S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable...

82
Total No. of Questions : 4] SEAT No. : [4717] - 5001 S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable Calculus - I (2013 Pattern) (Paper - I) )Time : 2 Hours] [Max. Marks : 40 Instructions to the candidates: 1) All questions are compulsory. 2) Figures to the right indicate full marks. P177 Q1) Attempt any FIVE of the following: [10] a) Describe the domain and sketch it for the function ( ) 2 , f xy y x = . b) If ( ) , cos , x f xy x y ye = + find 2 f x y ∂∂ . c) State the Increment theorem for functions of two variables. d) Find the equation of normal line at the point ( ) 3,5, 4 on the surface 2 2 2 18 x y z + = . e) Find the critical points of the function ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 , 2 2 f xy x x y y = + . f) Find the area of region R bounded by y x = and 2 y x = in the first quadrant. g) Evaluate 1 3 1 0 2 1 x y z dz dy dx = = =− ∫∫∫ . Q2) Attempt any Two of the following: [10] a) Evaluate ( ) ( ) 3 2 2 2 , 0,0 lim , xy x xy x y + if it exists. b) Find the derivative of ( ) , , f xyz xy yz zx = + + at ( ) 0 1, 1, 2 P in the direction of 3 6 2 u i j κ = + . [Total No. of Pages : 2 P.T.O.

Transcript of S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable...

Page 1: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

Total No. of Questions : 4] SEAT No. :

[4717] - 5001S.Y. B.Sc. (Semester - I)

MATHEMATICSMT - 211 : Multivariable Calculus - I

(2013 Pattern) (Paper - I))Time : 2 Hours] [Max. Marks : 40Instructions to the candidates:

1) All questions are compulsory.2) Figures to the right indicate full marks.

P177

Q1) Attempt any FIVE of the following: [10]

a) Describe the domain and sketch it for the function ( ) 2,f x y y x= − .

b) If

( ), cos ,xf x y x y ye= +

find 2 fx y∂∂ ∂ .

c) State the Increment theorem for functions of two variables.

d) Find the equation of normal line at the point

( )3,5, 4−

on the surface

2 2 2 18x y z+ − =.

e) Find the critical points of the function ( ) ( ) ( )2 2 2 2, 2 2f x y x x y y= − + −

.

f) Find the area of region R bounded by

y x=

and

2y x=

in the firstquadrant.

g) Evaluate

1 3 1

0 2 1

x y z

dz dy dx= = =−∫ ∫ ∫

.

Q2) Attempt any Two of the following: [10]

a) Evaluate ( ) ( )

3 2

2 2, 0,0lim ,

x y

x xyx y→

−+ if it exists.

b) Find the derivative of ( ), ,f x y z xy yz zx= + + at

( )0 1, 1,2P −

in the

direction of

3 6 2u i j κ= + −

.

[Total No. of Pages : 2

P.T.O.

Page 2: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

c) If ( ),w f x y= is differentiable function of x and y and

( ) ( ),x x t y y t= =

are differentiable functions of t, then prove that the composite function

( ) ( ),w f x t y t= ⎡ ⎤⎣ ⎦

is differentiable function of t and

dw f dx f dydt x dt y dt

∂ ∂= +∂ ∂

.

Q3) Attempt any Two of the following: [10]

a) Find the maximum and minimum values of the function ( ), 3 4f x y x y= +

on the circle

2 2 1x y+ =

.

b) Use the limit definition of partial derivatives, compute the partial derivatives

fx∂∂

and

fy∂∂

of the function

( ) 2, 4 2 3f x y x y xy= + − −

at the point

( )2,1− .

c) Find the volume of the region bounded above by the elliptical paraboloid

2 210 3z x y= + +

and below the rectangle : 0 1,0 y 2R x≤ ≤ ≤ ≤ .

Q4) Attempt any ONE of the following: [10]

a) State and prove Taylor’s Formula for functions of two variables.

b) i) Evaluate

( )211

2 2

0 0

,y

x y dx dy−

+∫ ∫

by using polar co-ordinates.

ii) Evaluate

2 2

2 2

3 82

0 0 3

y x y

x y

y dz dx dy− −

+∫ ∫ ∫

////

[4717]-5001 -2-

O

Page 3: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

��� ������������ ������������������ ����

�� ����������� ��������������������������������������������

�� ���������� ������� ( ) .p p q p q∧ ∨ ≡ ∧�

�� �������������������� ( ) ( )( ),x P x Q x∀ ∧ �

� !������������������ �������� ( ), ,x y x y∀ ∀ + �� �"�����������������������

�� #������$� ����������������������������������������������� ������� ��������������$�

�� %��������� ( ) ( ), , !P n r C n r r= × ������������������

�� ��������������������������� ������ ���������������������������� ��&���������

��� ������������������������������ ����

�� '�� ������� ( ) ( ),p q p q q p↔ ≡ → ∧ → ������������������

�� (������������������������������� ��� ���������������������������

%� ����������������� ���������)��%� �������������)�����%� ����������)���������������������������*��������+�%� ���������� ��

�� ,������������ ��������������� ������������������������������ � 3 5n +���� ���������� ��

���������

����������� ������������� ���������������������������������

����������� � � �� ��������������������������

��������������� !��������"�#��"�!�����$�%"����&���%"'������������

������������ � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�%��� ���������%������������&� ����� �'� ( ��&��� �� ����� ����� )���

P178 ��������������������

Page 4: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

��� ������������������������������ ����

�� ������������+�������������-+.+/+�+�+�+ ������������� ����������������������������������������������������0

�� ����������������$����� �1������������������������ ����������2����������������� ��#������ �������������������������������� ������������������������������������������ �������������������������������0

�� '�� �������������� �������3��������� ������������� � ���������3�4

��� ����������������������������� ����

�� �� %���������������������������������������������������

( ) ( ), .A B C D B C A D→ → → ∧ ∴ ∧�

��� 5������677����������������8$������������+�9:������������ +�:;��������������+� 6<� ���� �������� � � ����������+� =� ���� ���� ��� � � � ������������� �����������������&����������

�� �� ����� ��������������������� ������������ ������6+:+9+$+8���������������������������� �������������������� � ���������$0

��� �� �������������������� �������������������97+����������������� �������������97�

����

���������������������������������������������������

Page 5: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

����������� �������������

P178����������

� � � �� ��������������������������

���������������("')"�����"&�*+����"&,�-+.�!������!�����$�%"����&���%"'�����������

������������ � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�%��� ���������%������������&� ����� �

��� ������������ ������������������ ����

�� �� � { }3 22 3cosh 4 .L t t t− +

�� %�� ��( ) ( ) ( )2 1 1, 0 0 0 ;D y y y′+ = = = ������� .d

Ddx

�� > �������3

0

.dexx x

∞−∫

� ,���������������� ��� ��� ��+������� {} 2

1, 0.L t s

s= >

�� ������������� 1n n n+ = ���� ����������+���� �������3 4

2 3π− = �

�� �� �1

2

5

2 6L

S− ⎧ ⎫⎨ ⎬+⎩ ⎭

�� ��� ( ) | |,f x x xπ π= − < < ������� ����������������������?��������������

��� ������������������������������ ����

�� ��� ( ){ } ( )L F t sφ= � � � �� ��� �� ����� ������� ���� ��� �� ����

( ){ } 1 sL F at

a aφ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

���

Page 6: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

�� > �������2

0

cos .tte t dt∞

−∫

�� �� � ( )1

3

1

2L

s s−⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬

−⎪ ⎪⎩ ⎭

��� ������������������������������ ����

�� ��� ( ){ } ( )1L f s F t− = ��������������

( ){ } ( )1 ,.

0 ,as F t a t a

L e f st a

− − − >⎧= ⎨ <⎩

�� ,�������� �������+��� � ( ){ }L f t ���� ( ) 5, 0 3

0, 3

tf t

t

< <⎧= ⎨ >⎩

�� %�� �� ���� ����������� �@������ 2 5 10cos ,y y y t′′ ′+ + = � �� �� ����

( ) ( )0 0, 0 3y y′= = ������-����������������

��� ����������������������������� ����

�� �� ,����� ������������������� ������� ( )1

22

1

1L

s s−⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬

+⎪ ⎪⎩ ⎭�

��� ��� � ( )( )1

52

1 4

1 4L

ss s−⎧ ⎫⎪ ⎪+⎨ ⎬− +⎪ ⎪⎩ ⎭

�� �� � ���� �������� ������� �?������ ��� ( )0, 0

, 04

xf x x

x

ππ π

− < <⎧⎪=⎨ < <⎪⎩

������

�� ���������2

8

π������������� x π=

#������� �������2

2 2 2

1 1 1......

8 1 3 5

π = + + + �

����

����������������������������������������������������

Page 7: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

������������� ����������� ��������������������������������

����������� � � �� ���������������

��������������������� ����!��"���� #$��!%�� &�!��

�����������%�����'������������������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�%��� ���������%������������&� ����� �'� ( ��&��� �� ����� �� )���

P179

��� ���������������������� ���

�� �� ���������� ������ ������������ ���( )i ����= ���

�� ������ �������������� 3 5.i i i+ + ���

�� ���������� ������������ ���

�� ������������������ 2 3Z i= − ��� ����������� ����� ���

�� �������� ( ) ( )2 22 2df y y xy dx x x xy dy= − + + − + � ������!����� ����� ��"���

� #���������������� 4 2 2 2 2 2 ˆˆ ˆ3 4 3A y z i x z j x y k= + − � �������� ��� ���

�� ��� ����������������������3 2

2

dy d yx

dx dx⎛ ⎞ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

���

� $!��� ���������� ��������� ���

� % ���� ������

� &������� ��

� ������ ����������������������� ˆˆ ˆ3A i pj k= + + ����� ˆˆ ˆ4 2 2B i j k= − −����������� �����" ���

'� ������������� � �������������� �����(�������� ���

��������������� �����

������

Page 8: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

��� ���������������������� ��� ���

�� )������������������������������

3 3sin

7 7cos i

π π⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

22 2

sin7 7

cos iπ π⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

"

�� #� ��� �� ����������������������� ������� *� ������������� ����������

��� �������4

8

prV

l

πη

= +�������������������� ������������ ��"�,���������

�� ������������������+�+� ������-.� +�-"/.�����0.�������� ����+�1 ����! �������� ��������� ������������������������ ����������������" ���

�� ��������� 0φ∇×∇ = ���

��� ���������������������� ���

�� �� ���������� ����� �� ��� ��������! ������������� ( ) ( )2 22.99 3.99+ ���

�� ,� ( ) 2 2 2, , z ,x y x y y z z xφ = + + ������� ��� φ∇ ��������� ���( )1,3, 2− " ���

�� ������������� ��� x = ∞ � ����� ���������� ��������� ������ ����� ���*��� ��� 2 0y w y′′ + = " ���

��� �� ��������2������2������������� ���

�� � 3��� ��*������ ���*��� ��� ��4� �������������� ( )2 3i+ ����

( )2 3i− " ���

� ,� 2 2 ˆˆ ˆ3 2V xyzi xy zj xyz k= + − "�1 ��������������� ��V ������

�� ���( )1,1,2 " ���

�������� �

Page 9: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

3

�� � 1 ������������������������������������� 3 2 33 0x xy y+ − = ���

2x = ����� 3y = − " ���

� 1 ��� ��� ������� �� �� ���������� ��������� (� ������ ���

����� ��������������� ˆ ˆ ˆ2 ,4i j j+ ����� ˆˆ 3j k+ ����

5� �������������������������� ���

�� 1 ��� ���� ���� � ������� �� ��� ������!� ������� ( )3 2i+ � ���

( )2 5i− " ���

�� ��������( ) ( ) ( )22 2. .A B A B A B A B× × = − ���

����

�������� �

Page 10: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

��� ���������������������� ���

�� ����������� ����������� ���

�� �� �������������� ��� ���

�� ��������� � ��!�������������������� ���

�� "�������� ����� � 0.9α = � ������ ����β � ���

�� �� ��������������� ��������������� ���

� #��� ��������$������ ������ �� ��% ���

�� ������$�������������� ���

� �� ����������� �� ���� ���

� ������$����������� ����������&�&������ ���

'� (�������)*+���� �����, �������� ���$�� ���� ���

��� ������������������������ ���

�� ����� ������- ������������ ��������������� ��� � �

�� .���� ��� ��� �� ��� ��������/���������������� � �

�� ����� ��������� ���������� ���� ������ �� �� � �

���������

����������� ������������� ���������������������������������

������������ ����������������������

��� ������������������������� !"�����#�������!�����$��������

������������ � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�%��� ���������%������������&� ����� �'� (��)���������%����)����*������� ��#��� + ��&� %���, � ������� �� ��� �� �� )��

P180 ��������������������

Page 11: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

��� ������������������������ ���

�� 0� ���&������������������� ��������� ��������� ������ ��1٠���� �������������� ���� �� �� � �

�� ��02�� ���������������������*3����������� ���$����������$��������-�� ���������������+4�����+14�������� �����02��������� ������ ������� �*3����" ��������� �������� �������� �����5�������� ������ ������+336٠� �� ����)4�73�84� � �

�� � ��� $������������� ��� �� ��) ��)�9:�9(��) ���:9�9�:� � �

��� �� ��������������� � +� .���� �� �� ������� �� ���������� �� �����������/�� ����

��� � ��� ������������ ���� ���

*� ������� �������$�������������-�� �� ���.���� ������������� ��������-�� �� �� ���

� +� " ������� �� ������������������ ������� ����� ������� ��� ���

*� #��� ����� ������%�.���� ���&�;�<=�&<�������� ���$���������� �������� ���

�� ������������������������� ��� � �� ���(�==����������������������/���� ��� � 5�4

���7�*>34�����4

��7**34� ���������������������� ��� ��� ���

����

������� ������

Page 12: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

����������� �������������

P180����������

�� ������������������������� ����

����������%�����!���&��!���" !���#�������!�����$��������

������������ � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�%��� ���������%������������&� ����� �'� (��)���������%����)����*������� ��#��� + ��&� %���, � ������� �� ��� �� �� )��

��� ���������??����������� ����)�������-����� ����

�� ������ �� ���$�������<�/����

�� #������$� �������$������� ���%

�� �� �������� ����@ ��� ����5� � ��

�� �� ���� ���� �$�

�� #������$� �������$����� ����������%

� �� ���� �������

�� #��� ���������� � �$%

� #��������$���������� ����������%

� (��� ���������� ������� ����� ������� ���������� ���� �� ����� ������

��+36٠����������������-���� ����� ��+336٠�

'� �� ��������������� ������/����

��� ����������$��������������� ���

�� .���� ���$��� ���������� �� �������� ���� ����� � ��� �����������$�����#� ���������������� �� ��������� ��������� �����������$����� � �

�� #������$� �������$���� ����� �� ��������$��������� ���%�.���� ����� ����������� ������ ����� �������� ��� �������� ���� �� �� �� �������� ���� � �

�� .���� ��� ��� �� ��� ��������/���������� ���������� � �

���

Page 13: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

��� ����������$�������������� ���

�� �����/ ����� ������� ������ �� ����� ���������1�16٠�����������-��� ���������116٠;�5���� �� ���������� ��3�>�4�����#��� ������ �� �����/���% � �

�� "��� ����� �� ���� ����� β 7�A3336����� ��� ������� ��� *BC(� �� +333Ω �#���������� ����� ��������������� ������� ������;������� ���������� ���� ��*D33Ω ;� �������������� ������� ���� � �

�� #���������� ��� ������ ������������������$������ ������������ �1�������� �-�����3�+1������������ � �������� �������������3�31����" �������� ������ ������ ���)@ ����E� �������� � ��7�+*F+3���&G��� � �

��� �� ������������������������������ ���

� +� #��� �� ���� ����%�#��� ��&�(� ���� !�(%� ������ �� ����� ��� ��� ���

*� .���� ���������������� �� ������ ��� ����/���� ���

� +� ������ �� ��� ����������� ������������ �������������� �� ��� � ���

*� ����� ���H/E��������������� ���

�� ������������������������� ���

� ����� ��� ������� ����������������� ����� �����+33C(������� �� ± 3�1C(���5� �� �� ����������������� ���������13C(;����� ������������������� � � ��������� � ����� ������������ �������$��� ��% ���

� #��� ��� ��������� � �� ��% ���

����

������� ��� ���

Page 14: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

������������� ����������� ��������������������������������

����������� ����������������������

�������� ����������� !"�#�$%�$&'�(&$%"�#�$%��!��#���"

���)� $����&��� $*������������������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�������%��� ��� ��&�����'��'����(������� ��#�)� *�%��� ���������%��� ������������ �+� ����� ��� , ��+��� �� ����� �� '���-� �� '�����&��� ����� � �� ��&��'���������� �"�������� '���&� �

P181

��������

��� ����������� ������ ��

�� ��������� ��� ����������������

�� ����������� �������������������������A + B + 2C⎯⎯→��������

�� ������������������ ������������

�� ����������������� ��

�� ���!����������������"���

��� �� ��������������������� ������ ��

�� ����#�����$�������������#� ������������������������������������������ ������ ��������������

��� ������� �� ������������ ����������������������������� �� ���������������#���� ������������ ���#� ������������

���� ������������� ������%$� ������������ ���$��� ��

��������������� �����

���.���/�

Page 15: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

�� ��������������������� ������ ��

�� ��� ��� �� ���� ��� ��������� ��� #������������� ����� ���������������������������������

��� ��������������������� ��������������� ����������

���� ����������������& �����������

��� � #���������������� ������ ��

�� ������������������� ������ ��� ����������'�������������������((�()����� ��������*+���������������������� ���������������,�� ����

�� �����������������������-.*+����������� ������������������������������� /++� ���'� +�++*��� ������ �� ����������� ������ ���#�� ��������� �� ������������� ��

01�#����!�2�3�+4-.*+����� ��� ���

�� �� �� ��� ������������� ����$������ �����5++�� ���������������� ���������������*+��������� �������$����������*++�� �������������� ����01�#��������������������������� ��������������������647��

���������

��� ����������� ������ ��

�� 8����������� �������� �����������

�� ��������������#��������#��������������������#������

�� ��������������8� �������������������� ��������� ��8� ����������������������������9�:��

�� �������������� �������

�� ��������������������������������9;�

����� ���� �

Page 16: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

��� �� ��������������������� ������ ��

�� 8�������������������1�#�����������������������������$� ��������

��� ��������������������������������������#� ��������������������&������� �����������

���� ���������������������������������������� ����������������������������

�� ��������������������� ������ ��

�� %$� ������������#� #�������������� ���� �����

��� ������������������������������������������� ��������������������������� ���#����� �����

���� %$� �������� ���� ���������� ��

�� � #���������������� ������ ��

�� �������������� ������������������������������������������� �� ������ ��������� ��#���������

��9�� ��9�<

=����#� �� >����#���#� �� =����#� �� >����#���#� ��

-*/�/ -*/�? -?�5+/ -?�55

�� ������������������������������� ������ ���8�>��=���� ��� �������

����������������������������*@+������������ ��� �������� ���������������

�� =���� ��� ������A��>�� ��� 64.2 10−× ��� �� 3dm− ����� ��� �� ��� ��

�������

����

����� ���� �

Page 17: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

������������� ����������� ��������������������������������

����������� � �� �� ���������������

������������������ �!�"#$%��#$&��$'�"#$%���(��%���)

���*�+#����$���+#,������������������� � ���������� �����

�� ������� ���������������� �

�� �� ���!������ � ����� � ��"��#�� ��������� �$�������� ���#� �

�� �""�%�� ��� �������$�" �&�

'� (�)��� ���������)��� �������������!�""����� �

�� *�������)������ ��#����� �� ����+������� ��&�

P182

��������

��������� ���������� ��������������� ��� ��

�� �� �������������� ������� � ���

�� ���������������������������������������� ��� !��� ��

�� �� ������������ ������������

�� ���������"����� ���� ������ ������������#$%&� �������������������

�� !��� ��'������������ ����� �������!������

��� �� ����������������������� ��� ��

� �� ��� ����� ��������� ��� ()*� ���� ('*� �� ����� �� � ������ ���

� � ���������������� ������� � ���+������������

� ����� ����,������ -�.��� �� �� ���� �������� ��������������������� !��� ����&��������������������� �������������������&��������������������

��������������� �����

���,���-�

���

��

��

�����

Page 18: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

�� ��� ���/�������/����������� �������� ��� ��

� 2 2H O Alcoholic KOH3 2 Perotide

CH CH = CH + HBr A B− ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯→

� U.V.light NaOH4 2CH + Cl A B⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→

� NaOH HCl3 2 3CH CH CH CH A B− − − ⎯⎯⎯→ ⎯⎯→

��� ����������������������� ��� ��

�� 0���� �� 2SN � ����� �1�� ���������������� ���� 2SN � ����� ��� ���� �������!������

�� 0���� ������������ ��1� !��� �� �������������� � ����������2����

�� � ���������������� ����+��������������������� ����� �������!������

���������

����������� �������

��� ������� �������������� ��

�� 0���� �������� �����1

�� ,����������� ����������������� � ���

�� 0���� ������ � ��������1

�� 0���� ��� �� ��1

�� 0���� ������������� ��1

��� �� ����������������������� ��� ��

� !��� ���������������� ��������������� ��

� � �� ��� ������������������� ������

� " ���������������3�����������

����� �����

���������

�� � �� �

Page 19: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

�� ���������������������� ��� ��

� " ����������� ��� �������� � ���

� !��� ��������������������� ����������� ����������

� � ������������������� ��� ��

�� ���������������������� ��� ��

�� 0� ��������������������� �������� � ���

�� !��� ������������������������� � ����������*���������

�� +�����! ��� ����� ������������*���������

����

����� ���� �

Page 20: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

������������� ����������� ��������������������������������

������������ ���������������������

����� ������������������ ! �"� #��!$% �&������!'�()�!��* ��+!%�"

���,�(�����!���(�&������������������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $���� �%� ������&��� ��� ��%�����'��'����(������� ��#�)� *�&��� ���������&������������+� ����� �

P183

��� ����������� ������ ����

�� �������� �����������

�� ������������� ������� ������������������ ������������

�� ���������������

�� � ����������� ��������!��������������������� ����

�� ������� ������������

�� ������������ ������������������ ������������� ���� ��������

�� ����������������������"������!��

� �������� ������ ����

�� ����������������

#� ���������������

��� ��������������������� ������ ����

�� �������������� �� �������$��� %������������ ������������

�� ������������!������ ����

�� ��������������� ��������������� ������

��������������� �����

������

Page 21: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

��� ��������������������������� ������ ����

�� ����� �������������!������������������

�� ����� �������!��

�� $�����������������

��� �����������!��������������&�� ��� �����! �������� ��� ���������������� �'������������ !����������� ����

��

��� ��� ()*+�� � ��� ��������� ������ ()*+���������������������� ������������

����

��������������������������������������������

Page 22: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

������������� ����������� ��������������������������������

����������� � �� �� ���������������

����������������������� !"���#$�%& &'$

���(��!����"����!)�������������������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�%��� ���������%������������&� ����� �'� (��)������ �*� ������%��� �)����+������� ��#�

P184

��� ��������������� ��� ����

�� � �������������� ��� ������������� ����

�� ����� ��� �� ��

�� ����� ����� ������������

�� �� ���������������

�� ����� ������������� ���

� �� ��������������������������������

�� ����� �������� ����� ��� ��

�� �� ����������������

� ����� �������� � ���

!� � ����������� ��� ���"��� ��#��� �� ������������ ����

��� ���������������������� ��� ����

�� ����� ������� �$���� ���������� ����������

�� ����� ������ ����������������%��������������

�� � �������� �������� ��� ������& ���

��������������� �����

���,���-�

Page 23: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

��� �� ������������������������� ��� ����

�� '�� � � ��

�� ���� ��� ���������� � ���

�� (���������� ���������������

��� �� ��� ������ ��� ��� &��� �� ����)������*�� ������� �� �������� ������ ���������� ����������� ����

+,

����� ��� ������ &�� �������� �����$���� � ��� ������ &�� ��

����

�������������������������������������������������

Page 24: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

������������� ����������� ��������������������������������

����������� � �� �� ���������������

����������������������� !�"#��$����"�!���" %�&!'���!�$������

���(�)"���� ���*�'!��%���)"+������������������ � ���������� �����

�� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#�

�� $�������%��� ��� ��&�����'��'����(������� ��#�

)� *�%��� ���������%��� �������������+� ����� �

P185

��� ��������������� ��� ����

�� � ���������������������������� ���

�� �� ��������������������������������

�� �� ������� �� ��� �� ������������������ �� ����

�� ����� �� ������������!

�� � ���������������������� ���� � ��"� �� �������

� ����� ��� � �����������!

�� ����� ����� �������� ������ �!

�� ����� �����������������!

� ����� ���"�� ��������!

#� ����� ��� � ��!

��� �� ���������������$��"�%��� ����

�� &������������������ �� ��&�������

�� '� ��� ���������(�� ���������

�� �����"�����)�������� �� ��*��� ���

��������������� �����

���,���-

Page 25: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

��� ��������������� ���$��"�%��� ����

�� �� ���� �� ��� �� �������������������������������

�� *+��������������,� ��� ����������+ ��������������� �������

�� '���� ������������ ��������� ��� ��*��� ���

��� '���� ��� ������ ������������������"������*��� ��� ����

�)

� �������������������������"���� ������������ �� ��� �� �����������������������������

����

��������������������������������������������������

Page 26: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

������������� ����������� ��������������������������������

������������ ����������������������

������ ������ ������������ !�"��## #$%����

�&!�'��!���()"��$�!�* �*�( �+�����()"�,'�!��-#)��# �

���.�+(����)���/�0!��"���+(��������������������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�������%��� ��� ��&�����'��'����(������� ��#�)� *�%��� ���������%��� �������������+� ����� �

P186

��� ��������������� ��� ����

�� ����� ������������ ������

�� �� �������� �� ����������������������

�� ���� ������������������ ��������

�� �� ���� �� ��������

�� ����� �������� ���������������

� ���� ��������� ����� ���� ��

�� �� �������� �� ����������!� �"���� �������

�� # $�������������% ������� ������&���������$��� ���

� �� �������������������� �������� ������������

"� �� ������� �������'(��

��� �� ���������������)����*��� ����

�� �� �� ����������� �������� % ��� �� ���������$�� ��

�� # �������

�� +�� �����������������, ������������

��������������� �����

���,���-

Page 27: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

��� ��������������� ���)����*��� ����

�� ����� ��� ���� ��-������.�������������������������� ������ �����

�� # $������ ����� ����� �� ���������������������� ������������� �������/�������

�� ����� ����������$��� ��������������.�����

��� ����� ������.��� ���� ��� �0���� ������������������������� ����1������������������2��������� �� ����

32

����� ��� ���� ��� �0� ��� ���� ���� � �� ���������� � &���� �� ��� ������������ ���������� �

����

�������������

Page 28: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

������������� ����������� ��������������������������������

������������� ����������������������

������ ������������� ��!"#$%

���&�'!���� ���'!(������������������ � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�%��� ���������%������������&� ����� �'� (�������%��� ��� ��)�����*��*����+������� ��#�

P187

��� ����������� ���������������������� ������ ����

�� ����������������� �������

�� ����������������

� !�����"����� � ������ ����#

�� ������������$���

�� ������������������ ���� ��

�� �������� ���������

�� !������ ����� ������#

� %�&������������� � ������&���������������

�� !������� ������������ ��� ����&��������������

'� ����������������������� ���

��� !������������(������ ����

�� )�� � ��������������� �&����

�� *��������������������� �������� �������� ���� ��

� +$�� ��������������������� ��

��������������� �����

������

Page 29: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

��� ����������� ������(������ ����

�� ,���� ����-����� ���� ���������� ��

�� "� � ������ ����-� ��� � � �����������������$���������� �������

� .������������������� �������

��� %�&���� ���� ������ ��$��/�� �����������������-������������������� ������ ��� ������/�����������-���������� ����

)0

��� ���������� ���/������� � ���������/����� � �-���� � ���������-����������������� ����������������� ��

���

�������������

Page 30: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

������������� ����������� ��������������������������������

������������ � �� �� ���������������

���������������������������� ���! !"#

���$�%�����&���%�'�������������������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�������%��� ��� ��&�����'��'����(������� ��#�)� *�%��� ���������%������������+� ����� �

P188

��� ����������� ���������������� ����

�� ����������� �����

�� ����������� ����

�� ����������������� �������������

�� ������������������������������

�� ����������������

�� ����������� ����������� �!�

�� ������������� ��������� �

� �������� ���������� �����

�� ������� ��� ��������� ���������"��������

#� �������$�%������ ��

��� ������������&��!���� ����

�� ������������� ����� ��� ������ �����������%�������� ��������

�� '�� ������ ���������������������

�� (��"���� ����������� � ���� ��

��������������� �����

������

Page 31: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

��� ()� �������� ������&��!���� ����

�� $� � ���������������������

�� '������� ������������������ ��

�� ���� ���������%���������� ���

��� �������*� ���()� ������������ ���)� � �+������������������� ����!�� ��������������������� ��� ����

,�

�������������� �!���'�%��������� �� ����������������������� �!�

���

���������������������������������������������������

Page 32: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

������������� ����������� ��������������������������������

������������ � � �� ���������������

������������������������������ �!"#"�$��%�������"&��!'�(

������������#')�*��!+�,#�� ����� #����'��� #-�������

������������ � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�%��� ���������%������������&� ����� �'� ( ��&��� �� �������� ���� ���� ���) ��� �� *����� +#�) ������))��,����� ���,��������� �� �������%�

P189

��� ������������������� �������

�� ���������������� ������������������������ ������� ��� ����

�� ���������

����

�������������

����

����

��������

���������� � ���

�� !�" #� $�"

� % &� %'(

��� )�� ��� ��� �� ������ ���������� ��� ����� ������� ������ #���������&�*

�� +���& #� ,������ ����������

� �- �� ���������� &� ����� ������������

���� ����������1

,p3

k⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠���&�.�����/�"%������/�*

�� 0 #� 1

� ( &� 2%

#� ,���������������������� ���������������������� ������� ��' ��� ����

�� ����&���������������������������� ���# ���������������������&���� � ��'

��� ������������������3���45�����������&�����&���������&����&����

������!����� ( )1 2 1 2,NB k k p p+ + '

���� +��� �� �����6���/������(��7��2�����(��8��7'

��������������� �����

������

Page 33: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

� 9����������� � ������� ������������� ����&�#������ �&�����# ��������#� ��&' ��

&� )������������� ��� ���������������������&�3�/���!�#�������������������� -���'��

�� )�����������#�#� ��-������� ���������������������

��'''���

�� ��

�� 9������������&������������������������� �#���2��������&�1������'���

��� ����������-������������� ������� �� ����

�� )��������������������*�.:� ����������� ��������������&�- �� ������������)���� ����������������������������� -���'

#� ;��������

��� ''''���

�� #�� ��&����&���� �������� ���&��� �����# ������

�����������1 2, ,....,

kλ λ λ ���������� -'�,������������&������ ����#�#� ��-

&�����# ���������������

���''''���

�������������

1

k

i=∑ <

�� �����6�%�������������

� ������� '

� =����������������������1��� ������� ��������������� ����"(���� ���������� ������#������������ ���������� ������-�������� '�>��&�������#�#� ��-���

�� ����������:�� -�(�� ����&

��� ����� ���� �� ����� 0� � �� ��� ��-� ���&�� -� �� ���&� ������� � ���"(��� ���'

��� ����������-������������� ������� �� ����

�� ,��������������������������� ������������������� ������� �&�����# ����

����������&��������� ( )1 2, ,....,

kX X X X= '�?�������&�����

���

���� .i j≠

#� .:� �������������������:� ������-�&������� -���������������������� -���'.:� ���������� ���������������� ��������@��������&���&�������� ��-'

� ����� �� ��-�����������0%A� ������������ �'����B���������������������&����#-���������&�������#�#� ��-�����0���� �������������� �#������������&����������� ���������������'

����� ������������������������������������������� �

Page 34: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

��� ����������-������������� �������

�� �� .:� �����������&�����:�������� ��������������������������������&������������������ -���' ��

��� 9�������� �� ���������� ������� ��

"� 6���/�2���1

6���/� ��������

2� 6���/���%��(�

6���/���������2�

0� 6���/���2��1��C��8��(�

6���D2���1E

1� 6���/���(��0��7��$"�

6����/���������

���� ,�����������#�#� ��-�&�����# ��������� ���# ���������������� �������� �������� ��

"� �������������� �������������&�����&�����������������������&��������� ���'�B�������� ��� ����&��� ��� ������������ � �����'

2� ������ -������ ���&�������&������������ ���������F��(������������ ������������& ���'�B��#�#� ��-�������������������-���� -�������& �������%'0'���������� ���&�������&���������� �#��������& ��������� ������� -'

#� �� ;��� ( ) ( )1 2 3 1 2 3, , , , , .X X X MD n p p p� � >��&� ��� ������ � ���� �����

���������������

��

��� >���������&� ������������ ������&��������� ������&���������-����'�� ������������� ����������-����2%"1' ��

3��� 2%%7 2%"% 2%"" 2%"2 2%"0

,� ������� �@�������'� 2% 22 20 2% "C

���

����� ������������������������������������������� �

Page 35: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

������������� ����������� ��������������������������������

������������� ����������������������

��������������������������� � ��!��"#"�$��%�&�����" �����

���'�!#��������!#(�������������������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�%��� ���������%������������&� ����� �'� ( ��&��� �� �������� ���� ���� ���) � �� �� *����� +#�) ������))��,����� ���,��������� �� �������% �

P190

��� ������������������� �������

�� ������������� ������������������������ ������� ��� ����

�� �����������������������������������������������������������

������ ��������������������� �2te �������������������

�� 23 5t te + �� 23 25t te +

�25

32

tt

e+ ��

2253

2

tt

e+

��� ���������������� �!������� ( )2N ,μ σ �������� ��"���������

�� 2 , 2μ σ μ σ− + �� 0.67 , 0.67μ σ μ σ− +

� 2,μ σ �� ,μ σ μ σ− +

���� #�������������� ��������������������������� 2α = ����� 3λ = ����

1X

2��� ���

��3

G 2,2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�� ( )G 1,3

� ( )G 4,3 ��3

G 1,2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��������������� �����

���-���.�

Page 36: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

�� $���������������������� ������������������������������ ��� ��� ����

�� #����%�&������������������������'���� ��������'��

��� ��

������'(��)�

��

�&)���*�����������������%�&��

��� +����������������������"�������

���� #��X N (0,1)� ����� ( )2Y � � � �σ μ σ= + �

� ,���������������������������������������������������������%&�� ��

�� #�����������������������(���*� ����� ����-� ����.� ��������� "%� ����� ���� ��������������� ��

�� ����������������!�������� ����������������������/01��2����3�(��4�-�5���4�.*���

�� $��������6�!7�� �������������������������� ����� �������������� ������������� ��

��� ����������"������������� ������ �� ����

�� $���������%�&��������������������������������� ��"�������������

( ) ( ), , > 0, > 0

0 , otherwise.

f x y e x y==

x+y-

2�������������� ��"�����������������X

X+Y

�� #��X� ��!��( )α ����

$��������������� �8���������"��������"������������������������

� #����� �+�( ),α λ �����������������9�������������������������������

��� ����������"������������� ������� �� ����

�� #����������� ��"��������������������������

( ) 23, 1 1

20 , otherwise

f x x x= − ≤ ≤

=

��������������� ��"������������������

�� &� ��� ��� &� �5���5�

����� ������������������������������������������� �

Page 37: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

�� :��� ( )2X N , .μ σ� �2�����������������������������������

� :�����%�&��������������������������;������������ ��"�������������

( ) 2 24, , 1, >0, >0

0 , otherwise.

f x y x y x y= + ≤Π

=

2������� ������� �������� ��"�������������������

���� ���������� ���������&��������� ���

��� ����������"������������� �������

�� �� ������������������� ��"�������������

( ) 2

, 0

0 , otherwise.

xf x k xe x−= ≥=

2������� < �� =������������ �

��� ������� ������������������ ��"�������������

( ) ( )218 16

81

. ,2 20 , otherwise.

x x

f x e x− − +

= − ∞ < < ∞Π

=

/� #������"����������������������������������

>� 2����3��)�>�?���?�1������3��5��@�.5�?�/�� �

�� �� $�������������������� �:����������������������������������� ��� ��

��� #�� [ ]X U ,a b� ������������������������������X

Y .a

b a

−=−

��

���

����� ������������������������������������������� �

Page 38: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

������������� ����������� ��������������������������������

������������ ����������������������

�������� ���� �!��� ���"��#$%&�"'����"(��������

�!�)��#����*����#$������������������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�%��� ���������%������������&� ����� �'� (��)���������%��� ����� ������ �)����*������� ��#��� + ��&���"� ����� �� �� )���

P191

��� ����������� �������������������������������������������������������

�� ����������������������

�� ����������������� ���������������

�� ������������� �������������������

�� !�"������#��$ ���������������%������� ������������

�� !�"�����������������������������������

�� ���������������������������������

�� ����������"����������������������������������

� ���������������������������"�����

�� &���������������� ��������������

'� ��������������������������"�������� ��������������

(� �������������$������������������������

� ���������������������������������

�� ��������������$����������������������������������

��� ��������������������� ���������������� ����

�� )�"�������� ������������������������

�� &�������������������������

�� *��������������������������� ����

�� ���� ����$�������������������

��������������� �����

������

Page 39: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

��� ����������� ������������������+,,��������������������� ����

�� )#$ ����������������������������"�����

�� !�"������$����������������������������

�� )#$ ��������������������������������������

�� !�"������$����������������������� ������������

��� ����������� ������������������-,,������������������ ����

�� )#$ ��������������������������� ���������������

�� ���������������������%������� ������������

���

������������

Page 40: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

������������� ����������� ��������������������������������

������������ � � �� ���������������

���������� ����!�!�"�#$����%�&�'$($ ���(�

�!�)��$����(����$*�������������������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�%��� �������&�%������������'� ����� �(� )��*���������%��� ����� ������ �*����+������� ��#��� , ��'���"� ����� �� �� *���

P192

��� ����������� �������������������������������������������������������

�� �������������������������

�� ������������������ ������������������������

�� ��������������������������������!

�� ����������������������"��!

�� ����������������������������������!

�� �������������������������!

�� ������������������������"����!

� ���������������������� ������!

�� �������� �"�������

�� ���������������� ����� �������������������� �

#� �������������"�������������������

� $� ������������������ ���� ���� � ����

�� ������������������������ ������"��� ���� ������������

��� ��������������������� ���������������� ����

�� %�����" ������������������������

�� �� ��������

�� & �"�����"�������

�� '�� ���������

��������������� �����

������

Page 41: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

��� ����������� ������������������())��������������������� ����

�� &*" �������� ������"��������������

�� ��������������� ����� ���� ������������ ����������

�� &*" ������������������������� �����������������

�� ������������������� ������"��� ���� ������������

��� ����������� �����������������+))������������������ ����

�� &*" ��������������������������������������� �

�� �������������������� ������"��� ���� ������������

���

����������������������������������������������������

Page 42: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

������������� ����������� ��������������������������������

������������� ��������������������������������

������������ ����! "��#���� �!��� $%�&'#�!("()#���*�& ����$���& +���������,'�(�#�

������������ � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�%��� ���������%������������&� ����� �'� (��)������ �*� ������%����)����+������� ��#�

P193

��� ����������� ������� ����

�� ��������������������

�� ������������������� ������

�� �� ��� �� ������������ ������������������������ �� ���� �� � ��������

!� "�������������������������������� ������������������������ �#� ������� �����

�� "��������� �������� �$�%�&���

�� ������������!������

�� '��(������������ �������!�����!����)))))))))���*�������

�� +,�����-.� ��� +/�����-.�

���� 01�����-.� �#� 0/�����-.�

� ))))))))��������������������������������!��!��������

�� 2��� ��� 3���

���� ��� �#� �''

�� β 4��� �����!������������� �������))))))))�� �����������567�

8� 9�������:�� ��4

����������!�������#������������

��������������� �����

������

Page 43: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

��� ������������������� ������ ����

�� ��������������������������������!���������������������

�� "��������#������������������;����������5�!���!����2�!� ������������� �����

�� ��������������������!�����.������!�������

��� "������������������������������ ������ ����

�� �����!��������

�� ���������������������������������������

�� ����� ����������!������ ��� ������������

��� �������������������� ������ ����

�� ������������������������������ � ������!���� �����!��� ���!!��������������� ����

�� ����������� �������

�� �����������!���������������#� #�!����.������� �� ������

��� "�������#� ������ �����;�� � ������������ ��� ��� ��

���

�������������

Page 44: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

������������� ����������� ��������������������������������

������������ � � �� ���������������

��������������������� ��!"#���$%&�'��($&��$��()$(&(*+

���,�-%����!���-%.�������������������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#�$�����#��!�� ����� ��� %�&��� �������'�&������������(� ����� �)� *��+������ �,� ������&��� �+����-������� ��#�

P194

��� ��������������� ��� ����

�� �� ����������� ��

�� �� ����������� ��

�� ��������� ��� ��������������� ������� � ��

� ��� ��������� �� ��� � � � ������� ����

� !����� ������� "� ���������� �����

�� ������#�������� �� ������$�������������������� �

� ����� � % �����

� ��� � � � "� % ��� �

�� &�� ��������������������������� � � ��������� �

� &�� ������� ��������

�� ����������������������������� ����������� ��������'(#

�� ������� �� ����������� ���� ����������'(#

� )���� ��*�'+�,

-� )���� ��+� �������,

��� ����������������������� ��� ����

�� ����� ��������� ���������� �������������

�� � ������� �������������������������������

�� ����� �����"��������� �������� ���������� ��

��������������� �����

������

Page 45: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

��� )� ��������������������� ����

�� *������������ ���������� ����� ��

�� ��� ��������������� �� ���� ������ ������� ��

�� .�����

��� ����������������������� ��� ����

�� ����� ���� ���������������� �������������� �������������� ������

�� ����� ��������������������� ���� ��������� ��� � ���� ���������������

� /���� ���0���� ������

� 1����� �����������

� #������ �

���

����������������������������������������������������

Page 46: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

������������� ����������� ��������������������������������

������������ � � �� ���������������

�������������� !"!#��!$�%&'(����)��*�+��,����)����,-�������

������������ � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� ����� ���!!�"�� ��� ��� #����$�%��� ��������%��� ��� ��&�����'��'����(������� ��)�*� +�%��� ���������%��� �������������$�!!����� �

P195

��� ��������������� ������������� ����

�� �����������������

�� �����������������������������������������������������

�� ��������������

�� ������������������

�� ���������� ���������������������������������������

�� ��������������������� ��������

�� �����������������������������������

�� �������� ��� ����������������������

��� ������������������������������!"#$����������� ���

�� %&������������������� �������

�� '�� ���������������������������������

�� (�������������� ���������)������

��������������� �����

������

Page 47: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

��� ������������������������������������� ���

�� (���� ��������������������

�� *�����������������������

�� +����������������������������

��� %&�������������������������������� ������� ���

,-

���������&�������������%&�������������������&�����������

���

��������� �

Page 48: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

������������� ����������� ��������������������������������

����������� � �� �� ���������������

����������� !��"��#�$%���&�'(%()&�$#*�+���$��'�,��'(*(%()&

���-��$����#����$!�������������������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� ����� ���!!�"�� ��� ��� #����$�%��� ��������%��� ��� ��&�����'��'����(������� ��)�*� +�%��� ���������%��� �������������$�!!����� �

P196

��� ��������������� ������������� ����

�� ����������������

�� ��������������������

�� ��������������������������

�� ������� ������������ � ���

�� �������������������

�� ������������������������������

�� ������� ������������ ������������������������

�� ������������������! ���������

��� ������������������������������"#$%����������� ���

�� �����������������������������

�� &'����������������������

�� (���������������! ���������

��������������� �����

���,���-�

Page 49: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

��� ������������������������������������� ���

�� )���������������������

�� *�������������

�� +�����������������

��� ���������,�������������������������������,��� ���

+-

�����������������������������������������������

���

��������� �

Page 50: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

������������� ����������� ��������������������������������

����������� ������ ���� �������������������� ��� ��� ��

���������!�"#$%&'��(��)(��*��('#�����+$����#���+$,�������

����������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�������%��� ��� ��&�����'��'����(������� ��#�)� *�%��� ���������%������������+� ����� ��� , ��+���-"�%�����& ���� �� ����� �� '���

P197

��� ����������� ������������

� ����������������� �� ������������ ���

�� �� �������������������� ���

�� �� ������������ ��������� � ���

�� ��� �� ������������������������������������� ����� � ��������!" ���

�� #������������������ �� ����������� ������ �� ���������� " ���

�� $� �� ���������������� ������� ������������������������������������� ����������� " ���

�� $������������������ � ��������� �#�%�&�μ �����'�%�&(() "�$������ ����������������� � ����� ��� ��&(�*+������ ������� ����� �� ���� �������� � ���

�� *� �������������� �� ������� ���� ��������������,(������ � ����������� ������-(��"�.���� ��� � � � ������" ���

��� ���������� ������ ������������

� /�������������� ������������������� ��������������������� �����������0����������" ���

�� 1����� ������!�������#��� ������ ��������� 2��� ����� ������ ��������

�� 1����� ������!������� � ��� �������� ���� �� ��������� "��� ����� ������������� ���� ���� ���

��������������� �����

������

Page 51: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

��� ���������� ������ ������������

� 1����� ������!��������������� �������� ������������������������" ���

�� �� �� ����������������� ������������������� ��������������!" ���

�� 3� �� ������!���������������� ���������"������������� � ������� ���������������� � ���

��� ����������� ������������

� /������� �������� ������� � ��������!�������� ������ �� ������������������ ��������������" ���

�� /������� ������0������������������'#���������2� ������������������������ ����������������" ���

4'

����������� ������������

� ����������� ��� ��������� ������'�%�&5 ����#�%�&μ�"�$�� ������� � ������6�&� � ��!� ��� ����� �� �����(���7�������" ���

�� ��������� ����� ������� ���������� ��� ���

JC 0.7o c

w� � ����

maxT 150oJ C� �����

8��������������� ������ ��� ����� ������ ������������� ����� �-(�#

8��� ������ � � ��� ��� ������ ����� �� CA 1o CW� � � �� �����

����� �������-(�#

�� .�����#�&(9� ����� �������#1��������������� �'��%�&() 2�'��%�-) 2'��%�7�) 2�'��%�&) ����*���%�:� � "�/��� ���/#�������" ���

���

��������� �

Page 52: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

������������� ����������� ��������������������������������

������������ � � �� ���������������

���������������������������� �!"#"�$%��"��&"��!��"#'

���(�)$����'���)$*������������������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�������%��� ��� ��&�����'��'����(������� ��#�)� *�%��� ���������%������������+� ����� �

P198

��� ����������� ������������

� � ���������� � ������������������� �� ���

�� �� ����� �� ��� ���

�� ���������� ��� ����� ������� ��� �� ������ ����!��� � ���� ����"#� ���

�� �� ���� ��������������� �������������������������� ��$%"��������� ������!�&� �� ���

�� '"��( ���������� ���������� ���������)*��+��#����� ���

�� ',��� �����"#���� ����� �� ��"#�+�#����� ���

�� �����)����-..�)�/���������� ��0��� ���������������� ����� ������ ������������ ���� )�� ���������� ����� �� � ���

�� "���� �����������1�������� ���

��� � ��� ���� ������ ������������

� "������������������23"�!����� ���������45�������� ���

�� �� ����� ������)������6��7����� ����)������� ��� ���

�� "������)�����������7�������)����������� ��� �����"#� ���

��������������� �����

������

Page 53: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

��� � ��� ���� ������ ������������

� �� ������� ������������������� �������� ����"�#���������� ������������8�*�98�������� ���)� ���

�� %7����������������� ���� ������� ����������� ��� ���

�� �� ����� ������)������6��7���� ������� ���)� �)������������ ������

��� � ��� ����� ������������

� "���������������� �9��� ����� ��������� ���������)�*���� ���

�� %7���� ������)�������:��� ���;��������� ����� ����� ���������"��� ������������� ���

38

� #�� ������������� ��������-<��� � ���������������7�� �����"#�=�����,

������>�-�2�/����&

����>�-.�&� �� ���

�� ,����!�*��� ������ �����������6��� ������� ����������� ���

�� 1�������� ��������� �� ���$�?�

��� 1�������������� �� ��� ������� ������������$�?�

���� 1����� �� ��� ������������ ����� ����-.-.-���������.�>�.&���-�>�@-.&�

�� A����>�-.-.����?�>�-.--�������������� ���#���������� ��?�������B�� ����� ��������� �������� ������� ����� �� ���"���������������� ���

���

�������������������������������������������������

Page 54: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

������������� ����������� ��������������������������������

����������� � �� �� ���������������

�������������� ���!�����"������������#���$%&�'(��')(*+����,)%�-�,��

���.�-,����)���-,/�������

����������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�%��� �������&�%������������'� ����� �

P199

��� ������������������ ������������ ����

�� ������� ��� �

�� ��� ���������������������� � ��������� ���

�� ������������� ����� ��

�� �������� ���� � �

�� ������������ ������� ��

�� �������� ������

�� ������������� ����

�� �������������� ��

��� ��������� � ��!"���� �����������#���� ��� ���

�� ���������� ���������$����������������� ����

�� %&���������������� ������� ����

�� �� ������ ���������������'������� �

�� %&������� ���������������� �����

��������������� �����

������

Page 55: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

��� �� ������ ��� ������#���� ��� ���

�� ����������������������������

�� ����������� ������ ����������� ������������� ��

�� �����������'���� ������������ ����

�� �������������������� ��(���������� ����)���

��� ���������! � ��"���� ������#�������� ���

�� %&������������������������ ���� �������� ��

�� ����������������� �� ����� �������������������

���

�������� �

Page 56: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

������������� ����������� ��������������������������������

����������� ������ ���� ������������

������������ !� �"��� #��� � ���$�������%�&'('�)�*�"�$+�),-*

�.),������������/�.)����0�

����������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�%��� ���������%������������&� ����� �

P200

��� ������������������ ������������ ����

�� ��������� ���������������

�� ��� � ����!�"�������� ��#

�� $�����!���!� ��%�� �� ������ �� ���#

� & � �� ��� �������� �����'!�������������

�� ��� � ����!�!� ��� �� ����������� ���� #

�� �������()�� ��������

�� ��� � ����!�"��������!�������������#

�� �������*�� ����

��� ���������+����,-���� ������.���� ��� ���

�� /0��������������0�"������� �� ���

�� �� ��������������� �� ���� !����������

�� /0����������� ������� �����)�� �������

��������������� �����

������

Page 57: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

��� �� ������ ��� ������.���� ��� ���

�� ����"� ������� ����

�� (����� ����"� �������������

�� *�� ����������"����������� ! ���������

��� ���������,1� ��-���� ������.�������� ���

�� ���!����� � ���/�)���"�� ��������� ������2� ��������!� ��

�� /0����� ���)���!������!������������ ���

���

��������� �

Page 58: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

������������� ����������� ��������������������������������

������������ � � �� ���������������

������������������������ ����������!�"�#$����%$���&��������&

�'�%�������������!�'�������

����������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�%��� ���������%������������&� ����� �

P201

��� ������������� ����������������� ����

�� ����������������������

�� ����������������������������������� �!

�� ��������"�

#� $����#����������$�#�%���������������&����

�� �������������'���������!

�� ����������������(�������)�!

� ����������������������������� �!

�� ��������������������������*���'��!

��� ���������+����,-����������������.�������� ���

�� /���$�#�%��������������������������������������'��������� �!

�� �����������0�)������������������� ��

�� 12��������������������������� ��

��������������� �����

������

Page 59: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

��� ��������������������.�������� ���

�� 3��������������

�� �������������������!

�� ��'�������������������������� ��

��� ���������,4����-�����������.�������� ���

�� ���������������������������

�� 5��������6�6#������������� ��������#���� ���� ����������1����������������������������� �7�����������������������

���

��������� �

Page 60: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

������������� ����������� ��������������������������������

����������� ������ ���� ������������

���������� !"� #���#��� ������$���%&%'(�)*+���%�(����

���,�-)����*���-).�������

����������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�������� �%� ������&��� ��� ��%�����'��'����(������� ��#�)� *�&��� ���������&������������+� ����� �

P202

��� ��������������� ��� ������� ���������� ����

�� �� �����������������������

�� ����������� ���������������� ��������������������

�� !� ���������� ��� ����� ��� �� �����

�� !���� �������"

�� !������������ ��������� ��"

� !���� ��# �� ��� �"

�� ����������� ���������������#���� �������$���� ���

�� �� �������% ������������ �������

� !���� ��������������������"

&� !� ��������������������� ���� ����� � ������ �� ���

��� !� ����������������'��������� ����

�� ����������������� ������������

�� (����� ����������� ���� ������

�� ��� �� �������������

��������������� �����

���,���-�

Page 61: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

��� ������������������������ ���� ����

�� ����� ������� ��������� ��� ������������)�� ��� � ���������� ���������

�� �)��� ���� ��� ����������� �� ���

�� ����� ���*�������� ���� ������

��� ����������������������� ���� ����

�� �)��� ��+��� ����������� ��� �� ������, �� ������������ ���� ������

�� � �� ������������ ��� ��������� �%���� ���� ������

���

�������������������������������������������������

Page 62: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

������������� ����������� ��������������������������������

����������� ������ ���� ������������

���������� !"� #���#��� ������$��%�&�%'����(&����)��*��+,�%*-� .�/���%*%+���*�

���0�1%����*���1%2��������

����������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�������� �%� ������&��� ��� ��%�����'��'����(������� ��#�)� *�&��� ���������&������������+� ����� �

P203

��� ��������������� ��� ������� ���������� ����

�� �� ������������

�� ����������������������������� !���"������

�� �� ����������������#$%&����'� (������

'� ����� ������������'�

�� )������*�����������'����������'�

� �� ���� �'� ��

�� ����� ���������*���� � ��� ��

�� �� ���������� ���������

� ����� ��� �����*�

+� )������*����"����� �����������������*�

��� �� ����������������,��*���� ����

�� ������� � �*���'� � ��������������������

�� -��' � ����%���('������� ����������*�����

�� .����*������������

��������������� �����

������

Page 63: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

��� ���������*�������������� ���� ����

�� ����� ����� ��*��������������'������������������ ����� ��

�� !����*�/������ ��� ������������� ����"�������

�� 0���� *���������'�� !�� ������� ����� �� �������

��� ����������*������������ ���� ����

�� ����� ����������� ������'�������� ���� ����������� �'� ���������������!�� ��������������1����� ��������!�� ��

�� ����� �����������'������!��� ��������*������������'���������

���

������������������������������������������������

Page 64: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

������������� ����������� ��������������������������������

����������� � � �� ��������������������������� !"#$�

�%���&#����"�

����������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� $�%��� ���������%������������&� ����� �

P204

��� �� ������������������� ������������������ �

�� ������������������������������������������������ ���������������� �����������������

��� !"� ������#� ��������$���������%�������%�����&����������������&���������%�&� �������

�� �������������������� ������������������ �

�� !"� ��������������� ���������������� ������������������

��� '������������(%������������������������ ��%���������������������%��������

��� �� ������������������� ������������������ �

�� )������%����%����$��%��*�������� �

��� +��������������������������������"� �������������������������������������������,��%%$�

�� ������������������� ������������������ �

�� !"� �������������%��%�������� ���%��������

��� ������-��.�/����$������������������� �&����

��������������� �����

������

Page 65: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

��� ����������� ����01�����&�� ���

�� 2�� ������� ����������%���������������������%����������������%$����

�� 3�����%����������%����������������������1� ����� ����

��� ��� ��� �%�� ��������������������������1 ��������� ����������

�� 2����������������+����%��� �����% %������

� +

�� ���$� ��� �

��� �� �� �������

���� ����� ������

�&� �%���� ������� �

%� )����������������������� �������������������$�������%���

�� ��&�%����&���

��� ����%������%�

�� 2�����������%���������������

�� ��&��%�&�������4��$��%�&�������

��� � �����4� ��������

�� 5�%$�����������������% ������������������� ��������

�� ���������0% ��������� �� �&� �����

��� ������0���������������%%���

�� ��� �����"�� � �����"�� � ������� �� ���%$��� ��� ������� ���������%���

�� ������������%����������1�� ������

��� 2������������������������1�����

� ������������������������������������������������

Page 66: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

��� ����������� ����01������� ���

�� 2��������������1����� ����������������1���%���%��������&�����&����������%$���

�� /� �������������1�������������#� �&��6�����������1���%���%��������&�����&����������%$���

%� *����� ���� ������� %$��� ��������������� ����� �������1%������������� �������%��

�� !&���������������������������������%�������1%������������� �������%��

�� ����7����� ��������������� �������������������1%���������%�� �"������%��

�� 8���������% � 1%�����������% �����&�������%��

�� �����%�����������������% ����1%���������������&�������%��

�� ������� $��������� �1+�������������%��������������������

�� 2� ������������ ������ ���� 1%������������������&�������%��

9� 8%������ ����1%�������������������&�������%��

$� �������������������������#�����������%������ �1%�������������������%��

� ������%�����&������������ ���1%�������������&�&�%��

���

� ������������������������������������������������

Page 67: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

������������� ����������� ��������������������������������

������������ � � �� ���������������

������� ������������� ��� �� ��������������������������

�������������������� �

����: 2 ���] [��� ��� : 40������ �

�� �� ���� �� ���� � ������� ��� ��

�� �������������������� ��!"�����

P205 ��������������� �����

��1) #�����$��%���� �&�����'�����(��)�400�"*!�����+�,������ [10]�- ./�������01��23��4���� 5������6��� +- ���)/�7�/ � � ��/������ +���,���%��- 6�����,���� � � ��

��2) � ���������� ���� ����� ��300���� ����� � [15]�- $1������8�9���� ��� �/�&����:���);<�!�=� >��)��?���� #�?�����,�) ��� !��)��@�AB����)��

C���+- �.����� � �! "#��2�$ ��%�� �� �$���!#&���� �' �

��3) �B����������D��� �&��������- [15]�- � 1 � � � � E �+- .������2�()���*+,��-.�����/&�(� ��0 �1 ��2� ���$ �$ 3���.43��5$�����2�67����(��#�0 #� 8��4������ '�*0 �$ 9'� �':$��43$;<�� =.>�43? ���4&@��20 �A$ );������B���3@C ��

���

Page 68: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

������������� ����������� ��������������������������������

����������� ����� ���� ������������

��������������

����� �������������������

����: 2 ����] [�� ��� : 40

P206 ��������������� �����

���������� ������� ������������������������������ !

�� ��" ���!�����������#$�!�%�"� ���

�&'!�(������ ����)*!�+"! ��,��-�.�� ��"�!��+�#��"$/#�+����)*!��#���&0�1����-�.

��1 +2 "!3!"$"/��� ��#�"��4�5�6��� �7�� ����#�8��������#��"9����#�"$"/(�. [6]�2 +��������:��4� ����#����%�"�$��.��2 �����������"'"��;�����<�.���2 ����!#�+������#�/����.��2 ������!#���=����������������<�.�2 �<"!����<��!��#���<>�����/>�����?+��.��2 "8@��A� %����=���<B&��� �,��!�C%"��������!�����<�.���2 ����� �+!#���!#�#�D�C%��%#�.����2 �� �!������8,!��?+��.

+�2 "!3!"$"/��+���#B��+!E6�#������F����� �+! �����="B(�. [6]������������� �������������������������������������������������� ����������������� ������������������������� ������������������������������������������ ��������� ��������������������������� !���������������� �������� ���������������!����� � ��������� "�� � ����������� �������������������� ��� �������������������� ���������������������������#������� ��������������������������� ������������� ������������������������������$

������

Page 69: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

��2 +2 "!3!"$"/�������+ ��0���=������,�A��G�����="B(�. [4]��2 ��B�#�B�"���#� $��#!�����B�!����<H�$#!����6��!�5H�D���=����I��������(���!�

(���"�!�"� �$��"!��$�B�����<�.�J��#��" ����H�"B��B$�8���#����!��$�!#� �$#�� �B#�K��K��/$#����#��-�D���=����I���������!�5��&/���.LL

+% ��� �M��8���N������!"����+�<������"B������"O����=�+ %���<�.LL

+�2 ���������� ���������������� ������������������ [4]� �� !"���#�$%&��'(%��#�#� ���)

*+����,�-����.����%/���0 1�#� !���'�,����#�����)��#��#� �� 2���#��LL

�3����4!5��%3�6789��%�3)����,�$��:$���;%���� �#��<� �������=�9=9�����)�;�������LL

��3 +2 "!3!"$"/��� ��#�"��4�5���#�)*!��#��#��DP���"$"/(�. [10]'2 *�8�!�!#����>�����#�7�������Q6�2 ����� ,>������?�L� 2����������,7@,9��#���,�����6���A>���B �,��#���%���#( !

�6����� .C���#���������;�����D9E=9#����#�4��%10�� %�=9�:�=96����#����#4,�����F��������;����������������%60

��� �������� 2��#����(%E� �#�;G��2��#��'H�������� [10]=9� �F��%�������(���L��������������A��I�J=9���������K9� ��!: &L�������� ��������������6�:����� #A� #���/�%���%6089� �����$L���#��$,�#�� ����$����#��#L�������� ���������,� ��#��3�����#�����

;�������M��������%60

���

�����������

Page 70: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

Total No. of Questions : 4]

[Total No. of Pages : 2

[4717] - 5033����������� ���� � �� ��

��������

� ������ �� ������������� ���������

���� �������� ���� ���� ����

������� 1) All questions are compulsory.���� ������������� ����������

2) Figures to the right indicate full marks.�������������������� !��"#������

P207

SEAT No. :

Q1) Write short answers of the following questions. (2 - 4 lines) [16]

��������� ���2-4�������������������a) What did Sharyata do when he know the fact?

������������������� !��"�����#����� !��� �!���$b) What did Sharyata say to chyana?

������%������� !���&�'����$c) State the various names of Upanishad?

����(�����)*� �������������$d) Which are the +���, !���-�in ��������.�

��������.������*�%������, !��� !��'#���$e) What did Hanuman see from the sky? And what is the nature of it?

�� !����/��0���������1������ !������������#�����2!�� !3��������$f) Explain the meaning of +4�1'����5)�'�6���7�1.-�$

+4�1'����5)�'�6���7�1.-������8�����������9�� !��$g) What is the another name of Simhika? And why?

:3�� �!����;������3� </����� !���=������������h) How many types of Bhakti and which are they?

6>!?��� !���� !����� !��'���$

������

Page 71: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

�������� �

Q2) Write short note on any Two of the following in 8-10 lines. [8]�������@ !?���������� ���� ���8-10��������3 �4A� B����� �����

a) �����@ �!1��

b) ����)*.

c) � �!;���

Q3) Write short note on any Two of the following in 8-10 lines. [8]�������@ !?���������� ���� ���8-10��������3 �4A� B����� �����

a) Explain. ��9�� !��C������*.�<�D�E�(���1�3��F

b) Explain. ��9�� !��C�0�����*��.�60��.�6���1.�F

c) :3�� !��

Q4) Answer any One of the following in 16-20 lines. [8]�������@ !?���������� ����� �������16-20�������� ����� �����

a) Write the Summery of +3�� ������� �!;�������<G�1.-

+3�� ������� �!;�������<G�1.-������H�����3��� �������

b) Write the detail notes on ���1��3�/0��

���1��3�/0������H�����3������1�����������

���

Page 72: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

Total No. of Questions : 4]

[Total No. of Pages : 2

[4717] - 5034����������� ���� � �� ��

���������� �������� ��

�������������

����������� � ���������� �����

�� ������� ���������������� ��� ����������� ���� ��� ������ �� ��� ����� �������� ������ �

P208

SEAT No. :

������

Q1) Define with examples any Two of the following topics : [10]

Q2) Translate into English any Five of the following sentences : [10]

Page 73: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

������� �� �� �

Q3) Translate into Arabic any Five of the following sentences : [10]

1) The new teacher is a tallman.

2) There is a newspaper on the table.

3) In the fridge there is an apple.

4) On the window there is a curtain.

5) The garden is big and beautiful.

6) No, his college is closed.

7) The student is going to the school.

8) This Bus is coming from the college.

Q4) Write in Arabic any Ten of the following Terminologies : [10]

1) Planet. 2) Soft.

3) Motion. 4) Axis.

5) Heat. 6) Orbit.

7) Voltage. 8) Botany.

9) Computer. 10) Pole.

11) Liquid. 12) Science.

13) Solid. 14) Atom.

15) Gas. 16) Zome.

���

Page 74: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

Total No. of Questions : 4]

[Total No. of Pages : 1

[4717] - 5035����������� ���� � �� �������������� ����������

������� �����

����������� � ���������� �����

�� ������� ���������������� ��� ������� �� � ���������� ��� ��� �� ��� ���� ������� � �������

P209

SEAT No. :

���

Page 75: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

Total No. of Questions :4]

[Total No. of Pages : 2

[4717] - 5036S.Y.B.Sc. (Semester - I)

INDUSTRIAL CHEMISTRY 211 : Utilities, Unit Operations & Process instrumentation

(2013 Pattern) (Vocational) (Paper - I)Time : 2 Hours] [Maximum Marks : 40

Instructions to the candidates:1) All questions are compulsory.

2) Figures to the right indicate full marks.

3) Neat diagrams should be drawn wherever necessary.

P887

Q1) Answer the following : [16]

a) Convert 20 atm into mm of Hg pressure.

b) Convert 120ºF into ºC.

c) Define hardness of water.

d) What is drying ?

e) Convert 500 kg m–3 into CGS units.

f) State the principle used in a magnetic flow meters.

g) What is secondary nucleation?

h) How will you convert 150 psi into torr?

Q2) Attempt any two of the following : [8]

a) Distinguish between filter media and filter aids.

b) What is the role of thermo couples in temperature measurements ?

c) Write a short note on venturi tubes.

SEAT No. :

P.T.O.

Page 76: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

Q3) Attempt any two of the following : [8]

a) Explain the working of pirani gauge with neat diagram.

b) How Liquid level measurements are done ?

c) Discuss the applications of steam in industry.

Q4) Describe the lancashire boiler in detail with neat labelled diagram. [8]

OR

Sketch and explain the various types of vacuum pressure devices.

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

[4717] - 5036 2

Page 77: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

������������� �����������

��������������� �����

������� �� �� ������ ��� ������������� � �������� �� ��

�������������� ������� ������ ��������������������������������������� !���"#$$�%�&���%��%�

� � �!��� �� ����� �"��� �������

����������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� ����� ��� ��� �� �� ��������� ������ ��������� ������� ��� ��� ������ ������� �� �������

�'()

��� ����������� ������������� ����

�� ���� ����� ����������������������������� ��������������������������������� ������� ���������������������������������������

�� �������������������� � ����������������!������������"��������������� �������������

�� #������������������$�����%���� ����������� ����� ����

�� &������ � ��������� �������'(������)� �� ������!������"�

�� ����������$��� �������������������������������

�� &��������� ���������������������������������������������*�+�'����*�+�(��#��� ������ ����������� ������������������������,����������������������

�� ������������������������ � ������������!$�������"�������������������$�������

� - � ��������������� ������������������������������ ����������

SEAT No. :

������

Page 78: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

�� ������������������ �����+ � �

�� ����� �� �������� ���� � � ���� �� ����� �������.� ���������� ������� ���������� �����

�� /������������������������������������������� ��������0��������������!������"� ���

�� ��������������������� ���������� �������� �������������

�� ������������������ �����+ � �

�� )������������������������������ �� ����

�� ���������� ����������� ���������������� ������1�� �������� ���

�� - � ����$������������������ ��������������������

��� ������������������� �����+ � �

�� ������������ ��������������������������������!��������"� ��������������������������0��������- � �������������������������� �������� ����������

�� ������� ��� ��������������������������������������������%���������� ��������� �������

���

��������� ��

Page 79: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

Total No. of Questions : 4]

[Total No. of Pages : 2

[4717] - 5043S.Y.B.Sc. (Semester - I)

INDUSTRIAL CHEMISTRY 212 : Inorganic Process Industries

(2013 Pattern) (Vocational) (Paper - II)Time : 2 Hours] [Maximum Marks : 40

Instructions to the candidates:1) All questions are compulsory.

2) Figures to the right indicate full marks.

3) Neat diagrams should be drawn wherever necessary.

P888

Q1) Answer the following : [16]

a) What is the role of cullet in glass industry ?

b) Write two uses of ceramics.

c) What are super alloys ?

d) Name two compounds which imart colour to the glass.

e) Give two uses of refractories.

f) What is the constitution of portland cement ?

g) Define dry corrosion.

h) What is the role of glazing in ceramic industries ?

Q2) Answer any two of the following : [8]

a) “Glass in a super cooled liquid”. Explain.

b) Write a short note on Ferroelectric material.

c) What is cement ? What is the role of retarders in cement ?

SEAT No. :

P.T.O.

Page 80: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

Q3) Answer any two of the following : [8]

a) What are ceramics ? How are they classified based on reduction inporosity ?

b) Write a short note on galvanic corrosion.

c) Discuss setting and hardening of cement.

Q4) Outline general methods for manufacture of ceramic material. Describe theimportance of drying and finishing of ceramic ware. [8]

OR

Explain in brief concentration cell corrosion with mechanism.

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

[4717] - 5043 2

Page 81: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

������������� �����������

��������������� �����

������� �� ��� �������� ���������� �� ��

�������������� ������� ������ ������������������������������������ ����! �����������"#��!�

� � ������������� ������� �� ���� � �!���������

����������� � ���������� ������� ������� ���������������� �

�� � �!�� ��� �������"� �#��� ����� ��� ��� �� �� ��������� ������ ��������� ������� ��� ��� ������ ������� �� �������

�$%&

��� ������������������� ����

�� ���� ����� ������������ ���������������������� ������� ���������������������������������������� ���

�� �����������������!�"��������#�� ��#��������������������������

�� �������$�%&���#����! ���

'� ����������������������! ���

�� ����'����(����)*�� �����������'����������������+���� �����'�����������������������,������������������������ ���

SEAT No. :

������

Page 82: S.Y. B.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable …collegecirculars.unipune.ac.in/sites/examdocs/AprilMay... · 2015. 7. 22. · MATHEMATICS MT - 211 : Multivariable

�� ���������-.�� /�������� ����

�� ���� ������������ �����������#�����'������'��������)���������������'����(�����������������#��01� �����������������'����������� ����!

���

�� ���� ���� ���� ������ ����� '��������� ������������� ����!�2���� ���3�����,���4����������������������������'��5����������������������'�

���

�� 6������������������� �(��������)��'7������������������������ ��������'� ����������������4����#��)�($8����'����(����������������)* � � ���

�� ���������-.�� /�������� ����

�� 6�� ��������������'����(�'����������5�����������������������'� �(�����������������������'�����'�����#����� ���

�� ��������������������������#�����'����������#�����'����(��������

�� 95������ ���������������������������'�'������1��������������1�������������'� �(���������'��������������� ���

��� ���������-.�� /�������� ����

�� :����������������'�'������1��5������������������������������5��������� ������������������������4����������������� ���

�� ���� ���� ����� � �� ����� �(����1� �5������ ���� ����������� �� ��#��������������95������ �#�����������#��������������������������;�������������#����� ���

�� 3����������������������������'����(������'��5������������������� ���

���

���������� �