Sujet et corrigé mathématiques bac s, obligatoire, France ... · 18MASOMLR1 Page 8 sur 8 Exercice...

MATHÉMATIQUESFRANCE MÉTROPOLITAINE

BAC S - 2018

SujetObligatoire

ObligatOire

B A C C A L A U R É AT G É N É R A L

SESSION 2018

ÉPREUVE DU VENDREDI 22 JUIN 2018

MATHÉMATIQUES– Série S –

Enseignement Obligatoire Coefficient : 7

Durée de l’épreuve : 4 heures

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées,conformément à la réglementation en vigueur.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.Le candidat doit traiter tous les exercices.Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

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Sujet Mathématiques Bac 2018 • Corrigéfreemaths.fr

France Métropolitaine • OBLIGATOIRE

Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 8 pagesnumérotées de 1 à 8.

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Exercice 4 (5 points) Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct �O, ^,SSST_SSST�. On pose VG � 8et, pour tout entier naturel B:

Va#� � 3 i√34 Va.

On note Aale point du plan d'affixe Va.

1. a. Vérifier que :

3 i√34 � √3

2 ecde .

b. En déduire l’écriture de chacun des nombres complexes V�, V�et V@sous forme exponentielle et vérifier que V@ est un imaginaire pur dont on précisera la partie imaginaire.

c. Représenter graphiquement les points AG, A�, A� et A@; on prendra pour unité le centimètre.

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,

Va � 8 × g√32 h

aecade .

b. Pour tout entier naturelB, on pose a � |Va|.

Déterminer la nature et la limite de la suite �^a�.

3. a. Démontrer que, pour tout entier naturelj, Vk#� VkVk#� � 1

√3 i.

En déduire que, pour tout entier naturel j, on a l’égalité : AkAk#� � �√@ OAk#�.

b. Pour tout entier naturel n, on appelle ℓa la longueur de la ligne brisée reliant dans cet ordre les points AG, A�, A�, … , Aa�, Aa .

On a ainsi : ℓa � AGA� � A�A� � ⋯ � Aa�Aa.

Démontrer que la suite �ℓa� est convergente et calculer sa limite.

1

freemaths . fr Corrigé - Bac - Mathématiques - 2018

1. a. Vérifions que a = 3 - i 34

= 32

e - i 6:

Notons préalablement que: • z0 = 8,

• z1 = 3 - i √3 4

z0 ,

• a = 3 - i √3 4 .

• Le module de a est: a = 3 - i √3 4

=> a = 32

.

• Soit , l’argument de a:

a = √32 cos + i sin

= √32 √3

2 - i2 .

Par identification:

cos = √32

=> = - 6 + 2 k , k ı . sin = - 1

2

Au total: • L’argument et le module de a sont:

= - 6 + 2 k , k ı et a = 32

.

EXERCICE 4

[ France Métropolitaine 2018 ]

2


• Sous forme exponentielle a s’écrit: a = 32

e - i 6 .

• L’égalité 3 - i √3 4 = √3

2 e - i 6 est bien vérifiée .

1. b. b1. Déduisons-en les formes exponentielles de z1, z2 et z3:

• La forme exponentielle de z1 ?

z1 = 3 - i √3 4

z0 , avec: 3 - i √3 4 = √3

2 e - i 6 et z0 = 8 .

D’où: z1 = √32

e - i 6 x 8 => z1 = 4 √3 e - i 6 .


z2 = 3 - i √3 4

z1 , avec: 3 - i √3 4 = √3

2 e - i 6 et z1 = 4 √3 e - i 6 .

D’où: z2 = √32

e - i 6 x 4 √3 e - i 6 => z2 = 6 e - i 3 .


z3 = 3 - i √3 4

z2 , avec: 3 - i √3 4 = √3

2 e - i 6 et z2 = 6 e - i 3 .

D’où: z3 = √32

e - i 6 x 6 e - i 3 => z3 = 3 √3 e - i 2 .

Au total, sous forme exponentielle, z1, z2 et z3 s’écrivent:

z1 = 4 √3 e - i 6 , z2 = 6 e - i 3 et z3 = 3 √3 e - i 2 .

3


1. b. b2. Vérifions que z3 est un imaginaire pur dont on précisera la partie imaginaire:

z3 = 3 √3 e - i 2 <=> z3 = 3 √3 cos - 2 + i sin - 2

=> z3 = 3 √3 i sin - 2 ou: z3 = - 3 √3 x i .

Au total: z3 est bien un imaginaire pur dont la partie imaginaire est: - 3 √3 x i .

1. c. Représentons graphiquement les points A0, A1, A2 et A3:

Voici le graphique sur lequel figurent les points A0, A1, A2 et A3 :

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

− 7

− 8

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8− 1− 2− 3− 4− 5− 6− 7− 8

A0

A1

A2A3

4


2. a. Démontrons que, pour tout entier naturel n, zn = 8 x 32

n

e - i n 6 :

Nous allons montrer par récurrence que:

" pour tout entier naturel n: zn = 8 x √32

n

e - i n 6 " .

Initialisation: • z0 = 8 x √32

0

e - i n 6 ?

oui car: 8 x √32

0

e - i n 6 = 8,

et: z0 = 8, d’après l’énoncé .

Donc vrai au rang " 0 ".

Hérédité: Soit n ı –, supposons que zn = 8 x √32

n

e - i n 6

et montrons qu’alors zn + 1 = 8 x √32

( n + 1 )

x e - i ( n + 1 ) 6 .

Supposons: zn = 8 x √32

n

e - i n 6 , pour un entier naturel n fixé .

(1 )

(1 ) => √32

e - i 6 x zn = √32

e - i 6 x 8 x √32

n

e - i n 6

=> zn + 1 = 8 x √32

( n + 1 )

x e - i ( n + 1 ) 6 .

Conclusion: Pour tout n ı –, zn = 8 x 32

n

e - i n 6 .

2. b. Déterminons la nature et la limite de la suite ( Un ):

• Nous avons: Un = zn .

5


D’où: Un = 8 x √32

n

, n ı – .

Nous sommes donc en présence d’une suite géométrique de premier

terme Uo = 8 et de raison q = 32

.

• De plus: lim Unn g +∞

= lim n g +∞

8 x √32

n

= 0 car: lim n g +∞

√32

n

= 0, car: √32 ı ] 0, 1 [ .

Au total: • ( Un ) est une suite géométrique de premier terme U0 = 8 et

de raison q = 32

;

• ( Un ) converge vers " 0 " en +∞ .

3. a. a1. Démontrons l’égalité demandée:

Il s’agit de montrer que: zk + 1 - zk

zk + 1 = - 1

√3 i, k ı – .

zk + 1 - zk

zk + 1 =

3 - i √3 4

zk - zk

3 - i √3 4

zk

= 3 - i √3

4 - 1

3 - i √3 4

= ( - 1 - i √3 ) x ( 3 + i √3 )12

6


= - √33

i ou: - 1√3

i .

Au total, nous avons bien: zk + 1 - zk

zk + 1 = - 1

√3 i .

3. a. a2. Déduisons-en que, pour tout k , Ak Ak + 1 = 1√3

OAk + 1:

Nous avons: Ak Ak + 1 = 1√3

OAk + 1 <=> Ak Ak + 1

OAk + 1 = 1

√3 .

Or: Ak Ak + 1

OAk + 1 = zk + 1 - zk

zk + 1

= zk + 1 - zk

zk + 1

= - 1√3

i = 1√3

.

Au total, nous avons bien: Ak Ak + 1

OAk + 1 = 1

√3 cad: Ak Ak + 1 = 1

√3 OAk + 1 .

3. b. Démontrons que la suite ( Pn ) est convergente et calculons sa limite:

Préalablement calculons Pn .

Nous avons: Pn = A0 A1 + A1 A2 + . . . + An - 1 An .

D’où: Pn = 1√3

( OA1 + OA2 + . . . + OAn ), car: Ak Ak + 1 = 1√3

OAk + 1

= 1√3

8 x √32

1

+ 8 x √32

2

+ . . . + 8 x √32

n

= 8√3

( b1 + b 2 + b 3 . . . + b n ), avec: b = 32

7


= 8√3

1 - b ( n + 1 )

1 - b - 1 , car: 1 + q + q 2 . . . + q n =

1 - q ( n + 1 )

1 - q

= 8√3

1 - √3

2 ( n + 1 )

1 - √32

- 1

= 8√3

√32 - √3

2 ( n + 1 )

2 - √32

= 8√3

√32 x 1 - √3

2 n

2 - √32

= 82 - √3

1 - 32

n .

Au total, nous avons: Pn = 82 - √3

x 1 - 32

n .

Dans ces conditions:

• lim Pnn g +∞

= 82 - √3

car: lim n g +∞

√32

n

= 0, car: √32 ı ] 0, 1 [ .

• Comme lim Pnn g +∞

= 82 - √3

qui est une limite finie: ( Pn ) est convergente .

Au total: • Pn = 82 - √3

1 - 32

n ,

• lim Pnn g +∞

= 82 - √3

,

• ( Pn ) est une suite convergente qui converge vers " 82 - √3

" .

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