Stochastic Geometry Architecture of Communication Networks
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8/2/2019 Stochastic Geometry Architecture of Communication Networks
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S t o c h a s t i c G e o m e t r y a n d A r c h i t e c t u r e o f
C o m m u n i c a t i o n N e t w o r k s
F r a n o i s B A C C E L L I
y
M a u r i c e K L E I N
z
M a r c L E B O U R G E S
x
S e r g u e i Z U Y E V
y
S e p t e m b e r 6 , 1 9 9 5
T h i s p a p e r p r o p o s e s a n e w a p p r o a c h f o r c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k s p l a n n i n g ;
t h i s a p p r o a c h i s b a s e d o n s t o c h a s t i c g e o m e t r y . W e r s t s u m m a r i z e t h e s t a t e o f
t h e a r t i n t h i s d o m a i n , t o g e t h e r w i t h i t s e c o n o m i c i m p l i c a t i o n s , b e f o r e s k e t c h i n g
t h e m a i n e x p e c t a t i o n s o f t h e p r o p o s e d m e t h o d . T h e m a i n p r o b a b i l i s t i c t o o l s a r e
p o i n t p r o c e s s e s a n d s t o c h a s t i c g e o m e t r y . W e s h o w h o w s e v e r a l p e r f o r m a n c e e v a l u -
a t i o n a n d o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s w i t h i n t h i s f r a m e w o r k c a n a c t u a l l y b e p o s e d a n d
s o l v e d b y c o m p u t i n g t h e m a t h e m a t i c a l e x p e c t a t i o n o f c e r t a i n f u n c t i o n a l s o f p o i n t
p r o c e s s e s . W e m a i n l y a n a l y z e m o d e l s b a s e d o n P o i s s o n p o i n t p r o c e s s e s , f o r w h i c h
a n a l y t i c a l f o r m u l a e c a n o f t e n b e o b t a i n e d , a l t h o u g h m o r e c o m p l e x m o d e l s c a n a l s o
b e a n a l y z e d , f o r i n s t a n c e v i a s i m u l a t i o n .
A M S 1 9 9 1 S u b j e c t C l a s s i c a t i o n . P r i m a r y : 6 0 D 0 5 , 9 0 B 1 2 , 9 3 A 3 0
S e c o n d a r y : 5 2 A 2 2 , 5 2 C 2 0 , 6 0 G 1 0 , 6 0 G 5 5 , 6 0 K 3 0 , 9 0 A 2 5 , 9 0 A 5 8 , 9 0 B 1 5 ,
9 3 A 1 3 , 9 3 A 1 5 , 9 3 C 3 5 , 9 3 E 2 3
T h e w o r k w a s s u p p o r t e d b y C N E T t h r o u g h t h e t w o r e s e a r c h g r a n t s 9 3 5 B a n d C T I
1 B 1 0 4
y
I N R I A , S o p h i a - A n t i p o l i s , F r a n c e
z
F r a n c e T E L E C O M , C N E T , I s s y L e s M o u l i n e a u x
x
F r a n c e T E L E C O M , D i r e c t i o n d u P l a n e t d e l a S t r a t g i e , P a r i s
1
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K e y w o r d s : S t o c h a s t i c m o d e l i n g , m a c r o s c o p i c m o d e l i n g , c e l -
l u l a r n e t w o r k s , V o r o n o i t e s s e l l a t i o n , h i e r a r c h i c a l m o d e l , m o -
b i l e c o m m u n i c a t i o n s , t e l e t r a f f i c , p o i n t p r o c e s s e s , P o i s s o n p r o -
c e s s
1 I n t r o d u c t i o n
T h i s p a p e r p r o p o s e s a n e w a p p r o a c h b a s e d o n s t o c h a s t i c g e o m e t r y t o m o d e l
t e l e c o m m u n i c a t i o n s n e t w o r k a r c h i t e c t u r e s f o r p u r p o s e s o f s t r a t e g i c p l a n n i n g
a n d e c o n o m i c a n a l y s i s . F i r s t w e s u m m a r i z e t h e s t a t e - o f - t h e - a r t i n t h e s e t w o
e l d s , b e f o r e s t a t i n g t h e b a s i c s a n d t h e a d v a n t a g e s o f t h e p r o p o s e d m e t h o d .
P r o b a b i l i s t i c m o d e l s , b a s e d o n g e o m e t r i c c o n s t r u c t i o n s r e l a t e d t o s t o c h a s t i c
p o i n t p r o c e s s e s , a r e t h e n i n t r o d u c e d ( 2 ) . I n 3 , w e s h o w h o w s e v e r a l c l a s s e s
o f p e r f o r m a n c e e v a l u a t i o n o r o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s c a n b e r e d u c e d t o t h e
c a l c u l a t i o n o f m o m e n t s o f f u n c t i o n a l s o f t h e u n d e r l y i n g p o i n t p r o c e s s e s . W e
m a i n l y s u m m a r i z e h e r e a n a l y t i c a l r e s u l t s o b t a i n e d f o r t h e h o m o g e n e o u s P o i s -
s o n m o d e l . M o r e c o m p l e x m o d e l s c a n b e a n a l y z e d b y s p a c e t r a n s f o r m a t i o n
o r b y s i m u l a t i o n ( s e e 1 ] ) . T h e m o d e l s i n t r o d u c e d i n t h e p a p e r s e e m g e n e r i c
a n d s h o u l d n d a p p l i c a t i o n s f o r o t h e r t y p e s o f p u b l i c n e t w o r k s .
1 . 1 S i t u a t i o n o f t h e p r o b l e m
T h e m o d e l i n g a p p r o a c h p r e s e n t e d i n t h i s p a p e r s e e m s r e l e v a n t i n t w o r e s e a r c h
d o m a i n s : s t r a t e g i c p l a n n i n g a n d e c o n o m i c a l m o d e l i n g o f t e l e c o m m u n i c a t i o n s
n e t w o r k . W e r s t b r i e y s u r v e y t h e s h o r t c o m i n g s o f c u r r e n t m e t h o d o l o g y i n
t h e s e d o m a i n s a n d t h e n e x p l a i n w h y o u r a p p r o a c h s h o u l d i m p r o v e e x i s t i n g
p r a c t i c e .
1 . 1 . 1 C u r r e n t m e t h o d s f o r s t r a t e g i c p l a n n i n g
C u r r e n t s t r a t e g i c p l a n n i n g m e t h o d s u s e a d e t a i l e d g e o g r a p h i c a l d e s c r i p t i o n
o f t h e n e t w o r k b o t h f o r t h e p r e s e n t a n d f o r t h e f u t u r e . T h e d e s c r i p t i o n o f t h e
f u t u r e r e s u l t s f r o m a n e x t r a p o l a t i o n o f t h e c u r r e n t n e t w o r k s t a t e f o r a f e w
e v o l u t i o n s c e n a r i o s . T o m e e t t h e f o r e c a s t d e m a n d , s t r a t e g i c p l a n n i n g h a s t o
c h o o s e b e t w e e n a f e w p o t e n t i a l a r c h i t e c t u r e s . T h e i r c o s t s a n d p e r f o r m a n c e s
a r e e v a l u a t e d v i a d e t a i l e d c a l c u l a t i o n s o f f u t u r e n e t w o r k c o n g u r a t i o n s . T h e
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a n a l y t i c a l r e s u l t s , s y n t h e s i z e d i n t o d i s c r i m i n a t i n g i n d i c a t o r s , h e l p t o c h o o s e
t h e b e s t a r c h i t e c t u r e a m o n g t h o s e t e s t e d . T h i s p r o c e s s u s u a l l y r e q u i r e s t h e
d e v e l o p m e n t o f s p e c i c s o f t w a r e o p t i m i z a t i o n p r o g r a m s a d a p t e d t o e a c h n e t -
w o r k a r c h i t e c t u r e .
T h i s a p p r o a c h u s e s a c o n s i d e r a b l e a m o u n t o f p a r a m e t e r s o u t o f w h i c h o n l y
s o m e s t a t i s t i c a l c h a r a c t e r i s t i c s a r e a c t u a l l y r e l e v a n t f o r s t r a t e g i c p l a n n i n g .
B u t t h e c l a s s i c a l a n a l y t i c a l n e t w o r k m o d e l s a r e n o t m e a n t t o i d e n t i f y s u c h
s t r u c t u r a l p a r a m e t e r s , w h i c h c a n o n l y b e e m p i r i c a l l y p e r c e i v e d b y e x p e r t s .
A s s t r u c t u r a l p a r a m e t e r s a r e n o t f o r m a l l y i d e n t i e d , t h e s e n s i t i v i t y o f
s t r a t e g i c p l a n n i n g c h o i c e s t o i n p u t d a t a a n d h y p o t h e s i s c a n o n l y b e e v a l u a t e d
o n e m p i r i c a l g r o u n d s . I t i s i n p a r t i c u l a r i m p o s s i b l e , w i t h t h i s m e t h o d o l o g y ,
t o k n o w t o w h a t e x t e n d t h e c o n c l u s i o n s o f a s t u d y s t a y v a l i d f o r d i e r e n t
n e t w o r k s , d i e r e n t e v o l u t i o n s c e n a r i o s o r d i e r e n t c o s t s o r p e r f o r m a n c e s h y -
p o t h e s i s .
1 . 1 . 2 N e t w o r k m o d e l i n g f o r e c o n o m e t r i c a l a n a l y s i s
T h e e c o n o m e t r i c s o f t e l e c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k s a r e b a s e d o n g l o b a l s t a t i s -
t i c s o n t h e n e t w o r k a n d t h e d e m a n d . U n t i l n o w , o n e i s n o t r e a l l y a b l e t o
i n t e g r a t e t h e s p a t i a l c h a r a c t e r i s t i c s o f n e t w o r k s . T h e p r o d u c t i o n a n d c o s t o f
t h e e s s e n t i a l n e t w o r k f u n c t i o n w h i c h c o n s i s t s i n c o n n e c t i n g p a i r s o f d i s t a n t
s u b s c r i b e r s , i s n o t i d e n t i e d . A n o t h e r s p e c i c i t y o f n e t w o r k s i s t h e i r a b i l i t y
t o s h a r e t h e r e s o u r c e s n e e d e d t o s e r v e d i e r e n t c o n n e c t i o n s r e q u e s t s . O p e r a -
t i o n R e s e a r c h m e t h o d s , a p p l i e d t o n e t w o r k d e s i g n p r o b l e m s , m o d e l c o r r e c t l y
t h e s e s p a t i a l c h a r a c t e r i s t i c s , b u t o n l y o n d e t a i l e d g e o g r a p h i c a l n e t w o r k d e -
s c r i p t i o n , a n d h a v e n o t b e e n t r a n s l a t e d i n t o m a c r o s c o p i c l a w s , a l l o w i n g f o r
i n s t a n c e t h e e x p r e s s i o n o f t h e n e t w o r k c o s t f u n c t i o n 4 ] .
1 . 1 . 3 T h e s t o c h a s t i c g e o m e t r y a p p r o a c h
A m a c r o s c o p i c n e t w o r k m o d e l , c a t c h i n g t h e e s s e n t i a l s p a t i a l c h a r a c t e r i s t i c s
o f n e t w o r k s e c o n o m y t h r o u g h a m i n i m u m n u m b e r o f s t r u c t u r a l p a r a m e t e r s ,
i s t h u s a n i m p o r t a n t r e s e a r c h s u b j e c t . T h e p r o p o s e d a p p r o a c h m o d e l s t h e
s p a c e w h e r e t h e n e t w o r k o p e r a t e s b y s t o c h a s t i c g e o m e t r y m e t h o d s . T h e
o b j e c t i v e s o f t h e m o d e l a r e :
t o l i m i t t h e p a r a m e t e r s t o t h o s e w h i c h d e t e r m i n e t h e n e t w o r k o p t i m a l
a r c h i t e c t u r e ;
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t o p r o v i d e a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n s f o r c o s t s o r p e r f o r m a n c e i n d i c a t o r s , i n
t e r m s o f t h e s e p a r a m e t e r s ; s u c h e x p r e s s i o n s c o n s t i t u t e t h e n t h e n e t w o r k
p r o d u c t i o n f u n c t i o n a n d l e a d t o m o r e e c i e n t c o m p a r i s o n s b e t w e e n
s t r a t e g i c a l t e r n a t i v e s ;
t o i n t e g r a t e n a t u r a l c o n s t r a i n t s o n t h e s p a t i a l r e p a r t i t i o n o f n e t w o r k
e l e m e n t s .
T h e b a s i c p r i n c i p l e c o n s i s t s i n a s t o c h a s t i c m o d e l o f t h e s p a t i a l c h a r a c t e r i s -
t i c s . T h e n e t w o r k d e s c r i p t i o n i s r e d u c e d t o t h e p a r a m e t e r s o f t h e s t o c h a s t i c
p r o c e s s e s a n d t h e d e c i s i o n v a r i a b l e s a r e f u n c t i o n a l s o f t h e s e p r o c e s s e s : t h e
c o m p a r i s o n b e t w e e n d e c i s i o n v a r i a b l e s i s t h e n b a s e d o n t h e p a r a m e t e r s o f t h e
s t o c h a s t i c p r o c e s s e s . B y t h i s w a y , t h e p r o d u c t i o n f u n c t i o n o f t e l e c o m m u n i -
c a t i o n s e r v i c e s c a n b e a n a l y t i c a l l y e x p r e s s e d .
2 S t o c h a s t i c m o d e l i n g
T h e s p a t i a l s t r u c t u r e s o b s e r v e d i n c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k s a r e u s u a l l y f a r
f r o m b e i n g r e g u l a r . F o r e x a m p l e , t h e z o n e s s e r v e d b y t e l e p h o n e c o n c e n t r a t o r s
o r t h e c e l l s h a n d l e d b y b a s e s t a t i o n s i n m o b i l e c o m m u n i c a t i o n s a r e f a r f r o m
t h e r e g u l a r h e x a g o n a l s h a p e w h i c h i s o f t e n t a k e n a s a r e f e r e n c e m o d e l .
I g n o r i n g t h e s e s t r u c t u r a l u c t u a t i o n s o f t h e g e o m e t r i c o b j e c t s m a y c a u s e
i m p o r t a n t b i a s o n t h e e v a l u a t i o n o f k e y s y s t e m c h a r a c t e r i s t i c s .
T h e s t o c h a s t i c m o d e l w h i c h w e p r o p o s e i n t h e p r e s e n t p a p e r a l l o w s o n e
t o t a k e t h e s e u c t u a t i o n s i n t o a c c o u n t . I t i s b a s e d o n a r e p r e s e n t a t i o n o f
t h e m a i n o b j e c t s o f t h e t e l e c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k ( s u b s c r i b e r s , s t a t i o n s ,
c a b l e s , m o b i l e s ) a s a r e a l i z a t i o n o f a f a m i l y o f s t o c h a s t i c p r o c e s s e s b e l o n g i n g
t o s i m p l e p a r a m e t r i c c l a s s e s .
I n w h a t f o l l o w s , w e r s t i n t r o d u c e a b a s i c c e l l m o d e l a n d s h o w t h a t s o m e
o f t h e k e y c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e n e t w o r k c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f s i m p l e
f u n c t i o n a l s o f t h e s e p r o c e s s e s . I n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s , w e w i l l s h o w h o w
t h e s e c h a r a c t e r i s t i c s c a n b e a n a l y t i c a l l y e v a l u a t e d .
2 . 1 T h e b a s i c c e l l m o d e l
T h e s i m p l e s t p r o b a b i l i s t i c m o d e l o f a t e l e p h o n e n e t w o r k i s t h a t w i t h a s i n g l e
h i e r a r c h i c a l l e v e l .
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T h e s u b s c r i b e r s a n d t h e s t a t i o n s a r e r e p r e s e n t e d t h r o u g h t h e i r c o o r d i -
n a t e s i n t h e p l a n e R
2
. E a c h s t a t i o n s e r v e s s u b s c r i b e r s l o c a t e d i n a c e r t a i n
a r e a . E q u i v a l e n t l y , t h e p l a n e i s s u b - d i v i d e d i n t o c e l l s , e a c h o f w h i c h i s s e r v e d
b y a u n i q u e s t a t i o n .
I n t h i s p a p e r , w e t a k e t h e a s s u m p t i o n t h a t s u b s c r i b e r s a r e s e r v e d b y t h e
t h e i r c l o s e s t s t a t i o n ; t h e y a r e l i n k e d t o t h i s s t a t i o n , e i t h e r b y a c a b l e o r b y a
r a d i o c h a n n e l a s i n m o b i l e c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k s .
T h u s t h e c e l l s e r v e d b y a s t a t i o n x
i
i s a c o n v e x p o l y g o n C
i
k n o w n a s
t h e V o r o n o i c e l l w i t h n u c l e u s x
i
, c o n s t r u c t e d w i t h r e s p e c t t o t h e s e t f x
j
g o f
s t a t i o n s . T h e V o r o n o i c e l l C
i
i s t h e i n t e r s e c t i o n o f h a l f p l a n e s H
i j
b o u n d e d
b y t h e b i s e c t o r s o f t h e s e g m e n t s x
i
; x
j
] a n d c o n t a i n i n g x
i
. T h e s y s t e m o f
a l l t h e c e l l s c r e a t e s a t e s s e l l a t i o n o f t h e p l a n e c a l l e d t h e V o r o n o i t e s s e l l a t i o n
( s e e F i g u r e 1 ) .
T h e m a i n i d e a o f o u r s t o c h a s t i c m o d e l i n g c o n s i s t s i n c o n s i d e r i n g t h e c o n -
g u r a t i o n o f t h e s u b s c r i b e r s a n d t h e s t a t i o n s a s r e a l i z a t i o n s o f s t o c h a s t i c
p o i n t p r o c e s s e s . I n m a n y a p p l i c a t i o n s t h e s e p r o c e s s e s c a n b e t a k e n i n d e p e n -
d e n t a n d P o i s s o n . T h e m a i n a d v a n t a g e o f a P o i s s o n p r o c e s s i s i t s s i m p l i c i t y .
T h e d i s t r i b u t i o n o f a P o i s s o n p r o c e s s i s c o m p l e t e l y d e n e d t h r o u g h t h e
i n t e n s i t y m e a s u r e r e p r e s e n t i n g t h e m e a n d e n s i t y o f p o i n t s . M o r e a c c u -
r a t e l y , t h e n u m b e r o f t h e p r o c e s s p o i n t s i n a B o r e l s e t B f o l l o w s t h e P o i s s o n
d i s t r i b u t i o n w i t h t h e p a r a m e t e r ( B ) a n d t h e n u m b e r o f p o i n t s i n d i s j o i n t
B o r e l s u b s e t s a r e i n d e p e n d e n t . A n a t u r a l t e c h n i c a l a s s u m p t i o n i s t h a t t h e
m e a s u r e i s l o c a l l y n i t e , e . g . ( B ) > 1 , w h i c h r e e c t s t h e
p o l i c y t o s e t m o r e s t a t i o n s i n t h e p l a c e s w h e r e t h e r e a r e m o r e s u b s c r i b e r s .
T h e b o u n d a r i e s o f t h e V o r o n o i c e l l s w h i c h n o w b e c o m e a r a n d o m c l o s e d
s e t , h a v e L e b e s g u e m e a s u r e 0 . I f t h e i n t e n s i t y m e a s u r e s a r e d i u s e , i . e .
t h e y h a v e d e n s i t y w i t h r e s p e c t t o t h e L e b e s g u e m e a s u r e , e a c h
0
- p o i n t ( e a c h
s u b s c r i b e r ) l i e s w i t h p r o b a b i l i t y 1 i n a u n i q u e V o r o n o i c e l l c o n s t r u c t e d w i t h
r e s p e c t t o t h e p r o c e s s
1
( i n o t h e r w o r d s , b e l o n g s t o t h e z o n e o f s e r v i c e o f
a u n i q u e s t a t i o n ) . T h e t y p e o f c o n n e c t i o n s b e t w e e n s t a t i o n s a n d b e t w e e n
5
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t h e s t a t i o n a n d i t s s u b s c r i b e r s a r e t h e s u b j e c t o f f u r t h e r s p e c i c a t i o n . F o r
e x a m p l e , t h e s t a t i o n s c a n b e d i r e c t l y l i n k e d i f t h e i r c e l l s a r e n e i g h b o u r s i n
t h e V o r o n o i t e s s e l l a t i o n . I n t h i s c a s e , t h e s e l i n k s f o r m t h e s o c a l l e d D e l a u n a y
t r i a n g u l a t i o n . A n o t h e r p o s s i b i l i t y i s t o c o n n e c t d i r e c t l y a l l t h e s t a t i o n s w i t h i n
a s p e c i e d d i s t a n c e R . S i m i l a r l y , t h e s u b s c r i b e r s c a n b e c o n n e c t e d t o t h e i r
s t a t i o n e i t h e r v i a d i r e c t c a b l e s r e p r e s e n t e d b y s e g m e n t s ( s t a r n e t w o r k ) , o r
v i a i n t e r m e d i a t e c o n c e n t r a t o r s ( m u l t i - l e v e l h i e r a r c h i c a l n e t w o r k a s d e s c r i b e d
i n t h e n e x t s e c t i o n ) , o r b y s o m e s p a n n i n g g r a p h , o r b y s o m e m i x t u r e o f t h e s e
a r c h i t e c t u r e s .
A t y p i c a l c o n g u r a t i o n o f t h e d e s c r i b e d m o d e l i n t h e h o m o g e n e o u s s t a r
n e t w o r k c a s e i s s h o w n i n F i g u r e 1 .
H e r e a r e t h e m a i n d i s t r i b u t i o n s o f i n t e r e s t f o r t h i s m o d e l :
t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e g e o m e t r i c c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e c e l l s ; e . g . t h e
s u r f a c e , t h e b o u n d a r y l e n g t h , t h e n u m b e r o f a d j a c e n t c e l l s e t c . ;
t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e n u m b e r o f s u b s c r i b e r s w i t h i n a c e l l ;
t h e t o t a l l e n g t h o f c o n n e c t i o n s b e t w e e n s u b s c r i b e r s a n d t h e s t a t i o n t o
w h i c h t h e y a r e c o n n e c t e d ;
t h e d i s t r i b u t i o n o f g e o m e t r i c c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e c o n n e c t i o n s b e t w e e n
t h e s t a t i o n s .
2 . 2 H i e r a r c h i c a l m o d e l
R e a l t e l e c o m m u n i c a t i o n s n e t w o r k s h a v e c o m p l i c a t e d s t r u c t u r e s , w h e r e t h e
s t a t i o n s p l a y d i e r e n t r o l e s d e p e n d i n g o n t h e i r l e v e l o f h i e r a r c h y .
H e r e w e u s e t h e t e r m s t a t i o n s i n a b r o a d s e n s e , i n c l u d i n g f o r i n s t a n c e t h e
c o n c e n t r a t i o n n o d e s w h e r e c a b l e s m e e t . T h e l e v e l o f a s t a t i o n c o r r e s p o n d s
m o r e o r l e s s t o t h e m i n i m a l n u m b e r o f s t a t i o n s s t a n d i n g b e t w e e n t h i s s t a t i o n
a n d a n e t w o r k s u b s c r i b e r . W e w i l l c a l l 0 - l e v e l s t a t i o n s t h e s u b s c r i b e r s t h e m -
s e l v e s . T h e 1 - s t l e v e l s t a t i o n s a r e t h e s t a t i o n s d i r e c t l y c o n n e c t e d t o 0 - l e v e l
s t a t i o n s . T h e 2 - n d l e v e l s t a t i o n s s e r v e t h e 1 - s t l e v e l s t a t i o n s t o w h i c h t h e y
a r e d i r e c t l y c o n n e c t e d e t c . T h e h i e r a r c h i c a l s t r u c t u r e o f e x i s t i n g s y s t e m s
i s w e l l s e e n i n t h e f o l l o w i n g c h a i n : s u b s c r i b e r s , d i s t r i b u t i o n p o i n t s , r e m o t e
d i s t r i b u t i o n p o i n t s , r e m o t e c o n c e n t r a t o r s , l o c a l e x c h a n g e e t c . , t h o u g h i n r e -
a l i t y i t i s r a r e l y o b s e r v e d i n a p u r e f o r m . N e v e r t h e l e s s , t h e f o l l o w i n g m o d e l
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0
W(0)
S t a t i o n s
S u b s c r i b e r s
C a b l e s
C e l l b o u n d a r i e s
F i g u r e 1 : T h e B a s i c m o d e l w i t h a s i n g l e h i e r a r c h i c a l l e v e l o f s t a t i o n s ( t h e
c o n n e c t i o n s b e t w e e n s t a t i o n s a r e n o t s p e c i e d )
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s e e m s r e a s o n a b l e a s t h e r s t a p p r o a c h t o t h e d e s c r i p t i o n o f s u c h m u l t i - l e v e l
s y s t e m s .
I n t h i s m o d e l t h e r e a r e N l e v e l s o f s t a t i o n s , w h e r e N c a n t a k e a n y i n t e g e r
v a l u e . T h e c a s e N = 1 i s n o t e x c l u d e d . T h e s t a t i o n s o f l e v e l i a r e r e p r e -
s e n t e d b y a r e a l i z a t i o n o f a h o m o g e n e o u s P o i s s o n p r o c e s s
i
. T h e p r o c e s s e s
0
;
1
; : : : ;
N
a r e s u p p o s e d t o b e i n d e p e n d e n t w i t h d e c r e a s i n g i n t e n s i t i e s :
0
>
1
> : : : >
N
E x c e p t f o r s t a t i o n s o f l e v e l N , i n t h e p u r e h i e r a r c h i c a l m o d e l , s t a t i o n s
w i t h t h e s a m e l e v e l h a v e n o d i r e c t c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e m . A s i n t h e b a s i c
m o d e l t h e s t a t i o n s o f l e v e l j ( j = 0 ; : : : ; N ? 1 ) a r e c o n n e c t e d t o t h e i r c l o s e s t
s t a t i o n s o f l e v e l j + 1 . T h e s t r u c t u r e o f t h e b a s i c m o d e l r e p e a t s i t s e l f a t
e a c h l e v e l : t h e c e l l s o f t h e s t a t i o n s o f l e v e l j f o r m t h e V o r o n o i t e s s e l l a t i o n
o f t h e p l a n e w i t h r e s p e c t t o t h e p r o c e s s
j
a n d t h e s t a t i o n s o f l e v e l j ? 1
c o n t a i n e d i n a c e l l o f a s t a t i o n x
( j )
o f l e v e l j a r e d i r e c t l y c o n n e c t e d t o t h e
l a t t e r . T h a n k s t o t h a t s i m i l a r i t y , t h e m a i n c h a r a c t e r i s t i c s o f t h i s m o d e l c a n
b e e x p r e s s e d b y t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e b a s i c m o d e l .
F i g u r e 2 s h o w s a t y p i c a l c o n g u r a t i o n o f a h i e r a r c h i c a l s t a r n e t w o r k
m o d e l .
2 . 3 M o d e l i n g r e q u e s t s f o r c o m m u n i c a t i o n s
T h e s i m p l e s t m o d e l o f r e q u e s t s i s b a s e d o n t h e h i e r a r c h i c a l c e l l m o d e l . F i x
t h e c o n g u r a t i o n s o f a l l p r o c e s s e s
i
= f x
( i )
1
; x
( i )
2
; : : : g i = 0 ; 1 ; : : : ; N ;
a n d d e n o t e b y f V
( i )
( x
( i )
k
) g
1
k = 1
t h e V o r o n o i c e l l o f s t a t i o n x
( i )
k
o f l e v e l i , w i t h
r e s p e c t t o t h e p r o c e s s
i
. F o r a l m o s t a l l x 2 R
2
t h e r e e x i s t s a u n i q u e c e l l
V
( i )
( x ) ( a c e l l o f l e v e l i ) w h i c h c o n t a i n s x . L e t n
( i )
( x ) d e n o t e i t s n u c l e u s , i . e .
t h e i - l e v e l s t a t i o n w h i c h i s t h e c l o s e s t t o x
I n o u r m o d e l , a s t a t i o n o f l e v e l i c a l l s a s t a t i o n o f a l e v e l j l o c a t e d a t t h e
d i s t a n c e r o f i t w i t h i n t e n s i t y f
i j
( r ) , i n d e p e n d e n t l y o f a l l o t h e r s t a t i o n s a n d
o f o n g o i n g c o m m u n i c a t i o n s . T h e c o n d i t i o n s
N
X
j = 0
Z
1
0
r f
i j
( r ) d r
-
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F i g u r e 2 : H i e r a r c h i c a l s t a r n e t w o r k m o d e l w i t h 3 l e v e l s o f s t a t i o n s .
9
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W e n o w d e s c r i b e t h e c i r c u i t s w i t c h i n g s c h e m e . G i v e n t h e a v a i l a b i l i t y o f
t h e r e q u i r e d r e s o u r c e s , a c o m m u n i c a t i o n r e q u e s t f r o m x
( i )
t o x
( j )
i s r o u t e d
a s f o l l o w s . L e t h = h ( x
( i )
; x
( j )
) b e t h e m i n i m a l h i e r a r c h y l e v e l s u c h t h a t
V
( h )
( x
( i )
) = V
( h )
( x
( j )
) o r h = N i f t h e r e i s n o s u c h i . T h e c o m m u n i c a t i o n i s
e s t a b l i s h e d v i a d i r e c t l i n k s f r o m x
( i )
t o n
( i + 1 )
( x
( i )
) , t h e n f r o m n
( i + 1 )
( x
( i )
) t o
n
( i + 2 )
( x
( i )
) e t c . , t o n
( h )
( x
( i )
) ; a f t e r t h a t v i a l i n k s f r o m n
( h )
( x
( i )
) t o n
( h )
( x
( j )
)
( v i a c o n n e c t i o n s b e t w e e n s t a t i o n s o f t h e h i g h e s t l e v e l N i f h = N ) a n d n a l l y
v i a l i n k s f r o m n
( h )
( x
( j )
) t o n
( h ? 1 )
( x
( j )
) , e t c . a n d f r o m n
( j + 1 )
( x
( j )
) t o x
( j )
I n
t h e c a s e w h e n V
( h )
( x
( i )
) = V
( h )
( x
( j )
) f o r a c e r t a i n h , t h e r e e x i s t s a u n i q u e
r o u t e o f t h e d e s c r i b e d f o r m b e t w e e n x
( i )
a n d x
( j )
. T h e v a r i a b l e h w i l l b e
c a l l e d t h e h e i g h t o f c o m m u n i c a t i o n b e t w e e n x
( i )
a n d x
( j )
2 . 4 M o b i l e c o m m u n i c a t i o n s
W i r e l e s s c o m m u n i c a t i o n s y s t e m s c a n b e i n t e g r a t e d w i t h i n o u r f r a m e w o r k b y
a d d i n g :
1 . a m o d e l f o r t h e r o a d s y s t e m ;
2 . a m o d e l o f t r a c o n t h e r o a d s ;
3 . a m o d e l f o r t h e r a d i o c o m m u n i c a t i o n h a n d l i n g ( a l l o c a t i o n , c a p t u r i n g ,
r e l e a s e , h a n d o v e r ) .
T h e b a s i c m o d e l c a n b e u s e d a s f o l l o w s : t h e e m i s s i o n / r e c e p t i o n s t a t i o n s
( a n t e n n a s ) a r e r e p r e s e n t e d b y a p o i n t p r o c e s s ( e q u i v a l e n t t o t h e r s t l e v e l
s t a t i o n s ) w i t h r e s p e c t t o w h i c h a r a n d o m p r o c e s s o f r a d i o t e l e p h o n e u s e r s
p l a y s t h e s a m e r o l e a s t h e p r o c e s s o f x e d s u b s c r i b e r s i n t h e b a s i c m o d e l .
I n c o n t r a s t , o n e o f t h e m a i n p e c u l i a r i t i e s o f m o b i l e c o m m u n i c a t i o n s y s t e m s
i s t h e p h e n o m e n o n o f h a n d o v e r w h i c h c o n s i s t s i n r e r o u t i n g t h e c a l l w h e n a
m o b i l e w i t h c o m m u n i c a t i o n i n p r o g r e s s m o v e s f r o m o n e c e l l t o a n o t h e r .
A s a m o d e l f o r t h e r o a d s y s t e m , w e p r o p o s e t h e s o - c a l l e d P o i s s o n l i n e
p r o c e s s , w h e r e e a c h l i n e i s c h a r a c t e r i z e d b y t h e f o l l o w i n g p a r a m e t e r s :
p i s t h e d i s t a n c e f r o m t h e l i n e t o t h e o r i g i n , t a k e n p o s i t i v e i f t h e l i n e i s
a b o v e 0 a n d n e g a t i v e o t h e r w i s e ( f o r v e r t i c a l l i n e s , p i s t h e a b s c i s s a o f
t h e i n t e r s e c t i o n p o i n t o f t h e l i n e w i t h t h e a b s c i s s a a x i s ) .
( 0 < ) i s t h e a n g l e b e t w e e n t h e l i n e a n d t h e a b s c i s s a a x i s
( i n c l i n a t i o n ) ;
1 0
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i s t h e t y p e o f t h e r o a d r e p r e s e n t e d b y t h e l i n e ( h i g h w a y , o n e - w a y
r o a d , e t c . ) ;
i s t h e p a r a m e t e r d e n i n g t h e t r a c c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e r o a d .
T h e r o a d s y s t e m i s m o d e l e d b y a r e a l i z a t i o n o f a P o i s s o n p r o c e s s i n t h e
p h a s e s p a c e R 0 ; ) S T , w h e r e t h e p a r t E = R 0 ; ) S r e p r e s e n t s
t h e p o s i t i o n a n d t h e t y p e o f t h e r o a d a n d T i s t h e s p a c e o f t r a c p a r a m e t e r s
o n a r o a d , i . e . t h e p a r a m e t e r s a l l o w i n g o n e t o c h a r a c t e r i z e t h e p o s i t i o n s a n d
t h e v e l o c i t i e s o f t h e v e h i c l e s o n a r o a d .
I n t h e h o m o g e n e o u s c a s e ( i . e . w h e n t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e p r o c e s s i s l e f t
i n v a r i a n t b y s h i f t s i n t h e p l a n e ) , t h e i n t e n s i t y m e a s u r e t a k e s t h e f o r m :
r
d p O ( d ) Q ( ; d ) T ( ; ; d ) ;
w h e r e
r
i s t h e d e n s i t y o f r o a d s ,
t h e p r o b a b i l i t y m e a s u r e O ( d ) o n 0 ; ) g i v e s t h e o r i e n t a t i o n d i s t r i b u -
t i o n o f a t y p i c a l r o a d ,
Q ( ; d ) i s t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e t y p e o f a r o a d h a v i n g i n c l i n a t i o n ,
T ( ; ; d ) i s t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e t r a c p a r a m e t e r s o n a r o a d o f
t y p e a n d i n c l i n a t i o n
I f t h e o r i e n t a t i o n d i s t r i b u t i o n O i s u n i f o r m , w e o b t a i n a n i s o t r o p i c r o a d
m o d e l . I f , i n c o n t r a s t , O h a s t w o a t o m s f 0 g a n d f = 2 g , w e o b t a i n t h e M a n -
h a t t a n t y p e m o d e l , w h e r e t h e m a s s e s o f t h e a t o m s r e p r e s e n t t h e f r e q u e n c i e s
o f t h e r o a d s i n e a c h d i r e c t i o n .
U s i n g m e a s u r e Q , o n e c a n t a k e i n t o a c c o u n t d i e r e n t c h a r a c t e r i s t i c s o n
r o a d s o f d i e r e n t d i r e c t i o n s ( i n M a n h a t t a n t h e a v e n u e s a r e l a r g e r t h a n t h e
s t r e e t s )
T h e s i m p l e s t t r a c m o d e l o n a r o a d i s a P o i s s o n m a r k e d p r o c e s s . F o r
e a c h r o a d D
i
= ( p
i
;
i
;
i
) o f t h e l i n e p r o c e s s , l e t x
( i )
d e n o t e t h e l o c a l c o o r -
d i n a t e s a n d c o n s i d e r a s e t o f i n d e p e n d e n t P o i s s o n p r o c e s s e s a s s o c i a t e d w i t h
t h e l i n e s o f t h e p r o c e s s . T h e p r o c e s s
i
o n a x e d l i n e D
i
i s d e n e d o n
t h e p h a s e s p a c e R R a n d d r i v e n b y t h e i n t e n s i t y m e a s u r e
( i )
t
d x
( i )
V
( i )
( d v )
1 1
-
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H e r e t h e p a r a m e t e r
( i )
t
g i v e s t h e d e n s i t y o f t h e t r a c a n d V
( i )
( d v ) i s t h e
v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n o f a t y p i c a l v e h i c l e ( w h i c h c a n b e p o s i t i v e o r n e g a t i v e
w i t h r e s p e c t t o t h e l o c a l c o o r d i n a t e s ) . A l l t h e s e p a r a m e t e r s d e p e n d o n t h e
i n c l i n a t i o n a n d t h e t y p e o f t h e r o a d D
i
. A r e a l i z a t i o n o f t h i s p r o c e s s h a s t h e
f o l l o w i n g f o r m
i
( 0 ) =
X
j
( x
( i )
j
; v
j
)
;
w h e r e t h e r s t t e r m g i v e s t h e p o s i t i o n o f t h e j - t h v e h i c l e a t a x e d t i m e , s a y ,
0 a n d t h e s e c o n d o n e g i v e s i t s v e l o c i t y . A f t e r a t i m e t t h e p r o c e s s b e c o m e s
i
( t ) =
X
j
( x
( i )
j
+ v
j
t ; v
j
)
A n i m p o r t a n t p r o p e r t y o f a h o m o g e n e o u s P o i s s o n p r o c e s s i s t h a t t h e d i s t r i -
b u t i o n o f t h e p r o c e s s
i
( t ) c o i n c i d e s w i t h t h a t o f
i
( 0 ) ( t h i s r e s u l t i s k n o w n
a s B a r l e t t ' s T h e o r e m ( c f 7 ] , p p . 5 9 - 6 0 a n d 4 9 ] ) .
W h e n u s i n g t h i s t r a c m o d e l , o n e c a n t a k e f o r s p a c e T t h e s p a c e o f
c o u n t i n g m e a s u r e s o n R
2
. T h e n T ( ; ; ) i s t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e P o i s s o n
p r o c e s s w i t h i n t e n s i t y m e a s u r e
t
( ; ) d x V ( ; ) ( d v ) ( i n t h e p r e v i o u s n o t a -
t i o n s
t
(
i
;
i
) =
( i )
t
a n d V (
i
;
i
) ( d v ) = V
( i )
( d v ) ) . F o r t h i s m o d e l , h e r e a r e
t h e m o s t i m p o r t a n t d i s t r i b u t i o n s o f i n t e r e s t :
t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e n u m b e r o f v e h i c l e s i n a x e d c e l l ;
t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e n u m b e r o f c e l l b o u n d a r y c r o s s i n g s i n a s p e c i e d
t i m e u n i t ( t h e h a n d o v e r e e c t e x p l a i n e d e a r l i e r ) ;
t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e s o j o u r n t i m e o f a t y p i c a l v e h i c l e i n a c e l l e t c .
3 A n a l y t i c a l r e s u l t s
3 . 1 B a s i c c e l l m o d e l
R a n d o m V o r o n o i a n d D e l a u n a y t e s s e l l a t i o n s a r e w e l l k n o w n o b j e c t s i n s t o c h a s -
t i c g e o m e t r y . T h e r s t t w o m o m e n t s o f t h e d i s t r i b u t i o n s o f t h e m a i n g e o -
m e t r i c c h a r a c t e r i s t i c s c a n b e f o u n d , e . g . i n 1 0 ] , 8 ] .
F r o m t h i s , o n e o b t a i n s t h e m o m e n t s o f t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e s u r f a c e
o f a t y p i c a l c e l l , i t s p e r i m e t e r e t c . A t y p i c a l c e l l h e r e m e a n s t h e c e l l o f a
1 2
-
8/2/2019 Stochastic Geometry Architecture of Communication Networks
13/24
s t a t i o n " c h o s e n a t r a n d o m " a m o n g a l l t h e s t a t i o n s o f
1
. A n a p p r o p r i a t e
m a t h e m a t i c a l d e n i t i o n i s p r o v i d e d b y P a l m t h e o r y . B y t h e e r g o d i c t h e o r e m
( c f . 5 ] , p . 4 8 5 ) , t h e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n o f s o m e c h a r a c t e r i s t i c Z o f a p o i n t ,
o b t a i n e d t h r o u g h a n o b s e r v a t i o n o f t h e p r o c e s s i n a l a r g e s q u a r e ( w i n d o w )
o f s i z e R , c o n v e r g e s a s R g r o w s t o i n n i t y , t o t h e P a l m d i s t r i b u t i o n o f t h a t
c h a r a c t e r i s t i c . O n t h e o t h e r h a n d , S l i v n y a k ' s T h e o r e m ( c f . 1 1 ] , p p . 1 1 4
1 1 5 ] ) s t a t e s t h a t t h e P a l m d i s t r i b u t i o n o f Z c o i n c i d e s w i t h t h e d i s t r i b u t i o n
o f t h e c h a r a c t e r i s t i c Z o f p o i n t 0 , w h e r e t h e p o i n t a t 0 i s a d d e d t o e a c h
c o n g u r a t i o n o f t h e h o m o g e n e o u s P o i s s o n p r o c e s s . T h e V o r o n o i c e l l o f p o i n t
0 i s d e n o t e d C
0
M a n y i n t e r e s t i n g c h a r a c t e r i s t i c s o f a t y p i c a l
1
- p o i n t ( s t a t i o n ) f a l l i n t o
t h e f o l l o w i n g c l a s s o f f u n c t i o n a l s :
S
f
d e f
=
X
x
i
2
0
f ( x
i
) 1 f x
i
2 C
0
g ;
w h e r e f ( x ) : R
2
7! R
+
i s a g i v e n n o n - n e g a t i v e f u n c t i o n . O f t e n i n p r a c t i c e t h e
f u n c t i o n f ( x ) d e p e n d s o n l y o n t h e d i s t a n c e j x j a n d h a s t h e f o r m f ( x ) = D j x j
f o r s o m e n o n - n e g a t i v e p a r a m e t e r s ; D
T h e m o s t i n t e r e s t i n g c a s e s a r e :
N , t h e n u m b e r o f
0
- p a r t i c l e s ( s u b s c r i b e r s ) i n a t y p i c a l c e l l ( h e r e =
0 ; D = 1 ) ;
L , t h e s u m o f t h e d i s t a n c e s b e t w e e n a l l
0
- p a r t i c l e s ( s u b s c r i b e r s ) i n a
t y p i c a l c e l l a n d i t s n u c l e u s ( t h e i r c o r r e s p o n d i n g s t a t i o n ) .
T h e v a r i a b l e L c o r r e s p o n d s t o t h e v a l u e s = 1 ; D = 1 a n d g i v e s a n e s t i m a t e
o f t h e t o t a l c a b l e l e n g t h f o r c o n n e c t i n g s u b s c r i b e r s t o s t a t i o n s . A b e t t e r
e s t i m a t e t o t h e t o t a l c a b l e l e n g t h c a n b e o b t a i n e d b y a d j u s t i n g t h e p a r a m e t e r
r e l a t i n g t h e g e o g r a p h i c d i s t a n c e t o t h e c o r r e s p o n d i n g c a b l e l e n g t h ; t h i s
p a r a m e t e r c a n b e e s t i m a t e d t h r o u g h t h e a n a l y s i s o f r e a l d a t a .
I n t h e r e s t o f t h i s s u b s e c t i o n , w e p r e s e n t a n a l y t i c a l r e s u l t s o b t a i n e d i n
6 ] .
T h e o r e m 1 L e t f ; f
1
a n d f
2
b e n o n - n e g a t i v e f u n c t i o n s d e n e d o n R
2
f o r
w h i c h t h e i n t e g r a l s b e l o w e x i s t . T h e n
( i ) E S
f
=
0
Z
f ( x ) e
?
1
x
2
d x ; ( 1 )
1 3
-
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( i i ) c o v ( S
f
1
; S
f
2
) =
0
Z
f
1
( x ) f
2
( x ) e
?
1
x
2
d x
+
2
0
Z Z
f
1
( x
1
) f
2
( x
2
) e
?
1
A ( x
1
; x
2
)
? e
?
1
( x
1
2
+ x
2
2
)
] d x
1
d x
2
; ( 2 )
w h e r e A ( x
1
; x
2
) i s t h e a r e a o f t h e u n i o n o f t w o d i s c s o f r a d i i x
1
a n d x
2
c e n t e r e d
i n x
1
; x
2
, r e s p e c t i v e l y .
I n p a r t i c u l a r , t h e r s t t w o m o m e n t s o f t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e v a r i a b l e s N
a n d L a r e g i v e n b y :
E N =
0
1
( 3 )
E L =
0
2
3 = 2
1
( 4 )
v a r N =
0
1
+ 0 2 8 0
2
0
2
1
( 5 )
v a r L =
0
2
1
+ 0 1 4 7
2
0
3
1
( 6 )
c o v ( N ; L ) =
0
2
3 = 2
1
+ 0 1 9 7
2
0
5 = 2
1
( 7 )
T h e p r o o f o f t h i s t h e o r e m i s b a s e d o n t h e P a l m t h e o r y o b s e r v a t i o n s , i n
p a r t i c u l a r , o n C a m p b e l l ' s T h e o r e m ( c f . 1 1 ] , p . 9 9 ) .
T h e n e x t r e s u l t c o n c e r n s t h e t a i l d e c a y o f t h e d i s t r i b u t i o n o f S
f
, w h e n
f ( x ) = D j x j
. I t i s b a s e d o n l a r g e d e v i a t i o n t e c h n i q u e s .
T h e o r e m 2 T h e r e e x i s t p o s i t i v e c o n s t a n t s A
1
; A
2
; C
1
a n d C
2
d e p e n d i n g o n
0
a n d
1
o n l y , s u c h t h a t f o r a l l p o s i t i v e x
A
1
x
? 1 = ( 2 + )
e x p ( ? C
1
x
2 = ( 2 + )
) x g < A
2
e x p ( ? C
2
x
2 = ( 2 + )
) ( 8 )
I n p a r t i c u l a r , f o r a l l n 2 N ,
( 1 + 4
1
=
0
)
? n
-
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15/24
T h e c o n s t a n t s A
i
; C
i
( i = 1 ; 2 ) a r e t h e u n i q u e s o l u t i o n s o f c e r t a i n e q u a -
t i o n s . I n t h e l i m i t i n g c a s e , w h e n
d e f
=
1
=
0
v a n i s h e s , t h e d e c a y r a t e c o n -
s t a n t s C
i
b e c o m e :
C
1
=
1
2 = ( 2 + )
0
2
2 +
2 D
!
2 = ( 2 + )
( 1 + o ( 1 ) ) ;
C
2
=
1
2 = ( 2 + )
0
2 +
D
!
2 = ( 2 + )
( 1 + o ( 1 ) )
M o r e c o m p l e t e r e s u l t s c a n b e f o u n d i n 6 ] . T h e s e r e s u l t s a r e u s e f u l f o r
s t a t i s t i c a l e s t i m a t i o n o f t h e n u m b e r o f s u b s c r i b e r s a n d t h e t o t a l c a b l e l e n g t h
i n a c e l l .
3 . 2 T r a c i n t h e h i e r a r c h i c a l m o d e l
W e u s e t h e n o t a t i o n s o f S e c t i o n 2 . 3 . R e p l a c i n g t h e p r o c e s s e s
0
a n d
1
b y
i
a n d
i + 1
, o n e o b t a i n s t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e n u m b e r o f s t a t i o n s o f l e v e l
i i n a c e l l o f t h e l e v e l i + 1 a n d t h e l e n g t h o f c a b l e s c o n n e c t i n g t h e m b y u s i n g
t h e r e s u l t s o f t h e S e c t i o n 3 . 1 .
L e t Q ( ) b e t h e p r o b a b i l i t y t h a t t w o x e d p o i n t s o f t h e p l a n e , d i s t a n t o f
, b e l o n g t o t h e s a m e V o r o n o i c e l l o f a t e s s e l l a t i o n c o n s t r u c t e d w i t h r e s p e c t
t o a h o m o g e n e o u s P o i s s o n p r o c e s s w i t h i n t e n s i t y 1 . S i m p l e s c a l i n g c o n s i d e r -
a t i o n s g i v e t h a t t h e s a m e p r o b a b i l i t y f o r a P o i s s o n p r o c e s s w i t h i n t e n s i t y
i s Q (
p
) . U s i n g t h e i n d e p e n d e n c e b e t w e e n t h e p r o c e s s e s
0
; : : : ;
N
, w e
o b t a i n t h a t t h e p r o b a b i l i t y H
i j
( r ; h ) t o h a v e a c o m m u n i c a t i o n o f a h e i g h t h
b e t w e e n a s t a t i o n x
( i )
o f l e v e l i a n d a s t a t i o n x
( j )
o f l e v e l j d i s t a n t o f r f r o m
i t , c a n b e e x p r e s s e d b y t h e f o l l o w i n g f o r m u l a e :
H
i j
( r ; h ) =
8
>
:
0 ; i f h < i _ j o r h = i = j < N ;
e x p ( ?
i _ j
r
2
) ; i f h = i _ j < N ; i 6= j ;
1 ; i f h = i _ j = N ;
H
i j
( r ; h ) =
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
( 1 ? e x p ( ?
i _ j
r
2
) ) Q ( r
p
h
)
Q
h ? 1
m = i _ j + 1
( 1 ? Q ( r
p
m
) ) ;
i f h = i _ j + 1 ; : : : ; N ? 1 ; i 6= j ;
( 1 ? e x p ( ?
i _ j
r
2
) )
Q
N ? 1
m = i _ j + 1
( 1 ? Q ( r
p
m
) ) ;
i f h = N ; i 6= j ;
1 5
-
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a n d
H
i i
( r ; h ) =
8
>
:
Q ( r
p
h
)
Q
h ? 1
m = i + 1
( 1 ? Q ( r
p
m
) ) ; i f h = i + 1 ; : : : ; N ? 1 ;
Q
N ? 1
m = i + 1
( 1 ? Q ( r
p
m
) ) ; i f h = N ,
w h e r e i _ j = m a x f i ; j g
T h e t e r m 1 ? e x p ( ?
i _ j
r
2
) a b o v e i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e s t a t i o n
x
( m i n f i ; j g )
o f t h e l o w e r l e v e l d o e s n o t b e l o n g t o t h e c e l l o f t h e s t a t i o n x
( m a x f i ; j g )
o f t h e h i g h e r l e v e l ( t h a t i s a l w a y s t r u e i f i = j ) . T h e o t h e r t e r m s g i v e t h e
p r o b a b i l i t y t h a t t h e l e a s t l e v e l c e l l c o n t a i n i n g t h e t w o s t a t i o n s h a s l e v e l h
T h i s d i s t r i b u t i o n a l l o w s o n e t o e x p r e s s m a n y c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e m o d e l .
I n 1 ] , t h e f o l l o w i n g c h a r a c t e r i s t i c s w e r e o b t a i n e d :
T h e m e a n n u m b e r o f c a l l s o f h e i g h t h g i v e n b y a x e d s t a t i o n o f l e v e l
i b y u n i t o f t i m e :
M
i
( h ) = 2
N
X
j = 0
j
Z
+ 1
0
r f
i j
( r ) H
i j
( r ; h ) d r
I n a s y s t e m w i t h o u t c a p a c i t y c o n s t r a i n t s , t h e m e a n n u m b e r o f c o m m u -
n i c a t i o n s o f l e v e l h f o r a s t a t i o n o f l e v e l i :
2
N
X
j = 0
j
Z
+ 1
0
r f
i j
( r ) T
i j
( r ; h ) H
i j
( r ; h ) d r ;
w h e r e T
i j
( r ; h ) i s t h e m e a n d u r a t i o n o f a c o m m u n i c a t i o n o f h e i g h t h
f r o m a i - l e v e l s t a t i o n t o a j - l e v e l s t a t i o n a t d i s t a n c e r o f i t .
T h e f u n c t i o n 1 ? Q ( ) i s k n o w n a s t h e l i n e a r c o n t a c t d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n o f
a p l a n a r V o r o n o i t e s s e l l a t i o n ( c f . 9 ] ) . I t s n u m e r i c a l v a l u e s a s w e l l a s e x p l i c i t
u p p e r a n d l o w e r b o u n d s a r e g i v e n i n 1 ] .
3 . 3 M o b i l e c o m m u n i c a t i o n m o d e l s
W e u s e t h e n o t a t i o n s o f t h e m o d e l f o r m o b i l e c o m m u n i c a t i o n s i n t r o d u c e d i n
S e c t i o n 2 . 4 .
W e a r e i n t e r e s t e d h e r e i n s o m e c h a r a c t e r i s t i c o f t h e t r a c , e x p r e s s e d
a s a n o n - n e g a t i v e r a n d o m v a r i a b l e , t h e d i s t r i b u t i o n o f w h i c h , d e n o t e d b y T ,
d e p e n d s o n t h e p o s i t i o n a n d t h e t y p e o f t h e r o a d u n d e r c o n s i d e r a t i o n . M o r e
s p e c i c a l l y ,
1 6
-
8/2/2019 Stochastic Geometry Architecture of Communication Networks
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D
w i l l b e a f a m i l y o f r a n d o m v a r i a b l e s w i t h d i s t r i b u t i o n s T
D
i n d e x e d
b y D 2 E = R 0 ; ) S t h e p h a s e s p a c e o f t h e r o a d p r o c e s s .
D
( ) w i l l d e n o t e t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f t h e d i s t r i b u t i o n T
D
G i v e n a r e a l i z a t i o n =
P
i
D
i
o f t h e r o a d p r o c e s s , c o n s i d e r t h e s y s t e m o f
i n d e p e n d e n t r a n d o m v a r i a b l e s
i
d e f
=
D
i
a s s o c i a t e d w i t h t h e r o a d s y s t e m .
T h i s i s j u s t a n o t h e r r e p r e s e n t a t i o n o f t h e P o i s s o n p r o c e s s i n t r o d u c e d i n S e c -
t i o n 2 . 4 .
T h e m a i n q u a n t i t y o f i n t e r e s t i s t h e a d d i t i v e f u n c t i o n a l
d e f
=
P
i
i
. U s i n g
t h e i n d e p e n d e n c e o f t h e s y s t e m f
i
g , o n e o b t a i n s t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n f o r
t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f t h e v a r i a b l e :
( ) = E
Y
D
i
2 s u p p
D
i
( )
N o w u s i n g t h e e x p l i c i t e x p r e s s i o n f o r t h e P o i s s o n p r o c e s s g e n e r a t i n g f u n c -
t i o n a l ( c f . 5 , p . 2 2 5 ] ) , w e o b t a i n t h e f o l l o w i n g t h e o r e m :
T h e o r e m 3
( ) = e x p
Z
E
(
D
( ) ? 1 ) M ( d D )
; ( 1 0 )
w h e r e M ( d D ) =
r
d p O ( d ) Q ( ; d ) i s t h e i n t e n s i t y m e a s u r e o f t h e r o a d
p r o c e s s . I n p a r t i c u l a r , i f t h e i n t e g r a l b e l o w e x i s t , t h e n
E =
Z
E
E
T
D
M ( d D ) ; ( 1 1 )
v a r =
Z
E
E
T
2
D
M ( d D ) ; ( 1 2 )
w h e r e E
T
d e n o t e s e x p e c t a t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e d i s t r i b u t i o n T
D
T y p i c a l e x a m p l e s o f s u c h a d d i t i v e f u n c t i o n a l a r e t h e n u m b e r o f c o m m u -
n i c a t i n g v e h i c l e s w i t h i n a c e l l , a n d t h e n u m b e r o f t h e c e l l b o u n d a r y c r o s s i n g s
p e r u n i t t i m e .
F o r Z a d o m a i n o f R
2
, l e t
h i t ( Z )
d e f
= f ( p ; ) 2 R 0 ; ) : t h e l i n e ( p ; ) i n t e r s e c t s Z g
F o r D = ( p ; ; ) w i t h ( p ; ) 2 h i t ( Z ) , l e t
D
b e t h e n u m b e r N ( Z ) o f v e h i c l e s
i n c o m m u n i c a t i o n o n r o a d ( p ; ) a n d w i t h i n Z . W e t a k e
D
= 0 i f ( p ; ) 62
1 7
-
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h i t ( Z ) . A s a d i r e c t a p p l i c a t i o n o f t h e l a s t t h e o r e m , w e o b t a i n t h e d i s t r i b u t i o n
o f t h e n u m b e r o f t h e v e h i c l e s i n c o m m u n i c a t i o n i n s i d e Z
C o n s i d e r , f o r e x a m p l e , t h e t r a c m o d e l d e s c r i b e d i n S e c t i o n 2 . 4 . T h e
p o s i t i o n s o f c o m m u n i c a t i n g v e h i c l e s o n a r o a d ( p ; ; ) a t a x e d i n s t a n t a r e
g i v e n b y a h o m o g e n e o u s P o i s s o n p r o c e s s w i t h i n t e n s i t y
t
( ; ) . L e t l ( p ; )
b e t h e l e n g t h o f t h e i n t e r s e c t i o n o f t h e r o a d ( p ; ) w i t h Z . T h e n u m b e r o f
t h e v e h i c l e s i n t h i s p a r t o f t h e r o a d h a s P o i s s o n d i s t r i b u t i o n w i t h p a r a m e t e r
t
( ; ) l ( p ; ) . S o t a k i n g
D
( ) = e x p f
t
( ; ) l ( p ; ) ( e
? 1 ) g
i n ( 1 0 ) , w e o b t a i n t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f N ( Z )
I n t h e c a s e o f a n i s o t r o p i c r o a d s y s t e m , F o r m u l a ( 1 0 ) b e c o m e s
( ) = e x p
(
r
Z
S
Q ( d )
Z
h i t ( Z )
( e x p f
t
( ) l ( p ; ) ( e
? 1 ) g ? 1 ) d d p
)
( 1 3 )
a n d t h e m o m e n t s o f t h e d i s t r i b u t i o n o f N ( Z ) a r e g i v e n b y
E N ( Z ) =
r
j Z j
Z
S
t
( ) Q ( d ) ( 1 4 )
v a r N ( Z ) = E N ( Z ) +
r
Z
S
2
t
( ) Q ( d )
Z
h i t ( Z )
l
2
( p ; ) d d p : ( 1 5 )
H e r e w e h a v e u s e d t h e f o l l o w i n g e l e m e n t a r y f a c t t h a t
R
h i t ( Z )
l ( p ; ) d d p e q u a l s
t i m e s t h e a r e a j Z j o f t h e d o m a i n Z
A s i m i l a r c a l c u l a t i o n c a n b e d o n e w i t h i n t h e f r a m e w o r k o f t h e b a s i c c e l l
m o d e l , w h e n w e t a k e t h e V o r o n o i c e l l C
0
( a r a n d o m s e t ! ) a s t h e d o m a i n Z
I n 1 ] w e o b t a i n e d t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n s
E N ( C
0
) =
r
t
1
;
v a r N ( C
0
) =
r
t
1
+ 0 6 7 2
r
2
t
3 = 2
1
+ 0 2 8 0
r
t
2
1
;
w h e r e
k
t
d e f
=
Z
S
k
t
( ) Q ( d )
A n o t h e r p r o b l e m o f t h i s t y p e i s t h e n u m b e r o f b o u n d a r y c r o s s i n g s . T h e
s a m e m a c h i n e r y c a n b e u s e d t o n d t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e t o t a l n u m b e r o f
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c r o s s i n g s o f a x e d l i n e s e g m e n t i n t h e p l a n e d u r i n g a t i m e u n i t . F o r t h i s
t a k e
D
t o b e t h e n u m b e r o f c r o s s i n g s o f a n i n t e r s e c t i o n p o i n t o f t h e l i n e
D = ( p ; ; ) w i t h t h e s e g m e n t a n d a p p l y T h e o r e m 3 . U n f o r t u n a t e l y , t h i s i s
t h e o n l y s i t u a t i o n w h e n T h e o r e m 3 i s d i r e c t l y a p p l i c a b l e . T h e p r o b l e m w i t h
g e n e r a l d o m a i n Z i s t h a t , w i t h p o s i t i v e p r o b a b i l i t y , t h e r e a r e m o r e t h a n o n e
i n t e r s e c t i o n p o i n t , a n d t h e n u m b e r o f c r o s s i n g s i n t h e s e p o i n t s a r e s t r o n g l y
d e p e n d e n t ( i n f a c t , i t c a n b e s h o w n t h a t t h e s e v a r i a b l e s a r e a s s o c i a t e d ) . T h i s
d o e s n o t m a t t e r f o r c o m p u t i n g t h e r s t m o m e n t o f t h e t o t a l n u m b e r F ( Z )
o f t h e b o u n d a r y c r o s s i n g s s i n c e t h e e x p e c t a t i o n i s a l w a y s a d d i t i v e r e g a r d l e s s
t h e d e p e n d e n c e o f t h e s u m m a n d s . N e v e r t h e l e s s , l o w e r a n d u p p e r b o u n d s c a n
b e d e r i v e d f o r h i g h e r m o m e n t s a n d g e n e r a l d o m a i n s Z a s i t i s s h o w n b e l l o w .
C o n s i d e r , f o r e x a m p l e , a n i s o t r o p i c r o a d s y s t e m w i t h a h o m o g e n e o u s
P o i s s o n p r o c e s s a s t h e t r a c m o d e l o n t h e r o a d s . A s a b o v e
t
( ) i s t h e
i n t e n s i t y o f c o m m u n i c a t i n g v e h i c l e s o n a r o a d o f t y p e a n d e a c h v e h i c l e i s
u n i f o r m l y m a r k e d b y a v e l o c i t y w i t h d i s t r i b u t i o n V
( d v ) . I t c a n b e s h o w n
t h a t t h e n u m b e r o f c r o s s i n g s o f a x e d p o i n t o n s u c h a r o a d f o l l o w s t h e
P o i s s o n d i s t r i b u t i o n w i t h p a r a m e t e r
t
( ) E
j V j , w h e r e t h e l a s t t e r m i s t h e
m e a n o f t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e v e l o c i t y o n a r o a d o f t y p e ( e x p e c t a t i o n
w i t h r e s p e c t t o t h e m e a s u r e V
) . N o w , a d i r e c t a p p l i c a t i o n o f F o r m u l a ( 1 4 )
l e a d s t o
T h e o r e m 4 T h e m e a n n u m b e r o f c r o s s i n g s o f a x e d d o m a i n Z e q u a l s
E F ( Z ) =
2
j @ Z j
r
M
1
;
w h e r e j @ Z j i s t h e l e n g t h o f t h e b o u n d a r y o f Z a n d
M
1
=
Z
t
( ) E
j V j Q ( d )
F o r a t y p i c a l V o r o n o i c e l l i n t h e b a s i c m o d e l , t h i s n u m b e r i s
E F ( C
0
) =
8
r
p
1
M
1
T h e f o l l o w i n g r e s u l t c a n a l s o b e f o u n d i n 1 ] :
T h e o r e m 5 T h e v a r i a n c e o f t h e n u m b e r o f b o u n d a r y c r o s s i n g s o f a c o n v e x
d o m a i n Z i s b o u n d e d b y
2
r
j @ Z j M
2
v a r F ( Z )
4
r
j @ Z j M
2
;
1 9
-
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w h e r e
M
2
=
Z
(
t
( ) E
j V j + (
t
( ) E
j V j )
2
) Q ( d )
F o r t h e b a s i c c e l l m o d e l
r
"
0 ; 9 4 5 M
1
1
+
8 M
2
p
1
#
v a r F ( C
0
)
r
"
0 ; 9 4 5 M
1
1
+
1 6 M
2
p
1
#
3 . 4 E x a m p l e o f a r c h i t e c t u r e o p t i m i z a t i o n
C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g o p t i m i z a t i o n p r o b l e m : f o r c o n n e c t i n g e a c h s u b s c r i b e r
t o o n e c o n c e n t r a t o r , o n e c a n e i t h e r u s e a d i r e c t l i n k , o r a n i n d i r e c t l i n k v i a
s o m e d i s t r i b u t i o n p o i n t . A d i s t r i b u t i o n p o i n t i s a l o c a t i o n w h e r e s e v e r a l
l i n k s o r i g i n a t i n g f r o m s u b s c r i b e r s c a n b e g r o u p e d i n t o o n e f u r t h e r l i n k t o
s o m e c o n c e n t r a t o r w i t h s o m e e c o n o m y o f s c a l e . T h e g e n e r a l a s s u m p t i o n i s
s t i l l t h a t c o n n e c t i o n s a r e a l w a y s t o t h e c l o s e s t p o i n t ( i . e . e a c h s u b s c r i b e r i s
c o n n e c t e d t o t h e c l o s e s t d i s t r i b u t i o n p o i n t , a n d e a c h d i s t r i b u t i o n p o i n t t o
t h e c l o s e s t c o n c e n t r a t o r )
W h a t i s t h e o p t i m a l i n t e n s i t y o f s u c h d i s t r i b u t i o n p o i n t s ? C o n s i d e r 3
i n d e p e n d e n t h o m o g e n e o u s P o i s s o n p r o c e s s e s
i
( i = 0 ; 1 ; 2 ) i n t h e p l a n e R
2
w i t h i n t e n s i t i e s
i
, r e p r e s e n t i n g s u b s c r i b e r s ( p r o c e s s
0
) , d i s t r i b u t i o n p o i n t s
( p r o c e s s
1
) a n d c o n c e n t r a t o r s ( p r o c e s s
2
) , r e s p e c t i v e l y . E a c h p o i n t o f
t h e p r o c e s s
0
i s c o n n e c t e d t o a p o i n t o f p r o c e s s
1
a c c o r d i n g t o t h e l e a s t
d i s t a n c e p r i n c i p l e . S i m i l a r l y , e a c h p o i n t s o f
1
i s c o n n e c t e d t o t h e c l o s e s t
p o i n t o f t h e p r o c e s s
2
I n a t y p i c a l e x a m p l e , t h e s e c o n n e c t i o n s r e p r e s e n t c a b l e s . E a c h c a b l e h a s
a n a s s o c i a t e d c o s t w h i c h c o n s i s t s o f t w o p a r t s :
1 . t h e c o s t o f t h e c a b l e i t s e l f , a n d
2 . t h e c o s t o f t h e c i v i l e n g i n e e r i n g ( t r e n c h , p o s t s u p p o r t s e t c . )
T h e c o s t o f a c a b l e c o n n e c t i n g a p o i n t o f
i
t o t h e c l o s e s t p o i n t o f
i + 1
, i s
g i v e n b y a p o l y n o m i a l f u n c t i o n C
i ; i + 1
r
i i + 1
, w h e r e r i s t h e d i s t a n c e b e t w e e n
t h e p o i n t s a n d C
i ; i + 1
;
i ; i + 1
a r e s o m e n o n - n e g a t i v e p a r a m e t e r s .
T h e c o s t o f t h e c i v i l e n g i n e e r i n g i s g i v e n i n t h i s c a s e b y t h e f u n c t i o n
E
i ; i + 1
r
"
i i + 1
, w h e r e E
i ; i + 1
; "
i ; i + 1
> 0
N o t e , t h a t t h e c a b l e s f r o m a d i s t r i b u t i o n p o i n t t o a c o n c e n t r a t o r s h a r e
t h e s a m e c i v i l e n g i n e e r i n g , a n d i t i s r e a s o n a b l e t o a s s u m e t h a t t h e c o s t o f
2 0
-
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21/24
c i v i l e n g i n e e r i n g d o e s n o t d e p e n d o n t h e n u m b e r o f c a b l e s w h i c h a r e g r o u p e d
t h e r e .
O u r g o a l h e r e i s t o n d t h e o p t i m a l r a t i o b e t w e e n i n t e n s i t i e s o f t h e p r o -
c e s s e s w h i c h m i n i m i z e s t h e a v e r a g e c o s t o f t h e c o n n e c t i o n s o f a t y p i c a l c o n -
c e n t r a t o r .
M o r e p r e c i s e l y , t h e c o s t f u n c t i o n i s t h e f o l l o w i n g :
G
d e f
= E
2
8
-
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22/24
I n p a r t i c u l a r c a s e w h e n "
0 1
=
0 1
d e f
= w e o b t a i n
1
=
"
( A
3
+ A
4
)
2 A
1
#
2 = ( 2 + )
a n d t h e m i n i m a l v a l u e o f t h e c o s t f u n c t i o n i s e q u a l t o
G (
1
) =
+ 2
A
= ( 2 + )
1
"
2
( A
3
+ A
4
)
#
2 = ( 2 + )
+ A
2
F o r = 1 w e o b t a i n r e s p e c t i v e l y
1
=
2
"
0
( C
0 1
+ E
0 1
)
2 E
1 2
+ 4 D
1
3 = 2
2
#
2 = 3
a n d
G (
1
) =
3
2 = 3
0
2
5 = 2
3 = 2
2
( E
1 2
+ 2 D
1
3 = 2
2
)
1 = 3
( C
0 1
+ E
0 1
)
2 = 3
+
C
1 2
0
1 2
= 2
1 2
= 2 + 2
2
?
1 2
2
+ 1
!
4 P e r s p e c t i v e s
T h e p r o p o s e d a p p r o a c h t o t h e m o d e l i n g o f t e l e c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k s c a n
b e u s e d f o r s e v e r a l v a r i a t i o n s o n t h e b a s i c m o d e l s i n t r o d u c e d h e r e . A s a n
i l l u s t r a t i o n o f t h i s a s s e r t i o n , c o n s i d e r a g a i n h i e r a r c h i c a l m o d e l . T h e m a i n
d r a w b a c k o f t h e m o d e l i s t h a t i t o n l y c o n t a i n s h i e r a r c h i c a l l i n k s b e t w e e n
s t a t i o n s . H o w e v e r , r e a l s y s t e m s m a y h a v e c o n n e c t i o n s t o s e v e r a l s t a t i o n s
o f t h e h i g h e r l e v e l , f o r r e l i a b i l i t y r e a s o n s . T h e s e a u x i l i a r y c o n n e c t i o n s c a n
e a s i l y b e t a k e n i n t o c o n s i d e r a t i o n . I t i s s u c i e n t t o c o n n e c t t h e l o w e r l e v e l
s t a t i o n s n o t o n l y t o t h e i r c l o s e s t , b u t t o t h e s e c o n d c l o s e s t , t h i r d c l o s e s t e t c .
s t a t i o n s o f t h e n e x t l e v e l . T h i s c o n s t r u c t i o n l e a d s t o a t h i n n e r t e s s e l l a t i o n
t h a n t h e V o r o n o i t e s s e l l a t i o n , w h i c h w a s a l s o s t u d i e d i n t h e l i t e r a t u r e . O n e
c a n d e r i v e g e o m e t r i c c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e s e a u x i l i a r y c o n n e c t i o n s a s w e d o
i n 1 ] .
U n f o r t u n a t e l y , a n a l y t i c a l m e t h o d s a r e n o t a l w a y s p o s s i b l e f o r c o m p l e x
m o d e l s ( a s e . g . n o n - h o m o g e n e o u s , n o n - P o i s s o n m o d e l s e t c . o r e v e n m a n y
c o m p l e x p h e n o m e n a o f P o i s s o n m o d e l s ) . F o r s u c h s i t u a t i o n s s i m u l a t i o n s a r e
s o m e t i m e s t h e o n l y p o s s i b l e w a y o f s t u d y i n g t h e s y s t e m b e h a v i o r . I n c o n -
n e c t i o n w i t h t h i s , w e w o u l d q u o t e t h e s t o c h a s t i c g r a d i e n t m e t h o d s d e v e l o p e d
b y t h e a u t h o r s i n 2 ] a n d 1 ] .
2 2
-
8/2/2019 Stochastic Geometry Architecture of Communication Networks
23/24
S o m e n o n - h o m o g e n e o u s m o d e l s c a n a l s o b e t r e a t e d b y c h a n g e o f s p a c e
m e t h o d s d e s c r i b e d i n 1 ] . T h i s i s i m p o r t a n t s i n c e r e a l s y s t e m s a r e r a t h e r f a r
f r o m b e i n g h o m o g e n e o u s .
2 3
-
8/2/2019 Stochastic Geometry Architecture of Communication Networks
24/24
R e f e r e n c e s
1 ] F . B a c c e l l i , M . K l e i n , M . L e b o u r g e s , a n d S . Z u y e v . G o m t r i e a l a t o i r e
e t a r c h i t e c t u r e d e r s e a u x d e c o m m u n i c a t i o n s . A n n a l e s d e s T l c o m m u -
n i c a t i o n s , 1 9 9 6 .
2 ] F . B a c c e l l i , M . K l e i n , a n d S . Z u y e v . P e r t u r b a t i o n a n a l y s i s o f f u n c t i o n a l s
o f r a n d o m m e a s u r e s . A d v . i n A p p l . P r o b a b . , 2 7 : 3 0 6 3 2 5 , 1 9 9 5 .
3 ] F . B a c c e l l i a n d S . Z u y e v . O p t i m a l p o i s s o n s p a n n i n g ; o p t i m i z a t i o n o f
d i s t r i b u t i o n i n a c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k . O p e r a t i o n s R e s e a r c h , 1 9 9 5 ,
s u b m i t t e d .
4 ] N . C u r i e n a n d M . G e n s o l l e i n . E c o n o m i e d e s T l c o m m u n i c a t i o n s . O u -
v e r t u r e e t r g l e m e n t a t i o n . E c o n o m i c a - E N S P T T , P a r i s , 1 9 9 2 .
5 ] D . J . D a l e y a n d D . V e r e - J o n e s . A n I n t r o d u c t i o n t o t h e T h e o r y o f P o i n t
P r o c e s s e s . S p r i n g e r , N e w Y o r k , 1 9 8 8 .
6 ] S . F o s s a n d S . Z u y e v . O n a c e r t a i n V o r o n o i a g g r e g a t i v e p r o c e s s r e l a t e d
t o a b i v a r i a t e P o i s s o n p r o c e s s . A d v . i n A p p l . P r o b a b . , 1 9 9 5 .
7 ] J . F . C . K i n g m a n . P o i s s o n P r o c e s s e s . O x f o r d S t u d i e s i n P r o b a b i l i t y .
O x f o r d U n i v . P r e s s , 1 9 9 3 .
8 ] J . M l l e r . L e c t u r e s o n r a n d o m V o r o n o i t e s s e l a t i o n s , v o l u m e 8 7 o f L e c t .
N o t e s i n S t a t i s t . S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 9 4 .
9 ] L . M u c h e a n d D . S t o y a n . C o n t a c t a n d c h o r d l e n g t h d i s t r i b u t i o n s o f t h e
P o i s s o n V o r o n o i t e s s e l a t i o n . J . A p p l . P r o b a b . , 2 9 : 4 6 7 4 7 1 , 1 9 9 2 .
1 0 ] A . O k a b e , B . B o o t s , a n d K . S u g i h a r a . S p a t i a l t e s s e l a t i o n s . W i l e y s e r i e s
i n p r o b a b i l i t y a n d m a t h e m a t i c a l s t a t i s t i c s . W i l e y , 1 9 9 2 .
1 1 ] D . S t o y a n , W . S . K e n d a l l , a n d J . M e c k e . S t o c h a s t i c G e o m e t r y a n d i t s
A p p l i c a t i o n s . W i l e y s e r i e s i n p r o b a b i l i t y a n d m a t h e m a t i c a l s t a t i s t i c s .
W i l e y , C h i c h e s t e r , 1 9 8 7 .
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