SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 ...ai.ms.mff.cuni.cz/~sui/pelikan.pdf · SUI 26. 3. 2015 ©...
Transcript of SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, 1 ...ai.ms.mff.cuni.cz/~sui/pelikan.pdf · SUI 26. 3. 2015 ©...
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 1 / 51
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 2 / 51
© 2014-15 Josef Pelikán, CGG MFF UK Praha
http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca/
Náhodné rozmisťování bodů v rovině
Seminář strojového učení a modelování, 26. 3. 2015
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 3 / 51
Jiří Matoušek (1963-2015)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 4 / 51
Náhodné rozložení bodů.. ?
random
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 5 / 51
Náhodné rozložení bodů.. ?
regular
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 6 / 51
Náhodné rozložení bodů.. ?
CCDT
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 7 / 51
Řízení hustotou pravděpodobnosti
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 8 / 51
Řízení hustotou pravděpodobnosti
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 9 / 51
Příroda
fyzikální zákony, sítnice oka, ..
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 10 / 51
Aplikace
vzorkování pro Monte-Carlo kvadratururychlost, diskrepance, hustota
tiskařství – tupování („stippling“), FM ditheringhustota, spektrální vlastnosti, estetika
simulace přírodních jevů (stromy, buňky, ..), hryspektrální vlastnosti, estetika, hustotadeterministické chování
design, architekturaestetika, efektivita výroby (opakování vzorů)
generování sítí pro FEMdiskrepance, hustota
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 11 / 51
Jak hodnotit rozložení bodů v rovině?
rovnoměrnost pokrytí: diskrepance
míra nahodilosti?
estetika?
Lloydův algoritmus
„Centroidal Voronoi“skalární kvantizace1982
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 12 / 51
Diskrepance
míra rovnoměrnosti pokrytí domény sadou vzorků
Monte-Carlo integraceZaremba 1968 zavádí pojem diskrepance (ukotvené levé horní rohy obdélníků)
[1,1]
[0,0]
[a,b]
d (a ,b) =∣ab−nN ∣
nN-n
D∞ = maxa ,b∈[0,1] d (a ,b)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 13 / 51
Jiné formy diskrepance
střední kvadratická hodnota místo maxima
Stroud 1971 navrhuje počítat přes všechny obdélníky
d (a ,b , c , d ) =∣(a−c)(b−d ) −nN ∣
D2 =∬ d (a ,b)2 da db
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 14 / 51
Visualizace diskrepance
random Dr-Cr
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 15 / 51
Shluky !
jsou přirozené?„Zákon řídkých jevů“ („Law of Rare Events“)
Poissonovo rozdělení s malou hodnotou m
m = 0.5
c0 = 23
c1 = 8
c2 = 5
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 16 / 51
Spektrální charakteristiky
hodnocení míry pravidelnostipřítomnost nežádoucích vzorůvýskyt shluků
spektrální analýza se objevuje při hodnocení kvality půltónování v tiskařství
již Allebach 1977detailní použití: Ulichney, Digital Halftoning, 1987
frekvenční spektrum – Fourierova transformaceperiodogram – již Schuster 1898průměrování periodogramů – Bartlett 1948
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 17 / 51
Fourierovské „power spectrum“
množina N vzorků v rovině:
funkce rozložení vzorků (definovaná na R2):
s( x , y) = ∑k=1
N
δ(x−xk , y− yk)
S = {sk }k=1N = { [ xk , yk ] }k=1
N
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 18 / 51
Fourierovské „power spectrum“
Fourierova transformace se dá zjednodušit na:
kde f je frekvenční vektor [fx, fy] Z2
a nakonec výkonové spektrum:
F ( f ) =∑k=1
N
e−2π i( f⋅sk )
P( f ) =∣F( f )∣2 =1N (∑
k=1
N
cos(2π f⋅sk))2
+1N (∑
k=1
N
sin (2π f⋅sk))2
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 19 / 51
Příklady spektrální analýzy
Fourierova transformace
semi-jittering
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 20 / 51
Příklady spektrální analýzy
radiálně průměrované spektrumhodnocení radiální symetrieredukce nízkých frekvencí (chceme „modrý šum“)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 21 / 51
„Pěkné“ spektrum
vlastnosti „modrého šumu“ (Ulichney 1987)
Mitchell
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 22 / 51
„Pěkné“ spektrum
radiálně průměrované spektrumčervený graf – radiální rozptyl (izotropie spektra)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 23 / 51
Jiné „pěkné“ spektrum
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 24 / 51
Příliš velká pravidelnost
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 25 / 51
Pravidelný rastr
+ diskrepance+ jednoduchost- pravidelnost- interference- nepokrývá doménu
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 26 / 51
Náhodné vzorkování
+ nepravidelnost+ jednoduchost+ lze řídit hustotou+ pokrývá doménu- diskrepance (shluky)
Nezávislé realizacevhodné náhodné veličiny
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 27 / 51
Jittering (roztřesení)
+ nepravidelnost+ jednoduchost+ diskrepance+ pokrývá doménu- nelze snadno řídit hustotou
„Stratified sampling“ve statistice..
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 28 / 51
Jittering (roztřesení)
Subintervaly mohou býtlibovolné (stejný obsah)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 29 / 51
Semi-jittering
+ jednoduchost+ diskrepance- částečná pravidelnost- nepokrývá doménu- nelze snadno řídit hustotou
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 30 / 51
Semi-jittering
Amplitudy roztřesenímohou být i jiné
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 31 / 51
N věží („N rooks“)
+ nepravidelnost+ pokrývá doménu- trochu horší diskrepance (shluky)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 32 / 51
N věží („N rooks“)
V každém řádku i sloupciprávě jeden vzorek..
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 33 / 51
Hammersley
+ výborná diskrepance+ deterministické+ velmi rychlý výpočet- nelze zahušťovat- špatné spektrum
Na podobném principu jezaložena i Haltonova sekvence..
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 34 / 51
na podobném principu jsou založeny:Halton, Hammersley, Larcher-Pillichshammer
pro prvočíslo b nechť je kladné přirozené číslo n vyjádřeno pomocí b-ární reprezentace:
pak je definováno číslo v intervalu [0,1):
Deterministické sekvence
n =∑k=0
L−1
d k (n)bk
gb(n) = ∑k=0
L−1
d k (n)b−k−1
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 35 / 51
slavná Haltonova sekvence (např. b1=2, b
2=3):
Hammersley sekvence (např. b=2):
Halton, Hammersley
x (n) = [ nN , gb(n)]
x (n) = [gb1(n) , gb2(n)]
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 36 / 51
Larcher-Pillichshammer
+ výborná diskrepance+ deterministické+ velmi rychlý výpočet+ lze randomizovat- nelze zahušťovat- špatné spektrum
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 37 / 51
místo dk(n) se používá
analogicky definujeme
.. a posloupnost vzorků
Larcher-Pillichshammer
x (n) = [ nN , lp(n)]
lpk (n) =(∑i=k
L
d i (n)) mod 2
lp(n) =∑k
lpk (n)2−k−1
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 38 / 51
Pravidelnosti ve spektru
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 39 / 51
Poissonovo diskové vzorkování
+ nepravidelnost+ estetika+ diskrepance+ pokrývá doménu+ lze řídit hustotou- pomalé- obtížné nastavení D
Dva vzorky nesmějí býtblíž než D
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 40 / 51
Poissonovo diskové vzorkování
D = 0.1
Algoritmus:vrhání šipky s kontrolouvzdálenosti(„dart-throwing withrejection“)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 41 / 51
Mitchellův algoritmus
+ jako Poisson-disk+ inkrementální+ nepotřebuje D- velmi pomalý!
Algoritmus:N-tý vzorek vybírámz NK kandidátů,přijmu ten nejvzdálenějšíK > 5 (větší K .. kvalita)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 42 / 51
Inkrementální ukázka
Počet vzorků:
10, 40, 160,640, 2560
K = 10
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 43 / 51
Lloydův algoritmus
+ diskrepance+ modrý šum+ výborně pokrývá- pomalý!- pravidelnosti na konci konvergence!
Algoritmus:generátor každé Voronoibuňky se posune do těžiš-tě své buňky .. iterace
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 44 / 51
Lloyd – postup výpočtu
1 2
10 30
3
90
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 45 / 51
Pravidelnosti
Lloyd (Centroidal Voronoi), N = 1024, iterations = 100
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 46 / 51
Kapacitně omezené distribuce
+ diskrepance+ modrý šum+ výborně pokrývá+ lze řídit distribucí- pomalý (ale je známo množství urychlení)
Vychází z Centr. Voronoi:
Aby nevznikaly pravidel-nosti, zavádí se kapacitníomezení
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 47 / 51
CCPD
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 48 / 51
CCPD – postup výpočtu
0 1
3 4
2
23
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 49 / 51
Porovnání metod - diskrepance
průměrování přes 100 pokusů1024 vzorků v sadě, vhodné nastavení parametrů jednotlivých vzorkování (někdy i více variant)Stroudova diskrepance (všechny obdélníky, RMS)průměrná diskrepance (·10-3) a std. odchylka (·10-6)
Lloydův algoritmuspro dobrý výsledek se musí zastavit před koncem konvergence (empiricky: generace 40)pro porovnání i výsledek z pokročilejšího stadia konvergence – cca Centroidal Voronoi (generace 400)
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 50 / 51
Porovnání metod - diskrepance
metoda diskrepance SD Pravidelné 7.468 0.0
Hammersley * 0.811 0.0
Larcher-Pillichshammer * 0.811 0.0
Náhodné 8.941 2.5 Jittering 2.593 0.0 Semi-jittering 4.159 0.0 N věží 5.220 0.5 Poissonův disk 3.255 0.2 Mitchell 3.183 0.2
Lloyd (g=40) 6.400 2.5
Lloyd (g=400) 5.661 1.8
CCPD 2.154 0.0
SUI 26. 3. 2015 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/ 51 / 51
Literatura
P. Shirley: Discrepancy as a Quality Measure for Sample Distributions, Eurographics 1991
J. Matoušek: Geometric Discrepancy – An Illustrated Guide, Springer, 2000
A. Lagae, P. Dutré: A Comparison of Methods for Generating Poisson Disk Distribution, CGF 08
M. Balzer, T. Schlömer, O. Deussen: Capacity-Constrained Point Distributions: A Variant of Lloyd's Method, SIGGRAPH 2009
D. P. Mitchell: Spectrally optimal sampling for distribution ray tracing, SIGGRAPH 1991
R. Ulichney: Digital Halftoning, MIT Press, 1987