Sussidi didattici per il corso di “Topografia”...1 Sussidi didattici per il corso di...
3
Prof. Carmelo Roma 1 Sussidi didattici per il corso di “Topografia” Esercizio sul cerchio ex-inscritto I cerchi ex-inscritti a un triangolo (ex è la contrazione del vocabolo latino extra = esterno) sono tangenti a un lato e ai prolungamenti degli altri due; si hanno perciò tre cerchi ex-inscritti in ogni triangolo. Del triangolo ABC in figura sono note le misure dei tre lati: a = 76,844 m, b = 78,789 m, c = 99,801 m. Determina la distanza tra i punti O1 e O2, rispettivamente centro del cerchio inscritto al triangolo ABC e centro del cerchio ex-inscritto relativo al lato BC = a. Soluzione Osserva che i punti A, O1 e O2 sono disposti sulla stessa retta, che coincide con la bisettrice dell’angolo , quindi: La somma delle aree dei tre triangoli che il hanno vertice comune in O1 deve essere uguale all’area complessiva del triangolo ABC. Si potrà perciò scrivere: = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 1 2 ( + + ) = 1 2 , Indicando con p (minuscolo) il semiperimetro, Z C R 2 R 1 N O 2 B a A b V O 1 c M R 1 R 1 H abbiamo che: = 1 2 2 = 1 = 1
Transcript of Sussidi didattici per il corso di “Topografia”...1 Sussidi didattici per il corso di...
Prof. Carmelo Roma
1 Sussidi didattici per il corso di “Topografia”
Esercizio sul cerchio ex-inscritto I cerchi ex-inscritti a un triangolo (ex è la contrazione del vocabolo latino extra = esterno) sono tangenti a
un lato e ai prolungamenti degli altri due; si hanno perciò tre cerchi ex-inscritti in ogni triangolo.
Del triangolo ABC in figura sono note le misure dei tre lati: a = 76,844 m, b = 78,789 m, c = 99,801
m. Determina la distanza tra i punti O1 e O2, rispettivamente centro del cerchio inscritto al
triangolo ABC e centro del cerchio ex-inscritto relativo al lato BC = a.
Soluzione
Osserva che i punti A, O1 e O2 sono disposti sulla stessa retta, che coincide con la bisettrice
dell’angolo , quindi:
La somma delle aree dei tre triangoli che il hanno vertice comune in O1 deve essere uguale all’area
complessiva del triangolo ABC. Si potrà perciò scrivere:
𝑠 =𝑎𝑅1
2 +
𝑏𝑅1
2+
𝑐𝑅1
2=
𝑅1
2 (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) =
𝑅1
2 𝑃 , Indicando con p (minuscolo) il semiperimetro,
Z
C
R2
R1
N
O2
B
a
A
b
V
O1
c
MR1
R1
H
abbiamo che:
𝑆 =𝑅1
2 2𝑝 = 𝑅1 𝑝
𝑆 = 𝑅1 𝑝
Prof. Carmelo Roma
2 Sussidi didattici per il corso di “Topografia”
Da cui possiamo ricavare il raggio utilizzando 𝑅1 con la formula di Erone:
𝑆 = 𝑅1𝑝 = √𝑝(𝑝 − 𝑎) ∙ (𝑝 − 𝑏) ∙ (𝑝 − 𝑐)
p= 𝑎
2 +
𝑏
2 +
𝑐
2 =127,717
𝑅1 = √𝑝(𝑝−𝑎)∙(𝑝−𝑏)∙(𝑝−𝑐)
𝑝=
√(127,717−76,844)∙(127,717−78,789)∙(127,717−99,801)
127,717=23,32516 m
Essendo
𝐴𝑀̅̅̅̅̅ = 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ ; 𝐵𝑁̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐻̅̅ ̅̅ ; 𝐶𝐻̅̅ ̅̅ = 𝐶𝑀̅̅̅̅̅ ;
Poiché 2𝐴𝑀̅̅̅̅̅ + 2𝐵𝑁̅̅ ̅̅ + 2𝐶𝐻̅̅ ̅̅ = 𝑃 (𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜), 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ + 𝐵𝑁̅̅ ̅̅ + 𝐶𝐻̅̅ ̅̅ = 𝑝 (𝑠𝑒𝑚𝑖𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜)
𝑝 = (76,844 + 78,789 + 99,801
2) = 127,717 𝑚
𝐴𝑀̅̅̅̅̅ = 𝑝 − (𝐵𝑁̅̅ ̅̅ + 𝐶𝐻̅̅ ̅̅ ) 𝑒𝑠𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐵𝑁̅̅ ̅̅ + 𝐶𝐻̅̅ ̅̅ = 𝑎 = 76,844 𝑚
𝑨𝑵̅̅ ̅̅ = 𝒑 − 𝒂= (𝟕𝟔,𝟖𝟒𝟒 +𝟕𝟖,𝟕𝟖𝟗 + 𝟗𝟗,𝟖𝟎𝟏
𝟐) − 𝟕𝟔, 𝟖𝟒𝟒 = 𝟓𝟎, 𝟖𝟕𝟑 𝒎
Infine considerando i triangoli AOC, COB E BOA
Possiamo ricavare: 𝑅1=𝐴𝑀 ∙̅̅ ̅̅ ̅̅ tg (𝛼
2) quindi
𝑅1=(𝑝 − 𝑎) ∙ tg (𝛼
2) ; tg (
𝛼
2) =
𝑅1
(𝑝−𝑎)
tg (𝛼
2) =
23,32516
(127,717−76,844)=
23,32516
50,873=0,458
𝛼
2= arctg(0,458)= 27, 341 gon
𝛼 = 2 ∙ 27, 341 𝑔𝑜𝑛 = 54,682 𝑔𝑜𝑛
Prof. Carmelo Roma
3 Sussidi didattici per il corso di “Topografia”
O2
ZB
C
A
V
O1
R1
N
M
a
c
b
HR2
AZ=p ( semiperimetro )
R2=ABC
p-a
S
Dai triangoli rettangoli AZO2 e ANO1:
𝐴𝑂2̅̅ ̅̅ ̅ =
𝑝
cos𝛼2
=127,717
cos 27,3682= 140,501m
𝐴𝑂1̅̅ ̅̅ ̅ =
𝑝
cos𝛼2
=50,873
cos 27,3682= 55,965m
𝑂1𝑂2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 140,501 − 55,965=84,536 m
