Stime per intervalli Fondamenti della Misurazione David Vetturi.
-
Upload
nunziatella-bini -
Category
Documents
-
view
223 -
download
0
Transcript of Stime per intervalli Fondamenti della Misurazione David Vetturi.
Stime per intervalli
Fondamenti della Misurazione
David Vetturi
2
Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli
Tutti noi siamo abituati a sentire in occasione delle consultazioni
elettorali le stime dei risultati pochi minuti dopo la chiusura dei seggi
(exit poll)
Inferenza Statistica
Tutti noi sappiamo anche che i risultati forniti da queste analisi sono
delle stime
3
Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli
Inferenza Statistica
CAMPIONE
POPOLAZIONE
Campi di applicazione: psicologia-sociologia,marketing, gestione della qualità in ambito industriale, economia, medicina, ecc.
4
Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli
Definizione: si definisce popolazione oggetto l’insieme di tutti quegli elementi che hanno in comune almeno una caratteristica (o attributo)
Campionamento
Riferimento:
Vicario, Levi
“Calcolo delle probabilità e statistica per ingegneri”
Progetto Leonardo
Capitoli 7 e 8
Una popolazione può essere finita o infinita
5
Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli
Definizione: un insieme {X1,X2,..,Xn} viene detto campione casuale di dimensione n estratto da una popolazione con densità f(.) se la densità congiunta fx1,x2,..,xn(x1,x2,..,xn) delle n variabili X1,X2,..,Xn può essere espresso come:
Campionamento
nnXXX xfxfxfxxxfn
..,..,, 2121,..,, 21
6
Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli
Definizione: dato un campione {X1,X2,..,Xn} proveniente da una popolazione si definisce media campionaria la quantità:
Statistiche
n
iin X
nX
1
1
7
Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli
Teorema: dato un campione {X1,X2,..,Xn} proveniente da una popolazione avente densità f(x), si ha che:
Statistiche
n
XXE nn
2
var
dove e 2 sono rispettivamente media e varianza di f(x)
8
Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli
Definizione: si definisce varianza campionaria di un campione {X1,X2,..,Xn} proveniente da una popolazione avente densità f(x) la quantità:
Statistiche
n
i
nin XXn
S1
22
1
1
9
Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli
Teorema: dato un campione {X1,X2,..,Xn} proveniente da una popolazione avente densità f(x), si ha che:
Statistiche
22 nSE
dove 2 è la varianza di f(x)
10
Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli
Teorema: sia data una popolazione distribuita con densità f(x) avente media e varianza e 2 finite, sia Xn la media di un campione casuale di numerosità n estratto da essa, allora la media campionaria segue una distribuzione normale con media e varianza 2/n al tendere di n all’infinito.
Teorema Limite Centrale
11
Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli
Definizione: si definisce intervallo fiduciario per il parametro un intervallo entro il quale il parametro può assumere i valori con una prefissata probabilità chiamata livello di fiducia (1-)
Stima per intervalli
1ULP
12
Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli
Sia {X1,X2,..,Xn} un campione estratto da una popolazione avente distribuzione normale con media e varianza 2 nota.
Stima per intervalli della media
n
XZ
n
Allora la media campionaria è uno stimatore per la media della popolazione ed inoltre segue una distribuzione normale con media e varianza 2/n.
Consideriamo
13
Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli
Stima per intervalli della media
Si ha che Z segue la distribuzione normale standardizzata, dunque
1
21
21
ZZZP
14
Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli
Stima per intervalli della media
e quindi:
1
21
21 n
ZXn
ZXP nn
12
12
1Z
n
XZP
n
15
Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli
Stima per intervalli della media
dunque un intervallo fiduciario per la media
nZX
nZX nn
2
12
1
16
Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli
Se la varianza 2 non è nota allora si ha che la quantità
Stima per intervalli della media
n
SX
Tn
n
segue una distribuzione chiamata di student con n-1 gradi di libertà
17
Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli
Stima per intervalli della media
e quindi, in modo analogo a quanto appena visto, si ha:
1
1,2
11,2
1 n
StX
n
StXP n
nn
n
nn
11,
211,
21 nn
n
nt
n
SX
tP
18
Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli
Stima per intervalli della media
e dunque un intervallo fiduciario per la media, in questo caso è dato da
n
StX
n
StX n
nn
n
nn
1,2
11,2
1
19
Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli
Tabella per la distribuzione di studentp 0.9 0.95 0.975 0.98 0.99 0.995
n 0.2 0.1 0.05 0.04 0.02 0.01
1 3.078 6.314 12.706 15.894 31.821 63.6562 1.886 2.920 4.303 4.849 6.965 9.9253 1.638 2.353 3.182 3.482 4.541 5.8414 1.533 2.132 2.776 2.999 3.747 4.6045 1.476 2.015 2.571 2.757 3.365 4.0326 1.440 1.943 2.447 2.612 3.143 3.7077 1.415 1.895 2.365 2.517 2.998 3.4998 1.397 1.860 2.306 2.449 2.896 3.3559 1.383 1.833 2.262 2.398 2.821 3.250
10 1.372 1.812 2.228 2.359 2.764 3.16911 1.363 1.796 2.201 2.328 2.718 3.10612 1.356 1.782 2.179 2.303 2.681 3.05513 1.350 1.771 2.160 2.282 2.650 3.01214 1.345 1.761 2.145 2.264 2.624 2.97715 1.341 1.753 2.131 2.249 2.602 2.94716 1.337 1.746 2.120 2.235 2.583 2.92117 1.333 1.740 2.110 2.224 2.567 2.89818 1.330 1.734 2.101 2.214 2.552 2.87819 1.328 1.729 2.093 2.205 2.539 2.86120 1.325 1.725 2.086 2.197 2.528 2.845
20
Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli
Tabella per la distribuzione di studentp 0.9 0.95 0.975 0.98 0.99 0.995
n 0.2 0.1 0.05 0.04 0.02 0.01
1 3.078 6.314 12.706 15.894 31.821 63.6562 1.886 2.920 4.303 4.849 6.965 9.9253 1.638 2.353 3.182 3.482 4.541 5.8414 1.533 2.132 2.776 2.999 3.747 4.6045 1.476 2.015 2.571 2.757 3.365 4.0326 1.440 1.943 2.447 2.612 3.143 3.7077 1.415 1.895 2.365 2.517 2.998 3.4998 1.397 1.860 2.306 2.449 2.896 3.3559 1.383 1.833 2.262 2.398 2.821 3.250
10 1.372 1.812 2.228 2.359 2.764 3.16911 1.363 1.796 2.201 2.328 2.718 3.10612 1.356 1.782 2.179 2.303 2.681 3.05513 1.350 1.771 2.160 2.282 2.650 3.01214 1.345 1.761 2.145 2.264 2.624 2.97715 1.341 1.753 2.131 2.249 2.602 2.94716 1.337 1.746 2.120 2.235 2.583 2.92117 1.333 1.740 2.110 2.224 2.567 2.89818 1.330 1.734 2.101 2.214 2.552 2.87819 1.328 1.729 2.093 2.205 2.539 2.86120 1.325 1.725 2.086 2.197 2.528 2.845
306.28,975.0 t