HAJTMAN BÉLA

STATISZTIKAI MÓDSZEREK

Egyetemi jegyzet

Pázmány Péter Katolikus Egyetem, Bölcsészettudományi Kar

Piliscsaba, 2012.

2

3

Bevezetés

Az első félévben (Biostatisztika) a statisztika alapjait ismertük meg. Természetesen ez sem történ-

hetett meg anélkül, hogy legalább néhány statisztikai módszert el ne sajátítottunk volna. Azok a

statisztikai próbák azonban, amelyek az első félévi anyagban szerepeltek, mind szerves részei egy-

egy kiterjedt, általánosan használható módszercsaládnak; ezekről a módszercsaládokról lesz szó a

jelen tantárgyban.

A tantárgy célja nem az, hogy bonyolult számításokat sajátítsunk el; erre valók a számítógépek.

A módszerek működésmódját – mintegy azok „lelkét” – szeretnénk megismerni, hogy tudjuk,

mire valók, mikor alkalmazhatók, és mi mindent árulnak el az elemzett adatokról. (Legalább olyan

lényeges azt is tudnunk persze, hogy mire nem valók az egyes módszerek, milyen körülmények

között nem alkalmazhatók, és mi az, ami nem olvasható ki az eredményekből – holott gyakran úgy

tűnik, hogy igen.) Mindez persze nem megy anélkül, hogy az egyes eljárásokat – egyszerű esetek-

ben, konkrét példák kapcsán – ki ne próbálnánk. Ez pedig bizony számolással, sokszor nem is

olyan egyszerű számolással jár.

A számolás, amire „kénytelenek” vagyunk, csak segédeszköz tehát az anyag megértéséhez. (De

nélkülözhetetlen segédeszköz!) Mi az mégis, ami a tantárgyból „megmarad”, amit a számítógépek

korában tudnia kell a pszichológusnak, amit „magának” kell csinálnia – tehát amit sem a gép, sem

az esetleg avval együtt „bérelt” matematikus el nem végez?

Lényegében két dolog. Az egyik az adatok elemzésére használt módszer kiválasztása, a másik

a kapott eredmények értelmezése.

Mondhatnánk, hogy a kiválasztás a matematikus dolga. (De hol van annyi matematikus, aki azt

a sok pszichológust – meg orvost, meg szociológust, meg még ki mindenkit – „kiszolgálja”?) Az,

hogy milyen módszert kell választani, elsősorban az adatok „természetétől” függ. Ezt pedig ki tud-

hatná jobban, mint maga a pszichológus, aki azokat az adatokat gyűjtötte (mérte, megfigyelte)?

Rögtön az is látszik, hogy már jóval korábban, az „adatgyűjtés” (kísérlet, megfigyelés, búvárkodás

vagy akármi) megkezdése előtt megjelenik a statisztika: olyan adatokat kell gyűjteni, amelyek

alkalmasak lesznek a kiértékelésre, amelyek arra adnak választ, amire a kutató (adott esetben a

pszichológus) választ vár. Ezt úgy szoktuk kifejezni, hogy a kísérlettervezés is a statisztikai mun-

ka része – nem zárva ki ezzel a többi, nem kísérleti vizsgálatot.

Az eredmények értelmezése pedig egyértelműen a pszichológusra marad. A számítógép ad va-

lami összefoglaló táblázatot, meg legtöbbször egy csomó „p-értéket”, de még a munkában segítő

matematikus is (ha ugyan van ilyen) legfeljebb annyit tesz hozzá mindehhez, hogy ez itt szignifi-

káns, amaz pedig nem.* De hogy mindez szakmailag mit jelent, mennyiben igazolja a kísérleti fel-

tevést, azt csak az tudhatja, aki azt a kísérletet tervezte és végrehajtotta.**

Már ez a Bevezetés is ízelítőt adott a könyv stílusából: sok vastag- és dőltbetű, zárójelek, gon-

dolatjelek, sőt lábjegyzetek. Mindez egyetlen célt szolgál: az írott szövegnek az élőbeszédhez való

közelítését. Csak azt tanácsolhatom az olvasónak: használja ki ezeket a könnyítéseket! Mert való-

ban könnyítésekről van szó: ha erőteljesen hangsúlyozzuk a dőltbetűvel kiemelt szavakat vagy

mondatrészeket, ha megállunk a gondolatjeleknél, ha „beépítjük” a szövegbe, „egyidejűvé” tesz-

szük a szöveghez tartozó lábjegyzeteket (amik csak azért kerültek „alulra”, hogy a gondolatmenet

folyamatosságát meg ne szakítsák) – szóval ha élünk ezzel a sok felkínált segítséggel, akkor köny-

nyebben megértjük mindazt, amit ez a könyv közvetíteni próbál. Mintha csak egy előadást hallgat-

nánk – vagy talán még annál is jobban, hiszen akkor állunk meg, amikor akarunk, ott lapozunk

vissza, ahol nekünk tetszik.

* És még ez sem biztos, hogy helyes! Hiszen a szignifikancia szintjét mi magunk választjuk meg (lásd az első félévi

anyagot); honnan tudhatná azt szegény matematikus, hogy mi ezúttal hány százalékot választottunk?

** Egyszerűség kedvéért gyakran mondunk kísérletet vizsgálat helyett, mert ott nyílik legtöbb alkalom a körülmények

szabad megválasztására. Mindaz azonban, amit állítunk, egyszerűbb esetekben (pl. megfigyelés) is érvényes.

4

A jegyzet két hosszabb részre tagozódik; Az első rész – a végleges, két félévnyi anyagot

tartalmazó könyvben ez lesz a negyedik rész – a varianciaanalízis; ennek alcíme ez lehetne:

Milyen elemzést végzünk, ha normális eloszlású adataink vannak. A második – elnevezését

tekintve ötödik – részbe a rangsorolásos módszerek kerültek, amit így is körülírhatunk: Milyen

eljárást kell követnünk akkor, ha folytonos, de nem normális eloszlású adataink vannak.

A félév anyagához tartoznak még a megállapítható (nem számszerű) adatok elemzésére

szolgáló módszerek, valamint a statisztika többváltozós módszereinek rövid ismertetése. Az

előbbi a félév első előadásain szerepel; szorosan kapcsolódik ugyanis a dichotóm változóknak az

első félév végén elkezdett tárgyalásához, annak szerves folytatása, általánosítása. Az utóbbi a

félévet záró téma. Ez inkább csak kitekintés, a gyakorlatban leginkább használatos módszerek

felsorolása, általános ismertetése. Ezek egyike sem szerepel ebben a jegyzetben.

A jegyzet olvasása (tanulása) feltételezi az első féléves, Biostatisztika tantárgy ismeretét: az ab-

ban szereplő fogalmakat itt már minden magyarázat („magyarázkodás”) nélkül használjuk, és nem

ismételjük át azokat a módszereket sem, amelyek ott már szerepeltek. Az említett tárgy anyaga lé-

nyegében megegyezik az (általam írt) A biometria alapjai című orvosegyetemi jegyzetben megta-

lálható tudnivalókkal. Ez jól használható addig is, amíg az első féléves tantárgy saját jegyzete meg

nem jelenik. (Ez lesz a végleges tankönyv első, második és harmadik része.)

Végül néhány formai megjegyzés. A könyvben lesznek olyan bekezdések,* melyek előtt jel

áll. Ezek vagy kiegészítő megjegyzések, vagy mélyebb összefüggésekre rámutató általánosítások,

esetleg a tárgyhoz csak lazán kapcsolódó eszmefuttatások, leggyakrabban azonban levezetések. Ez

utóbbiakat „megtanulni” nem kell, nem is arra valók. Meggyőződésem azonban, hogy nagyban

segíti a módszerek megértését, összekapcsolásukat más, első látásra lényegesen különböző eljárá-

sokkal, ha áttanulmányozzuk, végiggondoljuk ezeket a levezetéseket. Még jobb, ha magunk pró-

bálunk meg elvégezni egy-egy levezetést, képletátalakítást. Csak a végeredménynek kell meg-

egyeznie a könyvben találhatóval: egy átalakítást számtalan különböző úton el lehet végezni. Aki

ismeri egy formula származtatásának módját, egyik képletnek a másikba való „átalakulását”, an-

nak sokkal kevesebbet kell „megtanulnia”.

A „beszélgetős” stílusnak ellentmondani látszik, hogy a képletek – éppen úgy, mint egy

„komoly” matematika könyvben – meg vannak számozva. Ennek a számozásnak azonban egyetlen

célja a hivatkozások könnyebbé tétele: nem kell mindig magyarázkodni, hogy miről, minek a

képletéről van szó (vagy amire még gondolni is rossz: nem kell a már megismert képleteket

minden alkalommal megismételni): elég egyetlen számmal utalni rájuk.

Mindamellett a képleteket nem kell megtanulni. A könyvhöz kapcsolódik az a képletjegyzék,

amelyet az órákon, a dolgozatok írásakor, sőt a vizsgán is használhatnak. A jegyzék az első féléves

tantárgy képleteit is tartalmazza, de hiszen azok java részére úgyis szükségünk lesz ebben a fél-

évben is, a témák szoros kapcsolódása miatt.

A könyv – eltérően a hasonló könyvek többségétől – nem tartalmaz statisztikai táblázatokat.

Ezeket ugyancsak külön füzetben kapja meg mindenki, aki a tárgyat hallgatja, abból vizsgázik –

vagy aki csak „magánúton” szeretne ezzel a tantárggyal megismerkedni. A táblázatok és a képlet-

jegyzék tehát mintegy a könyv mellékletét képezik; ennek megfelelően történik a rájuk való hivat-

kozás is.

* Ha egy-egy ilyen elkülönített, „nehezebb” rész hosszabb lenne, a jelet időnként – ha nem is minden bekezdés előtt

– megismételjük.

5

TARTALOMJEGYZÉK

A könyv részeit egyszámjegyű jelölés mutatja, a kétszámjegyű címek az egyes fejezetek, a három

számjegyűek a szakaszok (vagy fejezetrészek), a négy számjeggyel megkülönböztetettek az egyes

pontok megjelölései. A könnyebb tájékozódás érdekében a könyvben található utalások is használ-

ják ezeket az elnevezéseket.

4 Varianciaanalízis 7 4.1 Normális eloszlású adatok 7 4.2 Az egyszempontos varianciaanalízis 8 4.2.1 Több független minta összehasonlítása 8 4.2.2 Jelölések és előkészítő számítások 10 4.2.3 A variancia felbontása és Cochran tétele 14 4.2.3.1 A lineáris függetlenség 14 4.2.3.2 A négyzetösszeg felbontása 15 4.2.3.3 A szabadságfokok meghatározása 17 4.2.3.4 Cochran tétele 19 4.2.4 A varianciaanalízis befejezése 20 4.2.5 A varianciaanalízis feltételei 22 4.2.6 Transzformációk alkalmazása 23 4.2.7 A varianciaanalízis és a kétmintás t-próba viszonya 26 4.2.8 A nemlineáris korrelációs együttható 27 4.3 A minták „regressziós függése” a szemponttól 29 4.3.1 Varianciaanalízis és lineáris regresszió 30 4.3.1.1 A négyzetösszeg felbontása 31 4.3.1.2 A szabadságfokok meghatározása 33 4.3.2 A varianciaanalízis befejezése 35 4.3.2.1 Varianciák összevonása 35 4.3.2.2 A linearitás ellenőrzése 36 4.3.4.3 Példa „regressziós varianciaanalízisre” 37 4.3.3 A varianciaanalízis táblázata 38 4.4 Randomizált blokkok 41 4.4.1 Blokkok kialakítása 41 4.4.1.1 Szociális ikerpárok 42 4.4.2 Randomizálás 43 4.4.3 A négyzetösszeg felbontása 45 4.4.4 A szabadságfokok meghatározása 47 4.4.5 A varianciaanalízis befejezése 48 4.4.6 Randomizált blokk és egymintás t-próba 52 4.5 Többszempontos varianciaanalízis 54

4.5.1 A varianciaanalízis additivitási feltétele 54 4.5.2 A varianciaanalízis különféle „modelljei” 57 4.5.3 A négyzetösszeg felbontása 61 4.5.4 Kísérleti elrendezések 63 4.6 A kétszempontos varianciaanalízis 65 4.6.1 Jelölések és képletek 65 4.6.2 Példa kétszempontos varianciaanalízisre 69 4.7 Többszörös összehasonlítás 75 4.7.1 A Bonferroni-módszer 75 4.7.2 Néhány többszörös összehasonlítási eljárás 76 4.7.3 Scheffé módszere 77 4.7.3.1 Statisztikai próba és konfidenciaintervallum 77 4.7.3.2 Lineáris kontrasztok 78 4.7.3.3 Scheffé konfidenciaintervalluma valamennyi kontrasztra 78 4.7.3.4 A módszer előnyei és hátrányai 80

6

5 Rangsorolásos eljárások 83 5.1 Rangsorolás és rangszámok 84 5.1.1 Két csoport összehasonlítása 84 5.1.2 Rangsorolás és kapcsolt rangok 91 5.1.3 Átlag és szórás 94 5.1.4 Az „egyformák” miatti korrekciók 95 5.2 Független minták összehasonlítása 98 5.2.1 A Mann–Whitney-próba 98 5.2.1.1 A próba feladata és elnevezése 98 5.2.1.2 A táblázat használata 99 5.2.1.3 Nagy minták vizsgálata 101 5.2.2 A Kruskal–Wallis-próba 106 5.2.2.1 Jelölések és képletek 106 5.2.2.2 Példák Kruskal–Wallis-próbára 109 5.2.2.3 Az egyforma adatok miatti korrekció 111 4.2.2.4 A Kruskal–Wallis- és a Mann–Whitney-próba viszonya 113 5.3 Összetartozó minták összehasonlítása 116 5.3.1 A Friedman-próba 116 5.3.1.1 Randomizált blokkok elemzése – rangszámokkal 116 5.3.1.2 Kis minták esete 120 5.3.1.3 A Friedman-próba és az előjelpróba viszonya 121 5.3.2 A Wilcoxon-próba 123 5.3.2.1 Összetartozó mintaelemek különbségeinek rangsorolása 123 5.3.2.2 Példa a Wilcoxon-próbára 124 5.3.2.3 Nagy minták vizsgálata 125 5.3.2.4 Kapcsolt rangok előfordulása 127 5.4 Rangkorrelációs módszerek 132 5.4.1 A Spearman-féle rangkorrelációs együttható 132 5.4.1.1 Az adatok rangsorolása 133 5.4.1.2 Az rS együttható kiszámításának módja 134 5.4.1.3 Példák a Spearman-féle rangkorrelációs együttható számolására 136 5.4.1.4 A Spearman-féle rangkorrelációs együttható szignifikanciája 140 5.4.2 A Kendall-féle rangkorrelációs együttható 142 5.4.2.1 Az együttható képlete 142 5.4.2.2 A számolás elvégzésének célszerű módja 143 5.4.2.3 Grafikus eljárás az együttható kiszámítására 146 5.4.2.4 A táblázatos módszer 146 5.4.2.5 A Kendall-féle rangkorrelációs együttható szignifikanciája 149 5.4.2.6 Melyiket számítsuk ki a két együttható közül? 155 5.5 Az egyetértési együttható 156 5.5.1 Az egyetértési együttható használatát igénylő feladatok 156 5.5.2 A W egyetértési együttható kiszámításának módja 159 5.5.3 Rangsorokból álló minták 161 5.5.3.1 A közvetlen rangsorolás előnyei 162 5.5.3.2 A közvetlen rangsorolás nehézségei 163 5.5.3.3 A páros összehasonlítások módszere 164 5.5.4 A W egyetértési együttható szignifikanciája 167 5.5.5 A kapcsolt rangok miatti módosítás 171 5.5.6 Az egyetértési együttható és a rangkorreláció viszonya 175 5.5.6.1 A mátrix fogalma 176 5.5.6.2 A korrelációs mátrix 177 5.6 A rangsorolásos próbák előnyei és hátrányai 178

7

N e g y e d i k r é s z

Varianciaanalízis

4.1 Normális eloszlású adatok

A normális eloszlás elméleti eloszlás; az adatok normális eloszlása azt jelenti, hogy azok normális

eloszlású változóból valók. Nem könnyű (kevés adat esetén pedig egyszerűen lehetetlen) ellenőriz-

ni, hogy ez így van-e, mégis gyakran alkalmazunk olyan módszert, amelynek alkalmazási feltétele

az adatok normális eloszlása; ez történik a varianciaanalízis esetében is.

Vannak statisztikai módszerek (próbák), amelyek alkalmasak az ún. normalitás ellenőrzésére;

egy ilyet mi is megismertünk a 3. részben. Ám a normalitásban akkor sem bízhatunk igazán, ha az

ellenőrzés nem cáfolja azt. Jól tudjuk, hogy a próbák főként a nullhipotézis (itt: az eloszlás norma-

litása) elvetése esetén megbízhatók: a nullhipotézis megtartása nem feltétlenül jelenti annak igaz

voltát. (A második fajta hiba rendszerint ismeretlen, és általában nagyobb is az – általunk válasz-

tott – első fajta hibánál.)

A normális eloszlással már a könyv első fejezetében megismerkedtünk (l. az 1.x.x szakaszt),

és később is sokat találkoztunk vele. A második részben tárgyalt statisztikai eljárások szinte mind

felhasználták azt a feltételt,* hogy adataink legyenek normális eloszlásúak. Valóban olyan gyakori

lenne a normális eloszlás, hogy érdemes egész módszercsaládokat erre a feltételre építeni?

Mindenekelőtt szögezzük le, hogy a normális eloszlás pontosan soha nem valósulhat meg a

gyakorlatban vizsgált változók közt. Sok esetben például elméletileg kizárt, hogy egy adat negatív

legyen; márpedig a normális eloszlás a teljes számegyenesen – mínusz végtelen és plusz végtelen

közt – értelmezett elméleti eloszlás. Mivel azonban „nagy része” a várható érték körüli, viszonylag

rövid intervallumban „tömörül”,**

a változók korlátozott terjedelme, pl. pozitív volta nem akadálya

annak, hogy azok közelítően normális eloszlásúak legyenek; ez pedig elég arra, hogy a normális

eloszlásra kidolgozott statisztikai módszereket alkalmazni lehessen.

Különösen gyakori ez a folytonos eloszlások közt; ilyen eloszlásból származik minden mérési

adat. Mivel a könyv első két része csupán iyenekkel foglalkozott, viszonylag könnyű volt elfogad-

ni a „normalitás” (valójában nagyon is szigorú) feltételét. Annál is inkább, mert a normalitástól

nyilvánvalóan eltérő esetekben gyakran találtunk olyan transzformációt (l. az 1.x.x.x pontot),

amely „normalizálta” az adatokat, azaz olyan eloszláshoz vezetett, amely már közelítően normális

volt. Ezeket a transzformációkat legtöbbször nem „találgatással” kellett megkeresni; elméleti meg-

fontolások támasztják alá, hogy pl. a tömegmérés eredményei esetében végzett logaritmus-, vagy

az időadatokon végzett reciproktranszformáció miért eredményez normális eloszlást.

A könyv harmadik részében azonban bevezettük a diszkrét változókat (és a belőlük származó

diszkrét adatokat); ezért van arra szükség, hogy ezt a kérdést ismét elővegyük.

Elsősorban a számokkal jellemzett adatokkal kell foglalkoznunk, hiszen ezek hasonlítanak

legjobban a korábban vizsgált mérési adatokhoz. Gondoljunk például a jövedelemre (mondjuk az

emberek havi jövedelmére, hazai valutánkban, forintban). Ez biztosan nem folytonos,***

még

akkor sem, ha „forint pontossággal” határozzuk meg, de a gyakorlatban aligha beszélnek másról,

* A feltétel (ebben az összefüggésben) azt jelenti, hogy akkor lehet a szóban forgó eljárást alkalmazni, ha az adatok

megfelelnek azoknak a követelményeknek, amelyeket feltételek címen felsorolunk. Ebből is látszik, mennyire hely-

telen felcserélni – az idegen szavakat kerülendő – a hipotézis szót a feltétellel!

** Minderről részletesen volt szó korábban. Tudjuk hogy az eloszlás nagy része egy négy szórásnyi intervallumon

belül helyezkedik el, a várható érték körüli hat szórás hosszúságú intervallum (+3 pedig gyakorlatilag az egész

eloszlást tartalmazza.

*** Ami azt jelentené, hogy két jövedelem közt minden közbülső érték előfordulhat.

8

mint 100 Ft-ra „kerekített” értékekről. De még ilyenkor is nagyon hasonlít a jövedelem eloszlása

egy folytonos eloszláshoz! Az értékek közti különbségek – összehasonlítva az eloszlás terjedel-

mével – olyan kicsik, mintha folytonos lenne az eloszlás.

A gyakorlatban sok ilyen változóval találkozunk. Dohányosok esetében a naponta elszívott ci-

garetták száma, egy telefonközpontba adott idő alatt befutott hívások száma (stb.) mind hasonló tu-

lajdonságúak. De nem minden számszerűen jellemzett diszkrét változó ilyen! Az „iskolai végzett-

ség” például, amelyet az elvégzett osztályok számával szokás megadni, aligha tekinthető folytonos

változónak, még kevésbé (akármilyen nagylelkűen elfogadott közelítésel) normális eloszlásúnak.

A nem számokkal – hanem például szavakkal, mondatokkal jellemzett – diszkrét változóknak

látszólag semmi közük nem lehet a normális eloszláshoz. Maguknak a változóknak nem is, de a

belőlük vett mintákhoz tartozó gyakoriságoknak már igen! Olyannyira. hogy már használtunk is

ilyen közelítést, amikor a gyakoriságokat, ha azok elég nagyok voltak,* normális eloszlásúnak

tekintettük; ezen alapult a kontingenciatáblázatokból számolt valamennyi 2-próba.

Most azonban nem ilyen, elméleti megfontolásokon alapuló normalitásról van szó. Ahhoz,

hogy egy minta esetében t-próbát, vagy – ebben a részben – varianciaanalízist alkalmazzunk, a

minta adatainak „szemre is elfogadható” normalitását követeljük meg. Ez pedig a mérési (azaz

folytonos változóból származó) adatok és olyan diszkrét adatok esetében valósul meg, amilyen pl.

az előbb említett „jövedelem”-példa: amikor az adatok közti különbségek olyan kicsik, hogy az

eloszlás szinte folytonos.**

Akárcsak maguk a mérési adatok! És ezeken a „folytonoshoz hasonló”

diszkrét adatokon szükség esetén ugyanúgy elvégezhetjük azokat a transzformációkat, amelyek

„előállítják” a normalitást, ha eredetileg kétség fért hozzá.

A normalitás feltételét tehát eléggé „lazán” kezeljük. Ha az adatokon nem észlelhető feltűnő

ferdeség (aszimmetria), akkor el szoktuk fogadni azt a feltételezést, hogy azok normális eloszlá-

súak. Erre „biztat” egyrészt a tapasztalat, másrészt az az elméletileg igazolt állítás, hogy a normális

eloszlás valóban igen gyakori a természetben. (Tehát ez a „normális állapot”.)

A varianciaanalízis különféle típusait ismerjük meg a következőkben. Az a feltétel, hogy az

adatok normális eloszlásúak legyenek, valamennyinél szerepel (ha ezt esetleg nem is mondanánk

külön). Az egyes eljárások további feltételeit majd a módszerek tárgyalása során említjük meg.

4.2 Az egyszempontos varianciaanalízis

4.2.1 Több független minta összehasonlítása

Gyakran szerepel több minta egy vizsgálatban: többféle kezelést hasonlítunk össze (általában van

egy „kezeletlen” csoport is; ezt hívják kontrollnak), különböző körülmények közt vizsgáljuk

ugyanazt a jelenséget, vagy különböző (pl. eltérő életkorú) csoportokat nézünk (ezek „hovatarto-

zás” szerint különböznek).***

Amit ilyenkor tudni szeretnénk, az az, hogy ezek a csoportok (keze-

lések, körülmények) különböznek-e. A kezelés hatásosságát éppen ez a különbözőség jelenti. A

dolgok „hátterére” világít rá, ha a hovatartozás szerint megkülönböztetett csoportok (férfiak és

nők, falusiak és városiak, fiatalok és öregek stb.) értéke eltér. A jelenségek (pl. a lelki jelenségek)

természetére vonatkozó információt nyerhetünk abból, ha azok eltérően viselkednek különféle

körülmények közt (pl. nappal vagy éjszaka, zajban vagy csendben, különböző színek esetén stb.).

* Emlékszünk még, milyen enyhe volt ez a követelmény?

** Ne felejtsük, hogy a gyakorlatban minden adat diszkrét! Ha mérünk valamit, akármilyen pontossággal tesszük azt,

az eredményt kerekítjük; az adatok tehát diszkrét értékek, bármennyire folytosnos is az a változó, amelynek értékeit

mérjük.

*** Nem célunk ezen a helyen a különböző kísérleti felépítések tárgyalása vagy akár csak felsorolása; külön kötetek, az

egyetemen külön tantárgyak foglalkoznak ezzel a témával. Az említett lehetőségek pusztán példák, és egyáltalán nem

törekedtünk teljességre, de még pontosságra sem. Itt csak a kapott adatok statisztikai kiértékelését tartjuk szem előtt.

9

Valójában minket az adatok nagysága érdekel. A gyógyszer fölemeli vagy csökkenti a mért

változó – pl. vérnyomás – értékét, a férfiak magasabbak a nőknél, a szorongás fokozódik az éjsza-

kai órákban stb. Viszont az adatok nagyságát legjobban az őket képviselő átlag jellemzi; a varian-

ciaanalízis éppen ezért az átlagok egyformaságát vagy különbözőségét vizsgálja. Ez jelenti a min-

ták egyformaságát vagy különbözőségét.

Fontos, hogy különbséget tegyünk a vizsgált változó és a mintákat megkülönböztető specifiká-

ció közt. Ez utóbbi a fenti példák esetében a kezelés, a körülmény, a hovatartozás (mint pl. az élet-

kor). Annak ellenére, hogy ez ritkán mérhető (az életkor esete egy ilyen ritka kivétel), célszerű ezt

is változónak nevezni. (A megállapítható változó is változó!) Ezt a változót fogjuk x-szel jelölni, és

a (minket tulajdonképpen érdeklő) vizsgált változót (pl. a vérnyomást, testmagasságot, valamilyen

lelki jelenség mérőszámát) y-nal.

Mint a címben is olvasható: ezeknek a mintáknak függetleneknek kell lenniök. Ez egész egy-

szerűen azt jelenti, hogy az egyikben szereplő adatok semmilyen befolyással ne legyenek a másik

minta adataira. (Ha tehát az egyik minta adatait megváltoztatjuk, attól a másik minta adatai ne vál-

tozzanak.) Legegyszerűbb, legtermészetesebb formája az ilyen független mintáknak, ha azokban

más személyek szerepelnek: egyetlen olyan személy se legyen, aki két vagy több mintában szerepel

(például úgy, hogy két kezelést is „kipróbálunk” ugyanazon a személyen – és mindkét adatot föl-

használjuk).

Több mintát kell tehát összehasonlítanunk, és ezt „egyszerre” akarjuk elvégezni. De miért egy-

szerre? Miért nem jó, ha kiveszünk két mintát, összehasonlítjuk őket,* aztán veszünk újra kettőt,

összehasonlítjuk azokat is, addig folytatva ezt, míg minden összehasonlítás meg nem történt?**

Azért nem, mert minden összehasonlítás egy-egy statisztikai próbát jelent. Minden próbavégzés

közben vállalunk bizonyos kockázatot: annak kockázatát, hogy elvetjük az (egyébként igaz) null-

hipotézist. Ez a kockázat rendszerint 5%; korábban inkább (első fajta) hibának hívtuk. Ezek az

alkalmanként vállalt kockázatok pedig összegyűlnek – úgy szokták szép tudományosan mondani,

hogy kumulálódnak –, ami a végén azt eredményezi, hogy ha különbséget találunk a minták közt,

ennek az állításnak a hitelessége ugyancsak kicsi: a (kumulálódott) első fajta hiba mondjuk 40%

lesz. Nem csoda, ha ilyen nagy hiba – ilyen magas szignifikanciaszint! – mellett egyforma minták

közt is gyakran találunk különbséget.

Az egyes próbavégzések hibái nem adódnak egyszerűen össze, de ez gyenge vigasz ebben

az esetben. Ha összeadódnának, akkor már 20 összehasonlítás – 20 kétmintás t-próba –

után a (tévesen kapott) különbség hibája 100% lenne! (Ne felejtsük el: azt nézzük, hogy

mikor kapunk különbséget abban az esetben, ha nincs különbség – vagyis ha igaz a null-

hipotézis. Első fajta hibát csakis ilyenkor lehet elkövetni.) Még független összehasonlítások

esetén sincs egyszerű összeadódás, de ha valamennyi párt megnézzük, az összehasonlítások

nem lesznek függetlenek. Ha (például) azt kaptuk, hogy az A minta nagyobb B-nél (ez az

átlagok különbségét jelenti) és a C minta nagyobb A-nál, ebből már (szinte biztosan) követ-

kezik, hogy C B-nél is nagyobb. (A szórások és elemszámok különbözősége***

miatt nem

teljesen biztos ez az állítás.) Annyi mindenesetre igaz, hogy bizonyos összehasonlítások

eredménye a többiekéből már következik.

Hogy könnyebb legyen megérteni, miért helytelen a páronkénti próbavégzés az egyszerre történő

döntés helyett, megpróbálunk szemléletes magyarázatot adni az előbbi, nagyon is teoretikus indo-

kolás helyett.

Van több független mintánk, amelyek közt semmi különbség nincs – hiszen ugyanabból a vál-

tozóból vettük őket. Hogyan lehetséges ez? Hát például úgy, hogy különböző (gyógy)szerek hatá-

* Erre ismerünk is eljárást a második részből: a kétmintás t-próbát. (Normális eloszlású, független mintákról van szó!)

** A statisztika elemeinek megismerése során már találkozott ilyen feladattal az olvasó. Így ki tudja számítani, hogy

hány összehasonlítás lehetséges. Például 10 minta esetén 45; nemde?

*** A szórások egyformaságát egyébként külön feltételben fogjuk kikötni, akárcsak a t-próbánál.

10

sát kívánjuk vizsgálni valamilyen y változóra, de a csoportok egyike sem kapta meg a szert, mert

az evvel megbízott személy egyszerűen nem adta be. (Persze mi ezt nem tudjuk.) Ilyenkor is lesz –

a véletlen hatása következtében – némi különbség a csoportátlagok közt. Ha elég sok csoportunk

van, (szinte) biztos, hogy a legkisebb és a legnagyobb átlag szignifikánsan különbözik. (Próbálják

ki!) Ha nem lenne így, az arra mutatna, hogy a véletlen „nem működhetett szabadon”.

Elfogadjuk tehát, hogy egyetlen próbával kell döntenünk, egyszer szabad csak „kockázatot”,

első fajta hibát vállalnunk. Ezt az „egyszerre döntést” egyetlen F-próba végzi el – és ami lehetővé

teszi a próbát, az a címben említett egyszempontos varianciaanalízis.

Mielőtt bemutatnánk – képletben és példán – a módszert, beszéljünk röviden arról, hogy mit

jelent az „egyszempontos” kifejezés.

Nyilván azért hívják így, mert van két- (és több)szempontos varianciaanalízis is. De mit neve-

zünk szempontnak? Azt a változót (x-et), amely megkülönbözteti a mintákat: a kezelést, a körülmé-

nyeket, a „hovatartozást”. (Ez utóbbi nemcsak a már említett életkor lehet, hanem a nem, a szár-

mazás, a szociális státus, az iskolai végzettség és sok minden más.)

Az egyszempontos pedig azt jelenti, hogy egyetlen ilyen „specifikáló” változó van. Jól meg-

világítja ezt egy egyszerű példa. Van négy csoportunk, amelyek „hovatartozás” szerint különböz-

nek: fiatal nők, fiatal férfiak, idős nők, idős férfiak. Itt két „megkülönböztető” változó van: a kor és

a nem. Ha ezt figyelmen kívül hagyva egyszerűen összehasonlítanánk a négy csoportot, nehezen

vagy sehogy sem tudnánk megállapítani, hogy az (esetleg) talált különbséget mi okozza: a vizsgált

személyek kora? Vagy az, hogy a férfiak és nők közt különbség van? Netán mindkettő?

Ennek eldöntésére kétszempontos varianciaanalízisre lenne szükség. Egyelőre azonban még az

egyszempontost sem ismerjük, ezért „hagyjuk itt” ezt a példát. Csak annyit jegyzünk meg, hogy

ezt a négy csoportot nem helyes „egy sorba” írni; ha négyzet alakban rendezzük el őket úgy, hogy

a fölső sorba kerüljön az első és a harmadik minta, alájuk a második és a negyedik, akkor a sorok

eltérése mutatja a nemek különbségét, az oszlopoké pedig az életkor okozta különbségeket. Erre

később még visszatérünk.

Egyelőre azonban egy sorba rendezzük mintáinkat, hiszen egyetlen szempont különbözteti meg

őket: különböző gyógyszerek (akárhány lehet!) vagy egy gyógyszer különböző dózisai. Az olva-

sóra bízom, hogy a körülmények és a hovatartozás esetére is képzeljen magának példát, ahol egyet-

len sorba lehet rakni a mintákat, hiszen egyetlen szempont (egyetlen x változó) különbözteti meg

őket. Inkább ne az előbbi példával próbálkozzék, mert ott minden „szempontnak” csak két értéke

van: fiatal és öreg, férfi és nő; erre az esetre pedig alkalmazható a kétmintás t-próba is. (Hibát

azonban így sem követ el, hiszen a több független csoport nem jelenti azt, hogy kettőnél több; a

varianciaanalízis két minta összehasonlítására is alkalmas.)

4.2.2 Jelölések és előkészítő számítások

Az adatok jelölésére legtöbbször az x betűt használjuk, de semmi nehézséget nem jelent, ha ezúttal

y-nal jelöljük azokat. (Később visszatérünk a megszokottabb x-hez.) Emlékeztetünk, hogy ezt a

kissé rendhagyó jelölést a mintákat megkülönböztető másik változó – a szempont – miatt vezettük

be: x-szel ugyanis amazt jelöltük.

Az egyes mintaelemeket a változó (alsó) indexe, i különbözteti meg egymástól; ez 1 és n (a

minta elemszáma) közt változik. Csakhogy itt nem egy, hanem több minta van! Ezért szükség van

egy második indexre (j), amelyik azt mutatja meg, hogy hányadik mintáról van szó. Az adatok ál-

talános jelölése yij ; így például y23 a harmadik minta második elemét jelenti. Nem lesz azonban jó

az n jelölés sem, hiszen az egyes mintákban eltérő lehet az elemszám. Ezért ezt is indexszel látjuk

el: n1, n2, …, általában nj: innen már tudjuk, hogy hányadik minta elemszámáról van szó. Még egy

jelölésre szükség van, hogy az adatokat táblázatba foglalhassuk: h fogja jelölni a minták számát.

A mintákat valahogy el kell nevezni. A gyakorlatban rendszerint az alkalmazott kezelés, a

körülmény, a hovatartozás adja a nevet; vagyis a „szempont” – az x változó – „értéke”. Egyelőre

az ABC nagybetűivel szimbolizáljuk őket. Az áttekinthetőség érdekében foglaljuk táblázatba a

mondottakat (4.1. táblázat).

11

4.1. táblázat: Az egyszempontos varianciaanalízis jelölései

A B . . . Z

1

31

21

11

1

.

.

.

ny

y

y

y

2

.

.

.

32

22

12

2ny

y

y

y

. . .

jn

j

j

j

jy

y

y

y

.

.

.3

2

1

. . .

hn

h

h

h

hy

y

y

y

.

.

.

3

2

1

Elemszám:

jn

1n

2n

jn

hn Nn

jj

Összeg:

jT

1T

2T

jT

hT

jjT

Átlag :

jy

1y

2y

jy

hy ―

Az adatok

négyzetösszege: i

ijy2

iiy21

iiy22

iijy2

i

ihy2

2ijy

Korrekciós tag:

j

j

n

T 2

1

21

n

T

2

22

n

T

j

j

n

T 2

h

h

n

T 2

j j

j

n

T 2

Négyzetösszeg:

jQ

1Q

2Q

jQ

hQ

j

jQ

Variancia: 2js

21s

22s 2

js 2hs ―

Szórás: js 1s 2s js

hs ―

Az adatoszlopok egyenlőtlen hosszúsága a minták eltérő elemszámát szimbolizálja.

A 4.1. táblázat alsó részében az előkészítő számolások szerepelnek. Ezekben nincs semmi új (a

szórások kiszámításáról van szó), egyedül az összegre vezettünk be új jelölést:

(4.1) .ji

ij Ty

A szórásszámítások részleteire szükségünk lesz később, ezért tüntettük fel valamennyit. Az egyes

lépések neve és kiszámítási képlete egyaránt szerepel a táblázatban – kivéve az utolsó három

lépést. Bár ezek is jól ismertek, biztonság kedvéért megadjuk őket:

(4.2) ,

22

j

j

i

ijjn

TyQ vagyis a fölötte levő két szám különbsége.

12

(4.3) .,1

22jj

j

jj ss

n

Qs

Egyelőre higgyük el (majd később látni is fogjuk), hogy ezeknek a részeredményeknek az összege

jó lesz valamire; az utolsó oszlop ezeket tartalmazza. Ezért kár lett volna külön táblázatot készíteni

később.

Mindössze öt sorban készítettük el az összeget. (Sor irányban összegezünk; ez j-re vonatkozó

összegezést jelent. Föl is tüntetttük ezt, a szumma jel alatt. A kettős szumma azt jelenti, hogy

mindkét változó valamennyi értékére el kell végezni az összegezést.) A többi összeg azért hiány-

zik, mert nem használjuk föl később; egyébként az átlagok vagy a szórások összegének nincs is

értelme, nincs semmilyen megfogalmazható tartalma. A többi összegnek azonban van! A második,

a táblázatban -es számmal jelölt összeg például a „teljes minta”, vagyis az összes adat összege.

(Mintha „ömlesztenénk” őket.) Hasonlóképp értelmezhető – a képletek alapján – a másik négy

összeg is.

Az utolsó oszlopban látható bekarikázott számok pusztán kényelmi célokat szolgálnak: magya-

rázat közben, amikor a varianciaanalízis képleteit vezetjük be és értelmezzük, nehézkes lenne foly-

ton a bonyolult képleteket vagy a szintén nem egyszerű szöveget („az összes adat négyzetösszege”

– és ez még az egyszerűbbek közül való) idézni. Ezért ezekkel a számokkal utalunk rájuk.

Mielőtt a varianciaanalízisbe belekezdenénk, lássunk egy példát. Természetesen a példán is

csak az „előkészítő számításokat” tudjuk egyelőre elvégezni, de az olvasó, különösen a képletek

világában járatlanabb olvasó jól teszi, ha saját maga is végigszámolja ezeket, és egyezteti eredmé-

nyeit a könyvben találhatókkal. A megértés ellenőrzésének legbiztosabb módja a könyvben

található számpéldák önálló megoldása; máskor is éljünk ezzel a lehetőséggel.

A számpélda ezúttal – kivételesen – „valódi”: egyetemi hallgatók (gyógyszerészek) laborató-

riumi méréseiből vettük őket. A részletekre, a példa „szövegére” itt nincs szükségünk, de a tisztes-

ség úgy kívánja, hogy röviden ismertessük az adatok jelentését.

Valamilyen szárított gyógynövény törmelékéből kellett a hallgatóknak kivonniuk a benne levő

glikozidot. Az adatok (yij) azt mutatják, hogy a teljes glikozidmennyiség hány százalékát sikerült a

hallgatóknak kivonniuk a növényből.

Az egyes mintákat a gyógynövénytörmelék „finomsága” különbözteti meg: a minták „neve” a

növénydarabok mérete (az ún. szemcseméret) centiméterben.* Ez lesz a későbbi x változó.

A kérdés tehát valami olyasmi, hogy a kivonható glikozidmennyiség függ-e vajon a növény

szemcseméretétől.

Az eddigiek alapján az a megfogalmazás lenne természetesebb, hogy különbözik-e a kivon-

ható glikozidmennyiség eltérő méretű növénytörmelék esetén? A fenti szóhasználat azon-

ban, amely a szemcseméret és a glikozidmennyiség közti összefüggést emeli ki, nemcsak a

szöveget teszi egyszerűbbé, hanem rávilágít a statisztikai módszer – jelen esetben a varian-

ciaanalízis – kapcsolatára más (itt korrelációs és regressziós) eljárásokkal. Érdemes élni

ezekkel a nyelvi – fogalmazási – eszközökkel: könnyebben érthetők, sőt maguktól értető-

dők lesznek a statisztika olyan rejtett összefüggései, amelyeket csak bonyolult matematikai

módszerekkel lehetne egyébként kimutatni.

Ezekre az adatokra tehát varianciaanalízist fogunk alkalmazni. Ez is mutatja, hogy a feltételek

teljesülése vonatkozásában nem vagyunk valami kényesek. Hiszen a százalékok, ezek a nemcsak

alulról**

, hanem fölülről is szigorúan behatárolt adatok nem követhetnek normális eloszlást! Mivel

azonban adataink valahol a skála „közepén” helyezkednek el, ez a behatárolás nem érinti őket

számottevően. Másrészt a mérések eredményét rengeteg, egymástól lényegében független tényező

* Voltaképp a szétválogatáshoz használt szita mérete az, amit ismerünk. Ez inkább csak egy „finomsági fokot” ad meg,

nem igazi méretet.

** Legtöbb mérési adat pozitív, tehát alulról mindig „be van határolva”.

13

befolyásolja. Így hát abban bízunk, hogy eloszlásuk mégiscsak (közelítően) normális lesz. (Ezt

„ígéri” nekünk a centrális határeloszlástétel.)

Lássuk ezután a példát! (4.2. táblázat.) A számoláshoz és a jelölésekhez nincs semmi hozzá-

fűzni valónk; mindezt megtettük az 1. táblázattal kapcsolatban.

Egyetlen sorral egészült ki a 2. táblázat (az elsőhöz viszonyítva): ebben V-t, a variációs együtt-

hatót adtuk meg. Biztonság kedvéért ennek is megismételjük itt a – jelen esetre alkalmazott – kép-

letét:

(4.4) .100j

jj

y

sV

Megjegyezzük, hogy kiszámítása nem tartozik szorosan a varianciaanalízishez; általában nincs is

rá szükség. De valójában az átlagra és a szórásra sincs szükség (vagyis: nem használjuk fel őket a

varianciaanalízis végzésekor), mégis „illik” őket kiszámítani. (Mintáink „megismeréséhez” szük-

ségünk van rájuk.)

4.2. táblázat: Példa egyszempontos varianciaanalízisre

0,08 0,15 0,26 0,475 0,81

64,2

73,9

44,6

70,0

36,8

58,2

63,8

42,6

32,3

60,3

54,1

39,6

56,7

27,6

48,6

59,4

54,0

43,6

28,0

37,9

21,8

46,2

39,4

31,8

26,2

16,3

32,0

21,8

jn

6

5

6

6

5

28

jT

347,7

253,1

285,9

216,9

128,1

1231,7

jy

57,95

50,62

47,65

36,15

25,62 ―

i

ijy2

21213,49

13491,39

14351,13

8283,41

3462,61

60802,03

j

j

n

T 2

20149,215

12811,922

13623,135

7840,935

3281,922

57707,129

jQ

1064,275

679,468

727,995

442,475

180,688

3094,901

2js 212,855 169,867 145,599 88,495 45,172 ―

js 14,590 13,033 12,066 9,407 6,721 ―

jV 25,18 25,75 25,32 26,02 26,23 ―

14

4.2.3 A variancia felbontása és Cochran tétele

A variancia egy Q négyzetösszeg és egy f szabadságfok hányadosa; a szabadságfok a négyzetösz-

szeg lineárisan független tagjainak számával egyenlő. Ez mindig kisebb a négyzetösszeg tagjainak

számánál; hogy mennyivel kisebb, azt a tagok közt fennálló lineáris összefüggések száma határoz-

za meg.

Ezekkel a fogalmakkal találkoztunk már, azt is tudjuk, hogy egyetlen minta varianciája esetén

a Q éppen n tagból áll (ahol n a minta elemszáma), a szabadságfok pedig ennél eggyel kisebb,

tehát (n–1). Mégis álljunk meg itt egy pillanatra, és vizsgáljuk meg a kérdést kicsit általánosabban.

4.2.3.1 A lineáris függetlenség

Lineáris a matematikai kifejezésekben elsőfokút jelent. A „linea” (= egyenes) egyenlete első fokú

tagokból áll; innen a név. Azért fontos az elnevezésben a lineáris jelző hangsúlyozása, mert a Q

négyzetösszeg másodfokú tagokból áll; a függetlenséget (illetve az összefüggést) nem a tagok,

hanem azok négyzetgyöke közt keressük.

A lineáris függetlenség csak a lineáris összefüggéssel együtt, annak segítségével értelmezhető.

Lássuk tehát először, mi is az a lineáris összefüggés.

A z1, z2, …, zn mennyiségek közt akkor áll fönn lineáris összefüggés, ha sikerül találni olyan

c1, c2, …, cn együtthatókat, amelyek nem valamennyien nullák,* és amelyekre teljesül

(4.5) .0ii zc

Ha ilyen van, akkor az egyik z (egy olyan, amelyiknek nem nulla az együtthatója) kifejezhető a

többi segítségével: a többit átvisszük a túloldalra, és az együtthatóval osztunk. Ily módon az egyik

z-t a többiek lineáris kombinációjával fejeztük ki. A zi mennyiségek „tényleges száma” tehát nem

n, hanem 1-gyel kevesebb.

Ha még egy összefüggést találunk, az egész eljárást megismételjük – és már csak (n–2) z

mennyiségünk van; amit az eredeti, n darab z-vel ki tudtunk fejezni, azt (n–2)-vel is ki tudjuk. És

így tovább: ahány lineáris összefüggést találunk, annyival csökken a zi mennyiségek száma. Az

elhagyottakat a megmaradtakkal – azok lineáris kombinációival – fejezzük ki. Ami végül is meg-

marad, azokat lineárisan függetleneknek nevezzük.

Arra természetesen vigyáznunk kell, hogy az összefüggések is függetlenek legyenek: ne követ-

kezzék egyik a másikból. Ezt inkább „számpéldán” mutatom meg.

Találtunk egy lineáris összefüggést: 2z1 + 3z2 + z3 = 0. (Mondjuk, hogy a többi ci nulla. De az

is lehet, hogy összesen három z van.) Akkor nem állhatunk elő a következővel, mint újabb össze-

függéssel: 4z1 + 6z2 + 2z3 = 0. Pedig igaz ez is! De nem „független” amattól, hiszen úgy kaptuk,

hogy az elsőt 2-vel végigszoroztuk. (Akármilyen számmal szorzunk, nem új összefüggést kapunk,

hanem az előbbi közvetlen következményét.)

Ugyanígy nem új lineáris összefüggés, ha két – már számításba vett – összefüggés összegét

vagy különbségét próbáljuk meg „elsütni”, mint újabb összefüggést a zi mennyiségek közt. Ezt már

nem olyan könnyű belátni, mint az előzőt, de higgyük el: így van. Nem kell túlságosan belemerül-

nünk a kérdésbe, elég, ha értjük, miről van szó.**

Közben kétszer is használtuk – magyarázat nélkül – a lineáris kombináció kifejezést: egyes

z-ket a többiek lineáris kombinációjával fejeztünk ki. Ez tehát ugyanolyan, együtthatókkal képzett

elsőfokú összeg, mint (4.5), csak éppen nem kell nullával egyenlőnek lennie.

* Ha minden ci nulla, akkor a következő sorban (képletben) megfogalmazott állítás nyilvánvalóan igaz. A matematika

az ilyet triviális összefüggésnek nevezi, és természetesen nem számítja a lineáris összefüggések közé.

** Ha netán egyszer ilyen összefüggéseket kell keresnünk, ne féljünk, hogy olyanokat találunk fölírni, amelyek nem

függetlenek. Hacsak nem szándékosan teszi valaki (például szorzással vagy két összefüggés kombinációjával), akkor

nem fogja elkövetni ezt a hibát. Érdekes, de igaz: egymásból következő összefüggéseket véletlenül nem ír föl az ember.

15

Térjünk most rá a négyzetösszegekre. A legegyszerűbb, a legtöbbet szereplő az, amelyet egyet-

len minta varianciájának számítása során kapunk:

(4.6) .)( 2xxQ i

Ezúttal a szokásosabb x jelölést használtuk y helyett.

Azt tudjuk, hogy ennek szabadságfoka (n–1). De mi az az egyetlen lineáris összefüggés, amely

ezt a „csökkenést” okozza? És egyáltalán: mik azok a (korábban z-vel jelölt) „tagok”, amelyek

közt az összefüggést keresni kell?

Mivel lineáris összefüggésről van szó, nyilván nem a Q kifejezés (négyzetes) tagjai kellenek,

hanem azok „négyzetgyökei” (pontosabban: a négyzetre emelés előtti kifejezések): ).( xxi A

keresett lineáris összefüggés is jól ismert: .0)( xxi A korábbi gondolatmenetbe illesztve ez

azt jelenti, hogy valamennyi ci együttható 1-gyel egyenlő.

A varianciaanalízis első lépésben a Q négyzetösszeget bontja majd fel tagokra. Feladatunk lesz

e tagok szabadságfokát meghatározni. Ehhez a köztük fennálló lineáris összefüggéseket kell észre-

vennünk (és fölírnunk), de ennél egyszerűbben is eljárhatunk: szemléletesen belátjuk, hogy milyen

összefüggések vannak a tagok közt (anélkül, hogy fölírnánk őket), és ezért mennyivel csökken – a

tagszámhoz képest – a szabadságfok.*

4.2.3.2 A négyzetösszeg felbontása

A variancia komponensekre bontása mindig, így a varianciaanalízisben is úgy történik, hogy a

számlálóban álló négyzetösszeget és a nevezőben álló szabadságfokot bontjuk fel összegekre (akár

többtagúakra is), majd ezekből külön-külön számolunk varianciát. Az eredeti variancia a kompo-

nenseknek nem összege, hanem súlyozott átlaga lesz, a nevezőkkel (szabadságfokokkal) mint sú-

lyokkal számolva. Mindezt egyébként tudjuk már a korábbiakból.

A felbontás akkor hasznos, ha az egyes komponenseknek jelentése van, ha képviselnek vala-

mit. A varianciaanalízis célja éppen az, hogy ilyen komponenseket állítson elő.

Az egyszempontos varianciaanalízis mindössze két komponensre bontja a varianciát. Az első a

minták közti különbségeket jellemzi (ezt 2ks -tel jelöljük), a második a mintákon belüli, elképzelé-

sünk szerint pusztán a véletlentől függő eltéréseket; ennek jelölése .2bs A felbontandó, a „teljes

minta” – az ömlesztett adatok – különbözőségét jellemző variancia jele .2ts Az indexek az egyes

varianciák jellegzetességének kezdőbetűjére utalnak, így könnyen megjegyezhetők.

Mint mondtuk, a teljes variancia a minták közti és a mintán belüli variancia súlyozott átlaga –

ezzel azonban nem sokra megyünk. Sokkal hasznosabb számunkra az az összefüggés, amely sze-

rint a teljes mintához tartozó négyzetösszeg, tQ , a másik két négyzetösszeg összege:

(4.7) .bkt QQQ

Ez fog hozzásegíteni ahhoz, hogy az újabb négyzetösszegek képletét előállítsuk.

A minták közti eltéréseket úgy jellemezhetjük legjobban, ha „helyzetüket” az átlagukkal

adjuk meg; a minták átlagai közti különbség mértéke – az ezekből számított variancia és

négyzetösszeg – megfelelő mértékszám lesz a minták közti különbségek mérésére. A

mintán belüli eltéréseket a saját átlaguktól mért négyzetes eltérések összege (Q) jellemzi a

legjobban; ezeket kell valahogy kombinálni, hogy egyetlen mérőszámot kapjunk a h minta

közös jellemzésére. A megfelelő formulákat egy levezetés szolgáltatja. Egyetlen új

jelölésre van (ideiglenesen) szükségünk, a „teljes minta” átlagára:

* Még egyszerűbb az, ha egyszerűen megtanuljuk, hogy melyik négyzetösszegnek mennyi a szabadságfoka.

16

(4.8) .N

yy

ij

És most lássuk a levezetést!*

(4.9) .0))((2)()(

)()(

22

22

kbjijjjij

jjijijt

QQyyyyyyyy

yyyyyyQ

A „trükk” mindössze annyi volt, hogy minden taghoz hozzáadtuk és levontuk a mintaátla-

got (ezzel semmit nem változtatva). A két tagot ugyan „fordított sorrendben” kaptuk meg,

de mondanivalójuk – a minták saját átlagaitól való eltérések négyzetösszege, illetve az

egyes mintaátlagok közti eltérések négyzetösszege – pontosan ugyanaz, mint amit előre

elhatároztunk. De miért lesz nulla a kétszeres szorzat? Erről még szólnunk kell néhány

szót.

Itt használjuk ki azt, hogy éppen az átlagokat vittük be, a tőlük való eltéréseket vizsgáltuk.

Tudjuk, hogy az átlagtól való eltérések összege nulla; ezért „tűnt el” a kétszeres szorzat. De

lássuk a kérdést részletesebben is!

Mivel az egyik tényezőben nem szerepel i, az „konstans” – az i szerinti összegezés szem-

pontjából. Ezért kiemeljük a szumma jel elé:

j i

jijjjjij yyyyyyyy )()(2))((2

A j szerinti összegezés minden tagjában egy nullával egyenlő összeg áll (az egyes minták

saját átlagaiktól való eltérésének összege). Egy olyan (h tagú) összegünk van tehát, amely-

nek minden tagja nulla; az ilyen összeg mi lehetne más, mint nulla?

A kapott kifejezések – egyelőre ugyan csak -os, „nem kötelező” anyagrészben kaptuk meg őket

– pontosan mutatják, hogy miről van szó (a mintákon belüli, illetve a minták közti négyzetösszeg-

ről), de számolásuk igen kényelmetlen, hosszadalmas.**

Ezért átalakítjuk őket úgy, ahogy egyetlen

minta varianciája esetében is tettük. Ismét levezetés következik…

(4.10)

j

j

j i

jijb QyyQ 2)( .

Nemcsak hallatlanul egyszerű képletet kaptunk, hanem már meg is van ez az érték! A két

táblázatban pontosan ezt jelöltük -tel.

A másik formula már nem lesz ilyen egyszerű, de számolásra sokkal alkalmasabb a koráb-

bi, definiáló képletnél. Előbb kiemeljük az i-t nem tartalmazó tényezőket – vagyis mindent!

– az i szerinti szummából, azután elkészítjük az ott maradó konstans i szerinti összegét:

(4.11) ,)(1)( 22 j

jj

j i

jk yynyyQ

végül elvégezzük a négyzetre emelést, és összevonjuk az egyforma tagokat:

* A levezetések nem arra valók, hogy bárki „megtanulja” őket! Végiggondolásuk azonban segít a fogalmak megérté-

sében, és támpontot ad a számítások célszerű elvégzéséhez is. Mindenképp érdemes legalább egyszer alaposan végig-

gondolni őket, de még jobb, ha megpróbáljuk magunk előállítani a végeredményt. Nem baj, sőt egyenesen jó, ha az

egyes lépések eltérnek a könyvben találhatóktól.

** Nemcsak nekünk: a számítógépnek is! Az ugyan „megbirkózik” az ilyen időigényes feladatokkal is, de akkor is

igaz, hogy célszerűtlen ezeket a képleteket használni. Erről a könyv első részében már sokszor volt szó.

17

(4.12)

.)(

22

22

2

2

222

N

T

n

T

NN

TT

N

T

n

TnnyynyynQ

j

j

j

jj

j

j

jj

j j j

jjjjjk

Mivel csak j szerinti összegezés szerepel és teljesen eltűnt az i index, elhagytuk az összege-

zési változót a szumma jel alól. (Ha félreértést nem okozhat, máskor is ezt fogjuk tenni.)

Ez a formula is könnyen kifejezhető a táblázat utolsó oszlopában álló, jóelőre kiszámított

összegekkel. (L. a 4.1. táblázatot!) Az első tag egyszerűen -gyel egyenlő, és a második

sem igényel sok számolást: négyzetét kell osztanunk -gyel.

Mi szükségünk volt akkor -ra, kérdezhetné az olvasó. Közvetlen szükségünk nincs, de

egy ilyen összetett számításnál nem árt az ellenőrzés. Ezért ajánlatos kiszámítani – függet-

lenül az eddigi számításoktól – Qt-t is, és megnézni, hogy egyenlő-e Qk és Qb összegével.

A teljes minta Qt négyzetösszegét szintén nem a definiáló formula alapján számoljuk (ez

megtalálható (4.9) elején, a 16. lapon), hanem átalakítjuk – pontosan úgy, ahogy korábban

tettük. Csak a végeredményt írjuk föl:

.

2

2

N

T

yQj

j

ijt Itt szerepel , és persze ismét és .

Qk, Qb és Qt (definiáló és számolásra alkalmas) képleteit megismételjük; hogy az is könnyen meg-

találja őket, aki netán átugorta volna a -os részeket:

(4.13)

N

y

n

TyyQ

ij

j j

jjk

222)(

(4.14) j

jjijb QyyQ 2)(

(4.15)

N

yyyyQ

ijijijt

2

22)(

Az első formulából lehet megérteni, hogy mit fejez ki, mit képvisel az illető négyzetösszeg, a má-

sodik formula a számolásra alkalmas, arra ajánlott forma. Remélhetőleg nem okoz zavart, hogy az

adatok összegét a 4.1. táblázattól – és a levezetésektől – eltérő módon jelöltük; így talán jobban

hasonlítanak a képletek a leíró statisztikában megszokott formulákhoz.

4.2.3.3 A szabadságfokok meghatározása

Lássuk a négyzetösszegeket egyenként. A (4.11) képletből látszik, hogy Qk különböző tagjainak

száma nem N, hanem h; szabadságfoka ezért legfeljebb h lehet. A tagok közt azonban van egy

összefüggés, amit arról könnyű észrevenni, hogy mindegyikben szerepel y , a teljes minta átlaga.

A szabadságfok tehát:

(4.16) .1 hfk

18

Ez a gondolatmenet felszínes, pontatlan volt. Ám legtöbbször elég ennyi, hogy a szabad-

ságfokot meghatározzuk, vagy legalábbis felidézzük, eszünkbe juttassuk, hogy mennyi is

lehet a korábban már meghatározott szabadságfok.

A helyes módszer az lett volna, hogy megkeressük (és felírjuk) azokat a lineáris összefüg-

géseket, amelyek a Qk négyzetösszeg tagjai közt fennállnak. Ha elfogadjuk, hogy az N tagú

összeg h tagúra „zsugorodott”, könnyű dolgunk van. Igaz ugyanis, hogy

.0)( NN

TTnyynyyn

jjjjjjj (Itt nem használtunk fel mást,

mint az átlagok definiáló formuláit és a szumma jelre vonatkozó, már számtalanszor alkal-

mazott három „számolási szabályt”.)

A fenti formula az 4.2.3.1 pont szóhasználatával azt jelenti, hogy cj=nj választással kapjuk

a megfelelő lineáris összefüggést. Többet – akárhogy próbálkozunk is – nem sikerül találni.

Elnagyoltunk azonban egy lépést. Bármennyire szemléletes is az N tagú összeg h tagúvá

történő átalakulása, nem illik a szabadságfok lineáris összefüggések segítségével történő

definíciójába. Járjunk ez egyszer ennek is a végére – de többet igazán nem tesszük meg:

eléggé egyértelmű, hogy az egyforma tagok nem lehetnek lineárisan függetlenek. És most

lássuk a beígért formulákat!

Az első mintához (j = 1) tartozó n1 (egyforma) tag közül az elsőhöz rendeljük az 1, a máso-

dikhoz a –1 együtthatót (c1 = 1, c2 = –1); az összes többi c együttható nulla. Mivel ezek

a tagok egyformák, különbségük nyilván nulla; ez tehát egy lineáris összefüggés.

A második összefüggést úgy kapjuk, hogy az első tagot ismét 1 együtthatóval vesszük,

ezúttal azonban a harmadiknak adjuk a –1 együtthatót (míg a fennmaradó N–2 együttható

nulla). Ezt éppen (n1–1)-szer tudjuk megcsinálni; több ugyanekkora tag nincs.

Ezután olyan lineáris összefüggéseket írunk föl, amelyek a második mintához tartozó tagok

egyformaságát használják ki: az elsőhöz 1, rendre a többihez –1 együtthatót rendelve, most

(n2–1) lineáris összefüggést kapunk. (Az összes többi együttható persze most is nulla.)

Végül is hNnnn h )1(...)1()1( 21 egymástól független, a feltételeknek meg-

felelő lineáris összefüggést találunk, ha mind a h mintán, a négyzetösszeg mind az N tagján

végigmentünk. A kapott összefüggések számát le kell vonnunk a tagszámból:

,)( hhNN és ebből jön le még 1, a levezetés elején felírt lineáris összefüggés miatt.

A szabadságfok tehát h–1, ahogy azt korábban szemléletesen is kaptuk.

A Qb négyzetösszeg szabadságfoka, mint a képletből szinte azonnal leolvasható:

(4.17) ,hNfb

hiszen N tagja közt a h összefüggést (a h mintaátlagot) első pillantásra fölfedezhetjük. Semmivel

sem nehezebb azonban a h darab lineáris összefüggés fölírása.

Adjunk az első mintához tartozó tagok mindegyikének 1 együtthatót, és rendeljünk a többi

mintát képviselő tagokhoz nullát. Az eredmény (az átlag közismert definíciója miatt) nulla, tehát

lineáris összefüggést találtunk: .0)( 11 i

i yy Ugyanezt megismételjük rendre valamennyi

mintával: azok elemeinek saját átlaguktól vett eltérésösszege szintén nulla. Annyi összefüggést

találtunk tehát, ahány minta van (vagyis h-t); ezt kell a tagszámból levonni, hogy a szabadságfokot

megkapjuk.

A Qt négyzetösszeg szabadságfoka természetesen

(4.18) ,1 Nft

19

ezt talán említeni sem kell. Nemcsak a tagok közti egyetlen összefüggés mutatja ezt, hanem az a

korábbi ismeret, hogy a minta átlagtól való eltérés-négyzetösszegének a szabadságfoka eggyel

kisebb az elemszámnál. A teljes minta pedig egyszerűen egy minta és Qt az átlag körüli eltérések

négyzetösszege. A formula nem sejtheti azt, hogy ezt a mintát kisebb mintákra tagolva írtuk fel!

4.2.3.4 Cochran tétele

Ha megnézzük az előző pontban kapott eredményeket, könnyű észrevenni, hogy tbk fff .

Ugyanez az összefüggés volt érvényes a négyzetösszegekre is )( tbk QQQ , ami azt jelenti,

hogy valóban varianciaanalízis történt: a számlálót is, a nevezőt is – egymásnak megfelelő – össze-

gekre bontottuk.

Idézzük csak föl, mit is képviselnek a variancia komponensei! A mintán belüli variancia, 2bs

csupán a véletlen hatását, az „egyformák közti eltéréseket” méri, vagyis inkább jellemzi.* Elkép-

zelésünk – modellünk – szerint az egy mintán belüli adatok közt semmi különbség nincs; a köztük

levő eltéréseket semmi más nem okozhatja, mint a változó „valószínűségi” természete, a véletlen

okozta – törvényszerű! – ingadozás.

Más a helyzet a minták közti variancia, az átlagokból számolt 2ks esetében. Ennek nagysága két

tényezőtől is függ: egyrészt az átlagok – és ezen keresztül az egyes minták – egymás közti eltéré-

seit tükrözi, másrészt a (változó törvényszerűségeiből fakadó) véletlen ingadozást. Nullhipotézi-

sünk**

értelmében azonban az első nullával egyenlő. Ha tehát igaz a nullhipotézis, a két variancia-

komponens ugyanakkora, hányadosuk éppen 1, pontosabban: 1 körül ingadozik a varianciák há-

nyadosának eloszlására érvényes F-eloszlás szabályai szerint..

De vajon érvényes-e az F-eloszlás ebben az esetben is? Két független, normális eloszlású minta

varianciájának hányadosára érvényes volt. (Emlékeztetőül: normális eloszlású adatok esetén Q lé-

nyegében 2-eloszlású, két ilyen eloszlás hányadosa pedig F-eloszlást követ. A szabadságfokokkal

való osztásra azért volt szükség, hogy a különböző 2-eloszlásokat „egységesítsük”: osztás után a

számlálóban is, a nevezőben is 1 lesz a várható érték.) Itt azonban kissé más a helyzet. Qt kétség-

kívül 2-eloszlású – de mi a helyzet komponenseivel, Qb-vel és Qk-val?

Minderre a Cochran-tétel ad választ, amely nemcsak a komponensek 2-eloszlását, hanem füg-

getlenségüket is kimondja (biztosítva ezzel az F-eloszlás érvényességét), sőt módot ad a „jó” és

„rossz” felbontások megkülönböztetésére is. Nyugodtan mondhatjuk tehát, hogy a varianciaanalí-

zis Cochran tételén alapszik.***

Cochran tételének érdekessége, hogy egyszerre három állítást fogalmaz meg, és bebizonyítja,

hogy ezek kölcsönösen következnek egymásból. Ha tehát bármelyikről meg tudjuk állapítani, hogy

igaz, akkor igaz a másik kettő is. De mik is ezek az állítások?

Kiindulunk egy Q (véletlentől függő) mennyiségből, amelyikről tudjuk, hogy 2-eloszlású, f

szabadságfokkal. Ezt a Q-t felbontjuk két összeadandóra: Q = Q1 + Q2. Ezek szabadságfoka –

lineárisan független tagjaik száma – f1, illetve f2. A következő három állítás „egyszerre” teljesül,

vagyis ha az egyik igaz, igaz a másik kettő is:

* Az ingadozást a szórás méri; annak négyzete, a variancia alkalmas ugyan az ingadozás jellemzésére, de nem lehet

mérőszám: fizikai dimenziója, nagyságrendje nem egyezik meg az adatokéval.

** Erről ugyan eddig még nem volt szó, de magától értetődő a dolog. Említettük (4.2.1 szakasz), hogy a minták közti

különbségre, a minták eltérésére vagyunk kíváncsiak. A nullhipotézis mi más lehetne, mint hogy ezek a minták

egyformák?

*** Igazságtalan lenne, ha nem említenénk meg Sir Ronald Fisher nevét, aki a XX. század első felében élt és működött.

Ő volt a statisztika történetének talán legzseniálisabb alakja, ő „találta ki” a varianciaanalízist, és számos más, a mai

napig használatos statisztikai módszert.

20

1) Q1 és Q2 2-eloszlásúak;

2) Q1 és Q2 függetlenek;

3) f = f1 + f2.

Első látásra aligha érezzük e tétel jelentőségét. Az állításokét talán igen: ha a komponensek

egymástól függetlenek és 2-eloszlásúak, akkor az s

2-ek hányadosára érvényes az F-eloszlás, és

vizsgálható a korábban említett nullhipotézis. De vajon hogyan határozhatjuk meg – a mienknél

alaposabb statisztikai tudás birtokában is – a komponensek eloszlását? Vagy hogyan győződhetünk

meg azok függetlenségéről?

Mindez fölöslegessé válik, ha igénybe vesszük a tétel segítségét. A három fölsorolt állítás köl-

csönösen következik egymásból; ha tehát egyiket igazoljuk, a másik kettő is igaz. Márpedig a sza-

badságfokokra vonatkozó (harmadik) állítás igazolása igazán könnyű: két egész szám összegéről

kell „igazolni” azt, hogy egyenlő egy harmadik számmal.

Egyetlen teendőnk tehát, hogy a komponensek szabadságfokát meghatározzuk. Ez sem mindig

egyszerű; már a legegyszerűbb, egyszempontos varianciaanalízis esetén is okozott némi fejtörést

(lásd az előző pontot!) – de mindenesetre jóval egyszerűbb, mint akár az eloszlás, akár a független-

ség vizsgálata.

Egyszempontos varianciaanalízis esetén nem nehéz belátni a komponensek függetlenségét

sem. Változtassuk meg képzeletben az adatokat úgy, hogy vagy csak 2bs , vagy csak 2

ks

változzék, a másik maradjon változatlan. (Mi más jelentené a függetlenséget, mint hogy

egymástól „függetlenül” reagálnak bizonyos változtatásokra?)

Először járjunk el úgy, hogy minden mintában változtassuk meg az adatokat, tetszés szerint

növelve vagy csökkentve az egyes minták szórását, csak arra ügyeljünk, hogy azok átlaga

ne változzék. (Ez igazán egyszerű: amennyivel „eltoltunk” egy átlagnál nagyobb adatot,

ugyanannyivel kell eltolnunk egy kisebbet is, csak épp ellenkező irányban.) Ezzel nyilván

megváltoztattuk 2bs -et, de 2

ks -et nem: utóbbiban csak az átlagok szerepelnek, az imént

megváltoztatott adatok egyáltalán nem.

Most járjunk el úgy, hogy az egyes mintákat toljuk el, átlagaikkal együtt – ügyelve arra,

hogy a mintákon belüli viszonyok változatlanok maradjanak. Könnyen belátható, hogy

ezzel 2ks alaposan megváltozik. (Akár azt is megtehetjük, hogy minden mintát „egyformá-

vá” változtatunk: mindegyiknek az átlaga legyen ugyanakkora a módosítás után; ebben az

esetben a minták közti variancia értéke nulla lesz.) Mindeközben azonban nem változik 2bs

értéke, hiszen Qb az egyes mintákban számolt Qj négyzetösszegek összege; azok pedig – a

minták speciális mozgatása során – változatlanok maradnak. (Emlékezzünk vissza, hogy a

szórást – kényelmi okokból – úgy számoltuk, hogy valamennyi adatból levontunk egy tet-

szőleges számot; itt is éppen ez történt.)

Ezzel a függetlenség igazolását be is fejeztük.

A Cochran-tételt úgy fogalmaztuk meg, hogy két összeadandóra bontottuk a Q mennyiséget. A

tétel ismételt alkalmazása azonban alátámasztja a többtényezős, sok komponenses fölbontásokon

nyugvó varianciaanalíziseket is. Egyelőre azonban még az egyszempontos varianciaanalízist sem

fejeztük be!

4.2.4 A varianciaanalízis befejezése

Minden készen áll az egyszempontos varianciaanalízis nullhipotézisének vizsgálatára. Egy-egy

osztást kell csak végeznünk, hogy meghatározzuk az 2ks és 2

bs varianciákat:

21

(4.19) 1

2

h

Qs k

k

(4.20) .2

hN

Qs bb

E kettő hányadosa F-eloszlást követ, ha igaz a nullhipotézis. De melyiket kell a másikkal eloszta-

nunk?

Erre az F-eloszlás táblázata adja a magától értetődő választ (III. táblázat). Abban ugyanis

valamennyi eloszlásnak csak a jobb vége, a nagy F-ekhez tartozó rész szerepel. (Emlék-

szünk még, ugye: egy eloszláscsaládról van szó, amelynek tagjait a két szabadságfok

különbözteti meg egymástól.) Ha a nullhipotézis igaz, akkor mindegy, hogy melyik F-et

számítjuk ki. De ha nem igaz, akkor nem érvényes az F-eloszlás: a fenti két variancia

hányadosa „nem tartozik” az eloszláshoz. (Ami persze mindössze annyit jelent, hogy az

eloszlás kis valószínűségű részében, valamelyik végén található.)

Emlékezzünk a 4.2.3.4 pont elején mondottakra: 2ks két dologtól függ, melyek közül az el-

ső a nullhipotézis értelmében nulla. De ha a nullhipotézis nem igaz, akkor ez a tényező – az

átlagok egymástól való eltérése – növeli 2ks értékét, az tehát nagyobb lesz a csak véletlentől

függő 2bs -nél. A minták különbözőségének – a nullhipotézis elvetésének – igazolását esze-

rint akkor mutatja a nagy F-érték, ha 2ks -et osztjuk 2

bs -tel.

(4.21) .2

2

b

k

s

sF

Ez az F-próba, illetve az F-táblázatból kikeresett, hozzá tartozó valószínűség ad feleletet arra,

hogy a minták egyformák-e vagy különböznek (megtartott, ill. elvetett nullhipotézis). Az előbbi

esetben úgy képzeljük, hogy a mintákat ugyanabból a változóból vettük. Azok a kezelések (a

körülmények különbözősége vagy a hovatartozás), amelyek a mintákat megkülönböztették, a

vizsgált y változóra nincsenek kimutatható hatással. (Ami korántsem jelenti, hogy semmiféle

hatásuk nincs! Ha nem befolyásolták pl. a motivációt, attól még fokozhatták a szorongást.)

Mielőtt tovább mennénk, fejezzük be a példát: nézzük meg, hogy a gyógynövénytörmelék mé-

rete befolyásolja-e a kitermelhető glikozid mennyiségét! A számítások nagy része már megvan

(4.2. táblázat), csak be kell helyettesíteni a (4.13)–(4.21) képletekbe. Először 2ks -et számítjuk ki.

Tudjuk, hogy Qk úgy számítható egyszerűen, ha -ből levonjuk négyzetének és -nek a

hányadosát:

901,3094

526,3525129,5770728

7,1231 2

b

k

Q

Q

56,134

38,881

23

901,30942

4

526,35252

b

k

s

s .550,6

56,134

38,881F

Az F-táblázatot (III. táblázat) a (4, 23) szabadságfok-párnál kell felütnünk. Azt találjuk, hogy a

kiszámított F minden, a táblázatban megtalálható értéknél nagyobb; a hozzá tartozó valószínűség

tehát kisebb, mint akár a legkisebb táblabeli érték: p < 0,005. A nullhipotézist tehát elvetjük, és azt

mondjuk, hogy a kivont átlagos glikozidmennyiség függ a szemcsemérettől.

Nekünk persze az is elég lenne, ha ennek tízszeresénél, 0,05-nél (5%) lenne kisebb a valószí-

nűség: megállapodás szerint ezt tekintjük szignifikanciahatárnak. Valahogy mégis nyugodtabbak

vagyunk, ha az eredmény nem „éppen csak”, hanem „nagyon” szignifikáns: igen-igen ritkán fordul

elő, hogy pusztán véletlenül ekkora F-et kapjunk, ha a minták egyformák (vagyis ha igaz a null-

hipotézis).

22

4.2.5 A varianciaanalízis feltételei

Már eddig is szó volt a varianciaanalízis alkalmazhatóságának két feltételéről: a minták legyenek

függetlenek és normális eloszlásúak. Van azonban egy harmadik feltétel, amit eddig nem említet-

tünk: az összehasonlítandó minták szórása legyen egyforma. (Ezzel még hasonlóbbá válik az eljá-

rás a kétmintás t-próbához: ott is ugyanez a három alkalmazhatósági feltétel szerepelt.)

A szórások „egyformasága” persze nem jelent számszerű megegyezést. Hiszen változókról,

véletlentől függő mennyiségekről van szó; ha ugyanabból a változóból veszünk két (vagy több)

mintát, nem kapunk egyforma adatokat, és a belőlük számolt statisztikai jellemzők sem lesznek

ugyanakkorák – pedig mindnyájan ugyanazoknak a paramétereknek a becslései. Hogyan várhat-

nánk hát tökéletes egyformaságot a jelen esetben, amikor „nem is biztos”, hogy a minták ugyanab-

ból a változóból valók? (Ezt ugyanis csak a nullhipotézis állítja.)

Eszerint nem azt kell néznünk, hogy pontosan megegyeznek-e a szórások, hanem azt kell meg-

vizsgálni, hogy az egyes szórások statisztikailag egyformák-e, azaz hogy a köztük levő különbsé-

geket okozhatta-e csupán a véletlen. Statisztikai próbát kell tehát végezni, melynek nullhipotézise

a szórások egyformasága.

Több ilyen próbát ismer a statisztikai irodalom; mi ezek közül kettőt ismertetünk. Az első, az

ún. Bartlett-próba a „klasszikus” eljárások közé tartozik: valószínűleg a legelső próba volt, ame-

lyet erre a célra kidolgoztak. Talán inkább ez a „kegyeleti” szempont az, amiért ez a próba itt sze-

repel; egyébként nem tartozik a közkedvelt eljárások közé. Egyrészt eléggé kellemetlen számolási

procedúrát követel meg (ez azonban csak olyankor zavar, ha számítógép nélkül, „kézzel” számo-

lunk), másrészt nagyon érzékeny a „legfőbb feltétel”, az adatok normalitásának teljesülésére: ha az

adatok nem normális eloszlásúak, a próba eredménye megbízhatatlan.

A másik eljárás a maximális F módszere. Ez igen egyszerű (és megbízható), hátránya azonban

az, hogy csak egyenlő elemszámú minták esetén alkalmazható. Szerencsére a gyakorlatban sokszor

találkozunk olyan feladattal, ahol ez teljesül: a kutatók szívesen tervezik úgy a vizsgálatot, hogy a

csoportok egyforma nagyok legyenek.

Ennek nemcsak valamilyen „esztétikai” oka van, hanem statisztikai szempont is szól az

egyforma csoportlétszámok mellett. Bebizonyították ugyanis, hogy a varianciaanalízis

ilyenkor érzékeny a legkevésbé arra, ha megsértik alkalmazhatóságának első feltételét, a

normális eloszlást. A statisztikában ezt úgy fejezik ki, hogy az eljárás robusztus a feltétel

nemteljesülésével szemben. A varianciaanalízis tehát robusztus a normális eloszlás felté-

telére vonatkozóan (és egyforma csoportlétszámok esetén a legrobusztusabb), a Bartlett-

próba azonban nem.

Lássuk most a két említett eljárást egymás után. Előbb a Bartlett-próbát. Ez egy B és egy C meny-

nyiség kiszámítását követeli meg, gyakran azonban elég ha B-t meghatározzuk:

(4.22) .1lnln)1(3

11

22

h

ff

jjbbbjCsfsfB

A formulában ln a „természetes logaritmust” jelenti, amely nemcsak táblázatokból kereshető ki, de

csaknem minden zsebszámológépen megtalálható, és egyetlen gombnyomásra számolható. A többi

kifejezés tulajdonképpen ismert, bár fj „explicite” nem szerepelt; talán mégis magától értetődő,

hogy ez az egyes minták szabadságfokát jelenti, azaz fj = nj – 1.

A Bartlett-próba végzéséhez csak annyit kell tudni, hogy a B/C mennyiség közelítőleg 2-el-

oszlású, (h – 1) szabadságfokkal. Ha tehát kiszámítottuk ezeket (4.22) szerint, akkor könnyen vála-

szolhatunk a szórások egyformaságának kérdésére: ha a B/C hányados túlságosan nagy – azaz a

próba eredménye „szignifikáns” –, akkor elvetjük a szórások egyformaságának nullhipotézisét. Ha

nem éri el a hányados a 2-táblázatból (II. táblázat) kiolvasott (általában a p=0,05 valószínűségnek

megfelelő) értéket, akkor a nullhipotézist megtartjuk, azaz a szórások egyformaságát elfogadjuk.

Korábban említettük, hogy sokszor elég csak B-t kiszámítani. Célszerű ugyanis először B-t

hasonlítani a táblázatbeli „kritikus”, a szignifikancia határát jelentő értékhez: ha nem éri el, máris

23

elfogadhatjuk a szórások egyformaságát. A C szám ugyanis mindig nagyobb 1-nél, a B/C hánya-

dos tehát kisebb, mint B.

A példában (4.2. táblázat) ugyan „szemre” is elég egyformák a szórások, gyakorlásképpen

mégis végezzük el a Bartlett-próbát:

B = 112,746 – 109,904 = 2,842.

Az 5%-os 2-érték 9,488 (II. táblázat, 4-es szabadságfok), a nullhipotézist – a szórások egyfor-

maságát – tehát nyugodtan elfogadhatjuk. C kiszámítását még a számolás gyakorlásával is nehéz

indokolni. (Értéke egyébként 1,088.)

A másik eljárás számolást alig, viszont külön táblázatot igényel. A szórások (vagy inkább vari-

anciák) közti eltérést páronkénti F-próbákkal lehetne vizsgálni. (Hogy ez miért nem jó, arról épp

elég szó volt az átlagok páronkénti összehasonlítása kapcsán, a 4.2.1 szakaszban.) A legnagyobb F

értéket akkor kapjuk, ha a legnagyobb varianciát osztjuk a legkisebbel. Mindössze ezt kell kiszá-

mítanunk, és ellenőrizni az értéket a „maximális F” táblázatában (IV. táblázat), hogy nem éri-e el

az 5%-os (felső táblázat) vagy az 1%-os szignifikanciahatárt (alsó táblázat). A sorokat az egyes

minták (ezúttal közös) f szabadságfoka, az oszlopokat a minták száma, h különbözteti meg.

Példánkban az eljárás nem alkalmazható, mert a minták elemszáma nem egyforma. Az illuszt-

ráció kedvéért azonban „tegyünk úgy”, mintha egyforma lenne: gondoljuk azt, hogy minden min-

tában 6 adat van. A legnagyobb variancia az első, a legkisebb az utolsó mintában található (4.2.

táblázat). A „maximális F” tehát 212,855 és 45,172 hányadosa, azaz 4,712. Hogy ez mennyire az

„egyformaságot” tükrözi, arról meggyőződhetünk, ha felütjük a IV. táblázatot. Ott öt minta esetén

és 5-ös szabadságfoknál 16,3 áll; ekkorának (vagy ennél nagyobbnak) kellene lennie a legnagyobb

F-nek, hogy a szórások az 5%-os szinten különbözzenek. 1%-os szinten pedig akkor lenne ki-

mondható különbség, ha a legnagyobb szórásnégyzet 33-szor akkora lenne, mint a legkisebb!*

Talán jól érzékelteti ez a (szabálytalan) példa, hogy mennyire egyformák a példában látható

szórások. És mégis: valami gyanakvás támad bennünk, ha nézzük a táblázatot. Miért csökkennek a

szórások „szép szabályosan” az egymás utáni mintákban, ha voltaképpen egyformák, és csak a

véletlen ingadozás miatt térnek el egymástól? Ez valami – ha nem is erős – szabályszerűséget

sejtet. Vajon így van-e, és ha igen: hogyan használhatjuk ki ezt a szabályszerűséget? Erről lesz szó

a következő szakaszban.

4.2.6 Transzformációk alkalmazása

Transzformációkat akkor szokás alkalmazni, ha a szórások nem „összevissza”, hanem bizonyos

szabályszerűség szerint változnak. Ez annyit jelent, hogy a minta adatainak nagysága és a szórás

közt van valamilyen összefüggés. Az adatok „nagyságát” az átlag képviseli a legjobban; az emlí-

tett szabályszerűséget is az átlag segítségével szokás megfogalmazni.

Fontos figyelmeztetni, hogy ez a szabályszerűség egyáltalán nem jelenti azt, hogy – mint a

példában – az egymás utáni minták szórásai mutatnak valamilyen szabályszerű viselkedést.

Ez egy speciális eset, ez valami „többlet” a szokásos szabályszerűséggel szemben – és ezt a

„többletet” ki is fogjuk használni a későbbiekben. (L. a 4.3 fejezetet.)

Ez a „többlet” onnan ered, hogy az egymás utáni minták átlagai is szabályszerűen változ-

nak (történetesen egyre kisebbek lesznek). Az általános esetben ilyenről már csak azért sem

beszélhetünk, mert az egyes mintáknak nincs meghatározott sorrendje: bármilyen sorrend-

* Nem árt eszünkbe idézni, hogy ezek a statisztikai próbák „nem jól működnek”. A próbákat a nullhipotézis elvetésére

„találták ki”: ha úgy mutatunk ki egy hatást, hogy elvetjük a nullhipotézist, pontosan tudjuk, hogy megállapításunk

mennyire megbízható – vagy más fogalmazással: mekkora annak hibája. (Sőt meg is választhatjuk a hiba nagyságát;

ez általában 5%.) De ha vizsgálatunk „pozitív” eredménye a nulhipotézis megtartása, akkor nem ismerjük állításunk

hibáját. (A második fajta hibát.) Sőt tovább mehetünk: soha nem tudunk egy ilyen állítást bizonyítani! A szórások

egyformaságát nem bizonyítja az, hogy sehogy sem sikerül kimutatni különbözőségüket.

24

be írhatjuk, szabadon fölcserélhetjük őket. (A mintákat megkülönböztető „szempont” rend-

szerint megállapítható változó!)

Transzformáció alkalmazásának csak akkor van értelme, ha az átlagok és a szórások valamilyen

értelemben „együtt változnak” – ami nem jelenti azt, hogy ugyanúgy. A transzformáció célja az,

hogy a szórásokat egységessé, egyformává tegye. (Nem túl szerencsés szóhasználattal a szórások

homogenizálásáról is szoktak beszélni.) Meglehetősen bonyolult matematikai formula segítségével

lehet kiszámítani, hogy mikor melyik transzformáció a célravezető.

Meg sem kíséreljük az általános formula megadását, csupán az eredményt közöljük arra a né-

hány esetre vonatkozólag, amelyek a leggyakrabban fordulnak elő. Mindössze három ilyen esetet

említünk:

ha a minták szórásai úgy viszonyulnak egymáshoz, mint az átlagaik,

képletben: :::::: 321321 xxxsss ,

akkor a logaritmustranszformáció a megfelelő választás;

ha a minták szórásai úgy viszonyulnak egymáshoz, mint átlagaik négyzetgyöke,

képletben: :::::: 321321 xxxsss ,

akkor a négyzetgyöktranszformáció a megfelelő választás;

ha a minták szórásai úgy viszonyulnak egymáshoz, mint átlagaik négyzete,

képletben: :::::: 222321 321

xxxsss ,

akkor a reciproktranszformáció a megfelelő választás.

Emlékeztetünk, hogy az alapok tárgyalása során (1.x.x.x pont) is éppen ezt a három transzformáci-

ót emeltük ki, mint legfontosabbakat.* A transzformáció célja ott az volt, hogy az eloszlást normá-

lissá tegyük. Akkor nem matematikai formula, hanem az összegyűlt tapasztalat döntött a megfelelő

traszformáció kiválasztásáról. (Ritkán van szó ilyenkor saját tapasztalatról; az inkább csak arra jó,

hogy megerősítsük – esetleg megcáfoljuk – a mások által ajánlott választást.)

Ebben az egész ügyben némi lelkifurdalásunk támad. Vagy normális volt az eloszlás, és akkor

a felsorolt transzformációk bármelyike azt eredményezi, hogy elrontja ezt a normalitást; gyenge

vigasz, hogy ugyanakkor a szórásokat egyformává varázsolja. Vagy pedig nem volt normális az

eloszlás – akkor meg hogyan mertünk varianciaanalízist alkalmazni?

Valójában a helyzet ennél egyszerűbb. A szórások egyenlőtlensége rendszerint annak (is) a

jele, hogy az adatok nem normális eloszlásúak. A felsorolt transzformációk – és itt megint legfő-

képp a tapasztalatra hivatkozhatunk – úgy normalizálják az adatokat, hogy egyúttal a szórások

egyformaságát is biztosítják. Ha tehát azt találjuk, hogy a szórások különböznek, nyugodtan alkal-

mazzuk a legjobbnak ítélt transzformációt: nem fogja elrontani a normalitást. Egyébként is: ellen-

őriztük mi az eloszlást? Meggyőződtünk róla, hogy az valóban normális? Legtöbb esetben ez nem

is történhetett meg, az adatok kis száma miatt.

Most pedig lássuk a példát! Egyúttal megmutatjuk azt is, hogyan lehet egy ilyen „hosszú ará-

nyosságot” egyszerűen ellenőrizni.

Úgy látjuk, hogy a szórások úgy viszonyulnak egymáshoz, mint az átlagok; tehát az elsőnek

említett esettel állunk szemben. Egyszerűség kedvéért az első két mintára vonatkozóan írjuk föl az

összefüggést:

.:: 2121 yyss Átrendezve: 2

2

1

1

y

s

y

s – és ezt bármelyik „párra” felírhatjuk. Az utolsó formula

azonban azt jelenti, hogy a variációs együtthatók egyformák: .21 VV Ez volt az oka, hogy a 4.2.

táblázatban ezeket is kiszámítottuk. Nézzük csak meg őket! Ingadozásuk alig néhány százalékos,

ráadásul nem is fut párhuzamosan az átlagok és szórások változásával: igazi véletlen ingadozás.

* Ne felejtsük el, hogy csak akkor jöhetnek szóba ezek a (nemlineáris) transzformációk, ha valamennyi adat pozitív!

(A mérési adatok szerencsére csaknem mindig ilyenek.)

25

Elfogadjuk tehát, hogy logaritmustranszformációt* kell alkalmaznunk a (statisztikailag ugyan

nem eltérő, de mégsem egyforma) szórások egyformákká tételére, ugyanakkor az eloszlást is köze-

lebb hozva a normálishoz.

A 4.3. táblázatban a (természetes) logaritmusokkal végzett számolás részleteit mutatjuk be,

majd elvégezzük – megismételjük – a varianciaanalízist is. A táblázatban nem tüntettük fel az

egyes adatok transzformáltját (azaz logaritmusát). Nyilván kissé eltérő eredményeket kapunk, ha a

logaritmusokat több vagy kevesebb jegyre határozzuk meg. Célszerű azonban le sem írni ezeket:

végezzük a számolást úgy, ahogy előbb, csak épp bevitelkor cseréljük fel az adatokat a logaritmu-

sukkal. (Vagyis nyomjuk meg számológépünkön a megfelelő gombot.) Így a tizedesjegyek számá-

nak a számológép kapacitása szab határt, és mi csak akkor kerekítünk, ha leírjuk valamelyik sta-

tisztikai jellemző (átlag, szórás stb.) értékét.

Az y adatok transzformáltját – természetes logaritmusát – w-vel jelöljük. Inkább csak a rend

kedvéért tesszük ezt, hiszen a wij adatokkal nem sok dolgunk van; a táblázatban mindössze két

sorban bukkannak fel ezek a jelölések.

4.3. táblázat: Az előbbi példa logaritmustranszformációval

jx 0,08 0,15 0,26 0,475 0,81

jn

6

5

6

6

5

28

jT

24,180

19,473

22,991

21,331

16,064

104,039

jw

4,030

3,985-

3,832

3,555+

3,213 ―

i

ijw2

97,8228

76,1541

88,5213

76,2540

51,9332

390,6854

j

j

n

T 2

97,4480

75,8383

88,1001

75,8343

51,6107

388,8314

jQ

0,3748

0,3158

0,4212

0,4197

0,3225+

1,8540

2js 0,07496 0,07895 0,08424 0,08394 0,08063 ―

js 0,27379 0,28098 0,29024 0,28972 0,28395- ―

jV 6,79 7,05+ 7,57 8,15- 8,84 ―

A szórások egyformasága imponáló: az eltérések néhány százalékosra estek vissza, és inkább

véletlen jellegűek, mintsem tendenciózusak. Viszont figyeljük meg a variációs együtthatókat: azok

egymástól való eltérése megnőtt. (Jól is tette, hiszen különben még egyszer logaritmálnunk kellene

az adatokat!)

Fejezzük be a varianciaanalízist!

* Teljesen mindegy, hogy melyik logaritmust használjuk – bár a tizes alapú közönséges és az e alapú természetes

logaritmuson kívül más alig jön szóba. A logaritmusok közt egyszerű arányosság áll fönn: egyik a másikba egyetlen

szorzással vihető át. A szorzás pedig – lineáris transzformáció! – az eloszlás tulajdonságait nem változtatja meg.

26

854,1

25592,28314,38828

039,104 2

b

k

Q

Q

0806,0

56398,0

23

854,12

4

25592,22

b

k

s

s

.005,0

997,60806,0

56398,0

p

F

Lényeges különbség nincs; talán egy kissé „megerősödött” a korábbi állítás: a minták közt eltérés

van. Egyelőre csak ennyit tudunk; a varianciaanalízis arra nem ad választ, hogy konkrétan mely

csoportok térnek el egymástól. Egyelőre nem is próbálunk meg választ keresni erre a kérdésre.

Jó esetben, mint itt is, ugyanazt az eredményt adja a transzformált adatokból számított varian-

ciaanalízis, mint amit az „eredeti” adatokkal számolva kaptunk.* Egyszerűen csak „jobban hihe-

tünk” ennek az utóbbi eredménynek, mert a statisztikai eljárás feltételei, amikhez korábban kétség

fért, most már igazán teljesülnek.

De hogy lehet az, hogy a megváltoztatott számokból is eldönthetjük az eredeti adatokra vonat-

kozó kérdést? Ha volt különbség a csoportok közt, annak mértéke a transzformáció után biztosan

más lesz, mint előtte. Hogyan dönthetünk hát a transzformált adatok alapján? És egyáltalán: mi

értelme van annak, hogy ha (mondjuk) a személyek testsúlyai közt keressük a különbséget, akkor a

testsúlyok (más dimenziójú) négyzetgyökei, vagy pláne azok (dimenzió nélküli) logaritmusai közt

vizsgáljuk az eltérést?

A válasz nagyon egyszerű. Ha a csoportok egyformák (ez a nullhipotézis! és a próbavégzés

mindig a nullhipotézisre épül), akkor transzformáció után is egyformák maradnak – hiszen ugyan-

úgy transzformáljuk őket. Ha ellenben különböznek, a transzformáció másképp („máshova”)

transzformálja őket: másképp fognak különbözni. De különbözni fognak, és ez a lényeg; a próba

pedig ezt a különbséget fogja kimutatni. Jobban – biztosabban – ki tudja mutatni, mint transz-

formáció nélkül, hiszen akkor nem teljesültek a próba alkalmazásának feltételei (ezért az „rosz-

szabbul” működött), utána pedig már teljesülnek a feltételek, és a próba „jobban működik”.

4.2.7 A varianciaanalízis és a kétmintás t-próba viszonya

Vizsgáljuk azt az esetet, amikor összesen két mintánk van. Az egyszempontos varianciaanalízis

ugyanazt a kérdést veti föl, mint a kétmintás t-próba: a két független, normális eloszlású minta

közt van-e különbség. Még a harmadik feltétel is ugyanaz: a két csoport szórásának meg kell

egyeznie. Csak az a kérdés, melyik eljárás a jobb (és persze azt is meg kell fogalmazni, hogy

milyen szempont alapján ítéljük az egyik módszert jobbnak, a másikat rosszabbnak).

A válasz igen egyszerű (és fölöslegessé teszi a jobb-rosszabb közti különbségtételt is): a két el-

járás „ekvivalens”, egyik a másikkal bármikor helyettesíthető. Mondhatjuk azt is, hogy a kétmintás

t-próba az egyszempontos varianciaanalízis speciális esete (speciális, mert ilyenkor h csak 2-vel

lehet egyenlő), de fogalmazhatunk úgy is, hogy az egyszempontos varianciaanalízis a kétmintás t-

próba általánosítása, két minta helyett akárhányra.

Az első fogalmazás egyértelműen jobb. Mert amíg a „speciális eset” egyúttal azt is elárulja,

hogyan kell a kétmintás t-próba helyébe lépő varianciaanalízist elvégezni, addig az „általánosítás”

csak a feladatot jelöli ki, a végrehajtásról semmit sem mond.

Ez nem véletlen. A varianciaanalízis gyökeresen új módszer, azt a t-próbából kitalálni nem

lehet. Viszont a t-próba összes „képletét” fölöslegessé teszi a varianciaanalízis ismerete. Ha két

csoport összehasonlítására elvégezzük a varianciaanalízist, elvégeztük a t-próbát is. Az átszámítást

a varianciaanalízis befejezését jelentő F-próba és a kétmintás t közti kapcsolat mutatja:

(4.23) .2tF

* Voltaképp nincs is ilyen összehasonlítási alapunk. Hiszen ha a szórások eltérnek, transzformálnunk kell az adatokat,

és az „eredeti” adatokból nem is számolunk. Nem tehetjük, hiszen nem teljesülnek a varianciaanalízis alkalmazási fel-

tételei.

27

Ebből egyúttal az is következik, hogy az F-táblázat első oszlopa (h=2 esetén a számláló szabad-

ságfoka 1!) a t-táblázat megfelelő helyén álló számok négyzetét tartalmazza (legföljebb az egyik

kicsit több, a másik kevesebb értéket tüntet föl). Tessék ezt a Melléklet III. és V. táblázatán

ellenőrizni!

Fontosabb azonban magának az alapállításnak, a (4.23) összefüggésnek az igazolása. A

két, látszólag teljesen különböző képletről fogjuk megmutatni, hogy azok azonosak. Előbb

a t-próba képletét, illetve rögtön annak négyzetét írjuk föl – annyi változtatással, hogy x

helyett mindenütt y-t írunk; akkor jobban észrevehető a két formula azonossága.

(4.24) .11

2

)(

2121

21

2212

nnnn

QQ

yyt

Mint látható, rögtön behelyettesítettük se-t is.

A varianciaanalízis megfelelő képleteit (4.13)–(4.21) alatt találjuk meg. Rögtön megálla-

pítható, hogy (4.24) nevezőjében a zárójel előtti rész éppen 2bs -tel, F nevezőjével egyenlő.

Már csak azt kell bebizonyítani, hogy (4.19) olyan alakba írható, mint (4.24) „maradéka”.

Mivel h=2, 2ks egyenlő Qk-val (a nevező 1). Ez utóbbi (4.13) alatti képletét „aktualizáljuk”

erre az esetre:

.11

)()(

)2(2)()(

2)(

21

221

21

21221

21

2122

2121

21

2122

22

21

21

2221

22

2121

21

21

2122

22

21

212

22211

21

221

2

22

1

21

nnyy

nn

nnyy

nn

yyyynn

nn

TTynynynnnynnn

nn

TTynynynyn

nn

TT

n

T

n

TQk

Azt hiszem, ennek a kis levezetésnek egyik lépése sem igényel külön magyarázatot. Min-

den, amit „tudni” kellett hozzá, az két tag négyzetének „képlete”, meg a törtekkel való mű-

veletek szabályai. Az eredmény pontos egyezése (4.24) „maradékával” teljesen nyilvánvaló.

Az F és t változók közti összefüggés, amit (4.23) fogalmaz meg, mindig igaz, ha olyan F-próbát

végzünk, amelyben a számláló szabadságfoka 1. Két független minta összehasonlításakor nyilván

ez a helyzet. De korábban is találkoztunk hasonló egyezéssel, amikor a lineáris regresszió „valódi-

ságát” kétféle módon is vizsgáltuk: varianciaanalízissel és korrelációs t-próbával; ennek általáno-

sításáról lesz szó a következő fejezetben. Végül a 4.4 fejezetben azt is megmutatjuk, hogy nincs ez

másképp összetartozó minták vizsgálatakor sem: az egymintás t-próba is helyettesíthető egy vele

egyenértékű varianciaanalízissel.

4.2.8 A nemlineáris korrelációs együttható

A varianciaanalízis és a kétmintás t-próba közti szoros kapcsolat természetes és magától értetődő

volt; annál meglepőbb lehet azonban számunkra, hogy a varianciaanalízis kapcsolatba hozható a

korrelációval (és ennek folytán a regresszióval) is. Pedig nem kell ehhez semmiféle ügyeskedés

vagy a fogalom kiterjesztése: egyszerűen másképpen kell megfogalmaznunk a feladatot, mint eddig

tettük.

A figyelmes olvasó találkozhatott ezzel a „másféle” megfogalmazással korábban is. A pél-

da első előfordulásakor (11. oldal) így tettük fel a kérdést: a kivonható glikozidmennyiség

28

függ-e a növény szemcseméretétől. (A hozzá fűzött magyarázat tulajdonképpen már előle-

gezte nemcsak ennek a szakasznak, hanem a következő fejezetnek a témáját is.) Könnyű

belátni, hogy ugyanazt vizsgáljuk, ha a minták különbözőségére vagyunk kíváncsiak, vagy

ha azt kutatjuk, hogy a (mintákat megkülönböztető) szempont miképpen befolyásolja a

mintákat. Ha befolyásolja, ha hatással van az y változó értékeire, akkor y értékei mások

lesznek, ha a hozzájuk tartozó x érték más. Az x változó értékei viszont mintánként mások

(hiszen éppen x különbözteti meg egymástól a mintákat); x hatása tehát az egyes minták

különbözőségében nyilvánul meg. Ha viszont x nem hat y-ra, akkor y értékei nem változnak

meg attól, hogy x más-más értéket vesz föl – így tehát az egyes mintákban lényegében

(vagyis a véletlen ingadozástól eltekintve) ugyanakkora y értékek találhatók: a minták nem

különböznek egymástól.

A varianciaanalízis feladata tehát így is fogalmazható: eldöntendő, van-e hatása (befolyása) az x

változónak (a szempontnak) a vizsgált változóra, y-ra. A szignifikáns eredmény azt erősíti meg,

hogy van ilyen hatás.

Próbáljuk most megmérni ezt a hatást. A mérés módjára vonatkozóan a 2.x.x pontban megis-

mert meghatározottsági együttható adja az ötletet. (Emlékeztetünk, hogy ez az r lineáris korrelá-

ciós együttható négyzetével volt egyenlő.) Tudjuk: a meghatározottsági együttható azt mutatja

meg, hogy y teljes ingadozásának mekkora hányadát „magyarázza meg” az x változó hatása.

Mit is jelent ez a jelen esetben? Az adatok teljes ingadozása a Qt négyzetösszeggel jellemez-

hető. A szempont (x) hatását viszont a Qk négyzetösszeg méri: ez mutatja meg, hogy a minták

közti eltérés mekkora. (A minták közt pedig semmi más nem okozza a különbséget, mint az x

változó.) A kettő hányadosa a változások „megmagyarázott hányada”, az itteni „meghatározottsági

együttható”; annak négyzetgyöke pedig az e nemlineáris korrelációs együttható:

(4.25) .t

k

Q

Qe

Szokás ezt korrelációs hányadosnak is hívni, ami jól kifejezi képzési módját. A nemlineáris jelző

pedig arra utal, hogy – szemben az r korrelációs együtthatóval, amelyik a változók közti lineáris

kapcsolat mérésére volt (csak) alkalmas – ez az együttható mindenféle (tehát nemcsak „görbe”,

hanem „cikcakkos”, „összevissza”, vagyis akármilyen) kapcsolatot egyaránt jól jellemez.

Mivel ez az együttható nem szimmetrikus, mint az r együttható volt, sokan szükségesnek látják

az indexek kitételét. Eszerint (4.25)-öt, amelyik y x-től való „függésének” mértékét mutatja meg,

eyx-szel kellene jelölni.

Valóban, ha „megfordítanánk” a dolgot, és – ugyanabban a feladatban – x-nek y-tól való füg-

gését mérnénk, egészen más együtthatót kapnánk. Ez azonban akadémikus okoskodás. Nincs itt

mit megfordítani: van h darab, normális eloszlású mintánk, amelyek közt az x változó – a szem-

pont – tesz különbséget. Ez utóbbi tetszőleges, legtöbbször számértékkel nem is bíró, megállapít-

ható változó. Hogyan lehet „fölcserélni” ezt a kettőt?

Éppen ezért az e nemlineáris korrelációs együtthatónak* nem adunk indexeket. Nem is defi-

niáljuk azt általánosságban, és nem is használjuk másra, mint a varianciaanalízis „korrelációs

megfogalmazására”: annak mérésére, hogy a minták eltérése milyen mértékben tulajdonítható a

szempontnak.

A konstrukcióból nyilvánvaló (l. a (4.7) képletet), hogy e értéke csak 0 és 1 közt lehet; 0 akkor,

ha a minták közt semmiféle eltérés nincs (ha valamennyi átlag ugyanakkora, Qk = 0), és 1, ha nincs

„hiba”, nincs mintán belüli ingadozás (Qb = 0).

A varianciaanalízis céljának puszta átfogalmazása vezetett a probléma „korrelációs” szemlé-

letéhez, de vannak olyan esetek, amikor ez a szemlélet nem csupán logikai játék, hanem nagyon is

természetes megközelítésmód. Erről lesz szó a következő fejezetben.

* Szívesebben használom ezt az elnevezést.

29

4.3 A minták „regressziós függése” a szemponttól

Induljunk ki megint ugyanabból a szituációból, mint egyszempontos varianciaanalízis esetén: több,

független, normális eloszlású mintát szeretnénk összehasonlítani. Legyenek a minták szórásai is

egyformák; ha nem lennének azok, próbáljunk meg adattranszformációval segíteni. (Vagyis: telje-

süljenek a varianciaanalízis alkalmazhatóságának feltételei.)

Az egyetlen „többlet”, amit a korábbiakkal szemben előírunk, hogy a szempont, az x változó

értékei legyenek számok. Ettől még x nem lesz olyan változó, mint y; egyáltalán nem kell, hogy

valamilyen előírt (pl. normális) eloszlást kövessen. Csupán annyit követelünk meg, hogy x értékei

valóban számokat jelentsenek.* Nem elég tehát, hogy számokkal „kódolunk” egy akármilyen

változót. (Például ha a „szempont” földrészeket jelent, sokszor az 1, 2, 3, … számokat írjuk oda,

ahol – mondjuk – 1 Európát, 2 Ázsiát, 3 Afrikát jelenti, és így tovább.)

Hogy világosabb legyen: ezeknek a számoknak meg kell legyen az a tulajdonságuk, hogy a

köztük levő távolságnak is legyen jelentése: 4 ugyanannyival nagyobb 2-nél, mint 116 114-nél

vagy 3,8 1,8-nál.**

Igazság szerint ennél többet is meg kell követelni az x változótól, a varianciaanalízis szem-

pontjától. Nevezetesen azt, hogy pontos legyen, ne legyen kitéve se véletlen ingadozásnak,

se mérési hibának. Ezt a követelményt azonban legtöbbször nem veszik figyelembe –

pedig az itt bemutatott eljárás csak akkor érvényes, ha x ilyen.

Nem kell azt hinni, hogy csak a – tájékozatlan vagy kevéssé gondos – „alkalmazók” járnak

el ilyen felületesen. Matematikusok, statisztikusok is ugyanezt teszik, egész kis elméletet

kanyarítva köré, hogy miért szabad „mégis”, miért „nem okoz bajt” az egyik fontos feltétel-

nek ez a megsértése. Nem hiszem, hogy az ezt a módszert rendszeresen alkalmazók közt

bárki is akad, aki még soha nem sértette meg az x-re vonatkozó fenti feltételt.

Mi ennek az oka? Az, hogy a gyakorlati problémákban igen sokszor dolgozunk olyan x

változóval (mint a varianciaanalízis szempontjával), amelyet vagy nem tudunk pontosan

mérni, vagy rengeteg különböző értéke van, és kénytelenek vagyunk azokat valahogy

összevonni, csoportosítani.

Jobban érthető a dolog, ha mondok egy példát. Valamilyen y változónak az életkortól való

függését vizsgáljuk. Ahány vizsgálati személy, annyi életkor. Még ha néhány évre korlá-

tozzuk is a vizsgálatot – mondjuk óvodáskorú gyerekekre –, akkor sem „egykorúak” a 3

évesek, a 4, 5 vagy 6 évesek: egyik korosztály „folytonosan” megy át a másikba. Nem

oldja meg – csak elodázza – a problémát az, ha az életkort hónap pontossággal „mérjük”.

Ilyenkor korcsoportokat szokás kialakítani, és gyakran előfordul, hogy a korcsoportot

egyetlen számmal, általában az átlagéletkorral jellemzik – csak azért, hogy az itt következő

módszert alkalmazhassák.

Nagyon durvának tűnik ez az eljárás, de lehet „finomítani”. Például egy fiatal, egy közép-

korú és egy öreg csoportot vizsgálunk, és mintáinkat úgy válogatjuk össze, hogy közel egy-

korúak kerüljenek minden mintába. Az x változó így már megfelel a statisztikai feltételnek:

a mintákon belüli, legfeljebb 3–4 éves korkülönbség elenyésző a minták – korcsoportok –

közti 20–30 év különbséghez képest. (Természetesen olyan eljárás is van, amelyik nem

korcsoportokat vizsgál, hanem mindenkinek közvetlenül használja föl az életkorát. Egysze-

rűen arról van szó, hogy mi most nem olyan módszerekkel foglalkozunk.)

* Nem gyakori ez az eset. Sőt inkább azt mondhatnánk: ritka kivétel az ilyen varianciaanalízis.

** Szokás ezt úgy kifejezni, hogy az x változó (legalább) intervallumskálán helyezkedjék el. Különösen pszichológu-

sok használják ezt a kifejezést előszeretettel.

30

4.3.1 Varianciaanalízis és lineáris regresszió

A helyzet tehát a következő. Van valahány – legalább három, de általában több – mintánk,* és

teljesülnek a varianciaanalízis feltételei. Már el is végeztük az (egyszempontos) varianciaanalízist,

és a minták közt különbséget találtunk. (A varianciaanalízis F-próbájának eredménye**

szignifi-

káns volt.) Ez pedig azt jelenti, hogy a vizsgált változó (y) függ a szemponttól (x-től).

És ekkor reménykedni kezdünk: netán számszerűen is kifejezhető, „matematikai formulával” is

leírható ez a függés? Ennél konkrétabban (hiszen csak ezt az esetet fogjuk vizsgálni): vajon y-nak

az x-től való „függése” nem lineáris-e? (A függés azért került idézőjelbe, mert nem függvényről, a

matematikában oly gyakran szereplő, jól ismert (??) összefüggésről, hanem kicsit másról van szó.)

A 4.1. ábra jól mutatja, mit kell értenünk azon,

hogy van-e itt lineáris összefüggés. Az egyes min-

ták átlagai különböznek (hiszen a varianciaanalízis

szignifikáns volt); de lineáris összefüggésről csak

akkor beszélhetünk, ha ezek az átlagok – nagyjából

– egy egyenesen helyezkednek el. Azt kell meg-

vizsgálnunk, hogy így van-e vagy nincs így; ez

pedig egy újabb varianciaanalízissel, az 2ts „teljes”

variancia három komponensre történő felbontásával

dönthető el. 4.1. ábra

Itt lehet „tetten érni” azt a követelményt, hogy az x változó értékei legyenek számok. Ha x

megállapítható változó, minden további nélkül átrendezhetjük a csoportokat úgy, hogy az

átlagok egyre nagyobbak (vagy egyre kisebbek) legyenek. Ezután addig „tologatjuk” őket

(a megállapítható változó értékei ugyanolyan joggal helyezkedhetnek el az „x-tengely” e-

gyik vagy másik helyén!), míg pontosan egy egyenesbe nem esnek. Ha viszont a szempont

egyes értékei számok, ezt nem tehetjük meg: a számoknak a tengelyen meghatározott he-

lyük van.

A felbontás úgy történik, hogy a már elkészített 2ks varianciát bontjuk tovább: egyik komponense

az értékeknek a (feltételezésünk szerint valóban létező) egyenes miatti változását – emelkedését

vagy csökkenését – képviseli, a másik az ettől a szabályszerűségtől való eltérést. Ezt görbületi

komponensnek fogjuk hívni, mert azt mutatja meg, hogy az egymás utáni átlagokon áthúzott vonal

„mennyire nem egyenes”, azaz „mennyire görbe”.

Az említett egyenes nem más, mint az adatokból kiszámított regressziós egyenes. Ennek tulaj-

donságait, számítási módját már ismerjük (l. a 2.x fejezetet). Semmi akadálya, hogy azokat a kép-

leteket alkalmazzuk erre az esetre is.

A regressziós vizsgálatokban (xi, yi) adatpárokból állt a minta, és ez most sincs másképpen.

A helyzet azonban annyiban egyszerűsödik (netán bonyolódik?), hogy az x adat sok, egy-

más utáni pár esetében azonos: az x1 adat n1-szer, az x2 adat n2-ször fordul elő, mint egy-

egy adatpár első eleme, és így tovább (l. a 4.1. táblázatot). Érdemes ezért N független adat-

pár figyelembevétele helyett megkülönböztetni az első, a második, …, a h-adik mintához

tartozó adatpárokat. Vagyis érdemes összesen h x-adattal számolni (hiszen mindössze eny-

nyi van); a képletek ugyan formailag kissé bonyolultabbá válnak ezáltal, de a számolás

egyszerűbb, rövidebb lesz.

* Látni fogjuk, hogy az a kérdés, amire ebben a fejezetben választ keresünk, két minta esetén teljesen értelmetlen.

** Bizonyára pongyolán, de általában mégis azt szoktuk mondani, hogy a varianciaanalízis szignifikáns (nem szignifi-

káns) volt. Pedig ez a kifejezés mindig próbára vonatkozik (mint itt az F-próba); maga a varianciaanalízis csak a föl-

bontást jelenti. Mégis a varianciaanalízis szignifikanciájáról beszél mindenki; ez a szóhasználat – mondjuk így: meg-

egyezés alapján – nem számít pongyolának. Ezentúl mi is így fejezzük ki magunkat.

31

Mindenek előtt végezzük el a regressziós képleteknek ezt az átalakítását. Kezdjük a Qx és

Qxy alapképletek átalakításával. (Qy-ra nincs szükség – de az egyébként sem más, mint a

varianciaanalízisben is szereplő Qt négyzetösszeg.)

(4.26)

.)()(

2

222

N

xnxnxxnxxQ

jjjj

j

jjjx

A második lépést nem részleteztük, hiszen az a Q négyzetösszeg „definíciós” formájának

„számolásra alkalmas” formává történő átalakítása, amit már számtalanszor elvégeztünk.

Az xj adatokat természetesen mindig annyiszor kell számításba vennünk, ahány elemű a

megfelelő minta (tehát ahány adatpárban szerepelnek). Éppen ezért átlaguk:

(4.27) ;N

xnx

jj

ezt a képletet egyébként az előbbi levezetésben is felhasználtuk.

.

))((

))(()()())((

N

TxnTxNyxyNxxNyTx

nyxynxxnyyxnyyxxn

ynTxxyyxxyyxxQ

jjj

jjjj

jjjjjjjjjjj

j

jjj

j i

ijjijjxy

A szorzás elvégzése után három azonos tagot kaptunk (különböző előjelekkel); ezekből

єgy maradt, amelyet a („számolásra alkalmas”) szokásos formában adtunk meg.

Az y = a + bx regressziós egyenes együtthatóit az ismert (és alig módosított) képletekből

lehet kiszámítani:

(4.29) .x

xy

Q

Qbxbya

Itt Qxy és Qx természetesen az előbb előállított formulákat jelenti.

A felbontás elkészítéséhez szükségünk lesz egy újabb jelölésre. Az egyenes xj helyeken található

pontjait Yj-vel fogjuk jelölni:

(4.30) .jj bxaY

„Ideális” esetben – amikor regressziós modellünk pontosan a valóságot írja le – ezek egybeesnek

az jy mintaátlagokkal. Ilyen ideális eset azonban a gyakorlatban soha nem fordul elő. Még ha az

egyes mintáknak megfelelő elméleti átlagok (várható értékek) mind rajta is vannak az egyenesen,

az jy mintaátlagok eltérnek attól, a mindig jelen levő véletlen ingadozás miatt. A varianciaanalízis

egyik célja éppen ez: megvizsgálni, vajon a mintaátlagok nem térnek-e el túlságosan – azaz szigni-

fikánsan – az egyenestől.

4.3.1.1 A négyzetösszeg felbontása

Lássunk most neki a variancia újabb analízisének, bontsuk föl a (4.19) képlet által meghatározott 2ks varianciát két komponensre, egy regressziós és egy görbületi varianciára. Jól tudjuk, hogy ezt

a számláló és a nevező összegekre bontásával kell megtennünk. Állítsuk elő először a számláló két

komponensét:

(4.31) .rgk QQQ

32

A levezetést ismét a „nem kötelező” szövegrészben végezzük el, és csak a végeredményt

ismételjük meg a „főszövegben”.

Hasonlóan járunk el, mint az első felbontáskor (4.9)-ben: „becsempésszük” a szükségessé

vált értékeket, az egyenes pontjait. A (4.11) képletből indulunk ki:

.0)()()( 222 yYnYynyYYynQ jjjjjjjjjk

Az első tag nyilván a „görbületet”, az átlagoknak az egyenestől való eltérését képviseli, a

második az egyenes pontjai, vagyis az x változó miatt „kikényszerített” eltérést. A két-

szeres szorzat ezúttal azért nulla, mert Yj éppen a regressziós egyenes pontjait jelenti. Ezt

azonban még bizonyítanunk kell. A 2-es szorzót ki sem írjuk, csak a szorzatot:

)])([())(( ybxabxaynyYYyn jjjjjjjj

.0])[])([(

))((

2

22

xyx

xyx

x

xyxyxjjjj

jjjj

QQ

QQ

Q

QbQQbxxbyyxxnb

ybxxbybxxbyyn

Csupa olyan formulát használtunk fel, amely az előző oldalon szerepel, (4.26) és (4.30)

közt. (Qxy felhasznált formáját a (4.28) levezetés második sorában találjuk meg.)

Most állítsuk elő a kapott négyzetösszegek számolásra alkalmas alakját:

.)()()(

22

2222

x

xyx

x

xyjjjjjjr

Q

QQ

Q

QxxnbybxxbynyYnQ

Pontosan ez a formula szerepelt egyébként a második részben is (l. a (2.x) képletet), csak a

benne foglalt Qx és Qxy kifejezések tartalma módosult kissé, mint fentebb megmutattuk.

A másik négyzetösszeg célszerű alakját ennek segítségével állítjuk elő, csak előbb emlé-

keztetünk a korrelációs együttható képletére: .yx

xy

QQ

Qr Felhasználjuk továbbá (4.25)-öt

is. (Ne felejtsük el, hogy Qt és Qy pontosan ugyanazt jelenti!)

).( 2222

reQQQ

Q

Q

QQ

Q

Q

Q

QQQQQ y

yx

xy

y

ky

x

xy

y

kyrkg

Ez az utóbbi formula nagyszerűen kifejezi a képlet „tartalmát”: ennyivel nagyobb a meg-

határozottság, ha a lineáris korrelációs együttható négyzete helyett a nemlineáris együttható

négyzetével mérjük azt meg – tehát ennyit „ad hozzá” a nemlinearitás figyelembevétele. Ha

a kapcsolat lineáris, ez természetesen nulla.

Ideje, hogy összefoglaljuk eddigi eredményeinket, összegyűjtsük mindazokat a képletet, amelyek-

re az újabb varianciaanalízis során szükségünk lesz. (4.7) és (4.31) alapján:

(4.32) .bgrt QQQQ

Qt képletét (4.15), Qb-ét (4.14) alatt találjuk meg. A másik kettőnek ugyanígy megadjuk „definí-

ciós” és „számolásra alkalmas” formáját:

(4.33) ,)(

22

x

xyjjr

Q

QyYnQ

33

(4.34) ).()( 222 reQYynQ tjjjg

Itt Qy helyett Qt-t írtunk; megtehettük, hiszen ugyanannak két elnevezéséről van szó. Az első for-

mulában explicite, a másodikban rejtetten szereplő Qx és Qxy kifejezések a varianciaanalízis esetén

így módosulnak (lásd a (4.26) és (4.28) levezetéseket):

(4.35)

,)(

2

22

N

xnxnxxQ

jjjjjx

(4.36)

.))((

N

TxnTxyyxxQ

jjjjjijjxy

4.3.1.2 A szabadságfokok meghatározása

Qr szabadságfokát igazán könnyű meghatározni. Mivel az N tagú összeg – számos átalakítás vég-

eredményeként – egytagúvá alakult, szabadságfoka is 1.* Még jobban „látszik”, hogy Qr egytagú,

ha ebben a formában írjuk fel: .2xr QbQ

Ennél azonban pontosabban is érvelhetünk. Qr az egyenes pontjaiból számolt négyzetösszeg (l.

(4.33) első alakját); így bármelyik tagból a többi – a hasonló háromszögek tulajdonságainak föl-

használásával – közvetlenül kiszámítható. (Erre vonatkozóan l. a 4.2. ábrát). Elég tehát egyetlen

tag megadása; – vagyis 1 a szabadságfok.

Ami Qg-t illeti, az a mintaátlagok és az egyenes megfelelő pontjai közti eltérés négyzetösz-

szege. Ez h tagú (hiszen h minta van), de a tagok közt két összefüggést vélünk fölfedezni: mivel

egy egyenes pontjait tartalmazzák ezek a tagok, az egyenest „rögzítő” két pont – vagy ha úgy

tetszik: az egyenes két együtthatója – egy-egy összefüggést teremt köztük. A szabadságfok tehát

h – 2.

Ez az érvelés azonban az előzőnél is gyengébb lábon áll; legfeljebb arra jó, hogy megkönnyítse

annak felidézését, hogy mennyi Qg szabadságfoka, ha azt valahonnan megtanultuk. Éppen ezért

elvégezzük a szabadságfokok „szabályos” meghatározását: megkeressük a tagok közti lineáris

összefüggéseket.

Az egyforma tagok nem függetlenek. (A 4.2.3.3 pontban azt is megmutattuk, hogyan

lehet felírni a köztük levő lineáris összefüggéseket.) Elég tehát, ha a h tagú formulákkal

foglalkozunk:

.)()( 22 jjjgjjr YynQyYnQ

Az első négyzetösszeg (különböző) tagjai közt (h – 1) lineáris összefüggést írhatunk föl.

Ezek mind hasonlóak: az első tagnak adjuk az )( xx j , a j-ediknek az )( 1xx együtt-

hatót, míg a többi tag együtthatója nulla (j=2, 3, …, h). Azt állítjuk, hogy az így fölírt

lineáris kombinációk 0-val egyenlők (azaz lineáris összefüggések). Bizonyítás:

.

))(())((

0))(())((

1

1

11

11

xx

yY

xx

yY

yYxxyYxx

yYxxyYxx

j

j

jj

jj

* Említettem, hogy van a szabadságfok-meghatározásnak teljesen korrekt (a lineárisan független tagokat megszámláló)

és „pongyola” módja. Ez a fönti ugyancsak pongyola volt!

34

Mivel az ),( jj Yx pontok is, az ),( yx pont is rajta vannak a regressziós egyenesen, az utol-

só egyenlőség két hasonló háromszög megfelelő oldalainak arányát (vagy ha úgy tetszik:

két egyforma szög tangensének egyenlőségét) fejezi ki (4.2. ábra).

A második négyzetösszeg (Qg) tagjai közt

könnyű megtalálni az első összefüggést. Ez

tulajdonképpen azt fejezi ki, hogy a reg-

ressziós egyenes „középen” van: a pontok

eltérése az egyenestől fölfelé és lefelé ösz-

szességében ugyanakkora. A cj = nj együtt-

hatókat választva: 4.2. ábra

.0)()()( xxnbnyTbxxbynTYyn jjjjjjjjjj

A második tag az elsővel egyenlő, hiszen az nj-k összege N, az utolsó tag pedig az x-ek át-

lagtól való eltérésének összege (tehát nulla).

A másik lineáris összefüggést az x-ek segítségével írjuk fel: ).( xxnc jjj Rögtön el-

végezzük azt az átalakítást is, amelyből látszik, hogy a kifejezés nulla:

.0])[])([())(( xxyjjjjjjjj bQQxxbyyxxnYyxxn

Qx és Qxy felhasznált formuláit (4.26) és (4.28) alatt találjuk meg; rajtuk kívül a (4.29) és

(4.30) regressziós formulákat használtuk csak föl.

Azt kaptuk, hogy

(4.37) fr = 1, fg = h – 2 .

Ebből az is látszik, hogy „jó” volt a felbontás: a két szabadságfok összege a felbontott négyzet-

összeg, Qk szabadságfokával, (4.16)-tal egyenlő. Cochran tétele (l. 4.2.3.4-et) értelmében a kom-

ponensek függetlenek, -eloszlásúak, és a varianciák hányadosai F-eloszlást követnek.

Vegyük észre azt is, hogy az egész eljárásnak csak akkor van értelme, ha a csoportok szá-

ma (h) legalább 3. Ha ugyanis csak két minta van, az 2ks variancia szabadságfoka 1, és azt

nem tudjuk fölbontani!

Még mutatósabb az érvelés, ha a görbületi variancia szabadságfokát tekintjük: h – 2 = 0, te-

hát a görbületnek nincs szabadságfoka; ami ezt jelenti, hogy az átfektetett görbe nem lehet

más, csak egyenes: „nem szabad görbülnie”.

Jól tudom persze, hogy ez csak afféle matematikai hókuszpókusz, hiszen az 1-et is föl lehet

bontani (mondjuk két félre), meg azt is nehezen fogadja el egy matematikától meg nem fer-

tőzött elme, hogy a „nulla szabadságfok” annyit jelent, hogy ennek a komponensnek egyál-

talán nem szabad semmit sem „csinálnia”. De van ennél meggyőzőbb érvelés, elfogadha-

tóbb magyarázat.

A regressziós egyenesnek, ugyebár, a lehető legjobban meg kell közelítenie az jy átlagokat

(hiszen ez a „legjobb”, a legkisebb hibával közelítő egyenes). Ha mindössze két átlag van,

semmi akadálya, hogy az egyenes mindkettőn átmenjen; a regressziós egyenes ezt meg is

fogja tenni. De akkor hogyan tehetnénk fel olyan kérdést, hogy az egyenes milyen messze

van a csoportátlagoktól?

Ebben az esetben tehát csak az a kérdés, hogy a két átlag egyforma nagy-e (azaz különböz-

nek-e) – és éppen erre felel az egyszempontos varianciaanalízis is. Ha viszont regressziót

számolunk, azt kérdezzük, hogy az (átlagokon átmenő) regressziós egyenes vízszintes-e.

35

A két kérdés azonban ugyanaz!. Ezek után az sem meglepő, ha a két teljesen különböző

képletről is kiderül, hogy egymással egyenlők; vagyis hogy h = 2 esetén Qk = Qr. (Az eset-

leg kételkedő olvasó akár el is végezheti az egyik képletnek a másikba történő átalakítását.)

4.3.2 A varianciaanalízis befejezése

Abból indultunk ki, hogy az egyszempontos varianciaanalízis szignifikáns eredményt adott,

(4.21) 2

2

b

k

s

sF

meghaladta a választott szignifikanciaszintnek megfelelő, táblázatbeli értéket; a csoportok közt

valamilyen különbség biztosan van.

Most arra vagyunk kíváncsiak, hogy kimondható-e: a csoportok értékei lineárisan függnek a

varianciaanalízis szempontjának nevezett x változótól. Ehhez azonban előbb azt nézzük meg, hogy

nem „görbe”-e az x-től való függés. Vagyis elvégezzük az

(4.38) 2

2

b

g

s

sF

próbát. Ha ez szignifikáns, akkor előfeltevésünkben tévedtünk: nem lineáris az y változó x-től való

függése. Ha viszont nem szignifikáns, akkor remélhetjük*, hogy az összefüggés lineáris, a minták

átlagai (nagyjából) a regressziós egyenesen feküsznek.

Ez azonban azt jelenti, hogy teljesül az általunk elképzelt „lineáris modell”, és hogy mégis van

„görbeség”, hogy nincs valamennyi mintaátlag rajta az egyenesen, az pusztán a véletlen hatásának

tulajdonítható. Vagyis: a görbületi komponens szintén a véletlen ingadozást jellemzi, akárcsak .2bs

Két ilyen komponensre pedig nincs szükség; egyesítsük a kettőt!

Ezt meg is fogjuk tenni. Mivel azonban általános, a varianciaanalízis során több alkalommal

előforduló eljárásról – és elvről – van szó, szánjunk rá némi időt és fáradságot, és foglalkozzunk

külön pontban ezzel a kérdéssel.

4.3.2.1 Varianciák összevonása

Az eljárás éppen a fordítottja a variancia analízisének: nem komponensekre bontjuk a már elő-

állított varianciát, hanem több, már ismert varianciából – komponensből – készítünk egy újabbat.

Akkor viszont azt is tudjuk, hiszen korábban is szerepelt ilyen feladat, hogyan kell ezt végezni:

a kombinálandó varianciák számlálóit is, nevezőit is össze kell adni, és el kell osztani egymással

az összegeket. Ezt az eljárást nevezik a varianciák összevonásának.

Az 2bs és 2

gs varianciákat akarjuk összevonni. Az eredményül kapott varianciának adjuk a v in-

dexet, arra utalva, hogy ez a komponens képviseli eztán a véletlen hatását. Előállítása a mondottak

szerint történik:

(4.39) ,gbv QQQ

(4.40) .22 NhhNfff gbv

Végül

* Akár biztosra is vehetjük! Sokan azonban nem végeznek előzetesen egyszempontos varianciaanalízist, így abban sem

lehetnek biztosak, hogy a minták közt van különbség.

36

(4.41) ,2

v

vv

f

Qs

amivel nyilván nem mondtunk semmi újat.

De mi a közvetlen célja ennek az összevonásnak? Azt már említettük, hogy azért vonjuk össze

a két komponenst, mivel mindkettő a véletlen hatást „méri”, tehát egyikük fölösleges. Ettől azon-

ban még megmaradhatna mindkettő, és az 2rs varianciát hasonlíthatnánk akár az egyikhez, akár a

másikhoz. Ha azonban elvégezzük az összevonást, olyan varianciát kapunk, amelyiknek nagyobb a

szabadságfoka, mint az összevont komponenseké. Ez pedig komoly előny.

A nagyobb szabadságfok nagyobb biztonságot jelent. A statisztikai jellemzők annál jobban

megközelítik az elméleti értéket (a paramétert), minél nagyobb elemszám alapján számoltuk ki

őket. A szabadságfok pedig végső soron az elemszámtól függ, ha ez nem is olyan nyilvánvaló

ebben az összetett esetben.

A fenti „ködös ígéretnél” többet mond, hogy nagyobb szabadságfok esetén „hamarabb” lesz

szignifikáns az eredmény. Ha megnézzük az F-eloszlás táblázatát (III. táblázat), látjuk, hogy

bármelyik szabadságfok növelésével* egyre kisebb lesz az 5 (vagy akármelyik másik) százalékhoz

tartozó F érték. Már csak ezért is érdemes elvégezni az összevonást. A varianciaanalízis összetet-

tebb eseteiben, amikor a sok komponensre történő bontás miatt a szabadságfokok nagyon elapró-

zódnak, összevonásokkal teszik áttekinthetőbbé, ugyanakkor hatékonyabbá az analízist.

Az új, 2vs variancia lehet kisebb is, lehet nagyobb is, mint a véletlen hatását korábban „képvi-

selő” 2bs . Emlékeztetünk, hogy az összevont variancia a komponens-varianciák (súlyozott) átlaga;

értéke tehát a két komponens értéke közé esik. Ha 2gs nagyobb volt 2

bs -nél, az összevont variancia

is nagyobb lesz, mint 2bs . Ha viszont kisebb, az összevont variancia is kisebb; mennél kisebb volt

a görbület, annál inkább. (Értéke azonban közelebb van 2bs -hez, mint a görbületi varianciához,

hiszen az előbbi „súlya” N – h, utóbbié pedig a rendszerint jóval kisebb h – 2.)

4.3.2.2 A linearitás ellenőrzése

Ideje befejeznünk a varianciaanalízist. Ott tartottunk, hogy a görbületet ellenőrző F-próba nem

volt szignifikáns, ezért ezt a komponenst összevontuk a mintán belülivel. A linearitást képviselő 2rs -et ehhez az új „véletlen komponenshez” hasonlítjuk:

(4.42) .2

2

v

r

s

sF

A megfelelő szabadságfokokat (4.37) és (4.40) alatt találjuk.

Megjegyezzük, hogy nem mindenki ért egyet ezzel a próbasorozattal. Egyrészt azt mond-

ják, hogy akkor is vizsgálható a regressziós komponens, ha az egyszempontos variancia-

analízis nem mutatott különbséget a csoportok közt, másrészt azt állítják, hogy „szignifi-

káns görbület” esetén is elvégezhető a lineáris regressziót ellenőrző F-próba.

Az első esetben nem ugyanazt vizsgálják, mint mi tettük a (4.42) alatti F-próbával – jólle-

het ugyanazt a képletet alkalmazzák. Nem a csoportátlagok egyenesre történő illeszkedését

nézik, hanem azt, hogy az N pontból számolt regressziós egyenes vízszintes-e vagy sem.

Természetesen jogos ez a vizsgálat is,* de a mi célunk most más volt: a különbözőnek talált

* Esetünkben a nevező szabadságfokát tudjuk növelni.

* El is végeztük a könyv második részében! (Lásd a 2.x.x szakaszt.)

37

csoportokról akartunk valami többet megtudni, a különbözőségre kerestünk egyfajta ma-

gyarázatot.

Problematikusabb a második vizsgálat. Ha tudjuk – legalábbis a szignifikancia nyújtotta

biztonsággal –, hogy az átlagok valamilyen görbén helyezkednek el, akkor a linearitás

ellenőrzése valami olyasmit jelent, hogy megpróbáljuk a görbét „átvágni” egy egyenessel.

A görbére mindenképp rá lehet fektetni egy egyenest; olyasmi ez, mint mikor a kanyargós

utat átvágjuk, a réten keresztül. Számomra nem világos azonban, hogy mit jelent ilyenkor a

szignifikáns, és mit a nem szignifikáns F-próba. Azt vizsgáljuk csupán, hogy ez az „átvá-

gás” vízszintes-e? Erre alkalmasabb az előző próba. Vagy azt, hogy „elég közel” van-e a

görbe az egyeneshez? Meglehetősen homályos állítás. Nem ajánlható ez az út. (Ahogy a

réten átvágva is tévedhetünk mocsárba, amiben szépen elsüllyedünk.)

Mindenesetre ilyenkor nem lehet varianciákat összevonni, és ennek a (homályos) linearitás-

nak az ellenőrzése ezzel a próbával történik: .2

2

b

r

s

sF

Jobb azonban, ha nem is törődünk ezekkel a lehetőségekkel, hanem megmaradunk a koráb-

ban bemutatott próbasorozatnál.

Összefoglalva: először megvizsgáljuk, hogy van-e a csoportok közt különbség. Ha (4.21) nem ad

szignifikáns eredményt, készen is vagyunk. Ha ez szignifikáns, következik a „görbeség” ellenőr-

zése (4.38) szerint. Ha ez szignifikáns, akkor nincs tovább: lineáris modellünk nem vált be. Ha

viszont nem szignifikáns, akkor a görbületi és a mintán belüli komponenst összevonjuk, és az új

véletlen komponens segítségével végezzük el a regressziós próbát, ahogy (4.42) mutatja.

Nincs más hátra, mint végigszámolni egy példát – ezzel erősítve meg a 4.3 fejezetben elsajátí-

tott új ismereteket.

4.3.2.3 Példa „regressziós varianciaanalízisre”

Az előző fejezetben elemzett mintapélda (4.2. táblázat) alkalmas arra, hogy elvégezzük rajta eze-

ket az elemzéseket is. A mintákat megkülönböztető szempont, a szemcseméret értékei számok,

tehát megfelelnek a fejezet elején említett követelménynek.*

Először Qx és Qxy értékét számítsuk ki, a (4.35) és (4.36) képletek alapján:

.679352,7928

7,123169,91,12881,01,25315,07,34708,0

318837,128

69,9)81,0(5)15,0(5)08,0(6

2222

xy

x

Q

Q

Ezután számítsuk ki r2 és e

2 értékét. Ne felejtsük el, hogy a korábbi Qt pontosan ugyanaz, mint

az r képletében szereplő Qy:

.670517,0427,6620837318,1

)352679,79(522532,0

427,6620

526,3525 222

re

Következik a Qr és Qg négyzetösszegek kiszámítása, (4.33)–(4.34) alapján:

* Ugyanazt a kifogást azonban föl lehet ellenük hozni, amiről uyanott a -os részben volt szó (29. oldal). A növényi

„szemcsék” nem egyformák az egyes csoportokon belül. Szitálással választották szét őket, és nem elég, hogy külön-

féle méretek kerülnek ugyanabba a csoportba (a két szita mérete közti összes közbülső méret), de a „mérés” nem is

pontos: egyes szemcsék összetapadhatnak, és kisebbek keveredhetnek a nagyobbak közé.

38

.327,98195,3427837318,1

)352679,79( 2

gr QQ

Biztonság kedvéért ellenőrizzük, hogy a kettő összege valóban egyenlő-e Qk-val! (A harmadik

tizedesjegyben fogunk eltérést találni – de hát ez mindhárom esetben már egy kerekített, pontatlan

jegy. Ha nagyobb egyezést akarunk, minden négyzetösszeget több jegyre kell kiszámítanunk.)

Következik a görbület ellenőrzése:

776,323

327,982 gs , 561,1342 bs (utóbbit tudjuk az egyszempontos varianciaanalízisből),

végül .2436,0561,134

776,32F

Ezt az értéket a (3, 23) szabadságfokoknál kell ellenőrizni a III. táblázatban. Látjuk, hogy kisebb

minden, a táblázatban található értéknél – tehát semmiképp nem szignifikáns. Ezt egyébként táb-

lázat nélkül is tudjuk, hiszen az 1-nél kisebb érékek az eloszlás „másik végén” helyezkednek el.

A görbület nem szignifikáns, ezért összevonjuk ezt a komponenst a mintán belülivel. Mivel a

görbületi variancia nagyon kicsi, a véletlen komponens kisebb lesz a mintán belülinél; ez is a szig-

nifikancia „érdekében” dolgozik, hiszen növeli F értékét. Az új komponens számlálója:

Qv = 3094,901 + 98,327 = 3193,228,

nevezője pedig N – 2 = 26 lesz. (L. a (4.39)–(4.40) képleteket!)

Ezek után elvégezhetjük a linearitás ellenőrzését:

.905,27816,122

195,3427816,122

26

228,3193195,3427

1

195,3427 22 Fss vr

A szabadságfokok jól leolvashatók a varianciák képletéből; azt kaptuk, hogy az F érték szignifi-

káns, sőt nagyobb minden táblabeli értéknél (p < 0,005). Arra a következtetésre jutottunk, hogy

helyes volt a „lineáris modell” feltételezése: a csoportok átlagai jól illeszkednek az x (szemcse-

méret) és y (kivont glikozid) közt számolt regressziós egyenesre.

4.3.3 A varianciaanalízis táblázata

A sok komponens közt könnyen el lehet tévedni. Esetenként nemcsak a variancia-komponensek,

hanem a négyzetösszegek és a szabadságfokok értékeire is kíváncsiak vagyunk. (Ha másért nem,

hogy ellenőrizhessük őket: kiadja-e összegük a teljes négyzetösszeget és annak szabadságfokát.)

Ezért a varianciaanalízis eredményeit táblázatba szokás foglalni. Legtöbbször ez a táblázat már

a négyzetösszegek felbontása után elkészül, és a további számításokat – varianciák, F-próbák – itt

végzik el. Készítsük el most ezt a táblázatot!*

A táblázat minden sora egy-egy komponensnek felel meg. Szokás a komponensek „fontossági

sorrendjét” megtartani: amelyik komponensnek a vizsgálattal kapcsolatban „mondanivalója” van

(pl. a csoportok közti különbséget jellemzi), az kerül előre, a véletlen komponens (amelyik tulaj-

donképpen csak „zavarja” a csoportok közti különbségtételt) kerül a végére. Az „utolsó sor után”

tüntetik fel a teljes mintára vonatkozó értékeket; ezek az ellenőrzést szolgálják.

A táblázat oszlopai rendre a következők. Az elsőbe elnevezések kerülnek, amelyek mutatják,

hogy az illető sor melyik komponens adatait tartalmazza. A második oszlopban a négyzetösszeg, a

harmadikban a szabadságfok, a negyedikben a variancia (a kettő hányadosa) áll. Az utolsó oszlop-

* Mindezt jóval korábban megtehettük volna; általában az egyszempontos varianciaanalízist is ilyen táblázatban végzik

el. Mivel azonban ott csak két komponensre bontják a varianciát, a táblázatnak mindössze két sora van. Ezért ott táblá-

zat nélkül is könnyű eligazodni.

39

ban az F értékek állnak és talán még a hozzájuk tartozó p valószínűségek. Némi nehézséget okoz-

hat azonban, ha egyik-másik F számításához összevont varianciákat használtunk.

Egyelőre készítsük el a 4.3 fejezetben megismert varianciaanalízis táblázatát az elmondottak

szerint, elhagyva az F értékek oszlopát. Képletek helyett ezúttal a képletekre utaló számok állnak a

megfelelő helyeken. (4.4. táblázat.)

4.4. táblázat: A regressziós varianciaanalízis egyszerűsített táblázata

Típus Négyzetösszeg Szabadságfok Variancia

Regressziós

Qr: (4.33)

1 rr Qs 2

Görbületi

Qg: (4.34)

h – 2 2gs

Mintán belüli

Qb: (4.14)

N – h 2bs

Teljes Qt: (4.15) N – 1 ―

Teljesen hasonló ehhez az egyszempontos varianciaanalízis táblázata, csak ott mindössze két

sor van a táblázat „belsejében”, és szerepel még egy oszlop, amelyben az (egyetlen) F érték áll. Ha

itt is szerepeltetni szeretnénk az analízis F értékeit, ki kell bővítenünk a táblázatot olyan sorokkal,

amelyekben az összevont értékek állnak. Be kell vallani: az áttekinthetőség érdekében készült

táblázat így már maga sem lesz könnyen áttekinthető! (4.5. táblázat.)

4.5. táblázat: A regressziós varianciaanalízis teljes táblázata

Típus Négyzetösszeg Szabadságfok Variancia F-próbák

Regressziós

Qr: (4.33)

1

rr Qs 2

2

2

v

r

s

sF 3.

Minták közti

grk QQQ h – 1

2ks

2

2

b

k

s

sF 1.

Görbületi

Qg: (4.34) h – 2

2gs

2

2

b

g

s

sF 2.

Véletlen

bgv QQQ

N – 2 2vs ―

Mintán belüli

Qb: (4.14)

N – h 2bs ―

Teljes Qt: (4.15) N – 1 ― ―

Az F-próbák utáni számok e próbák javasolt sorrendjét mutatják. (Az egyes próbák

végezhetősége az előző próba eredményétől függ!)

A 4.6. táblázatban azt követhetjük nyomon, hogyan használjuk a varianciaanalízis táblázatát.

Ennek érdekében elkészítettük a mintapélda táblázatát, a 4.5. táblázatnak megfelelően – kiegé-

szítve még egy oszloppal, amely az F értékekhez tartozó, a III. táblázatból kikeresett valószínű-

ségeket tartalmazza.

40

Megjegyezzük, hogy a varianciaanalízis táblázatával, annak értelmezésével már csak azért sem

árt megbarátkozni, mert a számítógépes programok többsége ebben a formában „közli velünk” a

végeredményt.

4.6. táblázat: A példa végeredménye

Típus Q f s2 F p

Regressziós 3427,195 1 3427,195 27,905 <0,005

Minták közti 3525,526 4 881,381 6,550 <0,005

Görbületi 98,327 3 32,776 0,2436 >0,10

Véletlen 3193,228 26 122,816 ―

Mintán belüli 3094,901 23 134,561 ―

Teljes 6620,427 27 ― ―

Az összegek egy része a harmadik tizedesjegyben már nem egyezik meg. Ennek

az az oka, hogy egyes négyzetösszegeket az egyszempontos varianciaanalízisből

vettünk át, ahol „pontosabban” számoltunk.

41

4.4 Randomizált blokkok

A cím nyilván ijesztő kissé, de rövidesen ki fog derülni: egyszerű dologról van szó. (Mindenesetre

egyszerűbbről, mint az előző fejezetben…)

Induljunk ki ismét az egyszempontos varianciaanalízisben felvázolt problémából: több minta

(több csoport, több kezelés stb.) közt akarunk különbséget megállapítani. Most azonban ezek a

minták nem teljesen függetlenek, és valamennyinek ugyanakkora az elemszáma. Ezt a közös nj

elemszámot ezekben a feladatokban g-vel fogjuk jelölni.* A mintaelemek száma (N) ebben a fel-

adatban tehát g és h szorzatával egyenlő.

Mindez persze még nem sokat árul el a feladat jellegéről. Magyarázattal tartozunk arra vonat-

kozóan is, hogy mit értettünk a „nem teljesen” független mintákon, továbbá hogy a varianciaana-

lízis minták függetlenségére vonatkozó feltételét hogyan tudjuk „megkerülni”. Ehhez kell a

„blokk”, majd később a „randomizált” kifejezés bevezetése, magyarázata. Kezdjük az elsővel!

4.4.1 Blokkok kialakítása

A varianciaanalízis eredménye gyakran azért nem szignifikáns, mert bár látható különbség van az

átlagok között, a nagy szórás elfedi ezt a különbséget. Ezen nem tudunk közvetlenül segíteni. A

minták szórása nem változtatható meg anélkül, hogy magukat az adatokat meg ne változtatnánk;

ez pedig semmiképpen nem engedhető meg. Ezért találták ki a kísérleti személyek (vagy más

kísérleti egységek)**

„blokkosítását”, blokkokba való besorolását.

Blokknak nevezik a valamilyen szempontból egyforma (vagy egymáshoz igen hasonló) vizsgá-

lati alanyok egy csoportját, illetve a tőlük származó adatok együttesét. Gondoljunk például egy

olyan vizsgálatra, amelyben különböző korú személyek vesznek részt. Ha a (nagyjából) egykorúa-

kat összeválogatjuk – belőlük „blokkokat” képezünk –, akkor lehetőségünk van az esetleges élet-

kori hatás kiküszöbölésére. A blokkokba történő rendezés eredményeképp a blokkok közti különb-

ségeket ki tudjuk vonni, el tudjuk távolítani a véletlen okozta ingadozásból (a mintán belüli szórás-

ból), s így a minták közti különbség könnyebben kimutatható.

Lássunk egy másik példát is! Gondoljunk egy tanulási vizsgálatra, amelyet iskolás gyerekek

segítségével végzünk. A különböző körülmények közötti tanulás eredményei közti, viszonylag kis

különbséget könnyen elfedheti a gyerekek tudásbeli, fegyelembeli vagy más (pl. koncentrációs

képességi) alapszintje közti eltérés, amelyet esetleg az iskolák különbözősége magyaráz meg. Ha a

gyerekeket iskolák szerint blokkokba soroljuk, mód nyílik ennek az „alapszinti” különbségnek a

kiküszöbölésére, hatásának semlegesítésére.

Az utóbbi példából különösen látszik, hogy a blokkokba sorolás ritkán oldja meg a kísérleti

személyek „szintbeli” különbözősége okozta problémákat. Az egyik iskola „jó tanulója” és „rossz

diákja” közt gyakran nagyobb a különbség, mint két iskola (vagy iskolai osztály) „alapszintje”

között. Jó lenne az egyéni különbségeket figyelembe venni, s ezzel a kísérlet eredményét minden

zavaró, járulékos hatástól megtisztítani!

Blokkok alkalmazása segítségével erre is van lehetőség. Igen gyakori, különösen pszichológiai

vizsgálatokban, hogy egyetlen személy szerepel úgy, mint „blokk”: a tőle származó, különböző

körülmények közt mért, különböző kezelések eredményét tükröző adatok alkotják a voltaképpeni

blokkot. Ilyenkor azonban az egyes kezelések eredményeit tartalmazó minták már nem lesznek

függetlenek, hiszen ugyanazok a személyek szerepelnek valamennyiben. Erre a kérdésre a követ-

kező, 4.4.2 szakaszban még visszatérünk.

* A jelölést mindössze az indokolja, hogy az oszlopok számát h-val jelöltük, s így a sorok számának jelölésére célsze-

rűnek látszott egy „szomszédos” betűt választani.

** Képezhetők blokkok más, nem kísérleti helyzetekben is. Mégis, blokkok kialakítása, a szórás csökkentése blokkok

segítségével tipikusan kísérleti eszköznek tekinthető.

42

Blokkot természetesen nemcsak személyek alkothatnak. Egy laboratóriumi kísérletsorozatban

gyakran az azonos napon végzett vizsgálatok képezik a blokkokat, kiszűrve ezzel a környezet – az

időjárás, a helyiség hőmérséklete, a személyzet hangulata és számtalan más tényező – változé-

konyságának hatását. Állatkísérletekben gyakori, hogy az egy fészekaljból származó, egymáshoz

rendszerint nagyon hasonló, „iker” állatok alkotnak blokkot. És lehetne még sorolni a példákat.

Sokakat talán zavar, hogy nem definiáltuk pontosabban, mi is az a blokk. Ilyen „pontos definí-

ció” azonban nem lehetséges. A blokk nem valami eleve adott, megváltozhatatlan dolog. Blokkot

azok a személyek (állatok, tárgyak, adatok) alkotnak, akiket (amelyeket) a kutató egy csoportba –

egy blokkba – sorol. Lényeges azonban, hogy ezt előre, a kísérlet megtervezése során, annak vég-

rehajtása előtt tegye meg, nem pedig az adatokban talált valamilyen hasonlóság alapján. Lehet,

hogy az a kritérium (mint a példákban az életkor, az iskola, a kísérlet napja), amelynek alapján a

blokkokat kialakította, nem alkalmas a szórás csökkentésére, eljárása mégis korrekt (ha nem is

célravezető). Ha viszont az adatok közt keresi meg a hasonlókat és az ily módon „összetartozókra”

mondja, hogy azok blokkok, akkor „kísérletéből” szinte minden, előre elhatározott „eredményt” ki

tud hozni. De minek ehhez a kísérlet? Csalni – mert ez bizony az! – anélkül is lehet, hogy a fárad-

ságos laboratóriumi munkát elvégezné az illető.

A blokkokba sorolás tehát a kísérlet tervezéséhez, nem pedig annak kiértékeléséhez tartozik.

Ahhoz azonban, hogy a legalkalmasabb módszerrel tudjuk eredményeinket kiértékelni, ennek

megfelelően kell a kísérletet – vizsgálatot – felépíteni, megtervezni. Ez mindig így van, de nem

minden értékelő módszer esetén látszik ilyen egyértelműen, mint épp a randomizált blokkok

esetében.

4.4.1.1 Szociális ikerpárok

A kísérletek világában betöltött fontos szerepe miatt ki kell még térnünk az egyik legegyszerűbb,

mindössze két személyt tartalmazó blokkra. Ezt ugyan senki nem nevezi blokknak, hanem azt

mondják: megfeleltetett pár. Sajnos a magyar elnevezés nem terjedt el általánosan. Sokan a meg-

felelő angol szakkifejezést – matched pair – használják; ez az oka, hogy ebben a bekezdésben

mindkettőt kiemeltük.

A pár kialakításának, a megfeleltetésnek (matching) lényege, hogy olyan személyeket kere-

sünk, akik minden szempontból hasonlók – kivéve azt az egyet, ami vizsgálatunk tárgyát képezi.

(Például hogy az egyik kap kezelést, a másik pedig nem.)

Minden szempontból egyforma személyeket persze nem lehet találni. Sok szempontot még

csak figyelembe sem tudunk venni. Az egyik legfőbb, a kísérletek eredményei szempontjából

legfontosabb tényező, a személyiség például legtöbbször szóba sem jön.* Vannak olyan szempon-

tok, amelyek bár fontosak lehetnek (itt ez azt jelenti, hogy befolyásolhatják a kísérleti eredményt),

eszünkbe sem jutnak, sőt esetleg nem is tudunk a létezésükről.

Mégis hogyan szoktak akkor képezni egy ilyen összetartozó párt? Az egyszerűbb utat választ-

va. Ha mondjuk egy beteghez keresnek megfelelő kontroll személyt – és így a betegcsoporthoz

egy kontroll csoportot –, keresnek egy ugyanolyan nemű és korú, ugyanolyan, vagy legalább

hasonló iskolázottságú, hasonló anyagi és családi körülmények között élő „ikret”, aki, úgy tűnik,

mindenben ugyanolyan, mint a beteg – kivéve éppen a betegségét. De figyeljük csak meg, milyen

szempontokat vettünk figyelembe! Csupa olyat, ami „iratokból” kideríthető; az illető nem is kellett

hozzá, csak az anyakönyv, a lakókönyv (ha van még ilyen), az iskolai, és talán még az orvosi bizo-

nyítvány. Erre utal a címben jelzett „szociális ikerpár” megjelölés.

Mivel a „blokknak” ebben az esetben csak két eleme van, a hozzá tartozó varianciaanalízisben

h = 2. A minták viszont nem függetlenek, hanem összetartozók (a megfeleltetett párok hozzák létre

a kapcsolatot a két minta közt), ezért elemzésükre nem a kétmintás, hanem az egymintás t-próba

* A személyiség, ha egyáltalán megismerhető (nesze neked, pszichológia!), olyan bonyolult módszerekkel, olyan idő-

igényes módon vizsgálható csak, hogy messze meghaladja egy ilyen „elővizsgálat” – a blokk-képzés – lehetőségeit.

43

alkalmas. Eszerint a randomizált blokk éppen úgy általánosítása az egymintás t-próbának, mint az

egyszempontos varianciaanalízis a kétmintásnak! (Vagy ha úgy tetszik: a t-próbák ezeknek a

varianciaanalíziseknek a speciális esetei, h = 2 esetén.) Persze, hogy ez így is van – és nemcsak a

feladat és a feltétel azonosak, hanem az eredmények is –, azt még igazolni kell. Erre később, az

eljárás megismerése után még visszatérünk (4.4.6 szakasz).

Emlékeztetünk, hogy az egymintás t-próba leggyakoribb alkalmazásaiban azonos személyek

két, különböző körülmények közt (pl. a gyógyszer bevétele előtt és után) mért értékei alkották a

mintákat. Ezek is megfeleltetett párok, de – mondhatnánk – itt a megfeleltetés tökéletes, hiszen a

pár két eleme minden szempontból hasonló. (Vagy mégsem? Hátha más is történt közben, nem

csak a gyógyszerbevétel. Hogy mennyire kell egy ilyen kísérletnél vigyázni!)

Ebben az esetben már biztosan nem független a két minta. És ilyesmi nagyobb blokkok (h > 2)

esetén is előfordul: említettük, hogy (a pszichológiában különösen) gyakori minden személyt

külön blokknak kezelni, és valamennyi kezelést ugyanazokon a személyeken alkalmazni. Hogyan

lehet ellensúlyozni a minták függetlenségére vonatkozó feltétel ilyen durva megsértését? Erről lesz

szó a következő szakaszban.

4.4.2 Randomizálás

A fogalom nem új, az eljárásra szükség volt már korábban is (a kétmintás t-próba esetében). Most

mégis újra szólni kell róla, hiszen a szó a tárgyalt eljárás nevében, a fejezet címében is szerepel.

Ha személyekkel vagy akár állatokkal végzünk egy kísérletet, amelyet azután egyszempontos

varianciaanalízissel értékelünk, a kísérlet előtt randomizálni kell: sorra véve a személyeket (álla-

tokat) „sorsolás” dönti el, hogy ki melyik csoportba kerül. Ennek a sorsolási eljárásnak a neve

randomizálás, és bármilyen sorsolási módszerrel történhet, például random számok segítségével;

l. a XIII. táblázatot.* A randomizálás célja a csoportok „kiegyenlítése”. Ha módszeresen ügyelünk

arra, hogy minden csoportba egyaránt kerüljenek fiatalok és öregek, ugyanannyi legyen a férfi és a

nő, arra már biztosan nem tudunk figyelni, hogy iskolai végzettség, szociális helyzet, intelligencia

szempontjából is egyforma legyen a csoportok összetétele. (És hány szempont van még, amit nem

is említettem!) Mindezt elvégzi helyettünk a randomizálás: ha a véletlenre (a sorsolásra!) bízzuk,

hogy ki melyik csoportba kerüljön, a csoportok általában kiegyenlítettek lesznek. (Vagy ha nem:

szélsőséges csoportbeosztás ritkán fordul elő – éppen úgy, ahogy ritkán fordul elő sok szélsőséges

érték egy mintában, ha a véletlen törvényszerűségek szabadon érvényesülnek. Erre épül a statiszti-

kai vizsgálatok egész rendszere!)

A randomizáció hatásának kissé eltérő megfogalmazása talán még jobban mutatja alkalmazásá-

nak szükségességét. Amikor egy kísérletet megtervezünk, bizonyos változókat „beépítünk” a terv-

be. Mindenekelőtt a vizsgált kezelést, de gyakran például az életkort is (ez volt a blokkokkal kap-

csolatban említett első példánk), esetleg a nemet (férfi- és női csoportokkal is elvégezve a vizsgála-

tot), és ezenkívül esetleg más szempontokat is. De mindig akad számtalan olyan változó, amit nem

tudunk, gyakran nem is lehet figyelembe venni, de amelyek – könnyen lehet – befolyásolják vizs-

gált változónk értékét. Ezek hatását, úgy szokták mondani, kirandomizáljuk a kísérletből: a rando-

mizáció kiegyenlíti, közömbösíti ezeknek a kísérleti tervbe be nem épített változóknak a befolyását.

Randomizált blokkok esetében ez úgy történik, hogy blokkonként külön randomizálunk: ezen a

módon döntjük el, hogy a blokk melyik eleme kapja az egyik, melyik a másik kezelést. A kezelé-

sek szétosztására h! lehetőség van minden blokkban; a randomizálás egyforma valószínűséggel

„választ” e közt a sok lehetőség közt.

De mi történik akkor, ha a blokkban csak egyetlen személy van? Ez valamennyi kezelést meg-

kapja; mit randomizálunk ilyenkor? A kezelések sorrendjét! Vannak táblázatok, amelyek random

sorrendeket közölnek; ezek segítségével könnyű elkészíteni a kísérleti tervet. De használhatjuk a

random számok már ismert táblázatát is: kisorsolva egy kezdőpontot és egy haladási irányt, az

* Gyakran nevezik az ilyeneket véletlen számoknak. De randomizálás helyett nem mondhatunk véletlenítést!

44

egymás után olvasott számok nagyság szerinti sorrendje adja a véletlen sorrendet. Azután új kez-

dőpontot és új irányt választva megismételjük az eljárást a következő blokkban, majd rendre

valamennyiben.

Példaképpen készítsünk el egy öt elemű véletlen sorrendet a XIII. táblázat alapján. Egyszerű-

ség kedvéért* válasszuk kiindulásul a bal felső sarkot, és haladjunk sorirányban. Érdemes kétjegyű

számokat kiolvasni: egyszerűbb is, meg így nem korlátozzuk az eljárást tíznél nem nagyobb blok-

kok randomizálására. (De persze kiolvashatunk egyjegyű vagy akár három-négyjegyű számokat is

a táblázatból.) Ha olyan számot találunk, amelyik már szerepelt, azt egyszerűen átugorjuk.

A táblázatból kiolvasott (kétjegyű) számok: 10 09 73 25 34. Ezek nagyság szerinti sorrendje

2, 1, 5, 3, 4; ennek alapján osztjuk ki a kezeléseket. (Az illető személy először a kettes, aztán az

egyes, majd az ötös számmal jelölt kezelést kapja, és így tovább.)**

A kezelések sorrendjének ilyen „csereberéje” minden statisztikai alátámasztás nélkül, köz-

vetlen megfontolás alapján is indokolt. A kezelések igen gyakran „hatnak” egymásra. Több,

egymást követő gyógyszer adagolásakor meg szokták várni, míg az egyik szer „kiürül” a

szervezetből; de még így is előfordul, hogy az befolyásolja – fokozza vagy gyengíti – a má-

sik hatását. Ha mindig azonos sorrendben adnák a szereket, ez a torzító hatás leválasztha-

tatlan, sőt észrevehetetlen lenne.

Még nyilvánvalóbb a sorrend hatása azokban a vizsgálatokban, ahol valamilyen feladatot

kell végrehajtania a kísérleti személynek, h különböző körülmény között. (Vagy h egymás-

hoz hasonló feladatot, amelyek közt valami apró, a kísérletezőt érdeklő különbség van.) Az

egymás után következő feladatok során a kísérleti személy egyre gyakorlottabbá válik, egy-

re könnyebben oldja meg azokat. Ha a sorrend azonos, ez a hatás mindig ugyanazt a fel-

adattípust „segíti” és ugyanazt „sújtja”; a torzító hatás nyilvánvaló.

De hasonló torzítás lép fel akkor is, ha az egymás utáni feladatok végzése közben a kísérle-

ti személy elfárad, vagy egyszerűen csak unja a sok hasonló feladat – számára értelmetlen –

ismételgetését. Ilyenkor az utolsók „sínylik meg”, hogy a feladatsor végére kerültek.

A (blokkonkénti) randomizálás minden kezelésnek ugyanakkora „esélyt” ad, hogy első,

utolsó vagy bármely más helyre kerüljön. Ráadásul az őt megelőző, rá esetleg hatással levő

kezelés sem lesz ugyanaz, hanem blokkonként más és más. Így a „helyzeti” és az „egymás

utánisági” előnyök és hátrányok kiegyenlítődnek: nem ugyanannak a kezelésnek a hatását

erősítik (vagy gyengítik).

A statisztikusok bebizonyították, hogy a minták összetartozásából, a függetlenségi feltétel megsér-

téséből származó torzításokat a randomizálás kivédi. Ez egyúttal annyit jelent, hogy ugyanazokat a

képleteket – és az eredmények leolvasására ugyanazokat a statisztikai táblázatokat – használhat-

juk, mint független minták esetén.

Megjegyzendő, hogy (azokban az egyszerű esetekben, amelyekről ebben a könyvben szó lesz)

akkor is érvényesek maradnak a varianciaanalízis szokásos képletei, ha nem lehetséges – vagy

inkább: értelmetlen – a randomizálás. Ilyesmi akkor fordul elő, ha az egyes – azonos személyen

végzett – méréseket éppen az különbözteti meg egymástól, hogy milyen időpontban, pl. milyen

események előtt vagy után történtek. (Gondoljunk arra az egyszerű esetre, amelyet az egymintás t-

próba leggyakoribb alkalmazásaként említettünk az előző pontban.) Nyilvánvaló, hogy az „előtte–

utána” értékek felcserélésének, sorrendjük randomizálásának az égvilágon semmi értelme.

* Pontosabban azért, hogy könnyebb legyen követni, jól megérteni az eljárást.

** Ha egyjegyű számokat olvasunk ki ugyaninnen, a számsor 1 0 9 7 3 (az ismétlődő nullát kihagytuk). A kisorsolt

sorrend ebben az esetben: 2, 1, 5, 4, 3.

45

4.4.3 A négyzetösszeg felbontása

A feladatot már ismerjük: a blokkok közti különbség felhasználásával szeretnénk a minták „túl

nagy” szórásának hatását csökkenteni. Ez úgy történik, hogy a mintákon belüli ingadozást képvi-

selő 2bs varianciát két komponensre bontjuk: a blokkok közti különbséget jellemző 2

ss -re és az 2es

„maradékra”, amely ezután a véletlen hatásokat képviseli.

A jelöléseket részben a kényszerűség magyarázza. A blokkokra jellemző komponensnek nem

adhattuk a b indexet, mert az már foglalt. Mivel példáinkban – és az esetek többségében – az egyes

személyek alkotják a blokkokat, ezért választottuk az s indexet. A véletlen komponens jelölésére

„esélyes” v indexet is felhasználtuk már, az előző fejezetben. Ez a komponens azonban a model-

lünktől való eltérést, tehát bizonyos értelemben a hibát képviseli. Mivel a h index szintén foglalt,

ezért választottuk a megfelelő idegen szó (error) kezdőbetűjét.

Szeretném, ha az olvasó észrevenné, hogyan épülnek egymásra a varianciaanalízis leg-

egyszerűbb esetei. Kiindultunk az egyszempontos varianciaanalízisből; ez a variancia két

komponensre bontását jelentette (4.2 fejezet). Ezután az első, minták közti komponens két

részre bontásával igyekeztünk „megmagyarázni” a minták közt talált különbség természetét

(4.3 fejezet), most pedig a mintán belüli varianciát bontjuk két komponensre (4.4 fejezet).

Ezzel a varianciaanalízis legegyszerűbb eseteit ki is merítettük.

Később, a 4.6 fejezetben úgy nyerünk újabb információkat a csoportokról, hogy az itt ka-

pott 2es varianciát bontjuk föl, ismét csak két komponensre; az így előállt új eljárás neve

kétszempontos varianciaanalízis. Tovább nem is megyünk; az egymás utáni felbontások, a

négyzetösszegek és a szabadságfokok „darabolódása”, a komponensek közti F-próbák már

mutatják, mennyi lehetőség rejlik ebben a módszerben. Ebben a könyvben csak annyi alap-

ismeret szerepel, amennyinek a birtokában az olvasó remélhetőleg meg fogja érteni – és

ami ennél fontosabb: használni tudja – a statisztikai programcsomagok gazdag kínálatát a

varianciaanalízis különféle fajtáiból.

Mielőtt a Qb négyzetösszeg felbontásához kezdenénk, módosítsuk kissé az eddigi jelöléseket.

Mivel ebben és a következő fejezetekben már nem szerepel olyan „külső” változó, amelynek a

számértékeit fel kellene használnunk, térjünk át a megszokottabb, „természetesebb” x jelölésre az

eddig használt y helyett. Remélhetőleg nem fog nehézséget okozni a korábbi képletek értelemszerű

módosítása; nem is ismételjük meg azokat.

Eltekintve a jelölés említett cseréjétől, az alapszámítások alig módosulnak. A 4.7. táblázatban a

minták (oszlopok) mellett fontos szerep jut a blokkoknak (sorok) is; egyébként ez a táblázat

nagyon hasonló a 4.1. táblázathoz.

A sorok összegére új jelölést kellett bevezetnünk, a (4.1) képlet mintájára. Nem lett volna ele-

gendő, ha – szemben a Tj oszlopösszeggel – ezeket egyszerűen Ti sorösszegeknek hívjuk. Mert mi

van akkor, ha a pl. a T3 összegről beszélünk: ez vajon a harmadik sor vagy a harmadik oszlop ösz-

szegét jelenti? Ezért láttuk el a sorösszegeket (vagyis a sor irányú, j szerinti összegezések eredmé-

nyét) a megkülönböztető vesszővel:

(4.43) .j

iji xT

Ezt a formulát egyébként a 4.7. táblázatban is megtaláljuk. Hasonlóképpen, a sorok átlagát is vesz-

szővel különböztetjük meg az oszlopok – minták – átlagától:

(4.44) .h

Tx i

i

Erre egyébként csak a felbontásban lesz szükségünk, a végső képletekben nem szerepel – és nem

is igazán érdekel minket – a blokkok átlaga.

46

4.7. táblázat: A randomizált blokk elrendezés jelölései

Kezelések A B . . . Z Sorösszeg

iT

a 11x 12x . . . jx1 . . . hx1 1T

b 21x 22x jx2 hx2 2T

Blokkok c 31x 32x jx3 hx3 3T

… …

… 1ix 2ix ijx ihx

j

iji xT

… …

z 1gx 2gx gjx ghx gT

Elemszám: nj g g g g hg = N

Összeg:

jT 1T 2T jT

hT j

jT

Átlag :

jx

1x

2x

jx

hx ―

Az adatok

négyzetösszege: i

ijx2 i

ix21

i

ix22

i

ijx2 i

ihx2 2ijx

Korrekciós tag: j

j

n

T 2

g

T 21

g

T 22

g

T j2

g

Th2

j

j

g

T 2

Négyzetösszeg: jQ 1Q 2Q jQ hQ

j

jQ

Variancia: 2js 2

1s 22s

2js 2

hs ―

Szórás: js 1s 2s js hs ―

Lássunk hozzá a Qb négyzetösszeg felbontásához! Kiindulásul (4.14)-re hivatkozunk, de

ne felejtsük el az y jelölést x-re cserélni. A „trükk” ugyanaz, mint korábban: mivel a

blokkok közti különbséget el akarjuk távolítani Qb-ből, a blokkátlagokat levonjuk és

hozzáadjuk a formula minden tagjához, a zárójelen belül. Csak most még a „nagyátlagot” is

hozzá kell adnunk és le kell vonnunk:

).)((2)()(

)()(

22

22

xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxQ

ijiijijiij

ijiijjiiijb

Az első tag nem más, mint Qe, a második a blokkokat képviselő Qs, a kétszeres szorzat

pedig szokás szerint „eltűnik”, azaz nullával egyenlő. Először ezt mutatjuk meg.

47

Emeljük ki a második, j-től független tényezőt a j szerinti szumma elé, és végezzük el a

négytagú kifejezés j szerinti összegezését! Csak ezt az utóbbit írjuk föl:

.)(gh

xh

g

xxhTxxxx

ijijii

j

jiij

A második tag (4.44) miatt egyenlő az elsővel, a harmadik és negyedik tag egyenlősége pe-

dig közvetlenül leolvasható a képletből. A négy tag összege tehát nulla; ez áll szorzóként az

i szerinti összegezés minden tagjában, ezért az az összeg is, így a kétszeres szorzat is nulla.

A két megmaradó négyzetösszegen végezzük el a szokásos átalakítást, hogy a számolásra

alkalmas formát megkapjuk:

,2

2)2()(

2222

22222

gh

x

h

T

gh

x

h

x

g

x

h

T

xghxxhxhxxxxhxx

ijiijijiji

ii

i

iii

ahogyan azt a korábbiak alapján várni lehetett. (L. Qk képletét (4.13) alatt.)

A másik átalakítás sajnos sokkal hosszadalmasabb, ezért annak csak a vázlatát adjuk meg.

Az első tag négyzete megmarad a végleges képletben. A második tag összegzett négyzete,

mint az iménti levezetésben láttuk,

i

i

h

T 2

, a harmadiké a formai hasonlóság miatt j

j

g

T 2

.

Mindkettő szerepel a kétszeres szorzatok közt is, –2 előjellel; a végleges képletben tehát

ezek negatív előjellel szerepelnek.

A negyedik tag négyzete gh-val szorzódik (ennyi tagja van ugyanis a kettős szummával

jelzett összegnek). Ugyanez még kétszer fordul elő a kétszeres szorzatban pozitív, kétszer

negatív előjellel, tehát marad +1-szer az említett tag:

.

22

N

x

gh

x ijij

A -os rész levezetéseiben megkapott formulákat a szokásos módon összefoglaljuk:

(4.45)

,)(

222

gh

x

h

TxxQ

ij

i

iis

(4.46)

.)(

22222

gh

x

g

T

h

TxxxxxQ

ij

j

j

i

iijjiije

4.4.4 A szabadságfokok meghatározása

Qs pontosan ugyanolyan alakú, mint Qk volt. (Ugyanarról is van szó! Egyik a minták – oszlopok –,

másik a blokkok – sorok – közti eltéréseket jellemzi.) Szabadságfokának meghatározása is ugyan-

úgy történik: a kettős összeg közvetlenül átírható egyetlen, g tagú összeggé, ennek tagjai közt

pedig van egy lineáris összefüggés, a mindegyikben szereplő átlag miatt. A szabadságfok tehát

(4.47) .1 gfs

A lineáris összefüggések segítségével történő „pontos” levezetés a (4.16) képlet utáni -os

részben található meg, a 18. oldalon – csak a megfelelő jelöléseket kell kicserélni. A másik négy-

48

zetösszeg, a (4.46) alatt található Qe esetében ezúttal megelégszünk a szemléletes levezetéssel. A

négyzetösszeg gh tagja közt a g darab sorátlag és a h oszlopátlag teremt összefüggéseket. A „nagy-

átlagot” már nem kell figyelembe venni, hiszen az nem független az előbbiektől: a sorátlagok átla-

gával egyenlő. Sőt, mint ebből is látszik, azok sem mind függetlenek: a sorátlagok átlaga és az osz-

lopátlagok átlaga ugyanaz az érték (az x „nagyátlag”); ezért (g + h) helyett eggyel kevesebbet kell

levonni a tagok számából.* A szabadságfok így kapott képletén mindjárt egy később hasznosnak

bizonyuló átalakítást is végrehajtunk:

(4.48) ).1)(1(1 hghgghfe

Nem más ez, mint a két másik szabadságfok szorzata.

A négyzetösszegeket a megfelelő szabadságfokokkal osztva kapjuk a keresett varianciákat; a

képleteket még csak fölírni sem érdemes. A varianciaanalízis táblázata ebben az esetben:

4.8. táblázat: A varianciaanalízis táblázata randomizált blokkokra

Típus Négyzetösszeg Szabadságfok Variancia F-próbák

Minták (kezelések) közti

Qk: (4.13)

h – 1

2ks 2

2

e

k

s

sF

Blokkok (személyek) közti

Qs: (4.45)

g – 1

2ss

2

2

e

s

s

sF

Hiba (A véletlen hatása)

Qe: (4.46)

gh – g – h + 1 2es

Teljes Qt: (4.15) gh – 1 ―

4.4.5 A varianciaanalízis befejezése

A 4.8. táblázatban tulajdonképpen már szerepel ez a befejezés: a varianciák hányadosából F érté-

keket számolunk ki, melyeket azután az ugyanebben a táblázatban található szabadságfokoknak

megfelelően kikeresünk a III. táblázatból. De mit is jelent a 4.8-ban látható két F, és miért van az

egyik zárójelben?

Az első csak annyiban tér el az egyszempontos varianciaanalízist záró (4.21) alatti F-próbától,

hogy nevezőjében 2es áll a mintán belüli variancia, 2

bs helyett. Ha a blokkok közt valóban van kü-

lönbség (ahogyan azt sejtettük vagy reméltük), akkor az új nevező kisebb, F értéke tehát nagyobb

lesz, mint korábban volt.**

Az érték tehát „szignifikánsabb” lesz, azaz szignifikáns lehet akkor is,

ha ugyanebben a feladatban az egyszempontos varianciaanalízis nem adott szignifikáns eredményt.

(Kissé „ellene dolgozik” ennek a tendenciának, hogy a nevező szabadságfoka némiképp csökken.

A III. táblázatból ellenőrizhetjük, hogy ez a csökkenés a szignifikancia „ellen” hat.)

* Nemcsak a végeredmény: a „levezetés” is pontosan ugyanolyan, mint mikor a kontingenciatáblázat szabadságfokát

határoztuk meg! Pedig a két dolgot pusztán formai rokonság köti össze.

** Emlékeztetünk, hogy

2bs két komponensének,

2ss -nek és

2es -nek (súlyozott) átlaga. Ha tehát az első nagy, mint

várjuk, a második kicsi lesz.

49

A második F-próba legtöbbször nem is érdekel minket.* Ha a blokkok felvételével pusztán az

volt a célunk, hogy a mintán belüli szórást csökkentsük, a blokkok (például az egyes kísérleti

személyek) közti különbség érdektelen. Példánkban is ez lesz a helyzet.

Mielőtt egy példával „erősítenénk meg” a fejezetben elmondottakat, írjuk fel táblázaton kívül

is az új F-próbákat, hogy később hivatkozhassunk rájuk. A kezelések közti eltérésre:

(4.49) .2

2

e

k

s

sF

A blokkok közti különbségre (vagyis a „jogtalan” F-próba):

(4.50) .2

2

e

s

s

sF

És most lássuk a példát! Pszichológusok egy teszt négy különböző változatát (A–D) dolgozták

ki. Arra voltak kíváncsiak, melyiket lehet leghamarabb megoldani. (Nagy tömegben történő

alkalmazás esetén az időtényező fontos lehet.)

4.9. táblázat: Példa randomizált blokkokra

Tesztek

Személyek

A B C D Összegek

( iT )

s 35 26 35 31 127

t 23 13 26 17 79

u 29 18 32 24 103

v 21 13 20 12 66

x 27 20 30 22 99

y 43 31 44 37 155

z 37 28 40 29 134

Összegek ( jT ) 215 149 227 172 763

Átlagok ( jx ) 30,714 21,286 32,429 24,571 ―

i

ijx2

6983

3483

7761

4664

22 891

g

T j2

6603,57

3171,57

7361,29

4226,29

21 362,72

Qj

379,43

311,43

399,71

437,71 1528,28

Szórások ( js )

7,952

7,204

8,162

8,541 ―

* Szigorúan véve a statisztika – levezetésekkel alátámasztott – szabályait, ez a második F-próba jogtalan is. Ezzel

azonban nekünk nem érdemes törődnünk: máskor sem mélyedtünk el a statisztika elméleti kérdéseibe.

50

Mivel a „gyorsaság” egyénenként igen változó, a személytől függő tényező, célravezetőnek

látszott valamennyi változatot ugyanazokon a személyeken felvenni. Hét személyt választottak ki

(s–z), akik randomizált sorrendben kapták a teszteket. (Hasonló tesztekről lévén szó, bármelyiknek

a megoldása biztosan segíti a következő teszt megoldását.) Az eredményeket – és az előkészítő

számításokat – a 4.9. táblázatban találjuk. Az xij adatok a megoldási időt jelentik, percekben.

A gyakran korrekciós tagnak nevezett „teljes összeg a négyzeten, per N” kifejezés három négy-

zetösszegben is szerepel,* ezért először azt számítjuk ki. A teljes összeget nemcsak valamennyi

adat, hanem akár a sorösszegek, akár az oszlopösszegek összegezésével megkaphatjuk. Nem árt,

ha ezekből az összegezésekből legalább kettőt elkészítünk: egyszerű ellenőrzési lehetőség ez olyan

adatokra, amelyeket többször is fölhasználunk később. (Ugyanezt megtehetjük az adatok négyzet-

összegével is; a táblázatban csak oszloponként számítottuk ki őket.) Ne felejtsük, hogy N a sorok

számának (g) és az oszlopszámnak (h) a szorzatával egyenlő. A korrekciós tag:

75,7912028

7632

U .

A Qt és Qk négyzetösszegek kiszámításához a 4.9. táblázat utolsó oszlopában álló három ösz-

szeg közül az első kettőből le kell vonni a most kapott U-t. A harmadik összeg ebben az oszlopban

a Qb négyzetösszeg (l. a 4.1. táblázatot, 11. oldal), amelyre a randomizált blokk varianciaanalízi-

sében közvetlenül ugyan nincs szükség, de felhasználjuk más négyzetösszegek kiszámításához.

Végezzük el a szükséges számításokat! A Qs négyzetösszeg előállításához még számolni kell

egy keveset:

5,1487)134155996610379127(

97,57075,7912072,3622125,209975,7912089122

2222222

41

UQ

QQ

s

kt

A Qe négyzetösszeget kivonással állítjuk elő. Megtehetjük a (4.46) képlet alapján is, de ez egy

kicsit hosszabb számolásssal jár. Kivonással viszont egyszerű:

78,405,148728,1528 sbe QQQ

Készítsük most el a varianciaanalízis táblázatát (4.10. táblázat) a 4.8. táblázat alapján – kiegé-

szítve egy, a kikeresett p érték feltüntetésére alkalmas oszloppal, ahogyan a 4.6. táblázatban is

tettük. A további számításokat már itt végezzük.

4.10. táblázat: A példa végeredménye

Típus Négyzetösszeg Szabadságfok Variancia F-próbák p érték

A tesztváltozatok közt

570,97

3

190,32 004,84

2656,2

32,190F < 0,005

A személyek közt

1487,5

6

247,92 43,109

2656,2

92,247F < 0,005

Hiba 40,78 3×6 = 18 2,2656 ― ―

Teljes 2099,25 27 ― ― ―

* Egyes mintákra vonatkozóan korábban is korrekciós tagnak neveztük az ilyet; semmi akadálya, hogy most az össze-

tett, „teljes” mintára vonatkoztassuk. Jelölésének azért választottuk az U-t, mert ez a négyzetösszegek utolsó tagja.

51

Megjegyezzük, hogy ha nem használjuk ki azt az előnyt, amit a blokkok jelentenek (vagyis

ha nem vonjuk le a személyek közti különbség hatását), hanem egyszempontos varianciaanalízist

végzünk a tesztváltozatok összehasonlítására, nem is találunk köztük különbséget. Végezzük el ezt

a számítást is!

A minták közti varianciát már kiszámítottuk a 4.10. táblázatban, a mintán belüli kiszámítá-

sához megvan Qb, a szabadságfok pedig N – h = 24. Elvégezve az osztást, majd az F-próbát:

05,0989,2678,63

32,190678,63

24

28,15282 pFsb , vagyis nem szignifikáns.*

Érdemes elgondolkozni azon, hogy ha a randomizálás – ami így is, úgy is megtörtént –

nem tette függetlenné a mintákat (mint ahogy nem is tehette), miért volt mégis jogos a

10. táblázatban található analízis, és jogtalan az egyszempontos varianciaanalízis.

Az egyszerűbb válasz valahogy úgy hangzik, hogy az elvégzett randomizálás nem a teljes

vizsgálatra vonatkozott, hanem blokkokon belül történt. Ezzel pedig „elismertük” a blokkok

létét – az analízist tehát ennek megfelelően kellett végezni.

Ez a válasz azonban nem megnyugtató.**

Ha azonban megpróbáljuk a kísérlet felépítését

másképp nézni, nem pedig mint az egyszempontos varianciaanalízis egy lehetséges „javítá-

sát”, akkor talán megtaláljuk a választ.

Szó sincs itt (a tesztekre vonatkozó) mintákról – tehát nem is az a kérdés, hogy azok füg-

getlenek-e vagy sem. Minden xij érték, ha önmagában vizsgáljuk, három hatásnak van ki-

téve. Egyrészt az határozza meg, hogy milyen „nehéz”, milyen gyorsan oldható meg a

teszt, amelyikhez tartozik. Másrészt az, hogy milyen „megoldási gyorsasággal” rendelkezik

az a személy, aki a tesztet ennyi idő alatt oldotta meg. Harmadrészt pedig van egy véletlen

hatás, ami miatt xij eltér az így „előírt” értéktől.

Ebben az analízisben tehát nem egy szempont van (a tesztváltozat), hanem kettő: a második

az, hogy a szóban forgó érték melyik blokkhoz tartozik. Így tekintve már természetes dolog,

hogy az egy sorban álló adatok nem függetlenek, hiszen ugyanahhoz a blokkhoz tartoznak

– és ez részben meg is határozza értéküket. Mint ahogy egy-egy oszlop adatait is meghatá-

rozza az, hogy épp oda tartoznak, hogy éppen annak a tesztváltozatnak a megoldási idejét

jelentik. Ez a „függőség” eddig sem zavart; miért zavarna a másik?

Tehát nem is annyira a randomizálás, hanem maga a blokkokba sorolás – az együvé tarto-

zók ilyenforma összegyűjtése, hatásuk elkülönítése – teremti meg a varianciaanalízis alkal-

mazhatóságának feltételeit.

Persze az egész okoskodás csak akkor igaz, ha az adatok közvetlenül nem befolyásolják

egymás értékét. Általános követelmény ez a statisztikában: a minták adatainak egymástól

függetleneknek kell lenniök, hogy a változó tulajdonságait, a véletlen hatásokat megfelelő-

en képviseljék. Blokkok esetében ezeket a „közvetlen hatásokat” szűri ki, közömbösíti a

randomizálás, illetve – mint a példában is – a sorrend randomizálása.

Az előbbi megfontolás arra a megállapításra vezetett, hogy a randomizált blokkokba rendezett

adatok már nem egy, hanem két szempont szerint különböztethetők meg. Elemzésük is csak két-

szempontos varianciaanalízissel történhet; – és ha jól meggondoljuk, az elvégzett analízisben ez is

történt: külön F-próbát végeztünk a tesztváltozatok, és külön próbát a személyek közti különbsé-

gek vizsgálatára.

* Ez az analízis azonban erősen vitatható, hiszen a minták – az egyes tesztek eredményei – nem függetlenek.

** Annak ellenére, hogy alapgondolata jó! A statisztikai modellnek a valóságon kell alapulnia; csak ekkor adhatja an-

nak jó leírását, csak ekkor érvényesek a modellből levont következtetések (így a szignifikancia is). Ez minben vizsgá-

latra igaz, nemcsak a blokkokra és a varianciaanalízis ennél is bonyolultabb eseteire, hanem a legegyszerűbbekre is.

52

Mégsem volt ez „igazi” kétszempontos varianciaanalízis. Az „ugyanarra vonatkozó” adatokból

statisztikai vizsgálatokban mindig egy egész mintánk van; ennek segítségével tudjuk megállapítani

a véletlen törvényszerűségeit, az ingadozás mértékét. Ebben az esetben viszont egyetlen adat állt a

megfelelő helyen – mintha a minta egyetlen adatból állt volna.

Nemcsak „mintha”: valóban ez is volt a helyzet. A randomizált blokk esetén végzett fölbontás

és maga az elemzés egy kétszempontos varianciaanalízis, „cellánként egy elemmel”. A két szem-

pont sorokban és oszlopokban történő felírása ugyanis cellákat alkot, mint ezt a 4.7. és 4.9. táblá-

zatokban szemléletesen is látni. A „valódi” kétszempontos varianciaanalízisben minden cellában

egy-egy minta áll; ilyenekkel foglalkozunk a hatodik fejezetben. Legelőször azonban törlesztenünk

kell egy „adósságunkat”.

4.4.6 Randomizált blokk és egymintás t-próba

A 4.4.1.1 pontban említettük már, hogy az egymintás t-próba ugyanúgy speciális esete a rando-

mizált blokk varianciaanalitikus elemzésének, mint a kétmitás t-próba volt az egyszempontos

varianciaanalízisnek. Feltűnő a formális hasonlóság: egymintás t-próbát megfeleltetett párokból

vagy ugyanazoknak a személyeknek két-két adatából lehet számolni, ha az adatok normális elosz-

lásúak. Mindkettő felfogható úgy, mint egy két elemet tartalmazó blokk (h = 2). Annak idején ta-

lán nem hangsúlyoztuk eléggé, de kísérleti helyzetben itt is randomizálni kell: ki kapja az egyik, ki

a másik kezelést a páron belül, illetve hogy az (egyetlen) személy különböző körülmények közti

két vizsgálata milyen sorrendben történjék. Ez elmaradt akkor, mert arra a (nagyon gyakori) alkal-

mazásra koncentráltunk, ahol a két mérés egy „beavatkozás előtti” és egy „beavatkozás utáni”

helyzetre vonatkozik. Ilyen esetekben a „randomizált” blokkokban sem kell – mert nem is lehet –

randomizálni.

Nemcsak formailag hasonlít a kettő: a feladat is ugyanaz. A két (összetartozó) minta közti

különbséget vizsgálta az egymintás t-próba; az említett gyakori esetben az ilyen különbség a

beavatkozás hatásosságát jelentette. Ugyanezt vizsgálja randomizált blokkok esetén a „kezelések”

– oszlopok – közti, (4.49)-ben adott F-próba. Azt állítjuk, hogy itt is, mint korábban, .2tF Ezt

fogjuk megmutatni a következőkben.

A két minta adatait – összhangban a varianciaanalízis jelöléseivel – xi1 és xi2 jelöli, i 1 és g

közt változik. (A minták elemszáma ezúttal g.) A t-próbát a megfelelő értékek különbségé-

ből kell számolni; jelöljük ezt di-vel: .21 iii xxd Ha valaki fordítva szeretné kivonni a

két adatot, nyugodtan megteheti, a képletek attól nem változnak.

Az egymintás t-próba képletének négyzete ezzel a jelöléssel:

(4.51) ,2

22

ds

dt ahol .

)1(

)( 22

2

gg

g

dd

s

ii

d

A különbségek átlagát – összegük g-edrészét – a tagok sorrendjének átrendezésével így is

írhatjuk:

(4.52) .21

g

TTd

Ennek négyzete áll t2 számlálójában. (A teljes képletet nem írjuk le, hogy elkerüljük a

„többemeletes” törteket.)

Alakítsuk most át (4.49)-et, figyelembe véve a h = 2 miatti egyszerűsödést. Lássuk előbb a

számlálót! Ennek szabadságfoka most 1, így (4.13) alapján:

53

.2

)(

2

)2(22

2

)( 2

2121

2

2

2

1

2

2

2

1

2

21

2

2

2

12

g

TT

g

TTTTTT

g

TT

g

T

g

TQs kk

Innen (4.52) figyelembevételével:

(4.53) .2

22 dg

sk

A nevező képlete (4.46)-ból és (4.48)-ból, (nem felejtve, hogy (h–1) 1-gyel egyenlő):

.2

)(

2

)(

)(1

12

2122

21

221

22

21

2

g

TT

g

T

g

Txx

xxg

si

i

ii

iie

Közös nevezőre hozva az első két tagot (ez a nevező 2, amit legjobb kivinni a zárójel elé),

az i szerinti összegezés egyes tagjaiban ezt látjuk:

.)()2()(2 22

2121

2

2

2

1

2

2

2

1 iiiiiiiii dxxxxxxxx

Ha az utolsó három tagot ugyancsak közös nevezőre hozzuk, a számlálóban teljesen hason-

ló „struktúrát” találunk, mint az előbb, csak negatív előjellel. A három tag összege eszerint:

.

22

)(22

21

g

d

g

TT i

Az átalakításhoz felhasználtuk (4.52)-t.

Beírva ezeket 2es fenti képletébe:

(4.54)

.)1(2

12

22

g

dd

gs

iie

A varianciaanalízis F-je a (4.53) és (4.54) alatti varianciák hányadosa. Osztáskor kiesik a

mindkettőben szereplő ½ tényező, és ha az elsőben található g szorzót levisszük a nevező

nevezőjébe, közvetlenül kapjuk a (4.51) alatti t2-et.

Ezzel mindhárom t-próbáról megmutattuk, hogy egy-egy varianciaanalízis speciális esetei, olyan

varianciaanalíziseké, ahol az F-próba számlálójának szabadságfoka 1. Az egymintás t-próbáról ép-

pen az imént, a kétmintásról a 4.2.7 szakaszban, míg a korrelációs t-próbáról még a könyv máso-

dik részében (2.x.x pont) bizonyítottuk ezt be. A két próba eredményét az

(4.23) 2tF

összefüggés kapcsolja össze, amely mindhárom esetben érvényes.

A probléma csak az, hogy a t-próbákat egyoldali hipotézisek vizsgálatára is használhattuk, míg

a varianciaanalízisben ilyen megkülönböztetésnek nincs értelme. Mindenesetre (4.23) a kétoldali

szignifikanciaszintekre érvényes. (Tessék ezt ellenőrizni a III. és V. táblázat összehasonlításával!)

Le kell akkor mondanunk az egyoldali hipotézisek ellenőrzéséről, ha t helyett varianciaanalízist

végzünk?

Egyáltalán nem! Ha a változás a várt irányban következett be (a korábbi próbáknál: ha a kü-

lönbség, ill. kapcsolat előjele megegyezik a hipotézisben előlegezettel), akkor az F értéket kétszer

akkora valószínűséghez tartozó küszöbértékkel kell összehasonlítanunk, mint a szignifikancia-

szint. Ez általában 10%-os valószínűséget jelent; a 2%-os értékeket a III. táblázat sajnos nem

tünteti föl.

Ezzel beváltottuk korábbi ígéretünket, és most már nyugodtan folytathatjuk a varianciaanalízis

tárgyalását, rátérve a bonyolultabb esetekre.

54

4.5 Többszempontos varianciaanalízis

4.5.1 A varianciaanalízis additivitási feltétele

Hogyhogy: egy újabb feltétel? Honnan került ez elő? Miért nem volt róla szó eddig? Mit kell

tennünk, hogy megfeleljünk neki – vagy kárba veszett egész eddigi fáradozásunk?

Nem könnyű felelni erre a sok kérdésre. Az „új” feltétel nem új; eddig inkább tényként kezel-

tük, nem alkalmazhatósági feltételként. És azért nem beszéltünk róla, mert korábban, amíg leg-

alább érintőlegesen nem esett szó a többszempontos varianciaanalízisről, nemigen lehetett volna

értelmezni, megmagyarázni.

De menjünk szépen sorjában. Az additivitás azt jelenti, hogy a varianciaanalízisben szereplő

különböző hatások (a kezelés, környezet, „hovatartozás” hatása) összeadódnak, mintha külön-

külön kifejtett hatásuk egymásra rakódna. Úgy képzeljük, hogy a felsorolt hatásoknak – ráadásul

még a véletlen ingadozásnak is! – van egy (jellemző) értéke, és a vizsgált változó számértékében

ezek az értékek egyszerűen összegeződnek.

Mi mást tehetnének ezek hatások, mint hogy összeadódnak? Hát például összeszorzódnak!

Ha ilyesmi történik, nem működik a varianciaanalízis.

Néha van megoldás erre az esetre is. Ha a vizsgált változó értékét úgy képzeljük el, mint

egy szorzatot (az egyes hatások szorzatát), a változó logaritmusa már megfelel az additivi-

tási feltételnek: összegként állítható elő. Igaz, nem az eredeti tényezők, hanem azok logarit-

musának összegeként.

Voltaképpen már az egyszempontos varianciaanalízis esetében is érvényesült ez az elképzelés: volt

egy minták közti hatás (a kezelések, körülmények – egyszóval a szempont hatása), meg a véletlen

hatás; az egyszempontos varianciaanalízis ezeket választotta szét úgy, hogy az összekeveredett

hatást (Qt) összegre bontotta szét. Ha ezek a hatások nem adódtak volna össze, nem sikerült volna

így szétszedni a kettőt.

Konkrétabban, csak persze egy kicsit ködösítve, meg volt fogalmazva az additivitás (nem felté-

telként, hanem – mint mondtam – tényként) a 4.2.3.4 pontban, a 19. oldalon: ha igaz a nullhipoté-

zis, az 2ks variancia minták közti különbségtől függő része nulla, tehát hiába adódik hozzá a vélet-

lentől függő részhez, az nem változik. Ebből következik, hogy 2ks ilyenkor ugyanakkora, mint a

csak véletlentől függő 2bs , s így hányadosuk körülbelül 1.

Az additivitás azonban ott válik kézzelfoghatóvá, ahol már nem egy, hanem több szempont

hatása szerepel az analízisben. Mint az előző fejezetben is: a kezelések hatásán kívül a blokkhatást

is különválasztottuk, sőt – bár szabálytalanul – még teszteltük is, egy második F-próbával.

Két (és persze ennél több) szempont esetén kritikussá válik az egész vizsgálat, ha nem teljesül

az additivitási feltétel.* Akár azt is mondhatjuk, hogy ilyenkor csődöt mond a varianciaanalízis. Az

F-próbák ugyan kiszámíthatók, csak épp nem értelmezhetők: hiába szignifikáns valamelyik, nem

tudjuk megmondani, hogy ez mit jelent – de arra sem tudunk felelni, hogy mit jelent egy nem szig-

nifikáns F-próba.

Szinte hihetetlen, hogy mindez azért, mert nem teljesül az additivitás, mert a vizsgált hatások

nem adódnak össze. Ezt úgy fogalmazzák meg, hogy a hatások közt interakció van. Hogy a fogal-

mat megértsük, lássunk egy példát.

* A -os részben említett lehetőségre, hogy összeszorzódhatnak a hatások, ne is gondoljunk többé. Normális eloszlású

adatok esetén nem szokott ez előfordulni, márpedig ebben a részben csak ilyenekkel foglalkozunk. Megállapítható

adatok vizsgálatakor, amikor gyakoriságok (és nem mérési adatok) feldolgozása a feladat, magától értetődő a szem-

pontok összeszorzódása – és az ottani számítások éppen erre épülnek. Megjegyezzük, hogy ilyenkor is szokás a

logaritmust „segítségül hívni” a szorzatok összegekké történő átalakításához; ez az ún loglineáris modell, amivel a

számítógépes programcsomagokban találkozhatnak. Ebben a könyvben nem lesz ilyesmiről szó.

55

Legyen ez a példa a lehető legegyszerűbb. Ha a szempontnak csak két értéke van, sokkal

könnyebben átlátható a kérdés, mint általánosságban. Ahhoz, hogy interakcióról beszélhessünk,

legalább két szempont kell; példánkban mindkettőnek két értéke lesz.

Van is egy ilyen példánk – igaz, hogy nem számokkal és nem konkretizálva, de magyarázat

céljára nagyon jó lesz. A 10. oldalon említettük, hogy a minták „több szempontból” nem külön-

bözhetnek – amíg egyszempontos varianciaanalízist végzünk. „Rossz példaként” a következő négy

minta szerepelt: fiatal nők (M1), fiatal férfiak (M2), idős nők (M3) és idős férfiak (M4). (Mi az

egyes mintákat szimbolizálja.)

Nyilvánvaló, hogy két szempontról van szó: a korról és a nemről; mindkettőnek két értéke van

a példában. Annak idején azt is említettük, hogyan kell őket elrendezni. A következő kis táblázat

segít ennek az elrendezésnek az elképzelésében.

Első szempont

(kor)

Második

szempont (nem)

1

(fiatal)

2

(idős)

I (nő) M1 M3

II (férfi) M2 M4

M1–M4 mutatja, hogy hova kerülnek az egyes minták. A szempontok „értékeit”* arab, illetőleg

római számok jelölik; zárójelben azt is megadtuk, hogy ebben a speciális példában mit jelentenek

ezek a számok.

A „vizsgált változót” nem konkretizáljuk; nevezzük egyszerűen x-nek. Ha az első szempont

szerint különbség van a csoportok közt, akkor az 1x oszlopátlag különbözik az 2x oszlopátlagtól;

legyen mondjuk az első nagyobb, a második kisebb.

Hogy még konkrétabban beszélhessünk róla, nevezzük k-nak (korhatás) azt az értéket, ameny-

nyivel 1x nagyobb az x „nagyátlagnál”; 2x ugyanennyivel kisebb nála.**

Hasonlóképpen, a sorok

átlaga egy n értékkel (a nem hatása) tér el a „nagyátlagtól”, mondjuk az első sor lefelé, a második

fölfelé. Ez a „tiszta” eset, amikor teljesül az additivitás: nincs interakció.

Az előbbiek alapján föl lehet írni a négy mintaátlagot. Akárcsak az előző fejezetben, az

első index a sorra, a második az oszlopra vonatkozik:

nkxxnkxx

nkxxnkxx

2221

1211 Továbbra is feltételeztük az egyenlő elemszámot.

A mintaátlagokon látszik, hogy összeadódik a két hatás.

Az interakció ezt az egyszerű képet megzavarja, néha teljesen összezavarja. Képzeljük el, hogy az

M3 minta átlaga kisebb az M1 minta átlagánál (mint a leírt egyszerű esetben is), viszont M4 átlaga

nagyobb, mint M2-é. Ez azt jelenti, hogy míg nők esetében a kor előrehaladtával csökken a változó

értéke, férfiak esetében épp fordítva: az érték növekszik. Az életkor (a varianciaanalízis egyik

szempontja) másképp hat a férfiak és másképp a nők esetében, vagyis eltérő a hatása a másik

szempont két értékénél. Pontosan ez az, amit interakciónak neveznek. (El lehet képzelni, hogy

milyen bonyolult kép alakulhat ki, ha a szempontoknak nem két, hanem több értékük van!)

Már ebben az egyszerű, összesen négy mintát vizsgáló esetben is teljesen megzavarhatja az

eredmények értelmezését az interakció, sőt néha egyenesen lehetetlenné teszi. azt. Képzeljük most

* Ideje, hogy ettől az idézőjeltől megszabaduljunk! A „szempont” minden esetben egy változó, leggyakrabban egy

megállapítható változó, amelynek értékeiről ugyanúgy beszélhetünk, mint bármely más, mondjuk a vizsgált változó

értékeiről. (Korábban is megtettük már ezt, mindenféle mentegetőzés nélkül.)

** Itt hallgatólagosan föltételeztük, hogy a négy minta elemszáma egyenlő. Amennyiben nem így van, akkor is ellen-

kező irányba tér el a két oszlop (és két sor) az átlagtól, de az eltérés az elemszámoknak megfelelően „súlyozódik”.

56

úgy az interakciót, mint egy újabb hatást, egy újabb „szempontot”, amely „belép” ebbe a modell-

be.* Megkülönböztetésül az „igazi szempontok” hatását főhatásoknak szokták nevezni; példánk-

ban a kor és a nem hatása a két főhatás.

A sok lehetséges szituáció közül egyet gondolunk csak végig. Kiindulunk abból, hogy mindkét

főhatás szignifikáns. (Ez azon múlik, hogy a -os részben szereplő k és n értékek elég nagyok-e a

véletlen ingadozáshoz képest.) Ekkor „belép” az interakció úgy, ahogy említettük: megnöveli az

M4 minta átlagának értékét. Tehát nem egy sor vagy oszlop értékét növeli meg (mint egy főhatás),

hanem egyetlen celláét.

Ha ez a megnövelés elég nagy, az 1x oszlopátlag nem lesz már nagyobb 2x -nál, tehát eltűnik

az első főhatás (a kor) szignifikanciája. (Ugyanakkor a második hatás, a nemé, „még szignifikán-

sabb” lesz.) Pedig a kornak van hatása, de az férfiak és nők esetében – tehát a másik szempont kü-

lönböző értékeinél – egymással ellentétes irányú. Ha nagyon nagy az interakciós hatás, még ellen-

tétes irányú korhatást is vélhetünk fölfedezni, mint az interakció nélküli modellben volt. Tehát úgy

tűnik, a kor előrehaladtával nő az x változó értéke, pedig eredetileg – azaz interakció nélkül –

csökkenést találtunk. Ez azonban nem „igazi” hatás. (Nem főhatás.)

Ennyit meg fogunk tudni az analízisből (tehát hogy nem valódi, ezért nem is megfogalmaz-

ható a korhatás), de azt már nem, hogy „eredetileg”, azaz interakció nélkül milyen volt a

kor hatása. Ez az „interakció nélküli” modell ugyanis csak a mi fantáziánkban létezik!

Folytathatnánk még a lehetőségek fölsorolását (mi történik, ha a hatások nem szignifikánsak vagy

csak az egyik az), de a lényeget már eddig is láttuk: az interakció eltüntetheti a szempontok hatását

vagy kimutathat olyan hatást, amely valójában nem létezik. Azért nem érdemes ezt tovább boncol-

gatni, mert úgyis csak a két értékű szempontok esetében tudjuk áttekinteni a helyzetet. Ha egyik

vagy mindkét szempont több értéket vesz föl (és a gyakorlatban legtöbbször ez a helyzet), a lehe-

tőségek száma elképesztő mértékben megnő.

De nemcsak ezért nem folytatjuk, hanem azért sem, mert – elképzelésünkben a varianciaana-

lízis modelljéhez tapadva – teljesen elrugaszkodtunk a valóságtól. Nem úgy épül föl egy változó,

hogy először van egy „tiszta”, interakció nélküli modell, amelyben vizsgálhatók a főhatások (és

megállapíthatjuk, hogy melyik szignifikáns és melyik nem), azután „belép” az interakció, és

összekuszálja az egészet. Valójában az interakció (ha van), együtt fordul elő a többi hatással, és

nehezen állapítható meg, hogy mely hatások valódiak, melyek nem. Ennél „szigorúbban” is

fogalmazhatunk: ha van interakció, egyszerűen nincsenek főhatások!

Ami nem jelenti azt, hogy az egyes szempontoknak nincs hatása!**

Hiszen láttuk az előző példa

elemzésében: a kor ilyenkor is hat, csak nem egyformán a két nemnél. De az biztos, hogy a kornak

(és a nemnek is) van hatása a vizsgált x változóra.

Nagyon egyszerű ezt belátni. Hiszen, mint mondottuk, interakció esetén valamelyik szempont

(pl. a kor) másképp hat a másik szempont (a nem) egyik és másik értékénél. Márpedig ha azt

állítjuk valamiről, hogy „másképp hat”, azzal azt is kimondtuk, hogy hat; az a hatás, amelyik nem

létezik, nem hathat sem így, sem „másképp”.

Az interakciót időnként kereszthatásnak fordítják. (Az egyesek által javasolt kölcsönhatás

sem sokkal szerencsésebb.) Véleményem szerint azonban kár lefordítani, annyira elterjedt a

szó más területeken is. Pl. beszélnek gyógyszerek interakciójáról, ami majdnem ugyanezt

jelenti: egyes gyógyszerek erősítik vagy gyengítik egymás hatását. A kereszthatás elneve-

zés egyébként bizonyos mértékig korlátozná is a fogalmat.

A kétszempontos varianciaanalízis (amit voltaképp csak azért iktattunk be a tárgyalásba, hogy az

interakcióval kapcsolatban mondottakat szemléltessük, az „interakcióval szembeni bánásmódot”

* A „statisztikai modell” úgy is tünteti föl, mint egy újabb (additív) tagot: az átlag nem négy, hanem öt tagból tevődik

össze. (Ne felejtsük el a véletlen komponenst, amelyet egyszerűség kedvéért elhagytunk az előbbi felírásban!)

** Gyakran találkozunk ilyen – téves – megfogalmazással. Vigyázzunk, ne essünk bele ebbe a csapdába.

57

bemutassuk) majd példát szolgáltat arra, hogy mit kell tennünk olyankor, ha van, és olyankor, ha

nincs interakció.

Egyébként már találkoztunk az interakcióval korábban is, csak „nem vettük észre”. Emlékez-

zünk az 2es komponens bevezetésekor, jelölésének indoklásakor tett megjegyzésünkre, mely

szerint ez a komponens a „modellünktől való eltérést” képviseli (45. oldal). Nézzük csak meg – és

alakítsuk át kissé – a Qe négyzetösszeg (4.46) alatti képletét:

(4.55) .][][][)(22 xxxxxxxxxxQ jiijjiije

Itt az adat nagyátlagtól való eltéréséből a két főhatást vonjuk le – vagyis az additív, interakció

nélküli modellben elvárható értéket. Az ettől való eltérést – a modell „hibáját” – méri az e indexű

komponens.

Nem véletlen azonban, hogy az előző fejezet F-próbáiban ez a komponens állt a nevezőben. A

modelltől való eltérés ugyanis nem csak az (esetleges) interakció következménye lehet, hanem a

véletlen hatása is; vagyis az 2es varianciakomponens az interakció és a véletlen hatásának a keve-

rékét – jobb lenne azt mondani: az összegét – méri. Ha szét tudnánk választani a kettőt, módunk

lenne magának az interakciónak a vizsgálatára.

Ez lehetségessé válik a kétszempontos varianciaanalízisben, ahol nem egy-egy elem, hanem

egy-egy minta áll a cellákban (l. az 55. oldalon található példát és a hozzá csatlakozó kis táblá-

zatot): a mintán belüli variancia – amit a már ismert, megszokott módon számolunk – kizárólag a

véletlen hatásokat képviseli, és ha ezt elkülönítjük, akkor megkapjuk az interakciós variancia-

komponenst. Mindez azonban már a következő fejezethez, a kétszempontos varianciaanalízis

részletes tárgyalásához tartozik.

Az olvasó valószínűleg úgy érzi, hogy az interakciót (és általában az additivitást) „túlbeszél-

tük”, túl nagy teret szenteltünk neki. Olyan nehéz (és szokatlan) fogalmakról van azonban szó,

hogy úgy éreztem: nem árt minél több oldalról körüljárni, példával megvilágítani, hogy legalább

valamelyest érthető legyen. Hasonló a helyzet a következő szakaszban tárgyalt, szintén új fogalom

esetében is.

4.5.2 A varianciaanalízis különféle „modelljei”

Már megint modell – hát nem intéztük el ezt a kérdést az előző szakaszban? Sajnos nem, és megint

egy nehezen felfogható, „kellemetlen” témáról kell szólnunk.

A varianciaanalízis kétféle modelljét szokás megkülönböztetni, de ez voltaképpen kettőnél

jóval többet jelent. A szempont alapján teszünk különbséget. A varianciaanalízis első modelljéről,

vagy pedig (lényegesen kifejezőbb módon) rögzített szempontú modellről beszélünk,* ha a

szempont – ami, jól tudjuk, maga is egy változó – azon értékeit, amelyek a varianciaanalízisben

szóba jönnek (tehát amelyek a csoportokat megkülönböztetik), előre meghatározzuk, kijelöljük.

(Ezt nevezik úgy a modellben, hogy „rögzítjük”.) A fogalom inkább csak azért érthető nehezen,

mert mindig így jártunk el (az egyetlen kivételt tán észre sem vettük); nem csoda, hiszen mind-

eddig az „első modellhez” tartozó varianciaanalízisekről volt szó. Ám rögtön tartalmat nyer az

előbbi megkülönböztetés, ha bevezetjük a második vagy véletlen szempontú modell fogalmát.**

Ilyenkor csak maga a „szempont” van előre meghatározva, tehát az a változó, amelyről feltételez-

zük, hogy befolyásolja a vizsgált változót, de nem jelöljük ki – legtöbbször nem is lehet kijelölni –

azokat az értékeket, amelyeknél meg akarjuk figyelni vizsgált változónk viselkedését. Ehelyett

véletlenszerűen választunk a szempont értékeiből; innen kapta nevét ez a „második” modell.

* Helyesebb lenne „rögzített szempont” helyett rögzített értékű szempontról beszélni. Ezt a megfogalmazást azonban

hosszadalmassága, körülményessége miatt ritkán használják.

** Ugyanígy, sokkal pontosabb lenne a véletlen értékű szempont kifejezés.

58

Ezzel ezt a kérdést el is intézhettük volna, ha pusztán a fogalmak megtanulása lenne a cél, és

nem törődnénk azok megértésével. Tisztában vagyok azonban vele, hogy ezt a merőben új, szokat-

lan fogalmat csak példák segítségével lehet megvilágítani; az elvi „magyarázkodás” csak egyre

zavarosabbá tenné az olvasóban mostanra kialakult – bizonyára nem megnyugtató – képet. Sajnos

semmi sem növeli úgy a terjedelmet, mint a magyarázó célzattal bemutatott, röviden nem elmond-

ható példák. Mentségemre szóljon, hogy megpróbáltam egyetlen bekezdésben elintézni a kérdést –

és csak akkor toldottam meg további három oldallal (!), mikor láttam, hogy magam sem értem meg,

amit írtam.

Lássuk tehát azokat a bizonyos példákat, amelyektől a „megvilágosodást” várjuk. Beszéljünk

először röviden az első modellről.

Rögzített szempontú modell esetén előre megmondjuk, hogy a szempont milyen „értékei” sze-

repeljenek a vizsgálatban. Ezek az „értékek” például különböző tesztek, amelyeket össze akarunk

hasonlítani. Vagy pontosan leírt kísérleti körülmények, amiket mindig ugyanúgy biztosítunk, hogy

hatásukat vizsgálhassuk. Betűsorok, számsorok tanulásakor ezek hosszúsága lehet a kísérleti té-

nyező: ez egyik csoport mindig három, a másik öt, a harmadik nyolc jelből álló sorozatokat tanul;

ez is rögzített – előre megadható, máskor is megismételhető – szempont. De lehet ugyanolyan

betűsorokat tanulni különböző módszerekkel; ezeket is előre le lehet írni, pontosan meg lehet adni.

Gyógyszerek összehasonlítása esetén ugyanazt a néhány gyógyszert (vagy egyetlen gyógyszert, de

különböző, előre meghatározott dózisokban) adjuk az egyes csoportoknak; ezek mind rögzített

értékű szempontok.

És most lássuk az újdonságnak számító véletlen szempont néhány jellemző esetét.

Elsőként forduljunk ismét glikozidos „alappéldánkhoz”, amelyet már eddig is háromféleképpen

elemeztünk a 2. és 3. fejezetben. Ha a növénytörmelék nincs méret szerint szétválogatva, ha nem

„szitáltuk szét” az egyes törmelékméreteket, akkor csak olyasmit kérdezhetünk, hogy mindegy-e,

honnan vesszük a gyógynövénymintát? Ugyanazt az eredményt kapjuk-e, ha itt vagy ott találomra

nyúlunk bele a törmelékbe? Az egyes mintákat tehát csak az különbözteti meg, hogy más-más

helyen „markoltunk bele” a növénycsomóba, valószínűleg hol a tetején levő nagyobb darabokat,

hol az aljára került apró zúzalékot véve ki – de hogy mikor mekkora volt a törmelék átlagos

mérete, azt így utólag már lehetetlen megállapítani. Így a korábbi „első modell” szerinti példát a

„második modell” szerint elemeztük.

A példa persze nem valami jó, hiszen egy eleve rögzített szempontú vizsgálatot alakítottunk át,

„kényszerítettünk bele” a második modellbe. De az is lehet, hogy kérdésünkre éppen ez ad megfe-

lelő választ! Mielőtt azonban ezt megmutatnánk, lássunk példákat „igazi” véletlen szempontú

modellre is.

Gondoljunk először egy olyan vizsgálatra, amelyben különböző napokon végzett kísérletek

eredményét hasonlítjuk össze. Ilyenkor rendszerint az érdekel, hogy mennyire befolyásolják kísér-

leti eredményeinket az olyan (ellenőrizhetetlen és szabályozhatatlan) körülmények, mint az időjá-

rás (a hőmérséklet, a páratartalom, az időjárási frontok, a nap sugárzásának intenzitása stb.), a kí-

sérletben részt vevők (vizsgálók és vizsgálati személyek) hangulata, egészsége, hozzáállása, a

„nemzetközi helyzet” (pl. a reggeli híreken keresztül) – és számtalan olyan tényező, amit nem

említettem, és ami talán eszembe sem jutott. De hiszen nem is az az érdekes, hogy ezek milyen

„értéket” vesznek fel, mert nem a konkrét értéktől (mondjuk az UV-sugárzás erősségétől) való

függése érdekel a kísérleti eredménynek, hanem az, hogy mindez együtt befolyásolja-e annyira,

hogy a különböző napokon végzett kísérletek nem vehetők egy kalap alá. Az egyes napok hatását

nem tudtuk, nem is lehetett pontosítani. Más napokon más befolyások érvényesülnek (és legköze-

lebbi vizsgálataink ilyen „más napokra” esnek!), de a minket érdeklő dolog – hogy van-e ilyen

befolyás – ettől függetlenül megállapítható.

Másik példánk, amelyben családokat hasonlítunk össze, szintén általános. Most sem adjuk meg

a vizsgált változót, hiszen ezzel nagyon leszűkítenénk a példa érvényességi körét. (Gondolhatunk

akármire: egy anatómiai jellegzetességre, az életműködés egy jellemzőjére, egy viselkedési formá-

ra vagy speciális szokásra vagy akár egy lelki tulajdonságra is.) Arra vagyunk kíváncsiak, hogy a

vizsgált változóban mekkora eltérés van az egyes családok között.

59

A vizsgálatot minden családban több személyen végezzük. Az azonos család tagjain végzett

mérések egy-egy mintát alkotnak; a köztük levő különbségekből határozható meg a mintán belüli

variancia. A különböző családokon végzett mérések adják a különböző mintákat; átlagaikból szá-

molható a minták közti variancia. Ha ez szignifikánsan nagyobb, mint a másik – ezt pedig elárulja

nekünk a kettő hányadosából számolt F-próba –, akkor megállapíthatjuk, hogy a családok közt a

véletlen ingadozás alapján várhatónál nagyobb különbség van. (Ebből például arra következtethe-

tünk, hogy amit vizsgáltunk, az öröklődő tulajdonság.*)

Vegyük azonban észre, hogy azt a „genetikus kódot”, ami ebből a szempontból megkülönböz-

teti az egyes családokat, nemcsak előre nem tudtuk megadni, de utólag sem tudunk róla többet.

Pedig ez lenne a „szempontnak” az az értéke, amit rögzítenünk kellene, hogy az első modellnek

megfelelő varianciaanalízist végezhessünk. Nem „lustaságból” végezzük tehát a második modell

szerinti analízist, hanem azért, mert csak arra van lehetőség.

Nem szabad, hogy az a képzet alakuljon ki bennünk, miszerint a második modell rosszabb,

amibe a körülmények „belekényszerítenek”. Egyszerűen, ahogy a név is mutatja, két meg-

közelítésről van szó, amelyek mindketten mást vizsgálnak. Aszerint választjuk tehát ki a

modellt, hogy mit akarunk tudni, és nem aszerint, hogy mit lehet.

A rögzített szempontú modell esetében világos a helyzet. A szempont konkrét értékei – a

kezelések, a körülmények – közt keresünk különbséget: egyformán vagy különbözőképpen

hatnak-e a vizsgált gyógyszerek; változik-e ugyanannak a gyógyszernek a hatása, ha emel-

jük a dózist; eltérő-e a tanulás eredménye, ha különböző, előre rögzített instrukciókat

adunk; ugyanakkora-e a vizsgált érték, ha különböző napszakokban (vagy eltérő évszakok-

ban) mérjük; egyforma eredményeket érnek-e el valamilyen vizsgálatban férfiak és nők,

fiatalok és öregek, gyerekek és felnőttek, iskolázottak és tanulatlanok (stb.); ugyanolyan

jók-e (ez sok mindent jelenthet! pl. azt, hogy gyorsan meg lehet oldani) egy pszichológiai

teszt korábban elkészített variánsai; csupa olyan kérdés, amelyre rögzített szempontú

varianciaanalízis adja vagy adhatja meg a választ.

Ilyenkor világos (és lényegében mindig ugyanaz) a kérdés: van-e különbség az így kialakí-

tott csoportok – következésképpen az egyes csoportokban alkalmazott kezelések – között.

(A „kezelés” szót itt a lehető legáltalánosabban értelmezzük.)

De mit vizsgál a véletlen szempontú modell? Részben erre is feleletet kaptunk a példák

említése során, de fogalmazzuk most meg általánosságban. A kiválasztott, nem rögzített

(tehát „esetleges”) értékeket felvevő szempont hatása vajon szignifikánsan nagyobb-e, mint

az adatok közt meglevő, semmilyen megfogalmazható okra vissza nem vezethető ingado-

zás? Nem az egyes „csoportok” közti különbséget keressük tehát; annak itt nincs semmi

értelme.**

Hanem azt kérdezzük, hogy ezek a csoportok – most, és majd más vizsgálatok-

ban – mennyire térnek el egymástól.

Ha számszerűen is érdekel, mekkora ez az ingadozás, a csoportátlagok szórását kell meg-

határoznunk (hiszen a csoportokat ezek az átlagok képviselik a legjobban). Nem a birto-

kunkban levő h darab átlag szórása érdekel persze, hanem annak elméleti értéke: milyen

ingadozást várhatunk az átlagok közt, ha egy változó – a varianciaanalízis véletlen szem-

pontja – határozza meg a csoportok jellemző értékét. A csoportok „elméleti átlagai”, azaz

várható értékük közti szórásról van szó, ezért adtuk neki a indexet: . A jelölés is mutat-

ja, hogy ez egy paraméter; erre kell adataink segítségével becslést készíteni. Szokás szerint

nem magát a szórást, hanem annak négyzetét, a varianciát próbáljuk meg becsülni.

* Ez csak egy példa! Lehet, hogy éppen a családon belüli tanulás folyamatában kialakuló tulajdonságokat keressük.

** Más alkalmakkor más csoportokat kapunk, a szempont értékeinek véletlen – random – „választása” következtében.

60

A megfelelő becslésre alkalmatlan a (már kiszámított) minták közti variancia, az ugyanis

tartalmazza a véletlen hatást is. Ezért a minták közti varianciából levonjuk a pusztán a vé-

letlen hatását tükröző mintán belüli varianciát. A különbséget el kell osztani a minták –

sajnos legtöbbször nem ugyanakkora – elemszámával is, hiszen nem az adatok, hanem az

átlagok szórásáról van szó:

(4.56) ,0

222

μn

sss bk

ahol n0 az egyes minták elemszámából készült – meglehetősen bonyolult – átlagos elem-

számot jelenti:

(4.57) .)1(

22

0

hN

nNn

j

Egyenlő mintaelemszámok esetén – mint az könnyen levezethető a (4.57) képletből – n0

helyébe egyszerűen a minták közös elemszáma kerül.

Előfordulhat, hogy a (4.56) képlet alapján számított varianciabecslés negatív. Az „igazi”

variancia, a paraméter persze pozitív, de a becslés – a véletlen ingadozás, sőt esetleg a

modell hibája miatt – negatív eredményt ad. A varianciaanalízis összetettebb eseteiben

sajnos máskor is előfordul, hogy negatív értéket kapunk ezekre az elvileg mindig pozitív

mennyiségekre. Az elmélet dolga, hogy megbirkózzék ezzel a problémával, megmutassa az

ilyenkor követendő eljárást. Általában a számítógépes programcsomagok is kínálnak ilyen-

kor valamit. A könyvben nem foglalkozunk ezzel a kérdéssel.

A „második modell” szerinti varianciaanalízis célja azonban legtöbbször nem az említett

becslés, hanem a tájékozódás egy olyan változó (szempont) viselkedéséről, amelynek a

hatását még nem ismerjük, vagy amelyről megoszlanak a vélemények. Ilyenkor a varian-

ciaanalízis eredményét a hasonló vizsgálatok értékelésében, vagy a későbbi vizsgálatok

megtervezésében hasznosítjuk.

Az első esetre jó példa a glikozidos vizsgálat. Ha szignifikáns az (58. lapon említett) vélet-

len szempontú varianciaanalízis eredménye, abból azt látjuk, hogy nem mindegy, honnan

„markoljuk ki” a gyógynövénytörmeléket. Ennek megfelelően kevésbé bízunk a kapott

glikozid-eredményekben (és más, hasonló eljárással végzett kémiai meghatározásokban),

nagyobb hibahatárokat adunk meg mellettük. Az is lehet, hogy ezentúl a törmelék gondos

összekeverését, vagy az eredeti feladatnak megfelelő szétválogatását írjuk elő.

Nemcsak formai: statisztikai jellegű változtatásokat is bevezethetünk. Ezt a különböző

napokon végzett laboratóriumi vizsgálatok példáján (l. ugyancsak az 58. oldalon) mutatom

meg. Ha a varianciaanalízis eredménye alapján a különböző napokon végzett meghatározá-

sok eredményei közt szignifikáns különbség van, akkor az az első tanulság, hogy az egyes

napokon kapott vizsgálati eredmények nem keverhetők össze. De tovább is mehetünk: úgy

építjük fel a vizsgálatot, hogy a napok hatását levonhassuk az eredményekből – elősegítve

ezzel a kísérleti tényezők közti különbség kimutathatóságát. De hiszen erre is ismerünk

módszert! Ha a napokat blokkoknak tekintjük, a blokkhatást – úgy, ahogy azt az előző feje-

zetben tanultuk – levonhatjuk az eredményből. Pontosan ezt tettük, amikor a 4.4.5 szakasz

példájában a négy tesztváltozatot randomizált blokkelrendezés felhasználásával hasonlítot-

tuk össze.

Az eddig elmondottakból következik, hogy a 49–50. oldalon elemzett példában az egyes emberek

„véletlen szempontot” alkottak: nem „megadott értéket” képviseltek ők (mint a tesztek), hanem az

emberek igen nagy sokaságából „véletlenszerűen” választottuk ki őket. Azt jelentené ez, hogy az a

vizsgálat – és a -os rész végén említett, részletesen ki nem dolgozott laboratóriumi vizsgálat – a

második modell szerinti varianciaanalízis alapján történt? Hát – nem. Az első (sőt azt is mondhat-

61

nánk: elsődleges) szempont négy pszichológiai teszt összehasonlítása volt. Ennek „értékei” – a

négy, valamennyi személlyel elvégeztetett teszt – előre elhatározottak, rögzítettek voltak. Milyen

is volt hát az a modell? Keverék – és így is hívják. Kevert modellről beszélünk akkor, ha a szem-

pontok egy része rögzített, más részük véletlen. Két szempont esetén ez csak egyféleképpen for-

dulhat elő (az egyik szempont rögzített, a másik véletlen), az elnevezés tehát egyértelmű. Három-

vagy többszempontos varianciaanalízis esetén azonban többféleképpen „keveredhetnek” a véletlen

és rögzített szempontok. Szerencsére ebben a könyvben nem találkozunk ilyenekkel.

A módszerek felhasználói szempontjából talán legfontosabb kérdésről, a „kétféle” variancia-

analízis számításmódjáról még nem is szóltunk. Itt (végre!) kellemes meglepetés ér minket: egy-

szempontos varianciaanalízis esetén a számolásban semmiféle különbség nincs, akár az első, akár a

második modellnek felel meg az.* Sőt az eddig említett kétszempontos esetekben sem kell új kép-

leteket megtanulni a Q-kra és a varianciákra, de az F-ek képletei már módosulhatnak. Kettőnél

több szempont esetén már lesznek eltérések, de ilyenekkel nem foglalkozunk ebben a könyvben.

Ha igazságosak akarunk lenni, egy apró különbség már eddig is volt – a kevert modell

esetében. Itt sem módosult egyetlen képlet sem, csak bizonyos korlátozást kellett bevezetni.

Emlékezzünk: a 4.8. táblázat egyik F-próbáját zárójelbe tettük, és később azt mondtuk,

hogy ez legtöbbször nem is érdekel minket, és igazság szerint nem is szabad kiszámítani.

(Később mégis kiszámítottuk!)

Most már pontosabban fogalmazhatunk. A blokkok – személyek – egy véletlen szempont

„értékei” voltak. Az egyes blokkok eltérései valóban „nem érdekelnek”, hiszen érdektelen,

hogy ezek az emberek – akik történetesen részt vettek ebben a vizsgálatban – mennyire tér-

nek el egymástól.

Persze előfordulhat, hogy éppen az emberek közti (ilyen természetű) különbségre vagyunk

kíváncsiak. Ekkor azonban más kísérleti elrendezést kell alkalmaznunk, hiszen látjuk, hogy

a (4.56) képlet nem alkalmazható közvetlenül. (Hét személy vizsgálata különben is kevés

lenne ilyen jellegű megállapításokhoz.) A blokkok egyébként sem erre valók, hanem hogy

a köztük levő különbséget levonjuk a teljes ingadozásból; ezáltal a tesztek közti, viszonylag

kis eltérések is szignifikánsak, s így kimutathatók lesznek.

A második F-próbát pedig azért nem lett volna „jogunk” elvégezni, mert ebben az analízis-

ben cellánként egy elem szerepelt (l. az 52. lapon mondottakat); ilyenkor csak a véletlen

modellben végezhető el mindkét F-próba. „Rendes” kétszempontos varianciaanalízisben

(4.6 fejezet), ahol minden cellában egy-egy minta áll, nincs ilyen korlátozás, de az F-ek

nevezője esetenként módosul.

Mindez azonban meglehetősen lényegtelen. Csak az a fontos, amit az előbb mondtunk, hogy az

eddigi képletek nem módosulnak, a második, harmadik és negyedik fejezetben megismert analízi-

sek változatlanul érvényesek, akármilyen modellről van is szó.

4.5.3 A négyzetösszeg felbontása

Vizsgáljuk meg először, többszempontos esetben mik lesznek a variancia komponensei, illetve –

ami ugyanaz – milyen tagokra bontjuk Qt-t.

Vezessük be a szempontokra az A, B, C jelölést. (Háromnál több szempont szerinti elemzést

aligha fogunk még csak említeni is.) Egyszerűbb, ha rögzített szempontokra gondolunk. Véletlen

és kevert modellek esetén csaknem ugyanúgy történik minden, ahogy itt elmondjuk, csak megfo-

galmazni bonyolultabb.

* Csak éppen a csoportok páronkénti (vagy egyéb) összehasonlításának, valamilyen többszörös összehasonlítási eljárás

alkalmazásának nincs értelme.

62

Vegyük először a kétszempontos esetet. A „minták közti”, több szempont esetén tarthatatlan

elnevezést felváltja az, hogy „az A szempont értékei közötti”. Ez a komponens tehát csak az A

értékei (mondhatjuk így: az oszlopok) közti különbséget méri. Ugyanígy, a B szempont értékei

közti komponens (négyzetösszeg és variancia) a sorok eltérését vizsgálja. (L. a következő sza-

kaszban látható kis táblázatot, vagy akár a randomizált blokkok elemzését bemutató 4.7. és 4.8.

táblázatokat a 46., ill. 48. lapon.) A megfelelő komponenseket ugyancsak az A, ill. B indexszel

jelöljük. Az interakciós tagot (már tudjuk, hogy itt ilyen is lesz!) jelölhetjük az I indexszel, de talán

jobb, ha azt is feltüntetjük, hogy miknek az interakciójáról van szó; ezért választottuk az AB jelö-

lést. Végül a kétszempontos analízisben a négyzetösszeg így bomlik fel:

(4.58) .bABBAt QQQQQ

A „hibatag” pontosan ugyanaz, mint az egyszempontos varianciaanalízisben: a mintán belüli négy-

zetösszeg.

A dolog könnyebb elképzeléséhez vegyük elő a 4.7. táblázatot. Ott, a randomizált blokkos el-

rendezés miatt minden cellában egyetlen elem van. A kétszempontos elrendezés ugyanilyen, csak

a cellákban egy-egy minta áll. Ezeknek a mintáknak a Q-ja „hordozza” a véletlen hatását, hiszen a

mintákon belül semmi más különbség nincs.* A sok (gh számú) Q összegezésével kapjuk a vélet-

len hatást jellemző Qb-t (és ugyanilyen összegezéssel adódik annak szabadságfoka). Ez annyira

ugyanúgy megy, mint az egyszempontos esetben, hogy kár is több szót vesztegetni rá.

Majdnem ugyanilyen könnyű következtetni a többi komponens előállításmódjára; nincs is

hozzá szükség új ismeretekre. A QA és QB négyzetösszegeket ugyanúgy az oszlop- és sorösszegek

felhasználásával számítjuk ki, mint Qk-t és Qs-et – csak a képletek bonyolódnak amiatt, hogy a

cellákban egy-egy elem helyett egész minta áll. A QAB interakciós tagot kivonással álltjuk elő.

A képletek felírása helyett – ezek a 4.6. fejezetben szerepelnek majd – inkább ismerkedjünk

meg a háromszempontos varianciaanalízis fogalmával.

Annyi azonnal világos, hogy szerepel egy harmadik (C) szempont is, és lesznek újabb interak-

ciós tagok. Az új szempont hatásának (a harmadik főhatásnak) vizsgálatára alkalmas komponensen

kívül számításba kell vennünk interakcióját az eddigi szempontokkal, de még ez sem elég: a három

szempont együttesen is kölcsönhatásba léphet egymással; ezért még egy interakciós tag szerepel a

felbontásban. A véletlen komponens ismét a mintán belüli, valamennyi minta Q-ját összesítő Qb

lesz. A háromszempontos felbontás tehát így néz ki:

(4.59) .bABCBCACABCBAt QQQQQQQQQ

A sok tag számontartását, áttekintését jól segíti a varianciaanalízis korábban megismert táblázata

(4.4., ill. 4.8. táblázat).

A háromszempontos varianciaanalízist, a szempontok, csoportok egymáshoz való viszonyát a

következő módon képzelhetjük el legkönnyebben.

Vegyük elő ismét a randomizált blokkokat ábrázoló 4.7. táblázatot. A két szempont olyan, mint

egy síkbeli koordinátarendszer, egymásra merőleges „tengelyekkel”. A harmadik szempontot ezek

után „fölfelé” mérjük, egy térbeli koordinátarendszer harmadik tengelye mentén. A cellák nem kis

négyszögek, hanem a térben elhelyezkedő téglák lesznek, melyek mindegyikében egy-egy – min-

den kezelés, körülmény szempontjából egyforma elemeket tartalmazó – minta áll.

Semmi akadálya a modell további „terjeszkedésének”, négy- és ötszempontos felbontások fel-

írásának és kiszámolásának; elképzelni azonban nehezen tudjuk őket. Háromdimenziós világban

élünk, a magasabb dimenziókat elméletben tudhatjuk kezelni, de „látni” akkor sem tudjuk. (Leg-

többünknek még három dimenzióban – térben – is nehéz elképzelni valamit.)

* A véletlen egy gyűjtőfogalom: azokat a változókat, amelyeket nem tudunk vagy nem akarunk figyelembe venni,

véletlen elnevezéssel egy kalap alá vesszük. Együttes – összevont! – hatásukat nevezzük véletlen hatásnak. De erről

többször is volt már szó.

63

4.5.4 Kísérleti elrendezések

Nem is az a bajunk egy ilyen, három- vagy többszempontos elrendezéssel, hogy növekednek a

számítási nehézségek (ezeket úgyis a gépre bízzuk!), hanem az, hogy rohamosan nő az elemszám

(tehát az elvégzendő kísérletek száma), amint egyre több szempontot akarunk figyelembe venni.

Lássunk egyetlen, viszonylag egyszerű esetet. Össze akarunk hasonlítani hat kezelést (A szem-

pont). Mivel attól tartunk, hogy a kezelések férfiakra és nőkre másképp hatnak, külön férfi és női

csoportokat képzünk (a második szempont, B tehát a nem). Azt is valószínűnek tartjuk, hogy a ke-

zelés másképp hat a különböző korú egyénekre; harmadik szempontnak (C) tehát bevezetjük a

kort. Szerények vagyunk, mindössze négy korosztályt alakítunk ki, és ezekből válogatunk megfe-

lelő személyeket vizsgálatunkhoz.

A szükséges csoportok száma 6×2×4 = 48. Azt, hogy a fenti számok összeszorzódnak, már a

kétszempontos esetben látni (4.7. táblázat) – és épp az előbb mondtuk el, hogyan „épül” a síkban

elhelyezkedő kétszempontos elrendezésre a harmadik szempont.* Ha nem több, mint 5 személy

van egy-egy mintában – gondoljuk csak el, milyen hallatlanul kicsi ez a szám, hiszen ezeknek a

mintáknak végtelen nagy populációkat kell reprezentálniuk! –, már ez is 240 vizsgálati személyt

jelent. Honnan vegyünk ennyit? És ha sikerül is: mikor van elegendő pénz és idő egy ekkora kísér-

let végrehajtására? Különösen, ha abból indulunk ki, hogy a hat kezelés összehasonlítását – ugyan-

így ötelemű minták segítségével – mindössze 30 kísérleti személy bevonásával elintézhetnénk.

Igazság szerint a csoportok számának növelésével párhuzamosan csökkenteni szokták a

csoportok létszámát; ezért a kísérleti személyek száma a gyakorlatban nem növekszik eny-

nyire. De hova csökkentsünk egy amúgy is kicsi, 5 elemű mintát? Milyen bizonytalan

lesz (és milyen kis szabadságfokú) az ezekből a kis mintákból számolt mintán belüli vari-

ancia – márpedig az összes többit ahhoz hasonlítjuk.

Talán feltűnt, hogy minden cellában ugyanakkora mintával számoltunk. Ez nem csak a pél-

da egyszerűsége érdekében történt: különféle nehézségeket okoz az egyenlőtlen elemszám.

Az egyik, talán a legszembetűnőbb az, hogy a (4.58), (4.59) felbontásokban szereplő kom-

ponensek egy részére ilyenkor nem írható fel képlet! Különféle kerülő utakon, esetenként

másképp kell a négyzetösszeg komponenseit meghatározni. Mondhatjuk ugyan, hogy ezt is

elvégzi a számítógép – de ezzel nincs a dolog elintézve. Megsérül ugyanis a komponensek

függetlensége, és ez kétségessé teheti az egész analízist.

Meg lehet érteni, ha a kutatók mindent elkövetnek, hogy egyenlő elemszámú mintákat

kapjanak. Ezek a törekvések azonban gyakran fulladnak kudarcba. Szépen kiválogatott,

egyforma nagy mintáikból egyszercsak „lemorzsolódik” valaki: megbetegszik, elköltözik,

vagy egész egyszerűen „visszalép”: nem vállalja a részvételt. De nem jobb a helyzet az

állatkísérletekben, sőt az élettelen tárgyakkal végzett vizsgálatok esetén sem: egy üvegcső

eltörik, az anyag kiömlik, a kísérleti anyag „fényt kap” vagy váratlan hőhatásnak lesz kité-

ve; számtalan elképzelhető és elképzelhetetlen probléma léphet föl, ami mind egy-egy adat

hiányához vezet.

Ilyenkor aztán megint a statisztika segítségét kérik. Néhány esetben valóban lehetséges a

hiány pótlása olyan adatokkal, amelyek nem hordoznak információt (hiszen nincs ilyen

információ!), nem változtatják meg a minta lényeges jellemzőit – csak épp „betömik a

lyukat”. Ha ez sikerül, úgy dolgozhatunk az adatokkal, mintha egyenlőek lennének az

elemszámok. Ebben a könyvben nem szerepelnek ilyen módszerek; ehelyett inkább olyan

eljárásokat igyekeztünk összegyűjteni, amelyek nem követelik meg az egyenlő elemszá-

mokat. Az lenne a jó, ha minél kevesebb korlátozás akadályozná módszereink használatát.

* Éppen ezért szokták faktoriális kísérleti tervnek nevezni az ilyeneket: a szempontok különböző értékeinek számát,

mint „faktorokat” össze kell szorozni, hogy megtudjuk, hány cella (és így hány minta) van.

64

Az egyenlő elemszámok megkövetelése egyáltalán nem oldja meg az eredeti problémát, amiből

kiindultunk: a szempontok számának növelésével tűrhetetlenül megnő az eljárás végrehajtásához

szükséges elemszám. Hogyan tud ezen segíteni a statisztika?

Igen sokféle módon, de ennek ismét csak az elvét beszéljük meg; nemhogy képletek, még

nevek is csak elvétve szerepelnek. Olyan kísérleti elrendezéseket dolgoztak ki, amelyek majdnem

ugyanolyan jól vizsgálhatóvá teszik a főhatásokat (sőt gyakran az interakciókat is), de az előbb

kalkulált elemszámoknak csak a töredékét igénylik. Tulajdonképpen a randomizált blokk is ilyen

kísérleti elrendezés volt: két szempont hatását lehetett vizsgálni úgy, hogy az egyes mintáknak

csak egyetlen eleme volt!

Ezek a kísérleti elrendezések ügyesen keverik a randomizálást, azaz a véletlenszerű beosztást

bizonyos szisztematikus, előre meghatározott rendszerrel. Például egy blokkban nem mindenki

kapja meg az összes kezelést, hanem – meghatározott rendben – kihagyásokkal építik föl a blok-

kot. (De hogy melyik blokkban milyen rendszer szerint, és hogy kik lesznek éppen a kimaradók:

azt már randomizálják!) Vagy úgy alakítják a tervet, hogy bizonyos kezeléskombinációk az egyik

szempontnak csak az egyik, mások csak a másik értékénél szerepelnek. Vagy egy-egy minta egye-

dei több mintát pótolnak azáltal, hogy egyik elemük az egyik, másik egy másik kombinációban

szerepel, közben vigyázva arra, hogy minden kezelés, minden kombináció ugyanannyiszor fordul-

jon elő; esetenként randomizálva a sorrendet, a tényleges kiosztást (és mindent, amit lehet).

A kezeléskombinációknak – és ezzel a csoportok számának – csökkenését az egyik legegy-

szerűbb, legnépszerűbb kísérleti terv vázlatos leírásával illusztráljuk. A statisztikában ezt a

kísérleti elrendezést latin négyzetnek hívják.

Induljunk ki abból, hogy van egy kétszempontos vizsgálati tervünk. Mindkét szempontnak

három értéke van: A1, A2, A3, illetve B1, B2, B3. (Egyszerűség kedvéért nevezzük mindkettőt

kezelésnek.) A kétszempontos elrendezés a szokásos módon ábrázolható a síkban, egy 3×3-

as négyzet formájában:

A1 A2 A3

B1

B2

B3

És most „belép” egy harmadik szempont, ugyancsak három értékkel: C1, C2, C3. A teljes,

„faktoriális” kísérleti terv szerint erre a négyzetre építenénk „emeleteket”: a fenti négyzet

csoportjai kapnák a C1 kezelést, a fölötte levőé a C2-t, a legfölsőé a C3-at. (Ez 9 helyett 27

csoportot jelentene.) Mi azonban nem akarunk többet vizsgálni, mint 9 csoportot. Ezt úgy

érjük el, hogy mind a három kezelést ezen az egy „szinten” alkalmazzuk, olyan „igazságos”

elosztásban, hogy bár az A–B kezeléskombinációk egy része csak a C1, más részük csak a

C2, a többi csak a C3 kezelést kapja, a kezelések mégis kiegyenlítődjenek. Ennek érdekében

úgy kell a kezeléseket szétosztani, hogy mind a hat (A1, A2, A3, B1, B2, B3) kezeléshez egy--

szer társuljon a C1, egyszer a C2, egyszer a C3 kezelés.

Javasolom az olvasónak, hogy készítsen ilyen tervet! Töltse ki a fenti négyzetet a C1, C2,

C3 kezelésekkel (vagy az őket helyettesítő, szabadon választott egyszerű jelekkel) úgy,

hogy mindegyik pontosan egyszer forduljon elő valamennyi sorban, és pontosan egyszer

minden oszlopban. Rögtön látni, hogy ezzel olyan kezeléskombinációk álltak elő, amilye-

neket az előző bekezdésben leírtunk.

Az ilyeneket nevezik – függetlenül a statisztikai alkalmazástól – latin négyzetnek. A negye-

dik szempont belépésével a rendszer ún. görög-latin négyzetté bővül. Az elnevezés eredete

egyszerű. A szokásos latin négyzetbe az a, b, c, … latin betűket írják a fenti szabály szerint

(a mi esetünkben ezt helyettesítette C1, C2, C3); ha újabb „változót” kell elhelyezni hasonló

65

módon ugyanott, azt az , , , …görög betűkkel teszik, hogy meg lehessen őket különböz-

tetni. Más általánosításban a négyzet téglalappá módosul; – tehát még az sem kell, hogy

valamennyi szempontnak ugyanannyi értéke legyen.

Térjünk azonban vissza a közönséges latin négyzet szabály szerinti kitöltéséhez. (Minden

betű soronként is, oszloponként is pontosan egyszer szerepel.) Aki megpróbálja, látni fogja,

hogy sokféleképp* ki lehet tölteni a négyzetet úgy, hogy megfeleljen ennek az előírásnak.

És itt kapcsolódik be a véletlen: randomizálással választunk a lehetséges kitöltések közt.

A kísérleti tervek tehát részben „szisztematikusak”, részben randomizáltak. Teljesen ran-

domizált terv alig fordul elő másutt, mint az egyszempontos esetben.

A tankönyvek általában kiragadnak egy vagy két, a szerző által fontosnak tartott (vagy valamiért

kedvelt) kísérleti elrendezést, és azt ismertetik. Erre itt nincs módunk; nevük magyarázat nélküli

felsorolásának pedig nem sok értelme lenne. A pszichológiában egyébként is ritkán van lehetőség

sok tényező figyelembevételével kísérletezni. Nem mintha nem lenne elég tényező, amire figyelni

kell; inkább túl sok is van. De nehéz őket „megrendszabályozni”, egy ügyesen megszerkesztett

kísérleti terv keretébe illeszteni. Hasonló problémákkal küszködik az orvostudomány is. Legtá-

gabb tere nyílik az ilyen soktényezős kísérletnek a mezőgazdaságban; nem véletlen, hogy a mód-

szerek nagy részét éppen ilyen alkalmazások kapcsán dolgozták ki.

4.6 A kétszempontos varianciaanalízis

A kétszempontos varianciaanalízis szabályos – képletekkel ellátott, példával illusztrált – tárgyalá-

sának két célja van. Egyrészt szeretnénk felírni legalább egy olyan modellt, ahol interakció szá-

molható, másrészt meg akarjuk mutatni, hogy a varianciaanalízis bonyolultabb esetei valóban az

eddig tárgyalt legegyszerűbb modellek közvetlen általánosításai. Mindamellett ez a tárgyalás nem

lesz annyira „szabályos”, mint az előző fejezetekben tárgyalt varianciaanalíziseké. A lehető legke-

vesebb képletet írjuk fel, levezetésüket pedig nem a matematikai formalizmusra, hanem az olvasó

képzelőerejére alapozzuk. Hiszen nem kell bevezetni szinte semmit, hanem csak kiterjeszteni az

eddigieket erre az esetre.

4.6.1 Jelölések és képletek

Korábban már láttuk (51–52. lap), hogy a 4. fejezetben tárgyalt randomizált blokkos elrendezés a

kétszempontos varianciaanalízis olyan speciális esete, ahol a „minták” egyetlen elemből állnak.

Ebből – és a 4.7. táblázatban található formális felírásból – kell tehát kiindulnunk, ha a kétszem-

pontos varianciaanalízist a lehető legegyszerűbben akarjuk tárgyalni.

Az eddigi xij adatok helyébe most egy-egy n elemű minta lép; ezt kell kifejezésre juttatnunk a

jelölésben is. Az adatokat tehát xijk hármas indexszel kell ellátnunk, ahol i és j a cellát határozza

meg, k pedig az egyes mintákon belül fut végig, 1-től n-ig.

Talán csalódást okoz, hogy a modell „nem eléggé általános”, nem engedi meg a különböző

elemszámú mintákat. Valóban, eddig mindig törekedtünk arra, hogy ne korlátozzuk az

összehasonlítandó minták elemszámát, ne követeljük meg egyformaságukat. Itt azonban

kénytelenek vagyunk megalkudni. Egyenlőtlen elemszámok esetén, mint ezt az előző feje-

zetben is említetük, a varianciakomponensek nem írhatók fel közvetlenül. Egyszerűbben

* Ilyen kis, 3×3-as négyzeteknél ez a „sok” még csak 12, de a 4×4-es négyzetek esetében már 576, az 5×5-ös esetben

százezer fölött van, a 6×6-osban csaknem egymilliárd!

66

kifejezve ez annyit jelent, hogy hiányoznak azok a képletek, a Qt felbontásával kapott

négyzetösszegek képletei, amelyek a komponensek kiszámításához kellenek.

Ez természetesen nem jelenti azt, hogy nem számíthatók ki a varianciakomponensek egyen-

lőtlen elemszámok esetén. Csupán annyit, hogy egyszerű számítási utasítás (képlet) helyett

egy (rendszerint magasabb fokú) egyenletet kell megoldanunk, és annak gyökei adják az új

képletek egyes részeit. Máskor közelítő számításokat írnak elő, amelyek fokozatos közelí-

téssel (iterációval) állítják elő a négyzetösszegeket. Némelyiket – közvetlen kiszámítás he-

lyett – a többiek különbségeként kapjuk csak meg. Így aztán az is előfordul, hogy ezek az

utolsó négyzetösszegek negatívok lesznek, a pontatlanul meghatározozott többi komponens

miatt! Ne bánjuk tehát, ha ebbe a „kalandba” nem megyünk itt bele.

Még egy ponton korlátozzuk a kétszempontos varianciaanalízis ismertetését. Ezt nem a

számítási nehézségek, hanem a szóhasználat egyszerűsítése, a magyarázat könnyebbé tétele

indokolja. Nevezetesen, az egész fejezetben a varianciaanalízis első modelljére (rögzített

szempontú modell) szorítkozunk. Természetesen itt is vannak véletlen szempontú és kevert

modellek (a 4. fejezetben tárgyalt speciális eset is ilyen volt!), alkalmazásuk, kiszámításuk

nem is nehezebb, mint a rögzített szempontú modellé* – a fogalmazást azonban nagyban

megnehezítené a többféle modell szem előtt tartása. (És, nem utolsó sorban, az eredmények

értékelése, elemzése is ilyenkor a legegyszerűbb.)

Az n elemű kis minták egyes elemeire csak addig van szükség,**

míg meghatározzuk az összegüket

és a négyzetösszegüket:

(4.60) ij

k

ijk Tx és ij

k

ijk Sx 2

Ezt a két jelölést csak ideiglenesen, kényszerűségből vezettük be, hogy megkönnyítsük a képletek

felírását és a róluk való beszédet.

Ennyi elég is lenne, az összes Q négyzetösszeg felírható ezek segítségével. De ha el akarunk

végezni egy ilyen kétszempontos varianciaanalízist, célszerű még két adatot meghatározni minden

cellában: a minta átlagtól való eltéréseinek négyzetösszegét és varianciáját:

(4.61) 1

)(2

2

n

Qs

n

TSQ

ij

ij

ij

ijij

Előbbire a mintán belüli négyzetösszeg, Qb egyszerűbb felírásához, utóbbira a varianciaanalízis

szórások egyformaságára vonatkozó feltételének ellenőrzéséhez lesz szükségünk.***

A többi jelölést egyszerűen átvesszük a 4.7. táblázatból. A iT sorösszegek ugyanazt jelentik,

mint eddig (a megfelelő sorban álló összes adat összegét), csak most nem h, hanem nh adat áll a

sorban. Az összegezést persze nem kell „előlről” kezdeni: elég, ha az egyes minták Tij összegeit

adjuk össze:

(4.62) .j

iji TT

És hasonlóképpen az oszlopösszegekre:

(4.63) i

ijj TT .

A régi képletek csak annyiban módosultak, hogy xij helyett Tij szerepel.

* Csak abban van különbség, hogy mi kerül (az egyébként is kiszámított varianciák közül) az F-próbák nevezőjébe.

** Így volt ez már az egyszempontos varianciaanalízis esetében is!

*** A varianciára voltaképp nincs is szükség, hiszen a varianciák hányadosa – az egyenlő mintaelemszámok miatt –

mindig helyettesíthető a Qij négyzetösszegek hányadosával.

67

A 4. fejezet képleteit a továbiakban is fölhasználhatjuk, csak a jelöléseket kell kissé módo-

sítani. A 4.4.5 szakaszban U-val jelölt korrekciós tag három négyzetösszegben is szerepel;

érdemes először azt meghatározni:

(4.64)

,

2

N

TU

ij

ahol, tudjuk, N a cellák számának és a minták elemszámának szorzata:

(4.65) N = ghn.

A véletlen hatását képviselő, mintán belüli Qb négyzetösszeget ugyanúgy az egyes minták

Q-inak összegéből, a hozzá tartozó szabadságfokot pedig a minták szbadságfokainak összegéből

kapjuk, mint az egyszempontos varianciaanalízisben:

(4.66) )1(nghfQQ bijb

A főhatásokra vonatkozó komponensek képletei pontosan ugyanazok, mint a 4. fejezetben,

csak az indexek és az elnevezések mások. Az oszlopokra (A szempont) vonatkozó négyzetösszeg

és szabadságfok:

(4.67) 1

2

hfUgn

TQ A

j

j

A ,

a sorokra vonatkozó Q és f pedig:

(4.68) 12

gfUhn

TQ B

i

iB .

Az interakciós komponenst rendszerint kivonással határozzák meg. Ehhez persze szükség van a

teljes négyzetösszegre, ami ugyanazt jelenti, mint mindig: az összes adat négyzetösszegéből le kell

vonni az összes adat összegének négyzete N-edrészét, vagyis U-t:

(4.69) USQ ijt .

Ennek szabadságfoka természetesen N–1, amit (4.65) figyelembevételével így is írhatunk: ghn–1.

Így hát az interakciós komponens:

(4.70) )1)(1( hgfQQQQQ ABbBAtAB .

A szabadságfok fenti, (4.48)-cal megegyező képletét hasonló megfontolással kapjuk, mint fe for-

muláját a 4.4.4 szakaszban; ezt sem ismételjük meg, akárcsak a többi szabadságfok-indokolást.

Az interakciós komponens nemcsak kivonással, hanem közvetlenül is előállítható. A képletet

Qe (4.46) alatti képletéből kaphatjuk meg, ugyanolyan módosításokkal, ahogyan a randomizált

blokkok többi képletét általánosítottuk a kétszempontos varianciaanalízis esetére; éppen ezért ezt

nem is részletezzük. A „definíciós” és a „számolásra alkalmas” formát egyaránt megadjuk:

(4.71) .

)(

2222

2

ghn

T

gn

T

hn

T

n

T

xxxxnQ

ij

j

j

i

iij

jiijAB

68

Tudjuk, hogy a felbontás akkor jó (Cochran-tétel!), ha a Q-k összege Qt-vel, a szabadság-

fokok összege ennek szabadságfokával, N–1-gyel egyenlő. Az előbbi teljesülése könnyen

ellenőrizhető az (4.66)–(4.71) kéletek alapján:

.

222

222

tij

j

j

i

iij

i

i

j

jij

ijABBAb

QUSUgn

T

hn

T

n

T

Uhn

TU

gn

T

n

TSQQQQ

A levezetésben Qij-t helyetteítettük (4.61) alatti képletével és felhasználtuk (4.64)-et is. Ha

az interakciós komponens (4.70) alatti formuláját használjuk, a levezetést nem is érdemes

elvégezni.

A szabadságfokokra vonatkozó összefüggés még könnyebben kiadódik:

.1112

)1)(1()1()1()1(

t

ABBAb

fNghnhgghghghghn

hgghnghffff

A varianciaanalízis táblázatát (4.11. táblázat) ugyanúgy – képletek helyett képletszámokat meg-

adva – készítjük el, mint a 3. és 4. fejezetben.

4.11. táblázat: A kétszempontos varianciaanalízis táblázata

Típus Négyzetösszeg Szabadságfok Variancia

Az A szempont hatása (oszlophatás)

QA: (4.67)

h – 1 2

As

A B szempont hatása (sorhatás) QB: (4.68) g – 1 2

Bs

Interakció QAB: (4.70) vagy (4.71) (g – 1)(h – 1) 2

ABs

Mintán belüli

Qb: (4.66)

gh(n – 1) 2bs

Teljes Qt: (4.69) ghn – 1 ―

Hátra van még az F-próbák sorrendjének és jelentésének megbeszélése. Tulajdonképpen mind-

három – a sorhatásra, az oszlophatásra és az interakcióra vonatkozó – F-próbát úgy számítjuk ki,

hogy a megfelelő varianciát osztjuk a mintán belüli varianciával:

(4.72) 2

2

2

2

2

2

b

AB

b

B

b

A

s

sF

s

sF

s

sF .

Lényegesen különbözik azonban az értelmezés módja aszerint, hogy a harmadik, az interakcióra

vonatkozó F-próba szignifikáns volt-e vagy sem.

Amennyiben szignifikáns, szinte közömbös, hogy a másik két F-próba milyen eredményt adott.

Még akkor is biztosak lehetünk benne, hogy mindkét szempontnak van hatása, ha a rájuk vonat-

kozó F-próbák egyike (vagy akár mindkettő) nem szignifikáns. Nem létező hatások ugyanis nem

hathatnak egymásra, nem lehetnek köztük interakciók (kereszthatások, kölcsönhatások). Ezek a

hatások azonban nem egykönnyen fogalmazhatók meg, és semmiképpen nem lehet őket „főhatá-

soknak” nevezni. Nem mondhatjuk, hogy a (szignifikáns) A szempont így hat (pl. meghatározott

mértékben emeli a vizsgált változó értékét), mert ez a hatás a B szempont különböző értékeinél

más és más; esetleg még iránya is változik: egyszer növelő, máskor csökkentő hatást tapasztalunk.

69

(Már ebből is látszik, hogy a B szempont hatása is létezik, függetlenül attól, hogy szignifikáns

volt-e a rá vonatkozó F-próba. Ha nem létezne – nem lenne „valójában szignifikáns” –, nem tudná

befolyásolni A hatását.)

Mit lehet ilyenkor tenni? Elemezni kell az egyes mintaátlagokat, külön vizsgálva az A szem-

pont és külön a B szempont értékeit, esetleg a gh darab interakciós tagot, hogy kiderítsük: mi is

történik akkor, ha vizsgált változónkra az A és B változók (mert a szempontok is változók!) együt-

tesen hatnak. Ez bizony legtöbbször nem könnyű feladat. Emiatt szokott mindenki azért „drukkol-

ni”, hogy az interakció ne legyen szignifikáns. (Háromszempontos varianciaanalízisben pedig

azért, hogy legalább az ABC indexű hármas interakció ne legyen az. Sok használatos eljárás ezt

eleve feltételezi, és beolvasztja a megfelelő komponenst a véletlen tagba.)

Egyszerűbb esetekben a szignifikáns interakció jól értelmezhető, sőt lehet, hogy éppen ez ad

választ előzetesen feltett kérdésünkre. Egy ilyen esetet talál az olvasó a következő szakaszban,

amely egyúttal a kétszempontos varianciaanalízist bemutató egyetlen számpélda is lesz. (Jól tud-

juk, hogy a számpéldák végiggondolása, utánaszámolása a legjobb módja annak, hogy meggyő-

ződjünk róla: valóban jól értettük-e az „elméleti” részben leírtakat – vagy ha nem, itt az alkalom,

hogy végre megértsük azokat.)

Előbb azonban nézzük a „másik esetet”, amikor az interakcióra vonatkozó F-próba nem szigni-

fikáns. Ilyenkor a főhatások létezését közvetlenül megállapíthatjuk a rájuk vonatkozó, (4.72) alatti

F-próbákból, és minden további nélkül meg is tudjuk fogalmazni ezeket a főhatásokat. A két hatás

lehet ugyanolyan vagy ellentétes irányú is.

Ha az interakció „nagyon nem szignifikáns”, gyakran nem így járunk el, hanem a következő-

képpen okoskodunk. Mivel nincs interakció, az interakciót mérő komponens is csupán a véletlen

ingadozást tükrözi. Ezért ezt a komponenst összevonjuk a mintán belüli varianciával, ahogy a 3.

fejezetben a „görbületi” varianciát vontuk össze vele.* Még a jelölést is megtartottuk:

(4.73) v

vvABbv

f

QsQQQ 2 .

Az fv szabadságfokot természetesen ugyanúgy a másik két szabadságfok összegeként kapjuk, mint

a számlálókat.

Az összevonás révén egy nagyobb szabadságfokú – ráadásul gyakran 2

bs -nél kisebb – varianci-

át kapunk, az így számolt F-próbák tehát „könnyebben” lesznek szignifikánsak:

(4.74) .2

2

2

2

v

B

v

A

s

sF

s

sF

Ezt a módszert sokan vitatják, és különböző – főként elméleti – érveket hoznak föl a varianciák

összevonása ellen. Ellenérveiket ugyanúgy nem kötelező elfogadni, mint az „összevonás-pártiak”

érvelését. Végső soron a módszer alkalmazójára van bízva, hogy él-e az összevonás lehetőségével

vagy nem.

4.6.2 Példa kétszempontos varianciaanalízisre

Ez a számpélda több szempontból is kivételes a könyv példái közt. Egyrészt „valódi” példa, egy

régi állatkísérlet (MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet) tényleges adataira támaszkodva.

Másrészt a példát egyszerűen átvettem a kb. 40 éve írt Bevezetés a matematikai statisztikába című

* A két esetben ugyanarról van szó! A görbület a (feltételezett) lineáris kapcsolattól való eltérést, a modell nemteljesü-

lését jelentette. Ugyanígy: a főhatások elkülöníthetősége érdekében feltételeztük az additivitást, ám a szignifikáns in-

terakció ennek nemteljesülését, a modell alkalmatlanságát mutatja. Ha ezek nem szignifikánsak, egyszerűbb, kevesebb

komponenst tartalmazó modellt használhatunk. (A harmadik F-próba ebben a felfogásban a modell ellenőrzésére szol-

gál.)

70

könyvemből. A jelen könyv eredeti célja ugyanis ennek a régi könyvnek az átdolgozása, új kiadása

volt. (Harminc éve készülök erre a munkára!) Írás közben azonban annyira eltávolodtam a régitől,

nemcsak felépítésében, hanem talán szellemében is, hogy nem lehet többé átdolgozásnak tekinteni.

A szándék azért megmaradt, és úgy gondoltam: legalább ezt az egy példát „átmentem”, ezzel

adózva ama régi könyv emlékének. (Remélem, az olvasó megbocsátja nekem ezt a szubjektív, a

tárgyhoz igazán nem tartozó kitérőt.)

A szóban forgó állatkísérletben azt vizsgálták a kutatók, hogy a stresszhatást ki lehet-e védeni

bizonyos nyugtatók segítségével. Az ilyen kísérleteknek természetesen az a célja, hogy keressék a

lehetőséget: hogyan lehet az embereket mentesíteni az őket érő stresszek káros hatásától.

A példában fölhasznált adatok egy meghatározott szubkortikális nyugtató alkalmazására vonat-

koztak. Az említett régi könyvben a nyugtató (illetve altató*) neve és a stressz kísérletes kiváltásá-

nak módja is szerepel. Ezeket itt nem említem, mert nem a konkrét kísérlet és annak eredménye

érdekel minket, hanem a kísérletes szituáció, a feltett kérdés, és az adatokból erre adható válasz.

A két kísérleti változó – a két szempont – az állatokat érő stresszhatás és a (megelőzésként al-

kalmazott) nyugtató volt. A kísérleti elrendezés a lehető legegyszerűbb volt, mivel mindkét szem-

pontnak csak két értékét vizsgálták: volt stressz (S) vagy nem volt (N), illetve altatták-e az állato-

kat (A), vagy pedig nem (É – utalva a kísérleti állatok éber állapotára). Ebben az esetben tehát a

„lehető legkisebb” kétszempontos varianciaanalízist lehetett az adatokra alkalmazni, hiszen mind

a sorok, mind az oszlopok száma kettő volt (g = h = 2). A 2×2-es elrendezés a következő négy

csoportból állt: ÉN, ÉS, AN, AS, vagyis (ugyanebben a sorrendben) éber, nem stresszelt; éber,

stresszelt; alvó, nem stresszelt; alvó, stresszelt csoportból. A csoportok létszáma egységesen 8

volt; a 32 hasonló korú és súlyú patkányt randomizálással osztották szét a fenti csoportok közt.

A stressz-állapotot a vér kortikoszteron-szintjével mérték. A patkányok, akárcsak az emberek,

a mellékvese-kéreg megnövelt hormontermelésével védekeznek a stressz ellen; a kortikoszteron a

legnagyobb mennyiségben előforduló ilyen hormon a patkányban. (Nagyjából úgy, ahogy ember-

ben a hidrokortizon.)

Az adatokat és az előkészítő számításokat a 4.12. táblázat tartalmazza. A számadatok a korti-

koszteron koncentrációt jelentik, g/100 ml vérplazma egységben. **

A négy minta adatai mellett, ugyanabban a cellában, feltüntettük a varianciaanalízis kiszámí-

tásához szükséges, (4.60)–(4.61) szerinti mennyiségeket is, továbbá az átlagot, ami megkönnyíti

majd, hogy az értékelés során egy-egy celláról beszéljünk.

Mindenekelőtt győződjünk meg róla, hogy elvégezhető-e a varianciaanalízis. Mivel a minták

elemszáma egyforma, használhatjuk a „maximális F” eljárást. A legnagyobb varianciát az AS, a

legkisebbet az AN mintában látjuk; a kettő hányadosa – vagyis a maximális F – 6,48.

A Melléklet IV. táblázatában az f = 7 sorban kell keresnünk az ehhez az értékhez tartozó való-

színűséget. A h = 4 oszlopot kell figyelembe venni, mert bár itt h = 2, mégiscsak 4 varianciát

hasonlítunk össze. (A táblázat az egyszempontos varianciaanalízis számára készült, ezért szerepel

a fejlécen h, ami értelemszerűen a csoportok számát jelenti.)

A IV. táblázat felső részének megfelelő helyén 8,44 áll. Ha ekkora vagy ennél nagyobb a maxi-

mális F, akkor térnek el – 5%-os szignifikanciaszinten – a varianciák. A mi értékünk ennél kisebb,

az eredmény tehát nem szignifikáns (p > 0,05); így megtartjuk a nullhipotézist, azaz elfogadjuk a

varianciák egyformaságát. A varianciaanalízis elvégezhető.

* Az alkalmazott nyugtató hatására a patkányok elaludtak; így érte őket a kutatók által létrehozott stresszhatás. Az

eredmények emberi felhasználásában nyilván nem ez a helyzet: nem az alvó embert érő stressz az, ami érdekel, hanem

az, hogy ugyanez a nyugtató eredményes védekezést nyújt-e az életben minket érő stresszek támadásai ellen.

** Nem árt megjegyezni, hogy a g (mikrogramm) tömegegységet a tudományos szleng gyakran nevezi -nak, a 100

ml-enkénti mennyiséget pedig vegyes százaléknak. Ez valójában nem százalék, hanem egy dimenzióval – koncentrá-

ció dimenzióval – rendelkező mennyiség. Az itt szereplő egységeket tehát – legalábbis egymás közt – mint %-ot

(gammaszázalék) szokták emlegetni.

71

4.12. táblázat: A példa adatai és az előkészítő számítások

A szempont

(stressz)

B szempont

(altató)

N

S

Sorösszegek

É

9,6

27,5

5,8

12,8

6,3

32,7

7,3

8,7

T11=110,7

S11=2283,85

Q11=752,03875

4341,1072

11 s

8375,1311 x

58,0

53,0

65,5

58,3

60,3

49,8

31,5

68,0

T12=444,4

S12=25594,52

Q12=908,1

7286,1292

12 s

55,5512 x

555,1

A

12,7

27,7

19,0

8,7

16,0

13,1

5,4

13,1

T21=115,7

S21=1993,65

Q21=320,33875

7627,452

21 s

4625,1421 x

30,4

20,9

39,0

27,0

67,5

38,2

17,6

56,0

T22=296,6

S22=13072,22

Q22=2075,775

5393,2962

22 s

075,3722 x

412,3

Oszlopösszegek 226,4 741,0 967,4

Már nincs hátra sok számolnivaló. Legegyszerűbben a mintán belüli négyzetösszeget kapjuk

meg:

.2525,4056ijb QQ

A több négyzetösszegben is megtalálható korrekciós tag kiszámításával folytatjuk:

.71125,2452932

4,967)( 22

N

TU

ij

Az átlagok és a négyzetösszegek számítása során egyáltalán nem kerekítünk (megtehetjük, hiszen

mindenütt véges tizedestört áll, mivel az osztó 8, 16 vagy 32), ezért „pontosan” teljesül az össze-

gekre vonatkozó összes állítás. Hasznos ez egy illusztráló célzatú példában, de a gyakorlatban

nincs rá szükség. Ám el ne felejtsük, hogy mindig két-három tizedesjeggyel többre kell számol-

nunk, mint amennyire az eredményben szükség van, hogy a korai kerekítések ne veszélyeztessék

a végeredmény pontosságát.

A teljes négyzetösszeg a (4.69) képlet alapján:

Qt = 42 944,24 – 29 245,71125 = 13 698,52875.

A QA és QB négyzetösszegek előállításához szükséges oszlopösszegeket és sorösszegeket szin-

tén megtaláljuk a 4.12. táblázatban. Felhasználva a (4.67) és (4.68) képleteket:

245,63716

3,412

16

1,555

41125,827516

741

16

4,226

22

22

UQ

UQ

B

A

Az interakciós négyzetösszeget kivonással állítjuk elő (l. a (4.70) képletet):

QAB = 13 698,52875 – 8275,41125 – 637,245 – 4056,2525 = 729,62.

A hátra levő számításokat legkényelmesebb a varianciaanalízis táblázatában végezni:

72

4.13. táblázat: A kétszempontos varianciaanalízis táblázata a példa adataira

Típus Négyzetösszeg Szabadságfok Variancia F érték Valószínűség

Az A szempont (stressz) hatása

8275,41125

1 8275,41125 57,12 p < 0,005

A B szempont (altató) hatása 637,245 1 637,245 4,399 p < 0,05

Interakció 729,62 1 729,62 5,037 p < 0,05

Mintán belüli

4056,2525

28 144,86616 — —

Teljes 13698,52875 31 ― — —

A stressz és az altatás hatása egyaránt szignifikáns, de ezzel nem megyünk sokra, hiszen az

interakció is az; ezek a hatások – bár léteznek – nem fogalmazhatók meg „főhatásként”. (L. az

előző szakaszban mondottakat.)

Mielőtt még elkeserednénk a „sikertelen” kísérlet miatt, vegyük észre, hogy a kísérlet igenis

sikeres volt! Nem azt kérdeztük ugyanis, hogy a stressznek van-e hatása a mellékvese kortiko-

szteron termelésére (ezt már régen tudjuk, hogy így van), sem azt, hogy az alkalmazott nyugtató

hogyan hat ugyanennek a hormonnak a koncentrációjára (ez aligha olvasható ki az adatokból).

Hanem azt kérdeztük, hogy kivédi-e a nyugtató a stressz által kiváltott hatást, azaz mérsékli-e a

stressz hatására bekövetkező hormonszint-emelést, ha a két tényező (stressz és altató) együtt

hatnak. Ez pedig – másképp fogalmazva – azt jelenti, van-e a két hatás közt interakció? Mivel a

szignifikáns eredmény éppen azt mutatja, hogy van, a kísérlet eredményesen zárult, mégpedig

pozitív eredménnyel: a feltett kísérleti kérdésre igennel válaszolhatunk.

De nézzük meg az eredményt kicsit közelebbről. Az interakció szignifikanciája önmagában

még nem sokat jelent, csupán annyit, hogy a két szempont hatása nem adódik össze. Ahhoz, hogy

ezt a szignifikanciát a kísérlet sikere gyanánt könyvelhessük el, meg kell néznünk, hogy valóban

az történik-e, amit előbb említettünk: a stressz által kiváltott hatás csökken az altató hatására.

Erre pedig választ kapunk a 12. táblázatból, ha szemügyre vesszük a négy csoport átlagát. A

stressz többszörösére emeli a hormonszintet. De míg éber állapotban ez az emelkedés jó 41 g%

(13,8-ról 55,6-ra), az altatott állatoknál alig több, mint ennek a fele: 22,6 g% (14,5-ről 37,1-re).

A stressz hormonszint-növelő hatásához kétség sem fér; ezt mutatja egyébként a minden elkép-

zelhető szinten szignifikáns eredmény. Az altatás hatása azonban korántsem egyértelmű. A szigni-

fikanciát valószínűleg az a nagy különbség okzza, ami a stresszelt állatokban, az ÉS és az AS cso-

portok átlaga közt figyelhető meg. De ha „normál” (vagy mondjuk inkább így: kontroll) állatokon

nézzük az altatás hatását, nem látunk semmiféle különbséget. (A gyenge „emelkedés” 13,8-ról

14,5-re bőven írható a véletlen ingadozás számlájára.) Az altatás hatása tehát semmiképpen nem

„főhatás”, annak ellenére, hogy az erre a főhatásra vonatkozó F-próba szignifikáns. (Igaz, koránt-

sem annyira, mint a másik.)

Szignifikáns interakció esetén érdemes megpróbálkozni azzal, hogy magát az interakciót

elemezzük. A QAB négyzetösszegnek g.h tagja van (a harmadik, k-vel jelölt indexre el lehet

végezni az összegezést; l. a (4.71) képlet első sorát), de ezek a tagok nem függetlenek. Az

interakció szabadságfoka ugyanis (g–1)(h–1), tehát ennyi a független tagok száma, ennyit

tudunk „megmagyarázni”, értelmezni.

És itt bosszulja meg magát a túlságosan egyszerű példa. Az interakció „elemzése” ilyenkor

kimerül egyetlen tagban; ennyi ugyanis a szabadságfok. Egyelőre aligha látjuk, miért nem

vizsgálható emiatt a többi tag, de ha elkészítjük az interakció egyes tagjainak elemzésére

szolgáló táblázatot (4.14. táblázat), a tagok összefüggése világossá válik.

Rögtön megjegyezzük, hogy itt kár elkésztíteni ezt a táblázatot, hiszen az interakciós négy-

zetösszegnek mind a négy tagja ugyanakkora (az 1-es szabadságfok miatt); elég lenne tehát

73

egyetlen tagot kiszámítani. Ez a munka mégis tanulságos lesz, mert megmutatja, hogyan

lehet általában, több csoportot tartalmazó kétszempontos varianciaanalízis esetén elkészí-

teni és elemezni az interakció g.h mezős táblázatát.

A randomizált blokk Qe négyzetösszegének képlete szinte teljesen ugyanaz, mint a QAB

négyzetösszegé, csak az utóbbiban ijx áll xij helyett, hiszen itt egy minta kerül a korábbi

egyetlen elem helyébe – amelyet az átlaga képvisel. Azt is megmutattuk már (l. a (4.55)

képletet az 57. lapon), hogy ez a négyzetösszeg a modellben feltételezett additivitástól való

eltérést méri. Most egy kicsit egyszerűbben írjuk fel ugyanezt a különbséget – az additivi-

tástól való eltérést –, csak előbb bevezetünk két új (de egy másik, látszólag távoli módszer-

ből ugyancsak ismerős) fogalmat.

Az interakciós négyzetösszeg tagjai (4.71) szerint ilyen alakúak: .])[( 2xxxxn jiij A

szögletes zárójelben a megfelelő cella várt átlaga áll: ha teljesülne az addtivitás, ha a fő-

hatások egyszerűen összeadódnának, akkor pontosan ezt kellene kapnunk.* Ezzel szemben

a cellában az ijx kapott átlag áll. A kettő különbsége a modelltől való eltérést, az interakci-

ót méri. (Az n szorzó akkor került oda, mikor a harmadik index, k szerint el tudtuk végezni

az összegezést, mivel a zárójeles rész nem tartalmazta k-t.) Azért kell az átlaggal számolni

az egyes adatok helyett, hogy a véletlen hiba – az egyes kis mintákon belüli ingadozás – ne

„keveredjen bele” az interakciós komponensbe.

Vegyük észre hogy a várt átlag kiszámítása nagyon hasonlóan történik ahhoz, ahogy a

kontingenciatáblázatban a várt gyakoriságot számoltuk: ,νN

nn ji

ij

azaz a megfelelő

sorösszeg és oszlopösszeg szorzata, osztva a teljes összeggel. Szorzás helyett összeadást,

osztás helyett kivonást végezve kapjuk a várt átlagot – mintha csak a várt gyakoriság

logaritmusát számolnánk ki!

4.14. táblázat: A kapott (első sor) és várt cellaátlagok (második sor) táblázata

A szempont

(stressz)

B szempont

(altató)

N

S

Sorátlagok

É 13,8375

18,6125 55,55

50,775 34,69375

A 14,4625

9,6875

37,075

41,85 25,76875

Oszlopátlagok 14,15 46,3125 30,23125

A sor- és oszlopátlagokat könnyű kiszámítani: az összegeket kell elosztani 16-tal. (Ennyi

adat áll ugyanis minden sorban, ill. oszlopban.) A „nagyátlag” a teljes összeg 32-edrésze.

Ezeket is megtaláljuk az 4.14. táblázatban. Az egyes cellákban, a 4.12. táblázatból már

ismerős átlagok alatt találjuk a várt átlagokat; a kettő különbsége a cellához tartozó inter-

akciós tag zárójelben álló része, négyzetre emelés előtt.

* A „nagyátlag” levonására formálisan azért van szükség, mert az összeg a szükségesnek kb. a kétszerese lenne. Való-

jában, ahogy (4.55) mutatta, a főhatások a nagyátlagtól való, „specifikus” eltérést határozzák meg, és ezek összege a

cellában álló minta „specifikumát”, nagyátlagtól való eltérését adja meg – a nullhipotézis teljesülésekor.

74

Ha kiszámítjuk a kapott és várt átlag különbségét, minden cellában 4,775-öt kapunk, csak

éppen kétszer (ÉN és AS) negatív, kétszer (AN, ÉS) pozitív előjellel. Mint mondtuk, csak

egy független interakciós tag van, tehát csak egyet használhatunk föl az elemzéshez. Sta-

tisztikai szempontból mindegy, hogy melyiket, de a feladat szempontjából korántsem az. Itt

a föltett kérdés az volt (l. a 70. lap második bekezdését), hogy mérsékli-e az altató a stressz

hatását. Azt kell tehát megnéznünk, hogy az AS (altatott, stresszelt) csoportban kisebb-e a

kapott átlag, mint a nullhipotézis – az additivitás – alapján várnánk. A táblázatban látjuk,

hogy kisebb, így tehát előzetes hipotézisünknek megfelelő irányban „alakult ki” interakció

a két kezelés közt. (Mondtuk, hogy a kezelés szót nagyon általános értelemben szokás hasz-

nálni a varianciaanalízisben.)

Persze elemezhetnénk akármelyik másik tagot is, de akkor a mondanivaló nem lenne ilyen

világos. Az, hogy az ÉS csoportban nagyobb átlagot kaptunk a vártnál, azt jelenti, hogy az

éber állapot fokozta a stressz hatását az altatott állapothoz képest. Meglehetősen nyaka-

tekert fogalmazás, és semmi köze a kísérlet szelleméhez, céljához. (Mintha az altatott álla-

pot lenne a természetes, amihez képest a „fölébresztett” állatok nagyobb érzékenységet

mutatnak a stressz „befogadására”.) Még keservesebb az interakciós hatás megfogalmazása

a két „kontroll” (nem stresszelt) csoport esetében.

De nincs ezekre szükség! Egyetlen független interakciós tag, tehát egyetlen „interakciós

hatás” van, és azt az AS csoport esetében jól (és számunkra hasznos módon) lehetett értel-

mezni.

Más a helyzet, ha 2, 3 vagy még több az interakció szabadságfoka. Gondoljunk most

ugyanerre a kísérletre, de szerepeljen két, különböző módon kiváltott stressz. Ekkor g = 2

továbbra is, de h = 3, és a 6 interakciós tag közül kettő független. Bármelyik kettőt

értelmezhetjük tehát, de legjobb ismét az altatott stresszelt csoportokat vizsgálni. Például

kimondhatjuk, hogy a korábbi – egyébként erős vibrációval kiváltott – stressz hatását

kivédi az altató, de a fájdalomingerre fellépő stressz hatását már nem vagy csak kis

mértékben. Ha kétféle altatót alkalmazunk, akkor már 9 interakciós tag lesz (g = h = 3), és

ezek közül 4 független. Jól meg kell válogatnunk, hogy melyiket értelmezzük, melyikből

olvashatjuk ki a kísérleti adatok válaszát feltett kérdéseinkre.

Ha a szabadságfok 1-nél nagyobb, fölmerülhet az a kérdés is, hogy az interakciós tagok

közül melyik szignifikáns, melyik nem. Vagy mondjuk inkább így: melyikek okozzák az

interakció szignifikanciáját. Erre a kérdésre a következő fejezetben tanult módszerek

adhatják meg a választ. (Csak adhatják, mi nem fogjuk ezt elvégezni. Példánkban ugyanis

egyetlen független interakciós tag van; nem kérdés, hogy melyik okozza az interakció szig-

nifikanciáját: az az egy.)

A 4.14. táblázatból közvetlenül is kiszámíthatjuk az interakciós négyzetösszeget; legalább

ellenőrizzük, hogy kivonással kapott számértékünk jó volt-e. Mint már említettük, a kapott

és várt átlag különbsége minden cellában 4,775; mivel négyzetre kell emelni, teljesen

mindegy, hogy pozitív-e vagy negatív. A QAB négyzetösszeg egyes tagjainak értéke tehát

8×4,7752 = 182,405. (L. a (4.71) képletet!) A négy tag összege ennek négyszerese, azaz

729,62. És ezt kaptuk kivonással, ez áll a 4.13. táblázatban is.

75

4.7 Többszörös összehasonlítás

A varianciaanalízis végeredménye, a (szignifikáns) F-próba csak annyit állapít meg (helyesebb

lenne így mondani: annyit állít), hogy az összehasonlított dolgok – kezelések, körülmények,

csoportok stb. – különböznek, legalábbis a „vizsgált változó” szempontjából. Ha minket az is

érdekel, hogy konkrétan melyek különböznek egymástól és melyek nem,* további vizsgálatokra

van szükség. Ezeket a „további vizsgálatokat” nevezik többszörös összehasonlításnak.

Az elnevezés kicsit furcsa, talán még félrevezető is, de nem valószínű, hogy valaha is sikerül

fölcserélni egy megfelelőbbel. Az általánosan használt angol szakkifejezés (multiple comparison)

szó szerinti fordítása ez, és lehet, hogy az angol anyanyelvűek ugyanolyan elégedetlenek vele,

mint mi.

Emlékeztetünk, hogy mi volt a varianciaanalízis bevezetésének oka: el akartuk kerülni az első

fajta hiba megnövekedését. (L. a 9. oldalon található okfejtést.) A varianciaanalízis azonban csak

akkor oldja meg a csoportok összehasonlításának problémáját, ha az eredmény nem szignifikáns.

Ha szignifikáns eredményt kaptunk, legtöbbször az is érdekel, hogy mely csoportok közt van kü-

lönbség, és melyek között nincs. A minden további nélkül végzett páronkénti összehasonlítások,

tudjuk, „halmozzák” az első fajta hibát, és ez ellen nem sok védelmet nyújt az előzetesen végre-

hajtott, szignifikáns varianciaanalízis. (Úgy szokták ezt kifejezni, hogy a tényleges hiba nagyobb,

mint az – általában 5%-nak választott – névleges.)

Ezen a problémán segít (szívesebben mondanám így: próbál segíteni) a többszörös összehason-

lítás. Azért ez az óvatos fogalmazás, mert a kérdés máig sincs kielégítően megoldva. Számtalan

eljárás létezik (minek kellene több, ha lenne egy igazán jó?), és részben a feladaton, de főképp a

fölhasználó egyéni szimpátiáján múlik, hogy melyiket „szereti”. A módszerek alkalmasak a főha-

tások, sőt az interakció részletesebb elemzésére is (mint épp az imént említettük!), egyszerűség

kedvéért azonban csak az egyszempontos varianciaanalízishez kapcsolódva fogalmazzuk meg

őket.

4.7.1 A Bonferroni-módszer

A legkézenfekvőbb eljárás az, hogy ha összességében nem akarunk nagyobb hibát elkövetni, mint

5%-ot, akkor ezt az 5%-ot földaraboljuk annyi részre, ahány összehasonlítást végzünk, és így a

teljes hiba nem lehet több, mint amennyit „vállaltunk”.

Tudjuk azonban (erről is szó volt a 4.2.1 szakaszban), hogy a hibák még független összehason-

lítások esetén sem adódnak össze (ezért használtuk a halmozódnak kifejezést), hát még az olyan,

egymásból részben következő összehasonlítások végzésekor, mint a sorozatos páros összehason-

lítás. Ezért azután különféle, „enyhébb” darabolási módszereket dolgoztak ki; ezt valahogy úgy

kell elképzelni, hogy az 5%-ot 1%-os részekre szabdalják ugyan, de ezzel nem öt, hanem mondjuk

kilenc összehasonlítást is jogunk van elvégezni. (Ez a „jogunk van” annyit jelent, hogy ha vala-

mennyit elvégezzük ezen a csökkentett szignifikanciaszinten, összességében akkor sem követünk

el nagyobb hibát, mint 5%. Vagyis a tényleges szint nem haladja meg a névlegeset.) A szignifikan-

ciaszint darabolásának különféle, egyszerű és hallatlanul rafinált eljárásait nevezik összefoglaló

néven Bonferroni-módszernek.

Miért kell itt ügyeskedni, miért nem vágjuk kiinduló 5%-unkat egyszerűen annyi részre, ahány

összehasonlítást végezni akarunk? Azért, mert akkor eljárásunk nagyon „gyenge” lesz: a kis első

fajta hiba nagy második fajta hibával jár együtt – ez pedig az erő csökkenését jelenti. (Mindezt már

a könyv második részéből tudjuk.) Esetenként még a különféle, rafinált „bonferronizálások” is túl-

ságosan nagy második fajta hibát jelentenek. Részben ez az oka a különböző többszörös össze-

* Magától értetődő, hogy mindez csak az első modell (vagy kevert modell alkalmazásakor a rögzített értékű főhatások)

esetén jön szóba. Véletlen értékű szempontoknál ilyen természetű kérdés föl sem merül.

76

hasonlítási eljárások kidolgozásának, egymással versengő „piaci kínálatának”. A problémát azon-

ban ezek sem oldották meg. Minden módszer engedményt tesz valamelyik irányban. Vagy bele-

törődik a túl nagy második fajta hibába (a próba kis erejébe), vagy eltűri az első fajta hiba növeke-

dését, a névleges szint túllépését. (Néha mind a kettő sújtja ezeket az eljárásokat.)

További nehézség, hogy a legtöbb módszer csak egyenlő elemszámok – egyforma nagy cso-

portok – esetén érvényes. Rendre elkészültek ugyan a módszerek általánosításai tetszőleges, egy-

mástól különböző elemszámokra is, ezek érvényességét azonban sokan kétségbe vonják.

Talán az is gátolta a Bonferroni-eljárás egyeduralmát, hogy a statisztikai eloszlások csak táblá-

zatokban voltak hozzáférhetők. Az alkalmazók onnan állapították meg, hogy számított értékeik a

választott szint alá vagy fölé estek. A táblázatok azonban csak kevés szintet tartalmaztak; szóba

sem jöhetett pl. 1¼ % (0,0125), 0,8% (0,008) vagy más „nem kerek” szint ellenőrzése – amit pedig

a Bonferroni-eljárás megkövetelt volna. Manapság azonban, amikor a próbastatisztika kiszámított

értékéhez tartozó valószínűséget – a hírhedt „p értéket”* – a számítógép adja meg, sok tizedes pon-

tossággal, tulajdonképpen nem lenne akadálya a „bonferronizálásnak”; mindenesetre egyszerűbb

lenne a kidolgozott többszörös összehasonlítási eljárások többségénél.

Mielőtt bemutatnánk néhány többszörös összehasonlítási eljárást, feltétlenül meg kell említe-

nünk egy olyan problémát, amelyről a legtöbben megfeledkeznek. A varianciaanalízis összetettebb

eseteiben – már a 4.3–4.4 fejezetekben tárgyaltakban is, de a többszempontos analízisben min-

denképpen – nem egy, hanem több F-próbát kellett végezni. Ilyenkor éppúgy fennáll a hibanöve-

kedés veszélye, mint a páros összehasonlításoknál. Ha azt akarjuk, hogy az egész eljárást ne terhel-

je a választott szintnél, mondjuk 5%-nál nagyobb első fajta hiba, itt is csökkentett szinten, „bon-

ferronizálva” kell meghatározni az egyes próbák szignifikanciáját.

4.7.2 Néhány többszörös összehasonlítási eljárás

Inkább csak fölsorolás ez, mint a módszerek konkrét bemutatása. Ebben a szakaszban képleteket

nem írunk föl, legföljebb „elmeséljük” őket.

Még a varianciaanalízis „feltalálójától”, R.A. Fishertől származik a páronkénti t-próbáknak az a

módosítása, hogy a két minta közös szórása helyett a varianciaanalízis mintán belüli szórását – a

mintán belüli variancia négyzetgyökét – kell írni a nevezőbe. Ez nyilván jobb, megbízhatóbb becs-

lése a véletlen hibának, mint a két mintából számolt közös szórás. A módszer igen egyszerű, és

minden további nélkül alkalmazható egyenlőtlen elemszámok esetén is. Viszont kevés védelmet

nyújt az első fajta hiba megnövekedése ellen.

Ezt az eljárást máig sokan alkalmazzák, nem törődve a hiba növekedésével. Sokan tettek mó-

dosító javaslatokat; a legismertebb talán O.J. Dunn nevéhez fűződik. Szerinte előre el kell dönteni:

hány összehasonlítást akarunk elvégezni (vagyis mi az, ami szakmailag érdekes), és ennek megfe-

lelően „bonferronizálni”. Még a t-táblázatokat is kidolgozta hozzá: a valószínűségek darabolását el

se kell végezni, rögtön leolvashatók az eredmények.

De mi van akkor, ha meggondoljuk magunkat, és el akarunk végezni még egy (vagy tán kettő)

összehasonlítást? Sajnos arra már nincs jogunk: az előre elhatározott számot nem léphetjük túl; ez

ennek a módszernek a legnagyobb hátránya.

A következő szakaszban részletesen tárgyaljuk a legáltalánosabb, legjobbnak tartott módszert,

a most említett eljárás egyetlen igazi vetélytársát; ott nincs ilyen (és semmilyen más) korlátozás.

Ám ha csak kevés összehasonlítást akarunk elvégezni, érdemes Dunn táblázatait használni, mert

olyankor ez a módszer a legerősebb, ennek legkisebb a második fajta hibája – és garantáltan nem

lépi túl a névleges (5%-os) szintet.

* Sokan ugyancsak kifogásolták ezt az általam előszerettel használt „hirhedt” jelzőt. De aki már látott lektori vélemé-

nyeket, szerkesztőségi válaszokat, amelyek (pl.) orvosi folyóiratoktól érkeztek, az nem csodálkozik ezen a minősíté-

sen. Gyakran ebben áll az elutasító válasz lényege: „hiányoznak a p értékek”. Vajon a vélemények megfogalmazói

közül hányan ismerik ennek a „p értéknek” a pontos tartalmát?

77

Röviden megemlítünk még két, igen gyakran alkalmazott eljárást. Mindkettőt egyenlő minta-

nagyságokra dolgozták ki, és tetszőleges mintákra készült általánosításuk csak közelítő jellegű.

Valószínűleg szemléletességének köszönheti népszerűségét Duncan módszere. Számolásáról

nem ejtünk itt szót, csak a végeredményről. Duncan nagyság szerint sorbaállítja az átlagokat, azu-

tán aláhúzással jelöli azokat a „tömböket”, amelyek szignifikánsan nem eltérő csoportokat alkot-

nak. Ezek átfedhetik egymást, de az „aláhúzásos ábrából” azonnal eldönthető, hogy mely csopor-

tok közt van szignifikáns különbség és melyek közt nincs.

A jobb érthetőség kedvéért mutatok egy példát. A legkisebb mintaátlagot *1x -sal jelöljük, a

következő legkisebbet *2x -sal, és így tovább. ( 21, xx stb. az eredeti sorrendben felírt átlagokra

utalna.) Elképzelt példánkban így alakulnak az eltérő és nem eltérő csoportok:

*9*8*7*6*5*4*3*2*1 xxxxxxxxx . .

Az ábra értelmezése egyszerű: két csoport szignifikánsan különbözik, ha nincs olyan aláhúzás,

amelyik összekötné őket. Például a harmadik átlag csak a hatodik és annál nagyobb átlagoktól

különbözik, hiszen mind az első kettő, mind az utána következő két csoporttal közös „tömbben”

szerepel.

Egy másik, általánosan használt eljárás Dunnett-től származik és az ő nevét viseli.* Ez arra az

esetre készült, amikor az egyik csoport a kontroll, a többiek különféle kezelések. Gyakran nincs

szükségünk másra, mint a kontrollcsoport összehasonlítására az összes többivel; ez végezhető el a

Dunnett-módszer segítségével. Akárcsak az előzőhöz, ehhez is külön táblázatok kellenek – illetve

más eljárással kell a gépnek a valószínűségeket kiszámolnia, mintha t- vagy F-eloszlást számolna.

Egyik eljárással részletesebben foglalkozunk, részint az eddigiektől gyökeresen eltérő jellege,

részint általános alkalmazhatósága miatt.

4.7.3 Scheffé módszere

Ahhoz, hogy ezt az eljárást elmondhassuk, meg kell ismerkednünk a statisztikai próbáknak egy, az

eddigiektől eltérő tárgyalásmódjával.

4.7.3.1 Statisztikai próba és konfidenciaintervallum

Beszéljünk csak azokról a próbákról, amelyek a mintaátlagok különbségét vizsgálják. A nullhipo-

tézis az átlagok egyformasága, ami ugyanaz, mintha azt mondanánk: az átlagok különbsége nulla.

Szignifikáns eltérés esetén legfeljebb 5% a valószínűsége, hogy a várható értékek egyformasága

mellett akkora eltérés legyen az átlagok közt, mint a vizsgált esetben.

Nézzük most a különbségre vonatkozó 95%-os megbízhatósági intervallumot. (Egyelőre csak

képzeletben.) Ha ez az intervallum nem tartalmazza a nullát (tehát alsó és fölső határa ugyanolyan

előjelű), akkor 95%-ig biztos, hogy a várható értékek nem egyformák (hiszen különbségük nem

lehet nulla) – amivel ugyanazt állítottuk, mint előbb: ezek az átlagok az 5%-os szinten szignifikán-

san különböznek.**

A statisztikai próbát egy tetszőleges p szinten úgy is elvégezhetjük, hogy elkészítjük az átlagok

különbségének (1–p) valószínűségű megbízhatósági intervallumát, és megnézzük, hogy ez az in-

tervallum tartalmazza-e a nullát. Ha igen, a különbség nem szignifikáns, ellenkező esetben pedig

szignifikáns. Scheffé módszere ilyen intervallumokra vonatkozó állítást fogalmaz meg, de nem

csak különbségekre, hanem annál jóval általánosabb formulákra.

* Mintha ez a „Dun-” predesztinálná a kutatókat, hogy többszörös öszehasonlításokkal foglalkozzanak!

** Ha 95%-ig biztos, hogy nem egyformák, legfeljebb 5% az esélye annak, hogy mégis egyformák.

78

4.7.4.2 Lineáris kontrasztok

A lineáris kombináció fogalmával már találkoztunk akkor, amikor a lineáris függetlenséget beszél-

tük meg (4.2.3.1 pont). A lineáris kontraszt olyan lineáris kombináció, amelyben az együtthatók

összege nulla. Mivel nekünk csak a mintaátlagok kombinációira van szükségünk,* a képleteket is

csak erre vonatkozóan írjuk föl. Egy L lineáris kombináció

(4.75) jj xcL

akkor és csak akkor kontraszt, ha

(4.76) .0jc

A j index (és az összegezés) mindig 1-től h-ig megy.

A legegyszerűbb kontraszt a különbség: me xx (az e és m indexek az egyik és másik csoportra

utalnak). Ilyenkor kettő kivételével minden cj együttható nulla, a két megmaradó együttható pedig

1 és –1.

Egy másik, az előzőnél összetettebb kontraszt három kezelést együttesen hasonlít össze egy

negyedikkel, mondjuk a kontrollal. A kezelésekhez tartozó három csoport átlagai 21, xx és 3x , a

kontrollcsoporté kx . A megfelelő kontraszt:

kxxxxL 3321 .

A kontrollt háromszor kellett levonni, hogy az együtthatók összege 0 legyen. (A többi átlag, ha

van ilyen, nulla együtthatóval szerepel.)

Ha valamennyi átlag egyforma (márpedig ez a nullhipotézis), akkor ez az „azonos” tényező

kiemelhető a (4.75) kontrasztból, és a kifejezés (4.76) miatt nullával egyenlő. Mivel azonban az

egyenlőség csak a várható értékekre igaz, amiktől az átlagok – a véletlen törvényszerűségeknek

megfelelően – eltérnek, a kontraszt nem lesz nulla, csak lehetséges értékei közt szerepel a nulla.

A lehetséges értékeket – az általunk tetszőlegesen választott valószínűségi szinten – a megbízható-

sági intervallum tartalmazza; ezt az intervallumot konstruálta meg Scheffé.

4.7.4.3 Scheffé konfidenciaintervalluma valamennyi kontrasztra

Scheffé konfidenciaintervallumának sok előnye van. Az egyik az intervallum egyszerűsége. A

képlet ugyanaz, bármelyik kontrasztról van is szó, sőt a benne szereplő mennyiségek némelyike is

azonos valamennyi kontrasztra. Másik nagy előnye a varianciaanalízissel való közeli rokonsága.

Igaz ugyanis a következő állítás: ha az egyszempontos varianciaanalízis szignifikáns, biztosan van

olyan kontraszt, amelyiknek a megbízhatósági intervalluma nem tartalmazza a nullát, míg ha a

varianciaanalízis nem szignifikáns, akkor egyetlen ilyen kontraszt sincs.**

Mielőtt az eljárás hátrá-

nyairól szólnánk, írjuk föl a szükséges képleteket!

Egy (4.75) alatt megadott L lineáris kontraszt tetszőleges (1–p) valószínűségű megbízhatósági

intervalluma (p-t hagyományosan 0,05-nek szoktuk választani):

(4.77) LL KsLKsL ,

ahol a kontraszt „elméleti értékét”, vagyis – átlagok helyett – várható értékekkel felírt változatát

jelenti, Ls a kontraszt (magától értetődően kapható) szórását, K pedig a statisztikai eloszlást tartal-

* Főhatások vizsgálatakor oszlopátlagok, sorátlagok (és lapátlagok!) hasonló kombinációi szerepelnek.

** Ez tehát egyike azon híres „akkor és csak akkor” állításoknak, sok diák mumusának, amelyek két állítás egyenérté-

kűségét (ekvivalenciáját) fejezik ki. Szokás ezt úgy is megfogalmazni, hogy a két dolog kölcsönösen következik egy-

másból. A fentiek szerint tehát Scheffé kontrasztokra vonatkozó megbízhatósági intervallumai egyenértékűek az

egyszempontos varianciaanalízissel.

79

mazó együtthatót jelenti. (Ez utóbbi az egyetlen várható értékre vonatkozó intervallumban tp volt.)

Mindkettőt a négyzetével adjuk meg, hogy a hatalmas gyökjeleket elhagyhassuk:

(4.78) .)1(és 2

2

22

p

j

j

bL FhKn

css

A szereplő mennyiségek többsége szerepelt magában a varianciaanalízisben. Sőt az egyetlen

„újdonsággal”, Fp-vel is találkoztunk már: ehhez az F értékhez hasonlítottuk a varianciaanalízis

eredményét; ez tehát az F-táblázatból kiolvasott, a szignifikanciaszintnek (általában 5%-nak) meg-

felelő F küszöbszám. (Figyelemre méltó, hogy ez az F független a kontraszttól: két szabadságfoka

minden esetben ( h–1) és (N–h).)

Mielőtt számpéldákkal erősítenénk meg a „tanultakat”, alakítsuk át a képletet a leggyakrabban

szereplő kontraszt: két átlag különbsége esetére. A két átlag legyen, mint korábban, az „egyik” és a

„másik”. A levezetést a félénkebbek átugorhatják; velük csak a végképletnél találkozunk újra.

Írjuk be az )( me xx különbséget az intervallum (4.77) képletébe. (Egyelőre legyen ez a

különbség pozitív.) Azt keressük, hogy mikor szignifikáns egy különbség. Szignifikancia

esetén a kisebb érték (a bal oldal) sem lesz negatív:

Lpme

Lpme

sFhxx

sFhxx

)1(

0)1(

Amennyiben az átlagok különbsége negatív, akkor a jobb oldalon álló kifejezésnek is nega-

tívnak kell lennie. Átrendezve és –1-gyel szorozva ugyanezt kapjuk (csak a két átlag cserél

helyet). Ezt a lépést az olvasóra bízzuk.

Hogy ne kelljen szétválasztanunk az eseteket aszerint, hogy melyik átlag a nagyobb, emel-

jük négyzetre az utolsó formulát:

22 )1()( Lpme sFhxx .

Átrendezve kapjuk, hogy szignifikancia esetén (hiszen ebből indultunk ki!)

.)1(

)(2

2

p

L

me Fsh

xx

Ebben az egyszerű esetben a kontraszt varianciája is egyszerű: ).( 1122

me nnbL ss

Érdemes ezt is beírni a képletbe – de ez már „mindenkinek szól”:

(4.79) p

nnb

me Fsh

xx

me

112

2

)1(

)(

esetén a különbség szignifikáns a p (általában 5%-os) szinten. A formulában h a minták számát, 2bs a varianciaanalízis mintán belüli varianciáját jelenti, ne és nm pedig az összehasonlított két

minta elemszámát. (Az átlagokról már szóltunk.) Fp a varianciaanalízisben is felhasznált, táblá-

zatbeli F érték, (h–1) és (N–h) szabadságfokokkal.

Ha összesen két csoport van, (4.79) pontosan megegyezik a kétmintás t-próba képletének négy-

zetével. (Néhány jelölésbeli különbséget nem számítva ugyanezt találjuk (4.24)-ben a 27. lapon.)

Csak itt ahelyett, hogy t2 (azaz F) értékének kiszámítási módját adnánk meg, arra utalunk, hogy

mettől kezdve lesz ez az érték szignifikáns.

80

És most jöhet a példa! Vegyük elő újra a 2. fejezet példáját (4.2. táblázat), és hasonlítsuk össze

a most tanult módszerrel a harmadik és az utolsó átlagot. (Remélhetőleg senkit sem zavar, hogy

annak idején y-nal jelöltük az adatokat!) Az átlagok különbségének négyzete:

(47,65 – 25,62)2 = 485,3209.

Ne takarékoskodjunk a számjegyekkel, hogy el ne rontsuk a végső eredményt!

A belső variancia 134,56 volt. A többi – egyszerű egész szám – könnyen helyettesíthető. A

nevező végül is: 4×134,56×11/30 = 197,3547, és a hányados: 2,459. Az F-táblázatból látjuk, hogy

az 5%-hoz tartozó táblázati érték 2,80. (Szabadságfokok 4 és 24.) Ez a különbség tehát nem szig-

nifikáns.

Viszonylag könnyű ellenőrizni a többi minta-párt is. Mindössze két szignifikáns eltérést talá-

lunk: az első és az utolsó, illetve a második és az utolsó csoport között.

Ezeket az összehasonlításokat azonban csak az új módszer gyakorlása kedvéért végeztük el;

valójában fölöslegesek. A 4. fejezetben ugyanis megmutattuk, hogy az öt mintaátlag (közelítően)

egy egyenes, a regressziós egyenes mentén fekszik; ez sokkal többet mond az átlagok egymáshoz

való viszonyáról, mint az, hogy hánnyal „odébb” kell lépni, hogy a csoportok közt szignifikáns

különbséget találjunk.

Éppen mivel csupán gyakorlásról van szó, végezzünk el még egy „fölösleges” összehasonlítást,

hogy kicsit jobban megbarátkozzunk a kontrasztok fogalmával. (Magyarul talán szembeállításnak

lehetne őket hívni.)

Mint mondottuk, a negyedik csoport nem tér el szignifikánsan sem az elsőtől, sem a második-

tól. Vajon kettőjüktől együtt eltér-e? Vizsgáljuk a következő kontrasztot: .2 421 xxxL

Könnyen meggyőződhetünk, hogy valóban kontrasztról van szó. Az öt (!) együttható ebben az

esetben: 1, 1, 0, –2, 0; ezek összege pedig tényleg nulla. (Más kérdés, hogy szakmai szempontból

van-e értelme ennek a kombinációnak. Aligha. De mint mondottuk: most csak gyakorolunk.)

Számítsuk ki előbb a kontraszt, majd szórásának értékét. K értéke változatlan, akármelyik kont-

rasztról van szó: K2 = 4×2,80, így K = 3,34664. A kontraszt számolása egyszerű:

L = 57,95 + 50,62 – 2×36,15 = 36,27.

A kontraszt szórását a mintán belüli variancia és az 1/6 +1/5 + 4/6 törtek összegének szorzatá-

ból vont négyzetgyök adja. A végeredmény: 11,79175. Ennek szorzata K-val 39,46. (Most már

nyugodtan kerekíthetünk!)

Az intervallum ezek alapján:

36,27 – 39,46 < L < 36,27 + 39,46

– 3,19 < L < 75,73

Mivel az intervallum tartalmazza nullát, a kontraszt nem szignifikáns: a két első átlag együttesen

sem tér el a negyediktől.

Persze „súlyozhatjuk” is a csoportokat; ha például az elsőt kétszer vesszük, a negyedik három-

szorosát kell levonnunk. (Egyébként ez sem szignifikáns.) Az olvasó gyakorlásként különböző

kontrasztokat próbálhat ki, akár ehhez hasonlókat, akár olyanokat, amelyekben 4–5 átlag szerepel.

A példa célja nem a 2. fejezetbeli feladat elemzése, hanem a módszer illusztrálása volt. Talán sike-

rült megmutatni, hogy nem nehéz a Scheffé-módszer gyakorlati alkalmazása.

4.7.4.4 A módszer előnyei és hátrányai

Az előnyöket már láttuk. Nincs kötve egyenlő mintanagyságokhoz, nemcsak párok, hanem más

kombinációk vizsgálatát is lehetővé teszi – és a legfőbb előny: egyenértékű a varianciaanalízissel.

Ez utóbbi azt garantálja, hogy akárhány összehasonlítást végzünk is, a névleges első fajta hibát

nem lépjük túl.

Ezzel szemben nem lehet letagadni, hogy az eljárás második fajta hibája nagyobb, mint pl. a

kétmintás t-próbáké. A (4.79)-es képlet azt is megmutatja, mi növeli meg a hibát. Ez a formula

majdnem ugyanaz, mint a Fisher által javasolt t-próba (l. a 4.7.2 szakaszt) képletének négyzete,

81

csak a nevezőben áll még egy (h – 1)-es tényező. Ennek gyökével osztjuk t értékét, ezzel erősen

kisebbítve azt – amit csak kis mértékben ellensúlyoz az a körülmény, hogy a döntéshez használt F

számlálójának szabadságfoka nem 1, hanem (h – 1). (A III. táblázatból látjuk, hogy a számláló

szabadságfokának növekedésével F értéke csökken, tehát az érték „könnyebben” lesz szignifikáns,

mint amúgy lett volna.)

A második fajta hiba növekedésének elkerülésére, az eljárás erejének növelésére maga Scheffé

javasolja azt, hogy módszerét ne a szokásos 5, hanem inkább a 10%-os szinten használják. Ez lesz

az a „névleges szint”, ami alatt marad az első fajta hiba – de az igaz, hogy így kétszer akkora koc-

kázatot vállalunk, mint általában szokás. Az is elképzelhető, hogy egyes helyeken – például bizo-

nyos folyóiratok szerkesztőségében – nem fogadják el ezt az „enyhe” szintet. Annyira általánossá

vált az évek során az 5%, hogy szinte feledésbe merült: a szignifikanciaszint szabadon választható

meg. De ezzel sem lehet visszaélni! Pl. 80% választása esetén állításaink semmitmondók lesznek.