Sterstructuur en sterevolutie

Conny AertsKatholieke Universiteit Leuven

Faculteit Wetenschappen

Eerste Licentie

1

2

Inhoudsopgave

Ten geleide 9

1 Observationele omkadering van sterevolutie 11

1.1 Magnituden en kleurindices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Het Hertzsprung-Russell diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Inhoud van de cursus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Een eenvoudige toestandsfunctie: het ideaal gas met straling 21

2.1 Inleiding tot de thermodynamica, toegepast op sterren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1 Thermodynamisch evenwicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.2 De eerste wet van de thermodynamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.3 De entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.4 De soortelijke warmten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Het ideaal gas met straling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.1 Het klassiek ideaal gas in sterren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.2 Het gemiddeld moleculair gewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.3 De inwendige energie van een ideaal gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3

2.2.4 De bijdrage van het fotonengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 De mechanische basisvergelijkingen die de sterstructuur beschrijven 35

3.1 Coordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.1 Euleriaanse beschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.2 Lagrangiaanse beschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2 De vergelijking van Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3 Behoud van hoeveelheid van beweging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3.1 Hydrostatisch evenwicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3.2 Eenvoudige oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.3 De bewegingsvergelijking in het geval van sferische symmetrie . . . . . . . . . . . 41

3.3.4 Veralgemening naar een niet-sferische configuratie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4 Behoud van energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4.1 Het viriaaltheorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4.2 Energiebehoud in sterren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4.3 De verschillende tijdschalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4 Additionele relevante toestandsfuncties 51

4.1 Polytropen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2 Het ontaard elektronengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3 De limietmassa van Chandrasekhar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5 Energietransport 63

5.1 Transport door straling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4

5.1.1 Gemiddelde vrije weglengte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.1.2 De temperatuursgradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1.3 De diffusiebenadering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1.4 Het Rosseland gemiddelde van de opaciteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.2 Transport door conductie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.3 Stabiliteitsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.3.1 Dynamische instabiliteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.3.2 Vibrationele instabiliteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.4 Transport door convectie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6 De chemische samenstelling van de materie 83

6.1 De relatieve massa abondanties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.2 Variaties van de chemische samenstelling in de tijd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.2.1 Variatie door kernreacties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.2.2 Variatie ten gevolge van convectie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.3 Werkzame doorsneden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.4 Verbrandingsmechanismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.4.1 Basisbegrippen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.4.2 Waterstofverbranding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.4.3 Heliumverbranding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.4.4 Verbranding van de zwaardere elementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7 Bepaling van de sterstructuur 99

5

7.1 Het volledige stel basisvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.2 Tijdschalen en vereenvoudigingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.3 Randvoorwaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.3.1 Centrale randvoorwaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.3.2 Randvoorwaarden voor het oppervlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.4 Een numerieke oplossingsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8 Stervorming 115

8.1 Het interstellair medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.2 Het Jeanscriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

8.3 Fragmentatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8.4 De vorming van een protoster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

8.5 Het Hayashispoor in het HR diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

8.6 Evolutie van de protoster naar de nulhoofdreeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

9 De hoofdreeks 131

9.1 De nulhoofdreeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.2 De massa-lichtkracht relatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.3 Chemische evolutie op de hoofdreeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

10 Evolutie van een massieve ster 143

10.1 De “Hertzsprung gap” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

10.2 Heliumverbranding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

10.3 Latere evolutiefasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6

10.4 Verbrandingscycli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

10.5 Explosieve versus niet-explosieve evolutie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

10.6 Neutronensterren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

10.6.1 Supernova explosie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

10.6.2 De neutrinoflux en het r-proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

10.6.3 Pulsars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

10.7 Zwarte gaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

11 Evolutie van een ster met lage massa 159

11.1 Post-hoofdreeks evolutie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

11.2 De heliumflits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

11.3 Evolutie na de heliumflits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

11.4 AGB sterren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

11.5 Thermische pulsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

11.6 Het s-proces in AGB sterren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

11.7 Post-AGB sterren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

11.8 Witte dwergen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

A Waarden van fysische en astronomische constanten 173

B Aanbevolen literatuur 175

7

8

Ten geleide

De studie van de sterstructuur en van sterevolutie speelt een sleutelrol in de moderne astrofysica. Zo steunende bepalingen van afstanden en leeftijden van sterren, welke nodig zijn om de structuur en evolutie van demelkweg te begrijpen, op berekeningen van sterevolutiemodellen. Nog een ander voorbeeld is het ontrafelenvan de chemische geschiedenis van het Heelal en van onszelf: de synthese van zo goed als alle chemischeelementen gebeurt binnenin de sterren en vereist dat we de inwendige processen goed begrijpen.

De berekeningen van sterevolutiemodellen steunen op kennis van de fysische eigenschappen van dematerie in sterren. Door de berekende modellen te confronteren met de waarnemingen zijn we in staatom de gebruikte fysica te toetsen. Dit is vaak de enige toetsing die mogelijk is, omdat de toestand insterinwendigen zodanig extreme vormen aanneemt wat dichtheid en druk betreft, dat het onmogelijk is omlaboratoriumtesten uit te voeren onder deze omstandigheden.

De structuur en evolutie van sterren worden vooral bepaald door de microscopische eigenschappen vanhet stermateriaal, meer bepaald de toestandsvergelijking van de materie, het energietransport en de kernre-acties. De toestandsvergelijking bepaalt relaties tussen de verschillende thermodynamische eigenschappenzoals de temperatuur, de dichtheid en de druk van het gas waaruit de ster bestaat. Deze toestandsvergelijkingis voor het sterinwendige uiterst eenvoudig vermits de hoge temperaturen welke daar heersen impliceren datde materie er veelal volledig geıoniseerd is. Er treden echter complicaties op, bijvoorbeeld omdat het ster-gas nog slechts partieel geıoniseerd is in de lagen nabij het steroppervlak. Hierdoor dienen we rekeningte houden met de ionisatiegraad in deze regionen. Deze ionisatiegraad hangt af van de interactie tussende verschillende gascomponenten. In de steratmosferen van koele sterren treden moleculen op, welke detoestandsvergelijking beınvloeden. Anderzijds loopt de temperatuur in de kern van geevolueerde massievesterren zodanig hoog op dat energieverlies door de productie van neutrino’s in rekening dient gebracht teworden. Eveneens kan de dichtheid zodanig oplopen dat de eigenschappen van het gas gedomineerd zullenworden door ontaarde elektronen. Een zeer gedetailleerde beschrijving van de fysische toestand van sterin-wendigen geeft nog steeds aanleiding tot een aantal uiterst moeilijke onopgeloste problemen. Gelukkig ishet mogelijk om een goede basis van de theorie van sterstructuur en sterevolutie onder de knie te krijgenzonder op zulke details te moeten ingaan. De hier behandelde theorie is elegant, heeft een indrukwekkendesterkte en combineert vele takken van de wis-, natuur- en scheikunde. Bovendien is deze theorie in staatom te voorspellen hoe de complexe interne sterstructuur verandert tijdens het leven van de ster en wat hetultieme levenseinde van de ster zal zijn: een witte dwerg, een neutronenster of een zwart gat.

9

10

Hoofdstuk 1

Observationele omkadering van sterevolutie

Alvorens het diagram te schetsen aan de hand waarvan de levensloop van de sterren bestudeerd wordt,herhalen we eerst enkele begrippen die verband houden met de hoeveelheid energie die de sterren uitstralenen die reeds uitvoerig aan bod kwamen in de inleidende cursus Sterrenkunde gegeven in de 2de kandidatuurWis- en Natuurkunde. Voor de meeste studenten bevat dit hoofdstuk dus enkel een herhaling van reedsverworven kennis, en kan meteen overgegaan worden tot Sectie 1.3. Studenten met minder voorkennisworden aangeraden de nota’s van de cursus “Kosmografie” gedoceerd in de opleidingsrichting Geografie,door te nemen aangezien de volgende twee secties slechts een heel summiere samenvatting vormen van hetkader waarin sterevolutie geschetst wordt.

1.1 Magnituden en kleurindices

Een systeem van magnituden is een logaritmische schaal verbonden met de hoeveelheid stralingsenergiedie van een sterrenkundige bron ontvangen wordt. Wanneer we twee bronnen beschouwen dan wordt hetverschil in magnitude van bron 2 t.o.v. die van bron 1 gegeven door

m2 −m1 = −2.5 logS2

S1, (1.1)

waarbij S de hoeveelheid ontvangen stralingsenergie per eenheid van tijd is. Uit deze betrekking leiden weaf dat, indien we van bron 2 meer energie ontvangen dan van bron 1, de magnitude van bron 2 kleiner is dande magnitude van bron 1.

Het invoeren van de magnitude stamt af van de griekse sterrenkundige Hipparchos. In de 2de eeuwvoor Christus heeft Hipparchos alle sterren die voor hem zichtbaar waren met het blote oog ingedeeld in zesklassen, waarbij hij de helderste sterren klasse 1 toekende en de zwakste sterren klasse 6. Pas vorige eeuwheeft men dan de meer wiskundige definitie (1.1) ingevoerd en ervoor gezorgd dat deze zo goed als mogelijkaansloot bij de classificatie van Hipparchos. Hiervoor diende men het nulpunt van de magnitudeschaal op

11

een welbepaalde manier vast te leggen. Herschrijven we (1.1) als

m = (m1 + 2.5 log S1)− 2.5 log S = C − 2.5 log S, (1.2)

dan komt het vastleggen van de constante C neer op het bepalen van het nulpunt van de magnitudeschaal.

Een ander aspect dat van belang is, is het golflengtegebied waarop het magnitudesysteem betrekkingheeft. Een eerste extreme mogelijkheid is de bolometrische magnitude, welke betrekking heeft op allegolflengten van het elektromagnetisch spectrum. Anderzijds is er de andere extreme mogelijkheid van mo-nochromatische magnitude waarbij men de magnitude bij slechts een bepaalde golflengte beschouwt. Inde praktijk gebruiken we noch bolometrische noch monochromatische magnituden, maar magnituden diebetrekking hebben op een beperkt gebied van golflengten. Dit gebied moet dan worden gespecifieerd.

De hoeveelheid ontvangen stralingsenergie S die optreedt in definitie (1.2) kan als volgt omschrevenworden. Definieer Sλ als de hoeveelheid stralingsenergie die een waarnemer ontvangt bij golflengte λ in hetcontinuum. Een fractie ηλ van de straling wordt opgeslorpt door de absorptielijnen. Stel de gevoeligheid ende efficientie van het meettoestel om de stralingsenergie te meten voor door de functie ϕ(λ). De functiesηλ en ϕ(λ) nemen waarden aan van 0 tot 1. We kunnen dan de hoeveelheid ontvangen stralingsenergievoorstellen als

S =

∫ ∞

0Sλ(1− ηλ)ϕ(λ)dλ. (1.3)

Als standaardsysteem voor het bepalen van magnituden gebruikt men het door Johnson en Morganontwikkelde UBV systeem. Het verloop van de functies ϕU (λ), ϕB(λ), ϕV (λ) wordt bepaald door degebruikte golflengtefilters. De functies hebben een maximum bij respectievelijk de golflengten 365, 440 en548 nm. De definitie voor de visuele magnitude kan nu als volgt voluit geschreven worden:

mV = CV − 2.5 log

∫ ∞

0Sλ(1− ηλ)ϕV (λ)dλ, (1.4)

waarbij de constante CV zo bepaald wordt dat de visuele magnitude zo goed mogelijk aansluit met de mag-nitudeklassen ingevoerd door Hipparchos. Analoog aan (1.4) kan men de U− enB−magnituden definieren.

Wanneer de magnituden gecorrigeerd zijn voor interstellaire absorptie en extinctie ten gevolge van dedampkring van de aarde, dan wordt de magnitude bepaald door de hoeveelheid stralingsenergie die een bronper tijdseenheid uitzendt en de afstand van de bron tot de waarnemer. Om de invloed van de verschillen inafstand uit te schakelen plaats men de bronnen fictief op een gelijke afstand van de zon. Wanneer de bronnenzich op gelijke afstand bevinden zijn de verschillen in magnitude namelijk enkel bepaald door verschillenin de hoeveelheid stralingsenergie. Deze redenering ligt aan de basis van het invoeren van een absolutemagnitudeschaal. Voor een bolvormige ster kan het product Sλ(1− ηλ) in (1.2) als volgt verbinden met debuitenwaartse stralingsflux F+

λ :4πR2F+

λ = 4πd2Sλ(1− ηλ), (1.5)

waarbij d de afstand van de waarnemer voorstelt en R de sterstraal. Aldus hebben we

Sλ(1− ηλ) =

(R

d

)2

F+λ . (1.6)

12

De uitdrukking voor wat we vanaf nu de schijnbare magnitude noemen wordt dan

m = C − 2.5 log

[(R

d

)2 ∫ ∞

0F+λ ϕ(λ)dλ

]. (1.7)

De schijnbare magnitude wordt dus niet alleen bepaald door de hoeveelheid uitgestraalde energie maarevenzeer door de afstand van de ster tot de waarnemer.

We voeren nu de absolute magnitude M van een ster in. Dit is de schijnbare magnitude die de ster zouhebben indien ze zich op een afstand van 10 parsec van de zon zou bevinden. Het verschil tussen de absoluteen schijnbare magnitude is dan

M −m = 2.5 log

(10pc

d

)2

. (1.8)

Dit kunnen we ook schrijven alsM = m+ 5− 5 log dpc, (1.9)

waarbij dpc de afstand in parsec voorstelt. Het verschil m−M noemt men de afstandsmodulus.

Tenslotte voeren we het begrip kleurindex in. Kleurindices van sterren zijn verschillen tussen magnitu-den van dezelfde ster. Met de drie magnituden U,B, V worden twee veel gebruikte kleurindices geconstru-eerd: U−B enB−V . Door betrekking (1.9) toe te passen op twee verschillende magnituden van eenzelfdester en lid aan lid af te trekken bekomen we

M2 −M1 = m2 −m1. (1.10)

Het verschil in schijnbare magnitude is een grootheid die gemakkelijk kan gemeten worden. De kleurindiceszijn zodoende een maat voor een intrinsieke eigenschap van de ster. De index B−V is een goede maat voorde oppervlaktetemperatuur van de ster.

1.2 Het Hertzsprung-Russell diagram

Het Hertzsprung-Russell diagram (HR diagram, genoemd naar de Amerikaanse astronoom Henry Russel ende Deense astronoom Enjar Hertzsprung) geeft een belangrijke statistische relatie voor sterren in de vormvan een diagram. Het diagram wordt aanzien als de weergave van de evolutie van de sterren. Het diagramis daarom het basiskader voor de bespreking van sterevolutie. Een schematische voorstelling van het HRdiagram wordt gegeven in figuur 1.1.

Russell bestudeerde voor het eerst de relatie tussen het spectraal type en de absolute magnitude MV

van de sterren. Hij deed dit door een figuur te construeren waarin hij de absolute magnitude uitzette t.o.v.het spectraal type. Anderzijds merkte Hertzsprung een onderscheid op tussen dwergsterren en reuzensterrenvoor late spectrale types. Het spectraal type van een ster is nauw verbonden met de temperatuur van de steren werd ingevoerd aan de hand van de kenmerken die men waarnam in de spectra van de sterren. Men heefteen indeling gemaakt in ruwweg 7 klassen: O-B-A-F-G-K-M, waarbij O sterren een temperatuur hebben

13

Figuur 1.1: Schematische voorstelling van het HR diagram, waarin de absolute visuele magnitude MV wordtuitgezet t.o.v. de kleurindex B − V . De posities van de hoofdreeks, de rode reuzen, de superreuzen en dewitte dwergen zijn aangeduid. De Zon is een hoofdreeksster van spectraal type G 2.

14

boven 25 000 K en M sterren een temperatuur beneden 3 500 K. Voor een meer gedetailleerde beschrijvingvan de spectrale classificatie verwijzen we naar de cursus Sterrenkunde gedoceerd in de tweede kandidatuur.

Vaak wordt de kleurindex B − V in abscis uitgezet in plaats van het spectraal type. Men spreekt daar-om soms ook van het kleur-helderheidsdiagram (zie figuur 1.1). Het gebruik van de kleurindex heeft hetvoordeel dat deze observabele op een continue manier varieert in tegenstelling tot het spectraal type. Boven-dien kan men op die manier veel zwakkere sterren in het diagram plaatsen, vermits men fotometrisch veelzwakkere sterren kan waarnemen dan spectroscopisch. Beschouwen we nu het schematische HR diagramgetoond in figuur 1.1. We bemerken dat de sterren niet willekeurig verspreid zijn in het diagram. Bepaaldecombinaties van kleurindex en absolute visuele magnitude komen veel frequenter voor dan andere. De grotemeerderheid van de sterren behoort tot een van de volgende drie groepen: de hoofdreeks, de groep van rodereuzen en superreuzen, de groep van witte dwergen. De meeste sterren behoren tot de hoofdreeks, die zichuitstrekt van sterren met negatieve absolute visuele magnitude en lage kleurindex (blauwe superreuzen) totsterren met grote absolute visuele magnitude en hoge kleurindex (rode dwergen). Zoals aangeduid op defiguur merken we dat de zon een hoofdreeksster is. Zij heeft spectraal type G 2 en een absolute visuelemagnitude MV = 4.79.

Vermits de absolute magnitude van een ster slechts gekend is als de visuele magnitude en de afstandervan gekend zijn, is het bepalen van nauwkeurige afstanden belangrijk om de posities van de sterren in hetHR diagram te kunnen afleiden. De satellietmissie HIPPARCOS van de Europese ruimte-organisatie ESAheeft tussen 1989 en 1992 voor zo’n 120 000 sterren in de omgeving van de zon nauwkeurige parallaxen(en dus afstanden) bepaald. Hierdoor hebben de leden van het HIPPARCOS consortium een bijzondernauwkeurig observationeel HR diagram kunnen opstellen voor de omgeving van de zon. Wanneer we allesterren gemeten door HIPPARCOS met een relatieve precisie op de parallax beneden 10% beschouwen,bekomen we het HR diagram getoond in het linkerpaneel van figuur 1.2, wat 8784 sterren bevat. Voorsterren waarvan de parallax een relatieve precisie tussen 10 en 20% heeft verkrijgen we het rechtse paneel,waarin zich 11125 sterren bevinden. In figuur 1.2 valt onmiddellijk een welbepaalde verdeling van de sterrenop. De hoofdreeks en de groep van rode reuzen springt in het oog. HIPPARCOS was niet in staat om deparallaxen van groot aantal witte dwergen nauwkeurig te meten. Vandaar dat deze derde groep sterren nietopvalt in het observationeel HIPPARCOS HR diagram.

Een derde vorm van het HR diagram wordt vooral voor theoretische overwegingen gebruikt. Men zetdan de logaritme van de lichtkracht uit t.o.v. de effectieve temperatuur van de ster. In abscis doet men dande temperatuur toenemen van rechts naar links, terwijl de logaritme van de lichtkracht toeneemt van ondernaar boven. De effectieve temperatuur van een bolsymmetrische ster wordt gedefinieerd door een ster metstraal R en lichtkracht L te vergelijken met een bolvormige zwarte straler die een straal heeft gelijk aanR. De normale stralingsflux van een zwarte straler naar buiten toe wordt gegeven door de wet van Stefan-Boltzmann: F+

R = σT 4 met σ een constante gedefinieerd als 2π5k4/15c2h3. De effectieve temperatuur Teff

van de ster is dan de temperatuur van de zwarte straler waarvoor L = 4πR2σT 4eff .

15

Figuur 1.2: Observationele HR diagrammen geconstrueerd aan de hand van metingen uitgevoerd door desatelliet HIPPARCOS. In de linkse paneel zijn alle sterren weergegeven, waarvan de parallax met een rela-tieve nauwkeurigheid kleiner dan 10% kon bepaald worden. Het rechtse paneel bevat de sterren waarvan deparallax met een relatieve nauwkeurigheid tussen 10 en 20% gemeten werd.

16

Figuur 1.3: Het theoretisch HR diagram voor sterren met een initiele massa tot 15M. De levensloop vande sterren is aangeduid door de evolutiesporen. Het doel van de cursus is om dit diagram te begrijpen.

17

1.3 Inhoud van de cursus

Het theoretisch HR diagram wordt getoond in figuur 1.3. In abscis staat zowel de effectieve temperatuur alshet spectraal type uitgezet en in ordinaat vinden we de logaritme van de lichtkracht en de overeenkomstigebolometrische magnitude. De evolutiesporen voor sterren van verschillende massa zijn aangeduid. Het doelvan deze cursus is om de positie van de sterren en de evolutiesporen ervan, zoals aangeduid in figuur 1.3,te begrijpen. Hiertoe dienen we eerst wat dieper in te gaan op de inwendige structuur van sterren, wathet onderwerp is van deel I van deze cursus. Eens we de basisbegrippen die de sterstructuur beschrijven,behandeld hebben, zijn we in staat om de levensloop van een ster, weergegeven door de evolutiesporen infiguur 1.3, te bestuderen zoals gebeurt in deel II.

Op het world wide web zijn vele illustraties, foto’s en verklarende teksten te vinden van sterren inverschillende evolutiestadia. Deze illustraties verliezen veel van hun kwaliteit indien ze gecopieerd worden.Ik verwijs de lezer daarom naar het internet om deze illustraties op te zoeken en hun pracht te bewonderen.Enkele aanraders kan men vinden op :

• http://hubblesite.org/gallery/showcase/text.shtml

• http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/

• http://imagelib.ncsa.uiuc.edu/

• http://www.vilspa.esa.es/astroweb/yp−pictures.html

18

DEEL I : STERSTRUCTUUR

19

Hoofdstuk 2

Een eenvoudige toestandsfunctie: het ideaalgas met straling

De beschrijving van de sterstructuur vereist de kennis over de eigenschappen van het stermateriaal. Dithoofdstuk handelt over de thermodynamische eigenschappen van het stergas. De centrale onderstelling diewe maken is dat in elk punt in de ster het gas zich in een toestand van thermodynamisch evenwicht bevindt.Het gevolg hiervan is dat we geen rekening hoeven te houden met de gedetailleerde reacties tussen de deel-tjes, zoals de atomen, elektronen, ionen, fotonen, . . . welke de bouwstenen zijn van het gas. De gemiddeldeeigenschappen van het gas kunnen hierdoor beschreven worden in termen van lokale toestandsvariabelenen de relaties tussen hen. Hierdoor zal het, bij gegeven temperatuur, dichtheid en chemische samenstelling,mogelijk zijn om alle andere toestandsvariabelen, zoals de druk en de inwendige energie, te bepalen. Hetspecifieren van deze relaties omschrijft men als het bepalen van de toestandsfunctie van het gas.

In dit hoofdstuk bespreken we een voorbeeld van een toestandsfunctie die bijzonder relevant is voorsterren. Andere realistische toestandsfuncties komen aan bod in Hoofdstuk 4. We halen nu eerst enkelebasisbegrippen en basisrelaties van thermodynamica aan.

2.1 Inleiding tot de thermodynamica, toegepast op sterren

De verandering van de toestand van het gas waaruit de ster is opgebouwd speelt een belangrijke rol tijdensde evolutie van de ster. De basisvergelijking die de verandering van de eigenschappen van het gas omschrijftis de eerste wet van de thermodynamica. We vatten nu de begrippen van de thermodynamica, die van belangzijn bij de bepaling van de inwendige structuur van sterren, samen.

21

2.1.1 Thermodynamisch evenwicht

De klassieke thermodynamica heeft betrekking op systemen die een eenvormige temperatuur en scheikundi-ge samenstelling hebben en die in mechanisch en thermodynamisch evenwich zijn. Deze voorwaarden zijnover het algemeen niet voldaan in sterren.

Onder mechanisch evenwicht verstaan we een toestand waarbij in elk punt de drukkracht gecompen-seerd wordt door de som van alle agerende krachten. In de sterrenkunde spreken we in dit geval van hydro-statisch evenwicht.

We beschouwen nu een volume bestaande uit straling en materie dat adiabatisch ingesloten is. Ditbetekent dat er geen uitwisseling van energie mogelijk is met de omgeving. Wanneer naast mechanischevenwicht een eenvormige temperatuur in het volume heerst, spreken we van mechanisch en thermischevenwicht.

In het algemeen bestaat het systeem uit reagerende elementen waarvan de concentratie kan veranderenin de loop van de tijd door het optreden van scheikundige reacties. Wanneer de dichtheid en de temperatuurconstant blijven, streven de relatieve concentraties van de deeltjes naar een evenwichtswaarde. Men spreektin dat geval van scheikundig evenwicht. Wanneer zowel scheikundig als thermisch evenwicht bereikt is,ondergaat het systeem geen veranderingen meer. Men spreekt dan van thermodynamisch evenwicht.

Alhoewel de klassieke thermodynamica niet strikt geldig is in sterren, kan ze toch gebruikt wordenvoor de beschrijving van de sterstructuur. De reden is dat de ster kan opgedeeld worden in een groot aantallagen, die elk dun genoeg genomen worden opdat voldaan is aan de eigenschappen van evenwicht in de zinvan de klassieke thermodynamica. Men spreekt in de sterrenkunde in dit geval van een toestand van lokaalthermodynamisch evenwicht, of LTE. Indien LTE een goede benadering is, dan zijn de basiswetten van deklassieke thermodynamica van toepassing in elke sterlaag, ondanks het feit dat de ster in haar geheel niet inthermodynamisch evenwicht is.

2.1.2 De eerste wet van de thermodynamica

We beschouwen de arbeid die verbonden is met een volumeverandering van een systeem. Stel P gelijk aande druk aan het oppervlak van het systeem. Het systeem ondergaat nu een oppervlaktevariatie. De arbeidverricht door de druk op een eenheidsoppervlak bedraagt dW = PdV . In de sterrenkunde gebruikt mende arbeid per eenheid van massa w, door invoering van het soortelijk volume v = 1/ρ. v is met anderewoorden het volume ingenomen door een eenheidsmassa. We bekomen dan dw = Pdv.

We beschouwen nu een infinitesimale thermodynamische transformatie van het systeem. Hiermeebedoelen we een infinitesimale variatie van de druk, de dichtheid en de temperatuur. Definieer dq als dehoeveelheid warmte die per eenheidsmassa opgeslorpt wordt door het systeem en dw de arbeid verricht pereenheidsmassa door het systeem. De eerste wet van de thermodynamica stelt dat de differentiaal du ≡dq − dw een totale differentiaal is. De eerste wet laat bijgevolg toe een functie u te definieren, die we de

22

inwendige energie per eenheidsmassa van het systeem noemen. De inwendige energie van het systeem kanbijgevolg gewijzigd worden door arbeid te verrichten of door warmtetoevoer of -afvoer.

Anders geformuleerd geeft de eerste wet van de thermodynamica het verband tussen de toegevoegdewarmte dq, de inwendige energie u en het specifiek volume v = 1/ρ (elk gedefinieerd per eenheidsmassa):

dq = du+ Pdv. (2.1)

Een adiabatisch proces is een proces dat zodanig plaatsgrijpt dat er geen warmte het systeem binnen-dringt of verlaat: dq = 0. Voor een adiabatisch proces is de verandering van de inwendige energie dustegengesteld aan de arbeid verricht door het systeem. Wanneer dw negatief is, zoals bij een samendrukking,dan neemt de inwendige energie toe, wat meestal gepaard gaat met een temperatuurstoename. Anderzijdsimpliceert dw > 0 een afname van de inwendige energie, gepaard gaand met een temperatuursdaling. Wan-neer een proces zoals samendrukking of uitzetting vlug verloopt zal het ongeveer adiabatisch zijn omdat dewarmtetoevoer of -afname zeer traag verloopt.

Wanneer bij een adiabatisch proces tevens geen arbeid geleverd wordt, dan verandert de inwendigeenergie van het systeem niet. Het is echter best mogelijk dat er zich wel wijzigingen in P, ρ, T voordoen.

2.1.3 De entropie

Onderstel dat een systeem een opeenvolging van toestanden van thermodynamisch evenwicht doorloopt.Mens spreekt dan van een quasi-statische transformatie. Zulk een quasi-statische transformatie noemt meneen reversibele transformatie wanneer er gedurende de transformatie geen energie verloren gaat door ef-fecten zoals wrijving. Een reversibele transformatie kan bijgevolg doorlopen worden in twee tegengestelderichtingen.

We laten nu het systeem een reversibele cyclus doorlopen, eerst in de ene richting, dan in de tegen-gestelde richting. We kennen dan een toestandsfunctie s toe aan het systeem, gegeven door ds ≡ dq/T .s noemt men de entropie van het systeem, en is tevens gedefinieerd per eenheidsmassa. Uit de eerst wetvolgt dat ds ook een totale differentiaal is, gegeven door du/T + P/Tdv. De entropie van een systeem isslechts gedefinieerd voor toestanden van thermodynamisch evenwicht. We kunnen bovendien uit de eerstewet slechts de variatie van de entropie bepalen. We benadrukken dat de betrekking du = Tds− Pdv geenvariatie in scheikundige samenstelling onderstelt.

2.1.4 De soortelijke warmten

Vanuit wiskundig standpunt is het invoeren van algemene soortelijke warmten

cα ≡(∂q

∂T

)

α(2.2)

23

zinvol. De betekenis van cα is de volgende: cα is de hoeveelheid warmte die een systeem moet opslorpen omde temperatuur een eenheid te doen stijgen. Vanuit fysisch standpunt werkt men slechts met twee soortelijkewarmten:

cP ≡(dq

dT

)

P=

(∂u

∂T

)

P+ P

(∂v

∂T

)

P,

cv ≡(dq

dT

)

v=

(∂u

∂T

)

v.

(2.3)

We zoeken nu een verband tussen cP en cv . Hiertoe beschouwen we algemene toestandsfuncties ρ =ρ(P, T ) en u = u(ρ, T ). In het algemeen hangen ρ en u ook af van de chemische samenstelling, maar dieveronderstellen we hier constant. We definieren vervolgens de afgeleiden:

α ≡(∂ ln ρ

∂ lnP

)

T= −P

v

(∂v

∂P

)

T,

δ ≡ −(∂ ln ρ

∂ lnT

)

P=T

v

(∂v

∂T

)

P.

(2.4)

De toestandsvergelijking kan dan geschreven worden als

dρ

ρ= α

dP

P− δ dT

T. (2.5)

We gebruiken nu (2.1) en

du =

(∂u

∂v

)

Tdv +

(∂u

∂T

)

vdT (2.6)

om de verandering ds = dq/T van de specifieke entropie te bepalen:

ds =dq

T=

1

T

[(∂u

∂v

)

T+ P

]dv +

1

T

(∂u

∂T

)

vdT. (2.7)

Vermits ds een totale differentiaal is, geldt ∂2s/∂T∂v = ∂2s/∂v∂T . We passen dit toe op de vorigevergelijking en bekomen zo

∂

∂T

[1

T

(∂u

∂v

)

T+P

T

]=

1

T

∂2u

∂T∂v. (2.8)

Na het uitvoeren van de differentiatie in het linkerlid bekomen we(∂u

∂v

)

T= T

(∂P

∂T

)

v− P. (2.9)

Deze relatie wordt de reciprociteitsrelatie genoemd.

Om cP − cv te bekomen leiden we vervolgens eerst een uitdrukking af voor (∂u/∂T )P waarbij we Pen T als onafhankelijk veranderlijken nemen. Uit (2.6) volgt dat

du

dT=

(∂u

∂T

)

v+

(∂u

∂v

)

T

dv

dT, (2.10)

24

en zodoende(∂u

∂T

)

P=

(∂u

∂T

)

v+

(∂u

∂v

)

T

(∂v

∂T

)

P=

(∂u

∂T

)

v+

(∂v

∂T

)

P

[T

(∂P

∂T

)

v− P

], (2.11)

waarbij we gebruik gemaakt hebben van (2.9). Dit laatste resultaat levert, samen met de definitie van desoortelijke warmten, volgend resultaat:

cP − cv = T

(∂v

∂T

)

P

(∂P

∂T

)

v. (2.12)

Anderzijds kunnen we uit de definitie van α en δ volgend resultaat afleiden:

(∂P

∂T

)

v= −

(∂v∂T

)P(

∂v∂P

)T

=Pδ

Tα. (2.13)

Gebruik makend van T (∂v/∂T )P = vδ = δ/ρ bekomen we tenslotte de basisrelatie

cP − cv =Pδ2

Tρα. (2.14)

We stellen vast dat het verschil van de soortelijke warmten volledig te bepalen is uit afgeleiden van detoestandsfunctie.

We wensen nu de eerste wet van de thermodynamica om te vormen in termen van de variatie van dedruk en temperatuur. We schrijven daartoe eerst

dq = du+ Pdv =

(∂u

∂T

)

vdT +

[(∂u

∂v

)

T+ P

]dv. (2.15)

Gebruik makend van achtereenvolgens (2.9), de definitie van v en (2.13) vinden we dan

dq =

(∂u

∂T

)

vdT + T

(∂P

∂T

)

vdv = cvdT − T

(∂P

∂T

)

v

1

ρ2dρ = cvdT −

Pδ

ρα

dρ

ρ, (2.16)

wat op zijn beurt kan herschreven worden als

dq = cvdT −Pδ

ρα

(αdP

P− δ dT

T

)=

(cv +

Pδ2

Tρα

)dT − δ

ρdP. (2.17)

We bekomen dan tenslotte, via (2.14)

dq = cP dT −δ

ρdP. (2.18)

Voor adiabatische transformaties blijft de entropie constant ds = dq/T = 0. We definieren nu deadiabatische temperatuursgradient ∇ad als volgt :

∇ad ≡(∂ lnT

∂ lnP

)

s, (2.19)

25

waarbij de benedenindex s aanduidt dat de definitie geldt voor constante entropie. Uit (2.18) leiden we afdat (dT/dP )s = δ/ρcP . Hieruit volgt een uitdrukking voor ∇ad:

∇ad =

(P

T

dT

dP

)

s=

Pδ

TρcP. (2.20)

∇ad omschrijft de temperatuursvariatie die de deeltjes in een massa-element van een systeem ondervindenwanneer dit element een drukvariatie ondergaat ten gevolge van adiabatische expansie, welke een expansieis waarbij geen warmte-uitwisseling met de omgeving optreedt. Wat er gebeurt is het volgende: massa-elementen die diep in de ster verhit worden stijgen op omdat ze, door hun lagere dichtheid, lichter zijn dandiegenen in hun omgeving. Door dit opstijgen komen de massa-elementen in hogere lagen waar de dichtheidkleiner is en daardoor zetten ze uit. Door het uitzetten van de massa-elementen daalt de temperatuur vanhet gas. ∇ad geeft weer wat de waarde is van deze temperatuursvariatie. Zowel de druk als de temperatuurnemen af naar buiten toe. De waarde van de afname van de druk volgt uit de vergelijking van hydrostatischevenwicht (zie verder) en eens we die bepaald hebben kunnen we ∇ad bepalen.

2.2 Het ideaal gas met straling

2.2.1 Het klassiek ideaal gas in sterren

De onderstelling van thermodynamisch evenwicht onderstelt impliciet dat de condities in het gas niet merke-lijk veranderen over een gemiddelde vrije weglengte en gedurende de gemiddelde tijd tussen twee botsingenvan de gasdeeltjes. Hierbij bedoelen we met een gasdeeltje niet enkel de materiaaldeeltjes zoals de atomenof elektronen, maar evenzeer de fotonen. De voorwaarde van thermodynamisch evenwicht is zeer goedvoldaan in sterinwendigen, waar de dichtheid groot is. Ze is niet meer geldig in the steratmosfeer.

Een aanzienlijke vereenvoudiging ontstaat wanneer we de hoge temperaturen in de sterinwendigen inrekening brengen. Immers, in de meeste sterren kan het gas beschouwd worden als volledig geıoniseerd,m.a.w. enkel bestaande uit kernen en vrije elektronen zonder interne vrijheidsgraden welke niet met elkaarreageren. Zulk een gas noemt men een ideaal gas.

De welgekende vorm van de ideale gaswet voor de gasdeeltjes van een bepaald type in een tank luidt :

PV = NkT, (2.21)

met P de druk in de tank, V het volume van de tank, N het aantal gasdeeltjes in de tank, T de temperatuurin de tank en k de constante van Boltzmann (zie Bijlage A), gegeven doorR/NA metR de gasconstante enNA = 1/mu het getal van Avogadro. Omdat we in stermiddens moeilijk de hoeveelheid deeltjes in de tankkunnen specifieren, verkiezen we om te werken met dichtheden. Wanneer we het aantal deeltjes per eenheidvan volume voorstellen door n = N/V , dan kunnen we de ideale gaswet ook schrijven als

P = nRNA

T = nmuRT. (2.22)

26

We definieren nu het moleculair gewicht µ als zijnde de deeltjesmassa uitgedrukt in mu (dimensielozegrootheid). De dichtheid van het stermateriaal is niets anders dan het product van het aantal deeltjes pereenheid van volume, met de massa van de deeltjes. We vinden zo de betrekking nmu = ρ/µ. Uiteindelijkbekomen we dan voor de ideale gaswet:

P =RµρT, (2.23)

welke de gebruikelijke vorm van de toestandsfunctie van een ideaal gas, bestaande uit een type deeltjes, isin de sterrenkunde.

2.2.2 Het gemiddeld moleculair gewicht

In het sterinwendige nabij de sterkern is alle materie geıoniseerd. Dit wil zeggen dat er per waterstofatoomeen vrij elektron is en voor elk helium atoom twee vrije elektronen. We hebben dus in werkelijkheid eengasmengsel bestaande uit twee type deeltjes, de ionen (die op hun beurt bestaan uit verschillende compo-nenten - protonen en neutronen) en de vrije elektronen. Dit mengsel is opnieuw een ideaal gas indien elkvan de twee componenten voldoet aan de ideale gaswet.

De samenstelling van sterren is uiterst eenvoudig in vergelijking met diegene van materialen op aarde.Vanwege de hoge druk en temperatuur bestaat het sterinwendige bijna volledig uit geıoniseerde materie. Inzulk een midden volstaat het om de verschillende typen kernen, die we voortaan deeltjes noemen, te be-schrijven. Aan elk type deeltje kennen we een index i toe. Met Xi duiden we de relatieve massa-abondantievan deeltjes van type i aan, d.w.z. de fractie van een eenheid van massa die bestaat uit deeltjes van type i.Hieruit volgt dat ∑

i

Xi = 1. (2.24)

De chemische toestand van het gasmengsel bestaande uit volledig geıoniseerde kernen en vrije elektro-nen wordt beschreven door alle Xi te specifieren, welke een moleculair gewicht µi en een lading Zi hebben.Voor ni deeltjes per volume met deeltjesdichtheid ρi hebben we Xi = ρi/ρ en

ni =ρi

µimu=

ρ

mu

Xi

µi. (2.25)

We verwaarlozen de massa van de elektronen t.o.v. de massa van de ionen (consulteer Bijlage A voor demassa van beiden).

De totale druk P van het gasmengsel is de som van de partiele drukken:

P = Pe +∑

i

Pi =

(ne +

∑

i

ni

)kT, (2.26)

waarbij Pe de druk is van de vrije elektronen, Pi de partiele druk is tengevolge van de deeltjes van typei en waarbij we gebruikten dat elk van de componenten een ideaal gas is. De bijdrage van een volledig

27

geıoniseerd atoom van type i tot het totaal aantal deeltjes (kern en Zi vrije elektronen) bedraagt 1 + Ziwaaruit

n = ne +∑

i

ni =∑

i

(1 + Zi)ni. (2.27)

Deze uitdrukking geeft samen met (2.25) en (2.26) volgende nieuwe uitdrukking voor de totale druk

P = R∑

i

Xi(1 + Zi)

µiρT. (2.28)

Dit resultaat kan in de eenvoudige vorm (2.23) gebracht worden wanneer we het gemiddeld moleculairgewicht

µ ≡(∑

i

Xi(1 + Zi)

µi

)−1

(2.29)

invoeren. Hierdoor kunnen we een gasmengsel bestaande uit componenten die zelf een ideaal gas zijn,behandelen als een uniform ideaal gas. We dienen hiervoor enkel het moleculair gewicht µ in (2.23) tevervangen door het gemiddeld moleculair gewicht µ.

De definitie van het gemiddeld moleculair gewicht kan gemakkelijk aangepast worden voor een neu-traal gas waarbij alle elektronen zich nog in de atomen bevinden. In dit geval vervangen we de factor 1 +Z isimpelweg door 1. We kunnen met onze beschrijving dus alle situaties met volledig geıoniseerde materie ofmet niet-geıoniseerde materie behandelen.

Het gemiddeld moleculair gewicht is afhankelijk van de chemische samenstelling. Beschouwen we eenchemische samenstelling bestaande uit een fractie X aan waterstof, Y aan helium en Z aan zware elementenzodatX+Y +Z = 1. De fractie aan zware elementen is algemeen afkomstig van j verschillende elementen:Z =

∑j Zj , welke massagetal Aj hebben. Het gemiddeld aantal vrije elektronen dat vrijkomt wanneer deze

zware elementen met fractie Zj volledig geıoniseerd zijn bedraagt Aj/2.

Wanneer alle atomen geıoniseerd zijn bekomen we voor het gemiddeld moleculair gewicht volgendeuitdrukking:

µ =

X(1 + 1)

1+Y (1 + 2)

4+∑

j

(Zj(1 +Aj/2)

Aj

)−1

. (2.30)

In de praktijk laat men alle termen Zj/Aj wegvallen, omdat hun bijdrage verwaarloosbaar klein is (bedenkdat Z ≈ 2− 3%). We bekomen dan

µ =

(2X +

3Y

4+

1

2(1−X − Y )

)−1

=

(3X

2+Y

4+

1

2

)−1

. (2.31)

In de centrale lagen van de zon (X = 0.70, Y = 0.27, Z = 0.03) vinden we dan µ = 0.62. In het geval vanzuiver, volledig geıoniseerd waterstof vinden we µ = 1/2. Voor een volledig geıoniseerd heliumgas vindenwe daarentegen µ = 4/3.

Wanneer we te maken hebben met een neutraal gas, verkrijgen we

µ =

X

1+Y

4+∑

j

ZjAj

−1

, (2.32)

28

wat zich herleidt tot

µ =

(X +

Y

4

)−1

(2.33)

wanneer opnieuw alle bijdragen Zj/Aj verwaarloosd worden. Voor de buitenste sterlagen van de zon vindenwe zo µ = 1.30.

In de praktijk zal de buitenkant van de ster geen geıoniseerd gas bevatten. Anderzijds zullen alleatomen in de binnenlagen volledig geıoniseerd zijn. Er bestaat ergens in de ster een kritische laag waarzowel geıoniseerd als niet-geıoniseerd materiaal van een scheikundig element optreedt. Men spreekt vaneen partiele ionisatielaag. Zo vereist de ionisatie van waterstof 13.6 eV. De eerste ionisatie van heliumvereist 24.6 eV. Hieruit leiden we af dat de eerste partiele ionisatielaag van helium dieper in de ster ligt dande partiele ionisatielaag van waterstof. Analoog ligt de tweede partiele ionisatielaag van helium dieper inde ster dan de eerste partiele ionisatielaag. Wanneer de temperatuur hoger is dan ruwweg 200 000 K is allewaterstof en helium volledig geıoniseerd.

In het geval dat het stermateriaal partieel geıoniseerd is moeten we rekening houden met de verschil-lende ionisatiegraden bij de bepaling van µ. In het algemeen wordt de verhouding van het aantal deeltjesin de (r + 1)-de ionisatietoestand tot het aantal deeltjes in de r-de ionisatietoestand beschreven door deionisatiewet van Saha. We verwijzen voor de beschrijving van deze wet en toepassingen ervan naar het vakG094: Practicum Sterrenkunde in de eerste licentie.

We merken nog op dat het gemiddeld moleculair gewicht verandert tijdens de evolutie van de ster,vermits de onderlinge fracties X,Y,Z veranderen ten gevolge van de kernreacties. Het gemiddeld mole-culair gewicht verandert tijdens de evolutie laag per laag, omdat de snelheid van de kernreacties enormtemperatuursgevoelig is. Hierdoor bouwt de ster tijdens haar leven in haar diepste lagen een gradient van µop.

We wensen tenslotte voor een latere toepassing het gemiddeld moleculair gewicht per vrij elektron µe

te bepalen. Voor een volledig geıoniseerd gas draagt elke kern i, Zi vrije elektronen bij en krijgen we

µe =

(∑

i

XiZi/µi

)−1

. (2.34)

Vermits voor alle elementen zwaarder dan helium de benadering µi/Zi ≈ 2 goed is vinden we

µe =

(X +

1

2Y +

1

2(1−X − Y )

)−1

=2

1 +X. (2.35)

2.2.3 De inwendige energie van een ideaal gas

Uitdrukking (2.14) reduceert zich voor een ideaal gas (α = δ = 1) tot het welgekende resultaat cP − cv =R/µ, waaruit we afleiden dat cP > cv . Merk op dat men in de klassiek thermodynamica voor een ideaal gascP − cV = R vindt. Dat wij hier een factor 1/µ vinden is een gevolg van het feit dat we in de sterrenkundewerken per eenheid van massa.

29

Uit de reciprociteitsrelatie vinden we dat(∂u

∂v

)

T= 0. (2.36)

Hieruit leiden we af dat de inwendige energie van een ideaal gas alleen een functie van de temperatuur is.

De verdeling van de snelheid v in een ideaal gas bestaande uit klassieke deeltjes (we verwaarlozen nudus relativistische effecten) wordt gegeven door de Maxwell verdelingsfunctie :

f(v) = 4πv2(

m

2πkT

)3/2

exp

(−mv

2

2kT

), (2.37)

metm de massa van het deeltje. Deze verdelingsfunctie is zodanig gedefinieerd dat f(v)dv de kans voorsteltdat het deeltje een snelheid heeft gelegen tussen v en v + dv. De functie f is genormeerd zodat

∫ ∞

0f(v)dv = 1. (2.38)

Het maximum van de verdeling, m.a.w. de meest waarschijnlijke snelheid, wordt gegeven door√

2kT/m.Daarentegen is de gemiddelde snelheid gelijk aan

< v >=

∫ ∞

0vf(v)dv =

(8kT

πm

)1/2

(2.39)

en de gemiddelde kwadratische snelheid wordt gegeven door

< v2 >=

∫ ∞

0v2f(v)dv =

3kT

m. (2.40)

Uit deze vergelijking leiden we af dat de gemiddelde kinetische energie per deeltje gelijk is aan 3kT/2. Degemiddelde kinetische energiedichtheid, welke de gemiddelde hoeveelheid kinetische energie per eenheidvan massa is, wordt zodoende gevonden door 3kT/2 te delen door de gemiddelde massa van een deeltje.Deze gemiddelde massa is niets anders dan µmu, zodat we een gemiddelde kinetische energiedichtheidgelijk aan 3kT/2µmu bekomen. Vermits k/mu = R vinden we uiteindelijk 3RT/2µ voor de gemiddeldekinetische energiedichtheid per eenheidsmassa.

De inwendige energie van het ideaal gas wordt algemeen gegeven door de som van de kinetische energievan thermische beweging en de ionisatie-energie. Voor een volledig geıoniseerd gas of voor een neutraal gasis de ionisatie-energie nul en bekomen we uiteindelijk dat de inwendige energie van het gas gegeven wordtdoor

u =3RT2µ

. (2.41)

De gemiddelde inwendige energie per eenheidsmassa is dan gelijk aan 3P/2ρ in de limiet van een klassiekideaal gas bestaande uit eenzelfde type deeltjes.

Uit de uitdrukking voor u vinden we meteen

cv =

(∂u

∂T

)

v=

3

2

Rµ. (2.42)

30

Vervolgens levert cP − cv = R/µ dan

cP =5

2

Rµ, (2.43)

waaruit we afleiden datγ ≡ cP

cv=

5

3. (2.44)

We vinden dan ∇ad = 2/5 voor een ideaal gas dat volledig bestaat uit hetzij volledig geıoniseerde ma-terie hetzij neutrale atomen. Dit betekent dat de temperatuursvariatie van een ideaal gas dat adiabatischecompressie ondergaat verloopt volgens T ∼ P 2/5.

Voor een ideaal gas kunnen we de druk-, volume- en dichtheidsvariaties als volgt met elkaar verbinden:

dP

P= −cP

cv

dv

v= −γ dv

v= γ

dρ

ρ, (2.45)

wat ook als volgt kan geschreven worden(∂ lnP

∂ ln ρ

)

s

= γ ;

(∂ lnP

∂ lnT

)

s=

γ

γ − 1;

(∂ lnT

∂ lnρ

)

s

= γ − 1. (2.46)

Deze uitdrukkingen zijn enkel geldig wanneer de beweging van de gasdeeltjes de enige bijdrage tot deinterne energie leveren, zoals het geval is voor een volledig geıoniseerd of volledig neutraal ideaal gas.De uitdrukkingen zijn niet geldig onder meer algemene omstandigheden. Toch blijft het voor zulke meeralgemene condities nuttig om de adiabatische variaties door gelijkaardige vergelijkingen te definieren. Menvoert daarom de volgende algemene adiabatische exponenten in :

Γ1 ≡(d lnP

d ln ρ

)

s

,Γ2

Γ2 − 1≡(d lnP

d lnT

)

s,Γ3 ≡

(d lnT

d ln ρ

)

s

+ 1, (2.47)

welke voldoen aan de relatieΓ1

Γ3 − 1=

Γ2

Γ2 − 1. (2.48)

Deze definities steunen op geen enkele onderstelling wat de toestandsfunctie betreft. Voor een vollediggeıoniseerd ideaal gas geldt uiteraard Γ1 = Γ2 = Γ3 = 5/3.

We definieren tenslotte de isotherme geluidssnelheid a door

a2 ≡ RµT. (2.49)

In het geval van een isotherm ideaal gas kunnen we de ideale gaswet dus tevens als volgt formuleren:

P = a2ρ, (2.50)

waarbij a constant is. We zullen van deze formulering gebruik maken bij de beschrijving van het stervor-mingsproces (zie Deel II van de cursus).

31

2.2.4 De bijdrage van het fotonengas

Tengevolge van de hoge temperaturen in sterinwendigen dragen de fotonen aanzienlijk bij tot de druk en deinwendige energie van het gas. De druk in een ster bestaat daarom niet enkel uit de gasdruk maar heeft ookeen component te wijten aan de druk van het fotonengas. Deze stralingsdruk bedraagt in de sterkern van allesterren, en ook in de fotosfeer van hete massieve sterren, zelfs een aanzienlijke fractie van de totale druk.

De straling kan zeer goed benaderd worden door diegene geldig voor een zwarte straler. De intensiteitvan een zwarte straler wordt beschreven door de stralingswet van Planck:

Bν(T ) =2hν3

c2(exp(hν/kT ) − 1)−1 . (2.51)

Voor de afleiding van de voornaamste eigenschappen van een zwarte straler, zoals de totale stralingsintensi-teit geıntegreerd over alle golflengten, het maximum van de stralingsintensiteit in functie van de golflengte(wet van Wien), de normale buitenwaartse stralingsflux (wet van Stefan-Boltzmann) en de stralingsdrukverwijzen we naar de cursussen van de kandidaturen.

Vermits de fotonen een hoeveelheid van beweging met zich meedragen, heerst er een druk die verbon-den is met de straling. Deze stralingsdruk wordt gegeven door Prad = aT 4/3 met a de stralingsconstante(zie Bijlage A). De energiedichtheid per eenheid van massa die overeenstemt met deze stralingsdruk be-draagt u = aT 4/ρ = 3Prad/ρ. We stellen dus vast dat de energiedichtheid per eenheidsmassa 3P/2ρbedraagt voor een niet-relativistisch ideaal gas en 3P/ρ voor een relativistisch fotonengas.

Volgens de wet (2.1) volgt dat voor een adiabatische variatie van een fotonengas

0 = dq = du+ Pdv = du+ Pd

(1

ρ

)= 3d

(P

ρ

)+ Pd

(1

ρ

)= 4Pd

(1

ρ

)+

3

ρdP = −4P

ρ2dρ+

3

ρdP.

(2.52)Hieruit volgt Γ1 = 4/3. Anderzijds vinden we

0 = dq = d

(aT 4

ρ

)+

1

3aT 4d

(1

ρ

)= −4aT 4

3ρ2dρ+

4aT 3

ρdT, (2.53)

waaruit we afleiden dat Γ3 = 4/3. Uit (2.48) vinden we dan tevens Γ2 = 4/3.

Wanneer het systeem bestaat uit een mengsel van deeltjes die zich gedragen als een ideaal gas en alsstraling, dan wordt de totale druk gegeven door

P = Pgas + Prad =RµρT +

a

3T 4. (2.54)

Vaak definieert men een maat voor de bijdrage van de stralingsdruk door β ≡ Pgas/P in te voeren,wat equivalent is met 1 − β = Prad/P . Voor β = 0 is de gasdruk nul en voor β = 1 is de stralingsdruknul. Het vastleggen van een waarde voor β komt dan overeen met het vastleggen van een onderling verbandtussen de gas- en stralingsdruk. β verandert wanneer we van het sterinwendige naar het steroppervlak gaan.

32

Voor sterren met M ≥ 10M is β 6= 0 in de gehele ster, zelfs nabij het steroppervlak. Voor heel massievesterren is Pgas zelfs te verwaarlozen ten opzichte van Prad. Anderzijds is Prad te verwaarlozen nabij hetsteroppervlak voor sterren zoals de zon of koeler.

33

34

Hoofdstuk 3

De mechanische basisvergelijkingen die desterstructuur beschrijven

In dit hoofdstuk bespreken we de vergelijkingen die relevant zijn voor de kennis van de sterstructuur. Bij hetafleiden en oplossen van deze vergelijkingen zullen we gebruik maken van enkele van de thermodynamischerelaties besproken in het vorig hoofdstuk.

3.1 Coordinaten

3.1.1 Euleriaanse beschrijving

Beschouw een gasvormige enkelvoudige ster die traag roteert en geen magneetveld heeft. De krachten dieheersen op een massa-element zijn dan enkel afkomstig van de druk en van de gravitatie. Alle functieszijn in dit geval constant in concentrische sferen en een ruimtelijke variabele volstaat om deze functies tebeschrijven. De afstand r, gemeten vanaf het stercentrum, is een natuurlijke keuze voor deze ruimtelijkecoordinaat. Deze afstand r kan varieren van r = 0 tot r = R, waarbij R de totale straal van de ster is.

Om de evolutie van de functies in de tijd te beschrijven roepen we de tijdcoordinaat t in. Maken we ge-bruik van de twee onafhankelijk veranderlijken r en t, dan gebruiken we de Euleriaanse beschrijvingswijze.Alle andere veranderlijken worden vervolgens bepaald in functie van r en t. Een voorbeeld is de dichtheidρ = ρ(r, t).

We wensen nu het effect van de massaverdeling in de ster op het gravitatieveld te beschrijven. Hiertoedefinieren we de functie m(r, t) als zijnde de massa bevat in een sfeer met straal r op tijdstip t. m varieertals volgt volgens r en t:

dm = 4πr2ρdr − 4πr2ρvdt. (3.1)

35

Figuur 3.1: We gebruiken de massa binnen de sfeer met straal r als onafhankelijk veranderlijke bij debeschrijving van de vergelijkingen die de sterstructuur bepalen.

De eerste term in het rechterlid van vergelijking (3.1) is de massa bevat in een sferische schil met dikte dr(zie figuur 3.1). Deze term drukt de variatie van m(r, t) uit ten gevolge van een variatie van r bij constantet:

∂m

∂r= 4πr2ρ. (3.2)

Vergelijking (3.2) is de eerste van de basisvergelijkingen die de sterstructuur bepalen in de Euleriaansebeschrijving.

De tweede term in het rechterlid van vergelijking (3.1) geeft de sferisch symmetrische massastroomdoorheen de sfeer met constante straal r weer, ten gevolge van een buitenwaarts gerichte radiale snelheid vin het tijdsinterval dt:

∂m

∂t= −4πr2ρv. (3.3)

Leiden we nu uitdrukking (3.2) af naar t en uitdrukking (3.3) naar r, en stellen we beide uitdrukkingengelijk aan elkaar, dan bekomen we de welbekende continuıteitsvergelijking voor sferische symmetrie:

∂ρ

∂t= − 1

r2

∂(ρr2v)

∂r. (3.4)

3.1.2 Lagrangiaanse beschrijving

Zoals later zal blijken is het voor een sferisch symmetrische ster vaak handiger om met een Lagrangiaansecoordinaat te werken in plaats van de Euleriaanse coordinaat r. Deze ruimtelijke coordinaat is er dan een dieverbonden is met een massa-element en die niet verandert in de loop van de tijd. We karakteriseren in dezebeschrijving een massa-element door m, welke de massa is bevat in een concentrische sfeer op een gegevenogenblik t0.

36

De nieuwe onafhankelijk veranderlijken zijn dan m en t en alle andere grootheden worden in termenvan deze veranderlijken geschreven. Een voorbeeld is weerom de dichtheid ρ = ρ(m, t), en nu ook deafstand r van het massa-element tot het stercentrum: r = r(m, t). In het stercentrum hebben we m = 0 enaan het oppervlak m = M , de totale massa van de ster. Dit voorbeeld toont reeds een enorm voordeel vande Lagrangiaanse beschrijving: in tegenstelling tot de erg veranderende waarde van de straal R in de tijdtijdens het leven van de ster varieert de onafhankelijk veranderlijke m in goede benadering steeds over hetconstante interval [0,M ].

Er bestaat een eenduidig verband tussen de coordinaten r en m. Voor de partiele afgeleiden naar beideveranderlijken bestaan de volgende formules:

∂

∂m=

∂r

∂m.∂

∂r,

(∂

∂t

)

m=

(∂r

∂t

)

m.∂

∂r+

(∂

∂t

)

r.

(3.5)

Passen we nu de eerste van deze afgeleiden toe op m, dan bekomen we

1 =∂m

∂r.∂r

∂m,

wat door invullen van betrekking (3.2) de volgende vergelijking oplevert:

∂r

∂m=

1

4πr2ρ. (3.6)

Deze differentiaalvergelijking beschrijft het ruimtelijk gedrag van de functie r(m, t). Ze vervangt verge-lijking (3.2) en is de eerste basisvergelijking in de Lagrangiaanse beschrijving. Tevens vinden we doorsubstitutie van deze vergelijking in de bovenste betrekking van (3.5) het verband tussen de twee operatoren:

∂

∂m=

1

4πr2ρ

∂

∂r. (3.7)

De tweede vergelijking van (3.5) is de hoofdreden om een Lagrangiaanse beschrijving te gebruiken.De tijdsafgeleide in het linkerlid ervan beschrijft de verandering van een functie in de tijd tijdens het volgenvan een bepaald massa-element. De behoudswetten voor tijdsafhankelijke sferische sterren zijn enkel enalleen eenvoudige uitdrukkingen voor deze tijdsafgeleide. Indien we zouden werken in termen van de lokaletijdsafgeleide (∂/∂t)r , dan zouden telkens termen met de snelheid (∂r/∂t)m expliciet optreden, wat niethet geval is in het Lagrangiaans formalisme.

3.2 De vergelijking van Poisson

In een sferisch symmetrisch lichaam hangt de modulus van de gravitatieversnelling ~g op een afstand r vanhet centrum niet af van de massa-elementen die zich op een afstand groter dan r van het centrum bevinden.

37

g = |~g| is enkel afhankelijk van r en van de massa bevat in de concentrische sfeer met straal r, welke we mgedefinieerd hebben en wel op de volgende wijze:

g =Gm

r2, (3.8)

met G = 6.673 × 10−11 m3/kg.s2 de gravitatie constante1 .

In het algemeen kan het gravitatieveld in een ster beschreven worden aan de hand van een gravitatie-potentiaal Φ, welke een oplossing is van de vergelijking van Poisson:

~∇2Φ = 4πGρ, (3.9)

waarbij ~∇2 de Laplace operator voorstelt. Voor sferisch symmetrische configuraties vereenvoudigt de ver-gelijking van Poisson tot

1

r2

∂

∂r

(r2∂Φ

∂r

)= 4πGρ. (3.10)

De gravitationele versnellingsvector~g is naar het stercentrum toe gericht en wordt in sferische coordinatengeschreven als ~g = (−g, 0, 0) met g = |~g| > 0. De vector ~g = −g~er wordt afgeleid van de potentiaal Φvolgens de betrekking ~g = −~∇Φ. Voor een sferisch symmetrische ster is alleen de partiele afgeleide naar rverschillend van nul en krijgen we

g =∂Φ

∂r. (3.11)

Gebruik makend van uitdrukkingen (3.11) en (3.8) bekomen we

∂Φ

∂r=Gm

r2. (3.12)

Integratie van uitdrukking (3.12) levert

Φ =

∫ r

0

Gm

r2dr + constante. (3.13)

De integratieconstante wordt zodanig gekozen dat Φ verdwijnt voor r → ∞. Verder is Φ minimaal in hetstercentrum. Een schematische voorstelling van Φ wordt gegeven in figuur 3.2.

3.3 Behoud van hoeveelheid van beweging

3.3.1 Hydrostatisch evenwicht

We stellen vast dat we voor de meeste sterren geen evolutionaire veranderingen kunnen waarnemen. Ditimpliceert dat het stermateriaal niet merkelijk versneld wordt, wat dan weer betekent dat alle krachten die

1In de sterrenkunde worden alle grootheden veelal nog uitgedrukt in het cgs stelsel. We verwijzen naar Bijlage A voor dewaarden van fysische en astronomische constanten, zowel in dit stelsel als in het SI stelsel

38

Figuur 3.2: Het verloop van de gravitatiepotentiaal Φ vanaf het stercentrum.

inwerken op een massa-element elkaar moeten compenseren. Dit mechanisch evenwicht noemt men hydro-statisch evenwicht. In de onderstelling dat we te maken hebben met een gasvormige ster die niet roteert engeen magneetveld of een nauwe begeleider heeft, zijn de agerende krachten die optreden de gravitatiekrachten de drukkracht.

Beschouw op een gegeven tijdstip t een dunne sferische massaschil met een infinitesimale dikte dr opeen afstand r van het stercentrum. De massa per eenheidsoppervlak bedraagt ρdr en het gewicht van de schilis−gρdr, welke de gravitatiekracht voorstelt die gericht is naar het stercentrum. Opdat de massa-elementenvan de schil niet versneld zouden worden in de richting van het centrum moeten zij een netto kracht tengevolge van de druk ondervinden die precies even groot is als de gravitatiekracht, maar buitenwaarts gericht.Dit impliceert dat de schil onderhevig is aan een grotere druk aan de binnenkant (Pi) dan aan haar buitenkant(Pe). We verwijzen naar figuur 3.3. De totale kracht per eenheid van oppervlak die de schil ondervindt tengevolge van deze verschillende drukkracht bedraagt:

Pi − Pe = −∂P∂r

dr. (3.14)

De som van de krachten ten gevolge van gravitatie en druk moet nul zijn, m.a.w.

∂P

∂r+ ρg = 0. (3.15)

Deze vergelijking vormen we met behulp van uitdrukking (3.8) om tot de vergelijking van het hydrostatisch

39

Figuur 3.3: Voorstelling van een toestand van hydrostatisch evenwicht: de buitenwaarts gerichte drukkrachtmoet precies de binnenwaarts gerichte gravitatiekracht compenseren. Dit kan alleen voldaan zijn wanneerde druk aan de binnenkant van de schil groter is dan aan de buitenkant ervan.

evenwicht:∂P

∂r= −Gm

r2ρ. (3.16)

Het is de tweede basisvergelijking die de sterstructuur beschrijft in Euleriaanse vorm.

Kiezen we echter m als onafhankelijk veranderlijke, dan bekomen we de Lagrangiaanse vorm van hethydrostatisch evenwicht door vergelijking (3.16) te vermenigvuldigen met ∂r/∂m = (4πr2ρ)−1 volgensvergelijking (3.6) en gebruik te maken van de eerste betrekking van (3.5):

∂P

∂m= − Gm

4πr4. (3.17)

3.3.2 Eenvoudige oplossingen

Tot nu toe hebben we ons enkel geconcentreerd op het mechanisch probleem verbonden met het gravitatie-veld en de drukstratificatie in de ster en leidden we twee basisvergelijkingen af, welke in het Lagrangiaansformalisme de volgende vorm aannemen:

∂r

∂m=

1

4πr2ρ,

∂P

∂m= − Gm

4πr4. (3.18)

We gaan nu na of we voorlopige oplossingen kunnen vinden voor dit systeem van differentiaalvergelijkin-gen.

We zoeken een oplossing voor de drie onbekende functies r, P, ρ en dienen dus een verband tussenminstens twee van deze drie grootheden voorop te stellen. In sommige bijzondere situaties kunnen we dedichtheid ρ schrijven als een functie van r en P of vanm en P . In dat geval hebben we te maken met gewone

40

differentiaalvergelijkingen omdat de tijd niet expliciet optreedt. Een voorbeeld hiervan is een homogenesfeer waarvoor ρ = constante. Een fysisch realistischer voorbeeld wordt gegeven door de zogenaamdebarotropische oplossingen waarvoor ρ = ρ(P ), bijvoorbeeld een ideaal gas bij constante temperatuur. Eenklasse van eenvoudige barytropische oplossingen die belangrijk is voor de studie van de sterstructuur zijnde polytropen. We komen later uitvoerig terug op deze bijzondere klasse van toestandsfuncties.

In het algemeen, echter, is de dichtheid niet enkel een functie van de druk, maar hangt ze ook af van detemperatuur: ρ = ρ(P, T ). Een welbekend voorbeeld is dat van een ideaal gas. Indien we te maken hebbenmet een toestandsvergelijking waarin de temperatuur optreedt wordt het veel moeilijker om de inwendigestructuur van een zelfgraviterende gasbol te bepalen. De mechanische structuur is dan namelijk afhankelijkvan de temperatuursstratificatie, welke op haar beurt gekoppeld is aan de productie en het transport vanenergie in de ster. Om deze situatie te beschrijven hebben we nood aan bijkomende vergelijkingen.

3.3.3 De bewegingsvergelijking in het geval van sferische symmetrie

De vergelijking van hydrostatisch evenwicht (3.16) is een bijzonder geval van behoud van hoeveelheid vanbeweging. Wanneer versnelde bewegingen optreden in de sferisch symmetrische ster moeten we de inertiavan de massa elementen in rekening brengen. We beperken ons hier tot een Lagrangiaanse beschrijving.

Beschouwen we opnieuw een dunne schil met massa dm op een afstand r van het stercentrum. Dezeschil ondervindt een kracht per eenheidsoppervlak fP ten gevolge van de drukgradient welke gegeven wordtdoor (3.14). Deze vergelijking kunnen we ook schrijven als

fP = −∂P∂m

.dm (3.19)

De gravitatiekracht per eenheid van oppervlak die inwerkt op de schil wordt gegeven door

fg = −g dm4πr2

= −Gmr2

dm

4πr2, (3.20)

waarbij we gebruik gemaakt hebben van (3.8). Als de som van de drukkracht en de gravitatiekracht niet nulis, dan zal de schil versneld worden volgens

dm

4πr2

∂2r

∂t2= fP + fg. (3.21)

Hieruit bekomen we met behulp van (3.19) en (3.20) de bewegingsvergelijking:

1

4πr2

∂2r

∂t2= −∂P

∂m− Gm

4πr4. (3.22)

Indien de drukgradient alleen actief zou zijn zou dit resulteren in een buitenwaartse versnelling (∂P/∂m),de gravitatie alleen zou daarentegen een binnenwaartse versnelling veroorzaken. De bewegingsvergelijkingzou herleid worden tot de vergelijking van hydrostatisch evenwicht wanneer alle massa-elementen in rustzijn of radiaal bewegen met constante snelheid. Wanneer de twee termen in het rechterlid van de bewegings-vergelijking elkaar compenseren is de voorwaarde van hydrostatisch evenwicht een goede benadering en zalde ster opeenvolgende quasi-evenwichtstoestanden doorlopen.

41

Veronderstel nu dat er een afwijking van hydrostatisch evenwicht optreedt ten gevolge van het plot-seling “wegvallen” van de drukterm. De inertiaalterm in het linkerlid van de bewegingsvergelijking dientdan de gravitatieterm in het rechterlid te compenseren. We definieren nu een karakteristieke tijdschaal τff

verbonden met het ineenstorten van de ster ten gevolge van het plots wegvallen van de druk:∣∣∣∣∣∂2r

∂t2

∣∣∣∣∣ ≡R

τ2ff

, (3.23)

waarbij R de straal van de ster voorstelt. Gebruik makend van de bewegingsvergelijking (3.22) kunnen weτff ook als volgt schrijven:

τff ≈(R

g

)1/2

. (3.24)

τff is als het ware een gemiddelde waarde van de tijdschaal van vrije val over een afstand van de orde vande sterstraal ten gevolge van het plots wegvallen van de druk.

Analoog kunnen we een karakteristieke tijdschaal τexpl definieren die de explosie van de ster beschrijftten gevolge van het wegvallen van de gravitatie:

∣∣∣∣∣∂2r

∂t2

∣∣∣∣∣ =R

τ2expl

= 4πr2 ∂P

∂m=∂P

∂r

1

ρ≈ P

ρR, (3.25)

waarbij we ∂P/∂r vervangen hebben door P/R. We bekomen dan

τexpl ≈ R(ρ

P

)1/2

. (3.26)

Vermits√P/ρ een maat is voor de gemiddelde geluidssnelheid in het sterinwendige kunnen we τexpl be-

schouwen als de gemiddelde tijd die een geluidsgolf nodig heeft om van het stercentrum naar het steropper-vlak te reizen.

Wanneer de ster zich in een toestand nabij hydrostatisch evenwicht bevindt zijn de twee termen in hetrechterlid van de bewegingsvergelijking zo goed als gelijk aan elkaar en hebben we τff ≈ τexpl. We sprekendan van de hydrostatische tijdschaal τhydro welke de typische tijd is die de ster nodig heeft om na een kleinestoring opnieuw het hydrostatisch evenwicht te herstellen. Gebruiken we g ≈ GM/R2 dan bekomen we uit(3.24)

τhydro ≈(R3

GM

)1/2

≈ 1

2(Gρ)−1/2 . (3.27)

3.3.4 Veralgemening naar een niet-sferische configuratie

Tot nu toe hebben we steeds een sferisch symmetrische configuratie ondersteld. We kunnen echter de af-geleide vergelijkingen gemakkelijk veralgemenen. Indien we de bewegingsvergelijking (3.22) herschrijven

42

in termen van de onafhankelijk veranderlijke r, merken we dat deze vorm een bijzonder geval is van deEuleriaanse vorm van de bewegingsvergelijking van de hydrodynamica:

ρd~v

dt= −~∇P − ρ~∇Φ, (3.28)

met ~v de snelheidsvector en d/dt de totale tijdsafgeleide gegeven door

d

dt=

∂

∂t+ ~v.~∇. (3.29)

De algemene vorm van (3.4) levert de continuıteitsvergelijking van de hydrodynamica:

∂ρ

∂t= −~∇.(ρ~v). (3.30)

Tenslotte herhalen we dat de gravitatiepotentiaal Φ verbonden is met de dichtheidsverdeling door de verge-lijking van Poisson:

~∇2Φ = 4πGρ. (3.31)

De aangehaalde vergelijkingen die de sterstructuur beschrijven zijn tot nu toe slechts bijzondere geval-len van de vergelijkingen gekend uit de hydrodynamica.

3.4 Behoud van energie

3.4.1 Het viriaaltheorema

Het viriaaltheorema speelt voor de behandeling van de meeste fysische problemen geen belangrijke rol.Nochtans is het voor de studie van de sterstructuur van groot belang, vermits het twee belangrijke ener-giereservoirs met mekaar verbindt en het toelaat voorspellingen en interpretaties af te leiden voor bepaaldeevolutionaire fasen in het leven van de ster.

Vermenigvuldigen we het linkerlid van de Lagrangiaanse vorm van het hydrostatisch evenwicht (3.17)met 4πr3 en integreren we over de massa in het interval [0,M ] van het centrum tot het steroppervlak, danbekomen we ∫ M

04πr3 ∂P

∂mdm =

[4πr3P

]M0−∫ M

012πr2 ∂r

∂mPdm. (3.32)

De term tussen vierkante haken verdwijnt vermits r = 0 in het stercentrum en P = 0 aan het steroppervlak.Anderzijds kunnen we de integrand van de tweede term in het rechterlid met behulp van (3.6) reduceren tot3P/ρ. Tenslotte bekomen we dan ∫ M

0

Gm

rdm = 3

∫ M

0

P

ρdm, (3.33)

43

waar we het linkerlid van (3.33) bekomen hebben door het linkerlid van (3.17) te vervangen door het rech-terlid ervan. Beide leden in vergelijking (3.33) hebben de dimensie van een energie. We definieren degravitationele energie Eg door

Eg ≡ −∫ M

0

Gm

rdm. (3.34)

Beschouw nu een eenheidsmassa op een positie r. De potentiele energie van deze eenheidsmassa tengevolge van het gravitatieveld van de massa m die zich binnen een straal r bevindt, bedraagt −Gm/r. Wezien dus dat Eg de potentiele energie is van alle massa-elementen dm van de ster, welke genormeerd is alszijnde nul op oneindig. Een energie −Eg(> 0) is nodig om alle massa-elementen te expanderen tot hetoneindige, terwijl dit bedrag aan energie vrijkomt wanneer er een samentrekking van een oneindige wolktot een ster gebeurt.

Wanneer alle massa-elementen binnenin de ster gezamelijk expanderen of contraheren, zal Eg toene-men respectievelijk dalen. Ditzelfde moet dan gelden voor de integraal in het rechterlid van (3.33). Webenadrukken dat de samentrekking of expansie op een tijdschaal dient te gebeuren die veel langer is danτhydr vermits vergelijking (3.33) anders niet opgaat.

Om de betekenis van de term in het rechterlid van vergelijking (3.33) te achterhalen beschouwen weeen ideaal gas:

P

ρ=RµT = (cP − cv)T = (γ − 1)cvT. (3.35)

Voor een mono-atomisch gas is γ = 5/3 en krijgen we P/ρ = 2/3u met u = cvT de inwendige energievan het ideaal gas per eenheidsmassa. Definieren we nu

Ei ≡∫ M

0u dm (3.36)

als zijnde de totale inwendige energie van de ster, dan bekomen we voor vergelijking (3.33) in het geval vaneen ideaal gas

Eg = −2Ei. (3.37)

Dit resultaat is het viriaaltheorema voor een mono-atomisch ideaal gas.

Voor een algemene toestandsvergelijking definieren we de grootheid ζ door middel van

ζu ≡ 3P

ρ. (3.38)

Voor een ideaal gas hebben we dus ζ = 3(γ − 1), welke in het mono-atomisch geval (γ = 5/3) ζ = 2oplevert. Voor een gas enkel bestaande uit fotonen hebben we daarentegen γ = 4/3, P = aT 4/3 enuρ = aT 4 met a de stralingsdichtheidsconstante, wat leidt tot ζ = 1. Wanneer ζ constant is in de ster leidt(3.33) tot het algemenere resultaat dat

ζEi +Eg = 0. (3.39)

We definieren nu de totale energie W van de ster als zijnde W ≡ Ei +Eg, waarvoor geldt dat W < 0 vooreen gravitationeel gebonden systeem. Op basis van (3.39) krijgen we dan

W = (1− ζ)Ei =ζ − 1

ζEg. (3.40)

44

Hieruit leiden we af dat de totale energie nul is voor het fotonengas.

Als de ster expandeert of inkrimpt op zodanige wijze dat het hydrostatisch evenwicht bewaard blijft, danzullen Eg en Ei varieren en zal de totale energie veranderen. Het gas zal dan energie uitstralen. Definierenwe het totale energieverlies door straling per tijdseenheid als de lichtkracht L van de ster, dan volgt uit hetbehoud van energie dat (dW/dt) + L = 0, wat via (3.40) impliceert dat

L = (ζ − 1)dEi

dt= −ζ − 1

ζ

dEg

dt. (3.41)

Wanneer alle massaschillen simultaan contraheren, dan zal dEg/dt < 0 en krijgen we voor een mono-atomisch ideaal gas L = dEi/dt = −0.5dEg/dt > 0. Dit betekent dat de helft van de energie dievrijkomt ten gevolge van de contractie uitgestraald wordt en de andere helft wordt gebruikt voor deopwarming van de ster.

Vergelijking (3.41) toont dat L van de orde van |dEg/dt| is. Zodoende kunnen we een karakteristieketijdschaal

τHK ≡|Eg|L≈ Ei

L(3.42)

definieren, welke de Helmholtz-Kelvin tijdschaal genoemd wordt (naar de twee fysici die deze afleidden alszijnde de evolutionaire tijdschaal voor een contraherende of afkoelende ster). Een ruwe afschatting van |Eg|is

|Eg| ≈Gm2

r≈ GM2

2R, (3.43)

waarbij m en r de gemiddelde waarden voor m en r over de ster voorstellen (welke we vervangen hebbendoor M/2 en R/2). We bekomen zo

τHK ≈GM2

2RL. (3.44)

Gedurende bepaalde fasen in het leven van de ster is Eg de voornaamste energiebron en evolueert de ster opeen tijdschaal τHK. Voor een gedetailleerde beschrijving van sterevolutie verwijzen we naar Deel II van decursus, maar we halen nu toch reeds aan waarom het viriaaltheorema, samen met de energietransportverge-lijking (zie Hoofdstuk 5), zo belangrijk is voor het leven van de ster.

De ster heeft een temperatuursverloop waarbij de temperatuur van binnen naar buiten afneemt. Daar-door wordt er energie naar buiten getransporteerd en aan de rand van de ster uitgestraald. Dit betekent dat eraan het sterinwendige energie wordt onttrokken. Als er geen nucleaire bron meer is, bijvoorbeeld wanneeralle H in de sterkern is omgezet in He, dan kan de ster de energie alleen opleveren door te contraheren. Decontractie verloopt traag, zodat de ster op elk ogenblik in hydrostatisch evenwicht blijft. De ster trekt immerssamen om, door krimpen, het energieverlies te dekken op een tijdschaal van Helmholtz-Kelvin. Daarentegenis de tijdschaal die nodig is om een drukverstoring te herstellen veel korter, nl. τhydro. Dit betekent dus dattijdens het langzaam inkrimpen van de ster quasi-instantaan een nieuw drukevenwicht kan ingesteld worden:tijdens het krimpen blijft aan het viriaaltheorema voldaan. Als de ster krimpt wordt zodoende de helft vande gewonnen potentiele energie uitgestraald, de andere helft wordt gebruikt voor verhitting. Door de tem-peratuursverhoging wordt de temperatuursgradient groter, waardoor er nog meer energie uitgestraald wordten de ster nog meer moet krimpen. Door deze vicieuze cirkel blijft de kern van de ster krimpen en steedsheter worden totdat de temperatuur hoog genoeg geworden is voor een volgend fusieproces (bijvoorbeeld

45

Figuur 3.4: Voorstelling van de grootheid l, welke de hoeveelheid energie die per seconde doorheen eensfeer met straal r straalt, voorstelt.

bij T=108 K kan heliumverbranding starten). Dan kan de ster weer een lange tijd zonder krimpen blijvenstralen.

3.4.2 Energiebehoud in sterren

We definieren l(r) als zijnde de netto hoeveelheid energie, geıntegreerd over alle frequenties, die per secondedoorheen een sfeer met straal r straalt. We onderstellen dat er zich geen oneindig grote energiebron in hetcentrum van de ster bevindt. Zodoende is de functie l nul in het stercentrum. Ze is bovendien gelijk aan detotale lichtkracht L van de ster aan het steroppervlak. Tussen r = 0 en r = R is l een gecompliceerde functiedie afhangt van de verdeling van alle energiebronnen die in de sterlagen optreden. Zo omvat l de energiegetransporteerd door zowel straling, conductie en convectie. In het volgende hoofdstuk gaan we uitvoerigin op deze wijzen van energietransport, welke allemaal een temperatuursgradient vereisen. We houden in defunctie l geen rekening met een eventuele energieflux ten gevolge van neutrino’s. Deze hebben immers eenverwaarloosbare interactie met het stermateriaal en we zullen de neutrinoflux, die geen temperatuursgradientvereist, steeds afzonderlijk behandelen.

Lokaal energiebehoud

Beschouw een sferisch symmetrische massaschil met straal r, dikte dr en massa dm. Stel de energie dieper seconde de binnenkant van de schil binnentreedt voor door l en diegene die per seconde langs de bui-tenkant de schil verlaat door l + dl (zie figuur 3.4). Het surplus dl kan voorzien worden door kernreacties,door koeling, of door samendrukking of uitzetting van de schil. In een stationaire situatie is dl enkel hetgevolg van het vrijgeven van energie ten gevolge van kernreacties. Stel de nucleaire energie vrijgegeven per

46

eenheidsmassa en per eenheidstijd voor door ε, dan krijgen we

dl = 4πr2ρεdr = ε dm (3.45)

of∂l

∂m= ε. (3.46)

De grootheid ε hangt in het algemeen af van de temperatuur, de dichtheid en de abondanties van de verschil-lende reagerende nucleaire deeltjes.

Voor een niet-stationaire schil kan dl van nul verschillen, zelfs als er geen kernreacties plaatsgrijpen.Zulk een schil kan haar interne energie veranderen en ze kan bovendien mechanische arbeid uitwisselen metnaburige schillen. In dit geval schrijven we in plaats van (3.46)

dq =

(ε− ∂l

∂m

)dt, (3.47)

waarbij dq de warmte voorstelt die per eenheidsmassa wordt toegevoegd aan de schil. Vervangen we nu dqaan de hand van de eerste wet van de thermodynamica, dan verkrijgen we

∂l

∂m= ε− ∂u

∂t− P ∂v

∂t= ε− ∂u

∂t+P

ρ2

∂ρ

∂t. (3.48)

Met behulp van de thermodynamische relatie (2.18) kunnen we deze uitdrukking schrijven in termen van dedruk en de temperatuur:

∂l

∂m= ε− cP

∂T

∂t+δ

ρ

∂P

∂t. (3.49)

Deze vergelijking is de derde vergelijking die de sterstructuur beschrijft.

Vaak worden de termen die een tijdsafgeleide bevatten in vergelijking (3.49) samen genomen in eenzogenaamde bronfunctie εg:

εg ≡ −T∂s

∂t= −cP

∂T

∂t+δ

ρ

∂P

∂t= −cPT

(1

T

∂T

∂t− ∇ad

P

∂P

∂t

), (3.50)

waar we gebruik gemaakt hebben van ds = dq/T en van uitdrukking (2.20) voor ∇ad.

Beschouwen we nu de energieverandering ten gevolge van neutrino’s. Neutrino’s kunnen in groteaantallen voorkomen als bijproduct van kernreacties (zie verder, beschrijving van de verschillende verbran-dingscycli). Anderzijds bedraagt de gemiddelde vrije weglengte van een neutrino in een typisch stermiddenzo’n 100 parsec ! In de sterkern van een hoofdreeksster hebben ze zelfs nog een gemiddelde vrije weglengtevan om en bij de 3000 R. Het stermateriaal is dus duidelijk transparant voor neutrino’s en daardoor kunnenzij de energie die ze meedragen gemakkelijk tot aan het oppervlak transporteren (dit is niet meer waar inde laatste eindfasen van het leven van een ster !). Dit is de reden waarom we de invloed van neutrino’sapart behandelen en niet samen met de energiefluxen die een temperatuursgradient nodig hebben. De enigemassa-elementen die beınvloed worden door de neutrino’s zijn diegene waar de neutrino’s gevormd worden.De neutrino’s kunnen hier immers zorgen voor een daling van de energie. We definieren εν(> 0) als zijnde

47

de energie die per eenheid van massa en per tijdseenheid afgenomen wordt van het stermateriaal in de vormvan neutrino’s. De totale vergelijking voor lokaal energiebehoud wordt dan

∂l

∂m= ε− εν + εg. (3.51)

De energie die per seconde weggevoerd wordt door neutrino’s wordt de neutrino lichtkracht genoemd en isgegeven door

Lν ≡∫ M

0ενdm. (3.52)

Zoals reeds vermeld is l = 0 in de kern en l = L aan het steroppervlak. Voor een tussenwaarde van r isl niet noodzakelijk monotoon stijgend en kan zelfs groter worden dan L of negatief. Een voorbeeld hiervanis een uitdijende ster waarvoor L kleiner is dan de energie geproduceerd door de kernreacties in de centraledelen ten gevolge van het uitdijen (εg < 0). Een sterk neutrinoverlies kan l < 0 induceren in sommigesterlagen.

Vermits neutrino’s na hun creatie bij talrijke kernreacties ongehinderd de ster kunnen verlaten, leverenze rechtstreeks informatie over deze reacties. Omwille van hun zeer grote vrije weglengte is het helaas zeermoeilijk om neutrino’s te detecteren. Het is wel mogelijk om neutrino’s geproduceerd door de waterstofver-branding in de zon op te vangen. In een van de succesvolle detecties worden de neutrino’s ingevangen doorde reactie

νe + 37Cl→ e− + 37Ar. (3.53)

De detector bestaat in dit geval uit een tank met 380 000 liter C2Cl4 (een standaard detergent). Ondanksdeze gigantisch grote tank wordt slechts een neutrino om de twee dagen gedetecteerd. Dit is veel lager danhet aantal neutrino’s dat volgens de zonnemodellen voorspeld wordt. Dit probleem was dertig jaar lang entot voor kort gekend als het zonne-neutrino-probleem.

Bij een tweede experiment werd de verstrooiing van neutrino’s aan elektronen in een tank van 680 tonwater beschouwd. In tegenstelling tot het Cl experiment wordt hier de richting van de neutrino’s gemeten,waaruit meteen kan afgeleid worden dat ze effectief afkomstig zijn van de zon. Ook hier waren de detectiesveel te laag in vergelijking met de theoretische voorspellingen.

Een oplossing voor het probleem kwam er na het besef dat de detectoren ongevoelig waren voor dezeldzamere types van neutrino’s. De Cl en elektronenexperimenten zijn inderdaad slechts gevoelig voor eenkleine fractie van de totale neutrino produktie in de zon, nl. enkel de hoog-energetische of ook elektron-neutrino’s genoemd. Er bestaan echter ook nog mu- en tau-neutrino’s waar de bovenstaande experimentenniet gevoelig voor zijn. Twee additionele recentere experimenten zijn wel gevoelig voor een grotere meer-derheid van de geproduceerde neutrino’s. Zij steunen op een reactie van het neutrino met 71Ga. Deze galliumexperimenten leverden resultaten die nauwer aansluiten bij de theoretische verwachtingen, maar er bleventoch nog aanzienlijke verschillen tot 2001. De oplossing kwam er dankzij honderden onderzoekers van hetSudbury Neutrino Observatory in Canada, die de nieuwste generatie neutrino detectoren ontwikkelden. Zijkonden bevestigen dat een deel van de zonneneutrino’s tegen de tijd dat ze op aarde aankomen veranderdzijn van elektron-neutrino’s in mu- of tau-neutrino’s. Schattingen van de drie types neutrino’s samen komenvrij nauwkeurig overeen met de huidige stermodellen van de zon.

48

Gezien de moeilijkheid om neutrino’s afkomstig van de zon op te vangen, is het quasi-onmogelijk omneutrino’s van andere sterren te detecteren. Een uitzondering hierop vormen de neutrino’s geproduceerdtijdens supernova explosies. Van SN 1987 A werden inderdaad 20 neutrino’s gedetecteerd (zie verder).

Globaal energiebehoud

Bij de beschrijving van het viriaaltheorema hebben we ons beperkt tot het in rekening brengen van de interneenergie Ei en de gravitationele energie Eg. We negeerden zowel de nucleaire energie als de energie van deneutrino’s en de kinetische energie van de (radiale) beweging. Herdefinieren we nu de totale energie van dester als zijnde W = Ekin +Eg +Ei +En met En de nucleaire energie-inhoud van de gehele ster, dan wordtde vergelijking die het globaal energiebehoud beschrijft gegeven door:

d

dt(Ekin +Eg +Ei +En) + L+ Lν = 0. (3.54)

3.4.3 De verschillende tijdschalen

Onderstel dat de lichtkracht van de ster enkel veroorzaakt wordt door het vrijkomen van nucleaire energie.Indien L constant is, kan dit energieverlies plaatsgrijpen gedurende de nucleaire tijdschaal gedefinieerd door

τn ≡En

L. (3.55)

Hierbij stelt En het energiereservoir voor waaruit energie kan geput worden voor de gegeven omstandig-heden, waarmee we bedoelen dat de kernreacties die de energie vrijgeven mogelijk moeten zijn. De be-langrijkste reactie is de fusie van vier 1H kernen in een 4He kern. Deze waterstofverbranding geeft eenenergie van 6.3 × 1018 erg g−1 vrij. De nucleaire tijdschaal geeft weer hoelang de totale levensduur vaneen ster kan bedragen. We zullen later tonen dat de lichtkracht van een ster een sterk stijgende functie vande stermassa is. Hierdoor daalt de nucleaire tijdschaal zeer snel met stijgende massa. Een ster met initielemassa van 30M, bijvoorbeeld, kan slechts 5 miljoen jaar leven terwijl een ster met een halve zonsmassanog nauwelijks tijd genoeg gekregen heeft om te evolueren in het huidige Heelal.

De relatie tussen de verschillende tijdschalen luidt voor de zon (zie oefeningen) :

τn >> τHK >> τhydr. (3.56)

Deze relatie is geldig voor alle sterren waarvoor waterstof- of heliumverbranding de belangrijkste energie-bron is. Het verband tussen deze tijdschalen laat toe om de vergelijking die het energiebehoud uitdrukt tevereenvoudigen. Beschouw hiertoe de vier termen die optreden in (3.49) voor een ster waarvan de eigen-schappen aanzienlijk veranderen op een tijdschaal τ , welke klein of groot kan zijn t.o.v. τHK. Een oorzaakvan die verandering is bijvoorbeeld de uitputting van een bepaalde nucleaire brandstof. Voor een ideaal gas

49

kunnen we de termen in (3.49) gemakkelijk benaderen:

∣∣∣∣∂l

∂m

∣∣∣∣ ≈L

M≈ Ei

τHKM,

ε ≈ L

M=

En

Mτn≈ Ei

τHKM,

∣∣∣∣cP∂T

∂t

∣∣∣∣ ≈cPT

τ,

∣∣∣∣δ

ρ

∂P

∂t

∣∣∣∣ ≈Rµ

T

τ≈ cPT

τ≈ Ei

τM.

(3.57)

In het geval τ >> τHK zijn de waarden van de laatste twee uitdrukkingen gegeven in (3.57) veelkleiner dan de waarden van de twee eerste uitdrukkingen en kunnen we de tijdsafhankelijke termen in deenergievergelijking verwaarlozen (|εg| << ε). De energievergelijking reduceert zich dan tot ∂l/∂m = εzoals in (3.46). Deze benadering is goed wanneer de verbranding van waterstof of helium de sterevolutiestuurt (τ = τn) en impliceert een enorme vereenvoudiging bij het berekenen van stermodellen. Men spreektvan modellen in volledig mechanisch en thermisch evenwicht.

Is daarentegen τ << τHK, dan zijn de waarden van de rechterleden van de twee laatste vergelijkingengegeven in (3.57) groot t.o.v. die van de eerste twee vergelijkingen. Dit betekent dat de tijdsafhankelijketermen in de energievergelijking elkaar in zeer goede benadering opheffen, wat impliceert dat dq/dt ≈ 0.In dit geval hebben we te maken met een quasi-adiabatische verandering. Een voorbeeld hiervan is een sterdie pulseert op een tijdschaal τ << τHK. De variabele lichtkracht van een pulserende ster is het gevolg vanvariaties in εg en niet in ε. Voor een uitvoerige observationele studie van pulserende sterren verwijzen wenaar de gelijknamige cursus welke gedoceerd wordt gedurende het eerste semester in de tweede licentie,terwijl de theoretische studie van stertrillingen aan bod komt tijdens het tweede semester van de tweedelicentie.

Zoals wellicht reeds duidelijk geworden is steunt de bepaling van de tijdschalen op enige willekeur.Immers, we konden bijvoorbeeld evengoed als gemiddelde afstand R of R/10 genomen hebben in plaatsvanR/2 en dezelfde opmerking geldt voor de gemiddelde massa. Het is echter niet de bedoeling om preciezewaarden voor de tijdschalen te bekomen maar eerder een gevoel te krijgen voor de orden-van-grootte ervan.Bij het afleiden van de relatie tussen de verschillende tijdschalen hebben we bovendien steeds onderstelddat de ster uniform verandert. Wanneer echter enkel sommige delen van de ster moeten beschouwd wordenomwille van niet-uniforme variaties zijn bovenstaande redeneringen niet meer nauwkeurig omdat met lokaletijdschalen moet gewerkt worden.

50

Hoofdstuk 4

Additionele relevante toestandsfuncties

De temperatuur treedt niet op in vergelijkingen (3.18). Dit laat voor bepaalde toestandsfuncties toe om dezetwee vergelijkingen af te scheiden van de thermo-energetische vergelijkingen die tevens nodig zijn om desterstructuur te bepalen. We bespreken nu nog twee van zulke toestandsfuncties die belangrijk zijn in hetleven van een ster.

4.1 Polytropen

We beschouwen een ster in hydrostatisch evenwicht en gebruiken de Euleriaanse beschrijvingswijze. Vooreen tijdsonafhankelijk stermodel dient de gravitatiepotentiaal te voldoen aan de volgende twee vergelijkin-gen:

dP

dr= −ρdΦ

dr,

1

r2

d

dr

(r2dΦ

dr

)= 4πGρ.

(4.1)

Wanneer ρ niet afhangt van T : ρ = ρ(P ), dan kan deze relatie ingevuld worden in (4.1), welke dan eensysteem van twee vergelijkingen voor de twee onbekenden P en Φ vormt. Deze vergelijkingen kunnenopgelost worden zonder beroep te moeten doen op de vergelijking die het energietransport beschrijft (zievolgend hoofdstuk).

We veronderstellen nu dat we een eenvoudige relatie hebben tussen de druk en de dichtheid die vanvolgende vorm is:

P = Kργ = Kρ1+ 1n , (4.2)

waarbij K, γ en n constanten zijn. Een toestandsfunctie van de vorm (4.2) noemt men een polytroop. Kis de polytropische constante en γ de polytropische exponent. In de plaats van γ gebruikt men ook vaak depolytropische index n, welke gedefinieerd is als n ≡ 1/(γ − 1).

51

In het algemeen is K constant voor een welbepaalde ster, maar ze neemt wel verschillende waardenvoor verschillende sterren aan. Voor een isotherm ideaal gas kan de toestandsfunctie geschreven wordenals P = (RT0/µ)ρ zodat we in dit geval te maken hebben met een polytroop waarvoor K = RT0/µ, γ =1, n = ∞. Voor een ideaal mono-atomisch gas waarvoor de stralingsdruk kan verwaarloosd worden is∇ad = 2/5, wat betekent dat T ∼ P 2/5. Bovendien is in dit geval µ =constant, waardoor T ∼ P/ρ enbekomen we uiteindelijk P ∼ ρ5/3. Dit is opnieuw een polytroop, dit keer met γ = 5/3, n = 3/2. Eenhomogene gasvormige sfeer kan eveneens aanzien worden als een speciaal geval van (4.2) voor γ =∞, n =0. We zien dus dat polytropen inderdaad kunnen optreden, zowel bij eenvoudige toestandsfuncties die reedsvan de vorm (4.2) zijn als voor een ideaal gas wanneer er een extra relatie tussen de temperatuur en de drukkan afgeleid worden.

De eerste vergelijking van het stelsel (4.1) kan voor een polytropische relatie (4.2) omgevormd wordentot

dΦ

dr= −γKργ−2dρ

dr. (4.3)

Voor γ 6= 1 kan deze vergelijking geıntegreerd worden tot

ρ =

( −Φ

(n+ 1)K

)n, (4.4)

waarbij we de definitie van n gebruikt hebben en de integratieconstante zodanig gekozen werd dat Φ = 0aan het steroppervlak. Wanneer we (4.4) invullen in de tweede vergelijking van (4.1), dan bekomen we eengewone differentiaalvergelijking voor Φ:

d2Φ

dr2+

2

r

dΦ

dr= 4πG

( −Φ

(n+ 1)K

)n. (4.5)

We definieren nu de dimensieloze veranderlijken z en w door

z = Ar met A2 =4πG

(n+ 1)nKn(−Φc)

n−1 =4πG

(n+ 1)Kρn−1n

c ,

w =Φ

Φc=

(ρ

ρc

)1/n

,

(4.6)

waar de benedenindex c het stercentrum aanduidt. In het centrum hebben we r = z = 0,Φ = Φc, ρ = ρc

en dus w = 1. Met de ingevoerde veranderlijken wordt (4.5)

d2w

dz2+

2

z

dw

dz+ wn = 0, (4.7)

wat vervolgens kan omgevormd worden tot

1

z2

d

dz

(z2dw

dz

)+wn = 0. (4.8)

Vergelijking (4.8) is de Lane-Emden vergelijking. We wensen oplossingen van deze vergelijking te zoekendie eindig blijven in het stercentrum. Dit is voldaan wanneer dw/dz(0) = 0. In het algemeen moeten we

52

Figuur 4.1: De oplossingen van de Lane-Emden vergelijking (4.8) voor n = 3/2 en n = 3.

oplossingen van de Lane-Emden vergelijking numeriek bepalen, vermits er enkel voor n = 0, 1, 5 analy-tische oplossingen bestaan. De functie w wordt in figuur 4.1 voorgesteld voor de twee gevallen n = 3 enn = 3/2.

Stel dat we een oplossing w(z) gevonden hebben van de Lane-Emden vergelijking waarvoor w(0) = 1en dw/dz(0) = 0. Volgens (4.6) wordt de radiale afhankelijkheid van de dichtheid dan gegeven door

ρ(r) =

[ −Φc

(n+ 1)K

]nwn(Ar). (4.9)

Voor de druk vinden we dan, volgens (4.2) en de definitie van γ, P (r) = Pcwn+1(Ar) met Pc = Kργc .

Tenslotte leiden we een uitdrukking af voor de massa binnen de sfeer met straal r:

m(r) =

∫ r

04πρr2dr = 4πρc

∫ r

0wnr2dr = 4πρc

r3

z3

∫ z

0wnz2dz, (4.10)

waar we gebruikt gemaakt hebben van (4.6). Volgens de Lane-Emden vergelijking is de integrand wnz2

een afgeleide en deze kan bijgevolg onmiddellijk geıntegreerd worden met als resultaat −z 2dw/dz. Webekomen dan voor de massa

m(r) = 4πρcr3(−1

z

dw

dz

). (4.11)

Voor een evaluatie van de nauwkeurigheid van polytropische stermodellen verwijzen we naar de oefe-ningen.

4.2 Het ontaard elektronengas

Als een gas een zeer hoge dichtheid bereikt, kan het niet meer met de ideale gaswet beschreven worden. Bijhoge dichtheden doen quantummechanische effecten zich gelden en we noemen een gas waarin dit merkbaar

53

Figuur 4.2: Een schematische voorstelling van het verschil tussen gewone (a) en ontaarde (b) materie vooreen neutraal gas. Bij gewone materie zijn de binnenste elektronenschillen nog intact. In ontaarde materiezitten de atoomkernen dichter bij elkaar dan de helft van de diameter van de kleinst mogelijke stabieleelektronenschil. De elektronen kunnen daarom geen schillen meer vormen maar bewegen zich vrij tussende kernen door en vormen zo een “gas”. Dit elektronengas oefent een grote druk uit.

is een ontaard gas. Een schematische vergelijking tussen “gewone” en ontaarde materie in een neutraal gaswordt gegeven in figuur 4.2. In geval a bewegen de elektronen op normale wijze in hun schillen rondom deatoomkernen, in geval b is de onderlinge afstand tussen de atoomkernen zodanig klein dat de elektronen nietmeer op hun schillen kunnen bewegen en een “gas” vormen dat tussen de atoomkernen beweegt.

De quantummechanica gebiedt dan geen twee identieke deeltjes dezelfde plaats en snelheid kunnenhebben, binnen de nauwkeurigheid waarmee deze volgens de onzekerheidsrelatie van Heisenberg gemetenkunnen worden. Deze wet noemt men het uitsluitingsprincipe van Pauli. Met andere woorden: als tweeelektronen zich heel dicht bij elkaar bevinden, kunnen ze niet precies dezelfde snelheid hebben.

In een ijl gas wordt de gemiddelde snelheid van de deeltjes bepaald door de temperatuur. Als de tem-peratuur hoog is, is de gemiddelde snelheid van de deeltjes groot. De gasdruk hangt vervolgens van desnelheid van de deeltjes af. Omdat de afstand tussen de deeltjes groot is, is de beperking die het uitsluitings-principe oplegt aan de snelheden van de deeltjes niet merkbaar. Een gas waarvoor dit geldt noemt men daneen ideaal gas (zie Hoofdstuk 2). De situatie is anders voor een gas dat is samengeperst tot hoge dichtheid:dan zijn alle mogelijke lage snelheden bezet, zodat vele deeltjes gedwongen worden om hoge snelheden aante nemen. Deze snelheden zijn veel hoger dan diegene die de deeltjes zouden hebben wanneer ze zich ineen ijl gas met dezelfde temperatuur zouden bevinden. Als de dichtheid van een ontaard gas extreem hoogwordt, komen de snelheden waartoe de deeltjes gedwongen worden in de buurt van de lichtsnelheid. Zo’ngas noemen we een relativistisch ontaard gas. Doordat de onzekerheidsrelatie het product van de massa en

54

de snelheid bevat, raken de lichtste deeltjes het eerst ontaard. In een normaal gas zijn dat de elektronen.

We beschouwen een gas met een voldoende hoge dichtheid zodat druk-ionisatie optreedt. Dit effectdoet zich voor wanneer er geen gebonden atomen voorkomen doordat de orbitale straal a van de elektronenvergelijkbaar of groter wordt dan de helft van de afstand d tussen twee atomen. In het geval van neutraalwaterstof worden a en d gegeven door

a = a0ν2, d ≈

(3

4πnH

)1/3

, (4.12)

met a0 = 5.3 × 10−9 cm de Bohrstraal, ν het hoofdkwantumgetal en nH het aantal waterstofdeeltjes pervolume-eenheid. Een gas zal geen druk-ionisatie ondergaan zolang a < d/2, wat volgende voorwaarde voorhet hoofdquantumgetal impliceert:

ν2 <

(3

4πnH

)1/3 1

2a0. (4.13)

In het centrum van de zon hebben we ρc ≈ 170 g/cm3 , nH ≈ 1026 cm−3 en dus wordt de voorwaardeopdat druk-ionisatie niet zou optreden gegeven door ν2 < 0.13. Dit betekent dat de grondtoestand van hetwaterstofatoom niet kan optreden en dat alle waterstofatomen in het centrum van de zon geıoniseerd moetenzijn. In stercentra hebben we steeds te maken met druk-geıoniseerde gassen. Hiervan raken de elektroneneerst ontaard en pas daarna de neutronen.

We bestuderen nu vrije elektronen die zich in een druk-geıoniseerd gas bevinden. In de lokale ruim-te van hoeveelheid van beweging px, py, pz wordt elk elektron voorgesteld als een sferisch symmetrische“wolk” rond de oorsprong. Wanneer we de absolute waarde van de hoeveelheid van beweging voorstellendoor p (met p2 = p2

x+p2y+p2

z), dan wordt in termen van de klassieke mechanica de verdelingsfunctie van deimpuls van de elektronen beschreven door de Maxwell-verdelingsfunctie (2.37), welke we nu beschouwenin termen van de impuls:

f(p) =4πp2

(2πmekT )3/2exp

(− p2

2mekT

). (4.14)

Het maximum van deze verdelingsfunctie treedt op bij pmax = (2mekT )1/2. Wanneer er een daling van detemperatuur T optreedt, dan verschuift het maximum naar kleinere p-waarde en de waarde van het maximumvan f(p) wordt groter (zie figuur 4.3).

Het aantal vrije elektronen met deeltjesdichtheid ne die zich in een volume dV van het druk-geıoniseerdgas bevinden en die een impuls hebben in het interval [p, p + dp], wordt bekomen door de waarschijn-lijkheidsverdeling te vermenigvuldigen met nedV en wordt dus gegeven door de zogenaamde Boltzmannverdelingsfunctie:

nef(p)dpdV = ne4πp2

(2πmekT )3/2exp

(− p2

2mekT

)dpdV. (4.15)

Stappen we nu even af van de klassieke mechanica en beschouwen we de volgende quantummechanischeoverwegingen. Vermits de elektronen moeten voldoen aan het Pauli principe is er een beperking op het aan-tal elektronen die in een bepaalde toestand kunnen voorkomen. Elke quantumcel van de zes dimensionalefaseruimte (x, y, z, px, py, pz) kan slechts twee elektronen bevatten. Het volume van zulk een quantum cel

55

Figuur 4.3: Maxwell-verdelingsfuncties f(p) worden getoond in functie van de hoeveelheid van bewegingp (dunne lijnen) voor een elektronengas met dichtheid ne = 1028cm−3 (wat overeenkomt met een dichtheidρ = 1.66 × 104g cm−3 voor µe = 1) voor verschillende temperaturen. De dikke lijn duidt de bovenlimietaan, opgelegd door het Pauli principe.

56

bedraagt dpxdpydpzdV = h3, met h de constante van Planck. In de schil [p, p+ dp] van de ruimte van hoe-veelheid van beweging zijn er 4πp2dpdV/h3 quantumcellen, die slechts 8πp2dpdV/h3 elektronen kunnenbevatten. Deze quantummechanische overwegingen geven dus een bovenlimiet op het aantal elektronen:

f(p)dpdV ≤ 8πp2dpdV/h3. (4.16)

Deze bovenlimiet is aangeduid als de parabool in figuur 4.3 en levert een bovengrens voor f(p). We stellenvast dat de Boltzmann verdeling voor ne =constant in tegenspraak is met de quantummechanische boven-limiet voor voldoende lage temperaturen. Hetzelfde resultaat geldt voor T =constant en voldoende hogedichtheden vermits de Boltzmann verdeling evenredig is met ne. We moeten daarom afstappen van hetklassieke beeld en quantummechanische effecten in rekening brengen wanneer de temperatuur van het gaste laag is of de elektronendichtheid te hoog. In dat geval overschrijdt de distributiefunctie namelijk haarbovenlimiet opgelegd door het Pauli principe.

Beschouwen we nu een elektronengas waarvoor de elektronen de laagst mogelijke energie hebben(T = 0 K). De toestand waarin al deze elektronen een zo laag mogelijke energie hebben en nog voldoen aanhet Pauli principe is diegene waarin alle fasecellen tot een zekere hoeveelheid van beweging pF bevolkt zijnmet twee elektronen, terwijl alle andere cellen leeg zijn:

f(p) =8πp2

h3voor p ≤ pF,

f(p) = 0 voor p > pF.(4.17)

Deze verdelingsfunctie wordt getoond in figuur 4.4. Het totaal aantal elektronen in het volume dV wordtdan gegeven door

nedV = dV

∫ pF

0

8πp2

h3dp =

8π

3h3p3

FdV. (4.18)

Voor gegeven elektronendichtheid vinden we zo de Fermi hoeveelheid van beweging of Fermi-impuls pF ∼n

1/3e . Voor niet-relativistische elektronen is de Fermi-energie EF = p2

F/2me ∼ n2/3e . We zien dat, hoewel

de temperatuur van het elektronengas nul is, de elektronen een energie verschillend van nul hebben diekan oplopen tot EF. Wanneer de elektronendichtheid zeer hoog is, kunnen de snelheden van de snelsteelektronen een aanzienlijke fractie van de lichtsnelheid bedragen. We dienen daarom de uitdrukkingenvoor de totale energie en de hoeveelheid van beweging afgeleid volgens de speciale relativiteitstheorie tegebruiken:

p =mev√

1− v2/c2,

Etot =mec

2

√1− v2/c2

= mec2

√1 +

p2

m2ec

2,

(4.19)

met me de rustmassa van het elektron. De kinetische energie van het elektron is verbonden met de totaleenergie door E = Etot −mec

2.

Om een toestandsfunctie voor het ontaard elektronengas af te leiden moeten we een uitdrukking zoekenvoor de druk, welke per definitie de flux van hoeveelheid van beweging doorheen een eenheidsoppervlak pereenheid van tijd is. Beschouw hiertoe een eenheid van oppervlak dσ met normaalvector ~n (zie figuur 4.5).

57

Figuur 4.4: De verdelingsfunctie f(p) in functie van de hoeveelheid van beweging p voor een volledigontaard elektronengas met temperatuur het absolute nulpunt en dichtheid ne = 1028cm−3.

Een willekeurige vector ~s definieert dan de hoek θ ingesloten door ~n en ~s. We bepalen nu het aantal elektro-nen die per seconde doorheen dσ bewegen binnen de ruimtehoek dΩs omheen de richting ~s. We beperkenons tot elektronen met een impuls in het interval [p, p+ dp]. Op de positie van het oppervlakte element zijner f(p)dpdΩs/(4π) elektronen per eenheidsvolume en per eenheid van ruimtehoek die de gepaste hoeveel-heid van beweging hebben. Er zullen dus f(p)dpdΩsv(p) cos θdσ/(4π) elektronen per seconde doorheenhet oppervlak dσ binnen de ruimtehoek dΩs bewegen. Hierbij is v(p) de snelheid gedefinieerd door (4.19).Elk elektron draagt een hoeveelheid van beweging met absolute waarde p en met richting ~s. De componenthiervan in de richting van ~n bedraagt p cos θ. We bekomen dan de totale flux van hoeveelheid van bewegingin de richting ~n door te integreren over alle richtingen ~s van een sfeer en over alle absolute waarden p. Wevinden zo een elektronendruk Pe

Pe =

∫

Ω

∫ ∞

0f(p)v(p)p cos2 θdpdΩs/(4π) =

8π

3h3

∫ pF

0p3v(p)dp, (4.20)

waarbij we f(p) vervangen hebben door (4.17). Aan de hand van de uitdrukking voor p gegeven in (4.19)vinden we dan

Pe =8πc

3h3

∫ pF

0p3 p/mec

[1 + p2/(m2ec

2)]1/2dp =

8πc5m4e

3h3

∫ x

0

ξ4dξ

(1 + ξ2)1/2, (4.21)

waarbij we de nieuwe veranderlijken ξ ≡ p/(mec), x ≡ pF/(mec) ingevoerd hebben. Men kan tonen datde integraal in het rechterlid van deze uitdrukking gegeven wordt door

1

8

[x(2x2 − 3

)(1 + x2

)1/2+ 3 sinh−1 x

]=x

8

(2x2 − 3

)(x2 + 1

)1/2+

3

8ln

[x+

(1 + x2

)1/2]≡ 1

8g(x)

zodat

Pe =πm4

ec5

3h3g(x). (4.22)

58

Figuur 4.5: Een oppervlakte element dσ met normaalvector ~n en een willekeurige eenheidsvector ~s, welkede as is van de ruimtehoek dΩs.

Tenslotte schrijven we met behulp van de definitie van x het aantal elektronen als

ne =ρ

µemu=

8πm3ec

3

3h3x3. (4.23)

Deze laatste twee vergelijkingen definieren de functie Pe(ne).

Om een uitdrukking voor de toestandsfunctie Pe(ρ) te vinden, leiden we eerst het asymptotisch gedragvan de functie g(x) af. Hiertoe schrijven we x als

x =pF

mec=

vF/c

(1− v2F/c

2)1/2of

v2F

c2=

x2

1 + x2, (4.24)

waarbij vF de snelheid van de elektronen met een hoeveelheid van beweging p = pF voorstelt. Wanneerx 1, dan is vF/c 1 en bewegen de elektronen merkelijk trager dan de lichtsnelheid (niet-relativistischelimiet). Anderzijds impliceert x 1 dat vF/c → 1. Hoe groter x hoe meer elektronen relativistischbewegen en voor heel grote x bewegen nagenoeg alle elektronen relativistisch. De functie g(x) heeft volgendasymptotisch gedrag:

x→ 0 : g(x)→ 8

5x5, x→∞ : g(x)→ 2x4. (4.25)

Wanneer x 1 kunnen relativistische effecten verwaarloosd worden. (4.22) levert in deze limiet

Pe =8πm4

ec5

15h3x5. (4.26)

Substitueren we hierin de uitdrukking voor x gegeven in (4.23), dan bekomen we

Pe =1

20

(3

π

)2/3 h2

men5/3

e =1

20

(3

π

)2/3 h2

me

(ρ

µemu

)5/3

, (4.27)

waar we in de laatste stap gebruikt hebben dat ρ = neµemu. We merken op dat deze toestandsfunctie devorm van een polytroop heeft met γ = 5/3, n = 3/2.

59

Voor x 1 bevinden we ons in de extreem relativistische limiet en vinden we voor de elektronendruk

Pe =2πm4

ec5

3h3x4. (4.28)

Opnieuw x substitueren op basis van (4.23) levert in dit geval

Pe =

(3

π

)1/3 hc

8n4/3

e =

(3

π

)1/3 hc

8

(ρ

µemu

)4/3

. (4.29)

We vinden dus opnieuw een polytroop, ditmaal met γ = 4/3, n = 3.

Voor beide extremen van het volledig ontaard elektronengas vinden we een polytropische toestands-functie (waarvan het verloop van de functie w geschetst werd in figuur 4.1) waarbij de constante K enkelbepaald wordt door natuurconstanten. Dit is in tegenstelling met de voorbeelden in vorige sectie waar Keen vrije constante was die voor elke ster kan verschillen.

Wanneer de temperatuur niet nul is zullen niet alle elektronen dicht op mekaar gestapeld zijn in cellenmet een zo laag mogelijke hoeveelheid van beweging. Voor voldoende hoge temperaturen zullen de elektro-nen wel voldoen aan de Boltzmann statistiek. Er bestaat een continue overgang van een toestand van volle-dige ontaarding naar een toestand van een niet-ontaard gas. Men spreekt dan van partiele ontaarding. Deverdeling van de fasecellen volgt dan een zogenaamde Fermi-Dirac statistiek, die een ontaardingsparameterψ ∈ [−∞,∞] bevat. Deze parameter geeft aan welke fractie van de cellen opgevuld is en is afhankelijkvan ne en T . In dit geval kan de toestandsfunctie niet meer als een eenvoudige analytische relatie tussen deelektronendruk en de dichtheid geschreven worden. Voor ψ → −∞ vinden we in het geval van het niet-relativistische partieel ontaard elektronengas een elektronendruk die dezelfde is als diegene voor het ideaalgas: Pe = nekT . Voor een niet-relativistisch partieel ontaard gas met ψ 1 (grote graad van ontaarding)vinden we de toestandsfunctie (4.27) terug. Voor de relativistische limiet van sterke ontaarding (ψ → +∞)vinden we de toestandsfunctie (4.29) terug.

Een belangrijke grafiek is diegene waar men de temperatuur uitzet t.o.v. de dichtheid en vervolgens degebieden waarin verschillende benaderingen voor de toestandsvergelijking geldig zijn aanduidt. Voor hetopstellen van zulk een grafiek verwijs ik naar de oefeningen.

4.3 De limietmassa van Chandrasekhar

We beschouwen nu een polytropisch model waarin de druk verbonden is met een niet-relativistisch ontaardelektronengas. De centrale dichtheid en gemiddelde dichtheid stijgt in zulk een medium met stijgendestermassa. Echter, wanneer de dichtheid stijgt wordt het elektronengas meer en meer relativistisch. Wekunnen ons dan voorstellen dat we evolueren naar een ster met een relativistische kern waarin de drukbeschreven wordt door een polytroop met n = 3 (zie 4.27) en een niet-relativistische enveloppe met eendruk gegeven door een polytroop met n = 3/2 (zie 4.29). Er moet dan een overgangsgebied zijn waarinde druk continue varieert en een waarde aanneemt tussen beide uitdrukkingen (4.27) en (4.29). Het wasde fysicus Chandrasekhar die voor het eerst zulke modellen beschouwde om de zogenaamde witte dwergen(zie laatste hoofdstuk) te begrijpen.

60

De vraag rijst dan hoe zulk een model varieert met stijgende massa. Bij kleine M blijft het helemodel niet-relativistisch en geeft een polytroop met n = 3/2 een goede beschrijving. Wanneer de centraledichtheid hoog genoeg is zal een steeds groter gedeelte van de sterkern relativistisch worden. We verwachtendat de ster uiteindelijk evolueert naar een toestand waarbij alle deeltjes relativistisch bewegen en de drukwordt beschreven door een polytroop met polytropische index n = 3. Deze zienswijze stuit echter op hetvolgend probleem. Uit de definitie van de veranderlijke z vinden we

R ∼ ρ1−n2n

c , (4.30)

waardoor uit M ∼ ρcR3 volgt dat

M ∼ ρ3−n2n

c . (4.31)

We stellen dus vast dat de massa van een polytroop met n = 3 niet afhangt van de centrale dichtheid:M =constante. Er is dus maar een toegestane massa voor een volledig ontaard relativistisch elektronengasdat voldoet aan een polytroop met n = 3. Deze massa wordt volledig bepaald door natuurconstanten en dewaarde van de functies z en w′ in het nulpunt van de polytroop met n = 3. De numerieke limietwaarde vande enige toegelaten massa bedraagt

MCh =5.836

µ2e

M. (4.32)

Oefening : Ga dit na door de centrale druk af te schatten.

Men noemt (4.32) de limietmassa van Chandrasekhar. Ze duidt het eindpunt aan van het convergen-tieproces van modellen met stijgende centrale dichtheid.

De limietmassa (4.32) is zeer laag als men bedenkt dat er zoveel sterren zijn die duidelijk veel massieverzijn. Echter, alle sterren die nog niet aan de ultieme eindfase van hun leven begonnen zijn, hebben eentoestandsfunctie die ver afwijkt van een ontaard elektronengas en de beperking op de massa is voor hen dusabsoluut niet van toepassing. Voor witte dwergen, echter, treedt effectief een ontaard elektronengas op zoalswe zullen bespreken in het laatste hoofdstuk. Voor deze sterren is µe = 2 een goede benadering en vindenwe de voorwaarde

M <MCh = 1.46M. (4.33)

Ondanks het feit dat we de limietmassa bepaald hebben aan de hand van een polytropisch model blijfthet resultaat ook nagenoeg geldig voor een meer realistische toestandsfunctie, precies omdat voor extreemhoge dichtheden de druk van het elektronengas convergeert naar de polytropische druk met γ = 4/3, n = 3.Wanneer we werken met een meer realistisch, niet-polytropisch model vinden we MCh = 1.44M.

Er is tot nu toe inderdaad nog geen enkele witte dwerg gevonden met een massa die MCh overschrijdt(zie cursus Gevorderde Astrofysica, 2de licentie). Voor zijn studie van witte dwergen heeft Chandrasekharde Nobelprijs voor Natuurkunde gekregen.

61

62

Hoofdstuk 5

Energietransport

De energie die een ster straalt doorheen haar oppervlak is afkomstig van de hete centrale delen. Dit betekentdat er transport van energie plaatsgrijpt doorheen het stermateriaal. Dit energietransport is mogelijk dank zijhet bestaan van een temperatuursgradient. Afhankelijk van de omstandigheden gebeurt het transport doorstraling, conductie of convectie. De deeltjes (fotonen, atomen, elektronen) worden continu uitgewisseldtussen warmere en koelere regionen. Hun reisweg en het temperatuursverschil met de omgeving bepalenhoe het energietransport gebeurt. In dit hoofdstuk bespreken we de vergelijking die het energietransportbeschrijft. Deze vergelijking vormt de volgende basisvergelijking voor de sterstructuur.

5.1 Transport door straling

We starten met enkele ruwe afschattingen van cruciale grootheden die het radiatief transport kenmerken.Deze zullen ons toelaten het formalisme enorm te vereenvoudigen.

5.1.1 Gemiddelde vrije weglengte

Een eerste afschatting betreft de gemiddelde vrije weglengte `f van een foton dat zich in een punt in een sterbevindt waar een dichtheid ρ heerst:

`f =1

κρ, (5.1)

met κ de “gemiddelde” absorptiecoefficient of opaciteit, waarmee we de microscopische radiatieve werkza-me doorsnede per eenheidsmassa, gemiddeld over alle frequenties, bedoelen. We lichten eerst de betekenisvan een werkzame doorsnede en de gemiddelde vrije weglengte toe, welke begrippen zijn die ingevoerdworden in de algemene context van botsingswaarschijnlijkheden.

63

De vraag die we ons stellen is onder welke voorwaarde twee deeltjes een botsing zullen ondergaan.Wanneer we twee sferisch symmetrische deeltjes A en B beschouwen, met respectievelijke stralen ra enrb, dan botsen ze met elkaar als de onderlinge afstand d tussen hun centra kleiner of gelijk wordt aan desom van de stralen: d ≤ ra + rb. Deze voorwaarde kan eveneens uitgedrukt worden door te zeggen dat hetcentrum van het deeltje B (het projectiel) moet vallen binnen of op de cirkel met middelpunt A en straalr = ra + rb. Men kan bijgevolg de botsing opvatten als een botsing van een stationair deeltje met straalra+rb en een puntvormig invallend deeltje. Het sferisch stationair deeltje kan verder nog vervangen wordendoor een cirkelvormige schietschijf loodrecht op de invalsrichting. De oppervlakte van deze schijf wordt demicroscopische werkzame doorsnede κ genoemd en is gelijk aan κ = π(ra + rb)

2.

We beschouwen nu een kubusvormige planparallelle sterlaag met afmetingen l × l × dx, waarbij dedikte van de laag dx zodanig klein is dat in de richting evenwijdig met dx de schietschijven elkaar nietbedekken en waarbij de invalsrichting van de projectielen evenwijdig is met dx. We veronderstellen datin de planparallelle laag een dichtheid ρ heerst. In totaal bevat de laag dan ρl2dx schietschijfjes per een-heidsmassa. Deze hebben een totale werkzame doorsnede gegeven door κρl2dx per eenheidsmassa. Dewaarschijnlijkheid dat een invallend deeltje een botsing zal ondergaan wordt gedefinieerd door de verhou-ding van de oppervlakte ingenomen door een eenheidsmassa van schietschijfjes tot de totale oppervlaktevan de laag en is bijgevolg gelijk aan κρl2dx/l2 = ρκdx. Het product κρ noemt men de macroscopischewerkzame doorsnede per eenheidsmassa. Deze heeft de dimensie van een reciproke lengte.

Indien de waarschijnlijkheid voor een botsing p is voor een invallend deeltje, dan betekent dit dat mengemiddeld 1/p deeltjes zal moeten afsturen op de planparallelle laag om een botsing te laten plaatsgrijpen. Inhet beschouwde geval moet men dus gemiddeld 1/ρκdx deeltjes in een eenheidsmassa van de planparallellelaag zenden om een botsing teweeg te brengen over de afstand dx. De gemiddelde afstand die het deeltjezal afleggen vooraleer een botsing te ondergaan is dan 1/ρκdx/dx = 1/ρκ per eenheidsmassa. Dezegemiddelde afstand noemt men de gemiddelde vrije weglengte. In het geval de projectielen fotonen zijn,noteren we de gemiddelde vrije weglengte als `f .

De opaciteit hangt af van de interactie van straling en materie, met name van de gedetailleerde ver-deling van de atomen in het gas, van de bezetting van de energieniveaus, van de ionisatiegraden en vande toestandsfunctie van het gas. Het weze duidelijk dat de berekening van κ een gigantisch werk is, waarwetenschappers van verschillende grote internationale teams aan werken. Het resultaat van zulke activiteitis het opstellen van zogenaamde opaciteitstabellen, waarin de waarden van κ beschreven staan in functievan de dichtheid, de temperatuur en de chemische samenstelling.

Er bestaan enkele eenvoudige benaderingen voor de opaciteit, die een idee geven van de afhankelijkheidervan van de thermodynamische toestand van het gas beschreven door ρ en T . De benadering van Kramersis de best gekende:

κ = κ0 ρ T−3.5, (5.2)

waarbij κ0 een constante is die afhangt van de chemische samenstelling. Deze dichtheids- en tempera-tuursafhankelijkheid van de opaciteit is nauwkeurig in het sterinwendige van laagmassieve sterren, waarde temperatuur vrij laag blijft. In de stercentra van massieve sterren domineert de verstrooiing aan vrijeelektronen (Thomson verstrooiing) de opaciteit, welke hierdoor onafhankelijk van de dichtheid en de tem-peratuur wordt. Dit laatste geldt eveneens algemeen wanneer een gas volledig geıoniseerd is. In dat geval

64

vormt κe = 0.2(1 +X) ≈ 0.4 cm2/g een goede benadering voor de opaciteit. Dit is meteen een beneden-limiet voor κ, vermits gebonden-gebonden overgangen in partieel geıoniseerde atomen veel bijdragen totde opaciteit. Bij temperaturen beneden 6 – 10 000 K domineert de absorptie van fotonen door het negatiefwaterstofion (het waterstof atoom met een extra elektron) H− de opaciteit. Deze situatie treedt op in deatmosfeer van sterren met massa beneden een zonsmassa. De extra elektronen worden hier geleverd doorde ionisatie van metalen. De opaciteit is in dit geval evenredig met de deeltjesdichtheid van H− en dusmet de dichtheid van de elektronen. Anders gezegd: de opaciteit wordt volledig bepaald door de graad vanionisatie en zij stijgt met stijgende temperatuur, in tegenstelling tot in uitdrukking (5.2) welke geldig is insterinwendigen. Als typische waarden voor κ in een ster kunnen we het geval van geıoniseerd waterstof inde sterkern beschouwen: κ ≈ 1 cm2/g.

Voor de gemiddelde dichtheid van de zon, ρ = 3M/4πR3 = 1.4 g/cm3, bekomen we aan de

hand van κe een bovenlimiet voor de gemiddelde vrije weglengte van de fotonen gegeven door `f ≈ 2 cm !Fotonen ondergaan vele botsingen vooraleer ze van hun plaats van creatie (het stercentrum) het steroppervlakbereiken. Dit betekent dat stermateriaal in het algemeen zeer opaak is. Dit is niet meer geldig in de fotosfeervan een ster of in rode reuzen, waar de gemiddelde vrije weglengte van een foton veel groter is.

5.1.2 De temperatuursgradient

Een typische waarde voor de temperatuursgradient in een ster zoals de zon kan bekomen worden doorgemiddelden voor de temperatuur en de afstand tussen het stercentrum (TC ≈ 107 K) en het steroppervlak(TO ≈ 104 K) te nemen:

4T4r ≈

TC − TOR

≈ 1.4× 10−4 Kcm−1, (5.3)

m.a.w. 14 K per kilometer.

Het stralingsveld in een gegeven punt wordt bepaald door een klein, zo goed als isotherm gebied, dat hetpunt omgeeft. Immers, het verschil in temperatuur in dit gebied bedraagt ongeveer4T = ` f(dT/dr) ≈ 3×10−4 K. De relatieve anisotropie van de straling in een punt met temperatuur T = 107 K wordt veroorzaaktdoor4T/T ∼ 3×10−11. Deze getalwaarde toont dat de toestand in het sterinwendige van de zon inderdaadzeer dicht bij thermisch evenwicht moet zijn en dat straling zeer goed kan benaderd worden door die vaneen zwarte straler, waarvoor de energiedichtheid ∼ T 4 en dus de relatieve anisotropie van de straling ∼10−10 bedraagt. Ondanks het feit dat de anisotropie zeer klein is, is ze toch verantwoordelijk voor deenorme lichtkracht van de ster. Een fractie van 10−10 van de flux uitgestraald door 1 cm2 van een zwartestraler met een temperatuur van 107 K is nog steeds 1000 keer groter dan de flux die we ontvangen van hetzonsoppervlak !

5.1.3 De diffusiebenadering

Het radiatief energietransport in een ster treedt op omwille van een surplus aan buitenwaartse straling (ge-straald vanuit heter materiaal dichter bij de kern) t.o.v. de binnenwaarts gerichte straling (gestraald vanuit

65

koelere buitenlagen). De afschattingen hierboven beschreven tonen dat de gemiddelde vrije weglengte vande “transporterende deeltjes” (fotonen) bijzonder klein is t.o.v. de karakteristieke lengte waarover het trans-port gebeurt (de sterstraal): `f/R ≈ 3× 10−11. In dit geval mogen we het energietransport behandelen alseen diffusieproces, wat een enorme vereenvoudiging van het formalisme met zich meebrengt. We herhalendat deze benadering niet goed is in de fotosfeer van de ster.

Algemene beschrijving

We herhalen eerst de diffusievergelijking in algemene natuurkundige termen. In het algemeen wordt de dif-fusieve flux ~f van deeltjes per eenheid van oppervlak, per eenheid van tijd, gemiddeld over alle frequenties,tussen gebieden van verschillende deeltjesdichtheid n (uitgedrukt per eenheid van volume) gegeven door

~f = −D~∇n. (5.4)

Hierbij wordt de diffusiecoefficient D bepaald door enerzijds de snelheid v van de deeltjes en anderzijdshun gemiddelde vrije weglengte `d:

D =1

3v`d. (5.5)

Deze vorm van de diffusievergelijking is algemeen. We geven even een korte toelichting hoe ze tot standkomt.

Onderstel dat in een gaslaag de beweging van deeltjes in een richting gebeurt, nl. lang de x-as. Steldat we de stroom van deeltjes doorheen een fictief oppervlak loodrecht op de x-as wensen te bepalen. Hetaantal deeltjes per eenheid van volume links van het vlak noteren we als n−, die rechts van het vlak als n+.Om in een tijdsinterval 4 t doorheen het vlak te kunnen bewegen, mogen de deeltjes zich maximaal op eenafstand vx4 t bevinden, waarbij vx hun snelheid in de x-richting is. De helft van de deeltjes op afstandvx4 t zal zich in de richting van het vlak verplaatsen, de andere helft beweegt weg van het vlak. De nettostroom van deeltjes doorheen het vlak per eenheid van tijd bedraagt dan:

fx =n−vx4 t

24 t − n+vx4 t24 t =

(n− − n+) vx2

. (5.6)

Voor de betekenis van n− en n+ redeneren we als volgt: elk van de deeltjes kan zich maximaal over eenafstand `x bewegen alvorens te interageren met een ander deeltje. We kunnen zodoende het verschil indeeltjesdichtheid links en rechts van het vlak verbinden met de gemiddelde vrije weglengte op volgendewijze:

n+ − n− =dn

dx4x =

dn

dx2`x. (5.7)

De flux in de x-richting wordt dan:

fx = −`xvxdn

dx. (5.8)

We nemen aan dat er geen voorkeursrichting bestaat. Gemiddeld kunnen we dan de snelheid van de deeltjesin de 3 ruimtelijke richtingen even groot nemen. In dat geval schrijven we de snelheid in de x-richting als

66

vx ' v/√

3. Een analoge redenering geldt voor de gemiddelde vrije weglengte: `x = `/√

3. We vinden zouiteindelijk

fx = −1

3`vdn

dx, (5.9)

waarvan de veralgemening naar drie dimensies de vergelijkingen gegeven in (5.4) en (5.5) oplevert.

Toepassing op het stergas

Om de overeenkomstige radiatieve energieflux in een ster, gemiddeld over alle frequenties, ~f te bekomen,vervangen we achtereenvolgens n door de energiedichtheid (dit maal per eenheid van volume om de klassie-ke vorm van de diffusievergelijking handig te kunnen overnemen) van een zwarte straler u = aT 4, v doorde lichtsnelheid c en `d door `f gegeven in (5.1). Door de sferische symmetrie van de configuratie heeft ~fslechts een radiale component fr = |~f | = f en reduceert ~∇u zich tot de afgeleide in de radiale richting:

∂u

∂r= 4aT 3 ∂T

∂r. (5.10)

Tot nu toe werkten we bij de afleiding van de sterstructuurvergelijkingen echter steeds per eenheid vanmassa en in dat geval krijgen we dus uiteindelijk:

f = −4ac

3

T 3

κρ

∂T

∂r. (5.11)

We kunnen deze vergelijking formeel beschouwen als een vergelijking voor warmteconductie door zete schrijven als

~f = −krad~∇T, (5.12)

met

krad ≡4ac

3

T 3

κρ(5.13)

de conductiecoefficient voor het radiatief transport. Wanneer we vergelijking (5.11) oplossen naar de tem-peratuursgradient en f vervangen door de locale lichtkracht l = 4πr2f bekomen we

∂T

∂r= − 3

16πac

κρl

r2T 3. (5.14)

Tenslotte bekomen we, na transformatie naar de onafhankelijk veranderlijke m, de basisvergelijking voorhet radiatief energietransport:

∂T

∂m= − 3

64π2ac

κl

r4T 3. (5.15)

Deze vergelijking wordt de Eddington vergelijking voor het energietransport door straling genoemd.

We benadrukken dat deze eenvoudige vergelijking niet geldig is dicht bij het steroppervlak omdat degemiddelde vrije weglengte daar, ten gevolge van de kleine dichtheid, vergelijkbaar wordt met de nog res-terende afstand tot het steroppervlak. Hierdoor geldt de diffusiebenadering niet meer in de steratmosfeer en

67

dient daar een veel gecompliceerdere differentiaalvergelijking opgelost te worden om het energietransportte beschrijven. We beperken ons in deze cursus tot het gebied in de ster waar de diffusiebenadering gerecht-vaardigd is. Voor een beschrijving van het energietransport in de steratmosfeer verwijzen we naar de cursusSteratmosferen welke gedoceerd wordt in het eerste semester van de tweede licentie.

5.1.4 Het Rosseland gemiddelde van de opaciteit

De bovenstaande vergelijkingen zijn onafhankelijk van de frequentie ν vermits f, l en κ gedefinieerd werdenals zijnde “gemiddelden” over alle frequenties. We bespreken nu een handige en nauwkeurige methode omdit gemiddelde voor de opaciteit κ te bepalen. We noteren het feit dat κ afhangt van de frequentie ν dooreen benedenindex ν toe te voegen. We doen dit voor alle relevante grootheden die frequentie-afhankelijkzijn: κν , `ν , Dν , uν en zo verder. Voor de diffusieve stralingsflux ~fν in het frequentie interval [ν, ν + dν]schrijven we nu

~fν = −Dν~∇uν met Dν =

1

3c`ν =

c

3κνρ. (5.16)

De energiedichtheid in het frequentie interval [ν, ν + dν] wordt gegeven door

uν =4π

cB(ν, T ) =

8πh

c3ν3

exp (hν/kT )− 1, (5.17)

waarbij B(ν, T ) de Planck functie voor de intensiteit van een zwarte straler voorstelt. We verkrijgen zo

~∇uν =4π

c

∂B

∂T~∇T. (5.18)

Deze laatste uitdrukking levert, samen met (5.16), volgende uitdrukking voor de totale, over alle frequentiesgeıntegreerde flux ~f :

~f =

∫ ∞

0

~fνdν = −(

4π

3ρ

∫ ∞

0

1

κν

∂B

∂Tdν

)~∇T. (5.19)

We bekomen zo terug een vergelijking van de vorm (5.12), maar nu met

krad =4π

3ρ

∫ ∞

0

1

κν

∂B

∂Tdν. (5.20)

Als we deze uitdrukking voor krad vergelijken met deze gegeven in (5.13), dan bekomen we een goedemethode voor het uitmiddelen van de absorptiecoefficient:

1

κ≡ π

acT 3

∫ ∞

0

1

κν

∂B

∂Tdν. (5.21)

Dit is het zogenaamde Rosseland gemiddelde van de opaciteit. Vermits

∫ ∞

0

∂B

∂Tdν =

acT 3

π(5.22)

is het Rosseland gemiddelde een harmonisch gemiddelde met gewichtsfunctie ∂B/∂T . Het is eenvoudig tebepalen eens de functie κν gekend is in de vorm van de opaciteitstabellen hierboven besproken.

68

Om de fysische interpretatie van het Rosseland gemiddelde te achterhalen herschrijven we ~fν =−Dν

~∇uν met behulp van uitdrukkingen (5.16), (5.17) en (5.18):

~fν = −(

1

κν

∂B

∂T

)4π

3ρ~∇T. (5.23)

Dit resultaat toont dat, voor een gegeven punt in de ster (gegeven ρ en ~∇T ), de integrand in uitdrukking(5.21) voor alle frequenties evenredig is met de netto energieflux ~fν . Het Rosseland gemiddelde is duszodanig geconstrueerd dat het grootste belang wordt gegeven aan de frequenties met maximale energieflux.In die zin kan men stellen dat een gemiddelde transparantie, eerder dan opaciteit, wordt berekend.

Een nadeel van het ingevoerde Rosseland gemiddelde is dat de opaciteit κ van een mengsel van tweeverschillende gassen met opaciteiten κ1 en κ2, niet gelijk is aan de som van de opaciteiten: κ 6= κ1 + κ2.Daarom is het niet voldoende om het Rosseland gemiddelde van twee verschillende gassen, die samen ineen gasmengsel optreden, te kennen voor de bepaling van het Rosseland gemiddelde van het gasmensel.Indien het gas bijvoorbeeld bestaat uit een fractie X aan waterstof en een fractie Y aan helium, dan moethet Rosseland gemiddelde berekend worden voor κν = Xκν(H) + Y κν(He). Telkens de abondantie X/Yverandert, zal eerst κν opnieuw moeten bepaald worden vooraleer het Rosseland gemiddelde met behulpvan uitdrukking (5.21) kan berekend worden.

Tot nu toe hebben we ondersteld dat de energieflux enkel een gevolg is van een diffusieproces waaraande fotonen deelnemen. In de volgende secties zullen we echter nog twee andere wijzen van energietrans-port bespreken. Daarom duiden we van nu af aan alle grootheden die verband houden met het radiatiefenergietransport aan met subindex “rad”, bijvoorbeeld κrad, ~frad, enz.

5.2 Transport door conductie

Energietransport door warmte conductie treedt op door botsingen ten gevolge van de thermische bewegingvan deeltjes zoals elektronen en kernen in geıoniseerde materie en atomen en moleculen in niet-geıoniseerdematerie. In het “doorsnee” stermateriaal is warmte conductie geen belangrijke vorm van energietransport.De werkzame doorsnede voor botsingen van de deeltjes is wel vrij laag in het sterinwendige (ongeveer10−20 cm2 per deeltje), maar de grote dichtheid zorgt ervoor dat de gemiddelde vrije weglengte verschillendeorden van grootte kleiner is dan diegene voor de fotonen. Bovendien bedragen de snelheden van de deeltjesslechts een kleine fractie van de lichtsnelheid c. Hierdoor is de diffusiecoefficient D veel kleiner dan diegenevoor radiatief transport door fotonen.

Deze situatie verandert echter wanneer we te maken krijgen met de sterkernen van geevolueerde sterrenwaarin het elektronengas ontaard is. De dichtheid in een ontaard elektronengas is enorm groot: 106 g cm−3,maar anderzijds bereiken de elektronen snelheden die een grote fractie van c bedragen. De ontaarding doetbovendien de gemiddelde vrije weglengte aanzienlijk stijgen. Hierdoor wordt de diffusiecoefficient groot,wat resulteert in een belangrijk energietransport door warmteconductie. Deze vorm van energietransportoverheerst dan het radiatief transport.

69

De energieflux ten gevolge van warmteconductie ~fcd kunnen we eveneens schrijven als ~fcd = −kcd~∇T .

De som van de radiatieve en conductieve flux schrijven we dan als

~f = ~frad + ~fcd = − (krad + kcd) ~∇T. (5.24)

Analoog als in (5.13) kunnen we de conductiecoefficient kcd formeel schrijven als

kcd =4ac

3

T 3

κcdρ, (5.25)

waarbij we de conductieve opaciteit κcd ingevoerd hebben. De totale energieflux wordt dan

~f = −4ac

3

T 3

ρ

(1

κrad+

1

κcd

)~∇T. (5.26)

Deze vergelijking toont dat we formeel dezelfde vergelijking bekomen als in de zuivere radiatieve situatie(5.11), indien we 1/κ daar vervangen door 1/κrad + 1/κcd. Het transportmechanisme dat domineert (dat degrootste “transparantie” heeft) zal op deze wijze de som domineren.

Vergelijking (5.15) met aangepaste κ geldt zowel voor radiatief als conductief transport. We zullen dezevergelijking nu herschrijven in een vorm die later handig zal blijken. In de onderstelling van hydrostatischevenwicht delen we (5.15) door (3.17) en bekomen zo

(∂T/∂m)

(∂P/∂m)=

3

16πacG

κl

mT 3. (5.27)

We definieren dan de verhouding van de partiele afgeleiden in het linkerlid als (dT/dP )rad: de variatievan T met de diepte waarbij de diepte wordt uitgedrukt in termen van de druk, welke monotoon stijgt naarde sterkern toe. Voor een ster in hydrostatisch evenwicht die energie transporteert via straling en conductieheeft (dT/dP )rad de betekenis van een gradient die de temperatuursvariatie met de diepte beschrijft. Voerenwe de gebruikelijke afkorting

∇rad ≡(d lnT

d lnP

)

rad(5.28)

in, dan bekomen we voor (5.27)

∇rad =3

16πacG

κlP

mT 4, (5.29)

waarbij κ steeds duidt op de gecombineerde opaciteit ten gevolge van zowel conductief als radiatief trans-port. ∇rad noemt men de radiatieve temperatuursgradient. Het is een lokale logaritmische afgeleide van detemperatuur naar de druk die nodig zou zijn indien de lichtkracht volledig zou moeten worden getranspor-teerd door straling.

We merken op dat ∇rad en ∇ad verschillend gedefinieerd zijn en naast een verschillende numeriekewaarde ook een andere fysische betekenis hebben. ∇rad duidt op een lokale afgeleide die P en T verbindt intwee naburige massa-elementen terwijl ∇ad een thermodynamische afgeleide is, die de thermische variatievan een bepaald massa-element beschrijft gedurende zijn adiabatische compressie.

Opnieuw kunnen we een karakteristieke tijdschaal definieren aan de hand van vergelijking (5.29), na-melijk de thermische tijdschaal of ook de tijdschaal van thermische aanpassing τth. Men kan tonen dat

70

τth ≈ τHK. Dit betekent dat de Helmholtz-Kelvin tijdschaal kan beschouwd worden als de tijd die een ther-mische fluctuatie nodig heeft om van de sterkern naar het steroppervlak te reizen. Ondanks de equivalentietussen de twee tijdschalen is het best om ze apart te gebruiken. Het is immers zo dat de Helmholtz-Kelvintijdschaal meestal gebruikt wordt voor de gehele ster terwijl de tijdschaal van thermische aanpassing vaakgebruikt wordt voor bepaalde delen in de ster.

5.3 Stabiliteitsanalyse

Tot nu toe hebben we onze behandeling gebaseerd op de onderstelling van strikte sferische symmetrie. Weonderstellen dus dat alle functies constant zijn over concentrische sferen. In de praktijk treden er kleinefluctuaties op, bijvoorbeeld de thermische beweging van de gasdeeltjes. Zulke lokale storingen kunnenverwaarloosd worden, op voorwaarde dat ze nooit uitgroeien tot macroscopische niet-sferische lokale be-wegingen. Dit betekent dat we de onderstelling van sferische symmetrie in de basisvergelijkingen mogenbewaren indien we de veranderlijken beschouwen als nauwkeurige gemiddelde waarden over de concentri-sche sferen.

De microscopische bewegingen kunnen echter een grote invloed op de sterstructuur hebben. Zo kun-nen ze het stermateriaal vermengen (“mixing”) en bovendien energie transporteren. Dit laatste omdat hetegasbellen zullen stijgen terwijl koelere gasbellen dieper zinken. We spreken dan van energietransport tengevolge van convectie. Het feit of convectie al dan niet optreedt in bepaalde sterlagen hangt af van hetantwoord op de vraag of kleine optredende fluctuaties klein blijven dan wel kunnen uitgroeien. We hebbenhier dus te maken met een vraag van stabiliteit. Daarom zullen we eerst criteria afleiden voor de stabiliteitt.o.v. lokale niet-sferisch symmetrische storingen alvorens convectief energietransport te behandelen.

5.3.1 Dynamische instabiliteit

Het behandelen van dynamische instabiliteit steunt op de onderstelling dat de bewegende massa-elementenniet voldoende tijd hebben om een aanzienlijke fractie van hun warmte uit te wisselen met hun omgeving.Ze beweging m.a.w. a-diabatisch. Beschouw de situatie waarbij de fysische grootheden zoals temperatuur,dichtheid enz., de mogelijkheid hebben om niet exact constant te zijn aan de rand van een concentrischesfeer maar dat ze kleine fluctuaties kunnen ondergaan. Bij de behandeling van het globale probleem van desterstructuur nemen we dan aan dat de functies die in vorige delen bepaald werden goede gemiddelden overde concentrische sferen zijn.

Voor de lokale beschrijving zullen we een fluctuatie voorstellen door een massa-element (met bene-denindex “e”) te beschouwen waarin de functies een lichtjes andere waarde aannemen dan diegenen in denaburige omgeving, aangeduid met benedenindex “o” (omgeving). Voor een grootheid A definieren we hetverschil DA tussen het element en de omgeving als DA ≡ Ae −Ao.

Onderstel nu een kleine temperatuursfluctuatie, bijvoorbeeld het voorkomen van een iets heter elementmet DT > 0. We zouden dan in eerste instantie een exces aan druk DP kunnen verwachten. Wat er

71

Figuur 5.1: Het element “e” met oorspronkelijke positie r wordt door een fluctuatie opgetild naar positier +4r.

echter zal gebeuren is dat het element zal uitzetten tot het drukevenwicht met de omgeving hersteld is. Dezeexpansie zal optreden met de geluidssnelheid en is bijgevolg veel sneller dan eender welke beweging die hetelement kan ondergaan. Daarom kunnen we onderstellen dat het element altijd in evenwicht blijft met zijnomgeving wat de druk betreft: DP = 0.

Voor een ideaal gas met ρ ∼ P/T heeft het exces aan temperatuur DT dus tot gevolg dat Dρ <0, m.a.w. het element wordt lichter dan diegenen in zijn omgeving en daardoor zal de stuwkracht vanArchimedes, gegeven door −g4ρ, ervoor zorgen dat het element opgetild wordt. Temperatuursfluctuatiesgaan dus gepaard met bewegingen van elementen in de radiale richting. Voor het testen van de stabiliteit vande laag kunnen we dus evenzeer een radiale verplaatsing 4r > 0 van de elementen als initiele perturbatienemen. Beschouw dus een element dat volledig in evenwicht was met zijn omgeving op zijn originele positier maar dat door een fluctuatie wordt opgetild naar de positie r+4r (zie figuur 5.1). Het dichtheidsverschiltussen het element en zijn omgeving op positie r +4r bedraagt

Dρ =

[(dρ

dr

)

e−(dρ

dr

)

o

]4r, (5.30)

waarbij (dρ/dr)e staat voor de verandering van de dichtheid van het element ten gevolge van het stijgen ende andere afgeleide een analoge betekenis heeft voor de dichtheid van de omgeving. Dρ geeft aanleiding toteen radiale component Kr = −gDρ/ρ van een kracht ~K per eenheidsmassa. Men noemt deze de stuwkrachtvan Archimedes. Wanneer Dρ < 0 is het element lichter dan die in de omgeving en is Kr > 0, m.a.w. ~K isopwaarts gericht. Deze toestand is onstabiel vermits het element nog verder zal opgetild worden. Anderzijdsis Kr < 0 bij Dρ > 0. In dit geval is ~K dus neerwaarts gericht. Het element is dan zwaarder dan die inde nieuwe omgeving waar het zich bevindt en als gevolg wordt het element terug naar beneden getrokken,wordt het evenwicht hersteld en blijft de laag stabiel. Als voorwaarde voor stabiliteit bekomen we dus

(dρ

dr

)

e−(dρ

dr

)

0> 0. (5.31)

72

Dit criterium is jammer genoeg niet practisch toe te passen omdat het steunt op de kennis van de dicht-heidsgradient, een grootheid die niet optreedt in de basisvergelijkingen van de sterstructuur. Het zou veelhandiger zijn indien we een criterium konden afleiden dat gebaseerd is op de temperatuursgradient, vermitsdeze optreedt in de vergelijking die het (radiatief en conductief) energietransport beschrijft.

Om (dρ/dr)e correct uit te rekenen moeten we in principe de energie uitwisseling tussen het elementen zijn omgeving bepalen. We maken hier de benadering dat er geen energie uitwisseling is, m.a.w. dathet element zich adiabatisch verplaatst. Voor gebieden niet te ver van het sterinwendige is dit een goedebenadering. Om nu de afgeleide van de dichtheid om te zetten naar een afgeleide van de temperatuurbeschouwen we de toestandsfunctie ρ = ρ(P, T, µ) in de volgende differentiaalvorm:

dρ

ρ= α

dP

P− δ dT

T+ ϕ

dµ

µ. (5.32)

Definities van α en δ werden reeds ingevoerd. In betrekking (5.32) hebben we tevens een verandering inchemische samenstelling, welke gekenmerkt wordt door het moleculair gewicht µ, toegelaten. We onder-stellen hierbij dat dµ = 0 voor het element dat zijn chemische samenstelling met zich meedraagt, maardµ 6= 0 voor de omgeving indien het element terechtkomt in een laag met andere chemische samenstelling.Hiertoe voeren we naar analogie met α en δ, welke nu moeten geevalueerd worden voor constante T, µrespectievelijk P, µ, de volgende afgeleide in:

ϕ ≡(∂ ln ρ

∂ lnµ

)

P,T

. (5.33)

Voor een ideaal mono-atomische gas hebben we ρ ∼ Pµ/T en dus α = δ = ϕ = 1.

Het stabiliteitscriterium (5.31) kan nu met behulp van (5.32) geschreven worden in de vorm(α

P

dP

dr

)

e−(δ

T

dT

dr

)

e−(α

P

dP

dr

)

o+

(δ

T

dT

dr

)

o−(ϕ

µ

dµ

dr

)

o

> 0. (5.34)

De som van de twee termen die de drukgradient bevatten zijn nul omwille van de onderstelling DP = 0.

We voeren nu een schaalhoogte van druk HP in:

HP ≡ −dr

d lnP= −P dr

dP. (5.35)

Vermits P daalt met stijgende r is HP > 0. Geschreven in termen van HP is de voorwaarde voor hydro-statisch evenwicht: HP = P/ρg. HP heeft de dimensie van een lengte. Het is nl. de lengte die de radialevariatie van P karakteriseert. Typische waarden zijn HP = 1.4 × 107 cm in de fotosfeer van de zon enongeveer 5.2× 109 cm op een diepte gelijk aan R/2. Dicht bij het stercentrum wordt HP oneindig lang.

Wanneer we nu alle termen van (5.34) vermenigvuldigen met HP > 0 en rekening houden met δ > 0wordt de voorwaarde voor stabiliteit omgevormd tot

(d lnT

d lnP

)

o<

(d lnT

d lnP

)

e+ϕ

δ

(d lnµ

d lnP

)

o. (5.36)

73

Analoog aan de grootheden ∇rad en ∇ad definieren we nu drie nieuwe afgeleiden:

∇ ≡(d lnT

d lnP

)

o,∇e ≡

(d lnT

d lnP

)

e,∇µ ≡

(d lnµ

d lnP

)

o. (5.37)

∇ en ∇µ zijn ruimtelijke afgeleiden, die geevalueerd dienen te worden in de nieuwe omgeving van hetmassa-element. In de gedefinieerde afgeleiden wordt de variatie van T en µ met de diepte beschouwd,waarbij P als een maat voor de diepte optreedt. ∇e beschrijft de variatie van T in het element tijdens zijnbeweging, waarbij de positie van het element eveneens uitgedrukt wordt in termen van de druk P . ∇e en∇ad

zijn gelijkaardig gedefinieerd, vermits beiden de temperatuursvariatie van het gas in een massa-element, dateen drukverandering ondergaat, beschrijven. Daarentegen beschrijven ∇rad en ∇µ de ruimtelijke variatievan T en µ in de omgeving. Wanneer∇ = ∇rad gebeurt al het energietransport door straling. Is daarentegen∇ < ∇rad dan gebeurt een gedeelte van het energietransport door convectie.

De voorwaarde voor stabiliteit wordt nu:

∇ < ∇e +ϕ

δ∇µ. (5.38)

In een laag waarin het energietransport enkel gebeurt door straling hebben we ∇ = ∇rad. We onderzoekennu de stabiliteit van zulk een laag in de onderstelling dat de elementen adiabatisch bewegen (∇e = ∇ad).De voorwaarde voor stabiliteit luidt nu

∇rad < ∇ad +ϕ

δ∇µ. (5.39)

Deze stabiliteitsvoorwaarde staat bekend als het criterium van Ledoux voor dynamische stabiliteit.

In een gebied met een homogene samenstelling bekomen we het Schwarzschild criterium voor dyna-mische stabiliteit:

∇rad < ∇ad. (5.40)

Wanneer in de twee criteria het linkerlid groter is dan het rechterlid, is de laag dynamisch instabiel. Ditbetekent dat het energietransport door straling een te grote temperatuursgradient zou opleggen, waardoormoet overgegaan worden tot convectie om de energie af te voeren. Wanneer beide leden gelijk zijn sprekenwe van marginale stabiliteit. Het verschil tussen de twee criteria is alleen van belang voor lagen waarinde chemische samenstelling verandert in de radiale richting. Dit treedt op in lagen dicht bij de kern vangeevolueerde sterren, waar de zwaardere elementen dieper in de ster geproduceerd worden dan de lichtereelementen zodat µ fel verandert naar binnen toe. De laatste term in het rechterlid van het Ledoux criteriumheeft dan een stabiliserende werking vermits een element dan zwaarder materiaal zal doen optillen naar eenomgeving met lichter materiaal. De stuwkracht van Archimedes zal het zwaardere element dan terug naarbeneden brengen totdat het zijn oorspronkelijke plaats terug inneemt. Wanneer de criteria van Ledoux ofSchwarzschild voldaan zijn, dan gebeurt het energietransport uitsluitend radiatief en hebben we ∇ = ∇rad.

Er treden enkel convectieve bewegingen op in een ster wanneer de criteria van Ledoux of Schwarzschildniet voldaan zijn. Dit gebeurt wanneer :

• l(r)/m(r) groot is, m.a.w. wanneer de energieproductie binnen een straal r bijzonder groot is. Dittreedt op in massieve sterren, waardoor deze een convectieve kern zullen hebben.

74

• de opaciteit κ groot is. Dit treedt op in (de buitenste lagen van) sterren met lage (oppervlakte)temperaturen.

• ∇ad klein is. Dit treedt vooral op in de partiele ionisatiezones van waterstof, in de buitenlagen vankoele sterren omdat cP daar bijzonder groot wordt (de warmte die wordt opgeslorpt wordt vooralgebruikt om de materie verder te ioniseren, niet om ze op te warmen).

In dat geval zullen kleine storingen uitgroeien tot een grote amplitude totdat het hele gebied “kookt” vanconvectieve bellen die een deel van de energieflux vervoeren. Het energietransport moet dan behandeldworden zoals beschreven in de volgende sectie. Hieruit voorspellen we dus dat convectie optreedt in debinnenste regionen van massieve sterren en verder in de buitenlagen van koele sterren.

De verschillende ingevoerde temperatuursgradienten voor de huidige zon worden voorgesteld in fi-guur 5.2. Zoals reeds aangehaald wordt ∇rad bijzonder groot in de buitenlagen van de zon ten gevolge vande felle toename in de opaciteit. Verder daalt ∇ fel beneden 2/5 in de ionisatiezones van waterstof en he-lium. In het gebied dat convectief stabiel is geldt ∇ = ∇rad en wordt de energie uitsluitend door stralingafgevoerd. In bijna de gehele convectieve zone is ∇ slechts een weinig groter dan ∇ad, behalve in een zeerdunne laag aan het bovenste gedeelte van de convectiezone.

We merken nog op dat de criteria voor stabiliteit lokale criteria zijn. Hierdoor kunnen ze gemakkelijkgeevalueerd worden voor een bepaalde laag wanneer daar de lokale grootheden P, T en ρ gekend zijn,zonder dat we informatie over de andere delen van de ster nodig hebben. Anderzijds is het duidelijk dat deconvectieve bewegingen niet enkel kunnen afhangen van lokale krachten (zoals ondersteld bij de afleidingvan de criteria).

Convectieve bewegingen kunnen een invloed hebben op de gehele sterstructuur, vermits ze in realiteitgekoppeld zijn aan alle naburige lagen via de basisvergelijkingen. Voor sommige doeleinden moet de reactievan de gehele ster t.o.v. convectie beschouwd worden. Een voorbeeld hiervan is de preciese bepaling van degrenzen van een convectieve zone, waar massa-elementen die elders versneld werden “overschieten” tot hunbeweging gestopt wordt. Het is nog steeds niet duidelijk hoe belangrijk het overschieten is, terwijl dit effectvan groot belang is bij het bepalen van evolutiemodellen. We komen hier verder op terug, maar dienen vooreen gedetailleerde discussie eerst een bespreking te maken van convectief energietransport.

5.3.2 Vibrationele instabiliteit

In een dynamisch stabiele laag wordt een verplaatst massa-element teruggehaald ten gevolge van de stuw-kracht van Archimedes. Hierdoor heeft het echter hoeveelheid van beweging gewonnen, zal het overschietenen zodoende beginnen oscilleren. Indien in zulk een laag ook nog bepaalde niet-adiabatische effecten op-treden, waarbij het element warmte afgeeft aan zijn omgeving door straling, en bovendien de laag niethomogeen is in chemische samenstelling, kan nog een andere soort instabiliteit optreden. Dit gebeurt in eenlaag met een temperatuursgradient ∇ waarin enkel het criterium van Ledoux voldaan is, maar niet dat vanSchwarzschild:

∇ad < ∇rad < ∇ad +ϕ

δ∇µ. (5.41)

75

Figuur 5.2: De verschillende temperatuursgradienten in de huidige zon. De volle lijn toont de effectievetemperatuursgradient ∇. De puntjeslijn stelt de adiabatische temperatuursgradient ∇ad voor. De streep-jeslijn, tenslotte, stelt de radiatieve temperatuursgradient ∇rad voor. Het bovenste paneel toont het gehelemodel en het onderste paneel slechts een zeer klein gebied nabij het zonsoppervlak. In het radiatieve gebied,wat zich ongeveer uitstrekt tot r ≤ 0.72R, geldt ∇ = ∇rad en vallen de volle en streepjeslijn samen. In deconvectiezone is ∇ zo goed als gelijk aan ∇ad en vallen de volle en puntjeslijn samen, behalve uiterst dichtbij het oppervlak, waar de straling geen moeite meer heeft om snel te ontsnappen.

76

In dit geval is de laag dynamisch stabiel maar kan er een vibrationele instabiliteit optreden. Zulke vibratio-nele instabiliteit is verantwoordelijk voor de pulsaties die in sterren optreden. We verwijzen naar de cursus“Theorie van stertrillingen” welke gedoceerd wordt in het tweede semester van de tweede licentie, voor eennauwkeurige omschrijving van de voorwaarden en gevolgen van het optreden en aangroeien van vibrationeleinstabiliteit.

5.4 Transport door convectie

Wanneer de opaciteit of de hoeveelheid te transporteren energie te groot wordt, kan stralingstransport nietlanger op een stabiele wijze instaan voor het efficient afvoeren van de energie. Convectie neemt dan de taakvan energie-afvoerder over. Onder convectief energietransport verstaan we een uitwisseling van energietussen hetere en koelere lagen in een dynamisch instabiele laag door middel van het uitwisselen van ma-croscopische massa-elementen. Hierbij bewegen de hetere convectieve cellen naar boven terwijl de koeleredieper zinken. De bewegende cellen zullen oplossen in hun nieuwe omgeving en op die manier hun teveelof tekort aan warmte afstaan. Vermits de dichtheid nabij de sterkern zeer hoog is, kan convectie een enormefficiente wijze zijn om energie te transporteren.

Een gedetailleerde theoretische behandeling van convectieve bewegingen in sterren is uiterst moeilijken daardoor nog niet voorhanden. Dit is niet verwonderlijk, want zelfs convectieve bewegingen in eenketel met kokend water geven aanleiding tot zulk een complexe hydrodynamische bewegingen dat zelfsdeze laatsten niet begrepen zijn. Het oplossen van de hydrodynamische vergelijkingen voor sterren waarbijconvectie in rekening gebracht wordt, is tot nu toe enkel gebeurd voor vereenvoudigde situaties die uitgetestkonden worden in laboratoria. Convectie in sterren gebeurt echter in extreme omstandigheden waarbijturbulente bewegingen enorm grote hoeveelheden energie transporteren in een zeer samendrukbaar gas,welk op zijn beurt een druk, dichtheid, temperatuur en graviteit heeft die vele orden van grootten van elkaarverschillen in verschillende lagen.

Er zijn vele pogingen ondernomen om convectie zo nauwkeurig mogelijk in rekening te brengen. Webeperken ons hier tot de beschrijving van de reeds lang ontwikkelde en meest eenvoudige methode: de“mixing length” theorie. Deze theorie staat toe om convectie lokaal te behandelen op een relatief eenvou-dige wijze. Bovendien is deze benadering de beste die tot nu toe voorhanden is voor gebieden nabij hetsterinwendige. We zullen bovendien alleen sterren in hydrostatisch evenwicht beschouwen en we onderstel-len ook dat de convectie tijdsonafhankelijk is. Een theorie die tijdsafhankelijke convectie behandelt werdtot nu toe nog niet ontwikkeld.

De mixing length theorie onderstelt dat convectie kan vergeleken worden met warmtetransport doormoleculen. De transporterende deeltjes zijn dan echter macroscopische “bellen” in plaats van moleculen enhun gemiddelde vrije weglengte (“mixing length”) is de afstand waarover de bellen bewegen alvorens ze“oplossen” in hun nieuwe omgeving. De totale energieflux l/4πr2 in een gegeven punt bestaat nu uit desom van de radiatieve flux frad (waarin we de eventuele bijdrage van conductie opnemen) en de convectieveflux fcon.

77

We hebben in (5.29) de gradient ∇rad gedefinieerd als zijnde de gradient die nodig zou zijn om detotale energieflux te transporteren met behulp van straling. Een gedeelte van de flux wordt nu echter ge-transporteerd door convectie, waardoor de onbekende eigenlijke radiatieve gradient ∇ van de laag kleinerzal zijn:

frad + fcon =4acG

3

T 4m

κPr2∇rad (5.42)

en

frad =4acG

3

T 4m

κPr2∇. (5.43)

Hierbij is ∇ een nieuwe onbekende welke we dienen te bepalen. We zullen hiervoor een uitdrukking voorfcon zoeken.

We veronderstellen dat het convectief element zich radiaal beweegt over een afstand `m met een snel-heid v en vervolgens terechtkomt in een omgeving waartegenover het een temperatuursexces DT heeft. Hetlost daar op en geeft zijn surplus aan inwendige energie af. Vermits we onderstellen dat het element indrukevenwicht blijft: DP = 0, bedraagt de afgegeven warmte cPDT . De lokale convectieve energiefluxcorresponderend met deze warmte-afgave bedraagt fcon = ρvcPDT .

Voor alle elementen veronderstellen we dat hun beweging begonnen is als slechts een zeer kleine sto-ring. Dan kunnen we de initiele waarden DT0 en v0 gelijk aan nul nemen. Omwille van verschillen inde temperatuursgradient en in de stuwkracht van Archimedes zullen DT en v veranderen als het elementstijgt of zinkt. Dit zal gebeuren totdat het element, na het afleggen van een afstand `m (de “mixing length”),oplost in zijn nieuwe omgeving en daarbij zijn identiteit verliest. De elementen die op een gegeven ogenblikbinnentreden in een concentrische sfeer met straal r hebben een verschillende v en DT , vermits ze hunbeweging vanop een andere afstand, gelegen tussen 0 en `m, gestart zijn. We onderstellen daarom dat het“gemiddelde” element een afstand `m/2 afgelegd heeft wanneer het de concentrische sfeer binnendringt.We hebben dan

DT

T=

1

T

∂(DT )

∂r

`m2

= (∇−∇e)`m2

1

HP. (5.44)

Het dichtheidsverschil is omwille van de onderstelling DP = 0 en Dµ = 0 eenvoudigweg Dρ/ρ =−δDT/T en de stuwkracht van Archimedes bedraagt kr = −g(Dρ/ρ). We veronderstellen dat de helft vandeze waarde ingewerkt heeft op het element wanneer dit zijn voorgaande beweging over een afstand `m/2uitvoerde. De geleverde arbeid bedraagt dan:

1

2kr`m2

= gδ(∇−∇e)`2m

8HP. (5.45)

We veronderstellen vervolgens dat de helft van deze arbeid omgezet wordt naar kinetische energie van hetelement (v2/2 per eenheidsmassa) en dat de andere helft getransfereerd wordt naar de elementen in deomgeving die “opzij geduwd werden”. We bekomen zo de gemiddelde snelheid v van de elementen diedoorheen de sfeer passeren:

v2 = gδ(∇−∇e)`2m

8HP. (5.46)

Wanneer we dit resultaat en (5.44) invullen in de uitdrukking voor de gemiddelde convectieve flux bekomenwe

fcon = cPT√gδ

`2m4√

2H−3/2P (∇−∇e)

3/2ρ. (5.47)

78

We dienen nu nog een uitdrukking te bepalen voor ∇−∇e.

We beschouwen de temperatuursvariatie Te binnenin het element met diameter d, oppervlak S en vo-lume V wanneer het met snelheid v beweegt. Deze temperatuursvariatie heeft twee mogelijke oorzaken:adiabatische compressie of expansie enerzijds en uitwisseling van warmte door straling met de omgevinganderzijds.

Eerst leiden we het totale energieverlies λ per tijdseenheid van een bel af. We beschouwen een massa-element met een exces aan temperatuur DT > 0, waardoor het element straalt in zijn nieuwe omgeving.Naast de radiale energieflux ~f , welke energie vervoert van het stercentrum naar het steroppervlak, zal ereen lokale niet-radiale flux ~f optreden die het teveel aan energie van het element aan zijn omgeving afgeeft.Volgens (5.12) en (5.13) is

f = |~f | = 4acT 3

3κρ

∣∣∣∣∂T

∂n

∣∣∣∣ , (5.48)

waarbij ∂/∂n de betekenis heeft van een differentiatie loodrecht op de wand van de bel. Veronderstel nu dathet element een sferische bel is met diameter d. We stellen dan

∂T

∂n≈ 2DT

d. (5.49)

Het radiatief fluxverlies λ per tijdseenheid en per eenheid van massa doorheen het oppervlak S van de belis dan

λ = Sf =8acT 3

3κρDT

S

d. (5.50)

De grootheid λ is een soort “lichtkracht” van de bel die de verandering van de thermische energie ervanweergeeft. Het energieverlies λ per tijdseenheid resulteert in een temperatuursdaling omdat warmte wordtdoorgegeven aan de omgeving door straling. Deze temperatuursdaling wordt bij drukevenwicht gegevendoor λ/ρV cP v.

De totale temperatuursvariatie per eenheidslengte ten gevolge van de twee effecten, nl. adiabatischecompressie of expansie en uitwisseling van warmte door straling met de omgeving, is dan

(dT

dr

)

e=

(dT

dr

)

ad− λ

ρV cP v. (5.51)

Wanneer we dit vermenigvuldigen met HP/T bekomen we

∇e −∇ad =λHP

ρV cP vT, (5.52)

waarin we λ nu kunnen vervangen door (5.50) met een gemiddelde voor DT gegeven in (5.44). De resulte-rende vergelijking heeft dan een voorfactor `mS/V d, welke we gelijk nemen aan 6/`m (de waarde voor eensfeer met diameter `m). We bekomen zo tenslotte volgend resultaat

1

Γ≡ ∇e −∇ad

∇−∇e=

8acT 3

`mvκρ2cP. (5.53)

We vatten nu even de resultaten die we bekomen hebben samen en benadrukken wat nog ontbreekt. Watdit laatste betreft, en dit is het zwakke punt van de theorie hierboven geschetst: we hebben geen fysische

79

grondslag om een waarde te berekenen voor `m. Daarom wordt de mixing length steeds als een vrije para-meter genomen en uitgedrukt in schaalhoogte van druk: `m = αHP . Om een plausibele waarde te kiezenonderstelt men dat het belangrijkste gedeelte van het convectief energietransport gebeurt door de grootstebellen en dat deze geen merkelijk langere weg kunnen afleggen dan hun eigen diameter vooraleer ze hunidentiteit verliezen. Voor de zon neemt men veelal α ≈ 1.8 omdat dit stermodellen oplevert die het best inovereenstemming zijn met waarnemingen. Bovendien is het zeer moeilijk om de precieze locatie te bepalenvan de overgangslaag tussen een radiatieve en een convectieve zone. Dit komt omdat deze locatie afhangtvan het zogenaamde fenomeen van “convectief overschieten”. Deze term wordt gebruikt om aan te duidendat de convectieve bellen niet abrupt stoppen wanneer ze de radiatieve zone binnentreden. Hun beweginggaat nog “even” verder. In technische termen drukt men dit uit door nog een vrije parameter in te voeren,die men de overschiet-parameter αov noemt. Deze is evenzeer gedefinieerd als een dimensieloze parameteruitgedrukt in schaalhoogte van druk. De bellen bewegen dus nog verder over een afstand αovHP wanneer zeeen radiatieve zone binnendringen. Een waarden voor αov is nog veel minder bekend dan deze voor α zelf.Men beschouwt meestal αov ∈ [0.0, 0.3] in moderne sterstructuurmodellen. Een van de grote doelstellingenin het onderzoek naar sterstructuur is een observationele bepaling realiseren van αov voor massieve sterren,waarvoor de uitgebreidheid van de convectieve zone, en dus de hoeveelheid stermateriaal dat deelneemt aande kernfusie, rechtstreeks afhangt van de waarde van αov. Een methode om αov observationeel te bepa-len wordt uitvoerig behandeld in de cursus Pulserende Sterren gedoceerd in het 1ste semester van de 2delicentie.

Afgezien van een correcte waarde van `m hebben we vijf vergelijkingen bekomen, nl. (5.42), (5.43),(5.46), (5.47) en (5.53), voor vijf onbekenden frad, fcon, v, ∇e en ∇, waarbij de lokale grootheden P , T , ρ,l, m, cP , ∇ad, ∇rad en g gekend zijn.

Men kan tonen dat deze vijf vergelijkingen kunnen omgevormd worden tot een derdegraadsvergelijkingmet als onbekende een ingewikkelde combinatie van alle onbekenden. Het valt buiten het tijdsbestek vandeze cursus om de volledige oplossingsruimte van het probleem te beschouwen. Eerder hebben we willentonen hoe moeilijk het is om convectief transport nauwkeurig in rekening te brengen en dat de huidige theoriegebaseerd is op vele onderstellingen, waarvan de ene al aannemelijker is dan de andere. We beperken onshier tot het bespreken van enkele belangrijke relevante limietgevallen:

• Γ → ∞: men kan tonen dat dit geval impliceert dat ∇e → ∇ad en ∇ → ∇ad. Een verwaarloos-baar exces van ∇ t.o.v. de adiabatische waarde is blijkbaar voldoende om de totale lichtkracht tetransporteren. Dit limietgeval treedt op in de gebieden nabij de sterkern van massieve sterren waar dedichtheid zeer groot is en in de lagen van de fotosfeer van lichte sterren waarin de opaciteit zeer grootis. In dit geval hoeven we dus de vergelijking van de mixing length theorie niet op te lossen vermits∇ ≈ ∇ad een goede benadering is (zie figuur 5.2 voor de zon). Zodoende zijn we voor dit gebied ookniet het slachtoffer van de onzekerheden en beperkingen van deze theorie.

• Γ→ 0: dit limietgeval komt overeen met de eis dat ∇ → ∇rad. Dit betekent dat convectief transportinefficient is en absoluut geen aanzienlijke fractie van de lichtkracht kan vervoeren. We vinden in ditgeval F → Frad en opnieuw is ∇ gekend zonder te moeten beroep doen op de mixing length theorie.Dit limietgeval treedt op in de fotosfeer van massieve sterren en in de sterkern van lichte sterren (ziefiguur 5.2).

80

De situatie is veel gecompliceerder wanneer we ons tussen deze twee limietgevallen bevinden. Devergelijkingen van de mixing length theorie moeten dan effectief opgelost worden en zullen een∇ opleverenmet een waarde ∇ad < ∇ < ∇rad. Men zegt dat de convectie dan superadiabatisch is.

Naast het min of meer begrepen convectief energietransport dat we in deze sectie besproken hebbenheeft convectie nog een belangrijk effect voor het leven van de ster. Convectie is namelijk verantwoordelijkvoor het vermengen van het stermateriaal en het doet dit op een tijdschaal die veel korter is dan de andererelevante tijdschalen die we tot nu toe behandelden. Op die manier levert de convectie dus een belangrijkebijdrage tot de chemische geschiedenis van de ster. We komen hierop terug in het volgende hoofdstuk.

81

82

Hoofdstuk 6

De chemische samenstelling van de materie

6.1 De relatieve massa abondanties

De chemische samenstelling van het stermateriaal is uitermate belangrijk omdat het de basiseigenschappenzoals straling en energieproductie door kernreacties bepaalt. Deze reacties veranderen op hun beurt dechemische samenstelling. Het zijn de kernreacties die het leven van de ster vastleggen.

De chemische samenstelling van de ster op het tijdstip t wordt beschreven door de functies Xi =Xi(m, t) met m ∈ [0,M ]. Om de chemische samenstelling te beschrijven is het voordelig om m alsonafhankelijk veranderlijke te nemen. Immers, zouden we een beschrijving in termen van r voorstellen,dan zouden alle functies Xi(r, t), en tevens alle functies die afhangen van de chemische samenstelling,veranderen bij een kleine expansie of contractie met massabehoud.

Vaak gebruikt men ook het deeltjesaantal per volume ni voor deeltjes met massa mi: Xi = mini/ρ.Meestal hoeft men niet veel verschillende Xi’s te definieren omdat de meeste deeltjes ofwel te zeldzaamzijn, ofwel een verwaarloosbare rol spelen, ofwel een constante abondantie in de loop van de tijd hebben.Voor de meeste doeleinden volstaat het om enkel de massafracties van waterstof, helium en “alle andere”elementen (ook de “zware” elementen genoemd) samen te specifieren. We gebruiken hierdoor de notatie

X ≡ XH, Y ≡ XHe, Z ≡ 1−X − Y. (6.1)

Voor een “gemiddelde” ster ligt X in het interval [0.70,0.73]. Anderzijds varieert de massa-abondantievan de zware elementen sterk, van Z = 10−6 tot ongeveer Z = 0.04. Dit heeft belangrijke gevolgenvoor onze kennis over de chemische evolutie van het Heelal. Er wordt aangenomen dat enkel waterstofen helium, en zo goed als geen andere elementen, gevormd werden tijdens de Big Bang. Dit verklaart derelatief constante abondanties X,Y . Alle zwaardere elementen worden gevormd door de nucleosynthesein de sterren. Tijdens de late evolutiefasen van sterren verliezen deze een grote fractie van hun massa aanhet interstellair medium, hetzij door een sterke sterrenwind op de asymptotische reuzentak, hetzij tijdens

83

een supernova explosie. Zodoende wordt het interstellair medium verrijkt met zware elementen, welke danvervolgens opgenomen worden in de nieuwe sterren die uit dit medium geboren worden. Hieruit volgtdat het brede gamma aan Z-waarden geınterpreteerd moet worden als een brede waaier aan leeftijden vansterren. De sterren met lage Z zijn eerste-generatie sterren welke gevormd zijn nog voor er een significantechemische verrijking van het interstellair midden heeft plaatsgehad.

De sterren worden dan ook opgedeeld in twee verschillende populaties, enerzijds volgens hun massa-abondantie van zware elementen en anderzijds volgens hun plaats en beweging in de melkweg. Populatie Isterren hebben een relatief hoge Z en zijn geconcentreerd rond het galactisch vlak. Zij volgen de rotatiebe-weging van de melkweg. Populatie II sterren, daarentegen, hebben bijzonder lage Z-waarden. Zij bevindenzich op grote afstand van het galactisch vlak en bewegen lukraak in de ruimte. De interpretatie van dezeopdeling in populaties is dat populatie II sterren gevormd werden vooraleer het materiaal in de galaxie inge-stort is tot een schijf en dat populatie I sterren nadien geboren werden in de schijf. Een gedetailleerd beeldvan de vorming van de melkweg is echter nog controversieel.

De kernreacties zullen uiteraard de oorspronkelijke samenstelling X,Y,Z veranderen en dit eenvoudigebeeld ingewikkelder maken. Voor sommige doeleinden, bijvoorbeeld als men verhoudingen van isotopen(zie verder) wil bestuderen, zal de beschrijving in termen van slechts drie typen Xi niet volstaan. Op derelatieve verdeling van de deeltjes binnen de Z groep, in het bijzonder de verdeling van C,N,O welke vanbelang zijn voor de waterstofverbranding, komen we later terug.

6.2 Variaties van de chemische samenstelling in de tijd

6.2.1 Variatie door kernreacties

Veronderstel dat de Xi enkel kunnen veranderen door het optreden van kernreacties, welke kernen vantype i veranderen binnen een massa-element. De frequentie van een bepaalde reactie wordt gegeven doorde reactiesnelheid rlm, welke gelijk is aan het aantal reacties per eenheidsmassa en per eenheid van tijddie deeltjes van type l omzet in deeltjes van type m. In het algemeen kan een deeltje van type i doorverschillende reacties beınvloed worden, waarvan sommigen het deeltje zullen vernietigen (r ik) en anderenhet deeltje zullen creeren (rji). De reacties geven de verandering van ni per seconde. Vermits Xi = mini/ρhebben we:

∂Xi

∂t= mi

∑

j

rji −∑

k

rik

, i = 1, . . . , I (6.2)

voor alle elementen van type 1, . . . , I die betrokken zijn in de reacties. Wanneer meer dan een kerndeeltjevan type i gevormd of vernietigd wordt per reactie, dan kan dit in rekening gebracht worden door de cor-responderende term in de som te vermenigvuldigen met een factor die gelijk is aan het aantal deeltjes i diebetrokken zijn bij de reactie.

De reactie p → q die een deeltje van type p transformeert is verbonden met een winst of verliesaan energie epq. In de vergelijking die het behoud van energie uitdrukt, hebben we de energieproductie ε

84

per eenheidsmassa en per eenheid van tijd ingevoerd. ε bevat bijdragen van verschillende reacties en kangeschreven worden in termen van de reactiesnelheden:

ε =∑

p,q

εpq =∑

p,q

rpqepq. (6.3)

We voeren nu de energie in die gegenereerd wordt wanneer een eenheidsmassa van louter deeltjesvan type p worden omgezet naar deeltjes van type q: qpq = epq/mp. Voor eenvoudige gevallen is hethandig om (6.2) te herschrijven in termen van ε vermits deze grootheid reeds optreedt in de vergelijking vanenergiebehoud. Wanneer alle reacties een positieve bijdrage leveren tot ε kunnen we (6.2) omvormen tot

∂Xi

∂t=

∑

j

mi

mj

εjiqji−∑

k

εikqik

. (6.4)

Wanneer I verschillende type deeltjes gelijktijdig deelnemen aan de kernreacties vormen (6.2) of (6.4) eenstel van I differentiaalvergelijkingen . Vermits een daarvan kan vervangen worden met behulp van de nor-meringsvoorwaarde (2.24) hebben we nog I − 1 reactievergelijkingen nodig om het stel basisvergelijkingendie de sterstructuur bepalen te vervolledigen.

In eenvoudige situaties kan het volstaan om slechts een reactievergelijking toe te voegen. Dit is hetgeval als waterstofverbranding de enige oorzaak van kernreacties is die relevant is voor de energieproductie.Stellen we de energieproductie van alle typen waterstofverbranding voor door εH , dan is de enige vergelij-king die moet beschouwd worden

∂X

∂t= −εH

qH, (6.5)

met ∂Y/∂t = −∂X/∂t waarbij qH de energiewinst per eenheidsmassa is wanneer waterstof wordt omgezetin helium.

We voerden eerder reeds een algemene nucleaire tijdschaal τn in gedefinieerd door τn = En/L. Voorelk type van verbranding kan men een nucleaire tijdschaal τn,i definieren, welke de tijdsspanne is waaropuitputting van een bepaald type deeltje i ten gevolge van verbranding optreedt.

6.2.2 Variatie ten gevolge van convectie

Het proces van vermenging van stermateriaal ten gevolge van turbulente convectieve bewegingen is eenproces dat op zeer korte tijd actief is in vergelijking met de zeer trage variatie in chemische samenstellingveroorzaakt door kernreacties. Het is daarom een goede benadering om de chemische samenstelling vaneen convectieve laag als zijnde constant te beschouwen: ∂Xi/∂m = 0, m.a.w. de laag homogeen te on-derstellen. Onderstel dat er zich een convectieve zone uitstrekt van massaschil m1 tot massaschil m2 (ziefiguur 6.1). Binnen dat massa-interval zijn alle Xi = Xi constant. Aan de randen van de convectielaag kanin het algemeen een discontinuıteit optreden: de “buitengrenzen” Xi1 en Xi2 zijn dan verschillend van de“binnenwaarde” Xi. Nu is het zo dat, naast de abondanties van de deeltjes van type i ook m1 en m2 kunnen

85

Figuur 6.1: De chemische samenstelling in de convectieve zone, welke zich uitstrekt van massaschil m1 totmassaschil m2, is constant. Aan de randen van de convectielaag treedt een discontinuıteit in de Xi op.

veranderen in de loop van de tijd. De abondanties in een convectieve zone veranderen daarom volgens

∂Xi

∂t=

1

m2 −m1

(∫ m2

m1

∂Xi

∂tdm+

∂m2

∂t

(Xi2 −Xi

)− ∂m1

∂t

(Xi1 −Xi

))(6.6)

(bewijs wordt achterwege gelaten).

Uitdrukking (6.6) toont dat de chemische samenstelling in een convectiezone gemakkelijk kan veran-deren, zelfs indien er geen kernreacties plaatsvinden (∂Xi/∂t = 0) in deze zone. Dit gebeurt namelijkwanneer de grens van de convectieve zone binnendringt in een gebied met een andere, niet-homogene che-mische samenstelling. Op deze manier kunnen de sporen van vroegere kernreacties naar het steroppervlakgetransporteerd worden, kan verse brandstof binnengebracht worden in een zone waarin verbranding op-treedt of kunnen discontinuıteiten optreden die de sterevolutie drastisch veranderen.

6.3 Werkzame doorsneden

De reactie tussen deeltjes wordt grotendeels veroorzaakt door de sterke wisselwerking, welke optreedt tus-sen de nucleonen (protonen en neutronen). Het bereik van de sterke wisselwerking wordt bepaald door deuitgebreidheid van het desbetreffende deeltje. De Coulomb potentiaal van het deeltje bepaalt of de nucleaireaantrekkingskracht of de Coulomb afstoting domineert. De overgang tussen beiden gebeurt nagenoeg opeen afstand r0 gelijk aan de straal van het deeltje, welke typisch van de orde van 10−13cm is (zie figuur 6.2).Opdat een reactie zou plaatsgrijpen moeten de verschillende deeltjes zodanig dicht bij elkaar gebracht wor-den dat de Coulomb afstoting overwonnen wordt. In de praktijk betekent dit dat de deeltjes elkaar nagenoegmoeten raken.

Men kan gemakkelijk aantonen dat de diepte van de Coulomb-potentiaalput vooral bepaald wordt doorde lading van de deeltjes en dat de waarde ervan van de orde van MeV is. Dit toont meteen aan hoe moeilijk

86

Figuur 6.2: Schematische voorstelling van de Coulomb potentiaal van een deeltje. Voor r < r0 domineertde nucleaire aantrekkingskracht; voor r > r0 overheerst de Coulomb afstoting.

het is om een reactie te laten plaatsgrijpen, vermits de gemiddelde kinetische energie van de deeltjes gegevenwordt door 3kT/2, wat typisch van de orde van 103eV is. De gemiddelde kinetische energie is dus drie ordenvan grootte te klein om de Coulomb potentiaal te overbruggen en zodoende reacties te doen plaatsgrijpen.In termen van de klassieke mechanica vinden we dus dat kernreacties niet optreden.

Waarom zijn kernreacties dan toch mogelijk ? Dit heeft alles te maken met quantummechanische effec-ten. Uit de quantummechanica weten we dat er een kans verschillend van nul is dat deeltjes de Coulomb po-tentiaal kunnen overwinnen en zodoende kunnen reageren. Omwille van de uitgebreidheid van de Coulombpotentiaal (zie figuur 6.2) is deze kans klein en daarom is het optreden van kernreacties in sterinwendigeneen traag proces.

De zeer lage energieen zorgen ervoor dat het uiterst moeilijk is om de werkzame doorsnede van eenreactie, welke de kans is dat de reactie zal plaatsgrijpen, te bepalen in relevante condities die optreden insterinwendigen. De werkzame doorsnede hangt af van de snelheid waarmee de deeltjes elkaar naderen. De-ze snelheid wordt op haar beurt bepaald door de temperatuur en de relatieve energie van de kernen. Tevensis zij afhankelijk van de aanwezigheid van de andere deeltjes in het gas, welke gedeeltijk de lading van dekernen kunnen afschermen en dus de reactiesnelheden kunnen beınvloeden, afhankelijk van de thermodyna-mische toestand van het gas. In principe kunnen deze werkzame doorsneden experimenteel bepaald worden.Echter, de laboratoriumexperimenten gebeuren in omstandigheden die te verschillend zijn van sterinwen-digen om de resultaten te extrapoleren. Gamow heeft uitdrukkingen afgeleid om de werkzame doorsnedenvoor sterinwendigen af te leiden. We gaan hier niet in detail op in, maar vermelden dat de werkzame door-snede sterk afhankelijk is van de ladingen van de deeltjes die in de reactie betrokken zijn, omdat het deze

87

ladingen zijn die de vorm van de Coulomb potentiaal bepalen. Anderzijds is er ook een sterke temperatuurs-afhankelijkheid, omdat deze vooral de kinetische energie van de deeltjes bepaalt. We leiden hieruit af datreacties tussen deeltjes met kleinere ladingen sneller gebeuren en ook nog kunnen plaatsgrijpen bij lageretemperaturen.

Het bepalen van werkzame doorsneden is een actief domein binnen de nucleaire astrofysica. Stilaanslaagt men erin om experimenten uit te voeren voor temperaturen die in de buurt komen van diegenen dieheersen in sterinwendigen.

6.4 Verbrandingsmechanismen

Het leven van de sterren wordt gedirigeerd door thermonucleaire fusie, welke dus geınduceerd wordt doorthermische beweging en quantummechanische reacties. Hierbij fuseren verschillende lichtere kerndeeltjestot een zwaarder element. Bij de bespreking van de energieproductie in sterren ten gevolge van kernreactiesbeperken we ons tot een ruwe samenvatting van de belangrijkste reacties. In plaats van thermonucleairefusie van een bepaald element spreekt men van de verbranding van dat element. De verschillende typenverbranding treden op bij aanzienlijk verschillende temperaturen.

Wanneer de ster evolueert op een tijdschaal die vergelijkbaar is met de reactiesnelheden, dan moeten weeen netwerk van kernreacties in rekening brengen om een nauwkeurige benadering van de energieproductiete kunnen afleiden. De totale ε is dan de som over alle mogelijke reacties en de “boekhouding” van alleveranderende abondanties moet strikt bijgehouden worden. Zeer vaak, echter, volstaat het om een veeleenvoudigere procedure te volgen om ε te bepalen. We bespreken in de volgende delen de voornaamsteverbrandingsmechanismen die optreden in sterren, maar gaan eerst wat dieper in op enkele basisbegrippen.

6.4.1 Basisbegrippen

In figuur 6.3 tonen we verschillende vormen van de eenvoudigste elementen in de natuur, namelijk waterstofen helium. De bovenste rij geeft de verschillende ionisatietoestanden van de waterstof- en heliumatomenweer, terwijl de onderste rij de verschillende isotopen weergeeft. Dikke cirkels stellen protonen voor endunne cirkels neutronen. Deze laatsten bestaan uit een proton en een elektron (zie figuur 6.4).

Elke kern bestaat uit een aantal protonen, aangeduid door het atoomgetal Z , en een aantal neutronen N .Het massagetal A wordt gegeven door de som van beiden: A = N + Z . Niet alle (N,Z) combinaties zijntoegelaten in een kern. De stabiele (N,Z) combinaties beslaan een nauwe strook in een (N,Z) diagram, destabiliteitsvallei genoemd. Dit drukt uit dat zowel neutronrijke als protonrijke kernen instabiel zijn. De redenhiervoor is dat neutronrijke kernen onderhevig zijn aan het β−verval, terwijl protonrijke kernen β+vervalondergaan. Het β+ en β−verval zijn beiden manifestaties van de zwakke wisselwerking. Bij het β+vervalverandert een proton in een neutron door het uitzenden van een neutrino en een positron (het positief geladenantideeltje van een elektron). Anderzijds geeft het β−verval aanleiding tot het omvormen van een neutronin een proton door het uitzenden van een antineutrino en een elektron.

88

Figuur 6.3: De opbouw van de atomen, geıllustreerd aan de hand van waterstof en helium. De cirkelsmet dikke randen stellen protonen voor en de dunne cirkels neutronen. De elektronen worden schematischvoorgesteld in hun baan en aangeduid met “e”. Waterstof heeft een mogelijk positief ion, H+, wat ontstaatwanneer het elektron wordt weggehaald van het H atoom. Helium heeft twee mogelijke ionen. De ondersterij toont verschillende isotopen welke telkens een verschillend aantal neutronen hebben.

Figuur 6.4: Schematische opbouw van het waterstof- en het heliumatoom.

89

Een gegeven aantal protonen Z kan slechts combineren met een beperkt aantal verschillende neutro-nenaantallen N . Zo kunnen 12 protonen bijvoorbeeld enkel een stabiele kern vormen met 12, 13 of 14neutronen. De kernen met eenzelfde aantal protonen, doch een verschillend aantal neutronen, noemt men deisotopen van een element. Een isotoop noteert men met AX , waarbij X het element is en A het massagetal.

Kerndeeltjes kunnen, net zoals elektronen, slechts welbepaalde energieniveaus bezetten en vertonen eenschilstructuur. Een kern is bijzonder stabiel wanneer er een protonen- of neutronenschil volledig bezet is(naar analogie van de edelgassen waarvoor de buitenste elektronenschillen volledig bezet is). Dit fenomeendoet zich voor bij de zogenaamde magische getallen van N of Z: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. Deze aantallenzullen later van belang zijn bij de bespreking van het s-proces (zie laatste Hoofdstuk). Bovendien zijn kernenmet een even aantal protonen stabieler dan kernen met een oneven aantal. Hetzelfde geldt voor de neutronen.Dit komt omdat paren neutronen of protonen met tegengestelde spin stabieler zijn dan ongepaarde neutronenof protonen.

We zullen de kernreacties als volgt voorstellen. Stel dat α een projectiel voorstelt (bijvoorbeeld eenproton) en X het doel en dat deze beiden reageren om de uiteindelijke eindproducten β en Y op te leveren.We noteren deze reactie dan als volgt:

α+X → Y + β, (6.7)

of korter X(α, β)Y . De meeste kernreacties die in sterren optreden zijn exotherm. Dit wil zeggen dat zeenergie vrijgeven. Voor de reactie beschreven in (6.7) hebben we een energiebalans

mαc2 +mXc

2 = mβc2 +mY c

2 +Q, (6.8)

waarbij Q de geproduceerde energie voorstelt die per reactie toegevoegd wordt aan het systeem. Q is vande orde MeV.

Voor het fusieproces hebben de betrokken deeltjes j een totale massa∑Mj , die verschilt van de massa

My van het product dat zal gevormd worden. Het massa defect bedraagt

4M =∑

j

Mj −My (6.9)

en correspondeert met een energie gegeven door E = 4Mc2. Deze energie wordt dus beschikbaar gesteldom de energiebalans van de ster te onderhouden. Een voorbeeld is de waterstofverbranding (zie verder)waarbij vier 1H kernen met een totale massa van 4× 1.0081mu worden omgezet in een 4He kern met massa4.0039 mu. Een mu (“atomic mass unit”) is gelijk aan 1/12 van de massa van een 12C isotoop. Voor dewaarde ervan verwijzen we naar Bijlage A. Bij de verbranding van waterstof is dus per gevormde 4He kerneen massa van 2.85× 10−2mu “verdwenen”, wat overeenkomt met 0.7% van de oorspronkelijke massa. Deenergie die hiermee overeenstemt bedraagt zo’n 26.5 MeV (waarbij 1 eV = 1.6022×10−12 erg). De huidigelichtkracht van de zon komt overeen met een massaverlies van L/c2 = 4.25 × 1012 g s−1. Wanneer weonderstellen dat er in totaal 1M waterstof zal omgezet worden in helium, dan wordt er 0.7% van Momgezet in energie. Met haar huidige waargenomen lichtkracht kan de zon op die manier 3 × 1018 s, of≈ 1011 jaar “leven”. In de praktijk, echter, komt slechts 10% van de totale massa van de zon in aanmerkingvoor kernfusie, dus duurt het leven van de zon slechts ≈ 1010 jaar. Momenteel heeft de zon zowat de helftvan dit energiereservoir opgebruikt.

90

Figuur 6.5: Het verloop van de fractionele bindingsenergie f = EB/A wordt getoond ten opzichte van hetmassagetal A. De kromme werd glad gemaakt doorheen de schommelingen die optreden ten gevolge vande schilstructuren van de kernen.

Het massadefect is verbonden met het feit dat de betrokken kernen een verschillende bindingsenergieEB hebben. Deze bindingsenergie is de energie die nodig is om de kern op te delen in zijn protonen enneutronen. Anders uitgedrukt: EB is de energie die gewonnen wordt wanneer een bepaald aantal vrijeprotonen en neutronen vanop oneindig samengebracht worden om een kerndeeltje uit te maken. Beschouween kern met massa Mk en massagetal A die bestaat uit Z protonen met massa mp en uit A− Z neutronenmet massa mn. De bindingsenergie EB wordt dan gegeven door

EB = [(A− Z)mn + Zmp −Mk] c2. (6.10)

Wanneer we verschillende kernen met elkaar willen vergelijken is het beter om te werken met de gemiddeldebindingsenergie per kerndeeltje: f = EB/A, welke ook de bindingsfractie genoemd wordt. Met uitzonde-ring van waterstof blijken alle elementen een bindingsfractie van ongeveer 8 MeV te hebben. Dit toont aandat de nucleaire aantrekkingskrachten enkel de kernen in de onmiddellijke omgeving treft. Een ruwe schetsvan f in functie van A wordt getoond in figuur 6.5. We merken dat f scherp stijgt met stijgende A vanafwaterstof totdat er een maximum bereikt wordt van 8.5 MeV bij A = 56 (56Fe). Daarna daalt f terug. 56Feis dus de sterkst gebonden, of meest stabiele, kern. Figuur 6.5 toont dat de kernfusie die lichtere elementenomzet in stabielere zwaardere elementen energie oplevert. Echter, elke kernreactie die 56Fe zal omzettenin een zwaarder element is verlieslatend in energie. Op die manier is de creatie van 56Fe een natuurlijkeindpunt van de kernfusie in sterren.

In wat volgt zullen de grootheden ε en ρ uitgedrukt worden in respectievelijk de eenheden erg g−1 s−1

en g cm−3 en de temperatuur T zal in dimensieloze vorm Tn = T/10nK gegeven worden.

91

6.4.2 Waterstofverbranding

Het resultaat van waterstofverbranding is de fusie van vier 1H kernen in een 4He kern. Het verschil inbindingsenergie bedraagt 26.731 MeV, wat overeenkomt met een relatief massadefect van 0.71%. De energiedie op die manier vrijkomt is ruwweg een factor 10 groter dan bij elk ander fusieproces dat in de ster kanoptreden. Er bestaan verschillende fusieketens, die in het algemeen tegelijk optreden in de ster. Voor dewaterstofverbranding spreken we van de proton-proton keten (of pp keten) en de koolstof-stikstof-zuurstofcyclus of CNO cyclus . We gaan nu op elk ervan wat dieper in.

De proton-proton keten

De pp keten dankt haar naam aan de eerste reactie in de keten waarbij twee protonen omgezet worden ineen deuteriumkern 2H (wat ook vaak als 2D genoteerd wordt), welke op zijn beurt met een volgend protonreageert om 3He te vormen:

1H +1 H→2 H + e+ + νe,2H +1 H→3 He + γ. (6.11)

Hierbij stelt e+ een positron voor en νe een neutrino. De eerste van deze reacties (de pp reactie) is ongewoonin vergelijking met andere fusieprocessen omdat de protonen een β+ verval moeten ondergaan bij hundichtste nadering opdat een proton zou worden omgezet in een neutron. Het β+ verval is een proces datveroorzaakt wordt door de zwakke wisselwerking en is daarom weinig waarschijnlijk (het heeft m.a.w. eenkleine werkzame doorsnede). Het is onmogelijk om deze reactie na te bootsen in een laboratorium.

Het vervolledigen van de pp keten tot de vorming van een α deeltje of 4He kern kan gebeuren d.m.v.drie takken pp1, pp2, pp3, welke allen starten met 3He en als eindproduct 4He hebben op basis van 4 proto-nen:

pp1 :

1H +1 H → 2H + e+ + νe

2H +1 H → 3He + γ3He +3 He → 4He +1 H +1 H,

(6.12)

pp2 :

3He +4 He → 7Be + γ7Be + e− → 7Li + νe(+γ)7Li +1 H → 4He +4 He,

(6.13)

pp3 :

7Be +1 H → 8B + γ8B → 8Be + e+ + νe

8Be → 4He +4 He.

(6.14)

Hierbij staat γ voor een foton en e− voor een elektron. De rangnummers 1,2 en 3 duiden het belang van dedeelketen aan naarmate de temperatuur stijgt. 69% van de pp keten in de zon gebeurt via pp1, 31% via pp2en 0.3% via pp3. De verschillende reacties in de pp keten gebeuren met een zeer verschillend tempo. De ppreactie zelf is veruit de traagste (ongeveer een factor 1018 trager dan de anderen). Opdat pp1 tot een goedeinde zou komen moeten de twee eerste reacties beschreven in (6.11) minstens twee keer plaatsgevonden

92

hebben. De reactie 2H(p, γ)3He in de pp1 keten is zo snel dat de abondantie van deuterium zeer laag gehou-den wordt. De laatste reactie van pp1 is weerom trager dan de tweede, maar nog steeds veel sneller dan depp reactie zelf. Wanneer de temperatuur stijgt, dan daalt de abondantie van 3He waardoor de eerste reactievan pp2 aan belang wint (vanaf T7 ≈ 1 − 2). De pp2 keten vervolgt met een elektronenvangst door 7Be,welke in vergelijking met de protonenvangst in pp3 zo goed als onafhankelijk is van de temperatuur. Dealternatieve reactie in pp3 is protonenvangst door 7Be. 7Be(p, γ)8B krijgt de bovenhand over 7Be(e−, ν)7Libij T6 ≈ 24. De 8B kern geproduceerd door de protoninvanging is instabiel t.o.v. positronverval met eenhalfwaardetijd van 0.8 s. Zowel het overeenkomende neutrino als datgene wat vrijkomt bij de elektronen-vangst door 7Be worden gedetecteerd in zonne-neutrino experimenten. De laatste reactie in de pp3 ketenis het verval van 8Be in twee α deeltjes. Deze reactie is niet enkel van belang omdat ze de pp3 keten toteen goed einde brengt, maar ook omdat haar omgekeerde reactie overbepalend is voor He verbranding (zieverder).

Omwille van de verschillende hoeveelheid energie weggevoerd in de vorm van neutrino’s is de vrijgege-ven energie verschillend voor de drie deelketens. Hij bedraagt Q = 26.2, 25.7, 19.2 MeV per geproduceerdα deeltje voor respectievelijk pp1, pp2, pp3. We kunnen hieruit een “effectieve” Qeff bepalen die een goedgemiddelde voor de drie pp ketens voorstelt. Hieruit kan men dan ten slotte de vrijgegeven nucleaire energieten gevolge van de pp ketens schatten:

εpp =rppQeff

ρ≈ 2.4 × 104ρX2

T2/39

exp(−3.380/T

1/39

). (6.15)

De temperatuursafhankelijkheid van de reactiesnelheid van de pp keten daalt van ∼ T 6 voor T6 = 5 tot∼ T 3.5 voor T6 ≈ 20.

De koolstof-stikstof-zuurstof cyclus

De CNO cyclus omschrijft de tweede reeks reacties die kunnen optreden bij waterstofverbranding. Opdatdeze cyclus kan werken is het nodig dat bepaalde isotopen van koolstof, stikstof en zuurstof aanwezig zijn.De reacties die optreden bij temperaturen typisch voor sterinwendigen zijn:

12C +1 H → 13N + γ (6.16)13N → 13C + e+ + νe

13C +1 H → 14N + γ14N +1 H → 15O + γ

15O → 15N + e+ + νe

15N +1 H → 12C +4 He

− of −15N +1 H → 16O + γ (6.17)16O +1 H → 17F + γ

17F → 17O + e+ + νe

17O +1 H → 14N +4 He

93

De algemene structuur van de CNO cyclus bestaat uit een reeks protonenvangsten door isotopen van C, N ofO, afgewisseld met β+ verval welke ongeveer allemaal een vervaltijd hebben van 100 – 1000 s. De cycluseindigt steeds met een protonvangst die aanleiding geeft tot de vorming van een α deeltje.

Het eerste stel reacties gegeven in (6.16) noemt men de CN cyclus omdat enkel de isotopen van C en Noptreden als catalysatoren. De volledige CNO cyclus treedt op wanneer 16O reeds abondant aanwezig is ofwanneer er al voldoende gereageerd is zodat de reactie 15N(p, γ)16O al de nodige zuurstofisotoop gecreeerdheeft. Het optreden van de volledige CNO cyclus is 1000 keer minder waarschijnlijk dan het voorkomenvan de CN cyclus. Het eindproduct van de volledige CNO cyclus is niet alleen een α deeltje, maar ook een14N isotoop die de CN cyclus opnieuw kan voeden.

Een nauwkeurige beschrijving van de verbranding door de CNO cyclus is uiterst moeilijk omdat er heelwat isotopen op cyclische wijze bij betrokken zijn. Zowel de energieproductie als de gedetailleerde abon-danties van alle isotopen hangen af van de beginconcentraties van de catalysatoren, van de reactietijden, vande temperatuur en van de leeftijd van de ster. We zullen hier niet ingaan op een gedetailleerde beschrijvingvan alle reacties in de cycli. Eerder bespreken we de gevolgen van de belangrijkste schakel in de CNOcyclus.

De sleutelreactie van de CNO cyclus is 14N(p,γ)15O. Deze reactie is namelijk relatief traag en steuntop de 14N isotoop van stikstof die in beide cycli voorkomt. Zoals bij de pp keten is het de traagste reactiedie de belangrijkste is. Wanneer de temperatuur hoog genoeg is om waterstofverbranding gedurende eenaanzienlijke tijd via de CNO cyclus te activeren, m.a.w. wanneer de cyclus in evenwicht gebeurt, dan is eenvan de belangrijkste gevolgen hiervan dat zo goed als alle beschikbare C, N en O zal omgezet worden in de14N isotoop, welke veruit de meest abondante kern zal worden.

De energieproductie wordt eveneens bepaald door de traagste reactie 14N(p, γ)15O. εCNO wordt vooralbepaald door de energieproductie van deze reactie. Een goede schatting hiervan is 24.97 MeV. De vrijge-geven nucleaire energie ten gevolge van de gemiddelde Qeff , bepaald voor alle reacties die optreden in deCNO cyclus, kan als volgt berekend worden:

εCNO ≈4.4× 1025ρXZ

T2/39

exp(−15.228/T

1/39

). (6.18)

De temperatuursafhankelijkheid van de reactiesnelheid van de CNO cyclus is veel groter dan diegene voorde pp keten en bedraagt ongeveer ∼ T 18 voor T6 ≈ 20.

In figuur 6.6 tonen we de bijdrage van de CNO cyclus tot de totale energieproductie ten gevolge vanwaterstofverbranding voor sterren met een massa tussen 1 en 3M als functie van de positie in de ster (weer-gegeven als l/L). Het is duidelijk dat de CNO cyclus de dominante energiebron is voor sterren zwaarderdan 2M.

94

Figuur 6.6: De fractie van de totale energie geproduceerd door de CNO cyclus doorheen de ster voor sterrenmet massa tussen 1 en 3M.

6.4.3 Heliumverbranding

De kernreacties waarbij helium verbrand wordt bestaat uit de graduele fusie van verscheidene α deeltjes metals resultaat de isotopen 12C, 16O,. . . . Deze reacties treden slechts op bij temperaturen die veel hoger zijndan de temperaturen voor waterstofverbranding. Een typische voorwaarde is T8 > 1.

De eerste en belangrijkste reactie is diegene waarbij 12C gevormd wordt uit drie α deeltjes: de trippelalfa reactie. Deze reactie gebeurt in twee stappen, vermits een dichte nadering van drie deeltjes te onwaar-schijnlijk is:

4He +4 He 8Be (6.19)8Be +4 He → 12C + γ.

In de eerste stap wordt 8Be tijdelijk gevormd ten koste van twee α deeltjes. De grondtoestand van dit isotoopheeft een energie die zowat 100 keV hoger is dan die van de twee α deeltjes en daarom vervalt de isotoopin de korte tijdsspanne van 10−16 s terug tot twee α deeltjes. Dit lijkt een zeer korte vervaltijd, maar dehoge dichtheid in het sterinwendige verzekert toch de mogelijkheid van een verdere α invanging om 12C tevormen. De energieproductie per eenheidsmassa van de reacties gegeven in (6.19) is een factor 10 lager danin het geval van de CNO cyclus. De reactie is tevens enorm temperatuursgevoelig: voor T8 = 1 bedraagt deexponent van de temperatuursfactor in de reactiesnelheid 40 !

Eens er voldoende 12C gevormd zijn door de trippel α reactie kunnen verdere invangingen van αdeeltjes gebeuren zodat kernen van 16O, 20Ne, enz. geproduceerd worden:

12C +4 He → 16O + γ (6.20)16O +4 He → 20Ne + γ

. . .

De energie die vrijkomt bij de reactie 12C(α, γ)16O bedraagt 7.16 MeV en die bij 16O(α, γ)20Ne 4.73 MeV.

95

Tijdens heliumverbranding treden de reacties beschreven in (6.19) en (6.20) simultaan op en de totaleenergieproductie εHe bestaat essentieel uit drie bijdragen.

6.4.4 Verbranding van de zwaardere elementen

Koolstofverbranding

Na helium verbranding bestaat de centrale kern voornamelijk uit een mengsel van 12C en 16O. Indien detemperatuur op dat ogenblik hoog genoeg is, zeg van de orde T8 ≈ 5 − 10, dan start het proces van kool-stofverbranding. Voor dit type van verbranding, net zoals alle volgende typen, is de situatie zo complexdat berekeningen steunen op zeer ruwe benaderingen. Een eerste moeilijkheid is dat de eerste reactie inde koolstofverbranding, 12C+12C, resulteert in een 24Mg isotoop, welke op zeer veel verschillende wijzenterug vervalt:

12C +12 C → 24Mg + γ 13.9323Mg + n −2.6123Na + p 2.2420Ne + α 4.6216O + 2α −0.11

(6.21)

waarbij we telkens Q in MeV gegeven hebben in de laatste kolom. Merk op dat de tweede en laatste reactiesendotherm zijn. De relatieve frequentie van de verschillende vervalwijzen hangt af van de temperatuur en iszeer verschillend. De meest waarschijnlijke wijzen zijn diegenen die resulteren in 23Na+p en 20Ne+α. Dezetreden ongeveer even frequent op voor niet te hoge temperaturen (T9 < 3).

Een volgende moeilijkheid is dat de geproduceerde protonen en α deeltjes zulk een hoge temperaturenondervinden dat waterstof- en heliumverbranding niet mogelijk zijn en daardoor ontstaan er heel ingewik-kelde reactieketens. Een voorbeeld hiervan is 12C(p, γ)13N(e+ν)13C(α, n)16O, welke o.a. een neutronoplevert. Alle details van zulke ketens moeten effectief in rekening gebracht worden indien het doel is eengemiddelde energieproductie te bepalen. Als ruwe schatting neemt men meestal een gemiddelde Q van≈ 13 MeV per 12C+12C reactie met alle daaropvolgende ketens. De eindproducten van koolstofverbrandingzijn vooral 16O, 20Ne, 24Mg en 28Si.

Zuurstofverbranding enz.

Opdat de reactie 16O+16O zou kunnen plaatsgrijpen is reeds een temperatuur van T9 > 1 vereist. Omwillevan de hoge temperaturen reageren de protonen en de α deeltjes met andere kernen in het gas. Tevensreageren de neutronen met andere deeltjes, vermits ze niet onderhevig zijn aan de Coulomb potentiaal. Net

96

zoals bij koolstofverbranding kunnen de reacties verdergezet worden via verschillende kanalen :

16O +16 O → 32S + γ31P + p31S + n28Si + α24Mg + 2α.

(6.22)

Er volgt tevens weer een heel gamma van kettingreacties die naast Al, Mg en Ne grote hoeveelheden vrijeneutronen, protonen en α deeltjes opleveren. Deze zullen op hun beurt reageren met de 28Si isotopen omgeleidelijk aan zwaardere elementen te vormen.

Wanneer zuurstof opgebrand is, start een nieuwe fase van contractie en verhitting. Men zou kunnenverwachten dat een volgende verbrandingscyclus, nl. de verbranding van magnesium, zal starten. Echter,vooraleer de temperatuur hoog genoeg is voor deze verbranding ontstaat een ander type reactie. Immers,met de stijgende temperatuur is de thermische energie van de fotonen ondertussen sterk toegenomen. Bij eentemperatuur van ongeveer 109 K heeft een aanzienlijke fractie van de fotonen een energie van de grootte-orde MeV. Zulke energetische fotonen kunnen foto-dissociatie veroorzaken in de kernen van het gas. Foto-dissociatie is het proces waarbij straling wordt omgezet in massa (in tegenstelling tot de verbrandingscyclidie we tot nu toe tegenkwamen en die allemaal massa wisten om te zetten in straling). Het proces ontstaatwanneer een hoog-energetisch foton omgezet wordt in een elektron-positron paar wanneer het een energiehν heeft die de energie van de rustmassa van een elektron-positron paar overschreidt: hν > 2mec

2. Eenvoorbeeld van het optreden van foto-dissociatie is

32S + γ 28Si + 4He. (6.23)

Het optreden van de dubbele pijl ontstaat omdat, na de vorming van het α deeltje, dit opnieuw kan reagerenmet andere kernen, zoals 28Si, waardoor tevens de inverse reactie kan plaatsgrijpen. Er zijn nog vele analogereacties door foto-dissociatie die plaatsgrijpen en die opeenvolgende kernen betreffen, zoals 32S, 36Ar, 40Ca,52Fe en 56Ni. Aan al deze reacties dient men nog de absorptie van protonen en neutronen toe te voegen,en ook verval van onstabiele kernen. Op die manier ontstaan werkelijk zeer complexe reactieketens, welkeuiteindelijk leiden tot de vorming van zwaardere kernen. Dit hele gebeuren duidt men een beetje misleidendaan met siliciumverbranding.

Dit proces wordt verder gezet en wanneer er voldoende tijd voorhanden is zal de vorming van 56Fevoltooid worden. Vermits de 56Fe isotoop zo sterk gebonden is (zie figuur 6.5) is het de enige overlevendein de “kookpot”. Wanneer er echter niet voldoende tijd is om 56Fe te vormen zal 56Ni het meest abondanteelement zijn als resultaat van de siliciumverbranding. Deze situatie treedt op bij supernova-explosies (zieDeel II van de cursus).

97

98

Hoofdstuk 7

Bepaling van de sterstructuur

We geven in dit hoofdstuk een samenvatting van het volledig stel basisvergelijkingen die we in de vorigehoofdstukken hebben afgeleid. Vervolgens bespreken we de randvoorwaarden waaraan een goed stermodelmoet voldoen en geven we aan hoe de modellen kunnen opgebouwd worden. Op die manier kan de volledigesterstructuur bepaald worden.

7.1 Het volledige stel basisvergelijkingen

Wanneer we alle relevante afgeleide vergelijkingen voor een sferisch symmetrische ster samenvoegen, ver-krijgen we het volgend stelsel differentiaalvergelijkingen :

∂r

∂m=

1

4πr2ρ,

∂P

∂m= − Gm

4πr4− 1

4πr2

∂2r

∂t2,

∂l

∂m= εn − εν − cP

∂T

∂t+δ

ρ

∂P

∂t,

∂T

∂m= − GmT

4πr4P∇,

∂Xi

∂t= mi

∑

j

rji −∑

k

rik

, i = 1, . . . , I.

(7.1)

De laatste vergelijking is in feite een stelsel van I vergelijkingen waarvan er een kan vervangen wordendoor de normeringsvoorwaarde

∑iXi = 1. Deze vergelijkingen beschrijven de variatie van de massa

fracties Xi van de relevante deeltjes i = 1, . . . , I met massa mi. De extra vergelijking (6.6) beschrijft

99

de vermenging van de chemische samenstelling ten gevolge van convectieve bewegingen. In het algemeenstaat ∇ voor d lnT/d lnP , maar wanneer het energietransport enkel gebeurt door straling (en conductie)wordt ∇ vervangen door ∇rad, welke gedefinieerd werd in (5.29). Wanneer convectief energietransportbelangrijk is moet ∇ in de vierde vergelijking vervangen worden door een waarde afgeleid van een goede(nog niet beschikbare) theorie van convectie. In het sterinwendige kunnen we hiervoor ∇ad nemen. Devierde vergelijking onderstelt dat de ster in hydrostatisch evenwicht is.

In het stelsel (7.1) van differentiaalvergelijkingen kunnen we deelstelsels opmerken. Zo beschrijven deeerste twee vergelijkingen het mechanisch gedeelte, welk enkel via de dichtheid, die op haar beurt afhangtvan de temperatuur, gekoppeld is aan het thermonucleaire gedeelte. Wanneer de dichtheid niet gekoppeld isaan de temperatuur, dan kunnen we de eerste twee vergelijkingen oplossen zonder rekening te houden metde andere drie. We bekomen dan de mechanische structuur uitgedrukt als r(m) en P (m). Een voorbeeldhiervan zijn de polytropische oplossingen. Het laatste stel vergelijkingen in (7.1) beschrijft het chemischaspect van het probleem. Zij kunnen ontkoppeld worden van de andere vier vergelijkingen die de structuurvan de ster geven voor een gegeven tijdstip en een gegeven chemische samenstelling Xi(m). Deze opsplit-sing is enkel toegestaan wanneer de chemische samenstelling verandert op een tijdschaal die veel langer isdan diegene die de variatie van de druk en temperatuur beschrijft.

De vergelijkingen in het stelsel (7.1) bevatten functies die de eigenschappen van het stermateriaal be-schrijven, zoals ρ, εn, εν , κ, cP ,∇ad, δ en de reactiesnelheden rij . We gaan ervan uit dat deze “materi-aalfuncties” gekend zijn in functie van P, T en de chemische samenstelling beschreven door de functiesXi(m, t). We onderstellen m.a.w. dat we de toestandsfunctie kennen, net zoals het Rosseland gemiddeldevan de opaciteit, de vergelijkingen voor de andere thermodynamische eigenschappen van het stermateriaal,de nucleaire reactiesnelheden, de energieproductie en het energieverlies door neutrino’s :

ρ = ρ(P, T,Xi) κ = κ(P, T,Xi) (7.2)

cP = cP (P, T,Xi) δ = δ(P, T,Xi) ∇ad = ∇ad(P, T,Xi)

rjk = rjk(P, T,Xi) εn = εn(P, T,Xi) εν = εν(P, T,Xi)

Definities voor cP , δ en ∇ad werden gegeven in Hoofdstuk 2. Om deze effectief uit te rekenen hebbenwe meer informatie nodig, nl. de gebruikte toestandsfunctie. Hiervan hebben we drie voorbeelden bespro-ken.

Zoals reeds vermeld is het Rosseland gemiddelde κ een goede benadering voor de opaciteit, behalvevoor de buitenste sterlagen. Dat de atmosfeer een bijzondere aanpak van het energietransport vraagt, komtomdat de gemiddelde vrije weglengte van de fotonen niet meer voldoet aan de voorwaarde die wij hiergesteld hebben, nl. dat deze weglengte aanzienlijk korter is dan de af te leggen weg. We herhalen dat dediffusiebenadering dan niet geldig is. Hierdoor moet men in de steratmosfeer een veel gecompliceerdereenergietransportvergelijking oplossen. Hierop ingaan in deze cursus zou ons te ver leiden. We verwijzennaar de cursus Steratmosferen, gedoceerd in het eerste semester van de tweede licentie.

We maken nu een balans op van het aantal vergelijkingen en het aantal onbekenden, rekening houdendmet (7.2). Alle “materiaalfuncties” beschreven in (7.2) kunnen dus vervangen worden door functies van P, Ten Xi. Voor I verschillende type deeltjes vormen (7.1) dan een stel van I + 4 differentiaalvergelijkingen

100

voor de I + 4 onbekenden r, P, T, l,X1, . . . , XI . De onafhankelijk veranderlijken zijn m en t. Indien weonderstellen dat de totale massa van de ster niet verandert in de tijd (dus we veronderstellen dat er geenmassaverlies optreedt), en als we het begintijdstip van het leven van de ster aanduiden met t0, dan zoekenwe oplossingen in de intervallen 0 ≤ m ≤M, t ≥ t0.

We dienen nu een stelsel van niet-lineaire partiele differentiaalvergelijkingen op te lossen. We zullenenkel fysisch relevante oplossingen bekomen indien we de nodige randvoorwaarden opleggen voor m = 0en m = M en indien we beginwaarden voor de ongekende functies kennen. Om in te zien voor welkefuncties we beginwaarden moeten kennen vervangen we in de derde vergelijking van (7.1) de tijdsafgeleidenvan P en T door de tijdsafgeleide van de entropie s,−T∂s/∂t, steunende op vergelijking (3.50). We stellendan vast dat we het volledig stelsel (7.1) kunnen oplossen indien we beginwaarden hebben voor de functiesr(m, t0), r(m, t0), s(m, t0) en Xi(m, t0).

Nadat geschikte beginwaarden gevonden zijn en fysisch verantwoorde randvoorwaarden geformuleerdwerden komt het erop aan het stelsel (7.1), voor gegeven materiaalfuncties, op te lossen. Een oplossingr(m), P (m), T (m), l(m), Xi(m) voor een gegeven tijdstip t noemt men een stermodel.

7.2 Tijdschalen en vereenvoudigingen

Er treden drie typen tijdsafgeleiden op in het stelsel (7.1). Elk van hen is verbonden met een karakteristieketijdschaal. De term met ∂2r/∂t2 werd gebruikt om de hydrostatische tijdschaal τhydr in te voeren, detijdsafgeleiden in de derde vergelijking gaven aanleiding tot de definitie van de Helmholtz-Kelvin tijdschaalτHK en de tijdsafgeleiden in de laatste vergelijking leidden tot de nucleaire tijdschaal τn.

We hebben reeds vroeger getoond dat de inertieterm in de tweede vergelijking van (7.1) kan verwaar-loosd worden als de ster traag evolueert t.o.v. de hydrostatische tijdschaal. We kunnen daarom, wanneer deevolutie van de ster geregeerd wordt door thermische aanpassing van kernreacties, deze tweede vergelijkingvervangen door de vergelijking van hydrostatisch evenwicht vermits zowel de Helmholtz-Kelvin tijdschaalals de nucleaire tijdschaal veel langer zijn dan de hydrostatische tijdschaal. We dienen in dit geval enkelinitiele waarden voor de functies s(m, t0) en Xi(m, t0) te kennen om het probleem op te lossen.

Wanneer de ster bovendien evolueert op een nucleaire tijdschaal die veel langer is dan de Helmholtz-Kelvin tijdschaal is de ster in volledig mechanisch en thermisch evenwicht (zie sectie 3.4.3). In volledigevenwicht splits het stelsel (7.1) zich in twee delen. De eerste vier vergelijkingen zijn de “structuurvergelij-kingen” die enkel ruimtelijke afgeleiden bevatten in hun vereenvoudigde vorm. De laatste vergelijking staatvoor het stel “chemische vergelijkingen”, welke nu enkel nog tijdsafhankelijk zijn en waarvoor dus noginitiele waarden nodig zijn: Xi(m, t0). De structuurvergelijkingen vormen nu een stelsel van vier gewonedifferentiaalvergelijkingen. Volledig evenwicht is een goede onderstelling voor hoofdreekssterren (voor eenbeschrijving van de hoofdreeks, zie deel II).

101

7.3 Randvoorwaarden

De randvoorwaarden opstellen voor het stelsel vergelijkingen (7.1) vormt een belangrijk onderdeel van hettotale probleem. Dit is te meer zo omdat de invloed van de gekozen randvoorwaarden op de oplossingenmoeilijk te achterhalen is. De reden hiervoor is dat de randvoorwaarden voor de sterstructuur niet beperktkunnen worden tot een uiteinde van het massa interval [0,M ], maar moeten opgesplitst worden in voor-waarden voor het stercentrum en voor het steroppervlak. De randvoorwaarden in het stercentrum zijn vrijeenvoudig in tegenstelling tot diegenen voor het steroppervlak. Deze laatsten moeten immers gerelateerdzijn met observationele grootheden en steunen op een veel ingewikkeldere energietransfertvergelijking. Webeperken ons hier tot een ster in volledig evenwicht.

7.3.1 Centrale randvoorwaarden

We gaan op zoek naar centrale waarden voor de onbekenden r, l, P, T . We kunnen onmiddellijk twee rand-voorwaarden voor het stercentrum (m = 0) opstellen. Vermits de dichtheid eindig moet blijven moet r = 0en vermits de energiebronnen ook eindig blijven moet tevens l = 0. Er zijn echter geen voorwaarden diewe kunnen opleggen om waarden voor de centrale druk PC en de centrale temperatuur TC te achterhalen.We hebben dus maar twee randvoorwaarden en moeten telkens met een twee-parameter oplossing voor eengegeven TC en PC werken. Het is daarom nuttig om het gedrag van de vier functies nabij het stercentrumm → 0 te kennen op een bepaald tijdstip t = t0. De eerste vergelijking van het stelstel (7.1) kunnen weschrijven als

d(r3)

=3

4πρdm. (7.3)

Voor een constante dichtheid ρ = ρc (dus voor kleine waarden van m) kunnen we deze vergelijking integre-ren. Dit resulteert in

r =

(3

4πρC

)1/3

m1/3, (7.4)

waarbij de integratieconstante nul genomen werd om te voldoen aan de eis r(m = 0) = 0. We kunnen ditresultaat beschouwen als de eerste term van een reeksontwikkeling voor r rond m = 0. Een gelijkaardigeintegratie van de energievergelijking met als voorwaarde l(m = 0) = 0 levert

l = (εn − εν + εg)C m. (7.5)

Wanneer we nu (7.4) substitueren in de vergelijking van het hydrostatisch evenwicht bekomen we voorkleine waarden van m:

dP

dm= − G

4π

(4πρC

3

)4/3

m−1/3, (7.6)

wat opnieuw kan geıntegreerd worden tot

P − PC = −3G

8π

(4πρC

3

)4/3

m2/3. (7.7)

102

Verder moet de drukgradient verdwijnen in het stercentrum zoals volgt uit de vergelijking van hydrostatischevenwicht dP/dr ∼ m/r2 ∼ r3/r2 → 0.

Voor de variatie van de temperatuur dicht bij het centrum beperken we ons tot het radiatieve geval,waarvoor

dT

dm= − 3

64π2ac

κl

r4T 3. (7.8)

Voor P → PC en T → TC zal de opaciteit convergeren naar een welbepaalde waarde κC . Wanneer we danl vervangen door (7.5) en r door (7.4) dan kunnen we (7.8) voor kleine m-waarden integreren. We bekomenzo

T 4 − T 4C = − 1

2ac

(3

4π

)2/3

κC (εn − εν + εg)C ρ4/3C m2/3 (7.9)

wanneer het energietransport in de kern radiatief gebeurt.

7.3.2 Randvoorwaarden voor het oppervlak

Nauwkeurige randvoorwaarden voor het oppervlak afleiden is uiterst gecompliceerd. Als zeer ruwe bena-dering zouden we dus in eerste instantie de naıeve voorwaarden P → 0 en T → 0 voor m → M kunnennemen. Deze drukken inderdaad uit dat P en T aan het steroppervlak zeer kleine waarden aannemen t.o.v.de waarden in het sterinwendige, maar uiteindelijk zijn de temperatuur en de druk op het steroppervlak nietnul.

De volgende stap is overgaan naar de sfeer die we het oppervlak van de ster kunnen noemen en diede sterstraal r = R definieert. In de studie van de steratmosfeer (zie de gelijknamige cursus in de tweedelicentie) maakt men gebruik van de fotosfeer, welke men definieert als die sfeer waar de optische diepte,gedefinieerd als

τ ≡∫ ∞

Rκρdr = κfot

∫ ∞

Rρdr, (7.10)

gelijk is aan 2/3. Hierbij stelt κfot een gemiddelde opaciteit voor de fotosfeer voor. In hydrostatisch even-wicht wordt de druk in die fotosfeer bepaald door het gewicht van de materie erboven. De graviteit kunnenwe in dit gebied constant g = GM/R2 nemen, omdat de fotosfeer een dunne schil is die weinig materiebevat. We bekomen dan met behulp van (3.15) en (7.10) voor τ = 2/3

Pr=R =

∫ ∞

Rgρdr =

GM

R2

∫ ∞

Rρdr =

GM

R2

2

3

1

κfot. (7.11)

De temperatuur in de fotosfeer wordt in goede benadering gegeven door de effectieve temperatuurvan de ster: Teff = Tr=R = T (τ = 2/3) (zie Steratmosferen). De preciese definitie van de effectievetemperatuur is L ≡ 4πR2σT 4

eff , waarbij σ = ac/4 de Stefan-Boltzmann stralingsconstante genoemd wordt(zie Bijlage A). Teff is m.a.w. de temperatuur van een zwarte straler die dezelfde oppervlakte-energieflux enstraal heeft als de ster.

De fotosferische randvoorwaarden afgeleid voor Tr=R en Pr=R geven twee verbanden tussen de op-pervlaktewaarden voor de functies P, T, l, r die zeker een verbetering zijn t.o.v. de naıve randvoorwaarden

103

P → 0 en T → 0. Het zwakste punt bij hun gebruik is dat de ster op basis van de randvoorwaarden reikttot een gebied waar de basisonderstelling voor het energietransport, nl. dat de gemiddelde vrije weglengtevan een foton veel kleiner is dan de af te leggen weg, niet meer opgaat. In feite moet men in de fotosfeereen veel gecompliceerdere energietransportvergelijking gebruiken. We verwijzen hiervoor opniew naar decursus Steratmosferen.

In de praktijk zal de overgang van de oplossingen die gelden aan de “binnenkant” van de atmosfeernaar diegenen die gelden aan de “buitenkant” ervan gebeuren door een fitpunt mf te kiezen waarin beideoplossingen aan mekaar zullen gekoppeld worden. mf dient ver genoeg in het sterinwendige te liggen opdatde afgeleide vergelijkingen er nog zouden gelden. We bekomen dan oplossingen van deze vergelijkingen inhet fitpunt: rin

f , Pinf , T

inf , l

inf . Anderzijds moet mf ook dicht genoeg bij M liggen zodat we de vereenvou-

diging van een buitenlaag in thermisch evenwicht waarin l = L kan genomen worden mogen gebruiken.Hoe kleiner M −mf , hoe minder energie er in de buitenlaag kan opgestapeld of vrijgegeven worden. In destudie van steratmosferen berekent men oplossingen voor de vier onbekende functies ruit

f , P uitf , T uit

f , luitf .

Men kan tonen dat deze oplossingen functies zijn van de parameters R en L. Als randvoorwaarden eisen wedan dat de vier oplossingen die geconstrueerd worden voor de binnenkant moeten gelijk zijn aan diegenendie berekend worden voor de atmosfeer:

rinf = ruit

f , P inf = P uit

f , T inf = T uit

f , linf = luitf . (7.12)

Deze vier voorwaarden kunnen in principe vervuld worden omdat we genoeg vrijheidsgraden hebben: TCen PC voor de inwendige oplossingen en R en L voor de uitwendige oplossingen.

Voor numerieke toepassingen (zie volgende sectie) gebruikt men de volgende werkwijze. In het puntmf bekomen we oplossingen voor de buitenkant van de atmosfeer: ruit

f (R,L), P uitf (R,L), T uit

f (R,L),luitf (R,L) door numerieke integratie van de vergelijkingen die relevant zijn in de atmosfeer. De laatste

functie is zeer eenvoudig: luitf = L. De eerste kan zonder problemen geınverteerd worden wat leidt tot

R = R(ruitf , L). Deze uitdrukking wordt nu gebruikt om de R-afhankelijkheid van de andere twee functies

uit te drukken: P uitf (R(ruit

f , L), L) ≡ π(ruitf , L) en T uit

f (R(ruitf , L), L) ≡ θ(ruit

f , L), waarbij π en θ nugekende functies zijn van ruit

f en luitf = L. We vervangen nu de variabelen voor de buitenkant door hun

equivalenten aan de binnenkant, rekening houdend met de fitvoorwaarden (7.12):

P inf = π(rin

f , L), T inf = θ(rin

f , L). (7.13)

Dit zijn nu de twee randvoorwaarden voor de inwendige oplossingen. Ze werden zodanig geconstrueerddat, wanneer er een goede inwendige oplossing gevonden wordt, deze steeds op een continue wijze kangekoppeld worden aan een uitwendige oplossing.

7.4 Een numerieke oplossingsmethode

Voor realistische materiaalfuncties is een analytische oplossing van het stelsel (7.1) niet mogelijk. We zijndus aangewezen op het zoeken van numerieke oplossingen voor het probleem. Omwille van de computati-onele eisen is het berekenen van oplossingen voor het volledig stelsel slechts kunnen op gang komen in delaatste 30 jaar. Voorheen diende men gebruik te maken van eenvoudige stermodellen, zoals polytropen. Een

104

van de numerieke methode die gebruikt wordt om het stelsel (7.1) op te lossen is de Henyey methode, welkewe nu zullen bespreken.

De Henyey methode is een zeer practische methode om randvoorwaardenproblemen met randvoor-waarden aan beide uiteinden van het oplossingsinterval op te lossen. Een eerste ruwe startoplossing wordtvoorgesteld en geevalueerd. Bij wijze van een iteratieproces wordt de startoplossing gradueel verbeterd toteen geschikte oplossing bereikt wordt die voldoet aan een vooraf bepaalde nauwkeurigheid. Bij elke ite-ratiestap worden correcties aangebracht aan alle variabelen en in alle gridpunten zodat het effect van dezevariaties op de gehele oplossing, inclusief op de randvoorwaarden, in rekening gebracht wordt.

Voor sferische sterren in hydrostatisch evenwicht moeten we het stelsel (7.1) oplossen, waarbij detweede vergelijking vervangen wordt door ∂P/∂m = −Gm/4πr4, met de bijbehorende randvoorwaardenbesproken in de vorige sectie. De algemene structuur van de vergelijkingen is zodanig dat we twee ge-scheiden deelsystemen kunnen oplossen. Eerst lossen we het “ruimtelijk” systeem op voor gegeven X i(m)en vervolgens passen we het laatste stel vergelijkingen van (7.1) toe voor een kleine tijdstap 4t. Hiernalossen we weer het eerste deelstelsel op voor de nieuwe Xi(m), enzoverder. We beschrijven nu in detail hetoplossen van het ruimtelijk systeem.

We beperken ons tot het oplossen van modellen in volledig evenwicht: r = P = T = 0. We dienen danenkel initiele waarden te geven voor Xi(m), welke we als gekende parameters kunnen beschouwen voor elkpunt. De materiaalfuncties gegeven in (7.2) kunnen in het op te lossen stelsel vervangen worden door hunafhankelijkheden van P en T . We dienen dan vier gewone differentiaalvergelijkingen op te lossen voor devier onbekende functies r, P, T, l in het interval [0,M ] waarbij M verondersteld wordt gegeven te zijn. Weschrijven deze vier vergelijkingen symbolisch als

dyidm

= fi(y1, . . . , y4), i = 1, . . . , 4, (7.14)

waarbij we de afkortingen y1 = r, y2 = P, y3 = T, y4 = l ingevoerd hebben.

De volgende stap is discretisatie van de vergelijkingen (7.14), door deze te vervangen door differen-tievergelijkingen voor een eindig massa-interval [mj ,mj+1]. We duiden de waarden van de variabelen aanelk uiteinde van het massa-interval [mj,mj+1] aan met bovenindices: yj1, y

j+11 , . . . , yj4, y

j+14 . De functies

fi in het rechterlid van (7.14) moeten nu geevalueerd worden in een gemiddeld argument, wat we aandui-den met yj+1/2

i . Een logische keuze voor deze argumenten is bijvoorbeeld het rekenkundig of geometrischgemiddelde van yji en yj+1

i . Definieren we nu de vier functies

Aji ≡yji − yj+1

i

mj −mj+1− fi

(yj+1/21 , . . . , y

j+1/24

), i = 1, . . . , 4, (7.15)

dan vervangen de differentievergelijkingen

Aji = 0, i = 1, . . . , 4 (7.16)

de differentiaalvergelijkingen (7.14) die we dienen op te lossen.

De twee randvoorwaarden aan de buitenkant van de atmosfeer afgeleid in vorige sectie worden opge-legd in een fitpunt mf . We kiezen dit punt als datgene met bovenindex j = 1. Deze twee randvoorwaarden

105

geven een verband tussen de vier veranderlijken y11, . . . , y

14 in het punt m1 = mf . Met de definities

B1 ≡ y12 − π(y1

1 , y14), B2 ≡ y1

3 − θ(y11, y

14) (7.17)

worden de randvoorwaarden (7.13) gegeven door

Bi = 0, i = 1, 2. (7.18)

We beschouwen nu het gehele interval in m, gaande van mK = 0 tot aan het fitpunt m1 = mf . Weverdelen dit gebied in K − 1 deelintervallen door K gridpunten te kiezen, welke niet equidistant hoevente zijn. In het binnenste interval voor m, tussen het centrale punt mK = 0 en mK−1 gebruiken we dereeksontwikkelingen (7.4), (7.5), (7.7) en (7.9) voor de vier veranderlijken. Deze vier vergelijkingen zijnvan de vorm

Ci(yK−1

1 , . . . , yK−14 , yK2 , y

K3

)= 0, i = 1, . . . , 4, (7.19)

waarin de eis yK1 = yK4 = 0 (r = l = 0 in het centrum) reeds verwerkt is.

In de K gridpunten hebben we 4K − 2 onbekende veranderlijken, vermits yK1 = yK4 = 0. Dezeonbekenden moeten voldoen aan (7.18) voor het eerste punt, aan (7.16) voor alle intervallen behalve hetlaatste (j = 1, . . . ,K − 2) en aan (7.19) voor het laatste interval. In totaal hebben we dus 2 + 4(K − 2) + 4vergelijkingen, die we schematisch kunnen schrijven als

Bi = 0, i = 1, 2

Aji = 0, i = 1, . . . , 4, j = 1, . . . ,K − 2

Ci = 0, i = 1, . . . , 4.

(7.20)

We zoeken een oplossing voor gegeven M en Xi(m), welke als parameters optreden in de vergelijkin-gen. Wat we eveneens nodig hebben is een eerste ruwe gok voor de waarde van de onbekenden:

(yji

)1

voor

i = 1, . . . , 4; j = 1, . . . ,K . Vermits de(yji

)1

slechts benaderingen zijn, zullen ze niet voldoen aan (7.20):

Bi(1) 6= 0, Aji (1) 6= 0, Ci(1) 6= 0, (7.21)

waar we met (1) de eerste benadering als argumenten bedoelen.

We gaan nu op zoek naar correcties δyji voor alle veranderlijken in alle gridpunten zodanig dat detweede benadering

(yji

)2

=(yji

)1

+ δyji van de argumenten de functies Bi, Aji en Ci weldegelijk doet

verdwijnen. De correcties δyji van de argumenten veroorzaken correcties δBi, δAji , δCi van de functies. We

eisen dus datBi(1) + δBi = 0, Aji (1) + δAji = 0, Ci(1) + δCi = 0. (7.22)

Voor correcties die klein genoeg zijn mogen we δBi, δAji , δCi in reeks ontwikkelen voor toenemende

machten van δyji en enkel de lineaire termen van deze reeks behouden. Voor B1 wordt dit bijvoorbeeld

δB1 ≈∂B1

∂y11

δy11 +

∂B1

∂y12

δy12 +

∂B1

∂y13

δy13 +

∂B1

∂y14

δy14 . (7.23)

106

Dank zij deze linearisatieprocedure worden de voorwaarden gegeven in (7.22) nu :

∂Bi∂y1

1

δy11 + . . .+

∂Bi∂y1

4

δy14 = −Bi,

∂Aji∂yj1

δyj1 + . . .+∂Aji∂yj4

δyj4 +∂Aji∂yj+1

1

δyj+11 + . . . +

∂Aji∂yj+1

4

δyj+14 = −Aji ,

∂Ci

∂yK−11

δyK−11 + . . . +

∂Ci

∂yK−14

δyK−14 +

∂Ci∂yK2

δyK2 +∂Ci∂yK3

δyK3 = −Ci,

(7.24)

waarbij de indices i en j dezelfde waarden kunnen aannemen als in (7.20). We beschikken dus opnieuwover 4K − 2 (lineaire inhomogene) vergelijkingen voor evenveel onbekende correcties δy ji (vermits δyK1 =

δyK4 = 0 omwille van de randvoorwaarden). Bij het berekenen van (7.22) moeten alle functies Bi, Aji , Ci

en al hun afgeleiden berekend worden met als argumenten de eerste benaderingen(yji

)1. Het op te lossen

schema (7.24) kan veel korter in matrixvorm genoteerd worden:

H

δy11

.

.

.

δyK3

= −

B1

.

.

.

C4

. (7.25)

Hierbij staat H voor de Henyey matrix, wiens elementen de afgeleiden in het linkerlid van (7.24) zijn.

Wanneer H een determinant verschillend van nul heeft kunnen we het stelsel lineaire vergelijkingenoplossen en de correcties δyji berekenen. Deze geven op hun beurt aanleiding tot een betere, tweede benade-ring van de onbekenden

(yji

)2. Wanneer we deze als argumenten voor de op te lossen vergelijkingen (7.20)

doorgeven zullen we nog steeds vinden dat

Bi(2) 6= 0, Aji (2) 6= 0, Ci(2) 6= 0, (7.26)

vermits we enkel in de lineaire benadering gewerkt hebben en er bovendien numerieke onnauwkeurighedenin het spel zijn. Daarom voeren we een tweede iteratiestap door waarin we op dezelfde wijze nieuwecorrecties bepalen waarmee we een derde benadering bepalen:

(yji

)3

=(yji

)2

+ δyji . We zetten dezeiteratieprocedure verder totdat de benaderende oplossing voldoende dicht bij de gezochte oplossing ligtvolgens een vooraf bepaald nauwkeurigheidscriterium. Op deze wijze hebben we de gehele sterstructuur,gegeven de massa en de chemische samenstelling in de verschillende lagen, bepaald voor een ster in volledigevenwicht.

In de figuren 7.1 – 7.5 tonen we het verloop van de functies m(r), P (r), ρ(r), T (r) en l(r) (logaritmi-sche schaal), bekomen op basis van de Henyey methode hierboven beschreven, voor een ster met een initielemassa 1M (linkse panelen) en met 15M (rechtse panelen) die zopas op de hoofdreeks is aangekomen.

107

Figuur 7.1: Het verloop van de massa m(r) als functie van de positie in de ster voor een ster met 1M(links) en met 15M (rechts)

De chemische samenstelling die ondersteld werd in de gehele ster bedraagt X = 0.74, Y = 0.24, Z = 0.02.Verder onderstelden we een ideaal gas met straling waarin ionisatie-effecten verrekend werden. Voor deenergieproductie werden de pp keten en de CNO cyclus gebruikt. Convectief energietransport werd even-eens in rekening gebracht d.m.v. de mixing-length theorie zoals beschreven in de tekst.

Uit figuur 7.1 leiden we af dat de massa sterk geconcentreerd is nabij het stercentrum: ongeveer 80%van de massa van de zon bevindt zich binnen een bol met r = 0.4R, dus binnen een fractie 0.064 van hettotale volume van de zon ! Voor een ster met 15M bevindt 80% van de massa zich in een straal van 0.5de sterstraal, wat overeenkomt met een fractie van 0.125 van het totale volume. We stellen dus vast dat demassa meer naar het sterinwendige geconcentreerd is naarmate de ster lichter is. De buitenste lagen van dester hebben bijna geen invloed op de totale stermassa.

De lichtkracht is nog meer geconcentreerd dan de massa (zie figuur 7.5): 90% van de lichtkracht wordtopgewekt binnen r = 0.2R, dus binnen een fractie 0.008 van het volume van de ster. Het is in die cen-trale kern dat de kernfusie optreedt. In alle lagen daaromheen wordt de energie alleen maar naar buitengetransporteerd; daar is l(r) = L =constant.

Voor de zon is de dichtheid zeer sterk gepiekt in het centrum en ze is op r = 0.5R al een factor 100gedaald. Het verloop van de druk volgt het verloop van de dichtheid. Voor een massieve ster is de afnamevan de dichtheid en druk veel geleidelijker.

De temperatuur in de zon verloopt vrij geleidelijk en is op r = 0.5R met “slechts” een factor 3gedaald. De temperatuur valt plotseling zeer sterk af aan de rand van de ster, omdat de straling daar vlot kanontsnappen.

De modellen voor de huidige zon (leeftijd ongeveer 5 × 109 jaar) worden gekenmerkt door een che-mische samenstelling X = 0.49, Y = 0.49, Z = 0.02 in de sterkern, terwijl de oorspronkelijke chemische

108

Figuur 7.2: Het verloop van de druk P (r) als functie van de positie in de ster voor een ster met 1M (links)en met 15M (rechts)

Figuur 7.3: Het verloop van de dichtheid ρ(r) als functie van de positie in de ster voor een ster met 1M(links) en met 15M (rechts)

109

Figuur 7.4: Het verloop van de temperatuur T (r) als functie van de positie in de ster voor een ster met 1M(links) en met 15M (rechts)

Figuur 7.5: Het verloop van de lichtkracht l(r) als functie van de positie in de ster voor een ster met 1M(links) en met 15M (rechts)

110

samenstelling nog steeds geldt voor de gebieden met r > 0.2R. Het verloop van de massa, dichtheid,druk, temperatuur en lichtkracht zijn nauwelijks veranderd.

111

112

DEEL II: STEREVOLUTIE

113

Hoofdstuk 8

Stervorming

8.1 Het interstellair medium

Het bestaan van interstellaire materie werd zowat een eeuw geleden voor het eerst aangetoond aan de handvan de dubbelster δOrionis. Ten gevolge van de beweging van twee componenten in een dubbelstersysteemzien we de spectraallijnen van elk van de sterren heen en weer bewegen in golflengte volgens de baanbe-weging. Metingen van de spectraallijnen van δOrionis vertoonden een absorptielijn van Calcium die nietmet de andere lijnen meebeweegt. Hieruit concludeerde Hartman in 1904 terecht dat deze absorptielijnveroorzaakt moet worden door materie dat zich tussen δOrionis en de aarde bevindt.

Een andere aanwijzing voor het bestaan van materie tussen de sterren leveren de donkere gebiedenin de Melkweg. Aanvankelijk dacht men dat deze gebieden, waar we veel minder sterrren zien, ster-armeomgevingen waren. Maar in werkelijkheid gaat het om gebieden waar concentraties van stof het sterlichttegenhouden. In de richting van zulke donkere wolken kunnen we alleen de sterren zien die voor de wolkstaan, waardoor we er in die richting minder in aantal zien.

Naast interstellair stof treedt overal in de ruimte ook interstellair gas op. Het wordt waargenomen in devorm van zeer smalle absorptielijnen in de spectra van sterren. Het gas heeft dezelfde samenstelling als dezevan jonge sterren. De gemiddelde dichtheid van het gas is uiterst gering, ongeveer 1 atoom per cm3 en detemperatuur bedraagt ongeveer 1000 K. Het bestaat dan ook voornamelijk uit neutrale atomen, overwegendH. In de buurt van hete sterren is het gas door de UV straling geıoniseerd en verhit tot ongeveer 10 000 K.Dit gebeurt als volgt: een neutraal H atoom absorbeert een UV foton met een energie E > 13.6 eV. Hetenergieverschil E − 13.6 eV wordt meegegeven als kinetische energie met het elektron dat vrijkomt. Doorde botsingen met andere elektronen en protonen wordt deze kinetische energie verdeeld over het gas.

De interstellaire materie is niet homogeen verdeeld in de ruimte, maar is geconcentreerd in het melk-wegvlak, meer bepaald in de spiraalarmen. Bovendien komen lokale concentraties voor: interstellaire wol-ken. Deze hebben een diameter van ongeveer 10 parsec en een dichtheid van ruwweg 10 atomen per kubieke

115

cm. De interstellaire wolken zijn kouder dan het ijle gas omdat de straling die voor verhitting zorgt er nietin kan doordringen. In dichte interstellaire wolken kunnen eveneens moleculen voorkomen, vooral H2 en inveel mindere mate ook complexere moleculen zoals CH3OH en H2CO. Men spreekt dan van moleculairewolken.

Uit gedetailleerde studies van de absorptie-eigenschappen van het interstellair stof blijkt dat dit bestaatuit minuscule koolstofkorreltjes (roet) of silicaatkorrels (zand) met een diameter van ongeveer 1µm enomgeven door een dun laagje ijs (H2O). De massa van de interstellaire wolken ligt tussen 100 en 105 M,maar de stofdeeltjes maken daar slechts een kleine fractie van uit (slechts 1%). De andere 99% bestaat uitneutraal H of H2 moleculen en He atomen.

Sterren worden gevormd op basis van materiaal in moleculaire wolken. Dit gebeurt wanneer zulk eenwolk gravitationeel instabiel wordt en ineenstort. Deze wolken zijn ondoorzichtig voor visuele straling.Daarom is het precieze verloop van de vorming van jonge sterren slecht gekend. In de nabije toekomstzullen steeds betere infrarood- en mm-detectoren in gebruik genomen worden. Wellicht zal hierdoor onzekennis over stervorming snel toenemen. We leiden nu eerst een criterium af waaraan moet voldaan zijnopdat zulk een ineenstorting kan plaatsgrijpen. Vervolgens bespreken we de verschillende stadia tussen deineenstorting en de geboorte van een nieuwe ster.

8.2 Het Jeanscriterium

Beschouwen we in eerste instantie een oneindig uitgestrekt homogeen gas in rust. De dichtheid, tempera-tuur en gravitatiepotentiaal zijn dan overal constant. Dit is echter geen stabiele evenwichtstoestand omdat devergelijking van Poisson, ~∇2Φ = 4πGρ dan oplegt dat ρ = 0. Toch beschouwen we voorlopig deze even-wichtstoestand met een dichtheid die verschilt van nul. Zelfs voor een realistischere evenwichtsconfiguratiewijkt het resultaat niet af van hetgeen we hier bekomen.

Passen we nu een storing toe op het medium in rust. Deze storing kan bijvoorbeeld veroorzaakt wordendoor een supernova explosie in de buurt of door de passage van een dichtheidsgolf, welke de spiraalarmen inde melkweg veroorzaken. Het gas moet dan voldoen aan de bewegingsvergelijking van de hydrodynamica

d~v

dt=∂~v

∂t+ (~v.~∇)~v = −1

ρ~∇P − ~∇Φ (8.1)

en aan de continuıteitsvergelijking∂ρ

∂t+ ~v.~∇ρ+ ρ~∇.~v = 0. (8.2)

Bovendien moet voldaan zijn aan de vergelijking van Poisson en onderstellen we dat de toestandsvergelij-king voor een ideaal isotherm gas geldig is :

P = a2ρ, (8.3)

met a de isotherme geluidssnelheid, zie uitdrukkingen (2.49) en (2.50). In evenwicht hebben we ρ =ρ0 =constant, T = T0 =constant en ~v0 = ~0. Φ0 wordt bepaald uit de voorwaarde ~∇2Φ0 = 4πGρ0.

116

We verstoren nu het evenwicht en bepalen het effect van deze storing op de grootheden. Hierbij be-schouwen we enkel een kleine storing zodat we niet-lineaire effecten van de storing mogen verwaarlozen.De grootheden worden nu geschreven als

ρ = ρ0 + ρ1, P = P0 + P1, Φ = Φ0 + Φ1, ~v = ~v1, (8.4)

waarbij de functies met benedenindex 1 nu een ruimtelijke en tijdsafhankelijkheid hebben. Vervangen wenu (8.4) in de vergelijkingen waaraan moet voldaan blijven, dan vinden we het volgend stelsel differentiaal-vergelijkingen:

∂~v1

∂t= −~∇

(Φ1 + a2 ρ1

ρ0

),

∂ρ1

∂t+ ρ0

~∇.~v1 = 0,

~∇2Φ1 = 4πGρ1.

(8.5)

Hierbij hebben we ondersteld dat de verstoring isotherm gebeurt. Deze benadering is goed zolang de wolkin staat is om de vrijgekomen gravitationele energie efficient uit te stralen. Het stelsel (8.5) is een stelselvan lineaire homogene partiele differentiaalvergelijkingen met constante coefficienten. We kunnen daaromoplossingen vinden die evenredig zijn met exp[i(kx + ωt)] zodat

∂

∂x= ik,

∂

∂y=

∂

∂z= 0,

∂

∂t= iω. (8.6)

Met v1x = v1, v1y = v1z = 0 vinden we op basis van het stelsel (8.5) de volgende vergelijkingen:

ωv1 +ka2

ρ0ρ1 + kΦ1 = 0,

kρ0v1 + ωρ1 = 0,

4πGρ1 + k2Φ1 = 0.

(8.7)

Dit homogeen lineair stelsel van drie vergelijkingen voor de drie onbekenden v1, ρ1,Φ1 heeft enkel oplos-singen verschillend van nul indien de determinant

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ωka2

ρ0k

kρ0 ω 0

0 4πG k2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

nul is. Voor k 6= 0 impliceert dit de voorwaarde

ω2 = k2a2 − 4πGρ0. (8.8)

Voor voldoende grote golfgetallen k is het rechterlid van deze vergelijking positief zodat we storingen heb-ben die periodisch varieren in de tijd (reele eigenwaarde ω). Vermits de amplitude niet toeneemt is deevenwichtstoestand stabiel t.o.v. deze storingen. In de limiet voor oneindig grote k is de tweede term inhet rechterlid van (8.8) te verwaarlozen, zodat ω2 = k2a2, welke de dispersievergelijking voor isotherme

117

geluidsgolven is. Het is inderdaad zo dat voor zeer korte golven de invloed van de gravitatie kan verwaar-loosd worden. Elke vorm van samendrukking zal in dit geval hersteld worden door een verhoogde druk ende storingen reizen met de geluidssnelheid door het medium.

Wanneer k2 < 4πGρ0/a2 is de waarde ω van de vorm ±iξ met ξ een reeel getal. Er treden dan

storingen op ∼ exp(±ξt) die exponentieel groeien of uitdoven in de tijd zodat het evenwicht verbrokenwordt. We definieren nu een karakteristiek golfgetal kJ en een karakteristieke golflengte λJ:

k2J ≡

4πGρ0

a2, λJ ≡

2π

kJ. (8.9)

De storingen met golfgetal k < kJ (of golflengte λ > λJ) veroorzaken een instabiliteit. Er treedt dus eeninstabiliteit op wanneer

λ > λJ met λJ =

(π

Gρ0

)1/2

a. (8.10)

Voorwaarde (8.10) noemt men het Jeans criterium, genoemd naar J. Jeans die dit criterium afleidde in 1902.

Fysisch gebeurt het volgende: na een kleine samendrukking van een stel plan-parallelle lagen overwintde gravitatie de invloed van de druk en worden de lagen samengedrukt tot zeer dunne zones. Het tempowaarmee deze samendrukking gebeurt kunnen we schatten door in (8.8) enkel rekening te houden met de opdat ogenblik overheersende invloed van de gravitatie. We hebben dan iω ≈ √Gρ0 en de overeenkomendetijdschaal bedraagt τ ≈ 1/

√Gρ0. Deze komt overeen met de vroeger gedefinieerde tijdschaal voor vrije

val (3.24). Daarentegen is de tijdschaal voor thermische aanpassing veel korter. Deze bedraagt enkelehonderden jaren voor interstellaire wolken bestaande uit neutraal waterstof. Dit betekent dat bij goedebenadering de ineenstorting isotherm gebeurt.

Men kan tonen dat het Jeans criterium nog steeds geldt voor realistischere configuraties, zoals eensferisch symmetrische gaswolk. Afhankelijk van de veronderstelde geometrie zullen de factoren in de uit-drukking (8.9) van λJ dan een weinig veranderen.

Voor een gegeven evenwichtstoestand bestaat er een kritische massa, de Jeans massa. Gaswolkenmet massa groter dan de Jeans massa zijn gravitationeel instabiel en zullen bij een kleine samendrukkinginstorten. We kunnen de Jeans massa als volgt afschatten:

MJ =4π

3ρ0λ

3J

=4π

3ρ0

(π

Gρ0

)3/2 (RTµ

)3/2

=4π

3

(RπGµ

)3/2

T 3/2ρ−1/20

≈ 5× 105M

(T

100K

)3/2 ( ρ0

10−24gcm−3

)−1/2

µ−3/2,

(8.11)

waarbij we gebruikt hebben dat a2 = RT/µ. Typische waarden voor interstellaire wolken bestaande uitneutraal waterstof zijn: ρ0 = 10−24 g cm−3, T = 100 K, en µ = 1. Hiermee bekomen we voor de Jeans

118

massa MJ ≈ 5 × 105 M. Dit betekent dat enkel massa’s die aanzienlijk groter zijn dan stellaire massa’skunnen ineenstorten ten gevolge van het Jeans criterium.

8.3 Fragmentatie

Hoe worden nu sterren gevormd uit een gaswolk die gravitationeel ineenstort ? Men neemt aan dat een wolkmet massa groter dan de Jeans massa die ineenstort onderhevig is aan een proces van fragmentatie. Hiermeebedoelen we dat er tijdens de ineenstorting fragmenten ontstaan die zelf instabiel worden en die aan eenhoger tempo dan de wolk zelf in mekaar storten. Indien dit proces inderdaad optreedt, impliceert dit datkleinere deelmassa’s uit de wolk kunnen condenseren.

Zoals reeds eerder opgemerkt gebeurt de ineenstorting isotherm. Hieruit volgt dat de Jeans massa daaltals ρ−1/2 tijdens de samentrekking, m.a.w. de Jeans massa wordt kleiner dan de oorspronkelijke massa vande gaswolk. Wanneer de Jeans massa dan kleiner geworden is dan de helft van de oorspronkelijke massa,kan de wolk zich fragmenteren in twee deelwolken die elk ineenstorten. Zulke fragmentatie kan zich verderzetten zolang de ineenstorting isotherm blijft verlopen. We merken wel op dat het Jeans criterium afgeleidwerd voor een medium in evenwicht en de theorie dus niet strikt toepasbaar is voor een wolk die reeds aanhet samentrekken is.

Vraag is nu wat de eindprodukten zijn van het fragmentatieproces ? Een oplossing zoeken op basis vande vergelijkingen van de hydrodynamica en thermodynamica voor zulk een samentrekkende wolk zou onsveel te ver leiden. We beperken onze redenering daarom tot het uitzoeken op welk ogenblik de tijdschaalvan thermische aanpassing vergelijkbaar wordt met de tijdschaal van vrije val. Op dat ogenblik zal de in-eenstorting niet meer isotherm, maar wel adiabatisch gebeuren. Voor een mono-atomisch ideaal gas hebbenwe dat ∇ad = 2/5, zodat T ∼ P 2/5 en vermits P ∼ ρT verandert de temperatuur dan als T ∼ ρ2/3. DeJeans massa is dan evenredig met T 3/2ρ−1/2 ∼ ρ1/2. We vinden dus dat de Jeans massa toeneemt tijdenseen adiabatische ineenstorting. Hierdoor zullen de reeds ontstane deelwolken niet verder opsplitsen en zalde fragmentatie stoppen.

De karakteristieke tijdschaal voor vrije val van een fragment bedraagt (Gρ)−1/2. Anderzijds is de totaleenergie die dient uitgestraald te worden om een constante temperatuur te kunnen bewaren van de orde van degravitationele potentiele energie Eg ≈ GM2/R, waarbij M en R de massa en de “straal” van het fragmentzijn. Er dient dus een energie A van de orde

A ≡ GM2

R(Gρ)1/2 =

(3

4π

)1/2 G3/2M5/2

R5/2(8.12)

per tijdseenheid uitgestraald te worden opdat de fragmentatie isotherm zou verlopen. Onderstellen we nuthermisch evenwicht, wat een goede benadering is aan het eind van het fragmentatieproces omdat de materiedan opaak begint te worden. Dan echter, kan het fragment niet meer energie uitstralen dan een zwarte stralermet dezelfde temperatuur. Het fragment straalt dus een energie uit gegeven door B = 4πfσT 4R2, metσ de constante van Stefan-Boltzmann (zie Bijlage A) en f een getal tussen 0 en 1 waarmee we in rekeningbrengen dat er minder energie wordt uitgestraald dan voor een zwarte straler. De voorwaarde voor isotherme

119

ineenstorting is A B en de overgang naar adiabatische samentrekking zal gebeuren bij A ≈ B. Dezelaatste voorwaarde is voldaan bij

M5 =64π3

3

σ2f2T 8R9

G3. (8.13)

We kunnen dus aannemen dan de fragmentatie stopt wanneer de Jeans massa gelijk is aan de massa gegevenin (8.13). We vervangen daarom M in (8.13) door MJ, R door (3MJ/4πρ)1/3 en elimineren ρ met behulpvan uitdrukking (8.11). We bekomen zo de Jeans massa op het eind van de fragmentatie:

MJ,einde =

(46π15

38

)1/41

(σG3)1/2

(Rµ

)9/4

f−1/2T 1/4 = 0.17MT 1/4

f1/2, (8.14)

waarbij we µ = 1 genomen hebben. Nemen we nu een typische temperatuur van 1 000 K voor de tempera-tuur van de kleinste fragmenten. Veronderstellen we vervolgens dat afwijkingen van een isotherme toestandoptreden voor f = 0.1, dus wanneer het energieverlies 10% bedraagt van het maximaal mogelijke energie-verlies. We bekomen dan een Jeans massa aan het eind van het fragmentatieproces die gelijk is aan 3M.Dit resultaat verandert niet veel wanneer we de temperatuur en f -waarde laten varieren binnen de toegelatengrenzen. We besluiten dus dat fragmentatie ophoudt op het ogenblik dat de fragmenten een massa hebbenvan de orde van een zonsmassa, niet van de orde van een planeet en ook niet van de orde van een stercluster.

8.4 De vorming van een protoster

Het Jeans criterium dat we hebben afgeleid is gebaseerd op een eerste-orde storingsmethode en geeft devoorwaarden waaronder een storing van een evenwichtstoestand exponentieel groeit. Deze theorie geeftechter geen informatie over het eindproduct van de ineenstorting. We overlopen nu de verschillende stadiavanaf de ineenstorting tot de geboorte van de ster.

Wanneer het fragmentatieproces beeindigd wordt blijven de verschillende fragmenten, welke wordenvoorgesteld in figuur 8.1a, verder gravitationeel ineenstorten. De gravitatie heeft nog steeds de bovenhand ende drukgradient kan in eerste instantie verwaarloosd worden. We kunnen deze ineenstorting dan benaderenals een vrije val van een homogene sfeer. De tijdschaal waarop de vrije val plaatsvindt is zeer vergelijkbaarmet de tijdschaal die men vindt wanneer we het plots wegvallen van de drukkracht beschouwen in de bewe-gingsvergelijking en bedraagt ongeveer 107 jaar. Deze tijdschaal is niet meer nauwkeurig nabij het centrumvan het fragment, vermits de druk daar belangrijk wordt, waardoor de ineenstorting stopt.

Volgen we nu het proces van ineenstorting voor een homogene wolk met een massa van 1M nadathet fragmentatieproces beeindigd werd. In goede benadering houdt de instabiliteit de buitenlagen van desfeer op een quasi-constante straal terwijl de binnenste materie een vrije val kan ondergaan. Hierdoor stijgtde dichtheid in de centrale gedeelten enorm snel, terwijl de dichtheid nauwelijks varieert in de buitensteregionen van het fragment. Eens een kleine centrale concentratie ontstaan is zal ze onherroepelijk aangroeienen is een irreversibel proces gestart. De vrije-val tijd voor de sfeer binnen straal r is van de orde [Gρ(r)]−1/2

waarbij ρ staat voor de gemiddelde dichtheid binnen de sfeer met straal r. Wanneer ρ toeneemt naar hetcentrum toe daalt de vrije-val tijd in die richting. Daarom zullen de binnenste sferen veel sneller invallen

120

Figuur 8.1: De verschillende fasen van het stervormingsproces. Voor details: zie tekst.

121

dan de buitenste lagen en wordt het dichtheidsverschil nog meer uitgesproken. Uiteindelijk zal het fragmentevolueren van een dichtheidsverdeling ρ =constant naar ρ ∼ r−2.

De ineenstorting van het centrale deel gebeurt in vrije val zolang het materiaal de gravitationele ener-gie kan kwijtspelen. Een deel van deze energie wordt uitgestraald in het infrarood. Een ander gedeeltewordt opgeslagen onder de vorm van differentiele rotatie. Materiaal met een klein impulsmoment zal eendynamische ineenstorting blijven ondergaan op de tijdschaal van vrije val. Daarentegen zal de materie aande buitenkant van het fragment een veel groter impulsmoment hebben. Het kan hierdoor niet invallen enbegeeft zich in een schijf omheen de ster in wording (zie figuur 8.1b).

Een verdere toename van de dichtheid zal een adiabatische stijging van de temperatuur veroorzaken.Hierdoor zal de druk stijgen totdat de vrije val gestopt wordt. Hierdoor ontstaat een centrale kern in hy-drostatisch evenwicht omgeven door een nog steeds ineenstortende enveloppe. Op dit moment bedraagt demassa van de kern ongeveer 1/200M, de straal is ongeveer 1000R. Typische waarden voor de centraledichtheid en temperatuur zijn ρc = 2×10−10 g cm−3, Tc = 170 K. De snelheid van vrije val aan de rand vande kern bedraagt zo’n 75 km/s. Wanneer de massa van de kern blijft stijgen en de straal ervan dalen, dan zaldeze snelheid de geluidssnelheid in de kern overstijgen. Er zal zodoende een schokgolf gevormd worden diehet hydrostatisch “inwendige” scheidt van de supersonische “regen” op de kern. In dit schokfront komt hetinvallend materiaal tot stilstand en geeft het zijn kinetische energie af aan de kern. Op die manier verwarmtde accreterende kern.

In de kern bestaat het gas hoofdzakelijk uit waterstof in moleculaire vorm. Wanneer, echter, de tempe-ratuur stijgt tot zo’n 2 000 K, zullen de H2 moleculen dissocieren. We krijgen dan een mengsel van atomairen moleculair waterstof. Bij de aanvang van dit dissociatieproces zal het grootste gedeelte van de energiedie via de schokgolf geınjecteerd wordt in de kern gebruikt worden om alle waterstof verder te dissocieren.De schokgolf sterft hierdoor snel uit, vooraleer de buitenste lagen van het fragment te bereiken. Op hetogenblik van sterke dissociatie wordt vervolgens het hydrostatisch evenwicht in de kern verbroken, waar-door deze laatste opnieuw begint te contraheren. Dit gebeurt op het ogenblik dat de massa van de kernongeveer verdubbeld is en de straal ervan gehalveerd. Deze tweede ineenstorting duurt verder zolang hetgas partieel gedissocieerd is. Wanneer alle waterstof omgevormd is tot atomaire vorm heeft er zich eendynamisch stabiele deelkern in de ster-in-wording gevormd. Deze deelkern heeft een massa van ongeveer1.5×10−3M en een straal van 1.3R. De centrale dichtheid is nu gestegen tot ongeveer 2×10−2 g cm−3

en de centrale temperatuur bedraagt zo’n 2 × 104 K. Opnieuw vormt zich aan de rand van de deelkern eenschokfront. Dit front is veel energetischer dan het eerste en reikt nu wel tot het oppervlak van het fragment:de vroege protoster vertoont nu een lichtkracht. Een schematische voorstelling van het ontstaan van de tweeschokfronten is gegeven in figuur 8.2.

De evolutie van de kern van een fragment met massa 1M, startende van de originele Jeans instabili-teit, wordt schematisch weergegeven in figuur 8.3. De evolutie start links met een isotherme ineenstorting.Nadat het materiaal opaak wordt, stijgt de temperatuur adiabatisch. De temperatuursstijging wordt afge-vlakt door de dissociatie van H2. De centrale compressie verloopt adiabatisch zolang de accretietijdschaalvan de kern (of van de deelkern indien die reeds bestaat) kort blijft in vergelijking met de tijdschaal vanHelmholtz-Kelvin. Hoe meer uitputting van moleculair waterstof er optreedt in de enveloppe, hoe langerde accretietijdschaal wordt. Op een gegeven moment zal deze de Helmholtz-Kelvin tijdschaal overschrij-den, zal de kern in thermisch evenwicht komen en zal de adiabatische evolutie ophouden: een protoster is

122

Figuur 8.2: De ineenstorting van een gaswolk met massa 1M. (a) Na zo’n 1.3 × 1013 seconden heeftde wolk een dichte opake kern gevormd. De ineenstorting stopt aan de rand van die kern en er ontwikkeltzich een schokfront tussen de kern, welke in hydrostatisch evenwicht is, en de enveloppe die nog steedsvrije val ondergaat. (b) Wanneer de kern dynamisch instabiel wordt door H2 dissociatie ontstaat een tweedeineenstorting van de kern, waardoor ook een tweede schokfront zich ontwikkelt, maar nu bij veel kleinerer. (c) Het verloop van de snelheidsmodulus |v| (in cm s−1) en de dichtheid ρ (in g cm−3) t.o.v. r (incm). De gebieden van de schokgolven worden gekarakteriseerd door grote variaties in het verloop van desnelheidskromme.

123

Figuur 8.3: De centrale evolutie van een wolk met massa 1M vanaf de isotherme ineenstorting tot deontbranding van waterstof. De centrale temperatuur Tc (in Kelvin) wordt getoond als functie van de centraledichtheid ρc (in g cm−3). De puntjeslijn is een extrapolatie welke aanduidt dat de fase van thermischeaanpassing, die volgt na de adiabatische samendrukking, uitmondt in de ontbranding van waterstof in dekern.

geboren en heeft nu een zo goed als constante massa.

Zolang de protoster nog een centrale temperatuur heeft beneden diegene nodig voor het initieren vanwaterstofverbranding moet de ster haar energieverlies overeenkomend met de uitgestraalde lichtkracht uitde contractie halen. Een gedeelte van de gravitationele energie wordt omgezet naar inwendige energie eneen ander gedeelte is verantwoordelijk voor de lichtkracht van de ster.

Vraag is nu wanneer de nieuwe ster effectief “geboren” wordt uit de protoster. Anders geformuleerd:wanneer bereikt de protoster de nulhoofdreeks ? De nulhoofdreeks wordt gedefinieerd als zijnde de locatiein het HR diagram waar de ster het proces van waterstofverbranding start. Dit is een belangrijk moment inhet leven van de ster, aangezien de inwendige structuur van het object op dat moment een reorganisatie ver-eist. Dit is het gevolg van het feit dat er nu twee energiebronnen voorhanden zijn, gravitationele en nucleaireenergie, welke elk een totaal verschillende impact op de sterstructuur hebben. Zo is de gravitationele ener-gieproductie εg ∼ T terwijl de processen van waterstofverbranding veel meer geconcentreerd zijn naar hetstercentrum toe met temperatuursafhankelijkheden gegeven door εpp ∼ T 5 en εCNO ∼ T 18. De nucleaireenergie neemt al gauw de bovenhand en de evolutie van de ster wordt vanaf dat moment helemaal geregeerddoor de waterstofverbranding. Op dat ogenblik doet de “thermische geschiedenis” van de ster er niet meertoe. De sterstructuur zal zich aanpassen en thermisch evenwicht bereiken na een Helmholtz-Kelvin tijd.Vermits de tijdsduur die de ster zal doorbrengen op de hoofdreeks vele orden van grootte langer is vestigtde ster zich onafhankelijk van haar verleden op de nulhoofdreeks.

We maken eerst even een zijsprong om te kunnen antwoorden op de vraag wat er met een protosterprecies gebeurt alvorens ze de nulhoofdreeks bereikt.

124

8.5 Het Hayashispoor in het HR diagram

We beschouwen nu even het limietgeval van volledig convectieve sterren. Dit zijn sterren waarvoor de con-vectieve zone zich uitstrekt van de sterkern tot aan de fotosfeer terwijl enkel de steratmosfeer radiatief blijft.Het Hayashi spoor is die plaats in het HR diagram waar volledig convectieve sterren voor een gegeven massaen chemische samenstelling voorkomen. Er bestaat een apart Hayashi spoor voor elke massa en chemischesamenstelling. De Hayashisporen zijn rechts in het HR diagram gesitueerd, bij effectieve temperaturentussen 3 000 en 5 000 K. Een goede benadering voor de Hayashi sporen in het HR diagram is

log Teff = 0.05 log L+ 0.2 logM + constante. (8.15)

De helling van een Hayashi spoor is ∂ logL/∂ log Teff = 20. Dit toont dat alle Hayashi sporen een zeersteile helling hebben. De waarde van ∂ log Teff/∂ logM = 0.2 impliceert dat een Hayashi spoor voorbepaalde massa naar links in het HR diagram verschuift wanneer de massa stijgt.

De exacte bepaling van de Hayashi sporen hangt niet alleen af van de massa en chemische samenstellingvan de ster, maar evenzeer van de details van de gebruikte convectietheorie. We tonen in figuur 8.4 Hayashisporen voor stermassa’s gaande van 0.5 tot 10M. We stellen vast dat de sporen inderdaad een steile hellinghebben. Hun preciese lokatie hangt af van de lichtkracht van de ster. De Hayashi sporen zijn zeer vervan de hoofdreeks gelegen voor hoge stellaire massa’s en naderen de hoofdreeks bij lage massa’s. Voormassa’s beneden 0.25M treden volledig convectieve hoofdreekssterren op. Voor deze lage massa’s snijdthet Hayashispoor inderdaad de hoofdreeks.

Het Hayashi spoor duidt een grens aan tussen een toegelaten en verboden gebied in het HR diagram.Posities rechts van het Hayashi spoor kunnen niet voorkomen voor een ster in hydrostatisch evenwicht dietevens in convectief evenwicht is. Met dit laatste bedoelen we dat de variaties van grootheden verbondenmet convectieve cellen zo traag verlopen dat de convectie voldoende tijd heeft gehad om zich aan te passenaan de nieuwe situatie. Vermits hydrostatisch en convectief evenwicht zich zeer snel herstelt, kunnen sterrenzich slechts gedurende zeer korte tijd rechts van het Hayashi spoor bevinden.

Tijdens sommige fasen van de sterevolutie kunnen de sterren zeer dicht naderen tot, of zelfs samenval-len met het Hayashi spoor. De ligging van de Hayashisporen beınvloedt dan ook de sterevolutie.

8.6 Evolutie van de protoster naar de nulhoofdreeks

Na de dynamische fase beschreven in sectie 8.4 bereikt de protoster een quasi-hydrostatisch evenwicht. Zecontraheert nu traag op de tijdschaal van Helmholtz-Kelvin terwijl ze nog de laatste resten materie blijft ac-creteren. De verdere evolutie van de ster is afhankelijk van de massa van de protoster. Immers de Helmholtz-Kelvin tijdschaal wordt nu vooral bepaald door de stermassa: τHK ≈ M−2.5 is een goede benadering vooreen protoster. Dit betekent dat massieve protosterren veel sneller op de nulhoofdreeks zullen aankomen invergelijking met hun minder zware collega’s. Het is inderdaad zo dat het HR diagram van jonge clustersvan sterren (bijvoorbeeld de Pleiaden) toont dat de massieve sterren reeds op de nulhoofdreeks beland zijn

125

Figuur 8.4: De positie van de Hayashisporen voor sterren met massa tussen 0.5 en 10M, voor een chemi-sche samenstelling X = 0.739, Y = 0.24, Z = 0.021. De hoofdreeks is eveneens aangeduid ter vergelij-king.

126

terwijl de minder massieve sterren zich nog in hun contractiefase bevinden vermits ze duidelijk rechts vande hoofdreeks gelegen zijn. Vele van deze sterren blijken T Tauri sterren te zijn (zie verder).

Voor massieve sterren met een massa groter dan 9M is de Helmholtz-Kelvin tijdschaal korter dan detijdschaal van de invallende materie. De ster bereikt reeds de hoofdreeks, d.w.z. dat de centrale temperatuurhoog genoeg is voor het eerste kernfusieproces van vier waterstofkernen tot een heliumkern, terwijl er nogmaterie-inval plaatsvindt. Door de kernreacties komt er stralingsenergie vrij die zorgt voor een grote drukop de invallende materie. Hierdoor stopt de accretie volledig. Massieve sterren worden zodoende pasoptisch zichtbaar wanneer ze reeds op de hoofdreeks zijn aanbeland. Ze hebben geen pre-hoofdreeksfase,geen optisch zichtbare fase voor de hoofdreeks. Hierdoor geven ze niet veel informatie prijs over hunvormingsproces.

Protosterren met een lagere stellaire massa hebben een veel langere Helmholtz-Kelvin tijdschaal. Ditimpliceert dat deze protosterren hun accretiefase beeindigen vooraleer ze de hoofdreeks bereiken. Beschou-wen we eerst protosterren met een massa beneden 2M. Wanneer deze protoster verder samentrekt enmassa accreteert neemt de centrale temperatuur Tc toe. Op het ogenblik dat Tc ∼ 106 K zal een deel vanhet verbrandingsproces van waterstof in gang gezet worden. Er wordt deuterium verbrand tot 3He volgensde pp reactie. De volgende reactie van de pp keten, nl. 3He verbranding, vereist een temperatuur van 107 K,dus deze reactie vindt nog niet plaats. Als reactie op de verhitting door deuteriumverbranding begint de sterconvectief te worden. Eerst wordt ze convectief in de kern, maar later breidt de convectieve zone zich uit totde hele ster.

Er zijn nu twee ingredienten die zorgen voor de afvoer van de beschikbare energie: differentiele rotatieen convectie. De combinatie van beiden wekt een chaotisch magneetveld op aan het proto-steroppervlak,wat zorgt voor een protosterrenwind. De wind ontsnapt langs de poolas omwille van de gevormde schijfin het equatorvlak. Zo ontstaat een bipolaire uitstroom (figuur 8.1c), welke het accretieproces doet stoppen.De ster is een pre-hoofdreeksster geworden. Ze ontdoet zich vervolgens van haar cocon (figuur 8.1d) enverschijnt in dit stadium als optisch zichtbare bron. De ster verschijnt in het HR diagram op het Hayashispoor. Zulke optisch heldere pre-hoofdreekssterren worden T Tauri sterren genoemd.

Er blijft nu nog de evolutie van protosterren met een massa tussen 2 en 9M. De waterstofverbrandingin zulke sterren verloopt niet via de pp keten maar wel via de CNO cyclus. Hierdoor wordt er geen deuteriumverbrand en vormt er zich geen convectieve zone. Zij begeven zich via een radiatieve fase van contractienaar de hoofdreeks. Ondanks het feit dat er geen convectie optreedt neemt men toch actieve fenomenenen sterrenwinden waar in deze zogenaamde Herbig Be/Ae sterren. De preciese oorzaak hiervan is nog nietgekend.

In figuur 8.5 tonen we de evolutiesterren van protosterren tot aan de hoofdreeks voor verschillendemassa’s. Tabel 8.1 geeft de overeenkomstige evolutionaire leeftijden van de modellen, volgens de labelsaangeduid in figuur 8.5. Het starttijdstip van de berekening komt overeen met het instellen van hydrostatischevenwicht in de protoster.

In latere fasen verdwijnt de stofschijf omheen de pre-hoofdreeksster. Het is vooralsnog niet helemaalduidelijk op welke manier dit gebeurt. De vorming van een planetenstelsel is een van de mogelijke scena-rio’s. Het is voorlopig nog niet geweten of de vorming van een planetensysteem in dergelijke schijven een

127

Figuur 8.5: Evolutiesporen van pre-hoofdreekssterren in het HR diagram voor stermodellen met massa tus-sen 0.5 en 15M. De onderstelde chemische samenstelling bedraagt X = 0.708, Z = 0.02. De tijdsduurom de aangeduide punten te bereiken wordt voor sommige modellen gegeven in Tabel 8.1.

128

punt 15 9 5 3 1

1 6.74 × 102 1.44 × 103 2.94 × 104 3.42 × 104 1.19 × 105

2 3.77 × 103 1.47 × 104 1.07 × 105 2.08 × 105 1.06 × 106

3 9.35 × 103 3.65 × 104 2.00 × 105 7.63 × 105 8.91 × 106

4 2.20 × 104 6.99 × 104 2.86 × 105 1.14 × 106 1.82 × 107

5 2.66 × 104 7.92 × 104 3.14 × 105 1.25 × 106 2.53 × 107

6 3.98 × 104 1.02 × 105 3.88 × 105 1.47 × 106 3.42 × 107

7 4.59 × 104 1.20 × 105 4.56 × 105 1.74 × 106 5.02 × 107

8 6.17 × 104 1.51 × 105 5.76 × 105 2.51 × 106 –

Tabel 8.1: Evolutionaire leeftijden (in jaren uitgedrukt) voor sommige van de modellen met aangegevenmassa’s getoond in figuur 8.5. De tabel geeft de tijdsduur die nodig is om de aangeduide punten te berei-ken, vanaf het ogenblik dat hydrostatisch evenwicht zich instelt in de protoster tot aan de aankomst op dehoofdreeks.

normaal dan wel een uitzonderlijk fenomeen is. Voor meer details omtrent planeetvorming verwijs ik naarde cursus Het zonnestelsel gedoceerd in het tweede semester van de eerste licentie.

We merken tenslotte nog op dat een contraherende sfeer met een massa beneden een bepaalde limiet-massa nooit een centrale temperatuur van waterstofverbranding zal bereiken. Protosterren met een massabeneden 0.08M ontsteken nooit waterstof en geraken dus nooit op de hoofdreeks. De reden hiervoor is datdeze sterren volledig convectief worden tijdens de contractiefase. Immers, de contractie moet zorgen voorde te produceren lichtkracht zolang er geen kernreacties plaatsgrijpen. Er ontstaat zo een alsmaar stijgendedichtheid, die bij een ster met initiele massa beneden 0.08M leidt tot ontaarding alvorens waterstof ont-steekt. Deze ontaarding belet een verdere toename van de temperatuur, zodat deze laatste nooit hoog genoegkan worden opdat waterstofverbranding plaats kan grijpen. Zulke objecten noemt men bruine dwergen. Eenster in wording is dus gedoemd om een bruine dwerg te worden wanneer haar massa niet hoog genoeg is omwaterstofverbranding te ontsteken vooraleer ontaarding optreedt.

Bruine dwergen worden soms verantwoordelijk geacht voor de zogenaamde “ontbrekende massa” in hetheelal. Omwille van hun lage lichtkracht is het zeer moeilijk om zulke objecten waar te nemen. Zodoendezou een aanzienlijke fractie van de massa in het heelal aan de waarnemingen kunnen ontsnappen. Eennauwkeurige schatting van de massa die aanwezig is in het heelal is van groot belang voor het opstellen vancosmologische modellen. In die zin is de zoektocht naar bruine dwergen zeer actueel.

129

130

Hoofdstuk 9

De hoofdreeks

9.1 De nulhoofdreeks

We beschouwen nu een reeks van stermodellen in mechanisch en thermisch evenwicht met dezelfde chemi-sche samenstelling maar met verschillende massa. De sterren zijn aangekomen op de nulhoofdreeks zoalsgeschetst in vorig hoofdstuk en ondergaan waterstofverbranding in hun kern. Deze waterstofverbranding ishun energiebron gedurende zeer lange tijd en de sterren veranderen bijgevolg slechts op de tijdschaal τn. Inde veel kortere tijdspanne τHK “vergeet” de ster haar vormingsgeschiedenis.

De consumptie van waterstof in de kern gebeurt zodanig traag dat de ster bijna haar gehele levensloopdoorbrengt op de hoofdreeks. Daarom dat we de meeste sterren vinden tijdens hun hoofdreeksfase. Deleeftijd van de ster wordt steeds weergegeven t.o.v. de nulhoofdreeks (ZAMS: “zero-age-main-sequence”).

Evenwichtsmodellen van hoofdreekssterren in de fase van centrale waterstofverbranding kunnen be-paald worden aan de hand van het schema besproken in Hoofdstuk 7. In figuur 9.1 tonen we de positie vande sterren in het HR diagram voor een reeks in massa gaande van 0.1M tot 22M voor een chemischesamenstelling X = 0.685, Y = 0.294. De lichtkracht en effectieve temperatuur stijgt met stijgende mas-sa. We verkrijgen zo de gehele ZAMS. Zoals reeds blijkt uit figuur 9.1 bestaan er welbepaalde verbandentussen de oppervlaktewaarden voor de massa, de straal, de effectieve temperatuur en de lichtkracht voor deberekende modellen. We gaan hier nu wat dieper op in.

9.2 De massa-lichtkracht relatie

De massa-lichtkracht relatie voor de nulhoofdreeksmodellen getoond in figuur 9.1 wordt weergegeven alseen volle lijn in figuur 9.2. We stellen vast dat de lichtkracht fel toeneemt voor stijgende massa’s. Met hetoog op een interpolatie over een beperkt massa-interval kunnen we de massa-lichtkracht relatie schrijven in

131

Figuur 9.1: De nulhoofdreeks (ZAMS) in het Hertzsprung-Russell diagram voor stermodellen met X =0.685 en Y = 0.294. De posities van de modellen voor verschillende massa’s tussen 0.1 en 22M wordenaangeduid onderaan de ZAMS.

132

Figuur 9.2: De volle lijn duidt de massa-lichtkracht relatie aan voor de hoofdreeksmodellen getoond infiguur 9.1. Een vergelijking wordt gemaakt met componenten van dubbelsterren waarvan de massa’s nauw-keurig bepaald werden (zie Popper, D.M., Annual Review of Astronomy & Astrophysics, Volume 18, p. 115,1980). Driehoekjes: visuele dubbelsterren, puntjes: gescheiden dubbelsterren.

de vormL ∼Mη . (9.1)

De waarde van η hangt af van het beschouwde massa-interval. Wanneer we het gehele massa-intervalbeschouwen vinden we als beste benadering η ≈ 3.2. De helling van de volle lijn in figuur 9.2 verandertechter in functie van de massa. Zo vinden we bijvoorbeeld als beste waarde voor het massa-interval M ∈[1, 10]M η ≈ 3.35.

Vraag is nu hoe de theoretisch bepaalde massa-lichtkracht relatie aansluit bij de observationele versievan deze relatie. Om deze vraag te kunnen beantwoorden moeten we beschikken over een reeks sterrenwaarvan de massa en de lichtkracht (en dus de straal en de effectieve temperatuur) goed gekend zijn. Demeest nauwkeurige massa- en straalbepaling die voorhanden is, gebeurt aan de hand van dubbelsterren.Onder een dubbelster verstaan we een systeem van twee sterren die fysisch met elkaar verbonden zijn. Beidecomponenten bevinden zich dus op dezelfde afstand van ons. Verscheidene studies tonen aan dat minstensde helft van alle sterren behoren tot een meervoudig systeem. De binariteit heeft voor nauwe dubbelsterrenbelangrijke gevolgen voor de evolutie van de componenten. De invloed van deze binariteit op de evolutieen het bepalen van massa’s wordt bestudeerd in de cursus Gevorderde Astrofysica, gedoceerd tijdens de 2delicentie.

We bespreken nu de confrontatie van de theoretisch voorspelde en de waargenomen massa-lichtkrachtrelatie voor hoofdreekssterren. D. Popper (Annual Review of Astronomy & Astrophysics, Vol. 18, p. 115,1980) geeft een overzicht van de dubbelsterren op de hoofdreeks waarvan de massa’s het nauwkeurigst afge-leid konden worden. Deze lijst werd gebruikt om de theoretisch geconstrueerde massa-lichtkracht relatie tetoetsen. De observationeel vastgestelde massa-lichtkracht relatie wordt eveneens weergegeven in figuur 9.2.De driehoekjes verwijzen naar visuele (lage-massa) dubbelsterren terwijl de bolletjes de massievere dub-belsterren met duidelijk gescheiden componenten (“detached binaries”) aanduiden. We zien een zeer goede

133

Figuur 9.3: De volle lijn duidt de massa-straal relatie aan voor de hoofdreeksmodellen getoond in figuur 9.1.Een vergelijking wordt gemaakt met componenten van dubbelsterren waarvan de massa’s nauwkeurig be-paald werden. De symbolen hebben dezelfde betekenis als in figuur 9.2.

overeenkomst tussen de waargenomen dubbelsterren en de theoretisch gevonden relatie. Vermits we hiereen vergelijking maken tussen ZAMS modellen en echte sterren die reeds lang op de hoofdreeks kunnenverblijven is de overeenkomst bijzonder goed, zeker als men de bedenking maakt dat we te maken hebbenmet een bijzonder grote interval waarbinnen de massa en lichtkracht kunnen varieren: een factor van om enbij de 200 in massa en zowat 108 in lichtkracht !

Een ander verband dat we kunnen beschouwen is de massa-straal relatie voor nulhoofdreekssterren.We kunnen daarom een soortgelijk verband

R ∼M ξ (9.2)

beschouwen. Voor de sterren met massa’s lager dan die van de zon vinden we ruwweg ξ ≈ 0.8 terwijlvoor de massievere sterren ξ ≈ 0.57. De massa-straal relatie wordt voor de theoretisch berekende modellenopnieuw voorgesteld als een volle lijn in figuur 9.3. De confrontatie met de straal bepaald voor de dubbel-sterren geselekteerd door Popper toont weerom een goede overeenkomst. De waarnemingen zijn opnieuwweergegeven door middel van dezelfde symbolen als in figuur 9.2. Er is een duidelijke “knik” in de massa-straal relatie rond M = 1M. De reden is dat sterren met een effectieve temperatuur lager dan die van dezon plots een veel uitgebreidere convectiezone hebben nabij het steroppervlak, welke ondermeer voor eenstijging van de straal zorgt, waardoor de massa-straal relatie plots steiler wordt.

134

9.3 Chemische evolutie op de hoofdreeks

Tijdens de hoofdreeksfase wordt het energieverlies aan het steroppervlak gecompenseerd door de energie-productie ten gevolge van waterstofverbranding. Deze chemische evolutie van de ster heeft vooral betrek-king op het gebied in de onmiddellijke omgeving van de sterkern vermits de energieproductie sterk afhan-kelijk is van de temperatuur. Het centrale deel van de ster waarin de waterstoffusie plaatsvindt beslaat 20tot 30% van de stermassa. Wanneer convectie optreedt, echter, zorgen de turbulente bewegingen voor eenefficiente vermenging van het stermateriaal en wordt een groter volume beınvloed. In figuur 9.4 tonen wede situering van de convectiezones in functie van de stermassa. We zien dat er geen convectieve gebiedenoptreden rond de sterkern voor massa’s beneden een zonsmassa en dat de uitgebreidheid van de centraleconvectieve kern toeneemt met stijgende massa. Een andere, ruwere verdeling van de situering van de con-vectiezones volgens de stermassa wordt gegeven in figuur 9.5, waarbij de linkse schets geldt voor sterrenmet M ≥ 2M, de middelste voor 1M < M < 2M en de rechtse voor M < 1M.

Voor sterren met massa tussen 0.1 en 1M met een radiatieve kern is de verandering van de water-stofinhoud ten gevolge van de waterstofverbranding vrij gemakkelijk te bepalen. De variatie van XH vooreen bepaald massa element is evenredig met de lokale waarde van εH wanneer er geen vermenging optreedt.Dit betekent dat de verandering van de waterstofconcentratie na een tijdsinterval 4t gegeven wordt door4X ∼ εH4t. Op die manier is de chemische evolutie eenvoudig te volgen gedurende de waterstofverbran-ding. Aan het eind van van de hoofdreeksfase gaat X → 0 in het stercentrum.

Voor massievere sterren is de heliumproductie nog meer geconcentreerd naar het centrum toe vermitser een veel grotere temperatuursafhankelijkheid optreedt. Echter, de convectie in de centrale delen is daar zoefficient en snel dat de kern op elk tijdstip als homogeen kan beschouwd worden. Binnenin de kern krijgenwe dus 4X ∼ εH4t, waarbij εH een gemiddelde waarde voor de energieproductiesnelheid over de gehelesterkern voorstelt. De grootste moeilijkheid voor de bepaling van de verandering van de waterstofconcentra-tie is in dit geval de variatie van de positie van de convectieve laag tijdens het tijdsinterval 4t. Numeriekeberekeningen waarbij men dit effect zo goed mogelijk in rekening brengt tonen dat de convectieve kerninkrimpt naarmate de waterstofverbranding verder vordert. Verder stijgt de massa van de geproduceerdeheliumkern met stijgende stermassa.

De positie van de ster in het HR diagram verandert niet veel tijdens het proces van waterstofverbran-ding zolang de waterstofvoorraad in de kern nog niet uitgeput is. De tijd die een ster doorbrengt op dehoofdreeks hangt af van haar massa vermits de lichtkracht enorm afhankelijk van de massa is. Stellen wede energievoorraad die beschikbaar is door waterstofverbranding voor door EH, dan kan de ster gedurendeτH ≡ EH/L op de hoofdreeks blijven. Als ruwe benadering kunnen we aannemen dat een vaste fractie vande voorhanden massa van waterstof MH beschikbaar is voor de waterstofverbranding. In deze onderstellingis EH ∼ MH ∼ M . De lichtkracht L verandert nauwelijks tijdens de hoofdreeksfase en we kunnen dus demassa-lichtkracht relatie voor ZAMS modellen gebruiken om τH af te schatten. We vinden zo de volgendeafhankelijkheid van de hoofdreekstijdsduur als functie van de stermassa:

τH(M) ∼ M

L∼M1−η. (9.3)

Voor de gemiddelde exponent η = 3.5 van de massa-lichtkracht relatie vinden we dan dat τH(M) ∼M−2.5:

135

Figuur 9.4: De waarden van de massaverdeling m/M van het centrum tot het oppervlak wordt getekend t.o.v.de totale stermassa voor de ZAMS modellen getoond in figuur 9.1. Gebieden aangeduid door “wolkjes” zijnde zones in de ster waarin het energietransport door convectie gebeurt. De twee volle lijnen geven dem-waarden aan waarvoor r gelijk is aan 1/4 en 1/2 van de totale straal R. De streepjeslijnen duiden demassaschillen aan waarbinnen 50% en 90% van de totale lichtkracht L wordt geproduceerd.

136

Figuur 9.5: Ruwe indeling van de ZAMS sterren naargelang hun convectieve zones. Links: sterren metmassa groter dan 2M, midden: sterren met massa tussen 1 en 2M, rechts: sterren met massa kleiner dan1M.

de hoofdreeksleeftijd neemt snel af met toenemende massa. Een typische waarde is 5 × 107 jaar voor eenster met massa 5M en 1011 jaar voor de zon.

De snellere hoofdreeksevolutie voor massievere sterren wordt mooi bevestigd door de observationelestudie van het HR diagram van sterclusters, welke concentraties van sterren aan de hemel zijn die zich zodicht bij elkaar bevinden dat ze fysisch verbonden moeten zijn. Er zijn twee types sterclusters. Galactischeof open clusters bestaan uit sterren van populatie I en zijn geconcentreerd in de schijf van de melkweg. Zijbevatten typisch enkele honderden sterren. Daarentegen bestaan bolvormige sterrenhopen (“globular clus-ters”) uit miljoenen sterren van populatie II. Zij worden op grote afstand van het galactisch vlak gevonden.Alle sterren van een cluster bevinden zich ongeveer op dezelfde afstand, waardoor het verschil tussen deabsolute en schijnbare magnitude steeds dezelfde is voor alle leden – zie vergelijking (1.9). Hierdoor ver-toont een grafiek van de schijnbare magnitude t.o.v. de kleur dezelfde vorm als een grafiek van de absolutemagnitude t.o.v. de kleur.

Alle sterren die zich in een cluster bevinden zijn min of meer tegelijk “geboren” en hebben dus dezelfdeleeftijd τcluster. Hierdoor zullen alle sterren met massa groter dan een bepaalde limietmassa M limiet dehoofdreeks reeds verlaten hebben, terwijl sterren met een kleinere massa M < M limiet zich nog steeds inde fase van waterstofverbranding in de kern bevinden. Waarnemingen van sterren in clusters bevestigen ditscenario. In figuur 9.6 tonen we het contrast in HR diagram van een jonge cluster en een oude cluster. Inhet onderste paneel tonen we het HR diagram van de jonge dubbelcluster h en χPersei, waarvan de mindermassieve sterren nog naar de ZAMS toe aan het bewegen zijn terwijl de massievere sterren al op de ZAMSverblijven. Bovenaan zien we het HR diagram van de oude stercluster M 5 waarin de massiefste sterren alduidelijk van de hoofdreeks zijn weggeevolueerd, terwijl de sterren met lage massa nog op de hoofdreeksleven. De horizontale tak (zie verder) is zeer goed zichtbaar voor de oude cluster.

137

Figuur 9.6: Het kleur-magnitude diagram voor (a) een typische bolvormige sterrenhoop (M 5) bestaande uitpopulatie II (oude) sterren, en (b) een jonge galactische dubbele sterrencluster h&χ Persei welke bestaat uitpopulatie I sterren.

138

In figuur 9.7 is de evolutie van galactische clusters weergegeven als zwarte stroken. Het verschil inhoofdreeksleeftijd in functie van de oorspronkelijke massa heeft volgende belangrijke toepassing voor ster-clusters. De limietmassa die aangeeft of een ster uit een cluster zich al dan niet nog op de hoofdreeksbevindt wordt gegeven door de voorwaarde τcluster = τH(Mlimiet). Deze voorwaarde vormt de basis van deleeftijdsbepaling van sterclusters. Het keerpunt (“turn-off point”) bepaalt de leeftijd van de cluster, welkerechts op de figuur aangegeven wordt. Hoe ouder de cluster, hoe lager het snijpunt tussen de hoofdreeks ende reuzentak van de cluster (zie figuur 9.7). Het voorbeeld van h en χPersei (zie figuur 9.6) toont dat delage-massa sterren in extreem jonge clusters de hoofdreeks nog niet bereikt hebben. De studie van zulkesterren is op haar beurt enorm belangrijk om de details van de evolutie van protosterren naar de hoofdreekstoe beter te begrijpen.

We merken hier terloops ook het belang op van de scheikundige samenstelling wat de sterevolutiebetreft. In figuur 9.7 zien we dat het snijpunt van de hoofdreeks en de reuzentak voor de bolvormige ster-renhoop M 3 (weergegeven als stippellijn) hoger ligt dan voor de galactische cluster M 67 die veel jonger is.Dit is schijnbaar in tegenspraak met de zopas afgeleide conclusie over de ligging van het keerpunt. De redenhiervoor is dat bolvormige sterrenhopen enkel sterren van populatie II bevatten, welke veel metaalarmer zijnen dus een lagere opaciteit hebben dan de populatie I sterren in het galactisch vlak. Hierdoor zijn de sterrenin een bolvormige sterrenhoop heter en helderder. De scheikundige samenstelling heeft dus weldegelijk eeninvloed op de positie van een ster in het HR diagram. De leeftijdsbepaling van bolvormige sterrenhopenwordt gebruikt als leeftijdslimiet van het heelal en is daarom van groot cosmologisch belang.

De positievariatie van een hoofdreeksster in het HR diagram wordt voor een ster met massa 7Mweergegeven in het linkse paneel van figuur 9.8. Vanuit het punt A op de hoofdreeks beweegt de ster zichnaar rechts en naar boven, op weg naar het punt B. De stijging van de lichtkracht is toe te schrijven aan detoename van het gemiddeld moleculair gewicht door de omzetting van waterstof naar helium – zie uitdruk-king (2.31). Immers, P ∼ T/µ en L ∼ T 4. Wanneer alle waterstof bijna opgebruikt is (X = 5%) wordteen minimale effectieve temperatuur vastgesteld (punt B). De ster wordt zich bewust dat ze weldra zal te-rechtkomen in een energiecrisis en wil hier iets aan doen. Vermits de centale temperatuur veel te laag is omheliumverbranding op gang te brengen, tracht ze een oplossing te zoeken door te contraheren: ze evolueertnaar links in het HR diagram. De evolutie komt dan in een stroomversnelling vermits het laatste deeltjewaterstof aan een zeer snel tempo geconsumeerd wordt. Aan het eind van de waterstofverbranding (punt C)heeft de ster een kern bestaande uit helium overgehouden. Deze kern is niet in staat om de nodige energie teproduceren, vermits de temperatuur nog steeds te laag is om heliumverbranding te starten. De heliumkern isechter omgeven door een waterstofrijke enveloppe. Door de temperatuursstijging die opgetreden is tussen depunten B en C is de temperatuur aan de bodem van de enveloppe hoog genoeg om de waterstofverbrandingdaar op gang te brengen en zodoende de nodige energie te produceren. Op die manier vangt een fase vanwaterstofschilverbranding aan.

Het evolutiespoor weergegeven in het linkse paneel van figuur 9.8 is tevens representatief voor allesterren met een aanzienlijke convectieve kern. Dit wordt geıllustreerd in het middelste paneel van figuur 9.8.De toename van de lichtkracht tussen de punten A en B stijgt voor sterren met stijgende massa, terwijl devariatie in effectieve temperatuur nagenoeg hetzelfde blijft. Voor sterren met een lagere massa, die geenconvectieve kern hebben, verlopen de evolutiesporen anders. Dit wordt weergegeven in het rechtse paneelvan figuur 9.8. Deze sterren hebben immers geen convectieve kern. Hierdoor treedt er geen vermenging op inde sterkern en krijgen we een veel continuere overgang van centrale naar waterstofschilverbranding waarbij

139

Figuur 9.7: Een schematische voorstelling van de kleur-magnitude diagrammen van verschillende galacti-sche sterrenclusters (volle lijnen). De leeftijdsschaal aan de rechterzijde is gebaseerd op evolutieberekenin-gen. Het keerpunt van elke cluster duidt de leeftijd ervan aan. De streepjeslijn duidt de oude bolvormigesterrenhoop M 3 aan.

140

Figuur 9.8: Hertzsprung-Russell diagrammen met evolutiesporen voor populatie I sterren gedurende centra-le waterstofverbranding. De ZAMS is aangeduid als streepjeslijn. (a) Voor een stermassa gelijk aan 7M.De punten A,B,C komen overeen met het tijdstip van respectievelijk geboorte, minimale Teff en uitputtingvan centrale waterstof. De puntjeslijn duidt het vervolg van de sterevolutie aan na de centrale waterstofver-branding. (b) Voor sterren met massa tussen 4 en 8M. (c) Voor sterren met massa tussen 1 en 3M.

141

Figuur 9.9: Schematisch temperatuursprofiel in een evenwichtsmodel met een isotherme heliumkern vanmassa q0M . Er treedt waterstofschilverbranding op in het gearceerde gebied, wat gesitueerd is aan debodem van de sterenveloppe.

de massa van de heliumkern werkelijk begint in het stercentrum en geleidelijk aan wordt opgebouwd.

De aanvang van waterstofverbranding in een schil heeft een belangrijk gevolg voor de inwendige ster-structuur. Vermits de nucleaire tijdschaal voor kernwaterstofverbranding zoveel langer is dan de Helmholtz-Kelvin tijdschaal kunnen sterren op de hoofdreeks als zijnde in volledig evenwicht beschouwd worden. Ditis niet meer geldig voor de evolutiefasen na de hoofdreeks. De structuur en verandering van de heliumkernlaat dit immers niet toe: een kern in thermisch evenwicht zonder energiebron draagt niet aanzienlijk bij totde lichtkracht en moet daarom isotherm zijn (vermits l ∼ dT/dr). We moeten daarom vanaf nu de structuurvan de ster opsplitsen in een isotherme heliumkern met kernmassa Mk = q0M welke omgeven is door eenwaterstofrijke enveloppe met massa (1 − q0)M . In de praktijk onderstelt men dat de chemische samen-stelling discontinu varieert op de grens tussen de twee gebieden. Dit wordt weergegeven in figuur 9.9. Delichtkracht wordt gevoed door waterstofschilverbranding in de bodem van de enveloppe. De functies die desterstructuur beschrijven moeten nu apart bepaald worden voor de heliumkern en de enveloppe en moetenin het grensgebied aan elkaar gekoppeld worden.

142

Hoofdstuk 10

Evolutie van een massieve ster

10.1 De “Hertzsprung gap”

We beschouwen nu de verdere evolutie van een massieve ster die bestaat uit een isotherme helium kern dieomgeven is door een waterstofenveloppe met waterstofverbranding in een schil. In figuur 10.1 tonen we deevolutie van de inwendige structuur en het evolutiespoor in het HR diagram van een ster met 5M. In deabscis van de bovenste figuur wordt de tijd na het ontsteken van waterstof gegeven in eenheden van 107 jaar.De verschillende lagen in de ster worden gekenmerkt door hun m/M waarde. Gebieden aangeduid met“wolkjes” zijn convectieve zones. De gearceerde delen geven de hoofdenergiebron aan die verantwoordelijkis voor de lichtkracht. De gebieden met puntjes aangeduid zijn zones waarin de chemische samenstelling felverandert.

De overgang van centrale naar schilwaterstofverbranding gebeurt in het punt C. Op dat ogenblik treedter uitputting van 1H op in de kern waardoor de verbranding en de convectie daar plots ophouden. Dewaterstofschilverbranding treedt vervolgens in werking in een vrij brede schil rond de kern. Deze schilwordt dunner naarmate de evolutie vordert. Na punt C is de evolutie zo snel dat de abscis uitgerokken werdom de figuur duidelijk te houden. Na het punt C is de ster niet meer in thermisch evenwicht, wat betekentdat de tijdsafgeleide in de energievergelijking beschreven in Hoofdstuk 7 niet meer te verwaarlozen is. Ertreedt een expansie op van de lagen boven de schil met verbranding en tegelijkertijd krimpt de kern in. Demateriedichtheid blijft echter relatief laag zodat er geen ontaarding optreedt. De contractie leidt enkel toteen temperatuursverhoging.

Wanneer een temperatuur van 108 K bereikt wordt, start centrale heliumverbranding (punt D). Hiermeeheeft de ster een nieuwe energiebron weten te vinden in de kern waardoor de contractie daar ophoudt. Ertreedt opnieuw een toestand van thermisch en hydrostatisch evenwicht op in de kern. De contractie van dekern tussen de punten C en D neemt ongeveer een tijdschaal van Helmholtz-Kelvin in beslag (3 × 106 jaarvoor een ster met 5M). Gedurende dit tijdsinterval zijn de buitenste lagen uitgezet en is de sterstraalaanzienlijk toegenomen met ongeveer een factor 25 ! De ster is een rode reus geworden in punt D van het

143

Figuur 10.1: (a) De evolutie van de inwendige structuur van een populatie I ster van 5M. De abscis geeftde leeftijd in eenheden van 107 jaar. De verschillende lagen worden aangeduid door hun m/M -waarde.Gebieden aangeduid met wolkjes zijn convectieve lagen. De gearceerde domeinen zijn de gebieden waarinenergie geproduceerd wordt door verbranding van een bepaald element. De gebieden aangeduid met puntjeszijn regionen waarin de chemische samenstelling snel wijzigt. De letters A,. . . ,K bovenaan de abscis duidende overeenkomende punten aan in paneel (b).

144

Figuur 10.2: Het Hertzsprung-Russell diagram met evolutiesporen vanaf de ZAMS tot aan het startpuntvan centrale heliumverbranding voor sterren met massa van 4 tot 8M. De initiele samenstelling is X =0.602, Y = 0.352.

HR diagram. De expansie naar een rode reus gebeurt zodanig snel dat de kans klein is dat we sterren kunnenwaarnemen tijdens hun overgang van C naar D. Men spreekt van de Hertzsprung gap in het HR diagram: hetis het gebied tussen de hoofdreeks en de rode reuzen met een grote defficientie aan waargenomen sterren.

De evolutie van een ster die hierboven geschetst werd en getoond werd in figuur 10.1 blijft kwalitatiefhetzelfde voor alle massieve sterren waarin heliumverbranding in de kern start alvorens ontaarding optreedt(M > 2.3M). Deze sterren begeven zich allemaal in zeer korte tijd naar het gebied dicht tegen hunHayashispoor in het HR diagram. Een stel evolutiesporen voor massieve sterren met verschillende massawordt getoond in figuur 10.2.

Een gedetailleerde elegante fysische verklaring voor het uitzetten van de lagen die zich boven eenschilenergiebron bevinden is niet voorhanden. De sterevolutiemodellen bekomen door numerieke integratievan het stelsel differentiaalvergelijkingen besproken in Hoofdstuk 7 leiden allen tot dit resultaat. Intuıtiefkunnen we wel begrijpen dat de ster moet opzwellen, omdat de buitenste sterlagen convectief geworden zijn.Dit komt omdat, naast de waterstofschilverbranding, ook de contractie energie levert, waarvan de helft extradient uitgestraald te worden (viriaaltheorema). Nu is de temperatuursgradient bij convectief energietransportkleiner dan bij radiatief transport, waardoor de temperatuur trager daalt naar buiten toe in convectieve zonesin vergelijking met radiatieve zones. Om genoeg te kunnen afkoelen tot aan het steroppervlak, moet de sterdus uitzetten. Een preciesere verklaring vinden voor het ontstaan van een reuzenster eens schilverbrandinggeınitieerd is, blijft een van de grote uitdagingen in het domein van de sterstructuur.

145

10.2 Heliumverbranding

Vermits de ster zich bij de aanvang van centrale heliumverbranding nabij haar Hayashispoor bevindt, heeftze een uitgebreide uitwendige convectieve zone die tot een diepte m/M ≈ 0.46 reikt voor het voorbeeldvan de ster met 5M (zie figuur 10.1). Hoe groter de massa, hoe dieper de convectiezone reikt. Vanaf 7Mreikt ze reeds dieper dan m/M = 0.3, waardoor ze de lagen met veranderde chemische samenstelling doorde verbranding aantast. Hierdoor kunnen de convectieve bewegingen de producten van de kernreacties totaan het oppervlak brengen en in de enveloppe verspreiden. Men spreekt van eerste “dredge-up”.

De dominante reactie bij de centrale heliumverbranding is 3α→12C. Met toenemende 12C abondantiezal de reactie 12C + α→16O de vaandel geleidelijk overnemen. In het stadium dat 4He al uitgeput geraaktzal de uitputting van 12C ten voordele van 16O groter zijn dan de productie van 12C door de 3α reactie.Zodoende zal de abondantie van 12C terug beginnen dalen na een maximum bereikt te hebben.

De fase van centrale heliumverbranding duurt ongeveer 107 jaar, wat zo’n 20% is van de duur vande hoofdreeksfase. Deze fase lijkt verrassend lang als men bedenkt dat de lichtkracht groter is, dat decentrale kern waarin verbranding optreedt veel kleiner is dan bij waterstofverbranding en dat de energiewinstbeneden 10% van die bij de waterstofverbranding ligt. De reden voor deze lange duur is dat het grootstegedeelte van de energie uitvoer tijdens deze fase niet geleverd wordt door de heliumverbranding, maar weldoor de waterstofschilverbranding. In het punt E draagt de heliumverbranding slechts 6% bij tot de totaleenergieproductie. Blijkbaar is deze kleine energieproductie in de kern voldoende om contractie tegen tegaan en om de gehele ster in thermisch evenwicht te houden.

Na het punt E beweegt de ster even naar beneden langs haar Hayashispoor om zich vervolgens naar linkste begeven in het HR diagram. Het blauwste punt F komt overeen met het tijdstip dat 75% van de centraleheliumverbrandingsfase voorbij is. Op dat ogenblik bedraagt de heliumconcentratie zo’n Y ≈ 0.25. De sterkeert dan terug naar haar Hayashispoor (punt G).

10.3 Latere evolutiefasen

In de centrale kern stopt de heliumverbranding wanneer alle voorraad 4He uitgeput is en omgezet werd naar12C, 16O en 20Ne. De preciese verhoudingen van de abondanties van deze geproduceerde elementen hangtaf van de temperatuur, de massa en de oorspronkelijke chemische samenstelling. De verbranding wordt nuverder gezet in een concentrische schil die de CO kern omringt. Terwijl de heliumschil verder uitbrandt,verzwaart de CO kern en contraheert hij. De toestand is nu zeer gelijkaardig aan diegene vlak voor decentrale heliumverbranding gestart werd.

In deze fase van haar leven heeft de ster twee types van schilverbranding die de nodige energie pro-duceren: waterstofschilverbranding in een schil die zich aan de onderkant van de enveloppe bevindt enheliumschilverbranding in de schil vlak boven de CO kern. De CO kern contraheert, het heliumgebied tus-sen de twee schillen zet uit en de enveloppe contraheert. In het HR diagram beweegt de ster van punt G naar

146

links op weg naar het punt H.

De temperatuur in de waterstofschil daalt steeds en wordt op een gegeven moment lager dan diegenenodig om waterstofverbranding op gang te houden (punt H). Op dat ogenblik behouden we dus enkel eencontraherende CO kern omgeven door een gebied boven de heliumschil waarin alle lagen uitzetten. De sterbeweegt nu in het HR diagram van het punt H naar het punt K. Daarna stijgt de lichtkracht zeer fel tengevolge van de snel stijgende massa van de CO kern. Het al dan niet optreden van een tweede lus G→ H→ K hangt af van de massa, de verbrandingstempo’s, de opaciteiten, etc.

In figuur 10.1 merken we dat de buitenste convectiezone steeds dieper reikt naarmate de evolutie vor-dert. Deze zone bevat op een gegeven moment zowat 80% van de massa en haar benedengrens interfereertduidelijk met het gebied waar de waterstofschilverbranding in de 107 jaar ervoor heeft plaatsgevonden. Indit gebied is alle 1H omgezet in 4He en bijna alle 12C in 16O en 14N. Deze kernen worden dan ook naar hetoppervlak gebracht door de convectieve cellen. Men spreekt van de fase van de tweede dredge-up. Sterrenmet 2.3 < M/M < 7 ondergaan dus enkel de tweede dredge-up, en niet de eerste.

10.4 Verbrandingscycli

Het evolutiescenario hierboven beschreven is vrij ingewikkeld, vooral wat de positie in het HR diagrambetreft. Het evolutieproces is echter veel eenvoudiger wanneer we enkel de evolutie van de sterkern be-schrijven. Wanneer we de fasen van centrale waterstof- en heliumverbranding extrapoleren, dan ondergaatde centrale kern verschillende cycli van energieproducties die we door het volgende schema kunnen voor-stellen:

verbranding

verhitting kern uitputting brandstof

contractie kern

De verbranding op een bepaald ogenblik zal geleidelijk aan alle brandstof die voorhanden is in deconvectieve kern opgebruiken. De uitgeputte kern trekt vervolgens samen zodat de centrale temperatuurstijgt totdat hij hoog genoeg is opdat de volgende verbrandingscyclus kan aangevat worden. Zolang ditschema gevolgd wordt, krijgen we de productie van steeds zwaardere kernen in het stercentrum. Dezenieuwe zwaardere elementen worden door de convectie homogeen verspreid in de convectieve kern, welkebij de aanvang van elke nieuwe cyclus kleiner wordt: na centrale waterstofverbranding krijgen we eenuitgebreide heliumkern, waarbinnen zich een kleinere CO kern vormt door heliumverbranding en zo verder.

Telkens als de centrale verbranding uitgeput is zal de volgende cyclus in de kern niet onmiddellijk star-ten maar zal er een overgangsperiode van schilverbranding aanvangen. Deze schilverbranding treedt op inde heetste laag waar er op dat ogenblik nog brandstof voorhanden is. Schilverbranding kan verschillende op-eenvolgende centrale verbrandingscycli, welke op hun beurt een nieuwe schil creeren, overleven. Er kunnen

147

Figuur 10.3: Schematische illustratie (niet op schaal !) van de “uienstructuur” in het inwendige van eenvergeevolueerde massieve ster. Enkele typische waarden van de massa, de temperatuur en de dichtheid zijnaangegeven in cgs-eenheden.

dus verscheidene schilverbrandingen tegelijk actief zijn. Ze worden telkens gescheiden door massaschillenmet een verschillende chemische samenstelling, waarbij de elementen die voorkomen gradueel zwaarderzijn naarmate de schil dieper in de ster gesitueerd is. Men spreekt van het uienmodel, zoals voorgesteld infiguur 10.3. Afhankelijk van de temperatuursverandering in de kern die optreedt bij elke nieuwe cyclus kaneen bepaalde schilverbranding terug geactiveerd worden in een schil die reeds voordien uitgeblust was. Deverbrandingscycli na de waterstof- en heliumverbranding in de kern hebben allen zulk een korte tijdsduurdat de kans om een ster in deze fase van haar leven waar te nemen bijzonder gering is.

10.5 Explosieve versus niet-explosieve evolutie

Het schema hierboven geschetst kan tijdelijk of voorgoed onderbroken worden. Enerzijds kan een tijdelijkeonderbreking optreden wanneer de dichtheid in de centrale kern zo groot wordt dat ontaarding haar intre-de doet. Wanneer de ontaardingsparameter ψ begint te stijgen zal een contractie niet langer een centraletemperatuursstijgging tot gevolg hebben en wordt de cyclus van verbrandingen onderbroken tot de ontaar-

148

ding wordt opgeheven. In de praktijk zal de centrale kern van een ster met initiele massa kleiner dan 5Mnooit koolstofverbranding kunnen starten. Bij de bespreking van de verbrandingsmechanismen hebben weanderzijds opgemerkt dat 56Fe de meest stabiele kern is. Daarom wordt het voorgestelde schema noodzaker-lijkerwijze definitief gestopt wanneer de binnenste kern volledig bestaat uit 56Fe kernen en exotherme fusieniet meer mogelijk is.

Het is duidelijk dat we nu een onderscheid dienen te maken voor de verdere evolutie van de ster. Ditonderscheid gebeurt volledig op basis van de initiele stermassa. Wanneer we het massaverlies dat de sterondergaat tijdens haar evolutie verwaarlozen, leren de evolutieberekeningen ons het volgende:

• Na centrale waterstofverbranding hebben sterren met M < 2.3M een ontaarde He kern. Zij startende heliumverbranding op explosieve wijze (“heliumflits” – zie verder). Zij eindigen als witte dwerg.

• Na centrale heliumverbranding hebben sterren met intermediaire massa 2.3M < M ≤ 9M eenontaarde CO kern. De centrale temperatuur van de sterren met 2.3M < M < 6M reikt nooittot 8 × 108 K en deze sterren kunnen daardoor geen koolstofverbranding starten. Ze eindigen alskoolstofrijke witte dwerg.

De sterren met 6M < M < 9M starten wel koolstofverbranding. Dit gebeurt zodanig explosiefdat de ster ontploft als een supernova en er wellicht geen restant overblijft. Men spreekt van koolstof-detonatie (zie ook het gedeelte over de “heliumflits” besproken in Hoofdstuk 11 voor een verklaringvan dit fenomeen).

• In sterren met massa M > 9M blijft de kern steeds bestaan uit niet-ontaarde materie. Zij doorlopenalle opeenvolgende verbrandingscycli en eindigen als supernova met een neutronenster of een zwartgat als restant.

Of de massa van een ster al dan niet in de buurt komt van de grensmassa’s (2.3, 6 en 9M) hangtsterk af van het massaverlies dat ze tijdens haar evolutie ondergaat. Tot nu toe hebben we geen rekeninggehouden met de effecten van massaverlies, maar er treedt weldegelijk een groot massaverlies in de vorm vaneen sterke sterrenwind op aan het eind van de sterevolutie. De invloed van massaverlies op de sterevolutieis een gecompliceerd probleem wat theoretisch nog niet volledig onderbouwd is. Men neemt aan dat hetmassaverlies in een ster met initiele massa boven 9M zodanig is dat een uiteindelijke kernmassa boven deChandrasekhar limiet van 1.46M overgehouden wordt.

In ieder geval is het duidelijk dat we nu een onderscheid moeten maken tussen sterren die massieverzijn dan 9M en sterren met lagere massa, wat de verdere evolutie betreft. In dit hoofdstuk bespreken wede verdere evolutie van een ster met initiele massa hoger dan 9M die een kernmassa hoger dan 1.46Moverhoudt aan het eind van de verschillende verbrandingscycli. Voor de eindfasen in het leven van eenster met lagere initiele massa en/of een uiteindelijke kernmassa lager dan 1.46M verwijzen we naar hetvolgende hoofdstuk.

149

10.6 Neutronensterren

10.6.1 Supernova explosie

Voor sterren met M > 9M is de CO kern na heliumverbranding niet ontaard. Tijdens de contractie na decentrale heliumverbranding stijgt de centrale temperatuur genoeg om achtereenvolgens koolstof-, zuurstof-en siliciumverbranding op gang te brengen. Deze uiteindelijke cycli verlopen zeer snel. Voor een ster met15M produceert koolstofverbranding genoeg energie gedurende zowat 5 000 jaar, zuurstofverbrandingtijdens zo’n 1.7 jaar en siliciumverbranding duurt nog slechts enkele dagen ! Het eind van de siliciumver-brandingsfase, welke vooral 56Ni produceert, betekent voor de ster een ernstig probleem: ze is niet meer instaat om uit kernreacties energie te genereren in de kern en de gravitatiekracht te balanceren.

De massieve sterren vervolledigen dus de hele verbrandingscyclus totdat ze een Fe kern opgebouwdhebben. Zoals reeds vermeld komt er nu noodzakelijkerwijze een eind aan de stabiele toestand: gravitatie isde grote winnaar en de kern stort zeer snel in elkaar. Bij de instorting van de kern bereikt het materiaal eenvalsnelheid die de helft van de lichtsnelheid bedraagt. Dit is het gevolg van de enorm sterke gravitatiekrachtwaarmee de deeltjes van de instortende kern elkaar aantrekken. Deze deeltjes komen plots tot stilstand alsze op de zeer compacte sterkern botsen: hun kinetische energie wordt omgezet in warmte, waardoor er felleverhitting ontstaat (viriaaltheorema). De temperatuur van de sterkern loopt op tot T > 1010 K. De toegeno-men energie leidt deze keer echter niet tot het starten van een nieuwe verbrandingscyclus. Integendeel, destijging van de temperatuur impliceert dat de fotonen hogere energie krijgen en daardoor overheerst foto-dissociatie van de kernen. Hierdoor worden de zware kernen die tijdens de afgelopen verbrandingscycligevormd zijn afgebroken. Eerst worden de elementen van de ijzergroep opgebroken in α deeltjes :

56Ni + γ → 14 4He,54Fe + γ → 13 4He + 2n,56Fe + γ → 13 4He + 4n, . . .

(10.1)

Vermits energie gegenereerd werd bij de opbouw van deze zware isotopen, vereist het proces van afbouwnu energie. Deze nodige energie wordt geleverd door de contractie van de kern, die daardoor nog versneldwordt. De resulterende hoge temperatuur resulteert vervolgens ook in de foto-dissociatie van elk α deeltje:

4He + γ → 2 1H + 2n, (10.2)

wat opnieuw energie vergt en dus weerom de contractie versnelt. Op dit ogenblik is de gehele sequens vannucleosynthese ongedaan gemaakt in minder dan een seconde !

De foto-dissociatie resulteert in een mengsel van protonen, elektronen en neutronen. Dit levert eendrastische stijging van de dichtheid op, waardoor de elektronen en protonen gedwongen worden om te re-combineren tot neutronen. De dichtheid wordt zodanig hoog dat de neutronen vervolgens met elkaar inaanraking komen. Deze drastische toename van de druk geeft aanleiding tot een schokgolf die zich voort-plant doorheen de buitenlagen van de ster, welke de neutronenkern omgeven. Een gedeelte van de energievan de schokgolf wordt gedumpt in het overblijfsel van de sterkern, een ander gedeelte wordt afgevoerd inde vorm van neutrino’s. Omwille van de hoge dichtheden worden toch grote hoeveelheden neutrino’s inge-vangen door de buitenste sterlagen. Het resultaat van het dumpen van deze neutrino-energie is dat de lagen

150

Figuur 10.4: Scenario dat de vorming van een supernova type II weergeeft.

rondom de neutronenkern worden uitgestoten: de ster ontploft als een type-II supernova en wordt tijdelijkeven helder als een melkwegstelstel ! In figuur 10.4 wordt de evolutie van een massieve ster weergegevenvan bij de geboorte tot en met de SN II explosie. De productie van de voornaamste chemische elementenwordt voor elk evolutiestadium aangegeven, evenals de tijdsduur van een bepaald stadium.

10.6.2 De neutrinoflux en het r-proces

Bij de zeer hoge dichtheden die bereikt worden tijdens de instorting van de sterkern bereiken de elektronenzulke hoge energie dat ze op een zeer efficiente wijze dicht genoeg bij de kernen komen, waar ze proto-nen kunnen omvormen tot neutronen. Daar waar neutronen onstabiele elementen zijn en al na 7 minutenvervallen in gewone materie, vervallen ze niet meer in ontaarde materie: de sterkern wordt hierdoor een neu-tronenster. In figuur 6.4 toonden we reeds schematisch hoe neutronen ontstaan uit protonen. De druk wordtnu zo hoog dat het neutronengas in een toestand van ontaarding komt. Dit ontaard neutronengas zal verderegravitationele instorting kunnen voorkomen. De preciese toestandsfunctie voor een ontaard neutronengas isnog niet gekend. Hierdoor is men ook niet in staat om een bovenlimiet voor de massa van een neutronensteraf te leiden. Huidige schattingen voor de bovenlimiet liggen rond de 2–4M. Dit is dus slechts een weiniggroter dan de limietmassa voor een ontaard elektronengas. Een observationele nauwkeurige massabepalingvan een neutronenster is niet gemakkelijk en gebeurt opnieuw op basis van dubbelsterren waarvan een vande componenten een neutronenster is. Tot nu toe vindt men zo steeds massa’s die, rekening houdend met defoutenmarges, compatibel zijn met een bovenlimiet van 2–4M.

151

Figuur 10.5: Lichtkromme van de supernova die in 1987 ontplofte in de Grote Magelhaanse Wolk. Dezesupernova was in het Zuidelijk Halfrond gemakkelijk met het oog zichtbaar. Opvallend is de lange, bijnalineaire afname van de helderheid tijdens de maanden na de explosie. Dit komt overeen met de energiepro-ductie geleverd door het verval van 56Co.

Een gedetailleerder beeld van de preciese vorming van een neutronenster is niet voorhanden. De mo-dellen voor de toestandsfunctie bevatten zeer veel fysische parameters waarvan de waarden niet goed gekendzijn. Wat de huidige modellen voorspellen, is dat de inwendige temperatuur na de vorming daalt tot 108 Kin een tijdsspanne van zowat 100 jaar. Deze koeling treedt op ten gevolge van een sterke neutrinoflux. Dezewordt onder andere geproduceerd door elektronenvangst. Immers, de 56Ni isotopen die gevormd werden tij-dens de siliciumverbranding zijn instabiel ten opzichte van elektronenvangst. Hierdoor vervalt deze isotooptot de 56Fe isotoop op volgende wijze :

56Ni + e− → 56Co + νe,

56Co + e− → 56Fe + νe.(10.3)

De eerste reactie heeft een halfwaardetijd van 6.1 dagen en de tweede 77 dagen. Dit radioactief vervalverzorgt een groot deel van de energie die de maanden na de explosie wordt waargenomen. Alle (be-perkte) theoretische modellen van neutronenstervorming voorspellen dat hoge neutrinofluxen de ster reedsverlaten vooraleer de explosie optisch zichtbaar wordt. Bij de supernova 1987A (voor de lichtkromme vanSN 1987 A, zie figuur 10.5) in de Grote Magelhaanse Wolk werd inderdaad, zowat 6 uren voor de ontdek-king van de optische flits, een verhoogde neutrinoflux bij de juiste energie gemeten. Dit leverde een zeerbelangrijke en geslaagde test op voor de tot dan toe onzekere berekeningen van de kernreacties hierbo-ven beschreven tijdens de ultieme eindfase van een massieve ster. Zoals reeds eerder vermeld werden vanSN 1987 A 20 neutrino’s opgevangen in de neutrino-experimenten op aarde. Dit aantal is compatibel met devoorspelde neutrino-productie op basis van de hierboven geschetste kernreacties.

152

De thermonucleaire reacties die vlak voor en tijdens de supernova-explosie plaatsgrijpen producerenelementen zwaarder dan ijzer. Dit gebeurt tijdens het zogenaamde r-proces (“rapid neutron capture”), waar-bij neutronen worden ingevangen door kerndeeltjes. De productie van neutronenbronnen is efficient genoegom op een stabiele wijze elementen na de ijzerpiek te vormen. 56Fe is, zoals reeds aangehaald, de meeststabiele isotoop in de natuur. Toch bestaan er processen die instaan voor de productie van elementen zwaar-der dan deze isotoop, met name het s- en r-proces. Beide processen zijn gebaseerd op neutronenvangst. Zetreden dan ook enkel op wanneer er productie van neutronen is. Een vrij neutron is immers niet stabiel envervalt met een halfwaardetijd van slechts 7 minuten. Omdat het neutron geen elektrische lading heeft kanhet gemakkelijk tot bij een kern komen (geen Coulombafstoting). De waarschijnlijkheid dat een kern eenneutron invangt hangt af van de neutronendichtheid, de onderlinge snelheid van de kern en het neutron enhet massagetal. Wat dit laatste betreft zal een kern met een magisch neutronenaantal, dit wil zeggen eenisotoop met een gesloten neutronenschil, veel minder geneigd zijn om een extra neutron op te nemen. Het s-proces treedt vooral op in AGB sterren (zie volgend hoofdstuk), terwijl het r-proces voorkomt na supernovaexplosies.

Neutronenvangst kunnen we als volgt voorstellen :

(Z,A) + n→ (Z,A + 1) + γ,

(Z,A + 1) + n→ (Z,A + 2) + γ,

. . .

(10.4)

Indien de opeenvolgende kernen onstabiel zijn vervallen ze zeer snel door een β− verval:

(Z,A)→ (Z + 1, A) + e− + νe, (10.5)

waarbij νe een antineutrino voorstelt. Zulk een verval treedt echter niet op wanneer er ondertussen reedseen nieuw neutron werd ingevangen. Op die manier kunnen zeer zware kernen ontstaan vooraleer deze detijd krijgen om te vervallen. Bij het r-proces (“r” van “rapid”: de neutronenvangst verloopt zeer snel tenopzichte van het β−−verval) moet de neutronendichtheid van de orde van 1022cm−3 zijn. Het pad van der-proces elementen in het (N,Z) diagram (zie figuur 10.6) ligt dan ook diep in het neutronrijke gebied, vervan de stabiliteitsvallei. Zulke grote dichtheden worden enkel tijdens een supernova-explosie gerealiseerd.

De materie in de sterkern bestaat vlak voor en na de supernova-explosie inderdaad uit een aanzienlijkaantal neutronen, waardoor het r-proces kan plaatsvinden tijdens de afkoelingsfase na de explosie. Het nettoeffect van deze productie van zware elementen is de hoofdbron van de zware elementen die vandaag de dagin de natuur optreden. Ook wij zijn zo ontstaan uit supernovaresten.

10.6.3 Pulsars

Neutronensterren moeten erg snel om hun as draaien. Dit is een gevolg van het behoud van impulsmoment.Bij de instorting ondergaat de ster een enorme verkleining van haar afmetingen: de straal krimpt van enkelemiljoenen kilometer tot een twintigtal kilometer (zie figuur 10.7). Hierdoor zal de rotatiesnelheid een factor1010 toenemen. De bijhorende rotatiefrequentie bedraagt enkele tientallen keren per seconde. Door de sterke

153

Figuur 10.6: Schematische voorstelling van het r- en s-proces in een (N,Z) diagram. Aangegeven zijnreactieketens die neutronenvangst voorstellen, gevolgd door β−−verval, waardoor zware stabiele isotopenontstaan. De kernen aangeduid met s, r, of s, r ontstaan door respectievelijk het s-proces, het r-proces enbeide processen.

154

toename van de rotatiesnelheid neemt de sterkte van het magneetveld van de ster eveneens met nagenoegdezelfde factor toe. Sterren met een oorspronkelijk zwak magneetveld van enkele Gauss krijgen nu plotseen magneetveld van zowat 1010 − 1012 Gauss.

Reeds in 1934, 2 jaar na de ontdekking van het neutron, hadden de astronomen W. Baade en F. Zwickyhet bestaan van neutronensterren als uitgebrande kern van een supernova-explosie voorspeld. Het heeft ech-ter tot in 1967 geduurd vooraleer de eerste neutronenster ontdekt werd. Het was de studente Jocelyn Belluit Cambridge (Engeland) die in dat jaar voor het eerst aan de hemel een bron van radiostraling vond, diemet zeer regelmatige korte tussenpozen van om en bij een seconde sterke pulsen radiogolven uitzond. Zulkeen object noemt men een pulsar. De enige sterren die men in 1967 kende en die in staat waren om in eenseconde om hun as te draaien waren witte dwergen (zie volgend hoofdstuk) en dat was dan ook de verklaringdie men aan de pulsar gaf. Echter, in november 1968 werd in de Krabnevel in het sterrenbeeld de Stier eenpulsar ontdekt die dertig pulsen per seconde uitzendt (de Krabpulsar). Men wist toen dat de Krabnevel hetsnel uitdijende restant van een supernova-explosie was, want op die plaats was op 4 juli 1054 een verblin-dend heldere ster tevoorschijn gekomen die zelfs gedurende enkele weken lang overdag zichtbaar was. InJapanse, Chinese en Koreaanse kronieken is het verschijnen van deze “superheldere nieuwe” (super-nova)ster uitvoerig opgetekend en is het verloop van de helderheid getabelleerd. De zeer korte pulsperiode van deKrabnevel maakt het onmogelijk dat dit object een witte dwerg is, want de rotatiesnelheid aan het oppervlakvan de ster zou dan zo’n grote centrifugaalkracht veroorzaken dat deze de gravitatiekracht zou overheersen.Het werd snel duidelijk dat het hier om een snel om haar as draaiende neutronenster moest gaan. De radio-golven worden opgewekt boven de sterke magnetische polen van de ster in de vorm van zoeklichtachtigebundels (zie figuur 10.8). Door het rondwentelen van de neutronenster om een as die geınclineerd is tenopzichte van de magnetische as strijken de bundels met regelmatige tussenpozen over de aarde. Net als bijde ronddraaiende lichtbundel van een vuurtoren nemen we de radiostraling waar als regelmatige pulsen. Deontdekking van de Krabpulsar was enorm belangrijk: men had gevonden dat pulsars neutronensterren zijnen bovendien dat neutronensterren het eindproduct zijn van type-II supernovae. Ondertussen zijn er nogveel meer pulsars gevonden. In figuur 10.9 tonen we de pulsprofielen van een vijftigtal pulsars. We merkenverschillende vormen op, gaande van smal en symmetrisch tot breed en asymmetrisch. De vorm van hetpulsprofiel hangt onder andere af van de preciese geometrie van het magnetisch veld en de inclinatie van derotatie as t.o.v. de waarnemer.

10.7 Zwarte gaten

De (nog zeer onzekere) huidige theoretische toestandsfuncties voor neutronensterren leggen een bovenlimietvan om en bij de 2–4M op voor de massa. Voor compacte objecten die zwaarder zijn kent men momenteelgeen enkel mechanisme dat in staat is om de gravitatiekracht tegen te gaan. Men verwacht dus dat dergelijkeobjecten ineenstorten tot, wat men noemt, zwarte gaten (zie figuur 10.7). Daar waar neutronensterren reedsextreem waren wat hun dichtheid, rotatie en magneetveld betreft, zijn zwarte gaten de ultieme vorm vancompactheid waarnaar een massieve ster kan evolueren. Per definitie zal de ineenstortende ster niet meerrechtstreeks waar te nemen zijn. Er blijft enkel een sterk gravitatieveld over.

Het is dan ook zeer moeilijk om zwarte gaten te observeren. Een mogelijke manier om dit te doen is

155

Figuur 10.7: Bovenaan: de diameter van witte dwergen met oplopende massa. Hoe groter de massa van dewitte dwerg, hoe sterker hij door de zwaartekracht wordt samengeperst, dus hoe kleiner de diameter. Boveneen massa gelijk aan de Chandrasekhar limiet wint de zwaartekracht het van de tegendruk die het ontaardelektronengas kan leveren en de witte dwerg stort ineen. Onderaan: Diameters van neutronensterren metstijgende massa. Neutronensterren zijn als het ware reusachtige atoomkernen die worden bijeengehoudendoor de zwaartekracht. Bij een massa groter dan ongeveer 2–4M storten ze onherroepelijk in elkaar toteen zwart gat.

156

Figuur 10.8: Een neutronenstermodel van een pulsar. De radiogolven van een pulsar worden uitgezonden intwee bundels, die uitgaan van de twee magnetische polen van de neutronenster. De ster roteert om een as, dieeen hoek maakt met de magnetische as. De bundels radiostraling draaien in het rond, zoals de lichtbundelsvan een vuurtoren. Als de bundel over de aarde zwaait, nemen we een puls van radiostraling waar.

door de X-stralen die invallende materie op het zwart gat uitzendt, te detecteren. Een andere, gemakkelijkeremethode is door de beweging van een visuele component in een dubbelster, waarvan de andere componenteen zwart gat is, waar te nemen. Op deze manier kan men het bewijs leveren van het werkelijke bestaanvan zwarte gaten. Momenteel zijn er reeds verscheidene zwarte gaten in dubbelsterren gekend. Hiervanis Cygnus X-1 het bekendste en eerst-gevonden voorbeeld. Dit object was de eerste rontgenbron waarvanmen het binair karakter kon aantonen. De begeleider is een massieve 0-type superreus en voor de huidigeschatting van de massa van deze component en de inclinatie van het baanvlak schat men de massa vande onzichtbare compacte ster op 6M. Ondertussen zijn er nog vele andere, duidelijkere voorbeeldengevonden van binaire systemen waarvan de onzichtbare begeleider een massa moet hebben groter dan debovenlimiet van een neutronenster. Zwarte gaten in binaire systemen worden uitvoeriger besproken in decursus Gevorderde Astrofysica.

157

Figuur 10.9: Pulsprofielen van 45 pulsars. Elk pulsprofiel geeft weer hoe de intensiteit van de radiostraling,die we van de pulsar ontvangen, varieert gedurende een pulsperiode. Sommige pulsars hebben een pulsbestaande uit slechts een piek, anderen hebben twee of soms zelfs drie pieken. De perioden varieren tussen0.1 en enkele seconden.

158

Hoofdstuk 11

Evolutie van een ster met lage massa

11.1 Post-hoofdreeks evolutie

In tegenstelling tot de sterren met M > 2.3M evolueren sterren met een lagere massa op een kwalitatiefandere wijze na de uitputting van waterstof in de centrale delen. Er zijn hiervoor verschillende redenen.Ten eerste hebben deze lage-massa sterren geen of zeer kleine convectieve kernen. Voor een ster met massakleiner dan de zon is er geen convectieve kern en daardoor produceren deze objecten een heliumkern metzeer lage massa waarin geen vermenging plaatsvindt. Hierdoor zal er een zeer geleidelijke overgang vancentrale naar schilwaterstofverbranding gebeuren, veel minder drastisch dan wanneer convectie zorgt vooreen vermenging van een zware heliumkern.

Ten tweede is ontaarding belangrijk op of onmiddellijk na de hoofdreeks. Wanneer de waterstofschil-verbranding uiteindelijk zorgt voor een massievere heliumkern is de kern al ontaard. De sterren kunnendaarom gemakkelijk in thermisch evenwicht blijven door de ontaarde isotherme heliumkern. Zij hebben dusgeen behoefte aan een snelle contractie voor het starten van de heliumverbranding en er is geen analogonvan de Hertzsprung gap voor lage-massa sterren, ook al omdat de sterren voor hun verdere evolutie veeldichter bij hun Hayashi spoor vertrekken. Een ander gevolg van de ontaarding is dat de contractie van dekern niet gepaard gaat met verhitting, in tegenstelling tot de kerncontractie die zorgt voor het starten van deheliumverbranding in massievere sterren.

Tijdens de eerste fase na waterstofverbranding in de kern start waterstofschilverbranding en groeit demassa van de kern aan een zeer traag tempo. De temperatuur van de kern blijft ver van diegene nodigvoor heliumverbranding. Voor deze sterren is de schilverbranding tussen de fasen van centrale waterstof-en heliumverbranding een fase op nucleaire tijdschaal. Door deze trage fase verwachten we dan ook velelage-massa sterren in een fase van waterstofschilverbranding waar te nemen.

De langzame contractie van de kern gaat, net zoals bij de massievere sterren, gepaard met een (nogniet goed begrepen) expansie van de waterstofrijke enveloppe die zich boven de schilbron bevindt. In eerste

159

Figuur 11.1: Het evolutiespoor van een ster met initiele massa 1.3M en chemische samenstellingX = 0.9, Y = 0.099, Z = 0.001. De letters A,. . . ,D corresponderen met de overeenkomende positiesin figuur 11.2. De pijlen duiden de richting van de evolutie in de loop van de tijd aan. Deze richting wordtomgekeerd gedurende een korte periode, aangeduid door de horizontale puntjeslijnen.

instantie verandert de lichtkracht slechts weinig terwijl de ster naar rechts beweegt in het HR diagram.Deze beweging kan echter niet lang aanhouden omdat de ster zich al relatief dicht tegen haar Hayashispoor bevindt. De ster wil echter een verdere expansie van de enveloppe bewerkstelligen, wat noodzakelijkgepaard moet gaan met een relatief sterke toename van de lichtkracht. Het is inderdaad zo dat de lichtkrachtin deze fase een factor 100 zal toenemen terwijl Mk groeit. De ster beweegt zich op de stijgende reuzentak(zie figuren 11.1 en 11.2).

We bespreken nu in detail de evolutie van een ster met initiele massa 1.3M. Het evolutiespoor en deinwendige structuur worden voorgesteld in figuren 11.1 en 11.2. Gedurende de centrale waterstofverbran-ding beweegt de ster naar boven om nadien naar rechts in het HR diagram te evolueren. In het punt D stopt decentrale waterstofverbranding en start de schilverbranding. Haar spoor bevindt zich nu zeer dicht tegen hetHayashi spoor, wat er zoals reeds vermeld voor zorgt dat de ster zich noodzakelijkerwijze langs de stijgende

160

Figuur 11.2: De evolutie van de inwendige structuur van een ster van 1.3M in de loop van de tijd. Vooreen verklaring van de symboliek verwijzen we naar figuur 10.1.

reuzentak moet begeven. Haar lichtkracht en straal nemen hierbij fel toe. Het feit dat de ster dicht tegenhet Hayashi spoor beweegt kan ook gezien worden aan de inwendige structuur, waaruit duidelijk wordt datde buitenste convectieve zone zowat 70% van de totale massa bevat. De convectiezone bereikt lagen waarinde producten van de kernreacties al aanwezig zijn en de turbulente convectieve bewegingen zorgen ervoordat dit geproduceerde materiaal naar het steroppervlak getransporteerd wordt. De ster ondergaat een eerstedredge-up.

Het monotoon stijgend karakter van de lichtkracht wordt onderbroken wanneer de buitenste convectie-zone binnendringt in de schil waarin waterstof verbrand wordt. Het proces van vermenging door de buitensteconvectiezone heeft er immers voor gezorgd dat deze laatste enerzijds, en het gebied van waterstofschilver-branding anderzijds, een verschillend moleculair gewicht hebben. De homogene waterstofrijke buitenlaagwordt geconfronteerd met de heliumrijke lagen omheen de sterkern en wanneer de verbrandingsschil onder-worpen wordt aan deze discontinuıteit in het moleculair gewicht, zal haar eigen moleculair gewicht beginnendalen. Deze daling veroorzaakt een afname van de lichtkracht bij L ≈ 100L. Deze afname wordt in fi-guur 11.1 aangegeven door de horizontale stippellijnen.

De evolutieberekeningen voor sterren met een andere massa leiden naar gelijkaardige resultaten. Nabijde hoofdreeks schuiven de evolutiesporen gewoon op naargelang de startmassa op de hoofdreeks. Nabij hun(lichtjes verschillende) Hayashisporen komen de evolutiesporen tesamen. Op dat ogenblik zijn de centraledelen van de sterren dicht genoeg geworden zodat deze delen nagenoeg niet meer afhankelijk zijn van desterenveloppe (en dus van de totale massa). Sterren met verschillende massa maar dezelfde kernmassa Mk

zullen dezelfde lichtkracht vertonen en dezelfde positie innemen in het HR diagram.

161

Figuur 11.3: Schema dat de verandering van de temperatuur en dichtheid aangeeft gedurende de heliumflits.Nadat de ontbrandingstemperatuur van helium is bereikt in het ontaard kerncentrum verhoogt de temperatuurzonder dat de dichtheid varieert, totdat de ontaarding is opgeheven (nabij de streepjeslijn). Dan volgt eenfase van isotherme expansie en vervolgens een fase van stabiele centrale heliumverbranding in een niet-ontaard regime.

Numerieke berekeningen tonen dat de temperatuur in de kern stijgt met stijgende kernmassa Mk. Zowordt uiteindelijk de temperatuur van 108 K bereikt, waardoor heliumverbranding gestart wordt. Dit gebeurtwanneer Mk ≈ 0.45M, onafhankelijk van de waarde van M . Maar het stermateriaal in de kern bevindtzich al in zeer ver gevorderde toestand van ontaarding en de heliumverbranding is niet stabiel in zulk eenmidden. Immers, de energieproductie gaat niet gepaard met een toenemende buitenwaartse druk, waardoorde contractie verder gezet wordt. De thermische ontsporing die hierdoor plaatsgrijpt, beeindigt meteen derustige evolutie van de ster op de stijgende reuzentak.

11.2 De heliumflits

De thermische ontsporing die ontstaat door de ontsteking van heliumverbranding in de ontaarde kern heefteen tijdsspanne van de orde van de thermische tijdschaal van het gebied van heliumverbranding. De centraletemperatuur stijgt, terwijl de materie niet expandeert noch contraheert (de druk is niet gerelateerd met detemperatuur). Er wordt dus geen arbeid geleverd en daardoor is er een enorme overproductie aan nucleaireenergie. De lokale lichtkracht l bereikt gedurende enkele seconden een maximum van zowat 1011 L (delichtkracht van een heel sterrenstelsel): de ster ondergaat een heliumflits.

In figuur 11.3 tonen we het verloop van de temperatuur als functie van de dichtheid tijdens de flits. Destijging van de temperatuur bij constante dichtheid zorgt er eerst voor dat de ontaarding opgeheven wordt ennadien dat de kern begint te expanderen. Door het opheffen van de ontaarding wordt de heliumverbrandingstabiel, te meer daar de expansie ervoor zorgt dat de temperatuur niet meer stijgt. Stabiliteit wordt eerst be-reikt voor heliumverbranding in een schil, later voor centrale heliumverbranding. Immers, de overproductieaan energie in de centrale delen wordt nu geleidelijk aan weggevoerd door koeling totdat de temperatuuropnieuw de waarde bereikt voor stabiele heliumverbranding.

162

De weg die de ster in het HR diagram aflegt ten gevolge van de heliumflits is de volgende. Juistvoor de flits werd de lichtkracht uitsluitend veroorzaakt door de schilverbranding van waterstof. Tijdens deheliumflits wordt het gebied van waterstofschilverbranding zo smal dat de schil verdwijnt op een tijdschaalvan≈ 10−3 jaar. De geproduceerde energie onmiddellijk na de heliumflits door de heliumverbranding (eerstin een schil en later centraal) is veel lager dan die door waterstofschil verbranding voor de flits. Hierdoor zalde lichtkracht aanzienlijk gedaald zijn na de heliumflits, zoals duidelijk wordt aangegeven met de neerwaartsgerichte beweging in figuur 11.1.

11.3 Evolutie na de heliumflits

Na de gewelddadige fase van de heliumflits volgt er een rustige fase van heliumverbranding in een niet-ontaard midden. De ster heeft nu opnieuw een lichtkracht van om en bij de 100L en bevindt zich weeromdicht bij haar Hayashi spoor. De ster is nu aangekomen op de horizontale tak (zie figuur 11.4). De aankomst-positie van de ster op de horizontale tak hangt af van haar massa en haar chemische samenstelling op datogenblik. Verschillen in waargenomen posities reflecteren m.a.w. een verschil in massaverlies dat moet zijnopgetreden voor de heliumflits en/of een verschil in opaciteit. Naar analogie met de nulhoofdreeks (ZAMS)spreken we van de ZAHB: “zero-age horizontal branch”.

Op de ZAHB krijgen we dus, zelfs voor eenzelfde chemische samenstelling, sterren met ongeveerdezelfde kernmassa maar een duidelijk verschillende enveloppe massa. De sterren die het grootste massa-verlies hebben geleden bevinden zich aan de linkse kant van de ZAHB, terwijl diegenen met een kleinermassaverlies rechts de ZAHB bezetten. In de praktijk is dit onderscheid niet zo gemakkelijk te maken,want de verschillende waargenomen posities van de sterren op de horizontale tak reflecteren eveneens deevolutie van de ster tijdens haar verblijf op de horizontale tak. De ster maakt lusbewegingen van links naarrechts en terug doordat de kernmassa groeit ten gevolge van de waterstofschilverbranding terwijl heliumopgebrand wordt. Een verschillende positie op de horizontale tak reflecteert zowel een evolutie in de che-mische samenstelling enerzijds bij aankomst op de ZAHB en anderzijds verkregen sinds de aankomst opde ZAHB alsmede een verschil in enveloppemassa. Deze situaties worden apart schematisch voorgesteld infiguur 11.4.

Bij haar aankomst op de ZAHB heeft de ster een homogene niet-ontaarde heliumkern met massaMk ≈ 0.45M. Deze kern wordt omgeven door een waterstofrijke enveloppe met massaM−Mk. De totalelichtkracht bestaat uit een bijdrage van trage centrale heliumverbranding en van waterstofschilverbranding,die na de flits terug op gang gekomen is. Hierdoor stijgt de massa van de heliumkern, terwijl de helium-verbranding een centrale convectieve CO-kern vormt binnenin de heliumkern. Vanaf dat ogenblik treedt erschilverbranding op in twee schillen en de massa’s van deze schillen zullen groeien tijdens de volgende fase.De lichtkracht neemt zodoende traag toe tijdens de evolutie op de horizontale tak waardoor deze een niet teverwaarlozen dikte krijgt met de ZAHB als benedengrens.

Clustersterren, welke samen geboren werden en dezelfde chemische samenstelling hebben, gaan sa-menklonteren op de horizontale tak. Wanneer het metaalrijke sterren (jonge clusters) betreft zullen zij zichaan de rode (koele) kant van de horizontale tak bevinden en bij lagere lichtkracht, omwille van hun grotere

163

Figuur 11.4: De positie van stermodellen met eenzelfde heliumkern maar voor verschillende waarden vande totale massa en van de abondantie XCNO. Alle modellen hebben XH = 0.65 in de enveloppe en deabondantie van de elementen zwaarder dan helium werd gelijk genomen aan 2XCNO. De volle lijn geefteen reeks van modellen voor constante XCNO = 0.01 maar voor verschillende massa, gaande van 0.6tot 1.25M. De puntjeslijn duidt een reeks van modellen aan met constante massa 1.25M maar metvarierende chemische samenstelling XCNO gaande van 10−5 tot 0.01. De streepjeslijn links is de hoofdreeksen die rechts is de Hayashilijn voor 1.25M.

164

Figuur 11.5: De ZAHB in het Hertzsprung-Russell diagram en de evolutiesporen daarna. De dikke vollelijn is de ZAHB voor modellen met een heliumkern van massa 0.475M en een waterstofrijke enveloppemet X = 0.699, Y = 0.3 van verschillende massa M −Mkern. De totale stermassa wordt aangegeven voorenkele modellen (dikke stippen). De verdere evolutie wordt voor drie modellen voorgesteld door de dunnevolle lijn (trage evolutie) en door de streepjeslijn (snelle evolutie). De trage evolutiefasen zijn diegene vancentrale heliumverbranding in combinatie met waterstofschilverbranding (107 jaar) en waterstof- en heli-umschilverbranding. Daartussen treedt een snelle fase op waarbij de centrale heliumverbranding overgaatnaar heliumschilverbranding.

opaciteit (in vergelijking met metaalarme sterren). Men spreekt van de “red clump”. Dit fenomeen is ookzichtbaar voor de sterren in de omgeving van de zon (zie het rechtste paneel in Figuur 1.2). De horizontaletak van de bolhoop M5 getoond in Figuur 9.6 ziet er daarentegen geheel anders uit dan de red clump voorsterren uit onze omgeving. Deze tak bevindt zich bij hogere temperatuur en lichtkracht en is uitgestrekt overeen veel groter temperatuursinterval. Dit is enerzijds een gevolg van de lagere metalliciteit van de sterren inM5 in vergelijking met deze in onze nabijheid en komt anderzijds door de ouderdom van de cluster, waar-door de horizontale-tak evolutie al langer duurde. In het algemeen vinden we dat hoe metaalarmer de clusteris, hoe heter en lichtkrachtiger zijn horizontale-tak-sterren zijn.

Theoretisch bepaalde evolutiesporen voor de horizontale tak zijn om aangehaalde redenen bijzondermoeilijk in detail te vergelijken met waarnemingen. Enkele zulke theoretische evolutiesporen worden weer-gegeven in figuur 11.5. In ieder geval starten de sporen steeds op de ZAHB en arriveert de ster na enigelusbewegingen vlak bij haar Hayashi spoor, op het moment dat de centrale helium uitgeput is. Men zegtdat de ster is aangekomen op de asymptotische reuzentak (AGB, zie figuur 11.6). De post-horizontale-takevolutiesporen bevinden zich allemaal boven de horizontale-tak sporen (zie figuur 11.5).

Tijdens de evolutie op de horizontale tak kruisen de sterren, zoals aangegeven in figuur 11.6, de insta-biliteitsstrook, waarin zich de Cepheıden (aangeduide door “W”) en de RR Lyrae (RR) sterren bevinden.

165

Figuur 11.6: Schets van de evolutie van een ster van lage massa in het HR diagram. De evolutiesporen voordrie verschillende massa’s komen samen op de stijgende reuzentak. Na de heliumflits belanden de sterrenop de horizontale tak. Vervolgens evolueren ze naar rechts boven en vervoegen zich op de asymptotischereuzentak. De streepjeslijn duidt de klassieke instabiliteitsstrook aan, waarin zich de RR Lyrae (RR) sterrenen Cepheıden (W) bevinden.

Deze sterren ondergaan radiale stertrillingen gedreven door vibrationele instabiliteit. Hierdoor krimpen zeen zetten ze uit op ritmische wijze terwijl de sferische symmetrie bewaard blijft. Voor een gedetailleerdebeschrijving van de observationele kenmerken van deze sterren verwijzen we naar de cursus PulserendeSterren gedoceerd tijdens het eerste semester van de tweede licentie, terwijl de theoretische beschrijvingenvan de stertrillingen aan bod komen tijdens de cursus Theorie van stertrillingen, gegeven tijdens het tweedesemester van de tweede licentie.

11.4 AGB sterren

Tot nu toe behandelden we in dit hoofdstuk de evolutie van een ster met massa beneden 2.3M. Wenemen nu voor het beschrijven van de verdere evolutie weer de draad op bij het uienmodel beschreven invorig hoofdstuk en beschouwen nu de latere evolutiefasen voor alle sterren met een massa beneden 6M.Deze sterren zijn na de heliumverbranding namelijk allemaal aangekomen op de asymptotische reuzentak,

166

waar ze de tweede dredge-up ondergaan tijdens de He-schil- en H-schilverbrandingfase. Ze volgen nu eengemeenschappelijke evolutie.

Tijdens deze fase van haar leven is de ster onderhevig aan fel massaverlies. Hoewel het nog niet gewetenis wanneer het massaverlies precies start, is het wel duidelijk dat het mede veroorzaakt wordt door de radialepulsaties met grote amplitude die de ster ondergaat op de AGB. Preciese details van het mechanisme dat ditmassaverlies veroorzaakt zijn ook nog niet gekend. Uiteindelijk blijft er een waterstofrijke enveloppe overdie een uitgebreide straal maar een zeer beperkte massa heeft. Deze enveloppe doet de ster er als een rodesuperreus uitzien. Sterren op de asymptotische reuzentak hebben stralen tussen 200 en 600R en eeneffectieve temperatuur tussen 2 200 en 3 500 K.

AGB sterren bestaan dus uit een kleine hete kern die sterk gravitationeel gebonden is en een enormgrote koele mantel waarvan de buitenste lagen slechts zeer zwak gravitationeel gebonden zijn. Alleen alhierdoor kunnen AGB sterren gemakkelijk substantieel massaverlies ondergaan. Door de pulsaties vormenzich uitgebreide circumstellaire enveloppes van gas en stof. Deze enveloppe kan aanzien worden als hetderde gedeelte van de ster. De temperatuur van de ster daalt typisch van 3 500 K in de mantel tot slechts10 K aan de buitenkant van de circumstellaire enveloppe. Bij zulke lage temperaturen kunnen (complexe)moleculen (waaronder de OH en de CO molecule) en stofkorrels vormen. Deze laatsten bepalen niet alleende spectrale kenmerken van de AGB ster in het infrarood, maar tevens de verdere evolutie van de ster.Immers, het stof in de enveloppe zorgt daar voor een grote opaciteit omdat het efficient de sterstralingkan absorberen en veroorzaakt zo nog veel feller massaverlies onder de vorm van een voortdurende tragesterrenwind met een uitstroomsnelheid die typisch ∼ 15 km/s bedraagt. De evolutie van de ster wordt nubepaald door een complexe interactie tussen de drie gebieden. De kernmassa verandert nagenoeg niet tijdensde AGB fase omdat deze bijzonder kort is.

11.5 Thermische pulsen

Nadat de schil waarin waterstofverbranding plaatsgrijpt teveel afgekoeld is, stopt deze schilverbranding.Dit betekent dat de overgangslaag tussen de waterstofrijke enveloppe en de schil met heliumverbrandingnu bij constante m gepositioneerd blijft. Tegelijkertijd beweegt de schil met heliumverbranding langzaammaar zeker naar steeds grotere m-waarden totdat ze de onderkant van de waterstofenveloppe reikt. Vermitsde temperatuur nodig voor heliumverbranding zowat 108 K bedraagt, tien keer hoger dan de temperatuurvereist voor waterstofverbranding, wordt de onderkant van de waterstofenveloppe genoeg verhit en water-stofverbranding wordt opnieuw ontstoken. Er zijn nu plots opnieuw twee schilbronnen en er ontstaat eenonevenwicht in de energiebalans. Deze plotse wijziging in het schilverbrandingsproces zorgt opnieuw vooreen thermische ontsporing, welke de temperatuur doet stijgen. Aangezien de heliumverbranding erg tempe-ratuursgevoelig is brengt de temperatuursstijging een enorme stijging in de energieproductie met zich mee.Het merendeel van deze extra energie wordt gebruikt om de lagen boven de laag met heliumschilverbrandingte expanderen. Deze expansie reduceert vervolgens het effect van de schil met waterstofverbranding. Opdie manier ontstaat er een cyclus van thermische pulsen, welke zowat om de 103 − 105 jaar optreden naar-gelang de massa van de ster. Men zegt dat de ster is aangekomen op de TP-AGB: “thermally pulsing AGB”.Naarmate de sterevolutie vordert nemen de thermische pulsen in sterkte toe, terwijl de tijdspanne ertussen

167

Figuur 11.7: Het evolutiespoor na centrale heliumverbranding van een ster van 0.6M met chemischesamenstelling X = 0.749, Y = 0.25. Het spoor stijgt langs de AGB totdat thermische pulsen (aangeduiddoor dikke stippen) optreden. De verandering van de positie in het HR diagram tijdens een puls wordt voorde duidelijkheid enkel getoond voor pulsen 9 en 10. Voor de laatste puls heeft het spoor het domein van dewitte dwergen bereikt. De hoofdreeks, de horizontale tak en de lijn van constante straal voor witte dwergenzijn eveneens voorgesteld.

afneemt. Het aantal thermische pulsen dat optreedt hangt af van de initiele massa, van de metalliciteit envooral van het massaverlies dat de ster ondergaat in deze fase.

De lichtkracht en oppervlaktetemperatuur kan aanzienlijk veranderen bij elke puls. Dit is des te meereen uitgesproken verschil naarmate er zich minder massa boven de verbrandingsschillen bevindt. Door degrote wijzigingen in de lichtkracht en temperatuur maakt de ster felle bewegingen in het HR diagram. Infiguur 11.7 tonen we het evolutiespoor van een ster met 0.6M die 11 pulsen ondergaat.

Tijdens het maximum van de heliumenergieproductie heeft een ster met een relatief hoge massa, zegtussen 4 en 6M, een kleine convectieve laag moeten creeren om het energietransport efficient genoegte kunnen laten gebeuren. Deze convectielaag slaagt er tijdens de pulsen in om tot bij de discontinuıteitvan de H-He laag te komen. Gedurende korte tijd wordt hierdoor al het materiaal tussen de twee schillenvermengd en treden er lange reactieketens op in de verbrandingslaag. Men spreekt van HBB: hot-bottom-burning. Anderzijds wordt het materiaal dat geproduceerd wordt in de heliumverbrandingsschil naar hetsteroppervlak gebracht door deze buitenste convectielaag. De ster ondergaat een derde dredge-up. Dezedoor thermische pulsen geınduceerde dredge-up treedt enkel op voor sterren waarvan de massa minstens4M bedraagt.

168

11.6 Het s-proces in AGB sterren

De heliumverbranding transformeert 4He in 12C en 16O, terwijl de waterstofschilverbranding ervoor zorgtdat deze 16O en 12C wordt omgevormd tot 14N. De HBB belet op die manier dat de sterren koolstofsterrenkunnen worden.

Tussen twee pulsen blijft 14N achter en de convectieve laag transporteert deze 14N isotopen naar deheliumverbrandingsschil tijdens de volgende puls. Daar grijpt dan vervolgens de volgende reactieketenplaats: 14N(α, γ)18F(β+ν)18O(α, γ)22Ne. Voor een puls in een vrij massieve ster bereikt de temperatuureen waarde die hoog genoeg is om ook de 22Ne isotopen te verbranden in de reactie 22Ne(α, n)25Mg. Dezereactie bewerkstelligt de productie van een neutron. Een andere, veel efficientere neutronenbron werd reedsaangehaald bij de bespreking van koolstofverbranding, maar opdat deze werkzaam zou kunnen zijn moeter een voldoende aantal 13C isotopen in de heliumverbrandingsschil kunnen gebracht worden. Het betreft12C(p, γ)13N(e+ν)13C(α, n)16O. Deze laatste reactie is veel sneller dan 22Ne(α, n)25Mg maar ze vereistwel een welbepaalde protonconcentratie van om en bij 10−4. Dit kan voldaan zijn wanneer waterstofrijkmateriaal diffundeert naar 12C-rijke gebieden tijdens de pulsen, waardoor 13C dan kan gevormd worden.

De aangehaalde neutronenbronnen kunnen sterk genoeg zijn om op een stabiele wijze elementen nade ijzerpiek te vormen door het s-proces. Neutronenvangst werd reeds beschreven bij de behandeling vanhet r-proces. In het s-proces gaat de neutronenvangst door tot er teveel neutronen zijn opgenomen en hetelement buiten de stabiliteitsvallei in het (N,Z) domein valt. De kern is dan onderhevig aan een β− verval:

(Z,A)→ (Z + 1, A) + e− + νe, (11.1)

Het pad van het s-proces bevindt zich zodoende langs de neutronrijke grens van de stabiliteitsvallei in het(N,Z) diagram, maar minder diep dan bij het r-proces (zie figuur 10.6). De naam “s-proces” slaat hier ophet feit dat invanging van neutronen traag verloopt ten opzichte van het β− verval, in tegenstelling tot bijhet r-proces. Het s-proces grijpt plaats bij neutronendichtheden van de orde 108 − 1012cm−3 en is sterkafhankelijk van de metalliciteit van de ster.

Door de twee neutronenbronnen hierboven besproken grijpt het s-proces plaats in AGB sterren diethermische pulsen ondergaan. Typische s-proces elementen zijn enerzijds diegenen van de lichte s-proceselementen groep, namelijk deze van de strontiumpiek. Dit zijn de elementen met magisch neutronenaantalN = 50: Strontium (Sr, Z = 38), Ytrium (Y, Z = 39), Zirkonium (Zr, Z = 40). Anderzijds zijn er detalrijke zware s-proces elementen van de bariumpiek met magisch neutronenaantal N = 82, waarvan Barium(Ba, Z = 56) het voornaamste voorbeeld is. Preciese details van de aanmaak van s-proces elementen enhun transport door dredge-up naar het oppervlak van AGB sterren zijn niet gekend. Een efficiente derdedredge-up kan hoe dan ook enkel optreden voor de massievere sterren en hangt sterk af van de precieseuitgebreidheid en locatie van de buitenste convectieve laag.

169

11.7 Post-AGB sterren

Zoals reeds vermeld is het aantal thermische pulsen die een AGB ster ondergaat tijdens de TP-AGB fa-se afhankelijk van het massaverlies van de ster. Wanneer de massa van de enveloppe gereduceerd is tot±0.05M vallen de pulsaties stil en vermindert het massaverlies snel. De effectieve temperatuur van dester begint te stijgen. Ze verlaat de asymptotische reuzentak en beweegt zich in een tijdsspanne van zowat10 000 jaar naar links in het HR diagram. De ster start haar post-AGB fase. Tijdens deze fase blijft de tempe-ratuur stijgen, terwijl de lichtkracht nagenoeg constant blijft. Als de effectieve temperatuur een waarde vanom en bij de 30 000 K bereikt heeft, wordt het circumstellaire materiaal geıoniseerd. De ster is nu een plane-taire nevel geworden. Wellicht wordt niet elke post-AGB ster een planetaire nevel omdat de circumstellairestofschil in sommige gevallen al te ver van de ster zal verwijderd zijn vooraleer de temperatuursgrens van30 000 K overschreden wordt en/of te weinig massa bevat.

De thermische pulsen die de ster ondergaan heeft zijn een enveloppe fenomeen en hebben de CO-kernniet aangetast. Deze laatste krijgt meer en meer de kenmerken van een witte dwerg. Uit het feit dat erveel meer witte dwergen zijn dan planetaire nevels leiden we af dat het planetaire-nevel stadium veel kortermoet zijn, zelfs als we ermee rekening houden dat niet elke post-AGB ster een planetaire nevel oplicht. Deplanetaire nevelfase duurt ongeveer 105 jaar.

11.8 Witte dwergen

Zoals reeds aangehaald in het vorig hoofdstuk ontwikkelen sterren met intermediaire massa van 2.3M <M ≤ 5a6M uiteindelijk na de fase van heliumverbranding een ontaarde CO kern. De preciese massavan deze kern hangt af van het (tot nu toe niet volledig begrepen mechanisme van) massaverlies op deasymptotische reuzentak. Zoals reeds eerder vermeld ondergaan sterren met initiele massa 6M < M ≤9M een koolstofdetonatie geheel analoog aan de heliumflits maar dan veel agressiever; zij eindigen alssupernova zonder restant.

Wanneer de kernmassa van de post-AGB ster met initiele massa M ≤ 6M beneden de limietmassavan Chandrasekhar ligt, blijft een volledig ontaarde ster over aan het eind van de evolutie: een witte dwergis ontstaan. De studie van sterrenhopen bevestigen dat sterren met initiele massa ∼ 6M kunnen eindigenals witte dwerg. Er zijn namelijk al een klein aantal witte dwergen gevonden in sterrenhopen waarvan hetkeerpunt van de hoofdreeks net onder sterren met 6M ligt. In die sterrenhopen bevinden sterren metM < 6M zich nog op de hoofdreeks, dus moeten die enkele witte dwergen eindproducten zijn van sterrenmet initiele massa M ' 6M. Deze sterren hebben dus duidelijk veel massa verloren als AGB ster.

Witte dwergen hebben afmetingen die vergelijkbaar zijn met die van de aarde (zie figuur 10.7), maarhun massa is wel zo’n 3×105 keer groter dan die van de aarde. De witte dwergen zijn een homogene klassevan sterren. Ze vormen een welgedefinieerde reeks in het B − V , MV diagram. De koelst gedetecteerdeobjecten hebben een lichtkracht van om en bij 3 × 10−5 L. De strakke correlatie tussen de lichtkracht (ofMV ) en de effectieve temperatuur (of B − V ) toont dat de stralen van de witte dwergen nagenoeg dezelfde

170

moeten zijn, nl. R ≈ 0.01R. Uit bepalingen van de graviteit kan men afleiden dat ook de massa’s vanenkelvoudige witte dwergen nagenoeg dezelfde zijn, met een sterke piek rond M ≈ 0.6M. Voor wittedwergen die zich in een binair systeem bevinden heeft men een veel groter bereik in massa vastgesteld.

De witte dwergen bestaan vooral uit C en He. De verhoudingen zijn afhankelijk van de efficientie vande heliumverbranding. Algemeen zijn de massievere witte dwergen koolstofrijker. Uit spectroscopischewaarnemingen leidt men af dat de samenstelling van de steratmosfeer vrij verschillend kan zijn. Het meestvoorkomend zijn witte dwergen waarvan de atmosfeer hoofdzakelijk bestaat uit waterstof. Men spreektvan DA witte dwergen. 80% van de gekende witte dwergen zijn van het type DA. Er bestaat tevens eengroep van witte dwergen wiens atmosfeer vooral bestaat uit helium. Men noemt ze DB witte dwergen. Hunpercentage bedraagt zo’n 20%. Een zeer klein aantal witte dwergen heeft een atmosfeer met een specialechemische samenstelling en hoort niet tot de twee hoofdklassen. Men deelt deze dan nog in in andere klassennaargelang de waargenomen spectrale lijnen van bepaalde chemische elementen.

De effectieve temperatuur van witte dwergen doorloopt een groot interval: gaande van 50 000 K tot4 000 K. De meerderheid van deze sterren hebben dus een temperatuur hoger dan die van de zon, en daaromis de term “witte” dwerg ingevoerd.

Het ontaard elektronengas is in een ster met massa kleiner dan 1.46M in staat om de enorme gra-vitationele aantrekkingskracht tegen te gaan. Hoe minder massief de witte dwerg, hoe meer niet-ontaardematerie blijft bestaan in de buitenste lagen. Zoals karakteristiek is voor configuraties bestaande uit ontaardematerie zijn de mechanische en thermische eigenschappen ontkoppeld van mekaar.

De mechanische structuur wordt enerzijds goed beschreven door een elektronendruk die hoort bij eengas bestaande uit ontaarde elektronen. Hiervoor werden uitdrukkingen afgeleid in Hoofdstuk 4. De niet-ontaarde ionen, daarentegen, zijn verantwoordelijk voor de massa van de witte dwerg. Het is gemakkelijkaan te tonen dat witte dwergen voldoen aan een massa-straal relatie, i.e. de straal van een witte dwerg hangtenkel af van de massa en niet van de temperatuur. Bovendien leidt men uit de massa-straal relatie af dathoe groter de massa, hoe kleiner de straal, m.a.w. de massa is omgekeerd evenredig met het volume. Deze“klassieke witte-dwerg structuur” wordt getoond in figuur 11.8. Aan beide uiteinden van het massa intervalzijn correcties nodig omdat deze klassieke theorie afgeleid door Chandrasekhar er niet meer opgaat. In diezin bedraagt de nauwkeuriger bepaalde limietmassa slechts 1.44M.

De thermische eigenschappen zijn verantwoordelijk voor de straling en de verdere evolutie van de wittedwerg. In het diepe inwendige van de witte dwerg is de materie ontaard en gebeurt het energietransport zeerefficient door conductie, waarbij het de kernen zelf zijn die de energie transporteren, en niet de fotonen. In debuitenste lagen gebeurt het energietransport anders. Daar bevinden zich gebieden die steeds minder ontaardematerie bevatten en het energietransport gebeurt er door straling of convectie, welke veel minder efficientzijn. De buitenste laag bestaat uit normaal gas dat dienst doet als een bijzonder efficiente isolatielaag,waardoor de witte dwerg slechts zeer langzaam afkoelt. We hebben dus een niet-ontaarde buitenlaag waarinde temperatuur aanzienlijk lager is en die de ontaarde isotherme kern isoleert. Hierdoor is de witte dwergoptisch zwak.

Vermits er geen kernreacties meer plaatsvinden moet de straling die de witte dwerg uitzendt energieputten uit een ander energiereservoir. Bij een witte dwerg wordt de nodige energie om de lichtkracht te ver-

171

Figuur 11.8: Schematische voorstelling van de massa-straal relatie horende bij een “klassieke” witte-dwergstructuur volgens de theorie van Chandrasekhar, waarbij ondersteld wordt dat de druk enkel geleverd wordtdoor een ontaard elektronengas. Correcties op deze klassieke structuur zijn nodig aan beide uiteinden vanhet massa interval.

klaren geleverd door koeling van de ionen: L ∼ T . Er treedt een uiterst kleine gravitationele samentrekkingop door de afkoeling vermits enkel de ionendruk daalt en niet de elektronendruk die veruit de belangrijksteis van beiden. De helft van de gravitationele energie die door contractie vrijkomt levert de lichtkracht, deandere helft wordt gebruikt om de Fermi-energie van de elektronen te doen stijgen. Uiteindelijk heeft ditkoelingsmechanisme voor gevolg dat de witte dwerg evolueert naar het vormen van een “zwarte dwerg”:de contractie stopt volledig en alle energie bevindt zich op dat ogenblik in de vorm van Fermi-energie.De typische koelingstijd voor een witte dwerg van 1M en L/L = 10−3 bedraagt 109 jaar. De oudstewaargenomen witte dwergen hebben een leeftijd die vergelijkbaar is met de leeftijd van onze Melkweg zelf.

172

Bijlage A

Waarden van fysische en astronomischeconstanten

In de sterrenkunde worden alle grootheden meestal nog steeds uitgedrukt in cgs eenheden. Echter, studentenzijn (terecht !) meer vertrouwd met het SI stelsel. Ik laat aan eenieder de keuze in het gebruik van deeenheden en heb ze zelf gemengd gebruikt in dit vak. Hieronder volgen enkele waarden van fysische enastronomische constanten en andere veel gebruikte grootheden in zowel het cgs als het SI stelsel. We geventevens nog enkele omzettingsformules naar andere eenheden.

Fysische constanten :

Constante Symbool cgs eenheden SI eenheden

Lichtsnelheid c = 2.99792458 × 1010 cm s−1 2.99792458 × 108 m s−1

Gravitatie G = 6.67259 × 10−8 cm3 g−1 s−2 6.67259 × 10−11 m3 kg−1 s−2

Atomic Mass Unit mu = 1.6605402 ×10−24 g 1.6605402 ×10−27 kgMassa elektron me = 9.1093897 ×10−28 g 9.1093897 ×10−31 kgMassa proton mp = 1.6726231 ×10−24 g 1.6726231 ×10−27 kgMassa neutron mn = 1.6749286 × 10−24 g 1.6749286 × 10−27 kgLading elektron e = 1.60217733 ×10−20c esu 1.60217733 ×10−19 CoulombPlanck h = 2πh = 6.6260755 ×10−27 erg s 6.6260755 ×10−34 J sBoltzmann k = 1.380658 ×10−16 erg K−1 1.380658 ×10−23 J K−1

Gas R = 8.314510 ×107 erg K−1 g−1 8.314510 ×103 J K−1 kg−1

Straling a = 7.5646 ×10−15 erg cm−3 K−4 7.5646 ×10−16 J m−3 K−4

Stefan-Boltzmann σ = 5.67051 ×10−5 erg cm−2 s−1 K−4 5.67051 ×10−8 J m−2 s−1 K−4

173

Astronomische constanten :

Constante Symbool cgs eenheden SI eenheden

Straal zon R = 6.9598 ×1010 cm 6.9598 ×108 mMassa zon M = 1.9891 ×1033 g 1.9891 ×1030 kgLichtkracht zon L = 3.8515 ×1033 erg s−1 3.8515 ×1026 J s−1

Astronomische eenheid AE = 1.49598 × 1013 cm 1.49598 × 1011 mParsec pc = 3.08568 × 1018 cm 3.08568 × 1016 mLichtjaar lj = 9.463 × 1017 cm 9.463 × 1015 m

Omzettingen :

Van Angstrom naar cm : 1 A = 10−8 cmVan Newton naar dyne : 1 N = 105 dyneVan Joule naar erg : 1 J = 107 ergVan elektronvolt naar erg : 1 eV = 1.60217733 × 10−12 ergVan atmosfeer naar dyne cm−2 : 1 atm = 1.01325 × 106 dyne cm−2

174

Bijlage B

Aanbevolen literatuur

De volgende werken worden aanzien als standaardwerken over sterstructuur en -evolutie :

Cox, J.P., Guili, R.T., 1968, “Principles of Stellar Structure”, Volume I & II, Gordon & Breech, New York

Hansen, C.J., Kawaler, S.D., Trimble, V., 2004, “Stellar Interiors: Physical Principles, Structure, and Evo-lution”, Second Edition, Springer-Verlag

Iben, I. Jr., 1967, “Stellar Evolution Within and off the Main Sequence”, Annual Review of Astronomy &Astrophyscis, Volume 5, p.571

Kippenhahn, R., Weigert, A., 1994, “Stellar Structure and Evolution”, Springer-Verlag

Prialnik, D., 2000, “An Introduction to the Theory of Stellar Structure and Evolution”, Cambridge Univer-sity Press

Tassoul, J.-L., Tassoul, M., 2004, “A concise history of solar and stellar physics”, Princeton University Press

Weiss, A., Hillebrandt, W., Thomas, H.-C., Ritter, H., 2004, “Cox & Giuli’s principles of stellar structure:Extended Second Edition”, Cambridge Scientific Publishers

175