Studia niestacjonarne

2009/10 r.

Cele eksperymentu

• potwierdzenie lub sfalsyfikowanie określonej teorii (hipotezy);

• znalezienie związku między bodźcem (przyczyną X) i zachowaniem obiektu (skutkiem Y): Y = f(X) lub

• optymalizacja obiektu badań.

Co to jest eksperyment?

• Zabieg badawczy, polegający na celowym wywoływaniu zjawiska (lub jego zmiany) w warunkach kontrolowanych oraz zbadaniu jego przebiegu, cech lub zależności. (Enc. PWN 1995)

• Pytanie, jakie teoria zadaje Naturze. (I. Kant);

Najprostszy eksperyment• Wartość teoretyczna pewnej wielkości fizycznej

wynosi XT = 21,00

• Zaplanować eksperyment weryfikujący tę wartość

• Hipoteza zerowa: Ho: XT – Xe= 0, tj. XT = Xe

• Hipoteza alternatywna: H1: XT ≠ Xe

• Ale Xe jest zmienną losową, (wynik pomiaru) stąd konieczny jest test statystyczny

Wyniki eksperymentu

Nr 1 2 3 4X 20,91 19,82 20,53 20,21

Średnia Xe = 20,37

Odchylenie std. poj. pomiaru σ = 0,46

Test t-Studenta

• Statystyka t = (XT – Xe )/ σXe = (XT – Xe )√N/ σ

• t = (21,00 – 20,37)√4/0,46 = 2,74• Dla poziomu istotności testu α = 0,05

tcr (α/2 = 0,025, ν = 4-1=3) = 3,19

t < tcr dlatego nie ma podstaw do odrzucenia H0

Błędy w testowaniu hipotez

Faktyczny stan rzeczy:prawdziwa jestH0 H1

H0

BłądI rodzaju

(Pr. )odrzucić

Decyzja:

przyjąćH0

BłądII rodzaju

(Pr. )

Wyniki eksperymentu poszerzonego

Nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X 20,91 19,82 20,53 20,21 20,48 20,55 20,37 20,62 20,13 21,10

Średnia Xe = 20,47

Odchylenie std. poj. pomiaru σ = 0,37

Test t-Studenta

• Statystyka t = (XT – Xe )/ σXe = (XT – Xe )√N/ σ

• t = (21,00 – 20,47)√10/0,37 = 4,53• Dla poziomu istotności testu α = 0,05

tcr (α/2 = 0,025, ν = 10-1 = 9) = 2,25

t > tcr dlatego H0 należy odrzucić

Niezbędna liczba pomiarów N

=

X

_p(X)

Poziom ufności np. 68%

ΔΔ

(tolerancja) Δ = (odchylenie std. średniej) σx/N0,5

=> N = (σx /Δ)2

_X

Niezbędna liczba pomiarów N

=

X

_p(X)

Poziom ufności tu: 95%

Δ Δ

(tolerancja) Δ = (2 odchylenia std. średniej) 2 σx/N0,5

=> N = ( 2 σx /Δ)2

Niezbędna liczba pomiarów N

=

X

_p(X)

Poziom ufności

γ%

Δ Δ

(tolerancja) Δ = (t odchyleń std. średniej) = t · σx/N0,5

=> N = ( t · σx /Δ)2

gdzie: t (γ, N) - promień przedziału ufności

Wpływ liczebności prób Nna rozkład średniej

=X2

=X1

_p(X)

σx = 20 N = 16 σx /N0,5 = 20/4 = 5

5 5

_X

Wpływ liczebności prób Nna rozkład średniej

=X2

=X1

_p(X)

σx = 20 N = 16 σx /N0,5 = 20/4 = 5

5 2

σx = 20 N = 100 σx /N0,5 = 20/10 = 2

25

_X

Wpływ liczebności prób Nna rozkład średniej

=X2

=X1

_p(X)

σx = 20 N = 16 σx /N0,5 = 20/4 = 5

5 1

σx = 20 N = 400 σx /N0,5 = 20/20 = 1

15

_X

Wpływ liczebności próby na odchylenie std. średniej

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Liczebność próby N

N^

-0,5

Niezbędna liczba pomiarów N dla wykazania różnicy średnich Δ

= X2

=X1

_p(X)

= =N = [(t1+t2)σx/(X2-X1)]2

Δ

t1σx1t2σx2

αβ

_X

Model„czarnej skrzynki”

Obiekt badańObiekt badań

f yx2

x1

xn

..

.

Y = f (X1, X2)

Dwie wielkości wejściowe

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y max

X1

X2

5

10152025

Plan kompletny dla dwóch zmiennych wejściowych

Plany badań

Plan kompletny

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y max

X2

X1

Planowanie badań i analiza wyników

Plan badań

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y max

X1

X2

5

10152025

0

5

10

15

20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x1

yy=f 1 (x1 ) ; x2=const

x1opt

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 10 20 30

y=f 2(x2); x1=x1opt=constx2

y

Plan

tradycyjny

krok 1krok 1

krok 2krok 2

Wyznaczone

maksimummaksimum (?)

?

Plan badań optymalizacyjnych

Plan dwupoziomowy

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y max

X2

X1

Plany czynnikowe kompletne dwupoziomowe 2p

Często wystarczy przyjąć, że każda ze zmiennych wejściowych występuje tylko na dwóch poziomach. Plany takie pozwalają jednoznacznie wyznaczyć jedynie funkcje regresji o postaci:

ppijpp XXXbXXbXXbXbXbXbXbbY~

..~~~~~~~~~

....~~~~~~~~~ˆ

21..311321123322110

ib~

- współczynniki regresji dla zmiennych standaryzowanych. gdzie

Normowanie wielkości wejściowej

xk

minmax

min2

kk

kkk xx

xxx

α – ramię gwiezdne, np. α = 1

Plan dwupoziomowya) całkowity (32 = 8) b) połówkowy

Plan całkowity 32 = 8 i połówkowy

2

~X

1

~X

Nrdośw.

1 -1 -1 -1

2 (1) -1 -1 1

3 (2) -1 1 -1

4 (3) 1 -1 -1

5 (4) 1 1 1

6 -1 1 1

7 1 -1 1

8 1 1 -1

3

~X

Punkty centralne planu• Jeżeli podejrzewamy, że badana zależność ma

charakter nieliniowy, należy do eksperymentu dołączyć jeden lub kilka punktów środkowych, w których kodowane zmienne wejściowe przyjmują wartość równą 0. Są to tzw. punkty centralne planu (central points).

• W dalszej analizie porównuje się wyniki pomiarów w punktach centralnych ze średnią wartością uzyskaną z punktów planu -1 oraz +1. Pozwala to sprawdzić stopień krzywizny badanej funkcji (check for curvature).

Jeżeli średnia z wartości zmiennej zależnej w punktach centralnych istotnie różni się od średniej wartości ze wszystkich pozostałych punktów planu, to badany związek jest nieliniowy.

Planowanie badań i analiza wyników

Klasyfikacja planów badań

P S /D K : K om p le tn e

P S /D S -M : M on ose lekcyjn e

P S /D S -P : P o lise lekcyjn e

P S /D S : S e lekcyjn e

P S /D : Z d e te rm in ow an e

P S /O : O p tym a lizacyjn e

P S /R : R an d om izow an e

P S : S ta tyczn e P D : D yn am iczn e

P : P lan y d ośw iad czeń

Popularne programy CADEx /DoE

Statistica

Błędy w planowaniu eksperymentu

• Rachunek błędu (niepewności) – oddzielne zagadnienie;

• Brak randomizacji;

• Zbyt mała (znacznie rzadziej: zbyt duża) liczba doświadczeń;

• Zbyt szybki demontaż stanowiska badawczego (przed obróbką wyników).

Bibliografia

1. http://www.eti.pg.gda.pl/katedry/kose/dydaktyka/Metrologia/planowanie_eksperymentu.pdf

2. http://imisp.mech.pw.edu.pl/imisp_site/docs/51.doc

3. Park H.M. Hypothesis testing and statistical power of a test. www.indiana.edu/~statmath/ stat/all/ power/power.pdf 15. 05. 2008

Planowanie eksperymentu

Literatura pomocnicza

• Mańczak K. „Technika planowania eksperymentu” WNT, W. 1976

• Brandt S. „Analiza danych” PWN, W. 1998

• Eadie W.T. i in. „Metody statystyczne w fizyce doświadczalnej” PWN, W.1989

• Polański Z. „Planowanie doświadczeń w technice” PWN, Warszawa1984