Symbolicko Symbolicko -- komplexní metoda ve komplexní metoda ve střídavých obvodechstřídavých obvodech 11

Univerzita Tomáše Bati ve ZlíněÚstav elektrotechniky a měření

SymbolickoSymbolicko--komplexnkomplexníí metoda metoda ve stve střříídavých obvodechdavých obvodech

Přednáška č. 6

adamek@ft.utb.czU5 A711+420576035251

Milan Adámek

Symbolicko - komplexní metoda ve střídavých obvodech 2

Komplexní číslo a jeho tvary

φ

Im

Re

zb

a

1−=j

-algebraický (složkový) tvar:jbaz +=ˆ

- goniometrický tvar:

imaginární jednotka:

ααα sinsinˆˆ

sin ⋅=⋅=⇒= zzbzb

ααα coscosˆˆ

cos ⋅=⋅=⇒= zzaza

( )αααα sincossincosˆ ⋅+=⋅⋅+⋅= jzzjzz

Symbolicko - komplexní metoda ve střídavých obvodech 3

- exponenciální vztah

Eulerovy vztahy: ααα sincos ⋅+= je j

ααα sincos ⋅−=− je j

αjezz ⋅=ˆα<= zzPozn. Verzorový tvar komplexního čísla = Kenellyho tvar:

V: násobení komplexního (reálného) čísla komplexní jednotkou:

komplexní (reálné) číslo se otočí o 090+ojezjz 90ˆˆ ⋅=⋅

( ) ojezjz 90ˆˆ −⋅=−⋅ komplexní (reálné) číslo se otočí o 090−

Symbolicko - komplexní metoda ve střídavých obvodech 4

Popis harmonických veličin fázory

( ) mu t U tsin( )ω ψ= +okamžitá hodnota napětí:

nahradíme exp. fcí

( ) ( )ψω +⋅⋅= tjm eUtu

( ) ( ) ( )ψωψω +⋅⋅++⋅= tUjtUtu mm sincosˆ

( ) ( )[ ]tuItu m ˆ=

( ) tjjm eeUtu ⋅⋅⋅= ωψˆ

jψm mU =U e

∧

t=0

komplexní maximální hodnota – fázor

rotující fázor rotující úhlovou rychlostí ω

Eulerův vztah

okamžitá hodnota napětí

Symbolicko - komplexní metoda ve střídavých obvodech 5

ψωt

ωIm

Re t t

u( t)Um

Symbolicko - komplexní metoda ve střídavých obvodech 6

Operace s fázory

2u

1u

u

• součet (rozdíl)provádí se v algebraickém tvaru

• násobeníprovádí se v algebraickém tvaru jako násobení mnohočlenů

• děleníprovádí se exponenciálním tvaru

- modul (velikost) je dáno podílem modulů- argument (fáze) je dána rozdílem argumentů

21 ˆˆˆ uuu +=

Symbolicko - komplexní metoda ve střídavých obvodech 7

Základní zákony v komplexním tvaru

Kirchhoffovy zákony:

I. k.z.

II. k.z.

Ohmův zákon pro st. obvody

impedance (zdánlivý odpor)

∑ = 0I

∑ = 0U

ZIZU ˆˆˆ ⋅=

Symbolicko - komplexní metoda ve střídavých obvodech 8

Impedance ideálních a reálných prvků

ideální prvkyrezistor kapacitorinduktor

reálné prvkyodporkondenzátorcívka

RZ R =ˆ

LjZ L ω=ˆ

CjZC ω

1ˆ =

RZ R =ˆ

LjRZ L ω+=ˆ

CjGYZ C

C

ω+== ˆˆ1

Symbolicko - komplexní metoda ve střídavých obvodech 9

Ideální prvky ve střídavých obvodech pomocí symbolicko – komplexní metody

1. Odporník

iu

T t

iu ϕϕ =( ) ( )utj

m eUtu ϕω +⋅=ˆ

( ) ( )ij tu( t ) u( t )i t I eRZ

ω ϕ

∧ ∧∧

+= = = ⋅m∧

( ) ( )tiRtu ˆˆ ⋅=

( )j t

1 12 e ω⋅ ⋅

( ) ( )uu tjm

tjm eIReU ϕωϕω ++ ⋅⋅=⋅

Re

Im

φuI

Uuu jj eIReU ϕϕ ⋅⋅=⋅

IRU ˆˆ ⋅=

Symbolicko - komplexní metoda ve střídavých obvodech 10

2. Induktor

( ) ( ) ( ) ( ) ( )oii u

j t 90) j( t )j( tm m m

ˆdi t d ˆu t L L I e Lj i t L I e U edt dt

ω ϕϕ ω ϕω ω ω + ++ += = = = =

oiu 90+= ϕϕ

Symbolicko - komplexní metoda ve střídavých obvodech 11

3. Sériové spojení činného odporu a induktoru

Symbolicko - komplexní metoda ve střídavých obvodech 12

4. Paralelní spojení činného odporu a induktoru

Symbolicko - komplexní metoda ve střídavých obvodech 13

5. Kapacitor

( ) i ij( t ) j j tm mi t I e I e eω ϕ ϕ ω⋅ + ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ iu jj eI

CjeU ϕϕ

ω⋅⋅=⋅

1

( ) ( ) ( )i t1 1ˆu t i t dtC C jω

= = ⋅∫

( ) ( )tiCj

tu ˆ1ˆ ⋅=ω tje ⋅⋅ ω

12

1

ICj

U ˆ1ˆ ⋅=ω

( )0901 −⋅⋅=⋅ iu jj eICj

eU ϕϕ

ω

ou i 90ϕ ϕ= −

Symbolicko - komplexní metoda ve střídavých obvodech 14

6. Sériové spojení činného odporu a kapacitoru

Symbolicko - komplexní metoda ve střídavých obvodech 15

7. Paralelní spojení činného odporu a kapacitoru

Symbolicko - komplexní metoda ve střídavých obvodech 16

Rezonance v elektrickém obvodu

rozlišujeme:1. rezonanci v sériovém RLC obvodu (napěťová)

2. rezonanci v paralelním RLC obvodu (proudová)

Symbolicko - komplexní metoda ve střídavých obvodech 17

Rezonance v sériovém RLC obvodu

při rezonanci:• impedance v obvodu je minimální (zanikne imaginární

složka )• proud v obvodu je maximální• napětí na cívce a kondenzátoru mají stejnou fázi, ale opačnou velikost

Symbolicko - komplexní metoda ve střídavých obvodech 18

−+=++=

CLjR

CjLjRZ

ωω

ωω 11ˆ

( )mˆI Z 0>

CL

ωω 1

>

( )mˆI Z 0<

CL

ωω 1

<

( )mˆI Z 0= RZ =ˆ

při rezonanci:

• impedance je minimální• proud je maximální

jde o induktivnízátěž

jde o kapacitnízátěž

Symbolicko - komplexní metoda ve střídavých obvodech 19

• určení rezonanční frekvence:

( )mˆI Z 0=

01=−⋅

CL

rr ω

ω LCf

LC rr πω

211

=⇒=

Thomsonův vzorec

• napěťové poměry v obvodu při rezonanci:

( )mˆI Z 0=

CjLj

ωω 1

−=

ICj

ILj ˆ1ˆ ⋅−=⋅ω

ω

L CU U∧ ∧

= −

napětí jsou v protifázi

Symbolicko - komplexní metoda ve střídavých obvodech 20

Symbolicko - komplexní metoda ve střídavých obvodech 21

Využití sériové rezonance

f1

f2

f3

Jednu složku chceme vyfiltrovat.

frf

UL

Výstupní napětí nabývá minimum narezonujícím kmitočtu => tuto složku lze odstranit!

Symbolicko - komplexní metoda ve střídavých obvodech 22

Paralelní rezonance

Symbolicko - komplexní metoda ve střídavých obvodech 23

• určení rezonanční frekvence:

−+=

LCjGY

ωω 1ˆ

( ) 0ˆ =YI m

GY =ˆ LCfr π2

1=

Thomsonův vzorec

•admitance je minimální•proud má své minimum

Symbolicko - komplexní metoda ve střídavých obvodech 24