Sujets Bac s

Sujets de baccalauratUne compilation

naissante,

10 mai 2010

Pour toutes et tous,

Avec mes remerciements

pour vos apports, particulirement :Cidrolin et Ala, pour les scans, et

Ev pour avoir mis sous tex certains sujets.

Quant Holyday, il traite actuellement avec brio et abngation lanne 1976 !Quant C.L, le prt de certaines annales de 1965 1982 dynamis et diversifi le contenu.

Jean-ric Richard

2009-2010 2

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Table des matires

Chapitre 1 1934 7

Chapitre 2 1962 9

Chapitre 3 1963. 11

Chapitre 4 1964. 15

Chapitre 5 1965. 17

Chapitre 6 1966. 45

Chapitre 7 1967. 49

Chapitre 8 1968. 53

Chapitre 9 1969. 55

Chapitre 10 1970. 65




Chapitre 14 1974. 101

Chapitre 15 1975 117

2009-2010 4

Chapitre 16 1976. 135

Chapitre 17 1977. 159

Chapitre 18 1978. 171

Chapitre 19 1979. 185


Chapitre 21 1981. 213

Chapitre 22 1982. 227

Chapitre 23 1983. 239


Chapitre 25 1985. 253

Chapitre 26 1986. 257

Chapitre 27 1987. 267

Chapitre 28 1988. 269

Chapitre 29 1989. 273

Chapitre 30 1990. 275

Chapitre 31 1991. 277

Chapitre 32 1992. 281

Chapitre 33 1993. 285

Chapitre 34 1994. 289

Chapitre 35 1995. 293

Chapitre 36 1996. 297

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2009-2010 5

Chapitre 37 1997. 305

Chapitre 38 1998. 311

Chapitre 39 1999. 313

Chapitre 40 Dates et lieux inconnus 317

Index 322

Index 323

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Chapitre1

1934Remarque 1.1. Ici je dispose de moins dindications sur le type dpreuve et la srie...

SommaireI. Kora, bac premire partie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7II. Paris, bac premire partie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7III. Pondichery, bac premire partie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

I. Kora, bac premire partie.

Ex. 1. ./1934/kora/exo-1/texte.tex

On donne un triangle ABH rectangle en A, dans lequel : AB = 3a, AC = 4a.

1. tudier comment varie les sommes des carrs des distances dun point M aux deux cts de langle droit, quandce point parcourt lhypotnuse.

2. Reprsenter graphiquement cette variation.

II. Paris, bac premire partie.

Ex. 2. ./1934/paris/exo-1/texte.tex

1. Ordonner, par rapport x et y, lexpression :

(ax + by)2 + (bx ay)2.

2. x et y tant des inconnues, a, b, h, K des constantes non nulles ; on connat la valeur h de ax + by, la valeur K2 dex2 + y2, soit :

ax+ by = h ; x2 + y2 = K2 ;

en dduire la valeur de lexpression bx ay, puis celles de x et de y. Discuter. Trouver le minimum de lexpressionx2 + y2, x et y variant de faon que ax + by reste constante, et donner les valeur de x et de y pour lesquelles ceminimum est atteint.

3. Soit le systme dquations en x, y, z : ax + by + cz = h ;x2 + y2 + z2 = K2 ;a, b, c, h, K tant des constantes non nulles. Choisissant arbitrairement une valeur pour z, peut-on toujours trouverdes valeurs de x et de y vrifiant ce systme ?Trouver le minimum de x2 + y2 + z2, x, y, z variant de faon que ax + by + cz reste constante, et donner les valeursde x, y, z pour lesquelles ce minimum est atteint.

III. Pondichery, bac premire partie.

2009-2010 8

Ex. 3. ./1934/pondichery/exo-1/texte.tex

Les racines dune quation du second degr vrifient les relations :

x + x +2xx = 0m(x + x) xx = 3m+4

1. Former cette quation.

2. tudier suivant les valeurs de m, le signe de ses racines.

3. Dterminer comment il faut choisir m pour que lquation ait une seule racine, comprise entre -1 et 4.

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Chapitre2

1962Sommaire

I. Lille, Mathmatiques lmentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

I. Lille, Mathmatiques lmentaires.

Ex. 4. ./1962/lillemelem/exo-1/texte.tex

x tant la mesure dun arc en radians, calculer la drive de la fonction :

y = 2sin2 x(1 cosx)

et tudier le signe de cette drive lorsque x varie entre et + ;

PProblme 1 ./1962/lillemelem/pb/texteOn donne un systme de coordonnes rectangulaires xOx et yOy ; on donne en outre la droite (D) parallle xOxet rencontrantOy en B, tel que OB = 2R (R est une longueur positive donne).On appelle (M ) un point tangent la fois xOx et (D) et dont le centre M nest pas sur yOy ; on appelle (P) lecercle inverse (M ) dans linversion de ple O et de puissance 4R2 : on dit que le cercle (P) est le cercle associ aucercle (M ). On notera P le centre de (P).

1 Montrer que lorsque (M ) varie, son cercle associ (P) reste tangent la fois xOx et un cercle fixe () que lonprcisera. En dduire :

a) Une construction simple du cercle (P) associ un cercle (M ) donn ;

b) Les cercles (M ) qui concident avec leur cercle associ ;

c) Le lieu du centre P du cercle (P) lorsque (M ) varie.

2 Quel est le lieu des points communs, lorsquils existent, une cercle (M ) et son cercle associ ? Construire lescercles (M ) qui sont tangents leu associ ; construire leurs cercles associs.

3 Quel est le lieu du pied H de la podaire de O par rapport au cercle (P) lorsque (M ) varie ? En dduire que cettepodaire passe par un point fixe que lon prcisera.

4 On dsigne par (O) le cercle de centre O et de rayon 2R. Montrer quil existe un point K ayant mme puissancepar rapport au cercle (O), au cercle (), au cercle (M ) et son cercle associ (P). Montrer que, lorsque (M ) varie,la perpendiculaire en K laxe radical des cercles (M ) et (P) passe par un point fixe F. quelle courbe cet axeradical reste-t-il tangent ?

Chapitre3

1963.Sommaire

I. France, Sciences exprimentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11II. France, Mathmatiques lmentaires.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12III. France, Mathmatiques et Technique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

I. France, Sciences exprimentales.

Ex. 5. ./1963/francescexp/exo-1/texte.tex

Le nombre a tant donn, existe-t-il, dans chacun des trois cas suivants :

a = 37, a = 65, a = 130,

un nombre entier x tel que a+ x2 soit le carr dun nombre entier.On donnera les valeurs possibles de x.

PProblme 2 ./1963/francescexp/pb/texteOn considre la fonction

y = f (x) = x tan2 x,o x dsigne la mesure dun arc en radians et lon se propose dtudier sa variation quand x varie de 0

2.

1 Calculer la drive de la fonction f (x). Exprimer cette drive en fonction de tanx = t et vrifier quelle est gale

2(1 t)(t2 + t +2).

2 tudier la signe de cette drive dans lintervalle considr.

3 tudier la variation de la fonction y quand x varie de 0

2et la reprsenter graphiquement, dans un systme

daxes rectangulaires, par une courbe (C).On dterminera 0,1 prs les ordonnes des points correspondant

x =

6, x =

4, x =

3.

On choisira les units sur les axes de la manire suivante :

un segment de 6 cm reprsentera radians sur Ox ;

un segment de 1 cm sera lunit sur Oy.

4 Vrifier que la fonctionF(x) = tanx +2x2 + x

est une primitive de la fonction f (x).

On considre le point A de (C) ayant pour abscisse

3et sa projection orthogonale, A, sur Ox.

Calculer, 0,01 prs, en centimtres carrs, laire comprise entre larc OA de (C), le segment AA et laxe Ox.

2009-2010 12

II. France, Mathmatiques lmentaires.

Ex. 6. ./1963/francemathelem/exo-1/texte.tex

Trouver les nombres complexes z = x + iy tels que

z2 = 7 24i.

PProblme 3 ./1963/francemathelem/pb/texteOn donne un repre orthonorm xOx, yOy et le cercle (O) de centre O et de rayon R.

1 On appelle (C ) tout cercle ayant comme diamtre une corde PQ de cercle (O) ; on appelle C le centre dun telcercle , et son rayon.

Montrer que (C ) est caractris par cette proprit : la puissance de son centre C, par rapport au cercle (O) et 2.2 On suppose dans la suite du problme que le centre C appartient xOx et lon pose OC = .

a) Former lquation qui dtermine quand (C ) passe par un point donn, S, de coordonnes x, y. Montrer quele problme admet une solution unique si S appartient une ellipse (E), quon obtiendra par son quation etdont on prcisera les sommets et les foyers.Dans quelle rgion, dlimite par lellipse, doit se trouver S pour que le problme admette deux solutions ?

b) On se place dans le cas o le problme admet deux solutions, C1 et (C2), dabscisses 1 et 2, et lon demandeque les cercles (C1) et (C2) soient othogonaux.Former une quation des points S correspondants et prciser la nature et les lments de cet ensemble.

3 Parmi les cercles (C) dont le centre C est sur xOx, on se borne dsormais ceux, en outre, qui coupent yOy.

a) Prciser lensemble des centres C de ses cercles.

b) Soient I et J les points o (C) coupe yOy, U et V les symtriques de I et J par rapport au diamtre PQ, U et V , les points o IU et JV coupent respectivement le cercle (O) ; montrer que IU et IU gardent un rapportconstant ; reconnatre lensemble des points U et V .

c) Montrer que les tangentes en U (C) et en U (O) se coupent en un point de yOy ; quelle proprit enrsulte-t-il pour les cercles (C) de cette partie 3 ?

III. France, Mathmatiques et Technique.

Ex. 7. ./1963/francemathtech/exo-1/texte.tex

a) Simplifier lexpression(x 1)2.

b) tudier la variation de la fonction

y =(x 1)2 + 1

x.

Tracer la courbe reprsentative.

Ex. 8. ./1963/francemathtech/exo-2/texte.tex

On donne un cercle (C), de centre O, et une corde fixe, AB, de ce cercle.On dsigne par I le milieu de AB (on suppose que I et O sont distincts).SoitM un point variable de (C) ; la tangente enM au cercle (C) coupe la droite AB en T.

1 Montrer que la polaire, t, de T par rapport au cercle (C), passe par un point fixe, J, et que le cercle () de diamtreJT est orthogonal (C).Le pointM dcrivant le cercle (C), montrer que les cercles () appartiennent un faisceau, dont on prcisera lespoints de base.

2 Quel est le lieu du point T , transform de T par linversion de ple J, de puissance JA2 ? Transformer par cetteinversion le cercle () et la droiteMT .

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2009-2010 13

3 Soit K le centre du cercle inverse de la droiteMT . Quel est le lieu de K ?Soit le milieu de JO, yy un axe port par JO et de mme sens que

#

JO, xx un axe tel que le repre xx, yysoit direct et orthonorm.crire lquation du lieu de K par rapport ce repre.On dsignera par R le rayon de (C) et par kR (k > 1) la longueur OJ.

4 Quelle est la polaire t , du point T par rapport au cercle (C) ? Dterminer lenveloppe de t.5 Dans cette question, on suppose que k = 2.

Dterminer les lieux :

a) de lorthocentre, H , du triangleMAB ;

b) du pied, H , de la polaire, h, de H par rapport au cercle (C).Quelle est lenveloppe (E) des droites h ? crire lquation de (E) par rapport au repre xx, yy.

N.B. - Par lieu gomtrique ou lieu , il faut entendre ensemble de points .

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Chapitre4

1964.Sommaire

I. Tahiti, Mathmatiques lmentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

I. Tahiti, Mathmatiques lmentaires.

Ex. 9. ./1964/tahitimelem/exo-1/texte.tex

Racines carres du nombre 45 28i.

PProblme 4 ./1964/tahitimelem/pb/texte() et () sont deux cercles fixes, orthogonaux , de centre C et D ; ils se coupent en A et B.Un diamtre mobile de () coupe () en P et Q.BP et BQ recoupent () en R et S.

1 Montrer que les triangles PAR, QAS et CAD sont directement semblables.2 Montrer que la droite RS est perpendiculaire PQ et que RS passe par un point fixe, E, dont on donnera une

construction simple.

3 I et J sont les ples de PQ par rapport () et RS par rapport (). Trouver lensemble des points I et J et montrerque IJ garde une direction fixe.

4 (i) et (j ) sont respectivement les cercles de centre I passant par P et Q et de centre J passant par R et S.Montrer que (i) et (j ) appartiennent deux faisceaux ; trouver lensemble des points communs,M etM (i) et (j )(quand ils existent) et lensemble de leurs centres dhomothties.

Chapitre5

1965.Sommaire

I. Aix Marseille, Maths lm. et Maths et Tech. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18II. Aix Marseille, Maths lm. et Maths et Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19III. Aix Marseille, Sciences exprimentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19IV. Aix Marseille remplacement, Sciences exprimentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

V. Aix Marseille, Srie Technique & conomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

VI. Aix Marseille remplacement, Srie Technique & conomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21VII. Antilles, Mathmatiques lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23VIII. Besanon, Maths lmentaires & Mathmatiques et Technique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24IX. Besanon, Sciences exprimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

X. Besanon, Srie Technique & conomie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25XI. Besanon remplacement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25XII. Bordeaux, Sciences exprimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25XIII. Bordeaux, Maths lementaires & Maths et Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26XIV. Bordeaux remplacement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26XV. Caen, Sciences exprimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26XVI. Caen, Maths lmentaires & Mathmatiques et Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27XVII. Caen, srie Technique et conomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27XVIII. Caen remplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28XIX. Clermont, Sciences exprimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28XX. Clermont, autres sujets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28XXI. Cambodge et Pkin, srie Mathmatiques lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28XXII. Dakar, Mathmatiques lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29XXIII. Dakar remplacement, Mathmatiques lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30XXIV. Dijon, Sciences exprimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31XXV. Dijon, Maths lmentaires et Mathmatiques et Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31XXVI. Dijon, srie Technique et conomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31XXVII. Dijon, remplacement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32XXVIII. Grenoble, Sciences exprimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32XXIX. Grenoble, Maths lmentaires et Mathmatiques et Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32XXX. Grenoble, remplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33XXXI. Lille, Sciences experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33XXXII. Lille, Sciences exprimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33XXXIII. Lille, Maths lmentaires et Mathmatiques et Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33XXXIV. Lille, srie Technique et conomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34XXXV. Lille, remplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34XXXVI. Lyon, Sciences exprimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34XXXVII. Lyon, Maths lmentaires et Mathmatiques et Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35XXXVIII. Lyon, srie Technique et conomie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35XXXIX. Lyon remplacement, Sciences exprimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35XL. Lyon remplacement, Maths lmentaires et Mathmatiques et Technique . . . . . . . . . . . . 35XLI. Montpellier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36XLII. Nancy, Sciences exprimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36XLIII. Nancy, Mathmatiques lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36XLIV. Nancy, Mathmatiques et Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37XLV. Madagascar, Maths lmentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37XLVI. Montral & New York, Maths lmentaires et Mathmatiques et Technique . . . . . . . . . . . 38

2009-2010 18

XLVII. Paris, Sciences exprimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38XLVIII. Paris, Maths lmentaires et Mathmatiques et Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39XLIX. Paris composition refaite, Maths lmentaires et Mathmatiques et Technique . . . . . . . . . 40L. Paris, srie technique et conomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42LI. Pondichry , Maths lmentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42LII. Rennes, Sciences exprimetales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42LIII. Strasbourg, Sciences exprimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43LIV. Strasbourg, Maths lmentaires et Mathmatiques et Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

I. Aix Marseille, Maths lm. et Maths et Tech.

Ex. 10. ./1965/aixmarseillemelem/exo-1/texte.tex

On donne le triangle ABC, dont le centre de gravit est G ; soitM un point de ce plan.

1. Exprimerf (M ) =

#

MB.#

MC +#

MC.#

MA+#

MA.#

MB

au moyen des longueurs MG, BC, CA, AB.2. Quel est lensemble E des pointsM tels que f (M ) = 0 ? Quels points de E appartiennent au cercle de diamtre BC ?

PProblme 5 ./1965/aixmarseillemelem/pb/texteSoit un repre orthonorm xOx, yOy ; p et q tant deux nombres complexes, on dsigne parM le point de coordon-nes (p, q) et on considre lquation en z

z2 2pz+ q = 0, (1)dont les racines peuvent tre relles ou complexes.Ainsi, tout pointM est associe lquation (1), et rciproquement.

1. Dterminer et reprsenter sur une mme figure les ensembles A, B, C des pointsM tels que (1) possde :

a) des racines complexes ;b) des racines relles et distinctes ;c) une racine double.

Calculer les racines dans chacun des trois cas.2. Former lquation de la tangente C en son point dabscisse c ; montrer que si, M (p, q) appartient B, lquation

(1) donne les abscisses des points de C la tangente passe enM .Dans les deux question suivantes, k dsigne un nombre rel positif donn, pour rpondre ses questions, onpourra examiner successivement le cas oM appartient A o B.

3. Dterminer lensemble Ek des points M tels que le module de la diffrence entre les racines de lquation (1)associe M soit infrieur 2k.Reprsenter sur une figure les ensembles A, B, C, Ek et hachurer ce dernier.

4. Dterminer lensemble Fk des pointsM tels que les modules des racines de lquation (1) associe M soient, tousdeux, infrieur k.Reprsenter sur une figure les ensembles A, B, C, Fk et hachurer ce dernier.

5. On donne un nombre k positif ; quel est le plus grand nombre, k, tel que lensemble Fk soit inclus dans lensembleEk ?Est-il possible de rpondre en tout ou en partie cette question sans utiliser les rsultats des deux questionsprcdentes ?

6. On suppose que M appartient B et lon dsigne par M le cercle qui a son centre sur la droite xOx et qui coupe

cette droite aux points dont racines sont les abscisses de lquation (1) associe M .crire une quation du cercle M .Montrer quun sous-ensemble de cercles M est un faisceau linaire si, et seulement si, les pointsM correspondantsappartiennent une mme droite, non parallle Oy, quon dterminera par une quation de la forme y =mx+h.Montrer que la nature du faisceau est lie au nombre des points communs et C ; peut-on caractriser gom-triquement, lorsquils existent, les points de Poncelet du faisceau ?

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2009-2010 19

II. Aix Marseille, Maths lm. et Maths et Technique

Ex. 11. ./1965/aixmarseillemelemrem/exo-1/texte.tex

Par rapport un repre orthonorm (Ox, Oy, Oz) o lunit est de longueur est 1 cm, on donne les pointsA(+3 ; +3 ; +3), I(+3 ; 0 ; +6), J(+6 ; +3 ; +9).Reprsenter ces point sur une pure, les plans de projections tant le plan xOy horizontal et le plan yOz frontal.Reprsenter le carr ABCD dont le sommet est A et dont la diagonale BD est porte par le droite IJ.N. B. - On expliquera la mthode gomtrique suivie et son adaptation lpure.

PProblme 6 ./1965/aixmarseillemelemrem/pb/texteOn considre la suite de nombres u0, u1, u2, . . . , un, . . . . On donne les deux premiers u0 et u1, rels ; les suivants sontdfinis par la relation de rcurrence

un = un1 un2, n> 2.1 Construire cette suite de nombres ; tablir quelle est priodique ; de combien de nombres se compose cette p-

riode ?

2 Dmontrer que un peut se mettre sous la forme

un = cosn +sinn,

o ne dpend pas de u0, u1 et n et o et dpendent de u0 et u1 et non de n. Calculer (0 < < ), et .

3#

i et#

j tant les vecteurs unitaires dun repre orthonorm (Ox, Oy), on considre les vecteurs

#

OPn =#

i cosn +#

j sinn,

, et ayant les valeurs ci-dessus. Montrer que les points Pn sont sur une mme conique, L, dont on prciserales lments.Montrer que les droites PkPk+1 sont tangentes un conique, L

, homothtique et concentrique L.4 Montrer que toute expression

vn = Acosn +Bsinn,

o A, B, (06 6 ) sont trois rels quelconques, indpendants de n, peut-tre considre comme le terme n+1dune suite v0, v1, v2, . . . , vn, . . . satisfaisant la relation de rcurrence

vn = avn1 + bvn2, n> 2,

a et b tant deux constantes, que lon calculera e, fonction de .Pour quelles valeurs de cette suite est-elle priodique, sa priode contenant p termes ?

III. Aix Marseille, Sciences exprimentales

Ex. 12. ./1965/aixmarseillescexp/exo-1/texte.tex

Trouver trois nombres relatifs, a, b, c dont la somme soit 3, tels que, dans lordre a, b, c, ils soient en progressionarithmtique et que, dans lordre, a, b, c, ils soient en progression gomtrique.

Ex. 13. ./1965/aixmarseillescexp/exo-2/texte.tex

La plan tant rapport un repre orthonorm Ox, Oy, on considre la fonction

y =x2

4 12logx.

(Le symbole log dsigne le logarithme nprien.)

1 tudier les variations de cette fonction, lorsque x varie de faon que 0 < x 6 2.Construire le graphe (C) reprsentant ces variations.

Calculer lordonne des points dabscisses 2 et12.

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2009-2010 20

2 Le point mobile M se dplace dans le plan de faon qu une date t de lintervalle [+1 ; +2], ses coordonnes sontdonnes par les quations

x = t

y =t2

4 12log t.

a) Quelle est sa trajectoire ?

b) Calculer les composantes du vecteur vitesse#

V la date t et trouver la mesure de#

V ; en dduire le mesuer delarc parcouru parM linstant t.Quelle est la longueur de larc parcouru entre les deux dates t = 1 et t = 2 ?

IV. Aix Marseille remplacement, Sciences exprimentales

Ex. 14. ./1965/aixmarseillescexprem/exo-1/texte.tex

Tous les nombres envisags dans cet exercice sont entiers positifs.

1 Trouver tous les couples (a, b) vrifiant les conditions suivantes : les nombres a et b sont premiers entre eux etleur produit est 30. (Les couples (a, b) et (b, a) ne sont pas considrs comme distincts.)

2 Trouver tous les couples (x, y) vrifiant les conditions suivantes : les nombres x et y admettent 121 comme plusgrand commun diviseur et leur produit est 439230.


Les axes Ox et Oy sont rectangulaires ; leur vecteurs unitaires#

i et#

j ont mme longueur ; lunit de surface est celledu carr construit sur

#

i et#

j .

1 Dessiner sur une mme figure :

a) la courbe (H) reprsentant la fonction

y1 =x

4+4x;

b) la droite () reprsentant la fonction y2 =x

4;

c) la courbe (H) reprsentant la fonction

y3 =x

4 4x.

On justifiera le trac des courbes (H) et (H) par une tude succincte des variations des fonctions y1 et y3.

2 On considre les droites (D1) et (D2) parallles laxe Oy et dont les abscisses sont respectivement x1 = 2e etx2 = e

2 (e dsigne la base des logarithmes npriens).La droite (D1) rencontre (H) en A et (H) en A ; la droite (D2) rencontre (H) en B et (H) en B.Calculer laire de la portion de plan borne par les segments AA, BB et les arcs AB et AB de (H) et de (H).


On considre le repre cartsien orthonorm(O; # , #

).

La variable t reprsente le temps, lunit darc est le radian. On considre trois mobiles, P, P etM dtermins par#

OP = cos t#

i + sin t#

j ,#

OP = sin t#

i + cos t#

j ,#

OM =#

OP +#

OP .

1 Dmontrer que les mouvements de P et P sont circulaires ; construire au mme instant t le vecteur vitesse et levecteur acclration de chacun deux.

2 Dmontrer que le mouvement de M est vibratoire simple ; prciser la droite qui porte sa trajectoire. Prciserlamplitude et la priode de ce mouvement.

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2009-2010 21

V. Aix Marseille, Srie Technique & conomie

Ex. 17. ./1965/aixmarseilletecheco/exo-1/texte.tex

Dcomposer le nombre 60 en produit de facteurs premiers.crire tous les couples de nombres dont le produit vaut 60. (On considre pas comme distincts deux couples qui nediffrent que par lordre des facteurs).Trouver les couples de nombres entiers positifs x et y vrifiant la relation

x2 y2 = 60.

Ex. 18. ./1965/aixmarseilletecheco/exo-2/texte.tex

A, B, C dsignant les angles dun triangle, comparer sin C et sin (A+B).On suppose que A, B et C vrifient la relation

sinC 2sinBsinA = 0.

Montrer que le triangle ABC est isocle.

PProblme 7 ./1965/aixmarseilletecheco/pb/texte1 tudier la variation de la fonction

y =(x 3)2

x2 7x +10 .

Tracer le courbe reprsentative (C) rapporte un systme daxes perpendiculaires xOx, yOy ; lunit, sur chaqueaxe, est reprsente par 1 centimtre.

2 Par le point H de yOy, dordonne h, on mne la droite (D) parallle xOx.Former lquation donnant les abscisses des points communs la courbe (C) et la droite (D). tudier, suivant lesvaleurs de h, le nombre de points communs (C) et (D).Peut-on choisir h pour que la droite (D) coupe (C) en deux pointsM etM , tels que

HM +HM = 8 ?

Peut-on choisir h pour que la droite (D) coupe (C) en deux points N et N , tels que

1

HN +

1

HN =

811

?

3 Dterminer b de faon que la droite () reprsentant la variation de la fonction

y =m(x + b) (m , 0)

coupe la courbe (C) au point A dabscisse 3, quelle que soit la valeur de m.Former lquation donnant les abscisses des points communs () et (C), autres que A.tudier, suivant les valeurs de m, le nombre de ces points communs.Pour quelle valeur de m la droite () coupe-t-elle (C) en deux points symtriques par rapport A ? Quelles sontles coordonnes de ces points ?

VI. Aix Marseille remplacement, Srie Technique & conomie

Ex. 19. ./1965/aixmarseilletechecorem/exo-1/texte.tex

Construire larc AB de la courbe reprsentant la variation de la fonction y = 1+ cosx lorsque x crot de 0 .chelle sur les deux axes de coordonnes perpendiculaires xOx et yOy : lunit sera reprsente par 2 centimtres.Calculer, en centimtres carrs, laire de la portion de plan dlimite par les axes de coordonnes et par larc AB.

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Ex. 20. ./1965/aixmarseilletechecorem/exo-2/texte.tex

Un urne contient 5 boules blanches et 3 boules noires. On tire deux de ces boules. Calculer la probabilit :

a) pour quelles soient noires toutes les deux ;

b) pour quelles soient de la mme couleur ;

c) pour quelles soient de couleurs diffrentes.

PProblme 8 ./1965/aixmarseilletechecorem/pb/texteConformment au programme, le symbole logx dsigne la logarithme nprien de x.

x x

y

y

O a m b

M

A

A

B

B (C)

1 Le plan est rapport deux axes de coordonnes perpendiculaires xOx et yOy.On considre la courbe (C) reprsentant la variation de la fonction

y =1x

lorsque x crot de 0 +.Les points A, B etM de cette courbe ont pour abscisse respectives :

A : x1 =Oa = ,

B : x2 =Ob = +1,

C : x3 =Om = +12.

La tangente (C) passant parM coupe les droites aA et bB en A et B.

a) Calculer laire, S, du trapze rectangle abBA.

b) Calculer laire, s, du trapze rectangle abBA.c) Calculer laire, S s, du trapze rectangle ABBA.d) Calculer laire, , du trapze curviligne limit par les segments Aa, ab, bB et larc AB de la courbe (C).

e) En dduire une expression approche par dfaut et une expression approche par excs de

log( +1

).

f) Application numrique : Calculer une valeur approche par dfaut et une valeur approche par excs de log1,01.

2 a) tudier la variation de la fonction

y =2x +12x2 +2x

.

Construire la courbe () reprsentant la variation de cette fonction. (Sur les deux axes de coordonnes perpen-diculaires xOx et yOy, lunit sera reprsente par 1 centimtre).Indiquer ses asymptotes. Montrer que le point o () coupe laxe xx est centre de symtrie pour cette courbe.

b) n dsignant un entier naturel, dmontrer que la fraction2n+12n2 +2n

est irrductible.

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3 a) tudier la variation de la fonctiony = 2x(x +1)(2x +1)

.

b) En dduire la variation de la fonction

z =1

2x(x +1)(2x +1).

c) n tant un entier naturel, dmontrer que lexpression 2n(n+1)(2n+1) est divisible par 12.

N.B.- Les questions 1, 2, 3 sont indpendantes ; les questions 1a, 1d et 1d sont indpendantes ; les questions 2a et 2bsont indpendantes ;les questions 3a et 3c sont indpendantes.

VII. Antilles, Mathmatiques lmentaires

Ex. 21. ./1965/antillesmelem/exo-1/texte.tex

tudier les variations de la fonctiony = cosx+ sinx

et tracer le courbe reprsentative, dans un repre orthonorm Ox, Oy.Application : Discuter par rapport au paramtrem le nombre de racines de lquation cosx+sinx =m comprises entre et +.

PProblme 9 ./1965/antillesmelem/pb/texteOn considre trois axes de coordonnes Ox, Oy et Oz, tel que le tridre Oxyz soit trirectangle direct.On considre les deux rotations de lespace daxes Ox et Oy et dangles respectifs 2 et 2, avec 0 6 2 6 et06 2 6 . On se propose dtudier la transformation produit de ces deux rotations.

1 a) En considrant chaque rotation comme le produit de deux retournements, montrer que lon peut faire en sorteque lun des retournements soit commun.

b) En conclure que le produit des deux rotations est une rotation autour dun axe passant par O. Construire cetaxe.

c) Montrer que, dans le cas gnral, un systme de paramtres directeurs de cet axe esta = cot,b = cot,

c = 1.(1)

(Pour cela, on pourra utiliser le produit scalaire.)Quels sont les cas particuliers auxquels les formules (1) ne sappliquent pas ?

d) Montrer que langle 2 de la rotation produit est tel que

cos = cos cos.

A quelle condition le produit est-il un retournement ?

e) Lieu de si varie, restant fixe.

2 a) Laxe coupe le plan (P) dquation z = 1 en un pointM , dont on donnera les coordonnes en fonction de et .Si varie, restant fixe, quel est le lieu deM ?Retrouver ainsi le rsultat du 1e.

b) On suppose que + =

2. Quel est alors le lieu deM ?

c) On suppose que =

2. Montrer que le lieu de M est alors, dans le plan (P), une courbe (C) qui se projette sur

le plan xOy suivant une portion de la courbe dquation y2 2xy 1 = 0. Construire cette courbe.d) On considre la surface engendre par quand M dcrit la courbe (C). Le plan (Q) dquation y = 1 coupe

cette surface suivant une courbe (C). Construire la projection de (C) sur la plan xOz.

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VIII. Besanon, Maths lmentaires & Mathmatiques et Technique

Ex. 22. ./1965/besanonmelem/exo-1/texte.tex

Soit le nombre complexe daffixe Z = 82(1 i).

Dterminer le module et largument de Z .Dterminer les racines quatrimes de Z .

Ex. 23. ./1965/besanonmelem/exo-2/texte.tex

En utilisant la thorie des congruences, dterminer la forme gnrale des entiers naturels n tels que lentier n3n+1soit divisible par 7.

PProblme 10 ./1965/besanonmelem/pb/texteDeux cercles (C) et (C), de centres O et O sont tangents extrieurement en I . Soit () leur tangente communeintrieure. Soit P et P les points diamtralement opposs I sur (C) et (C).Dun pointM variable de () on mne (C) et (C) les secondes tangentes, dont les points de contact sont T et T.Soit Q lintersection des droites PT et PT.

1 Montrer que les quatre points Q, T, T et I appartiennent un mme cercle () centr enM .Ensemble des points Q.

2 Soit U et U les points communs aux couples de droites (PT, IT) et (PT, IT).Montrer que U , T, U et T appartiennent un mme cercle ( ).Montrer que UU est perpendiculaire ().

3 Montrer que () et ( ) sont orthogonaux.En dduire que ( ) est tangent (C) et (C) respectivement en T et T.

4 Montrer que TT passe par un point fixe.

IX. Besanon, Sciences exprimentales

Ex. 24. ./1965/besanonscexp/exo-1/texte.tex

Soit un nombre N crit abc en systme base 13, a, b, c tant des chiffres quelconques de ce systme.les nombres 10, 11 et 12 du systme dcimal sont reprsents par les chiffres , et dans le systme base 13, lesautres chiffres du systme base dix et base treize concidant.

1 A quelle condition abc est-il divisible par treize ; par le carr de treize ?

2 Montrer que abc et a + b + c ont mme reste de division par 12. En dduire une condition ncessaire et suffisantede division de a+ b+ c par douze.

3 Trouver une condition de divisibilit de abc par quatorze.4 Application : crire 1001 du systme base dix, en systme base 13.

Que remarque-t-on ?Quels sont ses restes de division par douze et quatorze.

Ex. 25. ./1965/besanonscexp/exo-2/texte.tex

Soit la fonction y1 = x logx.

1 Prciser lintervalle de dfinition. tudier le sens de variation et tracer la courbe reprsentative () de cette fonc-tion dans un systme daxes orthonorm dorigine O.

2 Soit la fonction y2 = ax(x2 1). Dterminer a pour que sa courbe reprsentative, (C), et la courbe () aient mmetangente au point A(+1 ; 0). Construire la courbe (C) correspondante.

3 Vrifier quex2

2

(logx 1

2

)est une primitive de la fonction y1 = x logx.

Dterminer laire de la portion de plan dlimite par la courbe () et le segment OA, puis laire de la portion deplan dlimite par la courbe (C) et le segment OA.Que reprsente la diffrence des ces aires ?

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N.B.- On admettra que y1 = x logx a pour limite zro quand x tend vers 0.

X. Besanon, Srie Technique & conomie.

Ex. 26. ./1965/besanontecheco/exo-1/texte.tex

Trouver lensemble des nombres scrivant cdu dans le systme dcimal (c reprsentant le chiffre des centaines, dcelui des dizaines, u celui des units) et possdant les proprits suivantes :

ils diminuent de 99 si lon intervertit les deux chiffres extrmes ;

ils diminuent de 45 si lon intervertit les deux derniers chiffres.

Ex. 27. ./1965/besanontecheco/exo-2/texte.tex

Vingt chevaux prennent le dpart dune course. Quelle est la probabilit de prvoir les trois chevaux classs pre-miers :

1 dans lordre de leurs arrives ;2 sans tenir compte de cet ordre.

PProblme 11 ./1965/besanontecheco/pb/texteSoit la fonction

y =10x

(x2 1)2 .

A) tude de la fonction.

1 Pour quelles valeurs de x est-elle dfinie ?2 Montrer que la courbe reprsentative admet lorigine comme centre de symtrie.3 Calculer la drive et en dduire la variation de la fonction. Quelle est la valeur de la drive pour x = 0 ?4 tudier les limites de y lorsque x tend vers et lorsque x tend vers 1.5 Tracer la courbe reprsentative, (C), dans un repre orthonorm.

B) 1 Montrer que y peut scrireav

v2, v reprsentant la drive par rapport x de la fonction v de la variable x et a

une constante.

2 En dduire une primitive de la fonction y.3 Calculer laire comprise entre la courbe (C), laxe des x et les droites dquations x = 2, x = 3.

C) Dterminer les coordonnes des points dintersection de (C) avec la droite dquation y =109x.

XI. Besanon remplacement.

Les sujets sont ceux de lacadmie de Lyon.

XII. Bordeaux, Sciences exprimentales

Ex. 28. ./1965/bordeauxscexp/exo-1/texte.tex

Transformer en produits les sommes A = sinx+ sin2x et B = sinx + sin2x + sin3x.Rsoudre ensuite lquation

sinx+ sin2x + sin3x = 4cosx

2cosxcos

3x2.

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Ex. 29. ./1965/bordeauxscexp/exo-2/texte.tex

tudier les variations de la fonctiony = 4x3 3x +1.

Construire la courbe reprsentative, C, par rapport un repre orthonorm (unit graphique : 2 cm).Montrer que C admet un centre de symtrie.

A et B dsignant les points de C dabscisses 0 et12, calculer en centimtres carrs laire du domaine dlimit par

Ox, Oy et larc AB de C.

PProblme 12 ./1965/bordeauxscexp/pb/texteUn observateur se place en A dans le plan vertical passant par les sommets M et M de deux montagnes, quil voitdevant lui.M est le sommet le plus proche,M le plus loign de A.La direction AM est incline de 930, celle de AM de 1810 sur lhorizon.Lobservateur se dplace ensuite, sans changer daltitude et en restant dans le plan vertical de M et M , jusqu cequil atteigne un point A tel que A, M etM soient aligns.Il constate quil a parcouru une distance AA de 6365 m et que la droite AMM est incline de 37sur lhorizon.Calculer les altitudes deM etM au-dessus du plan horizontal de A et A.

XIII. Bordeaux, Maths lementaires & Maths et Technique

Mmes sujets que ceux dAix Marseille.

XIV. Bordeaux remplacement

Mmes sujets que ceux dAix Marseille.

XV. Caen, Sciences exprimentales

Ex. 30. ./1965/caenscexp/exo-1/texte.tex

On considre la fonction y = x sinx.

a) Pour quelles valeurs de x cette fonction est-elle dfinie ?

b) Calculer sa drive.

c) tudier sa variation pour x variant de 0

2et tracer avec soin larc de courbe correspondant, (), dans un repre

orthonorm.

d) Calculer la drive de la fonctiony = sinx xcosx.

En dduire laire de la surface dlimite par () et la premire bissectrice.

e) En supposant x quelconque, montrer que la courbe dquation y = x sinx est tangente en une infinit de points la premire bissectrice et en une infinit de points la seconde bissectrice. Dterminer ces points.

Ex. 31. ./1965/caenscexp/exo-2/texte.tex

Un mobile se dplace sur un axe, son abscisse x tant donne en fonction du temps t par la relation

x = 5cos2t 3sin2t. (E)

Dterminer le vecteur vitesse et la vecteur acclration de ce mobile.Construire la reprsentation graphique de la fonction dfinie par la relation (E) pour |t|6 4. Quelles sont les valeursmaximale et minimale de x ?

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XVI. Caen, Maths lmentaires & Mathmatiques et Technique

Ex. 32. ./1965/caenmelem/exo-1/texte.tex

On donne deux points, A et A, et une droite (D).Quel est lensemble des axes orients parallles (D) des dplacements hlicodaux dans lesquels A est le transformde A ?Construire laxe dun tel dplacement hlicodal, connaissant langle orient de ce dplacement.

Ex. 33. ./1965/caenmelem/exo-2/texte.tex

1 Calculer la drive de la fonction y = (n x)ex, o n est une constante.2 tudier, quand x > 0, les variations de la fonction y = (2 x)ex et en construire la courbe reprsentative dans un

repre orthonorm.Calculer laire du domaine compris entre cette courbe et les demi-axes Ox et Oy.

PProblme 13 ./1965/caenmelem/pb/texteOn considre, sur un axe orient xOx, les points A et B dabscisses respectives (+a) et (a).On supposera que a est positif. On se propose dtudier la transformation ponctuelle plane T , o est un angledfini k prs, qui, un pointm du plan, fait correspondre le pointM de ce plan, intersection des droites Au et Bvqui font respectivement avec les droites Am et Bm les angles orients

(Am, Au) = et (Bm, Bv) = .

1 a) Quel est lensemble des points m du plan qui nont pas de transformM distance finie par T ?Quelle est la transformation rciproque de la transformation T ?Pour quelles valeurs de cette transformation est-elle involutive ?Montrer que lensemble des ces transformations forment un groupe.

b) Quelle est la figure transforme par T dun cercle passant par A et B, dune droite passant par A, dune droitepassant par B ?

c) Dans le cas o =

2, quelle est la figure transforme par T

2dune perpendiculaire xOx ?

2 On supposera, dans la suite du problme, que =

4.

On dsignera par x et y les coordonnes de m et par X et Y celles deM dans le repre orthonorm (xOx, yOy).

a) Calculer X et Y en fonction de x et y. Discuter.

b) On suppose que m dcrit une cercle () passant par A et B.crire lquation dun tel cercle et montrer que, si est lordonne de son centre, on a les relations Y x =X + y = .En dduire une relation liant X et Y quand m dcrit (). Consquence.

c) On suppose que m dcrit une perpendiculaire xOx, dabscisse . Trouver lquation de la courbe dcrite parM . Nature de cette courbe.Discuter suivant les valeurs de .

N.B- les deux parties du problme sont entirement indpendantes.

XVII. Caen, srie Technique et conomie

Ex. 34. ./1965/caentecheco/exo-1/texte.tex

Rsoudre lquation2e2x 7ex +3 = 0,

dans laquelle x est linconnue et ex dsigne lexponentielle de x.

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Ex. 35. ./1965/caentecheco/exo-1/texte.tex

Rsoudre lquation2e2x 7ex +3 = 0,

dans laquelle x est linconnue et ex dsigne lexponentielle de x.

PProblme 14 ./1965/caentecheco/pb/texte1 tudier la variation de la fonction

y1 =x3 +2x2 +4

x2

et tracer la courbe reprsentative, (C), de cette fonction, en prenant le centimtre pour unit sur chaque axe.

2 Utiliser le graphique prcdent pour discuter le nombre de solutions de lquation

x3 ( 2)x2 +4 = 0, (E)

dans laquelle x est linconnue et un paramtre.

3 On coupe la courbe (C) par la droite variable (Dm) dquation y = x +m (m tant un paramtre).Discuter, suivant les valeurs de m, le nombre de points communs aux courbes (C) et (Dm). Dterminer m pour quela droite, (Dm) coupe la courbe (C) en deux pointsM

etM , tels que la distanceM M soit gale 32.

4 Tracer sur le mme graphique, la parabole (P) dquation

y2 = x2 2x+2.

On dsigne par I le point dabscisse ngative commun aux courbes (C) et (P), par A le point de la courbe (C)dabscisse -2 et par S le sommet de la parabole (P).Calculer laire limite par laxe des abscisses, les arcs AI et IS des courbes (C) et (P) et les ordonnes des points Aet S.

XVIII. Caen remplacement

Mmes sujets que ceux de Paris.

XIX. Clermont, Sciences exprimentales

XX. Clermont, autres sujets

Identiques ceux dAix Marseille.

XXI. Cambodge et Pkin, srie Mathmatiques lmentaires

Ex. 36. ./1965/cambodgemelem/exo-1/texte.tex

Trouver les chiffres a et b tels que les nombres de la forme 1a1bab crits dans le systme base 10 soient divisiblespar 63.

Ex. 37. ./1965/cambodgemelem/exo-2/texte.tex

Montrer que, dans le corps des complexes, les racines de lquation

z3 = 1

forment un groupe pour la multiplication.

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2009-2010 29

PProblme 15 ./1965/cambodgemelem/pb/texteLe repre de rfrence Ox, Oy sera, dans tout le problme orthonorm. On considre la transformation ponctuelle(S) qui, tout pointM de coordonnes (x ; y), fait correspondre le pointM de coordonnes xyp telles que :x

= 2cos xcos2 y sin2,y = 2sin x sin2 + y cos2,

tant un angle donn tel que 6 < .1 Dterminer par son quation lensemble (D) des points doubles de (S).2 Quelle est la transformation rciproque de (S) ? (S) est-elle involutive ? Montrer que (S) dfinit une bijection du

plan sur lui-mme.

3 Montrer que (S) est une isomtrie, cest dire quelle conserve les longueurs. Quelle est la figure transforme duncercle du plan ? Que peut-on dire dun cercle centr sur (D) ?

4 Quelle est la figure () transforme dune droite () ? Montrer que () et () se coupent sur (D) ou sont parallles (D).

5 Montrer queMM est perpendiculaire (D). Identifier la transformation (S).

6 Dans toute la suite du problme on fait =

6.

On appellera (Y ) la symtrie daxe Oy et (H ) lhomothtie de centre A(0 ; +2) et de rapport 2.Dfinir la transformation () = (H ) (S) (Y ) (on fait successivement les transformations (Y ), puis (S), puis (H )).

7 Trouver gomtriquement la transforme par () du support Ox. Donner son quation.N tant le transform par () dun point N de Ox, quel est lensemble des projections orthogonales de A sur NN et quelle est lenveloppe de NN quand N dcrit Ox ?Donner lquation de la dernire courbe.

XXII. Dakar, Mathmatiques lmentaires

Ex. 38. ./1965/dakarmelem/exo-1/texte.tex

Dans le plan complexe on dsigne parM limage du nombre complexe z. Quel est lensemble des points M tels que(z a)(z b) soit rel ?(a et b sont deux nombres complexes donns.)

Ex. 39. ./1965/dakarmelem/exo-2/texte.tex

Construire un cercle () tangent un cercle donn, (C), et une droite donne, (D), en un point donn, A de cettedroite.

PProblme 16 ./1965/dakarmelem/pb/texteSoit () la courbe dquation cartsienne

x2

a2+y2

b2 1 = 0 par rapport un repre orthonorm

(O; # , #

); a et b sont

deux longueurs donnes.

1 partir de la reprsentation paramtrique x = acos t,y = b sin tde (), montrer que lquation cartsienne de la tangente au pointM0(x0 ; y0) de () est

x0x

a2+y0y

b2 1 = 0.

2 tout pointM0(x0 ; y0) du plan distinct de O, on fait correspondre la droite (m0) dquation

x0x

a2+y0y

b2 1 = 0.

Vrifier que, lorsque a = b, la droite (m0) est la polaire deM0 par rapport au cercle ().

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2009-2010 30

3 Montrer que lapplication m 7 (m0) est une application biunivoque (ou une bijection) de lensemble des pointsdu plan distincts de O sur lensemble des droites ne passant pas par O.Pour toute droite (m0) dquation ux + vy + h = 0 ne passant pas par O, donner les coordonnes du point Mcorrespondant.

4 Montrer quun condition ncessaire et suffisante pour que (m0) soit tangente () est queM0 ().En dduire une condition ncessaire et suffisante pour que la droite dquation ux + vy + h = 0 soit tangente ()est que

a2u2 + b2v2 h2 = 0.5 Utiliser cette dernire relation pour discuter le nombre de tangentes () issues dun point P( ; ) donn (on

pourra former lquation donnant les pentes de ces tangentes).En utilisant cette mme relation trouver lensemble des points M do lon peut mener () deux tangentesperpendiculaires.

6 On suppose queM0 dcrit une droite (d) donne ne passant pas par O. Montrer que (m0) passe par un point fixe.Que devient ce rsultat lorsque (d) passe par O ?

XXIII. Dakar remplacement, Mathmatiques lmentaires

Ex. 40. ./1965/dakarmelemrem/exo-1/texte.tex

Trouver le reste de la division par 8 du nombre

A = 1323 2741.

Ex. 41. ./1965/dakarmelemrem/exo-2/texte.tex

tudier les variations de la fonctiony = sinx(1 + cosx)

et tracer la courbe reprsentative de ces variations.

PProblme 17 ./1965/dakarmelemrem/pb/texte1 On considre, dans un repre orthonorm xOy, les cercles (C) d(quation

x2 + y2 2mx 2 = 0,

o m est un paramtre rel variable. Montrer que ces cercles forment un faisceau, dont on dterminera les l-ments.

2 On considre maintenant les cercles (C) dquation

x2 + y2 2my + k = 0

(m variable, k constant).Dterminer la valeur de k pour laquelle ces cercles sont orthogonaux aux cercles (C) prcdents. Les cercles (C)ainsi dtermins forment une faisceau. Donner lquation du cercle (C) passant par le point F(+2 ; +2).

3 Montrer que, lorsque (C) varie, la polaire de F par rapport (C) passe par un point fixe.4 On considre maintenant les coniques qui admettent F comme foyer et le cercle variable (C) pour cercle princi-

pal. Discuter, suivant les valeurs de m, la nature de ces coniques. Trouver, en particulier, les valeurs de m pourlesquelles ces coniques sont des hyperboles quilatres.

5 Montrer que laxe non focal des ces coniques reste tangent une parabole, dont on prcisera le foyer et la directrice.Montrer que la directrice associe F passe par un point fixe. Trouver le lieu du deuxime foyer de ces coniques.

6 Montrer que ces coniques restent tangentes deux droites fixes.

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2009-2010 31

XXIV. Dijon, Sciences exprimentales

XXV. Dijon, Maths lmentaires et Mathmatiques et Technique

Ex. 42. ./1965/dijonmelem/exo-1/texte.tex

Construire la courbe (C) dquationy2 = x2 +2x 3,

dans un repre cartsien orthonorm xOx, yOy. (Unit graphique : 1 cm).On indiquera la nature de la courbe (C) et lon en prcisera les lments suivants : centre, sommets, foyers, asymp-totes.On donnera les coordonnes du centre, des sommets et des foyers, ainsi que les quations de asymptotes, dans lerepre xOx, yOy.

PProblme 18 ./1965/dijonmelem/pb/texteDans un plan rapport un repre cartsien orthonorm xOx, yOy, on considre le cercle (a), de centre A(+3 ; 0)et de rayon 2, et le cercle (b), de centre B(0 ; +4) et de rayon 4.SoitM un point variable de laxe xOx.On dsigne par x labscisse de M , par pa la puissance de M par rapport au cercle (a), par pb a puissance de M parrapport au cercle (b).

1 crire une quation des cercles (a) et (b).2 Calculer en fonction de x la valeur du rapport

u =papb

;

tudier les variations de la fonction u(x) ainsi dfinie et en construire la courbe reprsentative () dans un repreorthonorm.

3 k tant un nombre rel donn, existe-t-il sur laxe xOx des pointsM tels quepapb

= k ?

Discuter, suivant la valeur de k, le nombre de ces pointsM .Quand il en existe deux,M etM , montrer que leurs abscisses, x et x, sont lies par une relation indpendantede k.crire cette relation.

4 Montrer quil existe un cercle (c) centr sur xOx et orthogonal (a) et (b) .En prciser le centre et le rayon. Construire un cercle (d) centre sur yOy et orthogonal (a) et (b).Calculer les coordonnes du centre et le rayon R de (d).

On donnera de R la valeur dcimale approche par dfaut 1103

prs.

5 On considre la courbe () construite au 2. Calculer laire arithmtique S limite par laxe des abscisses et larc ()dont les extrmits sont sur laxe des abscisses.

Donner de S lexpression exacte la plus simple, puis la valeur dcimale approche par dfaut 1103

prs.

N.B. - Les calculs numriques peuvent tre faits laide dune des tables de valeurs numriques autorises.

XXVI. Dijon, srie Technique et conomie

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2009-2010 32

XXVII. Dijon, remplacement

Mmes sujets que ceux de Lyon.

XXVIII. Grenoble, Sciences exprimentales

Ex. 43. ./1965/grenoblescexp/exo-1/texte.tex

1 tudier la variation de la fonctiony = x 1 4

x2.

(Pour tudier le signe de la drive on utilisera lidentit x3 +8 = (x +2)(x2 4x +4).)2 M tant le point dabscisse x de la reprsentation graphique correspondante () et P le point dabscisse x de la

droite () qui a pour quation y = x 1, calculer z =MP.Quel est la signe de z et quelle est sa limite lorsque x crot indfiniment en valeur absolue ?

3 Figurer () et () dans un repre orthonorm, en prenant le centimtre comme unit de longueur.4 Calculer laire, S, de la surface limit par (), laxe des abscisses et les ordonnes dabscisses 2 et 4.

Ex. 44. ./1965/grenoblescexp/exo-2/texte.tex

Dans ce qui suit, x reprsente un nombre positif et les logarithmes sont des logarithmes npriens.Mettre sous sa forme la plus simple possible lexpression

logex + elogx .

Rsoudre lquationlog

(logex + elogx

)= 1+2logx.

XXIX. Grenoble, Maths lmentaires et Mathmatiques et Technique

Ex. 45. ./1965/grenoblemelem/exo-1/texte.tex

Deux points A et B, et une longueur a tant donns, construire une ellipse admettant A comme sommet du grandaxe, B comme sommet du petit axe et 2a comme longueur du grand axe. Discuter.

PProblme 19 ./1965/grenoblemelem/pb/texteOn considre le fonction y =

3x+34x.

1 tudier cette fonction : intervalles de dfinition, variation, valeurs aux bornes des intervalles de dfinition.Montrer que la courbe reprsentative, (C), admet un centre de symtrie.Dterminer les asymptotes de cette courbe.

Tracer le courbe (C) dans un systme daxes orthonorms xOx, yOy, de vecteurs unit#

i et#

j , lunit de longueurtant le centimtre.

2 On se propose de dterminer les points de (C) dont les coordonnes x et y sont des entiers relatifs.Pour cela crire y sous forme dune fraction.Dmontrer quune condition ncessaire pour quun point de (C) ait ses deux coordonnes entires est que x soitpair.En dduire tous les points de (C) dont les deux coordonnes sont des entiers relatifs.Dterminer lquation de la tangente en celui des points ainsi obtenus dont labscisse x est positive et diffrentede 2. Construire cette tangente.

3 On considre laire limite par la courbe, laxe xOx, et deux parallles yOy, dabscisses 2 et 4.Calculer laire ainsi limite.

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2009-2010 33

4 On choisit de nouveaux axes de coordonnes, de mme origine que le prcdent :X OX a mme direction et mme sens que le vecteur dont les composantes scalaires par rapport xOx et yOysont respectivement 3 et 4 ;

Y OY est confondu avec yOy. #I et #J , vecteurs unit sur X OX et Y OY ont le mme module que#

i et#

j .

Exprimer#

I et#

J en fonction de#

i et#

j .Les coordonnes dun pointM tant x et y par rapport aux axes xOx et yOy et X et Y par rapport aux axes X OXet Y OY , dterminer x et y en fonction de X et Y .En dduire une quation de la courbe (C) par rapport aux axes X OX, Y OY .Quelle est la nature de cette courbe ? En dterminer laxe focal ; crire son quation par rapport aux axes X OX etY OY , puis par rapport aux axes xOx et yOy.En dduire les sommets de la courbe.N.B.- les questions 2, 3 et 4 sont indpendantes.

XXX. Grenoble, remplacement

Mmes sujets que ceux de Lyon.

XXXI. Lille, Sciences experimentales

XXXII. Lille, Sciences exprimentales

XXXIII. Lille, Maths lmentaires et Mathmatiques et Technique

Ex. 46. ./1965/lillemelem/exo-1/texte.tex

On donne le nombre complexe42(1+ i).

1 Donner le module et un argument de ce nombre.2 Donner, sous forme trigonomtrique et sous forme cartsienne, les racines cubiques de ce nombre.

PProblme 20 ./1965/lillemelem/pb/texteOn considre la courbe (H) dquation xy = 1, rapporte deux axes orthonorms Ox, Oy. Soit M1 et M2 les pointsde (H) dabscisses respectives x1 et x2 telles que 0 < x1 < x2.Les parallles aux axes Ox et Oy issues de M1 et M2 forment le rectangleM1IM2J de centre P ; les tangentes (D1) et(D2) la courbe (H) enM1 etM2 se coupent en Q.

1 Dterminer une quation de (D1) et (D2) et les coordonnes de Q. tablir que les points O, Q, I, J sont aligns etquils forment une division harmonique .

2 valuer, en fonction de x1 et x2 laire S (positive) comprise entre la cordeM1M2, larcM1M2 de la courbe (H).

On suppose que M1 et M2 dcrivent la portion de (H) situe dans le demi-plan x > 0, de telle faon quex2x1

= t

demeure constant suprieur 1. Montrer que S est constante, ainsi que le produit des coordonnes de Q. Quel estlensemble des points Q ?

3 Calculer la drive de la fonction f telle que S = f (t). Calculer la limite de u =S

tquand t , puis celle du

produit S = u t.

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2009-2010 34

En dduire la variation de S en fonction de t quand t > 1 (il nest pas demand de graphe) et montrer que, si S estconstant, t est constant.

4 t demeurant constant, valuer les rapportsOP

OQet

PQ

PI.

Quel est lensemble des points P ? Prouver que M1M2 est la tangente en P cet ensemble et que les aires destriangles IM1M2, QM1M2 et OM1M2 sont constantes.

XXXIV. Lille, srie Technique et conomie

XXXV. Lille, remplacement

Mme sujets que ceux de Paris.

XXXVI. Lyon, Sciences exprimentales

Ex. 47. ./1965/lyonscexp/exo-1/texte.tex

1 tudier les variations de la fonction

y =2x2 + x+12x 1 .

Montrer que y peut se mettre sous la forme

y = ax + b+c

2x 1 ,

a, b, c tant deux coefficients, quon dterminera.

2 Utiliser la courbe obtenue pour tudier, suivant les valeurs du paramtrem, lexistence des racines de lquation

2x2 (2m 1)x+m+1 = 0.

3 Appliquer la mthode prcdente la recherche, suivant les valeurs du paramtre m, du nombre de solutions delquation en :

2cos2 (2m 1)cos +m+1 = 0, dsignant la mesure en degrs dun angle dun triangle.


On lance 3 ds. Quelle est la probabilit pour obtenir :

1 un total de 16 ;2 un total au moins gal 16 ;3 un total strictement suprieur 16 ?


Rsoudre lquation2e2x 7e2x = 13.

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2009-2010 35

XXXVII. Lyon, Maths lmentaires et Mathmatiques et Technique

Ex. 50. ./1965/lyonmelem/exo-1/texte.tex

Sur le cercle de centre O et de rayon 1, trac dans un repre orthonorm xOy, on place les points A et B tels que

(#

Ox,#

OA) =

4, (

#

Ox,#

OB) =

3.

1 Quelles sont les nombres complexes ayant respectivement pour images A et B ?2 valuer, de deux faons diffrentes, leur produit.

En dduire les valeurs de cos712

et sin712

.

PProblme 21 ./1965/lyonmelem/pb/texteDans un repre orthonorm xOy, on place le point C de coordonnes (0 ; R), R dsignant un nombre positif donn.On trace le cercle (C) de centre C et de rayon R et lon dsigne parM un point variable de ce cercle tel que (

#

Cx,#

CM ) =, variant de 0 2.

1 Soit H la projection orthogonale deM sur Ox et P le milieu de HM .Trouver le lieu gomtrique du point P.Prciser les lments de ce lieu : centre, foyers, directrices, excentricit et tangent en P.

2 valuer en fonction de R et , les coordonnes (x ; y) du pointM .Pour quelles valeurs de ces coordonnes vrifient-elle la relation

y +2x = a,

a dsignant un nombre algbrique donn ?Discuter suivant les valeurs de a.Retrouver gomtriquement les rsultats de cette discussion.

3 La droite OM rencontre CP en D et, en E, le diamtre () du cercle (C) parallle Oy ; montrer que la division(O, M, D, E) est harmonique.Former lquation de la droite OM ; trouver les coordonnes du point D en fonction de R et ; en dduire le lieugomtrique du point D.Prciser les points communs ce lieu et au cercle (C) ; expliquer ce rsultat.

4 On effectue linversion de centre O et de puissance 2R2. Montrer que le point D a pour inverse le symtrique Ddu pointM par rapport E.En dduire, les coordonnes de D en fonction de R et , puis lquation du lieu de D ; construire ce lieu.

XXXVIII. Lyon, srie Technique et conomie

XXXIX. Lyon remplacement, Sciences exprimentales

XL. Lyon remplacement, Maths lmentaires et Mathmatiques et Technique

Ex. 51. ./1965/lyonmelemrem/exo-1/texte.tex

Les lettres e et x dsignant respectivement la base des logarithmes npriens et linconnue, rsoudre, sur le corps derels, lquation

7e5x 8e3x + ex = 0.Les valeurs numriques des solutions seront donnes lapproximation permise par les tables usuelles.

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2009-2010 36

PProblme 22 ./1965/lyonmelemrem/pb/texteSur un axe xx dorigine O on donne deux points fixes A et B, tels que OA = a et OB = b ; a et b tant deux nombresrels tels que a > b > 0.Un axe zz tourne autour de O.

1 N dsignant le symtrique de A par rapport zz et P celui de B par rapport zz, dterminer chacun des en-sembles de points auxquels appartiennent N et P.

2 Les droites AP et NB se coupent enM .a) Montrer queM appartient zz.b) La perpendiculaire enM zz coupe xx en O. Prouver que O est un point fixe.c) En dduire que lensemble des pointsM , lorsque zz varie, est un cercle (M ), dont on calculera le rayon et dont

on prcisera labscisse du centre, not F.

3 a) Dmontrer que le cercle (M ) prcdent et le cercle (MAB) circonscrit au triangleMAB sont orthogonaux.En dduire la tangente enM au cercle (MAB) et lenveloppe de cette tangente.

b) dsignant le centre du cercle (MAB), on considre la droite () perpendiculaire en F.Dterminer lenveloppe de () lorsqueM varie. On indiquera avec prcision les lments fondamentaux et lonconstruira le point de contact, , de () avec son enveloppe.

4 On pose (#

Ox,#

OM ) = (mod 2).

a) Dterminer lintervalle de variation de lorsqueM dcrit tout lensemble auquel il appartient.

b) Calculer BM2 en fonction de a, b et .

c) Faisant lhypothse supplmentaire a = 2b, tudier les variations et construire la courbe reprsentative de lafonction y = BM .

d)

e)

XLI. Montpellier

Mme sujets que pour Aix Marseille.

XLII. Nancy, Sciences exprimentales

XLIII. Nancy, Mathmatiques lmentaires

Ex. 52. ./1965/nancymelem/exo-1/texte.tex

Dterminer les entiers naturels x et y qui admettent comme P.G.C.D le nombre 11 et comme produit le nombre10164.

PProblme 23 ./1965/nancymelem/pb/texteSoit un repre orthonorm xox, yOy et un point I de coordonnes a et b. crire une quation du cercle (C) de centreI , de rayon R, puis choisir R pour que la puissance de lorigine O par rapport au cercle (C) soit gale 1.Soit E lensemble des cercles (C) ainsi dfinis. On propose, dans toute la suite du problme, ltude de certains sous-ensembles, E1, E2, E3 de lensemble E.

1 Soit E1 lensemble des cercles (C1), appartenant E et tels que b = 2a.

a) Quel est lensemble des centres de ces cercles ?

b) Dterminer les cercles (C1) qui passent par un point donnM , de coordonnes (x0, +1). Discuter.

c) Caractriser gomtriquement lensemble E1 et donner une solution gomtrique de la question prcdente.

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2009-2010 37

2 Soit E2 lensemble des cercles (C2) appartenant E, qui passent par le point P(+1, +1).a) Quel est lensemble des centres de ces cercles ?

b) Dmontrer que ces cercles passent par un deuxime point fixe, P .c) Dterminer par le calcul et construire gomtriquement les cercles (C2) tangents x

Ox.3 Soit E3 lensemble des cercles (C3) appartenant E et tangents la droite (D) dquation y = 1.

a) Quel est lensemble des centres de ces cercles ?

b) Retrouver gomtriquement cet ensemble en faisant une inversion de centre O, de puissance 1, et en montrantque les cercles (C3) sont tangents un cercle fixe.

XLIV. Nancy, Mathmatiques et Technique

Ex. 53. ./1965/nancymatech/exo-1/texte.tex

Trouver les expressions cartsiennes et trigonomtriques des racines cubiques du nombre complexe z = 8i.

Ex. 54. ./1965/nancymatech/exo-2/texte.tex

Rsoudre lquation(3+1)sin2 x 2

3sinxcosx + (

3 1)cos3 x = 0.

PProblme 24 ./1965/nancymatech/pb/texteOn considre un faisceau linaire de cercles, points de base A et B. On appelle () la mdiatrice du segment AB.Un cercle variable (), de centre , appartenant au faisceau, coupe () en D et D.Les droites BD et BD coupent respectivement la tangente en A () en C et C.

1 Montrer que AD et AD sont bissectrices de langle BAC du triangle ABC. En dduire que lensemble des points Cet C est une hyperbole (H) de foyer A et de directrice associe (). Dterminer les lments de (H).On appellera F le second foyer de (H). Montrer que, si K est le symtrique de A par rapport B, on a

FB

FK= 1

2.

2 Soit I le ple de la droite BD par rapport au cercle (). Montrer que CI passe par K. Soi CT la tangente, autre queCA, mene par C (). En tudiant le faisceau des droites CI, CB, CT, CA, prouver que CT passe par F. Quel estle point de concours des tangentes lhyperbole (H) en C et C ?

3 On suppose que C est du mme ct que A par rapport () et que le triangle ABC existe. Soit a, b et c leslongueurs respectives des cts BC, CA et AB. Dmontrer que a2 = b(b + c) et que b < a < 2b.

4 On suppose que a, b et c sont des nombres entiers premiers entre eux dans leur ensemble. Dmontrer que b et csont premiers entre eux, ainsi que b et b + c.En dduire que b et b + c sont des nombres parfaits .On donne b = 25 ; dterminer a et c.

XLV. Madagascar, Maths lmentaires

Ex. 55. ./1965/madagascarmelem/exo-1/texte.tex

On dsigne pat la mesure dun arc compris entre et 2 radians.Calculer le module et largument de chacune des racines carrs du nombre complexe

z =1+ cos + isin1 cos isin .

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Ex. 56. ./1965/madagascarmelem/exo-2/texte.tex

Soit x un nombre rel. Discuter, par la mthode graphique, suivant les valeurs du paramtrem, le nombre de racinesde lquation

x 3x2 +6x+9 =m(x 3),

en utilisant le graphe, construit en repre orthonorm, de la fonction

y = x 3x2 +6x +9.

PProblme 25 ./1965/madagascarmelem/pb/texteSoit deux cercles (O) et (O), de centres respectifs O et O et de rayons R et R (R > R), extrieurs lun lautre, et derayons parallles variables, OA et OA, de mme sens. La droite AA recoupe (O) en B et (O) en B.La tangente en B (O) coupe enM la tangente en A (0) et en Q la tangente en A (O).La tangente en B (O) coupe en N la tangente en A (O) et en P la tangente en A (O).

1 Montrer que la droiteMN passe par un point fixe, U , et que les points P et Q sont sur une droite fixe. Quels sontles ensembles des pointsM et N ?

2 Les droites OA et OB se coupent en S et les droites OB et OA en S . Quel est lensemble des points S et S ?Dterminer les tangentes cet ensemble en S et S . Montrer que le cercle de centre S et de rayon SA et le cerclede centre S et de rayon S A ont orthogonaux un cercle fixe, de centre U .

3 Le cercle (P) de centre P et de rayon PA recoupe le cercle (O) en C et le cercle (O) en C et B.Montrer que chacune des droites AC et BC passent chacune par un point fixe quand A varie. Que dire du pointT intersection de AC et CB ?Montrer que les deux cercles de diamtre PT forment un faisceau linaire points de base.

N.B.- la question 3 est indpendante de la question 2

XLVI. Montral & New York, Maths lmentaires et Mathmatiques etTechnique

Ex. 57. ./1965/newyorkmelem/exo-1/texte.tex

Chercher tous les ensembles de trois nombres entiers naturels x, y et z tels que2x = y + zx + y + z = xyz.On rappelle que lensemble N des entiers naturels est lensemble

N = {0, 1, 2, . . . , n . . .}.

Ex. 58. ./1965/newyorkmelem/exo-2/texte.tex

Rsoudre lquation2(

3sinxcosx sin2 x)=2 1.

On placera sur le cercle trigonomtrique les extrmits des arcs solutions.

XLVII. Paris, Sciences exprimentales

Ex. 59. ./1965/parisscexp/exo-1/texte.tex

On dsigne parCnp le nombre de combinaisons p p de n lments.Trouver une fraction gale C74 :C93 et telle que le plus grand commun diviseur de ses termes soit 24.

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2009-2010 39


On rappelle que la drive de ex et ex.

1 Calculer les deux premires drives de la fonction

y(x) = ex(3x +5).

2 tablir la formule donnant la drive dordre n de y.3 Exprimer la somme

y(x) + y(x) + + y(n)(x)sous forme aussi rduite que possible.


1 tudier les variations de la fonction

x(t) = 2cos2 t + sin2t pour 06 t 6 .

2 Tracer le graphe (C) de cette fonction par rapport un systme daxes orthonorm tOt, xOx.3 Construire la tangente (C) au point dabscisse t = 0.4 valuer laire du domaine limit par les deux demi-droites Ox et Ot et larc de courbe (C) qui correspond

06 t 6

2.


Lquation x(t) = 2cos2 t+sin2t, dans laquelle t prend toutes les valeurs relles, est lquation horaire du mouvementdun pointM sur un axe xOx.Montrer que ce mouvement est un mouvement vibratoire simple, dont on cherchera lquation rduite sous la formex = a+ bcos(t +) avec a > 0 et b > 0, et dont on donnera les caractristiques.

XLVIII. Paris, Maths lmentaires et Mathmatiques et Technique

Ex. 63. ./1965/parismelem/exo-1/texte.tex

Trouver tous les entiers naturels diviseurs du nombre 108.Trouver tous les couples (x, y) dentiers naturels tels que leur plus grand commun diviseur d et leur plus petitcommun multiple m satisfassent

m 3d = 108, 10 < d < 15.


a) Dterminer, en posant x =1u, la limite de x lnx quand x tend vers zro (x > 0).

b) Dterminer les nombres a et b de manire que la fonction z = x(a lnx+b) soit une primitive de la fonction y = lnx.c) On dsigne par S(t), pour 0 < t < 1, laire du domaine plan dlimit par laxe xx et la courbe

y = lnx

compris entre les parallles yy dabscisses t et 1.Calculer S(t) et dterminer la limite de S(t) quand t tend vers zro. (Le repre utilis est suppos orthonorm.)

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2009-2010 40

PProblme 26 ./1965/parismelem/pb/textePar rapport un repre orthonorm R (origine O, axes xOx et yOy) une conique E a pour quation

12x2 +16y2 +12ax 9a2 = 0,

o a dsigne la mesure dune longueur donne (a > 0).

1 Calculer les coordonnes de son centre, de ses foyers, et de ses sommets. crire les quations de ses directrices Det D (on dsignera par D celel qui rencontre laxe focal en un point dabscisse positive). Calculer son excentricite.SoitM un point quelconque de E. Calculer en fonction de a et de labscisse x du pointM lexpression rationnellede la longueur OM . On pose

OM = et (#

Ox,#

OM ) = .

Calculer en fonction de a et de .

2 A chaque pointM de E, de coordonnes x , y, on associe le nombre complexe z = x + iy, affixe deM .crire lexpression trigonomtrique de z (on dsignera par son argument et lon exprimera le module de z enfonction de a et de ).Soit z et z les affixes des deux pointsM etM de E, darguments respectifs et +.

a) crire sous forme trigonomtrique le nombre complexe z z et en dduire la longueur du segmentM M .b) On considre, dans le plan, le point P dont laffixe Z est dfinie par la relation :

2Z=

1z+

1z

.

crire lexpression trigonomtrique de Z . En dduire le lien gomtrique de P quand varie. Que peut-on direde la figure forme par les points O, P, M , M ?

3 Soit (J) linversion de pleO qui laisse invariant le cercle principal de E etm , m , p les transforms deM , M , Ppar (J). Quelle particularit prsente la figure forme par les trois points m , m , p ? Calculer la longueur dusegmentmm . Quel est le lieu gomtrique de p ? En dduire une dfinition gomtrique de la courbe transformede E par (J).

XLIX. Paris composition refaite, Maths lmentaires et Mathmatiques etTechnique

Ex. 65. ./1965/parismelembis/exo-1/texte.tex

1 Calculer le module et largument du nombre complexe z =1

1+ itansuivant la valeur de langle .

Placer, relativement un repre orthonorm, les images A et B des nombres

z0 = z =1

1+ itan 4et z =

1

1+ itan 23.

2 SoitM limage du nombre complexe

Z =1+ ix

1+ itan 4 + ix(1+ itan 23

) ,o x est un nombre rel quelconque.

Calculer le module r et largument deZ z0Z z1

.

Quels sont les affixes complexes des vecteurs#

MA et#

MB ?Du calcul de r et dduire lensemble des pointsM obtenus lorsque x varie de 0 +.

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2009-2010 41

PProblme 27 ./1965/parismelembis/pb/texteDans tout le problme, le plan est rapport un systme daxes orthonorm (Ox, Oy).

1 Soit a, b, c, d quatre nombres rels. On considre les deux systmes de relation

(1)

a2 + c2 = 1,b2 + d2 = 1,

ab+ cd = 0

et (2)

|ad bc| = 1a2 = d2,

b2 = c2.

Montrer, soit algbriquement, soit trigonomtriquement (en remarquant que,si 2 + 2 = 1, il existe au moins unangle tel que = cos et = sin), que (1) implique (2). La rciproque est-elle vraie ?

2 On considre la transformation ponctuelle R qui, chaque pointm(x, y), fait correspondre le pointM (X , Y ) telque

X =45x 3

5y,

Y =35x +

45y.

a) Quels sont les points doubles de R ?

b) Montrer que Om =OM et que, si P est limage de p, on a toujours pm = PM .

c) Calculer, 2k prs, langle de vecteurs(#

Om;#

OM )et reconnatre la nature de R.

3 Dans les mmes conditions, on considre la transformation S qui chaque point m(x, y) fait correspondre lepointM (X , Y ) tel que

X =45x+

35y,

Y =35x 4

5y.

a) Quels sont ses points doubles ?

b) Montrer que S est une symtrie axiale.

4 Plus gnralement, tout systme de relations X = ax+ by,Y = cx+ dy,o a, b, c, d) sont des nombres rels vrifiant lingalit ad bc , 0, dfinit une transformation ponctuelle T pourlaquelle tout pointm(x, y) a pour imageM (X, Y ).

a) Rechercher un ensemble de conditions ncessaire et suffisant entre les nombres a, b, c, d pour que la transfor-mation correspondante soit une isomtrie, cest--dire conserve les distances (M et P tant les images de m etp, on a mp =MP quels que soient m et p). quelle condition cette isomtrie est-elle un dplacement ? quelle condition est-elle une symtrie axiale ?

b) T peut-elle tre une similitude ?

5 On se propose maintenant dtudier la transformation T particulire dfinie parX = x,Y = 3x +2y.a) -t-elle des points doubles ?

b) Quelle est la figure transforme, soit dune droite parallle Ox, soit dune droite parallle Oy ?

c) Donner un procd graphique simple de construction de limageM dun point quelconque m et reconnatre latransformation T .

N.B.- Les questions 1, 2 et 3 du problme sont indpendantes.

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2009-2010 42

L. Paris, srie technique et conomie

Ex. 66. ./1965/paristecheco/exo-1/texte.tex

Dmontrer que, si A, B, C sont les angles dun triangle, on a la relation

cosAsinBsinC

+cosB

sinC sinA+

cosCsinAsinB

= 2.

Ex. 67. ./1965/paristecheco/exo-2/texte.tex

On met dans un sac les lettres mobiles susceptibles de former le mot CONSTANTINOPLE et lon tire successive-ment au hasard 6 lettres de ce sac, chacune delles, aprs chaque tirage, restant hors du sac.Quelle est la probabilit pour que, dans lordre dobtention, ces lettres forment le mot PANTIN ?

LI. Pondichry , Maths lmentaires

Ex. 68. ./1965/pondicherymelem/exo-1/texte.tex

Dans le plan rapport deux axes orthonorms, Ox et Oy, on demande de dterminer la nature de lensemble despointsM de coordonnes x, y vrifiant lquation

y2 2x2 +3x = 0,puis de construire le graphe correspondant.Dans le plan orient, on considre deux vecteurs

#

AC et#

BD tels que leurs modules soient gaux, leurs supportsperpendiculaires et scants en un point O de manire que

(#

AC,#

BD) = +

2.

PProblme 28 ./1965/pondicherymelem/pb/texte1 Expliquer pourquoi il existe une rotation transformant le vecteur

#

AC en le vecteur#

BD dterminer son centre (notI) et son angle.

2 Dterminer, de mme, le centre, J de la rotation associant le vecteur # DB au vecteur#

AC.En dsignant parM le milieu de AC, par N celui de BD, dterminer la forme du quadrilatre IMJN .

3 Construire les points C et D, connaissant seulement les points A et B en position, la longueur BC et la longueurCD. Discuter.

4 On dsigne par P et R les points diamtralement opposs I respectivement sur chacun des cercles de diamtresAB et CD.Dmontrer que les points P, I, J sont aligns. Dmontrer, de mme, que les points Q, I, S sont aligns, sachantque Q et S sont diamtralement opposs J sur les cercles de diamtres BC et AD.

Prouver que (#

IA,#

IC) = (#

IP,#

IR) et queIA

IP=IC

IR= Constante ; en dduire la transformation qui transforme

#

AC en#

PR. (On donnera le nom de cette transformation et lon dterminera ses lments fondamentaux rduits.)

N.B.- La rsolution de la question ?? nest pas indispensable celle des autres questions.

LII. Rennes, Sciences exprimetales

Ex. 69. ./1965/rennesscexp/exo-1/texte.tex

a) Dterminer les diviseurs communs de 4512 et 4128.

b) Trouver un nombre entier d tel que, si lon divise par d les nombres 4525 et 4147, les restes obtenus soient respec-tivement 13 et 19. Prciser le nombre des solutions.

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2009-2010 43


Rsoudre lquationlog(x +1) log(2 x) + log2 = log7 log(4 x).


Donner, sans dmonstration, lexpression de la drive du produit uv, o u et v dsignent des fonctions dune va-riable.


tudier les variations de la fonction

y =(x +1)3

x2.

La reprsenter graphiquement, en choisissant un repre orthonorm.

LIII. Strasbourg, Sciences exprimentales

LIV. Strasbourg, Maths lmentaires et Mathmatiques et Technique

Ex. 73. ./1965/strasbourgmelem/exo-1/texte.tex

Montrer que le polynmex3 8x2 +25x 26

est divisible par x 2. En dduire ses racines, relles ou complexes.

Ex. 74. ./1965/strasbourgmelem/exo-2/texte.tex

Mettre lexpression3sinx cosx sous la forme acos(x ).

tudier les variations de la fonction f dfinie par

f (x) =

3sinx cosx +2.

PProblme 29 ./1965/strasbourgmelem/pb/texteSoit (P) un plan rapport un repre orthonorm daxes xOx, yOy. On considre, dans (P), les droites

(D) dquation x = a (a > 0),

(D) dquation x = a .

On dsigne par E le complmentaire (dans P) de la runion des droites xOx, (D), (D), et par C lintersection dexOx et de (D), par B lintersection de xOx et de (D).

1 Soit M1 E et A , B , C les projections orthogonales de M1 respectivement sur xOx, (D) et (D). Calculer lescoordonnes de A , B , C en fonction des coordonnes (x1 ; y1) deM1.Calculer les coordonnes du centre, I , du cercle () circonscrit au triangle ABC.

2 a) SoitM2, de coordonnes (x2 ; y2), le symtrique deM1 par rapport I . Montrer que

x2 = x1, y2 =a2 x21y1

.

b) On dsigne par T la transformation qui, M1 E, fait correspondreM2 : montrer que T est une applicationbiunivoque de E sur E. Montrer que T est involutive.Dterminer les points invariants par T .

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2009-2010 44

3 a) Soit () la droite dquationx = b (b , a) et () = () E.

Dterminer le transform T () de () par T[cest--dire lensemble des points T (M1) oM1 ()

].

b) Soit (1) la droite dquationy = c (c , 0) et (1) = (1) E.

Dterminer lensemble T (1).4 Montrer queM2 est le centre dun cercle passant par les symtriques, A2, B2, C2, deM1 respectivement xOx, (D)

et (D).Montrer que B est le milieu de A2C2.Comparer les angles de droites (BC , BM1) et (BM2, BC) ; quelles sont les bissectrices de (BM1, BM2) ?Dterminer de faon analogue les bissectrices de (CM1, CM2).Dduire de ce qui prcde une construction simple deM2 = T (M1).Retrouver les proprits de la transformation T tablies au 2b.

5 Montrer quil existe une conique et une seule de foyerM1 (M1 E) tangente (D), (D) et xOx. La dterminer etprciser son second foyer.

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Chapitre6

1966.Sommaire

I. Orlans, srie Mathmatiques lmentaires.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45II. Orlans, srie Mathmatiques et technique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46III. Paris, srie Mathmatiques lmentaires et Technique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

I. Orlans, srie Mathmatiques lmentaires.

Ex. 75. ./1966/orleansmelem/exo-1/texte.tex

a) Calculer la drive de la fonctionf (x) = e2x sin2x.

b) tudier le signe de cette drive pour 06 x 6

2.


On donne un repre orthonorm Ox, Oy, Oz.

a) Trouver lquation du cne de rvolution daxe Oz, de sommet S de coordonnes (0 ; 0 ; 4) et tangent la droite(D) du plan xOy qui a pour quation dans ce plan 3x + y 3 = 0.

b) Trouver lquation du plan tangent au cne et contenant (D).


On donne, dans un plan P, un repre orthonorm xOx, yOy et deux points situs sur xOx : A dabscisse +1, et Adabscisse 1. On se propose dtudier une transformation ponctuelle, T . M tant un point quelconque du plan, laperpendiculaire AM passant par A et la perpendiculaire AM passant par A se coupent en un pointM .M est latransform deM par la transformation T .

A- 1. On dsigne par x, y les coordonnes deM , par X, Y les coordonnes deM .Donner les expressions de X et de Y en fonction de x et y. Tout pointM du plan a-t-il un transformM , biendtermin ?Donner les expressions de x et y en fonction de X et Y .

2. Dmontrer gomtriquement que MM est perpendiculaire xOx et trouver une relation simple entreIA, IA , IM et IM , en dsignant par I le point commun aux droites AA etMM .

B- Dterminer lensemble des pointsM dans les cas suivants :1. M dcrit la droite dquation y = 2x 1 ; construire lensemble des pointsM .2. M dcrit la droite dquation y = 3(x 1) ; prciser la nature de lensemble des pointsM .3. M dcrit la droite dquation y = k ; prciser la nature de lensemble des pointsM .4. M dcrit la parabole dtermine par ce qui suit : yy est axe de symtrie, AA est corde focale, lordonne du

sommet est ngative.

5. M dcrit un cercle passant par A et A.6. M dcrit une ellipse de grand axe AA. (On dsignera par b le demi-petit axe de cette ellipse).

2009-2010 46

II. Orlans, srie Mathmatiques et technique.

Ex. 78. ./1966/orleansmt/exo-1/texte.tex

Soit deux axes orthonorms xOx et yOy, a et b deux longueurs donnes, (E) lensemble des points M dfinis enfonction du paramtre t par

x = acos t, y = b sin t.

1 Calculer les composantes du vecteur driv de la fonction vectorielle#

OM de la variable t. Former une quationde la tangente (E) enM .

2 Dterminer les valeurs de t correspondant aux points de contact des tangentes (E) passant par A donn, decoordonnes x = a

2, y = b

2.

Ex. 79. ./1966/orleansmt/exo-2/texte.tex

Le plan est rapport au systme daxes orthonorm xOx, yOy, de vecteurs unitaires et .1. a) Soit (A) laffinit qui a pour axe la droite dquation y = x, pour direction yOy, pour rapport 2. Montrer quelle

transforme le pointM (x ; y) en le pointM (x ; y) tel quex = x,y = x +2y.

b) Soit (T ) la transformation ponctuelle qui M (x ; y) fait correspondreM1(x1 ; y1) tel quex1 = x +2y,y1 = x.Montrer que (T ) est le produit ordonn de (A) par une deuxime transformation, (S), que lon dfinira.Soit (T ) = (S) (A).

c) Dfinir la transformation (T1) rciproque de (T ). Calculer x1 + y1 et x1 2y1.2. a) Montrer que les directions dfinies par y = x et y = x

2sont invariantes dans (T ).

b) Quelle est la nature de lensemble (H ) dquation x2 4y2 = 1 ? Dterminer et reprsenter dans le plan xOylensemble H1 transform de H par (T).

3. Dans cette question, les coordonnes x et y deM sont des entiers positifs. SoitM1(x1 ; y1) lhomologue deM dansla transformation (T), M2(x2 ; y2) lhomologue de M1 dans la transformation (T), et soit Mn(xn ; yn) lhomologuedeMn1(xn1 ; yn1) dans la transformation (T ), pour tout entier n positif.On considre la suite des fractions

r0 =y

x, r1 =

y1x1, r2 =

y2x2, . . . , rn =

ynxn.

a) Montrer que si r0 est irrductible et x impair, toues les fractions de la suite sont irrductibles. crire les cinqpremires fractions de la suite lorsque x = y = 1.

b) Montrer que rn =1

1+2rn1pour n > 1 et vrifier que la relation v =

11+2u

peut se mettre, pour u > 0 sous la

formev 12v +1

= 12

u 12u +1

.

c) En dduire lexpression du rapportrn 12rn +1

, en fonction de n et du rapportr0 12r0 +1

, et la limite de rn quand n entier

tend vers +.d) Dterminer lexpression (xn + yn) en fonction de n et de (x + y). Montrer que, quand n entier tend vers +,

(xn + yn), xn et yn tendent vers +.Dire ce que devient, quand n tend vers +, la somme

n = ln r0 + lnr1 + + lnrn.N.B. la question 3 est indpendante de la question 2

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2009-2010 47

III. Paris, srie Mathmatiques lmentaires et Technique.


a) tudier la variation de la fonction f de la variable relle x dfinie par

y = f (x) =ex

x.

b) Construire sa reprsentation graphique.


a) z tant un nombre complexe, dvelopper (z +1)3. Rsoudre lquation

z3 +3z2 +3z 7 = 0.

b) Construire les images des racines.

c) Trouver tous les nombres entiers relatifs n tels que n3 +3n2 +3n 7 soit divisible par 8.

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Chapitre7

1967.Sommaire

I. Dijon, srie Mathmatiques lmentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49II. Mexico, srie Mathmatiques lmentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49III. Nantes, srie mathmatiques lmentaires et technique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50IV. New York, srie mathmatiques lmentaires et technique, remplacement . . . . . . . . . . . 50V. Paris, srie Mathmatiques lmentaires et technique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51VI. Strasbourg, srie C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

I. Dijon, srie Mathmatiques lmentaires.

Ex. 82. ./1967/dijonC/exo-1/texte.tex

Soit une droite D, un point O appartenant cette droite et un nombre rel . On dsigne par S la symtrie ortho-gonale par rapport D et par R la rotation de centre O et de mesure . En dcomposant R en le produit de deuxsymtries convenables, tudier les transformations R S et S R.

Baccalaurat Dijon, Juin 1967

II. Mexico, srie Mathmatiques lmentaires.

Ex. 83. ./1967/mexicomelem/exo-1/texte.tex

1. tant un arc compris entre 0 et (unit le radian), on donne

cos =

5 14

.

Calculer cos2 et cos4. En dduire .

2. x tant compris entre 0 et 2, rsoudre linquation3+2cosx > 2sinx.

Ex. 84. ./1967/mexicomelem/exo-2/texte.tex

A) Dans le plan rapport un repre orthonorm xOx, yOy, on considr

Sujets Bac s

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