (←).
133. ábra: A tartóra ható erőrendszer – külső erők és a kiszámolt támaszerők
A normál igénybevételi ábra (135. ábra) a következők határozzák meg: az erőrendszer egyes
elemeinek az adott tartószerkezeti elem hossztengelyével párhuzamos hatásvonalú elemei.
Az A keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata:
0=∑ b
AN , majd az Ay–nak megfelelően ugrás:
66,180 =+=∑ y
b
A AN kN (↑), illetve
18,6612,34151,044Fa4q −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ y
j
A BN → 66,18=∑ j
AN kN (↓), majd az
Ay–nak megfelelően ugrás:
018,6618,6618,66 =+−=+−=∑ y
j
A AN .
A D keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata az AD függőleges tartórészen:
66,18==∑ y
b
D AN kN (↑), illetve
66,1834,21510,144Fa4q −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ y
j
D BN → 66,18=∑ j
DN kN (↓).
106
A D keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a DE vízszintes tartórészen:
8,78==∑ x
b
D AN kN (→), illetve
8,78−=−=∑ x
j
D BN → 8,78=∑ j
DN kN (←).
Az E keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a DE vízszintes tartórészen:
78,8==∑ x
b
E AN kN (→), illetve
8,78−=−=∑ x
j
E BN → 8,78=∑ j
EN kN (←).
Az E keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a ferde helyzetű tartórészen (134.
ábra):
134. ábra: Az EB ferde helyzetű tartószerkezeti elemre ható erők felbontása normál és nyíró összetevőkre
04,5sin39,81,044cos39,8 ˙8,78sin39,818,66
sinα0,14qcosαsinα
−=°⋅⋅⋅−°⋅−°⋅=
=⋅⋅⋅−⋅−⋅=∑ xy
b
E AAN→
→ 04,5=∑ b
EN kN ( ), illetve
04,5cos39,88,78sin39,812,34sin39,815cosαsinαsinαF =°⋅+°⋅+°⋅−=⋅+⋅+⋅−=∑ xy
j
E BBN
kN ( ).
Az F keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata (134. ábra):
04,5sin39,80,144cos39,878,8sin39,866,81
sinαa4qcosαsinα
−=°⋅⋅⋅−°⋅−°⋅=
=⋅⋅⋅−⋅−⋅=∑ xy
b
F AAN→ 04,5=∑ b
FN kN ( ), majd
IIF –nak megfelelően ugrás:
64,14sin39,81504,5sinαF04,5 −=°⋅−−=⋅−−=∑ b
FN → 64,14=∑ b
FN kN ( ), illetve
64,41cos39,88,78sin39,812,34cosαsinα =°⋅+°⋅=⋅+⋅=∑ xy
j
F BBN kN ( ), majd IIF –nak
megfelelően ugrás:
04,5sin39,81564,41sinαF64,41 =°⋅−=⋅−=∑ j
FN kN ( ).
107
A B keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata (134. ábra):
64,14sin39,815sin39,81,044cos39,88,78sin39,818,66
sin αFsin αa4qcos αsin α
−=°⋅−°⋅⋅⋅−°⋅−°⋅=
=⋅−⋅⋅⋅−⋅−⋅=∑ xy
b
B AAN →
→ 64,14=∑ b
BN kN ( ), majd yIIB és xIIB –nak megfelelően ugrás:
0cos39,878,8sin39,812,3414,64cosαsinα14,64 =°⋅+°⋅+−=⋅+⋅+−=∑ xy
b
B BBN , illetve
0=∑ j
BN , majd yIIB és xIIB –nak megfelelően ugrás:
64,41cos39,88,78sin39,812,340cosαsinα0 =°⋅+°⋅+=⋅+⋅+=∑ xy
j
B BBN kN ( ).
135. ábra: Normál igénybevételi ábra
A nyíró igénybevételi ábra (136. ábra) egyes értékeit az erőrendszer egyes elemeinek az adott
tartószerkezeti elem hossztengelyére merőleges hatásvonalú elemei határozzák meg.
Az A keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata:
0=∑ b
AT , majd az Ax erőnek megfelelő ugrás:
78,80 =+=∑ x
b
A AT kN (→), illetve
8,78−=−=∑ x
j
A BT → 8,78=∑ j
AT kN (←).
A D keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata az AD függőleges tartórészen:
8,78==∑ x
b
D AT kN (→), illetve
8,78−=−=∑ x
j
D BT → 8,78=∑ j
DT kN (←).
A D keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata az DE vízszintes tartórészen:
18,66==∑ y
b
D AT kN (↑), illetve
18,6612,34151,044Fa4q −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ y
j
D BT → 18,66=∑ j
DT kN (↓).
Az E keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a DE vízszintes tartórészen:
66,20,14418,66a4q =⋅⋅−=⋅⋅−=∑ y
b
E AT kN (↑), illetve
108
66,212,3415F −=+−=+−=∑ y
j
E BT → 66,2=∑ j
ET kN (↓).
Az E keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a ferde helyzetű tartórészen (134. ábra):
66,7cos39,81,044sin39,88,78cos39,818,66
cosαa4qsinαcosα
=°⋅⋅⋅−°⋅+°⋅=
=⋅⋅⋅−⋅+⋅=∑ xy
b
E AAT→ 66,7=∑ b
ET kN ( ), illetve
66,7sin39,88,78cos39,812,34cos39,815
sin αcos αcos αF y
−=°⋅−°⋅+°⋅−=
=⋅−⋅+⋅−=∑ x
j
E BBT → 66,7=∑ j
ET kN ( ).
Az F keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata (134. ábra):
66,7cos39,81,044sin39,88,78cos39,818,66
cosαa4qsinαcosα
=°⋅⋅⋅−°⋅+°⋅=
=⋅⋅⋅−⋅+⋅=∑ xy
b
F AAT→ 66,7=∑ b
FT kN ( ), majd
⊥F –nek megfelelően ugrás:
86,3cos39,81566,7cosαF66,7 −=°⋅−=⋅−=∑ b
FT → 86,3=∑ b
FT kN ( ), illetve
86,3sin39,88,78cos39,812,34sinαcosα =°⋅−°⋅=⋅−⋅=∑ xy
j
F BBT kN ( ), majd ⊥F –nek
megfelelően ugrás:
66,7cos39,8153,86cosαF3,86 −=°⋅−=⋅−=∑ j
FT → 66,7=∑ j
FT kN ( ).
A B keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata (134. ábra):
86,3-cos39,851cos39,81,044sin39,88,78cos39,818,66
cos αFcos αa4qsin αcos α
=°⋅−°⋅⋅⋅−°⋅+°⋅=
=⋅−⋅⋅⋅−⋅+⋅=∑ xy
b
B AAT →
→ 86,3=∑ b
BT kN ( ), majd ⊥yB és BxII–nak megfelelően ugrás:
0 sin39,878,8cos39,812,3486,3sinαcosα3,86 =°⋅−°⋅+−=⋅−⋅+−=∑ xy
b
B BBT , illetve
0=∑ j
BT , majd ⊥yB és BxII–nak megfelelően ugrás:
86,3 sin39,878,8cos39,812,340sinαcosα0 =°⋅−°⋅+=⋅−⋅+=∑ xy
j
B BBT kN ( ).
136. ábra: Nyíró igénybevételi ábra
109
A hajlító igénybevételi ábra megszerkesztését, megrajzolását a következők határozzák meg: a
tartó végein, illetve a magán a tartón működő koncentrált nyomaték(ok), a lokális szélsőérték-
helyek (T=0 helyek), az egyes keresztmetszetek hajlító igénybevételei és az E pontban található
csukló (141. ábra).
A C keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (137. ábra):
137. ábra: A C keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása
78,330,1278,81,07,612,341,05,2151,021,044
a2a7,6a5,2Fa2a4q
−=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=
=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=∑ xy
j
C BBM→ 78,33=∑ j
CM kNm
( ), majd a M koncentrált nyomatéknak megfelelően ugrunk:
78,825,078,33M78,33 −=+−=+−=∑ j
CM → 78,8=∑ j
CM kNm ( ), illetve
8,781,08,78a =⋅=⋅=∑ x
b
C AM kNm ( ), majd a M koncentrált nyomatéknak megfelelően ug-
runk:
A D keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (138. ábra):
138. ábra: A D keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása
110
78,3325,078,8M78,8 =+=+=∑ b
CM kNm( ).
57,420,1378,81,07,612,341,05,2151,021,044
a3a7,6a5,2Fa2a4q
−=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=
=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=∑ xy
j
D BBM→ 57,42=∑ j
DM
kNm ( ), illetve
56,241,028,7825,0a2M =⋅⋅+=⋅⋅+=∑ x
b
D AM kNm ( ).
Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (139. ábra):
139. ábra: Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása
008,0
0,10,378,81,03,612,341,01,215a0,3a6,3a1,2F
≅=
=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−=∑ xy
j
E BBM,
illetve
.008,00,1278,80,1466,81520,120,144
a2a4Ma2a4q
≅−=⋅⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅
=⋅⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅=∑ xy
b
E AAM
Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (140. ábra):
140. ábra: Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása
111
06,120,10,278,81,04,212,34a0,2a4,2 =⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅=∑ xy
j
F BBM kNm ( ), illetve
05,120,178,80,12,566,81520,12,30,144
aa2,5Ma2,3a4q
−=⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅=
=⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅=∑ xy
b
F AAM→ 05,12=∑ b
FM kNm ( ).
141. ábra: Hajlító igénybevételi ábra
A hajlításból származó maximális normálfeszültség:
=⋅⋅
⋅⋅=⋅= (mm)130
)mm(1074,5
)mmN(1056,42t
I
M47
6
(y)z
max.maxhajlσ 96,39 N/mm2→
→ =.maxhajlσ 96,39 N/mm2 < 110 N/mm2 = f hajl. →MEGFELEL
7.1.2. példa
Adott a 142. ábra szerinti tört tengelyű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzol-
juk meg az igénybevételi ábrákat, határozzuk meg a hajlításból származó maximális normál és
nyíró feszültséget.
Adott: q1=4 kN/m, q2=3 kN/m, q3=3 kN/m, a=1,0 m. A keresztmetszetek: I240, Iz = 4250 cm4,
Sz = 206 cm3. A hajlítási szilárdság: f hajl. = 110 N/mm2, a nyírási szilárdság: f hajl. = 74 N/mm2.
A reakció erők kiszámítása (143. ábra):
0,180,120,1430,120,1430,160,144
a8a2a4qa2a4qa6a4q0M 321B
⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=
=⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==∑y
y
A
A→ 0,12=yA kN (↑).
a80,120,1430,160,1430,120,144
a8a2a4qa6a4qa2a4q0M 321A
⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=
=⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−==∑y
y
B
B→ 0,16=yB kN (↑).
112
142. ábra: Tört tengelyű tartó – három csuklós keret; támaszerők feltételezése
0,120,143a50,1461
a2a4qa5a40M 2jD
⋅⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=
=⋅⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅==∑x
xy
B
BB→ Bx= −8 → Bx= 8,0 kN (←).
0,130,1430,150,14210,120,144
a3a4qa5a4a2a4q0M 31bD
⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=
=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅==∑x
xy
A
AA→ Ax= 4,0 kN (←).
143. ábra: A tartóra ható erőrendszer – külső erők és a kiszámolt támaszerők
113
A normál igénybevételi ábra (146. ábra) megszerkesztését, megrajzolását a következők hatá-
rozzák meg: az erőrendszer egyes elemeinek az adott tartószerkezeti elem hossztengelyével
párhuzamos hatásvonalú elemei.
Az A keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata:
0=∑ b
AN , majd az Ay–nak megfelelő ugrás:
0=∑ b
AN +Ay=0+12=12,0 kN (↑), illetve
12161,0431,044a4qa4q 21 −=+⋅⋅−⋅⋅−=+⋅⋅−⋅⋅−=∑ y
j
A BN → 12,0=∑ j
AN kN (↓),
majd az Ay–nak megfelelő ugrás:
0.121212 =+−=+−=∑ y
j
A AN
A C keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata az AC függőleges tartószerkezeti ele-
men:
=∑ b
CN Ay=12,0 kN (↑), illetve
12161,0431,044a4qa4q 21 −=+⋅⋅−⋅⋅−=+⋅⋅−⋅⋅−=∑ y
j
C BN → 12,0=∑ j
CN kN (↓).
A C keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a CD ferde helyzetű tartószerkezeti
elemen:
144. ábra: A CD ferde helyzetű tartószerkezeti elemre ható erők felbontása normál és nyíró összetevőkre
67,10cos1421cos144sin1421cosαQcosαsinα 3 =°⋅+°⋅−°⋅=⋅+⋅−⋅=∑ xy
b
C AAN kN ( ),
illetve
10,67cos148sin1416 sin1412sin1416
cosαsinα sinαQsinαQ 21
−=°⋅−°⋅+°⋅−°⋅−=
=⋅−⋅+⋅−⋅−=∑ xy
j
C BBN→ 10,67=∑ j
CN kN ( ).
114
A D keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a CD ferde helyzetű tartószerkezeti
elemen:
79,6sin1416cos1412cos144sin1412
sinαQcosαQcosαsinα 13
=°⋅−°⋅+°⋅−°⋅=
=⋅−⋅+⋅−⋅=∑ xy
b
D AAN→ 79,6=∑ b
DN kN ( ), illetve
79,6cos148sin1416 sin1412cosαsinα sinαQ2 −=°⋅−°⋅+°⋅−=⋅−⋅+⋅−=∑ xy
j
D BBN →
79,6=∑ j
DN kN ( ).
A D keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a DE ferde helyzetű tartószerkezeti
elemen:
73,8sin1416cos1412cos144sin1412
sinαQcosαQcosαsinα 13
=°⋅+°⋅+°⋅−°⋅−=
=⋅+⋅+⋅−⋅−=∑ xy
b
D AAN→ 73,8=∑ b
DN kN ( ), illetve
73,8cos148sin1416 sin1412cosαsinα sinαQ2 −=°⋅−°⋅−°⋅=⋅−⋅−⋅=∑ xy
j
D BBN →
73,8=∑ j
DN kN ( ).
Az E keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a DE ferde helyzetű tartószerkezeti
elemen:
63,11sin1421sin1416cos1412cos144sin1412
sinαQsinαQcosαQcosαsinα 213
=°⋅+°⋅+°⋅+°⋅−°⋅−=
=⋅+⋅+⋅+⋅−⋅−=∑ xy
b
E AAN→ 63,11=∑ b
EN kN (
), illetve
63,11cos148sin1416 cosαsinα −=°⋅−°⋅−=⋅−⋅−=∑ xy
j
E BBN → 63,11=∑ j
EN kN ( ).
145. ábra: A DE ferde helyzetű tartószerkezeti elemre ható erők felbontása normál és nyíró összetevőkre
115
Az E keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata az EB függőleges helyzetű tartószer-
kezeti elemen:
160,1430,14421a4qa4q 21 −=⋅⋅−⋅⋅−=⋅⋅−⋅⋅−=∑ y
b
E AN → 16,0 =∑ b
EN kN (↓), illetve
16,0 ==∑ y
j
E BN kN (↑).
A B keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata:
160,1430,14421a4qa4q 21 −=⋅⋅−⋅⋅−=⋅⋅−⋅⋅−=∑ y
b
B AN → 0,16=∑ b
BN kN (↓), majd
ugrás a By–nak megfelelően:
0161616 =+−=+−=∑ y
b
B BN , illetve
0=∑ j
BN , majd ugrás a By–nak megfelelően:
16,0160 0 =+=+=∑ y
j
B BN kN (↑).
A nyíró igénybevételi ábra (147. ábra) megszerkesztését, megrajzolását a következők határoz-
zák meg: az erőrendszer egyes elemeinek az adott tartószerkezeti elem hossztengelyére merő-
leges hatásvonalú elemei.
146. ábra: Normál igénybevételi ábra
Az A keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata:
0=∑ b
AT , majd az Ax–nek megfelelő ugrás:
440=0 −=−−=∑ x
b
A AT −4,0 → 4=∑ b
AT kN (←), illetve
0,481,043a4q3 =−⋅⋅=−⋅⋅=∑ x
j
A BT kN (→), majd az Ax–nek megfelelő ugrás:
0444 =−=−=∑ x
j
A AT .
116
A C keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata az AC függőleges tartószerkezeti ele-
men:
0,840,143a4q 3 =−⋅⋅=−⋅⋅=∑ x
b
C AT kN (→), illetve
8−=−=∑ x
j
C BT → 0,8=∑ j
CT kN (←).
A C keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a CD ferde helyzetű tartószerkezeti ele-
men:
9,71sin1412sin144cos1412sinαQsinαcosα 3 =°⋅−°⋅+°⋅=⋅−⋅+⋅=∑ xy
b
C AAT kN ( ), il-
letve
71,9sin148cos1461 cos1421cos1461
sinαcosα cosαQcosαQ 21
−=°⋅+°⋅+°⋅−°⋅−=
=⋅+⋅+⋅−⋅−=∑ xy
j
C BBT→ 71,9=∑ j
CT kN ( ).
A D keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a CD ferde helyzetű tartószerkezeti ele-
men:
81,5cos1461sin1412sin144cos1412
cosαQsinαQsinαcosα 13
−=°⋅−°⋅−°⋅+°⋅=
=⋅−⋅−⋅+⋅=∑ xy
b
D AAT→ 81,5=∑ b
DT kN ( ), illetve
81,5sin148cos1461 cos1421sinαcosα cosαQ2 =°⋅+°⋅+°⋅−=⋅+⋅+⋅−=∑ xy
j
D BBT kN( ).
A D keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a DE ferde helyzetű tartószerkezeti ele-
men:
95,1cos1416sin1412sin144cos1412
cosαQsinαQsinαcosα 13
−=°⋅−°⋅+°⋅−°⋅=
=⋅−⋅+⋅−⋅=∑ xy
b
D AAT→ 95,1=∑ b
DT kN ( ), illetve
95,1sin148cos1416 cos1412sinαcosα cosαQ2 =°⋅−°⋅+°⋅−=⋅−⋅+⋅−=∑ xy
j
D BBT kN( ).
Az E keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a DE ferde helyzetű tartószerkezeti ele-
men:
59,13-cos1412cos1416sin1412sin144cos1412
cosαQcosαQsinαQsinαcosα 213
=°⋅−°⋅−°⋅+°⋅−°⋅=
=⋅−⋅−⋅+⋅−⋅=∑ xy
b
E AAT → 59,13=∑ b
ET
kN( ), illetve
58,13sin148cos1416 sinαcosα =°⋅−°⋅=⋅−⋅=∑ xy
j
E BBT kN ( ).
Az E keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata az EB függőleges helyzetű tartószerke-
zeti elemen:
0,80,1434a4q3 =⋅⋅+−=⋅⋅+−=∑ x
b
E AT kN (→), illetve
80 −=−=∑ x
j
E BT → 8,0=∑ j
ET kN (←).
117
147. ábra: Nyíró igénybevételi ábra
A B keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata:
0,80,1434a4q3 =⋅⋅+−=⋅⋅+−=∑ x
b
B AT kN (→), majd ugrás a Bx–nek megfelelően:
0888 =−=−=∑ x
b
B BT , illetve
0=∑ j
BT , majd ugrás a Bx–nek megfelelően:
880 0 −=−=−=∑ x
j
B BT → 0,8=∑ j
BT kN (←).A hajlító igénybevételi ábra megszerkesz-
tését, megrajzolását a következők határozzák meg: a tartó végein, illetve a magán a tartón mű-
ködő koncentrált nyomaték(ok), a lokális szélsőértékhelyek (148. ábra) (T=0 helyek), az egyes
keresztmetszetek hajlító igénybevételei és a D pontban található csukló (149. ábra).
148. ábra: A nyíróerő zérus értékei – a hajlító nyomaték lokális szélsőérték helyei
118
A G keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:
67,22
1,3333,1333,14=
2q 3 −=⋅⋅+⋅−⋅⋅+⋅−=∑ AG
AGAGx
b
G
xxxAM →
→ 67,2=∑ b
GM kNm ( ), illetve
( )
( ) 67,233,180,18610,140,120,1430,120,1442
2,6767,23
=a8a4a2a4qa2a4q2
q 213
=⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅−=
⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅−=∑ AGxy
GC
GC
j
G xBBx
xM
→
→ 67,2=∑ j
GM kNm ( ).
A C keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:
0,80,120,1430,144=a2a4qa4 3 =⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−=∑ x
b
C AM kNm ( ), illetve
( )( ) 80,1480,18610,140,120,1430,120,144
=a4a8a4a2a4qa2a4q 21
−=⋅⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=
⋅⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=∑ xy
j
C BBM→
0,8=∑ j
CM kNm ( ).
Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:
( ) ( )
( ) ( )
51,42
cos1458,2cos1458,24
sin1458,20,120,143cos1458,221sin1458,20,144
=2
cosαcosαq
sinαa2a4qcosαsinαa4
1
3
−=
°⋅⋅°⋅⋅+
+°⋅+⋅⋅⋅⋅+°⋅⋅−°⋅+⋅⋅−=
⋅⋅⋅⋅+
+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅−=∑CF
CF
CFCFyCFx
b
F
xx
xxAxAM
→
→ 51,4=∑ b
FM kNm ( ), illetve
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
→=
=
°⋅−⋅⋅°⋅−⋅⋅−⋅−°⋅−⋅⋅⋅⋅−
−°⋅−⋅⋅+°⋅+⋅⋅−=
⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅−
−⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅−=∑
51,4
2
cos1458,20,14cos1458,20,1440,12cos1458,20,180,143
cos1458,20,1861sin1458,20,148
=2
cosαa4cosαa4q
a2cosαa8a4qcosαa8sinαa4
1
2
CF
CF
CFCFyCFx
j
F
xx
xxBxBM
51,4=∑ j
FM kNm ( ).
A D keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:
00,120,1440,130,1430,14210,154
=a2a4qa3a4qa4a5 13
=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−=
⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−=∑ yx
b
D AAM , illetve
119
149. ábra: Hajlító igénybevételi ábra
00,1580,14610,120,143
=a5a4a2a4q 2
=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−=
⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−=∑ xy
j
D BBM.
Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:
( )( ) 320,1440,18210,120,1430,140,120,1440,120,143
=a4a8a2a4qa4a2a4qa2a4q 312
=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=∑ xy
b
E AAM→
→ 0,32=∑ b
EM kNm ( ), illetve
320,148=a4 −=⋅⋅−⋅⋅−=∑ x
j
E BM → 0,32=∑ j
EM kNm ( ).
A hajlításból származó maximális normálfeszültség:
=⋅⋅
⋅⋅=⋅= (mm)120
)mm(1025,4
)mmN(1032t
I
M47
6
(y)z
max.maxhajlσ 90,35 N/mm2→
→ =.maxhajlσ 90,35 N/mm2 < 110 N/mm2 = f hajl. →MEGFELEL
Ellenőrzés nyírásra, a hajlításból származó maximális nyírófeszültség:
=⋅
⋅⋅
⋅=⋅=
8,7(mm)
)mm(1006,2
)mm(1025,4
N)(1058,13
v(y)
(y)S
I
T 35
47
3z
z
(max)x,.maxhajlτ 7,57 N/mm2→
→ =.maxhajlτ 7,57 N/mm2 < 74 N/mm2 = f nyírás →MEGFELEL
120
8. Húzó igénybevétel, húzófeszültség
8.1.1. példa
Adott a 150. ábra szerinti szimmetrikus szerkezetű és terhelésű rácsos tartószerkezet. Határozza
meg a reakcióerőket, a rúderőket. A maximilás húzó igénybevételnek kitett rudat ellenőrizze.
150. ábra: Rácsos tartószerkezetre ható külső erők és a reakcióerők
Adott: F=20 kN , a=1,0 m. Húzott tartóelemek keresztmetszete: kör, ØD=25 mm. A rúd szi-
lárdsága: f h.=90 N/mm2.
A reakcióerők meghatározása:
1201420182011120112
aFa4Fa8Fa11Fa120MA
⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅=
=⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅==∑B
B → B = 40 kN (↑).
02404F40Fy ⋅−+=⋅−+==∑ yy AAB → Ay = 40 kN (↑).
A rúderők meghatározása:
Az A csomópont vizsgálata (151. ábra):
°== 45,03a
3aarctanα és °== 75,96
a
4aarctanβ
°⋅+°⋅=⋅+⋅==∑ cos45,0cos75,96coscos0Fx A,71,AA,71,A SSαSβS →
°
°⋅−=
cos75,96
cos45,0A,7
1,A
SS
40sin45,0sin75,96sinsin0Fy +°⋅+°⋅=+⋅+⋅==∑ A,71,AyA,71,A SSAαSβS
121
151. ábra: S1,A és SA,7 rudak belső erőinek, igénybevételeinek meghatározása
Behelyettesítés után:
40sin45,0sin75,96cos75,96
cos45,00 +°⋅+°⋅
°
°⋅−= A,7
A,7S
S →
SA,7 = 18,86 kN (húzott, (+)).
Visszahelyettesítés után:
S1,A = –54,98 → S1,A = 54,98 kN (nyomott, (–)).
Az 1–es csomópont vizsgálata (152. ábra).
°== 57,622a
aarctanγ és °== 33,69
3a
2aarctanδ
152. ábra: S1,2 és S1,7 rudak belső erőinek, igénybevételeinek meghatározása
Az ismeretlenj rúderőket húzottnak tételezzük fel.
°⋅+°⋅+°⋅=
=⋅+⋅+⋅==∑cos33,69cos26,57cos75,9698,45
coscoscos0Fx
1,21,7
1,21,71,A
SS
δSγSβS →
°
°⋅+−=
cos26,57
cos33,6913,34 1,2
1,7
SS
122
20-sin26,57sin33,69sin75,9654,98
F-sinsinsin0Fy
°⋅−°⋅+°⋅=
=⋅−⋅+⋅==∑1,71,2
1,71,21,A
SS
γSδSβS
Behelyettesítés után:
20-sin26,57cos26,57
cos33,6913,34sin33,69sin75,9654,980 °⋅
°
°⋅++°⋅+°⋅= 1,2
1,2
SS →
S12 = –41,2 → S12 = 41,2 kN (nyomott, (–)).
Visszahelyettesítés után (figyelem, az S1,2 rúdról immár tudjuk, hogy nyomott tartószerkezeti
elem, ezért ezt az x irányú vetületi egyensúlyi egyenletben figyelembe kell venni.):
°°⋅−
−=°
°⋅−−=
cos26,57
cos33,692,1413,34
cos26,57
cos33,6913,34 1,2
1,7
SS →
S1,7= 23,41 kN (húzott, (+)).
Az S2,6, S2,3 és S6,7 rúderők meghatározása 3–as átmetszés módszerrel (153. ábra):
Az ismeretlen rúderőket húzottnak tételezzük fel.
12160415021202
a2a6a5Fa2F0M ,6
⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=
=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅==∑2,3
32y
S
SA →
S2,3= – 50,0 →
S2,3= 50,0 kN (nyomott, (–)).
A 7–6 rúd vízszintessel bezárt szöge: [ ]°== 4318,3a
aarctanϕ .
153. ábra: S2,3, S2,6 és S6,7 rudak belső erőinek, igénybevételeinek meghatározása
123
)18,431sin138,431cos(14041302
asina3cosa4a3F0M 2
⋅°−⋅⋅°⋅+⋅⋅−⋅⋅=
=⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅==∑7,6
7,67,6y
S
SSA ϕϕ→S7,6= 39,53 kN(húzott, (+)).
12160415021202
a2a6a5Fa2F0M ,6
⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=
=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅==∑2,3
32y
S
SA → S2,3= – 50,0 →
S2,3= 50,0 kN (nyomott, (–)).
A 2–6 rúd vízszintessel bezárt szöge: [ ]°== 0,452a
2aarctanϕ .
154sin1354cos135010213401202
asina3cosa3aFa3a2F0M
22
223,27
⋅°⋅−⋅⋅°⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅−⋅⋅=
=⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅−⋅⋅==∑,6,6
,6,6y
SS
SSSA ϕϕ
→S2,6= 17,68 kN(húzott, (+)).
Az S2,7 rúd igénybevételének meghatározására nem tértünk ki, igénybevétele S2,7=10,16 kN
(nyomott, (–)).
154. ábra: Rácsos tartószerkezet rúdelemeinek normál igénybevétele
A szimmetrikus tartógeometria és terhelés miatt a jobb oldali rudak igénybevételei megegyez-
nek a szimmetriapárjuk igénybevételével.
A 155. ábra a maximális húzó igénybevételnek kitett kör keresztmetszetű rudat ábrázolja.
Az S6,7 rúdelem ellenőrzése:
124
155. ábra: Kör keresztmetszetű rúd húzó igénybevételének ellenőrzése
A rúdban fellépő húzófeszültség:
=⋅
⋅==
4
π25
1053,39
A
Sσ
2
36,7húzó 80,53 N/mm2.
Összehasonlítás a szilárdsággal:
f h.=90 N/mm2 > 80,53 N/mm2 = σhúzó →MEGFELEL
8.1.2. példa
Adott a 156. ábra szerinti rúd/kötél szerkezet, amit a C csuklópontban koncentrált erővel terhe-
lünk. Az igénybevétel az AC és BC tartóelemekben tiszta húzás. Ellenőrizzük a tartót.
156. ábra: Kör keresztmetszetű rúd/kötél elemek húzó igénybevételének ellenőrzése
Adott: a = 0,9 m, b = 0,3 m, c = 3,6 m, d = 1,2 m, F=30 kN, ØDAC=20 mm, ØDBC=10 mm. A
rudak/kötelek szilárdsága: f h.=100 N/mm2.
Az AC és BC tartóelemekben ébredő húzóerők:
( ) ( )βcosαcos0Fx ⋅+⋅−==∑ BA FF és
( ) ( ) Fβsinαsin0Fy −⋅+⋅==∑ BA FF
125
A két egyenletből álló két ismeretlenes (FA, FB) egyenletrendszer megoldása után a következő-
ket kapjuk eredményül a reakcióerőkre, amik egyben a rúderők is: kN46,28== AAC FS ( ) és
kN49,9== BBC FS ( ).
A rudakban fellépő húzófeszültségek:
=⋅
⋅==
4
π20
1046,28
A 2
3
AC
AChúzó
AC
Sσ 90,59 N/mm2 < f h.=100 N/mm2 →MEGFELEL
=⋅
⋅==
4
π10
1049,9
A 2
3
BC
BChúzó
BC
Sσ 120,83 N/mm2 > f h.=100 N/mm2→NEM FELEL MEG
8.1.3. példa
Adott a 157. ábra szerinti tartószerkezet, ami két csuklóval (A és B pontban) támasztottunk
meg. Ellenőrizzük a BC kötél elemet húzásra, megfelel-e. Ha nem felel meg, akkor határozzuk
meg a szükséges ØdBC méretet.
Adott: F = 35 kN, a = 2 m, α=40 °, ØdBC=2,5 cm. A kötél szilárdsága: f h.=110 N/mm2.
157. ábra: Kötél húzó igénybevételének ellenőrzése
A kötélben ébredő húzóerő meghatározása:
( ) ( ) a5,1βcosa2αcosF0MA ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−==∑ BF
kN45,64== BBC FS ( ).
A kötélben fellépő húzófeszültség meghatározása:
=⋅
⋅==
4
π25
1045,64
A 2
3
BC
BChúzó
BC
Sσ 131,3 N/mm2 > f h.=110 N/mm2→NEM FELEL MEG
A szükséges dBC átmérő meghatározása:
126
=⋅
==→=110
1045,64
fA
Af
3
h.BC
BCh.
BCBC SS 585,91 mm2 →
=⋅
=→⋅
=π
491,585d
4
πdA BC
2BC
BC 27,31 mm → =≈ BCd 3 cm.
8.1.4. példa
Adott a 158. ábra szerinti M20-as csavarorsó. Mekkora erővel lehet terhelni?
Adott: ØD=20 mm, Ød=17 mm. A csavarorsó anyagának szilárdsága: f h.=70 N/mm2.
158. ábra: Húzásra igénybevett csavarorsó
A magkeresztmetszet meghatározása:
≅⋅
=⋅
=4
π71
4
πd 22
0A 227 mm2.
A maximális Fmax húzóerő meghatározása:
=⋅=⋅= 07227fF h.0max A 15,89 kN.
8.1.5. példa
Adott a 159. ábra szerinti fékrúd, amit tiszta húzásra kell méretezni.
Adott: l1=100 cm, l2=4 cm, F1=250 N. A fékrúd szilárdsága: f h.=92 N/mm2. Határozzuk meg a
szükséges Ød2 átmérőt.
A fékrúdra ható erőt a nyomatékok egyensúlyából határozhatjuk meg:
=⋅
=⋅
=→⋅=⋅4
001502
l
lFllF
2
1122211 FF 6250 N.
=⋅
⋅=
⋅⋅
=→=⋅
=→=π29
62504
πf
4
f4
π
Af
h.
22
h.
222
22
2h.
Fd
FdA
F9,3 mm.
Kerekítés után a szükséges Ød2=1 cm.
127
159. ábra: Húzott fékrúd
8.1.6. példa
Adott a 160. ábra szerinti, hengerben mozgó dugattyúrúd. Húzó igénybevételre méretezzük
Mekkora a megengedett nyomás (q felületen megoszló terhelés) a hengerben?
Adott: ØD=300 mm, Ød=100 mm. A dugattyúrúd szilárdsága: f h.=100 N/mm2.
160. ábra: Húzott dugattyúrúd
A dugattyúrúd (Ød) terhelhetősége:
=⋅
⋅=⋅
⋅=→=4
π100001
4
πdf
Af
22
h.max
max
h. ddugattyúrú
ddugattyúrúF
F785398 N ≈785 kN.
A hengerben fellépő húzó erő nagysága nem lehet nagyobb a dugattyúrúd terhelhetőségével:
( ) ( ) =⋅−
⋅=
⋅−
⋅==→⋅=
4
π001003
10785
4
πdD
10785
AA
22
3
22
3
22
ddugattyúrú
ddugattyúrú
FqqF 12,49 N/mm2.
128
8.1.7. példa
Adott a 161. ábra szerinti függesztés. Húzó igénybevételre méretezünk. Mekkora a szükséges
kötél átmérője? A kötél n = 40 db egyforma drótszálból áll.
Adott: G (önsúly) = 5 kN, Q (hasznos teher) = 6 kN. A kötelet képező drótszálak szilárdsága
(biztonsági tényező figyelembevételével): fh.=150 N/mm2.
A szükséges teljes keresztmetszet meghatározása:
=+
=+
==→=150
50006000
f
GQ
f
SSf
h.h.kötél
kötél
AA
73,33 mm2
Egy drótszál szükséges keresztmetszete:
===40
33,73
nkötél
drótszál
AA 1,83 mm2 ≈ 2 mm2 →
→ =⋅
=→⋅
=π
42
4
πA
2
drótszál drótszál
drótszál dd
1,6 mm → =≈ d 1,8 vagy 2,0 mm.
161. ábra: Kötélerő meghatározás daru (vagy lift) szerkezeteknél
129
9. Nyomó igénybevétel, nyomófeszültség
9.1.1. példa
Adott a 162. ábra szerinti acélcső, amit F nyomóerő terhel. Mekkora lehet a terhelő erő maxi-
muma?
Adott: ØD=40 mm, Ød=30 mm. Az acél cső szilárdsága: f ny.=125 N/mm2.
162. ábra: Nyomott acélcső
A nyomásban dolgozó keresztmetszet meghatározása:
( ) ( )=
⋅−=
⋅−=
4
π0304
4
πdDA
2222
0 549,78 mm2.
A fellépő nyomófeszültség:
0A
F=nyσ → amiből:
=⋅=⋅=⋅= 78,495251AfA 0ny.0maxnyσF 68,72 kN.
9.1.2. példa
Adott a 163. ábra szerint, d átmérőjű talpcsap, ami a talpcsapágyra nehezedik. Mekkorának kell
az átmérőt választani?
Adott:F = 6 kN. A felületi nyomás maximális értéke: fny. = 3 N/mm2.
===3
6000
f
F
ny.0A 2000 mm2 →
→ =⋅
=⋅
=→⋅
=π
42000
π
4
4
πA 0
2
0
Ad
d50,46 mm → =≈ d 5,1 cm.
130
163. ábra: Talpcsapágy
9.1.3. példa
Adott a 164. ábra szerinti négyzet keresztmetszetű betonoszlop, amit F nyomóerő terhel. Mek-
kora az oszlopban keletkező nyomófeszültség?
164. ábra: Beton oszlop nyomása
131
Adott: a=30 cm, Ød=30 mm, F = 180 kN. Az oszlop hossza: l = 5 m.
A fellépő nyomófeszültség:
=⋅
⋅==
300300
10180
A
F 3
0
nyσ 2 N/mm2.
9.1.4. példa
Csapágyazásnál, csavarkötések kialakításánál a nyomóerő görbe, palást felületen oszlik meg.
Ebben az esetben palástnyomásról beszélünk. A palástnyomási felületet nem a hengerfelület-
ből, hanem a tengelymetszetből (vízszintes- vagy hosszmetszet) számítjuk.
Adott a 165. ábra szerinti vízszintes csapágy, amit a d átmérőjű csap F erővel terhel. Mekkora
a csapágy l hossza?
Adott: Ød=50 mm, F = 6 kN. A palástnyomás maximális értéke: f pny. = 2 N/mm2.
A fellépő palástnyomás: ld
F
A
F
0 ⋅==pnyσ , amiből → =
⋅=
⋅=
205
6000
fd
Fl
pny.
60 mm.
165. ábra: Vízszintes csapágy - nyomó igénybevétel hengeres felületen
9.1.5. példa
Mekkora átmérőjű és hosszúságú csapágyat kell kialakítani, hogy a csapágy hossza 1,5-szerese
legyen az átmérőnek?
Adott: F = 12 kN. A palástnyomás maximális értéke: f pny. = 5 N/mm2, l = 1,5∙d.
A fellépő palástnyomás:
ld
F
A
F
0 ⋅==pnyσ , amiből →
2d5,1
12000
d5,1d
F
ld
Ff
⋅=
⋅⋅=
⋅= →
→ =⋅
=⋅
=5,15
12000
5,1f
Fd 40 mm és l = 1,5∙d= 1,5∙40= 60 mm.
132
9.1.6. példa
Adott 166. ábra szerinti függesztés. Mekkora a teherközvetítő d átmérőjű csap palástnyomási
feszültsége?
Adott: Ød=30 mm, e=15 mm, F = 16 kN, SA = 17,18 kN, SB = 21,05 kN. A palástnyomás
maximális értéke: f pny. = 25 N/mm2.
166. ábra: Függesztés összekötő csapjának palástnyomási feszültsége
Az SA rúderőből származó palástnyomási feszültség:
=⋅⋅
=⋅⋅
==)51(203
17180
e)(2d
S
A
S A
0
Apny
S Aσ 19,09 N/mm2 < 25 N/mm2 = f pny. →MEGFELEL.
Az SB rúderőből származó palástnyomási feszültség:
=⋅⋅
=⋅⋅
==)51(203
21050
e)(2d
S
A
S B
0
Bpny
SBσ 23,39 N/mm2 < 25 N/mm2 = f pny. →MEGFELEL.
Az F rúderőből származó palástnyomási feszültség:
=⋅⋅
=⋅⋅
==)51(203
16000
e)(2d
F
A
F
0
pny
Fσ 17,78 N/mm2 < 25 N/mm2 = fpny. →MEGFELEL.
A csapot nyírásra is ellenőrizni kell. A témáról bővebben a „Közelítően tiszta nyíró igénybevé-
tel, nyírófeszültség” című fejezetben.
További, palástnyomással összefüggő példákat a „Közelítően tiszta nyíró igénybevétel, nyíró-
feszültség” című fejezetben veszünk.
133
10. Hajlító igénybevétel, hajlításból származó normál (húzó-nyomó) és nyírófeszültség
10.1.1. példa
Adott 167. ábra szerinti kéttámaszú tartó (3.1.1 példa alapján). Mekkora a hajlításból származó
maximális normál és nyírófeszültség? Végezzük el az ellenőrzést!
Adott: MMAX = 32,2 kNm, Szelvény: I-260→ Iz = 5740 cm4, Sz = 257 cm3, v = 9,4 mm. A
hajlítási szilárdság: f hajl. = 95 N/mm2, a nyírási szilárdság: f nyírás = 74 N/mm2.
167. ábra: I szelvényű, kéttámaszú tartó hajlításból származó normálfeszültsége
A hajlításból származó maximális normálfeszültség:
=⋅⋅
⋅⋅=⋅= (mm)301
)mm(1074,5
)mmN(1032,2t
I
M47
6
(y)z
max.maxhajlσ 72,93 N/mm2→
→ =.maxhajlσ 72,93 N/mm2 < 95 N/mm2 = f hajl. →MEGFELEL
A hajlításból származó maximális nyírófeszültség:
=⋅
⋅⋅
⋅=⋅=
9,4(mm)
)mm(1057,2
)mm(1074,5
N)(1015,23
v(y)
(y)S
I
T 35
47
3z
z
(max)x,.maxhajlτ 7,25 N/mm2→
→ =.maxhajlτ 7,25 N/mm2 < 74 N/mm2 = f nyírás →MEGFELEL
10.1.2. példa
Adott 168. ábra szerinti kéttámaszú tartó (3.1.2 példa alapján). Mekkora a hajlításból származó
maximális normálfeszültség? Végezzük el az ellenőrzést!
Adott: F=15 kN, q=4 kN/m, a = 1 m és α = 30 ° → MMAX-alsó = 16,75 kNm, MMAX-felső = 8,0
kNm, Szelvény: U-120→ Iz = 364 cm4, e = 1,6 cm, . A hajlítási szilárdság: f hajl. = 95 N/mm2.
A hajlításból származó maximális normálfeszültség az alsó oldalon:
=⋅⋅
⋅⋅=⋅=− mm)(0,16
)mm(10364
)mmN(1075,61t
I
M44
6
(y)z
alsó-max.alsómax
hajlσ 73,63 N/mm2→
→ =.maxhajlσ 73,63 N/mm2 < 95 N/mm2 = f hajl. →MEGFELEL
134
168. ábra: U szelvényű, kéttámaszú tartó hajlításból származó normálfeszültsége
A hajlításból származó maximális normálfeszültség a felső oldalon:
=−⋅⋅
⋅⋅=⋅=− mm)()1655(
)mm(10364
)mmN(100,8t
I
M44
6
(y)z
felső-max.fmax
hajl
elsőσ 85,71 N/mm2→
→ =.maxhajlσ 85,71 N/mm2 < 95 N/mm2 = f hajl. →MEGFELEL
10.1.3. példa
Adott a 169. ábra szerinti kéttámaszú tartó (4.1.1 és 1.1.7 példák alapján). Mekkora a hajlításból
származó maximális normál és nyírófeszültség? Végezzük el az ellenőrzést!
Adott: F=8 kN, q=2 kN/m, M= 25 kNm és a=0,5 m → MMAX = 14,25 kNm és TMAX = 20,0 kN.
Szelvény: cső: ØD=15 cm, Ød=11 cm → Iz = 1766 cm4. A hajlítási szilárdság: f hajl. = 95 N/mm2,
a nyírási szilárdság: f nyírás = 74 N/mm2.
169. ábra: Cső szelvényű, mereven befogott tartó hajlításból származó normálfeszültsége
A hajlításból származó maximális normálfeszültség:
=⋅⋅
⋅⋅=⋅= (mm)75
)mm(10766,1
)mmN(1014,75t
I
M47
6
(y)z
max.maxhajlσ 62,64 N/mm2→
→ =.maxhajlσ 62,64 N/mm2 < 95 N/mm2 = f hajl. →MEGFELEL
A félszelvény statikai nyomatéka a hajlítás tengelyére:
135
( )
( )=
+⋅⋅+⋅+⋅
−⋅
−⋅⋅=
=
+⋅⋅+⋅+⋅
−⋅
−⋅⋅==
)11(15π3
111151512
2
15
4
)11(15π
2
1
)d(Dπ3
ddDD2
2
D
4
)d(Dπ
2
10)(yS
2222
2222
z
= =⋅ 33,384,40 136 cm3.
A hajlításból származó maximális nyírófeszültség:
=⋅
⋅⋅⋅
=⋅=(mm) 40
)mm(1036,1
)mm(10766,1
N)(1020
v(y)
(y)S
I
T 35
47
3z
z
(max)x,.maxhajlτ 3,85 N/mm2→
→ =.maxhajlτ 3,85 N/mm2 < 74 N/mm2 = f nyírás →MEGFELEL
10.1.4. példa
Adott a 170. ábra szerinti mereven befogott T-szelvényű tartó, amelynek a végén egy csövet
támasztunk meg – falba erősített konzolos csőtámasztás. Mekkora a távolságra helyezhetjük a
csövet a faltól? (A T szelvény önsúlyát elhanyagoljuk)
Adott: F=1 kN, MMAX = F∙a kNm. Szelvény: T 60X60 → Iz = 23,8 cm4. A T idom hajlítási
szilárdság: f hajl. = 114 N/mm2.
170. ábra: Egyik végén befogott T-szelvény
A hajlításból származó maximális normálfeszültség:
=⋅⋅−
=⋅=⋅=→⋅= 5z
(y)
halj.max(y)
z
max.max 1038,2
6,1660
114I
t
fFMt
I
Maσ hajl 625161 Nmm→
→ ===1000
625161
F
Mmaxa 625,16 mm≈63 cm.
136
10.1.5. példa
Adott a 171. ábra szerinti kéttámaszú I-szelvényű tartó, amelyen két koncentrált erő működik.
Milyen I szelvényt kell választanunk? (Az I szelvény önsúlyát elhanyagoljuk) Ellenőrízzük a
tartót nyírásra!
Adott: F1=6 kN, F2=3 kN. Az I idom hajlítási szilárdság: fhajl. = 95 N/mm2, a nyírási szilárdság:
f nyírás = 74 N/mm2.
171. ábra: Kéttámaszú, koncentrált erővel terhelt I-szelvény
A hajlításból származó maximális normálfeszültség:
( ) =⋅
===→⋅=95
106
f
MK
t
It
I
M 6
zhalj.
maxz
(y)
z(y)
z
max.maxhajlσ 63158 mm3 →
→ táblázatból: I-140 szelvény a megfelelő.
Az I-140 szelvény keresztmetszeti adatainak a figyelembevételével számított hajlításból szár-
mazó normálfeszültség:
=⋅⋅
⋅=⋅=− 07
105,73
106t
I
M6
6
(y)z
max.140
hajl
Iσ 73,33 N/mm2 < 95 N/mm2 = fhajl. → MEGFELEL
A hajlításból származó maximális nyírófeszültség (Sz = 47,7 cm3):
=⋅
⋅⋅⋅
=⋅=(mm) 5,7
)mm(1077,4
)mm(1073,5
N)(106
v(y)
(y)S
I
T 34
46
3z
z
(max)x,.maxhajlτ 8,76 N/mm2→
→ =.maxhajlτ 8,76 N/mm2 < 74 N/mm2 = f nyírás →MEGFELEL
137
10.1.6. példa
Adott a 172. ábra szerinti kéttámaszú övlemezzel erősített I-tartó. A tartón p megoszló (hasz-
nos) terhelés működik. Mekkora a hajlításból származó maximális normál és nyírófeszültség?
Végezzük el az ellenőrzést!
Adott: p = 50 kN/m, a = 6 m, b = 15 cm, v = 2 cm. Szelvény: I-260→ Iz = 29210 cm4, Sz = 257
cm3, GI (önsúly) = 924 N/m. A hajlítási szilárdság: f hajl. = 130 N/mm2, a nyírási szilárdság:
fnyírás = 74 N/mm2. Az övlemezek önsúlya: Gbxv = (önsúly) 468 N/m.
172. ábra: Kéttámaszú, övlemezzel erősített I-tartó
A tartó önsúlyából származó terhelés:
=+=+= 468924GG bxvIq 1392 N/m=1,392 kN/m.
A reakcióerők meghatározása – a tartó és a terhelés is szimmetrikus, emiatt
=⋅+
=⋅+
==2
6)392,105(
2
6)p(y
qBA 154,18 kN.
A maximális nyomaték értéke a tartó közepén lesz. Meghatározása:
=⋅+
−=⋅⋅+−⋅+
=⋅−⋅⋅+=8
a)p(
2
a
2
a)p(
8
a)p(
2
a
4
a
2
a)p(
22bmax
qAqM y
–231,26→
→ =bmaxM 231,26 kNm ( ).
A keresztmetszet hajlítási tengelyére vett inerciája:
138
=⋅
⋅⋅+
⋅+=⋅
⋅⋅+
⋅+= 212251
12
251921022tvb
12
vbI 2
32(y)
3400-I
zzI 55690 cm4.
A hajlításból származó maximális normálfeszültség:
=⋅⋅⋅
=⋅= 2021055690
10231,26t
I
M4
6
(y)z
max.maxhajlσ 91,75 N/mm2 < 95 N/mm2 = fhajl. → MEGFELEL
A félszelvény statikai nyomatéka a hajlítás tengelyére:
=
+⋅⋅+=
+⋅⋅+==2
2
2
13251572
2
v
2
hvbS0)(yS I260
zz 482 cm3.
A hajlításból származó maximális nyírófeszültség:
=⋅
⋅⋅
⋅=⋅=
(mm) 9,4
)mm(1072,4
)mm(1057,5
N)(1018,541
v(y)
(y)S
I
T 35
48
3z
z
(max)x,.maxhajlτ 13,9 N/mm2→
→ =.maxhajlτ 13,9 N/mm2 < 74 N/mm2 = f nyírás →MEGFELEL
10.1.7. példa
Adott a 173. ábra szerinti esztergakés, miközben acél anyagot munkálunk meg. Határozzuk
meg az esztergakés keresztmetszeti méreteit (a és b)!
Adott: Előtolás: e = 1,2 mm/fordulat. Fogásmélység: f = 6 mm. A fajlagos forgácsolási ellen-
állás: k = 1400 N/mm2. A kés alátámasztás nélküli hossza: c = 6 cm. Az acél hajlítási szilárd-
sága: f hajl. = 100 N/mm2. A kés négyszög keresztmetszetének oldalainak az aránya: 3
2
b
a= .
173. ábra: Esztergakés alátámasztása, terhelése
A forgácsolóerő számítása:
=⋅⋅=⋅⋅= 400162,1kfeforg.F 10,08 kN.
Az esztergakés mértékadó keresztmetszetét terhelő nyomaték:
53forg.max 1005,6601008,10c ⋅=⋅⋅=⋅= FM Nmm.
A késszár szükséges keresztmetszete:
139
=⋅
==→⋅=100
1005,6
f
MMf
5
hajl.
maxmaxhajl.
(y)
z(y)
z t
It
I6050 mm3.
6
2
122
1223
3
ba
b
ba
b
ba
t
I
(y)
z ⋅=⋅
⋅=
⋅
= =6050 mm3.
A keresztmetszet oldalainak az arányából: ba ⋅=3
2.
Behelyettesítés után:
=⋅
=→=⋅⋅=⋅
= 3
22
2
1860506050
63
2
6b
bb
ba
t
I
(y)
z 37,9 mm és a = 25,27 mm.
140
11. Csavaró igénybevétel, csavarásból származó nyírófeszültség
11.1. Kör és körgyűrű keresztmetszetek poláris másodrendű nyomatéka és poláris ke-
resztmetszeti tényezője
11.1.1. példa
Adott a 174. ábra szerinti keresztmetszet. Határozzuk meg a keresztmetszet poláris másodrendű
nyomatékát és poláris keresztmetszeti tényezőjét.
Adott: Ød=20 cm.
174. ábra: Kör keresztmetszet poláris másodrendű nyomatéka
Poláris inercia számítása:
=⋅
=⋅
=32
π02
32
πd 44
pI 15708 cm4.
Poláris keresztmetszeti tényező számítása:
==⋅
=⋅
=
⋅
==
2
2015708
16
π02
16
πd
2
d32
πd
2
d
33
4
p
p
IW 1570,8 cm3.
11.1.2. példa
Adott a 175. ábra szerinti keresztmetszet. Határozzuk meg a keresztmetszet poláris másodrendű
nyomatékát és poláris keresztmetszeti tényezőjét..
Adott: ØD=15 cm, Ød=11 cm.
175. ábra: Körgyűrű (cső) keresztmetszet (vastaggal kiemelve) poláris másodrendű nyomatéka
Poláris inercia számítása:
141
=⋅−
=⋅−
=32
π)11(15
32
π)d(D 4444
pI 3533 cm4.
Poláris keresztmetszeti tényező számítása:
==⋅
⋅−=
⋅⋅−
=
⋅−
==
2
153533
5116
π)11(15
D16
π)d(D
2
D32
π)d(D
2
D
4444
44
p
p
IW 471 cm3.
11.2. Kör és körgyűrű keresztmetszetek csavarásakor fellépő nyírófeszültség
11.2.1. példa
Adott a 176. ábra szerinti mereven befogott, kör keresztmetszetű tartó. Határozzuk meg az éb-
redő nyírófeszültséget.
Adott: Ød=8 cm, a=2 m, Mcs.=1,5 kNm.
176. ábra: Csavarással terhelt, kör keresztmetszetű, mereven befogott tartó
Poláris inercia és poláris keresztmetszeti tényező számítása:
=⋅
=⋅
=32
π8
32
πd 44
pI 402,12 cm4.
=⋅
=⋅
=⋅⋅
=
⋅
=16
π8
16
πd
d
2
32
πd
2
d32
πd334
4
pW 100,53 cm3.
A csavarásból származó maximális nyírófeszültség:
142
=⋅
⋅=⋅
⋅⋅
==⋅=3
6
6
6csav.max
(y)
csav.max.
max 1053,100
105,140
1002,4
105,1Mt
M
pp
csav
WIτ 14,93 N/mm2.
11.2.2. példa
Adott a 177. ábra szerinti acél cső, amit esztergálással munkálunk meg. Határozzuk meg a mun-
kafolyamat során ébredő maximális nyírófeszültséget.
Adott: Ød=5 cm, ØD=6 cm. Forgácsolóerő: Ff =7 kN.
177. ábra: Cső keresztmetszetű acél esztergálása
A fellépő csavaró nyomaték:
=⋅⋅=⋅=2
60107
2
DF 3
fcsM 210000 Nmm=210 Nm.
Poláris inercia és poláris keresztmetszeti tényező számítása:
( ) ( )=
⋅=
⋅=
32
π50-06
32
πd-D 4444
pI 658753 mm4.
( ) ( )=
⋅⋅
=⋅
⋅=
0661
π50-06
D61
πd-D 4444
pW 21958 mm3.
A csavarásból származó maximális nyírófeszültség:
=⋅⋅
=⋅⋅
⋅==⋅=
4
5
5
5
p
csav.max
(y)p
csav.max.
max 102,2
101,230
1059,6
101,2Mt
M
WI
csavτ 9,56 N/mm2.
11.2.3. példa
Adott a 178. ábra szerinti forgattyús tengely. A csapra F erő hat. Határozzuk meg a tengely
szükséges átmérőjét.
Adott: F=10 kN A két tengely távolsága: r=20 cm. A tengely anyagának nyírószilárdsága: fcsav.
=60 N/mm2.
A fellépő csavaró nyomaték:
=⋅⋅=⋅= 0021001rF 3fcsM 2000000 Nmm=2000 Nm.
143
178. ábra: Forgattyús tengely szükséges átmérőjének a számítása az ébredő nyírófeszültség alapján
A csavarásból származó maximális nyírófeszültség:
→⋅
=⋅
==⋅
=→=⋅=16
π
60
102
f
M
16
πMt
Mf
36
csav.max
csav.max
3
pp
csav.max
(y)p
csav.maxcsav.
max
DDW
WI
=⋅⋅⋅
=⋅
⋅=→ 3
6
3csav.max
csav.max
π60
10216
πf
M16D 55,37 mm.
11.2.4. példa
Adott a 179. ábra szerinti n1 és n2 fordulatú tengely. Határozzuk meg a tengelyek szükséges
legkisebb átmérőjét.
Adott: n1=1440 1/min, n2=240 1/min. Az átvitt teljesítmény: P=20 kW. A tengelyek anyagának
nyírószilárdsága: fcsav. =25 N/mm2.
A hajtótengelyt terhelő csavaró nyomaték:
=⋅⋅
⋅=
⋅⋅=→⋅⋅⋅=⋅=
60
4401π2
102
nπ2
P)nπ2(P
4
111111 cscscs MMM ϖ 132,63 Nm.
A csavarásból származó maximális nyírófeszültség:
→⋅
=⋅
==⋅
=→=⋅=16
π
25
1033,1
f
M
16
πMt
Mf
31
5
csav.max
cs131
pp
cs1(y)
p
cs1csav.max
ddW
WI
144
179. ábra: Forgatónyomaték átszármaztatása fogaskerekekkel
=⋅
⋅⋅=
⋅⋅
=→ 3
5
3csav.max
cs11
π25
1033,116
πf
M16d 30,03 mm ≈3 cm.
A hajtott tengelyt terhelő csavaró nyomaték:
=⋅⋅
⋅=
⋅⋅=→⋅⋅⋅=⋅=
60
240π2
102
nπ2
P)nπ2(P
4
222222 cscscs MMM ϖ 795,77 Nm.
A csavarásból származó maximális nyírófeszültség:
→⋅
=⋅
==⋅
=→=⋅=16
π
25
1096,7
f
M
16
πMt
Mf
32
5
csav.max
cs232
pp
cs2(y)
p
cs2csav.max
ddW
WI
=⋅
⋅⋅=
⋅⋅
=→ 3
5
3csav.max
cs22
π25
1096,716
πf
M16d 54,53 mm ≈6 cm.
11.2.5. példa
Adott a 180. ábra szerinti d átmérőjű, n fordulatszámú tengely, amely P teljesítményt származ-
tat át. Ellenőrizzük a tengelyt csavarásra.
180. ábra: Fogaskerékáttétel
145
Adott: n=50 1/min. Ød=8 cm. Az átvitt teljesítmény: P=44,2 kW. A tengelyek anyagának nyí-
rószilárdsága: fcsav. =95 N/mm2.
A hajtótengelyt terhelő csavaró nyomaték:
=⋅⋅
⋅=
⋅⋅=→⋅⋅⋅=⋅=
60
50π2
10424,
nπ2
P)nπ2(P
4
cscscs MMM ϖ 8442 Nm.
Poláris inercia és poláris keresztmetszeti tényező számítása:
=⋅
=⋅
=32
π8
32
πd 44
pI 402,12 cm4.
=⋅
=⋅
=⋅⋅
=
⋅
=16
π8
16
πd
d
2
32
πd
2
d32
πd334
4
pW 100,53 cm3.
A csavarásból származó maximális nyírófeszültség:
=⋅
⋅=⋅
⋅⋅
==⋅=3
6
6
6csav.max
(y)
csav.max.
max 1053,100
1044,840
1002,4
1044,8Mt
M
pp
csav
WIτ 83,98 N/mm2→
→ =.maxcsavτ 83,98 N/mm2 < 95 N/mm2 = f csav. →MEGFELEL
146
12. Közelítően tiszta nyíró igénybevétel, nyírófeszültség
12.1.1. példa
Adott a 181. ábra szerinti, nyírásra terhelt kötőelem (egynyírású szegecs). Ellenőrizzük a kap-
csolatot a kötőelem nyírása és palástnyomása szerint.
Adott: Ød=1,5 cm, e=10 mm, F = 12 kN. A kötőelem nyírási szilárdsága: fny = 77 N/mm2. A
kötőelem palástnyomási szilárdsága: fpny = 150 N/mm2.
Hogy hány „nyírású” egy kötőelem, az alapján határozzuk meg, hogy a kötőelem elnyíródása-
kor hány felület mentén szakadna el.
181. ábra: Egynyírású kötőelem
A kötőelemben (szegecs) fellépő nyírási feszültség:
=
⋅⋅
=
⋅⋅
=⋅
=
1""4
π51
12000
1""4
πd
F
száma"tszetekkeresztemenyírt"A
F22
τ 67,91 N/mm2
=τ 67,91 N/mm2 < 77 N/mm2 = fny →MEGFELEL.
A fellépő palástnyomási feszültség:
=⋅
=⋅
==0115
12000
ed
F
A
F
0
pnyσ 80 N/mm2 < 150 N/mm2 = fpny →MEGFELEL.
12.1.2. példa
Adott a 182. ábra szerinti, nyírásra terhelt kötőelem (szegecs). Ellenőrizzük a kapcsolatot a
kötőelem nyírása és a fellépő palástnyomás szerint.
Adott: Ød=1 cm, e=5 mm, F = 12 kN. A kötőelem nyírási szilárdsága: fny = 77 N/mm2. A
kötőelem palástnyomási szilárdsága: fpny = 150 N/mm2.
182. ábra: Kétnyírású kötőelem
A kötőelemekben (szegecs) fellépő nyírási feszültség:
147
=
⋅⋅
=
⋅⋅
=⋅
+=
2""4
π01
12000
2""4
πd
F
száma"tszetekkeresztemenyírt"A
F/2F/222
τ 76,39 N/mm2
=τ 76,39 N/mm2 < 77 N/mm2 = fny →MEGFELEL.
A fellépő palástnyomási feszültség a bal oldali kötőelemeken:
( )=
⋅⋅=
⋅⋅+
==2510
12000
2ed
F/2F/2
A
F
0
pnyσ 120 N/mm2 < 150 N/mm2 = fpny →MEGFELEL.
A fellépő palástnyomási feszültség a jobb oldali kötőelemen:
=⋅⋅
=⋅⋅
+==
5210
12000
e2d
F/2F/2
A
F
0
pnyσ 120 N/mm2 < 150 N/mm2 = fpny →MEGFELEL.
Jelen példában a geometriai méretek miatt a palástnyomási felületek megegyeznek, ezért a pa-
lástnyomási feszültségek is. Ez azonban nem minden csomóponti kialakítás esetén van így.
Mindig az adott példa, geometriai kialakítás határozza meg a palástnyomási felületet és feszült-
séget is.
12.1.3. példa
Adott a 183. ábra szerinti M12 –es csavar, amit húzásra terhelünk. Ellenőrizzük a csavart nyírás
és nyomás szerint.
Az F terhelő erő az orsót ki akarja húzni a csavarfejből. A nyírt felület így egy hengerfelület
lesz, amit ha kiterítünk, téglalapot kapunk. A téglalap egyik oldala a csavar kerülete, míg másik
oldala a csavarfej magassága lesz.
Adott: Ød=12 mm, F = 6 kN. A kötőelem (csavar) nyírási szilárdsága: fny = 50 N/mm2. A kö-
tőelem palástnyomási szilárdsága: fpny = 150 N/mm2.
183. ábra: Nyíró igénybevétellel terhelt kötőelem
148
12.1.4. példa
Adott a 184. ábra szerinti, v vastagságú lemez. Excenterpréssel d átmérőjű tárcsát vágunk ki.
Mekkora a legnagyobb d átmérő, amit még ki lehet a munkaeszközzel vágni?
Kivágáskor a fellépő nyíróerőnek nagyobbnak kell lennie, mint az anyag szilárdságából adódó
ellenállásnak. A külső F erőnek meg kell haladnia azt a belső erőt, amit az anyag elcsúszás
nélkül el tud viselni.
Adott: v = 2 mm. A préssel kifejthető maximális erő: F = 200 kN. A lemez nyírási szilárdsága:
fny = 400 N/mm2.
184. ábra: Tárcsa kivágása lemezből
Kör alakú lemezdarab kivágásakor a nyírt felület egy hengerfelület, amit ha kiterítünk, téglala-
pot kapunk. Ennek a téglalapnak a hosszabbik oldala a tárcsa kerületével, rövidebbik oldala a
lemez vastagságával egyezik meg.
A fellépő nyírófeszültség:
===→=400
200000
f
F
A
F
ny
Aτ 500 mm2.
A nyírt keresztmetszet:
=⋅
=⋅
=→⋅⋅=2π
500
vπ
AdvπdA 79,57 mm.
149
13. Kihajlás
13.1.1. példa
Adott a 185. ábra szerinti, egyik végén szabad, másik végén befogott kör keresztmetszetű tartó.
Határozzuk meg a karcsúsági tényezőt!
Adott: Ød = 20 cm, h = 1,5 m, ν = 2 (egyik végén szabad, másik végén befogott tartók esetén).
185. ábra: Egyik végén szabad, másik végén befogott kör keresztmetszetű tartó kihajlása
A keresztmetszet területe:
=⋅
=⋅
=4
π02
4
πdA
22
314,16 cm2.
A súlyponti tengelyekre vonatkozó inercia számítása:
=⋅
=⋅
===64
π20
64
πd 44
minIII zx7854 cm4.
A legkisebb inerciasugár meghatározása:
===16,314
7854min
A
Ii miin 5 cm.
A tartó redukált hosszának a meghatározása:
=⋅=⋅= 25,1νhredl 3 m = 300 cm.
A karcsúsági tényező számítása:
===5
300
mini
lλ red 60.
150
13.1.2. példa
Adott a 186. ábra szerinti, egyik végén szabad, másik végén befogott kör keresztmetszetű tartó.
Határozzuk meg a karcsúsági tényezőt!
Adott: ØD = 45 mm, Ød = 40 mm, h = 2 m, ν = 1 (két végén csuklós megtámasztás).
186. ábra: Két végén csuklós megtámasztású cső keresztmetszetű tartó kihajlása
A keresztmetszet területe:
( ) ( )=
⋅=
⋅=
4
π14-45
4
πd-D 2222
A 334 mm2.
A súlyponti tengelyekre vonatkozó inercia számítása:
=⋅−
=⋅−
===64
π)04(45
64
π)d(D 4444
minIII zx75625 mm4.
A legkisebb inerciasugár meghatározása:
=====334
75625minmin
A
Iiii zx
15,05 mm.
A tartó redukált hosszának a meghatározása:
=⋅=⋅= 12νhredl 2 m = 2000 mm.
A karcsúsági tényező számítása:
===05,15
2000
mini
lλ red 132,89.
151
13.1.3. példa
Adott a 187. ábra szerinti vízszintes, csuklós megtámasztású tartó, amit a BC zárt szelvény
keresztmetszetű tartó elem támaszt meg, tart egyensúlyban. Ellenőrizzük a BC tartóelemet ki-
hajlásra!
Adott: q = 1,5 kN/m, F = 6 kN, α = 60°, a = 0,6 m, b = 0,9 m. A tartó keresztmetszetére,
anyagára és a megtámasztására vonatkozó adatok táblázatból: ν = 1 (két végén csuklós megtá-
masztás), A = 2,59 cm2, Ix = 3,6 cm4, Iz = 5,7 cm4, λh = 105.
187. ábra: Zárt szelvény keresztmetszetű tartó elem kihajlása
A kisebbik inerciasugár meghatározása:
===59,2
6,3minmin
A
Ii 1,18 cm.
A tartó redukált hosszának a meghatározása:
=⋅+=⋅= 19,06,0νh 22redl 1,08 m = 108 cm.
A karcsúsági tényező számítása:
===18,1
108
mini
lλ red 91,53.
λh = 105 > 91,53 = λ → a kritikus feszültséget a képlékeny kihajlás, a Tetmajer-féle képlet
szerint kell meghatározni:
=⋅−=⋅−= 53,9114,1103ba λσ krit 206 N/mm2 (acél esetén táblázatból: a = 310, b = 1,14).
A BC rúdban ébredő normál igénybevétel számítása:
152
b)(asinαF2
b)(ab)(aqa
a
barctansin0M A +⋅⋅−
+⋅+⋅−⋅
⋅==∑ B →
B = NBC = 18,99 kN.
A BC rúdban fellépő normálfeszültség meghatározása:
=⋅
==259
1099,18
A
3BC
fel
Nσ 73,32 N/mm2 < =kritσ 206 N/mm2 → MEGFELEL!
13.1.4. példa
Adott a 188. ábra szerinti, csavarorsót szimbolizáló tartóelem. Ellenőrizzünk kihajlásra!
Adott: F = 45 kN, h = 1,3 m, Ød = 3,5 cm. A tartó anyagára és a megtámasztására vonatkozó
adatok táblázatból: E = 210000 N/mm2, ν = 1 (két végén csuklós megtámasztás), λh = 105.
188. ábra: Kör keresztmetszetű tartó elem kihajlása
A keresztmetszet területe:
=⋅
=⋅
=4
π5,3
4
πdA
22
9,62 cm2.
A súlyponti tengelyekre vonatkozó inercia számítása:
=⋅
=⋅
===64
π3,5
64
πd 44
minIII zx7,37 cm4.
A kisebbik inerciasugár meghatározása:
153
===62,9
37,7minmin
A
Ii 0,88 cm.
A tartó redukált hosszának a meghatározása:
=⋅=⋅= 13,1νhredl 1,3 m = 130 cm.
A karcsúsági tényező számítása:
===88,0
130
mini
lλ red 147,73.
λh = 105 < 147,73 = λ → a kritikus feszültséget a rugalmas kihajlás, az Euler-féle képlet szerint
kell meghatározni:
=⋅
=⋅
=2
2
2
2
73,147
210000ππ
λσ
Ekrit
94,97 N/mm2.
Az orsóban fellépő normálfeszültség meghatározása:
=⋅
==962
1045
A
3N
felσ 46,78 N/mm2 < =kritσ 94,97 N/mm2 → MEGFELEL!
154
Felhasznált és ajánlott irodalom
Jakab S. (1984): Mechanika példatár I., egyetemi jegyzet,
Józsa B. (1991): Műszaki mechanikai táblázatok, egyetemi jegyzet
Kaliszky S. (1990): Mechanika II. - Szilárdságtan, Tankönyvkiadó,
Király B. (1978): Szilárdságtan I., Tankönyvkiadó,
Márton A. (1964): Szilárdságtan, Műszaki Könyvkiadó,
Muttnyánszy Á. (1964): Statika, Tankönykiadó,
Sárközi Z. (1977): Műszaki táblázatok és képletek, Műszaki Könyvkiadó,
Szalai J. (2003): Műszaki mechanika I., egyetemi jegyzet
Tímár I. (1997): Műszaki mechanika I. – Statika, Veszprémi Egyetemi Kiadó,