Studio del graﬁco di una funzione reale - people.unica.it - Università di … · 2016. 1....

Studio del grafico di una funzione

reale

Questo testo e una guida per lo studio del grafico di una funzione. None un testo completo ma solo una bozza che servira per arrivare il piupresto possibile a poter tracciare in modo qualitativo il grafico di unafunzione. Questi appunti sono stati scritti in un tempo molto breve, quindiconteranno sicuramente errori che cerchero di correggere in futuro.

0.1 Le fasi dello studio del grafico di una

funzione

Data una funzione f : E ⊂ R → R, dove con E abbiamo indicato l’insiemedi esistenza, i passi per rappresentare il suo grafico sono i seguenti.

A Studiare il comportamento agli estremi dell’insieme di esistenza, iquali si dividono in due tipi:

A1 estremi finiti, cioe punti per i quali la funzione non esiste maesiste per valori vicini a piacere;

A2 estremi infiniti.

B Studiare i massimi e minimi locali e gli eventuali flessi a tangenteorizzontale.

C Tracciare il grafico congiungendo tutte le informazioni ottenute neipassi precedenti.

Matematica e Statistica - A.A. 2015/16

2

0.2 Comportamento agli estremi caso A1

Illustriamo questa parte con degli esempi per poi generalizzare.

Esempio 0.1. Sia data la funzione

y =1

x

tale funzione esiste per tutti i valori reali diversi da zero, cioe E =(−∞, 0)∪(0,+∞). Gli estremi dell’insieme di esistenza sono: 0,−∞,+∞.Come detto in precedenza si dividono in estremi finiti ed estremi infiniti.Occupiamoci per ora solo di quelli finiti. Prima di far questo rappresentia-mo l’insieme E × R, cioe l’insieme dove l’eventuale grafico della funzioneesiste. Si ha:

x

y

E × R

Si noti che la retta x = 0 e stata evidenziata con il tratteggio per ricordareche il grafico della funzione non puo attraversare tale retta. Andiamoquindi a capire cosa succede al grafico della funzione per valori della xvicini al valore x = 0. Dalla rappresentazione grafica di E × R si osservache possiamo avvicinarsi al volere x = 0 sia per valori piu grandi, e sidira da destra, che per valori piu piccoli, e diremo da sinistra. I punti delgrafico hanno coordinate (x, f(x)), quindi per conoscere il comportamentodel grafico in prossimita del valore x = 0 dobbiamo capire a quale valoretende la funzione f(x) quando x tende al valore 0. Tale operazione siindica con

limx→0+

f(x) = limx→0+

1

x, qui x tende a 0 da destra


0.2 Comportamento agli estremi caso A1 3

limx→0−

f(x) = limx→0−

1

x, qui x tende a 0 da sinistra

Per calcolare questi limiti operiamo nel modo seguente. Nell’operazionedi limite dividere un numero per una quantita che tende a zero produceuna quantita infinita (basti pensare che 1/0.001 = 1000). Il problema quiconsiste nel decidere se tende a +∞ o −∞. Per sciogliere tale dubbioosserviamo che nel primo caso, cioe quando x tende a 0 da destra, il de-nominatore della frazione 1/x tende a zero per valori positivi. Scriveremoquindi

limx→0+

1

x=

1

0+= +∞

dove il segno + e stato attribuito con l’usuale regola del prodotto dei segni.Nel secondo caso, invece, quando x tende a 0 da sinistra, il denominatoredella frazione 1/x tende a zero per valori negativi. Si ha quindi

limx→0−

1

x=

1

0−= −∞.

Dal punto di vista grafico i limiti visti sopra indicano che piu x e vicinoa 0 da destra piu la quota del corrispondente punto sul grafico assumevalori infinitamente grandi (cioe verso +∞), mentre piu x e vicino a 0 dasinistra piu la quota del corrispondente punto sul grafico assume valoriinfinitamente piccoli (cioe verso −∞). In questo caso si dice che il graficodella funzione presenta un asintoto verticale di equazione x = 0. Percomodita si tracciano le parti del grafico che tendono asintoticamente atale retta in corfomita con i limiti appena calcolati. Il grafico diviene


4

x

y

Asintoto verticale x = 0


y =x2 − 2

1 + x

Anche in questo caso l’insieme di esistenza si ottiene imponendo che ildenominatore sia diverso da 0. Si ha E = (−∞,−1)∪(−1,+∞). L’insiemeE × R diventa

x

y

E × R

−1



dove come nell’esempio precedente abbiamo indicato con un tratteggio laretta x = −1 dove la funzione non esiste. Calcoliamo adesso i limiti dellafunzione per x che tende a −1 da destra e da sinistra. Si ha

limx→−1+

x2 − 2

1 + x=

−1

0+= −∞

infatti se x tende a −1 da destra vuol dire che tende a −1 per valoripiu grandi di −1 (ad esempio −0.9), ne consegue che la quantita 1 + xtende a zero per valori positivi. Infine, la solita regola dei segni portaalla conclusione −∞. Calcoliamo adesso il limite della funzione per x chetende a −1 da sinistra. Si ha

limx→−1−

x2 − 2

1 + x=

−1

0−= ∞

infatti se x tende a −1 da sinistra vuol dire che x tende a −1 per valori piupiccoli di −1 (ad esempio −1.1), ne consegue che la quantita 1 + x tendea zero per valori negativi. Anche in questo caso si dice che il grafico dellafunzione presenta un asintoto verticale di equazione x = −1 e si traccianole parti del grafico che tendono asintoticamente a tale retta in corfomitacon i limiti appena calcolati. Il grafico diviene

x

y

−1

Asintoto verticale x = −1


6


y = e1

x

L’insieme di esistenza si ottiene imponendo che il denominatore dell’espo-nente sia diverso da 0. Si ha E = (−∞, 0) ∪ (0,+∞). Andiamo quindia capire cosa succede al grafico della funzione per valori della x vicini alvalore x = 0. Si ha

limx→0+

e1

x = e1

0+ = e+∞ = +∞

mentre

limx→0−

e1

x = e1

0− = e−∞ =1

e+∞=

1

+∞ = 0

In questo caso la funzione tende ad una quantita infinita solo quando xtende a zero da destra mentre tende ad un numero finito, cioe 0, quandox tende a zero da sinistra. Anche in questo caso si dice che la retta x = 0e un asintoto per il grafico della funzione ma si specifica che e solo per laparte destra. Il grafico vicino alla retta x = 0 diviene

x

y

?

x = 0 e un asintoto verticale destro

Si noti che non si puo ancore decidere se il grafico tende a zero da sinistraper valori positivi (cioe sopra l’asse delle x) o negativi (cioe sotto l’assedelle x). Per ora si lasciano le due possibilita e vedremo piu avanti che lascelta sara obbligata.




y =x2 − 1

x− 1

Anche in questo caso l’insieme di esistenza si ottiene imponendo che ildenominatore sia diverso da 0. Si trova E = (−∞, 1) ∪ (1,+∞). Inquesto caso si ha

limx→1+

x2 − 1

x− 1=

0

0?

Il quale rappresenta una forma di indecisione che non abbiamo ancoraaffrontato. Ad ogni modo, per ora risolviamo il limite sfruttando che ilnumeratore e la differenza di due quadrati. Si ha

limx→1+

x2 − 1

x− 1= lim

x→1+

(x− 1)(x+ 1)

x− 1= lim

x→1+x+ 1 = 2

Allo stesso modo

limx→1−

x2 − 1

x− 1= lim

x→1−

(x− 1)(x+ 1)

x− 1= lim

x→1−x+ 1 = 2

In questo caso la funzione tende ad una quantita finita sia da sinistra cheda destra. Il grafico non presenta quindi asintoti verticali. Il grafico vicinoalla retta x = 1 diviene

x

y

2

1


8


y =|x|x

L’insieme di esistenza si ottiene imponendo che il denominatore sia diversoda 0. Si ha E = (−∞, 0) ∪ (0,+∞). Calcoliamo il comportamento dellafunzione per valori della x vicini al valore x = 0. Si trova

limx→0+

|x|x

= limx→0+

x

x= 1

mentre

limx→0−

|x|x

= limx→0−

−x

x= −1

In questo caso la funzione tende ad una quantita finita sia da sinistra cheda destra ma, diversamente dell’esempio precedente, i due limiti destro esinistro sono diversi. Il grafico non presenta asintoti verticali e, vicino allaretta x = 0, si manifesta come in figura

x

y

1

−1


y = ln x

In questo caso l’insieme di esistenza si ottiene imponendo che l’argomen-to del logaritmo sia maggiore di zero. Si ha E = (0,+∞), da cui larappresentazione di E × R e



x

y

E × R

Andiamo quindi a capire cosa succede al grafico della funzione per valoridella x vicini al valore x = 0. In questo caso possiamo avvicinarci al valore0 solo da destra, cioe per valori maggiori di zero. Dall’analisi del graficoelementare del logaritmo fatta per punti si deduce che

limx→0+

lnx = ln 0+ = −∞

In questo caso la retta x = 0 e un asintoto verticale destro per il grafico,quindi il comportamento vicino a zero e

x

y


10

Riassumiamo quanto visto negli esempi precedenti. Sia x0 un estremofinito per E. Indicando con

ℓ+ = limx→x+

0

f(x), ℓ− = limx→x−

0

f(x)

il limite destro e sinistro (quando questo e possibile) della funzione f(x)per x che tende a x0, si hanno le seguenti possibilita:

(i) almeno uno tra ℓ+ e ℓ− e infinito, in questo caso si dice che la rettadi equazione x = x0 e un asintoto verticale (si vedano gli esempi0.1, 0.2, 0.3, 0.6);

(ii) ℓ+ ed ℓ− sono entrambi finiti e ℓ+ = ℓ− (si veda l’esempio 0.4);

(iii) ℓ+ ed ℓ− sono entrambi finiti e ℓ+ 6= ℓ− (si veda l’esempio 0.5).

Un definizione rigorosa di limite e la seguente

Definizione 0.7. Sia f : E ⊂ R → R una funzione e sia x0 un numeroreale appartenente ad E unito con i suoi estremi.

(a) Si dice chelimx→x+

0

f(x) = ℓ+ 6= ±∞

se per ogni ǫ > 0 esiste un numero δ > 0 tale che per ogni x ∈ Econ

0 < x− x0 < δ

si ha|f(x)− ℓ+| < ǫ.

(b) Si dice chelim

x→x−

0

f(x) = ℓ− 6= ±∞

se per ogni ǫ > 0 esiste un numero δ > 0 tale che per ogni x ∈ Econ

0 < x0 − x < δ

si ha|f(x)− ℓ−| < ǫ.



(c) Si dice che

limx→x+

0

f(x) = +∞

se per ogni M > 0 esiste un numero δ > 0 tale che per ogni x ∈ Econ

0 < x− x0 < δ

si ha

f(x) > M.

(d) Si dice che

limx→x+

0

f(x) = −∞

se per ogni M > 0 esiste un numero δ > 0 tale che per ogni x ∈ Econ

0 < x0 − x < δ

si ha

f(x) < −M.

Se un punto x0 appartiene all’insieme si esistenza si puo calcolare il valoredella funzione in quel punto ma si puo comunque calcolare il limite dellafunzione per x che tende a x0. Tuttavia puo accadere che il valore dellafunzione in x0 non sia uguale al valore del limite della funzione per x chetende a destra o a sinistra di x0. Facciamo un esempio, si consideri lafunzione cosi definita:

f(x) =

x2 se x > 01 se x = 0x2 se x < 0

La funzione f e definita per tutti i valori reali ed il suo grafico e il seguente:


12

x

y

b

Risulta che f(0) = 1 mentre

limx→0±

f(x) = 0 6= f(0).

In questo caso si dice che la funzione non e continua in x = 0. Taletermine vuol ricordare che non e possibile tracciare il grafico della funzionecon un tratto continuo, cioe senza dover mai staccare la penna dal foglio.L’analisi dell’esempio precedente conduce alla seguente

Definizione 0.8. Una funzione f : E ⊂ R → R si dice continua in unpunto x0 ∈ E se

limx→x+

0

f(x) = limx→x−

0

f(x) = f(x0).

Nel seguito quando limx→x+

0f(x) = limx→x−

0f(x) parleremo solamente di

limx→x0f(x) intendendo che il valore da destra e lo stesso del valore da

sinistra.


0.3 Successioni 13

Prima di esaminare il comportamento di una funzione agli estremi infinitie conveniente esaminare il caso delle successioni.

0.3 Successioni

Si dice successione una qualsiasi funzione a : N → R. Spesso per indicareuna successione si usa la sequenza delle immagini:

a0 = a(0), a1 = a(1), . . . an = a(n), . . .

Talvolta si considera l’insieme N privato dello zero e quindi si consideracome primo termine di una successione quello con indice 1 ossia:

a1 = a(1), a2 = a(2), . . . an = a(n), . . .

Per questo motivo e opportuno fare attenzione al significato di espres-sioni come primo termine della successione oppure primi 5 termini dellasuccessione che potrebbero risultare ambigui. A priori qualsiasi sequenzadi numeri costituisce una successione; potremmo, ad esempio, costruirneuna lanciando un dado e considerando come an il numero uscito all’n-esimo lancio. In generale pero tratteremo successioni i cui termini sonoottenibili mediante una qualche formula matematica.

Esempio 0.9. La successione an = n2 e la successione dei quadrati deinumeri naturali:

a0 = 0, a1 = 1, a2 = 4, a3 = 9, a4 = 16, . . .

La successione bn = 3√n e la successione delle radici cubiche dei numeri

naturali:

b0 = 0, b1 = 1, b2 =3√2, b3 =

3√3, b4 =

3√4, . . .

La successione cn = (−1)n e una successione i cui termini si ripetonoinfinite volte

c0 = 1, c1 = −1, c2 = 1, c3 = −1, c4 = 1, . . .


14

1 2 3 4

b

b

b

b

n

an

1 2 3 4 5 6 7

b

b

b

b

b

b

b

n

bn

Figura 1: Alcuni punti del grafico delle successione an = n2 (a sinistra)e bn = (−1)n (a destra).

0.4 Grafico di una successione

Come visto nel paragrafo precedente una successione an e una funzionean : N → R. Possiamo quindi rappresentare una successione tramite il suografico:

G(an) = {(n, an) : n ∈ N}.

In questo caso il grafico non costituisce una linea continua, infatti le ascissedei punti del grafico possono assumere solo valori naturali e quindi sonoben distanziati.Consideriamo alcuni esempi. In Figura 1 sono mostrati i primi punti delgrafico delle successioni

an = n2 e bn = (−1)n.

La successione cn = nn−1

, definita per n ≥ 2, ha valori iniziali

c2 = 2, c3 = 3/2 = 1.5, c4 = 4/3 = 1.3, c5 = 5/4 = 1.25, c6 = 6/5 = 1.2, . . .

mentre la successione dn = (−2)n inizia con

d0 = 1, d1 = −2, d2 = 4, d3 = −8, . . .

I grafici di cn e dn sono mostrati in Figura 2.


0.5 Limiti di una successione 15

1 2 3 4 5 6 7

b

b b b b

n

cn

1 2 3 4 5 6 7

b

b

b

b

n

dn

Figura 2: Alcuni punti del grafico delle successione cn = nn−1

(a sinistra)e dn = (−2)n (a destra).

0.5 Limiti di una successione

Il grafico di una successione e utile per riconoscere alcune proprieta ma-tematiche. Iniziamo con la seguente

Definizione 0.10. Un successione an si dira:

• limitata inferiormente se esiste un numero m tale che an ≥ m∀n ∈ N;

• limitata superiormente se esiste un numero M tale che an ≤ M∀n ∈ N;

• limitata se e limitata inferiormente e superiormente.

Per le successioni viste nel paragrafo precedente valgono le seguenti pro-prieta:

an limitata inferiormente limitata superiormentean = n2 si da 0 nobn = (−1)n si da −1 si da 1cn = n

n−1si da 1 si da 2

dn = (−2)n no no


16

La tabella sopra e stata costruita guardando il comportamento del gra-fico delle successioni. Alcune deduzioni sono ovvie, per esempio, e ovvioche la successione an = n2 non e limitata superiormente. Altre, invece,richiedono piu attenzione e devono essere dimostrate in modo rigoroso.Mostriamo, per esempio, che la successione cn = n

n−1e limitata inferior-

mente da 1, cioe che per ogni n il numero cn = nn−1

e maggiore di 1. Siha

cn =n

n− 1>

n

n= 1.

Qui abbiamo utilizzato la proprieta che aumentando il denominatore diuna frazione questa diminuisce.In alcuni casi le successioni, man mano che n cresce, tendono ad un valorepreciso. La successione cn = n

n−1, per n molto grande, fornisce un valore

sempre piu vicino ad 1, per esempio per n = 100 si ha c100 = 1.01.Quando una successione an tende ad un numero ℓ, per valori di n infini-tamente grandi, si dice che la successione converge ad ℓ e si scrive

limn→∞

an = ℓ.

A volte indicheremo an → ℓ per indicare che la successione converge adℓ. Prima di dare la definizione formale di successione convergente intro-duciamo la seguente notazione. Diciamo che una successione an possiededefinitivamente una certa proprieta se esiste un numero N tale che laproprieta risulta verificata per ogni n > N . Per esempio, la successionean = n− 6 e definitivamente positiva, infatti per n > 6, an > 0.

Definizione 0.11. Una successione an si dice convergente se esiste unnumero ℓ tale che: qualunque sia ǫ > 0 risulta definitivamente

|an − ℓ| < ǫ. (1)

Il numero ℓ si chiama limite della successione an.Si noti che la disuguaglianza (1) corrisponde alle seguenti due

ℓ− ǫ < an < ℓ+ ǫ. (2)

Se tracciamo una striscia orizzontale delimitata dalle rette y = ℓ − ǫ ey = ℓ+ǫ la (2) significa che i punti della successione an, da un certo puntoin poi, non escono dalla striscia.



✲n

✻an

ℓ− ǫ

ℓ+ ǫℓ

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Figura 3: Significato geometrico della definizione di limite.

Nell’esempio in Figura 3 i punti della successione non escono dalla strisciaper n ≥ N = 5. Se diminuiamo il valore di ǫ il numero N cresce, comemostra la Figura 4 nella quale i punti sono tutti all’interno della strisciaper n ≥ 8.

Esempio 0.12. Mostriamo, utilizzando la definizione, che la successionean = 1

nconverge a zero. Fissato ǫ > 0 dobbiamo trovare N tale che per

ogni n > N si ha

0− ǫ <1

n< 0 + ǫ.

La prima disuguaglianza, −ǫ < 1n, e sempre soddisfata, mentre la seconda

1

n< ǫ

e soddisfata per n > 1ǫ, quindi si scegliera N > 1

ǫ. Se, per esempio,

ǫ = 0.01 si ha N = 1ǫ= 100.

0.5.1 Successioni divergenti e successioni irregolari

Le successioni che non convergono, cioe tali che non esiste un numero finitoa cui la successione tende per n infinitamente grande, sono di due tipi.

Definizione 0.13. Una successione an si dice che diverge a +∞ (−∞) seper ogni M > 0 si ha che definitivamente an > M (an < −M).


18

✲n

✻an

ℓ

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Figura 4: Significato geometrico della definizione di limite.

Diremo nei due casi, rispettivamente, che +∞ e −∞ sono il limite dellasuccessione.

Esempio 0.14. La successione n2 diverge a +∞. Infatti per ogni M > 0,scelto N >

√M , si ha che n2 > M per ogni n > N .

Esistono successioni che non sono convergenti ne divergenti. Queste suc-cessioni si chiamano irregolari.

Esempio 0.15. La successione (−1)n essendo limitata non potra divergerema non e convergente, infatti al crescere di n saltella tra i valori 1 e −1.Allo stesso modo la successione (−2)n non e convergente in quanto non elimitata ma non diverge a +∞ o −∞ poiche per ogni dato M > 0 assumevalori sia maggiori di M che minori di −M .

Per le successioni viste nel paragrafo precedente si ha:

an convergenzaan = n2 diverge a +∞bn = (−1)n irregolarecn = n

n−1converge a 1

dn = (−2)n irregolare



0.5.2 Calcolo dei limiti

Prima di illustrare le regole di calcolo dei limiti di una successione consi-deriamo due casi notevoli.

Esempio 0.16 (La successione potenza). Calcoliamo il limite della suc-cessione an = nα con α ∈ R costante. Suddividiamo lo studio a secondadel valore di α.

(α > 0) In questo caso la successione diverge a +∞. Infatti per ogni

M > 0, scegliendo N > M1

α , si ha nα > M per ogni n > N .

(α < 0) Ponendo α = −β, β > 0, si ha

nα = n−β =1

nβ.

Dal punto precedente sappiamo che nβ assume valori infinitamen-te grandi e trovandosi al denominatore fa si che 1

nβ assuma valorisempre piu piccoli. Segue che la successione converge a 0.

(α = 0) La successione diventa an = n0 = 1. Valendo per ogni n lasuccessione converge ad 1.

Riassumendo:

limn→∞

nα =

+∞ se α > 00 se α < 01 se α = 0

Esempio 0.17 (La successione geometrica). Calcoliamo il limite dellasuccessione an = qn con q ∈ R costante. Suddividiamo lo studio a secondadel valore di q.

(q > 1) In questo caso la successione diverge a +∞. Infatti per ogniM > 0, scegliendo N > logq M , si ha qn > M per ogni n > N .

(q = 1) La successione diventa an = 1n = 1, quindi converge ad 1.

(|q| < 1) La successione converge a 0. Supponiamo per primo che 0 <q < 1 e poniamo q = 1

pcon p > 1. La successione diventa

qn =

(

1

p

)n

=1

pn.


20

Per il primo caso si ha che pn assume valori infinitamente grandi etrovandosi al denominatore fa si che 1

pnassuma valori sempre piu

piccoli. Allo stesso modo si argomenta nel caso −1 < q < 0.

(q ≤ −1) In questo caso la successione e irregolare come gia mostratonegli esempi del paragrafo precedente.

Riassumendo:

limn→∞

qn =

+∞ se q > 11 se q = 10 se |q| < 1∄ se q ≤ −1

Esaminiamo ora le proprieta dell’operazione di limite rispetto alle opera-zioni algebriche.Se an → a e bn → b allora

an + bn → a + b

an − bn → a− b

anbn → ab

anbn

→ a

b(bn, b 6= 0)

(an)bn → ab (an, a > 0)

Inoltre l’operazione di limite mantiene l’ordinamento cioe: se an → a,bn → b e an ≥ bn allora a ≥ b.Consideriamo il caso in cui i limiti sono +∞ o −∞. Supponiamo peresempio che an → a e bn → +∞. Allora e facile vedere che an+bn → +∞.Abbrevieremo questa scrittura cosı: a+∞ = +∞. Ragionando in manieraanaloga si ottengono le regole per il limite della somma (o differenza) didue successioni delle quali una o entrambe sono divergenti.

a+∞ = +∞a−∞ = −∞

+∞+∞ = +∞−∞−∞ = −∞



Analogamente per il prodotto (o il rapporto) abbiamo le regole seguenti(il segno di ∞ va determinato con la usuale regola dei segni)

a · ∞ = ∞ (a 6= 0)

a

∞ = 0

a

0= ∞ (a 6= 0)

A questo elenco mancano le regole relative a quattro operazioni:

+∞−∞, 0 · ∞,0

0,

∞∞ .

Queste espressioni si chiamano forme indeterminate o di indecisione,poiche nessuna regola puo essere stabilita a priori per determinare il ri-sultato. Nel prossimo paragrafo mostreremo come risolvere alcune delleforme di indecisione piu frequenti.

0.5.3 Confronti

Una successione che converge a 0 si dice infinitesimo; una successioneche diverge (a +∞, o a −∞) si dice infinito. Quando due successionisono entrambe infinitesimi o infiniti, e utile stabilire un confronto tra diesse, per capire quale delle due tenda piu rapidamente a 0 o all’infinito.

Consideriamo i seguenti esempi di infiniti:

an = log2 n, bn = n, cn = 2n.

Guardano il grafico delle tre successioni ci si accorge immediatamente chean cresce meno velocemente di bn che a sua volta cresce meno velocementedi cn.

Per capire cosa vuol dire ”cresce meno velocemente” calcoliamo il limite

limn→∞

n

log2 n=

∞∞


22

Se il numeratore cresce piu velocemente del denominatore vuol dire che,man mano che cresce n, il rapporto n

log2 ndiventa sempre piu grande

tendendo all’infinito. Viceversa, se calcoliamo il limite

limn→∞

n

2n=

∞∞

qui il denominatore cresce molto piu velocemente del numeratore e fa siche il rapporto n

2ndiventi sempre piu piccolo convergendo a zero.

Consideriamo adesso il

limn→∞

n + 1

n=

∞∞ .

In questo caso una semplice operazione algebrica fa si che

limn→∞

n+ 1

n= lim

n→∞

n

n+

1

n= 1 +

1

∞ = 1 + 0 = 1

Riassumendo, per il rapporto tra due infiniti an e bn si presentano quattropossibilita

limn→∞

anbn

=

0 (a)ℓ 6= 0, finito (b)±∞ (c)∄ (d)

Diciamo che in

(a) an e un infinito di ordine inferiore a bn;

(b) an e bn sono infiniti dello stesso ordine;

(c) an e un infinito di ordine superiore a bn;

(d) an e bn non sono confrontabili.

Il caso (d) occorre, per esempio, se an = n(2 + sinn) e bn = n; essendo(2 + sinn) una quantita limitata (compresa tra 1 e 3) la successione andiverge a +∞, mentre il rapporto

anbn

=n(2 + sinn)

n= (2 + sinn)

oscilla tra 1 e 3 comportandosi in modo irregolare.



In modo analogo se due successioni an e bn convergono a 0 e bn 6= 0, per illimite del rapporto an

bnsi presenta una delle quattro situazioni viste sopra

e diremmo che in:

(a) an e un infitesimo di ordine superiore a bn;

(b) an e bn sono infinitesimi dello stesso ordine;

(c) an e un infinitesimo di ordine inferiore a bn;

(d) an e bn non sono confrontabili.

Esempio 0.18. Nel caso dei polinomi esiste una semplice regola percalcolare l’ordine di infinito. Siano

P (n) = prnr + pr−1n

r−1 + · · ·+ p1n+ p0

eQ(n) = qsn

s + qs−1ns−1 + · · ·+ q1n+ q0

due polinomi di grado r ed s rispettivamente. Si ha

limn→∞

P (n)

Q(n)=

±∞ se r > s0 se r < sprqs

se r = s

dove il segno di ±∞ e quello del rapporto prqs. Quindi l’ordine di infinito

dei polinomi corrisponde al grado dei polinomi.

Per gli altri infiniti esiste la seguente scala delle velocita:

logaritmi ≪ polinomi ≪ esponenziali

Esempio 0.19. 1.

limn→∞

2n

n10=

+∞+∞ = +∞

Infatti, l’esponenziale e un infinito di ordine superiore al polinomio.

2.

limn→∞

ln(n10 + 2)

n2 + n− 1=

+∞+∞ = 0

Poiche, il logaritmo e un infinito di ordine inferiore al polinomio.


24

3.

limn→∞

ln(n10 + 2)

0.1n=

+∞0

= +∞In questo caso non si tratta di una forma di indecisione, infatti seil denominatore converge a 0 e il nominatore tende a +∞, entrambicontribuiscono a far divergere il rapporto.

0.5.4 La differenza di due infiniti

Nel paragrafo precedente abbiamo visto come risolvere alcuni casi in cuisi presenta la forma di indecisione ∞

∞ . Vediamo ora come risolvere l’inde-cisione

+∞−∞.

Nel caso dei polinomi la situazione e semplice: il monomio di grado mag-giore controlla il comportamento del polinomio. Per esempio il polinomion3 − 5n2 + 2 diverge a +∞ in quanto il monomio di grado maggiore, n3,diverge a +∞. Il polinomio n3 − n2 + 4n − 6n4 diverge invece a −∞,essendo il monomio di grado massimo −6n4.Quando si considera la differenza

an − bn

tra due infiniti diversi dai polinomi si puo procedere mettendo in evidenzaquello di ordine maggiore. Per esempio, calcoliamo

limn→∞

2n − n3 = +∞−∞.

Mettendo in evidenza 2n si ha

limn→∞

2n − n3 = limn→∞

2n(1− n3

2n) = +∞(1− 0) = +∞.

Se non e chiaro quale dei due infiniti abbia ordine maggiore, si puo metterein evidenza uno dei due a caso. Ad esempio, per calcolare

limn→∞

log2 n− log4 n

mettiamo in evidenza log4 n. Si ottiene

limn→∞

log2 n− log4 n = limn→∞

log4 n(log2 n

log4 n− 1) = lim

n→∞log4 n(

2 log4 n

log4 n− 1)

= +∞(2− 1) = +∞


0.6 Esercizi sui limiti delle successioni 25

dove abbiamo utilizzato

log2 n =log4 n

log4 2= 2 log4 n.

Osservazione 0.20. Si noti che la successione log2 n non e un infinito diordine superiore a log4 n come si potrebbe pensare dal risultato del limitedella loro differenza. Infatti si ha

limn→∞

log2 n

log4 n= lim

n→∞

2 log4 n

log4 n= 2

il che implica che log2 n e log4 n sono infiniti dello stesso ordine.

0.6 Esercizi sui limiti delle successioni

1. Rappresentare il grafico, per n = 1, 2, 3, 4, 5, delle seguenti succes-sioni:

an =2n

n+ 3; an =

(1/4)n

4n; an =

log2(n)

n;

2. Calcolare il limite, per n che tende all’infinito, delle seguenti succes-sioni:

an =n2 − n3

n; an =

n2 − n3

n− n3; an =

n1/2

n;

an =3n

n; an =

(1/4)n

(4/7)n; an =

ln(n)

n;

an =2003

n; an =

(1203)n

(0.0003)n;

an =3n

2−n; an =

(0.0003)n

(0.003)2n;

an =log(n2 − n)

n; an =

log(n10)

log(n) + log(n9);

an = log3(n2)− n; an = log3(n

2)− log2(n3);


26

an =en − log n

3en + n5; an =

5n+ n2 − log n√n4 + 1

;

an =6en + n

3en +√n2 + 1

; an =3√2 + n6

√n4 + 1

;

an = sin(1

n); an = cos(

n2

1− n4);

an = n4 − (ln(n))4; an = (0.9)n + (0.3)n − (1.2)n;



Torniamo adesso allo studio di una funzione reale.

0.7 Comportamento agli estremi caso A2

Anche in questo caso vediamo prima degli esempi.


y =1

x

Tale funzione esiste per tutti i valori reali diversi da zero, cioe E =(−∞, 0)∪(0,+∞). Gli estremi dell’insieme di esistenza sono: 0,−∞,+∞.Nella sezione precedente abbiamo studiato il comportamento della funzio-ne vicino a zero. Andiamo adesso ad occuparci del comportamento dellafunzione quando x tende a ±∞. Per tale operazione dobbiamo ancora unavolta svolgere un limite, e cioe dobbiamo calcolare

limx→+∞

1

xe lim

x→−∞

1

x

Per calcolare questi limiti si procede nel modo seguente: nel primo caso,cioe quando x tende a +∞, si pone x = n e si calcola

limx→+∞

1

x= lim

n→∞

1

n

questo e il limite di una successione cha sappiamo valere

limx→+∞

1

x= lim

n→∞

1

n=

1

∞ = 0

Per calcolare il limite per x che tende a −∞ si pone x = −n. In tal modoquando n tende a +∞ la x tende a −∞ e si ha

limx→−∞

1

x= lim

n→∞

1

−n=

1

−∞ = 0

Ma qual’e il significato geometrico di questi limiti. Di fatto limx→+∞1x= 0

ci dice che man mano che valutiamo la funzione per valori della x semprepiu grandi la funzione e quindi la quota del grafico tende a valori prossimiallo zero. Si dice allora che il grafico presenta un asintoto orizzontale diequazione y = 0. Lo stesso vale quando si tende a −∞. La visualizzazionegrafica diventa:


28

x

y

Asintoto orizzontale y = 0

??

Non si puo decidere a priori se il grafico tende all’asintoto da sopra o dasotto. In ogni caso vedremo piu avanti che tale ambiguita si risolvera inmodo naturale.


y = x2

tale funzione esiste per tutti i valori reali cioe E = (−∞,+∞). Gli estremidell’insieme di esistenza sono: −∞,+∞. Calcoliamo quindi il limite perx che tende a +∞ e −∞. Si ha

limx→+∞

x2 = limn→∞

n2 = +∞

e

limx→−∞

x2 = limn→∞

(−n)2 = +∞

In questo caso la funzione non presenta asintoti orizzontali in quanto ilsuo grafico non tende ad una quota finita ma cresce sempre. Il grafico einfatti:



x

y

Cerchiamo di capire meglio cosa succede quando una funzione ha un limiteinfinito per x che tende a +∞ o −∞. Si presentano tre situazioni diverseche adesso elenchiamo. Supponiamo che

limx→∞

f(x) = ∞

allora si presentano i seguenti tre casi

(i) la funzione cresce piu velocemente di una retta;

(ii) la funzione cresce come una retta;

(iii) la funzione cresce piu lentamente di una retta.

Dal punto di vista analitico per capire se la nostra funzione si trova in unodei tre casi elencati sopra basta confrontare la velocita con cui la funzionetende all’infinito con la velocita con cui una retta tende all’infinito. Cioesi esegue il limite

limx→∞

f(x)

xSi hanno quindi le seguenti possibilita:

se limx→∞

f(x)

x=

∞ allora siamo nel caso (i)m 6= 0 allora siamo nel caso (ii)0 allora siamo nel caso (iii)

La rappresentazione grafica dei tre casi e illustrata nella figura seguente


30

(iii)

(ii)(i)

Il caso (ii) merita alcune considerazioni. Dalla figura sembra che se

limx→∞

f(x)

x= m 6= 0

allora il grafico della funzione tende asintoticamente ad una retta obliqua,cioe la funzione presenta un asintoto obliquo. Per affermare con certezzache questo sia vero bisogna verificare se sia possibile ricavare l’equazionedell’eventuale asintoto obliquo. Per far questo denotiamo con y = mx +q l’equazione dell’eventuale asintoto obliquio. Allora diremo che esistel’asintoto obliquo se:

limx→∞

f(x)

x= m 6= 0, e se q = lim

x→∞[f(x)−mx] esiste ed e finito

Vediamo alcuni esempi.

Esempio 0.23. Si consideri la funzione

y =x2 + 1

x

Tale funzione esiste per tutti i valori reali diversi da zero, cioe E =(−∞, 0)∪ (0,+∞). Andiamo a verificare il comportamento a −∞ e +∞.Si ha, usando le regole delle velocita per i polinomi,

limx→+∞

x2 + 1

x= lim

n→∞

n2 + 1

n=

+∞+∞ = +∞

mentre

limx→−∞

x2 + 1

x= lim

n→∞

(−n)2 + 1

−n=

+∞−∞ = −∞



Verifichiamo adesso con quale velocita la funzione cresce a +∞, si ha

m = limx→+∞

f(x)

x= lim

x→+∞

x2 + 1

x2= lim

n→∞

n2 + 1

n2= 1

Siamo quindi nel caso (ii). Per decidere se esiste l’asintoto obliquo dob-biamo calcolare

q = limx→+∞

[f(x)−mx] = limx→+∞

x2 + 1

x− x = lim

x→+∞

1

x=

1

∞ = 0

Segue che la retta y = mx + q = x e un asintoto obliquo per la funzionequando x tende a +∞. Con calcoli analoghi si ricava che la retta y = x eun asintoto obliquo anche per x che tende a −∞. Il grafico diventa

x

y

?

?

Anche in questo caso non possiamo decidere a priori se il grafico tendeall’asintoto da sopra o da sotto ma sara risolto nel seguito.


y = x+ ln x

In questo caso l’insieme di esistenza e E = (0,+∞). Andiamo a studiareil comportamento della funzione per x che tende a +∞. Si ha

limx→+∞

x+ ln x = +∞+∞ = +∞


32

Andiamo a verificare se esiste un asintoto obliquo. Calcolando l’eventualem si trova

m = limx→+∞

x+ ln x

x= lim

x→+∞

x

x+

ln x

x= 1 + 0 = 1

Sembrerebbe quindi che possa esistere l’asintoto obliquo. Tuttavia ilcalcolo di q conduce a

q = limx→+∞

x+ ln x− x = limx→+∞

ln x = +∞

quindi non esiste l’asintoto obliquo in quanto il valore di q deve esserefinito. Il grafico e il seguente

x

y

Come si nota dalla figura il grafico, nonostante cresca in modo simile aduna retta, non tende ad una retta.


y =√x

In questo caso l’insieme di esistenza e E = [0,+∞). Studiamo il compor-tamento della funzione per x che tende a +∞. Si ha

limx→+∞

√x =

√+∞ = +∞

Verifichiamo se esiste un asintoto obliquo. Calcolando l’eventuale m sitrova

m = limx→+∞

√x

x= lim

x→+∞

1√x=

1

+∞ = 0



Siamo quindi nel caso in cui il grafico della funzione cresce piu lentamentedi una retta, come mostra la seguente figura

x

y

Esempio 0.26. Come ultimo esempio consideriamo la funzione

y =√x2 − 1

L’insieme di esistenza in questo caso richiede x2−1 ≥ 0. Tale disequazionee verificata per valori esterni alle radici dell’equazione associata x2−1 = 0.Segue che E = (−∞,−1] ∪ [1,+∞).

x

y

E × RE × R


34

Studiamo il comportamento a +∞ e −∞. Si trova

limx→+∞

√x2 − 1 = +∞ e lim

x→−∞

√x2 − 1 = +∞

Verifichiamo l’esistenza di eventuali asintoti obliqui. Iniziamo a controllareper x che tende a +∞.

m = limx→+∞

√x2 − 1

x= lim

x→+∞

√

x2(1− 1/x2)

x= lim

x→+∞

|x|√

(1− 1/x2)

x

Adesso, siccome x tende a +∞ vuol dire che assume valori positivi equindi, dalla definizione di valore assoluto, si trova

m = limx→+∞

|x|√

(1− 1/x2)

x= lim

x→+∞

x√

(1− 1/x2)

x= lim

x→+∞

√

(1− 1/x2) = 1

Calcoliamo l’eventuale termine q dell’equazione dell’asintoto

q = limx→+∞

√x2 − 1− x = +∞−∞

Per risolvere questa forma di indecisione moltiplichiamo e dividiamo per√x2 − 1 + x. Utilizzando la formula della differenza di due quadrati si

ottiene

q = limx→+∞

√x2 − 1− x = lim

x→+∞

(√x2 − 1− x)(

√x2 − 1 + x)√

x2 − 1 + x

= limx→+∞

x2 − 1− x2

√x2 − 1 + x

= limx→+∞

−1√x2 − 1 + x

=−1

+∞ = 0

La retta y = x e quindi un asintoto obliquo per il grafico della funzionequando x tende a +∞. Nel caso in cui x tenda a −∞ si trova

m = limx→−∞

|x|√

(1− 1/x2)

x= lim

x→−∞

−x√

(1− 1/x2)

x

= limx→−∞

−√

(1− 1/x2) = −1

mentre, con calcoli analoghi al caso +∞ si trova che q vale ancora zero.Segue che la retta y = −x e un asintoto obliquo per il grafico della funzioneper x che tende a −∞. Il grafico diventa quello mostrato in figura.


0.8 Derivata di una funzione 35

x

y

0.8 Derivata di una funzione

In questo paragrafo ci proponiamo di risolvere il seguente problema:

Data una funzione f : E ⊂ R → R determinare il coefficienteangolare della retta tangente al grafico della funzione in unpunto di ascissa x0 ∈ E

Si consideri un punto P0 = (x0, f(x0)) sul grafico della funzione y = f(x)di ascissa x0 e la retta tangente r0 al grafico come mostrato nella figuraseguente.


36

x

y

b

b

x0

f(x0)

x0 + h

f(x0 + h)y = f(x)

rh

r0

Fissato un valore h si consideri il punto Ph = (x0+h, f(x0+h)) sul graficodella funzione di ascissa x0 + h. Il coefficiente angolare mh della retta rhpassante per P0 e Ph e dato dall’usuale formula

mh =f(x0 + h)− f(x0)

x0 + h− x0=

f(x0 + h)− f(x0)

h

Se adesso diminuiamo il valore di h un’attenta osservazione del graficosopra mostra che la retta rh tende a sovrapporsi alla retta r0. Di conse-guenza per valori di h che tendono al valore zero il coefficiente angolaremh tende al coefficiente angolare m0 della retta tangente r0. Segue che

m0 = limh→0

mh = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h

Dobbiamo subito notare che il limite sopra potrebbe non esistere o es-sere infinito. Tratteremo queste possibilita in seguito. Per ora diamo laseguente definizione.

Definizione 0.27. Data una funzione f : E ⊂ R → R ed un puntox0 ∈ E si dice che f e derivabile in x0 se

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h

esiste ed e finito. Il valore del limite, cioe il coefficiente angolare dellaretta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa x0, si chiamavalore della derivata della funzione nel punto x0 e si scrive

f ′(x0) = m0 = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h


0.8 Derivata di una funzione 37

Quindi la derivata di una funzione f : E ⊂ R → R e una nuova funzionef ′ : E ′ :→ R il cui valore in un punto x0 ∈ E ′, se x0 ∈ E, fornisceil coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nelpunto di ascissa x0.

Diamo adesso le regole per determinare la derivata di una funzione. Ta-li regole dovrebbero essere dimostrate utilizzando la definizione. Noi leprenderemo per buone.

La tabella delle derivate delle funzioni elementari e la seguente:

Funzione Derivata

xn nxn−1

cf c f ′

f + g f ′ + g′

fg f ′g + fg′

f/gf ′g − fg′

g2

Funzione Derivata

ax ax ln a

ex ex

loga x1

x ln a

ln x1

x

sin x cos x

cosx − sin x

Alla tabella sopra bisogna aggiungere la derivazione della funzione com-posta. Se h = g ◦ f cioe se h(x) = g(f(x)), allora si ha che

h′(x) = g′(f(x)) f ′(x).

Per esempio la regola della derivazione della funzione composta implica le


38

seguenti regole:Funzione Derivata

f(x)n n f(x)n−1 f ′(x)

ef(x) ef(x) f ′(x)

ln(f(x))f ′(x)

f(x)

√

f(x)f ′(x)

2√

f(x)

sin(f(x)) cos(f(x)) f ′(x)

cos(f(x)) − sin(f(x)) f ′(x)

Analizziamo, utilizzando le regole delle derivate, la derivata di alcunefunzioni elementari.Si consideri la funzione f(x) =

√x = x1/2. La sua derivata diventa

f ′(x) =1

2x1/2−1 =

1

2√x

L’insieme di esistenza della funzione f e E = [0,+∞) mentre la derivataf ′ non e definita in 0. Se operiamo il limite per x che tende a zero delladerivata, si ottiene

limx→0+

f ′(x) =1

2√x= +∞.

Essendo la derivata la funzione che per ogni valore della x fornisce ilcoefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel puntodi ascissa x, il limite visto sopra ci dice che il coefficiente angolare della


0.9 Massimi, minimi e flessi 39

retta tangente alla funzione f(x) =√x tende all’infinito man mano che

x tende a zero. Ma il coefficiente angolare di una retta tende all’infinitoquando la retta si sta portando in una posizione verticale. Infatti il graficodella funzione f(x) =

√x e

x

y

dal quale e evidente che la retta tangente, per x = 0, e la retta verticaledi equazione x = 0, cioe l’asse delle ordinate.

0.9 Massimi relativi, minimi relativi e flessi

a tangente orizzontale

Torniamo adesso allo studio del grafico di una funzione. Dopo lo studiodel comportamento agli estremi ci rimane da considerare il comportamentodella funzione nelle parti tra due estremi. La filosofia che ci guidera pertale studio e la seguente.

Consideriamo il seguente grafico di una ipotetica funzione y = f(x).


40

x

y

x1

x2

Per ogni valore di x < x1 la retta tangente al grafico nel punto di scissax1 e crescente e di conseguenza il suo coefficiente angolare e positivo. Maessendo il coefficiente angolare della retta tangente pari al valore delladerivata della funzione in x, si deve avere che per tutti i valori di x < x1

la derivata della funzione e positiva. Arrivati al punto sul grafico di ascissax1 la retta tangente risulta orizzontale e di conseguenza il suo coefficienteangolare (o il valore della derivata in x1) e pari a zero. Per valori dellax compresi tra x1 e x2 la retta tangente ha invece coefficiente angolarenegativo e di conseguenza e negativo il valore della derivata per ogni xcon x1 < x < x2. Arrivati ad x2 la retta tangente e di nuovo orizzontalee quindi la derivata in x2 vale zero. Infine per valori x > x2 la derivatadella funzione torna ad assumere valori positivi.Questa semplice analisi ci permette di concludere che:

• f ′(x) > 0 se e solo se la il grafico della funzione e crescente in x(in questo caso si dice che la funzione e crescente)

• f ′(x) < 0 se e solo se la il grafico della funzione e decrescente in x(in questo caso si dice che la funzione e decrescente)

Inoltre il grafico dell’esempio presenta due punti particolari: uno in cor-rispondenza di x1 e l’altro in corrispondenza di x2. Nel primo caso lala funzione e crescente per valori minori di x1 ed e decrescente per va-lori maggiori di x1, siamo passati per un picco e si dice che la funzionepresenta un massimo locale nel punto P1 = (x1, f(x1)). Nel secondocaso la funzione e decrescente per valori minori di x2 ed e crescente pervalori maggiori di x2, siamo passati per una valle e si dice che la funzionepresenta un minimo locale nel punto P2 = (x2, f(x2)).



I punti di massimo e minimo locale sono gli ingredienti chiave per com-pletare lo studio di funzione. Un osservazione ovvia e che nei punti dimassimo e minimo locale la derivata della funzione assume valore zero (laretta tangente al grafico e orizzontale in quei punti). Ci si puo chiedere sein tutti i punti in cui la derivata prima e orizzontale si presenti un massi-mo o un minimo locale. La risposta e negativa. Di fatto si hanno quattropossibilita.Sia f : E → R una funzione e sia x0 ∈ E. Supponiamo che f ′(x0) = 0,allora si hanno le seguenti possibilita:

• f ′(x) > 0 per x < x0 e f ′(x) < 0 per x > x0. In questo caso lafunzione presenta un massimo locale in x0.

• f ′(x) < 0 per x < x0 e f ′(x) > 0 per x > x0. In questo caso lafunzione presenta un minimo locale in x0.

• f ′(x) < 0 per x < x0 e f ′(x) < 0 per x > x0. In questo caso lafunzione presenta un flesso decrescente a tangente orizzontalein x0.

• f ′(x) > 0 per x < x0 e f ′(x) > 0 per x > x0. In questo caso lafunzione presenta un flesso crescente a tangente orizzontale inx0.

Le quattro possibilita si possono osservare nella figura sotto dove: incorrispondenza di x1 c’e un flesso crescente; in corrispondenza di x2 c’eun massimo locale; in corrispondenza di x3 c’e un flesso decrescente; incorrispondenza di x4 c’e un minimo locale.

x

y

b

b

b

b

F

MF

m

x1 x2 x3 x4


42

Per la ricerca dei punti di massimo o minimo locale e degli eventuali flessidi una funzione f : E → R si puo procedere nel modo seguente

Passo 1 Si calcola la derivata f ′(x).

Passo 2 Si determinano le soluzione, appartenenti all’insieme di esistenza Edell’equazione f ′(x) = 0. Chiamiamo con x1, . . . , xk tali soluzioni. Ipunti x1, . . . , xk sono detti punti stazionari o critici.

Passo 3 Se non esistono punti stazionari vuol dire che non esistono massimi,minimi o flessi e si conclude.

Passo 4 Per ciascun punto stazionario si verifica la natura studiando il segnodella derivata.

Siamo adesso in grado di studiare il grafico di una funzione. Vediamoalcuni esempi guida:

Esempio 0.28. Data la funzione

y = x2 − ln x

per rappresentare il suo grafico i passi sono i seguenti

1 determinare l’insieme di esistenza;

2 determinare il comportamento agli estremi;

3 calcolare i massimi, i minimi e gli eventuali flessi;

4 disegnare il grafico.

L’insieme di esistenza e E = {x ∈ R ; x > 0} = (0,+∞). Calcoliamo ilcomportamento della funzione quando x tende a zero da destra:

limx→0+

x2 − ln x = 0− (−∞) = +∞

Quindi la retta x = 0 e un asintoto verticale. Calcoliamo il comportamentoa +∞:

limx→+∞

x2 − ln x = +∞−∞



Questa e una forma di indecisione. Per risolverla mettiamo in evidenzax2. Si ha

limx→+∞

x2 − ln x = limx→+∞

x2(1− ln x

x2) = +∞(1− 0) = +∞

Inoltre, essendo

limx→+∞

x2 − ln x

x= lim

x→+∞x− ln x

x= +∞− 0 = +∞

non esistono asintoti obliqui e la funzione cresce piu velocemente di unaretta. La derivata prima e:

y′ = 2x− 1

x=

2x2 − 1

x.

Segue che i punti stazionari sono le soluzioni, appartenenti all’insieme diesistenza, dell’equazione

2x2 − 1

x= 0

le cui soluzioni sono x = ±√2/2. La soluzione x = −

√2/2 non appartiene

all’insieme di esistenza. Quindi l’unico punto stazionario e x =√2/2.

Essendo la funzione definita solo per x > 0, segue che la derivata prima epositiva quando 2x2 − 1 > 0, cioe quando x >

√2/2:

√2/2

y′

Quindi la funzione presenta un minimo nel punto m = (√2/2, 1/2 −

ln(√2/2)). Prima di disegnare il grafico osserviamo che l’ordinata del mi-

nimo e f(√2/2) = 1/2−ln(

√2/2) = 1/2−1/2 ln(1/2) = 1/2(1−ln(1/2)) >

0.


44

x

y

√22

mb


y =x2 − 2

1 + x

L’insieme di esistenza e E = (−∞,−1) ∪ (−1,+∞). I limiti sono staticalcolati nell’Esempio 0.2 e sono

limx→−1+

x2 − 2

1 + x= −∞, lim

x→−1−

x2 − 2

1 + x= +∞

Il comportamento a +∞ e

limx→+∞

x2 − 2

1 + x= +∞

In questo caso

m = limx→+∞

x2 − 2

x+ x2= 1

quindi potrebbe esistere l’asintoto obliquo. Calcoliamo l’eventuale q

q = limx→+∞

x2 − 2

1 + x− x = lim

x→+∞

−x− 2

1 + x= −1



Quindi la retta y = x − 1 e un asintoto obliquo per il ramo del grafico a+∞. Calcoli analoghi mostrano che la stessa retta e un asintoto obliquoanche per il ramo a −∞.

La derivata della funzione e

y′ =x2 + 2x+ 2

(x+ 1)2

Gli eventuali punti stazionari sono le soluzioni dell’equazione

x2 + 2x+ 2

(x+ 1)2= 0

la quale non ammette soluzioni reali e quindi non esistono massimi, minimio flessi. Il grafico diventa

x

y

−1

Asintoto obliquo y = x− 1


46

0.10 Applicazioni della derivata

0.10.1 Retta tangente ad un grafico

Naturalmente la derivata di una funzione permette di calcolare l’equazionedella retta tangente al grafico di una funzione in un suo punto. Sia f :E → R una funzione e sia x0 ∈ E. Allora una qualsiasi retta passante perP0 = (x0, f(x0)) appartiene al fascio proprio

y − f(x0) = m(x− x0)

Se chiediamo che la retta del fascio sia tangente al grafico basta imporreche il coefficiente angolare sia la derivata della funzione calcolata nel puntox0:

m = f ′(x0).

Quindi la retta tangente al grafico di una funzione nel punto di ascissa x0

e

y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0).

Esempio 0.30. Date le funzioni y = ex e y = e−x calcoliamo le rettetangenti ai due grafici nel loro punto di intersezione. Il grafico di ex enoto. Quello di e−x si puo facilmente dedurre osservando che

e−x =

(

1

e

)x

quindi e la funzione elementare esponenziale con base minore di uno. Ilpunto di intersezione si ottiene risolvendo il sistema

{

y = ex

y = e−x

la cui soluzione e x = 0, conseguentemente il punto di intersezione hacoordinate P0 = (0, 1). La retta r tangente al grafico della funzione ex

nel punto P0 ha coefficiente angolare m pari alla derivata di ex calcolatanell’ascissa di P0:

m = e0 = 1.


0.10 Applicazioni della derivata 47

Quindi la retta r ha equazione y − 1 = 1(x− 0). Per la retta r′, tangenteal grafico della funzione y = e−x, si ha y′ = −e−x da cui m′ = −e0 = −1.Segue che le equazioni delle rette tangenti sono

r : y = x+ 1r′ : y = −x + 1

Il grafico delle due funzioni assieme alle rette tangenti e mostrato nellafigura seguente. Si osservi che r ed r′ sono perpendicolari.

x

y

y = x+ 1y = −x+ 1

y = exy = e−x

0.10.2 La regola di De L’Hopital

Siano y = f(x) e y = g(x) due funzioni. Supponiamo che per x che tendead un certo valore x0 (possibilmente infinito) si abbia

limx→x0

f(x) = ±∞ e limx→x0

g(x) = ±∞

Allora si ha (Regola di De L’Hopital):

limx→x0

f(x)

g(x)= lim

x→x0

f ′(x)

g′(x)

Cioe quando si esegue un limite della forma ∞/∞ si possono sostituirenumeratore e denominatore con le rispettive derivate.


48

La regola di De L’Hopital vale anche nel caso in cui le due funzioni f e gtendano entrambe a 0 quando x tende a x0. Piu precisamente: supponia-mo che per x che tende ad un certo valore x0 (possibilmente infinito) siabbia

limx→x0

f(x) = 0 e limx→x0

g(x) = 0

Allora si ha (Regola di De L’Hopital):

limx→x0

f(x)

g(x)= lim

x→x0

f ′(x)

g′(x)

Tale regola rende moltissimi limiti un puro calcolo meccanico. Vediamoalcuni esempi. Utilizzando le regole delle velocita gia sappiamo che

limx→+∞

ln x

x= 0

Risolviamo adesso il limite utilizzando la Regola di De L’Hopital, si ha

limx→+∞

ln x

x= lim

x→+∞

1x

1=

1

+∞ = 0.

La regola diventa sorprendente per risolvere limiti dove non si possonousare le regole delle velocita. Per esempio, quanto vale

limx→0

x

ex − 1=

0

0?

Utilizzando la Regola di De L’Hopital si ha

limx→0

x

ex − 1= lim

x→1

1

ex=

1

1= 1

Mostriamo adesso come risolvere con la regola di De L’Hopital la formaindeterminata 0∞. Supponiamo che per x che tende ad un certo valorex0 (possibilmente infinito) si abbia

limx→x0

f(x) = 0 e limx→x0

g(x) = ∞

In questa situazione non si puo determinare a priori il valore del limite

limx→x0

f(x) g(x) = 0∞


0.11 Esempi di studio di funzione 49

Per risolvere il limite si sfrutta la proprieta algebrica

g(x) =11

g(x)

da cui il

limx→x0

f(x)g(x) = limx→x0

f(x)1

g(x)

=01∞

=0

0

diventa del tipo 0/0 che puo essere risolto applicando la regola di DeL’Hopital. Per esempio, si consideri la funzione y = x ex. Sa calcoliamo illimite a −∞ si ha

limx→−∞

x ex = −∞ 0.

Scrivendo

ex =11ex

=1

e−x

si ottiene

limx→−∞

x ex = limx→−∞

x

e−x

De L’Hopital−−−−−−−→=

limx→−∞

1

−e−x=

1

−∞ = 0

0.11 Esempi di studio di funzione


y = x2 ln x

D1 determinare l’insieme di esistenza;

D2 determinare gli eventuali asintoti ed il comportamento agli estremi;

D3 calcolare i massimi, i minimi e gli eventuali flessi;

D4 disegnare il grafico.

D Soluzione

D1 E = {x ∈ R ; x > 0}


50

D2 Calcoliamo il comportamento della funzione quando x tende a zeroda destra:

limx→0+

x2 ln x = 0(−∞)

Portando al denominatore il reciproco del primo fattore ed applican-do la regola di De L’Hospital si ha

limx→0+

x2 ln x = limx→0+

ln x1x2

= limx→0+

1x−2x3

= limx→0+

−x2

2= 0.

Calcoliamo il comportamento a +∞:

limx→+∞

x2 ln x = (+∞)(+∞) = +∞

Inoltre, essendo

limx→+∞

x2 ln x

x= lim

x→+∞x ln x = +∞

non esistono asintoti obliqui e la funzione cresce piu velocemente diuna retta.

D3 La derivata prima e:

y′ = 2x ln x+ x2 1

x= x(2 ln x+ 1).

Segue che i punti stazionari sono soluzioni dell’equazione

x(2 ln x+ 1) = 0

cioe x = 0 e x = e−1/2 = 1√e. Il punto x = 0 non appartiene all’in-

sieme di esistenza, quindi non va considerato. Essendo la funzionedefinita solo per x > 0, segue che la derivata prima e positiva quando(2 lnx+ 1) > 0, cioe quando x > e−1/2:

e−1/2

y′



Quindi la funzione presenta un minimo nel punto m = ( 1√e,− 1

2e).


x

y

mb− 1

2e

1√e


y = x ln x− x



D3 calcolare i massimi, i minimi e gli eventuali flessi a tangente orizzon-tale;


D Soluzione

D1 E = {x ∈ R ; x > 0}

D2 Calcoliamo il comportamento della funzione quando x tende a zeroda destra:

limx→0+

x ln x− x = 0


52

Calcoliamo il comportamento a +∞:

limx→+∞

x ln x− x = limx→+∞

x(ln x− 1) = +∞

Inoltre, essendo

limx→+∞

x ln x− x

x= +∞

non esistono asintoti obliqui e la funzione cresce piu velocemente diuna retta.

D3 La derivata prima e:y′ = ln x.


ln x = 0

cioe x = 1. Per valutare il comportamento nei punti stazionariosserviamo la funzione ln x e positiva per valori maggiori di 1

1

y′

segue che in x = 1 la funzione presenta un minimo locale di coordi-nate m = (1,−1).


x

y

b−1

1




y = x ex





D Soluzione

D1 E = R

D2 Calcoliamo il comportamento della funzione quando x tende ±∞:

limx→+∞

x ex = +∞

Inoltre, essendo

limx→+∞

x ex

x= lim

x→+∞ex = +∞

non esistono asintoti obliqui per x che tende a +∞ e la funzionecresce piu velocemente di una retta. Mentre

limx→−∞

x ex = +∞ 0

e una forma di indecisione. Per risolverla scriviamo ex = 1/e−x dacui si ottiene, applicando la regola di De L’Hopital,

limx→−∞

x ex = limx→−∞

x

e−x

De L’Hopital−−−−−−−→=

limx→−∞

1

−e−x=

1

−∞ = 0

Quindi la retta y = 0 e un asintoto orizzontale.


54


y′ = ex + x ex = ex(x+ 1).


ex(x+ 1) = 0.

Siccome ex > 0 segue che l’unico punto stazionario e x = −1.Inoltre, essendo ex > 0 la derivata prima e positiva quando x+1 > 0:

−1

y′

Quindi in x = −1 la funzione presenta un minimo locale di coordi-nate m = (−1,−1/e).


x

y

b 1/e

−1


y =ex

x







D Soluzione

D1 E = (−∞, 0) ∪ (0,+∞)

D2 Calcoliamo il comportamento della funzione quando x tende a 0

limx→0+

ex

x=

1

0+= +∞

mentre

limx→0−

ex

x=

1

0−= −∞

Quindi la retta x = 0 e un asintoto verticale. Calcoliamo il compor-tamento della funzione quando x tende ±∞:

limx→+∞

ex

x=

+∞+∞ = +∞ regola delle velocita

inoltre

limx→+∞

ex

x2=

+∞+∞ = +∞

non esistono asintoti obliqui per x che tende a +∞ e la funzionecresce piu velocemente di una retta. Verso −∞ si ha

limx→−∞

ex

x=

0

−∞ = 0

quindi la retta y = 0 e un asintoto orizzontale per x che tende a−∞.


y′ =x ex − ex

x2=

ex(x− 1)

x2.


ex(x− 1) = 0.

Siccome ex > 0 segue che l’unico punto stazionario e x = 1. Inoltre,essendo il denominatore sempre positivo (nell’insieme di esistenza)segue che la derivata prima e positiva quando x > 1:


56

1

y′

Quindi in x = 1 la funzione presenta un minimo locale di coordinatem = (1, e).


x

y

be

1

0.12 Derivate successive

Dada una funzione f : E → R la sua derivata e una nuova funzionef ′ : E ′ → R. E quindi lecito poter considerare la funzione derivata dellafunzione f ′ che chiameremo derivata seconda della funzione ed indiche-remo con f ′′. Qual’e l’interpretazione geometrica della derivata seconda?Vediamo alcuni esempi. Si consideri la funzione y = x2 il cui grafico e laparabola con concavita verso l’alto


0.12 Derivate successive 57

x

y

La derivata prima della funzione e y′ = 2x mentre la derivata secondadiventa y′′ = 2 > 0. Si consideri adesso la funzione y = −x2 il cui graficoe la parabola con concavita verso il basso

x

y

La derivata prima in questo caso e y′ = −2x mentre la derivata secondadiventa y′′ = −2 < 0. Da questi due esempi risulta chiaro che il segnodella derivata seconda tiene conto della concavita della funzione. Piuprecisamente, sia f : E → R una funzione e sia x0 ∈ E alora

• se f ′′(x0) > 0 la concavita della funzione in x0 e verso l’alto;

• se f ′′(x0) < 0 la concavita della funzione in x0 e verso il basso.

Se adesso combiniamo lo studio dei massimi e minimi relativi con lo studiodella derivata seconda si ottiene il seguente criterio per il riconoscimentodella natura di un punto stazionario. Prima di introdurre tale criterioosserviamo che in un punto x0 ∈ E dove la funzione presenta un minimo


58

e ragionevole aspettarsi che la funzione abbia la concavita verso l’alto equindi f ′′(x0) > 0, mentre in un pinto x0 ∈ E dove la funzione presenta unmassimo e ragionevole aspettarsi che la funzione abbia la concavita versoil basso e quindi f ′′(x0) < 0. Di fatto la situazione non e cosi semplice. Siconsideri, ad esempio, la funzione y = x4 il cui grafico presenta un minimoin (0, 0)

x

y

In questo caso y′ = 4x3 da cui segue che l’unico punto stazionario e x0 = 0.La derivata seconda in questo caso vale y′′ = 12x2 e y′′(0) = 0, cioela derivata seconda nel punto stazionario non e ne negativa ne positiva,quindi non si puo decidere con l’uso della sola derivata seconda se vi e unmassimo o un minimo.Prima di introdurre il criterio generale denotiamo con f (k) la derivatadella funzione di ordine k. Con questo intendiamo che deriviamo primala funzione (derivata prima) poi deriviamo la derivata prima (derivataseconda), poi deriviamo la derivata seconda (derivata terza) e cosi viasino ad arrivare alla derivata k-esima. Il criterio generale e il seguente.Sia f : E → R una funzione e sia x0 ∈ E un punto stazionario, cioef ′(x0) = 0. Supponiamo che f ′′(x0) = f ′′′(x0) = · · · = f (k−1)(x0) = 0 ef (k)(x0) = c 6= 0 (questo vuol dire che tutte le derivate valgono zero in x0

sino alla derivata di ordine k − 1 e che la prima diversa da zero in x0 ela derivata di ordine k). Allora:

• se k e pari e c > 0 la funzione presenta un minimo locale in x0;

• se k e pari e c < 0 la funzione presenta un massimo locale in x0;

• se k e dispari la funzione presenta un flesso a tangente orizzontalein x0.


0.13 Esercizi sullo studio di funzione 59

Applichiamo il criterio ad alcuni esempi. Sia data la funzione y = x ex. Laderivata prima e y′ = ex(x+ 1) la quale si annulla solo per x0 = −1. Perstudiare la natura del punto stazionario x0 = −1 calcoliamo la derivataseconda della funzione. Si ha y′′ = ex(x + 2) da cui y′′(−1) = e−1 > 0quindi siamo nel caso in cui la prima derivata diversa da zero nel puntocritico e la seconda, cioe una derivata di ordine pari. Dal criterio, essendoy′′(−1) = e−1 > 0 segue che in x0 = −1 ce un minimo locale.Naturalmente questo criterio prevede il calcolo delle derivate successivema non prevede lo studio del segno della derivata prima.Lo studente e libero di scegliere il metodo che piu preferisce.

0.13 Esercizi sullo studio di funzione

Determinare il grafico delle seguenti funzioni (in questi casi i punti criticisi possono trovare in modo esplicito, i. e. l’equazione f ′(x) = 0 ha sempresoluzioni esplicite):

1.

y =x

x+ 3

2.

y =−3

x2 + 1

3.

y =−x2

x2 − 2

4.

y =x

x3 − 1

5.

y =x3

2− x2

6.

y =−1/2

x2 − 7x+ 12

7.y =

x

ln x

8.

y =ex

x

9.y = x ln x

10.

y =ln(x+ 1)

x+ 1

11.

y =ex

ln(x)

12.y = 1− ex

2−x

13.y = ln(1/x)


60

14.

y = ln(x2 − 3x+ 2

x+ 1)

15.

y = ln(

√

x+ 1

x)

16.

y =

√

x2 − 8

x

17.y = ln(ln(x))

18.

y =ln(x)

1 + ln(x)

19.

y =x2 − 4√1− x

20.y = 1− e2x

21.y = x lnx− 3x

22.

y = x− x2

x− x ln x+

x2

2ln x

23.y = x lnx− x

24.y = sin x− cosx

25.y = sin2 x

26.

y =1

cos x

27.

y =1

cosx− 1

28.

y =sin x

cos x

29.y = sin x− 1/2

30.y = sin2 x− cos2 x

31.y = sin2 x

32.

y =−3

2 cosx−√3


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