STRUKTUR ALJABAR 1 - sarasayaztblog.files.wordpress.com · struktur aljabar yang disebut grup. Grup...
Transcript of STRUKTUR ALJABAR 1 - sarasayaztblog.files.wordpress.com · struktur aljabar yang disebut grup. Grup...
STRUKTUR ALJABAR 1
Winita Sulandari
FMIPA UNS
Pengantar Struktur Aljabar
Sistem Matematika terdiri dari
• Satu atau beberapa himpunan
• Satu atau beberapa operasi yg bekerja pada himpunan di atas
• Operasi-operasi di atas memenuhi ketentuan atau aksioma tertentu
Pengantar Struktur Aljabar
• Struktur aljabar dengan satu himpunan dan satu operasi
grup, semi grup, monoid, grupoid
• Sruktur aljabar dengan satu himpunan dan lebih dari satu operasi
gelanggang, lapangan, daerah integral, dll
• Struktur aljabar dengan dua himpunan dan beberapa operasi
ruang vektor, modul, dll
GRUP dan SUBGRUP
Operasi Biner (def 1.4.1)
Bila A suatu himpunan, maka suatu Operasi biner T : A x A A adalah pemetaan yang mengawankan setiap pasang (a,b) A x A dengan satu unsur c A
Notasi: T(a,b) = c
a T b = c
a. b = c, di mana a, b, c A.
Operasi biner
Dengan kata lain…
Terdapat operasi antara unsur-unsur dalam himpunan A yang bersifat tertutup,
setiap dua unsur dalam A, bila
dioperasikan menghasilkan unsur ketiga
yang juga unsur dalam A kembali.
Operasi Biner
• Dalam bahasa matematika:
• ( a,b A ) (c A) a * b = c
• dimungkinkan c = a atau c = b atau c a dan c b.
Contoh Operasi Biner
• Operasi (+) dan (.) pada himp bil bulat (Z)
• Coba cek!
Operasi * pada Z+ dengan n*m = n – m. Apakah biner?
GRUPOID
Definisi 2.1.1
Suatu himpunan tidak kosong G dengan operasi biner ( *) di dalamnya, disebut grupoid
Notasi: (G, *)
Contoh Grupoid
• (Z,+)
• (G,*)
dgn G = { x, y, z } dan
* x y z
x x y y
y y x y
z z y x
Grupoid Abel
• Grupoid dengan sifat komutatif
• Jika (G, *) maka x, y G berlaku
x * y = y * x
Semi Grup
• Definisi 2.1.2
Suatu grupoid (G, * ) disebut semi-grup, apabila terhadap operasi biner dalam G berlaku sifat asosiatif sebagai berikut:
x, y, z G berlaku (x * y) * z = x * (y * z)
Contoh Semi Grup
• (Q,.)
berlaku (n. m). p = n .( m. p ), n,m,p Q.
LATIHAN
• Bila R’=R|{-1} himpunan bil riil tanpa -1 dan operasi dalam R’ ditentukan sbb:
x*y = x + y + xy, dengan x, y R’. Apakah operasi * merupakan operasi biner?
LATIHAN
Manakah di antara struktur aljabar berikut
mrpk grupoid, grupoid yang komutatif
dan yang berupa semi-grup:
a). Operasi biner * dalam Z dgn a* b = a - b
b). Operasi biner * dalam Q dgn a * b = ab + 1
c). Operasi biner * dalam Z+ dgn a * b = 2a b
LATIHAN
• Bila S himpunan berhingga, A(S) = { f : S S / f pemetaan bijektif } maka A(S) merupakan semi-grup terhadap operasi komposisi, jelaskan !
Sifat-sifat istimewa dalam grupoid
• Idempoten
• Mempunyai unsur identitas
• Mempunyai unsur invers
Sifat-sifat tersebut kadang terdapat pada grupoid
Sifat idempoten
• Suatu unsur a G disebut idempoten jika
a* a = a
• Contoh:
1. Unsur 0 dalam semi-grup ( Z,+ )
2. Unsur 1 dan 0 dalam Semi-grup ( Z, . )
Latihan : Tentukan unsur idempotent pada Z4 dan Z6
Unsur Identitas
• Suatu unsur e G disebut unsur identitas kiri jika berlaku sifat:x G maka berlaku
e * x = x.
• unsur e’ disebut identitas kanan jika x G maka x * e’ = x.
• Identitas kiri = identitas kanan e tunggal
Contoh unsur Identitas
• Unsur 0 dalam ( Z, + )
• Unsur 1 dalam (Z,. )
• unsur 1 dalam Z6 dengan operasi perkalian modulo 6
Unsur Invers
• Pada grupoid ( G, * ) dgn unsur identitas e,
unsur a G dikatakan mempunyai invers jika terdapat unsur a-1 G yang memenuhi
a-1 *a = e = a * a-1
Contoh unsur invers
• Setiap n dalam (Z,+) mempunyai invers yaitu (-n).
• G = { a, b, c } dengan operasi biner seperti pada tabel sebagai berikut:
* a b c
a b a c
b a b c
c a c a
unsur identitas : b
a-1=a dan b-1=b, c-1 =?
Perhatikan tabel berikut
• G = { a, b, c } dengan operasi biner seperti pada tabel sebagai berikut:
tentukan unsur identitas
dan unsur inversnya?
* a b c
a b a c
b a b c
c a c b
GRUP
Semi grup yang memuat unsur identitas dan setiap unsurnya mempunyai invers merupakan struktur aljabar yang disebut grup.
Grup (def 2.1.4)
Suatu himpunan tidak kosong G merupakan suatu grup jika di dalam G terdapat operasi biner, misalkan “ . ” yang memenuhi sifat - sifat
a,b,c G berlaku :
a). Assosiatif : a . ( b . c ) = ( a . b ) . c
b). e G a . e = e . a = a
c). a G a-1 G a . a-1 = a-1 . a = e
Grup (def 2.1.4’)
Suatu himpunan tidak kosong G merupakan suatu grup jika di dalam G terdapat operasi *
dan unsur-unsur dalam G memenuhi sifat
a) tertutup: a,b G maka a *b = c dengan c G
b) Assosiatif : a,b,c G berlaku a*(b*c ) = (a*b) *c
c). e G a * e = e * a = a, a G
d). a G a-1 G a * a-1 = a-1 * a = e
Contoh Grup
• A(S) = { f : S S / f pemetaan bijektif, S } dengan operasi “komposisi “
• (Z, +)
• (Z6, +)
• Bagaimana dengan (Z,.) dan (Z6, .), apakah keduanya Grup?
LATIHAN
• Apabila G = { 1, -1, i, -i } di mana i2 = -1 dengan operasi dalam G adalah perkalian bilangan kompleks, Selidiki apakah ( G,. ) merupakan suatu grup .
LATIHAN
Apakah struktur aljabar brkt mrpk suatu grup,
bila jawab ‘ya’ , buktikan dan bila jawab bukan ,
syarat grup mana yang tidak dipenuhi
a). Himpunannya Z dengan operasi yang ditentukan a * b = ab
b). Pada 2Z = { 2n / n Z } dengan operasi sebagai berikut: a * b = a + b
LATIHAN
Selidiki manakah struktur aljabar berikut
membentuk grup:
a). Z ‘ = { 2n + 1 / n Z } dengan operasi +
b). Z dengan operasi yang ditentukan
a * b = a + b + 1
LATIHAN
• Buktikan dengan menggunakan tabel bahwa Z 4 merupakan grup terhadap penjumlahan modulo 4.
LATIHAN
• Himpunan H = { 1, 2, 3 } dengan operasi perkalian modulo 4, apakah merupakan grup ? Bila bukan, syarat mana yang tidak dipenuhi.
• Bagaimana dengan himpunan K={1, 2, 3, 4} terhadap operasi perkalian modulo 5, jelaskan dengan bukti.
Grup Komutatif
Apabila dalam grup G juga dipenuhi sifat
a ∗ b = b ∗ a
untuk setiap a,b ∈ G, maka grup G disebut
sebagai grup komutatif
Contoh : (Z, +)
Grup Komutatif
• Bagaimana dengan (Z, .)?
• Bukan merupakan grup karena tidak setiap unsur Z mempunyai invers
Grup Komutatif
Jika M2(R) adalah semua matriks bertipe
2 x 2 dengan elemen-elemennya diambil
dari himpunan bilangan riil, apakah
merupakan suatu grup komutatif terhadap
operasi perkalian matriks?
38
Jika M2(R) adalah semua matriks bertipe 2 x 2
dengan elemen-elemennya diambil dari himpunan
bilangan riil, bukanlah suatu grup terhadap
operasi pergandaan matriks.
Jawab:
Pandang , jelas bahwa
tidak mempunyai invers di dalam M2(R)
Jadi M2(R) bukan grup terhadap pergandaan matriks.
)R(M00
102
00
10