Survival Analysis (Modul: Lebensdaueranalyse) · “Hausaufgabe” Ab ungefähr dem Alter 30 kann...

Survival Analysis(Modul: Lebensdaueranalyse)

ROLAND RAU

Universität Rostock, Sommersemester 2014

15. April 2014

c© Roland Rau Survival Analysis 1 / 30

Formelübersicht:

X (Prozess-)Zeit bis zu einem definierten Ereignis

S(x) = Pr(X > x)

F(x) = Pr(X ≤ x) =

x∫0

f (t)dt = 1− S(x)

S(x) = 1−x∫

0

f (t)dt =

∞∫x

f (t)dt

f (x) = −dS(x)

dx

h(x) =f (x)S(x)

=− dS(x)

dx

S(x)=−d ln S(x)

dx

H(x) =

x∫0

h(t)dt = − ln S(x)

S(x) = e−H(x) = e−

x∫0

h(t)dt


Statistische Verteilungen in der Survival-Analyse

Exponential-Verteilung

h(x) = λ

x

S(x

)

λ1 = 1.0λ2 = 0.3λ3 = 1.5

0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Gompertz-Verteilung

h(x) = αeβx

x

log

h(x)

0 20 40 60 80 100

0.00

010.

001

0.01

0.1

1

α1 = 0.0001β1 = 0.10

α2 = 0.0010β1 = 0.10

α1 = 0.0001β2 = 0.15

α2 = 0.0010β2 = 0.15


“Hausaufgabe”

Ab ungefähr dem Alter 30 kann man bei menschlichenBevölkerungen davon ausgehen, dass die Lebensdauernin etwa der Gompertz-Verteilung folgen. Das Ergebniseiner MLE ergab für die Parameter α und β dieSchätzwerte: α̂ = 0.00001 und β̂ = 0.11.Frage: Bis zu welchem Alter überleben 90% derBevölkerung?


“Hausaufgabe”

Ab ungefähr dem Alter 30 kann man bei menschlichen Bevölkerungen davonausgehen, dass die Lebensdauern in etwa der Gompertz-Verteilung folgen. DasErgebnis einer MLE ergab für die Parameter α und β die Schätzwerte:α̂ = 0.00001 und β̂ = 0.11.Frage: Bis zu welchem Alter überleben 90% der Bevölkerung?

S(x) = eαβ

(1−eβx

)ln (S(x)) =

α

β

(1− eβx

)β ln (S(x))

α=(

1− eβx)

1−β ln (S(x))

α= eβx

ln(

1−β ln (S(x))

α

)= βx

ln(

1− β ln(S(x))α

)β

= x =ln(

1− 0.11 ln(0.9)0.00001

)0.11

x =ln (1− (−1158.966))

0.11=

ln 1159.9660.11

=7.056146

0.11= 64.14678


0 20 40 60 80 100 120

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Alter x

S(x

)


Anwendungsbeispiel: Exponentialverteilung

Bildquelle: Rainer Zenz (Bild ist in der “Public Domain”)

Der Wolpertinger altert nicht. Dennoch ister nicht unsterblich. Häufig kommt derWolpertinger unter die Räder. Man kanndavon ausgehen, dass dieser Unfalltodaltersunabhängig ist; man also davonausgehen kann, dass die Lebenszeit einesWolpertingers einer Exponential-Verteilungfolgt.Eine Gruppe eifriger Wissenschafter hateiner Gruppe von 500 neugeborenenWolpertingern Mikrochips eingepflanzt, dieein Signal übermitteln, wenn einWolpertinger gestorben ist. Am Ende derStudie ergibt sich folgender Datensatz:



V11 17.5122 1.7273 0.0464 12.1995 2.7106 0.6307 5.7698 1.4189 5.86610 5.32311 13.16112 11.17313 11.61114 21.36715 12.25516 0.222...

setwd("C:\\Sommer2014\\Survival")wolpi <- read.table("wolpertinger2014.txt")wolpi



Die Veteilung der Sterbezeiten lässt sich mittels einesHistograms leicht darstellen:

daten.aggregiert <- hist(wolpi$V1,breaks=c(seq(0,20, by=1),50),plot=FALSE)

plot(x=daten.aggregiert$mids,y=daten.aggregiert$density,type="h")

0 10 20 30 40

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

daten.aggregiert$mids

date

n.ag

greg

iert

$den

sity



Doch welcher Parameterwert λ passt am besten zu denbeobachteten Daten?

Vielleicht:λ = 0.1 oder λ = 0.2 oder λ = 0.5 oder λ = 3 oder ????


lines(x=0:35, y=dexp(0:35, rate=0.1),col="magenta", lty=1, lwd=3)

lines(x=0:35, y=dexp(0:35, rate=0.2),col="green", lty=1, lwd=3)

lines(x=0:35, y=dexp(0:35, rate=0.5),col="blue", lty=1, lwd=3)

lines(x=0:35, y=dexp(0:35, rate=3),col="red", lty=1, lwd=3)

0 10 20 30 40

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14


date

n.ag

greg

iert

$den

sity



Wie finden wir das λ welches unsere beobachteten Daten am bestenbeschreibt?

⇒ Maximum-Likelihood Methode

Welches λ hat die größte “Likelihood” mit unseren gegebenen Daten?

L (λ|x1, x2, x3, . . . , xn) =?

Unter der Voraussetzung, dass x1, x2, x3, . . . , xn derselben Verteilungentstammen und die einzelnen Werte (in unserem Fall: Lebensdauern)unabhängig voneinander sind, so gilt:

L (λ|x1, x2, x3, . . . , xn) =n∏

i=1

f (λ, xi)

Der Maximum-Likelihood-Schätzer ist derjenige λ-Wert, für den dieseFunktion am größten ist.


Anwendungsbeispiel: ExponentialverteilungDa es zu numerischen Problemen kommen kann, nimmt man in aller Regelden (natürlichen) Logarithmus dieser Funktion; damit wird aus dem Produkteine Summe, hat aber keinen Einfluss auf den Wert, wo die Funktionmaximal ist ( f (x1) > f (x2)⇔ ln f (x1) > ln f (x2)).

Da wir davon ausgehen, dass unsere Daten aus einer Exponentialverteilungkommen, können wir unsere Likelihood- und dann unserelog-Likelihood-Funktion relativ einfach aufstellen:

L (λ|x1, x2, x3, . . . , xn) =

n∏i=1

λe−λxi

⇒

lnL (λ|x1, x2, x3, . . . , xn) =n∑

i=1

lnλ− λxi

Fortsetzung in der nächsten Veranstaltung JETZT!


Anwendungsbeispiel: Exponentialverteilung I

lnL (λ|x1, x2, x3, . . . , xn) =

n∑i=1

lnλ− λxi

In R lässt sich dies ohne größe Schwierigkeiten umsetzen:

setwd("C:\\Sommer2014\\")

wolpi <- read.table("wolpertinger2014.txt")

wolpi30 <- wolpi[1:30,1] # wir beschränken uns auf die ersten 30# Wolpertinger in diesem Beispiel

likelihood.exponential <- function(lambda, lifetimes) {prod(lambda * exp(-lambda * lifetimes))

}

moegliche.lambdas <- seq(0, 0.3, length=1000)die.y.werte <- sapply(X=moegliche.lambdas,

FUN=likelihood.exponential,lifetimes=wolpi30)

plot(x=moegliche.lambdas, y=die.y.werte, type="l",xlab=expression(paste("mögliche ", lambda, " Werte")),ylab=expression(paste("L(", lambda, "|", x[1], x[2], x[...], ")")))

abline(h=max(die.y.werte), col="green")abline(v=moegliche.lambdas[which.max(die.y.werte)], col="green")


Anwendungsbeispiel: Exponentialverteilung II

text(x=0.17, y=0, labels=sprintf("%.5f",moegliche.lambdas[which.max(die.y.werte)]),pos=4, col="green")

log.likelihood.exponential <- function(lambda, lifetimes) {sum(log(lambda) - lambda * lifetimes)

}

die.log.y.werte <- sapply(X=moegliche.lambdas,FUN=log.likelihood.exponential,lifetimes=wolpi30)

plot(x=moegliche.lambdas, y=die.log.y.werte, type="l",xlab=expression(paste("mögliche ", lambda, " Werte")),ylab=expression(paste("log-L(", lambda, "|", x[1], x[2], x[...], ")")))

abline(h=max(die.log.y.werte), col="green")abline(v=moegliche.lambdas[which.max(die.log.y.werte)], col="green")text(x=0.17, y=-220, labels=sprintf("%.5f",moegliche.lambdas[which.max(die.log.y.werte)]),

pos=4, col="green")

### und nun die echte Schaetzung mit allen Daten!

unser.mle <- optimize(log.likelihood.exponential, lifetimes=wolpi[,1],interval=c(0,100), maximum=TRUE)

unser.mle

daten.aggregiert <- hist(wolpi$V1,breaks=c(seq(0,20, by=1),100), plot=FALSE)


Anwendungsbeispiel: Exponentialverteilung III


lines(x=0:35, y=dexp(0:35, rate=0.1), col="magenta", lty=1, lwd=3)lines(x=0:35, y=dexp(0:35, rate=0.2), col="green", lty=1, lwd=3)lines(x=0:35, y=dexp(0:35, rate=0.5), col="blue", lty=1, lwd=3)lines(x=0:35, y=dexp(0:35, rate=3), col="red", lty=1, lwd=3)lines(x=0:35, y=dexp(0:35, rate=unser.mle$maximum), col="orange",

lty=1, lwd=5)



0 10 20 30 40

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14


date

n.ag

greg

iert

$den

sity


interaktives Beispiel: Gompertzverteilung

source("animationundfittingGompertz2014.r")part1()part2()


Zensierung & Trunkierung: Nicht vollständig beobachtete Prozesszeit

Zensierung:

“In essence, censoring occurs when we have someinformation about individual survival time, but wedon’t know the survival time exactly.

KLEINBAUM AND KLEIN (2005, S. 5):

“One peculiar feature, often present in time-to-eventdata, is known as censoring, which, broadly speaking,occurs when some lifetimes are known to haveoccurred only within certain intervals.”

KLEIN AND MOESCHBERGER (2003, S. 55):


Rechtszensierung

Type-I Censoring: Ereignis wird nur beobachtet, wenn die Prozesszeit kleiner alsdie Studiendauer ist.

Type-II Censoring: Studie wird beendet, wenn eine bestimmte Anzahl (oder einbestimmter Anteil) der Individuen das Ereignis erfahren hat.

In aller Regel trifft man in den Sozialwissenschaften Type-I Censoring an.

Beginn der Studie

Ende der Studie

Prozesszeit

●

●

●


Rechtszensierung

Type-I Censoring: Ereignis wird nur beobachtet, wenn die Prozesszeit kleiner alsdie Studiendauer ist.

Type-II Censoring: Studie wird beendet, wenn eine bestimmte Anzahl (oder einbestimmter Anteil) der Individuen das Ereignis erfahren hat.

In aller Regel trifft man in den Sozialwissenschaften Type-I Censoring an. Allerdingskann es auch passieren, dass Personen vor Studienende die Studie verlassen(wodurch?).

Beginn der Studie

Ende der Studie

Prozesszeit

●

●

●

●

●


Rechtszensierung

Type-I Censoring: Ereignis wird nur beobachtet, wenn die Prozesszeit kleiner alsdie Studiendauer ist.Type-II Censoring: Studie wird beendet, wenn eine bestimmte Anzahl (oder einbestimmter Anteil) der Individuen das Ereignis erfahren hat.

In aller Regel trifft man in den Sozialwissenschaften Type-I Censoring an. Allerdingskann es auch passieren, dass Personen vor Studienende die Studie verlassen —entweder freiwillig (⇒ kein Interesse an weiterer Teilnahme) aber auch unfreiwillig (⇒komkurrierende Risiken)

Beginn der Studie

Ende der Studie

Prozesszeit

●

●

●

●

●


Linkszensierung

Auf linkszensierte Daten trifft man seltener als auf rechtszensierte Daten. Wir werdenim weiteren Verlauf des Seminars auch nicht mehr darauf Bezug nehmen.

Klein and Moeschberger (2003, S. 62) bringen als Beispiel eine Studie zur Frage: “Inwelchem Alter haben Sie zum ersten Mal Marihuana konsumiert?” Eine möglicheAntwortkategorie war dabei: “Ich habe es schon einmal komsumiert, aber ich weissnicht mehr wann.”

Während bei rechtszensierten Daten, die tatsächliche “Event-Time” größer als einebestimmte Zeitdauer ist (beispielsweise das Ende der Studie), so ist bei linkszensiertenDaten die tatsächliche Zeitdauer kleiner als eine angegebene Zeitdauer(beispielsweise das gegenwärtige Alter).


Einfluss von Rechtszensierung auf Schätzung

Beobachtet man den “Event”, so verwenden wir bei derLikelihood-Konstruktion die Dichte.Im Falle der Rechtszensierung wissen wir nicht, wann dasEreignis eintreten wird. Aber wir wissen zumindest, dassdie Person bis zum Zensierungszeitpunkt überlebt hat.Daher verwenden wir die Survival-Funktion.Damit benötigen Survival-Daten in aller Regel mindestenszwei Angaben:

1 Eine beobachtete Zeitdauer2 Einen Indikator, häufig status oder δ genannt. In aller

Regel bedeutet δ = 1, dass das Individuum das Ereigniserfahren hat und δ = 0, dass die Beobachtung desIndividuums (rechts-)zensiert ist.



Daher benötigen Survival-Daten in aller Regel mindestens zwei Angaben:1 Eine beobachtete Zeitdauer2 Einen Indikator, häufig status oder δ genannt. In aller Regel bedeutetδ = 1, dass das Individuum das Ereignis erfahren hat und δ = 0, dassdie Beobachtung des Individuums (rechts-)zensiert ist.

wolpi <- read.table("wolpertinger2014-2.txt", header=TRUE)head(wolpi)

lifetime status1 5.298 12 1.098 13 10.879 14 0.983 05 0.138 16 0.724 1



Wie verändert sich die Likelihood und die log-Likelihood-Funktion?

Alt: L(λ|x1, x2, . . . , xn) =

n∏i=1

f (xi)

Neu: L(λ|x1, x2, . . . , xn) =∏∀ δi=1

f (xi)∏∀ δi=0

S(xi)

Alt: log−L(λ|x1, x2, . . . , xn) =

n∑i=1

ln f (xi)

Neu: log−L(λ|x1, x2, . . . , xn) =∑∀ δi=1

ln f (xi) +∑∀ δi=0

ln S(xi)


Frohe Ostern!

Osterhase kurz nach Eiablage

Ob der Osterhase wohl folgende drei Codezeilen versteht underklären kann??? (Erinnerung “Hausaufgabe”)

die.y.werte <- sapply(X=moegliche.lambdas,FUN=likelihood.exponential,lifetimes=wolpi30)

Quelle: Wikipedia (http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hase_mit_Ostereiern_%282%29.jpg)

lizenziert unter der "GNU Free Documentation License, Version 1.2


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hase_mit_Ostereiern_%282%29.jpg

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!


Klein, J. P. and M. L. Moeschberger (2003). Survival Analysis : Techniquesfor Censored and Truncated Data. Statistics for Biology and Health. NewYork, NY: Springer.

Kleinbaum, D. G. and M. Klein (2005). Survival Analysis. A Self-LearningText. New York: Springer.


Lizenz

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Sprechstunde im Sommersemester 2014: Mittwochs, 09:00–10:00(und nach Vereinbarung)


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