Sujet Blanc Maths

7/30/2019 Sujet Blanc Maths

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M.CRESSINI L’ETUDIANT mercredi 29 mai 2013

Sujet Type BAC S nouveau programme 2013

Exercice I

Répondre par vrai ou faux à chaque affirmation en justifiant votre réponse.

Soit f une fonction continue et positive sur [;0[ +∞ .Soient F et G les fonctions

définies sur [;0[ +∞ respectivement par : ∫ = x

dt t f x F 1

)()( et ∫ = x

dt t f x xG1

)()( .

.

On désigne par (Γ ) la représentation graphique de f dans un repère du plan.

1° )1()0( GG = .

2° G est dérivable sur [;0[ +∞ et pour tout [;0[ +∞∈ x , on a)()()('[ x xf x F xG +=.3° On ne peut pas prévoir le sens de variation de G sur [;0[ +∞ avec les

seules hypothèses de l'énoncé.

4° L'aire de la surface limitée par les droites d'équations : 0= x , 2= x , 0= y

et la courbe (Γ ) se calcule par )0()2( F F − .

Soit IRa∈ , (C) la courbe représentant la fonction exponentielle et (T ) la

tangente à (C) au point d’abscisse a.

Soit f la fonction définie sur IR par : )1()( a xee x f a x −+−= et (Γ ) sa courbe

représentative

5° Une équation de (T ) est : )1( a xe ya −+= .

6° La dérivée ' f de f est croissante sur IR.

7° (C) est au-dessous de (T ) avant le point ),(a

ea A et au-dessus de (T ) après

A.

8° Pour a = 0, l'aire de la surface limitée par les droites d'équations : 0= x ,2= x , 0= y et la courbe (Γ ) vaut 4

2−e unités d’aire.

Exercice II

Dans le plan complexe rapporté à un repère )vuO ,; , unité graphique : 1 cm, ondésigne par A, B, C, M et M’ les points d’affixes respectives : –1, 2i , 1, z et ' z

.

On considère la fonction f qui à tout complexe z , z 1−≠ , associe le complexe' z défini par :

1

2'

+

−=

z

i z z .

1° Calculer le module et un argument de f( i ).




2° Déterminer l’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que ' z

=1.

3° a) Déterminer l’ensemble Ε des points M du plan d’affixe z tels que

' z soit un réel strictement négatif. b) Déterminer l’ensemble Γ des points M du plan d’affixe z tels que' z soit un imaginaire pur.

4° a) Démontrer que pour tout z ≠ -1, 11' +×− z z = 5 .

b) Déterminer l’ensemble Ωdes points M’ du plan d’affixe ' z , quand

M

décrit le cercle de centre A et de rayon2

5.

Exercice III

Pour tout entier naturel 1≥n , on considère la suite )( nu définie par :

nun

1...

3

1

2

11 ++++= .

1° a) Démontrer que la suite )( nu est strictement croissante.

b) Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour qu’elle

admette une limite finie.

c) Semble-t-il raisonnable de conjecturer que )( nu converge ?

2° Considérons l’algorithme suivant :

p un entier naturel non nul ;

S et M deux nombres réels.

Début

Saisir M

p prend la valeur 1

S prend la valeur 1

Tant que S < M

p rend la valeur p + 1

S prend la valeur S + p

1

Fin Tant que

Afficher p

Fin

a) Que calcule cet algorithme ?

b) A l’aide de la calculatrice, programmer cet algorithme pour les

valeurs suivantes de M : 2 ; 5 ; 10 ; 20.

c) En déduire une nouvelle conjecture sur le comportement de la suite)( nu lorsque n tend vers l’infini.

On admet que la proposition suivante est vraie : « si une suite réelle )( nu admet pour limite un réel L alors la suite )(

2nu converge aussi vers L ».




3° a) Enoncer la contraposée de la proposition ci-dessus.

b) Démontrer par récurrence pou tout entier 1≥n , )( nu désignant la suite

de la question 1° que :

212

nu n +≥

c) Conclure sur le comportement en l’infini de la suite )( nu .

Exercice IV

1° Restitution organisée des connaissances :

On admet que les égalités suivantes, établies en classe de 1e S pour l’espérance

et la variance d’une variable aléatoire discrète X , restent valables pour une

variable aléatoire continue. A savoir :

a et b désignant deux réels quelconques, b X aE baX E +=+ )()( et)(²)( X V abaX V =+ .

Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale N ²),( σ µ .

Démontrer que µ =)( X E et ²)( σ = X V .

En période de rentrée, une association d’étudiants d’une grande école, propose à

l’ensemble des 1000 étudiants de première année un achat groupé de tablettes

numériques à un tarif promotionnel.

200 étudiants se déclarent intéressés et parmi ceux-ci 150 se déclarent décidés à

acheter la tablette.

On désigne par I l’événement : « un étudiant pris au hasard parmi les premières

années est intéressé par la tablette ».

On désigne par A l’événement : « un étudiant pris au hasard parmi les

premières années est décidé à acheter la tablette ».

2° Calculer )( A P I .

Par prudence, l’association considère que la probabilité qu’un étudiant intéressé

achète finalement la tablette est de 0,7 .On admet que les choix d’achats desétudiants sont indépendants les uns des autres.

L’association cherche à déterminer le nombre de tablettes qu’elle doit

commander pour limiter à moins de 1,5% le risque de rester avec des invendus.

On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de tablettes commandées

par les 200 étudiants intéressés.

3° a) Justifier que X suit une loi binomiale. En préciser les paramètres.

b) En citant le théorème de Moivre-Laplace, justifier l’approximation dela loi de X par une loi normale N ²),( σ µ .




4° a) Démontrer que 140= µ et 42=σ .

b) On pose42

140−=X

T , qu’elle est la loi suivie par la variable aléatoire

T ?

c) A l’aide de la calculatrice, donner à 210

− près, les probabilités :)85,1( ≥T P et )17,2( −≤T P .

5° a) Calculer à 210

− près, la probabilité )128( ≤ X P .

b) Déterminer le nombre maximal n de tablettes que l’association doit

commander, c'est-à-dire tel que : 015,0)( ≤≤n X P .

Exercice V Réservé aux lycéens ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un grand groupe dont le siège est basé en France et qui possède des filiales à

l’étranger, encourage la mobilité à l’étranger de ses salariés. On considère que lenombre de salariés de ce groupe reste stable sur plusieurs années.

Une étude a permis d’établir que si l’on choisit au hasard un salarié du groupe

travaillant à l’étranger une année donnée, la probabilité qu’il vienne travailler au

siège en France l’année suivante est de 0,03 et inversement, si l’on choisit au

hasard un salarié du groupe travaillant en France une année donnée, la

probabilité qu’il parte travailler dans une filiale à l’étranger l’année suivante est

de 0,07.

Pour un salarié quelconque du groupe, on désignera par E l’état « travailler àl’étranger » et par F l’état « travailler en France ».

On désigne par n X la variable aléatoire donnant l’état d’un salarié du groupe

pris au hasard, durant l’année n. La loi de probabilité de 0 X est donnée par le

vecteur ligne ),( 000 y xU = avec 100 =+ y x .

1° a) Dessiner un graphe probabiliste traduisant le processus de

mouvement des salariés.

b) Donner la matrice de transition T associée.

c) Exprimer 1U en fonction de 0U et T et l’expliciter.

2°

a) Que constate-t-on si 3,00 = x ?

b) Dans la suite de l’exercice on considère que 2,00 = x .A l’aide de la

calculatrice calculer en arrondissant au millième, les coordonnées

des vecteurs 30105 ,, U U U .

c) Que peut-on conjecturer sur l’évolution du mouvement des salariés

dans ce groupe ?




Dans les deux questions suivantes, on se propose de démontrer la conjecture

précédente.

3° a) Soit la matrice

−

=31

71 P . Démontrer que P est inversible et

expliciter par uncalcul 1− P .

b) Déterminer la matrice diagonale D telle que TP P D 1−= .

c) En déduire que 1−= PDP T .

d) Démontrer par récurrence sur n, IN n∈ , que 1−= P PDT

nn .

4° a) Expliciter ),( nnn y xU = en fonction de n.

b) Calculer nn

x+∞→

lim et nn

y+∞→

lim et conclure.

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