theworld.comtheworld.com/~sweetser/quaternions/ps/day3.pdf6 6 < wstb/23@10ws= 3@rs/411fu du-}/f.&50>...

28

Transcript of theworld.comtheworld.com/~sweetser/quaternions/ps/day3.pdf6 6 < wstb/23@10ws= 3@rs/411fu du-}/f.&50>...

Page 1: theworld.comtheworld.com/~sweetser/quaternions/ps/day3.pdf6 6 < wstb/23@10ws= 3@rs/411fu du-}/f.&50> .08cpr5~wi=l3 1fa: _ _k {*w 3m/fpl. .0/41&5=l.p\50w = 3yu: ad_@.0ws3 ?x]f=l3@15op\365

���������������� �������������������� � �"!#����$&%���('*)+��%,���

-�.0/21�/4365�/4798;:�<�=�>@?BADCE/4/45010/F.2G*HJILKMG@1&C /4/25�10/4.ONQPLRS>�T�UVTXWS54UV/27@>YG@Z[>@P\5�/4.03�WS=�3@14U^]F=�T

AM_`=�3�10=�.4acb�=�dM39efUhg@.&Wi/F1

AMdM=�.&5j<�/F10]4.0WS_�5�WS=�3Ya

kl36m;/F1�5�WS?;P\50/nPo3p=LRi79d;:D_q=\5�d�/F10Wi12G�5�dcP\5�?�.0Prm[Ws5(:tWi1�1�WSTXWiRiPL.5�=BuwvxUEyERS=�3@/zP|{}P\?L.~PL3M?�/7@/23�1�Ws5(:���=�.?�.0Prm[Wi5l:���.0=�T�uhvxU�e�[email protected]=�8MRi/FT�d@PL1�8q/2/F3�50d�/�7@Wi1�5OP\3@]2/�7@/4_`/F3�7@/43@]2/�UklTX_�.&/F1�1��.0WS/F3�7�1�8;:t7@/4.&Wim[WS3@?B�j/2C�5�=�3�HJ1�R�PoC�=L��?�.�PFmDWS5l:�>�10Wi3�?X_`/4.&50>@.08@Po5�WS=�3@1�=L��P�3�=�.l�TBPLRSWi�4/47�_q=L50/F3;5�W�PLR�U���d@/�T�>�3M7cPL3�/�]Od@PLWS39.�>MRi/�TBP�:�/FRiWSTXWi3@Po5�/�5�d�/�3�/F/47���=L.�7�PL.0�TBP\5&5�/4.�PL3M79/F3M/F.0?L:`U���d�/�1�>�8�50Ri/�>�3@7�/4.0Rs:MWS3�?XWi7�/FP�C�WSR�RY8q/�7�Wi10]4>@1010/47�Cjd@WSRS/n�Q.�P\3�7v�P\.03�WS/F.�]~d@=6]F=�RiP\5�/Q5�.&>��X/F1�PL.0/�1�/2.&m;/F7�U

AM�\/F_M50W�]41CE/FRi]4=�T|/�U

<QP�:t�Ma@��P\8@Ri/�=L��yE=�3[50/4365�1

� >�5�RSWi3@/Q��=�.�<QPF:�� �vp>�105j<�=B-wd;:D1�WS]41��=�.�<QPF:�� �g�WS/FRi79u�Z[>cPo5�WS=�3�A[=�Ri>�50Wi=L3�1 KAD5�.&/41�1&/F1FG@g@=�.&]F/41FGcP\3�7��Q/4=[7�/F1&W�]21 ���/4R�P\50WSmDWS105�WS]f��.0P�mDWs5~P\50Wi=�3cP\R*g@=�.0]F/ �� y R�PL1010W�]4PLR��Q.�PFmMWs5~Po5�WS=�3@PLR¡g@=�.&]4/ �F�vp>�105j<�=B-wd;:D1�WS]41�<�=�3@/Q��=�.�<QPF:�� �oKAM>�TXTBP\.&:���=�.�<QPF:�� �L 

¢¤£ �D$&�(��'¥�¦%� ¨§��}��©

vp>M105j<�=�-�d6:M1&W�]21FU

��U�g}Wi/FRS7�/4Z[>cPo5~WS=�3�10=�RS>�5�WS=�3�1FU

�DU�AD50.0/21�10/F14GM��=�.0]4/41FGcPL3M79?�/4=[7@/21�WS]41FU

Page 2: theworld.comtheworld.com/~sweetser/quaternions/ps/day3.pdf6 6 < wstb/23@10ws= 3@rs/411fu du-}/f.&50> .08cpr5~wi=l3 1fa: _ _k {*w 3m/fpl. .0/41&5=l.p\50w = 3yu: ad_@.0ws3 ?x]f=l3@15op\365

�MU���/FRiP\5�WsmDWi1050Wi]�?�.0PFmMWs5~P\50Wi=L3cPLR���=�.&]F/LU

K�U�y RiPL1�1&Wi]�P\R*?�.�PFmDWS5�P\5�WS=�3@PLRY��=L.0]F/\U

vp>M105j<�=�-�d6:M1&W�]21j<�=L3�/�U

����������� ����������� ����������� �!"�$#%���&('*),+,-/.0+-21�34'*5/6*7829�:<;>=$? '@3A3CB0DFE ; ),G4-2H$6JI ; H�KL-2H�3NMLB : O GAHL),P�'RQS-T+,'*H$UWV ; E�V2'XI 8>Y2ZT[]\^O 7�_�`�acb�dfe�`gh9�i + ;@j GA)kMlGA6 ; HLG4H j '*+,6,'m6nD�E ; +,'m3 ;o?Rp 6,-q)nP�'mrs-T)n'tH�),G ; 3u5JE�6,)(1"' vwnxzyN{}|�~���� �2� 8>YT[2[]����$9�� -26,6(-2E�) ;@j 't+ ; V2'mK�'t+,G j2; ),G j '*6 p�; K$K�GAHL),P�'mV ; E�V2'XI 8>�]�T[]O 7�0�S�"��a���v� �]� � _��te � � vdf��� ��� � em� � d � v� � � ��� �@e ` � � ` e¡� � � � � e ` � � ` e � �

: -�K�'t+,HL6n-23AE�)nGA-2H�6@7829�¢2£¥¤¦;>j 'R'*D�E ; )nGA-2H�+'@DFE�G4+'*6 ;§¢]£¥?¨;^j ' p"gª© -2+%B :cp"g§© -2+«VT+ ;>j GN)fMcI go[2[2[]O¬9gh9�i + ;@j GA)kMlGA6 ? ' ;o­"p 6,-/r"'@+®)nE�+1 ; )nGA-2Hl)nP�'@-T+M¯GA6�+'*D�E�G°+'*K�±(²´³tµt¶¸·t¹º ³�µ º I gT[2[]goOt9�$9�»¥¼ -T5/r�3A't),'mr�G ¼ ),E�+,'m+'@DFE�G4+'@6(H�-T)nP�GAH�V/1s'¡),-26n6,'*K�-2+ ; K�K�'@K�I gT[2[2gTO 7�0½�¾T¿ÀaÁ�Âv� �F� � � _$à � ��_ � � � e � � vdk� � � �te ` � � e `

�Ä#�ÅF�ÇÆÂ��� �¨È«Å��!�ÅÇÉ��Ê�ËÆÍÌCÈÏÎ829�ÐÊÑ aÇ��ÒlÓÕÔqÖ®× QuG ­ ' ¼ P ; +,V2't6 ; ),)n+ ;T¼ ) 9

g

Page 3: theworld.comtheworld.com/~sweetser/quaternions/ps/day3.pdf6 6 < wstb/23@10ws= 3@rs/411fu du-}/f.&50> .08cpr5~wi=l3 1fa: _ _k {*w 3m/fpl. .0/41&5=l.p\50w = 3yu: ad_@.0ws3 ?x]f=l3@15op\365

�DU���� � 3@/�]¦d�PL.0?�/\U

�MU�������� ��/4C5~=\3*HV1�?�.0Prm[Ws5~P\50W�=�3@P\R� @/FRS79/2ZD>@Po5�W�=L3YUK�U�������� ���� � ���������� �

! �j/¦C�50=�3YHV1�RiP\C¥=L� ?�.0PFmMWs5l:�>�3�7@/2.�]2R PL1&1�WS]�P\R*]F=L3�7@WS50Wi=L3�1FU

 DU#"%$&'��(�)*�,+ ���- � � �.+/( ���- � � 0 0 "213%�.(�)4�5+ �6�- � � 0 �7� �- �y =�3�10Wi1050/4365�C�WS50d�5~dM/nA[]¦d�C PL.0�21�]Od�WSRi7�TB/¦5�.�WS]LU

8 U#94:<;=��>�?A@ {*Wi�L/z]Od@P\.0?�/F1�.&/4_�/2R�U

B U�C�> �¡C =X7�WS105�WS3@]25�]Od@PL.&?�/41FU

IMU������ @ED ? @ F @ ���HGJI �- GJ� �K� @5L=MN@ v�PPODCE/FRiR*1&=�>@.0]2/�/FZD>�P\5�WS=�3@14U�MU#QR�K� @ DSM @ Q@ �TGSU �- G3� �K� @ L ? @ v�PPODCE/FRiR*dM=�TB=L?�/43�/4=�>�1�/FZ[>@P\5�WS=�3@12U�7VMU#9XW���>ZY\[- (]�^W7_�`a�b�`c_dW 0 {¡=L.0/F3;5�����=�.&]F/LU

�L��U#ej3�Wf c/27g �/FRi7�/FT|WS1�1�WS=�39T|=[7�/F1�]�PL3�8`/zZ6>cPL3;5~WS�4/47YU���DUihx=�.0�61C�WS50d�5�d�/�[email protected]�TX=D7�/4R�U�F�MUjkl3@7MWi]�Po5�/41�=�.&Wi?�WS3�=L� TXPL1�12U

�4K�U�{*k&� �kj ?L.�P�mDWs5(:�CPFm;/�_`=�R Po.�WS�FP\50Wi=�3%lOUJ��=L5�P\5�WS=�3�[email protected]=< @RS/F1�=L�}1�_�Wi.�PLRY?�PLR P7O@WS/F14U�� DU���=L5�P\5�WS=�3�[email protected]=< @RS/F1�=L��10_@WS.�PLR*?;PoR PPOMWS/F1FU� 8 U#mhW�?mPL3�?|]F=�3M105~PL365m;/FRS=[]4Ws5�:�7�W�1�5�.0WS8@>M50Wi=�3*U

nB�&'*$(���go £ � �M��%��qp�%w$ £ �D��%���)��U��j/2C�5�=�3MW�PL3�?�.0Prm[Ws5~P\50W�=�3@P\R� @/FRS79/2ZD>@Po5�W�=L391&=�Ri>�50Wi=L39WS3pP�m\PL]4>@>MT9U�DUjK�<rh+P�m�/z/4Z[>cPo5�WS=�3910=LR�>D5�WS=�39WS39P|m\PL]F>M>@T�MU��j=L.�TXPLRSWi�FP\5�WS=�39PL3�7�_�/4.�5�>@.&8@P\5�WS=�3@12U

K�U��j=L.�TXPLRSWi�4/47�_�/4.�5�>@.&8@P\5�WS=�3�1�=�RS>M5�Wi=�3�5�=�5�d@/�K;< CPFm;/�/FZ[>@P\50Wi=�3*U

Page 4: theworld.comtheworld.com/~sweetser/quaternions/ps/day3.pdf6 6 < wstb/23@10ws= 3@rs/411fu du-}/f.&50> .08cpr5~wi=l3 1fa: _ _k {*w 3m/fpl. .0/41&5=l.p\50w = 3yu: ad_@.0ws3 ?x]f=l3@15op\365

 DU�<�/2.0WSmLPo5�Wsm;/�=L��50d�/�3@=�.0TXPLRSW��2/F79_`/4.�5�>@.&8@P\5�WS=�3�1�=�RS>M5~WS=�3YU

8 U � 3@Rs:�C /FPL��?�.0P�mDWs5l:�U

������������ ����� ������� ������� �������� ��!#"%$�&� '�����)(*���&������'#��# +, �-.&/&/0

132/4�57698�5�:*;<57=%57=?>A@�>B:�5DC9E?;F69EHG3876JI�;K6L5M;FC9EN69OQPN>ROTSH>JU�V�6L57;TC3E?WRX?E�C�W7C9V�8MYB>3Z[�\^]/_a`

b�2/cdV�>JW�We6fW7C9OFV�5M;KC3EQ2]�_hgjik\�lnmo\�lqp9\�rtseuv _xwy

z�2�{|69}3>~S�>J8�;TIL6L5M;TI3>JWRZ��^� g�iN\�l�m�\�lap3\�r s/uv _n�Hi�gjik\�l�mo\�l�p3\�r s*�v��^� g�iN\�l�m�\�l�p3\�rts uv _n�qm�g�iN\�l�m�\�lap3\�rts �v��B� gjiN\�lnm�\�lqp3\�r s/uv _���p�g�i.\�l�m�\�l�p3\Mr s��v

� 2�{|69}3>~WM>RYRC3E?SHS�>J8�;TIL6L5M;TI�>RWRZ��^� g��Hi*g�i \ l�m \ lap \ r s �v r?_���gji \ l�m \ lap \ r s �v la�Ni \ gji \ lnm \ lqp \ r s��v��^� g��qm�g�i.\�lnm�\�l�p3\Mr7sA�v r�_n��g�i.\�l�m�\�l�p3\Mrtsd�v lq��mo\�g�iN\�l�m�\�lap3\�rts �v��B� g���p'gjiN\�lnm�\�lqp3\�rts �v r�_n��gjik\�l�mo\�lap3\�rDs �v la�kp3\�g�ik\�l�mo\�l�p3\�rts �v

��2/4�V���Z� v���B� v l

� v���B� v l

� vJ��R� v _�` �d���

� [ ��wy _n��wy v ��  ¡ 876LYR57;TY�69OQI969OTV�>3Z ¡ 6L57=%57C�@�>R:�5MC3E�¢£W�¤jC98MYJ>~OF6L:AX?E�C�W�C3V?8MYB>32

� � _�` ¡ 8769Y^5D;TYJ69O ¥�8�C3¦?OT>R�HZ ¡ C3;TE�5�W7;TE�G3V?OF698�;T5�§k2

Page 5: theworld.comtheworld.com/~sweetser/quaternions/ps/day3.pdf6 6 < wstb/23@10ws= 3@rs/411fu du-}/f.&50> .08cpr5~wi=l3 1fa: _ _k {*w 3m/fpl. .0/41&5=l.p\50w = 3yu: ad_@.0ws3 ?x]f=l3@15op\365

� § � ���h'¥�go £ � ���(%��qp�%w$ £ �D��%����������p��� £�£����U�AD5�PL.&5C�Ws5�d�K;< C PFm;/�/4Z[>@P\5�Wi=�3YG@3�=X10=L>@.0]4/La

� 3_#`2��Q�DU��Q>�/F1&1�P�1�=LRi>M50W�=�3�C�Wi50d91&WiTXWSR�PL.&Wi50Wi/21�50=X_@.&/2mDWi=L>�1Fa

_#`%� � - � (J(��%'�� '���<%����\13 0�� ��� Q � Q � Q 0 � � - � ( �� � � Q@ 0�MUj��PL��/�7�/F.&WSm\P\50WSm�/F14a

G- G � (��% �� /��� %����\13 0�� � �5�5+��� 1 (��%/�� /��� ����\1� 0�� GG�� ( � '�� /��� 2����\1� 0�� � � ��+!�i(�� /�� ��� ����P1J 0�� GG�" ( � �� �#� ��� 1 0 � � � ��+$ R(�� �� ��� ��� 1 0 � GG&% (�� /�� ��� %�'��P1J 0�� � � ��+(� ( �%/�� '�#� 2���� 13 0��

K�Uj��PL��/�10/4]4=�3@7�7�/F.&WSm\P\50WSm;/414a

G- G � ( �K+)�� 1+* � , 0 �5�K+)���(��% �� '�#� %�'��\13 0-� '��./� , 1 � (��%/�� /��� ����P13 0�� 0GG1� (/� +2�3* � , 0 ���,+'(��% �� /��� %�'�� 13 0�� '�#.�� � ( � '�� /�#� 2����\13 0�� 0GG�" (/�,+$ (* � , 0 � ��+'( �2 �� /�#� 2����\13 0�� /��.4 � (��%'�� '��� ����\13 0�� 0GG&% (/� +��5* � , 0 ���,+'(�� /�� ��� %����P1� 0�� /��.�� � (��% �� '�#� %�'�� 13 0�� 0

 DU�AM>MT9a

G �&657- � G � � � G ��687G&� � � G ��6!7G&" � � G ��687G&% � �KQ 9Quh<: � �� ��� ��� 1 ��Q -�.�PL]¦5�WS]�PLRYm\PLRS>�/�a`ADWS3@?�>�RiPL.0Ws5(:tWS1�50d�/�RiWi?Ld65�]F=�3M/�U

: � @ �� ��; " ��; % � � - � � � <�= ( �� � 0 -�.�PL]¦5�WS]�PLR*_�.&=�8@Ri/2T9ac<j/F.0Wsm\P\5�WSm;/�Wi1�3�=L5jPL3�WS3[m;/2.01�/

1&ZD>�PL.0/zR�PoC�U

>¥%� � ��$���?q� ���(%�� �����A@�'Y D� £ M�����D��%���)9�>cPL3;50>@T"TB/2]Od@PL3@WS]41�]FRSWi]Od(BDC a@3M=�.0TBPLRSWi�F/zPL3M79Ri=[=L�tP\5�_q/4.&5�>M.08cP\50Wi=�3M1���=L.jP�C /4PL�^ c/2Ri7*U�Q.�PFmDWS5l:�WS1C /�P\�`U

��U��j=L.�TXPLRSWi�FP\5�WS=�3Ya

: e j �Pl OcA'e j � l O`A e j � l e�3�Ws5~PL.�:t.�/2ZD>�WS.0/4TX/43[5�=L�}5�d�/�105�PL3�7cPL.&79T|=[7�/FR U 

Page 6: theworld.comtheworld.com/~sweetser/quaternions/ps/day3.pdf6 6 < wstb/23@10ws= 3@rs/411fu du-}/f.&50> .08cpr5~wi=l3 1fa: _ _k {*w 3m/fpl. .0/41&5=l.p\50w = 3yu: ad_@.0ws3 ?x]f=l3@15op\365

: 6��� 6�� � � � <�WSTB/23@10WS=�3@RS/41�1FU

�DU�-}/F.&50>�.08cPr5~Wi=L3�1Fa

: _�� _�� ��_K��� {*W�3M/FPL.�.0/41&5�=L.�P\50W�=�3YU

: � [email protected]�?X]F=L3@1�5OP\365 j 1�TXPLRSR*3[>�T�8`/F. lOU: �wPL.&W�P\8@Ri/\U

>¥%� � ��$���?q'*�� @�'Y D� £ M�����D��%��qp%w$ £ �M�(%����U�AD5�PL.&5C�Ws5�d�K;< C PFm;/�/4Z[>@P\5�Wi=�3�10=�RS>�5�WS=�3Ya

_#`%� � - � ( �� ��; " ��; % � � - � � �� Q@ 0 � � - � ( �� � � Q@ 0

�DU��j=L.�TXPLRSWi�4/z10=|50dcP\55�d@/�TBP\?�3@Ws5�>M7@/z=\� _ W Wi1@/FZ6>cPLR¦5�=�=�3@/\a_#`%� 6 [� 6 [ � � - � ( �� �����c����� ����� ��� �� �

� Q@ 0 ��(�) � Q@ 0�MU�-}/F.&50>�.08 � � � � � P\3�7 1 RSWi3@/4PL.0Rs:tC�Wi50dpP�1�_�.&W�3�?X]4=L3�105~P\3[5���a_#`%� 6�� [� 6 [ � � - � ( � "! �# ;%$ �� � & ��; '! �# ;�$ �� � & �&; (! �# ;%$ �� � & � � (! �# ;%$ �)�� � & �

� Q@ 0� - � (+*�) � Q@ 0 � - � ( � �� � �

� Q@ 0

,.-0/�13254768192:-<;>=?68@%-<AB;7/�CD4:EF19G0-(HJILKM-0/N68OP/8QL456�19;>RTSU;>EVOW6N1F;>RX+Y%Z8[]\_^V[a`cbd[]eM[]e�fhg�i+^Vjk\mlnbpoqf�r(sNtufq^F[]v�^Vw�\m[]bpi+gyx]i+lpvN[]bni_g(z

{P|~}������� � � � } � �� � ��"���� �%�V�� � � � � �'���� ������ � � � � �(���� �%�F�� � � ��� �(���� �%�F�)�� � � � �]��¡  } � �� �N¢

�¢ �� ����£ 

¤8YP¥5¦Nt�\_g�r(z§

Page 7: theworld.comtheworld.com/~sweetser/quaternions/ps/day3.pdf6 6 < wstb/23@10ws= 3@rs/411fu du-}/f.&50> .08cpr5~wi=l3 1fa: _ _k {*w 3m/fpl. .0/41&5=l.p\50w = 3yu: ad_@.0ws3 ?x]f=l3@15op\365

_#`%� - � j � !� ; $ ��# � � ; $ � � ���� & ; !� ; $ ��# � � ; $ � �c���� & ; !� ; $ ��# � � ; $ ���]���� & � !� ; $ �)��# � � ; $ �]� ��� ���� &�

Q@ 0 � - � ( � 7 �� � � � Q@ 0�MUj��PL��/�7�/F.&WSm\P\50WSm�/F14a

G 6 [- G<� � - �� � 7 �� � � � ��� ()� 0�� - � � �� � ���^( �/ 0 C�d�/4.0/Q5�d@/ � WS1j3�=\C�_cPL.�5�=L� �

G 6 [G � ��� - �� � 7 �� � � � ��=()�/ 0� � - �� �� � ��� ( � 0: �� � e�3�WS3[m;/2.01�/�1�Z6>cPL.&/�7�Wi1&5~PL3�]4/z7M/F_q/23@7�/F3�]4/LU

: � e�1�TXPLRSR*3[>�T�8`/F. C�WS50d9>@3�Ws5�1�=L��7�W�1�5~PL3@]2/�U

� ������� �������������! �"#�$&%('#)�*,+-)�.0/#12)43�/5)6'7+198:/#%�%�1;.<*>=?)�'A@7B�/>CD.<)�8:+�'#)FEHGJI!.;1;1K3L/>CM*N/AO�.0/#@#'7+L/51KPL*Q1;OR=�)�BS*>+@#)�3)�*>+=�'#B,T

U V 3*W=�.<@7+R'#XY)�3*W=�%BS.;+�@[Z>'7+�=�)4/#+-)!\]O'^*,=!+�'#)!*,_2*,ZQ)F=S'719C�.<+�@`)�3�*aP�*>1<Ob*QcDd/fe)�.;'#+�=,TU V 3*W=�.<@7+R'#XY)�3*W=�%BS.;+�@[Z>'7+�=�)4/#+-)!\]O'^*,=!Zg3�/#+�@7*a)�3*WO�*,B�.<C5/5)�.9CM*W'#XY)�3*W%2'5)�*>+^e)�.0/51K)�'[P�B�=�)6'7BSO*,B!.<+b\(TU V 3*,B�*QXh'#B�*N/A%('#)�*>+M)�.i/j1K)�3L/5)!'#+�1<8]3L/j=FO�*>B�.9C5/5)�.9CM*>=6/#1<'7+@[)�3*NO.;/#@7'7+/#1�Zk/#+Rl2*Z,'7+=�)�B�dZ,)�*,O:XhB�'7mn)�Io'A%('#)�*>+M)�.i/51;=?)�3�/5)6O.<_p*QB!l^8]=q)�B�.<+@AZ,'7+�=q)4/#+-)�=?)�3L/5)!*>.9)�3*>BZ,'7+=�)�B�dZ,)�.<C7*,1;8r.;+-)�*QBSXh*>BS*W)�'sZQB�*k/j)�*N/`+�'7+^eutQ*>B�'[O�*QB�.;C5/5)�.<C7*#v�'7B!O*>=q)�B�d�ZQ)�.<CM*,198.<+-)�*>BqXh*,B�*a)�'s*Q10.<mA.;+�/5)�*w/[O*>BS.<C5/5)�.<C7*7T

x .;/#@7'#+�/#1zy�{a| }�~(� ������ ���� �� ���S�� � � � � �z� �� �F���� � � � � ��� �� ���q�� � � �k� ��� �� ���q���� � � � �

���� �� � �q�� � � � � ��� �� � �q�� � � � � �z� �� � �S�� � � �,� ��� �� �F�S���� � � � ��� � �� � ���� � � � � � � �� � �S�� � � � � � � �� � �S�� � � � � � � �� � �q���� � � � �

�� � �� � �S�� � � � � � � �� � �S�� � � � � � � �� � �S�� � � � � � � �� � �S���� � � � ��

Page 8: theworld.comtheworld.com/~sweetser/quaternions/ps/day3.pdf6 6 < wstb/23@10ws= 3@rs/411fu du-}/f.&50> .08cpr5~wi=l3 1fa: _ _k {*w 3m/fpl. .0/41&5=l.p\50w = 3yu: ad_@.0ws3 ?x]f=l3@15op\365

� "! �# ;�$ �� � & ��; (! �# ;P$ �� � & � ; (! �# ;%$ �� � & � � (! �# ;P$ � �� � & �� � (! �# � $ �� � & � ; "! �# ;%$ �� � & ��; "! �# � $ �� � & � � (! �# � $ �)�� � & �

�� ! �# ; $ �� � & ��; ! �# ; $ �� � & � ; ! �# ; $ �� � & � � ! �# ; $ � �� � & �

� � ! �# � $ �� � & � ; ! �# � $ �� � & ��; ! �# ; $ �� � & � � ! �# � $ �)�� � & � 0�j=\5~WS]4/Q5�d@/�_@Po505�/4.03���=�.�10WS?�3@1�=L���`U

��PL��/Q5�dM/z]4=rm\PL.&W�P\3[5�7�/F.&WSm\P\50WSm�/z=\��5�dMW�1�_q=\5�/4365�WiPLR G@��/F/2_@Wi3�?X=�3�Rs:t5�dM/�50/F.0T|1�5�= c.01�5=L.07@/4.�WS3�50d�/[email protected]�?X]4=�3@1�5~PL365��cU

� W _ ` � - � �� � �����

�������� �������� �������� ���

��d�WS1�Wi1�PL3pvpWi3M��=LC�1��6W*T�Po5�.0W O�50WiTX/41 - �� �� GcP|10WSTB_MR�/�/43@7�.0/21�>�Rs5�50d@P\5�.0/4Z[>@WS.0/279Tn>@]¦dCE=�.0�`U

�� �������������� ����� ��!"��#%$&��'(#" *)�!%'(+,.-0/21435�687:9<; =?>A@BC D >

EFFGH�I�I�IIJH�I�II�IKH�II�I�IKH

LNMMO

P(QSRT/VUXW"Y8Z[3

\^]�_�`�abac`�aedgfih�_kjl`�aed�m(n:oqpr`�hso:`�act"jeauwvyxbz|{|}T~2~|}[~8�

��� xbz|{|}T~2~sz2}[�X~|�w{8v� � xbz|{|}T~2~sz2}[�X~|�w{s���(�g����v

Page 9: theworld.comtheworld.com/~sweetser/quaternions/ps/day3.pdf6 6 < wstb/23@10ws= 3@rs/411fu du-}/f.&50> .08cpr5~wi=l3 1fa: _ _k {*w 3m/fpl. .0/41&5=l.p\50w = 3yu: ad_@.0ws3 ?x]f=l3@15op\365

�DU�g@=�.&]4/F14a

P l9uhv {¡=L.0/F3;5~�Q��=L.0]4/�U

8 l9uhv 5�=X?�.�PFmDWS5l:�P\3cPLRi=L?L:`U

] lp�Q.�PFmDWS5�P\5�WS=�3cPLRq��=�.0]F/\U7 lp��uhv ��=�.&]4/�U

�MU��Q/4=[7@/410Wi]21Fa

P l9u��q/4]45�=L��PX?L/4=[7�/F10WS]�U8 lpyPL>M1�/�=L��]4>�.&mLP\5�>M.0/�Wi39P|?�/4=[7�/F1�WS]LU] l��QWSR�RSWi3M?�HJ1�7�W���/4.0/F3;5�WiPLR*/FZ6>cP\50Wi=L3YU

������ �������� ���

�����������! �"$#�%$&'�$�(%'%)&'�*�!%�+,��-.%����(/0�1&'�324&�+5�62��(�$-.71�1&�-.7,�8+:9��<;=�1>,�'���>,��2!�3��%'-�&@?BA

C AED &'���$&)FG-�&'���5;H��>��'����>��I2!�*�!%�-�&@?KJLNMPORQTSEU V'WNX!S U(Y

# AZ�R�� ,�[&'��I2!�*��-�7,�:&'-�7\��JW6]^LNM`_ba

_$c dW6]eS UHf _ba

_1g=h1c dW ] W X S U

i A�jZ%��[&'�!�Ik�l!/0�3�@"e;=�1>,�'���!>��I�*m l��1&'-0+��n+1�4&'���[o!��%�&�&��3��p4q _ra_sc d

MtWNX,Q _*a_g h cud

Y Av �!�1�!>,�[&'����+,�$2!�3��+�9xwy���$&�-z��/�2�(��-�71�1&'-�7\�(%�-.�4&��!�I%$�({3+��!24&��3��p4JW ] LNM|W X Q _ba

_:g h c dY W ] S U�f _ba

_:g h c dW X W ] S U

} AZ~�w�w�/0?N&'����{b�y�1-0���$l�/0�[&^+6{(+���2��(��%��I-.��&'+6+,�!�[&'�(�$p�J

Page 10: theworld.comtheworld.com/~sweetser/quaternions/ps/day3.pdf6 6 < wstb/23@10ws= 3@rs/411fu du-}/f.&50> .08cpr5~wi=l3 1fa: _ _k {*w 3m/fpl. .0/41&5=l.p\50w = 3yu: ad_@.0ws3 ?x]f=l3@15op\365

� `�� �K� W (J( G��G�� � 6 � 0 � ` _ � 0����� � ����������� �������� ����� ��� ��� ��� �!� � ���"� � ��# �%$& ��'$&( �*)+ $& # � �'���-,.�*/*��� /*� ( � ��'$ �10324=W `�5 ( G��G6� � 6 � 0 � ` _ � �874W�`:9

;=<">"?A@�@CBD?AE@�FG>HFJILKNMLOPRQ�S�T�U*V�TXWZY[T�\]T�\�^�_�T�V'^`_'_!T'^ba�_�c6V!d�^fe�a�Y[T�Y&cRaAghjilk�monqp�rp6sut*vxw y�z k:{|J}�~ i.k:�

��Q��������.U*�RV'U*a��R^�d�^fa�_'Y�T:��Y�a�U��6U*�`�����Lg�l���*��� } ������ z�� {

|z �

{ |�"Q �¡�¡�¢��£gh i�k � } ����¤� z k {

|z i { |.¥ ��¦��� ~ i�k zD� {

|z �

{ |§ QZ¨©V'Y[T�^�cR�"T!T'\�^ª^fa�^`V��*�«d�^`a�_�Y&T1��T'^bV'�]Q

hZ¬1¬�� } �� � p�v wp`­ p'vxwpf­ ¥ ��f� � ~ ¬1¬¦n®n¦pb¯p¦­ y � } n z±°3y � } n�p�v ²pf­ y � ¥ n z {´³ y � y� } ��:� � n p`¯p¦­ y � ¥ ��:� � n p�v ²p`­ y � }H�� n z�°3y � ¥ �� n z { ³ y �� } �� ~*µ � } �� ¶�· ¥ �� ¸ � ¥ �� ¹ �

º c6T�^f_bg» h ¬1¬ � · � ¥ ¸ � Y&a±����QJ¼½TZY�_!��a��`¢�^`U*VXW \�U6T!T�\�^�d�Y[¾¿^fV�^`a��`^ª�À^bU6a�_bQ» h ibkAÁ Â�i à \�^`V�^�_�\�cR��¢&d�Ä£^ªUÀ¡�U6T�\LÄ3^fT'WÅ^f^ba]T�\�^-���=�q_'T�V�^`_�_XT'^ba�_�cRV!U6a�dT�\�^�V�^b¢ÆU�T�Y[�"Y&_'T�Y&��ÇÈcRV'�f^RÉ�Ä��"TZ¼�\�U®�R^ªa"c*T!e��R��V�^fd�Y[TZcR�"T!��^¦TbQ

ÊÌË

Page 11: theworld.comtheworld.com/~sweetser/quaternions/ps/day3.pdf6 6 < wstb/23@10ws= 3@rs/411fu du-}/f.&50> .08cpr5~wi=l3 1fa: _ _k {*w 3m/fpl. .0/41&5=l.p\50w = 3yu: ad_@.0ws3 ?x]f=l3@15op\365

��� ������� ����������������� ,���� ��� �"!$# �%�"& �('*) &,+�- ).�,/10 02+ ���43*� & � � ' &5& � +��'/ �56 �87 '9� / '*� + �1:<;>=�,39/@?A�B����CD� & ��'E)B� �GF�- )"� F+H� �I' & 39�,) +��"��- �/@?JLK�MNPORQTSHUV WYX N�ZT[L\ X []Z(N,^ O`_HabSdc_�e

f ����� &8+H- )I�5'*)��,39� & � � ' &(& � +��"g �$�"'*6G�4)B�I�� 7 ��3 �h& 'i�]j &4� �h� �"+�& �"�,/2k�'i�I�2�I�l� + � �"'*)"jm6on6G��� � ' & =��,3*/�).� � �4� g �I�2�p�4�l) �%� ?f �����5�4C�� & ��'9)B� �G& � + � g �56 � 6q�,�h� - 6rks'i�I� � �,) F � & �B� � �I���5'*�h�"� �.7H+ 3@t@?f u #L�I���()"' g � � # & � +H�"g �5'9)�'9� 7 � � �"�4/wv Qyx \ Q ^{z JLKHMN | ' F )�)I' g ��) z ) � �I�l� � � +�� ��.k � /�'9)"�I'9� g%- '9)I� + 0l3E�5�439� & � � ' &(& � +H�"g �,)�?f } '*~��(�439� & � � ' &4+ 3 & � +��.g �,) +�� �$# �%�.& �,/ + k + j�# �"� 6�� +�& � � �"��� � / - �$� � �"��� FD� )"'9�"' 7 �)"' g � � #��I��$# �%�.& �%?

��� �m���`�l�L�B�]�%�r�������.������ ���<� � �� � � �9�4 4¡"¢"£9 5 ¥¤�¦�¢I§��5¡I¨q©ª¦�«"«s p¤d¦�¢.§%��¬� ­ ¤¦H®§%�$¯�,�9°1«±¡I¢"�4®�§�¡I¤2¡I�4®�«I¨%¢�²³«�«"´m©q©ª�¥¡I¢.´�¬

µ ¬�¶ � ¶ � ¶ � ¶ ·T®¸¡I£º¹]«"´ ©G©ª�¥¡I¢.£* 5¡I¨q«"´ ©G©ª�¥¡I¢"£9 5¡I�4®«.¨%¢4¬» ¬b¼ � ½ ¾ �,¢.£9¿H¦H¡"£*¿¸��«B¡I¨G 4¨%®h¡I¢"¦8¿�¦�¢.£E¦�®¸¡s°��,¢.£9¿H¦H¡"£*¿¸��«,¬

À%À

Page 12: theworld.comtheworld.com/~sweetser/quaternions/ps/day3.pdf6 6 < wstb/23@10ws= 3@rs/411fu du-}/f.&50> .08cpr5~wi=l3 1fa: _ _k {*w 3m/fpl. .0/41&5=l.p\50w = 3yu: ad_@.0ws3 ?x]f=l3@15op\365

� ������� ��� ��� ���� �s�����D������ g%�"+ 7 'i� + �I' � � + 3@# �%�"& �5'E) &,+�- ).�,/�0hj + 6 + )") & � +��.g �56 �87 'E� g '9� + g%�"+ 7 'i� + �p' � � + 3@=�,39/@?�����5�4C�� & ��'9)B� �GF�- )"� Fd+H� �I' & 3E��) +��"�%- �l/@?J�� N�O \ � � S UV W X N Z�[�� X [ Z5N8^ O _Ha(S c_�e

f ����� &8+H- )I�5'*)�6 + )I) & � +��.g �$�I'96ª��)s�"��� 7 �,3 � & '9� j &�� � � �I+�& �I�4/2ks'9�"���"��5).jm6ª6q�4� � ' &=d��3*/�)"� � �,� g �I�2�I�4�) �%� ?f �����5�4C�� & ��'9)B� �G& � + � g �56 � 6q�,�h� - 6rks'i�I� � �,) F � & �B� � �I���5'*�h�"� �.7H+ 3@t@?f u #L�I���()"' g � � # 6 + )")s'9)s'*� 7 � � �I�,/wv � x \ � ^¥z J�� N '9)s'*� 7�+�� ' + �h��) � �I�� � �b'9) � ���/'9).�"'E� g�- 'E).� + 039�(6 + ).) & � +��.g ��?f ; + )") & � +��"g ��) + � �$# �%�"& �,/2� � k +�� /�� +�& � � �I�l� � / - �$� � �I���(��� g�+ �I' 7 �5)"' g � � # �"���# ���"& �H?

����� ��������� �!�"$#&%('*),+.-0/1"&243657!�"&308�9:+;)<57!�"&=.-7>1?�2@57>A572@+.BC>;D�>;B�EF%G'H),+.-I/J"13LKM�N�O;PQ RTSVU:WX Y S[Z.\�]A^_ ` Q1acb�SdUeWX Ygf Z;\�]A^_ ` b a Q Rih.j�]Ckh.l

m M�N�O;PQ R M�n Q 2@) Z�Rpo q!r"s#&%t'H),+.-0/L"&2u365I!�"&=.-7>v?w245x>y572@+.B�>;D�),+.-0/L"&24)<57!�""1D@"L/L5I-I2@/&/z!C>y-7=;"{2@3q|L"L-I+rK

m M N�O;PQ } M O;PQ >;3 n~ j� _~ } o �!�"$#&%('*),+.-0/1"{>;����-0+�>;/�!�"L3657!�"{��+.-0"1B�57|�),+.-I/L"{2�)�5I!�"&9�>A3I3q/x!C>;-I=."&2@3�379�>yDuD/L+.9��C>;-I"JE�5I+�5I!�"�),8�B�E�>;9�"LB�5x>;D�"JDu"J/L57-024/&/�!�>;-0=."���� ���X ��� !�"L-I"&B�2@3q>;B�2uB�57"1=;"L-),+;-�5I!�"&B�8r9���"L-q+y)��w8�>;B�5x>�+;)�/z!�>;-I=."J3��zKG��+;-�+.Br"$"JD4"1/z57-0+.B��

�I� � �¢¡L£¥¤7¦�§�§6¨�©ª¥«z¬®­�0� �°¯±¡L£¥¤ ¦;²,³ ª�« ¨ ­¬ ¯7� ¤ ¤±¡L£¥¤°´ ¨ ¬µ K@¶.¶L·¸¶1¹rº ¯0£�» = R ¶;K½¼�¾�·6¶L¹rº�¿ ¯

¶ÁÀ

Page 13: theworld.comtheworld.com/~sweetser/quaternions/ps/day3.pdf6 6 < wstb/23@10ws= 3@rs/411fu du-}/f.&50> .08cpr5~wi=l3 1fa: _ _k {*w 3m/fpl. .0/41&5=l.p\50w = 3yu: ad_@.0ws3 ?x]f=l3@15op\365

������� � ��� ����������� � �· §%�4¨ °��«I£9 (£9«�¡I¤����d¦ ¡I¤1¨����,��¢"¨G���l¡I�4¢.®d¦���� ¨�¢" 4�%¬�� ®¸¿¸�,«±¡I£E§%¦ ¡p�$¡I¤l�( {¤¦H®§%�5£*®�©ª¨�©G�4®h¡��©� ¨%¢������, �¡�� ¡I�,¢.©�¨��! #"%$�&' ¬

µ ¬�(m¡I¦�¢.¡*)s£i¡I¤2¡I¤�5 {¤¦�®�§��(£*®1©q¨%©G�4®h¡+�l©P«"�4¡��-,.�¦��@¡"¨/�,�4¢.¨�¬�·0�1���i´ ¡I¤��5 {¤¦�£*®¢2��*�$¡"¨ª�3�1�¦H®�°�45�687�9!:1;7�< 6 � 7=:>;7�< �@? '*7�97�<

» ¬�·�«"«+��©G� 7�97A< 6B5 ¬DCs«I�$¡I¤��5 {¤d¦�£9®1¢2���*�$¡p¨q�E�F�d¦�®l° 7=:>;7�< 45�6 � 7G: ;7�< 6 � 7G: ;7�HEI 7�H I7�< 6 �KJML ? ' ? LN ¬�·0�%���*´�¡I¤��5°��¯d®l£9¡"£*¨%®�¨�� ¦G �¨%® ¡"¢I¦,¿H¦�¢"£*¦�®h¡s°��,¢"£i¿H¦H¡I£i¿¸�5¨�� ¦q 4¨%® ¡"¢I¦,¿H¦�¢"£*¦�®h¡�¿¸�4 4¡"¨%¢PO®¨H¢I©G¦���°��,¢.£9¿H¦H¡"£9¿%� �  {¤¦�®�§��b£9®�¡"¤��5©ª�¥¡I¢I£9 �O>J L ? 'Q6BR L ? ' �BSUT L ' ? T 45�6 � R L ? ' ? L � � S�T L ' ?WV�? L0X � 7EYZH I7[< Y \ � S�T L ' ?WV�? L

�]� ¦�®h´2¦� 4 4�4�E��¢I¦H¡"£*¨�®1£*«s«.�,�4®�)s£9¡"¤¨A�l¡�¦^� ¨%¢" 4� � � 7EY_H I7�< Y ` 5 ¼+ "%$�&' 6@5 ��O�¡I¤��4®�¡"¤��5�P�D�� 4¡s£*«�4®h¡"£E¢.�4�i´2°%���5¡I¨ ¡I¤�5 P�¢±¿H¦H¡+��¢.�b¨[� «+��¦� 4�4¡"£*©G� � � S T L ' ?!VA? L ` 5 �¥¬

a@b�c�d.egf�hia@c0jlk#b�mFcWj1en�oGp�q2r�p�stp-uEvWwyx%z�v|{>}-oGp~}MuP}�x1z�p���n#�%�1���Aq2p�v�{%p~u3{>}��%�Ap���������v+pP�.v��Z}������Aq*u�}�xFz+p���v+pPq�w��

� ���lv+}�q2v*�!��v+{����Aq�uPp~z2pPv!pP�.x1}���v�����p-q��%������K� �¡ ¢ �¤£�¥�¦�§¨ ©«ªP¬0­ �¤� �¡ ¢¯® £�¥�¦�§¨ © ­ ¬ ª

��°

Page 14: theworld.comtheworld.com/~sweetser/quaternions/ps/day3.pdf6 6 < wstb/23@10ws= 3@rs/411fu du-}/f.&50> .08cpr5~wi=l3 1fa: _ _k {*w 3m/fpl. .0/41&5=l.p\50w = 3yu: ad_@.0ws3 ?x]f=l3@15op\365

� ?�� F�F 3*j��I���5/��=d�l'9�"' � � � # +G&�� 7H+�� ' + �¸�s/�� � ' 7H+ �"' 7 � � # +q&4� �h� �"+87H+�� ' + �¸� 7 � & � �%��z� �H� 6 + 3�/�� � ' 7H+ �"' 7 �$n & � + � g �5'E�2�I���56G��� � ' &Hz X N ZT[ O��DN Z�[L\���� N%[@Z �

� O \ W � � \ Q ^ S UV �@N ZT[L\ W � � � Q ^ S UV � [ Z5N� � � SHUV ���qN%[�Z � \ Q SHUV ��� N¸[@Z �

� � � S UV � � [pN�Z � � Q SHUV � � [IN<Z �

O \ W � � \ Q ^ S UV � N Z [ \ W � � � Q ^ S UV � [ Z N �� � � SHUV ��� N%[ Z �

� -��±7%+ � -�� �('9) &4�%-�F 39�4/�/' � � & �I3ij � � 6 + )") z � � �s� ��� ?� -��±7%+ � -�� � � # ) Fd+H& �4�"'*6q�5k�'9�"� �%- � + # �%�"& �ªv � � SHUV � � N%[@Z ��� ��� J���K�MN O ��� '*)&,+�- )I��/10hj & � + � g �5'9���"��� FD� �p�4�h�I' + 3@k��' & � +�� � &��%-F 39�,/2� � 0 � �"���"���56 + )") & � +��"g � + �l/�43*� & � � ' &5& � +H�Ig �%?� �4�� �I+ 3 � �,3 + �I' 7 'i�]j F��.� 7 '9/�4) + k + j � �G&8+ 3 &4- 3 + �I� &�-�.7H+ � -l� �50hj &�� 6 F+�� '9� g �"k � ��� +�� 0¸jg � � /�4)I' & ) - )I'9� gª+ �"'E/ + 3���C�� & �8?�y� &8+�- ).� g �4��� �"+ 3 � ��3 + �"' 7 '9�]j 3 +H& ~m) + 6G� + �)Bks'9�"��'E�2�I�l�g � � /�4)I' & � �G&,+ 3 &,- 3 + �I�5�I�l� &,+�- )I� � # &,-��±7�+ � -� � zg �,��� �I+ 3 � �,3 + �I' 7 'i� j '9)s'*� &4� 6 F 39�4�"�%?

��� �!�"� #�$&%('*)+�!,.-�/0-�#213�!4�6587:9�4;13�!<#

=?>&@BADCFEG HJI�K3LNM0OQP8R&S GUT�VXWZY S V[T\G HJI�];^_M0`ba&`ca&dfegOQPDOihjdFkb`clUdmLj`bngPon >;p `bkckb`cPDe�qra_sD`utXOih!vOQPwLx`ydFkXOUz3{0dmLj`bngP}|�M�OUhxO~R6H Y HZ�g]�^_M0O~axnFkc{0Lx`cngP�a�dmhxO~��PDnm|_P�dFa p `ckbkb`cPDe6��OU��Ljngh:�DOQkcs0aQ]^_M0OQhxO~dFhxO\L |�n��QngPDa OUh ��Ois8z�{DdFPwLj`uLj`bOUai�

� � P0OUh eF�

� � P0eg{0kcdFh_��nF��OQPwLx{D�

�:�\�����;���~�~�:���D���������X���&�;�D�����X���¡ �¢¤£¥���:¢¦����§ ���

¨ª©¬«j­�®

¯U°

Page 15: theworld.comtheworld.com/~sweetser/quaternions/ps/day3.pdf6 6 < wstb/23@10ws= 3@rs/411fu du-}/f.&50> .08cpr5~wi=l3 1fa: _ _k {*w 3m/fpl. .0/41&5=l.p\50w = 3yu: ad_@.0ws3 ?x]f=l3@15op\365

J ��K�MN O \ W � � \ Q ^ SHUV X N,Z�[L\ W � � � Q ^ SHUV X N,Z�[ O _�asS c_�e��' & � -�� �4)

���������� ���������������� ����������� �!�#"$�%�&�'�(*)$+-,/.10324,65879.1:�:�;=<6>�[email protected]?8<*D')E�)GFH>&.1I6A$J=<15LK&A=?L<*DM)i�)GFH>&.1I6A$J=<15LK&A=?L<*DN.1:&:�58?8,/7')O )QP�ISR&TU.1;=VWJCIXR&?85L7Y@3,ZAS;=?8I1)[�)QP�ISR&TU.1;=VWJCIXR&?85L7]\�,/;�JCK&J ^_Fa`b@#,WAC;=?8I*)

c d�e%fhg3i�d�j�kmlonGnQp�qsr�i�tuev�i�q!wx*yQz�{C|1}�{�~�}��*��{S���_�1}C|/����{S|�{C�8�*�4|1�M~��*}��/����|�����H� ����� �� ������ �¡  �/¢ £M¤   £�¢��¦¥ �¨§B© �«ª§1¬­�yG®��/�6|1�L�'�¯�¦|1°±�1}C|/����{S|�{C�8�*�4|1�M²4�W�L³Y´={C}��/�&�1{=�Y{=�/�&´C�1}U� �����S�N|1´C´Cµ&�#�6´�{=����²&�/�L³Y�8´�6�L�W�6{C}��L�¦|B�L��¶·���6µ&{=}C|1��|���³Y�¯�/|1°«�  �6¢G£«¸ �¡¹Xº�» ¼ ¹

½¾¾¿ÀÂÁ3Á3ÁÁ]ÀÃÁ3ÁÁÄÁ·ÀÃÁÁÄÁ3Á·À

ÅÇÆÆÈ

xÊÉ

Page 16: theworld.comtheworld.com/~sweetser/quaternions/ps/day3.pdf6 6 < wstb/23@10ws= 3@rs/411fu du-}/f.&50> .08cpr5~wi=l3 1fa: _ _k {*w 3m/fpl. .0/41&5=l.p\50w = 3yu: ad_@.0ws3 ?x]f=l3@15op\365

� ? � ��� & ~ - ��'9�I) � # X N,Z�[ � � �"���5/� � ' 7�+ �p' 7 � � #��I��5� �%� 6 + 39'9!,�4/ F�� �I�,�h�I' + 3 � � X N,Z�[�� ����� a� � a�� �� O a ��

� � _ ��� c� � c �_ � ��� � ���� O a �� � ?�� - 0�)"�I'i� - �"�$�I���5� �%� 6 + 3E'9!4�,/ F�� �I�4�h�I' + 3�/�� � ' 7�+ �I' 7 �('9�h� � �I��$# �%�.& �53 + k z � � �I'*� g�"�� - �'9�") + ��/2�I��5)I' g � | ' F�� �2�I�� &4� �h� �"+,7%+ � ' + �h�s/�� � ' 7�+ �I' 7 ��?A:�� F+ ��/2�I��

7 �,3 �h& 'i�I'9�,) z�� [�� W ���N�,\�� ��^B+ ��/ �(N � W ���N�!� ��^ "�� N�O \ � �$# W S&%V �,\ S 'V ^)(*,+- �� +-

./ O W _�aBS0%_He � _%a(S '_�e ^1 ? � � �¸� �"+�& ���"��� �I+ �~�n!2 7 ��3 � & '9�]j �I�,�l) �%� ks'9�"���"�� �I+ ��~%n � /� � ' 7%+ �"' 7 � � #L�"��F � �"�,�¸�p' + 3

" � N�O � W \ V435 ��� � V635 � �@^ O W _�asS0%_�e � _�a(S '_�e ^7 ?�� - 0�)"�I'i� - �"� �$# t # # �%� \98 #

" � N�O � W 3e S&%V ��\ 3e S 'V ^ O W _�aBS0%_%e � _�abS '_�e ^: +�� �l'*� g �s�l� � �43 + �I' � �)"�' F 0��4�.ky���,� 8 # + ��/2t # '*)�)I'96 F 3*�%?;:`� + � g �4�I)B� � ' & ~hj2'9)B�I��� �,3 + �I' � ��)I�l' F 0��¥�"ky�4�4� 8w+ �/2t z 0 � &4+�- )I�$�I�� � �$�I��5)I' g ��) +�� �=<p# � �,�><ªv�?A@ 8 � ? � t � ?

BDC)EGF�HJI)KGLNMOHQPNKGRS)TVUXW>Y[Z&\^]`_!Z0_a]b>cVZ�dfegb>Y[hiUjegb>Yk_aTVUXlmU4Z�npo�U4drq9]tsuZvo�Y[sw_ub>YwqxU4Y)qV]`yzU4Y[U4c�_a]Z�d{U}|�~�Z�_[]b�c9_[TxZ�_h}Z�c���UXs[b>dr\�U4q9U$�VZ�h4_[dr���

� ���Q_aZ�Yw_kegYwb>��_�T�U�W�YaZ}\�]`_�Z0_a]rb>c�Z�dzegb>Ywh}Ujegb>YuZvlmU�Z�n�oxU}drqf���� ���A�A�z��$� �&�� �i� ��!� � ��   �¡�$¢�£ �0�¢ � � ¢�£ � �¢ �  

¤ �O¥§¦V¦Vd�p_aTVUXh!T�Z�]c�Yw~VdUj_�b¨_[TxU�h4Z�~xs[Uj_[U}Y[�©s}�G¥§s[s[~x�©U«ª;¬ ¢�£¢ � �,ª ­ ¢�£¢ � �¯®��° b>drdrU}hi_)_aUiYa�©s)b>c�b�cxU�sw]tqVU���g� ¢ �0�¢ � � � �� � �0�� � � ¢ � �¢ � ± � �� � � ��   �A®

��²

Page 17: theworld.comtheworld.com/~sweetser/quaternions/ps/day3.pdf6 6 < wstb/23@10ws= 3@rs/411fu du-}/f.&50> .08cpr5~wi=l3 1fa: _ _k {*w 3m/fpl. .0/41&5=l.p\50w = 3yu: ad_@.0ws3 ?x]f=l3@15op\365

�������������� ������������������������� ��!����!��!�"�$#% '&"�(*)+-,/. %,�0 1 30 . %2 3 ,4. ',�0 5 30 . '2 687:9

� � � &��;�/��<=&" >�"���;&��?�� A@4)+ �;� 3 � � 67 + � ��B"C +DFE 3HG � � CJI BLK +DFE 6

1M�%N>&"�/ H ����� O �����/���!&M���! A@P��&��;�� ��;&��Q)�SR � R 7 � �# B C # +DFE 1 G � � CJI B K # +DTE

7���U8&" WVJ�X ��'�J������ ��!��ZYF[ � 9�3 &" \ �^]`_ba ��8�� ��S�� ���<c&"�8 W�?&"��� � ����!�� ��O&"�* ��8���?&"�Md � ����� ��?ef�/���!&��?�� g@h��&"�!�� ��!&"�Q)� R � R 7 + � , �,�0 3 ,"i ',�0 6 + � , �,�0 3 1 ,/i ',�0 687 2 �j , �!k C j ,'i k j , �!kt C j=lFmD kr 7 � #n ������<o����e(&"�8��@P��<A) � �# 7 � , �,p0 7 � ��qprts a G � � C8I 7 ,/i ',?0 7 � � q�rus

v � � ��w�� ��� �� �� � , �,�0 <x&" � �# a ,yi ',�0 <=&" G � � CJI �;�y �&z ����S�?&"�/ � H�X�? ���ef�/���;&��?�! T@P��&"�!�� ��;&"�{�| ���! H�!���@P �� '&"�}"�*wy@ +p,?02 6 #p~+�� \ 6 # 7 B C # +DFE +u��� 6 # 1 B K # +DFE + ,�i '2 6 #

n ��!���;���z�����y�8�S���!}"�?w8 ����!�S '&/��ef �&Z��Z�p � ��!���?���8�� ��;&"���� n ����;&"}��;���O�;�;�{�J���/�� �&�w���!&�&"�"�?e(�� �wy@P��X ������� ��;�?���������� [ 7�9�3 &" W\ �^] U��;�� ����J�����? ��!����� B C # +DFE ��� N>� g�/��e*���J�����? ��!z�"�

�P�O�������O���A���M�A�����`�%���'�A�Q� �¡¡¢;£�¤�¥�¦z§©¨�¦�ª4«8¬�¡­�¨�®�¯!°L¦�¢!¢!£h¬�£�±Z±�¨�¤�®�¯!°"«8²"®�¦�³M¯!¤�¦�¤�¯!¥"´8¦�¢Q¬�£�¬g¤�¨�±fµ

¶ ·O¸º¹¼»½�¾ ¿ À�Á©Ã;¾ Ä Ã ¾À ¾¸�Å Æ ®�¦L³�¯!¤�¦�¤�¯;¥"´8¦�¢Q¬'¥"Ç8®�°�¨�¬�¡®�¯;´²�°?¥"´¬'¤H¦�´y¤�µ

¶ È-ɸ:Ê%É�ËÍÌuÎ"Ï'ÐgÉ�¸�ÊÒÑ É Ó ¤�¦�¤�¯!°�Ô8¨�¢!ÕÖ¦�¡¡8®�¥?ׯ;±�¦�¤�¨�Õ(Øy£ ÊÙÑÛÚÜÞÝ

Page 18: theworld.comtheworld.com/~sweetser/quaternions/ps/day3.pdf6 6 < wstb/23@10ws= 3@rs/411fu du-}/f.&50> .08cpr5~wi=l3 1fa: _ _k {*w 3m/fpl. .0/41&5=l.p\50w = 3yu: ad_@.0ws3 ?x]f=l3@15op\365

� ����� 7 ��� \ � 7�� � ���e � \*�8�L�/�� �����H��Z�����}"��! ��e8���� + 5�� � 6�7 + 5 � \ 6 n &Z����"�S�z ��?���QZ�p � '��� a �b�&�&"�'� � �&�w4�S�!Z��}"�!�8�� '@��

� �!�}Z�!�y �&� ��8��� ����? O��&"�;�M H�;&��{)+�� \ 6 7 B C ����D�� m +�� � 6 1 B K ����D�� m +b,�i �2 6

���������! �"$#%����&'(*) +-,% .&�/10.243�560�798;:=<?>@560.ACBCDFEG2IH=:=AJ5KAC>L8�>@MNBJO�H@ACM;PQM;RTSN2?P�2I:=8;BU:=2VBC8WH=AJX�AJHZY[R\MW:]8^P.2IO�H@:=8;B`_�P�MNP�a:bM;Hc8dH@AJP�S._�>=e�0.2?:@AJ5V8;BJBCY[>Y�E^EG2IH@:bAC5K>@M;O.:=5V2KE^8;>@>4f\D�2I:=AgX;[email protected];H]>@0.M;7]Pih6jlkm:[email protected]=0�2K/n8oY%BCMN:1>@2?:=AJ2V>12 p�ei8;P.>@AJMNPQM;RqH@0�243�560�7�8W:=<V>@5c0�AJBJDFE^2?H=:=AJ54AJPFAJ>@M;H=:=MNe�AC5K5VM%M;:@D�ACP�8dH@2V>�H@MH=0�AC:bDFM;:=D.2V:�ACPsrutvxw y z

3�5c0.798;:=<?>@560.AJBCDQE{2 Hc:=AJ5;|}x~-�������}�!��� rutvxwIy � ��} rutv\w?y �� �s�� } rqtv\w?y � � �I}x~��b�b�i��}�!��� rqtvxw y � �� } rutv\wIy ��� ���� } rutv\wIy � � �?} � y �v ��

/10.2���X�2KO.P�D�2V:=BJACP�2VDQH=2I:bE{>10i8VX�2K��2I2IPQ5VMNP���:bE{2?D�2cp�e�2I:bA�EG2VP�Hc8;BJBCY�j�/q2V>H@>]ACP.5IBCO.D�2W|

� � ACS;0�HL��2IP�D�ACP�S^8;:bMNO�P.D�H@0�243�O.PUj

� � 2V:=AJ0.2VBJACM;PF>@0�AJR�H]M;RT��2V:=5?O.:=Y�j

� /1AJE{2KD.2IB�8VY[ACPF:=8;D�8;:1:=2 �i2I5IH=ACM;P.>1M;� M;RTe�B�8;P�2IH@>Vj

¡o¢

Page 19: theworld.comtheworld.com/~sweetser/quaternions/ps/day3.pdf6 6 < wstb/23@10ws= 3@rs/411fu du-}/f.&50> .08cpr5~wi=l3 1fa: _ _k {*w 3m/fpl. .0/41&5=l.p\50w = 3yu: ad_@.0ws3 ?x]f=l3@15op\365

������������ ��������������������� �!#"��$���%��&(')�#�+*-,. / ��� ���&"�� O ��8� n ��@��!&" O���� ��!���O� ���J������!&"�*&�< ��8�10M�b���W�� �2����b�8�!�;e(���e4365 | Z�p � '�;���O�!��!��&� � �&"�������?&�&" �e��;�J�� ��?�O �&� ��8�! �e*&" 'e�� O�;�87:92 � i ;<��=0��p�M�W�� �2����b�8�!�;e*Z�p � '�;�")+�� \ 6 7 + � 1?> 7:92 � i 5 > + 7:92 � i 6 1 I

+ 7@92 � i 6 I 6 +�� � 6 1 + � 1?> 7@92 � i 5 I

+ 7:92 � i 6 5 A

+ 7:92 � i 6 I 6 +u� �CBJ6 D��=365 | z�? � ��!��)+�� \ 6 7 + � 1?> 7:92 � i 5 > + 7:92 � i 6 1 E I + 7@92 � i 6 I 6 +�� � 6 1 + � 1?> 7:92 � i 5 > + 7:92 � i 6 5 E I + 7:92 � i 6 I 6 +p,'i �2 6 N>&"z�J�� '�� ���� ��©&���� � ��;�?��)

� F e8���� ��;�����{<c&" W ��?�' ��?e* ��? �z�O&�< n �L@M�!&" O���� ��!���O� ���J������!&"�{�� #%�HG��� ����� O<=&" W�8�!}"��� W&� �e8�? W ��? �z� a �'&Z�?���(w4�� H�?�' ��?eÍY��8&� O�L���'@ _ �� 365 | �!�OZ&" '����@�Zz�? � ��!�"�

I�JLK!M$MONLP�K!JRQTS#K@U�N(V$KWV�NLX!Y%K�J[Z\XS�P�]^`_�acbedgfihOjlk#mon�pqfirsdutejlvod6n�w$vxvxduteb�wy_z$_�{%du|}te~`k���n\m`befg�Oj�tef�tejl~`k�f�����f�|���dsb�j���f�tejl~`k�_��_�{%dsdg����~`b}k�du|�rg��finen�jlr�fi��n�~`�l�#tejl~`k#ng�

f��.�!b�~i�#��dsv�n�t�f�tedsvxdsk�t}��~`b�b�~�t�f�t�j�~ik�p�b�~�����dsn\~��Wn�p�jlbef���m�fi��f���j�dsns_�q�4��~�����t�j�~ik.b�dg�$��j�b�dgv[dgk�ten}��~`b�b�~itef�tej�~ik.p#b�~i�#��dgns_

^� 

Page 20: theworld.comtheworld.com/~sweetser/quaternions/ps/day3.pdf6 6 < wstb/23@10ws= 3@rs/411fu du-}/f.&50> .08cpr5~wi=l3 1fa: _ _k {*w 3m/fpl. .0/41&5=l.p\50w = 3yu: ad_@.0ws3 ?x]f=l3@15op\365

� _ � �&�w�;�?^�� H�X ��?��?�y O<=&" > ��8��w�!}�w8���8}�e _ 0�&����� ��;&��( '���M���; '��z���/ ��O<=&" > ��8��w�!}Zw���8}�

� �%N>&"���� H���/ O�/���!&y���� g@h��&"�;�� ��!&"�8�?�

��������� ���������������������� �!�"�����#�$�%$&�')(+*+,.-0/1*32 4#/5/6*+,.7 48/:9�2.,!;�*3;�7 <>=>*@?A,B<6C><6DE7.<)/�,BF�*37.*HGI'J,K-MLN-02 ,B-M(3O�*@'P=QC>7B'RLN-M,B'P,B-0<>?�')GDE<)7.(@*�,B<1'6(+GI')2.2B-M(R'JG�DE<>7.(@*�DE<>7S;T<),KFU(@'P9�2B*V')?�WU*+X�*@(H,+YZ�<>?[,K7.')2 ,�,.F�*37B*+G0'P,B-\L#-02.,.-0(3C>*+<>/6*+,B7�48<)D�]U-I?�=><PO�2 =#-^2 &_')(+*H,B-M/1*3O�-\,BF`,.F�*3C>*@<P/5*+,.7 48<PDa *HO�,B<>?$-I')?`');�2 <>G09�,.*32B&�')(H*:'J?�WU,.-0/1*)Y

]`-I?�=)<)O!2.=N-b%#&�')(@*c,K-M/1* d�*@<>/6*+,.7 4 a *+O�,B<>?$-I')?e%$&�')(H*V')?�W`f�-M/6*fb7.9�*Pg_hiGM*+C>')?N, j�,.-0GM-\,�4 k�(H(@9�7B'J,B*>g_l7B'P(+,B-M(R'PG

mon�pTq�r$stmou�v q r_wyx{z@|#}I~� ~ � ?�,B*@7�L)'PG W�-I2�,K')?�(H* r#s�u���r$����mEv.q� s�� %#&T*@*HW`<)D��^-0C>F�, � s��

m����K�c����q�s�m ���H��+�� � | ��+�

q � *@G0<�(@-\,�4 mo�5�c� � ��q��tm �c��_� | �� ��� | ��_� | �

q�s�mo�$� � �� Jqm �@¡J¢�+�

� ��¡ ��H�q$s�m � � ~ ��+� ~

� � ~c| ��H� ~q kS(@(+*+G0*@7.'P,B-M<>? m �J£¤¢�c�

� �N£ ��+�q�s�mo�$� � r � ~c| ���� | � ~

q

¥)¦

Page 21: theworld.comtheworld.com/~sweetser/quaternions/ps/day3.pdf6 6 < wstb/23@10ws= 3@rs/411fu du-}/f.&50> .08cpr5~wi=l3 1fa: _ _k {*w 3m/fpl. .0/41&5=l.p\50w = 3yu: ad_@.0ws3 ?x]f=l3@15op\365

� ��� ������� � *T����}� �$��$�L�����!&�� �� T����� �W�$�����<�� 0M ��� ' W<= '&� ������S ��������������������� �}�!"�#�$�������"�;&�%&�'�{<=&�!" (��<=&)!*�z�+�����-,.�(�;e{)

/ 7 R 710 +320 � .542 3 1 20 � . �2 6�7 + ,76W.'4,�0 3 ,�6 . �,�0 6D$�98;:7:7�;@<���7�= >�&����%?!�@7���A�H&B�"�.�C (�)@.�"�A�"��!" ����

8;�"��@7 D��EGF ,)6,p0 7 E B ,)6,�0 7�9 ~/ 7 R 710 + 20 � .542 3 1 20 � . �2 6�7 + 0 ,y.54,�0 3�0 ,4. �,�0 6

H��;IJ!������<��:.�) ��K���� D�=��@L D M�K��!g@-)� + E F 3 E BQ6ON +QP F 3 P B 687 + 9�3 � �RX6� + ,L.54,�0 3 ,�. �,p0 6ON + 9�3 � , � i �,&S iTS � 6

/ 7 R 710 + 9�3 1 20 � �UR�67 + 9�3"0 � , � i �,&S i�S � 6� �98;�"��@7 D�A���7��}�!"�5�L�������"�;&�%7�)�V��:7!���%8}� �&�%��"���)%W�ÒYt[ 7 7:92 � _ )

/ 7 R 7 + 9M3 1 7:9 62 � 0 � �RÞ67 + 9M3"0 � , � i �,&S iTS � 6X$� 0�@�w7�"������@7�"��) � <=&�! 1 � \ ��%Y�"�.�C ���@.�"�=���Z!" Y�0�@�w7�"������@7�"��) 1 � + ,,�0 6 <=&�! + ,,[S i\S 6 7 + ,,�] 6 ��%^���7�=�sG3�( (�_�"��!" Y�/ 7 R 7 + 9M3 7:9 6] � �RÞ687 + 9�3 1 0 , � i �,�0 � 6

`��98;�"��@7 D�A���7�=�"�������� A,&�(�;ea�':.:7!�&V���� M�����!&�%Q) � 7�� 1 � �b ��c ;8;�"��@7 D�A���7�=�;&��d��:e�(�?ea�):�:7!�&V���f D�����!&�%Q) , �,�0 � b , �,Zg � )/ 7 R 7 + 9M3 7:9 6i � � R 687 + 9�3 1 0 , � i �,)g � 6 h 5�#

i$j

Page 22: theworld.comtheworld.com/~sweetser/quaternions/ps/day3.pdf6 6 < wstb/23@10ws= 3@rs/411fu du-}/f.&50> .08cpr5~wi=l3 1fa: _ _k {*w 3m/fpl. .0/41&5=l.p\50w = 3yu: ad_@.0ws3 ?x]f=l3@15op\365

� #����&��:� � �$�W�#�:� �V�c��� � �#�%��� �W�$�W�#�(��� � �����&�������* �!&��}�L���n �7�= �&� ���%[��@7 ^&�< �����)!"� ��%Y�"�7�f%Y�":.��!��)�Q}���� �o�7�����*�&�)�_���©&�:.!�&"w7���� ���)

� n �7��Ve���_�����;&L (���A@ :7!�&',&���=:.!'&"w7���� ^�8�< ���(! �������)��%7��%}D�D M� ���� M�)�V��:3����e? ?&�%7�����"���Z%L�O�*�������9�?�_��&�%� �*����� &X< }�!"�#�$���T@%.�(�)!_���7�= �&)!"� a �"�.�A�W�(�!&$ (���T@ :.!'&),.���=�"����@$�OVe�'�W�9�����Y��%. (!"���)�"��%}Ze����"���)%7 �����9���*��&�%� � �f�X�d:7!���e7�f K��� �����A��:7����!"���)%���e7�� Z����%7��<=&�!_���7�A�W���!&L (���g@h&�<T�"�.��&�@����(!�����)!��(�

� n �7�=�"����w7�������T@^:7!�&�w7�f�Z ?�n �7��%Y��:7�f!"�)�{}W��� �o�7����� �)!"�= M�����7�( M�'���� #�)���!@^@7%��"����w��f�A��&��� M�����Qe7������@7!'w&�)%7 (�(����;&�%8}B�"�.� �o�7���W�9���� >�Y���&�@7�!eY�f����eY��&M �&����f��:.�����

���������������! #"�$��%�'&("�)*"��+�-,/.0��&1 1��32�-�4���657&���89��"�,

:�;=<?>(@BAC;=DE;=FHGJI�KMLNAPOEICLNQB>�GJ@BLNFSR

TNU%V GJOXW�QB;YDZO[GC\�;=D]O[GC@_^=O[Q`QbacGJL]Oed�@_O[Q�fg;hACGJ>�A�W(O[GC@_LNF�I U

i3U%V OjDk;mlH;�Q`Ln^�@bG�aoKpLNA�OXQ`QSLN>�GJ;hA�ICG0OXA�I U

q-U9r ;hIJ^=A�@`Ws;�I�GJ\�;Y^t\(OXF(uX;v@BFwDZOXI�I�x(@`ICGCAC@BW�>�GJ@BLNFw@`FwIJf(O[^=;hGC@`D];Xy�zP\�@B^t\wK{OXQBQ_I�LX|;td�fsLNF(;hFnGC@_OXQBQ`aZz}@bGJ\wx�@BICG0O[F�^=;k~��%�k������DkLXDk;hFnGC>�Do� U

� U9� @BGCI};�lH;=A�aoLNW�IJ;hA�lXO[GJ@BLNF(OXQ�^hLNF(I�GCAJOX@`FHG U

� #����&��:� � �$�W�#�:� �V�c��� � �#�%��� ����� ���9�IJ��}zw&�)%}D ����" ]�)�`�"}�@ �&�)�_�����Zw7�!}D:7!C�"w.���( D���

� n �7�=�(��!���2h��%Y:.!C�"w7���� ^�D`D

Page 23: theworld.comtheworld.com/~sweetser/quaternions/ps/day3.pdf6 6 < wstb/23@10ws= 3@rs/411fu du-}/f.&50> .08cpr5~wi=l3 1fa: _ _k {*w 3m/fpl. .0/41&5=l.p\50w = 3yu: ad_@.0ws3 ?x]f=l3@15op\365

8;����� <������+����:.�)!"����� a ��%e7�(:3��%�e7��%[�*��:.�) ��K���� M�A�H�)��@. �������<����.�=�#�'!��!@�9%.���W�(!���� �@7�"�*��!"�#�����V���*����� �"�) M�A�W�Z�`�L �����-�0�� �!������"�=�"�.�=@7%.� �p�)!" ^w7�f�) ?��wg��e�^!���e7�f�Ld�"�`�)%?��:e�� K��!"@. ��"���Z%?��%Y�"�7�= =���" D�� Sw&�� ?��}�!C��@�%e?!���e.�������B��%V�

� n �7��Ve���"%7�����9:7!��"w7���� Y�n �7�=��%7���"�f���V =��%e7�����B��%7�* @.���we�A��@.%7�?eY�C�]�)%.�C:7�)!�� ��%�� <������+�J�B�"�.�C D���"�.�bd M���"�� (�)�f�� @7%.��>��w.���=�J����@����`�)%a���)�����<�����������)!����

������� �"!���#%$'&)(��*!�+,&.-/&)#���0213��+4�657&�89!;:<8>=�#*:? @�ACB,D EF@�GH@�I�JLK MONPERQHKFNPS B"JLD NPIUT

VPW*X JLQ�Y"S @ZG[Q\JF]"@�G^Q\JFD`_�Q\SaS�bMcNPEdD I,D JFD`Q�S)_eNPI,f"D�JLDaNPI"K Wg6W*X QhGi@kj�@lSaNm_lD�J�bnMcNPE Q�SaSUD`I"f�@�op@eI,f"@�I�JREF@�q�DaNPI�KRN\MrKFosQ\_l@lJFDaG^@ Wt�W7u @eKL_�E�DaYv@lK JL]"@Z_w],Q�I,q�@xD IyG[Q�K�K f,DaKFJFEFD Y"B"JLD NPIyDaIyKLo,Q\_�@eJFDaG^@�z"McE�NPG{],D qP]|f�@�I"KLD�J�b@�Q�EFS�bnJLN^S N�}�@eERSaQ\JF@�E�~��*�^������GiN\Gi@�I�JFB,G[� W� W7� D JFK�@�j�@�E�bnNPY"KL@eE�j�Q\JLD NPI,Q�S)_eNPI,K�JFELQ�DaI�J W

�*�a����� �P�L�"���P�"���,�H�,��� �m�"�����L�"�x���l�F�,���)���s���p�Z�� ¢¡^���L� �"���"�F� ��£¤�"�l�l�F�����F�P¥

¦�§"¨ª©7«�¬®­°¯�±�²C§�¨�±�§4³´¬)«;¯�µU¶�§�·%¦�¯�«�¸ §"¶�¯�±7²¹ ¥*º6�L�����d c���P¡»�3���x¼��L��½����3�h�L� �P�s���¾ c�P�����k c�P�R�¿�������iÀ,��� �U�Á¢Â Ã.Ä°ÅÇÆpÈÉwÊ ËÍÌÎ Ï�Ð ÈÉwÊ Ë

ÑÎ Ò ÄÓÆ�Ô"Õ ËhÌÔ É Ï Ô\Õ Ë

ÑÔ É Ò

Ö ¥�×7�"�"�a£[�L�"�Z�w�s�\�a�|���"�a�k�3�Ø�F�,�x�l���,�F�k�F���F¡H��¥Ö�Ù

Page 24: theworld.comtheworld.com/~sweetser/quaternions/ps/day3.pdf6 6 < wstb/23@10ws= 3@rs/411fu du-}/f.&50> .08cpr5~wi=l3 1fa: _ _k {*w 3m/fpl. .0/41&5=l.p\50w = 3yu: ad_@.0ws3 ?x]f=l3@15op\365

8;�"��@7 D� 0�� � 4� � � 0�� � �� � ���Q D���)%.��%�M�)�"�"@7 M�A�W�(�`�[ ����� ���* =�)%7�"����%[� �h�

/ 7 � �10�� 2��� � 4� ��� 2��� � �� ����� EGF � 6� � �E B � 6� � �H��;IJ!������<��:.�) ��K���� D�=�FL D M�K��!;�� � E F � E B��ON � P F � P B������ � �! #"R$� �

/ 7 � �10�� � �%� 2��� " R ����� � � � 6� � &" R �� �98;�"��@7 D�A���7�'�!"�5�L�������"�`��%7�)�V��:7!���%�� =��%��"���)%W�(�*) � 7:9� � ���/ 7 � ��� � �%� 7:9 6� �!��� "R$����� � ��� 6� � &"R+�X$�-,��������� Z�*���Z!� �����%��)%.�C���/.7�[��0 1� 6� � 2

7:9 6� � � � �3� � �4"R+��� �`�� 0-�����W�k�p��! 0 �

05�107698:�;<>=@?

A � 0�@�B7�"������@7�"�X� " �p��! �CD �.�� >�.7�(:3�(%�..����%Y�&E7�) (�"� <���.�=���) D�C�)����@. D:7�"�`�)%7�*@.�"��.��%^���.�= M�K��!��� '..�(!��������"�`��%F�Q�������"�� A,.���G.IHKJ � J � J C JMLON'H&�)%�.?�"�G� <�B��� �� M��)��%.�)!�����05�10 F 8

:P;< ��Q

RTSVUXW�Y�Z\[^]`_aU9bdc#U�Y�ZfeVg5h Zfi�Y�jK_lkmonVprq�s�tvuxwzy|{~} �I�G�o�'�&�����4�o�3���+�4�!�4���%�%n�Pn^��w �-���'�&�����4�o��n��n��1s����&� ���%�a� ���I�����o�4�$ 9�¡� ���4�/�o����¢�£���¢G¤v�3¥P¦��+�!�/����n§ n�w©¨~ª@« ¬¨�­ ª s�t¯®±°�²« ª { } ���&���4�o������¢³���5��´µ�o�4�� ��¡�·¶x¦���¤��3���3¢>���d�!�G�¸��¢I������¤��G�4�³������n¹PnVº¼»���s�½~¾rtÀ¿ ®±°Á ª « �F¿�½ ®±°Á ª «  �  ºÄÃÅ�¼tF½~¾Æ�z¿ ®K°Á ª «  ¨�«�ªÁ ªÇ �o���4�³�4�4�%�X�����G�4�� ���(È9�&���`���4É3�!�����G¢³¤ÊË�&�!�!�G��nÌ�nVpÆÍ�ÎËs©Ï±Ð³Ñ �I�³���Ò�������4�o�����d�%Ó#�3¢Ôn

� §

Page 25: theworld.comtheworld.com/~sweetser/quaternions/ps/day3.pdf6 6 < wstb/23@10ws= 3@rs/411fu du-}/f.&50> .08cpr5~wi=l3 1fa: _ _k {*w 3m/fpl. .0/41&5=l.p\50w = 3yu: ad_@.0ws3 ?x]f=l3@15op\365

A������ � D ��.���� ��������������d��� �� ��� ��� "!$#% & �©� � ' �� � ( 2 �

*),+- . �$E D ��/0/132�4������5��6�4��7� �2��� �8 � � �9� :!�+- � � � ; �� � ( 2 �

9)<#% . �$E D �=/0/1�>2�?@2��������2�4�A�=6B4��C� �2��� �D=E �GF � � � �7H� �I� � JLK �M� KNJ � � O 2������B��PRQS2����=� �D�D �GT ���UV�3.WU��=/³.W�=?X� �2��:?X29.��=A�Y���BZ�56[4V���\�$�P��%. �DY] ��^ 2��4�[ D ����W� ���R��$����.����4.W?,2P.���/ �D=_ �a` ��.>�0�Y�7� ���2��3�³���W2�Qb?,�� �D�c � O `3dRe �0�� �Yf��g�ih D �=f\�RjZ2�/-�7� �P=�C���02��¼� �DYk � NA2�� �C� �2��Wj���2�U�/�=A2�Ql�j��� ��/I\�7/-�$E>��= �D=m �Gn �/ n ����X�=2��>��$���[�of\�=/2B���g�ph .��%p� ���GB�4>���02�� �

,o�=f\�Y�q�$�rk � ,s�����%�t?,��� �3�0�'.������gf��7� �%2�� �vu �32�jZ2�$��/1�����vBZ�R�=2��>UV�3?@wC���ix������ �3.vB[hy�&E>jZ�=���?,���[� �DYk �{z ��� 4��C/*H�.��|�$���/%�3.:�Y�C/0��4�/%�C���02���a?�4�3��BZ�5��2�?XjV�����3. D �g� �.V�C�$� �D=m �~} �=�XDqk �

�����*�*���Y�{�b�y�[������b�>���

D � c�� D �qf\�R��6�4��7� �%2C�M32�/04����02��:��M��fC����4�4>?:rJGK ���4���V� 2�� � 29� �Ä�v ��7�p�~�����d� � � � � � ����� ���� � � �] �G� 2�� ?,��/�0P��%.IH�jZ���3��4��4B��7� �2�� D �Y��� �� �=f>�g�$�7� �%2C�V��/ U���//.W3� �3�=������W���=�� 2���r

� � JGKZ¡ � �¢£ ¤� �¥¦¦§ �X¨,¨<¨¨"��¨<¨¨<¨t�X¨¨<¨,¨"�

©-ªª«

_ �L} ������ o� �=���2��o2�Q dR¬ . r­�®i® ��� �� ¯ ¨ � � �� 8

# 2 ��+ � 2 �� ° � ]�k

Page 26: theworld.comtheworld.com/~sweetser/quaternions/ps/day3.pdf6 6 < wstb/23@10ws= 3@rs/411fu du-}/f.&50> .08cpr5~wi=l3 1fa: _ _k {*w 3m/fpl. .0/41&5=l.p\50w = 3yu: ad_@.0ws3 ?x]f=l3@15op\365

c �LdR¬ . QS2��3����rF������� ���F� �� � � � � �CH� � � JaK � � �� � 2 � � �CH� � K J � � � ���� �k � ,o��4> �R2�Ql��4��3f��C� 4>����r� �©� � �� � � � � �7H� � JLK � � �� � 2 � � �qH� K J � 2�� �� � �CH� ��� � K J �

m � NA�=/0�C� �gf��0����0�'����=f>�g�$�C���02��V��/�QS2��3�=� QS2���� D �Y���<U��=/³.�rF ¢ � � � � ¤�&� ���� �3� ¤��� � �� ���¯�&�� ���� � ���� � �� � �A��LdR¬ . ?X���������r�� #C¼�p����8 ��� :P;< ��Q �� v�4�p���À8�� � :�;< ��Q ����� �� �p�

� �LdR¬ . ?X�������� � �=h>/2��A��=�3�0���� E�j�������02��1r�� #C¼� � �����r� �

¢��� � � 2�� �

¢��� � � � � �! " �

¢#�� � � �

" �%�� v�d� ��F���f� �

¢��� � � 2$� �

¢��� � � �p� 2% " �

¢&�� � � �

" �%���'� �� �p�8 �L} � ��B�/�R�=2����� ���\�Af\�=/2B����Nh"32�/04����02�� r

� � � ¨ 8:P;< ��Q

(*)�+ �-,/.�021��D �43 �0�=/G.W��6B4V�7�$�2��W�2�/4�� �2���=r

5-687-9�:�;=<'<�;><@?BADC:�E@;@<>?�F�GBHJI;@CKHL;=<'MNE@<>O

PBQ4RTS>UWVYX'Z\[-ZW]�X�ZW^`_a�V>[BZ\XbVYX�ZWc�d�V�UfeDcag^>S�hi�j

Page 27: theworld.comtheworld.com/~sweetser/quaternions/ps/day3.pdf6 6 < wstb/23@10ws= 3@rs/411fu du-}/f.&50> .08cpr5~wi=l3 1fa: _ _k {*w 3m/fpl. .0/41&5=l.p\50w = 3yu: ad_@.0ws3 ?x]f=l3@15op\365

���������� ������������������������������������� ��!�"

#�$&%('�)+*,

-/.&0(1�2�3�4

5�6&7(8�9;:�<

= 5

Page 28: theworld.comtheworld.com/~sweetser/quaternions/ps/day3.pdf6 6 < wstb/23@10ws= 3@rs/411fu du-}/f.&50> .08cpr5~wi=l3 1fa: _ _k {*w 3m/fpl. .0/41&5=l.p\50w = 3yu: ad_@.0ws3 ?x]f=l3@15op\365

����������� ����������������������

���