Student t Dağılımı -...

1

Dr. Mehmet Aksaraylı

1

t Dağılımı ve t testiDoç. Dr. Mehmet AKSARAYLI

D.E.Ü. İ.İ.B.F.

EKONOMETRİ BÖLÜMÜ

[email protected]

Student t Dağılımı

2

Küçük örneklerden (n<30) elde edilen istatistiklerin

dağılımı Student t dağılımına uyar.

Küçük örnek istatistiklerinin gösterdiği dağılım normal

eğri gibi simetriktir. Normal eğriye göre daha basık ve

yaygın bir șekil alır. Böylece eğrinin kuyruklarında daha

büyük bir alan olușur.

Küçük örnekler için z cetveli yerine, çeșitli örnek

büyüklükleri ve ihtimal seviyeleri için ayrı ayrı

hesaplanmıș t cetvelleri kullanılır.

2


3

zt

0

t (sd = 5)

StandartNormal

t (sd = 13)

Çan şekilli simetrik,

‘Tombul’ kuyruklar

Student’ın t Tablosu

4

Üst kuyruk alanı

sd .25 .10 .05

1 1.000 3.078 6.314

2 0.817 1.886 2.920

3 0.765 1.638 2.353

t0

n = 3sd = n - 1 = 2 = .10/2 =.05

Olsun:

2.920t değerleri

.05

3


ORTALAMA İÇİN GÜVEN ARALIĞI

Populasyonun standart sapması X bilinmediğinde vepopulasyonun normal dağıldığı varsayımı altında güven aralığıtahmini:

5

/2 /21 ‐

n

stX n 1,2

n

stX n 1,2

2t 2t

n

stX

n

stX nn 1,21,2

ÖRNEK Bir fabrikada rasgele üretilen 25 mamulün ortalama ağırlığı 1040 gr

standart sapması 25 gr bulunmuștur. %95 güvenle bu imalat prosesindeüretilen mamullerin ortalama ağırlığı hangi aralıkta yer alır?

25

25064.21040

25

25064.21040

32.105068.1029 6

n

stX

n

stX nn 1,21,2

4


ORTALAMALAR ARASI FARKLAR İÇİN GÜVEN ARALIĞI

İki anakütleden tesadüfi olarak seçilen n1 ve n2

hacimlerindeki iki küçük örnekten hareketle anakütle

ortalamaları arasındaki farkın güven sınırları:

7

Anakütle ortalamaları arasındaki farkın güven aralığı tespit

edilirken serbestlik derecesine ve ∝/2 hata

payına göre tablo değerleri bulunur.

221 nnv

α1n

1

n

1stXXμμ

n

1

n

1stXXPr

21p2nnα/2,2121

21p2nnα/2,21 2121

2

11

21

222

2112

nn

snsnspOrtak varyans

(pooled variance)

ÖRNEK13 deneme sonrasında bir benzin pompası ortalama 125 ml fazla benzin ölçümüyaparken standart sapma 17 ml olmuștur.Bir bașka benzin pompası ise 10 denemesonrasında deneme bașına ortalama 110 ml fazla benzin ölçümü yapılmıș vestandart sapması 19 ml bulunmuștur. Anakütle ortalamaları arasındaki farkın %99güven sınırlarını bulunuz.

2121013 v 831.2tabt

8

10

1

13

1)89.17)(831.2()110125(

Pompaların fazla ölçümleri arasındaki fark %99 güvenle -6.3 ml ile 36.3 ml arasındadır.

α1n

1

n

1stXXμμ

n

1

n

1stXXPr

21p2nnα/2,2121

21p2nnα/2,21 2121

89,17.......

2

11

21

222

2112

pp snn

snsnsOrtak varyans

(pooled variance)

0.993.36μμ3.6Pr 21

5


ORTALAMALARLA İLGİLİ HİPOTEZ TESTLERİ

Çift Kuyruk Testi01

00

:

:

H

H

01

00

:

:

H

H

9

Sol Kuyruk Testi

Sağ Kuyruk Testi

01

00

:

:

H

H

Ortalamalarla ilgili hipotez testlerine ait test istatistiği:

n

sX

th

ÖRNEK

Bir konserve fabrikasının imal ettiği konservelerin üzerinde brüt 455 gryazmaktadır. Bu konservelerin brüt ağırlıkları ile ilgili bir karar vermek üzererasgele seçilen 17 kutunun ortalama ağırlığı 450 gr ve standart sapması 13 grbulunmuștur. Brüt ağırlığın 455 gr olmadığını 0.05 önem seviyesinde söyleyebilirmisiniz? 161 nv

12.2tabt

10

025.02

59.1

17

13455450

n

sX

th

0H Kabul 0H Red 0H Red

-2.12 -1.54 2.12

455:

455:

1

0

H

H

6


İKİ ANAKÜTLE ORTAMASINAİLİŞKİN HİPOTEZ TESTLERİBağımsız ve İlişkili Populasyonlar

11

1. Farklı veri kaynakları

İlișkisiz

Bağımsız

2. İki örnek ortalaması

arasındaki farkın

kullanılması

1. Aynı veri kaynağı

Eșleștirilmiș

Tekrarlı ölçümler

2. Her gözlem çifti

arasındaki farkın

kullanılması

Dn = X1n - X2n

Bağımsız İlişkili

21XX

1- ÖRNEKLERİN BAĞIMSIZ OLMASI HALİ

Çift Kuyruk Testi211

210

:

:

H

H

211

210

:

:

H

HSol Kuyruk Testi

Sağ Kuyruk Testi 211

210

:

:

H

H

21

212121

11

)()()(

21

nns

XX

s

XXt

pXX

bilinmiyor ve örnek hacimleri < 30 ise:

2

)1()1(

21

222

211

nn

snsnsp

7


Örnek

Pınar Et için çalıșan bir finansal analistsiniz. İki ayrı kesimhanenin üretim kayıtlarıyla ilgili așağıdaki verileri topladınız: fab1 fab2Sayı 21 25Ortalama 3.27 2.53Std Sapma 1.30 1.16Eșit varyans varsayımı altında,ortalama üretimde bir fark var mıdır? ( = 0.05)?

© 1984-1994 T/Maker Co.

Test İstatistiğinin Hesaplanması

14

2 22 1 1 2 2

1 2

( 1) ( 1)

2

n s n ss

n n

tX X

1 2 1 2

2 2(21 1) 130 (25 1) 116

21 1 25 11510

( )

. ..

2

1 2

1 1s

n n

03.2

251

211

510.1

0)53.227.3(

8


Çözüm H0: 1 - 2 = 0 (1 = 2) H1: 1 - 2 0 (1 2) 0.05 sd 21 + 25 - 2 = 44 Kritik Değerler:

15

Test İstatistiği:

Karar:

Sonuç:

= 0.05 seviyesinde reddedilir.

Ortalamalarda bir fark olabilir.t0 2.0154-2.0154

.025

H red0 H red0

.025

t 03.2

251

211

510.1

53.227.3

2-Eşleştirilmiş Örnek t Testi

16

1.İki ilișkili populasyonun ortalamasını test eder. Çift ya da eșleștirilmiș

Tekrarlı gözlemler (önce/sonra)

2.Nesneler arasındaki varyasyonu ortadan kaldırır.

3.Varsayımları İki populasyon da normal dağılımlıdır.

Eğer normal değilse normale yaklașmaktadır. (n1 30 & n2 30 )

9


17

İki komisyoncunun aynı evlere farklı fiyatlar verdiği iddia edilmektedir. İddiayı test etmek için 12 ev seçiliyor ve komisyonculardan bu evlere 1000$ bazında fiyat vermeleri isteniyor. Elde edilen sonuçlar aşağıdaki gibidir.İki komisyoncunun aynı evlere farklı fiyatlar verip vermediğini test ediniz.

Eşleştirilmiş Örnek t Testi

Komisyoncular

Evler A B D D2

1 181.0 182.0 -1.0 1.00

2 179.9 180.0 -0.1 0.01

3 163.0 161.5 1.5 2.25

4 218.0 215.0 3.0 9.00

5 213.0 216.5 -3.5 12.25

6 175.0 175.0 0.0 0.00

7 217.9 219.5 -1.6 2.56

8 151.0 150.0 1.0 1.00

9 164.9 165.5 -0.6 0.36

10 192.5 195.0 -2.5 6.25

11 225.0 222.7 2.3 5.29

12 177.5 178.0 -0.5 0.25

Toplam -2.0 40.22

18

1.Adım: H0: μD = 0

H1: μD ≠ 0

2.Adım:D 2

D 0.167n 12

2 2

2

D

D 2D 40.22

n 12s 1.904n 1 12 1

Eşleştirilmiş Örnek t Testi

hes

D

D 0.167t 0.30

1.904s n12

3.Adım: ttab : t11,0.05 = ± 2.201

4.Adım:hes tabt t

H0 reddedilemez. %5 önemdüzeyinde fiyatlandırma yönündenkomisyoncuların birbirinden farklıolmadığına karar verebiliriz.

1 12 1 11 . .v n sd

10


Eşleştirilmiş Örnek için Güven Aralığı

DnDDnstDstD1,21,2

)904.1(201.2167.0)904.1(201.2167.0 D

023.4357.4 D

19

Aynı örnek için güven aralığını hesapladığımızda;

20

1. Belli bir mesafeyi erkek yüzücülerin kız yüzücülerden daha kısazamanda yüzdüğü iddia edilmektedir. Rassal olarak seçilen 200 erkekyüzücünün ortalama derecesi 60 ve standart sapması 10 dakika, 150kız yüzücünün ortalama derecesi 70 ve standart sapması 15 dakikaolarak bulunmuştur. %1 anlamlılık düzeyinde karar veriniz.

2. A ve B marka ampullerin ömürlerinin farklı olduğu iddiaedilmektedir. Rassal olarak seçilen A marka 10 ampulün ortalamaömrü 850 ve standart sapması 100 saat, B marka 1 ampulün ortalamaömrü 650 ve standart sapması 150 saat olarak bulunmuştur. %1anlamlılık seviyesine göre karar veriniz.

Sorular

11


21

Student t Dağılımı -...

Documents

Transcript of Student t Dağılımı -...