Superficies Algebra Analitica

8/18/2019 Superficies Algebra Analitica

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MOISES VILLENA Geometría Analítica en 3 R

44

2.4 SUPERFICIES

2.4.1 SUPERFICIES CILINDRICAS.

Sea C una curva de un plano π y sea l una recta noparalela a π . Se define Superficie Cilíndrica al conjunto depuntos que perteneces a rectas paralelas a l y queintersecan a C .

A C se la denomina Curva Generatriz (o Directriz) y a l se ladenomina Recta Generatriz .

Las superficies Cilíndricas que trataremos aquí serán aquellas quetienen la Curva Generatriz perteneciente a los planos coordenados y RectasGeneratrices Paralelas a los ejes coordenados. Es decir, si tienen una de laforma siguiente:

( ) 0, = y x f Curva Generatriz perteneciente al plano xy ,Rectas Generatrices paralelas al eje z.

0),( = z x f Curva Generatriz perteneciente al plano xz ,Rectas Generatrices paralelas al eje y.

( ) 0, = z y f Curva Generatriz perteneciente al plano yz ,Rectas Generatrices paralelas al eje x.

Ejemplo 1Graficar 02 =− x y SOLUCIÓN.Se dibuja primero la curva 2 x y = en el plano xy y luego se trazan rectas paralelas aleje z siguiendo esta curva.

x

y

z

2 x y =

http://www.pdfxviewer.com/http://www.pdfxviewer.com/


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45

Ejemplo 2Graficar 0ln =− y z SOLUCIÓN.Se dibuja primero la curva y z ln= en el plano zy y luego se trazan rectas paralelas aleje x siguiendo esta curva.

Ejemplo 3Graficar 0=−seny z SOLUCIÓN.Se dibuja primero la curva seny z = en el plano zy y luego se trazan rectas paralelas aleje x siguiendo esta curva.

x

y

z

y z ln=



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Ejemplo 4Graficar 422 =+ x z SOLUCIÓN.Se dibuja primero la curva 422 =+ x z en el plano zx y luego se trazan rectasparalelas al eje y siguiendo esta curva.

Ejercicios Propuestos 2 41. Bosqueje la superficie cilíndrica cuya ecuación se indica.

a) 44 22 =− y z d) 32 y x = f) 0=− ye z b) y z sen= e) z y = g) 922 =+ z y

c) 42 =+ z y

2.4.2 SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

Las Superficies de Revolución que trataremos aquí son aquellas que segeneran al girar 360º una curva perteneciente a uno de los planos coordenadosalrededor de uno de los ejes coordenados.

Por ejemplo suponga que se tiene la curva )( y f z = (contenida en elplano ZY) y la hacemos girar 360º alrededor del eje y, entonces se forma unasuperficie de revolución, observe la figura:

y

z

422 =+ x z



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La ecuación de la superficie de revolución se la deduce de la siguientemanera

La sección transversal es circular, por tanto:

( ) ( ) ( ) )(0)(00 222 y f y f y yr =−+−+−= Como también se observa que:

( ) ( ) ( ) 22222 00 z x z y y xr +=−+−+−= Entonces, igualando resulta:

( )[ ]222 y f z x =+

A, 22 z x + se le llama Binomio de Circularidad.

En cambio, si la curva generatriz anterior la hacemos girar alrededor deleje z, obtendríamos otra superficie de revolución, observe la figura:

x

z

y

r r

ECUACIÓN DE UNA SUPERFICIE DEREVOLUCIÓNCON CURVA GENERATRIZ )( y f x = (EN EL PLANO xy ) O TAMBIÉN )( y f z = (EN EL PLANO zy ), GIRADA ALREDEDOR DEL EJE“ y ”.



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48

Aquí en cambio:( ) ( ) ( ) )(0)(00 222 z f z z z f r =−+−+−=

Y también( ) ( ) ( ) 22222 00 y x z z y xr +=−+−+−=

Entonces, igualando resulta:

( )[ ]222 z f y x =+

El Binomio de Circularidad seria 22 y x + .

La curva anterior no puede ser girada alrededor del eje “ x”. ¿PORQUÉ?

La ecuación de una superficie de revolución con curva generatriz)( x f y = (en el plano xy ) o )( x f z = (en el plano zx) girada alrededor del

eje “ x”, sería:[ ]222 )( x f z y =+ ¡DEDUZCALA!

x

z

y

( ) z y x ,,( ) z,0,0 ( )( ) z z f ,,0r

r

( ) z f y =

ECUACIÓN DE UNA SUPERFICIE DEREVOLUCIÓN CON CURVA GENERATRIZ

)( z f x = (EN EL PLANO xz ) O TAMBIÉN)( z f y = (EN EL PLANO zy ), GIRADA

ALREDEDOR DEL EJE“ z ”.



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49

Ejemplo 1Encontrar la ecuación de la superfic ie de revolución que se generar al girar x y = alrededor del eje y .SOLUCIÓN.Primero grafiquemos la curva generatriz en el plano xy y formemos la superficie derevolución.

Como el eje de rotación es el eje y , el binomio de circularidad será: 22 z x + .Por tanto, la ecuación de esta superficie será de la forma: [ ]222 )( y f z x =+ , donde

)( y f es la ecuación de la curva generatriz; que en este caso seria: y y f =)(

Por tanto, la ecuación de la superficie sería: 222 y z x =+

Ejemplo 2Identificar y graficar la superficie que tiene por ecuación 099 222 =+− y z x .SOLUCIÓN.Primero identifiquemos el binomio de circularidad y la ecuación de la curva generatriz

( )222

222

222

3

9

099

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=+

=+=+−

z y x

z y x

y z x

Por tanto de acuerdo a la forma de la última ecuación se concluye que se trata de una

superficie de revolución con curva generatriz3 z

x = o también3 z

y = , girada

alrededor del eje z ( la variable que no aparece en el binomio de circularidad).

CurvaGeneratriz

x

z

y x y =



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Ejercicios Propuestos 2 5 1. Halle una ecuación de la superficie de revolución que se genera al girar la curva plana dada,

alrededor del eje dado. Grafique.a) 2 24 16, x z+ = alrededor del eje x .b) sen , y x= alrededor del eje x.c) 2 4 , x y= alrededor del eje y .d) 1, xy = alrededor del eje x .e) 2 6 , z x= alrededor del eje x .f) , x z e= alrededor del eje x .

2. Encuentre el eje y la curva generatriz de cada una de dichas superficies de revolución.Realice el gráfico correspondiente.

a) 0222 =−+ y z x b) y z x =+ 22 c) xe z y 222 =+

d) 3644 222 =++ z y x

x

z

y

3 z

y =



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9/23


52

2.4.3.2 ELIPSOIDE

La ecuación canónica de un elipsoide es de la forma:

( ) ( ) ( )12

2

2

2

2

2

=−

+−

+−

cl z

bk y

ah x

Donde, su centro es ( )lk hC ,,

Ejemplo

La ecuación 1194

222

=++ z y x representa un elipsoide con centro el origen.

Su traza (intersección) con el plano xy , se obtiene haciendo 0= z ,

Entonces, resulta 194

22

=+ y x

, la ecuación de una elipse. Además todas las secciones transversales son elipses. ¿Por qué?

2.4.3.3 HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA

Un hiperboloide de una hoja con eje de simetría paralelo al eje z, tienepor ecuación:

( ) ( ) ( )1

2

2

2

2

2

2

=−−−+−c

l zb

k y

ah x

Suponga que 0=h , 0=k , 0=l , se tiene 12

2

2

2

2

2

=−+c

z

b

y

a

x.

x

z

y

1194

222

=++ z y x

194

22

=+ y x

2

3



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53

Si 0= z (Traza xy ) 12

2

2

2

=+b y

a x

(Elipses)

Y todas sus secciones transversales paralelas al plano xyserán elipses.¿Por qué?

Si 0= y ( Traza zx) 12

2

2

2

=−c z

a x (hipérbolas)

Y todas sus secciones transversales paralelas al plano zxseránhipérbolas. ¿Por qué?

Si 0= x (Traza zy) 12

2

2

2

=−c z

b y

(hipérbolas)

Y todas sus secciones transversales paralelas al plano zyseránhipérbolas. ¿Por qué?

PREGUNTA: ¿Cómo serían las gráficas de:

12

2

2

2

2

2

=−+b y

c z

a x

12

2

2

2

2

2

=−+a x

b y

c z

x

z

y

12

2

2

2

2

2

=−+

c z

b y

a x

a

b



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54

2.4.3.4 HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS

Un hiperboloide de dos hojas con eje de simetría paralelo al eje z, tienepor ecuación:

( ) ( ) ( )12

2

2

2

2

2

−=−

−−

+−

cl z

bk y

ah x


2

2

2

2

2

−=−+c z

b y

a x

.


2

2

2

−=+b y

a x

(No tenemos lugar Geométrico)

Si c z = , tenemos 02

2

2

2

=+b

y

a

x (punto)

Si c z > 0 c z −< tenemos elipses . ¿Por qué?

Si 0= y (Traza zx) 12

2

2

2

−=−c z

a x

(hipérbolas)

Y todas sus secciones transversales paralelas al plano zxseránhipérbolas. ¿Por qué?


2

2

2

−=−c z

b y

(hipérbolas)

Y todas sus secciones transversales paralelas al plano zyseránhipérbolas. ¿Por qué?

x

z

y

12

2

2

2

2

2

−=−+

c z

b y

a x



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55

PREGUNTA: ¿Cómo serían las gráficas de: 12

2

2

2

2

2

−=−+b y

c z

a x

12

2

2

2

2

2

−=−+ a x

b y

c z

2.4.3.5 DOBLE CONO

Un Doble Cono con eje de simetría paralelo al eje z, tiene por ecuación:

( ) ( ) ( )0

2

2

2

2

2

2

=−−−+−c

l zb

k ya

h x


2

2

2

2

2

=−+c

z

b

y

a

x.


2

2

2

=+b y

a x

(un punto)

Si 0≠ z tenemos elipses .Si 0= y ( Traza zx) 0

2

2

2

2

=−c z

a x

(dos rectas)

Si 0≠ y tenemos hipérbolas


2

2

=− c z

b y

(dos rectas)Si 0≠ x tenemos hipérbolas

x

z

y



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PREGUNTA: ¿Cómo serían las gráficas de: 02

2

2

2

2

2

=−+b y

c z

a x

02

2

2

2

2

2

=−+ a x

b y

c z

2.4.3.6 PARABOLOIDE ELIPTICO

Un Paraboloide Elíptico con eje de simetría paralelo al eje z, tiene porecuación:

( ) ( ) ( ) 02

2

2

2

=−±−+− l zb

k ya

h x

Suponga que 0=h , 0=k , 0=l , grafiquemos: 22

2

2

b y

a x z +=


2

2

2

=+b y

a x

(un punto)

Si 0> z , tenemos elipses . (Con ba = tenemos circunferencias, encuyo caso se lo denomina Paraboloide Circular ).

Si 0< z , no tenemos lugar geométrico.

Si 0= y (Traza zx) tenemos 22

a x

z = (parábolas )Y todas sus secciones transversales paralelas al plano zxserán

parábolas. ¿Por qué?

Si 0= x (Traza zy) tenemos2

2

b y

z = (parábolas )Y todas sus secciones transversales paralelas al plano zyserán


x

z

y



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PREGUNTA: ¿Cómo serían las gráficas de:2

2

2

2

b y

a x

z +=−

2

2

2

2

b y

a x

l z +=−

2

2

2

2

b y

a z

x +=

2

2

2

2

b z

a x

y +=

2.4.3.7 PARABOLOIDE HIPERBÓLICOUn Paraboloide Hiperbólico con eje de simetría paralelo al eje z, tiene

por ecuación:( ) ( ) ( ) 0

2

2

2

2

=−±−−− l zb

k ya

h x

Grafiquemos2

2

2

2

a x

b y

z −= .

Si 0= z (Traza xy ) tenemos 02

2

2

2

=−a x

b y (2 rectas)

Si 0> z o 0< z tenemos hipérbolas .Si 0= y (Traza zx) tenemos

2

2

a x

z −= (parábolas )Y todas sus secciones transversales paralelas al plano zxserán


Si 0= x (Traza zy) tenemos2

2

b

y z = (parábolas )

Y todas sus secciones transversales paralelas al plano zyseránparábolas. ¿Por qué?



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58

PREGUNTA: ¿Cómo serían las gráficas de:2

2

2

2

b y

a x

z −=

2

2

2

2

b y

a x

l z +=−

2

2

2

2

b y

a z

x −=

2

2

2

2

b z

a x

y −=

EjemploGrafica el lugar geométrico cuya ecuación es: 0121234 222 =++− z y x SOLUCIÓN:Transformemos la ecuación dada a una de las formas descritas anteriormente:Despejando las variables:

121234 222 −=+− z y x Dividendo para 12 y simplificando:

1143

1212

1212

123

124

222

222

−=+−

−=+−

z y x

z y x

x

z

y



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De acuerdo a la forma de la última ecuación, se concluye que representa un PARABOLOIDE DE DOSHOJAS, con el eje y como eje de simetría (el término negativo loindica )

Ejercicios Propuestos 2 6Diga el nombre de las superficies cuádricas cuyas ecuaciones se dan a continuación. Haga lagráfica en cada caso.

a) 019364 222 =−++ z y x g) 036225100 222 =−+ z y x b) 0444 222 =−+− z y x h) 04002516 22 =+− z y x c) 0144916144 222 =−−+ z y x i) 022 =+− y z x d) 09436 22 =++ z y x j) 04001625400 222 =−++ z y x e) 0364369 222 =+−+ z y x k) 084 22 =−+ y z x f) 0444 222 =−+− z y x l) 0144100225 222 =+− z y x

x

z

y

143

2

2

2

−=−+ y

z x

22−



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2.5 COORDENADAS CILÍNDRICA.

Un punto P en Coordenadas Cilíndricas está denotado como ( ), ,r zθ donde r y θ son las Coordenadas Polares.

Entonces las transformaciones serían:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

z z

rsen yr x

θ θ cos

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

+=

z z

y xr x yarctan

22

θ

Ejemplo 1El cilindro que tiene por ecuación en coordenadas rectangulares 2 2 9 x y+ = , suecuación en coordenadas cilíndricas será 3r =

z

y x

y

•

r θ

( ) zr P ,,θ

x

z

y

922 =+ y x

3=r



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Ejemplo 2El plano que tiene por ecuación en coordenadas rectangulares y x= , su ecuación en

coordenadas cilíndricas será4π

θ =

Ejemplo 3El Doble Cono Circular que tiene por ecuación en coordenadas

rectangulares 2 2 2 z x y= + , su ecuación en coordenadas cilíndricas será z r =

x

z

y x y =

4

π θ =

x

z

y

r z =

222 y x z +=



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Ejemplo 4El Paraboloide Circular que tiene por ecuación en coordenadas

rectangulares 2 2 z x y= + , su ecuación en coordenadas cilíndricas será 2 z r =

2.6 COORDENADAS ESFÉRICAS.Un punto de 3 R , puede ser denotado también como un vector que inicia

en el origen con:• Magnitud ρ ,• Angulo θ , que forma su proyección r en el plano y conrespecto a la dirección positiva del eje x ,y• Angulo φ con respecto a la dirección positiva del eje z

x

z

y

22 y x z +=

2r z =

x

z

y x

y

•

2 2r x y= +θ

( )θ ρ ,,P

ρ

φ

z

z

r

0

0 2

0

ρ

θ π

φ π

≤ < ∞≤ ≤

≤ ≤



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63

Observe que:

2 2 2

2 2 2cos

x y z y

arctg x

zarc

x y z

ρ

θ

φ

⎧⎪

⎪ = + +⎪⎪ =⎨⎪⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟=

⎜ ⎟⎪ + +⎝ ⎠⎩

cos

cos

cos

x sen

y sen

z

ρ φ θ

ρ φ θ

ρ φ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

Ejemplo 1La Esfera que tiene por ecuación en coordenadas rectangulares 2 2 2 9 x y z+ + = , suecuación en coordenadas esféricas será 3 ρ =

Ejemplo 2El Cono que tiene por ecuación en coordenadas rectangulares 2 2 z x y= + , su

ecuación en coordenadas esféricas será 4π

φ =

x

z

y

3 ρ =

x

z

y

4

π φ =



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Ejemplo 3Identificar y graficar la superficie que tiene por ecuación3cos ρ φ = .SOLUCIÓN:Utilizando las ecuaciones de trasformación:

( )

2

2 2 2

22 2 3 92 4

3cos

3

3

3

z

z

x y z z

x y z

ρ φ

ρ ρ

ρ

=

=

=+ + =+ + − =

De la última ecuación se concluye que es una esfera de centro ( )320,0, y radio 32

Ejercicios propuestos 2 7Halle una ecuación en coordenadas rectangulares y dibuje las siguientes superficies.

a) 2=r f) φ=ρ sec4 k) 2 zr =

b) zr =2 g) xr −= 52 l) θ= cos2r c)

4π=θ h) θ senr 2= m) 22 =+ρ x

d) 4π=φ i) θ= 22 senr z n) 422 =+ zr

e) 5=ρ j) φ=ρ cos4 o) θφ=ρ seccsc4 p) 1sencos 2222 =+θ−θ zr q) φ=ρ csc

x

z

y

3

2r =

•( )320,0,

3cos ρ φ =



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65

Misceláneos1. Identifique Y GRAFIQUE las siguientes superficies.

a) z y x y x z 4824 222 ++−+= k) 04 222 =−+ z y x b) 053329 22 =+−−− x y x z l) 42222 =+ x z y z

c) 03225222

=++−−− y z x z y x m)222

z y x −= d) 02323 222 =++−+− z y x y x n) 435 222 =+− z y x

e) 222 1025 z y x y x =+−+ o) z y ln2 = f) 0232 22 =−−+ y y x p) 0222 =−+ z y x g) 03223 22 =+−++− z x y y x q) 5sen2 += y z h) 01728623 222 =++−−++ z y x z y x r) 22ln2 y z x += i) 01849 222 =+− x z y s) 022 =−+ z y x

j) 146916 222 =−− z y x 2. Encuentre la ecuación general de la esfera que es tangente al plano 0448 =++− z y x y

que tiene el mismo centro que

0336412222 =+−−−++ z y x z y x .Resp.( ) ( ) ( )

94222 326 =−+−+− z y x

3. Hallar la menor distancia que hay entre el plano 2022 =++ z y x , y la esfera que tiene porecuación 013642222 =+−−−++ z y x z y x

Resp. 2=d

4. Dibújese la región limitada por las gráficas de las ecuaciones.

a) 2,2 22 =+= z y x z

b) 0,0,0,4,4 22 ===−=−= z y x x y x z c) 0,2,122 ==+=+ z z x y x

d) 0,,4 22222 =+==++ z y x z z y x

e) 0,2,4 22 ==−−= z z y y x z

f) 2222 4, y x z y x z −−=+= 5. Encuentre las coordenadas de los focos de la elipse que resulta de la intersección de

94

22 y x z += con 4= z .

Resp.( )4,52,0 y ( )4,52,0 − 6. Encuentre las coordenadas del foco de la parábola que resulta de la intersección de

94

22 y x z += con 4= x .

Resp.4

25,0,4 7. Pruebe que la proyección en el plano xz de la curva que es la intersección de las superficies

24 x y −= , y 22 z x y += es una elipse y encuentre sus diámetros mayor y menor.

8. Dibuje el triángulo en el plano x y = que está arriba del plano2 y

z = , debajo del plano

y z 2= , y dentro del cilindro 822 =+ y x . Después encuentre el área de este triángulo.Resp. 23= A



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9. Encontrar los valores de k para los cuales la intersección del plano 1=+ ky x y elhiperboloide elíptico de dos hojas 1222 =−− z x y es:a) Una elipseb) Una hipérbola

Resp.a) ( ) ( )2,11,2 ∪−−∈k b) ( )1,1−∈k 10. Demostrar que la intersección del paraboloide hiperbólico

c z

a x

b y =−

22

22 y el plano

aybx z += consiste de dos líneas rectas que se interceptan.

11. Sean QP , los puntos de intersección del paraboloide hiperbólico z x y =− 22 con la

recta3

32

11

2 −=−=− z y x , hallar la proyección del vector PQ sobre el vector

k jî V ˆˆ ++−=

Resp. ( )4,4,4Pr −= →

→ PQoyV

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