Systèmes à temps discret Systèmes...
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Système à temps discret
• Un système à temps discret est défini comme un opérateur entre deux signaux à temps discret
• L’outil mathématique exploitée pour faciliter son analyse est la
transformée en Z – voir si besoin cours plus complet sur la transformée en Z dans la rubrique pré-requis du cours de
TdS
y(k) Système à temps discret
u(k)
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• Soit un signal numérique x(k) causal. La transformée en Z est définie par :
où – z est la variable de la transformée en Z –
• On dit que X(z) est la transformée en Z du signal x(k)
Transformée en Z
Z x(k)( )=X z( ) = x(k ) z−k
k=0
+∞∑
x(k)
k 0 1
z = r e jθ =α + jβ
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X z( ) = Z xe(t)( ) = x(k) z-k
k=0
+∞
∑
La transformée en Z peut donc être vue comme la transformée de Laplace appliquée à un signal échantillonné (idéalement) dans laquelle on a effectué le changement de variable :
En posant z=esTe
Xe s( ) = x(k)e-ksTek=0
+∞∑ = x(k) e-sTe⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟k
k=0
+∞∑
Pour un signal échantillonné x(kTe)=x(k), la transformée de Laplace est donnée par :
Lien entre transformée de Laplace et transformée en Z
z=esTe
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• Linéarité
• Retard temporel
• Produit de convolution
Propriétés de la transformée en Z les plus importantes
Z a x(k)+b y(k)( )=a X(z)+bY(z)
Z x(k-2)( )=z−2X(z)+z−1x( -1)+ x(-2)Z x(k-1)( )=z−1X(z)+x(-1)
Z x(k-i)( )=z−i X(z)+z−i+1x(−1)+ z−i+2x(−2)+!+ x(−i )
Z x(k)*y(k)( ) = X(z)×Y(z)
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Table de Transformées en z
x(k) X(z)
z sin ωo( )z2 −2cos ωo( )z +1
z z-cos ωo( )( )z2 −2cos ωo( )z +1
zz-a
sin ωok( )Γ(k)
akΓ(k)
cos ωok( )Γ(k)
Γ(k)
δ(k)zz-1
1
kΓ(k )z
z-1( )2
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Modèles pour représenter d’un système numérique linéaire
• Un système linéaire à temps discret peut être décrit par : – une équation aux différences
– sa fonction de transfert en z
– sa réponse impulsionnelle
– sa réponse fréquentielle
– son diagramme des pôles et des zéros
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Equation aux différences ou équation récurrente
• Un système à temps discret linéaire invariant dans le temps possédant une
entrée u(k) et une sortie y(k) peut être décrit par une équation aux
différences (ou équation récurrente) à coefficients constants :
– Ce type d’équation est bien adapté au calcul numérique. On peut aussi l’écrire :
– C’est la forme sous laquelle seront implantés les algorithmes de commande numérique
y(k)+a1y(k-1)+…+an y(k-n) = b0u(k)+b1u(k-1)+…+bm u(k-m)
y(k)=-a1y(k-1)-…−an y(k-n)+b0u(k)+b1u(k-1)+…+bm u(k-m)
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• Soit l’équation aux différences d’un système à temps discret :
En appliquant la transformée en Z et en utilisant la propriété :
• C’est aussi la transformée en Z de la réponse impulsionnelle
Z x(k-i)( )=z−i X(z) en supposant les conditions initiales (CI) nulles
Fonction de transfert en Z
G z( ) =Z(g(k)) y(k ) = g(k)*e(k) Y(z) =Z(g(k)*e(k))=G(z)×E(z)G(z) = Y(z)
E(z)
G z( ) = Y(z)U(z)=b0+b1z
-1 +…+bm z-m
1+a1z-1 +…+an z
-nen supposant les CI nulles
1+a1z−1 +…+an z
−n( )Y(z) = b0+b1z−1 +…+bmz
−m( ) U(z)
y(k)+a1y(k-1)+…+an y(k-n) = b0u(k)+b1u(k-1)+…+bm u(k-m)
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• Un système à temps discret peut être caractérisé par sa réponse impulsionnelle g(k)
• Elle correspond à la réponse obtenue lorsque l’entrée est une impulsion discrète δ(k)
• Si g(k)=0 pour k<0, le système est dit causal
g(k)
Réponse impulsionnelle
Système linéaire
invariant
δ(k)
k 0 1 1
k
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• g(k) permet de calculer la sortie du système y(k) à toute entrée e(k) via le produit de convolution discret
• Si le système est causal : g(k)=0 pour tout k < 0
Produit de convolution
y(k ) = g(k)*e(k)= g(i) e(k-i)i=-∞
+∞
∑ = g(k-i) e(i)i=-∞
+∞
∑
y(k ) = g(k)*e(k)= g(i) e(k-i)i=0
+∞
∑
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Lien entre la fonction de transfert et l’équation aux différences d’un système numérique
• Soit la fonction de transfert d’un système numérique
Déterminer l’équation aux différences du système On exprime G(z) en puissance négative de z
G(z) = 0,2zz −0,8
G(z) = 0,2zz −0,8
×z−1
z−1=
0,21−0,8z−1
car par définition G(z) = Y(z)U(z)
Y(z)U(z)
=0,2
1−0,8z−1
(1−0,8z−1)Y(z) = 0,2U(z)
Y(z)−0,8z−1Y(z) = 0,2U(z)
y(k ) = 0,8y(k −1)+0,2u(k ) car Z−1 z-i Y(z)( ) = y(k − i ) ici i =1
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• Soit une fonction de transfert
• Définitions
Zéros zj sont les racines du numérateur B(z)=0
Pôles pi sont les racines du dénominateur A(z)=0
• Exemple
G z( ) = B(z)A(z)=C
z − zj( )j=1
m
∏
z − pi( )i=1
n
∏
Diagramme des pôles/zéros
Diagramme des pôles/zéros
G(z) = B(z)A(z)
=0,2
1−0,8z−1=0,2zz −0,8
Re(z)
Im(z)
0 0,8
Toujours écrire G(z) en puissance positive de z pour déterminer les pôles/zéros
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• Si on connaît la fonction de transfert du système
Le système à temps discret est stable si tous ses pôles pi ont un module inférieur à 1, c’est à dire s’ils sont situés à l’intérieur du cercle unité
Exemple
pi <1INSTABLE
Re(z)
Im(z)
1 -1 STABLE
Stabilité d’un système à temps discret
G z( ) =Cz − zj( )
j=1
m
∏
z − pi( )i=1
n
∏
G(z) = 0,2zz −0,8
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Conditions de stabilité systèmes analogiques/systèmes numériques
s = jωz = esTe⎧⎨⎩
INSTABLE
Re(z)
Im(z)
1 -1
STABLE
Re(s)
Im(s)
0
STABLE
tous les pôles <1Re(tous les pôles ) < 0
Systèmes analogiques Systèmes numériques
ωe
-ωe /2
ωe / 2 ω=0
STABLE
ωe /2
ωe
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Rappel - Schéma de régulation numérique
• Une stratégie de régulation numérique fait intervenir deux parties l’une analogique, l’autre numérique
• Pour faire l’analyse, il est plus facile de convertir la partie analogique en numérique
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Rappel - Schéma de régulation numérique
• L’analyse dans le domaine discret passe par la définition d’un système à temps discret appelé système échantillonné comprenant
• le système G(s) + le capteur H(s) • le CAN assimilé à un échantillonneur • Le CNA assimilé à un bloqueur d’ordre 0
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Système échantillonné
• Un système échantillonné est constitué par la mise en cascade
• du bloqueur d’ordre 0 modélisé par Bo(s)
• du système à temps continu modélisé par G(s) (on suppose souvent H(s)=1)
• d’un échantillonneur
• Les signaux d’entrée/sortie du système échantillonné sont deux signaux à temps discret
G(s) Bo(s) y(k) u(k) Te u(t)
Système échantillonné
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• Théorème
• Soit un système à temps continu modélisé par sa fonction de transfert de Laplace G(s). Ce système échantillonné selon le schéma ci-dessus admet comme fonction de transfert en Z
Fonction de transfert d’un système échantillonné
G(s) Bo(s) y(k) u(k) Te
G(z)
G(z) = Y(z)U(z)
= Z Bo(s )G(s )( ) = z −1z Z G(s )s
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = 1− z−1( )Z G(s )
s
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
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Table pour le calcul des fonctions de transfert échantillonnées
(p représente la variable de Laplace et T la période d’échantillonnage)
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Aujourd’hui, il est facile d’utiliser Matlab !
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G(z) ?
Fonction de transfert échantillonnée d’un système du premier ordre
• Déterminer la fonction de transfert échantillonnée du système
bs +a
Bo(s) y(k) u(k) Te
G(z) =b1z
−1
1+a1z−1
y(k) u(k)
a1 = −e−aTe
b1 =ba1+a1( )
⎧
⎨⎪
⎩⎪
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Fonction de transfert échantillonnée - Exemple • Déterminer la fonction de transfert échantillonnée du système ci-
dessous lorsque Te=0,1s et Te=0,01s
G(z) ?
1s + 2
Bo(s) y(k) u(k) Te
y(k) u(k) G(z) =
b1z−1
1+a1z−1
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Fonction de transfert échantillonnée - Exemple
• Déterminer la fonction de transfert échantillonnée du système ci-dessous lorsque Te=1s
G(z) ?
1s s +1( )Bo(s)
y(k) u(k) Te
G(z) = 0,3679 z +0,7183( z −1)( z −0,3679)
y(k) u(k)
G=tf(1,[1 1 0]); Te=1; Gd=c2d(G,Te,’zoh’)
• Vérification sous Matlab
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Propriétés des fonctions de transfert échantillonnées
ü Un système linéaire continu reste linéaire après échantillonnage ü L’ordre du système est conservé ü Les pôles pd du système échantillonné se déduisent des pôles pc du système
continu par la formule ü Les paramètres de la fonction de transfert échantillonnée sont dépendants de la
période d’échantillonnage Te
G(s)Bo(s) y(k) u(k) Te
G(z)y(k) u(k)
pd = epcTe
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• Le problème est celui de l’échantillonnage de la sortie d’un système dont on connaît la fonction de transfert mais son spectre n’est pas connue car il dépend de l’entrée qui est inconnue
• La méthode consiste alors à analyser les fréquences transmises par le système. A partir du diagramme de Bode, on peut déterminer la fréquence de coupure fc du système. Cela indique que toutes les fréquences supérieures à fc seront atténuées dans le spectre du signal de sortie
• En pratique
• Il est recommandé de choisir la fréquence d’échantillonnage fe dans la plage de 6 à 24 fois la fréquence de coupure fc du système continu
Choix de la période d’échantillonnage
G(s) Bo(s) y(k) u(k)
Te
6fc ≤ fe ≤ 24fc
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Choix de Te pour un système du premier ordre
• Déterminer la plage de valeurs possibles pour la période d’échantillonnage Te dans le cas du système du premier ordre
K1+Ts
Bo(s) y(k) u(k) Te
T4≤Te ≤T
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Choix de Te pour un système du premier ordre Exemple sous Matlab
• Déterminer la plage de valeur possible pour la période d’échantillonnage Te dans le cas du système du premier ordre
K1+Ts
Bo(s) y(k) u(k) Te
T4≤Te ≤T
K=1; T=2; G=tf(K,[T 1]); Te=T/2; Gd=c2d(G,Te,’zoh’)
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Détermination de fe à partir d’un diagramme de Bode
fc
6fc ≤ fe ≤ 24fc
-3 dB
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Schéma de régulation numérique
• La recherche d’une loi de commande (et donc de C(z)) par une approche totalement numérique s’appuie sur : – un modèle G(z) de l’ensemble bloqueur d’ordre 0 + actionneur +
système + capteur + échantillonneur – le type de signaux d’entrée : la consigne Yc(z), la perturbation D(z)
+ -
C(z) G(z) Y(z) U(z) Yc(z) D(z)
+ + ε (z)
Y(z) = C(z)G(z)1+C(z)G(z)
Yc(z)+1
1+C(z)G(z)D(z)
