STATISTIKA UNIPA...

PENGANTAR PROBABILITASGANGGA ANURAGAGANGGA ANURAGA

STATISTIKA UNIPA SBY

POKOK BAHASAN

Konsep dasar probabilitas

• Teori himpunan

• Permutasi

• Kombinasi

• Koefisien binomial

• Koefisien multinomial

Probabilitas

• Aksioma probabilitas

• Probabilitas bersyarat

• Teorema bayes

• Kejadian-kejadian yang bebas

Variabel Random

• Variabel random diskrit dan fungsi distribusi variabel random diskrit

• Variabel random kontinu dan fungsi variabel random kontinu

Konsep dasar probabilitas

• Teori himpunan

• Permutasi

• Kombinasi

• Koefisien binomial

• Koefisien multinomial

Probabilitas

• Aksioma probabilitas

• Probabilitas bersyarat

• Teorema bayes

• Kejadian-kejadian yang bebas

Variabel Random

• Variabel random diskrit dan fungsi distribusi variabel random diskrit

• Variabel random kontinu dan fungsi variabel random kontinu

UTS


POKOK BAHASAN

Distribusi bersama / joint probability

• Distribusi bersama variabel random diskrit

• Distribusi bersama variabel random kontinu

Ekspektasi

• Ekspektasi variabel random

• Varians, kovarian, korelasi,

Fungsi pembangkit moment

UAS

Distribusi bersama / joint probability

• Distribusi bersama variabel random diskrit

• Distribusi bersama variabel random kontinu

Ekspektasi

• Ekspektasi variabel random

• Varians, kovarian, korelasi,

Fungsi pembangkit moment


REFERENSI

A First course in Probability: Sheldon Ross. 1997

Hogg, R.V. dan Craig, A.T. 1995. Introduction to MathematicalStatistics, 5th ed. Mac Millon. New York.

Rohatgi, W.K., 1976., An Introduction to Probability Theory andMathematical Statistics, John Wiley and Sons, New York.

Bartoszynski, R. and Bugaj, M.N.,, 1996, Probability and StatisticalInference, John Wiley & Sons, New York.

A First course in Probability: Sheldon Ross. 1997

Hogg, R.V. dan Craig, A.T. 1995. Introduction to MathematicalStatistics, 5th ed. Mac Millon. New York.

Rohatgi, W.K., 1976., An Introduction to Probability Theory andMathematical Statistics, John Wiley and Sons, New York.

Bartoszynski, R. and Bugaj, M.N.,, 1996, Probability and StatisticalInference, John Wiley & Sons, New York.


KONSEP DASAR PROBABILITAS

Teori Himpunan (SET THEORY)

: Kumpulan obyek-obyek yang keanggotaanya terdefinisikan secara jelas.

Definisi I :

Himpunan yang memuat semua elemen yang dibicarakan secara lenkap

disebut sebagai himpunan semesta (space), yang biasanya dinotasikan

dengan huruf besar seperti S.

Definisi II :

Jika S merupak

c

an himpunan semesta dan A adalah himpunan bagian dari S

maka komplemen A ditulis A adalah himpunan yang memuat anggota-anggota

dari S tetapi tidak termuat dalam A.

contoh :

S = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4 dan A c

= x ; x = 0, 1

maka komplemen A atau A = x ; x = 2, 3, 4

Definisi I :

Himpunan yang memuat semua elemen yang dibicarakan secara lenkap

disebut sebagai himpunan semesta (space), yang biasanya dinotasikan

dengan huruf besar seperti S.

Definisi II :

Jika S merupak

c

an himpunan semesta dan A adalah himpunan bagian dari S

maka komplemen A ditulis A adalah himpunan yang memuat anggota-anggota

dari S tetapi tidak termuat dalam A.

contoh :

S = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4 dan A c

= x ; x = 0, 1

maka komplemen A atau A = x ; x = 2, 3, 4


1 2 1 2

1

2 1 2 1 2

1

Definisi III :

A merupakan himpunan bagian dari A (ditulis A A ) jika

dan hanya jika untuk setiap x anggota A maka x juga merupakan anggota

dari A ditulis : A A x A x A

contoh :

A = x

2 1 2 ; 0 x 1 , A = x ; 0 x 2 , maka A A

Gambarkan diagram Venn-nya ?

Definisi IV :

Himpunan A tidak mempunyai anggota, disebut himpunan kosong

A =

contoh :

A = x ; 0 < x < 1 dan x bilangan bulat ,

maka A =

1 2 1 2

1

2 1 2 1 2

1

Definisi III :

A merupakan himpunan bagian dari A (ditulis A A ) jika

dan hanya jika untuk setiap x anggota A maka x juga merupakan anggota

dari A ditulis : A A x A x A

contoh :

A = x

2 1 2 ; 0 x 1 , A = x ; 0 x 2 , maka A A

Gambarkan diagram Venn-nya ?

Definisi IV :

Himpunan A tidak mempunyai anggota, disebut himpunan kosong

A =

contoh :

A = x ; 0 < x < 1 dan x bilangan bulat ,

maka A =


1 2 1 2

1 2

1 2 1 2

Definisi V :

Gabungan dua himpunan A dan A ditulis A A yaitu

suatu himpunan yang anggotanya adalah semua anggota A dan A ,

ditulis A A = x | x A atau x A .

Gabungan dari himpunan-himpunan

1 2 3

1 2 3

1

2

1 2

A , A , A ,.....adalah

A A A ......

contoh :

A = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4, 5

A = x ; x = 2, 3, 4, 5 atau 5 < x 10

Maka A A = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 atau 5 < x 10

1 2 1 2

1 2

1 2 1 2

Definisi V :

Gabungan dua himpunan A dan A ditulis A A yaitu

suatu himpunan yang anggotanya adalah semua anggota A dan A ,

ditulis A A = x | x A atau x A .

Gabungan dari himpunan-himpunan

1 2 3

1 2 3

1

2

1 2

A , A , A ,.....adalah

A A A ......

contoh :

A = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4, 5

A = x ; x = 2, 3, 4, 5 atau 5 < x 10

Maka A A = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 atau 5 < x 10


1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

Definisi VI :

Irisan dari dua himpunan A dan A ditulis A A adalah

suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari

A dan juga dari A ditulis : A A = x | x A dan x A

Irisan dar

1 2 3

1 2 3

1

2

1 2

1 2

i beberapa himpunan A , A , A ......adalah

A A A .....

Contoh :

A = x, y ; x, y = 0,0 , 0,1 , 1,1

A = x, y ; x, y = 1,1 , 1,2 , 2,1

maka A A x, y ; x, y = 1,1

Contoh :

A = x,y ; 0 x+y 1 , A = x,y ; 1

1 2

x+y

maka A A ....

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

Definisi VI :

Irisan dari dua himpunan A dan A ditulis A A adalah

suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari

A dan juga dari A ditulis : A A = x | x A dan x A

Irisan dar

1 2 3

1 2 3

1

2

1 2

1 2

i beberapa himpunan A , A , A ......adalah

A A A .....

Contoh :

A = x, y ; x, y = 0,0 , 0,1 , 1,1

A = x, y ; x, y = 1,1 , 1,2 , 2,1

maka A A x, y ; x, y = 1,1

Contoh :

A = x,y ; 0 x+y 1 , A = x,y ; 1

1 2

x+y

maka A A ....


1 2 1 2

1

2 1 2 1 2

1

Definisi VII :

Selisih dua himpunan A dan A ditulis A -A adalah

suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari A

tetapi bukan anggota dari A A -A = x | x A dan x A

Contoh :

A = x

2

1 2

2 1

| x bilangan asli

A = x | x bilangan bulat

A -A =

A -A = x | x bilangan bulat tidak positif

1 2 1 2

1

2 1 2 1 2

1

Definisi VII :

Selisih dua himpunan A dan A ditulis A -A adalah

suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari A

tetapi bukan anggota dari A A -A = x | x A dan x A

Contoh :

A = x

2

1 2

2 1

| x bilangan asli

A = x | x bilangan bulat

A -A =

A -A = x | x bilangan bulat tidak positif


1 2 1 2

1

2 1 2

1 2 1

Definisi VIII :

Jumlah dari dua himpunan A dan A ditulis A A adalah

suatu himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota A atau

anggota A tetapi tidak termuat dalam A A .

A + A = x | x A

2 1 2

1 2 1 2 1 2

1

2

1 2

atau x A dan x A A .

Khusus untuk A dan A yang saling lepas, maka A A = A A .

Contoh :

A = x | x bilangan cacah

A = x | x bilangan bulat negatif

maka A + A = x | x bilangan bulat

1 2 1 2

1

2 1 2

1 2 1

Definisi VIII :

Jumlah dari dua himpunan A dan A ditulis A A adalah

suatu himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota A atau

anggota A tetapi tidak termuat dalam A A .

A + A = x | x A

2 1 2

1 2 1 2 1 2

1

2

1 2

atau x A dan x A A .

Khusus untuk A dan A yang saling lepas, maka A A = A A .

Contoh :

A = x | x bilangan cacah

A = x | x bilangan bulat negatif

maka A + A = x | x bilangan bulat


SOAL LATIHAN :

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 1 1 2 3

2 2 3 4 5 3 3 4 5 8

c c c1 2 3 1 2 1 3 2 3

Suatu ruang sampel S = s ,s ,s ,s ,s ,s ,s ,s dan himpunan

A , A , dan A adalah sebagai berikut : A s ,s ,s ,

A s ,s ,s ,s ,A s ,s ,s ,s .

Tentukan A , A , A , A A ,A A , A A ,

1 2 3 1 2 1 3 1 2 3

c1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 1

c c1 2 1 2

c c1 2 1 2

A A A , A A ,A A , A A A ,

A - A , A - A , A - A ,A - A ,A - A , A .

Berikan bukti bahwa : A A A A ,

A A A A ,

c

c

c

c c c1 2 3 1 2 3 A A A A A A

c

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 1 1 2 3

2 2 3 4 5 3 3 4 5 8

c c c1 2 3 1 2 1 3 2 3

Suatu ruang sampel S = s ,s ,s ,s ,s ,s ,s ,s dan himpunan

A , A , dan A adalah sebagai berikut : A s ,s ,s ,

A s ,s ,s ,s ,A s ,s ,s ,s .

Tentukan A , A , A , A A ,A A , A A ,

1 2 3 1 2 1 3 1 2 3

c1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 1

c c1 2 1 2

c c1 2 1 2

A A A , A A ,A A , A A A ,

A - A , A - A , A - A ,A - A ,A - A , A .

Berikan bukti bahwa : A A A A ,

A A A A ,

c

c

c

c c c1 2 3 1 2 3 A A A A A A

c


Aplikasi hukum De Morgan’s

1 2 6 7 8 1 2 6 7 8

1 2 3 6 7 1 2 3 6 7

1 2 1 4 5 6 7 8 1 2 1 4 5 6 7 8

1 2 3 1 2 4 5 6 7 8

1 2 3 1 2 4 5 6 7 8

1 2 1 2 1

, , , , ,

, , ,

, , , , , , , , , ,

, , , , , , ,

, , , , , ,

maka :

,

c c c

c c c c

c c c

c

c c c

c c c

A A s s s A A s s s

A A A s s A A A s s

A A s s s s s s A A s s s s s s

A A A s s s s s s s

A A A s s s s s s s

A A A A A

2 3 1 2 3

1 2 1 2 1 2 3 1 2 3,

c c c c

c cc c c c c

A A A A A

A A A A A A A A A A

1 2 6 7 8 1 2 6 7 8

1 2 3 6 7 1 2 3 6 7

1 2 1 4 5 6 7 8 1 2 1 4 5 6 7 8

1 2 3 1 2 4 5 6 7 8

1 2 3 1 2 4 5 6 7 8

1 2 1 2 1

, , , , ,

, , ,

, , , , , , , , , ,

, , , , , , ,

, , , , , ,

maka :

,

c c c

c c c c

c c c

c

c c c

c c c

A A s s s A A s s s

A A A s s A A A s s

A A s s s s s s A A s s s s s s

A A A s s s s s s s

A A A s s s s s s s

A A A A A

2 3 1 2 3

1 2 1 2 1 2 3 1 2 3,

c c c c

c cc c c c c

A A A A A

A A A A A A A A A A

Hukum DeMorgan’s


SOAL LATIHAN

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

c

Carilah himpunan gabungan dari A A dan interseksi A A

dimana A dan A adalah :

a A ; 0,1,2 , A ; 2,3,4

b A ;0 2 , A ;1 3

Carilah A dari himpunan A dengan ruang sampel S

x x x x

x x x x

sebagai berikut :

5 a S ;0 1 ,A = ; 1

8x x x x

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

c

Carilah himpunan gabungan dari A A dan interseksi A A

dimana A dan A adalah :

a A ; 0,1,2 , A ; 2,3,4

b A ;0 2 , A ;1 3

Carilah A dari himpunan A dengan ruang sampel S

x x x x

x x x x

sebagai berikut :

5 a S ;0 1 ,A = ; 1

8x x x x


Barisan himpunan monoton :

n n

i i+1

n

i n n in

i=1 i=1

n n

i i+1

Barisan himpunan A disebut himpunan monoton naik A

jika A A , i = 1,2,3,...

A A berarti limit A A = A

Barisan himpunan A disebut himpunan monoton turun A

jika A A ,

n

i n n in

i=1 i=1

i = 1,2,3,...


n n

i i+1

n

i n n in

i=1 i=1

n n

i i+1

Barisan himpunan A disebut himpunan monoton naik A

jika A A , i = 1,2,3,...


Barisan himpunan A disebut himpunan monoton turun A

jika A A ,

n

i n n in

i=1 i=1

i = 1,2,3,...



SOAL LATIHAN1 2 3 k k+1

kk

1 2 3

kk

k

Jika A , A , A ,...adalah himpunan yang terdefinisikan bahwa A A ,

k = 1, 2, 3,..., dan lim A didefinisikan sebagai himpunan gabungan

A A A ....

Carilah lim A jika :

a) A

2 2

k

1 2 3 k k+1

kk

;1/ 3 1/ , 1,2,3...;

b) A , ;1/ 4 1/ , 1,2,3...;


k = 1, 2, 3,..., dan lim A didefinisikan sebagai himpun

x k x k k

x y k x y k k

1 2 3

kk

k

2 2k

an interseksi

A A A .....


a) A ;2 1/ 2 , 1,2,3...;

b) A , ;0 1/ , 1,2,3...;

x k x k

x y x y k k

1 2 3 k k+1

kk

1 2 3

kk

k


k = 1, 2, 3,..., dan lim A didefinisikan sebagai himpunan gabungan

A A A ....


a) A

2 2

k

1 2 3 k k+1

kk

;1/ 3 1/ , 1,2,3...;

b) A , ;1/ 4 1/ , 1,2,3...;


k = 1, 2, 3,..., dan lim A didefinisikan sebagai himpun

x k x k k

x y k x y k k

1 2 3

kk

k

2 2k

an interseksi

A A A .....


a) A ;2 1/ 2 , 1,2,3...;

b) A , ;0 1/ , 1,2,3...;

x k x k

x y x y k k


Permutasi dan Kombinasi

Permutasi pengaturan elemen-elemen dari sebuah himpunan dimana urutan darielemen elemen tersebut diperhatikan.

Contoh : dari himpunan huruf-huruf {a,b,c}, permutasi-permutasi dengan ukuran2 (ambil 2 elemen dari himpunan tersebut) adalah {a,b}, {b,a}, {a,c}, {c,a},{b,c}, dan {c,b}. Perhatikan bahwa urutan dari elemen-elemen itu adalahpenting, dengan kata lain {a,b} adalah berbeda dengan {b,a}.Banyaknya permutasi adalah 6.

Contoh: Ada sebuah kotak berisi 3 bola masing-masing berwarna merah, hijaudan biru. Jika seorang anak ditugaskan untuk mengambil 2 bola secara acak danurutan pengambilan diperhatikan, ada berapa permutasi yang terjadi?

Banyaknya permutasi adalah 6 yaitu; M-H, M-B, H-M, H-B, B-M, B-H.

!

!

0! 1

! 1 2 1

3! 3 2! 3 2 1 6

kn

nP

n k

k k x k x k x x

x x x

Permutasi dan Kombinasi

Permutasi pengaturan elemen-elemen dari sebuah himpunan dimana urutan darielemen elemen tersebut diperhatikan.

Contoh : dari himpunan huruf-huruf {a,b,c}, permutasi-permutasi dengan ukuran2 (ambil 2 elemen dari himpunan tersebut) adalah {a,b}, {b,a}, {a,c}, {c,a},{b,c}, dan {c,b}. Perhatikan bahwa urutan dari elemen-elemen itu adalahpenting, dengan kata lain {a,b} adalah berbeda dengan {b,a}.Banyaknya permutasi adalah 6.

Contoh: Ada sebuah kotak berisi 3 bola masing-masing berwarna merah, hijaudan biru. Jika seorang anak ditugaskan untuk mengambil 2 bola secara acak danurutan pengambilan diperhatikan, ada berapa permutasi yang terjadi?

Banyaknya permutasi adalah 6 yaitu; M-H, M-B, H-M, H-B, B-M, B-H.

!

!

0! 1

! 1 2 1

3! 3 2! 3 2 1 6

kn

nP

n k

k k x k x k x x

x x x


Kombinasi adalah pengaturan elemen-elemen dari sebuah himpunan dimanaurutan dari elemen elemen tersebut tidak diperhatikan.

Contoh, dari himpunan huruf-huruf {a,b,c} kombinasi-kombinasi yangberukuran 2 (ambil 2 elemen dari himpunan tersebut) adalah {a,b}, {a,c}, and{b,c}. Perhatikan bahwa urutan dari elemen-elemen itu tidak penting,dengan kata lain {b,a} adalah dianggap sama dengan {a,b}.Banyaknya kombinasi adalah 3.

Contoh: Seorang anak hanya diperbolehkan mengambil dua buah amplop daritiga buah amplop yang disediakan yaitu amplop A, amplop B dan amplop C.Tentukan ada berapa banyak kombinasi untuk mengambil dua buah amplop daritiga buah amplop yang disediakan? Banyaknya kombinasi adalah 3

!

! !n n kk k k

nC P P

k n k

Kombinasi adalah pengaturan elemen-elemen dari sebuah himpunan dimanaurutan dari elemen elemen tersebut tidak diperhatikan.

Contoh, dari himpunan huruf-huruf {a,b,c} kombinasi-kombinasi yangberukuran 2 (ambil 2 elemen dari himpunan tersebut) adalah {a,b}, {a,c}, and{b,c}. Perhatikan bahwa urutan dari elemen-elemen itu tidak penting,dengan kata lain {b,a} adalah dianggap sama dengan {a,b}.Banyaknya kombinasi adalah 3.

Contoh: Seorang anak hanya diperbolehkan mengambil dua buah amplop daritiga buah amplop yang disediakan yaitu amplop A, amplop B dan amplop C.Tentukan ada berapa banyak kombinasi untuk mengambil dua buah amplop daritiga buah amplop yang disediakan? Banyaknya kombinasi adalah 3

!

! !n n kk k k

nC P P

k n k


SOAL LATIHAN

Tiga orang siswa bernama A, B, dan C hendak membentukkelompok belajar dan dua orang dipilih sebagai ketua dan bendahara.Maka susunan ketua dan bendahara yang bisa terjadi adalah

Tiga orang bernama A, B, dan C berjabat tangan. Berapakemungkinan jabat tangan yang mungkin terjadi?

Tiga orang siswa bernama A, B, dan C hendak membentukkelompok belajar dan dua orang dipilih sebagai ketua dan bendahara.Maka susunan ketua dan bendahara yang bisa terjadi adalah

Tiga orang bernama A, B, dan C berjabat tangan. Berapakemungkinan jabat tangan yang mungkin terjadi?


TERIMA KASIHTERIMA KASIH


EKSPEKTASI MATEMATIKGANGGA ANURAGA


Definisi :

Variabel random X dengan f.d.p f x dan u x adalah

suatu fungsi dari variabel random X, sedemikian hingga :

untuk variabel random kontinuE u

untuk variabel random diskritx

u x f x dxx

u x f x

Jika integral atau deret tersebut konvergen mutlak maka E u

disebut ekspektasi dari u x .

x

Definisi :

Variabel random X dengan f.d.p f x dan u x adalah

suatu fungsi dari variabel random X, sedemikian hingga :

untuk variabel random kontinuE u

untuk variabel random diskritx

u x f x dxx

u x f x

Jika integral atau deret tersebut konvergen mutlak maka E u

disebut ekspektasi dari u x .

x


n

i i i ii=1 1

Sifat - sifat dari ekspektasi matematik :

1. E (k) = k, k = konstanta

2. E [k u(x)] = k E[u(x)]

3. E k u (x) k E[u (x)] , n hingga ekspektasi bersifat liniern

i

n

i i i ii=1 1

Sifat - sifat dari ekspektasi matematik :

1. E (k) = k, k = konstanta

2. E [k u(x)] = k E[u(x)]

3. E k u (x) k E[u (x)] , n hingga ekspektasi bersifat liniern

i


2

Ekspektasi Fungsi U(x)

1. U(x) = X, maka mean dari variabel random X :

untuk variabel random kontinu E u

untuk variabel random diskrit

2. Var u Var(x) = E(x - E(x))

x

x f x dxx

x f x

x

2

2

2

(x - E(x)) untuk variabel random kontinu=

(x - E(x)) untuk variabel random diskritx

f x dx

f x

2

Ekspektasi Fungsi U(x)

1. U(x) = X, maka mean dari variabel random X :

untuk variabel random kontinu E u

untuk variabel random diskrit

2. Var u Var(x) = E(x - E(x))

x

x f x dxx

x f x

x

2

2

2

(x - E(x)) untuk variabel random kontinu=

(x - E(x)) untuk variabel random diskritx

f x dx

f x


2

3

Misal X dengan f.d.p

2 1 , 0 1

0 , untuk x yang lainnya

maka E 6x + 3x ....?

Contoh 2.


/ 6 , 1,2,3


maka E (x ) ...?

x xf x

x xf x

2

3


2 1 , 0 1


maka E 6x + 3x ....?

Contoh 2.


/ 6 , 1,2,3


maka E (x ) ...?

x xf x

x xf x


2

2

Misalkan X merupakan variabel random dengan f.d.p

f(x) = 3x , 0 < x < 1

maka :

1. E (x), E(x ), dan Var (x)...?

2. Jika variabel random y dengan y = 3x - 2

tentukan E (y) dan Var (y) ?

2

2


f(x) = 3x , 0 < x < 1

maka :

1. E (x), E(x ), dan Var (x)...?

2. Jika variabel random y dengan y = 3x - 2

tentukan E (y) dan Var (y) ?


Fungsi Pembangkit Momen(Moment Generating Function)

Gangga Anuraga

Fungsi Pembangkit Momen(Moment Generating Function)

Gangga Anuraga


Fungsi pembangkit momen secara lengkap menentukan

distribusi sampling dari suatu variabel random.

Karakteristik Fungsi Pembangkit Momen

tx

tx

tx

tx

x

cx x cx

M t E e

e f xM t E e

e f x

M t M ct M

.

t cx ct xx

t cx d ct xdt dt dtcx d x cx d x

t E e E e M ct

M t e M ct M t E e E e e e M ct

Fungsi pembangkit momen secara lengkap menentukan

distribusi sampling dari suatu variabel random.

Karakteristik Fungsi Pembangkit Momen

tx

tx

tx

tx

x

cx x cx

M t E e

e f xM t E e

e f x

M t M ct M

.

t cx ct xx

t cx d ct xdt dt dtcx d x cx d x

t E e E e M ct

M t e M ct M t E e E e e e M ct

0 0

dan , 2,3,n

x xnt t

d dE x M t M t n

dt dt


1

1 2 n

1

1 2

a. jika a R maka

b. jika variabel random X ,X ,...,X saling independen

maka,

c. jika a, b R maka :

d. jika variabel random X ,X ,..

ni

ii

x x

n

xiX

tbax b x

M t M at

M t M t

M t e M at

Sifat sifat MGF

1

n.,X independen identik maka :

ni

ii

n

xX

M t M t

1

1 2 n

1

1 2

a. jika a R maka

b. jika variabel random X ,X ,...,X saling independen

maka,

c. jika a, b R maka :

d. jika variabel random X ,X ,..

ni

ii

x x

n

xiX

tbax b x

M t M at

M t M t

M t e M at

Sifat sifat MGF

1

n.,X independen identik maka :

ni

ii

n

xX

M t M t


2


, 0.

a) Tentukan Fungsi Pembangkit Momen

b) Tentukan E(x), E(x ) dan

c) jika variabel random y didefinisikan y = 2-3x,

?

x

x

y

f x e x

M t

Var x

M t

2


, 0.

a) Tentukan Fungsi Pembangkit Momen

b) Tentukan E(x), E(x ) dan

c) jika variabel random y didefinisikan y = 2-3x,

?

x

x

y

f x e x

M t

Var x

M t


2 21

2 2

contoh :

Jika X variabel random berdistribusi normal dengan mean

dan varians , maka MGF dari X addalah .

Tentukan :

a. MGF variabel random Y = X - .

Xb. MGF variabel random W =

c. MGF varia

t t

xM t e

X -bel random Z =

2 21

2 2

contoh :

Jika X variabel random berdistribusi normal dengan mean

dan varians , maka MGF dari X addalah .

Tentukan :

a. MGF variabel random Y = X - .

Xb. MGF variabel random W =

c. MGF varia

t t

xM t e

X -bel random Z =

ST

ATISTIKA UNIPA SBY

Moment Generating Function

GANGGA ANURAGASTATISTIKA UNIPA SBY

1

n 2

2

22

Moment :

)

disebut sebagai moment ke n

maka jika n = 1 didapatkan

)

jika n = 2 maka

n

nn

n

n

a U x x

m E x

m E x

b U x x

m E x m E x

m

1

n 2

2

22

Moment :

)

disebut sebagai moment ke n

maka jika n = 1 didapatkan

)

jika n = 2 maka

n

nn

n

n

a U x x

m E x

m E x

b U x x

m E x m E x

m


' '1

" 2 " 22

Pandang variabel random x dengan f.p.m M t :

M t ,

t = 0

tx

tx

tx

e f x dx h t h

M t x e f x dx M t x f x dx


k k tx k kkM t x e f x dx M t x f x dx

' '1

" 2 " 22

Pandang variabel random x dengan f.p.m M t :

M t ,

t = 0

tx

tx

tx

e f x dx h t h



k k tx k kkM t x e f x dx M t x f x dx


2 ' ''

3 4' ''

'

2 '' 2

2 2 2

Contoh :

Jika 1 , 1 maka dan

adalah...

2 1 dan 6 1

= 0 2

0 6 4 2

dan

M t t t M t M t

M t t M t t

M

M

x f x dx x f x dx

2 ' ''

3 4' ''

'

2 '' 2

2 2 2

Contoh :

Jika 1 , 1 maka dan

adalah...

2 1 dan 6 1

= 0 2

0 6 4 2

dan

M t t t M t M t

M t t M t t

M

M

x f x dx x f x dx


Variabel random x merupakan variabel random diskrit

dengan fungsi probabilitas

1, 1

32

, 23

Tentukan MGF dari variabel random x ?

xf x

x

Variabel random x merupakan variabel random diskrit


1, 1

32

, 23

Tentukan MGF dari variabel random x ?

xf x

x


2 2

i i

i

1 2 n2

i i1 ntμ + σ t2

i X ii= 1

Misalkan X, X ,..., X variabel random in dependenmasing -masing berdistribusiN ( μ, σ )

MGF dari X adalah M t = e dan Y = X .

TentukanMGF dari Y ?

Variabel random x~bin m,p dan y~bin n,p , dan z=x+y

Tentukan MGF dari z ?

2 2

i i

i

1 2 n2

i i1 ntμ + σ t2

i X ii= 1

Misalkan X, X ,..., X variabel random in dependenmasing -masing berdistribusiN ( μ, σ )

MGF dari X adalah M t = e dan Y = X .

TentukanMGF dari Y ?

/ 2

x

1 2

Sebuah variabel random x dengan MGF, M 1 2 .

, tentukan MGF dari y ?

nt t

y x x


RUANG SAMPEL (SAMPLE SPACE)DAN KEJADIAN (EVENT)


EVENT DAN PROBABILITAS PERCOBAAN RANDOM

Setiap percobaan selalu diakhiri dengan sebuah Hasil yang

biasanya tidak dapat diramalkan sebelumnya.

Percobaan adalah suatu percoban yang hasilnya tidak dapat

diramalkan dengan pasti dan dapat diulang dibawah kondisi yang

sama dan hasil yang mungkin dapat diketahui dari percobaan

tersebut.

PERCOBAAN RANDOM

Setiap percobaan selalu diakhiri dengan sebuah Hasil yang

biasanya tidak dapat diramalkan sebelumnya.

Percobaan adalah suatu percoban yang hasilnya tidak dapat

diramalkan dengan pasti dan dapat diulang dibawah kondisi yang

sama dan hasil yang mungkin dapat diketahui dari percobaan

tersebut.


Ruang Sampel

Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin darisuatu percobaan random. Ruang sampel biasa dinotasikan denganhuruf S.

Contoh :

Jika sebuah dadu dilempar satu kali, maka semua kemungkinan yangakan terjadi adalah tampak di atas mata 1, mata 2, mata 3, mata 4,mata 5 atau mata 6. Bila dituliskan dalam bentuk himpunan, ruangsampel dari percobaan ini adalah : S = {1,2,3,4,5,6}

Sebuah mata uang dilemparkan satu kali, maka kemungkinan akantampak di atas adalah gambar (G) atau angka (A), Ruang sampeldapat ditulis menjadi : S = {G,A}

Ruang Sampel

Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin darisuatu percobaan random. Ruang sampel biasa dinotasikan denganhuruf S.

Contoh :

Jika sebuah dadu dilempar satu kali, maka semua kemungkinan yangakan terjadi adalah tampak di atas mata 1, mata 2, mata 3, mata 4,mata 5 atau mata 6. Bila dituliskan dalam bentuk himpunan, ruangsampel dari percobaan ini adalah : S = {1,2,3,4,5,6}

Sebuah mata uang dilemparkan satu kali, maka kemungkinan akantampak di atas adalah gambar (G) atau angka (A), Ruang sampeldapat ditulis menjadi : S = {G,A}


Kejadian (event)

Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel

Contoh :

Ada 4 orang mahasiswa yang diambil secara random dari jurusan

Teknologi Pembelajaran, kemudian ditanyakan kepada mereka

apakah suka mendapat kuliah Statistika. Jika mereka suka diberi

simbol Y dan jika tidak diberi simbol T, maka ruang sampelnya

adalah :

Kejadian (event)

Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel

Contoh :

Ada 4 orang mahasiswa yang diambil secara random dari jurusan

Teknologi Pembelajaran, kemudian ditanyakan kepada mereka

apakah suka mendapat kuliah Statistika. Jika mereka suka diberi

simbol Y dan jika tidak diberi simbol T, maka ruang sampelnya

adalah :STATISTIKA UNIPA SBY

Anggota kejadian A dimana A menyatakan sekurang-kurangnya 3

orang suka diadakannya kuliah statistik adalah :

Ukuran Probabilitas adalah suatu bilangan atau fungsi yang

memetakan dari events pada sample space ke bilangan real antara

0 dan 1

Anggota kejadian A dimana A menyatakan sekurang-kurangnya 3

orang suka diadakannya kuliah statistik adalah :

Ukuran Probabilitas adalah suatu bilangan atau fungsi yang

memetakan dari events pada sample space ke bilangan real antara

0 dan 1


MODEL PROBABILITAS Sample Space: S ={1,2,3,4,5,6}

Event: A = {muncul angka genap},B = {muncul angka ganjil},D= {muncul angka 2}

Ukuran Probabilitas:P(A) = 0,5; P(B) = 0,5; P(D) = 1/6

Sample Space: S ={1,2,3,4,5,6}

Event: A = {muncul angka genap},B = {muncul angka ganjil},D= {muncul angka 2}

Ukuran Probabilitas:P(A) = 0,5; P(B) = 0,5; P(D) = 1/6


Aturan-Aturan Probabilitas Probabilitas dari sembarang event P(A) harus memenuhi

0 < P(A) < 1

Complement Rule = complement dari sembarang event A adalahevent A tidak terjadi

P(Ac) = 1 - P(A)

Contoh: Lempar suatu dadu: S = {1,2,3,4,5,6};mis A = {2,4}, Ac = {1,3,5,6}; P(A) = 1/3; P(Ac) = 1-1/3 = 2/3

Addition Rule = untuk dua events A dan B yang terpisah/disjoint (nocommon outcomes)

P (A or B) = P(A) + P (B)

Contoh: Lempar suatu dadu: S = {1,2,3,4,5,6};mis A = {2}, B = {1,3,5}; P(A or B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/2 = 2/3

Probabilitas dari sembarang event P(A) harus memenuhi0 < P(A) < 1

Complement Rule = complement dari sembarang event A adalahevent A tidak terjadi

P(Ac) = 1 - P(A)

Contoh: Lempar suatu dadu: S = {1,2,3,4,5,6};mis A = {2,4}, Ac = {1,3,5,6}; P(A) = 1/3; P(Ac) = 1-1/3 = 2/3

Addition Rule = untuk dua events A dan B yang terpisah/disjoint (nocommon outcomes)

P (A or B) = P(A) + P (B)

Contoh: Lempar suatu dadu: S = {1,2,3,4,5,6};mis A = {2}, B = {1,3,5}; P(A or B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/2 = 2/3


Multiplication Rule = dua events A dan B adalah independent, jika diketahuibahwa salah satu terjadi/muncul tidak mengubah probabilitas yang lain muncul

P (A and B) = P(A)*P(B)

Contoh: Lempar sepasang dadu

S = {(1,1),(1,2),….(6,6)} 36 kemungkinan outcomes

mis A ={dadu pertama 6} = {(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

mis B = {dadu kedua 1} = {(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)}

Maka P(A) = 6/36 = 1/6;

P(B) = 6/36 = 1/6 dan

P(dadu pertama 6, dadu kedua 1) = P(A and B)

= 1/36 = P(A) P(B)

menunjukan independence

Multiplication Rule = dua events A dan B adalah independent, jika diketahuibahwa salah satu terjadi/muncul tidak mengubah probabilitas yang lain muncul

P (A and B) = P(A)*P(B)

Contoh: Lempar sepasang dadu

S = {(1,1),(1,2),….(6,6)} 36 kemungkinan outcomes

mis A ={dadu pertama 6} = {(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

mis B = {dadu kedua 1} = {(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)}

Maka P(A) = 6/36 = 1/6;

P(B) = 6/36 = 1/6 dan

P(dadu pertama 6, dadu kedua 1) = P(A and B)

= 1/36 = P(A) P(B)

menunjukan independence


Contoh: suatu web site mempenyai tiga server A, B, dan C, yang dipilihsecara independent dengan probabilitas:

P(A) = ¼, P(B) = ½, P(C)= ¼.

(a) Cari probabilitas A atau B dipilih

P(A or B) = ¼ + ½ = 3/4

(b) Cari probabilitas A tidak dipilih

P(Ac) = 1 – P(A) = ¾

(c) Cari probabilitas server A dipilih dua kali

P(AA) = P(A)P(A) = 1/16

(d) Cari probabilitas urutan seleksi server ABCA

P(ABCA) = P(A)P(B)P(C)P(A) = (1/4)(1/2)(1/4)(1/4) = 1/128

Contoh: suatu web site mempenyai tiga server A, B, dan C, yang dipilihsecara independent dengan probabilitas:

P(A) = ¼, P(B) = ½, P(C)= ¼.

(a) Cari probabilitas A atau B dipilih

P(A or B) = ¼ + ½ = 3/4

(b) Cari probabilitas A tidak dipilih

P(Ac) = 1 – P(A) = ¾

(c) Cari probabilitas server A dipilih dua kali

P(AA) = P(A)P(A) = 1/16

(d) Cari probabilitas urutan seleksi server ABCA

P(ABCA) = P(A)P(B)P(C)P(A) = (1/4)(1/2)(1/4)(1/4) = 1/128


KOEFISIEN BINOMIAL DANMULTINOMIAL


KOEFISIEN BINOMIAL Koefisien binomial merupakan bilangan-bilangan yang muncul dari

hasil penjabaran penjumlahan dua peubah yang dipangkatkan (a+b)n

Terlihat bahwa ekspresi (a+b)n tidak ada hubungannya dengan kombinasi,

tetapi kenyataannya (a+b)n dapat dicari dengan menggunakan rumus

kombinasi-r dari n unsur

Koefisien binomial merupakan bilangan-bilangan yang muncul dari

hasil penjabaran penjumlahan dua peubah yang dipangkatkan (a+b)n

Terlihat bahwa ekspresi (a+b)n tidak ada hubungannya dengan kombinasi,

tetapi kenyataannya (a+b)n dapat dicari dengan menggunakan rumus

kombinasi-r dari n unsur

3 3 2 2 3

0

Dalam aljabar diketahui bahwa :

a+b a + 3a b + 3ab + b

Teorema Binomial :

a+b ,n

n n k k

k

C n k a b


Persoalan diatas dapat juga diselsaikan dengan aturan segitigapascal

4 4 0 0 4 4 4

4 3 2 2 3 4

115 6

5

Contoh :

Sederhanakan a+b 4,0 4,4

= 4 6 4

Tentukan koefisien dari dalam a+b

11! 11,6

5!6!

Sederhanakan 2x-3y

Te

C a b C a b

a a b a b ab b

a b

C

102 3 5ntukan koefisien dari dalam x + y + z =x y z

Persoalan diatas dapat juga diselsaikan dengan aturan segitigapascal

4 4 0 0 4 4 4

4 3 2 2 3 4

115 6

5

Contoh :

Sederhanakan a+b 4,0 4,4

= 4 6 4

Tentukan koefisien dari dalam a+b

11! 11,6

5!6!

Sederhanakan 2x-3y

Te

C a b C a b

a a b a b ab b

a b

C

102 3 5ntukan koefisien dari dalam x + y + z =x y z STATISTIKA UNIPA SBY

Aturan segitiga pascal


KOEFISIEN MULTINOMIAL Multinomial merupakan perluasan dari binomial

1 2

1 2

1 2

1 21 2

1 2 1 2

, , ,

!dengan =

, , , ! ! !

k

n n n nkk k

n n n n k

k k

nx x x x x x

n n n

n n

n n n n n n

1 2

1 2

1 2

1 21 2

1 2 1 2

, , ,

!dengan =

, , , ! ! !

k

n n n nkk k

n n n n k

k k

nx x x x x x

n n n

n n

n n n n n n


Contoh :


Contoh :

102 3 41 3 4 5 1 2 3 4 5

83 3 2

Tentukan Koefisien dari :

dalam

10!

2!0!1!3!4!Tentukan Koefisien dari :

dalam 2 3 5

x x x x x x x x x

x y z x y z

102 3 41 3 4 5 1 2 3 4 5

83 3 2

Tentukan Koefisien dari :

dalam

10!

2!0!1!3!4!Tentukan Koefisien dari :

dalam 2 3 5

x x x x x x x x x

x y z x y z


AKSIOMA PROBABILITASGANGGA ANURAGA


Notasi :

: ruang sampel

: kejadian/event dalam ruang sampel

: probablitas event

Aksioma 1

0

Aksioma 2

1

Aksioma 3

mutually exclusive : dua kejadian yang saling tidak

berhubungan dan tidak

S

A S

P A A

P A

P S

11

mungkin terjadi secara bersamaanN N

n nnn

P A P A

AKSIOMA

PROBABILITAS

Notasi :

: ruang sampel

: kejadian/event dalam ruang sampel

: probablitas event

Aksioma 1

0

Aksioma 2

1

Aksioma 3

mutually exclusive : dua kejadian yang saling tidak

berhubungan dan tidak

S

A S

P A A

P A

P S

11

mungkin terjadi secara bersamaanN N

n nnn

P A P A

AKSIOMA

PROBABILITAS


• Definisikan ruang sampel dari diagram venn diatas ?• Definisikan kejadian/event dari A ?• Definisikan kejadian/event dari B ?• Definisikan joint kejadian A dan B ?• Definisikan union kejadian A dan B ?

probabilitas joint A dan B

probabilitas union A dan B

P A B P A P B P A B

P A B P A P B P A B

• Definisikan ruang sampel dari diagram venn diatas ?• Definisikan kejadian/event dari A ?• Definisikan kejadian/event dari B ?• Definisikan joint kejadian A dan B ?• Definisikan union kejadian A dan B ?

probabilitas joint A dan B

probabilitas union A dan B

P A B P A P B P A B

P A B P A P B P A B


• Berapa probabilitas mobil perlu perbaikan pada 90 hari pertamapemakaian ?

• Berapa probabilitas mobil yang diproduksi di USA perlu perbaikanpada 90 hari pertama pemakaian ?

• Berapa probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan yang tidakmemerlukan perbaikan?

• Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan mobil yang diproduksidi USA

Lokasiproduksi mobil

Perlu perbaikan dalam 90 haripertama pemakaian

Jumlah

Ya Tidak

US 7 293 300

Non US 13 187 20020 480 500

• Berapa probabilitas mobil perlu perbaikan pada 90 hari pertamapemakaian ?

• Berapa probabilitas mobil yang diproduksi di USA perlu perbaikanpada 90 hari pertama pemakaian ?

• Berapa probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan yang tidakmemerlukan perbaikan?

• Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan mobil yang diproduksidi USA


PROBABILITAS BERSYARAT

Probabilitas Bersyarat P A|B , menyatakan probabilitas A

bila diketahui B, A dan B adalah kejadian acak.

|

Probabilitas Bersyarat P B|A , menyatakan probabilitas B

bila diketahui A, A dan B adal

P A BP A B

P B

ah kejadian acak.

|P B A

P B AP A

Probabilitas Bersyarat P A|B , menyatakan probabilitas A

bila diketahui B, A dan B adalah kejadian acak.

|

Probabilitas Bersyarat P B|A , menyatakan probabilitas B

bila diketahui A, A dan B adal

P A BP A B

P B

ah kejadian acak.

|P B A

P B AP A


Contoh :

Ruang sampel 1, 2, 3, 4, 5, 6

1, 2, 3, 4, 5

2, 4, 6

maka |

1, 2, 3, 4

maka |

2, 3, 4

maka |

S

A P A

B P B

P A B

P A B

C P C

P C B

P C B

D P D

P D B

P D B

Contoh :

Ruang sampel 1, 2, 3, 4, 5, 6

1, 2, 3, 4, 5

2, 4, 6

maka |

1, 2, 3, 4

maka |

2, 3, 4

maka |

S

A P A

B P B

P A B

P A B

C P C

P C B

P C B

D P D

P D B

P D B


P(A) = probabilitas menderita penyakit paru-paru

P(B) = probabilitas seseorang merokok

P(A = ya |B = ya) = 0,3/0,4 = 0,75

P(B = ya|A= ya) = 0,3/0,55 = 0,55

Paru-ParuMerokok

P(B)ya tidak

ya 0,3 0,1 0,4tidak 0,25 0,35 0,6p(A) 0,55 0,45 1

P(A) = probabilitas menderita penyakit paru-paru

P(B) = probabilitas seseorang merokok

P(A = ya |B = ya) = 0,3/0,4 = 0,75

P(B = ya|A= ya) = 0,3/0,55 = 0,55


VARIABEL RANDOMGANGGA ANURAGA


VARIABEL RANDOM- variabel random : fungsi yang memetakan setiap anggota ruang

sampel ke bilangan real.* variabel random diskrit : variabel random yang menjalani bilangan

bulat* variabel random kontinu : variabel random yang menjalani

bilangan real

Variabel Random Diskrit

0

1

( )x A

x A

f x

f x

P x A f x

DISTRIBUSI PELUANG DARI VARIABEL RANDOM


0

1

( )x A

x A

f x

f x

P x A f x



4


X adalah variabel random yang bertipe diskrit dengan ruang sampel

S = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4 . ( ) dimana

4! 1 ( ) , S

!(4 )! 2

A

P A f x

f x xx x


.

Jika A = x ; x = 0,1 maka P(x A) ?

4


X adalah variabel random yang bertipe diskrit dengan ruang sampel

S = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4 . ( ) dimana

4! 1 ( ) , S

!(4 )! 2

A

P A f x

f x xx x


.

Jika A = x ; x = 0,1 maka P(x A) ?STATISTIKA UNIPA SBY

A

Variabel random kontinu

Jika S adalah ruang sampel dari variabel random X

dan fungsi himpunan peluang P(A) didefinisikan

sebagai :

P(A) = P(X A) =

Contoh 1:

X adalah variabel random dengan fungsi h

f x

2

A

1

2

impunan

3peluang P(A), P(A) = dimana .

8

1;0 2 .Tentukan peluang A ;0

2

dan A ;1 2 yang merupakan himpunan bagian dari A.

xf x dx f x dx

x A x x x x

x x

A

Variabel random kontinu

Jika S adalah ruang sampel dari variabel random X

dan fungsi himpunan peluang P(A) didefinisikan

sebagai :

P(A) = P(X A) =

Contoh 1:

X adalah variabel random dengan fungsi h

f x

2

A

1

2

impunan

3peluang P(A), P(A) = dimana .

8

1;0 2 .Tentukan peluang A ;0

2

dan A ;1 2 yang merupakan himpunan bagian dari A.

xf x dx f x dx

x A x x x x

x x


Latihan Soal

1. Fungsi himpunan dari dua variabel random X dan Y

1 , dimana ( , ) ,

52

, , ; , 0,1 , 0,2 ,..., 0,13 , 1,1 ,..., 1,13 ,..., 3,13

Hitunglah ,

a). A = x,y ; , 0, 4 , 1,3 , 2,2

AP A f x y f x y

x y S x y x y

P A P X Y A

x y

1 2 1 2

2 1

b). A = x,y ; 4, x,y

2. X adalah variabel random dengan ruang sampel S = ;0 1

1 1 jika A ;0 dan A ; 1 , A dan A himpunan

2 2

1 bagian dari S. Hitunglah P(A ) jika P(A )

x y S

x x

x x x x

.4

1. Fungsi himpunan dari dua variabel random X dan Y

1 , dimana ( , ) ,

52

, , ; , 0,1 , 0,2 ,..., 0,13 , 1,1 ,..., 1,13 ,..., 3,13

Hitunglah ,

a). A = x,y ; , 0, 4 , 1,3 , 2,2

AP A f x y f x y

x y S x y x y

P A P X Y A

x y

1 2 1 2

2 1

b). A = x,y ; 4, x,y

2. X adalah variabel random dengan ruang sampel S = ;0 1

1 1 jika A ;0 dan A ; 1 , A dan A himpunan

2 2

1 bagian dari S. Hitunglah P(A ) jika P(A )

x y S

x x

x x x x

.4


VARIABEL RANDOM DISKRITGANGGA ANURAGAGANGGA ANURAGA


• Variabel random diskrit variabel random yang dapat

memiliki nilai bilangan bulat.

• Distribusi probabilitas variabel random diskrit adalah suatu

variabel random yang mencantumkan semua kemungkinan

nilai dari variabel random diskrit tersebut dan berpasangan

dengan nilai probabilitasnya.

• Variabel random diskrit variabel random yang dapat

memiliki nilai bilangan bulat.

• Distribusi probabilitas variabel random diskrit adalah suatu

variabel random yang mencantumkan semua kemungkinan

nilai dari variabel random diskrit tersebut dan berpasangan

dengan nilai probabilitasnya.


Contoh :

Dari 10 orang mahasiswa diketahui ada 4 yang suka matakuliah

strategi kognitif. Seorang dosen akan menguji 3 orang mahasiswa

yang dipilih secara random. Tentukan distribusi probabilitas dari

X, dimana X adalah banyak mahasiswa yang suka matakuliah

strategi kognitif. Carilah distribusi probabilitas dari mahasiswa

yang suka matakuliah strategi kognitif.

Contoh :

Dari 10 orang mahasiswa diketahui ada 4 yang suka matakuliah

strategi kognitif. Seorang dosen akan menguji 3 orang mahasiswa

yang dipilih secara random. Tentukan distribusi probabilitas dari

X, dimana X adalah banyak mahasiswa yang suka matakuliah

strategi kognitif. Carilah distribusi probabilitas dari mahasiswa

yang suka matakuliah strategi kognitif.


• Penyelesaian :

120

20

)1234567)(123(

12345678910)123)(123(

123456

)1234(1

1234

!7!3

!10!3!3

!6

!4!0

!4

)(103

63

40

1

xxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxx

xxxxx

xxx

xxx

C

CCxf

103

60

43

4)(C

CCxf

4 6 4 6

1 2 2 12 310 10

3 3

;C C C C

f x f xC C

120

20

)1234567)(123(

12345678910)123)(123(

123456

)1234(1

1234

!7!3

!10!3!3

!6

!4!0

!4

)(103

63

40

1

xxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxx

xxxxx

xxx

xxx

C

CCxf


Distribusi Probabilitas Mahasiswa

Distribusi Probabilitas khusus diskrit antara lain :– Distribusi Bernoulli– Distribusi Binomial– Distribusi Poisson

Distribusi Probabilitas Mahasiswa

Distribusi Probabilitas khusus diskrit antara lain :– Distribusi Bernoulli– Distribusi Binomial– Distribusi Poisson


Distribusi Bernoulli• Variabel random X berdistribusi Bernoulli dengan parameter

θ, berikut fungsi probabilitas bernoulli :

dimanax : variabel random memperoleh suksesθ : probabilitas suksesDistribusi Bernoulli mempunyai mean dan varians

1,0;10;)1();( 1 xxf xx

• Variabel random X berdistribusi Bernoulli dengan parameterθ, berikut fungsi probabilitas bernoulli :

dimanax : variabel random memperoleh suksesθ : probabilitas suksesDistribusi Bernoulli mempunyai mean dan varians

)1(2 STATISTIKA UNIPA SBY

• Suatu soal ujian pilihan ganda yang terdiri dari 10 soal dan

tiap soal mempunyai pilihan jawaban 4. Dari setiap item soal

ada satu pilihan jawaban yang benar. Jika setiap jawaban

yang benar tadi diberi nilai 1, maka berapakah probabilitasnya

seorang siswa akan mendapatkan nilai 5 atau lebih, jika siswa

tersebut tidak belajar (menjawab dengan coba-coba).

• Suatu soal ujian pilihan ganda yang terdiri dari 10 soal dan

tiap soal mempunyai pilihan jawaban 4. Dari setiap item soal

ada satu pilihan jawaban yang benar. Jika setiap jawaban

yang benar tadi diberi nilai 1, maka berapakah probabilitasnya

seorang siswa akan mendapatkan nilai 5 atau lebih, jika siswa

tersebut tidak belajar (menjawab dengan coba-coba).

10

5

1010 )25,01()25,0()5(i

xxxCxP


Distribusi Binomial• Variabel random X berdistribusi Binomial dengan parameter n

dan p, ditulisjika X mempunyai fungsi distribusi probabilitas :

Distribusi binomial mempunyai mean dan varians

dimana :x : variabel random yang menyatakan banyaknya suksesp : probabilitas suksesn : banyak percobaan

),(~ pnBX

nxpppx

npnxf xnx ,...,2,1,0;10;)1(),;(

• Variabel random X berdistribusi Binomial dengan parameter ndan p, ditulisjika X mempunyai fungsi distribusi probabilitas :

Distribusi binomial mempunyai mean dan varians

dimana :x : variabel random yang menyatakan banyaknya suksesp : probabilitas suksesn : banyak percobaan

nxpppx

npnxf xnx ,...,2,1,0;10;)1(),;(

np)1(2 pnp


• Contoh :

Suatu pemilihan umum / pemilu yang diikuti oleh partai

demokrat dan golkar, yang mana dilaksanakan dalam 3

putaran. Misalkan peluang partai demokrat memenangkan

pemilu adalah 0,5. Berapa probabilitas partai demokrat

memenangkan pemilu sebanyak 3 kali.

• Contoh :

Suatu pemilihan umum / pemilu yang diikuti oleh partai

demokrat dan golkar, yang mana dilaksanakan dalam 3

putaran. Misalkan peluang partai demokrat memenangkan

pemilu adalah 0,5. Berapa probabilitas partai demokrat

memenangkan pemilu sebanyak 3 kali.


Probabilitas kiriman paket dari suatu biro perjalanan akan

sampai tepat waktu adalah 0,8. jika kita mengirim lewat biro

tersebut 10 kali,

• Berapa probabilitas bahwa 6 diantaranya akan sampai tepat

waktu ?

• Berapa rata-rata dan varians bahwa 6 diantaranya akan

sampai tepat waktu ?

Probabilitas kiriman paket dari suatu biro perjalanan akan

sampai tepat waktu adalah 0,8. jika kita mengirim lewat biro

tersebut 10 kali,

• Berapa probabilitas bahwa 6 diantaranya akan sampai tepat

waktu ?

• Berapa rata-rata dan varians bahwa 6 diantaranya akan

sampai tepat waktu ?


Misalkan diketahui bahwa pengobatan baru berhasil dalam

menyembuhkan otot nyeri pada 50% kasus. Jika diuji coba pada

15 pasien, Tentukan probabilitas bahwa:

• Paling banyak 6 pasien akan sembuh. 0,304

• Jumlah sembuh akan ada lebih dari 6 dan tidak lebih

dari 10. 0,79

Misalkan diketahui bahwa pengobatan baru berhasil dalam

menyembuhkan otot nyeri pada 50% kasus. Jika diuji coba pada

15 pasien, Tentukan probabilitas bahwa:

• Paling banyak 6 pasien akan sembuh. 0,304

• Jumlah sembuh akan ada lebih dari 6 dan tidak lebih

dari 10. 0,79


Distribusi Poisson• Percobaan yang menghasilkan variabel random X yang bernilai

numerik, yaitu banyaknya sukses waktu terentu atau dalamdaerah tertentu.

• Variabel random X berdistribusi Poisson dengan parameter λ

jika X mempunyai fungsi distribusi probabilitas :

Distribusi poisson mempunyai mean dan varians

)(~ PX

• Percobaan yang menghasilkan variabel random X yang bernilainumerik, yaitu banyaknya sukses waktu terentu atau dalamdaerah tertentu.

• Variabel random X berdistribusi Poisson dengan parameter λ

jika X mempunyai fungsi distribusi probabilitas :

Distribusi poisson mempunyai mean dan varians

0;!

);(

x

xexf

x

2STATISTIKA UNIPA SBY

• Perusahaan telepon memberikan 1000 pilihan pesawat

telepon (sebagai kombinasi warna, type, fungsi, dll). Sebuah

perusahaan membuka cabang baru dan tersedia 200

sambungan telpon dimana setiap karyawan boleh memilih

pesawat telepon sesuka hatinya. Asumsikan bahwa ke-1000

pilihan tersebut adalah equally likely. Berapa probabilitas

bahwa sebuah pilihan tidak dipilih, dipilih oleh seorang, dua

orang atau tiga orang karyawan?

• Perusahaan telepon memberikan 1000 pilihan pesawat

telepon (sebagai kombinasi warna, type, fungsi, dll). Sebuah

perusahaan membuka cabang baru dan tersedia 200

sambungan telpon dimana setiap karyawan boleh memilih

pesawat telepon sesuka hatinya. Asumsikan bahwa ke-1000

pilihan tersebut adalah equally likely. Berapa probabilitas

bahwa sebuah pilihan tidak dipilih, dipilih oleh seorang, dua

orang atau tiga orang karyawan?STATISTIKA UNIPA SBY

VARIABEL RANDOM KONTINUGANGGA ANURAGA


• Variabel random kontinu : variabel random yang menjalani bilangan

real.

• Distribusi probabilitas variabel random kontinu : berupa sembarang

nilai pada suatu interval yang diamati.

• Distribusi probabilitas f(x) atau P(a x b) adalah sama dengan luas

di bawah kurva antara a dan b.

• Distribusi Probabilitas khusus kontinyu antara lain :

– Distribusi Uniform

– Distribusi Normal

– Distribusi Eksponensial

– Distribusi Chi-Square

– Distribusi Gamma

• Variabel random kontinu : variabel random yang menjalani bilangan

real.

• Distribusi probabilitas variabel random kontinu : berupa sembarang

nilai pada suatu interval yang diamati.

• Distribusi probabilitas f(x) atau P(a x b) adalah sama dengan luas

di bawah kurva antara a dan b.

• Distribusi Probabilitas khusus kontinyu antara lain :

– Distribusi Uniform

– Distribusi Normal

– Distribusi Eksponensial

– Distribusi Chi-Square

– Distribusi Gamma


DISTRIBUSI UNIFORM

22

Fungsi Probabilitas :

1;

0 ;

Mean dari distribusi uniform adalah2

dan varians12

a x bf x b a

x yang lain

a b

b a

22

Fungsi Probabilitas :

1;

0 ;

Mean dari distribusi uniform adalah2

dan varians12

a x bf x b a

x yang lain

a b

b a


• Contoh :

Jika diketahui x variabel random dengan distribusi uniform (1,6), maka

p(2< x < 4) = ….

• Contoh :

Jika diketahui x variabel random dengan distribusi uniform (1,6), maka

p(2< x < 4) = ….STATISTIKA UNIPA SBY

• Jika x variabel random dengan distribusi uniform (0,10). Tentukan

nilai

– P(x < 3) = …

– P(x > 6) = …

– P( 3 < x < 8) = …


DISTRIBUSI NORMAL• Variabel random X berdistribusi normal dengan mean dan varians ,

jika X mempunyai fungsi probabilitas :

• Merupakan salah satu distribusi probabilitas variabel random

kontinu yang terpenting dalam statistika adalah distribusi normal

(Gauss), yaitu variabel random yang berasal dari proses random

dengan satu titik pemusatan dan menyebar disekitar titik

pemusatan tersebut secara simetris.

0;;2

1),;(

2

2

1

2

x

exf

• Variabel random X berdistribusi normal dengan mean dan varians ,

jika X mempunyai fungsi probabilitas :

• Merupakan salah satu distribusi probabilitas variabel random

kontinu yang terpenting dalam statistika adalah distribusi normal

(Gauss), yaitu variabel random yang berasal dari proses random

dengan satu titik pemusatan dan menyebar disekitar titik

pemusatan tersebut secara simetris.


• Distribusi normal dengan rata-rata (μ)=0 dan standart deviasi

(σ)=1.

• Nilai Z adalah angka yang penyimpangan suatu nilai variabel

x dari rata-rata (μ) yang dihitung dalam satuan σ.

xZ

• Distribusi normal dengan rata-rata (μ)=0 dan standart deviasi

(σ)=1.

• Nilai Z adalah angka yang penyimpangan suatu nilai variabel

x dari rata-rata (μ) yang dihitung dalam satuan σ.


KURVA DISTRIBUSI NORMAL

3 2 1 1 2 3


KURVA NORMAL STANDAR

321123


Jika diketahui sekumpulan data nilai mata kuliah “Pengantar Probabilitas”

berdistribusi normal dan rata-rata nilai 56 dan simpangan baku 6, maka

carilah :

a. Probabilitasnya mahasiswa akan mendapatkan nilai kurang dari 60.

b. Probabilitasnya mahasiswa akan mendapatkan nilai lebih dari 60.

c. Probabilitasnya mahasiswa akan mendapatkan nilai antara 65 sampai

dengan 76.

Jika diketahui sekumpulan data nilai mata kuliah “Pengantar Probabilitas”

berdistribusi normal dan rata-rata nilai 56 dan simpangan baku 6, maka

carilah :

a. Probabilitasnya mahasiswa akan mendapatkan nilai kurang dari 60.

b. Probabilitasnya mahasiswa akan mendapatkan nilai lebih dari 60.

c. Probabilitasnya mahasiswa akan mendapatkan nilai antara 65 sampai

dengan 76.


DISTRIBUSI EKSPONENSIAL

• Digunakan untuk melakukan perkiraan atau prediksi dengan hanya

membutuhkan perkiraan rata-rata populasi

0

0

Distribusi ekponensial dengan parameter ,


jika 0

0 jika 0

1 0

x

ax

ax

a

e xf x

x

P x a e dx

e

e a

0

0

Distribusi ekponensial dengan parameter ,


jika 0

0 jika 0

1 0

x

ax

ax

a

e xf x

x

P x a e dx

e

e a


• Jika x suatu variabel random berdistribusi ekponensial dengan

parameter λ = 1/10. Tentukan

– P(x > 10) = …

– P( 10 < x < 20) = …

• Diketahui kedatangan pengunjung di minimarket “A” berdistribusi

eksponensial dengan rata-rata meningkat dari biasanya menjadi 8,4

menit dalam 35 menit. Berapa probabilitas kedatangan pengunjung

dalam selang waktu 8 menit atau lebih?




dalam selang waktu 15 menit atau kurang?

• Jika x suatu variabel random berdistribusi ekponensial dengan

parameter λ = 1/10. Tentukan

– P(x > 10) = …

– P( 10 < x < 20) = …




dalam selang waktu 8 menit atau lebih?




dalam selang waktu 15 menit atau kurang?


Distribusi Bersama / Joint Probability danDistribusi Marginal Variabel Random Diskrit

Gangga AnuragaSTATISTIKA UNIPA SBY

DEFINISI Jika terdapat dua variabel random X dan Y, maka distribusi peluang

terjadinya X dan Y secara serentak dinyatakan dengan fungsi (X, Y).

Fungsi (X, Y) disebut dengan Distribusi Bersama / Distribusi

Peluang Gabungan / Joint Distribution Function X dan Y.


DISTRIBUSI GABUNGAN VARIABELRANDOM DISKRIT

Variabel random X dan Y dikatakan variabel random diskrit

berdimensi dua jika nilai-nilai dari X dan Y merupakan nilai-nilai yang

berhingga.


Contoh :

Jika 3 bola akan dipilih secara acak dari 3 bola bewarna merah, 4

bewarna putih, 5 bewarna biru. Dan diketahui X adalah jumlah bola

merah yang terpilih, Y jumlah bola putih yang terpililh. Fungsi

peluang gabungan dari X dan Y, didefinisikan sebagai berikut p(i,j) =

P(X=I, Y=j). Hitung nilai peluang, P(X=I, Y=j) ?

Contoh :

Jika 3 bola akan dipilih secara acak dari 3 bola bewarna merah, 4

bewarna putih, 5 bewarna biru. Dan diketahui X adalah jumlah bola

merah yang terpilih, Y jumlah bola putih yang terpililh. Fungsi

peluang gabungan dari X dan Y, didefinisikan sebagai berikut p(i,j) =

P(X=I, Y=j). Hitung nilai peluang, P(X=I, Y=j) ?


Contoh 1


Distribusi Marginal Variabel Random Diskrit Bila distribusi peluang f(X, Y) dari variabel random diskrit maka

distribusi peluang marginal X adalah g (X) dan Y adalah h (Y).


Berdasarkan contoh 1


DISTRIBUSI GABUNGAN VARIABEL RANDOMKONTINYU BERDIMENSI DUA

Variabel random X dan Y dikatakan variabel random kontinyu


berupa interval.

Variabel random X dan Y dikatakan variabel random kontinyu


berupa interval.


Sifat - sifat Fungsi Peluang Gabungan Variabel Random Kontinnu :

1. , 0, untuk semua x, y

2. , 1

3. , ,

untuk setiap daerah A di bidang xy. A merupakan

himpunan bagi

A

f x y

f x y dx dy

P x y A f x y dx dy

an dari daerah asal X dan Y.

Contoh 5.2 :

Jika diketahui fungsi padat gabungan / fungsi densitas gabungan

variabel random X dan Y adalah :

1,

8Hitunglah peluang P 0 x 1,1 y 2 ?

f x y x y

Sifat - sifat Fungsi Peluang Gabungan Variabel Random Kontinnu :

1. , 0, untuk semua x, y

2. , 1

3. , ,

untuk setiap daerah A di bidang xy. A merupakan

himpunan bagi

A

f x y

f x y dx dy

P x y A f x y dx dy

an dari daerah asal X dan Y.

Contoh 5.2 :

Jika diketahui fungsi padat gabungan / fungsi densitas gabungan

variabel random X dan Y adalah :

1,

8Hitunglah peluang P 0 x 1,1 y 2 ?

f x y x y


DISTRIBUSI MARGINAL VARIABEL RANDOM KONTINU

Bila distribusi peluang f x, y dari variabel random kontinu X dan Y,

maka distribusi marginal X adalah g x dan Y adalah h y .

,

,

Berdasarkan contoh 5.2, tentukan distribusi peluang margina

y

x

g x f x y dy

h y f x y dx

l X

dan distribusi peluang marginal Y?

Bila distribusi peluang f x, y dari variabel random kontinu X dan Y,

maka distribusi marginal X adalah g x dan Y adalah h y .

,

,

Berdasarkan contoh 5.2, tentukan distribusi peluang margina

y

x

g x f x y dy

h y f x y dx

l X

dan distribusi peluang marginal Y?


DISTRIBUSI BERSYARATGANGGA ANURAGA


DISTRIBUSI PELUANG BERSYARAT

1 22 1 1 1

1 1

1 22 1 1 1 2 2 2

2 2

1 2 2

DEFINISI :

,| , 0 disebut f.d.p bersyarat

,dari x bila diketahui X , sejalan | , 0

disebut f.d.p bersyarat dari x bila diketahui X .

f x xf x x f x

f x

f x xx f x x f x

f x

x

1 22 1 1 1

1 1

1 22 1 1 1 2 2 2

2 2

1 2 2

DEFINISI :

,| , 0 disebut f.d.p bersyarat

,dari x bila diketahui X , sejalan | , 0

disebut f.d.p bersyarat dari x bila diketahui X .

f x xf x x f x

f x

f x xx f x x f x

f x

x


1 2

1 21 2 1 2

1 2

Contoh :

Jika diketahui fungsi peluang gabungan

dari variabel random x dan x dengan f.d.p

sebagai berikut :

, , 1, 2,3 ; 1,221

0 , untuk , yang lain

cari terlebih dahulu f.d.p margin

x xf x x x x

x x

1 2

1 2 2 1

al untuk dan

kemudian tentukan | dan |

x x

f x x f x x

1 2

1 21 2 1 2

1 2

Contoh :

Jika diketahui fungsi peluang gabungan

dari variabel random x dan x dengan f.d.p

sebagai berikut :

, , 1, 2,3 ; 1,221

0 , untuk , yang lain

cari terlebih dahulu f.d.p margin

x xf x x x x

x x

1 2

1 2 2 1

al untuk dan

kemudian tentukan | dan |

x x

f x x f x x


DISTRIBUSI PELUANG BERSYARAT UNTUKVARIABEL RANDOM KONTINU

1 2

1 2 1 2

1 2 2 1

Contoh :

Misalkan x dan x mempunyai f.d.p :

f x , x 2 ,0 x x 1

0 , untuk yang lain

cari terlebih dahulu f.d.p marginalnya

kemudian tentukan | dan |f x x f x x

1 2

1 2 1 2

1 2 2 1

Contoh :

Misalkan x dan x mempunyai f.d.p :

f x , x 2 ,0 x x 1

0 , untuk yang lain

cari terlebih dahulu f.d.p marginalnya

kemudian tentukan | dan |f x x f x x


STATISTIKA UNIPA...

Documents

Transcript of STATISTIKA UNIPA...