Statistika (KMI/PSTAT) - Cvicení esté aneb Podmínená...

Statistika (KMI/PSTAT)Cvicenı seste

anebPodmınena pravdepodobnost

Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 13

Pravdepodobnost nahodnych jevu

Po dnesnı hodine byste meli byt schopni:

rozumet pojmu podmınena pravdepodobnost a umet jej vysvetlit nakonketnıch prıkladech,

rozumet pojmu rozklad prostoru elementarnıch jevu a umet jejvysvetlit na konketnıch prıkladech,

rozumet pojmu uplna soustava nahodnych jevu a umet jej vysvetlit nakonketnıch prıkladech,

rozumet vzorci pro vypocet pruniku pravdepodobnosti v obecnemprıpade (tj. zalozenem na podmınene pravdepodobnosti) a umet jejpouzıt v odpovıdajıcıch situacıch,

rozumet vzorci pro uplnou pravdepodobnost nahodneho jevu a umetjej pouzıt v odpovıdajıcıch situacıch,

rozumet tzv. Bayesove vzorci a umet jej pouzıt v odpovıdajıcıchsituacıch.

Podmınena pravdepodobnost

Nahodny pokus, ktery sledujeme, muze byt dodatecne omezen nejakou podmınkou, resp. muzese stat, ze v prubehu realizace nahodneho pokusu zıskame nejake informace, ktere ovlivnujıpovedomı o vysledcıch nahodneho pokusu. Pro popis takove situace je vhodny pojem podmınenepravdepodobnosti.

Nejcasteji lze uchopit pojem podmınene pravdepodobnosti tak, ze pri nahodnem pokusuuvazujeme dva jevy - A a B - a zjist’ujeme, jaka je pravdepodobnost jevu A, jeslize vıme, zenastal jev B a naopak. Mluvıme pak o podmınene pravdepodobnosti jevu A za podmınky, zenastal jev B. Tuto situaci znacıme symbolem P (A|B).

Ilustracnı prıklad INahodny pokus spocıva v hodu kostkou. Jev A nastane tehdy, padne-li cıslo vetsı nez 3. Jev Bnastane tehdy, padne-li sude cıslo. Jaka je pravdepodobnost jevu A, vıme-li, ze nastal jev B,tedy vıme-li, ze padlo sude cıslo?

Ilustracnı prıklad IINahodny pokus spocıva konanı konskeho dostihu. Jev A nastane tehdy, zvıtezı-li kun sestartovnım cıslem 1. Jev B nastane tehdy, zvıtezı-li kun se startovnım cıslem 2.Pravdepodobnosti jsou P (A) = 0.2, P (B) = 0.1. Behem zavodu kun s cıslem 1 klopytnul naprekazce a ze zavodu odstoupil. Jaka je nynı pravdepodobnost jevu B?

Pocıtame-li”nepodmınenou“ pravdepodobnost jevu A, potom se jedna o relativnı velikost jevu

A vuci celemu Ω. V prıpade P (A|B) zjist’ujeme relativnı velikost jevu A ∩B vuci jevu B.

Podmınena pravdepodobnost jevu A za podmınky BPravdepodobnostı nahodneho jevu A za podmınky, ze nastal jev B (pro nejz platı P (B) 6= 0),budeme nazyvat cıslo

P (A|B) =P (A ∩B)

P (B).

Ilustracnı prıklad IIINahodny pokus spocıva v nahodnem vyberu jedne osoby. Jev A nastane tehdy, je-li toutoosobou muz, je P (A) = 0, 5. Jev B nastane tehdy, ma-li vybrana osoba ridicske opravnenı, jeP (B) = 0, 75. Predpokladejme, ze mezi muzi i zenami je stejne procento osob s ridicskymopravnenım (tj. predpokladame nezavislost drzenı ridicskeho opravnenı na pohlavı).

Je tedy:

A . . . vyber muze,

A . . . vyber zeny,

B . . . vyber osoby s ridicskym opravnenım,

B . . . vyber osoby bez ridicskeho opravnenı.

Vypocıtejte a interpretujte hodnoty

P (A ∩B),

P (A|B).

Ilustracnı prıklad IVNahodny pokus spocıva v nahodnem vyberu jedne osoby. Jev A opet nastane tehdy, je-li toutoosobou muz. Jev B opet nastane tehdy, ma-li vybrana osoba ridicske opravnenı.

Navıc nynı platı:

P (A) = 0.60,

P (B|A) = 0.80,

P (B|A) = 0.65.

Interpretujte hodnoty P (B|A) a P (B|A) a vypocıtejte a interpretujte hodnoty:

P (A ∩B),

P (B).

Vzorec pro uplnou pravdepodobnost I

Mejme jev A a jev k nemu opacny A. Pak pro libovolny nahodny jev B platı

P (B) = P (A) · P (B|A) + P (A) · P (B|A).

Ilustracnı prıklad IVNahodny pokus spocıva v nahodnem vyberu jedne osoby. Jev A opet nastane tehdy, je-li toutoosobou muz. Jev B opet nastane tehdy, ma-li vybrana osoba ridicske opravnenı.

Navıc nynı platı:

P (A) = 0.60,

P (B|A) = 0.80,

P (B|A) = 0.65.

Interpretujte hodnoty P (B|A) a P (B|A) a vypocıtejte a interpretujte hodnoty:

P (A ∩B),

P (B).

Vzorec pro uplnou pravdepodobnost I

Mejme jev A a jev k nemu opacny A. Pak pro libovolny nahodny jev B platı

P (B) = P (A) · P (B|A) + P (A) · P (B|A).

Vzorec pro uplnou pravdepodobnost

Uplna soustava nahodnych jevu - prıklad V

Uvazujme populaci v CR. Tuto populaci muzeme rozdelit dle nejvyssıho dosazeneho vzdelanı doctyr skupin:

jev A1 - vyber osoby s nejvyse ZS

jev A2 - vyber osoby s SS bez maturity

jev A3 - vyber osoby s SS s maturitou

jev A4 - vyber osoby s VS

Vsimnete si, ze kazdy obcan patrı prave do jedne skupiny (nemuze se najednou nachazet vedvou skupinach) - kazde dva ruzne jevy jsou navzajem neslucitelne. Sloucenı vsech skupin davadohromady celou populaci CR - sjednocenı jevu dava Ω.

Uplna soustava nahodnych jevuNahodne jevy A1, A2, A3, . . . ,An budeme nazyvat uplnou soustavou nahodnych jevu pravetehdy, tvorı-li rozklad prostoru elementarnıch jevu, tj. pro vsechna i 6= j platı Ai ∩Aj = ∅ asoucasne je A1 ∪A2 ∪ . . . ∪An = Ω.

Uplna soustava nahodnych jevu - prıklad V

Uvazujme populaci v CR. Tuto populaci muzeme rozdelit dle nejvyssıho dosazeneho vzdelanı doctyr skupin:

jev A1 - vyber osoby s nejvyse ZS

jev A2 - vyber osoby s SS bez maturity

jev A3 - vyber osoby s SS s maturitou

jev A4 - vyber osoby s VS

Vsimnete si, ze kazdy obcan patrı prave do jedne skupiny (nemuze se najednou nachazet vedvou skupinach) - kazde dva ruzne jevy jsou navzajem neslucitelne. Sloucenı vsech skupin davadohromady celou populaci CR - sjednocenı jevu dava Ω.

Uplna soustava nahodnych jevuNahodne jevy A1, A2, A3, . . . ,An budeme nazyvat uplnou soustavou nahodnych jevu pravetehdy, tvorı-li rozklad prostoru elementarnıch jevu, tj. pro vsechna i 6= j platı Ai ∩Aj = ∅ asoucasne je A1 ∪A2 ∪ . . . ∪An = Ω.

Uplna soustava nahodnych jevu - prıklad VI

Nahodny pokus spocıva v nahodnem vyberu osoby v CR. Nahodny jev N nastane, je-li vybranaosoba nezamestnana. Dale mohou nastat tyto jevy:

jev A1 - vyber osoby s nejvyse ZS,

jev A2 - vyber osoby s SS bez maturity,

jev A3 - vyber osoby s SS s maturitou,

jev A4 - vyber osoby s VS.

Platı:P (A1) = 0.15, P (A2) = 0.35, P (A3) = 0.33, P (A4) = 0.17

P (N |A1) = 0.11, P (N |A2) = 0.09, P (N |A3) = 0.06, P (N |A4) = 0.03

Vypoctete P (N).

Vzorec pro uplnou pravdepodobnost II

Necht’ A1, A2, A3, . . . ,An je uplna soustava nahodnych jevu, necht’ pro vsechna i = 1, 2, . . . , nplatı, ze P (Ai) 6= 0. Pak pro libovolny nahodny jev B platı

P (B) =n∑

P (Ai) ·P (B|Ai) = P (A1) ·P (B|A1) +P (A2) ·P (B|A2) + . . .+P (An) ·P (B|An).

Platı:P (A1) = 0.15, P (A2) = 0.35, P (A3) = 0.33, P (A4) = 0.17

P (N |A1) = 0.11, P (N |A2) = 0.09, P (N |A3) = 0.06, P (N |A4) = 0.03

Vypoctete P (N).

P (B) =n∑

Platı:P (A1) = 0.15, P (A2) = 0.35, P (A3) = 0.33, P (A4) = 0.17

P (N |A1) = 0.11, P (N |A2) = 0.09, P (N |A3) = 0.06, P (N |A4) = 0.03

Vypoctete P (N).

P (B) =n∑

Platı:P (A1) = 0.15, P (A2) = 0.35, P (A3) = 0.33, P (A4) = 0.17

P (N |A1) = 0.11, P (N |A2) = 0.09, P (N |A3) = 0.06, P (N |A4) = 0.03

Vypoctete P (N).

P (B) =n∑

Platı:P (A1) = 0.15, P (A2) = 0.35, P (A3) = 0.33, P (A4) = 0.17

P (N |A1) = 0.11, P (N |A2) = 0.09, P (N |A3) = 0.06, P (N |A4) = 0.03

Vypoctete P (N).

P (B) =n∑

Bayesuv vzorec

Bayesuv vzorec - prıklad VIINahodny pokus spocıva v nahodnem vyberu jedne osoby. Jev A nastane tehdy, je-li toutoosobou muz. Jev B nastane tehdy, ma-li vybrana osoba ridicske opravnenı.

Opet platı:

P (A) = 0.60,

P (B|A) = 0.80,

P (B|A) = 0.65.

Vypocıtejte a interpretujte hodnotu P (A|B).

Bayesuv vzorec I

Mejme jev A a jev k nemu opacny A. Pak pro libovolny nahodny jev B (takovy, ze P (B) 6= 0)platı vzorec:

P (A|B) =P (A) · P (B|A)

P (A) · P (B|A) + P (A) · P (B|A).

Bayesuv vzorec

Bayesuv vzorec - prıklad VIINahodny pokus spocıva v nahodnem vyberu jedne osoby. Jev A nastane tehdy, je-li toutoosobou muz. Jev B nastane tehdy, ma-li vybrana osoba ridicske opravnenı.

Opet platı:

P (A) = 0.60,

P (B|A) = 0.80,

P (B|A) = 0.65.

Vypocıtejte a interpretujte hodnotu P (A|B).

Bayesuv vzorec I

Mejme jev A a jev k nemu opacny A. Pak pro libovolny nahodny jev B (takovy, ze P (B) 6= 0)platı vzorec:

P (A|B) =P (A) · P (B|A)

P (A) · P (B|A) + P (A) · P (B|A).

Bayesuv vzorec - prıklad VIII

Platı:P (A1) = 0.15, P (A2) = 0.35, P (A3) = 0.33, P (A4) = 0.17

P (N |A1) = 0.11, P (N |A2) = 0.09, P (N |A3) = 0.06, P (N |A4) = 0.03

Vypoctete P (A1|N).

Bayesuv vzorec II

Necht’ A1, A2, A3, . . . ,An je uplna soustava nahodnych jevu, necht’ pro vsechna j = 1, 2, . . . , nplatı, ze P (Aj) 6= 0, necht’ pro nahodny jev B platı P (B) 6= 0. Pak pro kazde j = 1, 2, . . . , nplatı

P (Aj |B) =P (Aj) · P (B|Aj)

n∑i=1

(P (Ai) · P (B|Ai)

) =P (Aj) · P (B|Aj)

P (A1) · P (B|A1) + . . . + P (An) · P (B|An).

Platı:P (A1) = 0.15, P (A2) = 0.35, P (A3) = 0.33, P (A4) = 0.17

P (N |A1) = 0.11, P (N |A2) = 0.09, P (N |A3) = 0.06, P (N |A4) = 0.03

Vypoctete P (A1|N).

Bayesuv vzorec II

P (Aj |B) =P (Aj) · P (B|Aj)

n∑i=1

(P (Ai) · P (B|Ai)

) =P (Aj) · P (B|Aj)

P (A1) · P (B|A1) + . . . + P (An) · P (B|An).

Platı:P (A1) = 0.15, P (A2) = 0.35, P (A3) = 0.33, P (A4) = 0.17

P (N |A1) = 0.11, P (N |A2) = 0.09, P (N |A3) = 0.06, P (N |A4) = 0.03

Vypoctete P (A1|N).

Bayesuv vzorec II

P (Aj |B) =P (Aj) · P (B|Aj)

n∑i=1

(P (Ai) · P (B|Ai)

) =P (Aj) · P (B|Aj)

P (A1) · P (B|A1) + . . . + P (An) · P (B|An).

Platı:P (A1) = 0.15, P (A2) = 0.35, P (A3) = 0.33, P (A4) = 0.17

P (N |A1) = 0.11, P (N |A2) = 0.09, P (N |A3) = 0.06, P (N |A4) = 0.03

Vypoctete P (A1|N).

Bayesuv vzorec II

P (Aj |B) =P (Aj) · P (B|Aj)

n∑i=1

(P (Ai) · P (B|Ai)

) =P (Aj) · P (B|Aj)

P (A1) · P (B|A1) + . . . + P (An) · P (B|An).

Platı:P (A1) = 0.15, P (A2) = 0.35, P (A3) = 0.33, P (A4) = 0.17

P (N |A1) = 0.11, P (N |A2) = 0.09, P (N |A3) = 0.06, P (N |A4) = 0.03

Vypoctete P (A1|N).

Bayesuv vzorec II

P (Aj |B) =P (Aj) · P (B|Aj)

n∑i=1

(P (Ai) · P (B|Ai)

) =P (Aj) · P (B|Aj)

P (A1) · P (B|A1) + . . . + P (An) · P (B|An).

Prıklad XPodstoupıte laboratornı vysetrenı na prıtomnost choroby, ktera se v populaci vyskytuje u 1jedince z 1000 (tzv. prevalence nemoci). Pokud se u vysetrovaneho jedince nemoc vyskytuje,vysetrenı ji ze vzorku 100% rozpozna. Necht’ ma ale toto vysetrenı zaroven 5% falesnoupozitivitu (tj. 5% zdravych jedincu bude mıt pozitivnı test na danou nemoc). Vas test vyselpozitivnı - s jakou pravdepodobnostı danou nemocı skutecne trpıte?

Prıklad XIPrıklad obsahuje stejne zadanı jako v predchozı uloze, nynı je vsak prevalence nemoci rovna 0.1,tj. nemoc se v populaci vyskytuje u jednoho jedince z 10. S jakou pravdepodobnostı danounemocı trpıte, vysel-li Vam pozitivnı test na uvedenou chorobu?

Prıklad XPodstoupıte laboratornı vysetrenı na prıtomnost choroby, ktera se v populaci vyskytuje u 1jedince z 1000 (tzv. prevalence nemoci). Pokud se u vysetrovaneho jedince nemoc vyskytuje,vysetrenı ji ze vzorku 100% rozpozna. Necht’ ma ale toto vysetrenı zaroven 5% falesnoupozitivitu (tj. 5% zdravych jedincu bude mıt pozitivnı test na danou nemoc). Vas test vyselpozitivnı - s jakou pravdepodobnostı danou nemocı skutecne trpıte?

Prıklad XIPrıklad obsahuje stejne zadanı jako v predchozı uloze, nynı je vsak prevalence nemoci rovna 0.1,tj. nemoc se v populaci vyskytuje u jednoho jedince z 10. S jakou pravdepodobnostı danounemocı trpıte, vysel-li Vam pozitivnı test na uvedenou chorobu?

Ulohy k samostatne praci

Prıklad XIIDva stroje vyrabejı tentyz vyrobek, prvnı stroj vyrabı 60 % produkce a druhy stroj vyrabı 40 %produkce. Pravdepodobnost vyrobenı zmetku u obou stroju je po rade 5 % a 3 %. Jaka jepravdepodobnost toho, ze nahodne vybrany vyrobek z produkce je zmetek?

Prıklad XIIIUvazujme stejne zadanı jako v predchozım prıklade. Nahodne vybrany vyrobek je zmetek. Jakaje pravdepodobnost, ze byl vyroben na prvnım stroji, resp. druhem stroji?

Prıklad XIVVelkoobchod odebıra pocıtace od dvou dodavatelu. Prvnı dodavatel pokryva odbervelkoobchodu z 80 %, pricemz 75 % dodavky tvorı pocıtace osazene procesorem Intel. Druhydodavatel pokryva odber velkoobchodu ze zbyvajıcıch 20 %, pricemz 60 % dodavky tvorıpocıtace osazene procesorem Intel. Pokud by si zakaznık vybral pocıtac zcela nahodne, jaka jepravdepodobnost, ze tento pocıtac bude osazen procesorem Intel? Jaka je pravdepodobnost, zenahodne vybrany pocıtac s procesorem Intel pochazı od prvnıho, resp. druheho dodavatele?

Ulohy k samostatne praci

Prıklad XVPredpokladejme, ze mezi profesionalnımi sportovci dopuje 0, 1% z nich (???). Dalepredpokladejme, ze antidopingovı komisari zjist’ujı prıpadne pouzıvanı dopingu testem snasledujıcımi vlastnostmi. Pokud testovany sportovec dopuje, test jej v 99% prıpadu oznacı jakodopujıcıho. Pokud testovany sportovec nedopuje, test jej v 95% prıpadu oznacı za nedopujıcıho.Pokud sportovci vysel pozitivnı test na doping, jaka je pravdepodobnost, ze skutecne dopuje?

Prıklad XVIUvazujme stejne zadanı jako v predchozım prıklade. Predpokladejme, ze vsichni sportovci, kterımeli pozitivnı test, jsou podruhe podrobeni teze antidopingove kontrole, tj. stejnemu testu. Jakaje nynı pravdepodobnost, ze sportovec, ktery mel oba testy pozitivnı, skutecne dopuje?

Prıklad XVIIV osudı je 5 cernych a 15 bılych koulı. Z osudı se vytahne jedna koule, vratı se zpet, prida se 20koulı stejne barvy, jakou mela vytazena koule a tah se opakuje. Jaka je pravdepodobnost, zedruha vytazena koule bude cerna?

Statistika (KMI/PSTAT) - Cvicení esté aneb Podmínená...

Documents

Transcript of Statistika (KMI/PSTAT) - Cvicení esté aneb Podmínená...