Sürekli̇li̇k 01

BİR NOKTADA SÜREKLİLİKBİR NOKTADA SÜREKLİLİK

SOLDAN VE SAĞDAN SÜREKLİLİKSOLDAN VE SAĞDAN SÜREKLİLİK

KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİLİKKAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİLİK

TANIM KÜMESİNDE SÜREKLİLİKTANIM KÜMESİNDE SÜREKLİLİK

TRİGONOMETRİK TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN SÜREKLİLİĞİFONKSİYONLARIN SÜREKLİLİĞİ

SÜREKSİZLİK ÇEŞİTLERİSÜREKSİZLİK ÇEŞİTLERİ

KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİ KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİ FONKSİYONUN ÖZELLİKLERİFONKSİYONUN ÖZELLİKLERİ

ÇÖZÜMLÜ TESTÇÖZÜMLÜ TEST

BİR NOKTADA BİR NOKTADA SÜREKLİLİKSÜREKLİLİK

Tanım:Tanım: , olmak üzere ye tanımlanan f(x) fonksiyonunda, ise, f fonksiyonu x=a noktasında süreklidir, denir.

Bu tanıma göre, f fonksiyonunun x=a noktasında sürekli olması için:

1. f fonksiyonu x= a’da tanımlı olmalıdır.2. f fonksiyonunun x=a için reel bir limiti olmalıdır.3. f fonksiyonunun a noktasındaki limiti, fonksiyonun x=a noktasındaki görüntüsüne eşit olmalıdır.Bu üç koşuldan biri gerçekleşmez ise f fonksiyonu x=a noktasında süreksizdir denir.

RA Aa RA:f f(a)f(x)lim ax

ANA MENÜ

L=f(a)

0 a x

y f(x)

1. f(a)=L2. olduğundan, x=a noktasında f fonksiyonu süreklidir.

L

0 a x

• x = a’da tanımsızdır. Çünkü a’nın görüntüsü yoktur. Bunun için f fonksiyonu x=a noktasında süreksizdir.

L

0 a x

y

f(a)

için f, x=a noktasındasüreksizdir.

xx xf(x)ÖRNEK ÖRNEK

Fonksiyonu x=1’de sürekl midir?

Lf(a)f(x)lim ax

Lf(x)lim ax

f(a)f(x)lim ax

y

ÇÖZÜMÇÖZÜM

ANA MENÜ

ÇÖZÜM ÇÖZÜM

f fonksiyonu x=1’de süreklidir.

1f(x)lim1111)x-xx(limf(x)lim

10-10)xxx(limf(x)lim1x

1x1x

1x1x --

ANA MENÜ

SOLDAN VE SAĞDAN SOLDAN VE SAĞDAN SÜREKLİLİKSÜREKLİLİKTanım:Tanım: , olmak üzere fonksiyonunda:1. ise f fonksiyonu x= a noktasında soldansüreklidir, denir.

2. ise f fonksiyonu x=a noktasında sağdan süreklidir, denir.

RA Aa RA:f

f(a)f(x)lim -ax

f(a)f(x)lim ax

ANA MENÜ

Tanımı aşağıdaki grafiklerle inceleyiniz.

y

x

L=f(a)

a 0 x

L=f(a)

a

yf

f fonksiyonu a noktasındasoldan süreklidir.

f fonksiyonu a noktasındasağdan süreklidir.

ÖRNEKÖRNEK

1 x1,-2x

1x,1xf(x) R,R:f

2fonksiyonunun x=1’de soldan ve sağdan sürekliliğini inceleyelim.

0

ÇÖZÜMÇÖZÜM

ANA MENÜ

ÇÖZÜMÇÖZÜM

11-2.1)(f(1)

1)1-x2(limf(x)lim

2)1x(limf(x)lim

1x1x

2

1x1x -- 1. olduğundan, fonksiyon x=1de soldan sürekli değildir.

2. olduğundan, fonksiyon x=1de sağdan süreklidir.

f(1)f(x)lim1x

1f(1)f(x)lim1x

ANA MENÜ

KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİLİKKAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİLİK

Tanım:Tanım: fonksiyonu için sürekli ise f fonksiyonu kapalı aralığında süreklidir, denir.

Bu tanımı aşağıdaki grafiğe göre inceleyelim.

0 x

y

L=f(a)

f(x)0

K=f(b)

a x0 b

y=f(x)

ÖRNEKÖRNEK

fonksiyonunun kapalı aralığında sürekli olduğunu gösterelim.

4xf(x) R,3 1,-:f 2

Rba,:f ba,x ba,

1,3-

ÇÖZÜMÇÖZÜM

ANA MENÜ

ÇÖZÜMÇÖZÜM

için olduğundan, f fonksiyonu kapalı aralığında süreklidir.

3 ,1x0 3 ,1

x

y

5

32

-3-4

-10

4xf(x)2

ANA MENÜ

TANIM KÜMESİNDE TANIM KÜMESİNDE SÜREKLİLİKSÜREKLİLİKTanım: Tanım: ,, fonksiyonu A tanım kümesininher noktasında sürekli ise f, tanım kümesinde süreklidir, denir.

ÖRNEKÖRNEK birer reel sayı olmak üzere ile tanımlı fonksiyonunun R’de sürekli olduğunu gösterelim.

011-nn a,a,.....a,a01

1-n1-n

nn axa....xaxaf(x)

RA RA:f

Rn RR:f

Teorem 1 Teorem 2 Teorem 3

ÇÖZÜMÇÖZÜM

ANA MENÜ

ÇÖZÜMÇÖZÜM

Rx0 )f(xaxa...xaxaf(x)lim 00011-n

01-nn0nxx 0

için olduğundan f fonksiyonu Rde süreklidir.

NOT: R Rye polinom fonksiyonları sürekli olup grafikleri devamlı çizgi çizer.

f(x)= cc

y

x0

y

x0

y

x0

f(x)= ax+bcbxaxf(x) 2

ANA MENÜ

Teorem1:Teorem1: , olmak üzere; Adan Rye tanımlı f ve gfonksiyonları x=a noktasında sürekli iseler;

1. için k .f fonksiyonu x = a noktasında süreklidir.2. f + g ve f - g fonksiyonları x = a noktasında süreklidir.3. f . g fonksiyonu x=a noktasında süreklidir.4. olmak üzere, f/g fonksiyonu x = a noktasında süreklidir.

ÖRNEKÖRNEK

fonksiyonunun x=2 noktasında sürekli olup olmadığını araştıralım.

1x.2)-(xf(x) 22

RA Aa

Rk

0g(a)

ÇÖZÜMÇÖZÜM

ANA MENÜ

ÇÖZÜMÇÖZÜM ve olmak üzere, h(x)=f(x).g(x) olur.

olduğundan; f ve g, x=2 noktasında süreklidir. Teoreme göre f ve g’nin çarpımından oluşan h=f.g fonksiyonu da x=2 nokasında süreklidir.

22)-(xf(x) 1xg(x) 2

3g(2)g(x)lim ve0f(2)f(x)lim 2x2x

ANA MENÜ

Teorem 2 (Bileşke fonksiyonunun sürekliliği):Teorem 2 (Bileşke fonksiyonunun sürekliliği): , fonksiyonları ile ,

olmak üzere, f fonksiyonu a noktasında ve g fonksiyonu da f(a)nokasında sürekli ise gof bileşke fonksiyonu a noktasında süreklidir.

BA:f RB:g Aa Bf(a)

ÖRNEKÖRNEK

ise 2 xa,bx

ise 2 x8,3x

ise 2 x2,3ax

f(x)

Fonksiyonu için sürekli ise (a,b)ilişkisi ne olmalıdır?Rx ÇÖZÜMÇÖZÜM

ANA MENÜ

ÇÖZÜMÇÖZÜM

abx)x(f ,8x3)x(f,2ax3)x(f 321 fonksiyonları için süreklidir. O halde f fonksiyonu eğer x=2’de sürekli olursa, f fonksiyonu için sürekli olur. Buna göre, olmalıdır.

O halde (a,b)=(2,6) bulunur.

)2(f)x(flim 2x

Rx

Rx

148)2(3)2(f

ab2)abx(lim

2a6)2ax3(lim

2x

2x

6b142b214ab2

2a142a6

ANA MENÜ

Teorem 3 (Ters fonksiyonun sürekliliği)Teorem 3 (Ters fonksiyonun sürekliliği) ve birbirlerinin tersi olan iki fonksiyon

olsun. Eğer f fonksiyonu A kümesinde sürekli ise, fonksiyonu da B kümesinde süreklidir.

İspat:İspat: Bir fonksiyonla bunun tersiningrafiği y=x doğrusuna göre simetriktir.f’in grafiği devamlı bir eğri ise grafiği de devamlı bir eğri olacaktır.Bunun için f sürekli ise de sürekli olur.

BA:f AB:f -1 -1f

-1f

-1f

a

a

b

b

c

c

d

d

x

y

-1f

f

ANA MENÜ

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN SÜREKLİLİĞİTRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN SÜREKLİLİĞİ

1. f(x) = sinx için;

olduğundan, sinx fonksiyonu R’de süreklidir. Yandaki grafiğinhiçbir noktada kesilme ve sıçrama yapmadığı görülmektedir.

2. f(x) = cosx için;

olduğundan, cosx fonksiyonu R’de süreklidir. Grafiği inceleyiniz.

R x -1

0

y

x2

2

1 f(x) = sinx

y

x

1

2

2

0

f(x) =cosx

asin)a(fxsinlim)x(flim a xa x

ANA MENÜ

3. olduğundan, tanx fonksiyonu paydayı 0 yapan eğerlerde tanımsız olduğu için bu noktalarda süreksizdir. kümesinde tanımsız olup, bu nedenle süreksizdir. Bu durum grafikten de görülebilir. f(x)=tanx fonksiyonunun sürekli olduğu küme:

4. olduğundan, cotx fonksiyonu paydayı 0 yapan değerlerde tanımsız olduğu için bu noktalarda süreksizdir. kümesinde tanımsız olup, bu nedenle süreksizdir. f(x)=cotx fonksiyonunun sürekli olduğu küme:

cosx

sinxtanxf(x)

Zk ,1)-(2kxxÇ0xcos 2

Zk ,1)-(2kxx-R 2

sinxcosx

cotxf(x)

Zk ,kxxÇ0sinx

Zk ,kxx-R

y

x

2

2

2

32

3

ANA MENÜ

ÖRNEKÖRNEK

ÖRNEKÖRNEK

sinx2

xcos

cosx-1

sinxf(x)

Fonksiyonunun sürekliliğini hesaplayınız. ÇÖZÜMÇÖZÜM

ANA MENÜ

ÇÖZÜMÇÖZÜM

Zk ,2kx:xÇ ÇÇÇ

0Ç-2sinx0sinx2

Zk ,2kx:xÇ1cosx0cosx1

21

2

1

f(x) fonksiyonunda paydaları 0 yapan noktalarda fonksiyon süreksizdir.

olduğundan kümesinde fonksiyon süreksizdir.

O halde kümesinde fonksiyon süreksizdir.

Zk ,2kx:x-R

ANA MENÜ

SÜREKSİZLİK ÇEŞİTLERİSÜREKSİZLİK ÇEŞİTLERİTanım 1:Tanım 1: fonksiyonu için olmak üzere f(a) tanımlı ve ise f fonksiyonunun x=a’da kaldırılabilir süreksizliği vardır, denir.

Eğer olarak tanımlanırsa bu şekilde elde edilen yeni fonksiyon x=a’da sürekli olur.

RA:f Aa Lf(x)lim ax Lf(a)

Lf(a)

ÖRNEKÖRNEK

2 x, 2-x

2 x, 1

2 xx,2x

f(x) R,R:f

2

Fonksiyonunun x=2 noktasında kaldırılabilir süreksizliği olduğunu gösterelim. ÇÖZÜMÇÖZÜM

ANA MENÜ

Tanım 2 Tanım 3

ÇÖZÜMÇÖZÜM

0f(x)lim02)-x(limf(x)lim

0x)2x(limf(x)lim

1f(2)

2x

2x2x

2

2x2x --

f(2)f(x)lim 2x olduğundan x=2’de kaldırılabilir süreksizlik

vardır. f(2)=1 yerine f(2)=0 olarak tanımlanırsa elde edilen

fonksiyonu sürekli olur.

2 x2-x

2 x 0

2x x2x

f(x)

2

ANA MENÜ

Tanım2:Tanım2: fonksiyonu için olmak üzere f(a) tanımlı fakat ise,

x=a’da sıçrama süreksizliği vardır, denir.

RA:f Aa R Lf(x)lim R, Lf(x)lim 2ax1ax - 21 LL

ÖRNEKÖRNEK

1 x4x-

1 x 2

1 xx

f(x) R,R:f

2

Fonksiyonu x=1’de hangi tür süreksizliğe sahiptir? ÇÖZÜMÇÖZÜM

ANA MENÜ

f(x)limf(x)lim34)-x(limf(x)lim

2xlimf(x)lim

2f(1)

1x1x

1x1x

2

1x1x-

--

ÇÖZÜMÇÖZÜM

f fonksiyonu x=1’de soldan ve sağdan limitleri farklı olduğu için bu noktada sıçrama süreksizliği vardır. Bu durumu grafikten inceleyelim.

3

2

1

0 1 x

y

y=f(x)

ANA MENÜ

Tanım3:Tanım3: fonksiyonu için olmak üzere x=a’daki soldan ve sağdan limitlerinden en az biri veya ise fonksiyonun x=a’da sonsuz süreksizliği vardır, denir.

RA:f Aa

ÖRNEKÖRNEK

0 x1x

0 x 2

0 xx

1

f(x) R,R:fFonksiyonu x=0’da hangi tür süreksizliğe sahiptir?

ÇÖZÜMÇÖZÜM

ANA MENÜ

ÇÖZÜMÇÖZÜM

)x

1(limf(x)lim -- 0x0x

olduğundan, f fonksiyonu x=0’da sonsuz süreksizliğe sahiptir. Bu durumu grafikten inceleyiniz.

1

2

0

y

x

ANA MENÜ

KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİ FONKSİYONUN KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİ FONKSİYONUN ÖZELLİKLERİÖZELLİKLERİTanım:Tanım: fonksiyonunda

1. Eğer için olacak biçimde en az bir sayısı varsa f fonksiyonu alttan sınırlıdır. Bu sayılarının en büyüğüne f fonksiyonunun en büyük alt sınırı denir.

2. Eğer için olacak biçimde en az bir sayısı varsa f fonksiyonu üstten sınırlıdır. Bu sayılarının en küçüğüne f fonksiyonunun en küçük üst sınır denir.

3. Eğer için olacak biçimde m ve M reel sayıları varsa f fonksiyonu sınırlıdır.

A x f(x)m R mR m

A x

A x

Mf(x) R MR M

Mf(x)m

RA:f RA

Teorem1 Teorem2 Teorem3

ANA MENÜ

Teorem1:Teorem1: Kapalı bir aralıkta sürekli olan fonksiyon sınırlıdır.

•Teoreme göre fonksiyonu sürekli ise için olacak biçimde bir sayısı vardır. Bu

teoremin karşıtı doğru değildir. Kapalı bir aralıkta sınırlı olan fonksiyon bu aralıkta sürekli olmayabilir.

Rba,:f ba, x R Mf(x) R M

ÖRNEKÖRNEK f(x)= 2cosx+3 fonksiyonu sınırlıdır? Sınırlı ise

fonksiyonun en büyük alt ve en küçük üst sınırını bulalım.RR:f

ÇÖZÜM ÇÖZÜM f(x)=2cosx+3 fonksiyonu sürekli olduğundan sınırlı

bir fonksiyondur.

O halde f fonksiyonun en alt sınırı 1, en küçük üst sınırı 4’tür.

RR:f

4f(x)1

432cosx122cosx-21cosx1-için R x

ANA MENÜ

Teorem 2: (Ekstremum Değer TeoremiTeorem 2: (Ekstremum Değer Teoremi

fonksiyonu sürekli ise f fonksiyonunun bu aralıkta bir en küçük (minimum), bir en büyük (maksimum) değeri vardır.

•Teoreme göre olacak biçimde m ve M sayıları vardır. F fonksiyonunun aralığında aldığı en küçük (minimum) değer m, en büyük (maksimum) değer M’dir. m ve M değerlerine, fonksiyonun aralığında ekstremum değerleri denir.

Rba,:f

Mm,)ba,f( ba,

ba,

m

f(b)

f(a)

M

a bx

y

0 1x 2x

max

min

ANA MENÜ

Teorem 3: (Ara Değer Teoremi)Teorem 3: (Ara Değer Teoremi)

fonksiyonu aralığında sürekli ve ise f fonksiyonu, ile arasındaki her değeri en az bir kez alır.

Eğer değeri vardır ki f(c)=0’dır. Yani fonksiyonun grafiği Ox eksenin bir noktada keser.

Rba,:f ba, bxxa 21 )f(x1 )f(x2

)x,(x c ise )f(x0)f(x 2121

ANA MENÜ

ÇÖZÜMLÜ TESTÇÖZÜMLÜ TEST

f(x)lim 3x

1. fonksiyonunun x=1 için limiti nedir? 4xx

73xf(x)

2

-1 x4bx

-1 x a

-1 x2xx

f(x)

22. f’in R’de sürekli olması için a+b ne olmalıdır.

3 x1-xx

3 xx 3f(x)

2

3. f fonksiyonu için değeri nedir?

4 x1-x3

4 x3-x

32xf(x)

4. f fonksiyonun sürekli olduğu küme nedir?

5. değeri nedir?

1 x2x

1x 5-2x

1 x13x

f(x)2

f(x)lim 1x

ÇÖZÜMÇÖZÜM

ÇÖZÜMÇÖZÜM

ÇÖZÜMÇÖZÜM

ÇÖZÜMÇÖZÜM

ÇÖZÜMÇÖZÜM

ANA MENÜ

6. f fonksiyonu x’in kaç reel değeri için süreksizdir?65-xx

2xf(x)

3

7. değeri nedir?2x4)-x3sgn(xf(x) 22 f(x)lim -4x

8. değeri nedir?4)x4sgn(x32xf(x) 2 f(x)lim 2x

9. değeri nedir?

-2xsgn(sinx)sgn(cosx)f(x) f(x)lim2

x

10. f’in süreksiz olduğu x değerlerinin kümesi nedir?4-x

x-3sgnf(x)

11. f(x)’in değeri nedir?

2

3x-5f(x)

12. değeri nedir?9x

)x-sgn(9lim 2

2

3x -

ÇÖZÜMÇÖZÜM

ÇÖZÜMÇÖZÜM

ÇÖZÜMÇÖZÜM

ÇÖZÜMÇÖZÜM

ÇÖZÜMÇÖZÜM

ÇÖZÜMÇÖZÜM

ÇÖZÜMÇÖZÜM

ANA MENÜ

13.

f’in x=2’de sürekli olması için

m ne olmalıdır?

2 x 3

mx

2 x 1

2 x3)-sgn(mx

f(x)

14. değeri nedir?2

22

0x x

sinxxsinlim

15. aralığında fonksiyonunun süreksiz olduğu x değerleri nedir? 1xsin2

cos3xsin5xf(x)

2,0

ÇÖZÜMÇÖZÜM

ÇÖZÜMÇÖZÜM

ÇÖZÜMÇÖZÜM

ANA MENÜ

ÇÖZÜM 1ÇÖZÜM 1

2

5

411

73

4)x(xlim

7)x3(lim

4xx

7x3lim

21x

1x21x


için polinom fonksiyon olduğundan süreklidir.

için polinom fonksiyon olduğundan süreklidir. f’nin R’de sürekli olması için x=-1’de de sürekli olması gerekir.

Buna göre:

-1x 2xxf(x) 2

-1x 4bxf(x)

f(-1)f(x)limf(x)lim1x1x

2b 2aa21-14-b 422ba


x=3 fonksiyonunun kritik noktası olduğundan bu noktada soldan ve sağdan limit alınır.

633x)3(limf(x)lim3x3x

111-391)-x(xlimf(x)lim 2

3x3x

f(x)limf(x)limf(x)lim 3x3x3x


olduğundan x=4 için f fonksiyonu süreklidir.

için f(x)=3x-1 polinom fonksiyonu olduğundan süreklidir.

fonksiyonu x=3 için tanımsızdır. Ancak x=3 değeri

aralığında olmadığından f fonksiyonu içinde süreklidir. Buna göre f fonksiyonu R’de süreklidir.

11f(x)limf(x)lim

111-12f(4)

111-121)-x3(limf(x)lim

1134

38

3-x

3x2limf(x)lim

4x4x

4x4x

4x4x

4x

3-x

32xf(x)

4x 4x


2f(x)lim

2f(x)limf(x)lim

211x)x(limf(x)lim

241x3limf(x)lim

1x

1x1x

2

1x1x

1x1x


Pay ve payda her için sürekli olduğundan f fonksiyonu yalnızca paydayı 0 yapan değerler için tanımsız ve süreksizdir.

denklemini çözelim

x=-1 kökü koşuluna uymadığından kök değildir.

x<5 için

Süreksiz olduğu x değerleri 6,3,2’dir.

065-xx

-1 x6,x06-x5 x5x 2 5x

2 x3,x

06x5x06-5)x(-x 2

Rx


x -1 4

+ - +

4’ün solunda ve olduğu görülüyor. Buna göre olur.

4-x3x2

-

04-x3x2 -14)-x3sgn(x2 17216-1f(x)lim

4x


x 2

+ +

1 1

için ve olduğu görülüyor.

4x4x 2 4)x4sgn(x2

2x 04x4x 2 14)x4sgn(x2

8f(x)lim8134f(x)lim

8134f(x)lim2x

2x

2x


olduğundan x 2. bölgededir. Bu bölgede

sinx>0 ve cosx<0 ve sgn(sinx)=1, sgn(cosx)=-1’dir.

Buna göre;

2 1

3 4

2x

2x

02

2.1-1f(x)

2

limx


x-4=0

x=4 için tanımsızdır.

x 3 4

- + -

-1 1 -1

yoktur ve x=3 için fonksiyon süreksizdir. Bu iki değerin dışında fonksiyon süreklidir.

1f(x)lim3x

4-x

x-3

4-x

x-3sgn-1f(x)lim3x

f(x)lim3x


312)2

h32(lim

2

h32lim

2

h34lim

2

)h3(35limh)f(3limf(x)lim

0h

0h0h

0h0h3x


7

1

916

1

9)4(

1

9x

)x-9sgn(lim

1)x-9sgn(0x-9 9x9x

4x-3x3x

22

2

3x

22

22

-


x=2’de sürekli olması için olmalıdır.

3m2

3

3m2

3 ve 2

3m

23

2m1 ve03-m2

13

2mf(x)lim

13)-sgn(2mf(x)lim1f(2)

f(2)f(x)limf(x)lim

2x

2x

2x2x


211x

xsinlim)x

xsin(lim

)x

xsin

x

xsin(x

xsinxsinlim

2

2

0x

2

0x

2

2

2

2

2

22

0x


Pay ve payda daima süreklidir. Paydanın 0 olduğu x değerleri için f fonksiyonu süreksiz olur.

için f süreksizdir.

Sinüsü olan x reel sayıları 3. bölge ile 4. bölgededir. Buradan;

2

1-sinx

01xsin2

00

0000

330 x veya210x30360 x veya30180x

2

1-

Sürekli̇li̇k 01

Education

Transcript of Sürekli̇li̇k 01