Steinmetz CP Symbolic Representation of General Alternating Waves and Double Frequency Vectors 1
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7/21/2019 Steinmetz CP Symbolic Representation of General Alternating Waves and Double Frequency Vectors 1
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7/21/2019 Steinmetz CP Symbolic Representation of General Alternating Waves and Double Frequency Vectors 1
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A
p a y e r f r e s e n t e d
a t t h e S i x t e e n t h
G e n e r a l
M e e t -
i n g
o f
t h e
A m e r i c a n I n s t i t u t e
o f
E l e c t r i c a l
E n g i n e e r s ,
B o s t o n ,
June 2 6 t h ,
z 8 9 9 ,
P r e s i d e n t
K e n n e l l y
i n t h e C h a i r .
SYMBOLIC
REPRESENTATION
O F
GENERAL
A L -
TERNATING
WAVES
AND
O F
DOUBLE
FREQUENCY
VECTOR
PRODUCTS.
BY CHARLES
PROTEUS
STEINMETZ.
P A R T
1 .
a .
G r a p h i c a l l y
a l t e r n a t i n g
c u r r e n t s
a n d
E .
M . F . ' s
a r e u s u a l l y
r e p r e s e l n t e d
b y
v e c t o r s .
A
v e c t o r
i s
a
q u a n t i t y
h a v i n g
l e n g t h
a n d
d i r e c t i o n .
T h e
l e n g t h
r e p r e s e n t s
t h e
i n t e n s i t y ,
t h e
d i r e c t i o n
t h e
p h a s e
o f
t h e
a l t e r n a t i n g
w a v e .
T h e
v e c t o r s
g e n e r a l l y
i s s u e
f r o m
t h e c e n t e r
o f
c o - o r d i n a t e s .
I n
t h e
t o p o g r a p h i c a l
m e t h o d ,
h o w e v e r ,
w h i c h
i s
m o r e
c o n v e n -
i e n t
f o r c o m p l e x
n i e t w o r k s ,
a s i n t e r l i n k e d
p o l y p h a s e
c i r c u i t s ,
t h e
a l t e r n a t i n g
w a v e
i s
r e p r e s e n t e d
b y
t h e
s t r a i g h t
l i n e
b e t w e e n
t w o
p o i n t s ,
t h e s e
p o i n t s
r e p r e s e n t i n g
t h e a b s o l u t e
v a l u e s
o f
p o t e n t i a l
( w i t h
r e g a r d
t o
a n v r e f e r e n c e
p o i n t
c h o s e n
a s c o - o r d i n a t e
c e n t e r )
a n d
t h e i r
c o n n e c t i o n
t h e
d i f f e r e n c e
o f
p o t e n t i a l ,
i n
p h a s e
a n d i n -
t e n s i t y .
A l g e b r a i c a l l y
t h e s e
v e c t o r s
a r e
r e p r e s e n t e d
b y
c o m p l e x
q u a n t i t i e s .
T h e
i m p e d a n c e ,
a d m i t t a n c e ,
e t c . ,
o f
t h e
c i r c u i t i s
a
c o m p l e x
q u a n t i t y
a l s o ,
I n
s y m b o l i c
d e n o t a t i o n .
T h u s
c u r r e n t ,
E .
M .
F . S
i m p e d a n e e
a n d
a d m i t t a n c e
a r e
r e l a t e d
b y
m u u l t i p l i c a t i o n
a n d d i v i s i o n
o f
c o m p l e x
q u a n t i t i e s
s i m i l a r
a s
c u r r e n t ,
E .
M .
F . ,
r e s i s t a n c e
a n d
c o n d u c t a n c e
a r e r e l a t e d
b y
O h m ' s
l a w
i n
d i r e c t
c u r r e n t
c i r c u i i t s .
I n
d i r e c t
c u r r e n t c i r c u i t s , p o w e r
i s
t h e
p r o d u c t
o f c u r r e n t
i n t o
E .
M . F .
I n
a l t e r n a t i n g
c u r r e n t
c i r c u i t s ,
i f
.
E=
' + j e i
2 6 9
-
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2 7 0 STEINMJETZ
ON
S Y M B O LlC
REPRESEFNTATION
L J u n e
2 6 ,
T h e p r o d u c t :
P o 0
=
El
( e l
i
e l l
i l l )
+
( e l l 1
+
e l I t 1 1 )
i s n o t t h e
p o w e r ,
t h a t
i s
m u l t i p l i c a t i o n
a n d
d i v i s i o n i
w h i c h a r e
c o r r e c t
i n
t h e i n t e r - r e l a t i o l l
o f c u r r e n t , E .
M .
F . ,
i m p e d a n c e ,
d o
n o t
g i v e
a
c o r r e c t
r e s u l t
i n
t h e
i n t e r - r e l a t i o r n
o f
E . M .
F . ,
c u r r e n t
p o w e r .
T h e r e a s o n i s t h a t
E I a r e v e c t o r s
o f
t h e
s a m e
f r e -
q u e n c y , a n d Z a c o n s t a n t
n u m e r i c a l f a c t o r
w h i c h
t h u s
d o e s
n o t
c h a n g e t h e f r e q u e n c y .
T h e
p o w e r
P ,
h o w e v e r ,
i s
o f
d o u b l e f r e q u e n c y
e o m p a r e d
w i t h
E
a n d
1 ;
a n d
t h u s c a n n o t b e r e p r e s e n t e d b y
a v e c t o r
i n
t h e
s a m e
d i a g r a m w i t h
- L
a n d
1 .
P O
EI
i s
a
q u a n t i t y
o f
t h e same
f r e q u e n c y
w i t h E a n d
I
a n d
t h u s
c a n n o t
r e p r e s e n t
t h e p o w e r .
h .
S i n c e
t h e
p o w e r
i s
a
q u a n t i t y
o f d o u b l e f r e q u e n c y
o f Eand
I ,
a n d
t h u s
t h e
p h a s e a n g l e ( c
i n
E
a n d I c o r r e s p o n d s
t o
a
p h a s e
a n g l e
2
w
i n
t h e
p o w e r ,
i t
i s
o f
i n t e r e s t
t o
i n v e s t i g a t e
t h e
p r o -
d u c t
EJ
f o r m e d b y
d o u b l i n g
t h e p h a s e a n g l e .
A l g e b r a i c a l l y
i t
i s :
P
=
E I (
+j
e ) ( i
+
j
P)=
( e l
x l
+ f 2
e l i
i l l )
+
( j e i
l
+ e 1 j
i 1 l )
S i n c e
j 2
=
-
1 ,
t h a t
i s
1 8 0 0 r o t a t i o n f o r E a n d I , f o r
t h e d o u b l e
f r e q u e n c y
v e c t o r ,
P ,
j 2
1 ,
o r
3 6 0 0
r o t a t i o n ,
a n d
jx1=j
1 XJ=
-
H e n c e ,
s u b s t i t u t i n g
t h e s e
v a l u e s ,
i t
i s :
P
=
[E
I ]
= ( e l
P 1
+
e 1 l
i l l )
* j - j
( e ' 1
t 1
-
e '
i ' 1 )
T h e s y m b o l [ E l ]
h e r e
d e n o t e s
t h e
t r a n s f e r
f r o m
t h e f r e -
q u e n c y
o f E a n d 1
t o t h e
d o u b l e
f r e q u e n t c y
o f P .
T h e
p r o d u c t :
P_ [EI]
c o n s i s t s
o f
t w o
c o m p o n e n t s ;
t h e
r e a l
c o m i i p o n e n t :
P '
=
[ E l ] '
= ( e ' - 4
i l l )
a n d
t h e
i m a g i n a r y
c o m p o n e n t :
j
P =j
[ E l ] i =j ( e i
-
6 l
i )
-
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1 8 9 9 . ]
O F
GENERAL
ALTERNA
T ' I N G
WA
V E S . 2 7 1
T h e c o m p o n e n t :
p i
=
[ E I ] '
=
( e l
+
e i
l 1 )
i s t h e
p o w e r
o f
t h e
c i r c u i t
- E
I
c o s
( E
I )
T h e c o m p o n e n t :
P i
=
[E
] J ( e l '
i t
l
i l )
i s w h a t
may b e
c a l l e d
t h e
s w a t t l e s s p o w e r ,
o r
t h e
p o w e r ] e s s
o r
q u a d r a t u r e
v o l t - a m p e r e s
o f
t h e
c i r c u i t ,
E
I
s i n
( E
1 ) .
T h e
r e a l
c o m p o n e n t w i l l
b e d i s t i n g u i i s h e d
b y
t h e
i n d e x
1 ,
t h e
i m a g i n i a r y o r
w a t t l e s s c o m i p o n e n t b y
t h e
i n d e x
j .
By
i n t r o d u , i n g
t h i s
s y m b o l i s m ,
t h e p o w e r
o f
a n
a l t e r n a t i n g
c i r c u i t
c a n
b e r e p r e s e n t e d
i n
t h e
s a m e
w a y
a s
i n
t h e
d i r e c t
c u r -
r e n t c i r c u i t , a s t h e s y m b o l i c p r o d u c t o f c u r r e n i t
a n d
E . M J F .
J u s t a s
t h e
s y m b o l i c e x p r e s s i o n
o f
c u r r e n t a n d
E . M . F . a s
c o i n -
p l e x q u a n t i t y d o e s n o t o n l y g i v e
t h e
m e r e i n t e n s i t y , b u t
a l s o
t l h e
p h a s e :
E
e t
j
e 1 '
2
2
E
\/e +
d l
t a n 5 o
=
, s o t h e d o u b l e
f r e q u i e n c y v e c t o r p r o d u c t
P
[ i
1 ]
d e n o t e s
m o r e t h a n
t h e
m n e r e
p o w e r ,
b y g i v i n g
w i t h
i t s t w o
c o u l p o n e n t s
P '
=
[ E
1 J ]
a n d
P i
-
[E
1
] i
t h e t r u e
e n e r g y
v o l t - a i m i p e r e s ,
a n d
t h e
w a t t l e s s v o l t - a m p e r e s .
I f :
~ E =
e t
+
j
e
: I
- i
+j
i 1 1
- t h u s
2 2
I
= V e i j
+
e l
i t
i s :
-
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2 7 2 STEINMETZ
ON
S YXBOLI C
REPRESENTdTION
[ J u n i e
2 6 ,
p l ~ ~
~~~
tEll_,
+
e l l ' l
=
[ E I ] i
=
( e l 1 l i ' e ' i )
a n d :
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
- ( e '
+
e 1 1 ) ( j l
)
( E
I ) 2
w h e r e
Q =
t o t a l
v o l t - a m p e r e s
o f
c i r c u i t .
T h a t
i s :
T h e
t r u e
p o w e r
P l
a n d
t h e
w a t t l e s s
p o w e r P J
a r e
t h e
t w o
r e c t a n g u l a r
c o m p o n e n t s
o f
t h e
t o t a l
a p p a r e n t
p o w e r Q
o f
t h e
c i r c u i t .
H e r e f r o m
i t
f o l l o w s :
I n
s y m b o l i c
r e p r e s e n t a t i o n
a s
d o u b l e
f r e q u e n c y
v e c t o r
p r o -
d u c t s ,
p o w e r s
c a n
b e
c o m b i n e d
a n d r e s o l v e d
b y
t h e
p a r a l l e l o g r a m
o f
v e c t o r s
j u s t
a s c u r r e n t s
a n d
E . M . F . ' S
i n
g r a p h i c a l
o r
s y m b o l i c
r e p r e s e n W a t i o n .
H e r e b y
t h e
g r a p h i c a l
m e t h o d s
o f
t r e a t m e n t
o f
a l t e r n a t i n g
c u r -
r e n t
p h e n o m e n a
a r e
e x t e n d e d
t o
i n e l u d e
d o u b l e
f r e q u e n c y
q u a n t i t i e s , a s p o w e r ,
t o r q u e ,
e t c .
I t
i s :
pi
=
p
=
c o s
w
=
l p o w e r
f a c t o r .
Q
p j
q -
s i n
w a
=
i n d u c t a n c e
f a c t o r
Q
o f t h e c i r c u i t ,
a n d
t h e
g e n e r a l
e x p r e s s l o n o f
p o w e r i s :
P=
Q ( P + j q )
-
Q
( c o s
w
+j
s i n
w )
( G . )
T h e
i n t r o d u c t i o n o f
t h e
d o u b l e
f r e q u e n c y
v e c t o r
p r o d u c t
P
=
[ E I ]
b r i n g s u s
o u t s i d e
o f
t h e
l i i m i t s
o f
a l g e b r a ,
h o w e v e r ,
a n d
t h e
c o m m a t a t i v e
p r i n c i p l e
o f
a l g e b r a :
a
x
b
b
x
a ,
d o e s
n o t
a p p l y
a n y m o r e ,
b u t
i t
i s :
[ E l ]
u n l i k e
[ I
E]
-
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1 8 9 9 . ]
0
G
ENERA L AL
ERNA
TING WA V E S .
2 7 3
[ E l ]
=
[ E l ] '
+j
[ E I ]
[IE]
=
[ I E ] '
+ j [ I E ] 3
_
[ E l ] ' - j
[ E I ] i
i t i s :
[ E l ] '
=
[ I E ]
[ E
l
] J
=
-
[E
] j
t h a t
i s , t h e
i m a g i n a r y
c o m p o n e n t r e v e r s e s
i t s s i g n
b y
t h e i n t e r -
c h a n g e o f
f a c t o r s .
T h e
p l h y s i c a l
m e a n i n g
h e r e o f
i s
:
i f
t h e
w a t t l e s s
p o w e r
[ E I _ J
i s
l a g g i n g w i t h
r e g a r d t o
E ,
i t
i s l e a d i n g
w i t h r e g a r d t o
1 .
T h e
w a t t l e s s c o m p o n e n t
o f
p o w e r
i s
a b s e n t ,
o r
t h e t o t a l
a p p a r -
e n t p o w e r
i s
t r u e
p o w e r ,
i f :
[ E l I ] 3 = e l
i '
_ e t
t i l )
- O 0 .
t h a t
i s :
1 1 t
* 1 1
e _
i
or:
t a n
( E )
= t a n
( 1 ) ,
t h a t
i s ,
E
a n d
I a r e
i n
p h a s e o r
i n i
o p p o s i t i o n .
T h e t r u e
p o w e r
i s
a b s e n t ,
o r t h e
t o t a l
a p p a r e n t
p o w e r w a t t l e s s ,
i f :
:
[ E l ]
-
( e l i l
+
e l
i l )
-
t h a t
i s :
1 1 l
, 1
o r :
t a n
E=
-cot
I
t h a t i s ,
E
a n d
I
a r e
i n
q u a d r a t u r e .
T h e w a t t l e s s
p o w e r
i s
l a g g i n i g ( w i t h r e g a r d t o
E ,
o r l e a d i n g
w i t h
r e g a r d
t o
I )
i f :
[ E ] i
>
0
-
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S T E I N M 1 J T Z 1 ' 2
ON
S Y M B O L E l C
R E P R P i E S E N T A
TION
[ J u n e
2 & ,
a n d l e a d i n g
i f :
[ E
I j i