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  • Terminale Sciences de lIngnieur Synthse : Matriaux

    Leon : Matriaux et rsistance des matriaux 1 Lyce Rabelais

  • Leon : Matriaux et rsistance des matriaux 2 Lyce Rabelais

  • Leon : Matriaux et rsistance des matriaux 3 Lyce Rabelais

    III. Caractristiques mcaniques

  • Leon : Matriaux et rsistance des matriaux 4 Lyce Rabelais

  • Leon : Matriaux et rsistance des matriaux 5 Lyce Rabelais

    IV. Caractristiques primordiales Rsistivit lectrique (rsistance lectrique, protection des systmes et des personnes, )

    Rsistance thermique (isolement, etc)

    Masse volumique

    Module de Young

    Prix

    Et bien dautres

    V. Choix dun matriau laide dun indice de choix

    Un indice de choix permet de slectionner le matriau idal pour certaines caractristiques. Il est trs

    facile mettre en place : il sagit dun rapport.

    Prenons un exemple simplifi : un avion. La structure doit tre la moins lourde possible et doit tre le

    plus solide possible. Lindice de performance est tout trouv :

    Iperformance = Rsistance / Masse volumique

    Si la rsistance augmente, le rapport est meilleur. Si la masse volumique diminue, le rapport sera l

    aussi meilleur. Nous chercherons donc le matriau ayant le meilleur indice de performance.

    VI. Rsistance des matriaux

    Il existe 4 types de sollicitation basique :

    La traction/compression

    Le cisaillement

    La flexion

    La torsion

  • Leon : Matriaux et rsistance des matriaux 6 Lyce Rabelais

    A. La compression / traction simple

    Nous allons reprendre un lment vu plus haut : La loi de Hooke.

    Cette loi ne sapplique que dans le domaine lastique (ni plastique, ni striction). Elle permet de relier

    la dformation la contrainte du matriau.

    La loi de Hooke scrit : =

    est la contrainte de traction/compression : =

    Le module de Young E est une constante du matriau. Il ne change jamais dans les conditions

    dutilisation donne (temprature, pression, etc).

    B. Le cisaillement

    Le cisaillement apparait lorsque 2 forces de sens opposes et de point dapplication proche sont

    prsentes.

    Ce cas-ci est rarement tudi au lyce. Vous devez juste savoir de quoi il sagit.

    est la contrainte (en Pa ou MPa)

    N tant la force sappliquant lobjet (N)

    S tant la section (surface) sur laquelle

    repose la force (m ou mm)

    tant la contrainte de traction / compression

    E le module de Young du matriau

    la dformation de la poutre (en m ou mm)

  • Leon : Matriaux et rsistance des matriaux 7 Lyce Rabelais

    C. La flexion simple

    Ce cas est incontournable, un grand classique. Ce type de problme se rsout laide du torseur de

    cohsion . Vous allez voir, cest bien plus simple quil ny

    parait.

    Il existe une fibre neutre dans le matriau. Il sagit de lme.

    Cette courbe ne subit aucune dformation.

    Sur le schma droite, vous pouvez voir reprsent la

    section droite . Notre but sera de calculer le moment de

    flexion pour chaque section droite, car il varie selon la

    position.

    Dans la suite, il vous sera expliqu comme rsoudre ce type de problme.

    D. La torsion

    La torsion est un cas complexe impliquant beaucoup de choses. Il ne sera pas trait ici.

    La torsion trouve son application sur les tournevis par exemple. La capacit du tournevis se

    dformer et subir les contraintes (avant de sortir de la zone lastique) sera tudie. Si la marque

    Facom garanti ses tournevis vie, cest que ltude a t faite. Trs bien faite !

    E. Les efforts composs

    Les sollicitations vues plus haut peuvent engendrer des contraintes

    supplmentaires. Prenons par exemple la flexion :

    Le fait de flchir va crer galement une compression/traction dans le

    matriau. Que se passe-t-il si 2 contraintes diffrentes sont appliques au

    matriau ? Nous allons les ajouter et vrifier quils ne dpassent pas la contrainte

    maximale autorise.

  • Leon : Matriaux et rsistance des matriaux 8 Lyce Rabelais

    VII. Rsolution de cas simples

    A. Compression/traction

    N est la force normale.

    Dans un premier temps, il nous faut calculer la surface dappui de la force. La force sappuie sur

    lensemble de la poutre (quand ce nest pas prcis). Il faut donc calculer laire. Plusieurs profils de

    poutre sont possibles :

    Poutre cylindrique : Poutre paralllpipdique : Autres :

    Une fois que vous connaissez laire et la force, vous pouvez calculer la contrainte :

    =

    Il ne vous reste plus qu calculer la dformation du matriau, sil se trouve dans le domaine

    plastique. Pour cela, vous avez la loi de Hooke disposition :

    =

    Le cas de compression/traction est le plus simple. Souvent, vous devrez ajouter cette contrainte de

    compression la contrainte rsultant de la flexion.

    Si la contrainte de votre matriau dpasse la limite lastique de celui-ci, vous ntes plus dans le

    domaine lastique !

    B. La flexion

    La flexion est la dformation d'un objet qui se traduit par une

    courbure. Dans le cas d'une poutre, elle tend rapprocher les

    deux extrmits de la poutre.

  • Leon : Matriaux et rsistance des matriaux 9 Lyce Rabelais

    La dformation maximale, la flche, se trouve ici en bout de poutre. Lors dune tude, il peut y avoir 3

    buts :

    Calculer le moment flchissant

    Calculer la compression/traction rsultant de la flexion

    Calculer la flche

    Reprsenter les contraintes

    1. Calculer le moment flchissant

    Il existe un lien direct entre la force tranchante et le moment flchissant :

    =

    Mfz est le moment flchissant autour de laxe z.

    Remarque : Le moment flchissant peut-tre calculer autour de tous les axes, du moment quune force tranchante provoquant le moment

    est prsent.

    Le calcul du moment flchissant se fait donc chaque point, selon la position sur x de la section SM

    dans notre exemple. Le moment flchissant vaudra donc :

    =

    2. Calculer la compression/traction

    L encore, un lien direct existe entre la compression/traction et le moment

    flchissant :

    =

    IGz est le moment quadratique de la poutre. Pour le trouver, vous devez raliser

    une intgrale double. Ce nest pas de votre niveau. Cette valeur vous sera

    donne, ou un tableau de formule (document technique) vous sera donn pour

    retrouver cette valeur.

    En fonction de la hauteur y, la compression/traction sera plus forte. Dans les cas dcole, la

    contrainte maximale se trouve souvent sur la peau de la poutre.

    La contrainte maximale de compression/traction vaut donc :

    max = compression/traction + flexion

    SM

  • Leon : Matriaux et rsistance des matriaux 10 Lyce Rabelais

    Si max est plus grand que la limite lastique Re du matriau, vous tes en dehors de la zone lastique.

    Cest bien souvent cette vrification qui signe la fin de lexercice type bac.

    3. Dterminer la flche

    La dtermination de la flche est trs simple. Tout se fait par

    tableau dans les documents techniques. Vous devrez choisir la

    bonne poutre (cylindrique pleine ou creuse, carr pleine ou

    creuse, ) et la bonne rpartition des charges (les forces au bon

    endroit). Par lecture du tableau, une formule mathmatique

    vous sera donne et vous naurez plus qu raliser le calcul

    laide de votre calculatrice.

    4. Reprsenter les contraintes

    Les contraintes sont reprsentes le long de la poutre, gnralement droite (si la poutre est

    verticale) ou en bas (si la poutre est horizontale).

    Les contraintes de compression/ traction ne varie pas selon la section.

    Les contraintes de cisaillement ne varient pas selon la section mais en cas de nombreuses forces,

    elles sadditionnent.

    Le moment flchissant varie selon la section. Il est courant de trouver des formes hyperboliques ou

    des droites linaires.

    Des exemples de reprsentation vous seront donns dans els exercices.