STATISTIKA

Universitas Indonesia – Program PascasarjanaProgram Studi Kajian Ketahanan Nasional

Dosen:Dr. Dedi Mulyadi, MSiDr. Eddy Herjanto

1

I. PENGERTIAN STATISTIKA

Lind, DA, WG Marchal, and SA Wathen. 2007. Teknik-teknik Statistika dalam Bisnis dan Ekonomi. Edisi ke 13. Buku 1. Bab 1. Penerbit Salemba Empat.

Sudjana. Metoda Statistika. Edisi 6. Bab 1. 2004. Penerbit Tarsito.

PENGERTIAN3

Statistik

Statistik dapat memberikan dua pengertian :

a. Kumpulan angka-angka, yang biasanya disusun dalam tabel atau daftar, sering disertai diagram atau grafik dan keterangan-keterangan lain.

b. Sebagai representative dari sekumpulan angka dan bisa berbentuk rumus-rumus. Misalnya : rata-rata dan variansi.

Statistika

Pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan bahan atau keterangan, pengolahan serta penganalisisan, penarikan kesimpulan serta pembuatan keputusan yang beralasan berdasarkan analisis yang dilakukan.

Jenis Statistika4

Statistik deskriptifbagian statistika yang berhubungan dengan pengumpulan data, penyajian data, pembuatan tabel dan grafik, serta melakukan perhitungan untuk menentukan statistik

Statitik induktifbagian statistika yang berhubungan dengan pembuatan kesimpulan mengenai populasi

5

Parameterukuran-ukuran yang berlaku pada populasi

Statistikukuran-ukuran berkenaan dengan sampel

Statistik parametrikstatistik yg cocok untuk menguji parameter populasi

Statistik inferenstatistik yg cocok untuk menguji parameter sampel.

Populasi versus Sampel

6

Populasi adalah keseluruhan individu atau obyek tertentu atau ukuran yang diperoleh dari semua individu atau obyek tertentu.

Sampel adalah bagian dari suatu populasi.

Jenis-jenis Variabel

7

A.Variabel kualitatif atau atribut- Karakteristik yang dipelajari bersifat numerik

- Contoh: gender, afiliasi agama, jenis mobil yang dimiliki,

tempat kelahiran, dan warna mata.

B. Variabel kuantitatif - Variabel yang diteliti dapat dilaporkan secara numerik

- Contoh: saldo rekening, usia direktur perusahaan, umur

aki mobil, dan jumlah anak dalam suatu keluarga

Variabel Kuantitatif - Klasifikasi

8

Variabel Kuantitatif dapat diklasifikasikan sebagai diskret atau kontinyu

Variabel diskret (discrete variables) mungkin hanya berisi nilai tertentu saja, dan terdapat “jurang” antara setiap nilai.Contoh: jumlah kamar tidur di setiap rumah (1, 2, 3, dst), atau jumlah mahasiswa di kelas statistik (30, 33, 40, dst)

Variabel kontinyu (continuous variables) mungkin berisi nilai berapapun dalam kisaran tertentu.Contoh: tekanan udara dalam ban, berat suatu

karung beras .

II. UKURAN PEMUSATAN

Sudjana. Metoda Statistika. Edisi 6. Bab 4. 2004. Penerbit Tarsito

Lind, DA, WG Marchal, and SA Wathen. 2007. Teknik-teknik Statistika dalam Bisnis dan Ekonomi. Edisi ke 13. Buku 1. Bab 3. Penerbit Salemba Empat.

a. Rata-rata hitung

Rata-rata sampel adalah x → statistikRata-rata populasi adalah µ → parameter

… (1)

Contoh 1:Lima nilai ujian dari lima mahasiswa untuk mata kuliah statistika ialah 70, 69, 45, 80, dan 56Dalam simbol ditulis x1 = 70, x2 = 69, … x5 = 56

dan

n

xxx

n

xx ni

...21

645

56...6970

x

10

Rata-rata berbobot (untuk data dalam distribusi frekuensi)

Contoh 2:Jika ada lima mahasiswa mendapat nilai 70, enam mendapat nilai 69, tiga mendapat 45 dari masing-masing seorang mendapat nilai 80 dan 56.

… (2)

xi fi xifi

70 5 350

69 6 414

45 3 135

80 1 80

56 1 56

Total 16 1035

i

ii

f

xfx

6,6416

1035x

n

nn

fff

fxfxfxx

...

...

21

2211

11

Contoh 3 :

Seorang pedagang menjual tiga jenis barang A, B, C, dan D, masing-masing laku 96%, 46%, 50%, dan 85%. Jika menggunakan rumus (1), rata-ratanya:%75,66%

4

75504696

x

Perhitungan ini akan benar jika keempat produk memiliki jumlah sampel yang sama. Jika tidak, hasil yang benar diperoleh dengan menggunakan rata-rata hitung gabungan:

Dimana: = jumlah sampel untuk subsampel i … (3) = rata-rata nilai subsampel i (%)

i

ii

n

xnx

Rata-rata hitung gabungan

i

i

x

n

12

Misalkan barang yang dijual sebagai berikut

A 100 unit laku 96 (96%)B 200 unit laku 92 (46%)C 160 unit laku 80 (50%)D 80 unit laku 60 (75%)

540 328Persentase barang terjual:

Catatan: persentase tidak boleh dirata-ratakan.

%07,606007,0540

328

80160200100

)75,0(80)50,0(160)46,0(200)96,0(100

x

13

Rata-rata hitung dengan cara coding

… (4)c0 = nilai tengah yang

diberi coding nolp = panjang kelas

intervalF = frekuensi

i

ii

f

cfpxx 0

14

Cara coding: Ambil salah satu kelas interval x0 (C = 0) Kelas interval yang lebih kecil dari x0 diberi

nilai sandi C = -1, C = -2, dst Sedangkan tanda kelas yang lebih besar

diberi nilai C = +1, C = +2, dst

Nilai ujian

fi xi fixi Ci fiCi

31 – 40 1 35,5 35,5 -4 -4

41 – 50 2 45,5 91,0 -3 -6

51 – 60 5 55,5 277,5 -2 -10

61 – 70 15 65,5 982,5 -1 -15

71 – 80 25 75,5 1.887,5 0 0

81 – 90 20 85,5 1.710,0 1 20

91 – 100 12 95,5 1.146,0 2 24

Jumlah 80 6.130,0 9

62,7610

9105,750

i

ii

f

cfpxx

15

Jika contoh ini dihitung menggu-nakan rumus (2), data disusun dalam daftar distribusi frekuensi, hasilnya akan sama.

62,7680

130.6

i

ii

f

xfx

Rata-rata Ukur

Jika perbandingan tiap dua data berurutan adalah tetap atau hampir tetap, maka penggunaan rata-rata ukur lebih baikRumus : … (5)

Contoh : x1 = 2, x2 = 4, dan x3 = 8, maka

Untuk data-data dengan nilai besar, lebih praktis menggunakan logaritma dari rumus (5) yaitu:

nnxxx ....... 21

48.4.23

n

xilog

log

16

Rata-rata Pertumbuhan

Rumus: … (6)

Contoh :Penduduk Indonesia pada tahun 1985 sebanyak 180 juta, sedangkan pada 1990 telah mencapai 195 juta. Laju rata-rata pertumbuhan penduduk tiap tahun ialah: 195 = 180 (1 + i )5

log195 = log180 + 5 log (1 + i)

5 log (1+i) = log195 – log180log (1+i) = (2,290 – 2,255)/5 =

0,006951+i = antilog0,00695 =i =

niPP )1(01

17

Rata-rata Harmonik

Rumus: Untuk data tak berkelompok

… (7)

Untuk data berkelompok

… (8)

ix

nH

/1

ii

i

xf

fH

/

18

Contoh:

Si A bepergian pulang pergi. Waktu pergi ia memiliki kecepatan 10 km/jam, sedangkan waktu kembali 20 km/jam. Rata-rata =1/2(10+20)= 15 km/jam. Perhitungan ini tidak benar karena tidak memperhitungkan jarak perjalanan.

Misalkan jarak yang ditempuh 100 km, maka untuk pergi diperlukan waktu 10 jam dan kembali 5 jam. Pulang pergi waktu 15 jam dan menempuh = 200 km.

Rata-rata kecepatan = 200/15 km/jam = 13,3 km/jam.

Dengan rumus rata-rata harmonik:

3.133

40

201

1012

H

19

b. Distribusi Frekuensi

Distribusi frekuensi merupakan jenis dari suatu model (model analog/diagramatik)

Model didefinisikan sebagai suatu perwakilan atau abstraksi dari sebuah obyek atau situasi aktual

Model dapat dikelompokkan menjadi : Model ikonik (fisik) Model analog/diagramatik Model simbolik/matematika

20

Langkah Membuat Distribusi Frekuensi

Tentukan rentang = data terbesar – data terkecil

Tentukan banyak kelas intervalAturan Sturges (n = banyak data)Jumlah kelas interval = 1 + 3,3 log

n Tentukan panjang kelas interval (p), ialah

p = rentang : banyak kelas Pilih ujung bawah kelas interval pertama

syarat tidak boleh lebih besar dari data terkecil

Buat tabulasi

21

Contoh : Membuat daftar distribusi frekuensi

Nilai ujian statistika untuk 80 mahasiswa sebagai berikut :

79 49 48 74 81 98 87 80

80 84 90 70 91 93 82 78

70 71 92 38 56 81 74 73

68 72 85 51 65 93 83 86

90 35 83 73 74 43 86 88

92 93 76 71 90 72 67 75

80 91 61 72 97 91 88 81

70 74 99 95 80 59 71 77

63 60 83 82 60 67 89 63

76 63 88 70 66 88 79 75

22

Langkah-langkah Rentang : 99 – 35 = 64 Banyak kelas interval = 1 + 3,3 log 80 =

7,3Banyak kelas bisa 7 atau 8, pilih 7

Panjang kelas interval (p) = = 9,14Jadi p bisa 9 atau 10, pilih 10

Ujung bawah kelas interval pertama, pilih 31

Dengan p = 10 dan ujung bawah 31, dapat diperoleh kelas interval dan tabulasi sbb:

23

Tabulasi untuk menyelesaikan daftar distribusi frekuensi

24

Kelas Interval Tabulasi Frekuensi

31 – 4041 – 5051 – 6061 – 7071 – 8081 – 9091 - 100

IIIIIIIIIIIIIII IIIII IIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIIIIIII IIIII IIIII IIIIIIIIII IIIII II

235

14242012

Bentuk dari Distribusi FrekuensiNilai ujian statistika untuk 80 mahasiswa

Nilai Ujian

Banyak Mahasisw

a

31-4041-5051-6061-7071-8081-90

91-100

235

14252012

Jumlah 80

Pengertian-pengertian

31-40, 41-50, …. 91-100 → Kelas interval31, 41, …. 91 → Ujung bawah kelas interval40, 50, …. 100 → Ujung atas kelas interval31+40, 41+50, …. 91+100 → Titik tengah kelas interval 2 2 2Batas bawah kelas interval = ujung bawah -0,5Batas atas kelas interval = ujung atas +0,541-31, 51-41, 50-40, 100-90 → panjang kelas interval (p)2, 3, 5, …. 12 → frekuensi

25

Distribusi Frekuensi

Kelas interva

l

f f relatif (%)

Nilai ujian

f kumula

tif

Nilai ujian

f kumula

tif

31 – 40 2 2,5 < 41 2 ≥ 31 80

41 – 50 3 3,75 < 51 5 ≥ 41 78

51 – 60 5 6,25 < 61 10 ≥ 51 75

61 – 70 14 17,5 < 71 24 ≥ 61 70

71 – 80 24 30,0 < 81 48 ≥ 71 56

81 – 90 20 25,0 < 91 68 ≥ 81 32

91 - 100

12 15,0 < 101 80 ≥ 91 12

Relatif Kumulatif Kumulatif

26

Histogram dan Poligon Frekuensi Untuk membuat diagram dari daftar

distribusi frekuensi, dipakai sumbu datar untuk menyatakan kelas interval (batas-batas kelas interval) dan sumbu tegak menyatakan frekuensi.

Dari contoh di atas, diagramnya terlihat sebagai berikut :

27

Histogram dan Poligon Frekuensi28

Sudjana. 2004. Metoda Statistika. Bab 5, 6. Penerbit Tarsito

Lind, DA, WG Marchal, and SA Wathen. 2008. Teknik-teknik Statistika dalam Bisnis dan Ekonomi. Edisi 13. Bab 3. Penerbit Salemba Empat

III. UKURAN PENYEBARAN

Ukuran Simpangan

Mengapa mempelajari simpangan (dispersi)? Sebuah ukuran yang memperlihatkan

tingkat sebaran data terhadap rata-rata atau median.

Alasan kedua untuk mempelajari ukuran simpangan dari sekumpulan data ialah untuk membandingkan sebaran pada dua distribusi atau lebih.

30

31

Contoh Simpangan

Sampel 1: 50, 50, 50, 50, 50 ẋ = 50Sampel 2: 40, 60, 30, 70, 50 ẋ = 50Sampel 3: 20, 60, 40, 50, 80 ẋ = 50Sampel 4: 10, 80, 90, 20, 50 ẋ = 50

Dengan pola data yang berlainan memberikan rata-rata dengan nilai yang sama sehingga diperlukan ukuran lain untuk mengetahui pola data tersebut.Ukuran tersebut adalah ukuran simpangan.

32

Jenis-jenis Ukuran Simpangan

Rentang (Range)

Simpangan rata-rata (Mean deviation)

Variasi dan Simpangan Baku (Variance and standard deviation)

CONTOH – Jangkauan

Jumlah cappuccino yang terjual pada Starbucks di bandara Orange Country antara jam 4 sampai 7 malam untuk sampel 5 hari pada tahun lalu adalah 20, 40, 50, 60, dan 80. Tentukan jangkauan cappuccino yang terjual.

33

Jangkauan = Nilai terbesar – nilai terkecil = 80 – 20 = 60

CONTOH – Rata-Rata SimpanganJumlah cappuccino yang terjual pada Starbucks di bandara Orange Country antara jam 4 sampai 7 malam untuk sampel 5 hari pada tahun lalu adalah 20, 40, 50, 60, dan 80. Tentukan deviasi rata-rata jumlah cappuccino yang terjual.

38

Variasi dan Simpangan Baku

1. Notasi Variasi dalam populasi : ²

2. Simpangan Baku dalam Populasi :

3. Variasi dalam Sampel : s²4. Simpangan Baku : s

35

Variasi dan Simpangan BakuRumus

1

)(

1

)(

)1(

22

22

2

2

2 )(

n

xns

n

xns

ns

i

i

i

x

x

xx

36

CONTOH – Varian dan Standar Deviasi

Jumlah surat tilang yang dikeluarkan selama lima bulan terakhir di Beaufort County, South Carolina, adalah 38, 26, 13, 41, dan 22. Berapa variansi populasinya?

37

38

CONTOH – Variansi sampel

Upah per jam untuk pekerja paruh waktu di Home Depot ialah: $12, $20, $16, $18, dan $19. Berapa variansi populasinya?

Aturan Empiris39

ATURAN EMPIRIS Untuk distribusi yang empiris dan berbentuk lonceng, kira-kira 68% dari total pengamatan akan berada pada plus dan minus satu standar deviasi rata-rata; kira-kira 95% pengamatan akan berada pada plus dan minus dua standar deviasi rata-rata; dan pada praktiknya, seluruh pengamatan (99,7%) akan berada pada plus dan minus tiga standar deviasi rata-rata.

Angka Baku dan Koefisien Variasi

x

sKV

s

xxz

i

Koefisien Variasi

40

Contoh

Di Pondok Indah Mall terdapat 20 outlet minyak wangi dan diantaranya terdapat Ibu Shinta yang menjual minyak wangi dengan keuntungan setiap hari mencapai Rp. 1.500.000,-. Selain itu terdapat 25 outlet pakaian dan diantaranya terdapat Ibu Damai sebagai penjual pakaian dengan keuntungan tiap hari sebesar Rp. 1.000.000,-.

Pertanyaan : Diantara Ibu Shinta dan Ibu Damai, siapa yang memiliki prestasi usaha yang lebih besar?

41