Elaboro: JULIO ALBERTO GONZÁLEZ NEGRETE

SUMA DE RIEMANN

Para dar una introducción a este concepto matemático comenzaremos analizando unas graficas

donde se está sobre estimando y subestimando el área bajo una curva, mediante rectángulos de

altura f(x) y de ancho ∆x, con estos datos las áreas de los rectángulos se obtendrían mediante el

siguiente calculo A= f(x)(∆x), en las graficas se están utilizando puntos extremos izquierdos y

derechos, los puntos extremos izquierdos nos dan una altura f(x) que nos sirve para estimar el

área por defecto, lo que es decir, estamos subestimando el área, por otra parte los puntos

extremos derechos nos dan una altura f(x) que nos sirve para estimar el área por exceso, es decir

estamos sobre estimando el área bajo la curva.

En estas graficas vemos que el área del

rectángulo amarrillo mide 76cm2 (sobre

estimación) y el área del rectángulo rojo

mide 12 cm2 (sub estimación), ambos

tienen la misma base (∆x=4cm) pero

diferente altura, en el primer caso la

altura es de 19cm y en el segundo de

3cm. Entonces podemos decir que el

área bajo la curva (s), la podemos

estimar dentro del siguiente intervalo:

Elaboro: JULIO ALBERTO GONZÁLEZ NEGRETE

En estas graficas vemos que el área total

estimada está conformada por la suma de

dos áreas en ambos casos, en el primer

caso los rectángulos tienen alturas de

7cm(morado) y 19 cm(azul), en este caso

tenemos un nuevo valor para la base(∆x),

y es de 2cm, entonces las áreas son 14cm2

y de 38cm2 respectivamente, para los

rectángulos de subestimación tenemos

algo similar pero con distintas alturas y

son de 3cm para el rectángulo verde y de

7cm para el rectángulo crema, entonces

las áreas para estos rectángulos son de

6cm2 y de 14cm2 respectivamente.

Entonces la nueva sobre estimación la

calculamos sumando las áreas de los

primeros rectángulos y la subestimación la

obtenemos sumando las áreas de los

últimos rectángulos, con lo cual podemos

decir que el área bajo la curva (s), la

podemos estimar dentro del siguiente

intervalo:

Elaboro: JULIO ALBERTO GONZÁLEZ NEGRETE

En estas graficas podemos observar que

tenemos cuatro rectángulos para la

sobreestimación y 4 rectángulos para la

subestimación, la nueva base (∆x) tiene un

valor de 1cm, las alturas de los rectángulos

(f(x)) de sobreestimación son:

Rosa =4cm, morado=7cm, verde=12cm y

naranja=19cm. con lo cual las ares de estos

rectángulos son: 4cm2, 7cm2, 12cm2 y

19cm2 respectivamente.

Las alturas de los rectángulos (f(x)) de

subestimación son:

Crema=3cm, verde=4cm, morado=7cm y

azul=12cm, como tienen la misma base

que los otros rectángulos tenemos que sus

áreas son: 3cm2, 4cm2, 7cm2 y 12cm2

respectivamente. Entonces la nueva sobre

estimación la calculamos sumando las

áreas de los primeros rectángulos y la

subestimación la obtenemos sumando las

áreas de los últimos rectángulos, con lo

cual podemos decir que el área bajo la

curva (s), la podemos estimar dentro del

siguiente intervalo:

Observe por favor que los cálculos que se hicieron para obtener las áreas de todos los rectángulos

fue utilizando la fórmula del área de un rectángulo escrita en el primer párrafo como:

A= f(x) (∆x, donde altura es igual a f(x) y base es igual a ∆x, con lo cual el primer cálculo se realizo

de la siguiente manera A= (19cm) (4cm)=76cm2, procedimiento que se realizo con cada uno de los

rectángulos utilizando su altura y su base correspondiente.

Elaboro: JULIO ALBERTO GONZÁLEZ NEGRETE

Si bien pudiste notar en cada caso la base se fue haciendo más pequeña lo cual traía consigo mas

rectángulos de aproximación y mayor exactitud en la estimación del área, podemos ahora

imaginar que entre más pequeño sea ∆x, mejor será nuestra estimación.

Entonces si nosotros generalizamos el proceso anterior , tomando en cuenta n rectángulos de

bases iguales ∆x y alturas f(x), siendo f(x) la ordenada correspondiente al valor de un punto de la

curva, en donde “x” es la abscisa, misma que se va obteniendo sumando ∆x a el valor inicial para x

en el intervalo, podemos entonces aproximar el área bajo la curva en un intervalo que parte desde

x=x1 hasta x=xn, como la suma de esos rectángulos que se van generando con alturas f(x) y bases

∆x, escrito en notación sigma tendríamos:

∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆

Donde ∆

y n es el numero de rectángulos que deseamos

Las expresiones anteriores son conocidas como sumas de Riemann, en honor al matemático

alemán Bernhard Riemann (1826-1866.)

Integral Definida

Si f(x) es una función continua en un intervalo , y dividimos a este intervalo en n

sub-intervalos de igual ancho ∆

, elegimos como puntos muestra para

calcular respectivamente, entonces, la integral definida de f(x), desde

, es un límite de sumas de Riemann cuando ∆ tiende a cero, o sea la base se

reduce infinitamente. La expresio matematica para una integral definida es:

∆

Teorema Fundamental del Cálculo El teorema fundamental del Cálculo establece una conexión entre las dos ramas del Cálculo y se

divide en dos partes:

Elaboro: JULIO ALBERTO GONZÁLEZ NEGRETE

donde F es cualquier anti-derivada de f, esto es F´=f.

La segunda parte del teorema fundamental del Cálculo es conocido como teorema de evaluación

Propiedades de la integral definida

con c= a una constante

con c= a una constante

Ejemplos:

Bibliografía:

Jiménez, R. (2011). Matemáticas VI. Cálculo Integral. México: Pearson Educación.

Stewart, J. (2001). Cálculo de una variable. Trascendentes Tempranas. México:

Thomson Learning.