SVEU ČILIŠTE U SPLITU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, … · sveu ČiliŠte u splitu fakultet...

SVEUČILIŠTE U SPLITU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

Damir Čavka

NAPREDNO NUMERIČKO MODELIRANJE SLOŽENIH TANKOŽIČANIH STRUKTURA U

ELEKTROMAGNETIZMU

DOKTORSKA DISERTACIJA

Split, 2011.

SVEUČILIŠTE U SPLITU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

Damir Čavka

Napredno numeričko modeliranje složenih tankožičanih struktura u elektromagnetizmu

DOKTORSKA DISERTACIJA

Split, 2011.

ii

IMPRESUM/BIBLIOGRAFSKI PODACI

Doktorska disertacija je izrađena na Zavodu za elektroniku,

Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje u Splitu

Mentor: dr.sc. Dragan Poljak, red.prof.

Rad br. 66

iii

PODACI O OCJENI I OBRANI DISERTACIJE

Povjerenstvo za ocjenu doktroske disertacije:

1. Dr. sc. Antonio Šarolić, izv.prof., predsjednik (FESB, Split)

2. Dr. sc. Dragan Poljak, red. prof., mentor (FESB, Split)

3. Dr. sc. Siniša Antonijević, doc., član (PMF, Split)

Povjerenstvo za obranu doktroske disertacije:

1. Dr. sc. Antonio Šarolić, izv.prof., predsjednik (FESB, Split)

2. Dr. sc. Dragan Poljak, red. prof., mentor (FESB, Split)

3. Dr. sc. Siniša Antonijević, doc., član (PMF, Split)

4. Dr. sc. Ivica Poljak, izv. prof., član (FESB, Split)

5. Dr. sc. Ranko Goić, doc., član (FESB, Split)

Disertacija obranjena dana: 07.srpnja 2011.

iv

SAŽETAK

U ovom radu razvijen je napredni elektromagnetski model za analizu složenih tankožičanih struktura primjenom teorije antena u frekvencijskom području. Model se temelji na sustavu spregnutih integro-diferencijalnih jednadžbi Pocklington-ovog tipa za složene žičane strukture iznad ili unutar konačno vodljivog poluprostora. Utjecaj granice uzet je u obzir rigorozno preko Sommerfeld-ovih integrala. Ovako formuliran sustav integro-diferencijalnih jednadžbi je riješen Galerkin-Bubnovljevom inačicom indirektne metode rubnih elemenata (GBIMRE) uz korištenje dvočvornih i tročvornih izoparametarskih rubnih elemenata. Implementirani su koncepti kružnog magnetskog prstena i kružne magnetske antene kao naponski upravljanih pobuda složenih žičanih struktura koje se mogu postaviti i na otvoreni kraj žice. U okviru analize parametara zračečih i raspršnih žičanih struktura detaljno je analiziran proračun napona između bilo koje dvije točke homogenog poluprostora, uslijed struja induciranih duž složene žičane strukture. Na temelju Poynting-ovog teorema i GBIMRE-a razvijen je efikasan postupak proračuna uprosječene izračene snage složene žičane konfiguracije. Na koncu je detaljno proučen koncept ulazne impedancije, te su na temelju prethodne analize razvijeni različiti postupci proračuna ulazne impedancije u ovisnosti o vrsti pobude. KLJUČNE RIJEČI: teorija žičanih antena, Galerkin-Bubnovljeva indirektna metoda rubnih elemenata, elektromagnetizam, kružni magnetski prsten, kružna magnetska antena, ulazna impedancija, antena, uzemljivač, kanal groma, prijenosna linija.

v

ABSTRACT

This work deals with an advanced numerical modeling of arbitrary thin wire structures in electromagnetics using antenna theory in the frequency domain. The model is based on the set of coupled integro-differential equations of Pocklington type for arbitrary thin wire structure above or below lossy halfspace, respectively. The interface effects are taken into account through the exact Sommerfeld integral formulation. The corresponding set of Pocklington integro-differential equations, are numerically handled via the Galerkin-Bubnov variant of the indirect Boundary Element Method (GB-IBEM) featuring the use of isoparametric linear and quadratic elements for the current distribution approximation. The concepts of magnetic frill and magnetic ring antenna as voltage-controlled excitations that can be placed on the open end of wire are presented. Within the analysis of the radiated and scattered parameters of wire structures, a detail analysis of voltage, due to the current flowing along a complex wire structure, is carried out. Also, on the basis of the Poynting theorem and GB-IBEM a simple method for calculating the average radiated power of the complex wire system is developed. Finally, based on previous inquiry, a detail analysis of the input impedance is presented along with various techniques for calculating the input impedance. KEYWORDS: wire antenna theory, Galerkin-Bubnov indirect boundary element method, electromagnetics, magnetic frill, magnetic ring antenna, input impedance, antenna, grounding systems, lightning channel, transmission line.

vii

Svima koji su na bilo koji način doprinijeli nastanku ove disertacije:

I can no other answer make, but, thanks, and thanks. William Shakespeare

If we want to solve a problem that we have never solved before, we must leave the door to the unknown ajar.

Richard Feynman

viii

SADRŽAJ POPIS TABLICA .....................................................................................................................x

POPIS SLIKA..........................................................................................................................xi

1. UVOD ...............................................................................................................................1

1.1. Dosadašnja istraživanja ..................................................................................................4

1.2. Ciljevi i organizacija disertacije .....................................................................................5

1.3. Znanstveni doprinos .......................................................................................................9

2. FORMULACIJA ...........................................................................................................11

2.1. Sustav Pocklington-ovih integro-diferencijalnih jednadžbi .........................................12

2.2. Sustav Pocklington-ovih integro-diferencijalnih jednadžbi za konfiguraciju više

žica proizvoljnog oblika .....................................................................................................18

2.3. Modeliranje pobude......................................................................................................20

2.3.1. Idealni naponski izvor ............................................................................................20

2.3.2. Idealni strujni izvor.................................................................................................21

2.3.3. Upadno električno polje ravnog vala......................................................................22

2.4. Modeliranje površinske impedancije............................................................................26

2.5. Proračun električnog i magnetskog polja .....................................................................29

2.5.1. Proračun električnog polja......................................................................................29

2.5.2. Proračun magnetskog polja ....................................................................................29

3. NUMERIČKO RJEŠENJE ..........................................................................................32

3.1. Numeričko rješenje skupa spregnutih Pocklington-ovih integro-diferencijalnih

jednadžbi.............................................................................................................................32

3.1.1. Izvod nejake formulacije ........................................................................................34

3.1.2. Primjena rubnih elemenata .....................................................................................39

3.2. Proračun električnog polja............................................................................................47

3.3. Proračun magnetskog polja ..........................................................................................50

3.4. Numerički primjeri .......................................................................................................51

3.4.1. Primjer 1 – Dvije kružne antene .............................................................................51

3.4.2. Primjer 2 - Dalekovod ............................................................................................55

3.4.3. Primjer 3 – Mrežasti uzemljivač.............................................................................63

4. KONCEPT KRUŽNOG MAGNETSKOG PRSTENA I JEDNOSTAVNE

MAGNETSKE KRUŽNE ANTENE ...........................................................................69

4.1. Koncept kružnog magnetskog prstena..........................................................................69

ix

4.2. Koncept jednostavne magnetske kružne antene ...........................................................77

4.3. Veza između jednostavnog naponskog izvora i jednostavne magnetske kružne

antene..................................................................................................................................81

4.4. Numeričko rješenje i primjeri.......................................................................................83

4.4.1. Predajna antena.......................................................................................................84

4.4.2. Uzemljivač..............................................................................................................89

4.4.3. Model povratnog udara u kanalu groma.................................................................99

5. PARAMETRI ZRAČEĆE I/ILI RASPRŠNE ŽIČANE STRUKTURE................109

5.1. Proračun napona .........................................................................................................109

5.2. Proračun izračene snage .............................................................................................122

5.2.1. Energija i snaga elektromagnetskih valova ..........................................................122

5.2.2. Vremenski harmonijska EM polja........................................................................126

5.2.3. Uprosječena snaga antene.....................................................................................129

5.2.4. Proračun uprosječene snage sustava žica .............................................................130

5.3. Proračun ulazne impedancije......................................................................................136

5.4. Numerički primjeri .....................................................................................................144

5.4.1. Proračun napona ...................................................................................................144

5.4.1.1. Jednostavni uzemljivač ...........................................................................144 5.4.1.2. Složeni uzemljivač ..................................................................................146

5.4.2. Proračun ulazne impedancije................................................................................151

5.4.2.1. Uzemljivač ..............................................................................................151 5.4.2.2. Predajna antena .....................................................................................167

6. ZAKLJUČAK ..............................................................................................................176

7. LITERATURA ............................................................................................................181

PRILOG A FOURIER-OVA TRANSFORMACIJA ....................................................187

A.1. Kontinuirana Fourier-ova transformacija ...................................................................187

A.2. Diskretna Fourier-ova transformacija.........................................................................188

A.3. Približna Fourier-ova transformacija..........................................................................190

A.4. Numerički primjeri .....................................................................................................194

A.5. Literatura ....................................................................................................................205

PRILOG B NUMERIČKO RJEŠAVANJE SOMMERFELD –ovih INTEGRALA..206

B.1. Literatura ....................................................................................................................210

PRILOG C MATEMATIČKI DOKAZ ..........................................................................211

x

POPIS TABLICA

Tablica 4.1 Vrijednosti vektora desne strane za različite pobude............................................84

Tablica 4.2 Vrijednosti vektora desne strane za različite pobude u slučaju modeliranja

uzemljivača .............................................................................................................90

Tablica 5.1 Sažeti pregled načina proračuna ulazne impedancije ........................................143

xi

POPIS SLIKA

Slika 2.1 Žica proizvoljnog oblika u homogenom prostoru .....................................................13

Slika 2.2 Žica proizvoljnog oblika iznad granice dvaju homogenih poluprostora ..................16

Slika 2.3 Napajanje dipol antene idealnim naponskim izvorom ..............................................21

Slika 2.4 Idealni strujni izvor ...................................................................................................22

Slika 2.5 Upadni, reflektirani i transmitirani val .....................................................................23

Slika 2.6 Tanka žica s tankim dielektričnim izolatorom ...........................................................28

Slika 3.1 Linearni izoparametarski element i pripadna transformacija koordinata................40

Slika 3.2 Kvadrtični izoparametarski element i pripadna transformacija koordinata ............41

Slika 3.3 Konfiguracija kružnih antena 1.................................................................................51

Slika 3.4 Konfiguracija kružnih antena 2.................................................................................52

Slika 3.5 Raspodjela struje duž aktivne antene u konfiguraciji 1.............................................52

Slika 3.6 Raspodjela struje duž pasivne antene u konfiguraciji 1 ............................................53

Slika 3.7 Raspodjela struje duž aktivne antene u konfiguraciji 2.............................................53

Slika 3.8 Raspodjela struje duž aktivne antene u konfiguraciji 1 za različiti broj linearnih

elemenata...................................................................................................................54

Slika 3.9 Raspodjela struje duž aktivne antene u konfiguraciji 1 za različiti broj

kvadratičnih elemenata..............................................................................................55

Slika 3.10 Razmještaj vodiča dalekovoda.................................................................................56

Slika 3.11 Raspodjela struje na prvom vodiču .........................................................................56

Slika 3.12 Raspodjela struje na drugom vodiču .......................................................................57

Slika 3.13 Raspodjela struje na trećem vodiču ........................................................................57

Slika 3.14 Raspodjela struje na zaštitnom vodiču ....................................................................58

Slika 3.15 Raspodjela struje na prvom vodiču .........................................................................59

Slika 3.16 Raspodjela struje na drugom vodiču .......................................................................59

Slika 3.17 Raspodjela struje na trećem vodiču ........................................................................60

Slika 3.18 Raspodjela struje na zaštitnom vodiču ....................................................................60

Slika 3.19 Raspodjela struje na prvom vodiču sa ili bez provjesa ...........................................61

Slika 3.20 Raspodjela struje na drugom vodiču sa ili bez provjesa .........................................61

Slika 3.21 Raspodjela struje na trećem vodiču sa ili bez provjesa ..........................................62

Slika 3.22 Raspodjela struje na zaštitnom vodiču sa ili bez provjesa ......................................62

Slika 3.23 Postotna greška apsolutnog iznosa struje ukoliko se zanemari provjes .................63

xii

Slika 3.24 Geometrija mrežastog uzemljivača .........................................................................64

Slika 3.25 Raspodjela efektivne vrijednosti ukupnog električnog polja na površini zemlje

(50Hz centralna pobuda)...........................................................................................64

Slika 3.26 Raspodjela efektivne vrijednosti x-komponente električnog polja na površini

zemlje (50Hz centralna pobuda)................................................................................65


(0.5MHz centralna pobuda) ......................................................................................65


zemlje (0.5MHz centralna pobuda) ...........................................................................66


(0.5MHz kutna pobuda) .............................................................................................66


zemlje (0.5MHz kutna pobuda)..................................................................................67

Slika 3.31 Usporedba x komponente električnog polja na različitim frekvencijama ...............68

Slika 4.1 Monopol napajan koaksijalnom linijom i pripadajući magnetski prsten ..................70

Slika 4.2 Polje magnetskog prstena..........................................................................................77

Slika 4.3 Antena pobuđena jednostavnom magnetskom kružnom antenom .............................78

Slika 4.4 Polje kružne magnetske antene..................................................................................80

Slika 4.5 Veza između jednostavnog naponskog izvora i magnetske antene............................81

Slika 4.6 Usporedba vrijednosti vektora desne strane za različite pobude..............................85

Slika 4.7 Raspodjela struje za različite pobude (linearna aproksimacija) ..............................86

Slika 4.8 Raspodjela struje za različite pobude (linearna aproksimacija i parni broj

elemenata) .................................................................................................................86

Slika 4.9 Raspodjela struje za različite pobude (kvadratična aproksimacija) .........................87

Slika 4.10 Raspodjela struje za različite pobude (linearna aproksimacija i necentralno

napajanje) ..................................................................................................................88

Slika 4.11 Ovisnost raspodjele struje o vanjskom radijusu magnetskog prstena b..................89

Slika 4.12 Pobuda na otvorenom kraju žice .............................................................................90

Slika 4.13 Usporedba normaliziranih vrijednosti vektora desne strane za različite pobude u

slučaju modeliranja uzemljivača ...............................................................................91

Slika 4.14 Raspodjela struje na uzemljivaču od 1m za različite pobude pri 5MHz .................92

Slika 4.15 Raspodjela struje na uzemljivaču od 1m za različite pobude pri 50MHz ...............92

Slika 4.16 Raspodjela struje na uzemljivaču od 10m za različite pobude pri 5kHz.................93


xiii

Slika 4.18 Raspodjela struje na uzemljivaču od 10m za različite pobude pri 20MHz .............94

Slika 4.19 Raspodjela struje na uzemljivaču od 50m za različite pobude pri 5kHz.................95


Slika 4.21 Raspodjela struje na uzemljivaču od 1m za različite pobude pri 50MHz

(kvadratična aproksimacija) .....................................................................................96





Slika 4.24 Raspodjela struje na uzemljivaču od 10m za različite pobude pri 5MHz i

0.01 /S mσ = ............................................................................................................98


0.0001 /S mσ = ........................................................................................................98


100; 0.001 /r S mε σ= = ..........................................................................................99

Slika 4.27 Model povratnog udara munje u kanalu groma a)Model sa strujnim izvorom;

b)Model s magnetskom antenom .............................................................................101

Slika 4.28 Valni oblik struje baze ...........................................................................................102

Slika 4.29 Frekvencijski spektar struje kanala groma pri povratnom udaru 1km od baze za

idealno vodljivi kanal (linearna i logaritamska skala) ...........................................102

Slika 4.30 Frekvencijski spektar struje kanala groma pri povratnom udaru 1km od baze za

kanal s gubitcima (linearna i logaritamska skala) ..................................................103

Slika 4.31 Vremenska ovisnost struje kanala groma na različitim visinama za idealno

vodljivi kanal ...........................................................................................................104

Slika 4.32 Vremenska ovisnost struje kanala groma na različitim visinama za kanal s

gubitcima .................................................................................................................105

Slika 4.33 Vertikalno električno polje na udaljenosti od 500m za idealno vodljivi kanal .....106

Slika 4.34 Vertikalno električno polje na udaljenosti od 5km za idealno vodljivi kanal .......106

Slika 4.35 Vertikalno električno polje na udaljenosti od 500m za kanal s gubitcima............107

Slika 4.36 Vertikalno električno polje na udaljenosti od 5km za kanal s gubitcima ..............108

Slika 5.1 Antena i ekvivalentni krug .......................................................................................137

Slika 5.2 Integracija pri proračunu ulaznog napona .............................................................140

Slika 5.3 Jednostavni horizontalni uzemljivač i profil proračuna .........................................144

xiv

Slika 5.4 Napon na površini zemlje duž profila......................................................................145

Slika 5.5 Frekvencijski spektar ulaznog napona ....................................................................146

Slika 5.6 Prostorno-vremenska ovisnost napona u odnosu na daleku zemlju na žicama

mrežastog uzemljivača.............................................................................................147

Slika 5.7 Geometrija uzemljivača vjetroagregata ..................................................................148

Slika 5.8 Strujni impuls u vremenu - logaritamska skala .......................................................149

Slika 5.9 Prostorno-vremenska ovisnost napona na površini zemlje iznad uzemljivača

vjetroagregata uslijed udara munje ........................................................................150

Slika 5.10 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača proračunata s

BCINTZ....................................................................................................................152

Slika 5.11 Tranzijentna impedancija uzemljivača proračunata s BCINTZ............................152


BCMZ ......................................................................................................................153

Slika 5.13 Tranzijentna impedancija uzemljivača proračunata s BCMZ...............................153


BCPTZ .....................................................................................................................154

Slika 5.15 Tranzijentna impedancija uzemljivača proračunata s BCPTZ .............................154

Slika 5.16 Usporedba frekvencijske karakteristike ulazne impedancije uzemljivača

proračunate s različitom metodama s 20 elemenata ...............................................155

Slika 5.17 Usporedba tranzijentne impedancije uzemljivača proračunate s različitim

metodama s 20 elemenata .......................................................................................155


proračunate s različitom metodama sa 100 elemenata ...........................................156




MFZ .........................................................................................................................157


MFPTZ ....................................................................................................................157


proračunate s različitom metodama s 20 elemenata ...............................................158



xv


MAZ .........................................................................................................................159


MAPTZ ....................................................................................................................159


proračunate s različitom metodama uz aproksimaciju s 20 elemenata...................160


metodama uz aproksimaciju s 20 elemenata ...........................................................160

Slika 5.28 Usporedba tranzijentne impedancije uzemljivača od 10m proračunate s

različitim metodama uz aproksimaciju s 20 elemenata...........................................161

Slika 5.29 Usporedba tranzijentne impedancije uzemljivača od 1m proračunate s različitim

metodama uz aproksimaciju s 10 elemenata ...........................................................162


različitim metodama uz aproksimaciju s 50 elemenata...........................................162

Slika 5.31 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača za σ1=0.001S/m i

centralnu pobudu .....................................................................................................163


kutnu pobudu ...........................................................................................................164


centralnu pobudu .....................................................................................................164


kutnu pobudu ...........................................................................................................165

Slika 5.35 Tranzijentna impedancija mrežastog uzemljivača za različite vodljivosti zemlje i

mjesta pobude ..........................................................................................................166

Slika 5.36 Tranzijentni ulazni napon mrežastog uzemljivača za različite vodljivosti zemlje i

mjesta pobude ..........................................................................................................166

Slika 5.37 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije dipola napajanog idealnim

naponskim izvorom ..................................................................................................167

Slika 5.38 Usporedba frekvencijske karakteristike ulazne impedancije ................................168

Slika 5.39 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije proračunate za različite

brojeve elemenata metodom MFZ ...........................................................................169


brojeve elemenata metodom MAPTZ ......................................................................169

xvi


pobude .....................................................................................................................170

Slika 5.42 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije proračunata linearnim i

kvadratičnim elementima.........................................................................................171

Slika 5.43 Složena antena .......................................................................................................172

Slika 5.44 Usporedba frekvencijske karakteristike ulazne impedancije ................................173


brojeve elemenata metodom MFPTZ ......................................................................174

Slika 5.46 Usporedba frekvencijske karakteristike ulazne impedancije proračunate

različitim metodama ................................................................................................174


različitim metodama ................................................................................................175

Slika A.1 Strujni impuls u vremenu ........................................................................................194

Slika A.2 Frekvencijski spektar strujnih impulsa ...................................................................195

Slika A.3 Postotna razlika u amplitudi (0.5/10µs)..................................................................196

Slika A.4 Postotna razlika u amplitudi (1/50µs).....................................................................197

Slika A.5 Postotna razlika u amplitudi za FFT (T=0.1s;T=1s;T=10s)..................................199

Slika A.6 IFT signala 0.5/10µs ...............................................................................................200

Slika A.7 Postotna greška približne IFT za 0.5/10µs .............................................................201

Slika A.8 IFT signala 1/50µs ..................................................................................................202

Slika A.9 Postotna greška približne IFT za 1/50µs ................................................................203

Slika A.10 Postotna greška FFT za 0.5/10µs .........................................................................204

Slika B.1 Kontura za proračun integrala s Bessel-ovom funkcijom.......................................207

Slika B.2 Kontura za proračun integrala s Hankel-ovom funkcijom .....................................209

Slika B.3 Kontura za proračun integrala s Hankel-ovom funkcijom i Re( ) Im( )k k− − ......210

Uvod

1. UVOD

Modeliranje složenih žičanih struktura predstavlja izuzetno važno područje istraživanja

u elektromagnetizmu u zadnjih stotinjak godina, ne samo u teoriji i primjeni žičanih antena,

već i u brojnim drugim primjenama u inženjerskoj praksi.

Iako su tijekom posljednjih nekoliko desetljeća napravljeni značajni pomaci u

modeliranju elekromagnetskih žičanih struktura, može se očekivati da će se brzi napredak

u ovom području i u budućnosti nastaviti. Naime, modeliranje pruža mogućnost simulacije

elektromagnetskog ponašanja sustava za širok raspon parametara koji uključuju različite

početne i granične uvjete, tipove pobude kao i različite konfiguracije razmatranog sustava.

Tu je važno imati na umu da je za modeliranje potrebno mnogo manje vremena i značajno

manje financijskih sredstava nego što bi bilo potrebno da se napravi i testira prototip.

Postoji nekoliko mogućih klasifikacija računalnih elektromagnetskih modela [1],[2]. S

obzirom na teorijsku podlogu ti modeli se mogu podijeliti na:

• modele temeljene na teoriji krugova s koncentriranim električnim parametrima

[3],[4];

• modeli prijenosnih linija sa distribuiranim električnim parametrima, gdje se

uzima u obzir elektromagnetska sprega na niskim frekvencijama [5] – [8];

• elektromagnetske modele temeljene na teoriji antena koji sadržavaju najmanje

aproksimacija te direktno uzimaju u obzir i efekt zračenja [1],[9] – [14].

Općenito, modeli zasnovani na teoriji krugova su najjednostavniji za implementaciju,

pogotovo za složenije realne sustave, međutim s obzirom na karakter aproksimacija na

kojima se temelje daju i najmanje točne rezultate. Modeli zasnovani na teoriji prijenosnih

linija pogodni su za modeliranje velikog broja problema u EMC, ali su općenito ograničeni

na duže žice, dok za vodiče kraćih duljina u pravilu ne daju zadovoljavajuće rezultate.

Osnovni problem metode prijenosnih linija je zanemarenje efekta zračenja koji postaje

značajan na višim frekvencijama (nekoliko MHz i više), tako da je njena primjena

ograničena na niže frekvencije. Naposljetku, modeli temeljeni na teoriji antena sadrže

najmanje aproksimacija, pa su slijedom toga i najtočniji. Cijena ove točnosti je relativna

složenost matematičke formulacije kao i numeričkog rješenja. Ta složenost dovodi i do

Uvod

2

razmjerno dugog vremena računanja posebno ako se radi o dugim i složenim

konfiguracijama.

Uzimajući u obzir različite karaktere izvora elektromagnetskih pojava,

elektromagnetski modeli se mogu podijeliti na probleme kontinuiranog vala (eng.

Continuous wave problems) i tranzijentne probleme.

U skladu s tim metode rješavanja se mogu klasificirati kao frekvencijske ili vremenske

[1], [2]. Modeliranje u frekvencijskom području se uglavnom primjenjuje za više izvora ali

na istoj frekvenciji, dok je kod modeliranja u vremenskom području riječ o jednom izvoru

ali u čitavom frekvencijskom spektru [10]. U načelu je moguća transformacija iz jednog

područja u drugo, najčešće u vidu Fourierove transformacije, ali ponekad ta transformacija

nije moguća ili je pak jako teško izvediva, posebice za visokorezonatne strukture. Kriterij

odabira između ova dva pristupa isključivo ovisi o tipu razmatranog problema i nije

jednoznačno određen. Generalno se može kazati da [1]:

• vremenski pristup daje bolji uvid u fizikalnu pozadinu problema, iako se

rezonatne karakteristike isključivo vide u frekvencijskom spektru;

• nelinearnosti se lakše modeliraju u vremenskom području;

• formulacija u frekvencijskom području je relativno jednostavnija, što

omogućuje lakšu analizu složenijih struktura;

• za složene strukture dugo vrijeme računanja postaje ozbiljan problem za tehnike

u vremenskom području;

• rezultati u vremenskom području pate od problema nestabilnosti puno više nego

u frekvencijskom području.

Jedna od bitnih prednosti frekvencijskog pristupa je ta što su sve norme u području

elektromagnetizma i elektromagnetske kompatibilnosti specificirane u frekvencijskom

području, te je potrebna precizna informacija u frekvencijskom području. Zbog

jednostavnije formulacije robusni kodovi, zasnovani na metodama u frekvencijskom

području, široko su rasprostranjeni na tržištu. Naime, efikasna formulacija u

frekvencijskom području se može uspješno koristiti za mnoge aplikacije od stacionarnih do

tranzijentnih.

Uvod

3

Postavljeni modeli se mogu rješavati analitičkim i/ili numeričkim metodama. Općeniti

odnos između analitičkih i numeričkih metoda se može opisati kao [1]:

• analitičke metode omogućavaju egzaktno rješenje, ali su ograničene na uski

pojas primjena uglavnom vezanih za jednostavne geometrije s visokim

stupnjem simetrije;

• numeričke metode su primjenljive na gotovo sve znanstvene i tehničke

probleme, ali daju približne rezultate (do određenog stupnja), koji najčešće

ovise o samom modelu i prostorno i/ili vremenskoj diskretizaciji. Osnovni je

problem vrednovanje dobivenih numeričkih rezultata, kao i nerijetko dobivanje

tvz. nefizikalnih (lažnih) rješenja.

Najčešće korištene analitičke metode u elektromagnetizmu su: separacija varijabli,

razvoji u redove, konformna preslikavanja , integralne transformacije [1].

S druge strane najčešće korištene numeričke metode u elektromagnetizmu su: metoda

konačnih diferencija (MKD), metoda konačnih elemenata (MKE), metoda rubnih

elemenata (MRE) i metoda momenata (MM).

MKD i MKE spadaju u metode diskretizacije domene i načelno se koriste za rješavanje

diferencijalnih jednadžbi. MRE je metoda diskretizacije granice, a poznate su dvije

inačice: direktna i indirektna. Direktni pristup se izvodi preko koncepta polja

(diferencijalni pristup) i to kada su izvori polja poznati, dok je indirektni pristup vezan za

integraciju po nepoznatim izvorima duž granice (integralni pristup). Indirektna inačica

metode rubnih elemenata se uz metodu momenata najčešće koristi za rješavanje integralnih

i integro-diferencijalnih jednadžbi u elektromagnetizmu.

Modeliranje složenih tankožičanih struktura u elektromagnetizmu je jako složeno

područje koje konstantno zaokuplja pažnju znanstvenika i istraživača diljem svijeta. Ono

zahtjeva izuzetno poznavanje kompleksnih elektromagnetskih pojava u prirodi,

elektromagnetske teorije, te numeričkih alata koji se koriste za rješavanje tih problema. Da

bi se obuhvatio što veći skup problema, u ovom radu će se koristiti najopćenitiji pristup

preko teorije antena, budući da sami model unosi najmanje aproksimacija te stoga dovodi

do najveće točnosti. Pri odabiru domene logičan izbor pada na frekvencijsko područje, jer

je direktno vremensko modeliranje složenih struktura primjenom teorije antena

neusporedivo složenije i ograničeno na određeni skup parametara [10]. Iako na tržištu te u

znanstvenoj i stručnoj literaturi postoji mnoštvo robusnih i dobrih kodova, postoje određeni

Uvod

4

problemi koji još uvijek nisu riješeni na zadovoljavajući način, o čemu će više biti riječi u

nastavku teksta. Pri odabiru metodologije rješavanja, jedini izbor pada na numeričke

metode budući da su analitičke metode primjenjive samo na jednostavnije geometrije s

visokim stupnjem simetrije.

1.1. Dosadašnja istraživanja

Može se kazati da je modeliranje elektromagnetskih pojava započelo kad je James

Clerk Maxwell formulirao svoje jednadžbe elektrodinamike sredinom 19. stoljeća [15]. Od

tada do danas objavljeno je nebrojeno radova i istraživanja iz širokog područja

elektromagnetizma. Zbog toga će se u ovom radu izložiti samo kratki pregled dijela radova

usko vezanih uz temu doktorske disertacije, a tiču se modeliranja tankožičanih struktura u

elektromagnetizmu, i to u frekvencijskom području.

Razvoj modela počinje s formuliranjem integro-diferencijalne jednadžbe, u

frekvencijskom području, za struju koja protječe ravnom tanko-žičanom antenom, tvz.

Pocklington-ove jednadžbe koju je istoimeni autor izveo krajem 19. stoljeća [16]. Henry C.

Pocklington je također u tom radu predstavio i prvo približno rješenje postavljene

jednadžbe. Veliki korak naprijed u tridesetim godinama 20. stoljeća ostvario je Erik Hallen

koji je iz Pocklington-ove jednadžbe izveo novi tip jednadžbe strogo vezan za tanko-žičane

strukture.

Numeričko modeliranje žičanih struktura u frekvencijskom području je započelo

šezdesetih godina prošlog stoljeća radom K. K. Mei-a [17]. U radu su izvedene određene

varijante Pocklington-ove i Hallen-ove jednadžbe, te predložene numeričke metode

njihovog rješavanja. Danas se te metode nazivaju kolokacijom u točkama, ili

podešavanjem u točkama (eng. point matching). Također iz tog doba valja izdvojiti i

radove Harrington-a [18]-[21] koji je postavio temelje suvremene metode momenata.

Značajni doprinosi numeričkom rješavanju spomenutih jednadžbi ostvareni su

sedamdesetih godina radovima Silvester-a i Chen-a [22], [23] koji su predložili tzv. jaku

formulaciju konačnim elementima, dok su Butler i Wilton [24], [25] predložili nekoliko

tehnika metode momenata za rješavanje Pocklington-ove i Hallen-ove jednadžbe.

U posljednjih petnaestak godina metoda rubnih elemenata često se koristi za rješavanje

problema u elektromagnetizmu [26]. Galerkin-Bubnovljeva inačica indirektne metode

rubnih elemenata - GBIMRE (eng. Galerkin-Bubnov Indirect Boundary Element Method –

GB-IBEM) predstavljena u [27] postala je vrlo prikladna metoda rješavanja integralnih i

Uvod

5

integro-diferencijalnih jednadžbi kombinacijom klasičnih rubnih metoda rješavanja

integralnih jednadžbi i nekih numeričkih procedura proizašlih iz metode konačnih

elemenata. Naime, do tada integro-diferencijalne jednadžbe za tanke žice su se uglavnom

rješavale pomoću tvz. projektivnih metoda [20]-[23] često zvanih jakim formulacijama. Pri

tome se javlja problem kvazisingularnosti Green-ove funkcije [24], [25]. Primjenom

GBIMRE-a taj problem se eliminira te se dobiva tzv. nejaka formulacija.

Usprkos mnogim metodama koje se danas koriste u modeliranju elektromagnetskih

pojava, nema definitivnog odgovora na pitanje koja je metoda općenito najbolja. Primat

koji se daje određenoj metodi ovisi o fizikalno-matematičkim aspektima formulacije

promatranog problema. Ipak, metoda momenata je najraširenija i najprihvaćenija metoda

za rješavanje problema formuliranih integralnim jednadžbama [28]. Izvrstan pregled

numeričkih metoda korištenih u računalnom elektromagnetizmu do kraja 80-tih godina 20.

stoljeća se može pronaći u [29].

Osim u pogledu numeričke metodologije rješavanja, značajni doprinosi su ostvareni i u

samoj formulaciji. Najznačajniji napredak se odnosi na proširenje originalne Pocklington-

ove formulacije na problem koji uključuje konačno vodljivi poluprostor [30]-[34].

Od važnijih primjena teorije tankožičanih antena u elektromagnetizmu valja izdvojiti:

antene i antenski nizovi iznad ili ispod zemlje [11], [12]; prijenosne linije iznad (zračni

vodovi) [1], [7], [27] i ispod (kabeli) zemlje [8], [35], [36]; sustavi za zaštitu od udara

groma, od gromobrana do uzemljivača [14], [37]-[39]; kanal groma [13], [40], izloženost

ljudi elektromagnetskom zračenju [1].

Analiza žičanih antena primjenom integralnih jednadžbi i pripadajuća primjena u

elektromagnetizmu je pregledno izložena i objašnjena u [1].

1.2. Ciljevi i organizacija disertacije

U ovoj doktorskoj disertaciji razvijen je napredni model za analizu složenih žičanih

struktura u elektromagnetizmu primjenom teorije antena i tankožičane aproksimacije u

frekvencijskom području. Model se temelji na sustavu spregnutih integro-diferencijalnih

jednadžbi Pocklington-ovog tipa, za složene žičane strukture iznad ili unutar konačno

vodljivog poluprostora. Utjecaj granice poluprostora uzet je u obzir preko Somerfeld-ovih

integrala. Kao numerički alat za rješavanje ovako izvedenog sustava integro-

Uvod

6

digerencijalnih jednadžbi po prvi put je upotrebljena Galerkin-Bubnovljeva inačica

indirektne metode rubnih elemenata. U prvoj fazi kao pobuda se koristi već dobro poznati

izvori poput idealnog naponskog izvora, korištenog u analizi antena, idealnog strujnog

izvora, najčešće korištenog u analizi sustava za zaštitu od udara munje, te upadnog ravnog

vala kao izvora elektromagnetske smetnje, a sve u svrhu kvalitetnog testiranja predloženog

modela. Valjanost tako dobivenih rezultata provjerena je usporedbom s rezultatima iz

relevantne literature, najčešće dobivenim nekom od varijanti metode momenata, kao i

usporedbom s rezultatima dobivenim komercijalnim softverima poput široko

rasprostranjenog i opće prihvaćenog NEC-a (Numerical Electromagnetic Code) [41],

također temeljenog na metodi momenata.

Poznavanje na taj način proračunate raspodjele struje po proizvoljnoj žičanoj strukturi

je osnova za proračun ostalih parametara od interesa. Ovisno o karakteru promatranog

problema, ti parametri mogu biti izračeno električno i/ili magnetsko polje, napon u odnosu

na udaljenu zemlju, uprosječena izračena snaga, ulazna impedancija i međuimpedancija.

Za proračun izračenog polja koristi se izvorni sustav Pocklington-ovih jednadžbi za

električno polje koji vrijedi za sve točke poluprostora.

U svrhu što kvalitetnije analize proizvoljnih žičanih struktura, koncept kružnog

magnetskog prstena, poznat i primijenjen jedino u analizi jednostavnih linearnih antena

[12], [42]-[44], primijenio se kao pobuda složene žičane strukture koji se. Za razliku od

uobičajenih izvora naponske pobude, poput jednostavnog naponskog izvora (eng. delta

gap) [29], magnetski prsten se može postaviti bilo gdje na žici, uključujući i otvoreni kraj

žice, bez da izazove numeričke probleme i nestabilnosti predložene numeričke tehnike u

vidu nefizikalnih rješenja. Na taj način se značajno proširila primjenjivost naponskih

pobuda u simuliranju i modeliranju fizičkih procesa. Upotrebom kružnog magnetskog

prstena se na jednostavan način može proračunati ulazna impedancija složene žičane

strukture kao omjer napona i struje na mjestu pobude, bez obzira gdje se pobuda nalazila.

Posebna pozornost se posvetila slučaju kada se pobuda nalazi na otvorenom kraju žice, što

je čest slučaj u modeliranju kanala groma, gromobrana i uzemljivača, a do sada nije bio

riješen na zadovoljavajući način.

Na osnovu magnetskog prstena predstavljen je novi koncept naponske pobude žičanih

struktura, temeljen na jednostavnoj kružnoj anteni kojom protječe magnetska struja, a koji

se također može postaviti bilo gdje na žici bez da izazove numeričke nestabilnosti u

primjenjenom numeričkom postupku. Slično kao u slučaju kružnog magnetskog prstena, na

Uvod

7

jednostavan način je moguće proračunati ulaznu impedanciju, kao omjer napona i struje na

mjestu pobude, bez obzira gdje se ta pobuda nalazila.

Proračun napona između dviju točaka poluprostora se matematičkim i numeričkim

postupcima pojednostavio i ubrzao tako da nije više potrebno provoditi zahtjevnu linijsku

integraciju ukupnog električnog polja.

Polazeći od Poynting-ovog teorema izveden je jednostavni postupak za proračun

uprosječene izračene snage proizvoljne žičane strukture, pobuđene proizvoljnom pobudom,

temeljen na Galerkin-Bubnovljovoj inačici indirektne metode rubnih elemenata. Pomoću

tako proračunate snage zajedno s konceptom inducirane elektromotorne sile predstavljena

je metoda za proračun ulazne impedancije, za razne vrste pobude, kao i položaja pobude,

što uključuje i otvoreni kraj žice.

Naposljetku je analiziran postupak proračuna ulazne impedancije složene tankožičane

strukture, te je na osnovu prethodne analize predstavljeno nekoliko načina proračuna

ulazne impedancije koji ovise o vrsti pobude te o primjeni modela. Rezultati predloženih

postupaka uspoređeni su međusobno kao i sa rezultatima dostupnim u literaturi.

Valja napomenuti da su svi izrazi i razmatranja općenitog karaktera, što znači da mogu

biti primijenjeni na brojne probleme u elektromagnetizmu, uključujući antene i antenske

nizove iznad ili ispod zemlje, prijenosne vodove i kabele, sustave za zaštitu od udara

groma i sl. Konačno, u svrhu analize tranzijenata (prijelaznih pojava), spektari izračunatih

vrijednosti u frekvencijskom području su se određenim oblikom Fourier-ove

transformacije prebacili u vremensko područje.

Doktorska disertacija je organizirana u šest poglavlja, uključujući uvod i zaključak, te

tri priloga.

U drugom poglavlju iznosi se detaljna matematička formulacija sustava Pocklington-

ovih integro-diferencijalnih jednadžbi za konfiguraciju više žica proizvoljnog oblika u

prisustvu granice vodljivog poluprostora, u frekvencijskom području. Pri tome se utjecaj

granice dvaju poluprostora uzima u obzir rigorozno preko Sommerfeld-ovih integrala.

Također su opisane tri osnovne vrste pobude korištene u analizi tankožičanih struktura:

idealni naponski izvor, idealni strujni izvor i upadni ravni val.

Numeričko rješenje sustava predstavljenog u drugom poglavlju tema je trećeg

poglavlja. Numeričko rješenje se temelji na Galerkin-Bubnovljevoj inačici indirektne

metode rubnih elemenata koja je po prvi puta korištena na ovako formuliran sustav

Pocklington-ovih integro-diferencijalnih jednadžbi. U okviru ovog poglavlja predstavljena

Uvod

8

su tri primjera: dvije kružne antene, dalekovod i mrežasti uzemljivač, kojima je,

usporedbom s rezultatima drugih metod,a pokazana točnost i valjanost predložene

metodologije. Primjeri su odabrani na način da obuhvate što više pojmova i parametara

obrađenih u drugom i trećem poglavlju: zakrivljenost žice, sve tri metode pobude, proračun

električnog polja i sl.

Četvrto poglavlje sadrži opis koncepta kružnog magnetskog prstena kao alternative

jednostavnom naponskom izvoru pri pobudi žičane strukture. Na temelju tog koncepta

izvodi se i predstavlja koncept kružne magnetske antene kao naponsko upravljane pobude

složene žičane strukture. U okviru poglavlja se na ilustrativnim primjerima antene,

uzemljivača i kanala groma pokazala opravdanost upotrebe kružnih magnetskih pobuda

(prstena i antene), kao pobuda koje se mogu koristiti u mnogim aplikacijama, posebice u

slučajevima kada se pobuda postavlja na otvoreni kraj žice.

U petom poglavlju se opisuju i obrađuju određeni parametri zračeće i/ili raspršne

strukture. Pri tome se prvenstveno misli na proračun napona, proračun uprosječene

izračene snage i proračun ulazne impedancije. Kod proračuna napona matematičkim i

numeričkim postupcima su izvedene relacije koje značajno olakšavaju i ubrzavaju

proračun. U dijelu proračuna snage iz Poynting-ovog teorema, uz pomoć Galerkin-

Bubnovljeve inačice indirektne metode rubnih elemenata, izvedena je jednostavna relacija

za proračun uprosječene izračene snage složene žičane strukture, bez obzira na pobudu i

mjesto pobude. U trećem dijelu petog poglavlja izložen je detaljni opis pojma ulazne

impedancije, kao i opis četiri osnovna načina proračuna ulazne impedancije koji ovise

prvenstveno o pobudi žičane strukture koja je usko vezana za primjenu. Proračuni ulazne

impedancije se temelje na opisanom proračunu napona, izračene snage i numeričkom

rješenju razrađenom u trećem poglavlju. Poglavlje pet, kao i poglavlja tri i četiri, završava

s nizom ilustrativnih numeričkih primjera kojima se pokazuje valjanost i točnost prethodno

opisanih postupaka.

Konačno, šesto poglavlje donosi zaključna razmatranja zajedno sa smjernicama za

daljnji rad.

U okviru priloga A opisana je aproksimacija Fourier-ove transformacije koja se

koristila u okviru ove disertacije pri analizi tranzijentnih pojava. Aproksimacija je

temeljena na aproksimaciji funkcije Lagrange-ovim interpolacijskim polinomom kroz K

točaka. Aproksimacija je testirana na primjeru signala korištenih u ovom radu, te je

prezentirana detaljna analiza približnog rješenja u odnosu na analitičko te rješenje

dobiveno klasičnim algoritmom brze Fourier-ove transformacije (FFT).

Uvod

9

Prilog B donosi kratki opis numeričkog integriranja Sommerfeld-ovih integrala, dok

prilog C prezentira dokaz jednog izraza korištenog pri numeričkom rješenju sustava

Pocklington-ovih integro-diferencijalnih jednadžbi.

1.3. Znanstveni doprinos

Temeljni znanstveni doprinos ove doktorske disertacije je razvoj naprednog i

cjelovitog modela za stacionarnu i tranzijentnu analizu složenih žičanih struktura u

elektromagnetizmu, smještenih u homogeni poluprostor, temeljenog na teoriji žičanih

antena. U okviru razvoja takvog modela ostvareni su slijedeći znanstveni doprinosi:

• Sustav spregnutih integro-diferencijalnih jednadžbi Pocklington-ovog tipa, za

slučaj složene žičane strukture proizvoljnog oblika iznad ili unutar homogenog

poluprostora, gdje je utjecaj granice uzet u obzir preko Sommerfeld-ovih

integrala, po prvi puta je riješen Galerkin-Bubnovljevom inačicom indirektne

metode rubnih elemenata, što je napredak u odnosu na dosadašnje radove, gdje

je GBIMRE metodom tretirana jednostavnija konfiguracija proizvoljnih žica

bez spoja 3 i više žica i gdje je utjecaj granice uzet u obzir preko Fresnelovih

refleksijskih koeficijenata [45].

• Koncept kružnog magnetskog prstena primijenjen je u vidu naponski upravljane

pobude proizvoljne žičane strukture, koja se može postaviti bilo gdje na žicu,

uključujući i otvoreni kraj žice, što do sada nikad nije napravljeno, čak ni za

jednostavne žičane konfiguracije. Naime, kružni magnetski prsten je do sad

isključivo upotrebljen kao naponski upravljana pobuda jednostavnih linearnih

antena [12].

• Predstavljen je koncept jednostavne kružne magnetske antene kao naponski

upravljane pobude proizvoljne žičane strukture, koju je moguće postaviti bilo

gdje na žicu, uključujući i otvoreni kraj žice. Valja napomenuti da koncept

jednostavne magnetske kružne antene do sada nije korišten kao pobuda žičane

strukture.

• Proračun napona između dvije točke homogenog poluprostora uslijed

protjecanja struje složenom žičanom strukturom, sveden na integriranje

Uvod

10

električnog polja, pojednostavljen je i uvelike ubrzan primjenom odgovarajućih

matematičkih i numeričkih postupaka na originalni integral i izraz za električno

polje definiran integro-diferencijalnom jednadžbom Pocklington-ovog tipa.

Doprinos se očituje u tome što se u literaturi mogu pronaći slična cjelovita

pojednostavljenja i ubrzanja samo za slučaj jednostavnih horizontalnih ili

vertikalnih žica [46], [47].

• Polazeći od Poynting-ovog teorema i korištenjem GBIMRE izveden je

jednostavni postupak za proračun uprosječene izračene snage proizvoljne

žičane strukture pobuđene danom pobudom. Sličan postupak se može pronaći u

[48] i [49] ali je ograničen na ravne i paralelne žice iznad zemlje pobuđene

jednostavnim naponskim izvorom na sredini žice. Doprinos se tako sastoji u

poopćenju izvorne ideje na slučaj proizvoljne žičane strukture, bez obzira na

pobudu i mjesto pobude;

• Daljnji doprinos rada je određivanje ulazne impedancije proizvoljne žičane

strukture, neovisno o karakteru pobude iz dobivene uprosječene izračene snage

poopćenjem koncepta inducirane elektromotorne sile (eng. Induced EMF

method) [50]. Do sada se ovaj postupak koristio samo za jednostavne strukture

sastavljene od ravnih i paralelnih žica, [48] [49], najčešće centralno napajane

dipole. Na ovaj način postupak je poopćen i primjenjiv na brojne druge

probleme. Također, u okviru određivanja ulazne impedancije razvili su se

različiti postupci proračuna ulazne impedancije u ovisnosti o vrsti pobude,

prvenstveno ukoliko se pobuda postavlja na otvorni kraj žice.

Formulacija

11

2. FORMULACIJA

U ovom poglavlju se iznosi osnovni matematički model za analizu složenih žičanih

struktura u elektromagnetizmu temeljen na teoriji tankožičanih antena u frekvencijskom

području. Pri tome, tankožičanom aproksimacijom podrazumijeva se da je:

• radijus žice mnogo manji od najmanje valne duljine s kojom se ulazi u

proračun;

• radijalne struje na krajevima i kružne struje oko osi žice su zanemarive,

odnosno pretpostavlja se da postoje samo aksijalne struje po površini

žice;

• promjene aksijalnih struja po poprečnom presjeku su zanemarive;

• površinska aksijalna struja zamjenjuje se linijskom strujom u osi cilindra,

s tim da se u svim izrazima zadržava dimenzija poprečnog presjeka žice.

Ova posljednja aproksimacija prema nekim autorima smatra se aproksimacijom tanke

žice u užem smislu.

U skladu s tim pretpostavkama, svojstva takve žičane strukture su u prvom redu

određena aksijalnom raspodjelom struje po žicama. Te struje su određene sustavom

spregnutih Pocklington-ovih integro-diferencijalnih jednadžbi za žice proizvoljnog oblika.

Ovaj sustav Pocklington-ovih jednadžbi može se izvesti iz Maxwell-ovih jednadžbi tako da

se električno polje izrazi preko magnetskog vektorskog i električnog skalarnog potencijala

uz primjenu Lorentz-ovog baždarnog uvjeta te zadovoljavanjem uvjeta za kontinuitet

tangencijalnih komponenti električnog polja na površini žice.

Sustav Pocklington-ovih jednadžbi za složenu žičanu strukturu jednostavno slijedi

proširenjem Pocklington-ove integro-diferencijalne jednadžbe za jednu žicu proizvoljnog

oblika iznad ili ispod granice dvaju homogenih poluprostora. Dakle, u svrhu postavljanja

cjelovitog matematičkog modela za složenu žičanu strukturu iznad ili ispod granice dvaju

homogenih poluprostora, najpogodnije je započeti sa jednostavnom konfiguracijom jedne

proizvoljne žice u homogenom prostoru s gubicima. Takav se model, zatim, proširuje na

homogeni poluprostor, tj. uzima se u obzir utjecaj granice dviju sredina. Naposljetku,

model se generalizira na više proizvoljno postavljenih žica, iznad ili ispod granice dvaju

homogenih poluprostora.

Formulacija

12

2.1. Sustav Pocklington-ovih integro-diferencijalnih jednadžbi

Polazeći od prve Maxwell-ove jednadžbe za harmonijski promjenljive vektore

električnog i magnetskog polja [1]:

xE j Bω∇ = −

(2.1)

slijedi da se električno polje dade izraziti preko magnetskog vektorskog i električnog

skalarnog potencijala:

E j Aω ϕ= − −∇

(2.2)

Primjenom Lorentz-ovog baždarnog uvjeta [1]:

0effA jωµε ϕ∇ + =

(2.3)

raspršno električno polje može se izraziti isključivo pomoću vektorskog potencijala A

:

1

( )sct

eff

E j A Aj

ωωµε

= − + ∇ ∇

(2.4)

gdje je effε kompleksna permitivnost sredine:

0eff r jσ

ε ε εω

= − (2.5)

pri čemu je εr relativna permitivnost, σ vodljivost medija, a ω kružna frekvencija.

Vektorski potencijal definira se partikularnim integralom [1]:

0( ) ( ') ( , ') ' '4 C

A s I s g s s s dsµ

π= ∫

(2.6)

Formulacija

13

gdje je I(s’) inducirana struja uzduž žice, 's

je jedinični vektor tangente u točci izvora

( ' ( ', ', ')s f x y z= ) a 0 ( , ')g s s je odgovarajuća Green-ova funkcija za neograničeni medij s

gubicima oblika:

0

00

( , ')jkRe

g s sR

−

= (2.7)

gdje je k konstanta propagacije u mediju s gubicima:

0 effk ω µ ε= (2.8)

a R0 predstavlja udaljenost od točke izvora do točke promatranja ( ( , , )s f x y z= ) (slika 2.1):

( ) ( ) ( )2 2 2 2

0 ' ' 'R x x y y z z a= − + − + − + (2.9)

Slika 2.1 Žica proizvoljnog oblika u homogenom prostoru

Kombiniranjem jednadžbi (2.4) do (2.9), nakon određenih matematičkih postupaka, slijedi

izraz za raspršno električno polje oblika:

Formulacija

14

20

'

1( ') ' ( , ') '

4sct

eff C

E I s s k g s s dsj πωε

= ⋅ ⋅ + ∇∇ ∫

(2.10)

Za slučaj konačno vodljive žice totalno tangencijalno polje koje se sastoji od pobudnog

polja excE

i raspršnog polja sctE

se može izraziti preko struje na žici ( )I s i površinske

impedancije po jedinici duljine žice SZ :

( ) ( )exc sctSs E E Z I s⋅ + = ⋅

(2.11)

gdje s

predstavlja jedinični vektor tangente u točci promatranja. Izraz i pojašnjenje

koncepta površinske impedancije po jedinici duljine SZ izneseni su u poglavlju 2.4.

U slučaju idealno vodljive žice totalno polje na površini žice iščezava, tj. jednadžba (2.11)

poprima jednostavniji oblik:

( ) 0exc scts E E⋅ + =

(2.12)

Uvrštavanjem izraza za raspršno polje (2.10) u jednadžbu (2.11) slijedi Pocklington-ova

integro-diferencijalna jednadžba po nepoznatoj raspodjeli struje duž konačno vodljive žice

u homogenom mediju s gubicima:

2tan 0

'

1( ) ( ') ' ( , ') ' ( )

4exc

S

eff C

E s I s s s k g s s ds Z I sj πωε

= − ⋅ ⋅ ⋅ + ∇∇ + ⋅ ∫

(2.13)

gdje je tan ( )excE s tangencijalna komponenta pobudnog polja.

Integralna jednadžba za neograničeni medij (2.13) može se proširiti na slučaj žice

proizvoljnog oblika smještene u blizini granice dviju homogenih sredina modificiranjem

jezgre integralne jednadžbe na način da se uzme u obzir polje reflektirano od granice

sredina.

Mada postoje brojne aproksimacije primjenom različitih refleksijskih koeficijenata [1],

[30], [31], [45] u ovom se radu, u svrhu što preciznijeg proračuna, koristi rigorozni pristup

preko Sommerfeld-ovih integrala [34].

Formulacija

15

Komponenta pobudnog polja dade se napisati u obliku sume upadnog polja incE

i polja

reflektiranog od granice sredina refE

:

exc inc refE E E± ± ±= +

(2.14)

gdje (+) označava slučaj kada je žičana struktura iznad granice medija (najčešće u zraku)

dok (-) slučaj kada je struktura ispod granice (najčešće u zemlji).

Uvrštavanjem (2.14) u (2.11) dobiva se:

( ) ( )sct inc refSs E s E E Z I s± ± ±⋅ = − ⋅ + + ⋅

(2.15)

pri čemu su komponente električnog polja upadnog odnosno reflektiranog vala, redom

oblika [34]:

20

'

1( ') ' ( , ') '

4inc

eff C

E I s s k g s s dsj πωε

± ± ±

±

= ⋅ ⋅ + ∇∇ ∫

(2.16)

2 22

2 2' '

1( ) ( ') * ( , *) ' ( ') ( , ') '

4

ref

si

eff C C

k kE s I s s k g s s ds I s G s s ds

j k kπωε±

± ±± ±

± + −

− = ⋅ ⋅ + ∇∇ + ⋅ +

∫ ∫∓

(2.17)

gdje je k± konstanta propagacije za medij s gubicima u kojem se nalazi struktura

definirana izrazom (2.8) dok k∓ predstavlja konstantu propagacije medija s druge strane

granice također općenito definiranu izrazom (2.8).

( , *)ig s s± je Green-ova funkcija koja proizlazi iz teorije preslikavanja:

*

( , *)*

jk R

i

eg s s

R

±−

± = (2.18)

pri čemu je *R udaljenost od točke na preslikanoj žici do točke promatranja kako je

prikazano na slici 2.2:

Formulacija

16

( ) ( ) ( )2 2 2 2* ' ' 'R x x y y z z a= − + − + + + (2.19)

dok je *s

jedinični vektor tangente u točci izvora preslikane žice.

Slika 2.2 Žica proizvoljnog oblika iznad granice dvaju homogenih poluprostora

Jezgra ( , ')sG s s±

može se napisati u obliku:

( ) ( ) ( ) ( )( , ') ' 'H H H V Vs x z z z z zG r r e s G e G e G e e s G e G eρ ρ φ φ ρ ρ± ± ± ± ± ±= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

(2.20)

i predstavlja korekcijski (atenuacijski) član koji sadrži Sommerfeldove integrale i sastoji se

od komponenti za horizontalne (H) i vertikalne (V) dipole oblika [34], [41]:

2

2V RG k Vz

ρρ

± ±

∂=

∂ ∂∓ (2.21)

Formulacija

17

2

2 22

V RzG k k V

z± ± ±

∂= +

∂ ∓ (2.22)

2

2 22

cosH R RG k V k Uρ ϕρ

± ± ± ± ±

∂= +

∂ (2.23)

2 21sinH R RG k V k Uφ φ

ρ ρ± ± ± ± ±

∂= − +

∂ (2.24)

4 cosH Vz effG j Gρπωε φ± ± ±= − (2.25)

Pri tome su Sommerfeld-ovi integrali dani izrazima [34], [41]:

'1 0

0

( ) ( )z zRU D e J dγλ λρ λ λ±

∞− +

± = ∫ (2.26)

'2 0

0

( ) ( )z zRV D e J dγλ λρ λ λ±

∞− +

± = ∫ (2.27)

gdje je:

( )

2

1 2 21

2 2( )

kD

k kλ

γ γ γ±

+ − + −

= −+ +

(2.28)

( )2 2 2 2 2

1

2 2( )D

k k k kλ

γ γ γ− + + − + −

= −+ +

(2.29)

i

2 2kγ λ± ±= − (2.30)

U jednadžbama (2.26) i (2.27) J0 je Bessel-ova funkcija prve vrste nultog reda. Valja

napomenuti da postoji nekoliko oblika Sommerfeld-ovih integrala koji se međusobno

razlikuju u brzini konvergencije i efikasnosti proračuna za različite vrijednosti argumenata

Formulacija

18

[51], [52]. Oblik Sommerfeld-ovih integrala koji se koristi u ovom radu pruža mogućnost

brze konvergencije rješenja kada se ρ i z+z' približavaju nuli. Dobar pregled raznih oblika

Sommerfeld-ovih integrala je dan u [34], [41] i [53] Kratak opis integracije Sommerfeld-

ovih integrala je dan u prilogu B.

Konačno, kombiniranjem jednadžbi (2.15) do (2.17) dobiva se Pocklington-ova

integro-diferencijalna jednadžba za nepoznatu raspodjelu struje uzduž žičane antene

proizvoljnog oblika iznad ili ispod granice dvaju homogenih poluprostora:

20

'

2 22

2 2'

'

( ') ' ( , ') '

1( ) ( ') * ( , *) ' ( )

4

( ') ( , ') '

C

excs i S

eff C

s

C

I s s s k g s s ds

k kE s I s s s k g s s ds Z I s

j k k

I s s G s s ds

πωε

± ±

±± ±

± + −

±

⋅ ⋅ ⋅ + ∇∇ +

− = − + ⋅ ⋅ ⋅ + ∇∇ + + ⋅ + + ⋅ ⋅

∫

∫

∫

∓

(2.31)

Iz jednadžbe (2.31) lako se deduciraju odgovarajuće integro-diferencijalne jednadžbe za

specijalni slučaj ravne vertikalne, horizontalne žice, kružne žičane petlje, ili pak helikoidne

spirale.

2.2. Sustav Pocklington-ovih integro-diferencijalnih jednadžbi za konfiguraciju više žica proizvoljnog oblika

U slučaju konfiguracije više žica proizvoljnog oblika potrebno je postaviti sustav

spregnutih integro-diferencijalnih jednadžbi. Budući da sve žice djeluju jedna na drugu

potrebno je sumirati utjecaje svih NW žica (svake n-te žice na svaku m-tu žicu). Na taj

način se polazna Pocklington-ova jednadžba (2.31) za električno polje jedne proizvoljne

žice proširuje na slučaj NW žica proizvoljnog oblika:

Formulacija

19

20

'

2 22

2 21 '

'

( ') ' ( , ') '

1( ) ( ') * ( , *) ' ( )

4

( ') ( , ') '

1,2,.

n

W

n

n

n n m n

C

Nexcsm n n i n m n S m

neff C

sn m n

C

I s s s k g s s ds

k kE s I s s s k g s s ds Z I s

j k k

I s s G s s ds

m

πωε

± ±

±

± ±=± + −

±

⋅ ⋅ ⋅ + ∇∇ +

− = − + ⋅ ⋅ ⋅ + ∇∇ + + ⋅ + + ⋅ ⋅

=

∫

∑ ∫

∫

∓

.. WN

(2.32)

Na spoju dva ili više segmenata moraju se zadovoljiti svojstva kontinuiteta za električno

polje [54], što se osigurava implementiranjem prvog Kirchhoff-ovog zakona:

1

0n

kk

I=

=∑ (2.33)

i jednadžbe kontinuiteta za harmonijski promjenljive veličine:

J jωρ∇ = −

(2.34)

koja se da napisati u obliku:

l

Ij q

sω

∂= −

∂ (2.35)

pa je drugi uvjet kontinuiteta dan izrazom:

1 2

1 2' ' 'n

nna spoju na spoju na spoju

II I

s s s

∂∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂ (2.36)

Vrijedi istaknuti kako uvjet (2.33) osigurava efikasno tretiranje diskontinuiteta linijske

gustoće naboja kod prolaska s jednog vodiča na drugi preko spoja više žica.

Za slučaj otvorenog kraja žice, ukupna struja iščezava, tj. prisilni rubni uvjet glasi da je

struja na kraju žice nula.

Formulacija

20

2.3. Modeliranje pobude

Da bi se rješavanjem Pocklington-ove jednadžbe odredila struja po žičanoj strukturi

potrebno je na neki način izraziti pobudu u vidu električnog polja tangencijalnog na tu

strukturu, tj. na podesan način izraziti ( )excsmE s u jednadžbi (2.32). To znači da je lijeva

strana jednadžbe (2.32) uvijek ista i neovisna o karakteru pobude, pa samim time i primjeni

modela.

Budući da se proizvoljna žičana struktura u elektromagnetizmu može smatrati i kao

izvor ali i kao primalac elektromagnetskog vala pobuda se tada modelira i realizira na više

načina. Ukoliko se žičana struktura smatra izvorom elektromagnetskog vala tada se pobuda

realizira u vidu idealnog naponskog izvora (u antenskim primjenama) i/ili idealnog

strujnog izvora (u slučaju modeliranja sustava za zaštitu od munje). U slučaju pak

razmatranja žičane strukture kao primaoca elektromagnetskog vala tada se kao pobuda

koristi električno polje upadnog ravnog vala.

2.3.1. Idealni naponski izvor

Napajanje ravne žice idealnim naponskim izvorom (eng. delta gap), kako je prikazano

na slici 2.3 je najjednostavniji i najrašireniji način pobude u modeliranju žica kao izvora

elektromagnetskog polja [55], [56].

Formulacija

21

Slika 2.3 Napajanje dipol antene idealnim naponskim izvorom Primjena idealnog naponskog izvora podrazumijeva pretpostavku da je pripadno

pobudno električno polje konstantno na ulaznim priključnicama a na ostatku strukture

iščezava, tj. može se pisati:

( ) gmexcsm

gm

VE s

s=

∆ (2.37)

gdje je gms∆ razmak između stezaljki na koje je priključen izvor, a gmV pobudni napon na

ulaznim stezaljkama.

Valja napomenuti da se u modeliranju jednostavnih antena u odašiljačkom modu,

ponekad koristi i koncept kružnog magnetskog prstena (eng. magnetic frill) kao naponski

upravljane pobude, o kojem će detaljno biti riječi u poglavlju 4.

2.3.2. Idealni strujni izvor

U rigoroznoj elektromagnetskoj analizi sustava za zaštitu od munje (uzemljivača,

gromobrana i kanala groma) uobičajeno se koristi pobuda ekvivalentnim strujnim izvorom

[14], [39], pri čemu je jedan kraj idealnog strujnog izvora spojen na strukturu u točki u

Formulacija

22

kojoj se želi injektirati struja dok je drugi kraj spojen na zemlju u beskonačnoj udaljenosti,

kako je prikazano na slici 2.4.

Slika 2.4 Idealni strujni izvor

Pri tome, lijeva strana jednadžbe (2.32) iščezava i odgovarajuća Pocklington-ova

jednadžba se pojednostavnjuje i reducira na homogenu jednadžbu [14], [39], [46], [47].

Shodno tome, pobuda se uključuje u formulaciju putem rubnog uvjeta [14], [39], [46],

[47]:

1 gI I= (2.38)

gdje Ig predstavlja strujni generator a I1 je struja u čvoru u kojem se injektira pobudna

struja koja reprezentira udar groma.

2.3.3. Upadno električno polje ravnog vala

Općenito, raspršna žičana struktura može biti pobuđena ravnim valom koji upada na

granicu sredina pod proizvoljnim kutom.

Ravni val koji pod kutom θ, odnosno Φ upada na granicu između dvije sredine

prikazan je na slici 2.5.

Formulacija

23

Slika 2.5 Upadni, reflektirani i transmitirani val

Granica između dviju sredina leži u xy ravnini, a neka referentna točka za ravni val

bude ishodište. Električno polje upadnog ravnog vala u bilo kojoj točci sredine 1 definirano

je izrazom [57]:

10

uu jk e r

uE E e− ⋅=

(2.39)

gdje je E0 amplituda upadnog vala, a ue

jedinični vektor smjera propagacije upadnog vala

koji izražen preko kutova θ, Φ iznosi:

sin cos sin sin cosu x y ze e e eθ φ θ φ θ= − − −

(2.40)

Skalarni produkt ue r⋅

predstavlja udaljenost između točke promatranja i referentne valne

fronte:

sin cos sin sin cosue r x y zθ φ θ φ θ⋅ = − − −

(2.41)

Ovakav proizvoljno polariziran val, gdje se okomitost odnosi na granicu sredine, može se

rastaviti na dvije komponente: okomito polariziranu (transverzalno magnetsku – TM) i

Formulacija

24

horizontalno polariziranu (transverzalno električnu – TE). Ako je α kut između vektora

električnog polja upadnog vala i ravnine upada tada slijede izrazi za okomito polariziranu

komponentu električnog polja [57], [58]:

( ) 10 cos cos cos cos sin sin u

u jk e rTM x y zE E e e e eα θ φ θ φ θ − ⋅= − − +

(2.42)

i horizontalno polariziranu komponentu električnog polja:

( ) 10 sin sin cos u

u jk e rTE x yE E e e eα φ φ − ⋅= −

(2.43)

Tada su komponente električnog polja reflektiranog vala dane relacijama:

( ) 10 cos cos cos cos sin sin r

r jk e rTM x y zTME R E e e e eα θ φ θ φ θ − ⋅= + +

(2.44)

( ) 10 sin sin cos r

r jk e rTE x yTEE R E e e eα φ φ − ⋅= −

(2.45)

gdje je re

vektor smjera propagacije reflektiranog vala, skalarni produkt re r⋅

iznosi:

sin cos sin sin cosre r x y zθ φ θ φ θ⋅ = − − +

(2.46)

dok su RTM i RTE vertikalni (okomiti) i horizontalni Fresnel-ovi koeficijenti refleksije na

granici dvaju sredstava dani sa [57]:

2

2

cos sin

cos sinTM

n nR

n n

θ θ

θ θ

− −=

+ − (2.47)

2

2

cos sin

cos sinTE

nR

n

θ θ

θ θ

− −=

+ − (2.48)

pri čemu je:

Formulacija

25

2

1

eff

eff

nε

ε= (2.49)

Ukupno električno polje reflektiranog vala se dobije kao zbroj ove dvije komponente:

r r rTM TEE E E= +

(2.50)

Ukupno električno polje u sredini 1 je zapravo zbroj električnog polja upadnog i

reflektiranog vala:

1 10 0

u rjk e r jk e ru ru rE E E E e E e− ⋅ − ⋅= + = +

(2.51)

Slično kao kod reflektiranog vala, odnos između transmitiranih i upadnih komponenti

električnog polja definiran je Fresnel-ovim transmisijskim koeficijentima [57]:

2

2 cos

cos sinTM

n

n n

θ

θ θΓ =

+ − (2.52)

i

2

2cos

cos sinTE

n

θ

θ θΓ =

+ − (2.53)

te, odgovarajuće komponente iznose:

20 cos ( cos cos cos sin sin ) tjk e rt

x y zTM TM t t tE E e e e eα θ φ θ φ θ − ⋅= Γ − − +

(2.54)

20 sin (sin cos ) tjk e rt

x yTE TEE E e e eα φ φ − ⋅= Γ −

(2.55)

gdje je θt određen Snell-ovim zakonom:

1 2sin sin tk kθ θ= (2.56)

Formulacija

26

te

je jedinični vektor smjera propagacije transmitiranog vala, a skalarni produkt te r⋅

iznosi:

sin cos sin sin cost t t te r x y zθ φ θ φ θ⋅ = − − −

(2.57)

Ukupno električno polje transmitiranog vala dobije se kao zbroj njegove dvije

komponente:

t t tTM TEE E E= +

(2.58)

Dakle u slučaju pobude upadnim ravnim valom ukupno incidentno polje žičane strukture

je, ukoliko su upadno polje i struktura s iste strane granice, jednako zbroju komponenti

električnog polja upadnog i reflektiranog vala tangencijalnih na površinu žice:

1 10 0( ) u rjk e r jk e rexc

u rsmE s E s e E s e− ⋅ − ⋅= ⋅ + ⋅

(2.59)

Ukoliko su pak upadno polje i žičana struktura s druge strane granice, tada je incidentno

polje žičane strukture jednako komponenti transmitiranog vala tangencijalnoj na površinu

žice:

20( ) tjk e rexc

tsmE s E s e− ⋅= ⋅

(2.60)

2.4. Modeliranje površinske impedancije

Površinska impedancija ZS se definira kao omjer tangencijalne komponente električnog

polja na površini cilindrične žice i ukupne struje na žici [57], [59]:

( ,ρ )

( )S

E s aZ

I s

== (2.61)

i za metalne žice konačne vodljivosti je jednaka [57]:

Formulacija

27

0

1

( )

2 ( )W W

S

W W

J aZ

a J a=

λ λ

π σ λ (2.62)

gdje je:

2 2 2W Wk k≈ −λ (2.63)

Wk je valni broj za žicu definiran s:

0 0W

W W rWk j

= −

σω µ µ ε ε

ω (2.64)

gdje su Wµ , rWε i Wσ , redom, relativna permeabilnost, relativna permitivnost i specifična

vodljivost žice, dok je k valni broj sredstva u kojem se nalazi žica.

Izraz za površinsku impedanciju (2.62) sadrži visoko oscilirajuće Bessell-ove funkcije

te stoga nije pogodan za inženjersku primjenu. Međutim, za određene parametre mogu se

koristiti približni izrazi. U slučaju da je frekvencija nula tj. u slučaju istosmjerne struje

površinska impedancija po jedinici duljine postaje otpor po jedinici duljine definiran s

[57]:

0 2

1

W

Ra

=π σ

(2.65)

Kada se radi o niskim frekvencijama za koje vrijedi:

0.5W Wa <ωµ σ (2.66)

može se koristiti slijedeća relacija za površinsku impedanciju po jedinici duljine [57], [59]:

4 2

0

1 11

12 2 2 2W W W W

S

a aZ R j

= ⋅ + −

ωµ σ ωµ σ (2.67)

Formulacija

28

dok se za visoke frekvencije za koje vrijedi:

10W Wa >ωµ σ (2.68)

koristi relacija [59]:

1

2S

W s

jZ

a d

+=

π σ (2.69)

gdje je ds dubina prodiranja (eng. skin depth):

2

s

W W

d =ωµ σ

(2.70)

Na temelju koncepta površinske impedancije po jedinici duljine vrlo jednostavno se

može modelirati i opteretna impedancija. Naime, opteretna impedancija se može modelirati

kao žica određene duljine s konstantnom površinskom impedancijom po jedinici duljine

potrebnog iznosa i karaktera.

Na sličan način kao što se modelira konačna vodljivost žice može se i modelirati i

tanka žica izolirana s tankim dielektričnim izolatorom koja je prikazana na slici 2.6.

Slika 2.6 Tanka žica s tankim dielektričnim izolatorom

Tada površinska impedancija po jedinici duljine ZS u relaciji (2.11) ima smisao

impedancije tereta (eng. load impedance) ZL preko koje se dielektrični izolator može

izraziti kao čisto magnetski izolator definiran izrazom [1]:

0 1ln

2rc

L

rc

j bZ

a

−=

ωµ ε

π ε (2.71)

gdje je rcε relativna permitivnost izolatora, a b ukupna debljina žice skupa s izolatorom.

Formulacija

29

2.5. Proračun električnog i magnetskog polja

2.5.1. Proračun električnog polja

Jednom kada se izračuna raspodjela struje duž žica moguće je jednostavno izračunati

izračeno električno polje na temelju jednadžbe (2.10) koja predstavlja izraz za električno

polje žice u bilo kojoj točci homogenog prostora:

( )20 0

' '

1( ) ' ( ') ( , ') ' ( ') ' ( , ') '

4D

eff C C

E s k s I s g s s ds I s s g s s dsj πωε

± ± ± ±

±

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∇ ∇

∫ ∫

(2.72)

Valja napomenuti da izraz (2.72) predstavlja električno polje direktnog vala ukoliko se

žica nalazi u homogenom poluprostoru.

Na sličan način se na temelju izraza (2.17) može napisati izraz za reflektirano polje:

( )

2

2 2'

2 2'

'

* ( ') ( , *) '1

( ) ( ') ( , ') '4

( ') * ( , *) '

i

CR s

eff Ci

C

k s I s g s s dsk k

E s I s G s s dsj k k

I s s g s s dsπωε

± ±

±± ±

± + −

±

⋅ ⋅ +

− = + ⋅ + + ⋅ ⋅∇ ∇

∫∫

∫

∓

(2.73)

Tada je ukupno polje u promatranoj sredini suma direktnog i reflektiranog polja.

Ukoliko postoji više žica potrebno je sumirati polje od svih žica.

Budući je sami proračun električnog polja usko vezan uz numeričko rješenje sustava

Pocklington-ovih jednadžbi detaljna analiza proračuna će se opisati u poglavlju tri.

2.5.2. Proračun magnetskog polja

Magnetsko polje moguće je izračunati iz električnog polja pomoću prve Maxwell-ove

jednadžbe [1]:

1

H Ejωµ

= − ∇×

(2.74)

Formulacija

30

Da bi se prikazao izvod konačne relacije za magnetsko polje, radi jednostavnosti

prikaza, prvo će se izvesti magnetsko polje jedne proizvoljne žice smještene u homogeni

prostor. Tada je magnetsko polje definirano sa:

1

D DH Ej

± ± = − ∇ ×

ωµ (2.75)

Ukoliko se u jednadžbu (2.75) uvrsti izraz za električno polje (2.72), slijedi:

( )20 02

' '

1' ( ') ( , ') ' ( ') ' ( , ') '

4D

eff C C

H k s I s g s s ds I s s g s s dsπω µε

± ± ± ±

±

= ∇× ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∇ ∇

∫ ∫

(2.76)

Koristeći svojstvo vektorske algebre o rotoru sume:

A B A B ∇ × + = ∇ × + ∇ ×

(2.77)

dobiva se:

( )20 02

' '

1' ( ') ( , ') ' ( ') ' ( , ') '

4D

eff C C

H k s I s g s s ds I s s g s s dsπω µε

± ± ± ±

±

= ∇ × ⋅ ⋅ + ∇ × ⋅ ⋅∇ ∇

∫ ∫

(2.78)

Zamjenom redoslijeda operacija integracije i rotora te zamjenom ''

ss

∂⋅∇ =

∂ slijedi:

( )20 02

' '

1( ') ' ( , ') ' ( ') ( , ') '

4 'D

eff C C

H k I s s g r r ds I s g s s dssπω µε

± ± ± ±

±

∂ = ⋅∇× + ⋅∇× ∇ ∂ ∫ ∫

(2.79)

Nadalje, zamjenom redoslijeda rotora i parcijalne integracije te koristeći identitet da je

rotor gradijenta skalarne funkcije jednak nuli ( )0 ( , ') 0g s s± ∇× ∇ = drugi pribrojnik u

jednadžbi (2.79) nestaje te se izraz za magnetsko polje pojednostavljuje:

Formulacija

31

202

'

1( ') ' ( , ') '

4D

eff C

H k I s s g r r dsπω µε

± ± ±

±

= ∇ ×

∫

(2.80)

Razvojem podintegralne funkcije korištenjem identiteta:

A A Aψ ψ ψ ∇ × = ∇ × + ∇ ×

(2.81)

slijedi:

0 0

'

1( ') ( , ') ' ( , ') ' '

4D

C

H I s g r r s g r r s ds± ± ± = ∇ × + ⋅ ∇ × ∫

π (2.82)

Budući je rotor vektora smjera žice 's∇ ×

jednak nuli, drugi pribrojnik u relaciji (2.82)

nestaje, te se konačno dobiva relacija za magnetsko polje žice proizvoljnog oblika

smještene u homogeni medij:

0

'

1( ') ' ( , ') '

4D

C

H I s s g r r ds± ±= − × ∇∫

π (2.83)

Identičnim postupkom dolazi se do izraza za reflektirano magnetsko polje,

uvrštavanjem izraza (2.17) u relaciju (2.74):

2 2 1

2 2 2' 1

1 1( ') * ( , *) ' ( ') ( , ') '

4 4R si

effC

k kH I s s g s s ds I s G s s ds

k kπ πω µε±

± ±±

+ − ± −

−= − ⋅ ×∇ + ⋅∇×

+ ∫ ∫∓

(2.84)

Ukupno magnetsko polje je tada zbroj direktnog i reflektiranog, a ukoliko postoji više

žica potrebno je zbrojiti doprinos svih.

Kao i u slučaju električnog polja detaljni postupci i izrazi za proračun magnetskog

polja će biti opisani u sklopu numeričkog rješenja u trećem poglavlju.

Numeričko rješenje

32

3. NUMERIČKO RJEŠENJE

Numeričko rješavanje Pocklington-ove integro-diferencijalne jednadžbe se može

provesti primjenom različitih metoda i postupaka. U najvećem broju slučajeva integralne i

integro-diferencijalne jednadžbe proizašle iz problema elektrodinamike su tretirane nekom

od varijanti metode momenata (MM) (najčešće kolokacijom) pri čemu se dobivaju tvz.

jake formulacije [18]-[21], [30], [31]. Međutim u okviru jake formulacije javljaju se neki

problemi, među kojima i kvazisingularnost jezgre tj. Green-ove funkcije, budući da se

deriviranje jezgre obavlja analitički što nužno dovodi do kvazisingularnosti. Ako se pak

deriviranje jezgre obavlja pomoću metode konačnih diferencija, javljaju se neželjene

pojave u vidu sporije konvergencije i nesimetričnosti matrice u numeričkom rješavanju

[60].

U posljednja dva desetljeća metoda rubnih elemenata (MRE) (eng. Boundary Element

Method – BEM) se često koristi pri rješavanju ovih problema [61]. Metoda rubnih

elemenata koja je implementirana u ovom radu koristi neke pogodne sheme rješavanja

parcijalnih diferencijalnih jednadžbi konačnim elementima i koncepte rubnih elemenata

čime se dolazi do tvz. nejake formulacije. Metoda je nazvana Galerkin-Bubnovljeva

inačica indirektne metode rubnih elemenata – GBIMRE (eng. Galerkin Bubnov Indirect

Boundary Element Method – GB-IBEM) [62]. Kod ove formulacije se, uz isti izbor baznih

i test funkcija, dobijaju identične krajnje relacije onima kod varijacijskog pristupa. Naime,

podesnom primjenom parcijalne integracije i integralnih teorema vektorske analize

naknado se snizi red derivacija u diferencijalnoj jednadžbi. U literaturi se ova formulacija

isključivo koristi za rješavanje diferencijalnih jednadžbi, i u odnosu na ostale metode ne

poklanja joj se posebna pažnja.

3.1. Numeričko rješenje skupa spregnutih Pocklington-ovih integro-diferencijalnih jednadžbi

U predstavljanju GBIMRE numeričke procedure korisno je početi s operatorskim

oblikom jednadžbe (2.31) koji se simbolički može zapisati kao [1]:


33

1 1

( )W WN N

n nn n

K I E= =

=∑ ∑ (3.1)

gdje je K linearni operator, dok su In nepoznate funkcije (u konkretnom slučaju struje na

pojedinim žicama) koje treba pronaći za dane pobude En (ovdje je pretpostavka da svaka

žica ima vlastitu pobudu).

Rješavanje jednadžbe (2.31) pomoću rubnih elemenata počinje primjenom lokalne

aproksimacije za nepoznatu struju duž segmenta žice, tj. nepoznata struja In(s') po

segmentu n-te žice izrazi se u vidu konačne sume linearno nezavisnih oblikovnih funkcija

fni, uz nepoznate kompleksne koeficijente Ini:

( ) 1

' ( ')gnN

T

n n ni ni n n ni

I s I f s = f I=

=∑ (3.2)

gdje ( ')ni nf s označava oblikovne funkcije na n-toj žici, Ini predstavlja nepoznate

koeficijente rješenja na n-toj žici, a Ngn označava ukupan broj baznih funkcija na n-toj žici.

Supstitucijom (3.1) u (3.2) slijedi:

[ ]1 1 1

( ) ( ')gnW W

NN N

n ni ni nn n i

K I I K f s= = =

=∑ ∑∑ (3.3)

Primjenom osnovne leme varijacijskog računa [1] slijedi zahtjev da integral težinskih

odstupanja iščezava:

[ ]

1 1 1

( ') ( ) ( )

1,2,..., ; 1,2,...,

gn

m m

NNw Nw

ni ni n mj m m n mj m mn i nC C

W gn

I K f s W s ds E W s ds

m N j N

= = =

=

= =

∑∑ ∑∫ ∫ (3.4)

Ukoliko postoji samo jedna žica relacija (3.4) se pojednostavljuje i oblika je:


34

[ ]1

( ') ( ) ( ) 1,2,...,g

m m

N

i i j j gi C C

I K f s W s ds EW s ds j N=

= =∑ ∫ ∫ (3.5)

Uz Galerkin-Bubnovljevu proceduru, odnosno uz izbor istih oblikovnih i težinskih

funkcija:

( ) ( )mj m mj mW s f s= (3.6)

slijedi izraz koji predstavlja tzv. jaku formulaciju problema:

[ ]

1 1 1

( ') ( ) ( )

1,2,..., ; 1,2,...,

gn

m m

NNw Nw

ni ni n mj m m n mj m mn i nC C

W gn

I K f s f s ds E f s ds

m N j N

= = =

=

= =

∑∑ ∑∫ ∫ (3.7)

Kod ove formulacije bazne i test funkcije moraju biti u domeni operatora K (u ovom

slučaju najmanje dva puta derivabilne). Jaka formulacija za dani problem dakle implicira

korištenje polinoma drugog reda i više, odnosno kvadratični tip rubnih elemenata, što bi

rezultiralo relativno složenim numeričkim modelom i pripadnom računalnom

implementacijom, pogotovo u potencijalnoj primjeni na žice u nehomogenoj sredini.

Blaže zahtjeve na izbor baznih i test funkcija omogućava Nejaka Galerkin-Bubnovljeva

formulacija [62] Pocklington-ove integralno-diferencijalne jednadžbe (2.31) koja se dobiva

pogodnom primjenom parcijalne integracije. Budući da je postupak izvoda nejake

formulacije za jednu žicu ili više njih ekvivalentan, procedura će se, zbog jednostavnosti

prikaza, detaljno opisati na primjeru za jednu žicu smještenu u homogeni prostor.

Proširenje na složenije konfiguracije provedeno je naknadno.

3.1.1. Izvod nejake formulacije

Polazna točka u razmatranju je Pocklington-ova integro-diferencijalna jednadžba za

proizvoljnu žicu smještenu u homogeni prostor:

2tan 0

'

1( ) ( ') ' ( , ') ' ( )

4exc

S

eff C

E s I s s s k g s s ds Z I sj πωε

= − ⋅ ⋅ ⋅ + ∇∇ + ⋅ ∫

(3.8)


35

koja se dade zapisati i na slijedeći način:

( )

20

'tan

0

'

' ( ') ( , ') '1

( ) ( )4

( ') ' ( , ') '

CexcS

eff

C

k s s I s g s s ds

E s Z I sj

I s s s g s s dsπωε

⋅ ⋅ ⋅ +

= − + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅∇ ∇

∫

∫

(3.9)

gdje se operator nabla može napisati kao:

x y ze e ex y z

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

(3.10)

Kako je u prilogu C pokazano, za Green-ovu funkciju vrijedi:

0 0( , ') ' ( , ')g s s g s s∇ = −∇ (3.11)

gdje je:

'' ' '

x y ze e ex y z

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

(3.12)

Koristeći izraz (3.11) jednadžba (3.9) poprima oblik:

( )

20

'tan

0

'

' ( ') ( , ') '1

( ) ( ) ( )4

( ') ' ' ( , ') '

exc CexcS

eff

C

k s s I s g s s ds

E s s E s Z I sj

I s s s g s s dsπωε

⋅ ⋅ ⋅ −

⋅ = = − + ⋅ − ⋅ ⋅∇ ⋅∇

∫

∫

(3.13)

odnosno, može se pisati:

20

'tan

0

'

' ( ') ( , ') '1

( ) ( )4

( ') ( , ') ''

CexcS

eff

C

k s s I s g s s ds

E s Z I sj

I s g s s dss s

πωε

⋅ ⋅ ⋅ −

= − + ⋅ ∂ ∂ − ⋅

∂ ∂

∫

∫

(3.14)


36

Kako bi se izbjegli problemi s kvazisingularnošću jezgre, djelovanje diferencijalnog

operatora je moguće prebaciti s jezgre na struju pomoću izraza za deriviranje umnoška

dviju funkcija.

Naime iz relacije:

[ ] [ ] [ ]0 0 0( ') ( , ') ( ') ( , ') ( ') ( , ')' ' '

I s g s s I s g s s I s g s ss s s

∂ ∂ ∂⋅ = ⋅ + ⋅

∂ ∂ ∂ (3.15)

slijedi:

[ ] [ ] [ ]0 0 0( ') ( , ') ( ') ( , ') ( ') ( , ')' ' '

I s g s s I s g s s I s g s ss s s

∂ ∂ ∂⋅ = ⋅ − ⋅∂ ∂ ∂

(3.16)

Integrirajući izraz (3.16) po dužini žice:

[ ] [ ] [ ]'

0 0 0'' '

( ') ( , ') ' ( ') ( , ') ( ') ( , ') '' '

end

start

s

sC C

I s g s s ds I s g s s I s g s s dss s

∂ ∂⋅ = ⋅ − ⋅∂ ∂∫ ∫ (3.17)

Prvi član s desne strane, u izrazu (3.17), je potrebno zanemariti jer sadrži uvjete na granici

koji se naknadno u procesu numeričkog rješavanja prisilno ubacuju. U suprotnom bi

problem postao predimenzioniran.

Dakle vrijedi:

[ ] [ ]0 0

' '

( ') ( , ') ' ( ') ( , ') '' 'C C

I s g s s ds I s g s s dss s

∂ ∂⋅ = − ⋅∂ ∂∫ ∫ (3.18)

Uvrštavanjem izraza (3.18) u relaciju (3.14) dobiva se:

[ ] [ ]

20

'tan

0

'

' ( ') ( , ') '1

( ) ( )4

( ') ( , ') ''

CexcS

eff

C

k s s I s g s s ds

E s Z I sj

I s g s s dss s

πωε

⋅ ⋅ ⋅ +

= − + ⋅ ∂ ∂ + ⋅

∂ ∂

∫

∫

(3.19)


37

Ako se sada struja na žici izrazi kao suma linearne kombinacije linearno nezavisnih

funkcija (3.2) te primjenom osnovne leme varijacijskog računa (3.5) uz Galerkin –

Bubnovljevu proceduru (3.6) dolazi se do izraza:

[ ]

20

'

tan 01 '

' ( ') ( ) ( , ') '

( ')4 ( ) ( ) ( , ') ( ) '

'

( ) ( )4

1,2...,

g

i j

C C

Nexc i

eff j i jiC C C

S i jeff C

g

k s s f s f s g s s ds ds

f sj E s f s ds I g s s f s ds ds

s s

jZ f s f s ds

j N

πωε

πωε

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

∂ ∂ − = + ⋅ +

∂ ∂ + ⋅ ⋅

=

∫ ∫

∑∫ ∫ ∫

∫

(3.20)

Kako bi se izbjeglo djelovanje diferencijalnog operatora na jezgru, što je bit nejake

formulacije, moguće je diferencijalni operator prebaciti s jezgre na baznu funkciju pomoću

izraza za deriviranje umnoška dviju funkcija.

[ ]0 0 0( , ') ( ) ( ) ( , ') ( ) ( , ')j j jg s s f s f s g s s f s g s ss s s

∂ ∂ ∂ ⋅ = ⋅ − ⋅ ∂ ∂ ∂

(3.21)

Integrirajući izraz (3.21) po dužini žice:

[ ]0 0 0( , ') ( ) ( ) ( , ') ( ) ( , ')end

start

s

j j jsC C

g s s f s ds f s g s s f s g s s dss s

∂ ∂ ⋅ = ⋅ − ⋅ ∂ ∂∫ ∫ (3.22)

Slično kao i u izrazu (3.17) prvi izraz s desne strane sadrži uvjete na krajevima žice koji se

naknadno uključuju u nejaku formulaciju, te ga je stoga potrebno zanemariti u nastavku

rješavanja. Inače bi sustav postao predimenzioniran.

Zanemarenjem uvjeta na granici sadržanih u (3.22) i uvrštavanjem izraza (3.22) u

(3.20) konačno se dobiva:


38

21 0

'

0 tan1 '

' ( ') ( ) ( , ') '

( )( ')( , ') ' 4 ( ) ( )

'

( ) ( )4

1,2...,

g

i j

C C

Nj exci

i eff ji C C C

S i jeff C

g


f sf sI g s s ds ds j E s f s ds

s s

jZ f s f s ds

j N

πωε

πωε

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

∂∂ − ⋅ + = −

∂ ∂ + ⋅ ⋅

=

∫ ∫

∑ ∫ ∫ ∫

∫

(3.23)

Izraz (3.23) predstavlja nejaku formulaciju Galerkin-Bubnovljeve procedure za integro-

diferencijalnu jednadžbu električnog polja za slučaj jedne proizvoljne žice u homogenom

prostoru.

Analognim postupkom lako se izvodi nejaka formulacija za slučaj jedne proizvoljne

žice u homogenom poluprostoru:

0

'

20

'

2 2'

2 21 2

'

( )( ')( , ') '

'

' ( ') ( ) ( , ') '

( )( ')( , *) '

*

* ( ') ( ) ( , *) '

g

ji

C C

i j

C C

jiiN

C Ci

i

i j i

C C

f sf sg s s ds ds

s s


f sf sg s s ds ds

s sk kI

k kk s s f s f s g s s ds ds

±

± ±

±

±

= + −

± ±

∂∂− ⋅ +

∂ ∂

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

∂ ∂− ⋅ +

∂ ∂− + ⋅++ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫∑

∫ ∫

∓

'

tan

( ') ( ) ( , ') '

( ) ( )4

4 ( ) ( ) 1, 2...,

si j

C C

S i j

eff C

exceff j g

C

s f s f s G s s ds ds

jZ f s f s ds

j E s f s ds j N

πωε

πωε

±

±

±

+ = + ⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅

= − =

∫ ∫

∫

∫

(3.24)

U slučaju više žica proizvoljnog oblika, potrebno je sumirati međusobne utjecaje svih

žica. Dakle, provodeći analogan postupak numeričkog rješavanja, sada jednadžbe (2.31),

dolazi se do nejake formulacije sustava Pocklington-ovih integro diferencijalnih jednadžbi

za više-žičanu konfiguraciju:


39

0

'

20

'

2 2'

2 22

( ) ( ' )( , ' ) '

'

' ( ) ( ' ) ( , ' ) '

( ) ( ' )( , * ) '

*

* ( )

m n

m n

m n

jm m in nnm m n n m

m nC C

m n jm m in n nm m n n m

C C

jm m in ni nm m n n m

m nC Cni

m n jm m in

df s df sg s s ds ds

ds ds


df s df sg s s ds ds

k k ds dsI

k k k s s f s f

±

± ±

±

±

+ −±

−

+ ⋅ ⋅

−−

++

+ ⋅ ⋅

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫∓

1 1

'

'

tan

( ' ) ( , * ) '

( ) ( ' ) ( , ' ) '

( ) ( )4

4 ( )

W n

m n

m n

m

N N

n in i nm m n n m

C C

s nmm jm m in n m n n m

C C

S im m jm m meff C

exceff m

s g s s ds ds

s f s f s G s s ds ds

jZ f s f s ds

j E s

πωε

πωε

= =±

±

±

±

=

+ ⋅

+ ⋅ ⋅

= −

∑∑∫ ∫

∫ ∫

∫

( ) 1,2,....., ; 1,2,.....,jm m m W m

C

f s ds m N j N= =∫

(3.25)

gdje je Nw ukupan broj žica, Nm ukupan broj elemenata na m-toj žici, a Nn je broj elemenata

na n-toj žici.

3.1.2. Primjena rubnih elemenata

Diskretizacija rubnim elementima implicira da se žica podijeli na N elemenata nad

kojima se definiraju oblikovne funkcije lokaliziranog djelovanja, tj. oblikovne funkcije

djeluju samo na elementu promatranja (ili izvora) dok su na ostalim elementima jednake

nuli.

Na taj način se postupak rješavanja svodi na lokalni sustav, iz kojega se potom asemblira

matrica globalnog sustava.

Nepoznata struja ( )'enI s po segmentu n-te žice izrazi se u vidu konačne sume linearno

nezavisnih oblikovnih funkcija fni, uz nepoznate kompleksne koeficijente Ini:

( ) 1

' ( ')nl

Ten ni ni n n

i

I s I f s = f I=

=∑ (3.26)

Uz upotrebu izoparametarskih elemenata slijedi:


40

( ) 1

( )nl

Ten ni ni n n

i

I I f = f Iζ ζ=

=∑ (3.27)

gdje nl označava broj lokalnih čvorova na elementu.

Za ravne vodiče koristi se linearna aproksimacija raspodjele struje (slika 3.1) po

rubnom elementu uzduž n-te žice, a odgovarajuće oblikovne funkcije onda su dane

izrazima [63]:

1 2

1 1

2 2f f

ζ ζ− += = (3.28)

što predstavlja optimalan izbor ako se traži kompromis između točnosti proračuna i

složenosti postupka kad se radi o modeliranju žičanih struktura.

Slika 3.1 Linearni izoparametarski element i pripadna transformacija koordinata

Što se tiče modeliranja zakrivljenih žica podesno je koristiti kvadratične

izoparametarske elemente (slika 3.2), s obzirom da se tako omogućava veća preciznost

rezultata za različite geometrije žica.

Kako je vidljivo iz slike 3.2 približno rješenje nad elementom gradi se iz tri oblikovne

funkcije [63]:


41

21 2 3

1 1( ) ( 1); ( ) 1 ; ( ) ( 1)

2 2f f fζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ= − = − = + (3.29)

Slika 3.2 Kvadrtični izoparametarski element i pripadna transformacija koordinata

Dakle, primjenom izoparametarskih elemenata iste funkcije se koriste za aproksimaciju

nepoznate struje, kao i za transformaciju geometrije elementa iz lokalnog koordinatnog

sustava u globalni:

1

( )nl

k kk

s s f ζ=

= ⋅∑ (3.30)

tj., u Kartezijevom koordinatnom sustavu:

1

( )nl

k kk

x x f ζ=

= ⋅∑ ; 1

( )nl

k kk

y y f ζ=

= ⋅∑ ; 1

( )nl

k kk

z z f ζ=

= ⋅∑ (3.31)

Deriviranjem prethodnih izraza (3.31) slijedi:

1

( )nlk

kk

dfdx x d

d

ζζ

ζ=

= ⋅∑ ; 1

( )nlk

kk

dfdy y d

d

ζζ

ζ=

= ⋅∑ ; 1

( )nlk

kk

dfdz z d

d

ζζ

ζ=

= ⋅∑ (3.32)

a diferencijal luka je definiran izrazom:


42

2 2 2

dx dy dzds d

d d dζ

ζ ζ ζ

= + +

(3.33)

tj.:

2 2 2

ds dx dy dz

d d d dζ ζ ζ ζ

= + +

(3.34)

što predstavlja Jakobijan preslikavanja iz globalnog sustava u lokalni.

Prelaskom na lokalni sustav relacija (3.25) može se simbolički napisati u matričnom

obliku:

[ ] 1 1

1,2...,

1, 2,...,

W nN Ne e e W

i jjin i m

m NZ I V

j N= =

==

=∑∑ (3.35)

gdje je [ ]e

jiZ matrica rubnog elementa, i to za j-ti rubni element promatranja na m-toj

anteni i i-ti rubni element izvora na n-toj anteni, e

iI vektor rješenja u globalnim

čvorovima, a e

iV vektor desne strane sustava koji sadrži pobudu.

Matrica rubnog elementa fizikalno predstavlja matricu međuimpedancije i-tog i j-tog

elementa i dana je, uz korištenje izoparametarskih oblikovnih funkcija, izrazom:


43

[ ]

1 1

0

1 1

1 12

0

1 1

1 1

2 21 1

2 22

'' ( , ' ) '

'

'' ' ( , ' ) '

'

'* ( , * ) '

'

* ' ( , *

e T n mnm m nj iji

T n mm n nm m nj i

T n mi nm m nj i

T

m n i nm m nj i

ds dsZ D D g s s d d

d d

ds dsk s s f f g s s d d

d d

ds dsD D g s s d d

d dk k

k kk s s f f g s s

±

− −

± ±

− −

±

− −±

+ −

± ±

= −

+ ⋅ ⋅ +

− +−

++

+ ⋅ ⋅

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫∓

ζ ζζ ζ

ζ ζζ ζ

ζ ζζ ζ

1 1

1 1

1 1

1 1

1

1

') '

'

'' ( , ' ) '

'

4

n m

T n ms nmm m nj i

T mS j j

eff

ds dsd d

d d

ds dss f f G s s d d

d d

j dsZ f f d

d

− −

±

− −

± −

+

+ ⋅

+ ⋅ ⋅

∫ ∫

∫ ∫

∫

ζ ζζ ζ

ζ ζζ ζ

ζπωε ζ

(3.36)

Vektori f i f' sadrže oblikovne funkcije dok vektori D, D' i D* sadrže

njihove derivacije definirane izrazima:

df df d

Dds d ds

= =ζ

ζ;

' ' ''

' ' '

df df dD

ds d ds= =

ζ

ζ;

' ' '*

* ' *

df df dD

ds d ds= =

ζ

ζ (3.37)

uz svojstvo da je:

' ' ' '

' * ' '

df d df d

d ds d ds= −

ζ ζ

ζ ζ (3.38)

Dimenzije vektora f, f', D, D' i D* ovise o izboru oblikovnih funkcija,

odnosno u slučaju korištenja linearne aproksimacije s dvočvornim elementima dimenzija

vektora je 2x1, dok u slučaju korištenja kvadratičnih (tročvornih) izoparametarskih elemenata

dimenzija je 3x1. Nadalje proizlazi da je matrica impedancije na elementu kvadratnog oblika

dimenzija 2x2 (za dvočvorne tj. linearne elemente) odnosno 3x3 (za tročvorne tj. kvadratične

elemente). Svi članovi ove matrice, osim posljednjeg, sadrže analitički nerješive integrale pa

se mora primijeniti neka od metoda numeričke integracije, najčešće Legendre-Gauss

kvadrature zbog pogodnog intervala integracije [ ]1,1− .


44

Posljednji pribrojnik u izrazu za međuimpedanciju (3.36), kako je već pokazano u

prethodnom poglavlju, može opisivati različite pojave (konačnu vodljivost žice, tanki

dielektrični izolator, opteretna impedancija). Ukoliko se pomoću ZS-a modelira konačna

vodljivost žice ili utjecaj tankog dielektričnog izolatora, tada taj član postoji za sve elemente,

dok u slučaju modeliranja opteretne impedancije član je jednak nuli za sve elemente osim

onih na kojima je postavljena opteretna impedancija. U svakom slučaju može se pretpostaviti

da ZS ima konstantan iznos duž konačnog elementa. Tada slijedi za dvočvorni element:

1

1

1 1

3 61 14 4

6 3

T m SS j j

eff eff

ds j Z sjZ f f d

dζ

πωε ζ πωε± ±−

∆

⋅ ⋅ =

∫ (3.39)

dok za kvadratični element imamo:

1

1

2 1 1

15 15 301 8 1

4 4 15 15 151 1 2

30 15 15

T m SS j j

eff eff

ds j Z sjZ f f d

dζ

πωε ζ πωε± ±−

−

∆ ⋅ ⋅ =

−

∫ (3.40)

gdje je s∆ duljina elementa.

Vektor desne strane (vektor pobude) predstavlja lokalni vektor napona i dan je izrazom:

1

tan

1

4 ( )e exc m

eff m mj j

dsV j E s f d

dπωε ζ

ζ±

−

= − ∫ (3.41)

te se, za pobude opisane u poglavlju 2.3 da izračunati analitički. U slučaju odašiljačkog

moda žica je pobuđena jednostavnim idealnim naponskim izvorom kod kojega je

incidentno polje opisano jednadžbom (2.37) i postoji isključivo u procjepu za napajanje.

Članovi vektora desne strane, za elemente na kojima su postavljeni izvori, u slučaju

linearne aproksimacije po elementu su oblika:


45

( )1

1 1

1

4 42

gm gme mj eff eff

gm

V VdsV j f d j

s dπωε ζ ζ πωε

ζ± ±

−

= − = −∆∫

(3.42)

( )1

2 2

1

4 42

gm gme mj eff eff

gm

V VdsV j f d j


ζ± ±

−

= − = −∆∫

(3.43)

dok su za u aproksimaciju dani izrazima:

( )1

1 1

1

4 46

gm gme mj eff eff

gm

V VdsV j f d j


ζ± ±

−

= − = −∆∫

(3.44)

( )1

2 2

1

24 4

3gm gme m

j eff effgm

V VdsV j f d j


ζ± ±

−

= − = −∆∫

(3.45)

( )1

3 3

1

4 46

gm gme mj eff eff

gm

V VdsV j f d j


ζ± ±

−

= − = −∆∫

(3.46)

Vrijedi napomenuti da je vektor desne strane za ostale elemente jednak nuli.

U slučaju prijemnog (raspršnog) moda, tj. ako je žičana struktura pobuđena ravnim

valom, incidentno polje postoji duž cijele strukture te je zadano relacijom (2.59) ukoliko se

žičana struktura i upadni val nalaze s iste strane granice, odnosno relacijom (2.60) ukoliko

se struktura i upadni val nalaze sa suprotne strane granice.

Ukoliko se koristi linearna aproksimacija, tada se vektor konačnog elementa sastoji od dva

člana oblika:

( )1

1 1

1

4e i mj eff

dsV j E f d

dπωε ζ ζ

ζ±

−

= − ∫ (3.47)

( )1

2 2

1

4e i mj eff

dsV j E f d

dπωε ζ ζ

ζ±

−

= − ∫ (3.48)

Ukoliko se koristi kvadratična aproksimacija, vektor se sastoji od tri člana oblika:


46

( )1

1 1

1

4e i mj eff

dsV j E f d

dπωε ζ ζ

ζ±

−

= − ∫ (3.49)

( )1

2 2

1

4e i mj eff

dsV j E f d

dπωε ζ ζ

ζ±

−

= − ∫ (3.50)

( )1

3 3

1

4e i mj eff

dsV j E f d

dπωε ζ ζ

ζ±

−

= − ∫ (3.51)

Ako se pretpostavi duljina elementa s∆ dovoljno mala tako da je incidentno polje

konstantno po elementu, tada se integrali u jednadžbama (3.47) do (3.51) mogu riješiti

analitički te slijedi, za linearnu aproksimaciju:

1 42

iej eff

E sV j πωε ±

∆= − (3.52)

2 42

iej eff

E sV j πωε ±

∆= − (3.53)

dok za kvadratičnu slijedi:

1 46

iej eff

E sV j πωε ±

∆= − (3.54)

2

24

3

iej eff

E sV j πωε ±

∆= − (3.55)

3 46

iej eff

E sV j πωε ±

∆= − (3.56)

Matrica i vektor desne strane globalnog sustava grade se iz lokalnih sustava svih

elemenata. Pri tome je položaj pojedinog elementa u poznatom rasporedu globalnih

čvorova određen tablicom veza. Također, ukoliko postoje spojevi više žica u matričnu

jednadžbu (3.35) se dodaju i uvjeti određeni prvim Kirchhoff-ovim zakonom (2.33) i


47

kontinuitetom naboja (2.36). Na taj način se dobije sustav od 1

WN

n Jn

N N=

+∑ linearnih

jednadžbi s 1

WN

n Jn

N N=

+∑ nepoznanica iz kojih se dobije vrijednost struje u svim čvorovima.

Vrijednosti struje u ostalim točkama duž žice dobivaju se interpolacijom oblikovnim

funkcijama. nN je broj čvorova n-te žice, WN je ukupan broj žica, dok je JN ukupan broj

spojeva više žica.

3.2. Proračun električnog polja

Postupak za proračun električnog polja će se, radi jednostavnosti prikaza, prvo

objasniti na primjeru žice proizvoljnog oblika smještene u homogeni prostor. U slučaju

poluprostora s gubitcima postupak se ponavlja da bi se dobila relacija za reflektirano polje.

Izraz za električno polje žice proizvoljnog oblika smještene u homogeni prostor (2.72)

se uz korištenje svojstva (3.11) te parcijalne integracije (3.18) svodi na:

[ ] [ ]20 0

' '

1( ) ' ( ') ( , ') ' ( ') ( , ') '

4 'D

eff C C

E s k s I s g s s ds I s g s s dsj sπωε

± ± ± ±

±

∂= ⋅ ⋅ + ⋅∇

∂ ∫ ∫

(3.57)

Valja napomenuti da izraz (3.57) predstavlja i električno polje direktnog vala ukoliko

se žica nalazi u homogenom poluprostoru.

Razvojem raspodjele struje ( ')I s u red linearno nezavisnih funkcija Ng (3.2) s

prethodno izračunatim vrijednostima struje u čvorovima duž žice slijedi:

[ ]20 0

1 ' '

( ')1( ) ' ( ') ( , ') ' ( , ') '

4 '

gN

iD i i i

ieff C C

f sE s k s I f s g s s ds I g s s ds

j sπωε± ± ± ±

=±

∂= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∇

∂ ∑ ∫ ∫

(3.58)

Prelaskom na lokalni sustav dobiva se izraz za električno polje jednog elementa:


48

[ ]

12

0

1

11

0

1

'' ( ') ( , ') '

'1

4 ( ') ' '( , ') '

' ' '

k knl

D

keff kk

dsk s I f g s s d

dE

j f d dsI g s s d

ds d

ζ ζζ

πωε ζ ζζ

ζ ζ

± ±

−±

=±

±

−

⋅ ⋅ ⋅ +

∆ = ∂ + ⋅ ⋅ ⋅∇

∂

∫∑

∫

(3.59)

tj.

[ ]

12

0

1

11

0

1

'' ( ') ( , ') '

'1

4 ( ')( , ') '

'

ek knl

D

keff e kk

dsk s I f g s s d

dE

j fI g s s d

ζ ζζ

πωε ζζ

ζ

± ±

−±

=±

±

−

⋅ ⋅ ⋅ +

∆ = ∂ + ⋅ ⋅ ∇

∂

∫∑

∫

(3.60)

U slučaju da se žica nalazi u homogenom poluprostoru tada uz direktno polje postoji i

reflektirano koje se na identičan način može izvesti iz relacije (2.73). Reflektirano

električno polje jednog elementa žice je tada:

[ ]

12

2 21

2 2 1

1 1

1

1

'* ( ') ( , *) '

'

1 ( ')( , *) '

4 '

'( ') ( , ') '

'

ek k i

nle k

R k ikeff

esk k

dsk s I f g s s d

dk k

k k fE I g s s d

j

dsI f G s s d

d

ζ ζζ

ζζ

πωε ζ

ζ ζζ

± ±

−±

+ −± ±

=± −

±

−

⋅ ⋅ ⋅ +

− + + ∂ ∆ = − ⋅ ⋅ ∇

∂ + ⋅ ⋅

∫

∑ ∫

∫

∓

(3.61)

Polje jednog elementa u promatranom poluprostoru je tada zbroj direktnog i reflektiranog:

D RE E E∆ = ∆ + ∆

(3.62)

dok se ukupno polje dobije sumiranjem doprinosa svih elemenata:

1

eN

i

i

E E=

= ∆∑

(3.63)

U slučaju više žica ukupno polje će biti suma polja svake pojedine žice:


49

[ ]

[ ]

12

0

1

1

0

1

12

2 21

2 2 1

1

'' ( ') ( , ') '

'

( ')( , ') '

'

1 '( ) * ( ') ( , *) '

4 '

( ')( , *) '

'

e nn kn k n n

e kkn n n

e nn kn k in n

eff

e kkn in n

dsk s I f g s s d

d

fI g s s d

dsE s k s I f g s s d

j dk k

k k fI g s s d

ζ ζζ

ζζ

ζ

ζ ζπωε ζ

ζζ

ζ

± ±

−

±

−

± ± ±

± −±

+ −

±

−

⋅ ⋅ ⋅ +

∂+ ⋅ ⋅∇ +

∂

= ⋅ ⋅ ⋅ +

−

+ ∂− ⋅ ⋅ ∇

∂

∫

∫

∫

∫

∓

1 1 1

1

1

'( ') ( , ') '

'

W enN N nl

n i k

e nsnkn k n

dsI f G s s d

dζ ζ

ζ

= = =

±

−

+ + ⋅ ⋅

∑∑∑

∫

(3.64)

Vrijednosti integrala u izrazima (3.60) i (3.61) se računaju numerički pomoću

Legendre-Gauss kvadrature. Posebno se treba osvrnuti na gradijent Green-ove funkcije:

( , , ; ') ( , , ; ') ( , , ; ')( , ') ( , , ; ') x y z

g x y z s g x y z s g x y z sg s s g x y z s e e e

x y z

∂ ∂ ∂∇ = ∇ = + +

∂ ∂ ∂

(3.65)

Kako bi se izbjegli mogući problemi zbog kvazisingularnosti koji se očituju kod integrala

koji sadrže derivaciju Green-ove funkcije, umjesto analitičke derivacije primijenjen je

algoritam konačnih diferencija. Pri tome je za aproksimaciju prve derivacije odabrana

centralna formula konačnih diferencija oblika:

( , , ; ') ( , , ; ') ( , , ; ')

2

g x y z s g x x y z s g x x y z s

x x

∂ + ∆ − − ∆≈

∂ ⋅∆ (3.66)

Centralna formula konačnih diferencija koristi se zbog toga što za dovoljno mali x∆ unosi

manju grešku nego desna ili lijeva formula. Naime, greška skraćivanja je kod lijeve i

desne formule reda veličine x∆ , dok je kod centralne formule ta greška proporcionalna sa

2x∆ .


50

3.3. Proračun magnetskog polja

Slično kao i kod proračuna električnog polja, razvojem raspodjele struje ( ')I s u red

linearno nezavisnih funkcija Ng (3.2) s prethodno izračunatim vrijednostima struje u

čvorovima duž žice te prelaskom na lokalni sustav iz (2.83) dobiva se izraz za direktno

magnetsko polje jednog rubnog elementa:

1

01 1

1 '( ') ' ( , ') '

4 '

nle

D k kk

dsH I f s g r r d

d± ±

= −

∆ = − ⋅ × ∇∑∫

ζ ζπ ζ

(3.67)

Identičnim postupkom dobiva se i jednadžba za reflektirano magnetsko polje jednog

elementa:

2 2 1

2 21 1

1

21 1

1 '( ') * ( , ') '

4 '

1 '( ') ( , ') '

4 '

nle

R k k ik

nle

sk kkeff

k k dsH I f s g r r d

k k d

dsI f G r r d

d

±± ±

=+ − −

±

=± −

−∆ = − ⋅ ×∇ +

+

+ ⋅ ⋅∇ ×

∑∫

∑∫

∓

ζ ζπ ζ

ζ ζπω µε ζ

(3.68)

Ukupno magnetsko polje jednog elementa žice je tada zbroj direktnog i reflektiranog:

D RH H H∆ = ∆ + ∆

(3.69)

Ukupno magnetsko polje žice u proizvoljnoj točci homogenog poluprostora se tada dobije

sumiranjem doprinosa svih elemenata:

1

eN

i

i

H H=

= ∆∑

(3.70)

U slučaju više žica ukupno polje će biti suma polja svake pojedine žice:


51

1

0

1

2 2 1

2 21 1 1

1

21

'( ') ' ( , ') '

'

1 '( ) ( ') * ( , *) '

4 '

1 '( ') ( , ') '

'

en

e nkn k n n n

N nle nkn k n in n

n i k

e nsnkn k n

eff

dsI f s g s s d

d

k k dsH s I f s g s s d

k k d

dsI f G s s d

d

ζ ζζ

ζ ζπ ζ

ζ ζω µε ζ

±

−

±± ±

= = + − −

±

± −

⋅ ⋅ × +

−

= − ⋅ ⋅ × + +

− ⋅ ⋅∇ ×

∫

∑∑ ∫

∫

∓

1

WN

=

∑ (3.71)

3.4. Numerički primjeri

Metodologija opisana u poglavljima 2 i 3 verificirana je na nekoliko ilustrativnih

primjera. Za pobudu su korištene sve tri navedene varijante (idealni naponski izvor, idealni

strujni izvor i upadni ravni val). Nadalje, testirane su obje varijante izložene numeričke

metode s linearnim te s kvadratičnim elementima. Također, u posljednjem primjeru je

provjerena i metodologija proračuna električnog polja. Svi rezultati dobiveni GBIMRE

metodom su uspoređeni s rezultatima u dostupnoj literaturi i/ili s rezultatima dobivenih

NEC-om [41].

3.4.1. Primjer 1 – Dvije kružne antene

Prvi primjer se odnosi na dvije antene u obliku kružnih petlji radijusa b=0.25m te

radijusa žice a=0.005m. Antene, čija su središta udaljena za d=0.55m, su postavljene iznad

konačno vodljive sredine karakteristika εr=20 i σ=0.01S/m, na dva različita načina,

međusobno paralelno i međusobno okomito, kako je prikazano na slikama 3.3 i 3.4.

Slika 3.3 Konfiguracija kružnih antena 1


52

Slika 3.4 Konfiguracija kružnih antena 2

Od dvije antene lijeva (u oba slučaja) je aktivna, odnosno napajana idealnim

naponskim izvorom iznosa U=1V i frekvencije f=300MHz postavljenim u točku B, dok je

desna antena pasivna.

U slučaju konfiguracije 1 rezultati za raspodjelu struje duž antena su prikazani na

slikama 3.5 i 3.6. Usporedbom s rezultatima iz [64], te rezultatima dobivenih programskim

paketom NEC [41] vidljivo je izvrsno slaganje rezultata i to kako za linearne tako i za

kvadratične elemente. Pri tome je korišteno 42 linearna odnosno 22 kvadratična elementa

po anteni, dok je programskim paketom NEC proračun izvršen s 40 elemenata po anteni.

0 1 2 3 4 5 6−4

−2

0

2

4

6

8x 10

−4

real(I)

(A

)

kut (rad)

Realni dio struje

0 1 2 3 4 5 6−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

−3

Ima

g(I

) (A

)

kut (rad)

Imaginarni dio struje

GB−IMRE izo2

GB−IMRE izo3

NEC

Slika 3.5 Raspodjela struje duž aktivne antene u konfiguraciji 1


53

0 1 2 3 4 5 6−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10

−4

rea

l(I)

(A

)

kut (rad)

Realni dio struje

0 1 2 3 4 5 6−4

−2

0

2

4x 10

−4

Ima

g(I

) (A

)

kut (rad)


GB−IMRE izo2

GB−IMRE izo3

NEC

Slika 3.6 Raspodjela struje duž pasivne antene u konfiguraciji 1

U slučaju konfiguracije 2 rezultati za raspodjelu struje na aktivnoj anteni prikazani su

na slici 3.7, uz korištenje istog broja elemenata. Struja na pasivnoj anteni je prema

očekivanju jednaka 0 tj. rezultati numeričkog proračuna daju iznose reda veličine 10-19 u

slučaju GBIMRE metode i 10-15 u slučaju NEC-a. Iz tog razloga ih nema potrebe posebno

prikazivati.

0 1 2 3 4 5 6−5

0

5

10

15x 10

−4

rea

l(I)

(A

)

kut (rad)

Realni dio struje

0 1 2 3 4 5 6−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

−3

Ima

g(I

) (A

)

kut (rad)


GB−IMRE izo2

GB−IMRE izo3

NEC

Slika 3.7 Raspodjela struje duž aktivne antene u konfiguraciji 2


54

Slično kao i u slučaju konfiguracije 1 i kod konfiguracije 2 je vidljivo izvrsno slaganje

rezultata predloženih GBIMRE metoda s rezultatima dobivenim NEC-om.

Također na primjeru konfiguracije 1 izvršena je i analiza konvergencije rješenja kako u

slučaju linearnih tako i u slučaju kvadratičnih elemenata. Slika 3.8 prikazuje raspodjelu

struje na aktivnoj anteni za različiti broj linearnih elemenata. Vidljivo je da se dobra

konvergencija postiže već s 22 elementa dok se potpuna dobije s 42 elementa.

0 1 2 3 4 5 6−4

−2

0

2

4

6

8x 10

−4

real(I)

(A

)

kut (rad)

Realni dio struje

0 1 2 3 4 5 6−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

−3

Imag(I

) (A

)

kut (rad)


Ne=10

Ne=22

Ne=42

Ne=62

Slika 3.8 Raspodjela struje duž aktivne antene u konfiguraciji 1 za različiti broj linearnih elemenata

Na slici 3.9 prikazana je raspodjela struje na aktivnoj anteni za različiti broj kvadratičnih

elemenata. Može se primijetiti da je već s 10 elemenata postignuta jako dobra točnost, dok

je s 22 elementa rješenje gotovo u potpunosti konvergiralo.


55

0 1 2 3 4 5 6−4

−2

0

2

4

6

8x 10

−4

rea

l(I)

(A

)

kut (rad)

Realni dio struje

0 1 2 3 4 5 6−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

−3

Ima

g(I

) (A

)

kut (rad)


Ne=10

Ne=22

Ne=42

Slika 3.9 Raspodjela struje duž aktivne antene u konfiguraciji 1 za različiti broj kvadratičnih elemenata

3.4.2. Primjer 2 - Dalekovod

U slijedećem primjeru obrađuje se problem interferencije na vodičima nadzemnih

vodova uzrokovane ravnim valom proizvoljne incidencije. Sustav vodova se sastoji od

četiri žice smještene iznad realne zemlje (karakteristika εr=10 i σ=0.001S/m) kako je

prikazano na slici 3.10. Udaljenost između stupova koji nose vodiče je 300m. Tri donja

voda su u načelu fazni vodiči, dok je četvrti tzv. zaštitno uže. Vodiči imaju radijus

a=0.005m i ovdje se smatraju idealno vodljivima.

U prvom slučaju pretpostavlja se da su žice ravne te su pobuđene upadnim ravnim

valom jedinične amplitude, frekvencije 5MHz te kutovima incidencije α=0°, θ=60° i

φ=30°. Na slikama 3.11 do 3.14 prikazana je raspodjela struje duž svake pojedine žice

izračunata predloženom GBIMRE metodom te NEC-om. Vidljivo je izvrsno slaganje

rezultata izračunatih dvjema metodama.


56

Slika 3.10 Razmještaj vodiča dalekovoda

0 50 100 150 200 250 300−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

real(I)

(A

)

x (m)

Realni dio struje

0 50 100 150 200 250 300−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

Imag(I

) (A

)

x (m)


GB−IMRE

NEC

Slika 3.11 Raspodjela struje na prvom vodiču


57

0 50 100 150 200 250 300−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

real(I)

(A

)

x (m)

Realni dio struje

0 50 100 150 200 250 300−0.05

0

0.05

Imag(I

) (A

)

x (m)


GB−IMRE

NEC

Slika 3.12 Raspodjela struje na drugom vodiču

0 50 100 150 200 250 300−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

real(I)

(A

)

x (m)

Realni dio struje

0 50 100 150 200 250 300−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

Imag(I

) (A

)

x (m)


GB−IMRE

NEC

Slika 3.13 Raspodjela struje na trećem vodiču


58

0 50 100 150 200 250 300−0.05

0

0.05

real(I)

(A

)

x (m)

Realni dio struje

0 50 100 150 200 250 300−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

Imag(I

) (A

)

x (m)


GB−IMRE

NEC

Slika 3.14 Raspodjela struje na zaštitnom vodiču

U slijedećem slučaju uzet je u obzir provjes žica i to provjes od 23 m za fazne vodiče i

13.5 m za zaštitno uže. Vodiči su pobuđeni upadnim ravnim valom jedinične amplitude,

frekvencije 5MHz te incidencije α=0°, θ=0° i φ=0°. Na slikama 3.15 do 3.18 prikazana je

raspodjela struje duž svake pojedine žice izračunatu predloženom GBIMRE metodom s

linearnim i kvadratičnim elementima te NEC-om. Vidljivo je izvrsno slaganje rezultata,

kako između predloženih varijanti GBIMRE-a tako i tih rezultata s rezultatima dobivenih

NEC-om.


59

0 50 100 150 200 250 300−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

real(I)

(A

)

x (m)

Realni dio struje

0 50 100 150 200 250 300−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Imag(I

) (A

)

x (m)


GB−IMRE izo2

GB−IMRE izo3

NEC

Slika 3.15 Raspodjela struje na prvom vodiču

0 50 100 150 200 250 300−0.05

0

0.05

real(I)

(A

)

x (m)

Realni dio struje

0 50 100 150 200 250 300−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Imag(I

) (A

)

x (m)


GB−IMRE izo2

GB−IMRE izo3

NEC

Slika 3.16 Raspodjela struje na drugom vodiču


60

0 50 100 150 200 250 300−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

real(I)

(A

)

x (m)

Realni dio struje

0 50 100 150 200 250 300−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

Imag(I

) (A

)

x (m)


GB−IMRE izo2

GB−IMRE izo3

NEC

Slika 3.17 Raspodjela struje na trećem vodiču

0 50 100 150 200 250 300−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

real(I)

(A

)

x (m)

Realni dio struje

0 50 100 150 200 250 300−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

Imag(I

) (A

)

x (m)


GB−IMRE izo2

GB−IMRE izo3

NEC

Slika 3.18 Raspodjela struje na zaštitnom vodiču

Također na istom primjeru je provjeren utjecaj provjesa na raspodjelu struje uslijed

proizvoljne incidencije. Slike 3.19 do 3.22 prikazuju razliku između raspodjele struje

ukoliko se provjes uzme u obzir u odnosu na slučaj kada se koristi model s ravnim žicama.

Upadni val, jedinične amplitude, ima kutove incidencije α=0°, θ=60° i φ=30° i frekvenciju


61

od 5MHz. U slučaju da je provjes uzet u obzir, raspodjela struje je izračunata i s linearnim

i s kvadratičnim elementima, dok je u slučaju ravne žice korištena samo linearna

aproksimacija.

0 50 100 150 200 250 300−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

real(I)

(A

)

x (m)

Realni dio struje

0 50 100 150 200 250 300−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

Imag(I

) (A

)

x (m)


GB−IMRE izo2

GB−IMRE izo3

GB−IMRE ravne

Slika 3.19 Raspodjela struje na prvom vodiču sa ili bez provjesa

0 50 100 150 200 250 300−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

real(I)

(A

)

x (m)

Realni dio struje

0 50 100 150 200 250 300−0.05

0

0.05

Imag(I

) (A

)

x (m)


GB−IMRE izo2

GB−IMRE izo3

GB−IMRE ravne

Slika 3.20 Raspodjela struje na drugom vodiču sa ili bez provjesa


62

0 50 100 150 200 250 300−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

real(I)

(A

)

x (m)

Realni dio struje

0 50 100 150 200 250 300−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

Imag(I

) (A

)

x (m)


GB−IMRE izo2

GB−IMRE izo3

GB−IMRE ravne

Slika 3.21 Raspodjela struje na trećem vodiču sa ili bez provjesa

0 50 100 150 200 250 300−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

real(I)

(A

)

x (m)

Realni dio struje

0 50 100 150 200 250 300−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

Imag(I

) (A

)

x (m)


GB−IMRE izo2

GB−IMRE izo3

GB−IMRE ravne

Slika 3.22 Raspodjela struje na zaštitnom vodiču sa ili bez provjesa

Iz prikazanih rezultata jasno je vidljivo da je utjecaj provjesa značajan te bi ga kod

ovakvih situacija, gdje postoji interferencija upadnim valom proizvoljne incidencije,

svakako trebalo uzeti u obzir kod proračuna struje i/ili ostalih parametara od interesa.

Razlika u slučaju uzimanja i neuzimanja provjesa u obzir najbolje se vidi na slici 3.23 koja


63

prikazuje postotnu grešku u apsolutnom iznosu struje na prvom vodu ukoliko se zanemari

provjes. Pogreška u strujnoj raspodjeli ide do maksimalnog iznosa od 900%. Također valja

napomenuti da je, radi jednostavnosti usporedbe, struja na krajevima vodiča bila

postavljena na nulu.

0 50 100 150 200 250 3000

100

200

300

400

500

600

700

800

900

Razkik

a (

%)

x (m)

Postotna razlika apsolutnog iznosa struje

Slika 3.23 Postotna greška apsolutnog iznosa struje ukoliko se zanemari provjes

3.4.3. Primjer 3 – Mrežasti uzemljivač

U trećem primjeru razmatra se mrežasti uzemljivač dimenzija 60x60m, s okom mreže

od 10x10m [65]. Uzemljivač je izveden od bakrene žice (konačne vodljivosti) radijusa

a=0.007m te je ukopan u zemlju na dubinu od d=0.5m. Zemlja je smatrana homogenom

specifične električne vodljivosti σ=0.001S/m i relativne dielektričnosti εr=9. Geometrija

razmatranog uzemljivača je prikazana na slici 3.24, gdje su također naznačene točke

injektiranja struje: a) centar uzemljivača, i b) kut uzemljivača.

U prvom slučaju struja frekvencije 50Hz i jakosti 1kA je narinuta u centar uzemljivača

kako je naznačeno na slici 3.24. Korištenjem predložene GBIMRE metode izračunata je

raspodjela električnog polja na površini zemlje iznad uzemljivačkog sustava, primjenom

relacije (3.64).


64

Slika 3.24 Geometrija mrežastog uzemljivača

Na slici 3.25 prikazana je raspodjela apsolutne vrijednosti ukupnog električnog polja na

površini zemlje, dok je na slici 3.26 prikazana apsolutna vrijednost x-komponente

električnog polja.

Slika 3.25 Raspodjela efektivne vrijednosti ukupnog električnog polja na površini zemlje (50Hz centralna pobuda)


65

Slika 3.26 Raspodjela efektivne vrijednosti x-komponente električnog polja na površini zemlje (50Hz centralna pobuda)

U drugom slučaju narinuta struja je frekvencije 0.5MHz iste amplitude. Raspodjele

apsolutnih vrijednosti kako ukupnog električnog polja tako i x-komponente električnog

polja na površini zemlje su prikazane na slikama 3.27 i 3.28.

Slika 3.27 Raspodjela efektivne vrijednosti ukupnog električnog polja na površini zemlje (0.5MHz centralna pobuda)


66

Slika 3.28 Raspodjela efektivne vrijednosti x-komponente električnog polja na površini zemlje (0.5MHz centralna pobuda)

U slučaju da se struja injektira u kut uzemljivača raspodjela električnog polja na

površini se uvelike mijenja što je vidljivo iz slika 3.29 i 3.30.

Slika 3.29 Raspodjela efektivne vrijednosti ukupnog električnog polja na površini zemlje (0.5MHz kutna pobuda)


67

Slika 3.30 Raspodjela efektivne vrijednosti x-komponente električnog polja na površini zemlje (0.5MHz kutna pobuda)

Ukoliko se usporede rezultati prikazani na slikama 3.25 do 3.30 s rezultatima

objavljenima u [65] uočava se izvrsno slaganje, čime se potvrđuje ispravnost predložene

GBIMRE metode.

Izvrsno slaganje se može vidjeti i ukoliko se usporede izračunate vrijednosti x-

komponente električnog polja na površini zemlje izračunate duž pravca y=5m i x=0-40m u

slučaju centralne pobude s rezultatima objavljenim u [66]. Ta usporedba, na različitim

frekvencijama, je prikazana na slici 3.31.


68

0 5 10 15 20 25 30 35 400

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

|Ex| (V

/m)

x (m)

50Hz

0.5MHz

1MHz

50Hz Grcev

0.5MHz Grcev

1MHz Grcev

Slika 3.31 Usporedba x komponente električnog polja na različitim frekvencijama

Iz slike 3.31 je vidljivo kako GBIMRE metoda daje jako dobre rezultate bez obzira na

frekvenciju pobude.

Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene

69

4. KONCEPT KRUŽNOG MAGNETSKOG PRSTENA I JEDNOSTAVNE MAGNETSKE KRUŽNE ANTENE

Nema sumnje da je najčešće korišteni model pobude u teoriji žičanih antena, već

spomenuti, jednostavni idealni naponski izvor. Iako takav generator ne postoji u praksi, te

usprkos njegove jednostavnosti, rezultati koje daje su vrlo dobri. To se posebice odnosi na

dijagram zračenja.

Drugi nerijetko korišteni izvor pobude vezan je za koncept magnetskog prstena (eng.

magnetic frill). Ovaj model općenito daje točnije rezultate za ulaznu impedanciju ali pod

cijenu složenije matematičke formulacije. Kod koncepta magnetskog prstena početna

postavka je da je monopol, postavljen na ravninu (eng. ground plane), napajan

koaksijalnim kabelom. Osnovna ideja je da se tada električno polje unutar koaksijalnog

otvora može interpretirati kao primarni izvor koji pobuđuje ostatak antene. Originalno

model je predložen u [67] i uspješno implementiran u [68] i [69] za cilindrične dipole. Iako

se objašnjenje osnovne ideje modela može pronaći u mnogim knjigama na temu antena

[55], [56], [70], [71] nema mnogo znanstvenih radova u kojima se detaljnije obrađuje. Ti

radovi su uglavnom ograničeni na jednostavne dipole [43], [72] ili prstenove [73], [74].

Važno je napomenuti da su se i jedan i drugi generator do sada postavljali samo pomaknuti

od krajeva žice (antene), a nikada na otvorene krajeve žice. Dok se idealni naponski izvor

ni na koji način ne može postaviti na otvoreni kraj žice, predložen matematički model i

numeričko rješenje, kako će biti pokazano, omogućava da se jednostavni magnetski prsten

postavi na kraj žice bez da izazove numeričke nestabilnosti i nefizikalna rješenja. Ovo će

omogućiti značajno proširenje primjenljivosti naponski upravljanih pobuda na modeliranje

fizikalnih procesa. Na temelju osnovne ideje jednostavnog magnetskog prstena predložit će

se i korištenje jednostavne magnetske kružne antene kao naponski upravljanog generatora

u teoriji antena.

4.1. Koncept kružnog magnetskog prstena

Razmatra se monopol antena, vertikalna u odnosu na zemlju, kružnog presjeka, koja

predstavlja produžetak unutrašnjeg vodiča koaksijalne linije. Linija napaja antenu preko

beskonačne, idealno vodljive ravnine. Koristeći princip ekvivalentnosti pobuda


70

koaksijalnim kabelom se može zamijeniti ekvivalentnim tangencijalnim (u odnosu na

otvor, tj. radijalnim) električnim poljem definiranim duž otvora koaksijalne linije. U

slučaju da je otvor koaksijalne linije električki mali (valna duljina vala mnogo veća od

radijusa vanjskog vodiča) tada je distribucija električnog polja duž otvora primarno TEM

(transverzalno elektromagnetski mod) prirode. To znači da se električno polje duž otvora

koaksijalne linije može aproksimirati sa samo TEM modom [42], [55]:

01

2ln

VE e

b

a

ρ

ρ

=

(4.1)

gdje je V0 napon, b radijus vanjskog vodiča, a a radijus unutarnjeg vodiča koaksijalne linije

koji se poklapa s radijusom antene. Faktor ½ se koristi zato što se pretpostavlja da je

impedancija izvora prilagođena impedanciji antene. U slučaju da se koristi napon na

ulaznim stezaljkama antene 0 = iV V , umjesto napona iz izvora 0 = sV V , ovaj faktor postaje

1.

Električno polje na stezaljkama antene se zamjenjuje kružnom gustoćom magnetske

struje oko žice, unutarnjeg radijusa a (ujedno i radijus antene) i vanjskog radijusa b, kako

je skicirano na slici 4.1.

Slika 4.1 Monopol napajan koaksijalnom linijom i pripadajući magnetski prsten


71

Na površini procjepa antene vrijedi granični uvjet:

( )1 22− × − =

fn E E M (4.2)

gdje je fM

ekvivalentna gustoća magnetske struje, a:

zn e=

(4.3)

vektor smjera antene.

1E

je električno polje pobude i u slučaju koaksijalnog napajanja te pretpostavljenog

TEM moda propagacije iznosi:

01

1

2 ln

VE e

b

a

ρ

ρ

=

(4.4)

dok je:

2 0E =

(4.5)

električno polje unutar žice, budući da se smatra da je žica idealno vodljiva.

Valja napomenuti da faktor 2 u izrazu (4.2) proizlazi iz teorije preslikavanja, te se

koristi ukoliko u jednadžbi (4.1) primjenjuje napon izvora Vs. U slučaju korištenja napona

na stezaljkama antene Vi tada se faktor 2 zamjenjuje s jedinicom.

Uvrštavajući izraze (4.3)-(4.5) u (4.2) slijedi izraz za ekvivalentnu gustoću magnetske

struje oko žice :

0

lnf

VM e

b

a

φ

ρ

= −

(4.6)

Dakle, da bi se magnetski prsten mogao koristiti kao pobuda žičane strukture potrebno je

odrediti izraz za električno polje magnetskog prstena na površini antene.


72

Električni vektorski potencijal definiran je izrazom [75]:

( ) ( )'

, , ', ', ' '4

jkR

S

eF x y z M x y z dS

R

ε

π

−

= ∫∫

(4.7)

gdje je R udaljenost od točke izvora do točke promatranja, a k valni broj.

Općenito prostorna raspodjela magnetske struje se može zapisati u obliku:

( ) ( ) ( ) ( )', ', ' ', ', ' ', ', ' ', ', 'x y zx y zM x y z e M x y z e M x y z e M x y z= + +

(4.8)

S obzirom na cilindričnu geometriju, mnogo je podesnije zapisati komponente struje u

cilindričnom koordinatnom sustavu pomoću transformacije:

cos ' sin ' 0

sin ' cos ' 0

0 0 1

x

y

z z

M M

M M

M M

ρ

φ

φ φ

φ φ

− =

(4.9)

i transformacije koordinatnog vektora:

cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

x

y

z z

e e

e e

e e

ρ

φ

φ φ

φ φ

− =

(4.10)

Uvrštavajući (4.9) i (4.10) u (4.8) dobiva se izraz za prostornu raspodjelu magnetske struje

u cilindričnom sustavu:

( )

cos( ') sin( ')

sin( ') cos( ')

', ', 'z z

M e M M

e M M

e M x y z

ρ ρ φ

φ ρ φ

φ φ φ φ

φ φ φ φ

= − + − +

+ − − + − +

+

(4.11)


73

U konkretnom slučaju jednostavnog magnetskog prstena ostaje samo φ komponenta Mφ

gustoće magnetske struje:

cos( ')M e Mφ φ φ φ= −

(4.12)

Udaljenost R od bilo koje točke na prstenu do točke promatranja je općenito:

( ) ( ) ( )2 2 2

' ' 'R x x y y z z= − + − + − (4.13)

odnosno ako je prikažemo u cilindričnom koordinatnom sustavu:

( ) ( )22 2' 2 'cos ' 'R z zρ ρ ρρ φ φ= + − − + − (4.14)

Budući je Mφ dano s (4.6) ne ovisi o kutu φ , tada i polje koje izrači prsten neće biti ovisno

o kutu φ . Zbog toga se, bez gubitka općenitosti može uzeti da je 0φ = . Tada se (4.14)

reducira:

( )22 2' 2 'cos ' 'R z zρ ρ ρρ φ= + − + − (4.15)

Korištenjem (4.12) i (4.15), φ komponenta električnog vektorskog potencijala (4.7)

postaje:

( )

( )

22 2' 2 ' cos ' '2

22 20

cos ' ' ' '4 ' 2 'cos ' '

jk z zb

a

eF M d d

z z

ρ ρ ρρ φπ

φ φ

εφ ρ φ ρ

π ρ ρ ρρ φ

− + − + −

=+ − + −

∫ ∫ (4.16)

gdje je diferencijal površine definiran u cilindričnom koordinatnom sustavu oblika:

' ' ' 'dS d dρ φ ρ= (4.17)

Uvrštavanjem (4.6) u (4.16) konačno slijedi:


74

( )

( )

22 2' 2 ' cos ' '20

22 20

cos ' ' '4 ' 2 'cos ' 'ln

jk z zb

a

V eF d d

b z za

ρ ρ ρρ φπ

φ

εφ φ ρ

π ρ ρ ρρ φ

− + − + −

= − + − + −

∫ ∫ (4.18)

Dvostruki integral u (4.18) nije analitički rješiv, te ga je nužno izračunati numerički.

Nadalje, električno i magnetsko polje izraženo je preko magnetskog i električnog

vektorskog potencijala na način [75]:

( )1 1E j A j A Fω

ωµε ε= − − ∇ ∇ − ∇ ×

(4.19)

Odnosno:

( )1 1H j F j F Aω

ωµε µ= − − ∇ ∇ + ∇ ×

(4.20)

U konkretnom slučaju jednostavnog magnetskog prstena jednadžbe (4.19) i (4.20) se

reduciraju i za cilindrični koordinatni sustav se dobiva:

( )1 1

zE Fφρε ρ ρ

∂= −

∂ (4.21)

( )1

E Fzρ φ

ε

∂=

∂ (4.22)

H j Fφ φω= − (4.23)

Dakle, električno polje magnetskog prstena na površini žice nije jednostavno odrediti

budući da postupak zahtjeva i numeričko integriranje i numeričko deriviranje, što zahtjeva

dosta vremena računanja. Što je još bitnije, numeričko integriranje, a posebice deriviranje

je jako osjetljivo na diskretizaciju domene te je mogućnost dobivanja netočnih i

nefizikalnih rezultata vrlo izgledna. Valja napomenuti da u literaturi postoje

aproksimativni analitički izrazi za polja magnetskog prstena, ali su izrazito kompleksni

[42].

Međutim, ukoliko se promatra samo polje duž osi z, tj. za 0ρ = , tada je moguće

izvesti analitički izraz za električno polje duž te osi. U slučaju da je žica dovoljno tanka,


75

što se implicira kod tankožičane aproksimacije, može se pretpostaviti da je polje na

površini žice jednako polju duž osi žice.

Dakle, tada simetrija problema uvjetuje da je ρ komponenta električnog polja jednaka

nuli. Također izraz za udaljenost od točke izvora do točke promatranja (4.15) se

pojednostavljuje, odnosno postaje:

( )22' 'R z zρ= + − (4.24)

pa onda izraz za električni vektorski potencijal poprima sljedeći oblik:

( )

( )

22' ' 20

220

(0, ) cos ' ' '4 ' 'ln

jk z zb

a

V eF z d d

b z za

ρ π

φ

εφ φ ρ

π ρ

− + − = −

+ −

∫ ∫ (4.25)

što je identički jednako nuli budući je:

2

0

cos ' 'dπ

φ φ∫ =0 (4.26)

Tada je magnetsko polje u osi z:

(0, ) 0H zφ ≡ (4.27)

Iz (4.21) slijedi:

( ) ( )

0 0

, ,1 1(0, )z

F z F zE z φ φ

ρ ρ

ρ ρ

ε ρ ε ρ= =

∂= − −

∂ (4.28)

Korištenjem L'Hospital-ovog pravila za prvi izraz s desne strane (0/0) (4.28) dobiva se:


76

( )

0

,2(0, )z

F zE z φ

ρ

ρ

ε ρ=

∂= −

∂ (4.29)

Uvrštavanjem (4.25) u (4.29) te mijenjanjem redoslijeda integracije i deriviranja slijedi:

( )( )

( )

22 2' 2 ' cos ' '20

22 20

0

10, cos ' ' '

2 ' 2 'cos ' 'ln

jk z zb

z

a

V eE z d d

b z za

ρ ρ ρρ φπ

ρ

φ φ ρπ ρ ρ ρ ρρ φ

− + − + −

=

∂ = ∂ + − + −

∫ ∫ (4.30)

Izraz (4.30) je analitički rješiv, pa je električno polje duž osi z jednako [42]:

( )( )

( )

( )

( )

2 22 2' '

0

2 22 2

10,

2 ' 'ln

− + − − + − = − + − + −

jk a z z jk b z z

z

V e eE z

b a z z b z za

(4.31)

Jednadžba (4.31) predstavlja pobudu ravne žičane strukture u vidu tangencijalnog

električnog polja, tj. ( )excsmE s u jednadžbi (2.32) kada se pobuda modelira jednostavnim

magnetskim prstenom. Valja napomenuti da se na ovaj način uspješno modelira napajanje

dipola pomoću napajanja monopola. S druge strane, iako nije praktično izvediv, ovakav

način matematičkog modeliranja se može koristiti za pobuđivanje složenijih žičanih

struktura, što uključuje ne-centralno napajane antene, proizvoljne žičane strukture s jednim

ili više generatora, a posebice strukture koje se napajaju na otvorenom kraju žice. Ovo

posljednje se naročito odnosi na modeliranje kanala groma, gromobrana i uzemljivača.

Jedini možebitni nedostatak ovako formulirane pobude je nejasno definiran radijus b.

Najčešće se radijus b određuje iz karakteristične impedancije prstenastog otvora

koaksijalne linije definirane s [55]:

ln

2

µ

ε π

=c

b

aZ (4.32)


77

Dakle, npr. u slučaju 50Ω-ske karakteristične impedancije (često u antenskim

primjenama) i zraku između vodiča koaksijalne linije vanjski radijus magnetskog prstena

je 2.3=b a .

Karakter aksijalnog električnog polja definiranog (4.31) uzrokovanog magnetskim

prstenom unutarnjeg radijusa 0.005a m= , vanjskog radijusa 0.0115b m= (što odgovara

50Ω-skom prilagođenju) te ulaznom naponu od 1V pri frekvenciji od 300MHz prikazana je

na slici 4.2. Zbog rapidnog opadanja polja posebnu pažnju treba posvetiti numeričkoj

integraciji pri proračunu vektora desne strane, tj. vektora pobude.

-0.2 -0.1 0 0.1 0.20

10

20

30

40

50

60

70

AB

S (

E)

[V/m

]

pozicija [m]

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2-25

-20

-15

-10

-5

0

FA

ZA

(E

) [°

]

pozicija [m]

Slika 4.2 Polje magnetskog prstena

4.2. Koncept jednostavne magnetske kružne antene

Na tragu koncepta magnetskog prstena može se predstaviti koncept jednostavne

magnetske kružne antene kao pobude proizvoljne žičane strukture, slika 4.3. Dakle na

mjestu pobude žice (antene) postavlja se jednostavna kružna antena, radijusa a (koji je

ujedno i radijus pobuđivane žice) kojom teče gustoća magnetske struje fM

.


78

Slika 4.3 Antena pobuđena jednostavnom magnetskom kružnom antenom

Da bi se jednostavna kružna antena koristila kao pobuda žičane strukture valja odrediti

aksijalnu komponentu električnog polja u osi antene. Dakle kao i u slučaju magnetskog

prstena električni vektorski potencijal je definiran sa (4.7), dok je prostorna raspodjela

magnetske struje u cilindričnim koordinatama dana sa (4.11).

U konkretnom slučaju magnetske antene, tj. kada b→a ostaje samo φ komponenta Mφ

magnetske gustoće struje pa slijedi:

cos( ') ( ' ) cos( ')fM e M e aφ φφ φ φ δ ϕ φ φ= − = = −

(4.33)

Slijedeći postupak analogan onome u slučaju magnetskog prstena, te uz zamjenu 'ρ = a ,

dolazi se do izraza za električni vektorski potencijal koji ima samo φ komponentu:

( )

( )

22 2 2 cos ' '2

22 20

( )cos ' '4 2 cos ' '

ρ ρ φπ

φ

εδ φ φ

π ρ ρ φ

− + − + −

= −+ − + −

∫jk a a z z

a eF a d

a a z z (4.34)

Integral u (4.34) nije analitički rješiv, te je nužna numerička integracija.


79

Električno i magnetsko polje dobije se iz električnog vektorskog potencijala, odnosno

primjenom relacija (4.21) - (4.23).

U slučaju da se promatra samo polje duž osi z, tj. za 0ρ = , tada simetrija problema

uvjetuje da je ρ komponenta električnog polja jednaka nuli, a izraz za električni vektorski

potencijal poprima sljedeći oblik:

( )

( )

22 ' 2

220

(0, ) ( )cos ' '4 '

π

φ

εδ φ φ

π

− + −

= −+ −

∫jk a z z

a eF z a d

a z z (4.35)

što je identički jednako nuli.

Korištenjem (4.29) te mijenjanjem redoslijeda integriranja i deriviranja slijedi:

( )( )

( )

22 2 2 cos ' '2

22 20

0

0, ( )cos ' '2 cos ' '

jk a a z z

z

a eE z a d

a a z z

ρ ρ φπ

ρ

δ φ φπ ρ ρ ρ φ

− + − + −

=

∂ = ∂ + − + −

∫ (4.36)

Izraz (4.36) je analitički rješiv, te je električno polje duž osi z jednako:

( )( )

( )

( )

22 '2

2222

10,

2 ''

− + − = + + −+ −

jk a z z

z

a eE z jk

a z za z z (4.37)

Jednadžba (4.37) predstavlja pobudu ravne žičane strukture u vidu tangencijalnog

električnog polja, tj. ( )excsmE s u jednadžbi (2.32) kada se pobuda modelira jednostavnom

magnetskom kružnom antenom. Ovako formulirana pobuda još nije korištena u poznatoj

znanstvenoj literaturi. Iako nema fizikalni smisao niti je fizički izvediva, matematički je

jako pogodna i stabilna, a pogotovo pri procjeni ulazne impedancije kako će se pokazati

naknadno. Također, ovakav model generatora je pogodan za pobudu složenih žičanih

struktura bez obzira na mjesto pobude, uključujući i napajanje na otvorenom kraju žice,

bez da izazove pojavu nefizikalnih rješenja koji su se javljali kod korištenja npr. idealnog

naponskog izvora [29]. Osnovna prednost u odnosu na model magnetskog prstena je

izostanak radijusa b i izrazima koji u modelu magnetskog prstena nije jasno definiran.


80

Karakter aksijalnog električnog polja definiranog s (4.37) uzrokovanog magnetskom

kružnom antenom radijusa 0.005a m= , pri frekvenciji od 300MHz prikazan je na slici 4.4.

Kao i u slučaju magnetskog prstena, zbog rapidnog opadanja polja posebnu pažnju treba

posvetiti numeričkoj integraciji pri proračunu vektora pobude.

-0.2 -0.1 0 0.1 0.20

20

40

60

80

100

120

AB

S (

E)

[V/m

]

pozicija [m]

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2-25

-20

-15

-10

-5

0

FA

ZA

(E

) [°

]

pozicija [m]

Slika 4.4 Polje kružne magnetske antene

Izraz (4.37) se također može izvesti iz električnog polja duž aksijalne linije (ρ=0)

magnetskog prstena smještenog u xy ravninu unutarnjeg radijusa a i vanjskog radijusa b

danog izrazom (4.31).

Naime, u graničnom slučaju kada b→a slijedi [42]:

( )( )

( )

( )

( )

2 22 2' '0

2 22 2

10, lim

2 ' 'ln

jk b z z jk b z zPz

b a

V e eE z

b a z z b z za

− + − − + −

→

= − + − + −

(4.38)

gdje je ( )0,PzE z aksijalno električno polje magnetskog prstena.

Limes u izrazu (4.38) ima neodređeni oblik (0/0) te se koristeći L'Hospital-ovo pravilo,

dobije:


81

( )( )

( )

( )

22 '2

0 2222

10,

2 ''

jk a z zPz

a eE z V jk

a z za z z

− + − = + + −+ −

(4.39)

što odgovara izrazu (4.37) ukoliko se razmatra jedinični napon.

4.3. Veza između jednostavnog naponskog izvora i jednostavne magnetske kružne antene

Poznato je da se kod jednostavnog naponskog izvora pretpostavlja kako je električno

polje konstantno između stezaljki, a nula na ostatku strukture. Zadovoljenjem graničnog

uvjeta to električno polje se može zamijeniti ekvivalentnom gustoćom magnetske struje

gM [55], kako je prikazano na slici 4.5:

; '2 2

excs s

g s zV V

M n E e e e zρ φ∆ ∆

= − × = − × = − ≤ ≤∆ ∆

(4.40)

Slika 4.5 Veza između jednostavnog naponskog izvora i magnetske antene

Ponavljajući postupak kao u slučaju magnetskog prstena slijedi izraz za vektorski

električni potencijal ovako definirane gustoće magnetske struje:


82

( )

( )

22 2 2 cos ' '2 2

22 20

2

cos ' ' '4 2 cos ' '

ρ ρ φπ

φ

εφ φ

π ρ ρ φ

∆− + − + −

∆−

= −∆ + − + −∫ ∫

jk a a z z

sa V eF dz d

a a z z (4.41)

Tada je električno polje duž aksijalne osi, tj. za 0ρ = , u skladu s (4.26) i (4.29) definirano

relacijom:

( )( )

( )

22 2 2 cos ' '22

22 20

2 0

0, cos ' ' '2 cos ' '

ρ ρ φπ

ρ

φ φπ ρ ρ ρ φ

∆− + − + −

∆−=

∂ = ∆ ∂ + − + −

∫ ∫jk a a z z

sz

a V eE z d dz

a a z z (4.42)

Deriviranjem i jednostrukim integriranjem izraza (4.42) slijedi:

( )( )

( )

( )

22 '2 2

22222

10, '

2 ''

∆− + −

∆−

= + ∆ + −+ −

∫jk a z z

sz

a V eE z jk dz

a z za z z (4.43)

Izraz (4.43) nije analitički rješiv, pa je nužno potrebno provesti numeričku integraciju.

Međutim ukoliko se pretpostavi da je 0∆ → , odnosno da je razmak između stezaljki

dovoljno mali da je podintegralna funkcija konstantna duž intervala tada se dobiva izraz za

električno polje duž aksijalne osi ekvivalentne magnetske struje za jako mali razmak

između stezaljki napajanja:

( )( )

( )

( )

22 '2

2222

10,

2 ''

− + − = + + −+ −

jk a z z

z s

a eE z V jk

a z za z z (4.44)

što odgovara izrazu za polje magnetske kružne antene (4.39), uz proizvoljni napon.

Ovakav rezultat potvrđuje opravdanost primjene magnetske kružne antene kao naponski

upravljane pobude žičane strukture.


83

4.4. Numeričko rješenje i primjeri

Budući da u slučaju pobude antene kružnim magnetskim prstenom ili magnetskom

kružnom antenom izraz za tangencijalno električno polje nije trivijalan kao u slučaju

jednostavnog naponskog izvora proračun vektora desne strane (3.41) je nešto

kompliciraniji, nije analitički izvediv, te zahtjeva upotrebu sofisticiranih postupaka za

numeričku integraciju. Naime, zbog jako strme karakteristike tih polja prikazane na

slikama 4.2 i 4.4, nije pogodno koristiti jednostavnije integracijske tehnike poput Gauss-

ove kvadrature već je nužno upotrebiti adaptivne tehnike poput adaptivne Simpson-ove

integracije, koja osigurava brzu konvergenciju rješenja. Jedino na taj način je moguće, za

veliki raspon dužina elemenata, dobiti točne koeficijente vektora desne strane.

Izraz za vektor desne strane (3.41) u slučaju pobude magnetskim prstenom postaje:

( )

( )

( )

( )

2 22 22

1

' '

0

2 22 2

14

2 ' 'ln

z jk a z z jk b z ze

effj jz

V e eV j f dz

b a z z b z za

πωε− + − − + −

±

= − − + − + −

∫ (4.45)

dok u slučaju pobude magnetske antene ima oblik:

( )

( )

( )

222

1

'2

2222

14

2 ''

z jk a z ze

eff sj jz

a eV j V jk f dz

a z za z zπωε

− + −

±

= − + + −+ − ∫ (4.46)

Valja napomenuti da se u izrazima (4.45) i (4.46) koriste neizoparametarske verzije baznih

funkcija (3.28) definirane s:

2 11 2

2 1 2 1

;z z z z

f fz z z z

− −= =

− − (4.47)

Naime korištenjem baznih funkcija oblika (4.47) nema potrebe izraze za tangencijalno

polje (4.31) i (4.44) prebacivati u izoparametarsko područje ζ . Također, pri rješavanju

integrala u (4.45) i (4.46) se u ovom radu koristi adaptivna simpsonova integracija jer


84

klasična Legendre-Gauss-ova kvadratura ne daje dovoljno precizne rezultate a za koju je

interval integriranja potrebno prebaciti u područje [-1,1].

4.4.1. Predajna antena

Prvi primjer predstavlja jednostavnu centralno napajanu dipol antenu u predajnom

režimu rada duljine L=0.94λ i radijusa žice a=0.005λ, smještene u slobodan prostor.

Tablica 4.1 prikazuje vrijednosti vektora desne strane proračunatog prema izrazu (3.41)

(podijeljenom s konstantom 4πωε ±effj radi jasnije usporedbe) za različite vrste i modele

pobude jediničnog napona. Vrijednosti u tablici 4.1. su dobivene uz linearnu aproksimaciju

s 21. elementom. Budući je dipol napajan centralno dovoljno je pokazati samo polovicu

vektora jer je druga polovica simetrična. Vrijednosti u tablici su zbog jasnije usporedbe

prikazani grafički na slici 4.6.

Tablica 4.1 Vrijednosti vektora desne strane za različite pobude

Magnetski prsten Delta

b/a=2,3 b/a=5 b/a=100 b/a=0,1

Mag. kružna antena

Čvor

ABS faza ABS faza ABS faza ABS faza ABS faza ABS faza

1 0 0 2,31E-05 87,03 6,69E-05 86,94 5,87E-03 53,27 1,93E-06 87,05 8,99E-06 87,05

2 0 0 5,35E-05 96,86 1,55E-04 96,77 1,28E-02 62,05 4,47E-06 96,89 2,08E-05 96,88

3 0 0 6,80E-05 110,84 1,96E-04 110,74 1,48E-02 74,71 5,68E-06 110,86 2,64E-05 110,86

4 0 0 8,94E-05 124,33 2,58E-04 124,22 1,73E-02 87,10 7,47E-06 124,36 3,47E-05 124,36

5 0 0 1,23E-04 137,18 3,55E-04 137,06 2,04E-02 99,20 1,03E-05 137,21 4,79E-05 137,21

6 0 0 1,81E-04 149,14 5,22E-04 149,01 2,44E-02 111,08 1,51E-05 149,18 7,04E-05 149,17

7 0 0 2,93E-04 159,87 8,43E-04 159,73 2,99E-02 122,81 2,45E-05 159,91 1,14E-04 159,90

8 0 0 5,58E-04 168,87 1,59E-03 168,72 3,82E-02 134,57 4,68E-05 168,91 2,18E-04 168,90

9 0 0 1,44E-03 175,50 4,04E-03 175,36 5,24E-02 146,69 1,22E-04 175,54 5,65E-04 175,54

10 0 0 8,47E-03 179,21 2,10E-02 179,08 8,72E-02 159,98 7,45E-04 179,25 3,43E-03 179,24

11 0,50 180 4,91E-01 179,99 4,77E-01 179,96 3,18E-01 174,50 4,99E-01 180,00 4,97E-01 179,99


85

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

10−4

10−2

|V|

cvor

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

50

100

150

200

arg

(V)

cvor

Delta

MF b=2.3

MF b=5

MF b=100

MF b=0.1

MA

Slika 4.6 Usporedba vrijednosti vektora desne strane za različite pobude

Odmah je vidljivo da se vrijednosti vektora desne strane razlikuju ovisni o modelu

pobude. U slučaju jednostavnog naponskog izvora samo čvorovi elementa na kojem je

postavljen izvor su različiti od nule i jednaki polovici narinutog napona (u ovom slučaju

0.5), dok su u slučaju magnetskog prstena i magnetske kružne antene svi članovi različiti

od nule. Međutim, opadanje vrijednosti članova je jako izraženo ukoliko se udaljavamo od

samog izvora, tako da već nakon nekoliko elemenata razlika je nekoliko redova veličine.

Također valja primijetiti da je iznos vektora desne strane na elementu na kojem je

postavljen izvor blizu polovice narinutog napona kao u slučaju jednostavnog naponskog

izvora. Jedini slučaj koji odstupa od ovog pravila je kada je faktor b puno veći od a kod

modeliranja pobude magnetskim prstenom. Tada je vektor desne strane bitno drugačiji

nego kod ostalih pobuda, kako u samom iznos tako i u brzini opadanja.

Slika 4.7 prikazuje raspodjelu struje na gore spomenutom dipolu za tri različita modela

pobude: jednostavni naponski izvor, magnetski prsten (b=2.3a), i jednostavnu magnetsku

antenu. Za numeričko rješenje je korišten 21 linearni rubni element i jedinični napon

pobude.

Odmah je vidljivo da su rezultati potpuno usklađeni. Jedina mala razlika je vidljiva u

imaginarnom dijelu struje na mjestu same pobude. Velika prednost u primjeni magnetskog

prstena i pogotovo magnetske antene kao pobude je vidljiva na slici 4.8 gdje je prikazana

raspodjela struje na istom dipolu ali izračunata na 20 linearnih elemenata. Naime, ukoliko


86

je dipol centralno napajan upotreba jednostavnog naponskog izvora u numeričkom rješenju

zahtjeva upotrebu neparnog broja elemenata. Takovog ograničenja nema kod magnetskog

prstena i magnetske antene koji mogu biti „numerički vezani“ bilo za čvor bilo za element.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4x 10

−3

rea

l(I)

(A

)

x/ λ

Realni dio struje

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9−3

−2

−1

0

1x 10

−3

Ima

g(I

) (A

)

x/ λ


Jed. nap. izvor

Mag. prsten

Mag. antena

Slika 4.7 Raspodjela struje za različite pobude (linearna aproksimacija)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4x 10

−3

real(I)

(A

)

x/ λ

Realni dio struje

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9−3

−2

−1

0

1

2x 10

−3

Imag(I

) (A

)

x/ λ


Mag. prsten

Mag. antena

Slika 4.8 Raspodjela struje za različite pobude (linearna aproksimacija i parni broj elemenata)


87

Izvrsno slaganje rezultata se dobije i ukoliko se koriste tročvorni kvadratični elementi,

kako je pokazano na slici 4.9, gdje je korišteno 11 tročvornih elemenata. Također ni u

ovom slučaju nema nikakvih ograničenja u smisli postavljanja pobude u vidu magnetskog

prstena ili magnetske antene.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

−3

rea

l(I)

(A

)

x/ λ

Realni dio struje

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1x 10

−3

Ima

g(I

) (A

)

x/ λ


Jed. nap. izvor

Mag. prsten

Mag. antena

Slika 4.9 Raspodjela struje za različite pobude (kvadratična aproksimacija)

Slika 4.10 prikazuje raspodjelu struje na nesimetrično napajanoj anteni duljine L=0.94λ

i radijusa a=0.005λ, smještene u slobodan prostor za različite modele napajanja. U ovom

slučaju napajanje je postavljeno na sedmi element tj. na poziciji 0.282λ udaljenoj od

lijevog kraja antene. Opet, slaganje rezultata je potpuno, iako je originalno izvor u vidu

magnetskog prstena izveden za centralno napajani dipol.


88

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

rea

l(I)

(A

)

x/ λ

Realni dio struje

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9−3

−2

−1

0

1

2x 10

−3

Ima

g(I

) (A

)

x/ λ


Jed. nap. izvor

Mag. prsten

Mag. antena

Slika 4.10 Raspodjela struje za različite pobude (linearna aproksimacija i necentralno napajanje)

Slijedeći primjer prikazuje ovisnost raspodjele struje, na prethodno razmatranom

dipolu, o faktoru b u izrazu za električno polje magnetskog prstena. Kako je vidljivo iz

slike 4.11 utjecaj faktora b postaje značajan ukoliko je b puno veće od a. Jasno je da faktor

b može imati značaj budući da u načelu mijenja stvarni napon na ulaznim stezaljkama

antene, što može rezultirati krivom procjenom ostalih parametara od interesa, poput ulazne

impedancije. Ovakvih problema nema ukoliko se koristi jednostavni naponski izvor ili

pobuda u vidu magnetske kružne antene. Na temelju dosadašnjih razmatranja može se

zaključiti da se pobudom u vidu magnetske antene kombiniraju prednosti magnetskog

prstena u smislu slobode pozicioniranja i točnosti, te prednosti jednostavnog naponskog

izvora u smislu jedinstvenosti i neovisnosti o drugim parametrima.


89

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9−5

0

5

10

15x 10

−4

rea

l(I)

(A

)

x/ λ

Realni dio struje

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9−3

−2

−1

0

1x 10

−3

Ima

g(I

) (A

)

x/ λ


b=0.1a

b=2.3a

b=5a

b=100a

Slika 4.11 Ovisnost raspodjele struje o vanjskom radijusu magnetskog prstena b

4.4.2. Uzemljivač

Kao što je već izneseno koncept magnetskog prstena i kružne magnetske antene se

može upotrijebiti u modeliranju fizikalnih procesa kod kojih se napajanje postavlja na kraj

žice. To se uglavnom odnosi na modeliranje pojava i sustava vezanih za udar munje kao

što su kanal groma, gromobran i uzemljivač. Do sada su se u literaturi koristili idealni

strujni izvor [14], [46], [47] opisan u poglavlju 2, te jednostavni naponski izvor ali samo u

slučaju kada se struktura koja se modelira (uglavnom kanal groma) nalazi iznad idealno

vodljive zemlje, pri čemu je izvor smješten na granici zemlja-zrak, pa je moguće jedan

terminal izvora postaviti na strukturu a drugi na sliku te strukture [13], [39], [40].

U ovom radu će se na primjeru uzemljivača pokazati ispravnost i točnost modela

pobude žičanih struktura na kraju strukture upotrebom magnetskog prstena ili kružne

magnetske antene, kako je skicirano na slici 4.12. Vrijedi još jednom istaknuti da su

koncept magnetskog prstena, kao i koncept kružne magnetske antene naponski upravljane

pobude za razliku od idealnog strujnog izvora te su stoga mnogo podesnije i opravdanije za

korištenje ukoliko se pojava modelira teorijom antena. To se odmah vidi ukoliko se

usporede vrijednosti vektora desne strane u slučaju korištenja idealnog strujnog izvora,

magnetskog prstena ili pak kružne magnetske antene. Usporedba je dana u tablici 4.2 i na


90

slici 4.13 za primjer horizontalnog uzemljivača dugog 1m ukopanog na dubini 0.5m u

zemlju karakteristika 10ε =r i 0.001σ = S m . Uzemljivač je numerički tretiran s 21

linearnim elementom, dok je frekvencija pobude iznosila 5MHz.

Slika 4.12 Pobuda na otvorenom kraju žice

Tablica 4.2 Vrijednosti vektora desne strane za različite pobude u slučaju modeliranja uzemljivača

Magnetski prsten b/a=2,3 Mag. kružna antena Idealni

strujni izvor Jedinični napon

Normaliziran na jediničnu struju

Jedinični napon Normaliziran na jediničnu struju Č

vor

ABS faza ABS faza ABS faza ABS faza ABS faza

1 0 0 4,25E-01 180,00 2,35E+02 107,00 4,50E-01 180,00 2,48E+02 107

2 0 0 7,14E-02 180,00 3,94E+01 107,00 4,84E-02 180,00 2,66E+01 107

3 0 0 2,32E-03 179,99 1,28E+00 107,00 9,13E-04 179,99 5,02E-01 106,99

4 0 0 5,88E-04 179,98 3,24E-01 106,98 2,29E-04 179,98 1,26E-01 106,98

5 0 0 2,36E-04 179,96 1,30E-01 106,96 9,19E-05 179,96 5,05E-02 106,96

6 0 0 1,18E-04 179,93 6,53E-02 106,93 4,60E-05 179,93 2,53E-02 106,93

7 0 0 6,78E-05 179,90 3,74E-02 106,90 2,63E-05 179,90 1,45E-02 106,9

8 0 0 4,24E-05 179,85 2,34E-02 106,86 1,65E-05 179,85 9,07E-03 106,86

9 0 0 2,84E-05 179,80 1,56E-02 106,81 1,10E-05 179,80 6,06E-03 106,81

10 0 0 1,99E-05 179,75 1,10E-02 106,75 7,73E-06 179,75 4,25E-03 106,75

11 0 0 1,45E-05 179,68 8,00E-03 106,69 5,63E-06 179,68 3,10E-03 106,68

12 0 0 1,09E-05 179,61 6,01E-03 106,61 4,23E-06 179,61 2,33E-03 106,61

13 0 0 8,41E-06 179,52 4,64E-03 106,53 3,27E-06 179,52 1,79E-03 106,53

14 0 0 6,62E-06 179,43 3,65E-03 106,44 2,57E-06 179,43 1,41E-03 106,43

15 0 0 5,31E-06 179,33 2,93E-03 106,34 2,06E-06 179,33 1,13E-03 106,33

16 0 0 4,33E-06 179,22 2,39E-03 106,23 1,68E-06 179,22 9,25E-04 106,22

17 0 0 3,58E-06 179,10 1,97E-03 106,11 1,39E-06 179,10 7,64E-04 106,1

18 0 0 2,99E-06 178,97 1,65E-03 105,98 1,16E-06 178,97 6,39E-04 105,97

19 0 0 2,53E-06 178,83 1,40E-03 105,84 9,82E-07 178,83 5,40E-04 105,83

20 0 0 2,16E-06 178,68 1,19E-03 105,69 8,38E-07 178,68 4,61E-04 105,69

21 0 0 1,86E-06 178,53 1,02E-03 105,53 7,21E-07 178,53 3,96E-04 105,53

22 0 0 8,42E-07 178,41 4,65E-04 105,42 3,27E-07 178,41 1,80E-04 105,41


91

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 2210

−4

10−2

100

102

104

|V|

cvor

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 220

20

40

60

80

100

120

arg

(V)

cvor

Strujni izvor

MF b=2.3

MA

Slika 4.13 Usporedba normaliziranih vrijednosti vektora desne strane za različite pobude u slučaju modeliranja uzemljivača

U slučaju idealnog strujnog izvora pobuda se modelira preko graničnog uvjeta, kako je

opisano u drugom poglavlju pa je vektor desne strane jednak nuli. U slučaju da se pobuda

modelira postavljanjem magnetskog prstena ili kružne magnetske antene na kraj žice

vektor desne strane je različit od nule. U tablici 4.2 su usporedno prikazane vrijednosti

vektora desne strane za jedinični napon i za normalizirani napon koji će dati jediničnu

struju u prvom čvoru posebno za magnetski prsten a posebno za kružnu magnetsku antenu.

Valja napomenuti da je prijelaz s jediničnog napona na jediničnu struju vrlo jednostavan

budući je sustav linearan. Ukoliko se razmotre vrijednosti vektora desne strane za slučaj

magnetskog prstena i kružne magnetske antene vidi se da je vrijednost napona na prvom

čvoru malo manja od 0.5 što je logično budući samo polovica karakteristike električnog

polja prikazanog na slikama 4.2 i 4.4 djeluje na žicu. Ovo je vrlo važno imati na umu

pogotovo kod proračuna ulazne impedancije o čemu će detaljno biti riječi u poglavlju 5.3.

Na slici 4.14 prikazana je raspodjela struje na prethodno opisanoj uzemljivačkoj

elektrodi pobuđenoj na tri različita načina: idealnim strujnim izvorom, magnetskim

prstenom (b=2.3a) i magnetskom kružnom antenom, pri 5MHz. Valja napomenuti da je

struja u slučaju pobude magnetskim prstenom i kružnom magnetskom antenom

normalizirana tako da struja u prvom čvoru bude jedan amper.


92

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

rea

l(I)

(A

)

x(m)

Realni dio struje

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−5

−4

−3

−2

−1

0x 10

−3

Ima

g(I

) (A

)

x(m)


Jed. struj. izvor

Mag. prsten

Mag. antena


Vidljivo je jako dobro slaganje rezultata iako postoji mala razlika u imaginarnom dijelu

struje. Slična je situacija i u slučaju pobude istog uzemljivača frekvencijom od 50MHz, što

je prikazano na slici 4.15.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

rea

l(I)

(A

)

x(m)

Realni dio struje

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

Ima

g(I

) (A

)

x(m)


Jed. struj. izvor

Mag. prsten

Mag. antena



93

Slijedeći primjer se odnosi na 10m dug horizontalni uzemljivač ukopan na dubini od

0.5m u zemlju istih karakteristika. Na slikama 4.16, 4.17 i 4.18 prikazana je raspodjela

struje na uzemljivaču za različite pobude pri 5kHz, 5MHz i 20MHz.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

rea

l(I)

(A

)

x(m)

Realni dio struje

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0x 10

−4

Ima

g(I

) (A

)

x(m)


Jed. struj. izvor

Mag. prsten

Mag. antena

Slika 4.16 Raspodjela struje na uzemljivaču od 10m za različite pobude pri 5kHz

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.5

0

0.5

1

rea

l(I)

(A

)

x(m)

Realni dio struje

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

Ima

g(I

) (A

)

x(m)


Jed. struj. izvor

Mag. prsten

Mag. antena



94

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

−0.5

0

0.5

1

real(I)

(A

)

x(m)

Realni dio struje

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

−0.5

0

0.5

1

Imag(I

) (A

)

x(m)


Jed. struj. izvor

Mag. prsten

Mag. antena


Jasno se uočava izvrsno slaganje rezultata dobivenih korištenjem različitih pobuda.

Slaganje rezultata je bolje nego u slučaju uzemljivača od 1m gdje je uočeno malo

razilaženje u imaginarnom dijelu struje.

Raspodjela struje na 50m-skom uzemljivaču ukopanom na isti način kao i prethodna

dva, za različite pobude pri frekvencijama od 5kHz i 5MHz je prikazana na slikama 4.19 i

4.20. I u ovom slučaju je dobiveno izvrsno slaganje rezultata dobivenih različitim vrstama

pobude.


95

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

rea

l(I)

(A

)

x(m)

Realni dio struje

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0x 10

−3

Ima

g(I

) (A

)

x(m)


Jed. struj. izvor

Mag. prsten

Mag. antena

Slika 4.19 Raspodjela struje na uzemljivaču od 50m za različite pobude pri 5kHz

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−1

−0.5

0

0.5

1

real(I)

(A

)

x(m)

Realni dio struje

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

Imag(I

) (A

)

x(m)


Jed. struj. izvor

Mag. prsten

Mag. antena


U primjerima prikazanim na slikama 4.14 do 4.20 struja je aproksimirana linearnim

dvočvornim elementima. Na slikama 4.21 do 4.23 prikazani su rezultati raspodjele struje

za različite uzemljivače (1m, 10m, 50m) dobivene upotrebom tročvornih kvadratičnih


96

elemenata. Uvidom u dobivene rezultate mogu se izvući isti zaključci kao i u slučaju

linearne aproksimacije.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1re

al(I)

(A

)

x(m)

Realni dio struje

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1.5

−1

−0.5

0

Ima

g(I

) (A

)

x(m)


Jed. struj. izvor

Mag. prsten

Mag. antena

Slika 4.21 Raspodjela struje na uzemljivaču od 1m za različite pobude pri 50MHz (kvadratična aproksimacija)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.5

0

0.5

1

real(I)

(A

)

x(m)

Realni dio struje

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

Imag(I

) (A

)

x(m)


Jed. struj. izvor

Mag. prsten

Mag. antena



97

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−1

−0.5

0

0.5

1

real(I)

(A

)

x(m)

Realni dio struje

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

Imag(I

) (A

)

x(m)


Jed. struj. izvor

Mag. prsten

Mag. antena


Kako bi se potpuno provjerila ispravnost predloženih pobuda, uzemljivač je postavljen

i u zemlju različitih karakteristika. Na slici 4.24 prikazana je raspodjela struje na

uzemljivaču duljine 10m za različite pobude ukopanom u zemlju dobre vodljivosti od

0.01σ = S m , dok je na slici 4.25 prikazana raspodjela struje u slučaju jako loše

vodljivosti od 0.0001σ = S m . U oba slučaja frekvencija je iznosila 5MHz a permitivnost

zemlje 10ε =r . Vidljivo da vodljivost sredine ne utječe na točnost i stabilnost predloženih

pobuda.


98

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

real(I)

(A

)

x(m)

Realni dio struje

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

Imag(I

) (A

)

x(m)


Jed. struj. izvor

Mag. prsten

Mag. antena

Slika 4.24 Raspodjela struje na uzemljivaču od 10m za različite pobude pri 5MHz i 0.01 /S mσ =

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

rea

l(I)

(A

)

x(m)

Realni dio struje

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

Ima

g(I

) (A

)

x(m)


Jed. struj. izvor

Mag. prsten

Mag. antena

Slika 4.25 Raspodjela struje na uzemljivaču od 10m za različite pobude pri 5MHz i 0.0001 /S mσ =

Nakon analize osjetljivosti predloženih vrsta pobude na vodljivost provedena je i

analiza utjecaja permitivnosti. Slika 4.26 prikazuje raspodjelu struje za različite pobude na


99

uzemljivaču duljine 10m ukopanom u zemlju relativne permitivnosti 100ε =r i vodljivosti

0.001σ = S m . Vidljivo je da, kao i vodljivost, permitivnost sredine ne utječe na točnost i

stabilnost predloženih pobuda.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

rea

l(I)

(A

)

x(m)

Realni dio struje

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

Ima

g(I

) (A

)

x(m)


Jed. struj. izvor

Mag. prsten

Mag. antena

Slika 4.26 Raspodjela struje na uzemljivaču od 10m za različite pobude pri 5MHz i 100; 0.001 /r S mε σ= =

4.4.3. Model povratnog udara u kanalu groma

Model povratnog udara munje (eng. lightning return-stroke model) je izraz koji se

najčešće koristi kako bi se opisala prostorno-vremenska ovisnost struje u kanalu groma pri

povratnom udaru koja se kasnije koristi pri proračunu elektromagnetskog polja

uzrokovanog udarom groma. U relevantnoj literaturi postoji nekoliko skupina modela koji

se općenito mogu podijeliti u četiri kategorije: fizikalni modeli, modeli temeljeni na

distribuiranim parametrima, inženjerski modeli te elektromagnetski modeli. Modeli

distribuiranih parametara su u načelu temeljeni na nekoj od varijanti teorije prijenosnih

linija, i to standardna teorija prijenosnih linija (eng. transmission line model– TL) [76]-

[78], zatim modificirana teorija prijenosnih linija s linearnim kašnjenjem struje s visinom

[79] i modificirana teorija prijenosnih linija s eksponencijalnim kašnjenjem struje s

visinom [77]. Inženjerski modeli uključuju modele s putujućim strujnim izvorima u koju


100

spada Diendorfer-Uman (DU) model [80]. S druge strane elektromagnetski modeli su

uglavnom temeljeni na teoriji tankožičanih antena pri čemu se kanal groma predstavlja

monopol antenom. Pregled i usporedba spomenutih metoda se mogu pronaći u radovima

[77], [78], [81]-[83].

Posljednjih desetak godina objavljeno je mnogo radova posvećenih elektromagnetskim

modelima tj. modelima temeljenima na teoriji antena [40], [84]-[89]. U tim modelima,

kanal groma je najčešće modeliran kao monopol antena iznad idealno vodljive zemlje.

Pobuda je realizirana ili u vidu idealnog strujnog izvora [40], [89], [90] ili u vidu

jednostavnog naponskog izvora (delta gap) [85]-[88]. Pripadajuća integralna jednadžba

(Pocklington-ova ili Hallen-ova) se rješava ili u vremenskom [84] ili u frekvencijskom

području [40], [89], [90] nekom od varijanti metode momenata. Prilikom rješavanja

problema u frekvencijskoj domeni često se koristi NEC npr. [89], [90] kod kojega se u

model mora ubaciti prikladne distribuirane parametre otpora i induktiviteta kako bi se

ostvarila stvarna brzina munje od 0.43c (c – brzina svjetlosti). Također, ukoliko se

integralna jednadžbe rješava u frekvencijskom području vremenski odziv se dobiva

primjenom algoritma inverzne brze fourierove transformacije (IFFT), koji je vrlo osjetljiv

na ulazne parametre poput vremenskog uzorkovanja, širine frekvencijskog spektra i broja

uzoraka. Više o IFFT-u će biti riječi u Prilogu A ovog rada.

U ovom radu razmatra se model kanala groma pri povratnom udaru munje modeliran

kao centralno napajana dipol antena duljine 15km i radijusa žice 0.05m pobuđena

magnetskom antenom. Antena je postavljena u dielektrični homogeni prostor

karakteriziran relativnom permitivnošću 5.3rε = u svrhu snižavanja brzine propagacije

munje na stvarnu brzinu (0.43c). Ovakav model zamjenjuje model kanala groma realiziran

monopol antenom duljine 7.5km iznad idealno vodljive zemlje pobuđene idealnim strujnim

izvorom na dnu kanala [40], prikazan na slici 4.27.


101

Slika 4.27 Model povratnog udara munje u kanalu groma a)Model sa strujnim izvorom; b)Model s magnetskom antenom

Razmatrana su dva modela, prvi u kojem se pretpostavlja idealna vodljivost žice i

drugi, realističniji kod kojega se uzimaju u obzir omski gubici duž kanala realizirani

otporom po jedinici dužine u iznosu od 0.07 /R m= Ω . Kako bi se rezultati dobiveni u

ovom radu mogli usporediti s rezultatima u literaturi kod kojih je definirana ulazna struja u

bazi kanala, pri proračunu frekvencijske karakteristike struje duž kanala koristi se

promjenljivi ulazni napon koji na mjestu izvora generira struju od 1A, tj. drugim riječima

potrebno je normalizirati struju antene na iznos od 1A na mjestu izvora. Na ovaj način se

praktički dobije frekvencijski spektar struje duž kanala (tj. antene) u odnosu na jediničnu

ulaznu struju antene, koji omogućuje dobivanje odziva na bilo koji valni oblik ulazne

struje.

Za ulaznu struju baze kanala, u svrhu usporedbe, odabran je valni oblik koji ima vršnu

vrijednost od otprilike 11kA i brzinu porasta od 105kA/µs preuzet iz [77], i korišten u [40],

[84] i [91]. Valni oblik struje baze je prikazan na slici 4.28.


102

0 10 20 30 40 50 600

2

4

6

8

10

12

I (k

A)

t (µs)

Slika 4.28 Valni oblik struje baze

Slika 4.29 prikazuje frekvencijski spektar struje kanala groma pri povratnom udaru u

točki koja se nalazi 1km od baze kanala za slučaj idealno vodljivog kanala, dok slika 4.30

pokazuje isti spektar struje u slučaju kanala s gubicima.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 106

0

1

2

3

4

I (A

)

f (Hz)

101

102

103

104

105

106

0

1

2

3

4

I (A

)

f (Hz)

Slika 4.29 Frekvencijski spektar struje kanala groma pri povratnom udaru 1km od baze za idealno vodljivi kanal (linearna i logaritamska skala)


103

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 106

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

I (A

)

f (Hz)

101

102

103

104

105

106

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

I (A

)

f (Hz)

Slika 4.30 Frekvencijski spektar struje kanala groma pri povratnom udaru 1km od baze za kanal s gubitcima (linearna i logaritamska skala)

Kao što je vidljivo iz slika 4.29 i 4.30 kanal groma je visoko rezonantna struktura te je

potrebno uzeti veliki broj uzoraka da bi se dobio zadovoljavajući odziv u vremenskom

području (2594 u slučaju idealno vodljivog kanala i 1214 u slučaju konačno vodljivog

kanala u frekvencijskom spektru 0 – 5MHz). Veći broj uzoraka u slučaju idealno vodljive

antene je potreban budući su oscilacije struje s frekvencijom mnogo izraženije u slučaju

idealno vodljive antene u odnosu na antenu s gubicima. Da bi se dobio vremenski odziv na

ulaznu struju prikazanu na slici provedena je inverzna Fourier-ova transformaciju u obliku

opisanom u prilogu A.

Vremenska ovisnost struje kanala groma na različitim visinama (u bazi, 100m, 500m,

1km, 3km i 5km) u slučaju idealno vodljivog kanala je prikazana na slici 4.31, dok je slučaj

kanala s gubitcima prikazan na slici 4.32.


104

0 10 20 30 40 50 600

2

4

6

8

10

12

t (µ s)

I (k

A)

GB−IMRE 0 km

GB−IMRE 100m

GB−IMRE 500m

GB−IMRE 1 km

GB−IMRE 3 km

GB−IMRE 5 km

Grcev [40] 0 km

Grcev [40] 1 km

Slika 4.31 Vremenska ovisnost struje kanala groma na različitim visinama za idealno vodljivi kanal

Iz slike 4.31 je jasno vidljiva propagacija struje duž kanala (tj. antene) i lagano gušenje

vala s udaljavanjem od baze kanala. Na rezultatima je vidljivo neznatno istitravanje

uzrokovano prvenstveno u malom broju točaka kojima je uzorkovana ulazna struja, budući

je valni oblik struje dobiven približno iz [40] i [91]. Rezultati se izvrsno poklapaju s

rezultatima objavljenim u [40].

U slučaju kanala s gubicima, iz slike 4.32 je jasno vidljivo veliko gušenje vala s

udaljavanjem od baze kanala. Također, može se pažljivim promatranjem uočiti da s

visinom raste i vrijeme porasta struje duž kanala. Ovi rezultati su u zadovoljavajućem

skladu s rezultatima objavljenim u [84]. Čak štoviše, kod ovih rezultata nema istitravanja u

vršnom djelu strujne karakteristike što je slučaj u [84], vjerojatno kao posljedica

numeričkog šuma. Dokaz tomu se može naći u radu [91], gdje također nema takvog

istitravanja što upućuje na zaključak da metoda opisana u [84] „pati“ od numeričkih

nestabilnosti.


105

0 10 20 30 40 50 600

2

4

6

8

10

12

t (µ s)

I (k

A)

GB−IMRE 0 km

GB−IMRE 100m

GB−IMRE 500m

GB−IMRE 1 km

GB−IMRE 3 km

GB−IMRE 5 km

Moini [84] 0 km

Moini [84] 1 km

Moini [84] 3 km

Moini [84] 5 km

Slika 4.32 Vremenska ovisnost struje kanala groma na različitim visinama za kanal s gubitcima

Na slikama 4.33 i 4.34 prikazano je vertikalno električno polje (Ez komponenta – u

smjeru kanala) na razini zemlje (z=0) na udaljenosti 500m i 5km uslijed povratnog udara

modeliranog idealno vodljivom antenom. Rezultati su usporedivi s rezultatima

objavljenima u [40] iako postoje određene razlike. Naime, sami autori u [40] priznaju,

citiram, da bi trebali detaljnije ispitati parametre proračuna, poput parametara

diskretizacije u metodi momenata te parametre Diskretne Fourier-ove transformacije,

vezane uz uzorkovanje i skraćenje funkcija u vremenskom i frekvencijskom području, kako

bi detaljno ispitali valjanost predložene metode. Valja napomenuti, da je proračun u ovom

radu izvršen na veličini elementa od cca 3m u cijeloj dužini antene te da je pri toj veličini

postignuta konvergencija, dok je u slučaju rezultata objavljenih u [40] veličina elementa

bila 3m samo do visine od 1km, a nakon toga puno veća (ne navodi se kolika).


106

0 10 20 30 40 50 600

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

t (µ s)

E (

V/m

)

GB−IMRE

Grcev [40]

Slika 4.33 Vertikalno električno polje na udaljenosti od 500m za idealno vodljivi kanal

0 10 20 30 40 50 600

10

20

30

40

50

60

70

80

90

t (µ s)

E (

V/m

)

GB−IMRE

Grcev [40]

Slika 4.34 Vertikalno električno polje na udaljenosti od 5km za idealno vodljivi kanal

Vertikalno električno polje (Ez komponenta) na razini zemlje na udaljenosti 500m i

5km uslijed povratnog udara modeliranog konačno vodljivom antenom je prikazana na

slikama 4.35 i 4.36. Uspoređujući te rezultate s rezultatima u [84], uočava se jako dobro

slaganje. Mala razlika koja se može primijetit u slučaju polja na udaljenosti 500m može se


107

objasniti već spomenutim numeričkim nestabilnostima u proračunu struje kod [84] i

činjenici da je kod proračuna električnog polja u [84] veličina segmenta bila relativno

velikih 15m za razliku od slučaja u ovom radu gdje je veličina segmenta iznosila cca. 3m.

Također, dana je i usporedba s rezultatima dobivenim tvz. DU (Diendorfer i Uman)

modelom [80] koji daje rezultate koji se vrlo dobro slažu s mjerenim vrijednostima

elektromagnetskog polja [84]. Kako se vidi iz slika 4.35 i 4.36 postignuto je jako dobro

slaganje rezultata izračunatim GBIMRE-om i DU modelom.

0 10 20 30 40 50 600

500

1000

1500

2000

2500

t (µ s)

E (

V/m

)

GB−IMRE

Moini [84]

DU [80]

Slika 4.35 Vertikalno električno polje na udaljenosti od 500m za kanal s gubitcima


108

0 10 20 30 40 50 600

10

20

30

40

50

60

70

80

t (µ s)

E (

V/m

)

GB−IMRE

Moini [84]

DU [80]

Slika 4.36 Vertikalno električno polje na udaljenosti od 5km za kanal s gubitcima

Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture

109

5. PARAMETRI ZRAČEĆE I/ILI RASPRŠNE ŽIČANE STRUKTURE

U analizi žičanih struktura, nakon raspodjele struje, određene s zadovoljavajućom

preciznošću, vrlo često je potrebno odrediti i druge parametre od interesa. Ti parametri,

ovisno o primjeni žičanog modela, mogu biti: zračeno električno i/ili magnetsko polje,

raspršni napon, raspodjela potencijala, zračena snaga, ulazna impedancija,

međuimpedancija, tranzijentna impedancija itd. Proračun električnog i magnetskog polja je

opisan u trećem poglavlju, dok će se u ovom poglavlju razraditi koncepti proračuna drugih

važnih parametara vezanih za žičane strukture. Pri tome se prvenstveno misli na proračun

napona (raspršni napon na žici, raspodjela potencijala na površini zemlje iznad uzemljivača

i sl.), zatim proračun izračene snage antene koja se također može povezati s ulaznom

impedancijom kao i proračun ulazne impedancije žičane strukture koja može predstavljati

antenu ili uzemljivač.

5.1. Proračun napona

Kad je jednom izračunata raspodjela struje po žicama, odgovarajući napon između bilo

koje dvije točke poluprostora je definiran krivuljnim integralom druge vrste električnog

polja od točke A do točke B [57]:

A

AB

B

V Edl= −∫

(5.1)

Općenito napon ABV predstavlja rad koji je potrebno uložiti da bi se jedinični naboj od

točke B pomaknuo duž određenog puta do točke A pod utjecajem vremenski promjenljivog

elektromagnetskog polja.

Električno polje uslijed zračenja jedne žice u homogenom poluprostoru, prema

razmatranju iznesenom u 2. i 3. poglavlju, dano je izrazom:


110

[ ] [ ]

[ ] [ ]

20 0

' '

2 22

2 2' '

'

( ') ( , ') ' ' ( ') ( , ') ''

1( ') ( , ') ' * ( ') ( , *) '

4 *

( ') ( , ') '

C C

i i

eff C C

s

C

I s g s s ds k s I s g s s dss

k kE I s g s s ds k s I s g s s ds

j k k s

I s G s s ds

πωε

±

±

±

± ±

∂⋅∇ + ⋅ ⋅ +

∂ − ∂

= + ⋅∇ + ⋅ ⋅ + + ∂

+ ⋅

∫ ∫

∫ ∫

∫

∓

∓

(5.2)

Prije detaljne analize integrala (5.1) valja pojasniti i razlučiti određene pojmove.

Električno polje žice (5.2) je, u skladu s (2.2), posljedica „djelovanja“ skalarnog

električnog potencijala φ i vektorskog magnetskog potencijala A . Budući da vektorski

magnetski potencijal A nije konzervativnog (potencijalnog) karaktera jer je 0∇ × ≠

A

onda i električno polje žice (5.2) također nije konzervativnog karaktera. Ta činjenica

implicira da napon definiran izrazom (5.1) onda općenito nije jednoznačan, i ovisi o

krivulji integracije, te ga se ne smije poistovjećivati s naponom kao posljedicom razlike

skalarnih potencijala.

Definicija napona (5.1) je općenita i vrijedi za konzervativna i nekonzervativna polja.

Ukoliko je električno polje u jednadžbi (5.1) konzervativnog karaktera tada izraz (5.1)

predstavlja razliku potencijala između točaka A i B, odnosno napon definiran u statičkom i

kvazistatičkom smislu.

Fizikalno značenje napona definiranog s (5.1) će dakle ovisiti o stazi krivulje

integracije te o početnoj i krajnjoj točki i biti će objašnjeno nešto kasnije.

Za slučaj više žica, izraz za napon koji je posljedica zračenja niza žica je dan izrazom:

1 1 1

W W WA AN N N

i iAB ABii i iB B

V E dl E dl V= = =

= − = − =

∑ ∑ ∑∫ ∫

(5.3)

Integral (5.1) se može riješiti raznim adaptivnim numeričkim metodama, najčešće na

način da se područje integracije podjeli na Nv dijelova, te se potom integracija vrši na

svakom pojedinom dijelu nekom od metoda numeričke integracije (Gauss-ova kvadratura,

Simpson-ova metoda):


111

1 1 1 1

n mW W

n m

a aN NNv Nv

im imABm i m ib b

V E dl E dl= = = =

= − = −

∑ ∑ ∑∑∫ ∫

(5.4)

gdje su an i bn granice pojedinih dijelova integracijskog područja.

Poseban slučaj je ukoliko je točka B u tzv. dalekoj zemlji (u beskonačnosti). Tad se

izraz (5.4) pretvara u beskonačnu sumu ( → ∞Nv ) određenih integrala. Budući da

električno polje opada s udaljenošću, u jednom trenutku vrijednosti izračunatih integrala će

postati zanemarive te će se proračun moći prekinuti.

Ovakav način proračuna napona je jako zahtjevan sa stanovišta vremena proračuna i

snage procesora. Isto tako, budući da izraz za električno polje (5.2) sadrži derivaciju

Green-ove funkcije koja se najčešće zamjenjuje konačnim diferencijama, može doći do

ozbiljnih numeričkih nestabilnosti ukoliko se promatra točka na površini žice ili u veoma

bliskoj okolini žice.

S druge strane ukoliko se provedu određene matematičke i numeričke manipulacije nad

početnim integralom, vrijeme proračuna se može značajno smanjiti, te se u znatnoj mjeri

mogu eliminirati numeričke nestabilnosti.

Općenito, ako se odabere put integracije duž pravca s vektorom smjera le

, koji ne

utječe na općenitost postupka, tada je vektor diferencijala luka jednak:

ldl e dl=

(5.5)

Radi jednostavnijeg prikaza koncepta rješavanja, električno polje će se rastaviti na tri

dijela:

i D R SE E E E= + +

(5.6)

gdje je DE

direktno polje oblika:

[ ] [ ] 20 0

' '

1( ') ( , ') ' ' ( ') ( , ') '

4 'D

eff C C

E I s g s s ds k s I s g s s dsj sπωε

±

±

∂= ⋅ ∇ + ⋅ ⋅

∂ ∫ ∫

(5.7)


112

RE

je dio reflektiranog polja koje proizlazi iz teorije preslikavanja:

[ ] [ ]2 2

22 2

' '

1( ') ( , *) ' * ( ') ( , *) '

4 *R i i

eff C C

k kE I s g s s ds k s I s g s s ds

j k k sπωε±

±

± ±

− ∂= ⋅∇ + ⋅ ⋅

+ ∂ ∫ ∫

∓

∓

(5.8)

i SE

dio polja koji proizlazi iz Sommerfeldove teorije o zračenju elementarnog strujnog

dipola u prisutnosti konačno vodljivog poluprostora:

'

1( ') ( , ') '

4S s

eff C

E I s G s s dsj πωε ±

= ⋅∫

(5.9)

U skladu s podjelom na direktno, reflektirano i „Sommerfeld-ovo“ polje (5.6) i odabranom

stazom integracije jednadžba (5.3) postaje:

( )1 1

W WB B B BN N

Di Ri Si Di Ri Sil l l lABi iA A A A

V E E E e dl E e dl E e dl E e dl= =

= − + + = − + +

∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫

(5.10)

Prvi integral s desne strane izraza (5.10) je doprinos direktnog polja na napon:

[ ] [ ]0

'

20

'

( ') ( , ') ''1

4' ( ') ( , ') '

A AC

Di l lDieffB B

C

I s g s s dss

V E e dl e dlj

k s I s g s s dsπωε ±

±

∂⋅∇ +

∂ = =

⋅ ⋅

∫∫ ∫

∫

(5.11)

što se može napisati na način:

[ ] 20 0

' '

1 ( ')( , ') ' ' ( ') ( , ') '

4 '

D DA

A A

l lDieff B C B C

V V

I sV g s s ds e dl k s I s g s s ds e dl

j s

ϕ

πωε±

±

∂

= ⋅∇ + ⋅ ⋅ ∂

∫ ∫ ∫ ∫

(5.12)

Prvi dvostruki integral u izrazu (5.12) može se napisati u obliku:


113

[ ]0

'

( ')( , ') '

'

A

lD

B C

I sV e g s s ds dl

sϕ

∂= ⋅ ⋅∇

∂∫ ∫

(5.13)

Korištenjem izraza za usmjerenu derivaciju:

ld

edl

⋅∇ =

(5.14)

dobije se:

0

'

( ')( , ') '

'

A

D

B C

I s dV g s s ds dl

s dlϕ

∂= ⋅

∂∫ ∫ (5.15)

ili drugačije zapisano:

0

'

( ')( , ') '

'

A

D

B C

d I sV g s s ds dl

dl sϕ

∂= ⋅

∂∫ ∫ (5.16)

Formalnim integriranjem izraza (5.16) po varijabli l slijedi relacija koja ovisi samo o

početnoj i krajnjoj točki integracije:

0

'

( ')( , ') '

'

A

D

C B

I sV g s s ds

sϕ

∂= ⋅

∂∫ (5.17)


prethodno izračunatim vrijednostima struje u čvorovima duž žice relacija (5.17) postaje:

01 '

( ')( , ') '

'

gAN

nD n

n C B

f sV I g s s ds

sϕ=

∂= ⋅

∂∑∫ (5.18)

Prelaskom na lokalni sustav izoparametarskih rubnih elemenata slijedi:


114

1

01 1 1

( ')( , ') '

'

gAN enl

e kD k

n k B

fV I g s s dϕ

ζζ

ζ= = −

∂= ⋅

∂∑∑∫ (5.19)

što predstavlja konačni numerički izraz za računanje izraza (5.13).

Drugi dvostruki integral u izrazu (5.12):

20

'

' ( ') ( , ') 'A

lDA

B C

V k s I s g s s ds e dl±= ⋅ ⋅∫ ∫

(5.20)

za slučaj žice položene okomito u odnosu na smjer integracije iščezava:

0DAV = (5.21)

jer je skalarni produkt okomitih vektora jednak nuli ( ' 0ls e⋅ =

).

Ukoliko pak to nije slučaj tada se na integral po varijabli l (od beskonačnosti od točke

promatranja) mora primijeniti numerički postupak opisan jednadžbama (5.3) odnosno (5.4)

. Na integral po varijabli s' se primjenjuje numerički postupak sličan prethodno opisanom

za jednadžbu (5.17).



20

1 '

' ( ') ( , ') 'gNA

lDA n nnB C

V k s e I f s g s s ds dl±=

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∑∫ ∫

(5.22)

a prelaskom na lokalni sustav se dobiva:

1

20

1 1 1

'' ( ') ( , ') '

'

gNA nle e

lDA k kn kB

sV k s e I f g s s d dlζ ζ

ζ±

= = −

∂= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∂ ∑∑∫ ∫

(5.23)

Kombiniranjem (5.23) s podjelom područja integracije u skladu s (5.4) konačno slijedi:


115

1

20

1 1 1 1

'' ( ') ( , ') '

'

m g

m

a NNv nle e

lDA k km n kb


ζ±

= = = −

∂ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∂ ∑ ∑∑∫ ∫

(5.24)

što predstavlja konačni izraz za računanje dvostrukog integrala (5.20).

Ukoliko je točka B u beskonačnosti, suma po m-u neće ići do beskonačnosti već do

neke konačne vrijednosti pri kojoj nastupi zadovoljavajuća konvergencija rješenja.

Doprinos dijela reflektiranog polja proizašlog iz teorije preslikavanja, naponu u točki

promatranja, se izvodi na identičan način kao i za doprinos direktnog polja iz:

[ ]2 2

22 2

' '

1 ( ')( , *) ' * ( ') ( , *) '

4 *

R RA

A A

l lRi i ieff B C B C

V V

k k I sV g s s ds e dl k s I s g s s ds e dl

j k k s

ϕ

πωε±

±

± ±

− ∂

= ⋅∇ + ⋅ ⋅ + ∂

∫ ∫ ∫ ∫∓

∓

(5.25)

Dakle, slično kao i u slučaju doprinosa direktnog polja prvi dvostruki integral u izrazu

(5.25) može se napisati u obliku:

[ ]'

( ')( , *) '

*

A

lR i

B C

I sV e g s s ds dl

sϕ

∂= ⋅ ⋅∇

∂∫ ∫

(5.26)

Korištenjem izraza za usmjerenu derivaciju (5.14) dobiva se:

'

( ')( , *) '

*

A

R i

B C

I s dV g s s ds dl

s dlϕ

∂= ⋅

∂∫ ∫ (5.27)

Formalnim integriranjem izraza (5.27) po varijabli l slijedi relacija koja ovisi samo o

početnoj i krajnjoj točki integracije:

'

( ')( , *) '

*

A

R i

C B

I sV g s s ds

sϕ

∂= ⋅

∂∫ (5.28)


116


prethodno izračunatim vrijednostima struje u čvorovima duž žice relacija (5.28) postaje:

1 '

( ')( , *) '

*

gAN

nR n i

n C B

f sV I g s s ds

sϕ=

∂= ⋅

∂∑∫ (5.29)

a prelaskom na lokalni sustav izoparametarskih rubnih elemenata slijedi:

1

1 1 1

( ')( , *) '

'

gAN nl

e kR k i

n k B

fV I g s s dϕ

ζζ

ζ= = −

∂= − ⋅

∂∑∑∫ (5.30)

što predstavlja konačni numerički izraz za računanje relacije (5.26).

Drugi dvostruki integral u (5.25):

2

'

* ( ') ( , *) 'A

lRA i

B C

V k s I s g s s ds e dl±= ⋅ ⋅∫ ∫

(5.31)

za slučaj žice okomite na smjer integracije iščezava. Ukoliko pak to nije slučaj, slično kao

u slučaju direktnog polja mora se primijeniti numerički postupak opisan jednadžbama (5.3)

odnosno (5.4), te se dobije:

1

2

1 1 1 1

'* ( ') ( , *) '

'

m g

m

a NNv nle e

lRA k k im n kb


ζ±

= = = −

∂ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∂ ∑ ∑∑∫ ∫

(5.32)

Konačno, potrebno je promotriti doprinos dijela polja proizašlog iz Sommerfeld-ove

teorije:

'

1( ') ( , ') '

4

A

s lSieff B C

V I s G s s ds e dlj πωε ±

= ⋅∫ ∫

(5.33)


117

Jedini način da se izračuna integral u izrazu (5.33) je već spomenuti postupak opisan

izrazima (5.3) odnosno (5.4).

Dakle, razvojem raspodjele struje ( ')I s u red linearno nezavisnih funkcija Ng (3.2) s


1 '

1( ') ( , ') '

4

gNA

l sSi n nneff B C

V I f s e G s s ds dlj πωε =±

= ⋅ ⋅

∑∫ ∫

(5.34)

Prelaskom na lokalni sustav izoparametarskih rubnih elemenata se dobiva:

1 1 '

1 '( ') ( , ') '

4 '

gNA nle e

l sSi k kn keff B C

sV I f e G s s d dl

jζ ζ

πωε ζ= =±

∂= ⋅ ⋅

∂ ∑∑∫ ∫

(5.35)

Konačno podjelom područja integracije u skladu s (5.4) slijedi:

1

1 1 1 1

1 '( ') ( , *) '

4 '

m g

m

a NNv nle e

l sSi k km n keff b

sV I f e G s s d dl

jζ ζ

πωε ζ= = =± −

∂ = ⋅ ⋅ ⋅

∂ ∑ ∑∑∫ ∫

(5.36)

Ukupni napon u točki promatranja od NW proizvoljno postavljenih žica je tada:

( ) ( )2 2

2 21

1 1

4 4

W

i i i i i

N

AB D DA R RA Si eff eff

k kV V V V V V

j j k kϕ ϕπωε πωε

±

= ± ± ±

−= − + + + +

+ ∑ ∓

∓

(5.37)

Uvrštavanjem izraza (5.17), (5.20), (5.28), (5.31) i (5.33) u (5.37) konačno slijedi

formulacija za proračun napona između točaka A i B od NW proizvoljno postavljenih žica:

20 0

' '

2 22

2 2' '

'

( ')( , ') ' ' ( ') ( , ') '

'

1 ( ')( , *) ' * ( ') ( , *) '

4 *

( ') ( , ') '

A A

l

C B CB

A A

lAB i ieff C B CB

A

s l

B C

I sg s s ds k s I s g s s ds e dl

s

k k I sV g s s ds k s I s g s s ds e dl

j k k s

I s G s s ds e dl

πωε

±

±

±

± ±

∂ ⋅ + ⋅ ⋅ +

∂

− ∂ = − + ⋅ + ⋅ ⋅ +

+ ∂

+ ⋅

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∓

∓

1

WN

i=

∑ (5.38)


118

Razvojem raspodjele struje ( ')I s u red linearno nezavisnih funkcija te prelaskom na

lokalni sustav izoparametarskih rubnih elemenata slijedi numeričko rješenje za napon

između točaka A i B od NW proizvoljno postavljenih žica:

1

01 1 1

12

01 1 1 1

1

2 21

2 2

( ')( , ') '

'

'' ( ') ( , ') '

'

1 ( ')( , *)

4 '

g

m g

m

AN enle i ikk

n k B

a NNv nli e i e i

l k km n kb

e i ikAB k i

eff

fI g s s d

sk s e I f g s s d dl

fV I g s s d

j k k

k k

ζζ

ζ

ζ ζζ

ζζ

πωε ζ

= = −

±= = = −

± −±

±

∂⋅ +

∂

∂ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

∂

∂= − − ⋅

∂−+

+

∑∑ ∫

∑ ∑∑∫ ∫

∫∓

∓

1 1

12

1 1 1 1

1

1 1 1

'

'* ( ') ( , *) '

'

'( ') ( , *) '

'

g

m g

m

m g

m

AN nl

n k B

a NNv nli e i e i

l k k im n kb

a N nl ie i el sk k

n kb

sk s e I f g s s d dl

sI f e G s s d dl

ζ ζζ

ζ ζζ

= =

±= = = −

= = −

+

+ ∂

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∂

∂+ ⋅ ⋅ ⋅

∂

∑∑

∑ ∑∑∫ ∫

∑∑∫ ∫

1

1

WN

i

Nv

m

=

=

∑

∑

(5.39)

ili zapisano u sažetijem obliku:

1 2 2

0 2 21 1 1

1 2 22

0 2 21 1 1

( ')( , ') ( , *) '

'

1 '( ') ' ( , ') * ( , *) '

4 '

g

g

AN enl

e i i ikk i

n kB

N nle i e i i i i

l lAB k k in keff

k kfI g s s g s s d

k k

k k sV k I f s e g s s s e g s s d

j k k

ζζ

ζ

ζ ζπωε ζ

±

= = ±−

±±

= =± ±−

−∂⋅ − +

∂ +

− ∂= − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

+ ∂

∑∑∫

∑∑∫

∓

∓

∓

∓

1 1

1

1 1 1 1

'( ') ( , *) '

'

mW

m

m g

m

aN Nv

i m b

a NNv nl ie i el sk k

m n kb

dl

sI f e G s s d dlζ ζ

ζ

= =

= = = −

+

∂

+ ⋅ ⋅ ⋅ ∂

∑ ∑ ∫

∑ ∑∑∫ ∫

(5.40)

Da bi se objasnio fizikalni smisao ovako definiranog napona, žice će se, radi

jednostavnosti, postaviti u homogeni prostor. Tada je napon definiran samo direktnim

valom:

20 0

1 ' '

1 ( ')( , ') ' ' ( ') ( , ') '

4 '

WA AN

lABieff C B CB

I sV g s s ds k s I s g s s ds e dl

j sπωε =

∂ = − ⋅ + ⋅ ⋅

∂ ∑ ∫ ∫ ∫

(5.41)

odnosno u skladu s numeričkim rješenjem:


119

1

01 1 1

112

01 1 1 1

( ')( , ') '

'1

4 '' ( ') ( , ') '

'

g

W

m g

m

AN enlei ikk

N n k BAB

a N nlieffi ei e i

l k km n kb

fI g s s d

Vj s

k s e I f g s s d dl

ζζ

ζ

πωεζ ζ

ζ

= = −

∞=

= = = −

∂ ⋅ +

∂ = −

∂ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∂

∑∑∫∑

∑ ∑∑∫ ∫

(5.42)

Prvi integral u izrazima (5.41) i (5.42) posljedica je električnog skalarnog potencijala i daje

iznos razlike potencijala između točaka A i B, tj. iznos klasično definiranog napona iz

elektrostatike. Drugi je pak integral posljedica magnetskog vektorskog potencijala te je

njegov smisao u pogledu usporedivosti s rezultatima mjerenja upitan budući da su mjerenja

isključivo vezana za razliku potencijala (u statičkom i kvazi-statičkom smislu). Naime

jednadžba (5.1) iz koje slijedi (5.41) i (5.42) se može zapisati kao:

A

AB A B

B

V j Adlϕ ϕ ω= − − ∫

(5.43)

Kao što je već spomenuto integral u jednadžbi (5.43) nije jednoznačno određen budući

da vektorsko polje A nije konzervativno. Ukoliko bi pak vremenska promjena magnetskog

toka, definiranog Faraday-ovim zakonom bila jednaka nuli, tada bi i integral u (5.43) bio

jednoznačan. U praksi ukoliko je valna duljina puno veća od dimenzija promatranog

sustava tada je i vremenska promjena magnetskog toka približno jednaka nuli, te se

spomenuti integral može smatrati jednoznačnim.

Dakle, može se ustvrditi da integral oblika kao u (5.43) ima potpuni fizikalni smisao

ukoliko se integracija vrši po zatvorenoj petlji (prema Faraday-ovom zakonu) dok za

linijski integral ta fizikalnost izostaje. Posebice se to odnosi na primjene u modeliranju

fizikalnih procesa i sustava, poput kanala groma, sustava za zaštitu od munje, prijenosnih

linija, antena i sl. Naime napon definiran u takvim modelima, uključujući teoriju krugova,

prijenosne linije i složene elektromagnetske modele, ali i u mjerenjima je definiran kao

razlika potencijala (u statičkom i kvazi-statičkom smislu) budući je kao takav jednoznačan

i lako usporediv, odnosno provjerljiv. Mora se spomenuti kako u literaturi postoje i

proračuni napona direktno po izrazu (5.1) odnosno (5.4) poput [14] i [39], međutim

fizikalni smisao takvog napona je upitan, pogotovo u smislu računanja impedancije.


120

U slučaju da se odabere smjer integracije okomit na žice izraz (5.38) se

pojednostavljuje:

2 2

0 2 2' '

1

'

( ') ( ')( , ') ' ( , *) '

' *1

4( ') ( , ') '

W

A A

iNC CB B

ABAieff

s l

B C

k kI s I sg s s ds g s s ds

s k k sV

jI s G s s ds e dl

πωε

±

±

=±

−∂ ∂ ⋅ + ⋅

∂ + ∂ = −

+ ⋅

∫ ∫∑

∫ ∫

∓

∓

(5.44)

odnosno ukoliko se promatra numeričko rješenje (5.40) slijedi:

2 21

0 2 21 1 1

11

1 1 1 1

( ')( , ') ( , *) '

'1

4 '( ') ( , *) '

'

W

m

m

AeN nl

ei i ikk i

N n kB

ABaNv N nlieff ie i e

l sk km n kb

k kfI g s s g s s d

k kV

j sI f e G s s d dl

ζζ

ζ

πωεζ ζ

ζ

±

= = ±−

=±

= = = −

−∂ ⋅ − + ∂ +

= − ∂

+ ⋅ ⋅ ⋅ ∂

∑∑∫∑

∑ ∑∑∫ ∫

∓

∓

(5.45)

To rezultira velikim skraćenjem vremena računanja, budući da u izrazu (5.37) iščezavaju

komponente napona proizašle iz magnetskog vektorskog potencijala iDAV i

iRAV , te ostaje

samo doprinos električnog skalarnog potencijala ( ϕiDV i ϕiRV ) i doprinos Sommerfeld-ovog

korekcijskog dijela (iSV ). Ukoliko se pak zanemari doprinos Sommerfeld-ovog

korekcijskog dijela (iSV ), što je vrlo često moguće jer je doprinos Sommerfeld-ovog

korekcijskog dijela (iSV ) puno manji od doprinosa ostalog dijela polja dobiva se izraz za

napon koji je posljedica razlike skalarnog potencijala i to na razini formulacije:

2 2

0 2 21 ' '

1 ( ') ( ')( , ') ' ( , *) '

4 ' *

WA A

N

AB AB iieff C CB B

k kI s I sV g s s ds g s s ds

j s k k sϕ

πωε±

=± ±

−∂ ∂ = = − ⋅ + ⋅

∂ + ∂ ∑ ∫ ∫

∓

∓

(5.46)

odnosno na razini numeričkog rješenja:

2 21

0 2 21 1 1 1

1 ( ')( , ') ( , *) '

4 '

gW

ANN enl

e i i ikAB AB k i

i n keff B

k kfV I g s s g s s d

j k k

ζϕ ζ

πωε ζ±

= = =± ±−

−∂= = − ⋅ −

∂ + ∑∑∑∫

∓

∓

(5.47)


121

Izraz (5.46) odnosno (5.47) daje jedinstveno rješenje budući da ne ovisi o putu integracije.

Vrlo često je potrebno izračunati napon u odnosu na udaljenu zemlju (eng. remote

ground) za koju se pretpostavlja da je na potencijalu nula. Tako definiran napon predstavlja

potencijal bilo koje točke poluprostora, uzrokovan strujom koja teče kroz Nw žica, u

odnosu na udaljenu zemlju i može se odrediti iz jednadžbe:

( ) ( )2 2

0 2 21 ' '

1 ( ') ( ')( , ') ' ( , *) '

4 ' *

WN

iieff C C

k kI s I sV r r g r s ds g r s ds

j s k k sϕ

πωε±

=± ±

−∂ ∂ = = − ⋅ + ⋅

∂ + ∂ ∑ ∫ ∫

∓

∓

(5.48)

odnosno na razini numeričkog rješenja iz:

2 21

0 2 21 1 1 1

1 ( ')( ) ( ) ( , ') ( , *) '

4 '

gWNN enl

e i i ikk i

i n keff

k kfV r r I g r s g r s d

j k k

ζϕ ζ

πωε ζ±

= = =± ±−

−∂= = − ⋅ −

∂ + ∑∑∑∫

∓

∓

(5.49)

Ovako formulirana jednadžba za napon nalazi primjenu u mnogim aplikacijama poput

određivanja napona točke napajanja kada se koristi idealni strujni izvori (uzemljivač,

gromobran, kanal groma i sl.), zatim proračun raspodjele potencijala na površini zemlje

(uzemljivač), određivanje raspršnog napona kod prijenosnih linija i sl.


122

5.2. Proračun izračene snage

5.2.1. Energija i snaga elektromagnetskih valova

Opća veza kojom se snaga i energija izražavaju preko električnih i magnetskih polja

dana je Poynting-ovim teoremom koji predstavlja jedan od temeljnih zakona u

elektromagnetskoj teoriji.

Promatra se određeno područje volumena V s karakteristikama permitivnosti ε,

permeabilnosti µ i vodljivosti σ zatvoreno površinom S. Unutar područja općenito postoje

električni i magnetski izvori (JJJJ i MMMM ). Prostorno – vremenski ovisna polja uzrokovana tim

izvorima koja postoje unutar tog područja su električno polje EEEE i magnetsko polje

HHHH

opisana Maxwell-ovim jednadžbama [75]:

i i i d

t tµ

∂ ∂∇× = − − = − − = − −

∂ ∂

B HB HB HB HE M M M ME M M M ME M M M ME M M M M

(5.50)

i c i i c dt t

σ ε∂ ∂

∇× = + − = + + = + +∂ ∂

D ED ED ED EH J J J E J J JH J J J E J J JH J J J E J J JH J J J E J J J

(5.51)

gdje su:

ε=D ED ED ED E

(5.52)

µ=B HB HB HB H

(5.53)

c σ=J EJ EJ EJ E

(5.54)

dt

ε∂

=∂

EEEEJJJJ

(5.55)

dt

ε∂

=∂

EEEEJJJJ

(5.56)

Pri tome oznake u jednadžbama (5.50) do (5.56) su:

EEEE

- trenutna vrijednost električnog polja [ ]V m ;


123

HHHH

- trenutna vrijednost magnetskog polja [ ]A m ; DDDD - trenutna vrijednost gustoće električnog toka 2C m ;

BBBB - trenutna vrijednost gustoće magnetskog toka [ ]T ;

iJJJJ

- trenutna vrijednost gustoće električne struje izvora 2A m ;

iMMMM

- trenutna vrijednost gustoće magnetske struje izvora 2V m ;

cJJJJ - trenutna vrijednost gustoće kondukcijske gustoće električne struje (koja generira

gubitke) 2A m ;

dJJJJ - trenutna vrijednost gustoće pomačne električne struje 2A m ;

dMMMM - trenutna vrijednost gustoće pomačne magnetske struje 2V m ;

Valja napomenuti da priloženi fontovi korišeni u ovom dijelu rad znače trenutne

vrijednosti vremenski promjenljivih veličine pri čemu je vremenska ovisnost proizvoljna

(ne nužno harmonijska).

Skalarnim množenjem jednadžbe (5.50) s HHHH

i jednadžbe (5.51) s EEEE

dobije se:

( ) ( )i d⋅ ∇× = − ⋅ +H E H M MH E H M MH E H M MH E H M M

(5.57)

( ) ( )i c d⋅ ∇× = ⋅ + +E H E J J JE H E J J JE H E J J JE H E J J J

(5.58)

Oduzimanjem izraza (5.58) od (5.57) slijedi:

( ) ( ) ( ) ( )i d i c d⋅ ∇× − ⋅ ∇× = − ⋅ + − ⋅ + +H E E H H M M E J J JH E E H H M M E J J JH E E H H M M E J J JH E E H H M M E J J J

(5.59)

Koristeći vektorski identitet:

( ) ( ) ( )∇ ⋅ × = ⋅ ∇ × − ⋅ ∇ × A B B A A B (5.60)

lijeva strana jednadžbe (5.59) mijenja oblik:


124

( ) ( ) ( )∇ ⋅ × = − ⋅ + − ⋅ + +E H H M M E J J JE H H M M E J J JE H H M M E J J JE H H M M E J J J

i d i c d (5.61)

što se može drugačije zapisati:

( ) ( ) ( ) 0∇ ⋅ × + ⋅ + + ⋅ + + =E H H M M E J J JE H H M M E J J JE H H M M E J J JE H H M M E J J J

i d i c d (5.62)

Ukoliko se izraz (5.61) integrira po volumenu V, slijedi:

( ) ( ) ( )∇ ⋅ × = − ⋅ + − ⋅ + +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫E H H M M E J J JE H H M M E J J JE H H M M E J J JE H H M M E J J J

i d i c d

V V V

dV dV dV (5.63)

te, se korištenjem teorema divergencije na lijevoj strani jednadžbe (5.63), dobiva:

( ) ( ) ( )i d i c d

S V V

d S dV dV× = − ⋅ + − ⋅ + +∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

E H H M M E J J JE H H M M E J J JE H H M M E J J JE H H M M E J J J (5.64)

što se može zapisati u obliku:

( ) ( ) ( ) 0i d i c d

S V V

d S dV dV× + ⋅ + + ⋅ + + =∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

E H H M M E J J JE H H M M E J J JE H H M M E J J JE H H M M E J J J (5.65)

Jednadžbe (5.62) i (5.65) predstavljaju diferencijalni odnosno integralni oblik zakona o

očuvanju energije [75].

Integrand s lijeve strane izraza (5.64) oblika:

= ×S E HS E HS E HS E H

(5.66)

naziva se Poynting-ovim vektorom, a dimenzijski predstavlja gustoću snage

elektromagnetskog vala.

Ukupna snaga PPPPe koja izlazi iz volumena V koji je obuhvaćen zatvorenom površinom S

tada je dana izrazom:


125

( )e

S S

d S d S= × =∫∫ ∫∫

P E H SP E H SP E H SP E H S (5.67)

S druge pak strane integrandi s desne strane jednadžbe (5.64) se mogu raspisati na način:

( )= − ⋅ + ⋅p H M E Jp H M E Jp H M E Jp H M E J

i is (5.68)

( ) 2σ σ= ⋅ = ⋅ =p E J E E Ep E J E E Ep E J E E Ep E J E E E

cd (5.69)

2

21 1

2 2ε ε ε

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ = ⋅ = ⋅ = = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

D E ED E ED E ED E EE J E E E wE J E E E wE J E E E wE J E E E w

d et t t t t (5.70)

2

21 1

2 2µ µ µ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ = ⋅ = ⋅ = = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

B H HB H HB H HB H HH M H H H wH M H H H wH M H H H wH M H H H w

d mt t t t t (5.71)

gdje je:

pppp s - prostorna gustoća privedene snage [W/m3]

pppp d - prostorna gustoća disipirane snage [W/m3]

wwww e - prostorna gustoća električne energije [J/ m3]

wwwwm - prostorna gustoća magnetske energije [J/ m3]

Integriranje izraza (5.68)– (5.71) po volumenu daje:

( )= − ⋅ + ⋅ =∫∫∫ ∫∫∫P H M E J pP H M E J pP H M E J pP H M E J p

i is s

V V

dV dV (5.72)

( ) ( )2σ= ⋅ = =∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫P E J E pP E J E pP E J E pP E J E p

cd d

V V V

dV dV dV (5.73)

( ) 21

2ε

∂ ∂ ∂ ⋅ = = =

∂ ∂ ∂ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫E J E w WE J E w WE J E w WE J E w W

d e e

V V V

dV dV dVt t t

(5.74)

( ) 21

2µ

∂ ∂ ∂ ⋅ = = =

∂ ∂ ∂ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫H M H w WH M H w WH M H w WH M H w W

d m m

V V V

dV dV dVt t t

(5.75)

gdje je:


126

PPPPs - privedena snaga [W]

PPPPd - disipirana snaga [W]

WWWWe - električna energija [J]

WWWWm - magnetska energija [J]

Dakle, sažeto se može napisati:

( ) 0∂

− + + =∂

P P + P W WP P + P W WP P + P W WP P + P W We s d e mt (5.76)

ili,

( )∂

+ +∂

P = P + P W WP = P + P W WP = P + P W WP = P + P W Ws e d e mt (5.77)

što predstavlja zakon o očuvanju snage, koji kaže da, unutar volumena V omeđenog

površinom S, privedena snaga PPPPs je jednaka sumi snage PPPPe koja izlazi iz volumena V kroz

površinu S, disipirane snage PPPPd i vremenske promjene (povećanja ukoliko je pozitivna)

električne WWWWe odnosno magnetske WWWWm energije sadržane unutar promatranog volumena.

5.2.2. Vremenski harmonijska EM polja

U prethodnom podpoglavlju 5.2.1 dan je pregled Poynting-ovog teorema za općeniti

oblik vremenski promjenljivih elektromagnetskih polja. Međutim, u mnogim primjenama

vremenska promjena je sinusna i naziva se vremenski harmonijska. Takva vremenska

promjena se predstavlja s j te ω te se trenutni vektori elektromagnetskog polja mogu zapisati

u kompleksnom obliku na jednostavan način:

( ), , ; Re ( , , ) ω = AAAA

j tx y z t A x y z e (5.78)

Dakle, uvažavajući izraz (5.78) harmonijska električna i magnetska polja se mogu

zapisati na slijedeći način:


127

( ) ( ) ( )*1

, , ; Re , ,2

ω ω ω = = + EEEE

j t j t j tx y z t E x y z e Ee Ee (5.79)

( ) ( ) ( )*1

, , ; Re , ,2

ω ω ω = = + HHHH

j t j t j tx y z t H x y z e He He (5.80)

gdje znak * označava konjugirano kompleksnu vrijednost. Uvrštavajući (5.79) i (5.80) u

(5.66) slijedi:

( ) ( )* *1 1

2 2ω ω ω ω = + × +

SSSS

j t j t j t j tEe Ee He He (5.81)

Koristeći teoreme vektorske algebre lako se dođe do konačnog izraza za Poynting-ov

vektor za harmonijski promjenjiva elektromagnetska polja [75]:

* 21 1

Re Re2 2

ω = × + × SSSS

j tE H E He (5.82)

Budući da ni E ni

H nisu funkcije vremena, a vremenska ovisnost drugog pribrojnika u

izrazu (5.82) je dvostruko veća od frekvencije vektora polja, tada vremenski usrednjen

Poynting-ov vektor, tj. uprosječena gustoća je jednaka:

2

* *2

0

1 1 1 1Re Re ( ) Re

2 2 2 2

πω ω

π

= = × + × = × ∫SSSS

j t

A S E H E He d t E H (5.83)

*× E H je općenito kompleksni broj, te realni dio od

*× E H predstavlja realni dio gustoće

snage, dok imaginarni dio predstavlja takozvanu jalovu snagu.

Uvažavajući gore navedeno, sada se mogu izvesti izrazi za zakon očuvanja snage i

energije za harmonijska polja. Prve dvije Maxwell-ove jednadžbe za harmonijski

promjenljiva polja su definirane sa [75]:

ωµ∇ × = − −

iE M j H (5.84)

ωε∇ × = + +

i cH J J j E (5.85)


128

gdje je iJ

kompleksna gustoća električne struje izvora a cJ

kompleksna gustoća

konduktivne električne struje koja je odgovorna za gubitke.

Skalarnim množenjem jednadžbe (5.84) s *H i konjugirano kompleksne varijante

jednadžbe (5.85) s E dobija se:

( )* * *

ωµ⋅ ∇ × = − ⋅ −

iH E H M j H H (5.86)

( )* * * *ωε⋅ ∇ × = ⋅ + ⋅ − ⋅

i cE H E J E J j E E (5.87)

Oduzimanjem jednadžbe (5.86) od (5.87) slijedi:

( ) ( )* * * * * * *

ωε ωµ⋅ ∇ × − ⋅ ∇ × = ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ +

i i cE H H E H M E J E J j E E j H H (5.88)

Koristeći vektorski identitet (5.60) proizlazi:

( )* * * 2 2 2i iE H H M E J E j H Eσ ω µ ε −∇ ⋅ × = ⋅ + ⋅ + + −

(5.89)

Diferencijalni oblik zakona očuvanja energije za harmonijski promjenljiva polja tada je

dan relacijom:

* * * 2 2 21 1 1 1 1 1

22 2 2 2 4 4

i iE H H M E J E j H Eσ ω µ ε

−∇ ⋅ × = ⋅ + ⋅ + + −

(5.90)

Integrirajući (5.90) po volumenu uz primjenu teorema o divergenciji slijedi:

( )* * *

2 2 2

1 1

2 2

1 1 12

2 4 4

i i

S V

V V

E H d S H M E J dV

E dV j H E dVσ ω µ ε

− × = ⋅ + ⋅ +

+ + −

∫∫ ∫∫∫

∫∫∫ ∫∫∫

(5.91)

Ili drugačije napisano:


129

( )* * * 2

2 2

1 1 1

2 2 2

1 12

4 4

i i

V S V

V

H M E J dV E H d s E dV

j H E dV

σ

ω µ ε

− ⋅ + ⋅ = × +

+ −

∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫

∫∫∫

(5.92)

što predstavlja zakon o očuvanju energije harmonijsko promjenljivih polja u integralnom

obliku.

Jednadžba (5.92) se kraće može zapisati na način [75]:

( )2 m es e dP P P j W Wω= + + − (5.93)

gdje su:

( )* *1

2i is

V

P H M E J dV= − ⋅ + ⋅∫∫∫

kompleksna snaga izvora; (5.94)

( )*1

2e

S

P E H d S= ×∫∫ kompleksna snaga koja izlazi kroz površinu S; (5.95)

*21 1

2 2cd

V V

P E dV E J dVσ= = ⋅∫∫∫ ∫∫∫

disipirana snaga; (5.96)

21

4m

V

W H dVµ= ∫∫∫ uprosječena magnetska energija; (5.97)

21

4e

V

W E dVε= ∫∫∫ uprosječena električna energija. (5.98)

5.2.3. Uprosječena snaga antene

U slučaju tanke žice (antena) napravljene od idealno vodljivog materijala na kojoj

postoji struja koja se mijenja po harmonijskom zakonu, vrijedi sljedeće:

0; 0; 0; 0; 0; 0; 0;≠ ≠ ≠ = ≠ = ≠

i di c dEEEE H J J J M MH J J J M MH J J J M MH J J J M M (5.99)

tj. nema gubitaka te nema izvora magnetske struje.


130

Tada zakon o očuvanju energije (5.61) poprima sljedeći oblik:

2 21 1

2 2i

tµ ε

∂ ∇ ⋅ = − ⋅ − +

∂

S E J H ES E J H ES E J H ES E J H E (5.100)

Budući se radi o harmonijski promjenjivim poljima, vremenski usrednjen Poynting-ov

vektor, odnosno uprosječena gustoća snage je dana jednadžbom (5.83), te je ukupna

uprosječena snaga dana izrazom:

*1

Re2A

S S

P Sd S E H d S = = × ∫∫ ∫∫ (5.101)

što može predstavljati npr. izračenu snagu antene.

Također za periodična polja vrijedi da je usrednjena vremenska promjena uskladištene

elektromagnetske energije jednaka nuli pa drugi član s desne strane izraza (5.100) nestaje.

Zbog toga je ukupna uprosječena snaga dana i sa [57]:

*1

Re2

iAV

S V

P Sd S E J dV= = − ⋅∫∫ ∫∫∫ (5.102)

Ovo znači da se uprosječena izračena snaga može izračunati ili integrirajući komponentu

Poynting-ovog vektora okomitu na zatvorenu površinu ili integrirajući gustoću privedene

snage po volumenu izvora.

5.2.4. Proračun uprosječene snage sustava žica

U slučaju tanke žice (antene) napravljene od idealno vodljivog materijala na kojoj

postoji struja koja se mijenja po harmonijskom zakonu, izraz *iJ dV

u (5.102) se može

zapisati kao:

* *

iiJ dV I S ds=

(5.103)


131

gdje je S površina presjeka žice a *

I

označava konjugirano kompleksnu vrijednost struje.

Uvrštavanjem (5.103) u (5.102) slijedi:

*1

Re2

iAV

C

P E I ds= − ⋅∫

(5.104)

što predstavlja uprosječenu izračenu snagu antene.

Generalizacijom izraza (5.104) slijedi uprosječena kompleksna izračena snaga antene:

*1

2= − ⋅∫

AV

C

P E I ds (5.105)

gdje realni dio predstavlja realnu izračenu snagu a imaginarni dio jalovu snagu.

Za slučaj Nw vodiča kojima teče kompleksna struja In totalna uprosječena snaga jednaka je:

*

1 1

1

2 = =

= − ⋅∑∑ ∫ W W

m

N N

mn nAV mm n C

P E I ds (5.106)

gdje je mnE

dio električnog polja na mjestu m-tog vodiča koji je posljedica zračenja n-tog

vodiča, i u skladu s matematičkom formulacijom i numeričkim rješenjem obrađenim u

poglavljima 2 i 3, definiran relacijom:

20 0

2 22

2 2

( ' )( , ' ) ' ( ' ) ( , ' ) '

'

( ' )1( , ' ) * ( ' ) ( , * ) '

4 *

( ' ) ( , ' ) '

n

n

n

n nm n n n n m n n

nC

n nmn i m n n n n i m n n

eff nC

sn n m n n

C

I sg s s k s I s g s s ds

s

k k I sE g s s k s I s g s s ds

j k k s

I s G s s ds

πωε

±

±

±

±

∂⋅∇ + ⋅ ⋅ +

∂

− ∂= + ⋅∇ + ⋅ ⋅ +

+ ∂ + ⋅

∫

∫

∫

∓

∓

(5.107)


132

Radi jednostavnosti prikaza pretpostavlja se sustav žica koji se nalazi u homogenom

mediju, a potom se formulacija dade proširiti na vodljivi poluprostor. Za slučaj homogenog

medija jednadžba (5.107) se pojednostavljuje:

20 0

1 ( ' )( , ' ) ' ( ' ) ( , ' ) '

4 'n

n nmn m n n n n m n n

eff nC

I sE g s s k s I s g s s ds

j sπωε

∂= ⋅ ∇ + ⋅ ⋅

∂ ∫

(5.108)

Uvrštavanjem izraza (5.108) u (5.106) slijedi:

*0

1 1 20

( ' )( , ' )1 ' '

8' ( ' ) ( , ' )

W W

m n

n nN Nm n

mnAV n mm neff C C

n n n m n

I sg s s

sP ds I dsj

k s I s g s sπωε = =

±

∂ ⋅ ∇ + ∂= − ⋅

+ ⋅ ⋅

∑∑ ∫ ∫

(5.109)

tj.:

*0

1 1 2 *0

( ' ) ( , ' )( ) '

'1

8' ( ' ) ( ) ( , ' ) '

W Wm n

m n

n n m nm m n m

N Nn mC C

AVm neff

m n n n m m m n n m

C C

I s g s sI s ds ds

s sP

jk s s I s I s g s s ds ds

πωε = =

±

∂ ∂⋅ ⋅ +

∂ ∂ = −

+ ⋅ ⋅ ⋅

∫ ∫∑∑

∫ ∫

(5.110)

Kako bi se izbjeglo djelovanje diferencijalnog operatora na jezgru operator će se prebaciti

s jezgre na struju * ( )m mI s pomoću izraza za deriviranje umnoška dviju funkcija:

*

* *00 0

( , ' ) ( )( ) ( , ' ) ( ) ( , ' )m n m m

m m m n m m m n

m m m

g s s I sI s g s s I s g s s

s s s±

± ±

∂ ∂ ∂ ⋅ = ⋅ − ⋅ ∂ ∂ ∂

(5.111)

Integrirajući izraz (5.111) po dužini žice (m) slijedi:

** *0

0 0

( , ' ) ( )( ) ( , ' ) ( ) ( , ' )

m

m

m m

s endm n m m

m m m m n m m m n ms startm mC C

g s s I sI s ds g s s I s g s s ds

s s±

± ±

∂ ∂⋅ = ⋅ − ⋅

∂ ∂∫ ∫ (5.112)


133

Prvi izraz s desne strane sadrži uvjete na krajevima žice koji se naknadno uključuju u

numeričku formulaciju, te ga je stoga potrebno zanemariti u nastavku rješavanja. Inače bi

sustav postao predimenzioniran.

Uvažavajući to, te uvrštavanjem (5.112) u (5.110) slijedi:

*

0

1 1 2 *0

( ' ) ( )( , ' ) '

'1

8' ( ' ) ( ) ( , ' ) '

W Wm n

m n

n n m mm n n m

N Nn mC C

AVm neff

m n n n m m m n n m

C C

I s I sg s s ds ds

s sP

jk s s I s I s g s s ds ds

πωε = =

∂ ∂− ⋅ ⋅ +

∂ ∂ = −

+ ⋅ ⋅ ⋅

∫ ∫∑∑

∫ ∫

(5.113)

Razvojem raspodjele struje ( ' )n nI s odnosno * ( )m mI s u red linearno nezavisnih funkcija

Nn odnosno Nm s prethodno izračunatim vrijednostima struje u čvorovima duž žice:

( )1

' ( ' )=

=∑nN

n n ni ni ni

I s I f s (5.114)

( )* *

1

( )=

=∑mN

m m mj mj mj

I s I f s (5.115)

slijedi:

*0

1 1

1 1 2 *0

1 1

( )( ' )( , ' ) '

'1

8' ( ' ) ( ) ( , ' ) '

n m

W Wm n

n m

m n

N Nmj mni n

ni mj m n n mN N

i j n mC C

AV N Nm neff

ni mj m n ni n mj m m n n mi j C C

f sf sI I g s s ds ds

s sP

jk I I s s f s f s g s s ds ds

πωε

= =

= =

= =

∂∂− ⋅ ⋅ ⋅ +

∂ ∂ = −

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∑∑ ∫ ∫∑∑

∑∑ ∫ ∫

(5.116)

tj.

0*

1 1 1 1 20

( )( ' )( , ' )1

' '8

' ( ' ) ( ) ( , ' )

W W n m

m n

mj mni nN N N Nm n

n mAV ni mj n mm n i jeff C C

m n ni n mj m m n

f sf sg s s

s sP I I ds dsj

k s s f s f s g s sπωε = = = =

∂∂− ⋅ ⋅ +

∂ ∂= − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∑∑ ∑ ∑ ∫ ∫

(5.117)

Izraz (5.117) se također može napisati i u obliku:


134

*

1 1 1 1

1

8

W W n mN N N Nnm

AV ni mj jim n i jeff

P I I Zj πωε = = = =

= −

∑∑ ∑ ∑ (5.118)

gdje je:

0

20

( )( ' )( , ' )

' '

' ( ' ) ( ) ( , ' )m n

mj mni nm nnm

n mji n m

C Cm n ni n mj m m n

f sf sg s s

s sZ ds ds

k s s f s f s g s s

±

±

∂∂− ⋅ ⋅ +

∂ ∂= + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∫ ∫

(5.119)

Također jednadžba (5.118) se može napisati matrično:

*

1 1

*11 12 1 1

*21 2 1

1 21 1

*

1

1

8

1

8

W W

m

W Wm

n

mn n m

N NT

AV i ji jn nm mm neff

N

N NN

N nm neff

NN N N mnm

P I Z Ij

Z Z Z I

Z Z II I I

j

IZ Z

πωε

πωε

= =

= =

= − =

=

∑∑

∑∑

(5.120)

pri čemu se elementi matrice ji nmZ računaju iz relacije (5.119). Dakle prelaskom na

lokalni sustav dolazimo do izraza za elemente matrice:

1 10

21 1 0

( , ' )'

'' ( , ' )

n m T

m nnm i j n mji n m T

m n m ni j

D D g s s ds dsZ d d

d dk s s f f g s sζ ζ

ζ ζ

±

− − ±

− ⋅ ⋅ + = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∫ ∫ (5.121)

gdje vektori n

if i

m

jf sadrže oblikovne funkcije dok vektori

n

iD i

m

jD sadrže

njihove derivacije redom Nn elementa n-te žice odnosno Nm elementa m-te žice.

Izraz ji nmZ predstavlja matricu međuimpedancija elemenata između n-te i m-te žice i

potpuno je ista matrici međuimpedancija koja se dobije prilikom računanja struje (3.36).


135

Također sve matrice međuimpedancije asemblirane čine globalnu matricu sustava (3.36).

Na taj način izraz (5.120) se može sažeto napisati kao:

[ ] *1

8

T

AV

eff

P I Z Ij πωε

= − (5.122)

gdje je T

I transponirani vektor struje:

1

2

1 2

1

2

1 2

= =

NWW

NWW

T

N

TT TNT

N N NN

NN

I

II I I I

I

(5.123)

[ ]Z je globalna matrica sustava:

[ ]

1 1 1 2 1

2 1

1

1 1

11 12 1

21

1

1 1

−

−

−

−

=

NWW

N NW WW W

N N N N Nw W W W WW W W W W

N N N N N NN

N N

N NN N

N N N N N NN N N N N

Z Z Z

ZZ

Z

Z Z Z

(5.124)

a *I je vektor konjugirano kompleksnih vrijednosti struje u svim čvorovima svih žica:

1

2

*

1

*

* 2

*

=

NWW

N

N

NN

I

II

I

(5.125)


136

Dakle, proračun snage vrlo jednostavno provodi s već izračunatim matricama

dobivenim prilikom proračuna struje, što je prednost predložene metode jer se proračun

svodi na množenje vektora već izračunate struje i globalne matrice već asemblirane u

postupku proračuna struje.

Ukoliko se žica postavi u homogeni poluprostor tada je matricu međuimpedancija nužno

proširiti da bi se uzelo u obzir i reflektirano polje na isti način kao i u slučaju proračuna struje:

0

20

2 2

2 2 2

( , ' )

' ( , ' )

( , * )'

' ( , ' )

( , ' )

n nT

m ni j

n mT

m m m ni j

nm n mT nji i m ni j

n mT

m n i m ni j

n mTSm m ni j

D D g s s

k s s f f g s s

dsZ dD D g s sk k d

k k k s s f f g s s

s f f G s s

ζζ

±

± ±

±±

± ± ±

±

− ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + − + +

+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

∓

∓

1 1

1 1

' mdsd

dζ

ζ− −

∫ ∫ (5.126)

5.3. Proračun ulazne impedancije

Općenito, žičana antena se pomoću Thevenin-ovog i/ili Norton-ovog ekvivalentnog

kruga može nadomjestiti s ekvivalentnom impedancijom ZA [55]. Ekvivalentna

impedancija se postavlja između dva terminala a – b koji se koriste za povezivanje antene

na generator, prijemnik ili prijenosnu liniju (Slika 5.1), i predstavlja ulaznu impedanciju.


137

Slika 5.1 Antena i ekvivalentni krug

U slučaju da je antena izolirana u slobodnom prostoru, ulazna impedancija jednaka je

vlastitoj impedanciji antene. U praksi, naravno, to nije slučaj jer gotovo uvijek treba uzeti u

obzir utjecaj poluprostora budući se antene postavljaju iznad ili u zemlju.

Ulazna impedancija ovisi o mnogim parametrima kao što su radna frekvencija, geometrija

antene, metode pobuđivanja te blizina okolnih objekata.

U relevantnoj literaturi navodi se nekoliko, u prvom redu analitičkih, načina proračuna

ulazne impedancije. Prema [55] i [92] ulazna impedancija se može izračunati primjenom:

• metode rubnih vrijednosti (eng. boundary-value problems) – metode temeljene

direktno na jednadžbama polja;

• metode Poynting-ovog vektora (eng. Poynting vector method)

• metode inducirane elektromotorne sile (eng. induced EMF method)

• metode prijenosnih linija (eng. transmission line method).

Metoda rubnih vrijednosti je klasična metoda kod koje se Maxwell-ove jednadžbe

izraze preko krivolinijskih koordinata pogodno odabranih prema obliku vodiča. Zatim se

uz zadovoljenje graničnih uvjeta na vodiču rješava rezultirajuća diferencijalna jednadžba.

Potom se odrede prirodni modovi titanja te se iz prigušenja tih titraja dade odrediti realni

dio impedancije, odnosno radni otpor. Glavni nedostatak metode je da je ograničena na

vrlo uski skup geometrija budući je egzaktno rješenje moguće samo u slučaju sferoidnih

vodiča. Ostali oblici geometrije sadrže diskontinuitete na krajevima što čini svaku analizu


138

približnom. To se odnosi i na vodič oblika cilindra, za koji egzaktna analiza nije moguća

[93]. Općenito, metoda rubnih vrijednosti je točnija od ostalih metoda budući da sadrži

najmanje aproksimacija i pojednostavljenja. Pri tome se prvenstveno misli da se raspodjela

struje ne pretpostavlja već se određuje iz graničnog uvjeta o nestajanju tangencijalnih

komponenti električnog polja na površini idealnog vodiča.

Metoda Poynting-ovog vektora se sastoji od integracije Poynting-ovog vektora po

zatvorenoj površini (najčešće sfera) koja obuhvača antenu na dovoljno velikoj udaljenosti.

Pri proračunu električnog i magnetskog polja se pretpostavlja sinusna raspodjela struje.

Osnovni nedostatak ove metode je da daje samo realni dio impedancije tj. otpor zračenja

budući da uzima u obzir samo daljinsko polje. Preciznost metode je u najvećoj mjeri

ovisna o točnosti pretpostavljene raspodjele struje.

Metoda inducirane elektromotorne sile se sastoji od proračuna integrala produkta

raspodjele struje i električnog polja na površini antene koje je posljedica te raspodjele

struje [94]. Tada je ulazna impedancija dana sa [92], [94], [95]:

2

0

1( ) ( )ul sZ E s I s ds

I= − ⋅∫ (5.127)

gdje je 0I struja na ulaznom terminalu, ( )I s pretpostavljena sinusna raspodjela struje i

( )sE s raspodjela tangencijalnog električnog polja duž žice.

Kao i kod metode Poynting-ovog vektora iz pretpostavljene strujne raspodjele se

računaju električna i magnetska polja te točnost metode ovisi o preciznosti pretpostavljene

struje. Metoda daje istu vrijednost otpora zračenja kao i metoda Poynting-ovog vektora za

istu pretpostavljenu raspodjelu struje, dok joj je prednost što daje i vrijednost imaginarnog

dijela impedancije tj. reaktanciju. U načelu metoda Poynting-ovog vektora se pretvara u

metodu inducirane elektromotorne sile ukoliko se za integracijsku površinu uzme površina

antene. Iz tog razloga neki autori metodu inducirane elektromotorne sile promatraju samo

kao podvrstu metode Poynting-ovog vektora [55], [96].

Kod metode prijenosnih linija, antena se razmatra kao prijenosna linija i često se koristi

kod bikoničnih antena.

Detaljan pregled opisanih metoda se može pronaći u [92] i [97].

Kombiniranjem ovih osnovnih analitičkih metoda za proračun ulazne impedancije s, u

prethodnim poglavljima, opisanim matematičkim i numeričkim modelom za proračun


139

raspodjele struje duž proizvoljne žičane strukture, napona te totalne uprosječene izračene

snage, u ovom radu se predlažu četiri načina proračuna ulazne impedancije složene žičane

strukture (proizvoljne antene):

• direktno iz definicije ukoliko je poznat ulazni napon, dok se ulazna struja dobije

iz rješenja za strujnu raspodjelu;

• direktno iz definicije ukoliko je poznata ulazna struja, dok se ulazni napon

računa integriranjem električnog polja;

• direktno iz definicije ukoliko je poznata ulazna struja, dok se ulazni napon

računa množenjem globalne matrice međuimpedancija s izračunatom strujnom

raspodjelom;

• poopćenjem metode Poynting-ovog vektora i metode inducirane elektromotorne

sile uvođenjem izvedenog numeričkog rješenja za uprosječenu izračenu snagu.

Prvi način, ujedno i najjednostavniji, temelji se na samoj definiciji ulazne impedancije

kao omjera ulaznog napona i struje:

= ulul

ul

VZ

I (5.128)

Ovisno o karakteru problema koji se promatra, poznat je ili ulazni napon ili ulazna

struja. Naime, kada složena žičana struktura predstavlja predajnu antenu tada se kao

pobuda koristi idealni naponski izvor, kružni magnetski prsten te predložena kružna

magnetska antena pa je ulazni napon poznat dok se ulazna struja postupkom opisanim u

poglavljima 2 i 3 dobije rješavanjem integralne jednadžbe. Korištenjem kružnog

magnetskog prstena ili kružne magnetske antene kao pobude na otvorenom kraju žičane

strukture ovaj koncept se može proširiti i na proračun ulazne impedancije uzemljivača,

gromobrana ili kanala groma kod kojih je izvor gotovo uvijek na otvorenom kraju žice.

Dakle, za razliku od dosadašnjih metoda, kod kojih se na otvoreni kraj žice postavljao

idealni strujni izvor te je ulazni napon bio nepoznat, u ovom slučaju ulazni napon je poznat

a ulazna struja se ionako izračuna u okviru proračuna ukupne raspodjele struje.

U slučaju modeliranja fenomena pomoću idealnog strujnog izvora (kanal groma,

gromobran, uzemljivač) poznata je ulazna struja, dok je ulazni napon potrebno izračunati.


140

Jedan od načina, vrlo često korišten, proračuna ovog napona (koji se odnosi na udaljenu

zemlju eng. remote ground) je integriranje električnog polja od točke izvora do

beskonačnosti prema izrazu (5.1) gdje je točka B u beskonačnosti, a točka A sa nalazi na

površini žice na sredini elementa na koji je priključen idealni strujni izvor [14], kako je

prikazano na slici 5.2.

Slika 5.2 Integracija pri proračunu ulaznog napona

Točka A se postavlja na sredinu elementa na koji se spaja pobuda da se izbjegnu

numeričke nepravilnosti pri proračunu bliskog polja, prvenstveno u vidu pojave

nefizikalnih rješenja, koje se javljaju na spojevima i otvorenim krajevima žica [29], [98].

Izbjegavajući ove numeričke nestabilnosti, nailazi se na novi problem. Naime, različitim

odabirom broja elemenata tj. dužine elemenata mijenja se i položaj točke A, a samim time i

iznos proračunatog napona što znači da ovako definiran napon u numeričkom smislu nije

jednoznačan i izravno ovisi o odabranom broju elemenata. Također, strogo gledano tada se

ulazni napon i ulazna struja promatraju u različitim točkama: struja u čvoru elementa koji

sadrži izvor a napon na sredini tog elementa, što znači da je pripadajuća impedancija

aproksimativna.

Drugi način proračuna napona u točki pobude može se provesti izravno iz globalne

matrične jednadžbe nastale pri proračunu struje duž žičane strukture, oblika:

[ ] Z I V= (5.129)

koja izravno slijedi iz (3.35).

Vektor desne strane V predstavlja pobudu i ima fizikalni smisao napona. Valja

napomenuti da pri proračunu struje vektor desne strane smatramo jednakim nuli budući da

se pobuda u slučaju idealnog strujnog izvora u formulaciju uvodi putem graničnog uvjeta.

Međutima, član vektora desne strane koji odgovara čvoru u koji je injektirana struja nije


141

jednak nuli. Naime, u postupku rješavanja matrične jednadžbe (5.130), red koji odgovara

čvoru injektiranja izbacuje iz formulacije. To znači da i član vektora desne strane koji

odgovara čvoru injektiranja struje nestaje iz procesa računanja struje (ovdje je, bez utjecaja

na općenitost, pretpostavljeno da je to prvi čvor odnosno red):

11 12 1

21 22 2 2

1 2

0

0

n g

n

n n nn n

Z Z Z I V

Z Z Z I

Z Z Z I

=

…

…

…

(5.130)

Na taj način se dobiva matrična jednadžba, iz koje se računa raspodjela struje, koja ne

sadrži informaciju o naponu čvora u koji je injektirana struja:

22 23 2 2 21

32 33 3 3 31

2 3 1

n

ng

n n nn n n

Z Z Z I Z

Z Z Z I ZI

Z Z Z I Z

= −

…

…

…

(5.131)

Zbog toga se element vektora desne strane koji odgovara čvoru u koji je injektirana struja

može odrediti iz početne matrične jednadžbe (5.130) jednostavnim množenjem

odgovarajućeg reda globalne matrice međuimpedancija s izračunatom raspodjelom struje:

[ ] 211 12 1 1

1

g

n

n i ii

n

I

IV Z Z Z Z I

I=

= =

∑…

(5.132)

Rješenje tog množenja (5.132) je upravo napon čvora u koji je injektirana struja.

Ovakav način proračuna napona, a posljedično i ulazne impedancije, je mnogo točniji i

stabilniji od prethodno opisanog (integrala električnog polja), budući da se napon vezuje za

istu točku kao i struja. Također, postupak je mnogo brži i jednostavniji budući zahtjeva

množenje prvog reda globalne matrice već izračunate u postupku proračuna struje s tom

strujom. Valja naglasiti da ovaj koncept proračuna napona na žici vrijedi samo za točku na

koju je priključen strujni izvor, dok prethodno opisani postupak vrijedi za bilo koju točku


142

na žici i oko žice. Ovaj koncept je primjenljiv i kod modeliranja antena, ali je u suštini

nepotreban budući je ulazni napon ionako poznat.

Posljednja metoda je možda najopćenitija i temelji se na poopćenju gore opisane

metode Poynting-ovog vektora i metode inducirane elektromotorne sile. Slijedeći te

osnovne ideje ulazna impedancija je definirana preko relacije [50], [92], [95]:

*

2 2

0 0

2 1AVul

C

PZ E I ds

I I= = − ⋅∫

(5.133)

gdje je AVP uprosječena izračena snaga a 0I kompleksna ulazna struja.

Ukoliko se umjesto AVP uvrsti izraz (5.122) slijedi formula za proračun ulazne

impedancije proizvoljnog sustava žica (antena) bez obzira na karakter i mjesto pobude:

[ ] *2

0

1

4

T

ul

eff

Z I Z Ij Iπωε

= − (5.134)

Dakle, opisani postupak za proračun ulazne impedancije je maksimalno općenit te je

usko povezan s numeričkim rješenjem pomoću GBIMRE, budući je proračun ulazne

impedancije sveden na jednostavno množenje matrica već asembliranih u postupku

proračuna struje duž žičane strukture. Valja napomenuti da izraz (5.134) predstavlja

poopćenje sličnog izraza za ravne i paralelne žice iz [1].

Ovakav način proračuna ulazne impedancije uvelike olakšava proračun tzv.

međuimpedancije koja se definira kao omjer napona stvorenog na prvoj anteni uslijed

zračenja druge antene i struje na drugoj anteni, pri čemu na prvu antenu nije priključen

nikakav generator. Naime, međuimpedancija između dvije antene se može definirati kao

[50]:

*

0 0

1

j

ji jji j

j i C

Z E I dsI I

= − ⋅∫

(5.135)

što je istog oblika kao i izraz za ulaznu impedanciju (5.133).

Ponavljajući postupak izvoda uprosječene snage slijedi:


143

*

0 0

1

4 i i j j

T

ij n n n ni ij jeff i j

Z I Z Ij I Iπωε

= − (5.136)

gdje je i

T

n iI transponirani vektor rješenja za i-tu antenu, *

jnj

I konjugirano kompleksnih

vrijednosti struje na j-toj anteni, i jn n

ijZ generalizirana matrica impedancije koja u stvari

predstavlja podmatricu globalne matrice sustava (5.124), 0iI je ulazna struja i-te antene a

0 jI ulazna struja j-te antene.

Može se kazati da način proračuna ulazne impedancije žičane strukture u najvećom

mjeri ovisi o vrsti pobude. Ukoliko se koristi naponski upravljana pobuda (jednostavni

naponski izvor, kružni magnetski prsten i kružna antena), bez obzira na primjenu, tada je

ulazni napon poznat a ulazna struja se dobije proračunom raspodjele struje duž žičane

strukture, te se ulazna impedancija dobije iz definicije (5.128). Ukoliko se pak koristi

idealni strujni izvor tada je poznata ulazna struja dok je ulazni napon potrebno odrediti bilo

integriranjem električnog polja bilo korištenjem relacije (5.132). Korištenjem Poynting-

ovog teorema tj. izvedene relacije (5.134) ulazna impedancija se može izračunati direktno

bez obzira na karakter i mjesto pobude. Tablica 5.1 sadrži kratki sažeti pregled načina

proračuna ulazne impedancije u ovisnosti o vrsti pobude.

Tablica 5.1 Sažeti pregled načina proračuna ulazne impedancije

Pobuda Poznati parametar Proračun ulazne impedancije

Idealni strujni izvor Ulazna struja

- proračun ulaznog napona integriranjem E polja (BCINTZ)*

- proračun napona iz (5.132) (BCMZ)* - direktni proračun ulazne impedancije

pomoću (5.134) (BCPTZ)*

Jednostavni naponski izvor

Ulazni napon

- ulazna struja se dobije iz proračuna raspodjele struje (DGZ)*

- direktni proračun ulazne impedancije pomoću (5.134) (DGPTZ)*

Magnetski kružni prsten

Ulazni napon

- ulazna struja se dobije iz proračuna raspodjele struje (MFZ)*

- direktni proračun ulazne impedancije pomoću (5.134) (MFPTZ)*

Magnetska kružna antena

Ulazni napon

- ulazna struja se dobije iz proračuna raspodjele struje (MAZ)*

- direktni proračun ulazne impedancije pomoću (5.134) (MAPTZ)*

* - kratice u zagradama označavaju različite pobude i pripadne načine proračuna ulazne impedancije koji će biti uspoređeni u nastavku rada


144

5.4. Numerički primjeri

5.4.1. Proračun napona

5.4.1.1. Jednostavni uzemljivač

Prvi primjer tiče se proračuna napona u odnosu na daleku zemlju (odnosno potencijala)

na površini zemlje iznad jednostavnog horizontalnog uzemljivača prikazanog na slici 5.3.

Također, na istoj slici mogu se vidjeti geometrijske karakteristike uzemljivača i profila po

kojem se računa napon, kao i karakteristike tla u koje je postavljen uzemljivač. Praktična

važnost ovako izračunatog napona je u proračunu napona dodira i napona koraka, veličina

definiranih normama koje uređuju pitanja uzemljenja i uzemljivača.

Slika 5.3 Jednostavni horizontalni uzemljivač i profil proračuna

Proračun je izvršen na frekvenciji od 15MHz, pri čemu je za proračun struje korišteno

50 linearnih elemenata, dok je napon izračunat u 61 točki na površini zemlje. Slika 5.4

prikazuje raspodjelu napona na površini duž profila izračunatog na tri načina: integralom

električnog polja po formuli (5.4), ubrzanim proračunom po formuli (5.45) i ubrzanim

proračunom bez uzimanja u obzir Sommerfeld-ovih integrala po formuli (5.49). Vidljivo je

da se rezultati izračunati pomoću prva dva načina izvrsno slažu dok zanemarenje

Sommerfeld-ovih integrala kod proračuna napona unosi minimalnu grešku. Budući da se

radi o samoj granici područja za očekivati je da će greška u najvećem broju slučaja biti

upravo tu najveća ukoliko se zanemari utjecaj Sommerfeld-ovih integrala. Za ubrzani

proračun prema formuli (5.45) potrebno je cca. 60% vremena u odnosu na originalni

postupak dok u slučaju zanemarenja Sommerfeld-ovog dijela vrijeme proračuna pada cca.

4 reda veličine, što u praktičnom inženjerskom smislu predstavlja izuzetan rezultat. U

konkretnom slučaju, radi ilustracije, ta vremena su redom iznosila 162s, 100s i 0.068s.


145

−2 0 2 4 6 8 10 12−60

−40

−20

0

20

40

60

imag(U

) (V

)

x (m)

Imaginarni dio napona

−2 0 2 4 6 8 10 12−40

−20

0

20

40

60

real(U

) (V

)

x (m)

Realni dio napona

Integral E polja

Ubrzan proracun

Ubrzan proracun bez Somm

Slika 5.4 Napon na površini zemlje duž profila

Također je, na istom uzemljivaču, izvršen proračun frekvencijskog spektra ulaznog

napona pomoću opisana tri načina. Rezultat tog proračuna je prikazan na slici 5.5, gdje se

vidi da nema praktički nikakve razlike između rezultata dobivenih ubrzanim proračunom

sa i bez formulacije sa Sommerfeld-om. Razlika je prisutna u odnosu na proračun u odnosu

na originalni integral i nastaje kod proračuna električnog polja uz sami rub žice. Naime

izraz za električno polje sadrži derivaciju Green-ove funkcije aproksimiranu konačnim

diferencijama koja generira relativno veliku grešku kada se točka proračuna nalazi uz sami

rub žice. Kako je električno polje najveće uz samu žicu i brzo opada udaljavanjem od žice

jako mala greška pri proračunu polja uz samu žicu uzrokuje grešku u proračunu ulaznog

napona.

Budući da proračun električnog polja otpada u slučaju ubrzanog algoritma, taj problem

nestaje pa samim time i točnost proračuna je veća. Na ovom primjeru može se jasno vidjeti

da je utjecaj Sommerfeld-ovih integrala na proračun napona, posebice ulaznog napona

uzemljivača, praktički zanemariv.


146

0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 107

−100

−50

0

50

100

imag(U

) (V

)

f (Hz)

Imaginarni dio napona

0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 107

0

50

100

150

200

real(U

) (V

)

f (Hz)

Realni dio napona

Integral E polja

Ubrzan proracun

Ubrzan proracun bez Somm

Slika 5.5 Frekvencijski spektar ulaznog napona

5.4.1.2. Složeni uzemljivač

Prvi primjer se odnosi na mrežasti uzemljivač prikazan na slici 3.23. Dakle, radi se o

mrežastom uzemljivaču dimenzija 60x60m, s okom mreže od 10x10m. Uzemljivač je

izveden od bakrene žice radijusa a=0.007m, te je ukopan u zemlju na dubinu od d=0.5m.

Zemlja je smatrana homogenom, specifične električne vodljivosti σ=0.001S/m i relativne

dielektričnosti εr=10. Slika 5.6 prikazuje prostorno vremensku raspodjelu napona, u

odnosu na udaljenu zemlju, na vodičima mrežastog uzemljivača. Vremenska ovisnost je

dobivena primjenom inverzne Fourier-ove transformacije na proračunati frekvencijski

spektar napona po vodičima. Odziv je dobiven u odnosu na tipični dvostruko

eksponencijalni strujni impuls, s maksimalnom strujom od 1kA, vremenom porasta od 1µs i

vremenom pada na polovinu maksimalne vrijednosti od 50µs, injektiran u centar mreže.

Strujni impuls je opisan jednadžbom:

( )( ) t ti t I e eα β− −= − (5.137)

gdje je 1.0167I kA= , 10.0142 sα µ −= i 15.073 sβ µ −= .


147

Usporedbom rezultata prikazanih na slici 5.6 s rezultatima obavljenim u [99] može se

uočiti jako dobro slaganje.

Slika 5.6 Prostorno-vremenska ovisnost napona u odnosu na daleku zemlju na žicama

mrežastog uzemljivača

Drugi primjer je kompleksni uzemljivač vjetroagregata, prikazan na slici 5.7. Sami

uzemljivač se sastoji od osnovnog uzemljivača prikazanog na slici 5.7a, i dodanih

horizontalnih traka kako je ilustrirano na slici 5.7b.


148

(a)

(b)

Slika 5.7 Geometrija uzemljivača vjetroagregata

Osnovni uzemljivač se sastoji od dva bakrena prstena izračena od vodiča presjeka

70mm2 (Cu 70 mm2) prvenstveno namijenjena izjednačavanju potencijala. Manji je

radijusa 3.25m i ukopan je na dubini od 5cm, dok je veći radijusa 6.8m i ukopan je na

dubini 55cm. Unutar većeg prstena je postavljen mrežasti kvadratni uzemljivač (Fe/Zn

30x4mm) stranice 9.6m na dubini od 2m. Dodatne horizontalne trake (Fe/Zn 30x4mm) od

28m, 29m i 9m su postavljene radijalno kako je prikazano na slici 5.7 na dubinu 1m kako

bi se dodatno poboljšala svojstava uzemljivača. Također, na uzemljivač je spojeno i

uzemljivačko uže koje se postavlja u kabelski rov i povezuje sve vjetroagregate u

vjetroparku zajedno s ostatkom uzemljenja mreže. Uzemljivačko uže u kabelskom rovu je

modelirano do dužine od 200m budući da u impulsnom režimu rada ostatak uzemljivačkog

sustava nema gotovo nikakav utjecaj na ponašanje konkretnog uzemljivača vjetroagregata.

Uzemljivač je postavljen u tlo specifičnog otpora ρ=1200Ω/m i relativne dielektričnosti

εr=9, te je pobuđen u vidu strujnog impulsa opisanog s jednadžbom (5.137) s parametrima

1.1043I A= , 10.07924 sα µ −= i 14.0011 sβ µ −= što odgovara impulsu s omjerom

vremena porasta i opadanja 1/10 µs. Valni oblik signala je prikazan na slici 5.8.


149

10−9

10−8

10−7

10−6

10−5

10−4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

|I| (A

)

t (s)

Slika 5.8 Strujni impuls u vremenu - logaritamska skala

Slika 5.9 prikazuje prostorno vremensku raspodjelu napona (potencijala) na površini

zemlje iznad promatranog uzemljivača uslijed protjecanja struje munje opisane gornjim

parametrima. Na slikama se jasno vidi porast i pad napona na površini zemlje kao i

karakteristična kašnjenja u propagaciji samog impulsa duž uzemljivača.


150

Slika 5.9 Prostorno-vremenska ovisnost napona na površini zemlje iznad uzemljivača

vjetroagregata uslijed udara munje


151

5.4.2. Proračun ulazne impedancije

5.4.2.1. Uzemljivač

5.4.2.1.1 Jednostavni uzemljivač

Prvi primjer predstavlja jednostavnu horizontalnu uzemljivačku elektrodu duljine 10m

ukopanu na dubini od 0.5m u zemlju karakteristika 10ε =r i 0.001σ = S m . Za pobudu su

korišteni idealni naponski izvor, magnetski kružni prsten (b=2.3a) i magnetska kružna

antena u skladu s slikom 4.11. Za proračun ulazne impedancije, ovisno o pobudi, korištene

su metode opisane u tablici 5.1. Proračun je proveden za različite brojeve linearnih

elemenata kako bi se ispitala konvergencija i stabilnost rješenja ulazne impedancije.

Slika 5.10 prikazuje frekvencijsku karakteristiku ulazne impedancije u relevantnom

pojasu od 0 – 30MHz, dok slika 5.11 predstavlja odgovarajuću vremensku karakteristiku

apsolutne vrijednosti ulazne impedancije u odnosu na već opisani strujni impuls 1/10 µs.

Karakteristike su proračunate za različiti broj elemenata metodom BCINTZ. Odmah je

jasno da postoje relativno velike razlike u rezultatima u ovisnosti o broju elemenata.

Razlog tolikim razlikama leži u samoj metodi proračuna ulazne impedancije. Naime,

metoda BCINTZ, koja je do sada bila najčešće korištena, podrazumijeva proračun ulaznog

napona integriranjem električnog polja od točke na sredini prvog elementa (element na koji

je priključen strujni izvor) do beskonačnosti. Budući da ta točka, uslijed promjene broja

elemenata, nije fiksna dolazi i do velikih promjena u proračunu ulaznog napona, što

rezultira u velikim promjenama u proračunatim vrijednostima ulazne impedancije. Izvor

velikih promjena je ponašanje napona na samom kraju žice koje je nestabilno upravo zbog

uvjeta na kraju žice.

Očigledno je da je ovakav način proračuna ulazne impedancije nepouzdan i vrlo

osjetljiv na diskretizaciju. Također postavlja se pitanje da li vrijednosti ulazne impedancije

konvergiraju nekoj vrijednosti, tj. u konkretnom slučaju da li je točnije rješenje s 100

elemenata ili ono s 200 elemenata.


152

103

104

105

106

107

0

50

100

150

200

250

|Zt| (

Ω)

f (Hz)

ABS ulazne impedancije

103

104

105

106

107

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

arg

(Z)

(°)

f (Hz)

Faza ulazne impedancije

Ne=10

Ne=20

Ne=50

Ne=100

Ne=200


BCINTZ

10−8

10−7

10−6

10−5

20

40

60

80

100

120

140

160

|Zt| (

Ω)

t (s)

Ne=10

Ne=20

Ne=50

Ne=100

Ne=200

Slika 5.11 Tranzijentna impedancija uzemljivača proračunata s BCINTZ

Rezultati proračuna ulazne impedancije, kako frekvencijski tako i vremenski, s

metodama BCMZ i BCPTZ su prikazani na slikama 5.12 do 5.15. Rezultati pokazuju da

obje metode daju praktički identične rezultate bez obzira na broj elemenata. Ovo je velika

prednost u odnosu na prethodnu metodu BCINTZ budući da rješenje ne ovisi o broju


153

elemenata te je dovoljno koristiti relativno mali broj elemenata da bi se dobilo kvalitetno

rješenje. Taj broj je u principu određen samo konvergencijom rješenja struje koje je dosta

brzo, kako je već pokazano u 2. poglavlju, posebno na frekvencijama relevantnim za

uzemljivače (do maksimalno nekoliko desetaka MHz).

103

104

105

106

107

0

50

100

150

200

250

|Zt| (

Ω)

f (Hz)


103

104

105

106

107

−60

−40

−20

0

20

40

arg

(Z)

(°)

f (Hz)


Ne=10

Ne=20

Ne=50

Ne=100

Ne=200


BCMZ

10−8

10−7

10−6

10−5

80

90

100

110

120

130

140

150

|Zt| (

Ω)

t (s)

Ne=10

Ne=20

Ne=50

Ne=100

Ne=200

Slika 5.13 Tranzijentna impedancija uzemljivača proračunata s BCMZ


154

103

104

105

106

107

0

50

100

150

200

250

|Zt| (

Ω)

f (Hz)


103

104

105

106

107

−60

−40

−20

0

20

40

arg

(Z)

(°)

f (Hz)


Ne=10

Ne=20

Ne=50

Ne=100

Ne=200


BCPTZ

10−8

10−7

10−6

10−5

80

90

100

110

120

130

140

150

|Zt| (

Ω)

t (s)

Ne=10

Ne=20

Ne=50

Ne=100

Ne=200

Slika 5.15 Tranzijentna impedancija uzemljivača proračunata s BCPTZ

Ukoliko se usporede dosad spomenute tri metode za proračun ulaznog napona dobiju se

slike 5.16 i 5.17 za 20 elemenata odnosno slike 5.18 i 5.19 za 100 elemenata. Iz tih slika se

može uočiti da metode BCMZ i BCPTZ daju identične rezultate bez obzira na broj

elemenata dok metoda BCINTZ daje dobre rezultate samo za 100 elemenata. Ova činjenica


155

upućuje i na zaključak da rješenje metode BCINTZ ne konvergira ka točnom rješenju jer se

iz slika 5.10 i 5.11 vidi da daljnjim povećanjem elemenata se ne dobiva rješenje koje bi se

složilo s rješenjima drugih metoda.

103

104

105

106

107

0

50

100

150

200

250

|Zt| (

Ω)

f (Hz)


103

104

105

106

107

−80

−60

−40

−20

0

20

40

arg

(Z)

(°)

f (Hz)


Ne=20 BCINTZ

Ne=20 BCMZ

Ne=20 BCPTZ

Slika 5.16 Usporedba frekvencijske karakteristike ulazne impedancije uzemljivača proračunate s različitom metodama s 20 elemenata

10−8

10−7

10−6

10−5

40

60

80

100

120

140

160

|Zt| (

Ω)

t (s)

Ne=20 BCINTZ

Ne=20 BCMZ

Ne=20 BCPTZ


metodama s 20 elemenata


156

103

104

105

106

107

50

100

150

200

250

|Zt| (

Ω)

f (Hz)


103

104

105

106

107

−60

−40

−20

0

20

40

arg

(Z)

(°)

f (Hz)


Ne=100 BCINTZ

Ne=100 BCMZ

Ne=100 BCPTZ


proračunate s različitom metodama sa 100 elemenata

10−8

10−7

10−6

10−5

70

80

90

100

110

120

130

140

150

|Zt| (

Ω)

t (s)

Ne=100 BCINTZ

Ne=100 BCMZ

Ne=100 BCPTZ



Slike 5.20 i 5.21 prikazuju frekvencijsku karakteristiku ulazne impedancije

promatranog uzemljivača izračunatu redom metodama MFZ i MFPTZ, što znači da je kao

pobuda korišten magnetski kružni prsten. Odmah je uočljivo da točnost proračuna ulazne


157

impedancije kod obje metode ne ovisi o broju korištenih elemenata budući se rezultati

preklapaju u potpunosti.

103

104

105

106

107

0

50

100

150

200

250|Z

t| (

Ω)

f (Hz)


103

104

105

106

107

−60

−40

−20

0

20

40

arg

(Z)

(°)

f (Hz)


Ne=10

Ne=20

Ne=50

Ne=100

Ne=200


MFZ

103

104

105

106

107

0

50

100

150

200

250

|Zt| (

Ω)

f (Hz)


103

104

105

106

107

−60

−40

−20

0

20

40

arg

(Z)

(°)

f (Hz)


Ne=10

Ne=20

Ne=50

Ne=100

Ne=200


MFPTZ


158

Međusobna usporedba MFZ i MFPTZ metode je prikazana na slikama 5.22

(frekvencijska karakteristika) i 5.23 (vremenska karakteristika). Vidljivo je potpuno

slaganje u rezultatima ulazne impedancije.

103

104

105

106

107

50

100

150

200

250

|Zt| (

Ω)

f (Hz)


103

104

105

106

107

−60

−40

−20

0

20

40

arg

(Z)

(°)

f (Hz)


Ne=20 MFZ

Ne=20 MFPTZ


proračunate s različitom metodama s 20 elemenata

10−8

10−7

10−6

10−5

80

90

100

110

120

130

140

150

|Zt| (

Ω)

t (s)

Ne=20 MFZ

Ne=20 MFPTZ




159

Na koncu, proračun ulazne impedancije je izvršen i metodama MAZ i MAPTZ, čiji

rezultati su prikazani na slikama 5.25 i 5.25 za različite brojeve elemenata. Opet se može

primijetiti potpuno slaganje rezultata za obe metode bez obzira na broj elemenata.

103

104

105

106

107

0

50

100

150

200

250

|Zt| (

Ω)

f (Hz)


103

104

105

106

107

−60

−40

−20

0

20

40

arg

(Z)

(°)

f (Hz)


Ne=10

Ne=20

Ne=50

Ne=100

Ne=200


MAZ

103

104

105

106

107

0

50

100

150

200

250

|Zt| (

Ω)

f (Hz)


103

104

105

106

107

−60

−40

−20

0

20

40

arg

(Z)

(°)

f (Hz)


Ne=10

Ne=20

Ne=50

Ne=100

Ne=200


MAPTZ


160

Usporedbom metoda međusobno, može se također vidjeti potpuno slaganje rezultata,

kako je prikazano na slikama 5.26 i 5.27.

103

104

105

106

107

50

100

150

200

250

|Zt| (

Ω)

f (Hz)


103

104

105

106

107

−60

−40

−20

0

20

40

arg

(Z)

(°)

f (Hz)


Ne=20 MAZ

Ne=20 MAPTZ


proračunate s različitom metodama uz aproksimaciju s 20 elemenata

10−8

10−7

10−6

10−5

80

90

100

110

120

130

140

150

|Zt| (

Ω)

t (s)

Ne=20 MAZ

Ne=20 MAPTZ


metodama uz aproksimaciju s 20 elemenata


161

Usporedba svih metoda koje daju stabilne rezultate je prikazana na slikama 5.28 do

5.30, koje prikazuju vremensku promjenu iznosa ulazne impedancije za tri horizontalna

uzemljivača dužine redom 10m, 1m i 50m, smještenih u zemlju istih karakteristika na

dubinu od 0.5m. Pregledom slika jasno je da svih šest predloženih metoda daju gotovo

identične rezultate, bez obzira na duljinu uzemljivača.

10−8

10−7

10−6

10−5

80

90

100

110

120

130

140

150

|Zt| (

Ω)

t (s)

BCMZ

BCPTZ

MFZ

MFPTZ

MAZ

MAPTZ


različitim metodama uz aproksimaciju s 20 elemenata


162

10−8

10−7

10−6

10−5

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

|Zt| (

Ω)

t (s)

BCMZ

BCPTZ

MFZ

MFPTZ

MAZ

MAPTZ

Slika 5.29 Usporedba tranzijentne impedancije uzemljivača od 1m proračunate s različitim

metodama uz aproksimaciju s 10 elemenata

10−8

10−7

10−6

10−5

30

40

50

60

70

80

90

100

110

|Zt| (

Ω)

t (s)

BCMZ

BCPTZ

MFZ

MFPTZ

MAZ

MAPTZ


različitim metodama uz aproksimaciju s 50 elemenata


163

5.4.2.1.2 Složeni uzemljivač

Kao primjer proračuna ulazne impedancije složenog uzemljivača razmatra se već

spomenuti mrežasti uzemljivač prikazan na slici 3.23 dimenzija 60x60m, postavljen u

zemlju različitih vodljivosti σ1=0.001S/m i σ2=0.01S/m i relativne permitivnost εr=9.

Također, struja je injektirana u jednom slučaju u centar, a u drugom u kut uzemljivača.

Na slikama 5.31 i 5.32 prikazana je frekvencijska karakteristika ulazne impedancije

promatranog mrežastog uzemljivača proračunatog na šest predloženih i stabilnih metoda

(sve osim BCINTZ) postavljenog u zemlju lošije vodljivosti (σ1=0.001S/m) kod centralne i

kutne eksitacije, dok je na slikama 5.33 i 5.34 impedancija u slučaju zemlje bolje

vodljivosti (σ2=0.01S/m). Zajedno s tim rezultatima priloženi su i rezultati objavljeni u [37]

(Grcev) dobiveni metodom momenata i proračunom integrala električnog polja po

konceptu BCINTZ.

101

102

103

104

105

106

107

0

10

20

30

40

50

60

|Zt| (

Ω)

f (Hz)


BCMZ

BCPTZ

MFZ

MFPTZ

MAZ

MAPTZ

Grcev

101

102

103

104

105

106

107

−60

−40

−20

0

20

40

60

arg

(Z)

(°)

f (Hz)



centralnu pobudu


164

101

102

103

104

105

106

107

0

20

40

60

80

100

|Zt| (

Ω)

f (Hz)


BCMZ

BCPTZ

MFZ

MFPTZ

MAZ

MAPTZ

Grcev

101

102

103

104

105

106

107

−40

−20

0

20

40

60

arg

(Z)

(°)

f (Hz)



kutnu pobudu

101

102

103

104

105

106

107

0

5

10

15

20

|Zt| (

Ω)

f (Hz)


BCMZ

BCPTZ

MFZ

MFPTZ

MAZ

MAPTZ

Grcev

101

102

103

104

105

106

107

−10

0

10

20

30

40

50

60

arg

(Z)

(°)

f (Hz)



centralnu pobudu


165

101

102

103

104

105

106

107

0

10

20

30

40

|Zt| (

Ω)

f (Hz)


BCMZ

BCPTZ

MFZ

MFPTZ

MAZ

MAPTZ

Grcev

101

102

103

104

105

106

107

−10

0

10

20

30

40

50

arg

(Z)

(°)

f (Hz)



kutnu pobudu

Vidljivo je iz slika 5.31 do 5.34 da se rezultati dobiveni različitim metodama odlično

poklapaju te jako dobro slažu s rezultatima objavljenima u [37]. Neznatna razlika se može

uočiti jedino kod faze u slučaju dobre vodljivosti zemlje.

Naposljetku, izračunat je odgovarajući tranzijentni odziv mrežastog uzemljivača u

različitim uvjetima pobude (centar i kut) i karakteristike zemlje (σ1=0.001S/m i

σ2=0.01S/m), i to oblikom inverzne Fourier-ove transformacije opisane u prilogu A.

Tranzijentna ulazna impedancija je prikazana na slici 5.35 dok je ulazni tranzijentni napon

prikazan na slici 5.36.

Zanimljivo je primijetiti da u sva četiri slučaja iznos impedancije je najveći u vrlo

ranom stadiju tranzijenta i pada do stacionarnog stanja. Također, da se zaključiti je

tranzijentni odziv mnogo bolji, tj. da su vrijednosti tranzijentne impedancije i napona

znatno niže, u slučaju uzemljivač koji je centralno napajan u odnosu na kutno napajanog.


166

10−8

10−7

10−6

10−5

0

10

20

30

40

50

60

|Zt| (

Ω)

t (s)

0.001S/m centar

0.001S/m kut

0.01S/m centar

0.01S/m kut

Slika 5.35 Tranzijentna impedancija mrežastog uzemljivača za različite vodljivosti zemlje i

mjesta pobude

10−8

10−7

10−6

10−5

0

5

10

15

20

25

30

35

|V| (V

olt)

t (s)

0.001S/m centar

0.001S/m kut

0.01S/m centar

0.01S/m kut

10*It

Slika 5.36 Tranzijentni ulazni napon mrežastog uzemljivača za različite vodljivosti zemlje i

mjesta pobude


167

5.4.2.2. Predajna antena

Slika 5.37 prikazuje frekvencijsku karakteristiku ulazne impedancije centralno

napajanog dipola u slobodnom prostoru, duljine L=0.94m i radijusa žice a=0.005m,

pobuđenog idealnim naponskim izvorom, proračunatu za različite brojeve linearnih

elemenata. Također, za proračun impedancije su korištene dvije metode proračuna opisane

u tablici 5.1 DGZ i DGPTZ koje kao što se može vidjeti daju praktički identične rezultate.

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

x 108

0

200

400

600

800

1000

1200

real(Z

) (Ω

)

f (Hz)

Realni dio impedancije

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

x 108

−600

−400

−200

0

200

400

600

imag(Z

) (Ω

)

f (Hz)

Imaginarni dio impedancije

DGZ Ne=11

DGZ Ne=31

DGZ Ne=61

DGPTZ Ne=11

DGPTZ Ne=31

DGPTZ Ne=61

Slika 5.37 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije dipola napajanog idealnim

naponskim izvorom

Iz slike 5.37 je također vidljivo da ulazna impedancija značajnije ovisi o broju

elemenata. Ta ovisnost najviše je određena iznosom ulazne struje, koja se za razliku od

ostatka struje duž antene značajnije mijenja, kako se jasno može vidjeti na slikama 3.8 i

3.9. Ovaj problem nije svojstven samo predloženoj numeričkoj metodi već je općeniti

problem kod proračuna ulazne impedancije tankožičanih antena. To ilustriraju rezultati

prikazani na slici 5.38 koji prikazuju ulaznu impedanciju proračunatu GBIMRE metodom

(i to DGZ načinom) zajedno s rezultatima dobivenim pomoću NEC-a [41] za različiti broj

elemenata. Vidljivo je općenito dobro slaganje rezultata između NEC-a i GB-IMRE -a ali i

spomenuta ovisnost o broju elemenata za obe metode.


168

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

x 108

0

200

400

600

800

1000

1200

rea

l(Z

) (Ω

)

f (Hz)


1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

x 108

−600

−400

−200

0

200

400

600

ima

g(Z

) (Ω

)

f (Hz)


DGZ Ne=11

DGZ Ne=31

DGZ Ne=61

NEC Ne=11

NEC Ne=31

NEC Ne=61

Slika 5.38 Usporedba frekvencijske karakteristike ulazne impedancije

Kao što je već istaknuto u 4. poglavlju, korištenje magnetskog kružnog prstena ili

magnetske kružne antene kao pobude centralno napajane antene u okviru predložene

numeričke metodologije omogućuje izbor parnog broja elemenata. U svrhu usporedbe,

slika 5.39 prikazuje frekvencijsku karakteristiku impedancije proračunate za različite

iznose parnog i neparnog broja elemenata. U ovom slučaju dipol je napajan magnetskim

kružnim prstenom (s faktorom b=2.3a) a impedancije je proračunata MFZ metodom. Iz

slike 5.39 se može iščitati da je ovisnost impedancije o broju korištenih elemenata mnogo

manja u slučaju parnog broja elemenata. Generalno s može uočiti jako dobro slaganje svih

rezultata prikazanih na slici 5.39, osim možda u slučaju rezultata dobivenih s 11 elemenata

i to samo u dijelu frekvencijskog spektra. Isti zaključci se dobiju ukoliko se dipol napaja

magnetskom kružnom antenom za koju je frekvencijski spektar impedancije prikazan na

slici 5.40 također proračunat za različiti broj kako parnih tako i neparnih elemenata.


169

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

x 108

0

200

400

600

800

1000

1200

rea

l(Z

) (Ω

)

f (Hz)


1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

x 108

−600

−400

−200

0

200

400

600

ima

g(Z

) (Ω

)

f (Hz)


MFZ Ne=10

MFZ Ne=11

MFZ Ne=30

MFZ Ne=31

MFZ Ne=60

MFZ Ne=61


brojeve elemenata metodom MFZ

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

x 108

0

200

400

600

800

1000

1200

real(Z

) (Ω

)

f (Hz)


1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

x 108

−600

−400

−200

0

200

400

600

imag(Z

) (Ω

)

f (Hz)


MAPTZ Ne=10

MAPTZ Ne=11

MAPTZ Ne=30

MAPTZ Ne=31

MAPTZ Ne=60

MAPTZ Ne=61


brojeve elemenata metodom MAPTZ

Usporedba spektra ulazne impedancije dipola napajanog različitim pobudama

prikazana je na slici 5.41. Vidljivo je odlično slaganje rezultata za 3 različite pobude i

neparni broj elemenata (DGPTZ, MFPTZ i MAPTZ) kao i izvanredno slaganje rezultata za


170

2 pobude i parni broj elemenata (MFPTZ i MAPTZ). Međusobno, kako je već spomenuto,

rezultati se nešto malo razilaze u određenom dijelu spektra uslijed korištenja neparnog

odnosno parnog broja elemenata. Također na slici 5.41 je prikazana frekvencijska

karakteristika proračunata NEC-om s 31 elementom (neparno jer parni ne može biti u

slučaju centralnog napajanja) da se vidi odnos u odnosu na druge metode. Kako se može

vidjeti, karakteristika dobivena NEC-om se nalazi praktički točno između „dvije“

karakteristike dobivene GBIMRE-om.

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

x 108

0

200

400

600

800

1000

1200

rea

l(Z

) (Ω

)

f (Hz)


1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

x 108

−600

−400

−200

0

200

400

ima

g(Z

) (Ω

)

f (Hz)


DGPTZ Ne=31

MFPTZ Ne=31

MAPTZ Ne=31

MFPTZ Ne=30

MAPTZ Ne=30

NEC Ne=31


pobude

Utjecaj odabira kvadratičnih izoparametarskih elemenata na proračun ulazne

impedancije je prikazan na slici 5.42. Kako se može jasno vidjeti, korištenje duplo manjeg

broja kvadratičnih elemenata u odnosu na linearne, daje jako slične iznose ulazne

impedancije kao korištenje linearnih elemenata. Također razlika između rezultata se

smanjuje povećanjem broja elemenata.


171

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

x 108

0

200

400

600

800

1000

rea

l(Z

) (Ω

)

f (Hz)


1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

x 108

−600

−400

−200

0

200

400

ima

g(Z

) (Ω

)

f (Hz)


MAPTZ Ne=10 ISO2

MAPTZ Ne=6 ISO3

MAPTZ Ne=30 ISO2

MAPTZ Ne=16 ISO3

MAPTZ Ne=60 ISO2

MAPTZ Ne=30 ISO3

Slika 5.42 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije proračunata linearnim i

kvadratičnim elementima

Na temelju iznesenoga može se općenito zaključiti kako svih šest predloženih metoda

proračuna ulazne impedancije (DGZ, DGPTZ, MFZ, MFPTZ, MAZ i MAPTZ) daju

gotovo iste iznose ulazne impedancije antene za isti broj elemenata. Određena razlika

postoji ukoliko se koristi paran broj elemenata u odnosu na neparan broj elemenata.

Također je jasno da iznos ulazne impedancije nezanemarivo ovisi broju korištenih

elemenata, s tim da je ta ovisnost manja u slučaju parnog broja elemenata. Povećanjem

broja elemenata, očigledno je da iznos ulazne impedancije konvergira, međutim mnogo

sporije nego sama struja duž antene koja je analizirana u drugom poglavlju. Zbog

numeričkog uvjeta da veličina elementa mora biti puno veća od radijusa, nije moguće ići

na po volji veliki broj elemenata da bi se do u detalje provjerila ta konvergencija. Valja

napomenuti da je ovdje analizirana samo jedna žica, odnosno dipol, te je u načelu potrebna

mnogo šira i sveobuhvatnija analiza da bi se u potpunosti rasvijetlio ovaj problem spore

konvergencije i ovisnosti iznosa ulazne impedancije o broju elemenata, koji se, kako je već

napomenuto, ne odnosi samo na predloženu numeričku tehniku.

Budući da se ovaj rad odnosi na proizvoljne žičane strukture, potrebno je spomenuti i

kratko analizirati jednu takvu antenu. Na slici 5.43 prikazana je složena antena koja se

sastoji od pet dvostrukih pravokutnih petlji. Druga petlja s desne strane je jedina napajana i


172

to u centru središnje žice. Prva petlja s desne strane predstavlja reflektor, dok ostale petlje

predstavljaju usmjerivače. Radijus žica je 5mm dok su dimenzije elemenata, kao i

udaljenosti između petlji, prikazane na slici 5.43 (iznosi u m).

Slično kao i u slučaju dipola proračunata je ulazna impedancija u spektru frekvencija

od 120 – 600MHz, na razne načine, te su rezultati međusobno uspoređeni.

Slika 5.43 Složena antena

Slika 5.44 prikazuje usporedbu frekvencijskog spektra ulazne impedancije složene

antene proračunate MAZ metodom (parni broj elemenata) i NEC-om za različite brojeve

linearnih elemenata. Rezultati pokazuju odlično slaganje svih rezultata bez obzira na

metodu i broj elemenata u cijelom spektru. Neznatno odstupanje jedino se može primijetiti

u slučaju rezultata dobivenih NEC-om s 11 elemenata. Valja napomenuti da su se kod

proračuna sve žice diskretizirale jednakim brojem elemenata budući da su sličnih dužina.


173

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

x 108

0

500

1000

1500

2000

real(Z

) (Ω

)

f (Hz)


MAZ Ne=10

MAZ Ne=20

MAZ Ne=30

NEC Ne=11

NEC Ne=21

NEC Ne=31

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

x 108

−1000

−500

0

500

1000

imag(Z

) (Ω

)

f (Hz)


Slika 5.44 Usporedba frekvencijske karakteristike ulazne impedancije

Slično kao i kod dipola konvergencija rješenja je puno bolja ukoliko se koristi parni

broj elemenata na napajanoj žici. Također i sama razlika između rješenja dobivenih

različitim brojem elemenata je očigledno manja ukoliko se koristi parni broj elemenata, što

je ilustrirano na slici 5.45, gdje je ulazna impedancija proračunata MFPTZ metodom s

faktorom b=2.3a.

Same razlike između svih šest predloženih metoda (DGZ, DGPTZ, MFZ, MFPTZ,

MAZ i MAPTZ) su zanemarive ukoliko se koristi neparni broj elemenata, dok postoji mala

razlika između rezultata dobivenih metodama MFZ, MFPTZ, MAZ i MAPTZ ukoliko se

koriste parni elementi, što je ilustrirano slikama 5.46 odnosno 5.47.


174

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

x 108

0

500

1000

1500

2000

real(Z

) (Ω

)

f (Hz)


MFPTZ Ne=10

MFPTZ Ne=11

MFPTZ Ne=20

MFPTZ Ne=21

MFPTZ Ne=30

MFPTZ Ne=31

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

x 108

−1000

−500

0

500

1000

imag(Z

) (Ω

)

f (Hz)



brojeve elemenata metodom MFPTZ

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

x 108

0

500

1000

1500

2000

real(Z

) (Ω

)

f (Hz)


DGZ Ne=31

DGPTZ Ne=31

MFZ Ne=31

MFPTZ Ne=31

MAZ Ne=31

MAPTZ Ne=31

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

x 108

−1000

−500

0

500

1000

imag(Z

) (Ω

)

f (Hz)



različitim metodama


175

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

x 108

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

real(Z

) (Ω

)

f (Hz)


MFZ Ne=30

MFPTZ Ne=30

MAZ Ne=30

MAPTZ Ne=30

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

x 108

−1000

−500

0

500

1000

imag(Z

) (Ω

)

f (Hz)



različitim metodama

Usporedbom ovih rezultata s rezultatima proračuna ulazne impedancije dipola može se

kazati da je dipol (posebice kratki) osjetljiviji na promjenu broja elemenata budući da

struja vrlo brzo pada na nulu na kraju žice, za razliku od složenije antene gdje se struja na

kraju napajane žice grana i ne iščezava, pa je samim time i manje osjetljiva posebice na

ulaznim stezaljkama, koja definira ulaznu impedanciju.

Zaključak

176

6. ZAKLJUČAK

U ovom radu razvijen je napredni elektromagnetski model za analizu složenih

tankožičanih struktura primjenom teorije antena, u frekvencijskom području. Model se

temelji na sustavu spregnutih integro-diferencijalnih jednadžbi Pocklington-ovog tipa za

složene žičane strukture iznad ili unutar konačno vodljivog poluprostora, pri čemu je

utjecaj granice uzet u obzir rigorozno preko Sommerfeld-ovih integrala. Ovako formuliran

sustav integro-diferencijalnih jednadžbi riješen je Galerkin-Bubnovljevom inačicom

indirektne metode rubnih elemenata (GBIMRE) uz implementiranje izoparametarskih

rubnih elemenata. U prvom dijelu rada kao pobuda složene žičane strukture korišten je

idealni naponski izvor, idealni strujni izvor te upadni ravni val. Predloženi model je

testiran na nekoliko ilustrativnih primjera usporedbom s rezultatima u dostupnoj literaturi

te rezultatima dobivenim komercijalnim programskim paketom za analizu antena NEC-om.

Rezultati te usporedbe su pokazali kako se primjenom predloženog modela i numeričkog

rješenja generiraju valjani rezultati uz vrlo brzu konvergenciju.

U slijedećem dijelu rada osnovni, prethodno definirani, model je proširen konceptom

kružnog magnetskog prstena i kružne magnetske antene kao naponski upravljanih pobuda

za složene žičane strukture. Za razliku od idealnog naponskog izvora, kružni magnetski

prsten i antena se mogu postaviti i na otvoreni kraj žice čime se proširuje primjena

naponski upravljanih pobuda na modele kod kojih je pobuda smještena na kraj žice (npr.

uzemljivač). Iako je koncept kružnog magnetskog prstena poznat i korišten kao pobuda

jednostavnih linearnih antena, do sada nije bio u upotrebi u smislu pobude koja se

postavlja na otvoreni kraj žice. S druge strane, koncept kružne magnetske antene do sada

nije uopće korišten kao pobuda žičane strukture. U detaljnoj analizi koncepta magnetske

antene pokazana je jasna veza s idealnim naponskim izvorom. Također, na numeričkim

primjerima je sustavno demonstrirana valjanost predloženih pobuda te istaknute prednosti i

mane predloženih pobuda. Naime, pokazano je da su i magnetski prsten i magnetska

antena prikladni koncepti naponsko upravljane pobude žičane antene pri čemu, za razliku

od idealnog naponskog izvora, ne treba voditi računa je li broj elemenata u numeričkoj

realizaciji neparan za slučaj centralno napajane antene. Nadalje, uočen je i nedostatak u

modelu kružnog magnetskog prstena koji se odnosi na postojanje konstante čija vrijednost

se određuje empirijski. U okviru predložene formulacije ona se elegantno eliminira

korištenjem magnetske antene. Na primjeru jednostavnog uzemljivača je pokazana

Zaključak

177

valjanost i stabilnost dviju predloženih pobuda za slučaj pobude smještene na otvorenom

kraju žice. Također, na primjeru kanala groma je ilustrirana primjena predloženih pobuda u

simuliranju udara munje. Taj primjer predstavlja ujedno i uvod u daljnje istraživanje

primjene predloženog modela u simuliranju procesa udara munje.

Proračun važnih parametara žičanih struktura je opisan u posljednjem, ujedno i

najobimnijem dijelu ove disertacije. Pri tome se prvenstveno misli na proračun napona

(koji može predstavljati raspršni napon na žici, raspodjelu potencijala na površini zemlje

iznad uzemljivača i sl.), zatim na proračun izračene snage antena koja se također povezuje

s ulaznom impedancijom, kao i proračun ulazne impedancije žičane strukture koja može

predstavljati antenu ili uzemljivač.

Pri proračunu napona između dviju točaka poluprostora izvorni izraz je nizom

matematičkih i numeričkih postupaka modificiran, a sam proračun ubrzan tako da više nije

potrebno provoditi zahtjevnu numeričku integraciju električnog polja duž krivulje

integracije. U sklopu tog postupka detaljno su analizirane dobivene konačne relacije te su

predložena daljnja pojednostavljenja i aproksimacije, a sve u svrhu jednostavnosti i bržeg

proračuna napona. Ta pojednostavljenja i aproksimacije su detaljno analizirane na primjeru

jednostavnog uzemljivača kako bi se detaljno ispitala njihova valjanost.

Polazeći od Poynting-ovog teorema te korištenjem izraza dobivenih u postupku

numeričkog rješenja sustava integro-diferencijalnih jednadžbi, razvijen je jednostavan

postupak za proračun uprosječene izračene snage proizvoljne žičane strukture pobuđene

određenom pobudom. Sama metoda nije direktno testirana već indirektno preko ulazne

impedancije budući da je postupak proračuna uprosječene izračene snage temelj za jedan

od načina proračuna ulazne impedancije proizvoljne žičane strukture.

U završnom dijelu rada detaljno je proučen koncept ulazne impedancije kao i analiza

metoda proračuna ulazne impedancije. Na temelju cjelokupne dotadašnje analize

predložena su četiri načina proračuna ulazne impedancije složene žičane strukture, koji

prvenstveno ovise o pobudi žičane strukture. Sva četiri načina su detaljno analizirana na

primjerima uzemljivača i antena, te su rezultati uspoređeni s rezultatima drugih metoda. Na

primjeru uzemljivača pokazano je da metoda kod koje se koristi proračun napona u točki

pobude, pri čemu je pobuda dana u vidu idealnog strujnog izvora, daje najlošije rezultate

koji uvelike ovise o broju rubnih elemenata korištenih pri numeričkom rješenju. S druge

strane, metode temeljene na Poynting-ovom teoremu, te modeli kod kojih se koriste

magnetske pobude daju vrlo konzistentne rezultate bez obzira na broj elemenata. Također,

rezultati dobiveni tim metodama se međusobno jako dobro slažu. Međutim, na primjeru

Zaključak

178

antene je pokazano da sve predložene metode daju gotovo iste rezultate, ali i da ti rezultati

značajno ovise o broju elemenata. Ta ovisnost, nije specifična samo za predloženu

numeričku metodologiju, već je, kako je pokazano, općeniti problem, što otvara vrata

daljnjem istraživanju u svrhu pronalaska što kvalitetnijeg postupka proračuna ulazne

impedancije antene. U slučaju složene antene ta ovisnost je manja budući da struja na

krajevima napajane žice ne iščezava kao u slučaju kratkog dipola pa je i promjena struje na

ulaznim stezaljka u ovisnošću s brojem elemenata manja.

Valja napomenuti da je prethodno spomenuta činjenica i razlog zašto se u ovom radu

nalazi velik broj primjera s jednostavnom geometrijom iako su u radu prevenstveno od

interesa složene konfiguracije. Naime, na jednostavnim konfiguracijama je puno pogodnije

testirati osnovne koncepte budući da su nedostaci i netočnosti puno jasnije izraženi kod

jednostavnih konfiguracija za razliku od složenih struktura gdje se greške često na neki

način „zakamufliraju“. Zbog toga su svi novi koncepti u ovom radu prvo testirani na

jednostavnoj, a potom na složenoj konfiguraciji.

Predloženi model, kako slijedi iz izloženih primjera, predstavlja vrlo robustan alat za

analizu složene žičane strukture u elektromagnetizmu postavljene uz granicu dvaju

vodljivih poluprostora u frekvencijskom spektru od reda nekoliko Hz do nekoliko desetaka

GHz. Primjenom Fourier-ove transformacije vrlo jednostavno je analizirati i tranzijentne

pojave. Od važnijih primjena, predloženi model je pogodan za analizu antena i antenskih

nizova proizvoljnog oblika iznad ili unutar vodljivog poluprostora, prijenosnih linija iznad

(zračni vodovi) ili ispod zemlje (kabeli), sustava za zaštitu od udara munje (gromobran,

uzemljivač i sl.), kanala groma te izloženosti ljudi elektromagnetskom zračenju.

Iako je primjenljivost modela višestruka, prostora za daljnje istraživanje i razvoj ima

jako puno. Izvorna formulacija se može proširiti na način da se uzme u obzir slučaj kada se

dijelovi žičane konfiguracije nalaze sa različitih strana granice dvaju poluprostora tj. uzeti

u obzir transmisiju vala kroz granicu. Nadalje, formulacija se dodatno može proširiti tako

da se uzme u obzir višesloj. Na razini numeričkog rješenja dodatna poboljšanja se mogu

postići npr. uvođenjem približnih postupaka ukoliko se točke nalaze dovoljno daleko jedna

od druge a sve u svrhu ubrzanja proračuna, posebice kada se rješava kompleksan problem.

Koncepti razvijeni u ovom radu se mogu pokušati prebaciti u vremensko područje, te na taj

način razviti nove metode i koncepte direktno u vremenskom području. Uz već prethodno

spomenute, ovo su samo neke od mogućnosti za daljnje istraživanje i razvoj.

Na koncu, vrijedi rezimirati osnovne znanstvene doprinose ove disertacije.

Zaključak

179

Temeljni znanstveni doprinos ove doktorske disertacije je razvoj naprednog i cjelovitog

elektromagnetskog modela za stacionarnu i tranzijentnu analizu složenih žičanih struktura,

smještenih u homogeni poluprostor, zasnovanog na teoriji žičanih antena. U okviru razvoja

takvog modela ostvareni su slijedeći znanstveni doprinosi:

• Sustav spregnutih integro-diferencijalnih jednadžbi Pocklington-ovog tipa, za

slučaj složene žičane strukture proizvoljnog oblika iznad ili unutar homogenog

poluprostora, gdje je utjecaj granice uzet u obzir preko Sommerfeld-ovih

integrala, je po prvi puta riješen Galerkin-Bubnovljevom inačicom indirektne

metode rubnih elemenata, što je napredak u odnosu na dosadašnje radove gdje

je GBIMRE metodom tretirana jednostavnija konfiguracija proizvoljnih žica

bez spoja tri i više žica i gdje je utjecaj granice uzet u obzir preko Fresnelovih

refleksijskih koeficijenata.

• Koncept kružnog magnetskog prstena primijenjen je u vidu naponski upravljane

pobude proizvoljne žičane strukture, koja se može postaviti bilo gdje na žicu

uključujući i otvoreni kraj žice, što do sada nikad nije napravljeno čak ni za

jednostavne žičane konfiguracije. Naime, kružni magnetski prsten je do sad

upotrebljen isključivo kao naponski upravljana pobuda jednostavnih linearnih

antena, što predstavlja doprinos ove disertacije.

• Predstavljen je koncept jednostavne kružne magnetske antene kao naponski

upravljane pobude proizvoljne žičane strukture koju je moguće postaviti bilo

gdje na žicu uključujući i otvoreni kraj žice. Valja napomenuti da koncept

jednostavne magnetske kružne antene do sada nije korišten kao pobuda žičane

strukture.

• Proračun napona između dvije točke homogenog poluprostora uslijed

protjecanja struje složenom žičanom strukturom, sveden na integriranje

električnog polja, je pojednostavljen i uvelike ubrzan primjenom odgovarajućih

matematičkih i numeričkih postupaka na originalni integral i izraz za električno

polje definiran integro-diferencijalnom jednadžbom Pocklington-ovog tipa.

Doprinos se očituje u tome što se u literaturi mogu pronaći slična cjelovita

pojednostavljenja i ubrzanja samo za slučaj jednostavnih horizontalnih ili

vertikalnih žica.

Zaključak

180

• Polazeći od Poynting-ovog teorema i korištenjem GBIMRE izveden je

jednostavni postupak za proračun uprosječene izračene snage proizvoljne

žičane strukture pobuđene danom pobudom. Sličan postupak se može pronaći u

relevantnoj literaturi ali je ograničen na ravne i paralelne žice iznad zemlje

pobuđene jednostavnim naponskim izvorom na sredini žice. Doprinos se tako

sastoji u poopćenju izvorne ideje na slučaj proizvoljne žičane strukture, bez

obzira na vrstu i mjesto pobude;

• Daljnji doprinos rada je postupak određivanja ulazne impedancije proizvoljne

žičane strukture, neovisno o karakteru pobude iz dobivene uprosječene izračene

snage poopćenjem koncepta inducirane elektromotorne sile. Do sada se ovaj

postupak koristio samo za jednostavne strukture sastavljene od ravnih i

paralelnih žica, najčešće centralno napajane dipole. Na ovaj način postupak je

poopćen i primjenjiv na brojne druge probleme. Također, u okviru određivanja

ulazne impedancije su se razvili različiti postupci proračuna ulazne impedancije

u ovisnosti o vrsti pobude, prvenstveno ukoliko se pobuda postavlja na otvoreni

kraj žice.

Literatura

181

7. LITERATURA

[1] Poljak D.: Advanced Modeling in Computational Electromagnetic Compatibility, New Jersey: John Wiley & Sons, Inc., 2007 (monografija).

[2] Tesche F., Ianoz M., Karlsson T.: EMC Analysis Methods and Computational Models, John Wiley & Sons, New York 1997.

[3] Luo W. Q., Tan S. Y.: A Distributed Circuit Model for Power-Line Communications, IEEE Transactions on Power Delivery, Vol 22, No. 3, July 2007. pp 1440-1445

[4] Grcev L., Popov M.: On high-frequency circuit equivalents of a vertical ground rod, IEEE Transactions on Power Delivery, 20(2), 1598-1603, 2005.

[5] Liu Y., Theethayi N., Thottappillil, R.: An Engineering Model for Transient Analysis of Grounding System Under Lightning Strikes: Nonuniform Transmission-Line Approach, IEEE Transactions on Power Delivery, 20(2), 722-730, 2005.

[6] Liu Y., Zitnik M., Thottappillil R.: An improved transmission-line model of grounding system, IEEE Transactions On Electromagnetic Compatibility, 43(3), 348-355, 2001.

[7] Poljak D., Rachidi F. Tkachenko S. V.: Generalized Form of Telegrapher's Equations for the Electromagnetic Field Coupling to Finite-Length Lines Above a Lossy Ground, IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, 49(3), 689-697, 2007.

[8] Poljak D., Doric V., Rachidi F., Drissi K. E., Kerroum K., Tkachenko S. V., et al.: Generalized Form of Telegrapher's Equations for the Electromagnetic Field Coupling to Buried Wires of Finite Length, IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, 51(2), 331-337, 2009.

[9] Poljak D.: Electromagnetic Modelling of Wire Antenna Structures, WIT Press, Southampton-Boston 2002.

[10] Poljak D. Tham C.Y.: Integral Equation Techniques in Transient Electromagnetics“, WIT Press, Southampton-Boston 2003.

[11] Poljak D., Doric V., Vucicic D., Brebbia C. A.: Boundary element modeling of radio base station antennas, Engineering Analysis with Boundary Elements, 30, 419-425. 2006.

[12] Cui T. J., Chew W. C.: Accurate Model of Arbitrary Wire Antennas in Free Space, Above or Inside Ground, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 48(4), 482-493, 2000.

[13] Baba Y., Rakov V. A. Electromagnetic models of the lightning return stroke, Journal of Geophysical Research, 112, .2007.

[14] Grčev L. Dawalibi F.: An Electromagnetic Model for Transients in Grounding Systems. IEEE Transactions on Power Delivery,. Vol.5, Issue 4, pp 1773-1781, Oct. 1990 1990.

Literatura

182

[15] Maxwell J. C.: A Treatise on Electricity and Magnetism, Oxford Univ. Press, 1865, 1904. (Also Dover, New York, 1954 republication of the 3rd ed., Clarendon Press, 1891.)

[16] Pocklington H.C.: Electrical Oscillations in Wires, Proc. Camb. Phil. Soc. 9, pp. 324-333, 25 October 1897.

[17] Mei K.: On the Integral Equations of Thin Wire Antennas. IEEE Transactions on Antennas And Propagation, vol 13, pp 59-62, 1965.

[18] Harrington R., Mautz J.: Straight wires with arbitrary excitation and loading. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 15(4), 502-515. 1967.

[19] Harrington R.F.: Time-Harmonic Electromagnetic Fields, New York, McGraw-Hill Book Co., 1961.

[20] Harrington R.F.: Matrix Methods for Field Problems, Proc. IEEE. vol. 55, pp. 136-149, February, 1967

[21] Harrington R.F. et al.: Matrix Methods for Solving Field Problems, Final Report, Contract AF 30 (602)-3724, Rome Air Development Center, March, 1966.

[22] Silvester R.P., Chan K.K.: Bubnov-Galerkin solutions to wire antenna problems, Proc.IEE, 119, pp 1095-1099, 1972.

[23] Silvester R.P., Chan K.K.: Analysis of antenna structures assembled from arbitrarily located straight wires, Proc. IEE, 120 (1), 1973.

[24] Butler C.M., Wilton D.R., Analysis of various numerical techniques applied to thin wire scatterers, IEEE Trans. AP, 23, 1975.

[25] Butler C.M., Wilton D.R.: Efficient numerical techniques for solving Pocklington's integral equation and their relationship to other methods, IEEE Trans. AP, 24, 1976.

[26] Poljak D., Brebbia C.A.: Boundary Element Methods for Electrical Engineers, WIT Press, Southampton-Boston 2005.

[27] Poljak D.: New Numerical Approach in Analysis of Thin Wire Radiating over Lossy Half-Space, International Journal for Numerical Methods in Engineering. 38, 22; 3803-3816, 1995.

[28] Volakis J. L., Kempel L. C.: Electromagnetics: computational methods and considerations, IEEE Computational Sc. & Eng., , pp. 42–57. Spring 1995

[29] Miller E.: A selective survey of computational electromagnetics. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 36(9), 1281-1305. 1988.

[30] Miller E. K., Poggio A. J., Burke G. J., Selden E. S.: Analysis of Wire Antennas in the Presence of a Coundacting Half-Space. Part I. The Vertical Antenna in Free Space, Canadian Journal of Physics, Vol. 50, pp. 332-341, 1972.

[31] Miller E. K., Poggio A. J., Burke G. J., Selden E. S.: Analysis of Wire Antennas in the Presence of a Coundacting Half-Space. Part II. The Horizontal Antenna in Free Space, Canadian Journal of Physics, Vol. 50, pp. 2614-2627, 1972.

Literatura

183

[32] Sarkar T.K.: Analysis of arbitrarily oriented thin wire antennas over a plane imperfect ground, Archiv fur elektronik und ubertragungstechnik, 31, pp 449-457. 1977.

[33] Parhami P., Mittra R.: Wire antennas over a lossy half-space, IEEE Trans. AP, 28, pp 397-403. 1980.

[34] Burke G. J., Miller E. K.: Modeling Antennas Near to and Penetrating a Lossy Interface, IEEE Trans. on Antennas and Propagation, Vol. AP-32, No. 10, pp. 1040-1049, October 1984.

[35] Poljak D.: Electromagnetic Modeling of Finite length Wires Buried in a Lossy Half-Space, Engineering Analysis with Boundary Elements, Vol 26, pp. 81-86, 2002.

[36] Bridges G.E.: Transient Plane Wave Coupling to Bare and Insulated Cables Buried in a Lossy Half-Space”, IEEE Trans. EMC, Vol. 37, No 1., pp. 62-70, Feb. 1995.

[37] Grčev L. D., Heimbach M.: Frequency Dependent and Transient Characteristics of Substation Grounding Systems, IEEE Transactions on Power Delivery, 12(1), 172-178. 1997.

[38] Arnautovski-Toseva V., Grčev L.: Electromagnetic Analysis of Horizontal Wire in Two-layered Soil. Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol. 168, No, 168, 21-29. 2004.

[39] Grčev L., Rachidi F.: On Tower Impedance for Transient Analysis, IEEE Trans.on Power Delivery, Vol. 19, No. 3, pp: 12381244, July 2004.

[40] Grčev L., Rachidi F., Rakov V.A.: Comparison of electromagnetic models of lightning return strokes using current and voltage sources, International Conference on Atmospheric Electricity, ICAE’03 Versailles, France, June 2003.

[41] Burke G. J., Poggio A. J.: NEC - program description Theory, Program, 1981.

[42] Tsai L. L.: A Numerical Solution for the Near and Far Fields of an Annular Ring of Magnetic Current, IEEE Transactions On Antennas And Propagation, 20(5). 1972

[43] Fikioris G., Lionas G., Lioutas C. G.: The use of the frill generator in thin-wire integral equations, IEEE Trans. Antennas and Propagation,, 51(8), 1847-1854. 2003.

[44] Capoglu I., Smith G.: The Input Admittance of a Prolate-Spheroidal Monopole Antenna Fed by a Magnetic Frill. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 54(2), 572-585, 2006.

[45] Dorić V.: Analiza elektromagnetske kompatibilnosti elektroenergetskih vodova u komunikacijskom režimu rada primjenom teorije antena, doktorska disertacija. Split : Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje, 2009

[46] Poljak D., Doric V.: Wire Antenna Model for Transient Analysis of Simple Grounding systems , Part I : The Vertical Grounding Electrode, Progress In Electromagnetics Research, PIER Vol. 64, 149-166. 2006.

[47] Poljak D., Doric V.: Wire Antenna Model for Transient Analysis of Simple Grounding Systems Part II: The Horizontal Grounding Electrode, Progress in Electromagnetics Research, PIER Vol. 64, 167-189, 2006.

Literatura

184

[48] Poljak D., Roje V.: Boundary Element Approach to Calculation of Wire Antenna Parameters in the Presence of a Dissipative Half-Space, IEE Proc. Microw. Antennas Propag., Vol. 142, pp. 435-440, Dec. 1995.

[49] Dorić V. Modeliranje žičanih antenskih struktura u elektromagnetskoj kompatibilnosti, magistarski rad. Split : Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje, 2003.

[50] Elliott R.S.: Antenna Theory and Design, John Wiley & Sons, New Jersey 2003.

[51] Banos A., Dipole Radiation in the Presence of a Conducting Half-Space, Pergamon Press, New York, 1966.

[52] Burke G. J.: NEC 4 Methods of Moments, Part II - Program description: Theory, 1992.

[53] Lytle R. J., Lager D. L.: Numerical Evaluation of Sommerfeld Integrals, UCRL-51688, Lawrence Livermore Laboratory, CA, 1974.

[54] King R.W.P, Wu T.T.: Analysis of Crossed Wires in a Plane-Wave Field, IEEE trans. on Electromagnetic Compatibility, Vol. 17, No. 4, 1975, pp 255-265

[55] Balanis, C.A.:Antenna Theory: Analysis and Design, John Wiley & Sons, New Jersey, 2005.

[56] Gibson W.C.: A Methods of Moments in Electromagnetics, Chapman & Hall/CRC, 2008.

[57] Stratton J.A.: Electromagnetic Theory, New York and London: McGraw-Hill Book Company, Inc., 1941.

[58] Bridges G. E., Shafai L.: Plane Wave Coupling to Multiple Conductor Transmission Lines Above a Lossy Earth, IEEE Trans. Electromagn. Compat., vol. EMC-31, pp. 21-33, February 1989.

[59] King R.W.P., Wu, T.T.: The Imperfectly Conducting Cylindrical Transmiting Antenna, IEEE Trans. on Antenna and Propagation, Vol. 14, No. 5, September 1966.

[60] Rudge W.: Input Impedance of a Dipole Antenna Above a Conducting Half-Space, IEEE Trans. Antennas and Propagation, pp. 86-89, January 1972.

[61] Poljak D.: New Numerical Approach in the Analysis of a Thin Wire Radiating over a Lossy Half-Space, Int. Jour. for Num. Methods in Eng., Vol. 38, pp. 3803-3816, 1995.

[62] Poljak D., Roje V.: The weak finite element formulation for solving Pocklington's integro-differential equation, Int. Journ. Eng. Modelling 6 (1-4), 1993, pp 21-25.

[63] Jovic V.: Uvod u numeričko modeliranje, Aquarius engineering Split, 1993.

[64] Cui T. J., Chew C. W.: Modeling of Arbitrary Wire Antennas Above Ground, IEEE Trans. on Geoscience and Remote Sensing, Vol. 38, No. 1, January 2000.

[65] Xiong W, Dawalibi F.P. Transient Performance of Substation Grounding Systems Subjected to Lightning and Similar Surge Currents. IEEE Transactions on Power Delivery. 1994;9(3).

Literatura

185

[66] Grčev L. Computation of Transient Voltages Near Complex Grounding Systems, IEEE 1992 International Symposium on Electromagnetic Compatibility1992.

[67] Otto D.V.: Cylindrical antenna theory. PhD dissertation Univ. Aukland, Aukland, New Zealand, 1967.

[68] Otto D.V.: The admitance of cylindrical antennas driven from a coaxlal line, Radio Sci. (New Series), vol. 2, no. 9, pp. 1031-1042, 1967.

[69] Otto D.V.: Fourier transform method in cylindrical antenna theory, Radio Sei. (New Series), vol. 3, no. l l , pp. 1050-1057, 1968.

[70] Kolundzija B. M., Djordjević A. R.: Electromagnetic Modeling of Composite Metallic and Dielectric Structures, Artech House Boston, London, 2002

[71] Stutzman W. L., Thiele G. A., Antenna Theory and Desing, John Wiley & Sons, New Jersey, 1981.

[72] Geranmayeh A., Moini R., Sadeghi S.H.H., Deihimi A.: A Fast Wavelet-Based Moment Method for Solving Thin-Wire EFIE. IEEE Trans On Magnetics. 2006;42(4):575-578.

[73] Jensen M.A., Rahmat-Samii Y.: Electromagnetic Characteristics of Superquadric Wire Loop Antennas. IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1994;42(2):246-249.

[74] Zhou G., Smith G.S.: An accurate theoretical model for the thin-wire circular half-loop antenna. IEEE Trans. Antennas Propagat. vol:39no8pp.

[75] Balanis A.C.: Advanced Engineering Electromagnetics, John Wiley & Sons, New York, 1989.

[76] Uman M.A., McLain D.K.: Magnetic field of lightning return stroke, Journal of Geophysical Research, 74, 6899-6910, 1969

[77] Nucci, C.A. Diendorfer G., Uman, M.A., Rachidi, F., Ianoz, M., Mazzetti, C.: Lightning return stroke current models with specified channel base current: A review and comparison, Journal of Geophysical Research, 95,20 395-20,408, 1990.

[78] Thottappillil R, Rakov V.A., Uman M.A.: Distribution of charge along the lightning channel: Relation to remote electric and magnetic fields and to return-stroke models, Journal of Geophysical Research, 102, 6987-7006, 1997

[79] Rakov V.A., Dulzon A.A.: A modified transmission line model for lightning return stroke field calculation, Proc. Int. Zurich Symp. on EMC, 9,229-235, 1991.

[80] Diendorfer, G., Uman M.A.: An improved return-stroke model with specified channel-base current, Journal of Geophysical Research, 95, 13,621-13,644, 1990.

[81] Rakov V.A., Uman M.A.: Review and evaluation of lightning return stroke models including some aspects of their application. IEEE Trans. Electromagn. Compat, Vol. 40pp:403-426.

[82] Thottappillil R., Uman M.A.: Comparison of lightning return-stroke models, J. Geophys. Res., vol. 98, pp. 22 903–22 914, Dec. 1993.

Literatura

186

[83] Rakov V.A.: Lightning return stroke modeling: recent developments, Proc. 3rd Brazilian Workshop Atmospheric Electricity/Int. Conf. Grounding and Earthing, Rio de Janeiro, Brazil, Nov. 2002, pp. 85–96.

[84] Moini R., Kordi B., Rafi G. Z., Rakov V.A.: A new lightning return stroke model based on antenna theory model, J. Geophys. Res., vol. 105, no. D24, pp. 29 693–29 702, Dec. 2000.

[85] Baba Y., Ishii M.: Numerical electromagnetic field analysis of lightning current in tall structures,” IEEE Trans. Power Del., vol. 16, no. 2, pp. 324–328, Apr. 2001.

[86] Kordi B., Moini R., Rakov V. A.: Comment on “Return stroke transmission line model for stroke speed near and equal that of light, by R. Thottappillil, J. Schoene, and M. A. Uman, Geophys. Res. Lett., vol. 29, no. 10, p. 1369, 2002.

[87] B. Kordi, R. Moini, and V. A. Rakov, Comparison of lightning return stroke electric fields predicted by the transmission line and antenna theory models, in Proc. 15th Int. Zurich Symp. Electromagn. Compat., Zurich, Switzerland, Feb. 2003, pp. 551–556.

[88] Baba Y., Ishii M.: Characteristics of electromagnetic return-stroke models, IEEE Trans. Electromagn. Compat., vol. 45, no. 1, pp. 129–135, Feb. 2003.

[89] Shoory A., Moini R., S. Sadeghi H. H.: Analysis of lightning electromagnetic fields in the vicinity of a lossy ground, using a new antenna theory model, Proc. IEEE Bologna PowerTech.,, Bologna, Italy, Jun. 2003.

[90] Baba Y., Rakov V. A.: On the transmission line model for lightning return stroke representation, Geophys. Res. Lett., vol. 30, no. 24, p. 2294, 2003.

[91] Shoory A., Moini R., Sadeghi S.H.H., Rakov V.A.: Analysis of Lightning-Radiated Electromagnetic Fields in the Vicinity of Lossy Ground. IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility. 2005;47(1):131-145.

[92] Burgess, R. E.: Aerial Characteristics, Wireless Engr., Vol. 21, pp. 154–160, April 1944.

[93] Hallen, E.: Theoretical Investigations into the Transmiting and receiving Qualities of Antennae, Nova Acta reg.Soc.Sci. Upsaliensis, 1938, Vol 11, pp.3 – 44

[94] Carter, P.S.: Circuit Relations in Radiating Systems and Applications to Antenna Problems, Proc. IRE, 20, 1004-1041, June 1932.

[95] Krass J.D.: Antennas, Tata McGraw-Hill New Delhi 1997.

[96] Jordan E.C., Belmain K.G.: Electromagnetic Waves and Radiating Systems, Prentice-Hall INC, New Jersey, 1968.

[97] Schelkunoff S.A.: Theory of Antennas of Arbitrary Shape and Size, Proc. Inst. rad. Eng. Vol 29, pp. 493-521, 1941

[98] Grčev L.: Proračun tranzijentne impedancije uzemljivačkih sistema, Doktorska disertacija, Elektrotehnički fakultet Zagreb, 1986.

[99] Grčev L.: Computer Analysis of Transient Voltages in Large Grounding Systems. IEEE Transactions on Power Delivery. 1996;11(2):815-823.

Prilog A - Fourier-ova transformacija

187

PRILOG A FOURIER-OVA TRANSFORMACIJA

Osnovi alat za analizu vremenski promjenljivih funkcija (signala) je Fourier-ova

analiza. Ona se temelji na svojstvu da se bilo koja periodična funkcija može izraziti kao

beskonačna suma eksponencijalnih funkcija s kompleksnim argumentom [1]-[3].

A.1. Kontinuirana Fourier-ova transformacija

Osnovni koncept Fourier-ove analize se da proširiti na aperiodičke funkcije na način da

se takva funkcija promatra kao periodička funkcija s periodom T → ∞ . To je osnova za

definiranje kontinuirane Fourier-ove transformacije (FT) kojom se kontinuirani signal x(t)

iz vremenskog područja prebacuje u frekvencijsko područje [1]-[3]:

2( ) ( ) j ftX f x t e dtπ+∞

−

−∞

= ⋅∫ (A.1)

gdje je t vrijeme, f frekvencija, x(t) polazna funkcija u vremenskom području i X(f)

odgovarajući frekvencijski transformat. Budući je Fourier-ova transformacija inverzna,

moguće je iz transformirane funkcije odrediti polaznu funkciju. Takva transformacija se

naziva inverzna Fourier-ova transformacija i definirana je s izrazom [1]-[3]:

2( ) ( ) j ftx t X f e dfπ+∞

−∞

= ⋅∫ (A.2)

Nužni uvjeti za postojanje Fourier-ove transformacije su:

• x(t) je apsolutno integrabilna funkcija: ( )x t dt+∞

−∞

< ∞∫

• x(t) sadrži konačan broj diskontinuiteta, unutar bilo kojeg konačnog intervala,

• x(t) ima konačan broj minimuma i maksimuma unutar konačnog intervala.


188

Transformirana funkcija u frekvencijskom području je kompleksna funkcija čija se

apsolutna vrijednost u analizi signala naziva spektralna gustoća amplitude a faza spektralna

gustoća faze.

Budući se kontinuirana Fourier-ova transformacija odnosi na kontinuirane signale ona

je neprikladna za implementaciju na računalu u takvoj formi, te je stoga potrebno uvesti

aproksimaciju spomenute transformacije tako da bude pogodna za diskretne podatke. Ova

aproksimacija se naziva diskretna Fourier-ova transformacija (eng. discrete Fourier

transform – DFT) .

A.2. Diskretna Fourier-ova transformacija

Diskretna Fourier-ova transformacija je aproksimacija kontinuirane Fourier-ove

transformacije prilagođena radu s diskretnim skupom podataka tj. signal je uzorkovan u

vremenu, pa DFT za razliku od FT pokriva konačno vremensko i frekvencijsko područje.

Ovakva aproksimacija je valjana pod uvjetom da je frekvencija uzorkovanja barem

dvostruko veća od najviše frekvencije koja se javlja u razmatranom signalu izraženom kao

skup podataka, odnosno uzoraka.

DFT za N kompleksnih uzoraka kao i njena inverzna transformacija definirane su

sljedećim jednadžbama [1]-[3]:

[ ] [ ]1 2

0

0,1, 2,..., 1N j mn

N

n

X m x n e za m Nπ− −

=

= ⋅ = −∑ (A.3)

[ ] [ ]1 2

0

10,1, 2,..., 1

N j mnN

n

x n X m e za n NN

π−

=

= ⋅ = −∑ (A.4)

gdje n i m predstavljaju diskretne vremenske odnosno frekvencijske uzorke, a [ ]x n i

[ ]X m predstavljaju signal u diskretiziranom vremenskom odnosno frekvencijskom

području.

Korak između dva susjedna DFT koeficijenta jednak je:


189

1

fT

∆ = (A.5)

gdje je T ukupno vrijeme trajanja signala na kojem se vrši DFT. Dakle, ukupnim

vremenom trajanja signala je i određena frekvencijska rezolucija što znači da ukoliko je

potrebna visoka frekvencijska razlučivost potrebno je uzeti veći vremenski uzorak. Period

uzorkovanja i ukupno vrijeme trajanja signala su povezani relacijom:

s

NT N t

f= ⋅ ∆ = (A.6)

gdje je t∆ period uzorkovanja, tj. vremenski interval između dva uzastopna uzimanja

uzorka, a fs frekvencija uzorkovanja. Iz jednadžbi (A.5) i (A.6) je da su spomenuti

parametri DFT-a međusobno jako ovisni pa da npr. povećanje broja uzoraka, uslijed

povećanja frekvencije uzorkovanja neće poboljšati frekvencijsku rezoluciju.

DFT ima nekoliko nedostataka:

• Iz jednadžbe (2.7) slijedi da je za proračun samo jednog DFT koeficijenta

potrebno N kompleksnih množenja i N-1 kompleksnih zbrajanja, tj. ukupno 2N2

operacija s kompleksnim brojevima. Ovo su vrlo veliki zahtjevi na procesor

digitalnog računala.

• Rezultat množenja dvaju brojeva na računalima ima više bita nego li svaki od

tih brojeva posebno pa je rezultat potrebno zaokruživati čime se unosi dodatna

greška u proračun, tvz. greška zaokruživanja.

Ova dva nedostatka DFT mogu se donekle ukloniti primjenom brze Fourierove

transformacije (eng. Fast Fourier Transform, FFT). FFT je naziv za cijelu klasu

algoritama koji efikasno računaju DFT konačnog skupa realnih ili kompleksnih brojeva

koji predstavljaju uzorkovani signal. Važno je napomenuti da FFT nije aproksimacija DFT

već njen matematički ekvivalent. FFT metodom se dobiju potpuno isti rezultati kao i DFT

metodom. Međutim, ona uklanja redundanciju iz proračuna koji bi se provodili direktnom

primjenom jednadžbe (A.3), smanjujući tako broj potrebnih množenja i zbrajanja. Ovime

je postignuta optimizacija samog postupka, a osim toga je i vrlo prilagođena za

implementaciju na digitalnom računalu. Manji broj množenja znači i manji broj


190

zaokruživanja rezultata, a time i manju akumulaciju pogreške. Na ovaj način smanjena je

greška šuma kvantizacije. Primjeri različitih FFT algoritama su: Cooley – Tukey FFT,

prime factor FFT, chirp z-transform, Goertzelov algoritam...

FFT algoritmi imaju računalnu složenost reda veličine N·logN u odnosu na N2 kod

DFT-a. U slučaju da je N=2k FFT algoritam zahtjeva manje od 3N·log2N operacija, što je

npr. za slučaj N=220 35000 puta brže od 2N2. Valja napomenuti da je algoritam FFT-a

najbrži ukoliko je N potencija broja 2.

Dakle kod optimalnog korištenja FFT-a daljnje se postrožava odabir parametara

Fourier-ove transformacije samim biranjem broja uzoraka iz skupa potencija broja 2. U

nekim slučajevima, kada priroda problema to zahtjeva, potrebno je uzeti jako veliki broj

točaka (>220) što dovodi do velikih memorijskih zahtjeva posebice ako se vrši

multidimenzionalna transformacija. Nadalje, često je poznata vrijednost funkcije za

ograničeni broj uzoraka koji ne slijede pravila DFT-a i FFT-a te je njihov broj mnogo

manji od optimalnog broja uzoraka za kvalitetan FFT. Tada je potrebno interpolirati

funkciju u točno određenim točkama i broj tih točaka mora biti potencija broja 2. Također,

FFT algoritmima se računa svih N vrijednost funkcije definirane jednadžbama (A.5) i (A.6)

u frekvencijskom području (vremenskom području za IFFT), iako od interesa mogu biti

samo neke. Sve ovo se javlja u primjerima koji su prezentirani u ovom radu.

A.3. Približna Fourier-ova transformacija

Da bi se eliminirali neki od navedenih nedostataka FFT algoritma predlaže se približna

Fourier-ova transformacija temeljena na kontinuiranoj Fourier-ovoj transformaciji gdje se

funkcija x(t) između poznatih vrijednosti aproksimira Lagrange-ovim interpolacijskim

polinomom kroz K točaka [4]:

( )1

( )eK

e ei i

i

x t x N t=

=∑ (A.7)

Tada se fourier-ova transformacija (A.1) se može zapisati kao beskonačna suma određenih

integrala s konačnim granicama:


191

2

1

2

1

( ) ( )

e

e

tj ft

e t

X f x t e dtπ∞

−

=

= ⋅∑∫ (A.8)

Ideja je preuzeta iz [5] u kojem je predstavljena linearna analitička inverzna Fourier-ova

transformacija za struju na žici, koja je ovdje generalizirana i proširena. Sličan koncept se

može pronaći u [6] gdje se vrši numerička integracija trapeznim pravilom između

neravnomjerno raspoređenih frekvencijskih uzoraka raspodjele potencijala kod

uzemljivača da bi se dobila inverzna Fourier-ova transformacija.

Uvrštavanjem izraza (A.7) u (A.8), te zamjenom redoslijeda sume i integrala slijedi:

( )2

1

2

1 1

( )

ee

e

tKe e j fti i

e i t

X f x N t e dtπ∞

−

= =

= ⋅∑∑ ∫ (A.9)

Ukoliko se koristi linearna aproksimacija tada se funkcija x(t) aproksimira između dvije

susjedne točke s dvije linearne funkcije:

( ) ( )2 11 2

2 1 2 1

;e et t t tN t N t

t t t t

− −= =

− − (A.10)

Tada je aproksimacija funkcije (A.7) jednaka:

2 11 2

2 1 2 1

( )e e

e ee e e e

t t t tx t x x

t t t t

− −= +

− − (A.11)

a, aproksimacija Fourier-ove transformacije (A.9) poprima oblik:

2 2

1 1

2 22 11 2

1 2 1 2 1

( )

e e

e e

t te ee j ft e j ft

e e e ee t t

t t t tX f x e dt x e dt

t t t tπ π

∞− −

=

− −= ⋅ + ⋅

− − ∑ ∫ ∫ (A.12)

Oba integrala u izrazu (A.12) su analitički rješiva tako da slijedi konačni izraz za približnu

vrijednost Fourier-ove transformacije:


192

2 1

2 1

2 2 2 11 2 2

2 1

11 2 1 1

2 2 22 1

1 11

( )1 11

e e

e e

e e e ej t j te

e e

e e e ee j t j te

e e

t j t t j tx j e j e

t tX f

t j t t j tx j e j e

t t

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω ω ω

ω ω

ω ω ω ω

− −

∞

= − −

+ +− + − + +

− =

+ + − + + − −

∑ (A.13)

gdje je 2 fω π= kružna frekvencija.

Također, može se koristiti i kvadratična aproksimacija preko tri susjedna uzorka, uz

korištenje tri kvadratične funkcije koje opisuju signal između uzoraka:

( )( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( )

2 31

1 2 1 3

1 32

2 1 2 3

1 23

3 1 3 2

e

e

e

t t t tN t

t t t t

t t t tN t

t t t t

t t t tN t

t t t t

− −=

− −

− −=

− −

− −=

− −

(A.14)

Tada je aproksimacija funkcije (A.7) jednaka:

( ) ( )

( ) ( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )2 3 1 3 1 2

1 2 3

1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2

( )e e e e e e

e e e

e e e e e e e e e e e e

t t t t t t t t t t t tx t x x x

t t t t t t t t t t t t

− − − − − −= + +

− − − − − − (A.15)

pa, aproksimacija Fourier-ove transformacije (A.9) poprima oblik:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

3

1

3

1

3

1

2 3 21

1 2 1 3

1 3 22

1 2 1 2 3

1 2 23

3 1 3 2

( )

e

e

e

e

e

e

e ete j ft

e e e et

e ete j ft

e e e ee t

e ete j ft

e e e et

t t t tx e dt

t t t t

t t t tX f x e dt

t t t t

t t t tx e dt

t t t t

π

π

π

−

∞−

=

−

− − ⋅ +

− −

− − = ⋅ +

− −

− − ⋅ − −

∫

∑ ∫

∫

(A.16)


193

Kao i u slučaju linearne aproksimacije, integrali u izrazu (A.16) su analitički rješivi pa je

analitička kvadratična aproksimacija Fourier-ove transformacije dana relacijom:

( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

3

1

3

1

3

1

2 212 3 33

1 2 1 3

2 221 3 33

2 1 2 3

2 231 2 23

3 1 3 2

2 2

( ) 2 2

2 2

e

e

e

e

e

e

te

j t

t

te

j t

t

te

j t

t

j xe t t t j t t j t j t

t t t t

j xX f e t t t j t t j t j t

t t t t

j xe t t t j t t j t j t

t t t t

ω

ω

ω

ω ω ω ω ω ω ωω



−

−

−

− + + − + + − − + − −

= − + + − + + − − − −

− + + − + + − − − −

1e

∞

=

∑ (A.17)

Valja napomenuti da u slučaju korištenja kvadratična aproksimacije broj uzoraka mora biti

neparan.

Po istom konceptu daju se izvesti linearna i kvadratična aproksimacija inverzne

Fourier-ove transformacije, pa se dobije izraz za linearnu aproksimaciju Fourier-ove

transformacije:

2 1

2 1

2 22 2 2 11 2 2 2 2

2 1

2 21 2 1 12 2 2 2 2

2 1

1 2 1 21

2 4 2 4( )

1 2 1 21

2 4 2 4

e e

e e

e e e ej tf j tfe

e e

e e e ej tf j tfe

e e

f j tf f i tfX j e i e

f f t t t tx t

f j tf f i tfX j e i e

f f t t t t

π π

π π

π π

π π π π

π π

π π π π

− −− − + + +

− =

− −+ + − − −

1e

∞

=

∑ (A.18)

odnosno, za kvadratičnu aproksimaciju:

( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( )

3

1

3

1

2 2 2 212 3 33 3

1 2 1 3

2 2 2 221 3 33 3

2 1 2 3

231 23 3

3 1 3 2

2 2 1 2 1 2 24

( ) 2 2 1 2 1 2 24

24

e

e

e

e

fe

j tf

f

fe

j tf

f

ej tf

Xe f t f t j tf f t j tf j t f tf j

t f f f f

Xx t e f t f t j tf f t j tf j t f tf j

t f f f f

Xe f t f

t f f f f

π

π

π

π π π π π π ππ

π π π π π π ππ

π ππ

− + − + − − + + + − −

= − + − + − − + + + − −

−− −

( ) ( )3

1

1

2 2 222 1 2 1 2 2

e

e

e

f

f

t j tf f t j tf j t f tf jπ π π π π

∞

=

+ − + − − + +

∑ (A.19)


194

A.4. Numerički primjeri

Opravdanost predloženog pristupa Fourier-ove transformacije će se provesti na

tipičnim vremenski signalima korištenim u ovom radu. Prvenstveno se to odnosi na

vremenski oblik struje munje opisan jednadžbom:

( )( ) t ti t I e eα β− −= − (A.20)

s različitim parametrima:

a) 1.0454I A= , 10.0737 sα µ −= i 19.866 sβ µ −= što odgovara veoma strmom

0.5/10 µs impulsu (značajniji udio viših frekvencija);

b) 1.1067I A= , 10.0142 sα µ −= i 15.073 sβ µ −= što odgovara sporo opadajućem

impulsu 1/50 µs;

Oblici impulsa su prikazani na slici A.1.

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

102

103

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

It (

A)

t (µ s)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

It (

A)

t (µ s)

0.5/10 µ s

1/50 µ s

Slika A.1 Strujni impuls u vremenu

Impuls oblika (20) je odabran i iz razloga što je moguće analitički izračunati Fourier-

ovu transformaciju. Tada izraz za struju (20) u frekvencijskom području ima oblik:


195

1 1

( )2 2

I f Ia j f b j fπ π

= ⋅ −

+ + (A.21)

Slika A.2 prikazuje frekvencijsku karakteristiku za dva strujna impulsa proračunatu

analitički s (21).

102

103

104

105

106

107

108

0

2

4

6

8x 10

−5

abs(I

f) (

A)

t (µ s)

102

103

104

105

106

107

108

−200

−150

−100

−50

0

faza(I

f) (

°)

t (µ s)

0.5/10 µ s

1/50 µ s

Slika A.2 Frekvencijski spektar strujnih impulsa

Slika A.3 prikazuje postotnu razliku u amplitudi frekvencijske karakteristike, u odnosu

na analitičko rješenje, 0.5/10µs impulsa izračunatu približnim metodama s redom 21, 31,

61 i 101 vremenskih uzoraka. Valja napomenuti da suma u jednadžbama (13) i (17) nije

beskonačna, već konačna i ide od t=0s do t=10-3s, budući je potrebno samo sumirati

područje u kojem je sadržana većina energije signala. Naime, impulsi su takvog oblika da

vrlo brzo padaju na zanemarive vrijednosti što znači da je moguće zanemariti ostatak

signala.

Sa slike A.3 je vidljivo da se vrlo brzo (sa malim brojem uzoraka) dobije vrlo

kvalitetno rješenje za frekvencijsku karakteristiku, kako za linearno tako i kvadratičnu

aproksimaciju. Uočeno je da kvadratična aproksimacija nešto brže konvergira, što je i

očekivano. Veća postotna greška može se uočiti na visokim frekvencijama, iako opada s

brojem uzoraka, ali ako se pogleda sama frekvencijska karakteristika (slika A.2) jasno je i


196

zašto. Naime na tim visokim frekvencijama (1-100Mz) amplituda frekvencijske

karakteristike je praktički jednaka nuli, pa i mala greška u apsolutnoj vrijednosti može

uzrokovat veliku relativnu razliku.

Gotovo isti zaključci se mogu izvući na temelju rezultata na slici A.4 koji prikazuju

relativnu pogrešku u amplitudi frekvencijske karakteristike impulsa 1/50µs proračunatu

približnim metodama.

102

103

104

105

106

107

108

100

101

102

Razlik

a %

N=21

102

103

104

105

106

107

108

100

102

Razlik

a %

N=31

102

103

104

105

106

107

108

10−2

100

102

Razlik

a %

N=61

102

103

104

105

106

107

108

10−2

100

102

Razlik

a %

f (Hz)

N=101

LINEAR

KVADR

Slika A.3 Postotna razlika u amplitudi (0.5/10µs)


197

102

103

104

105

106

107

108

100

101

102

Razlik

a %

N=21

102

103

104

105

106

107

108

100

102

Razlik

a %

N=31

102

103

104

105

106

107

108

100

102

Razlik

a %

N=61

102

103

104

105

106

107

108

10−2

100

102

Razlik

a %

f (Hz)

N=101

LINEAR

KVADR

Slika A.4 Postotna razlika u amplitudi (1/50µs)

Osim, proračuna predloženim aproksimacijskim metodama, frekvencijska

karakteristika je izračunata i FFT-om, kako bi se proučila točnost i konvergencija takvog

rješenja. Signal 0.5/10µs je uzorkovan različitim brojem uzoraka (redom N=216, N=218,

N=222 i N=224) uz promjenu duljine signala redom T=0.1s, T=1s i T=10s. Naime, zbog

povezanosti svih faktora uključenih u FFT (duljina signala, broj uzoraka, vremenski korak,

frekvencijski korak i frekvencija uzorkovanja) nije moguće proizvoljno birati duljinu


198

signala i broj uzoraka da bi se dobila kvalitetna frekvencijska karakteristika u pojasu od

100Hz do 10MHz karakteristična za promatrani impuls. Slika A.5 pokazuje postotnu

grešku amplitude frekvencijske karakteristike promatranog signala proračunatu FFT-om, u

odnosu na analitičko rješenje, za redom različite duljine signala (T=0.1s, T=1s i T=10s) uz

različiti broj uzoraka.

Vidljivo je iz slike A.5 da se jedino u slučaju duljine signala od T=1s dobiva

usporedivo rješenje dok se tek za veliki broj uzoraka (N=222 i N=224) dobiva kvalitetno

rješenje, tj. rješenje koje je u cijelom relevantnom spektru signala dovoljno dobro u odnosu

na analitičko rješenje. Skraćivanjem signala greška je cca 1000% dok produženjem signala

greška je reda veličine 100% u odnosu na analitičko rješenje.

Uz to što se točno rješenje dobiva samo za određeni set parametara, FFT-om se dobiva

rješenje za cijeli spektar (određen parametrima FFT-a) bez obzira dali je cijeli spektar od

interesa. Također, uslijed korištenja velikog broja uzoraka, rješenje je jako redundantno te

se javljaju zahtjevi za velikim memorijskim kapacitetima, što može biti problematično

pogotovo ukoliko se paralelno obrađuje više točaka. Uz veliki broj uzoraka dolazi i duže

vrijeme računanja, npr. za N=224 to je reda veličine nekoliko sekundi.

Za usporedbu, za proračun dovoljno kvalitetne frekvencijske karakteristike (cca 50

frekvencijskih točaka jednako raspoređenih u logaritamskoj skali) približnim metodama je

bilo potrebno reda veličine 10-30ms s neoptimiziranim kodom u matlab-u.

Imajući sve ovo u vidu jasno je da je FFT neprimjeren za analizu ovakvih signala te da

predložena aproksimacijska daje mnogo stabilnije i točnije rezultate.


199

102

103

104

105

106

107

108

103

Ra

zlik

a %

T=0.1s

102

103

104

105

106

107

108

100

102

Ra

zlik

a %

T=1s

102

103

104

105

106

107

108

102

Ra

zlik

a %

f (Hz)

T=10s

FFT N=216

FFT N=218

FFT N=222

FFT N=224

Slika A.5 Postotna razlika u amplitudi za FFT (T=0.1s;T=1s;T=10s)

Općenito se slični zaključci kao i za prethodno analiziranu Fourier-ovu transformaciju

mogu donijeti i za inverznu Fourier-ovu transformaciju. Međutim postoje i razlike. Slika

A.6 prikazuje vremenski oblik signala 0.5/10µs proračunat približnim varijantama inverzne

Fourier-eve transformacije (18) i (19) iz frekvencijske karakteristike. Odmah je vidljivo da

je slaganje dobivenih rezultata s analitičkim rješenjem odlično. Jedino malo odstupa


200

kvadratična aproksimacija u vrlo ranom vremenskom periodu. Rješenje prikazano na slici

A.6 je dobiveno s 61 uzoraka u spektru od 100Hz – 100MHz.

10−3

10−2

10−1

100

101

102

103

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

It (

A)

t (µ s)

Analitièki

LINEAR

KVADR

Slika A.6 IFT signala 0.5/10µs

Detaljna analiza točnosti i konvergencije približne inverzne Fourier-ove transformacije

je dana na slici A.7, koja prikazuje postotnu grešku približne IFT uz korištenje redom 21,

31, 61 i 101 frekvencijskih uzoraka u spektru 100Hz – 100MHz. Može se uočiti da je

točnost proračuna u djelu gdje je signal intenzivan jako dobra te brzo konvergira za obje

metode. Međutim, u vrlo ranom periodu greška je zamjetna pogotovo u slučaju kvadratične

aproksimacije. Razlog vjerojatno leži u odnosu jako malih ( ∼ 10-9) i jako velikih ( ∼ 108)

veličina koje se još kod kvadratične aproksimacije kubiraju te lako dolazi do greške

zaokruživanja.


201

10−3

10−2

10−1

100

101

102

100

101

102

Razlik

a %

N=21

10−3

10−2

10−1

100

101

102

100

101

102

Razlik

a %

N=31

10−3

10−2

10−1

100

101

102

100

102

Razlik

a %

N=61

10−3

10−2

10−1

100

101

102

10−2

100

102

Razlik

a %

t (µ s)

N=101

LINEAR

KVADR

Slika A.7 Postotna greška približne IFT za 0.5/10µs

Još veće greške, posebice za kvadratičnu aproksimaciju, se mogu primijetiti u

proračunu IFT u slučaju drugog signala (1/50µs), za koji je provedena ista analiza, kako je

prikazano na slikama A.8 i A.9.


202

10−3

10−2

10−1

100

101

102

103

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

It (

A)

t (µ s)

Analitièki

LINEAR

KVADR

Slika A.8 IFT signala 1/50µs

Jasno je iz slika A.8 i A.9 da je u slučaju 1/50µs signala konvergencija rješenja nešto

malo sporija, ali još uvijek jako dobra posebice u slučaju linearne aproksimacije. Greške su

zamjetne samo u vrlo ranom periodu gdje je iznos signala jako mali pa i mala apsolutna

greška može generirati veliku relativnu grešku. Pomalo je iznenađujuće da za IFT puno

bolje cjelovito rješenje daje linearna aproksimacija za razliku od FT gdje je ipak

kvadratična aproksimacija generirala neznatno bolje rezultate.

Konačno, napravljen je i IFFT za signal 0.5/10µs za redom različite frekvencije

uzorkovanja fs=200MHz, fs=500MHz i fs=1GHz uz različit broj uzoraka (N=216, N=218,

N=222 i N=224). Razlog za veliku frekvenciju uzorkovanja je potreba za proračunom

signala u vrlo ranom periodu, što je s druge strane nepotrebno budući da je glavnina

energije signala sadržana u frekvencijskom spektru do 10-tak MHz. Slika A.10 prikazuje

postotnu grešku IFFT-a za redom fs=200MHz, fs=500MHz i fs=1GHz uz različite brojeve

uzoraka. Vidljivo je da IFFT u ranom i kasnom periodu daje rezultate koji imaju relativno

veliku grešku. Također, za dobivanje kvalitetnog rješenja u cijelom periodu signala

potrebno je uzeti veliki broj uzoraka što opet dovodi do problema s memorijom i usporava

sami proračun, slično kao i za FFT.


203

10−3

10−2

10−1

100

101

102

100

101

102

Razlik

a %

N=21

10−3

10−2

10−1

100

101

102

100

101

102

Razlik

a %

N=31

10−3

10−2

10−1

100

101

102

100

101

102

Razlik

a %

N=61

10−3

10−2

10−1

100

101

102

101

102

Razlik

a %

t (µ s)

N=101

LINEAR

KVADR

Slika A.9 Postotna greška približne IFT za 1/50µs


204

10−3

10−2

10−1

100

101

102

10−2

100

102

Razlik

a %

T=0.1s

10−3

10−2

10−1

100

101

102

10−1

100

101

102

Razlik

a %

T=1s

10−3

10−2

10−1

100

101

102

10−1

100

101

102

Razlik

a %

t (µ s)

T=10s

FFT N=216

FFT N=218

FFT N=222

FFT N=224

Slika A.10 Postotna greška FFT za 0.5/10µs

Priloženi primjeri su pokazali da je približna Fourier-ova transformacija s linarnom

aproksimacijom najbolji izbor za vremensko – frekvencijsku i frekvencijsku – vremensko

transformaciju signala koji se promatraju u ovom radu. Kvadratična aproksimacija

praktički nimalo ne zaostaje u slučaju FT-a ali je daje greške u vrlo ranom odzivu u slučaju

IFT-a. Usporedbom, predloženih metoda s FFT-om i IFFT-om može se zaključiti da su


205

mnogo fleksibilnije, jednostavnije, točnije i mnogo primjerenije za promatrane signale i

probleme.

A.5. Literatura

[1] Bronštejn, I. N.; Semendjajev, K.A.: Matematički priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga, 1991.g.

[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform (01.02.2011.)

[3] http://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html (01.02.2011.)

[4] Jović, V.: Uvod u numeričko modeliranje, Aquarius engineering Split, 1993.

[5] Antonijevic S., Doric V., Poljak D.: Optimized Transient Analysis using GB-BEM, XI-th International Workshop on Optimization and Inverse Problems in Electromagnetism September 14 – 18, 2010, Sofia, Bulgaria

[6] Lovrić D., Vujević, S., Sarajcev P.: Accuracy of the Inverse Fast Fourier Transform algorithm in grounding grid transient analysis, ICECom2010, Dubrovnik 2010.

Prilog B - Numeričko rješavanje Sommerfeld-ovih integrala

206

PRILOG B NUMERIČKO RJEŠAVANJE SOMMERFELD –ovih INTEGRALA

Sommerfeld-ovi integrali (2.25) i (2.26) nisu analitički rješivi, te je potrebna numerička

integracija. Budući se sami integrali pojavljuju i u drugim izrazima (2.20) – (2.24) u načelu

je potrebno numerički integrirati slijedećih šest integrala:

2

' '' 32 02

0

( ) ( )R

z zVD e J dγλ λρ λ λ

ρ±

∞− +±∂

=∂ ∫ (B.1)

2

'22 02

0

( ) ( )R

z zVD e J d

zγλ γ λρ λ λ±

∞− +±

±

∂=

∂ ∫ (B.2)

2

' ' 22 0

0

( ) ( )R

z zVD e J d

zγλ γ λρ λ λ

ρ±

∞− +±

±

∂= −

∂ ∂ ∫ (B.3)

' ' 22 0

0

1 1( ) ( )

Rz zV

D e J dγλ λρ λ λρ ρ ρ

±

∞− +±∂

=∂ ∫ (B.4)

'2 0

0

( ) ( )z zRV D e J dγλ λρ λ λ±

∞− +

± = ∫ (B.5)

'1 0

0

( ) ( )z zRU D e J dγλ λρ λ λ±

∞− +

± = ∫ (B.6)

U ovom radu je primijeniti postupak numeričkog rješavanja razvijen u [1] i [2] te

korišten u [3]. Naime u [1] su detaljno ispitana svojstva podintegralnih funkcija u

integralima (B.1) do (B.6) kako bi se odabrao najpovoljniji postupak numeričkog

integriranja. U nastavku će se samo kratko prikazati konačni rezultati te analize i postupak

integracije.

Integrali (B.1) do (B.6) se rješavaju numeričkom integracijom duž kontura u

kompleksnoj λ ravnini, jer se pokazalo da takvo rješavanje puno efikasnije nego


207

integriranje duž realne osi. Budući su sve podintegralne funkcije vrlo slične, osnovni

koncept će biti prikazan na primjeru proračuna RV+ . Podintegralne funkcije imaju

razgranišne linije reza (eng. branch cut) od k−± do beskonačnosti i od k+± do

beskonačnosti zbog kvadratnih korijena u γ − odnosno γ + . Linije reza su odabrane da budu

vertikalne kako je prikazano na slikama 1 do 3.

Da bi se postigla vrlo brza konvergencija numeričkog integriranja potrebno je

iskoristiti eksponencijalno ponašanje eksponencijalne i Bessel-ove funkcije za veliki λ. U

svrhu optimiziranja konvergencije, kontura integracije se izmješta iz realne osi u

kompleksnu ravninu izbjegavajući linije reza i uzimajući u obzir polove.

Slika B.1 Kontura za proračun integrala s Bessel-ovom funkcijom

Kontura koja se koristi za proračun Sommerfeld-ovih integrala s Bessel-ovim

funkcijama je prikaza na slici B.1. U tom slučaju dominantan faktor za brzu konvergenciju

je eksponencijalna funkcija kada se povećava Rλ . Bessel-ova funkcija s povećanjem Rλ

oscilira uz sporu konvergenciju te eksponencijalno raste s porastom Iλ . Ovo ograničava

konturu na mali Iρ λ , i od male je pomoći kod konvergencije. Lom konture je u točki

p jpλ = + gdje je p jednako:


208

1 1

min ,'

pz zρ

=

+ (B.7)

Integracija po ovoj konturi postaje zahtjevna za mali ( )'z z ρ+ budući da postoji mnogo

oscilacija Bessel-ove funkcije prije konvergencije. U tom slučaju se koristi alternativni

oblik integrala (B.5) s Hankel-ovom funkcijom:

' (2)2 0

1( ) ( )

2z zRV D e H dγλ λρ λ λ±

+∞− +

±

−∞

= ∫ (B.8)

Budući da Hankel-ova funkcija drugog tipa opada eksponencijalno kada Iλ postane

negativan, ona pruža jako brzu konvergenciju bez obzira na utjecaj eksponencijalne

funkcije. Osnovna kontura za proračun integrala s Hankel-ovom funkcijom je prikazan na

slici B.2, gdje su:

( )

( )

0.4

0.6 0.2

1.02 0.2

1.01Re( ) 0.99 Im( )

'

a j k

b j k

c j k

d k j k

z zarctgθ

ρ

+

+

+

− −

= −

= +

= +

= +

+=

(B.9)


209

Slika B.2 Kontura za proračun integrala s Hankel-ovom funkcijom

Ova kontura pruža jako brzu konvergenciju osim u slučaju kada je 'z z+ mali, kρ − veliki

i Im( ) / Re( )k k− − mali. Tada postoji mogućnost da dođe do oscilacija između c i d s jako

malo konvergencije. U tom slučaju se koristi kontura prikazana na slici B.3, gdje su:

( 0.1 0.2)

(0.1 0.2)

e k j

f k j−

−

= + − +

= + + (B.10)


210

Slika B.3 Kontura za proračun integrala s Hankel-ovom funkcijom i Re( ) Im( )k k− −

Dakle oblik s Hankel-ovom funkcijom se koristi kada je ( )' / 2z zρ > + dok oblik s Bessel-

ovom funkcijom u ostalim slučajevima.

Integracija duž kontura je provedena adaptivno Romberg-ovom integracijom. U

dijelovima konture gdje jedna granica teži u beskonačnost, primijenjena je adaptivna

Romberg-ova integracija potpomognuta s Shank-ovom nelinearnom transformacijom kako

bi se ubrzala konvergencija.

B.1. Literatura

[1] Lytle R.J., lager D. L.: Numerical Evaluation of Sommerfeld Integrals, UCRL-51688, Lawrence Livermore Laboratory, University of California, October 1974;

[2] Lytle R.J., lager D. L.: FORTRAN Subrutines for the Numerical Evaluation of Sommerfeld Integrals Unter Anderem, UCRL-51821, Lawrence Livermore Laboratory, University of California, May 1975

[3] Burke, G. J., Poggio, A. J.: NEC - program description Theory, Program, 1981.

Prilog C - Matematički dokaz

211

PRILOG C MATEMATIČKI DOKAZ

Prilog C donosi dokaz izraza (3.11) korištenog u trećem poglavlju pri izvodu nejake

formulacije GMIMRE:

0 0( , ') ' ( , ')g s s g s s∇ = −∇ (C.1)

gdje se operator nabla može napisati kao:

x y ze e ex y z

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂ (C.2)

nabla crtano:

'' ' '

x y ze e ex y z

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂ (C.3)

te Grenn-ova funkcija:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2' ' '

0 2 2 2 2( , ')

' ' '

jk x x y y z z aeg s s

x x y y z z a

− − + − + − +

=− + − + − +

(C.4)

Lijeva strana izraza (C.1) je tada određena sa:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2' ' '

2 2 2 2L

' ' '

jk x x y y z z a

x y ze

e e ex y z x x y y z z a

− − + − + − + ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ − + − + − +

(C.5)

Dok je desna strana određena sa:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2' ' '

2 2 2 2D

' ' ' ' ' '

jk x x y y z z a

x y ze

e e ex y z x x y y z z a

− − + − + − + ∂ ∂ ∂ = − + + ∂ ∂ ∂ − + − + − +

(C.6)


212

Tada su komponente lijeve odnosno desne strane dane sa:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2' ' '

2 2 2 2L

' ' '

jk x x y y z z a

x

e

x x x y y z z a

− − + − + − + ∂ = ∂ − + − + − +

(C.7)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2' ' '

2 2 2 2L

' ' '

jk x x y y z z a

y

e

y x x y y z z a

− − + − + − + ∂ = ∂ − + − + − +

(C.8)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2' ' '

z 2 2 2 2L

' ' '

jk x x y y z z ae

z x x y y z z a

− − + − + − + ∂ = ∂ − + − + − +

(C.9)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2' ' '

2 2 2 2D

' ' ' '

jk x x y y z z a

x

e

x x x y y z z a

− − + − + − + ∂ = − ∂ − + − + − +

(C.10)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2' ' '

y 2 2 2 2D

' ' ' '

jk x x y y z z ae

y x x y y z z a

− − + − + − + ∂ = − ∂ − + − + − +

(C.11)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2' ' '

z 2 2 2 2D

' ' ' '

jk x x y y z z ae

z x x y y z z a

− − + − + − + ∂ = − ∂ − + − + − +

(C.12)

Budući da se komponente dobivaju na identičan način dovoljno je dokazati da je npr.

L =Dx x da bi dokazali (C.1).

Provođenjem parcijalne derivacije na izraz (C.7) dobiva se:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 21

2 2' '2

2

( ') ' * 'L

'

jk x x K jk x x K

x

x x x x K jk e x x K e

x x K

−− − + − − + − − + − − + + =

− +(C.13)

gdje je ( ) ( )2 2 2' 'K y y z z a= − + − + i služi jednostavnijem zspisu, dok provođenjem

parcijalne derivacije u izrazu (C.10) slijedi:


213

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 21

2 2' '2

2

( ') ' * 'D

'

jk x x K jk x x K

x

x x x x K jk e x x K e

x x K

−− − + − − + − − + − − + + =

− +(C.14)

Usporedbom izraza (C.13) i (C.14) jasno slijedi da je L =Dx x , čime je i dokazana tvrdnja iz

(C.1).

Science never solves a problem without creating ten more.

George Bernard Shaw

Životopis

ŽIVOTOPIS

Damir Čavka je rođen 5. siječnja 1982. godine u Splitu. Nakon završetka osnovne škole 1996. godine, upisuje III. gimnaziju u Splitu, prirodoslovno-matematički smjer, gdje uspješno maturira 2000. godine s izvrsnim uspjehom. Iste godine upisuje studij elektrotehnike, smjer elektronika, na Fakultetu elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje u Splitu. U travnju 2005. godine diplomira s izvrsnim uspjehom, pod mentorstvom prof.dr.sc. Dragana Poljaka, s temom diplomskog rada „Mjerenje elektromagnetskog zračenja GSM bazne stanice“. Tokom studija je aktivno sudjelovao u nastavi kao demonstrator na nekoliko kolegija. Stručnu industrijsku praksu u trajanju od pet tjedana je uspješno odradio u inozemstvu u Cyprus Telecommunications Authority-u, Cipar. U listopadu 2005. godine upisuje poslijediplomski znanstveni studij Environmental Electromagnetic Compatibility, koji se izvodi u suradnji FESB-a, Split i Wessex Institute of Technology (WIT), UK. U sklopu tog studija provodi tri mjeseca na WIT-u, u ljeto 2006. godine.

Magistarski rad je obranio u Southampton-u 14. rujna 2007. godine na temu „Human Exposure to Electrostatic Field Generated by Video Display Units“, pod mentorstvom prof.dr.sc. Dragana Poljaka i prof.dr.sc. Andres Peratta-e, te time stekao pravo na titulu Master of Philosophy (MPhil), dodijeljenu od strane Sveučilišta u Wales-u, UK (University of Wales).

Poslijediplomski doktorski studij Elektrotehnike i informacijske tehnologije na FESB-u, upisao je 2007. godine, pri čemu mu je odobren direktan upis u četvrti semestar na temelju završenog poslijediplomskog magistarskog studija.

Od 01.05.2006. godine je zaposlen na FESB-u kao znanstveni novak na projektu „Utjecaj elektromagnetske interferencije na električnu opremu i ljude“ (0023010) glavnog istraživača prof.dr.sc. Dragana Poljaka, dok od ožujka 2007. godine radi na projektu „Modeliranje ljudskog tijela i izvora zračenja: okolišni i zdravstveni aspekti“ (023-0231582-1585) glavnog istraživača prof.dr.sc. Dragana Poljaka, na kojem i danas radi.

Kao asistent sudjeluje u nastavi, izvodeći auditorne i/ili laboratorijske vježbe na kolegijima Elektrotehnika, Osnove elektrotehnike 2, Numeričke metode u elektronici, Numeričke metode u komunikacijama, Izloženost ljudi elektromagnetskom zračenju, Elektromagnetska ekologija i dozimetrija, Elektromagnetska kompatibilnost i Polja i valovi u elektronici.

Njegovo područje istraživanja uključuje numeričko modeliranje žičanih struktura u frekvencijskom području primjenom teorije antena kao i primjenu tih modela u elektromagnetskoj kompatibilnosti te utjecaj elektromagnetskog zračenja na ljude.

U sklopu ERASMUS programa, u studenome 2009. godine je proveo tjedan dana na stručnom usavršavanju na Blaise Pascale University, Clermont Ferrand, Francuska.

Do danas je u svojstvu autora i koautora objavio ukupno 14 znanstvenih radova na skupovima s međunarodnom recenzijom, jedan stručni rad te nekoliko stručnih elaborata.

Biography

BIOGRAPHY

Damir Čavka was born in Split on January 5th 1982. After finishing eight year elementary school in 1996, he attended science high school where he graduated in 2000. Same year he enrolls in the study of electronics at the University of Split, Faculty of electrical engineering, mechanical engineering and naval architecture. In April 2005 he graduated with honors under the supervision of Prof. Dragan Poljak, with the thesis untitled “GSM base station electromagnetic radiation measurement”. During the study he was actively involved in teaching process as a teaching assistant in several courses. Within the study, he spent five weeks in Cyprus Telecommunications Authority, Cyprus performing his professional industrial training. In October 2005 he received scholarship from British Foreign Office for a study of Environmental Electromagnetic Compatibility which was organized by Faculty of electrical engineering, mechanical engineering and naval architecture and Wessex Institute of Technology (WIT), UK. As a part of the study he spent three months at WIT performing research for Mphil thesis. In September 2007 he received MPhil degree from the University of Wales, UK with a thesis untitled “Human Exposure to Electrostatic Field Generated by Video Display Units”. The thesis was written under the supervision of Prof. Dragan Poljak and Prof. Andres Peratta. In October 2007 he entered the PhD program at the University of Split, Faculty of electrical engineering, mechanical engineering and naval architecture. Since May 2006 Damir has been employed at Faculty of electrical engineering, mechanical engineering and naval architecture as a researcher on the projects “Influence of electromagnetic interference on electrical equipment and humans“ and “Modeling of the Human Body and Radiation Sources: Environmental and Health Aspects” under the supervision of lead researcher Prof. Dragan Poljak. As a teaching assistant he is involved in several courses including Electrical Engineering Fundamentals, Numerical Methods in Electrical Engineering, Human Exposure to Electromagnetic Fields, Electromagnetic compatibility and Electromagnetic Fields and Waves. His research interests include frequency domain computational methods in electromagnetic compatibility, particularly in the numerical modeling of wire structures using antenna theory and human exposure to electromagnetic fields. In 2009 Damir visited Blaise Pascale University, Clermont Ferrand, France as a part of professional training within ERASMUS program. To date Damir Čavka has published 14 conference papers in the area of computational electromagnetic compatibility and several professional studies.

SVEU ČILIŠTE U SPLITU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, … · sveu ČiliŠte u splitu fakultet...

Documents

Transcript of SVEU ČILIŠTE U SPLITU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, … · sveu ČiliŠte u splitu fakultet...