Superficies de Riemann

● Raíz cuadrada

Aplicación: Circuito RLC

(a) (b)

Para el circuito (a):

De la ley de Ohm con

Aplicación: Circuito RLC

Aplicación: Circuito RLC

Es más conveniente utilizar un voltaje complejo

● Esto se puede hacer gracias a las ecuaciones lineales que relacionan al voltaje y a la corriente:

Aplicación: Circuito RLC

● En resumen, si la respuesta “matemática” a un voltaje complejo V(t) es I(t), entonces la respuesta “real” al voltaje Re[V(t)] será Re[I(t)]

● Para el circuito (b) en estado estacionario:

con con

tenemos tenemos

De aquí se definen las impedancias (resistencias puramente imaginarias)

Aplicación: Circuito RLC

Aplicación: Circuito RLC

Utilizando el resultado anterior [obtenido para (a)]:

Tomando la parte real

tenemos finalmente

Aplicación: Circuito RLC

Se podría hacer uso nuevamente de las ventajas del “voltaje complejo” para una interpretación del resultado:

Definiendo y

Entonces

es decir

● De modo que el voltaje y la corriente difieren en amplitud ( ) y están desfasados por una fase

Aplicación: circuito RLC

● Equivalentemente, un circuito está descrito por una ecuación diferencial (leyes de Kirchhoff).

Por ejemplo, para un circuito RLC

Aplicación: circuito RLC

tenemos la ec. diferencial

: carga● Notemos que tenemos una ec. diferencial lineal

La ec. diferencial se resuelve suponiendo que

y

● Sustituyendo Q y V encontramos:

Aplicación: circuito RLC

Por lo tanto,

De aquí que la corriente I, dada por

con

viene dada por

Aplicación: circuito RLC

Por lo tanto,

o bien, introduciendo la impedancia Z:

● Finalmente, considerando la parte real

Integración Compleja● Hemos visto que la noción de derivada vista en

Cálculo (variables reales) se ve modificada debido al caracter bidimensional del plano complejo, e.g., una función puede aproximarse a un límite desde un número infinito de direcciones.

● Este caracter bidimensional afecta también a la teoría de integración.

● Ahora necesitamos considerar integrales a lo largo de curvas en el plano (no únicamente sobre segmentos del eje x)

● Uno de los resultados principales que veremos es el teorema de Cauchy

Integración compleja

● Primero veamos el caso más simple: Integrales de funciones de una variable real.

Supongamos que una función compleja w depende únicamente de una variable real t:

● Para este caso, las reglas del Cálculo Integral se extienden a este tipo de funciones. En particular, el teorema fundamental del Cálculo.

Integración compleja

● Sin embargo, tenemos la siguiente propiedad:

Integración compleja (contornos)

● Contornos o caminos

Imaginemos que trazamos una curva en el plano complejo, en un intervalo de “tiempo”:

De modo que en un instante “t” dibujamos el punto

De esta manera podemos considerar que es el rango de la función

Se dice que es una parametrización de

Integración compleja (contornos)

● Al conjunto de puntos z=(x,y) en el plano complejo se les llama arco o camino, si

e

son funciones continuas del parámetro t

Existen diferentes tipos de arcos (caminos),e.g.:

● Arcos simples (suave):● Arcos simples cerrados:● Arcos no simples: 8

suaveNo suave

Integración compleja (contornos)

También el orden de los puntos del arco es importante, usualmente esto se indica con una flecha

Así, el punto precede a si

Integración compleja (contornos)● Contorno

Se le llama contorno (o C ) a una secuencia finita de curvas , tal que el punto final de la curva coincide con el punto inicial de la curva . Se puede decir que

● Si el punto final e inicial del contorno coinciden, el contorno es cerrado

● Un contorno cerrado simple es aquel que divide al plano en dos dominios: el interior que es acotado y el exterior que no es acotado

Integración compleja (contornos)Comentarios:

● La parametrización de un arco no es única● Un mismo conjunto de puntos pueden formar

distintos arcos● La longitud de un arco no depende de la

parametrización y está dada por (como en Cálculo):

Integración compleja (contornos)● Se dice que el arco descrito por z(t) es un arco

diferenciable si las derivadas

son continuas en el intervalo

Además la función

es integrable en el intervalo

● Aún más, se dice que el arco es suave si z'(t) es continua y no nula en el mismo intervalo

Integración compleja (contornos)

● Integrales de contorno (o de camino)

Las integrales de camino dependen, en general, de la curva (suave) que va de un punto a al punto b y de la misma función f(z), por supuesto. Se denota la integral como

Si la curva está descrita por una parametrización z=z(t) con

Integración compleja (contornos)

Entonces

Nótese que al considerar una curva suave, la derivada z'(t) existe.

Además la integral es independiente de la parametrización utilizada.

Integración compleja (contornos)

Si es la curva/camino sobre la que se integra f(z(t)), la curva , recorre los mismos puntos, pero en sentido inverso y

● Si un contorno está formado por curvas suaves y f es continua en ,entonces

Integración (Teorema de Cauchy)

Primitivas

Vamos a estudiar las condiciones bajo las cuales las integrales de camino no dependen del contorno utilizado.

● Esto nos lleva a introducir el concepto de función primitiva F (continua en un dominio D) tal que:

 F'(z) = f(z) para toda z en el dominio D

Integración (Teorema de Cauchy)

Antes veamos el siguiente resultado sobre cotas superiores para el módulo de una integral de camino

● donde M es una constante tal que y L la longitud del contorno/camino

Teorema: Sea f(z) una función continua en un dominio D. Las siguientes proposiciones son equivalentes:

i) f(z) tiene una primitiva F(z) en D

ii) todas las integrales de f(z) sobre contornos contenidos en D, con punto inicial z1 y punto final z2 , tienen el mismo valor

iii) Las integrales de f(z) sobre contornos cerrados contenidos en D tiene valor cero

Integración (Teorema de Cauchy)

Teorema de Cauchy

Este teorema establece que si f(z) es una función analítica y su derivada f '(z) es continua en cada punto dentro y sobre el contorno cerrado simple C, entonces

Integración (Teorema de Cauchy)

Teorema de Cauchy-Goursat

La condición sobre la continuidad f´'(z) puede omitirse como lo demostró Goursat

● Así, si f es función analítica en un dominio simplemente conexo D y C cualquier contorno cerrado en D, entonces