UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERA MECNICA Y

ELCTRICA

TESIS

Que para obtener el ttulo de: INGENIERO MECNICO ELCTRICISTA

PRESENTA: SARAH FERNNNDEZ SNCHEZ

DIRECTOR: DR. ERVIN JESS ALVAREZ SNCHEZ

XALAPA, VER. MARZO 2014

Dedicatorias: A Dios por ser mi mejor amigo, mi fortaleza, por su amor, por escucharme

y darme el entusiasmo necesario para seguir adelante con mis estudios, por

darme todo lo que tengo y nunca dejarme caer.

Al cumplir esta meta tan importante, quiero dedicar este triunfo a mis

padres Toms Fernndez Tejeda y Francisca Snchez Ortiz, las personas

ms importantes en mi vida, quienes han estado conmigo en todo momento.

Gracias por todo, por darme la mejor herencia que un hijo puede recibir

como lo es el estudio, por creer en m, los quiero y este trabajo es para

ustedes que me han dado todo, es una mnima recompensa a sus grandes

esfuerzos y sacrificios.

A mis hermanos por su cario y su apoyo brindado durante todo el tiempo,

los quiero mucho y a pesar de las diferencias que algunas veces tenemos, son

los mejores hermanos.

A mis padrinos, por estar a mi lado, brindarme sus consejos y sus palabras,

y formar parte de mis triunfos, pero sobre todo por estar junto a m en los

momentos ms difciles de mi vida.

A mis abuelitos Servando Snchez, Maurilia Ortiz y Juana Tejeda que son

parte importante en mi vida, gracias por sus consejos, por sus palabras y por

estar a mi lado siempre.

Y como olvidar a mi abuelito Don Taurino Fernndez que han sido el

motor de la familia, el mejor ejemplo en mi vida, siendo un hombre de

principios y virtudes, que nunca se dio por vencido para lograr sus

objetivos, a pesar de lo fuerte que fueran las adversidades, es por ello que a

pesar de que no est fsicamente conmigo, espiritualmente est en todo

momento.

Familia son formidables y nicos, la unidad que tenemos no es casualidad,

todas las enseanzas y ejemplos que recib de ustedes me sern tiles por el

resto de mi vida.

Mis amigos, los que han pasado y los que se han quedado, porque todos

ustedes han sido tantas veces parte aguas de mi vida, quienes han marcado

mi vida de alguna forma, en especial a mis amigos del Laboratorio de

Tribologa, con quienes eh compartido grandes momentos, que sern

inolvidables para m persona. As como a mis amigos que sin estar presentes

durante la realizacin de ste trabajo, siempre me han brindado su apoyo

incondicional.

Ustedes que han estado presentes en mi vida, logrando hacer de ella

momentos inolvidables, estando en las buenas y en las malas, acompaando

mis logros y mis fracasos, pero sobre todo, siendo parte de mis triunfos.

Los quiero y son lo mejor que me ha sucedido en la vida.

Agradecimientos:

El hombre ms sabio, no es el que ms ha creado; sino a aquel que sabe

reconocer a su prjimo, el que brinda su apoyo incondicional en su largo

sendero lleno de obstculos y virtudes, es por eso, que en esta hoja quiero

dejar impreso mis sentimientos de gratitud y estima a aquellas personas que

estuvieron compartiendo sus sabios conocimientos, compartiendo

momentos amenos o tan solo brindndome un consejo, en especial a mis

padres y a mis maestros que no midieron esfuerzo alguno, ni sacrificio para

el presente trabajo llegue a su feliz trmino.

A todos los ingenieros de la Facultad de Ingeniera Mecnica y Elctrica de

la Universidad Veracruzana, por la imparticin de sus conocimientos

durante mi tiempo de preparacin; al Laboratorio de Tribologa y al

Laboratorio de Termofluidos, lugares donde me brindaron un espacio para

realizar mi trabajo, y en especial a quien dirigi este trabajo. Muy

sinceramente y con todo el respeto que se merece por su valiosa gentileza de

brindarme todo su apoyo y confianza, de ser maestro, gua y amigo, a mi

querido Director de Tesis Dr. Ervin Jess lvarez Snchez, por sus sabios

consejos, asesora y ensea desinteresada de sus conocimientos, ya que de no

ser as, no hubiera sido posible la culminacin satisfactoria de este trabajo.

Sarah Fernndez Snchez

que el vapor, la electricidad y la energa atmica:

(Albert Einstein)

I ndice General i. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ................................................................................ 17

ii. JUSTIFICACION ..................................................................................................................... 18

iii. OBJETIVOS GENERAL ........................................................................................................ 18

ii.i OBJETIVOS ESPECFICOS ............................................................................................... 18

iv. HIPTESIS .............................................................................................................................. 18

DINMICA DEL AUTOMVIL ................................................................................................... 20

1.1 Breve historia de la suspensin automotriz y su dinmica ....................................................... 20

1.2 Elementos que conforman a un sistema de suspensin automotriz ........................................ 24

1.2.1 Elementos elsticos .......................................................................................................... 25

1.2.2 Elementos de amortiguacin............................................................................................ 28

1.2.3 Otros tipos de elementos .................................................................................................. 32

1.3 Tipos de suspensiones ............................................................................................................. 33

1.3.2 De eje rgido...................................................................................................................... 34

1.2.1 Semi-independiente .......................................................................................................... 34

1.3.3 Independiente ................................................................................................................... 35

1.5 Conclusin Captulo I ............................................................................................................... 40

MODELADO MATEMTICO ...................................................................................................... 43

2.1 Algunos modelos existentes de los sistemas de suspensin automotriz ................................. 43

2.1.1 Comportamiento dinmico de de vehculo utilizando la tcnica de Bond Graph ......... 43

2.2 El modelado matemtico ........................................................................................................ 54

2.3 Anlisis del sistema de suspensin Automotriz mediante Euler-Lagrange ............................. 58

2.4 El modelado en el espacio de estados. .................................................................................... 65

2.5 Aplicacin de Ecuaciones de Variables de Estado al Sistema Automotriz............................... 66

2.6 Conclusin Captulo II .............................................................................................................. 67

DISEO DE CONTROLADORES ................................................................................................ 70

3.1 Breve descripcin de los controladores y su diseo ................................................................ 70

3.1.1 Control proporcional (P) ................................................................................................. 71

3.1.2 Control Integral (I) ........................................................................................................... 72

3.1.3 Control Derivativo (D) ..................................................................................................... 73

3.2 Combinaciones de los controles .............................................................................................. 73

3.2.1 Control proporcional-integral (PI) ................................................................................. 74

3.2.2 Control proporcional-derivativo (PD) ............................................................................ 74

3.2.3 Control proporcional-integral-derivativo (PID) ............................................................. 75

3.3 Diseo del controlador para el Sistema Automotriz ............................................................... 76

3.4 Conclusin Capitulo III ............................................................................................................. 80

SIMULACIONES ............................................................................................................................. 82

4.1 Simulaciones del sistema sin controlador ............................................................................... 83

4.4 Simulaciones del sistema con controlador .............................................................................. 87

4.5 Concusin Captulo IV .............................................................................................................. 96

CONCLUSIONES ........................................................................................................................... 98

BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................ 102

I ndice de Figuras

Figura 1.1.- Oscilaciones en el automvil (Mecnica Virtual) ........................................................................ 22

Figura 1.2 Cuarta parte del sistema de suspensin automotriz (Mecnica Virtual) ........................................ 24

Figura 1.3 Resortes o muelles helicoidales ...................................................................................................... 25

Figura 1.4 Ballesta ........................................................................................................................................... 26

Figura 1.5 Barra de torsin ............................................................................................................................ 27

Figura 1.6 Amortiguador hidrulico (Urbieta) ................................................................................................ 28 Figura 1.7 a) Flujo de aceite a travs del paso permanente b)Flujo de aceite a travs de las vlvulas de

apertura por presin (Urbieta) ........................................................................................................................ 30

Figura 1.8 Amortiguador de gas (Urbieta) ...................................................................................................... 31

Figura 1.9 Principio de funcionamiento de la barra estabilizadora (Mula Vivero, 2009) .............................. 32

Figura 1.10 Conjunto Barra estabilizadora Suspensin (Mecnica Virtual)................................................ 33

Figura 1.11 Suspensin rgida (Mecnica Virtual). ......................................................................................... 34

Figura 1.12 Suspensin semi-independiente- Esquema de una suspensin De Dion (Mecnica Virtual). ...... 35

Figura 1.13 Suspensin independiente (Mecnica Virtual) ............................................................................. 35

Figura 1.14 Esquema de una suspensin de eje oscilante (Mecnica Virtual) ................................................ 37

Figura 1.15 Suspensin de brazos tirados (Mecnica Virtual) ........................................................................ 37

Figura 1.16 Esquema de un sistema de suspensin McPherson (AutoCosmos.com) ....................................... 38

Figura 1.17 Suspensin de paralelogramo deformable (PuroTuning.com) ..................................................... 39

Figura 1.18 Esquema de una suspensin multibrazo delantera (Mecnica Virtual) ....................................... 40

Figura 2.1 Modelo aproximado del sistema. .................................................................................................... 44

Figura 2.2 Modelo de la rueda. ........................................................................................................................ 44

Figura 2.3 Modelo de la suspensin. ............................................................................................................... 45

Figura 2.4 Diagrama Bond Graph de la rueda. .............................................................................................. 45

Figura 2.5 Diagrama Bond Graph de la suspensin y el chasis. ..................................................................... 45

Figura 2.6 Diagrama Bond Graph y sus ecuaciones. ...................................................................................... 47

Figura 2.7 Bond Graph resumen de flujos y esfuerzos. .................................................................................... 48

Figura 2.9 Bond Graph de cuarto de vehculo considerando ngulo de cada. ............................................... 50

Figura 2.10 Representacin del sistema de suspensin a analizar .................................................................. 59

Figura 4.1 Entorno del software Simnon. A) sin control. B) con control. ........................................................ 83

Figura 4.2 Desplazamiento de la perturbacin al sistema ............................................................................... 84

Figura 4.3 Comportamiento de la masa no suspendida. .................................................................................. 85

Figura 4.5 Desplazamiento de la masa suspendida ......................................................................................... 86

Figura 4.6 Aceleracin de la masa suspendida ................................................................................................ 87

Figura 4.7 Desplazamiento de la perturbacin ................................................................................................ 92

Figura 4.8 Desplazamiento de la masa no suspendida .................................................................................... 93

Figura 4.9 Comparacin de los desplazamientos ............................................................................................ 94

Figura 4.10 Desplazamiento de la masa suspendida ....................................................................................... 94

Figura 4.11 Aceleracin que presenta la masa suspendida ............................................................................. 95 Figura 4.12 Comparacin de la respuesta en el desplazamiento(antes y despus) de la aplicacin del

controlador ....................................................................................................................................................... 99

Figura 4.13 Comparacin de la respuesta en la aceleracin (antes y despus) de la aplicacin del

controlador ....................................................................................................................................................... 99

Introduccin

INTRODUCCIN

Como se sabe los automviles son mquinas complejas que estn en constante desarrollo,

diseados para el uso en carreteras, existe un gran nmero de fabricantes, marcas y modelos

en la actualidad.

Los automviles, tienen sus orgenes a principios de 1800, a partir de entonces han sufrido

grandes modificaciones e innovaciones en los sistemas que lo componen. Y deben enfrentar

dos desafos fundamentales:

1) Aumentar la seguridad de los ocupantes para reducir as el nmero de vctimas de

los accidentes de trfico.

2) Aumentar su eficiencia para reducir el consumo de recursos y la contaminacin.

Si bien en un principio no se tena un mtodo definido para afrontar los desafos

mencionados, eventualmente con el avance de la ciencia se comenzaron a emplear modelos

matemticos y posteriormente simulaciones por computadora.

Los modelos matemticos tienen gran importancia en el desarrollo de sistemas complejos.

En este trabajo se hace el modelado de un sistema de suspensin automotriz, abarca tanto

aspectos cinemticos como dinmicos. Se involucra tambin el anlisis del modelado que

describe al sistema, para realizar el diseo de un sistema de control que reduzca las

oscilaciones y por consecuente las vibraciones generadas por la interaccin del sistema con

el terreno, con el cual se tiene contacto, debido a que las vibraciones son dainas para la

vida til de los elementos que conforman al vehculo, as como para los pasajeros en

trminos de seguridad y confort.

La intencin de la generacin de este controlador es proporcionar una mayor seguridad en

el pasajero y as mismo que los automviles tengan una mejor condicin de operacin

como son: estabilidad y confort, para lo cual los vehculos actualmente cuentan con un

sistemas de suspensin, que permite reducir los efectos que se tienen por las irregularidades

del terreno, el objetivo de este sistema es evitar la trasmisin de oscilaciones hacia los

pasajeros.

El anlisis se realiza basado en la simulacin del comportamiento utilizando la plataforma

Simnon la cual permite la ejecucin de simulaciones y posteriormente el estudio del

comportamiento del vehculo.

La simulacin por computadora comenz a mediados de los aos setenta. Durante este

periodo su desarrollo y aplicacin fueron liderados por los procesos de investigacin en

ingeniera aeronutica; en esta rea del conocimiento trabajaron los pioneros en el

desarrollo y mejora de los mtodos de anlisis numricos. Es una tcnica numrica para

conducir experimentos en una computadora digital. Estos experimentos comprenden ciertos

tipos de relaciones matemticas y lgicas, las cuales son necesarias para describir el

comportamiento y la estructura de sistemas complejos del mundo real a travs de largos

periodos de tiempo.

Para llevar a cabo una simulacin se requieren tres componentes bsicos (Julio Enrique

Duarte, 2005):

La base terica que permite formular el problema por resolver en funcin de

modelos que permitan hacer un anlisis matemtico y entender el problema desde

una perspectiva abstracta. En modelos reales, este componente dejar observar

aspectos cuantitativos del problema pero difcilmente, excepto en casos sencillos. Es

por esto que las herramientas de clculo numrico son de gran ayuda.

Los algoritmos que facilitan desarrollar una secuencia de pasos lgicos que sern

ejecutados por la computadora para la solucin del modelo y el estudio ms

minucioso del problema.

El conocimiento de lenguajes y tcnicas de programacin permitirn efectuar las

simulaciones y, a partir de sus resultados, iniciar un proceso iterativo para

perfeccionar el modelo a medida que se descubren nuevos aspectos del problema

real.

La importancia de la simulacin en la Ingeniera es que a travs de un estudio de

simulacin, se puede estudiar el efecto de cambios internos y externos del sistema, al hacer

alteraciones en el modelo del sistema y observando los efectos de esas alteraciones en el

comportamiento del mismo. Una observacin detallada del sistema que se est simulando

puede conducir a un mejor entendimiento del sistema y por consiguiente a sugerir

estrategias que mejoren la operacin y eficiencia del sistema.

La simulacin de sistemas complejos puede ayudar a entender mejor la operacin del

sistema, a detectar las variables ms importantes que interactan en el sistema y a entender

mejor las interrelaciones entre estas variables. La tcnica de simulacin puede ser utilizada

para experimentar con nuevas situaciones, sobre las cuales tiene poca o ninguna

informacin. A travs de esta experimentacin se puede anticipar mejor a posibles

resultados no previstos.

En el rea de control automtico integra la simulacin digital como una herramienta

poderosa para el estudio del comportamiento dinmico de los sistemas tanto en el dominio

del tiempo como en la frecuencia, para la optimizacin de controladores, el diseo de

compensadores, etc. La necesidad de herramientas de simulacin en esta rea ha originado

el desarrollo de software, como por ejemplo SIMNON. La simulacin puede entenderse

como la utilizacin del computador para la reproduccin aproximada y el estudio de un

fenmeno (fsico, qumico, biolgico, econmico, psicolgico, sociolgico, etc.) (Wachuka,

1994)

Las simulaciones o prcticas virtuales, tradicionalmente se utilizan como alternativa en

casos de que algunas prcticas requieran instalaciones muy costosas o con un grado de

peligrosidad determinado. En la actualidad los softwares disponibles, as como los

ambientes amistosos y comprensibles logrados y la obtencin de informacin con un grado

de confiabilidad adecuado, han hecho posible las disciplinas como el control automtico.

Las reas de aplicacin de la simulacin son muy amplias, numerosas y diversas, la

simulacin se utiliza en la etapa de diseo para auxiliar en el logro o mejoramiento de un

proceso o diseo o bien a un sistema ya existente para explorar algunas modificaciones.

Las simulaciones se hacen con el propsito de obtener el mayor conocimiento posible sobre

un proceso o sistema, empleando un modelo matemtico que rena las principales variables

que intervienen en l, resuelto por la computadora.

Como cualquier mtodo, tiene ventajas y desventajas (Julio Enrique Duarte, 2005)

Las ventajas de las simulaciones son:

Permite el estudio del sistema completo, independientemente de su complejidad, sin

necesidad de disponer de los componentes fsicos.

Permite el modelado fsico completo; es decir, pueden estudiarse fenmenos

trmicos, mecnicos, electromagnticos y fludicos.

Permite hacer el anlisis de efectos acoplados, as como estudios de no linealidad.

Permite realizar anlisis de sensibilidad, es decir, estudio el efecto de pequeas

variaciones de los parmetros y propiedades de los materiales sobre el

comportamiento del sistema.

Posibilidad la optimizacin de los parmetros de diseo y rendimiento del sistema,

con base en los criterios de diseo establecidos.

Permite el estudio de variaciones probabilsticas y estadsticas del diseo.

El grado de automatismo de los programas es cada da mayor, minimizando la

intervencin del usuario. Adems permite la interface con otros programas.

La presentacin grfica de los resultados facilita bastante la comprensin del

problema y la optimizacin del objeto de estudio.

Todo lo anterior unido al bajo costo de los programas y equipos de cmputo requeridos,

convierte a las herramientas de simulacin en elementos indispensables para la

investigacin y desarrollo de soluciones novedosas en temticas interdisciplinarias, en las

cuales sera muy fcil trabajar de otra manera.

Pase a las grandes bondades de la simulacin, esta debe emplearse con precaucin, dado

que presenta limitaciones propias de la metodologa en la cual est basada. Como

principales desventajas pueden citarse las siguientes:

La solucin del problema implica elaborar un modelo simplificado en el cual

pueden omitirse variables simplificado en el cual pueden omitirse variables y

parmetros importantes a la hora de evaluar el comportamiento global del sistema.

El resultado de una simulacin es una aproximacin a la realidad, sin embargo, la

btendr al comparar sus resultados

con los del sistema o proceso real.

Cuando la simulacin no ha sido bien estructurada, puede convertirse en un proceso

lento y costoso.

Para ser competitivos en cualquier rea de la ciencia y la tecnologa de hoy es indispensable

incorporar, adoptar y adaptar las metodologas de simulaciones por computadora al campo

especifico de trabajo, con el propsito de obtener un mejor rendimiento en el desarrollo

profesional. No obstante, es necesario ser cuidadosos en el uso y evaluacin de los

resultados de las simulaciones, pues si bien los programas disponibles en la actualidad son

problemas que plantean los avances tecnolgicos en fsica e ingeniera. (Julio Enrique

Duarte, 2005)

En el Captulo I, se describe la dinmica general sobre el comportamiento que presenta un

automvil, as tambin los componentes que conforman el sistema de suspensin, y la

clasificacin de las misma de acuerdo al comportamiento que tenga cada uno de sus

elementos.

En el Captulo II, habla una breve historia sobre el modelado matemtico. Tambin se

explica la obtencin del modelo matemtico que rige al sistema se suspensin mediante el

mtodo de Euler-Lagrange, para posteriormente implementar el anlisis mediante

ecuaciones con variables de estado.

En el Captulo III, en un inicio se hace la descripcin de los controladores, as tambin la

clasificacin de los mismos. Para posteriormente realizar el anlisis del modelo matemtico

estableci en el Captulo II, y realizar el diseo del controlador que servir para reducir las

oscilaciones dentro del sistema, que es la finalidad de este trabajo.

En el Captulo IV nos habla en un principio sobre las plataformas que se utilizarn para

realizar las simulaciones, en este caso SIMNON. Un software que puede ser usado para los

algoritmos de control complejos, para los modelos financieros, dinmica del robot. Cada

sistema, que se puede definir en trminos matemticos, tambin se puede simular en

SIMNON. Miles de personas de todo el mundo estn utilizando SIMNON como una

herramienta eficaz para simular procesos y productos. Universidades y centros de

investigacin en ms de 40 pases han encontrado SIMNON ser un gran programa para la

simulacin interactiva. (Software informer)

SIMNON es un programa que resuelve ecuaciones diferenciales y en diferencias en forma

numrica. Por tanto es capaz de simular el comportamiento de sistemas continuos

representados mediante ecuaciones diferenciales, as como sistemas discretos representados

mediante ecuaciones en diferencias. Puede tambin ser utilizado para simular sistemas

compuestos, esto es, formados por subsistemas, que en general pueden ser de distinta

naturaleza. Este tipo de sistemas son un comn ejemplo de aquellos encontrados en la

Ingeniera de Control. El simulador SIMNON ha sido utilizado para apoyo en educacin e

investigacin en disciplinas como el Control Automtico, Biologa, Ingeniera Qumica,

Economa, Ingeniera Elctrica, etc. Tambin SIMNON ha sido utilizado en la industria

para la Simulacin de Sistemas de Control. (Scribd)

i. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Los automviles hoy en da, presentan la problemtica de trasmitir las vibraciones de las

perturbaciones que recibe del terreno por donde circula, mediante el sistema de suspensin.

Por ello, en este trabajo se realiza el diseo de un controlador para evitar la transmisin de

las vibraciones de la suspensin, hacia los ocupantes del vehculo, ya que stas ocasionan

poco confort y seguridad.

ii. JUSTIFICACION

El controlador a disear, ser capaz de evitar que se transmitan las vibraciones de las

perturbaciones que presenta la superficie del terreno, a los ocupantes de los vehculos. Para

aumentar el nivel de confort y la seguridad en los automviles.

iii. OBJETIVOS GENERAL

Analizar la dinmica de un cuarto del sistema de suspensin de un automvil, sometido a

ciertos tipos de variaciones del camino, con la finalidad de disear un controlador que

permitan mejorar el nivel de confort y seguridad en los pasajeros, evitando la trasmisin de

las vibraciones hacia los ocupantes del vehculo.

ii.i OBJETIVOS ESPECFICOS

Realizar la investigacin sobre los sistemas matemticos que modelen el

comportamiento de un sistema masa-resorte-amortiguador.

Matemticamente analizar el comportamiento de un sistema de suspensin

automotriz.

Disear un control mediante el modelado matemtico, para reducir las vibraciones

en un sistema de suspensin automotriz.

iv. HIPTESIS

El diseo de un controlador, para que absorba las vibraciones y permita al vehculo

aumentar el nivel de seguridad y confort, as los ocupantes del vehculo no se vean

afectados por las vibraciones que se transmiten del terreno hacia los componentes del

automvil que estn en contacto directo con los pasajeros.

Captulo I

DINMICA DEL AUTOMVIL

En este captulo se aborda, el anlisis de la dinmica del automvil, de forma terica.

Tambin se realiza la descripcin de las partes fundamentales de un sistema de suspensin

automotriz, como son elementos elsticos y elementos de amortiguamiento. Adems se

describen los tipos de suspensiones existentes, como son de eje rgido, semi-rgido e

independiente.

1.1 Breve historia de la suspensin automotriz y su dinmica

La historia de los mecanismos de suspensin se remota a las antiguas civilizaciones, ya en

tiempos egipcios y romanos se utilizaban en carruajes tirados por caballos con el fin de

hacer los viajes ms suaves para sus pasajeros. Quizs la descripcin ms antigua de un

mecanismo de suspensin es la que se refiere al Pilentum, un antiguo coche romano. En el

que se utilizaron barras elsticas de madera entre el carro y las ruedas para hacer un viaje

ms suave (Mula Vivero, 2009).

Estas barras elsticas de madera con los antiguos antecesores de los actuales resortes planos

que se utilizan an ahora en

muchos automviles. En 1804, en Londrs, Obadiah Elliott Patent el primer sistema

moderno de resortes planos de metal (el as llamado resorte elptico). El diseo de Elliott

consista en varias placas de acero de distinto largo, apiladas unas sobre otras atornilladas.

Estas barras, se una luego mediante dos piezas metlicas en forma de U, una al carruaje y

la otra al eje de la rueda (Mula Vivero, 2009).

Con la invencin de los automviles en la segunda mitad del siglo XX, surgi la necesidad

de mejores sistemas de suspensin. En 1898 el ciclista francs J. M. M. Truffault,

construy el primer amortiguador, que utiliz para bicicletas de carreras. (Mula Vivero,

2009)

La dinmica del automvil tiene sus inicios en trabajos de grandes cientficos de los ltimos

cuatro siglos, estableciendo la metodologa de los sistemas dinmicos. El desarrollo de la

dinmica del vehculo se ha movido hacia el modelado, anlisis y la optimizacin (Mula

Vivero, 2009).

La dinmica de vehculos se basa en el estudio del comportamiento y movimiento del

automvil as como las fuerzas que lo determinan (MotorGiga). Es considerada como una

parte principal de la ingeniera basada en mecnica clsica, involucrando diversas reas

como mecnica de fluidos, ingeniera elctrica, teora de control, por mencionar algunas.

El vehculo es un cuerpo que se encuentra sujeto a las leyes de la mecnica, por lo que el

movimiento de un automvil est determinado mediante las fuerzas externas que se ejercen

sobre l, se dan por el aire y por el terreno o la superficie por la cual circula.

El comportamiento dinmico de los automviles puede ser analizado realizando una

analoga simple sistema de masas, con diferentes grados de libertad, lo que incrementa la

complejidad del anlisis del sistema. Este anlisis permite conocer el sistema y con ende

establecer un modelo matemtico mediante el cual se disee un sistema de control que nos

permita reducir las vibraciones en la carrocera e incrementar el confort y la seguridad de

los ocupantes del vehculo.

El sistema de suspensin tiene dos funciones en los automviles: una de seguridad, cuyo

objetivo es mantener constante el contacto de las cuatro ruedas con el suelo o, lo que es lo

mismo, evitar que las ruedas sufran aceleraciones verticales mayores que el valor de la

gravedad y otra de comodidad, que consiste en frenar y amortiguar las vibraciones de la

carrocera debidas a la irregularidades del terreno, para confort del conductor y los dems

ocupantes del vehculo.

Sin embargo existen los sistemas de suspensin de dureza variable, las tienen un

microprocesador que controla el nivel donde actan los amortiguadores, adaptando la

suspensin al terreno por donde circula y a la carga del vehculo; de esta manera, se ofrece

en cada situacin particular la mxima seguridad conjugada con el confort mximo. (Mart,

2000)

Cuando el vehculo circula por un terreno irregular, las ruedas estn sometidas a una serie

de impactos o perturbaciones que se transmiten a la carrocera a travs de los elementos de

unin. Si el terreno tiene pequeas irregularidades, ests son absorbidas por la elasticidad

de los neumticos. Cuando las irregularidades son grandes, los impactos producidos seran

sentidos por los ocupantes del vehculo, de no absorberse en la suspensin.

Una mala conduccin o un mal reparto de las cargas pueden tambin originar

"oscilaciones". Estos movimientos se generan en el centro de gravedad del vehculo y se

propagan en distintos sentidos. Los tres tipos de oscilaciones existentes son los que se

observan en la figura 1.1 (Mecnica Virtual):

Figura 1.1.- Oscilaciones en el automvil (Mecnica Virtual)

Empuje: se produce al pasar por terreno ondulado.

Cabeceo: debido a las frenadas bruscas.

Balanceo: se genera al tomar curvas a alta velocidad.

El comportamiento del vehculo est determinado en gran medida por el tipo de suspensin

que lleve. Sin embargo, el peso en los vehculos automovilsticos se descompone en dos

partes denominadas:

Masa suspendida: la integrada por todos los elementos cuyo peso es soportado por

el bastidor o chasis (Carrocera, motor, etc.).

Masa no suspendida: constituida por el resto de los componentes (sistemas de

frenos, llantas, etc.).

La unin entre ambas masas es mediante la suspensin. El sistema est compuesto por un

elemento elstico (que bien puede ser una ballesta, muelle helicoidal, barra de torsin,

estabilizador, muelle de goma, gas, aire, etc.) y otro de amortiguacin (amortiguador en

cualquiera de sus variantes), cuya misin es reducir las oscilaciones de la masa suspendida

originadas por el elemento elstico al adaptarse a las irregularidades del terreno

transformando la energa que almacena el resorte en calor. (Urbieta)

Debido a las dos partes en las que se divide la masa de un automvil, es necesario conocer

los elementos que conforman el sistema de suspensin. Los cuales se dividen en dos

categoras principales, elementos elsticos y elementos de amortiguacin.

Sin embargo, el establecimiento de las fuerzas que estn involucradas, en el sistema de

suspensin automotriz, de debido a que cuenta con elementos elsticos (resorte) y de

amortiguamiento (amortiguador).

La fuerza en el resorte se encuentra dad, por la relacin proporcional de la constante de

rigidez y el posicionamiento del mismo.

(1.1)

Siendo:

En cambio, la fuerza que sea ejercida por un amortiguador, se encuentra relacionando

proporcionalmente la constante de amortiguamiento del mismo, con la velocidad que sufre

el amortiguador al realizar el desplazamiento.

(1.2)

Dnde:

Ahora bien, la descripcin de cada uno de los elementos que conforman la suspensin, ya

sean elsticos o de amortiguamiento, se describen en la seccin 1.2

1.2 Elementos que conforman a un sistema de suspensin

automotriz

Dentro del sistema de suspensin automotriz existen diversos elementos que la conforman

(Ver figura 1.2).

Figura 1.2 Cuarta parte del sistema de suspensin automotriz (Mecnica Virtual)

Cada uno de los elementos, como en cualquier sistema, tiene una funcin especfica, los

cuales se describen a continuacin.

1.2.1 Elementos elsticos

Son los elementos encargados de almacenar la energa cintica que posee la masa no

suspendida con respecto a la suspendida.

Los muelles proporcionan elasticidad o movimiento hacia arriba o hacia abajo entre las

ruedas y la carrocera. Los diseos de muelles pueden ser de lminas (ballestas),

helicoidales (resortes) o barras de torsin. (ITA, Informacin Tcnica Automotriz, 2012)

Por ello, es necesario conocer sobre los resortes o muelles de forma, un poco ms detallada.

Resorte o Muelle:

Los resortes o muelles, se acta mediante la compresin que sufre, generando un

movimiento oscilatorio que asegura el confort y la seguridad de los tripulantes del vehculo.

Este movimiento es aplicable para cualquier tipo de resorte pudiendo ser helicoidales (de

tipo espiral, Ver figura 1.3) o de flejes (tipo ballestas. Ver figura 1.4).

Figura 1.3 Resortes o muelles helicoidales

Los helicoidales son un tramo de barra de acero para resortes con forma redonda que est

enrollado en forma de espiral. El dimetro y la longitud del alambre determinan la

resistencia de un resorte. Un aumento en el dimetro del alambre producir un resorte ms

fuerte, mientras que un aumento en su longitud lo har ms flexible.

Algunos resortes espirales estn hechos con una resistencia variable, estos ofrecen una

suspensin ms suave, y una tasa de resorte ms alta en condiciones con carga, lo cual

produce ms soporte y control.

Los muelles helicoidales o resortes, se utilizan modernamente en casi todos los vehculos

en sustitucin de las ballestas, debido a que tienen la ventaja de conseguir una elasticidad

blanda debido al gran recorrido del resorte sin apenas ocupar espacio ni incrementar el

peso. Debido a que los resortes espirales convencionales no desarrollan friccin entre las

lminas, proporcionan una suspensin ms suave.

En cambio, las ballestas estn constituidas por un conjunto de hojas o lminas de acero

especial para muelles, unidas mediante abrazaderas que permiten el deslizamiento entre las

hojas, dependiendo de la deformacin que sufran por el peso al que se encuentren

sometidas.

Figura 1.4 Ballesta

Los resortes de lminas o ballestas se disean de dos maneras: multilmina y monolmina.

El resorte multilmina est hecho con varios platos de acero de diferentes longitudes

apilados unos sobre otros. Durante el funcionamiento normal, el resorte se comprime para

absorber los impactos de la carretera. Los resortes de lminas se arquean y se deslizan unos

sobre otros, permitiendo el movimiento de la suspensin.

Un ejemplo de un resorte monolmina es el resorte de lmina cnica. La lmina es gruesa

en el centro y se conifica hacia los dos extremos. Muchos de estos resortes de lminas estn

hechos con un material compuesto, mientras que otros estn hechos de acero.

En la mayora de los casos, los resortes de lminas se utilizan en parejas, montados

transversalmente (de lado a lado). (MONROE)

An hoy en da se siguen empleando ballestas, pero como elemento elstico en conjuncin

con modernos amortiguadores telescpicos. Su uso se restringe a vehculos pesados como

camiones, camionetas, todo terreno e incluso algn deportivo de renombre como el

Chevrolet Corvette. Pero como se mencion en un principio existen 3 elementos que

conforman los elementos elsticos, por ltimo se describir la barra de torsin.

La barra de torsin (Ver figura 1.5) es una barra de acero para resortes, recta o con forma

de L. La mayora de las barras de torsin son longitudinales, se montan slidamente en el

bastidor en un extremo y se conectan a una pieza mvil de la suspensin en el otro extremo.

Las barras de torsin tambin se pueden montar transversalmente. Durante el movimiento

de la suspensin, la barra de torsin experimentar una torsin, proporcionando una accin

de resorte. (MONROE)

Figura 1.5 Barra de torsin

Sin embargo existen otros tipos de componentes como son los tensores y estos sirven como

componentes de apoyo. Los tensores son en forma triangular, tambin conocidos como

tringulos inferior o superior dependiendo de la ubicacin que tengan en el sistema, estos

son los soportes de los resortes y de los amortiguadores, fijando todo al vehculo

automotor, evitando movimientos y el cambio de posiciones de estos dentro del sistema.

Considerando que los tringulos tensores, son los soportes de los amortiguadores, y a su

vez, los amortiguadores son los que amortiguando las oscilaciones del rebote de los

muelles, es necesario conocer de forma especfica, cuales son los elementos que forman

parte de la amortiguacin del vehculo.

1.2.2 Elementos de amortiguacin

Los elementos de amortiguacin son los encargados de devolver al resorte su posicin de

equilibrio en el mnimo tiempo posible, absorbiendo la energa cintica transmitida al

sistema. El principal componente de amortiguacin es el amortiguador.

Amortiguador:

Los Amortiguadores (ver figura 1.6), son los elementos encargados de absorber las

vibraciones de los elementos elsticos (muelles, ballestas, barras de torsin), convirtiendo

en calor la energa generada por las oscilaciones. (Urbieta)

Figura 1.6 Amortiguador hidrulico (Urbieta)

La energa absorbida por las perturbaciones del terreno, se transmite en forma de vibracin,

estas perturbaciones son las que debe frenar el amortiguador, el efecto de compresin y

luego la reaccin del muelle acta en el frenado de la transmisin de las vibraciones,

frenando en ambos sentidos (Urbieta).

Los amortiguadores pueden ser "fijos" o "regulables". Los primeros tienen siempre la

misma resistencia y los segundos presentan una rosca que permite disminuir o aumentar el

dimetro del agujero por medio del cual fluye el aceite y puede variar dentro de unos

rangos pre-establecidos por fabricacin (Tipos de.org). En los modelos ms modernos esta

regulacin se puede hacer incluso desde el interior del vehculo.

La mayora de los amortiguadores funcionan con un fluido hidrulico, tienen incluido un

resorte en su interior, y cuando se genera una presin dentro de una cmara de aceite, el

cual se hace circular por vlvulas y orificios, impidiendo el cambio de posicin del resorte,

evitando as que ste vuelva a su posicin inicial. Y con ellos reduciendo las oscilaciones,

que se puedan generar.

Existen varios tipos de amortiguadores, entre los cuales podemos encontrar:

Amortiguador hidrulico telescpico

Amortiguador de gas

Debido a que el amortiguador hidrulico telescpico es el ms comn y obliga a frenar el

movimiento oscilante que se transmite hacia el automvil. El amortiguador de gas, porque

es que produce mayor confort.

Actualmente y desde hace unos aos atrs se ha impuesto en la industria el uso de los

amortiguadores hidrulicos. En estos, la fuerza amortiguadora es funcin creciente con la

velocidad.

Bsicamente, los amortiguadores hidrulicos telescpicos constan de un pistn que trabaja

dentro de un cilindro en el que hay aceite. Sobre el pistn existen una serie de orificios y

unas vlvulas pre-comprimidas que permiten el paso de aceite de una parte a otra del pistn

cuando la presin es superada. Los orificios representan el paso permanente y las vlvulas

el paso de apertura por presin respectivamente (Urbieta).

a) b)

Figura 1.7 a) Flujo de aceite a travs del paso permanente b)Flujo de aceite a travs de

las vlvulas de apertura por presin (Urbieta)

En cambio los amortiguadores de gas (Ver figura 1.8), trabajan bajo el mismo principio

bsico que los hidrulicos, pero contienen en uno de sus extremos nitrgeno a alta presin

(aproximadamente 25 bares) (Urbieta).

Un pistn flotante separa este gas del aceite impidiendo que se mezclen. Cuando el aceite,

al desplazarse el vstago, comprime el gas, este sufre una variacin de volumen que

permite dar una respuesta instantnea y un funcionamiento silencioso. Los amortiguadores

de gas adems de amortiguar tambin hacen en cierto modo de resorte elstico, es por ello

que este tipo de amortiguadores vuelven a su posicin cuando se deja de actuar sobre ellos

(Urbieta).

Figura 1.8 Amortiguador de gas (Urbieta)

Existen dos tipos de amortiguadores de gas, los no regulables y los regulables.

Los amortiguadores no regulables suelen ser amortiguadores monotubo o bitubo, muy

resistentes a golpes, de alta duracin y de alta resistencia a la prdida de eficacia por la

temperatura de trabajo. Aunque el precio es mayor, se ve compensado por su durabilidad y

fiabilidad. Es un tipo de amortiguador de muy alta calidad. Su uso es ciertamente

recomendable para los vehculos de altas prestaciones.

Por el contrario los amortiguadores regulables son amortiguadores monotubo, con o sin

botella exterior, con posibilidad de variacin de tarados. Es un tipo de amortiguador de alta

tecnologa, con precio alto pero proporcional a su eficacia, por eso es el ms usado en

conduccin deportiva, en los vehculos de competicin y de altas prestaciones.

Sin embargo, los amortiguadores no son los nicos elementos que ayudan a la

amortiguacin de las oscilaciones transmitidas por las perturbaciones del terreno, tambin

existen otros elementos como es la barra estabilizadora.

1.2.3 Otros tipos de elementos

La barra estabilizadora tambin es conocida como Palier de la transmisin, cuya funcin es

reducir las oscilaciones del vehculo durante la trayectoria que transite en las curvas que se

puedan presentar en el terreno, absorbiendo con ello el movimiento del automvil. En ella

actan una fuerza centrfuga que hace que el chasis se role hacia el lado de afuera de la

curva, regulando con ello la estabilidad del sistema.

Las barras estabilizadoras (figura 1.9), se montan sobre los ejes delantero y trasero, y

consisten esencialmente en una barra de acero cuyos extremos se fijan a los soportes de

suspensin de las ruedas. De esta forma al tomar la curva, como una de las ruedas tiende a

bajar y la otra a subir, se crea un par de torsin en la barra que absorbe el esfuerzo y se

opone a que esto ocurra. As, impide que se incline a un lado, mantenindolo estable (Mula

Vivero, 2009).

Figura 1.9 Principio de funcionamiento de la barra estabilizadora (Mula Vivero, 2009)

Un efecto muy similar se produce cuando una de las ruedas se encuentra con un bache u

obstculo, una tienen a subir o bajar, generando un el par de torsin en la barra que

mantiene al vehculo en la posicin horizontal.

Figura 1.10 Conjunto Barra estabilizadora Suspensin (Mecnica Virtual)

1.3 Tipos de suspensiones

Existen diversos tipos de suspensiones, esta clasificacin se da de acuerdo a la forma y el

montaje de los elementos, de acuerdo al funcionamiento de todos ellos, en el sistema.

En la actualidad existen diversas disposiciones de suspensin, esto depende el

comportamiento que se busca tener en el vehculo, pudiendo ser estos, mayores

prestaciones, ms comodidad, sencillez y economa, por ejemplo.

Las suspensiones pueden ser del tipo independiente, semi-independiente y de eje rgido.

Cada una de ellas se puede diferenciar en la estabilidad o rigidez con la que se comportan,

de acuerdo a fuerzas externas que influyen sobre ellas.

Direccin de Cremallera

Eje palier

Barra estabilizadora

1.3.2 De eje rgido

Las suspensiones de eje rgido, es donde todos los movimientos de la rueda se trasmiten a

la otra. Debido a que se encuentran interconectadas mediante el eje. Y si una de las ruedas

se mueve hacia abajo la otra tiende a moverse hacia abajo, o a la inversa, pero siempre una

en sentido contrario de la otra (Ver figura 1.11) (Mecnica Virtual).

El montaje de este tipo se sistema de suspensin es muy resistente y ms econmico de

fabricar, pero tiene la desventaja de ser poco cmodo para los pasajeros y con consecuencia

una menor seguridad (Mecnica Virtual).

Figura 1.11 Suspensin rgida (Mecnica Virtual) .

1.2.1 Semi-independiente

En las suspensiones semi-independientes, la parte de los movimientos se traspasan de una

rueda a otra. Este tipo de suspensin tiende a ser utilizado principalmente en los vehculos

de traccin delantera. El movimiento generado puede transmitirse mediante una accin de

torsin al eje slido que genera la conexin del sistema (Mecnica Virtual).

Este tipo de suspensiones son muy parecidas a los sistemas de eje rgido. Ya que, las ruedas

estn unidas entre s como en el eje rgido, pero su diferencia principal es que transmiten de

una forma parcial las oscilaciones que reciben de las irregularidades del terreno. En

cualquier caso, aunque la suspensin no es rgida total, tampoco es independiente. La

funcin motriz se separa de la funcin de suspensin y de guiado (Mecnica Virtual).

Figura 1.12 Suspensin semi-independiente- Esquema de una suspensin De Dion

(Mecnica Virtual).

1.3.3 Independiente

Las suspensiones independientes. Permiten que cada rueda asimile ondulaciones o

accidentes del piso sin transferirlas a las otras. Debido a que cada una de las ruedas del

vehculo se encuentran en forma separada de las otras, lo cual permite que cada una de las

ruedas del automvil se mueva hacia arriba o hacia abajo sin afectar a la que se encuentra

localizada al lado opuesto (Mecnica Virtual).

Figura 1.13 Suspensin independiente (Mecnica Virtual)

En un principio el tipo se suspensin ms utilizado en los vehculos era el de eje rgido,

pero con el transcurso del tiempo, los automviles modernos o de la actualidad manejan

suspensiones totalmente independientes, para evitar la unin rgida entre las ruedas, sin

importar que sean del mismo eje.

Actualmente, el nmero de modelos de suspensin independiente es muy amplio y adems

posee numerosas variantes. Los principales tipos de suspensin de tipo independiente son

(Mecnica Virtual):

in multibrazo (multilink).

1.3.3.1 De eje oscilante

Las suspensiones de eje oscilante, poseen un elemento de rodadura y un semieje, que son

solidarios, de tal forma que el conjunto oscila alrededor de una articulacin que se

encuentra prxima al plano medio longitudinal del vehculo. Este tipo de suspensin no se

puede usar como eje directriz debido a que en el movimiento oscilatorio de los semiejes se

altera a gran medida la cada de las ruedas en las curvas. El conjunto de muelle-

amortiguador sirve para completar el sistema de suspensin (Mecnica Virtual).

Figura 1.14 Esquema de una suspensin de eje oscilante (Mecnica Virtual)

1.3.3.2 De brazos tirados

La suspensin de brazos tirados se caracteriza por tener dos elementos de soporte o

la rueda. Las barras se montan de manera transversal a la carrocera. Como mnimo se

utilizan dos brazos, aunque algunas veces suele montarse cuatro. (Mecnica Virtual)

Figura 1.15 Suspensin de brazos tirados (Mecnica Virtual)

1.3.3.3 McPherson

La suspensin McPherson es un tipo de suspensin ampliamente utilizado en los

automviles modernos, toma su nombre de Earl S. McPherson, ingeniero de Ford. Es

utilizada principalmente en el eje delantero, donde proporciona un punto de apoyo a la

direccin y acta como eje de giro de la rueda (AutoCosmos.com).

Algunas de sus ventajas son, que es de gran simplicidad y tiene un bajo costo en su

fabricacin, sin embargo, tiene un problema geomtrico, debido a su configuracin no es

posible que el movimiento de la rueda sea vertical, sino que el ngulo vertical vara algunos

grados durante su movimiento. Adems de transmitir el movimiento directamente del

asfalto al chasis, provocando ruidos y vibraciones en el habitculo. Considerando tambin

que, son una menor masa no suspendida, una amplia base de apoyo, fuerzas reducidas y un

diseo ms compacto (AutoCosmos.com).

Figura 1.16 Esquema de un sistema de suspensin McPherson (AutoCosmos.com)

Por consecuente, las ruedas son controladas por un brazo oscilante bajo el centro de

gravedad de la rueda (normalmente un brazo oscilante triangular), un montante de

suspensin y una varilla de gua. Los brazos oscilantes estn fijados al subastidor por dos

soportes de goma-metal. La separacin funcional de las fuerzas longitudinales (soporte

delantero) y laterales (soporte trasero) permiten alcanzar una agilidad, una seguridad y un

confort de marcha ptimos sin que ambas fuerzas se influyan mutuamente

(AutoCosmos.com).

El diseo de este tipo de eje es notable por los elevados niveles de confort de marcha y la

excelente seguridad que proporciona. Se ha ido perfeccionando con el trascurso del tiempo,

y es en la mayora de los automviles un elemento de gran importancia, para su

funcionamiento.

1.3.3.4 Suspensin de paralelogramo deformable

La suspensin de paralelogramo deformable junto con la McPherson es la ms utilizada en

un gran nmero de automviles, tanto para el tren delantero como para el trasero. Esta

suspensin tambin se denomina suspensin por trapecio articulado y suspensin de

tringulos superpuestos (PuroTuning.com).

Figura 1.17

Suspensin de paralelogramo deformable (PuroTuning.com)

1.3.3.5 Suspensin Multibrazo o Multilink

Las suspensiones multibrazo se basan en el mismo principio bsico que las suspensiones de

paralelogramo deformable, es decir, el paralelogramo est conformado por dos brazos

transversales, la manguera de la rueda y el bastidor. Pero este tipo del sistema presenta una

diferencia que suele ser fundamental, y es que este tipo puede tener anclajes elsticos

mediante mandos de goma. Esto, permite hacer modificaciones en los parmetros de la

rueda (como son la cada o la convergencia), permitiendo la configuracin de forma precisa

e independiente de cada una de las ruedas, permitiendo con ello la estabilidad direccional y

confort (Mecnica Virtual).

Figura 1.18 Esquema de una suspensin multibrazo delantera (Mecnica Virtual)

Todos los movimientos en un vehculo, se ven afectados no solo por el desplazamiento por

carretera, sino, tambin por el cambio de fuerza lateral del neumtico.

1.5 Conclusin Captulo I

En base a lo descrito anteriormente, podemos concluir que la dinmica del automvil,

debido a las diferentes fuerzas que interactan en el sistema; es un sistema complejo. Y

desde el punto de vista de la dinmica, se pueden obtener diferentes comportamientos en

los automviles, dependiendo del tipo de suspensin con la que se cuente, ya sea de eje

rgido, semi-independiente o independiente. Debido a que son comportamientos

cinemticos diferentes, y la transferencia de las oscilaciones o vibraciones provenientes del

terreno donde circula, son transmitidas mediante el sistema de suspensin hacia los dems

componentes del automvil, y por consecuencia hacia los pasajeros que viajan en el

vehculo, generando poco confort durante el tiempo en que las personas viajan.

As tambin comprender el comportamiento que tienen cada uno de los elementos que

conforman el sistema de suspensin, y la complejidad que esto representa al realizar el

anlisis de todo el sistema en conjunto. Siendo esta una tarea compleja donde se puede

realizar la aplicacin de la dinmica y la cinemtica de los componentes, as como la

interaccin que pueden tener los elementos, ya sea de forma individual o complementada

unos con otros.

Captulo II

MODEL ADO MATEMTICO

2.1 Algunos modelos existentes de los sistemas de suspensin

automotriz

Actualmente varias personas han mostrado inters en investigar sobre el comportamiento

dinmico de los sistemas de suspensiones de los automviles, utilizando diferentes mtodos

de anlisis, estos modelamientos se muestran a continuacin:

2.1.1 Comportamiento dinmico de de vehculo utilizando la

tcnica de Bond Graph

(Mrquez) Este trabajo aplica la teora de los multicuerpos mediante la tcnica de

Bond Graph en el modelado de un cuarto de vehculo de pasajeros pero, adems, se

incluye el comportamiento del mismo mediante variaciones del ngulo de cada de

la rueda. Ahora bien, por una parte, un modelo Bond Graph permite unir grficos de

flujo con diagramas de bloque y, a partir de esto, permite la derivacin algortmica

de modelos matemticos y computacionales mediante una tarea sumamente

formalizada. La conjuncin de estos y otros rasgos hacen de Bond Graph una

herramienta basada en el diseo orientado a objetos, poseedora de un lenguaje

grfico conveniente para el modelado dinmico, el anlisis y la simulacin de

complejos sistemas de ingeniera que implican la presencia de diversos dominios

fsicos y tcnicos.

La rueda posee, como modelo bsico (figura 2.1) para todas las simulaciones, el

definido por un muelle, de constante C, y dos resortes, de constantes K y

respectivamente. Adems, m corresponde a la masa de la rueda y M a la masa de la

carga superior, o chasis.

Figura 2.1 Modelo aproximado del sistema.

Se realiz la descomposicin de dicho modelo en dos componentes: (a) rueda

(figura 2.2) y (b) Suspensin y chasis (figura 2.3); sin considerar, inicialmente, el

V corresponden a las velocidades de los

objetos donde ellas aparecen.

Figura 2.2 Modelo de la rueda.

Figura 2.3 Modelo de la suspensin.

Se procedi a obtener los Bond Graph de cada uno de los componentes (figura 2.4 y

figura 2.5, respectivamente), o subsistemas, por separado para finalmente obtener el

diagrama del sistema integrado.

Figura 2.4 Diagrama Bond Graph de la rueda.

Figura 2.5 Diagrama Bond Graph de la suspensin y el chasis.

Construidos los diagramas definieron las variables independientes de tal manera de

obtener las ecuaciones de los subsistemas. Para el primer grafo, las variables se

deben estar asociada a los componentes m y ; en ste caso, sern , momento en

m, y el desplazamiento para .

Realizaron el anlisis de flujos, recorriendo el grafo desde abajo hacia arriba,

sabiendo que son vlidas las expresiones en (2.1) debido a que es flujo de

entrada y se ha elegido como variable independiente, en la puerta de inercia ,

respectivamente.

(2.1)

En el nudo 1, donde los flujos son constante, tenemos que . En el

nudo 0, tenemos que . Luego, debido a que y son conocidos,

entonces tenemos a la expresin (2.2). As hemos determinado los 5 flujos de ste

diagrama.

(2.2)

Para los esfuerzos, tenemos que, para comenzar, y ,

ste ltimo por haberse elegido como variable independiente.

Para el nudo 0, donde los esfuerzos son constantes, tenemos que ; por

lo tanto, conocidos. En el nudo 1, ; por ello, tenemos a a partir

expresin (2.3).

(2.3)

Finalmente se obtiene las expresiones representadas en el diagrama Bond Graph de

la figura 2.6. De este subsistema obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones de

resumen:

(2.4)

Figura 2.6 Diagrama Bond Graph y sus ecuaciones.

Ahora, procederemos a modelar el chasis De dicho diagrama Bond Graph tenemos

que las variables sern , para M, y para K.

Procediendo al anlisis de forma similar al proceso anterior obtenemos los flujos y

esfuerzos para este subsistema (figura 2.7).

Figura 2.7 Bond Graph resumen de flujos y esfuerzos.

De lo anterior, slo queda integrar los 2 sub-modelos de tal forma de obtener un

cuarto de vehculo en forma completa. Es aqu donde est la gran ventaja de la

tcnica Bond Graph que permite aprovechar los esfuerzos dedicados al

planteamiento de un modelo puesto que permite unir los dos subsistemas, ya

obtenidos, de tal forma de obtener el modelo final sin prdida de algn fenmeno

asociado al proceso de unin; es decir, gracias a su orientacin al diseo de objetos.

Lo anterior se puede comprobar obteniendo el modelo total (figura 2.8) y

compararlo con el obtenido por la integracin. Debemos recordar que en este ltimo

grafo an no se considera el ngulo de cada.

Figura 2.8 Bond Graph integrado.

De aqu, y considerando nuestro modelo presentado en la figura anterior, se procede

a unificar las ecuaciones de los dos subsistemas. Una vez realizado dicho

procedimiento se obtienen las ecuaciones de estado finales.

Entonces, el sistema de ecuaciones finales, en forma matricial, se presenta en (2.5).

(2.5)

Graph (figura 2.9), que slo lo podemos visualizar al observar frontalmente la

rueda.

Figura 2.9 Bond Graph de cuarto de vehculo considerando ngulo de cada.

Para la obtencin de las expresiones para Bond Graph, desde abajo hacia arriba, se

tiene como fuente de flujo y como variable del sistema las siguientes expresiones

respectivamente.

(2.6)

(2.7)

Del nudo 1, se tiene la siguiente expresin:

(2.8)

Del nudo tipo 0, se obtiene a partir de la expresin:

(2.9)

Aplicando la Transformada se tiene para f7 la expresin:

(2.10)

Para continuar se debe comenzar ahora desde arriba para poder obtener los flujos

directamente accesibles. Por ello, se parte con la expresin (2.11), por ser

variable del sistema:

(2.11)

Puesto que por nudo 1 se tien que f11=f12=f13; por lo tanto, para la expresion es

(2.12).

(2.12)

Por lo anterior, se obtiene los flujos y por tener el mismo valor que en

nudo tipo 1. Con ello se da por terminada la bsqueda de los valores para los flujos.

Prosiguiendo, se contina con determinar los esfuerzos. El proceso comienza por

determinar aquellos valores que son directos; es decir , , y mediante las

expresiones (2.13), (2.14), (2.15) y (2.16), respectivamente.

(2.13)

(2.14)

(2.15)

(2.16)

Entonces . Debemos ahora comenzar nuevamente desde

arriba para seguir con los despejes. La expresin (2.17) nos permite obtener por

definicin de un elemento tipo capacitor.

(2.17)

Como tenemos a y , entonces obtenemos (2.18).

(2.18)

De ello, obtenemos e7 y e11 directamente.

Prosiguiendo, obtenemos e13, e6 y e4 segn las expresiones (2.19), (2.20) y (2.21),

respectivamente.

(2.19)

(2.20)

(2.21)

Finalmente, el sistema de ecuaciones dado por las expresiones (2.22), (2.23), (2.24)

y (2.25).

(2.22)

(2.23)

(2.24)

(2.25)

Donde a1 y a2 corresponden a las aceleraciones verticales en el objeto rueda y en el

objeto chasis del cuarto de vehculo.

Finalmente, el sistema de ecuaciones es (2.26).

(2.26)

Este modelo considera la inflexin que se produce al inclinarse la rueda pero slo en

el eje Z. Por lo anterior, el modelo puede ser ampliado de tal forma que se considere

el comportamiento de la componente Y de las fuerzas.

2.2 El modelado matemtico

El modelo matemtico de un sistema dinmico se define como un conjunto de ecuaciones

que representan la dinmica del sistema con precisin. Debe tenerse en cuenta que un

modelo matemtico no es nico para un sistema determinado. Un sistema puede

representarse en muchas formas diferentes, por lo que puede tener muchos modelos

matemticos, dependiendo de cada perspectiva. La dinmica de muchos sistemas, ya sean

mecnicos, elctricos, trmicos, econmicos, biolgicos, etc., se describe en trminos de

ecuaciones diferenciales. (Katsuhiko, 1987)

Los fundamentos tericos de los mtodos dinmicos actualmente se apoyan en la mecnica

clsica, especficamente en el planteamiento de las ecuaciones diferenciales del

movimiento de los slidos rgidos con restricciones.

La mecnica, fue cimentada por Newton, al describir un punto material sometido a fuerzas

centrales. Sin embargo, no hizo la descripcin del movimiento de los cuerpos, ya sean

rgido o no.

Euler, precis matemticamente los conceptos de masa puntual y aceleracin, desarrollando

Fue entonces cuando tuvo comienzo la mecnica del slido.

Convirtindose la suma de sus trabajos en los principios fundamentales de la mecnica,

desplazando con ello, la mecnica newtoniana y desarrollando una nueva lnea que

.

El que realiz por primera vez un estudio sobre la dinmica de varios slidos rgidos con

La profundizacin en la mecnica analtica la realiz Lagrange, para lo cual no se bas en

los principios planteados por Newton o Euler sino en los cuatro principios conocidos en su

tiempo: conservacin de las fuerzas, conservacin del movimiento del centro de gravedad,

conservacin del momento de la cantidad de movimiento y principio de la mnima accin.

Fue Lagrange, quien aplicando un principio variacional a la suma de las energas cintica y

potencial lleg a las ecuaciones diferenciales del movimiento prcticamente en la forma en

que hoy se utilizan (Vidal, 2006).

Las ecuaciones de Lagrange (conocidas tambin como Ecuaciones de Euler-Lagrange, o

simplemente de Euler) permiten contar con un sistema analtico para llegar a la descripcin

del comportamiento fsico de las partculas, sin tratarse de una nueva teora independiente,

sino de la teora Newtoniana. Y constituyen una sntesis de la mecnica, mediante la

formulacin de las ecuaciones de movimiento de los cuerpos y soluciones originales a

problemas realmente difciles.

La mecnica lagrangiana es una reformulacin de la mecnica clsica, es la integral de la

diferencia de las energas cinticas y potencial en funcin del tiempo. La formulacin

lagrangiana simplifica muchos de los problemas fsicos. Esto se basa en el principio de

Hamilton, que proporciona una formulacin diferente de las leyes de la mecnica. Esta

formulacin se basa en conceptos energticos y ha demostrado ser sumamente til,

particularmente en casos donde intervienen muchos grados de libertad. Los grados de

libertad son el nmero mnimo de coordenadas necesarias para establecer completamente el

movimiento de un sistema.

Considerando que la energa puede ser definida como la capacidad de efectuar trabajo,

cuando proviene del movimiento de la partcula se llama energa cintica. Cuando proviene

de la posicin de la partcula medida desde un punto fijo o plano de referencia, se denomina

energa potencial.

El principio de Hamilton proporciona una formulacin diferente de las leyes de la

mecnica. Esta formulacin se basa en conceptos energticos y ha demostrado ser

sumamente til, particularmente donde intervienen muchos grados de libertad. El principio

de Hamilton presupone que el sistema en consideracin se caracteriza por dos funciones

energticas: una energa cintica (T) y una energa potencial (V). Cuando el sistema

analizado mediante trminos de un nmero finito de grados de libertad, anlogos a una base

finita. Estas energas pueden describirse mediante un nmero finito de coordenadas,

llamadas coordenadas generalizadas, y de sus derivadas respecto al tiempo t. Cuando el

sistema bajo consideracin se describe mediante un conjunto finito de coordenadas

generalizadas las energas se expresan en trminos de las variables dependientes tomando

valores distintos en diferentes puntos del sistema (Rasmussen, 1989).

En los sistemas mecnicos existen 2 tipos de fuerzas, las conservativas y las no

conservativas. Las fuerzas conservativas (F), son las que se pueden remplazar por el

gradiente de un potencial del sistema, en la mayora de los casos identificada con la letra V

(Rasmussen, 1989):

(2.27)

Donde V= V(r) que es la energa potencial de la partcula o del sistema a analizar.

Considerando r (t) la trayectoria que sigue una partcula y siendo es la variacin de la

trayectoria. Como para este tipo de sistemas se conserva la suma de todas las energas

potencial y cintica, a las fuerzas descritas por la ecuacin (2.27) se les conoce como

conservativas. Con este requerimiento sobre F, se observa la ecuacin 2.28 (Rasmussen,

1989):

(2.28)

Debido a que el operador variacional ( ) tiene un comportamiento igual que el operador

diferencial, el operador variacional puede obtenerse de la ecuacin (2.28), y al sacar la

integral se tiene (2.29) (Rasmussen, 1989):

(2.29)

La diferencia entre las energas potencial y cintica se denomina funcin de Lagrange

(Rasmussen, 1989):

(2.30)

Dnde:

L: Lagrangiano que es igual a la diferencia de energa cintica y potencial.

T: Energa cintica total del sistema.

V: Energa potencial total del sistema.

Las ecuaciones de lagrange de movimiento, son las mismas que las de Euler para un

problema variacional, por lo que algunas veces se le conoce como ecuaciones de Euler-

Lagrange.

El formulismo de Euler-Lagrange (Rasmussen, 1989), para un sistema dinmico masa-

resorte-amortiguador, que es como se analiza el cuarto de suspensin de un automvil, est

definido por la ecuacin:

(2.31)

Dnde:

D: Disipacin de energa.

: Coordenada generalizada, que ese encuentra dada por cada grado de libertad.

: Fuerzas externas aplicadas al sistema.

En base a la ecuacin de Euler Lagrange, en la siguiente seccin, se realiza el anlisis del

sistema de suspensin automotriz.

2.3 Anlisis del sistema de suspensin Automotriz mediante Euler -

Lagrange

El sistema masa-resorte-amortiguador que analizar, representa de forma grfica el sistema

de suspensin de un automvil se realizara mediante 2 grados de libertad, que son los

puntos de referencia de donde se desplazan las masas (Ver figura 2.10).

Figura 2.10 Representacin del sistema de suspensin a analizar

En la Tabla 2.1 se muestra la nomenclatura de los parmetros que se aplican para realizar el

anlisis del sistema de un cuarto de suspensin automotriz.

Parmetro dentro del sistema Nomenclatura asignada

Masa Suspendida

Masa No suspendida

Rigidez del resorte

Constante de amortiguamiento

Rigidez del neumtico

Amortiguacin del neumtico

Perturbacin que recibe el sistema

Desplazamiento con respecto a

Desplazamiento con respecto a

Tabla 2.1 Nomenclatura de los parmetros

Para posteriormente al realizar el anlisis del sistema descrito en la seccin 2.2, en base a la

figura 2.12 podemos obtener las siguientes ecuaciones Euler-lagrange:

La energa cintica se encuentra descrita en funcin de la masa y la velocidad:

(2.32)

Reescribiendo la ecuacin (2.32) en funcin de la posicin, se obtiene la ecuacin (2.33):

(2.33)

Y la energa potencial se encuentra representada por la ecuacin, en funcin de la posicin

(2.34):

(2.34)

Si se considera y se realiza la sustitucin de las energas descritas en el

Lagrangiano, se obtiene:

(2.35)

Al aplicar la ecuacin al formulismo de Euler-Lagrange a la ecuacin (2.35).

Donde tenemos, las derivadas:

(2.36)

(2.37)

Sustituyendo las ecuaciones (2.36-2.37), se obtiene la ecuacin.

(2.38)

A partir de la (2.35) se puede obtener la descripcin matemtica de un sistema masa-

resorte, mostrada (2.39).

(2.39)

Al realizar el anlisis de la disipacin de la energa en el sistema, est se encuentra en el

movimiento que realiza el amortiguador, la cual est representada por la constate de

friccin, y el desplazamiento.

(2.40)

Realizando la aplicacin de la derivada parcial a la ecuacin (2.40), se obtiene:

(2.41)

Reescribiendo la ecuacin de Euler-Lagrange en funcin del desplazamiento que sufre el

sistema, se obtiene la ecuacin:

(2.42)

Al realizar la sustitucin de las ecuaciones (2.36, 2.37 y 2.41) en la ecuacin (2.42), se

obtiene la expresin siguiente:

(2.43)

Haciendo la igualacin a cero en (2.43), debido a que el sistema se encuentra en un punto

de equilibrio y se tiene la ecuacin:

(2.44)

La ecuacin (2.44) es la que rige matemticamente el comportamiento de un sistema masa-

resorte-amortiguador.

De acuerdo al diagrama mostrado en la figura 2.10 es un sistema masa-resorte-

amortiguador y tomando en cuenta la nomenclatura de los parmetros que se muestran en la

Tabla 2.1. Es necesario realizar el cambio de variables a los parmetros que en la figura se

consideran.

Considerando que la masa tiene desplazamiento con respecto a 2 puntos especficos, se

obtienen la ecuacin que es el Lagrangiano de la y en la disipacin de la energa que

sufre a consecuencia del amortiguador, respecto al desplazamiento . Adems se analiza el

comportamiento con respecto al desplazamiento que sufre la misma masa.

(2.45)

(2.46)

(2.47)

(2.48)

Ahora realizando el anlisis del comportamiento que sufre la , se puede visualizar que

el comportamiento de sta, depende de los 3 desplazamientos que se pueden observar en la

figura 2.1 y los cuales son , y . Para los cuales se obtienen las ecuaciones (2.49) y

(2.50) para el desplazamiento , las (2.51) y (2.52) para y por ltimo las (2.53) y

(2.54) para .

(2.49)

(2.50)

(2.51)

(2.52)

(2.53)

(2.54)

Sin embargo la masa solo se desplaza con respecto a es por ello tomando en cuenta

la ecuacin (2.43) e incluyendo las ecuaciones que describen por separado el

comportamiento de cada una de las mesas, de donde obtenemos que la ecuacin que

describe el movimiento es la ecuacin (2.55).

(2.55)

Reescribiendo la ecuacin (2.55), se obtiene la ecuacin (2.56), siendo est la ecuacin que

modela el comportamiento de una de las masas que conforman al sistema de suspensin

para este anlisis. Siendo la fuerza del controlador que se aplicar para estabilizar el

sistema.

(2.56)

De acuerdo a la ecuacin (2.56) y dejando en el lado derecho de la igualdad la masa por la

aceleracin, se tiene:

(2.57)

Realizando el anlisis del desplazamiento que sufre la masa mu, la cual solo se desplaza

con respecto a , sin embargo los dems elementos si sufren un desplazamiento por una

delta entre todo los dems puntos ( y ). En la (2.58) se encuentra el comportamiento

matemtico del sistema masa-resorte-amortiguador.

(2.58)

Reescribiendo la ecuacin (2.58) y dejando en el lado izquierdo de la igualdad el trmino

correspondiente a la masa, se tiene:

(2.59)

Para conocer el comportamiento del sistema mediante las expresiones matemticas, es

necesario aplicar el mtodo de Ecuaciones de Variables de estado, para ello, en la seccin

2.3 se explica de una mejor manera en que consiste este mtodo, que es el modelado en el

espacio de estados.

2.4 El modelado en el espacio de estados.

Aproximadamente desde 1960 se ha desarrollado la teora de control moderna (Katsuhiko,

1987), la cual es aplicada en los sistemas de ingeniera de mayor complejidad,

considerando que los sistemas complejos pueden tener mltiples entradas y salidas, que

varan en funcin del tiempo. El aumento de la complejidad de los sistemas y el acceso

fcil a las computadoras, le da un nuevo enfoque a la teora de control moderna, en el

anlisis y diseo de sistemas de control complejos. Este nuevo enfoque se basa en el

concepto de estado, el cual existe desde hace largo tiempo en el campo de la dinmica

clsica.

Las variables de estado no necesariamente necesitan ser cantidades medibles u observables

fsicamente, ya que no representan cantidades fsicas. Esto representa una ventaja de los

mtodos de espacio de estados. Pero es conveniente elegir cantidades que se midan con

facilidad para las variables de estado, debido a que las leyes del control ptimo requieran la

realimentacin de todas las variables de estado (Katsuhiko, 1987).

2.5 Aplicacin de Ecuaciones de Variables de Estado al Sistema Automotriz.

Aplicando lo expuesto en la seccin 2.3 al sistema de suspensin automotriz y

considerando el sistema mecnico que aparece en la figura 2.1. Suponemos que el sistema

es lineal, donde la fuerza externa es la entrada o perturbacin para el sistema y los

desplazamientos que sufre son y de las masas ( y ) es la salida. El

desplazamiento se mide a partir de la posicin de equilibrio en ausencia de la fuerza externa

o perturbacin que recibe el sistema.

A partir del diagrama que se observa en la figura 2.1, mediante el mtodo de Euler-

Lagrange, como anteriormente se explic, se obtienen las ecuaciones que modelan el

sistema. Pero se aplican las variables de estado, debido a que en el software para realizar las

simulaciones, las derivadas solo pueden ser de primer grado.

Y como el modelo que describe al sistema es de segundo orden, significa que cada una de

las ecuaciones del sistema contiene dos integradores, y a partir de ellos se definen las

variables de estado , , , y .

(2.60)

(2.61)

(2.62)

(2.63)

(2.64)

(2.65)

Al aplicar las variables de estado establecidas (2.60 2.65) y tomando en cuenta que es

la fuerza o perturbacin del sistema, se tienen las ecuaciones, las cuales son las que se

aplicarn a la programacin en el software para realizar las simulaciones correspondientes.

(2.66)

(2.67)

(2.68)

(2.69)

Las ecuaciones (2.66-2.69), son las ecuaciones con variables de estado, que describen el

movimiento que tiene el sistema mecnico analizado, que es un sistema de suspensin

automotriz.

Para el cual, en el Captulo III, se realizar el diseo del controlador, y en el Captulo IV, se

conocern las simulaciones del mismo, mediante grficas que nos describen el

comportamiento que tiene, con las oscilaciones que se producen por la perturbacin que

recibe.

2.6 Conclusin Captulo II

En base a lo realizado en este captulo se puede concluir, que el modelado de sistemas

complejos, es de gran importancia, ya que sirve para conocer el comportamiento de manera

matemtica.

Sin embargo los modelos matemticos encontrados, principalmente son modelos mediante

el mtodo de anlisis grfico, que es el mtodo de Bond Graph, en el cual se puede realizar

un anlisis grfico del comportamiento mediante vectores que tiene cada una de las partes

que conforman la suspensin, y en base a ello, hacer la determinacin del comportamiento

de todas las partes en conjunto. Lo anteriormente mencionado, se observa en el apartado

2.1.1 Comportamiento dinmico de /4 de vehculo utilizando la tcnica de bond Graph.

Hay que considerar que si los sistemas son complejos, la aplicacin de las ecuaciones de

variables de estado son de gran ayuda, ya que permiten reducir las expresiones

matemticas. Y de la misma forma, reducir a gran medida la complejidad del sistema de

ecuaciones que rigen los sistemas, para realizar los anlisis con aplicacin de software.

Posteriormente se proceder mediante el conocimiento de las ecuaciones que rigen al

sistema de suspensin de un automvil, a realizar el diseo de un controlador para este tipo

de sistemas, dicho diseo se realiza en el siguiente captulo.

Captulo III

DISEO DE CONTROLADORES

3.1 Breve descripcin de los controladores y su diseo

Existen diversos tipos de controladores, que son elementos adicionales a la configuracin

original con la finalidad de mejorar las caractersticas de la respuesta de los sistemas y de

esa manera satisfacer las especificaciones de funcionamiento (Gavio, 2010).

Los sistemas de control se disean para realizar tareas especficas. Los requerimientos

impuestos sobre el sistema de control se detallan como especificaciones de desempeo. Por

lo general se refieren a la precisin, la estabilidad relativa y la velocidad de respuesta

(Gavio, 2010).

Una de las formas de modificar las caractersticas de respuesta en los sistemas es mediante

el ajuste de ganancia, aunque por lo general el incremento de la ganancia mejora el

funcionamiento en estado estable, pero no en la respuesta de rgimen transitorio o

viceversa. Lo cual conlleva a diversos tipos de controladores (Gavio, 2010):

Control Proporcional (P).

Control Integral (I).

Control Derivativo (D).

Sin embargo, los controladores pueden interactuar entre ellos, dando como resultado la

formacin de las siguientes configuraciones (Gavio, 2010):

Control Proporcional-Integral (PI).

Control Proporcional-Derivativo (PD).

Control Proporcional-Integral-Derivativo (PID).

El diseo del controlador permite modificar las caractersticas de respuesta del sistema en

lazo cerrado para que satisfaga los requisitos de funcionamiento del sistema.

Analizando los tipos de controladores que existen, en la seccin siguiente, se realiza la

descripcin de casa uno de ellos.

3.1.1 Control proporcional (P)

(Gavio, 2010) Se dice que un control es del tipo proporcional cuando la salida del

controlador (funcin con respecto al tiempo) es proporcional al error e(t), de la salida

con respecto a la entrada .

(3.1)

La ganancia del controlador es proporcional al error. La ganancia puede ajustarse segn

sea necesario, para pequeas variaciones, aunque logra un comportamiento aceptable para

el sistema en rgimen transitorio, la respuesta en estado estable lleva implcita una

magnitud muy elevada en el error, de acuerdo a su comportamiento en la forma grfica. Al

tratar de corregir este problema, los incrementos de ganancia mejoraran las caractersticas

de la respuesta de estado estable, pero afectaran la respuesta transitoria.

Aunque el control P es fcil de ajustar e implementar, porque el comportamiento es lineal,

no suele incorporarse a un sistema de control de forma aislada, debido a que el

comportamiento obtenido no es de gran ayuda, sino ms bien se acompaa de algn otro

elemento, para que tenga un mejor funcionamiento en el control.

Las principales caractersticas del control proporcional son:

El tiempo de elevacin, de la respuesta del sistema experimenta una pequea

reduccin.

El mximo pico de sobreimpulso en la respuesta del comportamiento del sistema se

incrementa.

El amortiguamiento en la respuesta del sistema se reduce.

Otro de los tipos de controladores son los de tipo integral.

3.1.2 Control Integral (I)

(Gavio, 2010) Se dice que un control es de tipo integral cuando la salida del controlador

(funcin con respecto al tiempo) es proporcional a la integral del error , de la

salida con respecto de la entrada.

(3.2)

Donde es la ganancia del control integral. En cualquier tipo de controlador, la accin

proporcional es la ms importante, por lo que la constante se puede escribirse en

trminos de la ganancia de un control proporcional .

(3.3)

Donde es un factor de proporcionalidad ajustable que indica el tiempo de integracin, en

la respuesta del sistema. El control integral tiende a reducir o hacer nulo el error de estado

estable, a la salida de la respuesta del comportamiento del sistema, sin embargo, dicho

comportamiento muestra una tendencia del controlador a sobrecorregir el error. As, la

respuesta del sistema es de forma muy oscilatoria o incluso inestable, debido a la reduccin

la estabilidad relativa del sistema.

De forma inversa al control integral, se encuentra el control derivativo.

3.1.3 Control Derivativo (D)

(Gavio, 2010) En este tipo derivativo cuando la salida del controlador (siendo una

funcin con respecto del tiempo) es proporcional a la derivada del error , de la

salida con respecto a la entrada.

(3.4)

Donde es la ganancia del control derivativo. La constante puede escribirse en

trminos de la ganancia del control proporcional .

(3.5)

Donde es un factor de proporcionalidad ajustable que indica el tiempo de derivacin. El

significado de la derivada se relaciona con la velocidad de cambio de la variable

dependiente, que en el caso del control derivativo indica que ste responde a la rapidez de

cambio del error, que se genera en la salida con respecto a la entrada, lo que produce una

correccin importante antes de que el error sea elevado. Adems, la accin derivativa es

anticipada, esto es, la accin del controlador se adelante a frente a una tendencia de error

(expresando en forma derivativa). Para que el control derivativo llegue a ser de utilidad

debe actuar junto con otro tipo de accin de control, ya que aislado, el control derivativo no

responde a errores de estado estable.

Como se mencion, estos tipos de controladores presentan un mejor funcionamiento si se

encuentran acoplados entre ellos, en base a esto, es que surgen las diferentes combinaciones

de los controladores.

3.2 Combinaciones de los controles

(Gavio, 2010) Las acciones proporcional, integral y d