subgrupo 1

Ejercicio 1.

Sea a1 = 2011, an = a1 + a2 + · · ·+ an�1, 8n � 2 una sucesion de numeros enteros.

1. Probar por induccion que an = 2an�1, 8n � 3.

2. Hallar la expresion explıcita de bn, donde bn viene dado por:

8<

:b0 = 1, b1 = 2

bn+2 = �bn+1 + 2bn + 6(�2)n

Ejercicio 2 Hallar todos los enteros x comprendidos entre 400 y 700 que cumplen simultaneamente lassiguientes condiciones:

1. Al dividir x entre 5 se obtiene de resto 2.

2. Al dividir el doble de x entre 7 se obtiene de resto 5.

3. Al dividir el triple de x entre 12 se obtiene de resto 6.

Ejercicio 3.

1. Demostrar que 377 � 1 es par y no divisible por 4.

2. Deducir de lo anterior que 377�12 es impar.

3. Probar que 377 � 1 es divisible por 23.

4. Deducir que 377�12 es compuesto.

Ejercicio 4.

En el sistema criptografico RSA se usa r = 1 y como clave publica (n, e) con n = 2867 = 47 · 61 y e = 17.Se pide:

1. ¿Es correcta la clave usada? Justifica la respuesta.

2. Hallar la clave privada.

Ejercicio 5.

Un coleccionista de arte adquiere dos tipos de bocetos, unos vale a 70 euros con 50 centimos de euros yotros a 36 euros con 19 centimos de euros. En total se gasta 372 euros con 71 centimos. ¿Cuantos comprode cada tipo?.

SUBGRUPO 2

Ejercicio 1.

Sea a

1

= 1, a2

= 1, an = an�1

+ an�2

, 8n � 3 la sucesion de Fibonacci.

1. Probar por induccion que a1

+a

2

+a

3

+a

4

+a

5

+· · ·+an�1

+an = an+2

�1, 8n � 1.

2. Deducir de lo anterior cuanto vale a

25

+ a

26

+ · · ·+ a

40

Nota: No es necesario calcular ningun termino de Fibonacci.

Ejercicio 2.

Hallar un numero n de siete cifras, n = 54x102y, tal que n sea divisible por 8,n+ 1 sea divisible por 3 y n+ 1 sea divisible por 7.

Ejercicio 3.

1. Utilizando el algoritmo extendido de euclides, hallar el maximo comun divisorde 2002 y de 273.

2. Utilizando congruencias, hallar k para que dicho maximo comun divisor dividaa 200201 + k.

3. Para el menor entero k positivo que cumpla la condicion anterior, resolver laecuacion diofantica siguiente 2002x+ 273y = 200201 + k.

4. ¿La ecuacion diofantica anterior tiene soluciones enteras y positivas? Justificala respuesta.

Ejercicio 4.

1. Probar que 22225555 + 55552222 es multiplo de 7.

2. Sea n = 31⇥ 37 = 1147 y e = 739. Utilizando el sistema criptografico RSA, laclave publica (n, e) y r = 1, hallar

a) Comprobar que la clave publica usada es correcta.

b) Hallar la clave privada.

c) Descifrar el mensaje 26|439|350.

SUBGRUPO 3

Ejercicio 1 Demostrar por induccion que para todo numero natural n

42n � 1 ⌘ 0 (mod 15)

Ejercicio 2 Hallar todos los numeros de cuatro cifras y menores que 1133 queverifiquen que:

el doble del numero es congruente a 7 modulo 3

si dividimos dicho numero entre 15 da de resto 5

el triple del numero dividido entre 8 da de resto 7

De todas las soluciones, ¿alguno de ellos es de Carmichael?

Ejercicio 3 Hallar una formula explıcita para el termino general de la siguientesucesion

u

0

= 1, u1

= 0,un = �un�1

+ 6un�2

+ 2n, 8n � 2.

Ejercicio 4 En un negocio hay paquetes de dos clases, unos pesan 11 kg y losrestantes pesan 12 kg. Su peso total es 5940 kg, y se sabe que hay paquetes de 12kg pero no se sabe cuantos paquetes hay de cada clase.

a) Demostrar que estos paquetes (los que pesan 12 kg) se pueden dividir en 11grupos de igual peso.

b) De todas las soluciones posibles, ¿cuantas hay que verifican que el numero depaquetes de 11 kg es mayor que el numero de paquetes de 12 kg?

Ejercicio 5 Para codificar un mensaje se utiliza el sistema RSA con r = 2. Sabiendoque 2729 es primo y que se utiliza una clave publica (2729, 13).

a) Probar, justificadamente, que la clave usada es correcta.

b) Codificar la palabra SI.

c) Hallar la clave privada.

Nota:

En caso de necesitar calcular el maximo comun divisor y/o la identidad de Bezout habra que hacerlo mediante el

Algoritmo Extendido de Euclides. En el ejercicio 5, usar el alfabeto t=00,A=01,B=02,C=03,. . . Z=27.

SUBGRUPO 4

Ejercicio 1

Se considera la siguiente recurrencia:(

un+1

� un = (2n+ 1)3n, n � 0u

0

= 1

1. Hallar una formula explıcita para el termino general, un.

2. Demostrar por induccion completa que un = (n� 1)3n + 2 para todo n � 0.

Ejercicio 2

1. Probar que si p primo, p � 11 entonces p tiene la forma 10q+1, 10q+3, 10q+7o 10q + 9.

2. Demuestra que si p primo, p � 11 entonces p2 � 1 o p

2 + 1 es divisible por 10.

Ejercicio 3

1. Hallar el resto de dividir 70 +71 +72 +73 + . . .+710 +711 entre 12 sin calculardirectamente el valor de las potencias.

2. Hallar las dos ultimas cifras de 20212021.

Ejercicio 4

Hallar un numero x comprendido entre 200 y 1000 que cumpla que:

si dividimos su doble entre 10 da de resto 4

si dividimos su triple entre 24 da de resto 21

si dividimos su doble entre 45 da de resto -1.

¿es unica la solucion? Tomad el valor mas pequeno y usando el test de base 2demostrar que se trata de un numero compuesto.Nota:

En caso de necesitar calcular el maximo comun divisor habra que hacerlo mediante el Algoritmo Extendido de

Euclides.

subgrupo 5

Ejercicio 1

Dado r 2 N, se considera la recurrencia lineal homogenea definida por

(u1 = 1, u2 = r + 1

un � un�1 = r(un�1 � un�2), 8 n � 3

Se pide:

1. Encontrar la expresion general de un en funcion de n, dependiendo del valor fijado del

parametro r.

2. Demostrar que, independientemente del valor de r 2 N, la sucesion coincide con un =

r

n�1+ r

n�2+ · · ·+ r + 1.

Ejercicio 2

1. Demostrar que cualquier entero se puede expresar como suma de un multiplo de 3 y de

un multiplo de 8.

2. Encontrar la solucion general de la ecuacion 3x+ 8y = c en funcion del parametro c.

3. ¿Cuando admite c ser expresado como suma de dos multiplos positivos de 3 y 8, respec-

tivamente?

4. Deducir que para c � 24 siempre se puede expresar en la forma c = 3x+8y para x, y � 0.

Ejercicio 3

1. Describir que procedimiento habrıa que seguir para calcular de manera eficaz las tres

ultimas cifras de cualquier potencia entera del tipo x

y, con x coprimo con 2 y con 5.

Aplicarlo en el caso de 3

2012. Ayuda: trabajar modulo 1000.

2. Se quiere cifrar un mensaje mediante RSA, usando como clave publica (n, e), con n = 77.

Razonar cual de entre los numeros de la siguiente lista es el unico buen candidato para

clave publica e: 3, 7, 61. Descifrar el numero 2 si ha sido cifrado con la clave publica

(n, e) = (77, 43).

Ejercicio 4

Un grupo de policıas se tienen que organizar en patrullas para vigilar la ciudad la noche del

derbi Sevilla-Betis. Se piden voluntarios y se presentan mas de 400. El jefe de policıa propone

hacer las patrullas de 11 policıas, pero faltarıan 3 policıas para formar patrullas completas;

por otro lado, solo faltarıa 1 para poder repartirlos a todos en patrullas de 7, como propone

uno de ellos; por ultimo, si se forman patrullas de 5, como quiere el alcalde, sobrarıa un policıa

voluntario. ¿Cuantos policıas voluntarios se han presentado sabiendo que hay en Sevilla hay

610 policıas?

Nota:

En caso de necesitar calcular el maximo comun divisor y/o la identidad de Bezout habra que

hacerlo mediante el Algoritmo Extendido de Euclides.

subgrupo 6

Ejercicio 1

Sean a, b, c y d enteros no nulos. Decidir si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones, demostrandolaso dando un contraejemplo:

a) si a divide a b y a divide a c entonces c2 � 2b es multiplo de a

b) si a divide a b+ c y a divide a b� c entonces a divide a b y a divide a c

c) si 19 divide a ab entonces 19 divide a a o 19 divide a b

d) si d divide a ab entonces d divide a a o d divide a b

Ejercicio 2 Hallar una formula explıcita para el termino general de la siguiente sucesion

u0 = 1, u1 = 0,un = �un�1 + 6un�2 + 15(�3)n, 8n � 2.

Ejercicio 3

Para codificar un mensaje se utiliza el sistema RSA con r = 2. Sabiendo que 2729 es un numero primoy que se utiliza una clave publica (n, e) = (2729, 321).

a) Probar que la clave usada es correcta.

b) Hallar la clave privada.

c) Decodificar el mensaje 1767 987 650

Ejercicio 4

Probar que 138! + 197138 es divisible por 139.

Ejercicio 5

100 alumnos de esta Escuela se han examinado de Introduccion a la Matematica Discreta (IMD) y deAlgebra Lineal y Numerica (ALN) obteniendo los siguientes resultados en los examenes:

20 alumnos no han aprobado ninguna de las dos asignaturas

25 alumnos han aprobado las dos asignaturas

el numero de alumnos que han aprobado IMD es el doble de los que han aprobado ALN

¿Cuantos alumnos aprobaron unicamente IMD? ¿Cuantos aprobaron unicamente ALN?

Nota:

En caso de necesitar calcular el maximo comun divisor y/o la identidad de Bezout habra que hacerlo mediante el Algoritmo

Extendido de Euclides. En el ejercicio 3, usar el alfabeto {t = 00, A = 01, B = 02, C = 03, . . . , Z = 27}.

subgrupo 7

Ejercicio 1

Demostrar que:

1. 279 + (253)6 es divisible por 37.

2. n

3 � n es multiplo de 6 para n un numero entero.

3. Hallar el resto de dividir 20132013 entre 29.

Ejercicio 2

La numeracion de las tarjetas VISA consta de 16 dıgitos en bloques de 4. Para que la numeracion de la tarjetaVisa sea correcta debe verificar la siguiente regla:

Tomamos los 16 dıgitos y separamos los que ocupan una posicion impar. (De derecha a izquierda).

Multipliquemos los dıgitos de las posiciones impares por 2. Si el numero es mayor que 9, le restamos 9.

Ahora sumamos los resultados anteriores con los dıgitos de las posiciones pares.

El numero obtenido debe ser congruente con cero modulo 10.

Al escribir la numeracion de nuestra tarjeta VISA nos hemos equivocado en el dıgito que ocupa la posicion 12.Averigua dicho dıgito sabiendo que el resto de numeros es 4485 5802 407x 8328.

Ejercicio 3

a) Hallar una formula explıcita para el termino general de la siguiente sucesion

u0 = 0, u1 = 0, u2 = 18un = 9un�1 � 27un�2 + 27un�3, 8n � 3.

b) Probar por induccion completa que un = (n2 � n)3n para todo n � 0.

Ejercicio 4

Un distribuidor de equipos informaticos efectua un pedido de entre 1000 y 1500 equipos a un fabricante. Este se losenvıa en contenedores completos con capacidad para 68 equipos cada uno. El distribuidor los reparte a los diferentespuntos de venta en furgonetas con capacidad para 20 equipos, quedando 32 equipos sin repartir en el almacen. ¿Cuantosequipos pidio el distribuidor a la fabrica?

Ejercicio 5 Una encuesta realizada entre 200 personas arrojo el resultado siguiente: 40 leen Diario de Sevilla, 42 leen

El Mundo, 45 leen El Paıs, 13 leen Diario de Sevilla y El Mundo, 20 leen El Mundo y El Paıs, 18 leen Diario de Sevillay El Paıs y 7 leen los tres periodicos.

a) ¿Cuantas personas no leen ninguno de los tres periodicos?

b) ¿Cuantas personas leen unicamente el Diario de Sevilla?

c) ¿Cuantas personas leen un solo periodico?

Nota:

En caso de necesitar calcular el maximo comun divisor y/o la identidad de Bezout habra que hacerlo mediante el Algoritmo Extendido de

Euclides.

subgrupo 8

Ejercicio 1

Demostrar que:

a) Si n es un numero natural entonces n

2no es congruente con 2 modulo 3.

b) Probar que 53

103+ 103

53es divisible por 39. Utilizar el Teorema de Euler para simplificar potencias.

Ejercicio 2

Usando el principio de induccion, probar que 3

n> 3n+ 25 para todo n � 4.

Ejercicio 3

a) ¿Cuantos alumnos debe haber matriculados como mınimo en una asignatura para poder garantizar que,

al menos, dos de ellos tienen la misma nota en el examen final sabiendo que el rango de notas oscila entre

0 y 100? Justificar la respuesta usando razonamientos dados en la asignatura.

b) ¿Cuantos numeros naturales hay menores que 10000 que no son divisibles ni por 3, ni por 7 ni por 13?

Justificar la respuesta usando razonamientos dados en la asignatura.

Ejercicio 4

Una bodega debe entregar un pedido de 430767 litros de vino sin embotellar. Para ello posee dos tipos de

camiones, unos que pueden transportar 49703 litros y otros que pueden transportar 41423 litros. ¿Cuantos

camiones de cada tipo necesitara la bodega para transportar toda la carga?

Ejercicio 5

Resolver el siguiente sistema en congruencias:

x ⌘ 15 mod 20

x ⌘ 10 mod 35

2x ⌘ 6 mod 42

Nota:

En caso de necesitar calcular el maximo comun divisor y/o la identidad de Bezout habra que hacerlo

mediante el Algoritmo Extendido de Euclides.

subgrupo 9

Ejercicio 1

Se consideran las siguientes recurrencias:

a)

⇢un = �3un�1 � 2un�2, n � 3u1 = 1, u2 = 1

b)

⇢un = �3un�1 � 2un�2 + 12, n � 3u1 = 1, u2 = 1

Hallar una formula explıcita para el termino general, un en cada uno de los casos.

Ejercicio 2

Usando el sistema criptografico RSA con clave publica (n, e) = (1009, 593) y r = 3 se ha cifradoel siguiente mensaje:

811��870

a) Hallar la clave privada.

b) Descifrar el mensaje anterior.

Nota:Usar que 1009 es un numero primo y que el alfabeto que se usa para cifrar es {t, A,B,E,H,R, T, U, V,W}(que enumeraremos desde 0 hasta 9).

Ejercicio 3

Sean a y b dos numeros enteros. Se trata de probar que la expresion a3b � ab3 es siempremultiplo de 6.

a) Factoriza la expresion a3b� ab3.

b) Probar que la expresion anterior es siempre divisible por 2.

c) Probar que en la factorizacion de a3b� ab3 siempre hay un factor que es divisible por 3.

d) Deducir de lo anterior que a3b� ab3 es siempre multiplo de 6.

Ejercicio 4

Se dispone de una cantidad de sacos de caramelos mayor a 200 e inferior a 500 para repartir enla Cabalgata de Reyes Magos de un pueblo. Se pretende repartirlos de manera equilibrada entrelas 3 carrozas de los Reyes Magos pero nos faltan 2 sacos, ası que se decide repartirlos entre las 3carrozas de los Reyes mas las 12 restantes, pero ahora nos sobran 7 sacos. Finalmente se anaden2 furgonetas escoltas a la comitiva y al repartir entre todas las carrozas mas las dos furgonetas nisobran ni faltan sacos. ¿Cuantas sacos de caramelos tenemos?

Nota:

En caso de necesitar calcular el maximo comun divisor y/o la identidad de Bezout habra que hacerlo

mediante el Algoritmo Extendido de Euclides.

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA I

SUBGRUPO 10

Ejercicio 1.-

a) Calcular el valor de b) Calcular el valor de a) Usando el Teorema Chino del Resto, resolver el siguiente sistema:

b) Encontrar el menor entero x solución del sistema anterior y mayor que 2700.

Ejercicio 2.- Comprobar si la ecuación diofántica tiene solución y en ese caso encontrarlas todas. Ejercicio 3.- Sean p primo y a, b y c enteros positivos distintos de p. Se sabe que a|p, b3|c y m.c.d.{b,p2}=p2 Probar que son ciertas o dar un contraejemplo para cada una de las afirmaciones siguientes:

a) a=1 b) En la descomposición en factores primos de b el primo p aparece elevado al

cuadrado exactamente. c) m.c.d.{c,p6}=p6.

Ejercicio 4.-

a) Encontrar la recurrencia lineal homogénea de grado 2 con coeficientes enteros que satisface la siguiente sucesión de números: u0=1, u1=-1, u2=3, u3=-5, u4=11,…

b) Encuentra la fórmula explícita de la recurrencia anterior. c) Encuentra la fórmula explícita de la recurrencia anterior si sabemos que no es

homogénea y como término independiente tiene la función f(n)=-1/3. (Las condiciones iniciales son las mismas).

SUBGRUPO 11

Ejercicio 1

Demostrar por induccion que para n � 2 se verifica

1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + 4 · 5 + · · ·+ (n� 1) · n =(n� 1)n(n+ 1)

3

Ejercicio 2

Raul vendio algunos libros a 28 euros cada uno obteniendo un beneficio inferior a730 euros. Con el dinero recaudado compro una cierta cantidad de entradas para unconcierto a 60 euros cada una sobrandole 32 euros. ¿Cual fue la cantidad de dineroque obtuvo Raul por la venta de los libros?

Ejercicio 3

Hallar el menor numero impar de tres cifras que al dividirlo entre 7 da de resto6 y si lo dividimos entre 12 se obtiene de resto 3.

Ejercicio 4

a) Calcular, utilizando el algoritmo de las grandes potencias, 3811mod 77.

b) Consideremos el alfabeto {t, A, B, C, D, E, F} y numeremos sus elementosdel 0 al 6 respectivamente. Si tomamos, para un codigo RSA, la clave publica(n, e) = (77, 11) con r = 1

a) Averiguar la clave privada.

b) Descifrar el mensaje 06� 38.

Ejercicio 5

Hallar una formula explıcita para el termino general de la siguiente sucesion:

a0 = 0, a1 = �3,an + an�1 = 6(an�1 � an�2) + 3 · 2n 8n � 2

subgrupo 12

Ejercicio 1 Hallar una formula explıcita para el termino general de la siguiente sucesion

u1 = 0, u2 = 1un = un�1 + 2un�2 + 2n� 1, 8n � 3.

Ejercicio 2 Resolver la siguiente ecuacion diofantica:

242369x+ 23941y = 2269015

Comprobar si tiene soluciones positivas.

Ejercicio 3 Hallar un numero entero positivo de cinco cifras, menor que 11000 y tal que verifique a la vezlas siguientes condiciones:

es congruente con 126 en modulo 90.

su triple da de resto 54 al dividirlo por 108

su doble menos 2 es multiplo de 50

Ejercicio 4 Para codificar un mensaje se utiliza el sistema RSA con r = 2 y la clave publica (n, e) donden = 9797 = 97⇥ 101 y e = 13.

a) Averigua la clave privada.

b) Cifra el siguiente mensaje: NO

Utilizar el siguiente alfabeto:

{t = 0, A = 1, B = 2, C = 3, D = 4, N = 5, O = 6, P = 7, Q = 8, R = 9}

Ejercicio 5Demostrar, usando metodos de demostracion dados en la asignatura, las siguientes cuestiones para todo

entero n � 1 :

a) 12 � 22 + 32 � 42 + · · ·+ (�1)n�1 · n2 = (�1)n�1 · n(n+ 1)

2

b) n5 � n es divisible por 5

c) ¿Es cierto que si n2 � n es par entonces n es par?

Nota:

En caso de necesitar calcular el maximo comun divisor y/o la identidad de Bezout habra que hacerlo mediante el Algoritmo

Extendido de Euclides.

subgrupo 13

Ejercicio 1

a) Hallar una formula explıcita para el termino general de la siguiente sucesion

u0 = 1, u1 = 1, u2 = 9un = 3un�1 � 4un�3, 8n � 3.

b) Demostrar por induccion que

2 · 2! + 3 · 3! + · · ·+ n · n! = (n+ 1)!� 2, n � 2

Ejercicio 2 Una agencia de viajes esta organizando dos viajes, uno a Lisboa y otro a Nueva York. El coste

total (por persona) del viaje a Lisboa es de 106 euros con 76 centimos y del viaje a Nueva York es de 1954euros con 65 centimos tambien por persona. La agencia pretende recaudar un total de 15795 euros con 77centimos.

a) Plantea una ecuacion diofantica que resuelva el sistema.

b) Resuelvela.

c) Demuestra que la agencia se ha equivocado en los calculos.

Ejercicio 3 Sean xyz = z+ y · 10+x · 102 un numero entero de tres cifras. Demostrar, usando congruenciasy la expresion decimal del numero, que:

a) El numero de seis cifras xyzxyz es divisible por 7.

b) El numero de seis cifras xyzxyz es divisible por 11.

c) El numero de seis cifras xyzxyz es divisible por 13.

d) Deducir de lo anterior que xyzxyz = 1001 · xyz.

Ejercicio 4 Para codificar un mensaje se utiliza el sistema RSA con r = 2 y una clave publica (n, e).

Sabiendo que n = 2729, que 2729 es primo y que la clave privada es (n, d) con d = 17:

a) Averigua la clave publica

b) Descifra el siguiente mensaje: 689

Ejercicio 5

a) Cinco personas suben a un microbus de siete plazas, excluida la del conductor ¿de cuantas formas sepueden sentar?

b) ¿Cuantas sucesiones binarias de ceros y unos y de longitud diez contienen exactamente tres ceros?

Nota:

En caso de necesitar calcular el maximo comun divisor y/o la identidad de Bezout habra que hacerlo mediante el Algoritmo

Extendido de Euclides. En el ejercicio 4, usar el alfabeto {t = 00, A = 01, B = 02, C = 03, . . . , Z = 27}.

SUBGRUPO 14

Ejercicio 1 Hallar una formula explıcita para el termino general de la siguiente sucesion

u0 = 2, u1 = 9, u2 = 76un = 9un�1 � 15un�2 � 25un�3, 8n � 3.

Ejercicio 2 Resolver las siguientes cuestiones:

a) Hallar, usando el algoritmo extendido de Euclides, el maximo comun divisor y la identidad de Bezout de103257 y 83391.

b) Usando congruencias, hallar todos los multiplos de 103257 que den de resto 19866 al dividirlo por 83391.

Ejercicio 3 Resolver las siguientes cuestiones independientes:

a) Probar si 231 es un numero de Carmichael.

b) Explicar en que consisten los test de primalidad de Fermat de base a. Probar que 77 es un numerocompuesto usando dicho test para a = 2. Usar el teorema de Euler y el algoritmo de grandes potencias.

c) Sea A un conjunto formado por 2017 numeros enteros y positivos. Probar que A contiene al menos dosnumeros que dan el mismo resto al dividirlos entre 2016.

d) ¿Cuantas ordenaciones pueden hacerse con las letras de la palabra PINCEL de modo que comiencen yterminen por consonante?

Ejercicio 4 Se considera la sucesion de Fibonacci dada por:

a1 = a2 = 1, an = an�1 + an�2, n � 3

Probar, por induccion, que dicha sucesion verifica:

a21 + a22 + a23 + · · ·+ a2n = anan+1, 8n � 1

Ejercicio 5 Para codificar un mensaje se utiliza el sistema RSA con r = 2, una clave publica (n, e) =

(127⇥ 131, 14891) y el alfabeto tradicional.

a) Averigua la clave privada

b) Descifra el siguiente mensaje: 5050 15242 5050

Nota: Para el calculo de potencias, usar el algoritmo MC (el algoritmo de grandes potencias).

SUBGRUPO 15

Ejercicio 1

a) Hallar una formula explıcita para el termino general de la siguiente sucesion

u0 = 5, u1 = 6, u2 = 16un = 3un�1 � 4un�3 + 6, 8n � 3.

b) En una clase hay 10 ninos y 5 ninas. ¿De cuantas maneras puede escoger el profesor un grupo de 3alumnos? ¿en cuantos grupos habra una sola nina?

Ejercicio 2

a) Demostrar por induccion que, para todo n � 0, la ultima cifra de 74n+3 es 3.

b) Usando el resultado anterior, hallar la ultima cifra de 74n+4 para todo n � 0.

c) A partir de los apartados anteriores, hallar la ultima cifra de 72016.

Ejercicio 3 Encontrar un numero entero entre 10000 y 11000 que verifique, a la vez, que:

su triple da de resto 9 al dividirlo por 15

dicho numero tiene el mismo resto que 2122 en modulo 143

Ejercicio 4 Dada la ecuacion diofantica siguiente:

278000x+ 417973y = 137749

Probar, justificadamente, que:

a) Tiene solucion.

b) Dar todas las soluciones. ¿Tiene soluciones positivas?

Ejercicio 5 Para codificar un mensaje se utiliza el sistema RSA con r = 2, una clave publica (n, e) = (187, 7)

y el alfabeto {t = 0, A = 1, H = 2, F = 3, E = 4, I = 5, J = 6, L = 7, O = 8, S = 9}Nota: Para el calculo de potencias, usar el algoritmo MC (el algoritmo de grandes potencias).

a) Averigua la clave privada

b) Cifra el siguiente mensaje: O SI

Nota:

En caso de necesitar calcular el maximo comun divisor y/o la identidad de Bezout habra que hacerlo mediante el Algoritmo

Extendido de Euclides.

SUBGRUPO 16

Ejercicio 1 Probar, por induccion, que para n � 1 se verifica

1 + 23 + 33 + 43 + · · ·+ n3 =1

4· n2 · (n+ 1)2

Ejercicio 2Responde a las siguientes cuestiones independientes:

1. Prueba que si p � 5 es primo, entonces p+ 10 o p+ 14 es multiplo de 3.

2. ¿Existe algun multiplo de 146113 que sumado con otro multiplo de 58517 de como resultado 23816419?En caso afirmativo, hallalos todos. ¿Pueden ser dichos multiplos positivos a la vez? Justifica la res-puesta.

Ejercicio 3 Responde a las siguientes cuestiones independientes:

1. Probar que no existe ningun entero que al dividirlo por 4 de resto 3, al dividirlo por 6 de resto 1 y aldividirlo por 9 de resto 6.

2. Probar que existen enteros distintos de 2 que al dividirlos por 11, por 4 y por 9 dan siempre resto 2.

3. Sea n = 1309. Se pide:

Factoriza n y usa el resultado para hallar el valor de la funcion de Euler �(n).

Usa �(n) para reducir el exponente de la potencia

m = 214405

y calcular el valor de m modulo n, explicando que resultado de clase has utilizado y por que esutilizable.

Ejercicio 4 En este ejercicio se consideraran numeros que pueden formarse usando unas fichas numeradasprocedentes de un juego:

5 2 4 6 3 1 6

a) ¿Cuantos numeros entre 3000000 y 5000000 se pueden formar usando exactamente las 7 fichas?

b) ¿Cuantos numeros distintos, de 4 cifras, puedo formar con las fichas si no puedo repetir la ficha 6 ?

c) ¿Cuantos numeros distintos, de 4 cifras puedo formar con las 7 fichas si se pueden usar las dos fichas6 ?

Ejercicio 5Se considera la sucesion definida por

a0 = 1, a1 = 1, an = 5an�1 � 6an�2 para n � 2

Se pide:

1. Encuentra una formula explıcita para an.

2. Usando la formula encontrada, razona por que an no es nunca par ni multiplo de 3.

Nota:

En caso de necesitar calcular el maximo comun divisor y/o la identidad de Bezout habra que hacerlo mediante el Algoritmo

Extendido de Euclides.