Sumas de Riemann

7/18/2019 Sumas de Riemann

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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADORCARRERA DE INGENIERIA CIVIL

FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS, FÍSICA Y MATEMÁTICACÁLCULO INTEGRAL

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Cálculo Integral. Proyecto Final

Prof. Ing. José Ramiro Pilaluisa Q. M.Sc. Abril 2015 – Agosto 2015 1

1 Resumen

En el presente documento damos a conocer todos los aspectos tanto teóricos como demostrativos

relacionados a las Sumatorias de Riemann, lo hacemos de una forma detallada lo cual servirá

como medio de apoyo para el estudio de este tema por partes de otros estudiantes.

Previo a definir fundamentalmente lo que es la Suma de Riemann procedemos a dar conceptos

breves sobre lo que es la suma superior y la suma inferior de Darboux de una función definida en

un intervalo (a, b) asociadas a una partición del mismo, en si estas sumas nos sirven para dar

aproximaciones al área que queremos encontrar.

También veremos algunas propiedades, específicamente aquellas que hacen referencia a la

relación entre ambas sumas y su comportamiento cada vez que consideramos particiones más

finas ya que al hacer ese tipo de particiones tenemos valores más aproximados del área, es

netamente importante conceptualizar estas propiedades ya que ellas nos garantizan la existencia

del ínfimo de las sumas superiores y el supremo de las sumas inferiores dándonos por medio de

esto los valores de las integrales inferior y superior de Darboux en el intervalo(a,b). Ya que la

Integral de Riemann junto a Darboux son equivalentes, daremos un criterio conciso de

integrabilidad de Riemann que nos permitirá estudiar la integrabilidad de una función sin

necesidad de calcular las integrales superior e inferior lo que a la larga nos facilita encontrar

diferentes tipos de aproximación de la integral.

En cuanto al aspecto de los métodos y materiales utilizados cabe destacar que nos basamos enartículos, libros, sitios web previamente verificados para dar a conocer conceptos verídicos deltema en estudio.

Al tener los resultados de la presente investigación pasaremos a comparar nuestra investigacióncon publicaciones anteriormente realizadas para de esta manera lograr obtener conclusiones yrecomendaciones validas que justifiquen la presente investigación realizada.

Finalmente anexamos aquellos medios que favorecieron tanto en el ámbito conceptual comodemostrativo de esta investigación por el hecho de que se necesita tener bases de respaldo deltema investigado.

Palabras clave:Suma superior, suma inferior, integrabilidad de Riemann





Abstract

Through this research we present the most important aspects, theoretical and demonstration ofRiemann Sums, basically we focus on properties that help us clarify methods used for the

realization of such exercises.

We apply various research methods including analytical method, as well as established different

hypotheses that were later proven with any degree of assertiveness.

Using data from a comparison it was made between our research and concepts found in various

publications thus see the similarity between concepts and through this provide concise

information on this subject.Finally we establish conclusions and recommendations regarding the results obtained thus

ensuring a wide coverage of the subject treated.

Keywords:

Demonstration, comparison, assertiveness

2 Introducción

Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.Es aquella sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del área bajo la curva y se van

calculando las partes de una función por medio de particiones en forma de rectángulos con base

en un incremento en el eje X, ya que la suma de todas las áreas de los rectángulos va ser el área

total. Dicha área es conocida como la suma de Riemann.

IDENTIFICACIÓN DEL PROBLEMA

Es uno de los temas a tratar en el estudio de cálculo integral es una de las pilares fundamentales

en lo que conlleva a la obtención de área es por aquello la que se necesita un concepto basto de

de suma de Riemann y área bajo la curva

JUSTIFICACIÓN DEL PROBLEMA

La presente investigación tiene como objeto principal el conocimiento sobre la sumas de

Riemann por cual es necesario conocer todo sobre los métodos, teoremas, definiciones que

conllevan hacia un mejor entendimiento y manejo de los mismo para así lograr aplicarlos.





HIPOTESIS

- Con los teoremas que se encuentren en la investigación se realizar ejercicios “ejemplo” para

entender el sustento teórico de dicho teorema

- Una vez entendiendo la teoría y los ejercicios “ejemplo” se presenta ejercicios ya aplicados a la

integral el cual es el objetivo principal de la investigación

CRITERIOS

- Es necesario tener muy claro la teoría que permitan la ejecución y desarrollo de ejercicios de

aplicación que el cual concadenara con temas tales como integral definida para hallar el área

bajo la curva.

- Es de gran ayuda realizar ejercicios aumentando la dificultad ya que esto ayude a que elestudiante no se “estanque” en una sola manera de realizar ejercicios sino el de buscar otras

formas.

-

MARCO TEÓRICO

SUMAS DE RIEMANN

La teoría de límites de aproximaciones finitas fue desarrollada por el matemático alemánBernhard Riemann. La suma de Riemann, base de la teoría de la integración definida la cual es

motivo de estudio en la asignatura de cálculo.

La suma de Riemann es definida como una función arbitraria f definida en un intervalo cerrado

[a,b]. f puede tener valores positivos como negativos .el intervalo[a,b] se subdivide en

subintervalos los cuales no necesariamente son del mismo ancho, y formamos sumas las cuales

permiten tener aproximaciones finitas . Para hacerlo se elige n-1 puntos {x0, x1, x2, ..., xn} entre

[a y b ]que satisfagan que a = x0 < x1 < x2 < ... < xn-1 < xn = b

Una suma de Riemann se interpreta como el área total de rectángulos adyacentes de anchura

común y de alturas situados entre el eje de las abscisas y la curva de la función

Consiste en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área

de cada uno de ellos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que almomento de sumar se obtiene un margen de error muy grande.





Sumas de Riemann cuando n= 5 rectángulos, n=10 y n=20. Cuando crece n, el área total de los

rectángulos se aproxima al área delimitada por el eje de las abscisas y la curva f

La notación para sumar todas esas áreas se la denomina notación sigma cuyo símbolo es el

siguiente: Σ

A continuación se presentan ejemplos simples para dar una idea del uso de sigma

Donde

TEOREMAS

A continuación se presenta los teoremas a utilizar para la notación sigma

Si n es un número entero positivo





DEFINICIÓN DEL AREA DE UNA REGIÓN PLANA

“ Suponga que una función f es continua en el intervalor cerrado [a,b], con f(x) para toda x

en [a,b], y que R es la región limitada por la curva y=f(x), el eje x y las rectas x=a y x=b. Divida

el intervalo [a,b] en n subintervalos, cada uno de longitud =(b-a)/n, y denote el i-ésimo

subintervalo por [xi-1, xi]. Entonces si f(ci), es el valor de función mínimo absoluto en el i-esimo

subintervalo, la médida de área de la región R está dada por” (Lara y Arroba, pag 203, par 3)

A=

CARACTERIZACIÓN DE LAS FUNCIONES RIEMANN-INTEGRABLES

Supongamos que f es una función acotada definida en el intervalo cerrado [a, b]. Entonces f es

integrable Riemann si y sólo si para todo > 0 existe al menos una partición P tal que

| S(f, P) - I(f, P) | <

donde S(f, P) es la suma superior de f respecto de la partición P, e I(f, P) es la suma inferior de f

respecto de la partición P

Sumas de Riemann

Si P = { x0, x1, x2, ..., xn} es una partición del intervalo cerrado [a, b] y f es una función definida

en ese intervalo, entonces la Suma de Riemann de f respecto de la partición P se define como:

R(f, P) = f(t j) (x j - x j-1)

donde t j es un número arbitrario en el intervalo [x j-1, x j].

http://www.dma.fi.upm.es/java/calculo/integracion/teoria_integral.htm#suma_superior

http://www.dma.fi.upm.es/java/calculo/integracion/teoria_integral.htm#suma_inferior




http://www.dma.fi.upm.es/java/calculo/integracion/teoria_integral.htm#suma_superior





La suma de Riemann corresponde geométricamente con la suma de las áreas de los rectángulos

con base x j - x j-1 y altura f(t j).

TIPOS DE APROXIMACIÓN DE LA INTEGRAL

Por tanto, surge la duda de qué punto t j tomar dentro de cada subintervalo de la partición para

evaluar la función en ese punto. En este sentido hay varias posibilidades para elegir el punto t j en

el subintervalo [x j-1, x j], y las más utilizadas son éstas:

- Punto izquierdo: se toma como valor t j el límite inferior del subintervalo, es decir, x j-1.

Gráficamente:

- Punto derecho: se toma como valor t j el límite superior del subintervalo, es decir, x j.

Gráficamente:

- Punto medio: se toma como valor t j el punto medio entre los límites del subintervalo, es decir,(x j-1 + x j) / 2. Gráficamente:

- Punto aleatorio: se toma como valor t j un punto elegido aleatoriamente entre todos los puntosdel subintervalo. Gráficamente:





- Punto ínfimo: se toma como valor t j aquel punto del subintervalo tal que f(t j) es el ínfimo en ese

subintervalo. Gráficamente:

- Punto supremo: se toma como valor t j aquel punto del subintervalo tal que f(t j) es el supremo en

ese subintervalo. Gráficamente:

Los dos últimos tipos de aproximación no son útiles en la práctica, pues para aplicarlos sería

necesario calcular el ínfimo o el supremo de f(t j), teniendo que recorrer todo el subintervalo.

Pero esto no es necesario; ¿Por qué?

Si una función es Riemann-Integrable, podemos aproximar la integral por sumas de Riemann

R(f,P) tomando t j como queramos.

FUNCIONES.RIEMANN-INTEGRABLES

Toda función continua en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable.

Toda función continúa y acotada en un intervalo cerrado y acotado, excepto en una

cantidad numerable de puntos, es Riemann-Integrable.

Recíprocamente, si una función acotada definida en un intervalo cerrado y acotado es

Riemann-Integrable, entonces es continua en ese intervalo excepto como mucho en una

cantidad numerable de puntos.





Toda función monótona y acotada en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-

Integrable.

3 Materiales y Métodos

Las sumas de Riemann permiten desarrollar varios tipos de metodologías entre los que tenemos

el método analítico que es propio de este ya que es necesario tener en cuenta un mayor análisis,

además al estar relacionados con valores cuantitativos, este permite tomar en cuenta un método

cuantitativo.

Al tener que aplicar los diferentes métodos estos conlleva a un solo resultado el cual debe ser

bien interpretado es por eso que también es aplicable el método deductivo.

Para el presente proyecto se utilizaron varios materiales físicos como tecnológico entres los

físicos tenemos materiales tales como libros de cálculo integral, fundamentos de cálculo

avanzado detallados en la bibliografía, en materiales tecnológicos fue utilizado básicamente el

internet como elemento de consulta

4 ResultadosSi la función f(x) es siempre finita, en el intervalo cerrado [acotado]([a, b]), el cual al disminuir

infinitamente todas sus magnitudes es decir se subdividen , la

magnitud total que intuitivamente representa la base de un rectángulo muy pequeño, con su

correspondiente diferencial de altura definida por dicha función f ( ). Por lo cual la sumatoria

de todas las áreas, generara un valor aproximado del área bajo la curva f(x) = y.

5 DiscusiónConforme a la investigación teórica, el cálculo de la sumatoria se facilita considerablemente al

considerar n particiones iguales en el intervalo cerrado (a, b).

Por ello se establece que:

Si consideramos intervalos cada vez más finos, denominados iésimo sub intervalos, seabarcara con mayor exactitud toda la medida de área a definir.Es así que al llevar la sumatoria al límite infinito se podrá definir en su totalidad la medida delárea bajo la curva, representada simbólicamente de la forma:





Finalmente se debe considerar , como un valor máximo o mínimo absoluto de pendiendode emplear rectángulos circunscritos o inscritos respectivamente. (Anton, H. Calculus: A NewHorizon, 6th ed. New York)

6 Conclusiones En general las sumas de Riemann es una de las operaciones importantes que permiten el

cálculo de áreas

La suma de Riemann constituye una manera importante de operar en cálculo en algunos

casos lo facilita y en otros no tanto

Los teoremas de la suma de Riemann facilitan la resolución del cálculo de áreas tanto

irregulares como regulares.

Al ser esta una operación de áreas con diferenciales muy pequeños en el momento de

producirse la suma total de estos, conllevara a obtener un error grande en el cálculo de

áreas.

Al combinar la sumas de Riemann con otras operaciones tales como la operación de

limites este facilita y en cálculo de áreas con una aproximación más real

La aplicación de propiedades de sumatorias facilita el la resolución de la operación

7 Recomendaciones Conocer las propiedades de las sumatorias y aplicarlas en el momento que se requiera

Conocer las propiedades de los límites de una función

Para comprobar las sumas de Riemann se puede utilizar la integral definida de la función

dada.

Mediante las sumas de Riemann podremos calcular áreas e incluso volúmenes de

diferentes características en problemas futuros.

8 Referencias

Apostol, T. (1984). Cálculus Volumen 1 y 2.

http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0471153060/ref=nosim/weisstein-20








BARTLE et al. (2009). Introducción al Análisis Matemático de una Variable.

Granville, W. (2009). CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.

Leithold, L. (1998). EL CÁLCULO.

Purcell, E. (2007). CÁLCULO.

Sánchez, J. M. (2011). Historias de Matemáticas.

9 ANEXOS

BIBLIOTECA VIRTUALLibro1Descripción:

Link: http://bvirtual.uce.edu.ec:2054/lib/bgeneralucesp/detail.action?docID=11013520&

p00=sumas+riemann

http://bvirtual.uce.edu.ec:2054/lib/bgeneralucesp/detail.action?docID=11013520&p00=sumas+riemann








Libro2Descripción:

Link:http://bvirtual.uce.edu.ec:2054/lib/bgeneralucesp/detail.action?docID=10526589&

p00=sumas+riemann









BIBLIOTECA FISICA.Libro1- Cálculo diferencial e integral – Granville

Libro2- El Cálculo – Leithold Louis





ARTICULOS INDEXADOSArchivo pdf 1- Recuperado: 21/06/2015

Link: http://www.geometer.org/mathcircles/riemannint.pdf

http://www.geometer.org/mathcircles/riemannint.pdf







Archivo pdf 2- Recuperado: 21/06/2015

Link: http://www.dawsoncollege.qc.ca/public/72b18975-8251-444e-8af8-224b7df11fb7/programs/disciplines/math/coursesupplements/supplementary_notes

_-_riemann_sum.pdf

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