Sức bền vật liệu - ôn tập về lý thuyết và bài tập sức bền vật liệu

Trần Minh Tú – Bộ môn Sức bền Vật liệu – Đại học Xây dựng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI

Nội dung ôn tập

I. CHƯƠNG 1 - BiỂU ĐỒ NỘI LỰC

II. CHƯƠNG 2 - THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM

III. CHƯƠNG 3 - TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT VÀ CÁC THUYẾT BỀN

IV. CHƯƠNG 4 - ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

V. CHƯƠNG 5 - THANH CHỊU XOẮN THUẦN TÚY

VI. CHƯƠNG 6 - THANH CHỊU UỐN

Chương 1:

BiỂU ĐỒ NỘI LỰC

Nội lực

Lượng thay đổi lực tương tác giữa các phần tử vật chất của vật thể khi chịu tác dụng của ngoại lực

Khi có tác dụng ngoại lực => biến dạng => xuất hiện nội lực chống lại sự biến dạng

Nghiên cứu nội lực – PP mặt cắt

Nội lực – lực phân bố trên mặt cắt

1.1. Khái niệm nội lực - ứng suất

Nội lực


• Ứng suất trung bình – Cường độ nội lực

tb

Fp

A

• Ứng suất tại điểm K thuộc mặt cắt

Ứs toàn phần

Ứng suất pháp

Ứng suất tiếp

Đơn vị: N/m2 (Pa)

0limA

N

A

0limA

Fp

A

0limA

Q

A

1.2. Khái niệm ứng lực

Ứng lực R: Hợp lực nội lực trên mặt cắt ngang của thanh

R: phương, chiều, điểm đặt bất kỳ => dời về trọng tâm O

Nz – lực dọc

Qx, Qy - lực cắt

Mx, My – mô men uốn

Mz –mô men xoắn

6 ứng lực

y

z

x

K

O

R

y

z

xMx

My

Mz Qx

NZ

Qy

1.2. Khái niệm ứng lực

• Bài toán phẳng: Ngoại lực nằm trong mặt phẳng đi qua trục z (yOz) => Chỉ tồn tại các thành phần ứng lực trong mặt phẳng này: Nz, Mx, Qy

• Nz - lực dọc; Qy - lực cắt; Mx – mô men uốn

y

z

xMx

NZ

Qy

1.3. Biểu đồ nội lực

Qui ước dấu các thành phần ứng lực

Lực dọc: N>0 khi có chiều đi ra khỏi mặt cắt

Lực cắt: Q>0 khi có chiều đi vòng quanh phần thanh đang xét theo chiều kim đồng hồ

Mô men uốn: M>0 khi làm căng các thớ dưới

N

N

Để xác định các thành phần nội lực: PP MẶT CẮT

1.3. Biểu đồ nội lực – PP mặt cắt biến thiên

a. Xác định phản lực tại các liên kết

b. Phân đoạn thanh sao cho biểu thức của các thành phần ứng lực trên từng đoạn là liên tục

c. Viết biểu thức xác định các thành phần ứng lực N, Q, M theo toạ độ mặt cắt ngang bằng phương pháp mặt cắt

d. Vẽ biểu đồ cho từng đoạn căn cứ vào phương trình nhận được từ bước (c)

e. Kiểm tra biểu đồ nhờ vào các nhận xét mang tính trực quan, tính kinh nghiệm.

Các bước vẽ biểu đồ nội lực


Biểu đồ lực dọc, lực cắt vẽ theo qui ước và mang dấu

Biểu đồ mô men luôn vẽ về phía thớ căng

N, Q

z

M

z


NHẬN XÉT:

• Tại mặt cắt có lực tập trung thì biểu đồ lực cắt có bước

nhảy, độ lớn bước nhảy bằng giá trị lực tập trung. Xét từ

trái qua phải chiều bước nhảy cùng chiều lực tập trung.

• Tại mặt cắt có mô men tập trung thì biểu đồ mô men

có bước nhảy, độ lớn bước nhảy bằng giá trị mô men tập

trung. Xét từ trái qua phải nếu mô men quay thuận chiều

kim đồng hồ thì bước nhảy đi xuống.

• Tại mặt cắt có lực cắt bằng 0 thì biểu đồ mô men đạt

cực trị.

• Biểu đồ mô men luôn có xu hướng “hứng” lực.

Ví dụ 1: Vẽ các biểu đồ nội lực cho dầm chịu lực như hình vẽ Số liệu: a=1m; F=15 kN; M0= 9 kNm; q=6kNm

qM

F

o

2a a

V

B VC

A

AV CV

F

q

Q

N

M M

NQ

Z1 Z2

18

12

33

6

15

+

_

Q

M

kN

kNm

1

2

1

2

2a a

M

F

o q


1. Phản lực ngàm:

. . 03

25 10.3 15. 35

3

C C

C

BCM M M F AC q

M kNm

10 1( )z m

0 10 15 25C CY F q V V kN

1 0N

1 10 10Y Q F Q kN

1 1 1 1 1. 0 10M M F z M z

2. Biểu đồ lực cắt và mô men uốn:

*Đoạn AB:

Mặt cắt 1-1 : N

Q

M 1

1

1

N

F

1z

C M

1

1

F=10kN M=5kNm

q=15kN/m

2m

A B C

1m V C


VÍ DỤ 2


3

2 2 2

55 10

4M z z

2 2

2 2

0 5

2 35

z M kN

z M kN

*Đoạn BC: Mặt cắt 2-2 :

20 2( )z m

2 2

2 2

0 10

2 25

z Q kN

z Q kN

10

25

0 0

Q

kN 10

2 0N

C M

1

1

F=10kN M=5kNm

q=15kN/m

2m

A B C

1m V C

2

2

F

2z

zqM

1m

N

Q

2

2

2

M

0

35

M

kNm

0

10

5

2

2

zq z

q 215

2z

zq

2

22 2 2

1510 10

2 4z

zY Q F q z Q

0 2 2 2 2

1 1. . . 1

2 3zM M q z z F z M

Ví dụ 2.4:

Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực trên các mặt cắt ngang của thanh chịu tải trọng như hình vẽ.

GIẢI: 1. Xác định phản lực

5

3 03 2

B A

a aM V a qa qa

13

18AV qa

0A BY V V qa qa

23

18BV qa

a

A B

q

2a

C

AV BV



2. Cắt và xét từng phần thanh như hình vẽ

Đoạn AC:

Đoạn BC:

10 2z a

1 1 1

10

2AY Q V q z z

2 1

1 1 1 04 3

O A

zqM M V z z

a

1Q

1M

1

1

a

A B

q

2a

C

AV BV

AV

1z

O

1zq

2

2

2Q

2M

1 1

1 12 2

q z z qq z z

q a a

2

1 1

13

4 18

q qaQ z

a

3

1 1 1

13

12 18

q qaM z z

a

20 z a

2 2 2 2

230

18B

qaY Q qz V Q qz

22

2 2 2 2 2 2

230

2 2 18O B

z q qaM M qz V z M z z

BV

2z

O

q


3. Vẽ biểu đồ

a

A B

q

2a

C

AV BV

2

1 1 1

13 0 2

4 18

q qaQ z z a

a

yQ

1,7a

13

18qa

23

18qa

5

18qa

parabol

1 1

1 1

130

18

52

18

A

C

Q Q z qa

Q Q z a qa

1 '' 02

qQ

a Parabol lồi

1 1 1,max' 0 0 AQ z Q Q

1 10 1,7Q z a

2 2 2

23 0

18

qaQ qz z a

2 2

2 2

230

18

5

18

B

C

Q Q z qa

Q Q z a qa


3. Vẽ biểu đồ

a

A B

q

2a

C

AV BV

3

1 1 1 1

13 0 2

12 18

q qaM z z z a

a

yQ

xM

1,7a

13

18qa

23

18qa

5

18qa

20,82qa

20,78qa

parabol

parabol đường bậc 3

1 1

2

1 1

0 0

2 0,78

A

C

M M z

M M z a qa

1 1'' 02

qM z

a

Đường cong bậc 3 lồi 2

1 1 1,max' 0 1,7 0,82M z a M qa

2

2 2 2 2

23 0

2 18

q qaM z z z a

2 2

2

2 2

0 0

0,78

B

C

M M z

M M z a qa

với 10 2z a

2 '' 0M q Parabol lồi

2 2' 0 2,56M z a a

M2 không có cực trị trên [0,a]

Cơ sở: Dựa vào mối liên hệ vi phân giữa Q, M và q(z)

Biết tải trọng phân bố =>nhận xét dạng biểu đồ Q, M => xác định số điểm cần thiết để vẽ được biểu đồ

q=0 => Q=const => QA=? (hoặc QB)

M bậc 1 => MA=? và MB=?

q=const => Q bậc 1 => QA=? QB=?

M bậc 2 => MA=?; MB=?; cực trị?

tính lồi, lõm,..?

1.4. Biểu đồ nội lực – PP vẽ theo điểm đặc biệt

2

2( )

d M dQq z

dz dz

Các giá trị QA, QB, MA, MB, cực trị - là giá trị các điểm đặc biệt. Được xác định bởi:

Quan hệ bước nhảy của biểu đồ

Phương pháp mặt cắt

Qphải = Qtrái + Sq (Sq - Dtích biểu đồ q) Mphải = Mtrái + SQ (SQ - Dtích biểu đồ Q)


VAVD

A B C

D

1m 1m 1.5m

F=36kN q=24kN

D A

1,5 1 2M =V .3,5 - F.2,5 - q.1,5.(1+ ) - q. . = 0

2 2 3

V = 46 (kN)A

A D

1,5 1 1M =V .3,5 - F.1 - q.1,5.(1 + ) - q. .(2,5 + ) = 0

2 2 3

DV = 38 (kN)


Vẽ biểu đồ nội lực của dầm có liên kết và chịu tải trọng như hình vẽ.

1. Xác định phản lực


0q

46 (kNm)A AQ V Q const

46 (kNm)B A qM M S

q const

46 36B BQ Q F

10 (kNm)BQ

26 (kN)C B qQ Q S

34 (kNm)C A QM M S

max 48.08 (kNm)M

* Đoạn BC:

* Đoạn AB:

VAVD

A B C

D

1m 1m 1.5m

F=36kN q=24kN

2. Biểu đồ lực cắt và mô men uốn:

38 (kN)D C qQ Q S

0DM

*ĐoạnCD:

0

46

10

0,417

1,083

2638

0

46

Q

kN

M

kNm

ax 48.08M 34

M bậc 1:

=> Q bậc 1:

M bậc 2:

q bậc 1:

=> Q bậc 2:

=> M bậc 3:

CHƯƠNG 2

THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM

CHƯƠNG 2: THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM

2.1. Nội lực

Lực dọc - Nz – phương trùng phương trục thanh

Qui ước dấu của Nz: chiều dương khi đi ra khỏi mặt

cắt (chịu kéo), và chiều âm khi hướng vào trong mặt cắt

ngang đang xét (chịu nén).

2.2. Ứng suất

zz

N

A

A - diện tích mặt cắt ngang, Nz - lực dọc trên mặt cắt ngang

(2.1)

z const

0

l

zN dzl

EA

zNconst

EA

2.3. Biến dạng

- Biến dạng dài tuyệt đối dọc trục thanh

Nz – lực dọc

EA – độ cứng

zN L

EAl

L – chiều dài thanh


Nếu thanh gồm n đoạn, chiều dài và độ cứng khi kéo (nén) trên mỗi đoạn là li và (EA)i , lực dọc trên mỗi đoạn là Nzi

1 1 ( )

n nzi i

ii i i

N ll l

EA



2.4. Chuyển vị

• Khi thanh thẳng chịu kéo (nén) đúng tâm trục thanh vẫn thẳng,

các mặt cắt ngang không có chuyển vị xoay mà chỉ có chuyển vị

tịnh tiến theo phương dọc trục. Tại toạ độ z của mặt cắt ngang,

chuyển vị theo phương dọc trục là w:

0

0

z

zN dzw w

EA

Trong đó w0 là chuyển vị của mặt cắt

ngang tại z=0

• Khi tính chuyển vị của các điểm thuộc hệ thanh liên kết khớp,

trước tiên xác định lực dọc trong các thanh, từ đó tính được biến

dạng của từng thanh riêng biệt. Từ sơ đồ biến dạng của hệ tìm

mối liên hệ hình học của chuyển vị điểm cần tìm với biến dạng

của từng thanh riêng biệt.

wphải = w trái + SN/EA Hoặc: SN – Diện tích biểu đồ lực dọc

2.5. Tính toán điều kiện bền và điều kiện cứng

Trình tự tính toán điều kiện bền của thanh theo ứng suất cho

phép:

• Vẽ biểu đồ lực dọc Nz của thanh

• Căn cứ vào biểu đồ lực dọc và diện tích mặt cắt ngang trên từng

đoạn, tìm mặt cắt ngang nguy hiểm là mặt cắt ngang có ứng suất

pháp cực trị.

• Xem vật liệu thanh là dẻo hay giòn để viết điều kiện bền cho

đúng

Vật liệu dẻo:

z chzmax z min

Nmax , max

A n



•Vật liệu giòn: k

bzmax k n

n

bz min n n

Ba dạng bài toán cơ bản

a. Bài toán kiểm tra điều kiện bền

c. Bài toán tìm giá trị cho phép của tải trọng

b. Bài toán chọn kích thước mặt cắt ngang thanh

2.6. Bài toán siêu tĩnh

- Khi số ẩn phản lực > số pt cân bằng tĩnh học có thể viết =>

Bài toán siêu tĩnh.

- Cần viết thêm pt bổ sung: Pt biểu diễn điều kiện biến dạng

b a

B

A2

F2 F1

A1

C D

Bài 1: Cho thanh có tiết diện thay đổi chịu tải trọng dọc trục như hình vẽ. 1. Vẽ biểu đồ lực dọc. 2. Xác định trị số ứng suất pháp lớn nhất 3. Xác định chuyển vị theo phương dọc trục của trọng tâm tiết diện D.

Biết F1=10kN; F2=25kN; A1=5cm2; A2=8cm2 a=b=1m; E=2.104kN/cm2

Bài giải

1. Dùng PP mặt cắt viết biểu thức lực dọc trên mỗi đoạn thanh

z1

F1

D NCD

1 10CDN F kN

a

F2 F1

C D

z2

NBC

1 2 15BCN F F kN


b a

B

A2

F2 F1

A1

C D

10

N kN

15

Biểu đồ lực dọc:

2. Xác định trị số ứng suất pháp lớn nhất

2

1

102( / )

5

CDCD

NkN cm

A

2

2

151,875( / )

8

BCBC

NkN cm

A

22( / )max

kN cm

3. Chuyển vị của điểm D

2 1

. .BC CDD BD BC CD

N b N aw L l l

EA EA

2 22

4

1 15.10 10.100,0625.10 ( )

2.10 8 5Dw cm

=> Chuyển dời sang phải



Bài 1: Cho các thanh chịu lực như hình vẽ.

Vẽ biểu đồ lực dọc, ứng suất và chuyển vị

của các mặt cắt ngang.

Biết a=1m; A2=2A1=15cm2; F1=25kN;

F2=60 kN; q=10kN/m; E=104kN/cm2

Giải:

1 45( )AN R kN

2) Nội lực trong các đoạn thanh:

- Đoạn AB:

1) Xác định phản lực:

Giải phóng liên kết ngàm tại A:

1 2 . 0AZ R F F q a

2 1. 60 10.1 25 45( )AR F q a F kN

A2

B

A

F2 F1

A1

q

RA

C

a a

A

RA N1

z B

A

F2 q

RA N3

- Mặt cắt trong đoạn BC: 0 ≤ z ≤ a

3 2 . 15 10AN F R q z z


4. Tính ứng suất trên các tiết diện:

- Đoạn AB:

2

3

453( / )

15

ABAB

NkN cm

A

- Đoạn BC:

2

1

2

1

0 15( )

152( / )

7,5

1( ) 25( )

253,33( / )

7,5

BC

BCB

BC

BCC

z N kN

NkN cm

A

z m N kN

NkN cm

A

3. Vẽ biểu đồ lực dọc

45

N

kN

A2

B

A

F2 F1

A1

q

RA

C

a a

3

kN/cm2

2 3,33

1 45( )N kN

3 15 10N z

15 25


4. Tính chuyển vị tại các đoạn:

- Chuyển vị đoạn AB: 0 ≤ z1 ≤ 100(cm) 1

411 A 1 14

30

45.w w 0 3.10 ( )

. 10 .15.

z

ABN zdz z cm

E A

- Chuyển vị đoạn BC: 0 ≤ z2 ≤ 100(cm)

2 2

2 3 2

10 0

2

2 22

4'

2 3

4''

2

(15 10 )w w 0,03

. 75000

15 5w 0,03 ( )

75000

2.10w (3 2 )

3

4.10w 0

3

z z

BCB

N zdz dz

E A

z zcm

z

Hàm lõm quay xuống dưới. 0,03

0,657

w

cm

A2

B

A

F2 F1

A1

q

RA

C

a a


D

2A

B C

A

a 3a

P RB RD

Bài 3: Cho thanh tiết diện thay đổi chịu

tải trọng như hình vẽ. Vẽ biểu đồ lực

dọc.

Bài giải

1. Giả sử phản lực tại ngàm B và D có

phương, chiều như hình vẽ.

Pt cân bằng:

B DR R P (1) Bài toán siêu tĩnh

0BD BC CDL L L (2)

Điều kiện biến dạng:

30

2

BC CDBD

N a N aL

EA EA (3)

RD NCD

NBC

C

P RD

D

CD DN R BC DN R P


RB

D

2A

B C

A

a 3a

P RD

.30

2

D DR P a R a

EA EA

2 3 0D DR P R

2

5DR P

2

5CDN P

3

5BCN P

2

5P

3

5P

N

Bài 2.3: Cho hệ thanh chịu lực như hình vẽ.

Xác định lực dọc trong các thanh và chuyển

vị điểm C. Biết độ cứng các thanh là EA,

chiều cao h

Giải:

1. Xác định lực dọc:

Tách nút C: Lực dọc N1, N2

Phương trình cân bằng:

1 2

1 2

0 sin sin 0X N N

N N

1 2

1

0 os o 0

2 os

Y N c N c P

N c P

(1)

(2)

1 2(1) (2)2cos

PN N

P

C

N1 N2

X

Y

EA EA

P

D

C

E

h


2. Xác định chuyển vị tại C:

EA EA

D

C

E

h

C’

Do hệ đối xứng, C di chuyển theo phương

thẳng đứng xuống C’.

Khi đó ta có:

1L

yC

1C

Ly

cos

1 1

1

N LL

EA

12cos

PN

Mà

1cos

hL

1 22

PhL

EAcos

32

C

Phy

EAcos


EA EA

D

C

E

L

F L

L1 L2

EA EA

D

C

E

L

F L C’

A K B

K’

B’

yB

yC

' C CKKK y L cos

CDC

Ly

2EA


1. Xác định lực dọc:

Tách nút C ta được N1, N2, N3

Phương trình cân bằng:

1 3

1 3

0 sin30 sin30 0o oX N N

N N

(1)

(2)

1 3 2

1 2

0 ( ). os30 0

3

oY N N c N P

N N P

N3 30o 30o

C

N1

N2

P

Điều kiện biến dạng o

1 3 2 2

3os30

2L L L c L

1 21 2

2 .3 3

2 43

N H N HN N

EAEA

A A

30o 30o

C

A

P

H

(3)

2L

1L

A A

30o 30o

C

A

P

H


-Xác định lực dọc trong các thanh.

- Tìm chuyển vị điểm C.

Biết A=5cm2 , E =2.104kN/cm2, P= 50kN, H=4m

Giải:



Xác định lực dọc trong các thanh.Tìm chuyển vị

điểm C. Biết ABD = ACE =5cm2; E =2.104kN/cm2;

P= 50kN; L=2m; Thanh AC tuyệt đối cứng.

Cắt hệ thanh thành hai phần:

2

3.2..0

LPLNLNM CEBDA

PNN CEBD 342

(2)

2

1..

.2

1

2

1

2'

'

CECE

CE

BD

BDBD

CE

BD

LN

AE

AE

LN

L

L

L

L

CC

BB

(1)

CEBDCE

BD NNN

N 2

2

1

;30

;15

KNN

KNN

CE

BD

;06,0' cm

EA

LNLCC

CE

CECECE

Giải:

L P

L L

L/2

E

B

D

C A

P

L L

L/2

B C A

NCE NBD

C’

B’


L

L L/2

F

B D

C

K

Bài 2.5: Cho hệ thanh gồm

thanh BCD tuyệt đối cứng,

thanh treo CK có độ cứng EA,

chịu lực như hình vẽ.

• Xác định lực dọc trong thanh

CK

• Tìm chuyển vị điểm D theo

phương thẳng đứng.

Biết = 300 K

Bài giải:

1. Xác định lực dọc trong thanh CK

L L/2

F

B D

C

NCK

3 1 3sin . . 0

2 2 2B CK CK

L LM N L F N L F

3CKN F


L

L L/2

F

B D

C

K

2. Tìm chuyển vị điểm D theo phương thẳng đứng.

C’ D’

yD

Sơ đồ biến dạng

LCK

' 2

' / 2 3

CC L

DD L L

3' '

2Dy DD CC

'sin

CKLCC

. 3 . / sin 3

sin

CK CKCK

N L F L FLL

EA EA EA

2

3'

sin

FLCC

EA

2 2

3 3 9'

2 sin 2 sinD

FL FLy DD

EA EA


N

L L/2

F

B D

C

K

N

L

L L/2

F

B D

C

K

L

q

q


L F

B D

C

K

G

G’

D’ C’

yG

G D DGy y L

'Dy CC

' CKCC L


CHƯƠNG 3

TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT- CÁC THUYẾT BỀN

3.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm

- Nội lực: Lượng thay đổi lực tương tác - phân bố trên mặt cắt

thuộc vật thể chịu lực.

- Ứng lực: Hợp lực của nội lực trên mặt cắt ngang của thanh.

- Ứng suất: tại một điểm trên một mặt cắt

- Trạng thái ứng suất: tại một điểm

- Định nghĩa: trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp tất cả

những thành phần ứng suất trên tất cả các mặt đi qua điểm đó. Nghiên cứu trạng thái ứng suất tại một điểm: tách phân tố lập phương vô

cùng bé chứa điểm đang xét, biểu diễn các thành phần ứng suất trên tất cả các

mặt vuông góc với ba trục toạ độ x, y, z. Trên mỗi mặt ứng suất toàn phần có

phương, chiều bất kỳ được phân tích thành ba thành phần: 1 thành phần ứng

suất pháp vuông góc với mặt cắt và 2 thành phần ứng suất tiếp nằm trong mặt

cắt.

CHƯƠNG 3: Trạng thái ứng suất – các thuyết bền

z

y

x

x

y

z

xy

xz

yx

yz

zy

zx

Ký hiệu ứng suất: ij -chỉ số i – phương pháp tuyến; chỉ số j –

phương của ứng suất

3.2. Mặt chính – ứng suất chính – phương chính

• Mặt chính: Là mặt không có tác dụng của ứng suất tiếp.

• Phương chính: là phương pháp tuyến của mặt chính.

• Ứng suất chính: là ứng suất pháp tác dụng trên mặt chính.

• Phân tố chính: ứng suất tiếp trên các mặt bằng 0

Tại 1 điểm luôn tồn tại ba mặt chính vuông góc với nhau với ba ứng suất chính tương ứng ký hiệu là Theo qui ước:

1 2 3, ,

1 2 3


Mặt vuông góc với trục z là mặt chính có ứng suất chính = 0 => Chỉ tồn tại các thành phần ứng suất trong xOy

x xy

y

x

y

z

yx

x

y

x

xy

y

O

yx

Phân loại TTƯS: TTƯS đơn, TTƯS phẳng, TTƯS khối

3.3. Trạng thái ứng suất phẳng


Qui ước dấu Ứng suất pháp dương khi có chiều đi ra khỏi phân tố Ứng suất tiếp có chiều dương khi đi vòng quanh phân tố

theo chiều kim đồng hồ

|xy| = |yx|

a) Định luật đối ứng của ứng suất tiếp

TTƯS phẳng xác định bởi: x ,y, xy

b) Ứng suất trên mặt nghiêng (//z) u

uv

y

x

xy x y x y

u xycos sin

2 22 2

x y

uv xysin2 cos 22


>0 – từ x đến u theo chiều ngược kim đồng hồ

c) Ứng suất pháp cực trị là các ứng suất chính

0

01,02 0

0 90

0

21

2

xy

x y

arctg

2

2

1,2(3)2 2 xy

x y x y

max, min

22

xy

x y

tg

Hoặc:

1

max

xy

y

tg

2

min

xy

y

tg

Hai phương chính vuông góc với nhau


d) Ứng suất tiếp cực trị: mặt có ứng suất tiếp cực trị hợp với mặt chính góc 450

2

2

2

xy

x y

max,min

e) Bất biến của TTƯS phẳng: tổng các ứng suất pháp trên hai mặt bất kỳ vuông góc với nhau tại một điểm có giá trị không đổi

x y u v const


3.4. Quan hệ ứng suất – biến dạng (Định luật Hooke)

1

x x y zE

1

y y x zE

1

z z x yE

xy

xyG

xz

xzG

yz

yzG

1x x y

E

1y y x

E

xy

xyG

Trạng thái ứng suất phẳng:


Thuyết bền: Các giả thiết về nguyên nhân gây ra sự phá hoại vật liệu

Thuyết bền 1 - Thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất

Thuyết bền 2 - Thuyết bền biến dạng dài tương đối lớn nhất

Thuyết bền 3 - Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất

3 1 3t

Thuyết bền 4 - Thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng cực đại

2 2 2

4 1 2 3 1 2 1 3 2 3t k

Thuyết bền 5 - Thuyết bền Mohr


5 1 3

kt k

n

[] n

u

uv

[ ]k O2 O3 O1


Thuyết bền 5 - Thuyết bền Mohr

• Dựa vào kết quả thí nghiệm => Vẽ vòng tròn ứng suất giới hạn => Vẽ đường bao => Xác định miền an toàn của vật liệu

• Chỉ phù hợp vật liệu giòn

Cho phân tố ở TTƯS phẳng có các thành phần ứng suất trên các mặt như hình vẽ. Tìm phương chính, ứng suất chính của TTƯS tại điểm đó. Biết β =60o

GiẢI

210 / ;u kN cm

u

6KN/cm2

4KN/cm2

10KN/cm2

β

6KN/cm2

4KN/cm2

β

x

y

• Gắn hệ trục xy cho phân tố như hình vẽ

• Pháp tuyến u của mặt nghiêng tạo với phương ngang góc

Ta có: 24 / ;y kN cm

26 / ;xy kN cm

150o



2sin2cos22

xyyxyx

u

218,928 /x kN cm

• Phương chính:

22

xy

x y

tg

Lại có: u

6KN/cm2

4KN/cm2

β

x

y

1 2 119,4 ; 90 109,4o o o

2

2

2,122

xy

yxyx

• Ứng suất chính: 2

1 21,041 /KN cm

2

2 1,887 /KN cm

CHƯƠNG 4

ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

1. Mô men tĩnh của diện tích A đối với trục Ox, Oy:

( )

x

A

S ydA ( )

y

A

S xdA

Trục trung tâm: trục có mô men tĩnh của diện tích A đối với nó bằng 0. Trọng tâm: Giao điểm của hai trục trung tâm => mô men tĩnh của hình phẳng đối với trục đi qua trọng tâm bằng 0 Cách xác định trọng tâm C (xC, yC) của hình phẳng:

y

C

Sx

A x

C

Sy

A

Chương 4. Đặc trưng hình học mặt cắt ngang

Cách xác định trọng tâm của hình ghép từ nhiều hình đơn giản

• Hình đơn giản: toạ độ trọng tâm dễ xác định

• Chọn hệ trục ban đầu Oxy, biểu diễn kích thước và toạ độ trọng tâm C(xC, yC) trong hệ trục này

• Nếu mặt cắt ngang A ghép từ nhiều hình đơn giản có diện tích Ai với tọa độ trọng tâm mỗi hình đơn giản là Ci(xCi,yCi) trong hệ toạ độ ban đầu, thì:

1

1

n

Ci iy i

C n

i

i

x AS

xA

A

1

1

n

Ci i

x iC n

i

i

y AS

yA

A

x

C1

C2

C3

xC1

yC1


Chú ý

Chọn hệ trục toạ độ ban đầu hợp lý: Nếu hình có trục đối xứng thì chọn trục đối xứng làm một trục của hệ trục tọa độ ban đầu, trục còn lại đi qua trọng tâm của càng nhiều hình đơn giản càng tốt.

Nếu hình bị khoét thì diện tích bị khoét mang giá trị âm.


2. Mô men quán tính của mặt cắt ngang A đối với trục x, y

2

( )

x

A

I y dA 2

( )

y

A

I x dA

3. Mô men quán tính độc cực

2

( )

p x y

A

I dA I I

4. Mô men quán tính ly tâm

( )

xy

A

I xydA

Hệ trục quán tính chính của diện tích mặt cắt ngang: là hệ

trục mà mô men quán tính ly tâm của diện tích mặt cắt ngang

đối với nó bằng 0.

Hệ trục quán tính chính trung tâm của diện tích mặt cắt ngang:

là hệ trục quán tính chính, có gốc tọa độ trùng với trọng tâm

mặt cắt ngang.


Hình chữ nhật

Hình tròn

Hình tam giác

3

12x

bhI

3

12y

hbI

4 440,1

2 32p

R DI D

4 440,05

4 64x y

R DI I D

3

12x

bhI

h

b

x

y

D

x

y

b

h

x


Mặt cắt ngang ngang A trong hệ trục ban đầu Oxy có các đặc trưng hình học mặt cắt ngang là Sx, Sy, Ix, Iy, Ixy.

Hệ trục mới O'uv có O'u//Ox, O'v//Oy và:

Các đặc trưng hình học mặt cắt ngang A trong hệ trục O'uv là:

u x b v y a

x

y

A

O

u

v

a

b

dA

x

u

y v

.u xS S a A

.v yS S b A

22u x xI I aS a A 22v y yI I bS b A

uv xy y xI I aS bS abA

Công thức chuyển trục song song


Nếu O đi qua trọng tâm C:

2

u xI I a A 2

v yI I b A

uv xyI I abA

C C


- Mặt cắt ngang ngang A trong

hệ trục ban đầu Oxy có các đặc

trưng hình học mặt cắt ngang là

Sx, Sy, Ix, Iy, Ixy.

- Hệ trục mới O'uv xoay góc q

ngược chiều kim đồng hồ

u

x

y

v

u xcos y sin

v x sin y cos

- Các đặc trưng hình

học mặt cắt ngang

trong hệ trục mới O'uv

là Su, Sv, Iu, Iv, Iuv

x y x y

u xy

x y x y

v xy

x y

uv xy

I I I II cos I sin

I I I II cos I sin

I II sin I cos

2 22 2

2 22 2

2 22

Công thức xoay trục


Ví dụ 4.1. Cho mặt cắt ngang có hình

dạng và kích thước như hình vẽ.Xác định

các mô men quán tính chính trung tâm của

mặt cắt ngang

Giải: Chọn hệ trục toạ độ ban đầu x0y0

như hình vẽ. Chia mặt cắt ngang làm hai

hình đơn giản và 1 2

1

2

x0

y0

1. Xác định toạ độ trọng tâm, ta có:

- xC=0 (y0 - trục đối xứng)


1

2

x0

y0

- Dựng hệ trục quán tính chính trung tâm Cxy

- Các mô men quán tính chính trung tâm:



Ví dụ 4.2. Cho hình phẳng có hình

dạng và kích thước như hình vẽ. Xác

định các mô men quán tính chính trung

tâm của hình phẳng

Giải: Chọn hệ trục toạ độ ban đầu x0y0

như hình vẽ. Chia hình phẳng làm hai

hình đơn giản và 1 2

1

2 1

2

+


Ta có:

1. Xác định toạ độ trọng tâm:

i= Xi [m] yi [m] Ai [m2] xiAi [m

2] yiAi [m2]

1 0,5 2,0 4 2 8

2 2,0 0,5 2 4 1

6 6 9

1

2

Ci i

C

i

x Ax ( m )

A

61

6

Ci i

C

i

y Ay , ( m )

A

91 5

6

2. Qua C, dựng hệ trục quán tính trung tâm Cxy:

C

y

x

1.5m

3. Các mô men quán tính đối với hệ trục quán tính

trung tâm Cxy:

a1= - 0,5m; b1=0,5m; a2=1m; b2= - 1m


1

2

x

y

.A I , . , ( m )

.I , . , ( m )

31 2 4

1

31 2 4

1 40 5 4 6 33

12

4 10 5 4 1 33

12

x

y

.A I . , ( m )

.I . , ( m )

32 2 4

2

32 2 4

2 11 2 2 17

12

1 21 2 2 67

12

4. Các mô men quán tính đối với hệ trục quán tính

chính trung tâm Cuv:

x x xI I I , , , ( m ) 1 2 46 33 2 17 8 5

y y yI I I , , ( m ) 1 2 41 33 2 67 4

xy xy xyI I I a b A a b A ( m ) 1 2 4

1 1 1 2 2 20 3


4. Các mô men quán tính đối với hệ trục quán tính chính trung tâm Cuv:

2

2 4

1 10( )2 2 xy

x y x yI I I II I m

2

2 4

2 2,5( )2 2 xy

x y x yI I I II I m

5. Góc xác định hệ trục quán tính chính trung tâm Cuv:

xy

y x

Itan ,

I I

0

22 1 333

'

'

0

1

0 0

2 1

26 34

90 116 34

1

2

C

y

x

1.5m

v

u

1

CHƯƠNG 5

THANH CHỊU XOẮN THUẦN TÚY

1. NỘI LỰC: mô men xoắn Mz nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục thanh

Qui ước dấu của Mz

Nhìn từ bên ngoài vào mặt cắt ngang, nếu Mz có chiều thuận chiều kim đồng hồ thì nó mang dấu dương và ngược lại.

zM > 0

y

z

x

z

y

x

Chương 5. Thanh tròn chịu xoắn thuần túy

2. Ứng suất: Ứng suất tiếp có phương vuông góc với bán kính, chiều cùng chiều mô men xoắn nội lực

z

p

M

I

– toạ độ điểm tính ứng suất

Ip – mô men quán tính độc

cực của mặt cắt ngang

Mz – mô men xoắn nội lực

ax .W

z zm

p p

M MR

I

43W / / 2 0,2

32p

DD D


2. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn Góc xoắn (góc xoay) tương đối giữa hai mặt cắt ngang A và B

L

A B

Oa b

c 0

A L

z zAB

p pB

M dz M dzrad

GI GI

z

p

Md

dz GI

Góc xoắn tỉ đối

z

p

Mconst

GI

zAB

p

M L

GI

1

nz

AB i

i p i

Ml

GI


1. Điều kiện bền

2. Điều kiện cứng

ax

pW

z

m

Mmax max

0

n

- nếu dùng thực nghiệm tìm 0

2

- nếu dùng thuyết bền 3

3


ax

ax

/zm

p m

Mrad m

GI

Nếu [] cho bằng độ/m => đổi ra rad/m


3. Ba bài toán cơ bản: a) Bài toán 1: Kiểm tra điều kiện bền (hoặc điều kiện

cứng)

b) Bài toán 2: Chọn kích thước thanh theo điều kiện bền (hoặc điều kiện cứng)

c) Bài toán 3: Xác định giá trị cho phép của tải trọng tác dụng (là giá trị lớn nhất của tải trọng đặt lên hệ mà thanh vẫn đảm bảo điều kiện bền hoặc điều kiện cứng)

ax

pW

z

m

M

pW zM

pW .zM


Ví dụ 5.1: Cho trục tròn có diện tích mặt cắt ngang thay đổi chịu tác dụng của mô men xoắn ngoại lực như hình vẽ

1. Vẽ biểu đồ mô men xoắn nội lực

2. Xác định trị số ứng suất tiếp lớn nhất

3. Tính góc xoắn của mặt cắt ngang D

Biết M=5kNm; a=1m; D=10cm; G=8.103 kN/cm2

2a

B

a

C D

D

M 3M

2D


1. Biểu đồ mô men xoắn

Đoạn CD

Đoạn BC

2a

B

a

C D

D

M 3M

2D

MzkNm

15

10

10 z a

3 15CD

zM M kNm

2 10BC

zM M kNm

20 2 z a MzCD

3M

z1

3M M

z2 a Mz

BC


2. Trị số ứng suất tiếp lớn nhất

3. Góc xoắn tại D

2a

B

a

C D

D

M 3M

2D

MzkNm

15

10

2max 2

3 3

15 107,5( / )

0,2 0,2 10CD

CD

zMkN cm

D

2max 2

3 3

10 100,625( / )

0,2 200,2 2BC

BC

zMkN cm

D

D BC CD 2CD BC

z zD CD BC

p p

M a M a

GI GI

2 2 2 2

3 4 3 4

15 10 10 10 10 2 100,02( )

8 10 0,1 10 8 10 0,1 20D rad

2

max 7,5( / )kN cm


Giả sử phản lực tại ngàm MA, MD có chiều như hình vẽ.

Ta có: MA + MD = M (1)

Điều kiện biến dạng

AD = 0 (2)

d

a 2a

D

M MA D

A

M

B2d

D

M DM

z

z

CD

2AB BD

z zAD AB BD AB BD

p p

M a M a

GI GI

BD

z DM MAB

z DM M M

4 4

20

0,10,1 2

D DAD

M M a M a

G dG d

1 32;

33 33D AM M M M

Mz

M/33

32M/33


CHƯƠNG 6

THANH CHỊU UỐN NGANG PHẲNG

Giới hạn nghiên cứu: Dầm với mặt cắt ngang có ít nhất 1 trục đối xứng (chữ I, T, chữ nhật, tròn,…); mặt phẳng tải trọng trùng mặt phẳng đối xứng của dầm => Uốn phẳng

Phân loại uốn phẳng Uốn thuần túy phẳng Uốn ngang phẳng

Chương 6. Thanh chịu uốn ngang phẳng

1. THANH CHỊU UỐN THUẦN TÚY PHẲNG

1.1. Nội lực: mô men uốn Mx (hoặc My)

Lớp trung hoà Đường trung hoà Đường trung hoà đi qua trọng tâm của mặt cắt

ngang

y

z

x

dA

x

y

z

K

Mx

Thớ trung hoà : không bị co, không bị dãn=>

Bán kính cong:

1 x

x

M

EI

EIx – độ cứng của dầm chịu uốn

Mx – mô men uốn nội lực

– bán kính cong của thớ trung hoà

xz

x

My

I


Mặt cắt ngang có hai trục đối xứng

max2

x x

x x

M Mh

I W

min2

x x

x x

M Mh

I W

max min

/ 2

xx

IW

h - mô men chống uốn của mặt cắt ngang

x

y

min

max

h/2

h/2

2

6x

bhW

330,1

/ 2 32

xx

I DW D

D

Hình chữ nhật: Hình tròn:

Hình vành khăn: 3

4 3 41 0,1 1/ 2 32

xx

I DW D

D

d

D với

z

Mx


x

y

th

b min

max

ynmax

ykmax

max max

x xk

k

x x

M My

I W

min max

x xn

n

x x

M My

I W

max

k xx k

IW

y

max

n xx n

IW

y

ykmax - khoảng cách xa ĐTH nhất thuộc vùng chịu kéo

ynmax - khoảng cách xa ĐTH nhất thuộc vùng chịu nén

z

Mx


4. Điều kiện bền

Dầm làm bằng vật liệu dẻo

Dầm bằng vật liệu giòn

Ba bài toán cơ bản

Kiểm tra điều kiện bền:

Xác định kích thước của mặt cắt ngang:

Xác định tải trọng cho phép:

max minmax ,

max min ; k n

max

x

x

M

W

x

x

MW

x xM W


2. THANH CHỊU UỐN NGANG PHẲNG

Mx => ứng suất pháp Qy => ứng suất tiếp

2.1. Nội lực:

xz

x

My

I

2.2. Ứng suất:

c

y x

zy

x c

Q S

I b

h

b=b

y

§THx

y

Ac

c

Qy là lực cắt theo phương y tại mặt cắt ngang.

Ix là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục x.

bc chiều rộng của mặt cắt ngang tại điểm tính ứng suất

là phần diện tích bị cắt (là phần diện tích giới hạn bởi chiều rộng mặt cắt ngang tại điểm tính ứng suất và mép ngoài của mặt cắt ngang).

là mô men tĩnh của phần diện tích bị cắt c

xS

CA


x

y

h

b=

y

bc

max

AC

3

2

yQ

bh


4. Điều kiện bền K, N - trạng thái ứng suất đơn C- trạng thái ứng suất trượt thuần túy B- trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt

x

y

N

K

C

B

Mx

z

max

min

max

h/2

h/2

maxmax

minmin

max

max

B

B

B

B


Kiểm tra bền cho trạng thái ứng suất đơn

Mặt cắt ngang nguy hiểm: mặt cắt có mô men uốn lớn nhất (vật liệu dẻo: trị tuyệt đối của mô men lớn nhất, vật liệu giòn: mô men âm và mô men dương lớn nhất)

Vật liệu dẻo:

Vật liệu giòn:

max minmax ,

max min ; k n


Kiểm tra bền cho trạng thái ứng suất trượt thuần túy

Mặt cắt nguy hiểm: Mặt cắt có trị tuyệt đối Qy lớn nhất

Vật liệu dẻo:

Vật liệu giòn: Dùng thuyết bền Mohr

axmmax

0

n

- nếu dùng thực nghiệm tìm 0

2


3


max

1

k

k

n


Kiểm tra bền cho trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt

Mặt cắt ngang nguy hiểm: có trị tuyệt đối Mx và Qy cùng lớn

Điểm kiểm tra: điểm có ứng suất pháp và ứng suất tiếp cùng lớn (điểm tiếp giáp giữa lòng và đế với mặt cắt ngang chữ I)

Dầm bằng vật liệu dẻo:

Dầm bằng vật liệu giòn:

2 2

t® z zy( ) 4( ) (TB3)

2 2

t® z zy( ) 3( ) (TB4)

2 21 14

2 2z z zy k


1. Khái niệm chung

Đường đàn hồi: Đường cong của trục dầm sau khi chịu uốn

Trọng tâm mặt cắt ngang của dầm

K - trước biến dạng

K’ – sau biến dạng

KK’ – chuyển vị của trọng tâm mặt cắt ngang

Biến dạng bé: u(z)<<v(z)

v(z) => độ võng: y(z)=>

B

F

L

K

K’

K

K’

z

v(z)

u(z)

KK’

v(z) - chuyển vị đứng

u(z) - chuyển vị ngang

Độ võng của dầm chịu uốn là chuyển vị theo phương thẳng đứng của trọng tâm mặt cắt ngang


CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN

- Tại K’ dựng tiếp tuyến t với đường đàn hồi, đường vuông góc với tiếp tuyến t tại K’=>

- Mặt cắt ngang dầm sau biến dạng tạo với mặt cắt ngang dầm trước biến dạng góc => góc xoay z

Góc xoay: góc hợp bởi mặt cắt ngang dầm trước và sau biến dạng

Biến dạng bé: (z) = tg = y’(z) => Đạo hàm bậc nhất của độ võng là góc xoay

B

F

L

K

K’

z


•Gt: Khi chịu uốn vật liệu thanh làm việc trong miền đàn hồi:

2. Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi

( )1 x

x

M z

EI

32 2

1 "( )"( )

(1 ' )

y zy z

y

•Hình học giải tích:

Biến dạng bé

'' ( )x

x

M zy

EI

z

M

M>0

''( ) 0y z

z

M ''( ) 0y z

M<0

( )"( ) x

x

M zy z

EI - Phương trình vi phân gần đúng

đường đàn hồi


3. Các phương pháp xác định đường đàn hồi

a. Phương pháp tích phân trực tiếp

Từ phương trình vi phân gần đúng lấy tích phân lần thứ nhất ta được góc xoay.

Tích phân lần thứ hai ta được biểu thức tính độ võng

x

x

Mdyz dz C

dz EI

x

x

My(z) dz C .dz D

EI


trong đó C và D là hai hằng số tích phân, được xác định nhờ vào điều kiện biên chuyển vị .

P

A B C

Điều kiện liên tục:

C Cy y

C C


VD 6.1: Xác định độ võng tại đầu tự do của dầm công-xôn chịu tác dụng của tải tập trung như hình vẽ

Ta có:

M F L z

B

F

L-z

L

EIx

z

'' x

x x

F L zM (z)y (z)

EI EI

2

x x

F L z) F zz dz C Lz C

EI EI 2

2 3

x

F z zy z L Cz D

EI 2 6

0 0 0z C

0 0 0z y D

2

B

x

FLz L

2EI

Điều kiện biên

3

B

x

FLy y z L

3EI


Phương pháp thông số ban đầu để xác định đường đàn hồi Xét dầm chịu uốn ngang phẳng gồm n đoạn, đánh số thứ tự 1,2,…,i, i+1,..,n từ trái sang phải. Độ cứng mỗi đoạn là E1I1, E2I2,…, EnIn. Xét hai đoạn kề nhau thứ i và i+1 có liên kết dạng đặc biệt sao cho độ võng và góc xoay tại đây có bước nhảy , tại mặt cắt ngang giữa hai đoạn có lực tập trung và mô men tập trung, đồng thời lực phân bố cũng có bước nhảy

0

0F

0M

y0

y

Fa

aMq0

iq

qi+1

z=a

iy

i+1y

(a)

(a)

(a)i

(a)i+1

z

ya

1 2 i i+1 n



Bằng các phép biến đổi toán học (khai triển Taylor hàm độ võng tại z=a), sử dụng quan hệ vi phân giữa các thành phần ứng lực và tải phân bố, ta nhận được công thức truy hồi của hàm độ võng (hàm độ võng trên đoạn thứ i+1 được xác định khi biết hàm độ võng trên đoạn thứ i)

- Khi độ cứng của dầm EI=const trên cả chiều dài

Với

độ võng đoạn thứ nhất

1

2 3 4 5'

( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( ) ( )...

2! 3! 4! 5!a

i i a a

a a a

y z y z y z a

z a z a z a z a M Q q q

EI

a aM M

a aQ Q

1( ) ( )a i iq q a q a

' ' '

1( ) ( )a i iq q a q a

2 3 4 5'

1 0 0 0 0 0 0

1( ) ...

2! 3! 4! 5!

z z z zy z y z M Q q q

EI


Các thông số gọi là các thông số ban đầu và được xác định từ điều kiện biên.

Chú ý:

Chiều dương của mô men tập trung, lực tập trung, tải trọng phân bố như hình vẽ.

Nếu liên kết giữa hai đoạn thứ (i) và (i+1) là khớp treo thì

Nếu hai đoạn thứ (i) và (i+1) là liền nhau thì

Ví dụ

0ay

0a ay

'

0 0 0 0 0 0, , , , , ,...y M Q q q


Ví dụ 6.2:

Dùng phương pháp thông số ban đầu, xác định độ võng tại C và góc xoay tại D của dầm chịu tải trọng như hình vẽ.

Bài giải:

1. Xác định phản lực

2. Lập bảng thông số ban đầu

B

11V qa

4

D

9V qa

4

1 2 3 DB

M=qaP=4qa

aaa

2q

A C

2a

3a

z = 0 z = a z = 2a

0 0y

0 0

0 0M

0 0Q

0q q ,

0 0q

0ay

0a

0aM

a BQ V

aq q , 0aq

0ay

0a

0aM

aQ P

, 0aq

0aq Tìm yC => hàm độ võng y2

Tìm D => hàm góc xoay y3’

VB VD

1

2 3 4 5'

( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( ) ( )...

2! 3! 4! 5!a

i i a a

a a a

y z y z y z a


EI

Công thức truy hồi:

Xét đoạn 1(AB): 0 ≤ z ≤ a

4

1 o o

x

qzy (z) y z

24EI

z = 0 z = a z = 2a

0 0y

0 0

0 0M

0 0Q

0q q ,

0 0q

0ay

0a

0aM

a BQ V

aq q , 0aq

0ay

0a

0aM

aQ P

, 0aq

0aq Xét đoạn 2 (BC): a ≤ z ≤ 2a

4 4 3

B2 o o

x x x

qz q(z a) V (z a)y (z) y z

24EI 24EI 6EI


z = 0 z = a z = 2a

0 0y

0 0

0 0M

0 0Q

0 0q ,

0 0q

0ay

0a

0aM

a BQ V

aq q , 0aq

0ay

0a

0aM

aQ P

, 0aq

0aq

1

2 3 4 5'

( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( ) ( )...

2! 3! 4! 5!a

i i a a

a a a

y z y z y z a


EI

Xét đoạn 3 (CD): 2a ≤ z ≤ 3a

4 4 3 3

B3 o o

x x x x

qz q(z a) V (z a) P(z 2a)y (z) y z

24EI 24EI 6EI 6EI


Ta có phương trình độ võng trên từng đoạn:

4

1 o o

x

qzy (z) y z

24EI

4 4 3

B2 o o

x x x

qz q(z a) V (z a)y (z) y z

24EI 24EI 6EI

4 4 3 3

B3 o o

x x x x

qz q(z a) V (z a) P(z 2a)y (z) y z

24EI 24EI 6EI 6EI

y0, 0 ???


4

o

x

5qay

24EI

3

o

x

qa

6EI

4

C 2

x

7qay y (z 2a)

24EI

3

D 3

x

qay' (z 3a)

6EI

Để xác định 2 thông số ban đầu là y0 và 0 ta xét điều kiện liên kết của dầm:

z = a => y1(z=a) = 0

z = 3a => y3(z=3a) = 0

Từ hai phương trình độ võng y1(z) và y3(z), áp dụng điều kiện biên:

Từ đó tính được:



BÀI TOÁN SIÊU TĨNH

Xin trân trọng cảm ơn!

Sức bền vật liệu - ôn tập về lý thuyết và bài tập sức bền vật liệu

Technology

Transcript of Sức bền vật liệu - ôn tập về lý thuyết và bài tập sức bền vật liệu