MATHÉMATIQUES POLYNÉSIE

BAC S - 2018

SujetObligatoire

ObligatOire

B A C C A L A U R É AT G É N É R A L

SESSION 2018

ÉPREUVE DU MERCREDI 20 JUIN 2018

MATHÉMATIQUES– Série S –

Enseignement Obligatoire Coefficient : 7

Durée de l’épreuve : 4 heures

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées,conformément à la réglementation en vigueur.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.Le candidat doit traiter tous les exercices.Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

18MASOPO1 1Polynésie 201 8Bac - Maths - 201 8 - Série Sfreemaths . fr freemaths . fr

Sujet Mathématiques Bac 2018 • Corrigéfreemaths.fr

Polynésie • OBLIGATOIRE

Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 8 pagesnumérotées de 1 à 8.

EXERCICE 4 (5 points)

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un lapin se déplace dans un terrier composé de trois galeries, notées A, B et C, dans chacunedesquelles il est confronté à un stimulus particulier.À chaque fois qu’il est soumis à un stimulus, le lapin reste dans la galerie où il se trouve ou changede galerie. Cela constitue une étape.

Soit n un entier naturel.On note an la probabilité de l’événement : « le lapin est dans la galerie A à l’étape n ».On note bn la probabilité de l’événement : « le lapin est dans la galerie B à l’étape n ».On note cn la probabilité de l’événement : « le lapin est dans la galerie C à l’étape n ».

À l’étape n = 0, le lapin est dans la galerie A.Une étude antérieure des réactions du lapin face aux différents stimuli permet de modéliser sesdéplacements par le système suivant :

an+1 = 1

3an + 1

4bn

bn+1 = 2

3an + 1

2bn + 2

3cn

cn+1 = 1

4bn + 1

3cn

L’objectif de cet exercice est d’estimer dans quelle galerie le lapin a la plus grande probabilité dese trouver à long terme.

Partie A

À l’aide d’un tableur, on obtient le tableau de valeurs suivant :

A B C D1 n an bn cn

2 0 1 0 03 1 0,333 0,667 04 2 0,278 0,556 0,1675 3 0,231 0,574 0,1946 4 0,221 0,571 0,2087 5 0,216 0,572 0,2128 6 0,215 0,571 0,2149 7 0,215 0,571 0,214

10 8 0,214 0,571 0,21411 9 0,214 0,571 0,21412 10 0,214 0,571 0,214

1. Quelle formule faut-il entrer dans la cellule C3 et recopier vers le bas pour remplir lacolonne C ?

2. Quelle conjecture peut-on émettre ?

18MASOPO1 Page 7/8

Partie B

1. On définit la suite (un), pour tout entier naturel n, par un = an − cn .

a) Démontrer que la suite (un) est géométrique en précisant sa raison.

b) Donner, pour tout entier naturel n, l’expression de un en fonction de n.

2. On définit la suite (vn) par vn = bn − 4

7pour tout entier naturel n.

a) Expliquer pourquoi pour tout entier naturel n, an +bn +cn = 1 et en déduire que pour tout

entier naturel n, vn+1 =−1

6vn .

b) En déduire, pour tout entier naturel n, l’expression de vn en fonction de n.

3. En déduire que pour tout entier naturel n, on a :

an = 3

14+ 1

2

(1

3

)n

+ 2

7

(−1

6

)n

, bn = 4

7− 4

7

(−1

6

)n

et cn = 3

14− 1

2

(1

3

)n

+ 2

7

(−1

6

)n

.

4. Que peut-on en déduire sur la position du lapin après un très grand nombre d’étapes ?

18MASOPO1 Page 8/8

1

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1. Déterminons la formule demandée:

La formule à entrer dans la cellule C3 est:

• En C3: on entre << = 2 * B2

3 +

C2

2 + 2 *

D3

3 >> .

(car: b3 = 23 a2 + 1

2 b2 + 2

3 c2 )

2. Quelle conjecture peut-on émettre ?

La conjecture que nous pouvons émettre sur les suites ( an ), ( bn ) et ( cn ) est:

" on pourrait, a priori, penser que ces trois suites sont convergentes et convergent respectivement vers 0, 214, 0, 571 et 0, 214 " .

Partie B:

1. a. Démontrons que la suite ( Un ) est géométrique en précisant sa raison:

Pour tout entier naturel n, nous avons: Un = an - cn .

D’où: Un + 1 = an + 1 - cn + 1

= 13 an + 1

4 bn - 1

4 bn + 1

3 cn

EXERCICE 4

Partie A:

[ Polynésie 2018 ]

2

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= 13 an -

13 cn

= 13 ( an - cn )

= 13 Un .

Au total: ( Un ) est bien une suite géométrique de raison q = 13 et de

premier terme U0 = a0 - c0 = 1 - 0 = 1 .

1. b. Donnons, pour tout entier naturel n, l’expression de Un en fonction de n:

Nous savons d’après le cours que: Un = U0 x qn, quand: Un + 1 = q x Un .

D’où ici: Un = 1 x 13

n

cad: Un = 13

n

, pour tout n ı – .

( car: q = 13 et U0 = 1 )

2. a. a1. Expliquons pourquoi pour tout entier naturel n, an + bn + cn = 1:

D’après l’énoncé, nous savons que:

• an = P ( " le lapin est dans la galerie A à l’étape n " ) .

• bn = P ( " le lapin est dans la galerie B à l’étape n " ) .

• cn = P ( " le lapin est dans la galerie C à l’étape n " ) .

Or le terrier est composé uniquement de trois galeries: A, B et C .

Par conséquent: an + bn + cn = 1 car: la somme des probabilités est toujours égale à 1 .

3

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2. a. a2. Déduisons-en que pour tout entier naturel n, V n+ 1 = - 16 Vn:

Pour tout entier naturel n, nous avons: Vn = bn - 47 .

D’où: Vn + 1 = bn + 1 - 47

= 23 an + 1

2 bn + 2

3 cn -

47

= 23 ( an + cn ) + 1

2 bn -

47

= 23 ( 1 - bn ) + 1

2 bn -

47

( car: an + bn + cn = 1 et donc: an + cn = 1 - bn )

= - 16 bn + 2

21

= - 16 bn -

47

= - 16 Vn .

Au total: ( Vn ) est une suite géométrique de raison q = - 16 et de premier

terme V0 = b0 - 47 = - 4

7 .

Et nous avons bien: Vn + 1 = - 16 Vn .

2. b. Déduisons-en, pour tout entier naturel n, Vn en fonction de n:

Nous savons d’après le cours que: Vn = V0 x qn, quand: Vn + 1 = q x Vn .

4

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D’où ici: Vn = - 47 x - 1

6

n

, pour tout n ı – .

( car: q = - 16 et V0 = -

47 )

3. Déduisons-en les égalités demandées:

• bn ?

Nous savons que pour tout entier naturel n: Vn = bn - 47 .

D’où: bn = Vn + 47

= - 47 x - 1

6

n

+ 47 , pour tout n – .

• an et cn ?

Nous savons que pour tout entier naturel n:

  • Un = an - cn   <=>   an - cn = 13

n

( 1 ) ;

  • bn + 1 = 23 an + 1

2 bn + 2

3 cn

<=>   an + cn = 32

- 47 x - 1

6

n + 1

+ 47 - 3

4 - 4

7 x - 1

6

n + 4

7 ( 2 ) .

En résolvant par substitution le système (1 )

(2 ) , on trouve:

  • an = 314

+ 12

13

n

+ 27 -

16

n

,

  • cn = 314

- 12

13

n

+ 27 - 1

6

n

.

5

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Au total: les égalités demandées sont bien vérifiées .

4. Que peut-on dire sur la position du lapin après un très grand nombre d’étapes ?

Pour répondre à cette question, nous allons préalablement calculer la limite en +∞ des suites ( an ), ( bn ) et ( cn ) .

• lim ann g +∞

= lim n g +∞

314

+ 12

13

n

+ 27 - 1

6

n

= 314

, car: lim n g +∞

13

n

= 0 et lim n g +∞

- 16

n

= 0,

car: 13 ı ] 0 ; 1 [ et - 1

6 ı ] - 1 ; 0 [ .

• lim bnn g +∞

= lim n g +∞

- 47 x - 1

6

n

+ 47

= 47, car: lim

n g +∞ - 1

6

n

= 0, car: - 16 ı ] - 1 ; 0 [ .

• lim cnn g +∞

= lim n g +∞

314

- 12

13

n

+ 27 - 1

6

n

= 314

, car: lim n g +∞

13

n

= 0 et lim n g +∞

- 16

n

= 0,

car: 13 ı ] 0 ; 1 [ et - 1

6 ı ] - 1 ; 0 [ .

6

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Ainsi: • lim ann g +

= 314

,

  • lim bnn g +

= 47

= 814

,

  • lim cnn g +

= 314

.

Et nous avons bien: 314

+ 814

+ 314

= 1 .

En conclusion, après un très grand nombre d’étapes, les probabilités que le lapin soit respectivement dans les galeries A, B et C sont:

  •  314

≈ 21, 4%,

  •  814

≈ 57, 1%,

  •  314

≈ 21, 4% .