Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora koli cine gibanja€¦ · 1 1 u l (r)u k(r)dV = Z 1 1...

Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja

Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanjaQuantum mechanics 1 - Lecture 6

Igor Lukacevic

UJJS, Dept. of Physics, Osijek

11. travnja 2013.

Igor Lukacevic Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja


Contents

1 Svojstvene funkcije i vrijednosti

2 Normiranje u kutiji

3 Normiranje pomocu Diracove δ funkcije

4 Zatvorenost skupa svojstvenih funkcija

5 Potpunost skupa svojstvenih funkcija

6 Ocekivanje operatora p

7 Literature



Svojstvene funkcije i vrijednosti

Contents







7 Literature




Klasicna mehanika

p = mv

Kvantna mehanika

Jednadzba svojstvenih vrijednosti:

pup(r) = pup(r) , p 7→ −i~∇

−i~∇up(r) = pup(r)




−i~∇up(r) = pup(r) + separacija varijabliD.Z .=⇒

up(r) = Cei~ p·r , k

D.Z .=

p

~


uk(r) = Ce ik·r

p = ~k (neprekidne)



Normiranje u kutiji

Contents







7 Literature



Normiranje u kutiji

Pitanje

Sto mislite, mogu li se uk(r) normirati u kutiji s cvrstim zidovima, kao sto sumogle uE (r)?



Normiranje u kutiji

Pitanje

Sto mislite, mogu li se uk(r) normirati u kutiji s cvrstim zidovima, kao sto sumogle uE (r)? Ne, jer ne trnu u rubovima kutije.



Normiranje u kutiji

Pitanje

Sto mislite, mogu li se uk(r) normirati u kutiji s cvrstim zidovima, kao sto sumogle uE (r)? Ne, jer ne trnu u rubovima kutije. Treba normirati s periodicnimrubnim uvjetima.



Normiranje u kutiji

Uvjet normiranja∫ L

0

u∗k ukdVDZ= |C |2L3 ⇒ C = ± 1

L3/2e±iϕ

⇒ uk(r) =1

L3/2e ik·r normirane svojstvene funkcije operatora p



Normiranje u kutiji

Uvjet normiranja∫ L

0

u∗k ukdVDZ= |C |2L3 ⇒ C = ± 1

L3/2e±iϕ

⇒ uk(r) =1

L3/2e ik·r normirane svojstvene funkcije operatora p

Uvjet periodicnosti

uk(0) = uk(L)1D⇒ 1

L3/2e ikx ·0 =

1

L3/2e ikx ·L ⇒ e ikxL = 1

⇒ cos(kxL) = 1

⇒ kxL = 2nxπ

⇒ kx =2nxπ

L, n ∈ Z



Normiranje u kutiji

Pitanje

Koliko iznosi razmak izmedu dvije susjedne vrijednosti vektora kx i energija

E =p2

2m?



Normiranje u kutiji

Pitanje

Koliko iznosi razmak izmedu dvije susjedne vrijednosti vektora kx i energija

E =p2

2m?

∆kx =2π

L

∆E =2π2~2

mL2

(2∑i

ni + 3

), i = x , y , z



Normiranje u kutiji

Uvjeti periodicnosti diskretiziraju neprekidne svojstvene vrijednosti p i pripadneenergije.



Normiranje u kutiji

Zanimljivo!

∆kx =2π

L⇒ ∆px =

2π~L

=h

L

L ≈ ∆x ⇒ ∆x∆px ≈ h



Normiranje u kutiji

Zanimljivo!

∆kx =2π

L⇒ ∆px =

2π~L

=h

L

L ≈ ∆x ⇒ ∆x∆px ≈ h

L→∞ ⇒ ∆x →∞ ⇒ ∆px → 0 =⇒

Slobodna cestica imaneprekidne vrijednostip = ~k i E = ~2k2/2m, kojese mogu tocno izmjeriti.



Normiranje u kutiji

Normirane svojstvene funkcije i vrijednosti operatora kolicine gibanja

uk(r) =1

L3/2e ik·r

p = ~k



Normiranje pomocu Diracove δ funkcije

Contents







7 Literature




Diracova δ funkcija (ref [4])

δ(x) = 0 , x 6= 0∫V

δ(x)dx = 1 , x = 0 ∈ V




Diracova δ funkcija (ref [4])

δ(x) = 0 , x 6= 0∫V

δ(x)dx = 1 , x = 0 ∈ V

sin(gx)

πx

δ(x) = limg→∞

sin(gx)

πx




Primjer 1.

Kako izgledaju svojstvene funkcije i vrijednosti operatora polozaja?




Primjer 1.


postulat 2: polozaju cestice odgovaraoperator polozaja x

postulat 3: mjerenje polozaja, koje dajevrijednost x ′, ostavlja cesticu u stanjusvojstvene funkcije od x kojoj odgovarasvojstvena vrijednost x ′




Primjer 1.


xδ(x − x ′) = x ′δ(x − x ′)

δ(x − x ′) svojstvene funkcije od x

x ′ svojstvene vrijednosti od x




Zelimo pokazati ortonormiranost uk preko δ funkcije

∫ ∞−∞

u∗l (r)uk(r)dV =

∫ ∞−∞

C∗e−i l·r · Ce ik·rdV

= |C |2∫ ∞−∞

e i[(kx−lx )x+(ky−ly )y+(kz−lz )z]dxdydz

= |C |2[∫ ∞−∞

e i(kx−lx )xdx

∫ ∞−∞

e i(ky−ly )ydy

∫ ∞−∞

e i(kz−lz )zdz

]





∫ ∞−∞

e i(kx−lx )xdx = limg→∞

∫ g

−g

e i(kx−lx )xdx =

∣∣∣∣ i(kx − lx)x = udx = du

i(kx−lx )

∣∣∣∣= lim

g→∞

∫ gu

−gu

eudu · 1

i(kx − lx)

= limg→∞

1

i(kx − lx)

[e i(kx−lx )g − e−i(kx−lx )g

]︸︷︷︸

2i sin(kx−lx )g

= 2 limg→∞

sin g(kx − lx)

kx − lx= 2π lim

g→∞

sin g(kx − lx)

π(kx − lx)︸︷︷︸δ(kx−lx )

= 2πδ(kx − lx)





∫ ∞−∞

u∗l (r)uk(r)dV = |C |2 · 8π3δ(kx − lx)δ(ky − ly )δ(kz − lz)

= |C |2 · 8π3δ(k− l)





∫ ∞−∞

u∗l (r)uk(r)dV = |C |2 · 8π3δ(kx − lx)δ(ky − ly )δ(kz − lz)

= |C |2 · 8π3δ(k− l)

1 k = l ⇒ δ(k− l) = 1 ⇒ |C |2 · 8π3 = 1 ⇒ C = ± 1√8π3

e±iϕ

2 k 6= l ⇒ δ(k− l) = 0




Ortonormiranost svojstvenih funkcija operatora p∫ ∞−∞

u∗l (r)uk(r)dV = δ(k− l) =

{1 , k = l

0 , k 6= l

uk(r) =1√8π3

e ik·r



Zatvorenost skupa svojstvenih funkcija

Contents







7 Literature



Zatvorenost skupa svojstvenih funkcija

∑k

u∗k (r′)uk(r)

∫u∗k (r′)uk(r)d3k

δ(r − r′)Detalje izvodanaucite iz ref. [3].

Svojstvene funkcije operatora p su ortonormirane s obzirom na sumaciju iliintegraciju po svojstvenim vrijednostima k, kao i s obzirom na integraciju povektoru polozaja r.

u ∼ e ik·r

↓k i r ulaze simetricno u u



Potpunost skupa svojstvenih funkcija

Contents







7 Literature



Potpunost skupa svojstvenih funkcija

ψ(r) =

∑k

Akuk(r) ! normiranje u kutiji

∫Akuk(r)d3k ! normiranje pomocu

delta funkcije

Ak =

∫u∗k (r′)ψ(r′)dV ′

Detalje izvodanaucite iz ref. [3].



Ocekivanje operatora p

Contents







7 Literature




Postulat 4 ⇒ P(k) = |Ak |2 = A∗kAk

〈p〉 = ~∑k

kP(k) = ~∑k

∫ku∗k (r)ψ(r)dV

∫uk(r′)ψ∗(r′)dV ′

=∣∣∣− i~∇uk(r) = ~kuk(r)

/∗⇒ i∇u∗k (r) = ku∗k (r)

∣∣∣= i~

∑k

∫∇u∗k (r)ψ(r)dV


=∣∣∣∇u∗kψ = ∇ (u∗kψ)− u∗k∇ψ

∣∣∣= i~

∑k

[∫∇ (u∗kψ) dV︸︷︷︸∫

Sv(u∗k ψ)

ndS→ 0

−∫

u∗k∇ψdV

] ∫uk(r′)ψ∗(r′)dV ′

= −i~∑k

∫u∗k (r)∇ψ(r)dV





〈p〉 = −i~∫∫ [∑

k

u∗k (r)uk(r′)

]︸︷︷︸

δ(r−r′)

∇ψ(r)ψ∗(r′)dVdV ′

= −i~∫

∇ψ(r)

[∫ψ∗(r′)δ(r − r′)dV ′

]︸︷︷︸

ψ∗(r)

dV

= −i~∫ψ∗(r)∇ψ(r)dV =

∫ψ∗(r) [−i~∇]ψ(r)dV

〈p〉 =

∫ψ∗(r) p ψ(r)dV



Literature

Contents







7 Literature



Literature

Literature

1 R. L. Liboff, Introductory Quantum Mechanics, Addison Wesley, SanFrancisco, 2003.

2 D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 2nd ed., PearsonEducation, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2005.

3 L. I. Schiff, Quantum Mechanics, McGraw-Hill Book Company, New York,1949.

4 Diracova delta funkcija


http://demonstrations.wolfram.com/RepresentationsOfTheDiracDeltafunction/

Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora koli cine gibanja€¦ · 1 1 u l (r)u k(r)dV = Z 1 1...

Documents

Transcript of Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora koli cine gibanja€¦ · 1 1 u l (r)u k(r)dV = Z 1 1...