sumur potensial

download sumur potensial

of 22

Transcript of sumur potensial

  • 8/17/2019 sumur potensial

    1/22

    SUMUR POTENSIAL Jurusan Fisika. Fakultas Sains dan Teknologi. Universitas airlangga.Surabaya

     

    1. Aji Brahma (00! "#. $edy %ermana (00&101'0". Ayu )us*ita Sari (00&10#"!. Agus Setia*an (00&10#+",. -era hoirunisa (00'1001"&. Ayu /ovitasari (00'10111"'. $e*i Susilo*ati (00'10 ". Shahebul mam (00'1010#"

    2009

    S2/A3FSA

    UA/TU2elom%ok ,

  • 8/17/2019 sumur potensial

    2/22

    Bab 1

    Pendahuluan

    4ersamaan dasar yang se5ara umum menyatakan si6at %artikel dan

    gelombang diusulkan dalam kerangka mekanika gelombang oleh

    S5hrodinger dan mekanika matriks oleh 7eisenberg. 2enga5u %ada

    %ersamaan S5hrodinger yang meru%akan di6erensial %arsial8 timbul

    %ertanyaan yaitu menentukan solusi dari 6ungsi gelombang tia%

    keadaan. Fungsi gelombang itu sendiri dide6e9nisikan sebagai kejadian

    atau %robabilitas suatu keadaan. Jika 6ungsi gelombang sudah diketahui8

    maka in6ormasi mengenai kemungkinan untuk menda%atkan %artikel yang

    dideskri%sikan oleh da%at di5ari. Selain itu nilai nergi untuk tia%

    keadaan da%at di5ari dengan menggunakan %ersamaan gelombang

    tersebut.

    4ada makalah ini8 ditinjau sebuah kasus untuk sebuah %artikel atau

    :arah yang terjebak di dalam sebuah sumur %otensial dengan dinding

    yang tak terhingga. $engan menggunakan %otensial yang ada %ada kasus

    sumur %otensial8 akan di%eroleh %ersamaan gelombang. $ari %ersamaan

    gelombang tersebut da%at di5ari nilai nergi untuk kasus sumur %otensial.

    ita ketahui bersama bah*a %artikel %ada %otensial ini bebas 8 ke5uali%ada # batas ( ;

  • 8/17/2019 sumur potensial

    3/22

    Bab 2Isi

    2.1 Sumur !"ensial "a# berhin$$a%In&ni"e S'uare (ell)4ada kasus sumur %otensial8 kami akan meninjau sebuah %artikel bebas

    dalam sebuah sumur %otensial tak hingga dengan %anjang a8 dan

    %artikelnya ter%erangka% di dalamnya.

    Gambar 1: Sumur Potensial Yang Tak Berhingga

    2.1.1 *un$si +el!mban$

    $ari gambar diatas8 da%at kita dituliskan %otensial %artikel bebas

    terhada% x  adalah >

    4ersamaan S5hr?dinger untuk a x ≤≤0  adalah sebagai berikut>

    $i%eroleh8

  • 8/17/2019 sumur potensial

    4/22

     ................(#.1"

    dengan  

    2

    2

    2

    2

    2

    mE 

     E m

    =

    =

    Solusi dari %ersamaan (#.1" adalah >   ( )   ikxikx  Be Ae x   +=   −ψ  

    atau da%at %ula ditulis>

    @@.@..@@@@@@..

    @@@@@@@@.. (#.#"

    dari Boundary Condition atau syarat batasnya8 kita akan menentukan nilai

     A dan B.

    Syarat batas yang  pertama > tidak mungkin %artikel ditemukan

    atau berada %ada x  < 0

    ( )

    ( ) ( )

    ( )

    0

    000cos

    00sin0cos

    00

    ==+

    =⋅+⋅==

     A

     A

    k  Bk  A

     xψ  

    $engan mensubstitusikan  A  < 0 %ada %ersamaan (1.#" maka

    solusinya menjadi>

      @@@@@@@@@@@@@@.

    (#."

  • 8/17/2019 sumur potensial

    5/22

    Syarat batas yang kedua > tidak mungkin %artikel ditemukan atau

    berada %ada x  < a

    ( )

    ( )   0sin

    0

    ===

    ka B

    a xψ  

    arena B  0 ( jika B

    ( )

    ( ) ( )

    π 

    π 

    nka

    nka

    ka

    =

    ==sinsin

    0sin

    a

    nk 

      π = @@@@@@@@@@@@..

    (#.!"

    dengan mensubstitusikan %ersamaan (#.!" ke %ersamaan (#."

    di%eroleh solusi>

    ( )      

      =   xa

    n B x  π 

    ψ     sin @.@@@@@@@.. (#.,"

    Untuk menentukan nilai B melalui normalisasi.

    ( )

    ( ) ( )

    10sin0

    1sinsinsin

    1sin

    1sinsin

    1

    1

    0

    22

    22

    0

    22

    0

    22

    22

    *

    2

    =+

       

      +

    =

       

      +

       

      +

       

      

    =

       

      

    =

       

      

       

      

    =⋅

    =

    ∫ 

    ∫ ∫ ∫ 

    ∫ ∫ 

    ∫ 

    ∫ 

    ∞−

    ∞−

    ∞−

    ∞−

    ∞−

    a

    a

    a

     xa

    n Bdx

     xa

    n Bdx x

    a

    n Bdx x

    a

    n Bdx

     xa

    n Bdx

     xa

    n

     B xa

    n

     Bdx

     x xdx

     xdx

    π 

    π π π 

    π 

    π π 

    ψ  ψ  

    ψ  

  • 8/17/2019 sumur potensial

    6/22

    ( )   12

    12

    2cos1

    1sin

    2

    0

    2

    0

    22

    =

    =

       

      −

    =

       

      

    ∫ 

    ∫ 

    a B

     xa

    n

    dx B

     xa

    ndx B

    a

    a

    π  

    π  

    a B

    a B

    2

    22

    =

    =

    Sehingga dida%atkan solusi   ( )        =  x

    a

    n

    a x   π ψ     sin

    2  @@@@.

    (#.&"

    ebih te%atnya solusi di atas dituliskan sebagai berikut>

      ( )      

      =   xa

    n

    a x

    n

    π ψ     sin

    2

    @@@@@@@@@@@@@ (#.'"

    2.1.2. Ener$i

    $ari %ersamaan >   E m

    k 2

    2   2

    =

    dan dengan mensubstitusikan %ersamaan (#.!" ke %ersamaandiatas8 akan di%eroleh nilai energi sebesar>

     2

    2

    2

    2

    1

    2

       

      =

    =   

      

    a

    n

    m E 

     E m

    a

    n

    π 

    π 

    2

    222

    2ma

    n E 

      π  =

  • 8/17/2019 sumur potensial

    7/22

    ebih te%atnya ditulis

    2

    222

    2ma

    n E 

    n

    π  =   @@@@@@@.. (#.1"

    n< 18#88@

    4ersamaan (#.1" meru%akan %ersamaan nergi untuk tia% keadaan

    n.

    etiga solusi %ertama untuk s%ektrum diskrit dalam sumur

    %otensial adalah

     

  • 8/17/2019 sumur potensial

    8/22

    Se%erti yang telah dise%akati8 %ersamaan s5hrodinger yang tidak

    bergantung *aktu telah menghasilkan sebuah set solusi tak berhingga

    untuk setia% integer n.%lot gambar diatas terlihat hanya sebagai

    gelombang berdiri %ada benang yang %anjangnya . yang memba*a

    energi terendah yang disebut ground statesC yang lainnya8 yang memiliki

    energi yang meningkat sebanding dengan nilai 8 disebut e;5ited state.

    Sebagai gabungan 6ungsi (;" hanya memiliki bebera%a kom%onen yang

    %enting dan menarik>

    1. 2ereka se5ara bergantian gena% dan ganjil dengan menga5u %ada

    %usat sumber %otensial (

    6ungsi gena% ketika

    5osinus dan 6ungsi ganjil ketika sinus.

  • 8/17/2019 sumur potensial

    9/22

    2. Selama energinya dinaikkan 8 setia% state memilki satu lagi node

    ( 5os nol" berturutDturut . tidak memiliki8 memiliki satu8

    memiliki #8 dan seterusnya.3. mereka saling orthogonal ditunjukkan bah*a>

    Eatatan bah*a argumen ini tidak bekerja jika m

  • 8/17/2019 sumur potensial

    10/22

    )i sini ti!ak !ibuktikan secara sem#urna tentang %ungsi ta#i !eret

    %ourier untuk %aktan$a !a#at !i#erluas !engan cara $ang !isebut theorema

    Dirichlet. )engan #erluasan koe%isien &+n( !a#at !ie,aluasi untuk #emberian  f  (x) 

    !engan meto!e $ang !isebut %ourier trick !imana kita !a#at mengeks#loitasi

    orthonormalitas !ari #erkalian antara !ua #ersamaan tersebut $aitu #ersamaan

    2.2 !engan * !an !iintegralkan:

    Untuk n=m8 koe9sien m %ada luasan f (x) 

    m%at kom%onen diatas sangat mem%engaruhi8 dan mereka tidak

    ganjil %ada sumur %otensial tak berhingga. 4ernyataan %ertama

    benar ketika %otensialnya meru%akan 6ungsi gena%. 4ernyataan

    kedua adalah %ernyataan yang umum8 tan%a menghiraukan bentuk

    %otenisial. rtogonalitas juga 5uku% umum.

    4ada %osisi diam untuk sumur %otensial tak berhingga dijelaskan >

    $a%at di%astikan bah*a solusi yang %aling umum %ada %ersamaan

    S5hrodinger adalah kombinasi linier dari %osisi diam.

    4enyelesaian akhir %ersamaan ini da%at diungka%kan dengan

    %ada metode ini orthonormalisasi 6ungsi

    tersebut mengijinkan %enggunaan metode 6ourier trik untuk

    menentukan koe9sien sesungguhnya>

  • 8/17/2019 sumur potensial

    11/22

    2.2.Sumur P!"ensial berhin$$a %*ini"e S'uare (ell)

    Berikut ini kita %elajari %artikel yang bergerak di sumur %otensial dengan

    kedalama berhingga.

    4otensial system diberikan oleh>

    dengan demikian 8 %ersamaan Shrodinger system ini diberikan oleh

    @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@..4ers#.#1

    dan

    @@@@@@@@@@@@@@@@@@%ers#.##

    - <

    0

    ; <

    Da

    ; < a

    0

    -o

    1 #

  • 8/17/2019 sumur potensial

    12/22

    Analisa terhada% system ini dibedakan antara energy %artikel G0 dan

    energy H0.

    A.,eadaan "eri#a" Ener$i ne$a"i-e

    Untuk energy negative8 dengan kuantitas %ositi68maka %ers

    #.#1 dan #.## menjadi

     

    $engan

    Solusi untuk daerah (1" dan (" yaitu daerah

    $engan A8B88dan F konstantaDkonstanta. Sedangkan solusi untuk daerah

    (#"

    Selanjutnya tentukan konstantaDkonstanta A8F8E dan $ dengan

    menera%kan syarat kontinuitas di ;

  • 8/17/2019 sumur potensial

    13/22

    2emberikan

    Sedangkan

    2emberikan

    $engan 5ara yang seru%a8kontinuitas di ;

  • 8/17/2019 sumur potensial

    14/22

    @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@.%ers#.'

    A

  • 8/17/2019 sumur potensial

    15/22

    @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@...%ers #.!#

    $engan 5ara seru%a8 untuk solusi jenis kedua #.' dida%atkan

      %ers #.!a

    $an

      %ers

    #.!b

    edua solusi #.!# dan #.!b menyiratkan bah*a hanya k diskrit

    tertentu yang memenuhi. 7arga tersebut bisa di%eroleh melalui

    %endekatan gra9k berikut

    2isalkan8irisan antara

    @energy yang

    di%erbolehkan

      %ers #.!!

    $ari gambar diatas atau dari %ers. #.!1 tam%ak bah*a jumlah

    energy yang di%eroleh berhingga. $ari gambar8jika sama

    dengan satu nilai8 ka berada dalam interval maka

    ada (/K1" irisan. $engan kata lain ada (/K1" tingkat energy diskrit jika

    atau jika

  • 8/17/2019 sumur potensial

    16/22

      %ers#.!,

    $engan demikian8sedikitnya ada satu keadaan terikat untuk

    sedangkal a%a%un sumur %otensial8yaitu jika ke5il sekali sehingga

    / ynag memenuhi adlah nol.

    Fungsi igen dan 4aritas. Berikut ini kita lihat %erilaku 6ungsi

    gelombang untuk setia% energy n. nergi n dengan n

  • 8/17/2019 sumur potensial

    17/22

    Fungsi eigen ini anti simetri terhada% titik asal

    Fungsi gelombang yang memenuhi si6at #.! ini disebut 6ungsi

    eigen %aritas ganjil.

    Bab ,esimulan

  • 8/17/2019 sumur potensial

    18/22

    Untuk sumur %otensial tak berhingga8 da%at kita dituliskan %otensial

    %artikel bebas terhada% x  adalah >

    4ersamaan S5hr?dinger untuk a x ≤≤0  adalah sebagai berikut>

    $i%eroleh %ersamaan gelombang8

     ................(#.1"

    dengan  

    2

    2

    2

    2

    2

    mE k 

     E m

    =

    =

    $engan solusi dari %ersamaan (#.1" adalah >  ( )   ikxikx  Be Ae x

      +=

      −ψ  

    atau da%at %ula ditulis>

    @@.@..@@@@@@..

    @@@@@@@@.. (#.#"

    dari Boundary Condition atau syarat batasnya8 kita akan menentukan nilai

     A dan B.

    Syarat batas yang  pertama > tidak mungkin %artikel ditemukan

    atau berada %ada x  < 0

    Syarat batas yang kedua > tidak mungkin %artikel ditemukan atau

    berada %ada x  < a

  • 8/17/2019 sumur potensial

    19/22

    $engan mensubstitusikan %ersamaan (#.!" ke %ersamaan (#."

    di%eroleh solusi>

    ( )     

      

     =   xa

    n B x  π 

    ψ     sin @.@@@@@@@.. (#.,"

    Untuk menentukan nilai B melalui normalisasi dida%atkan nilai B>

    a B

    a B

    2

    22

    =

    =

    Sehingga dida%atkan solusi   ( )     

      

     =   xa

    n

    a

     x  π 

    ψ     sin2

      @@@@.

    (#.&"

    ebih te%atnya solusi di atas dituliskan sebagai berikut>

      ( )      

      =   xa

    n

    a x

    n

    π ψ     sin

    2

    @@@@@@@@@@@@@ (#.'"

    2.2 Ener$i

    $ari %ersamaan >   E m

    k 2

    2   2

    =

    dan dengan mensubstitusikan %ersamaan (#.!" ke %ersamaan

    diatas8 akan di%eroleh nilai energi sebesar>

     

    2

    222

    2ma

    n E 

      π  =

    n< 18#88@

    4ersamaan (#.1" meru%akan %ersamaan nergi untuk tia% keadaann.

  • 8/17/2019 sumur potensial

    20/22

      Sebagai gabungan 6ungsi (;" hanya memiliki bebera%a

    kom%onen yang %enting dan menarik>

    2ereka se5ara bergantian gena% dan ganjil dengan menga5u%ada %usat sumber %otensial (

    6ungsi gena%

    ketika 5osinus dan 6ungsi ganjil ketika sinus.

    • Selama energinya dinaikkan 8 setia% state memilki satu lagi node

    ( 5os nol" berturutDturut . tidak memiliki8 memiliki satu8

    memiliki #8 dan seterusnya.

    • mereka saling orthogonal ditunjukkan bah*a>

    • Persamaan tersebut lengka# $ang berarti baha %ungsi $ang lain $aitu %&'( !a#at

    !in$atakan sebuah kombinasi liniern$a:

    m%at kom%onen diatas sangat mem%engaruhi8 dan mereka tidak

    ganjil %ada sumur %otensial tak berhingga. 4ernyataan %ertama

    benar ketika %otensialnya meru%akan 6ungsi gena%. 4ernyataan

    kedua adalah %ernyataan yang umum8 tan%a menghiraukan bentuk

    %otenisial. rtogonalitas juga 5uku% umum.

    4enyelesaian akhir %ersamaan ini da%at diungka%kan dengan

    %ada metode ini orthonormalisasi 6ungsi

    tersebut mengijinkan %enggunaan metode 6ourier trik untuk

    menentukan koe9sien sesungguhnya>

  • 8/17/2019 sumur potensial

    21/22

    Untuk sumur %otensial berhingga8 da%at kita dituliskan %otensial %artikel

    bebas terhada% x  adalah >

    4ersamaan Shrodinger system ini diberikan oleh

    @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@..4ers#.#1

    dan

    @@@@@@@@@@@@@@@@@@%ers#.##

    Analisa terhada% system ini dibedakan antara energy %artikel G0 danenergy H0.

  • 8/17/2019 sumur potensial

    22/22

    /a"ar Pus"a#a

    Lasioro*i5:8 Ste%henD#000. Quantum Physics.  Third dition. University o62innesota

    LriMths8 $avid. J. Introduction to Quantum Mechanics. 1++,. 4renti5e

    hall8in5.

    4ur*anto8 Agus. Fisika uatum. #00&. Lava 2edia