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Statistica economica (6 CFU)

Corso di Laurea in Economia e Commercioa.a. 2012-2013

Docente: Lucia BuzzigoliLezione 8

Per poter applicare i modelli MA, AR e ARMA alle serie storiche reali è utile analizzarne le caratteristiche.In particolare dobbiamo verificare quando tali strutture sono coerenti con le ipotesi di stazionarietà e invertibilità e con quali strutture di dipendenza lineare sono compatibili.

MODELLO MA(1)(B) = 1 - 1B

Zt = ( 1 - 1B )at at WN(0, 2a)

Zt = at - 1at-1

Con la costante il modello diviene più generale:Zt = c+ at - 1at-1

QUALI CARATTERISTICHE HA UN MODELLO MA(1) ?

• è stazionario?• è invertibile?

MOMENTI DI UN MA(1)

MEDIA = E(Zt)= E(c+ at - 1at-1)

= E(c) + E(at) – E(1at-1)

= c + 0 – 1 0 = c

La costante coincide con il valore atteso.La media non dipende da t.

VARIANZAVar (Zt ) = E(Zt - )2= E(Zt - c )2

= E(at - 1at-1 ) 2

= E(a2t + 2

1a 2t-1 – 21at at-1 )

= E(a2t )+ 2

1 E(a 2t-1) – 21E(at at-1 )

= 2a + 2

1 2a – 210

= 2a (1+ 2

1 )

La varianza non dipende da t .

N.B. : 1) Zt = c+ at - 1at-1 Zt – c = at - 1at-1

2) E(a2t ) = E(a 2

t-1) = 2a

3) E(at at-1 )=0 perché at è incorrelato

AUTOCOVARIANZA AL LAG 1 1 = acov(Zt , Zt-1 ) = E(Zt - )(Zt-1 - )=

E(Zt - c ) )(Zt-1 - c)

= E(at - 1at-1 ) (at-1 - 1at-2 )

= E(at at-1 - 1a 2t-1 – 1at at-2 + 2

1at-1at-2 )

= E(at at-1 )- 1 E(a 2t-1) – 1E(at at-2 )+2

1E(at-1 at-2 )

= 0 - 1 2a – 10 + 2

10

= - 1 2a

L’autocovarianza non dipende da t, ma solo dal parametro 1 e dalla varianza di at

N.B. : Zt – c = at - 1at-1 Zt-1 – c = at-1 - 1at-2

AUTOCORRELAZIONE AL LAG 1r 1 = 1 / 0

= [- 1 2a ] / [2

a (1+ 21 ) ]

= - 1 / (1+ 21 )

L’ autocorrelazione non dipende da t, ma solo dal parametro 1 .

AUTOCOVARIANZA AL LAG 2

2 = acov(Zt , Zt-2 ) = E(Zt - )(Zt-2 - )=

= E(Zt - c ) )(Zt-2 - c)

= E(at - 1at-1 ) (at-2 - 1at-3 )

= E(at at-2 – 1a t-1 at-2– 1at at-3 + 2

1 at-1at-3 )

= E(at at-1 )- 1 E(a t-1 at-2) – 1E(at at-3 ) + 2

1 E(at-1 at-3 )

= 0 – 10 – 10 + 210

= 0In generale, l’autocovarianza (autocorrelazione) sarà nulla per k > 1 .Anche questa autocovarianza non dipende da t

Nell’MA(1) il valore dell’autocovarianza dipende dal lag k e non da t.

CORRELOGRAMMA DI UN MA(1)-Il correlogramma di un MA(1) ha due soli andamenti possibili

1>0 1 <0

AUTOCORRELAZIONE PARZIALE

-Il correlogramma di un MA(1) ha due soli andamenti possibili: in entrambi i casi decade a 0 in termini esponenziali

1>0 1 <0

In conclusione:Il modello MA(1) è coerente con l’ipotesi di stazionarietà:- Media, varianza, autocovarianza e autocorrelazione

non dipendono dal tempo- Le funzioni di autocovarianza e di autocorrelazione

dipendono da k e, in particolare, si troncano per k > 1

INVERTIBILITÀ DI UN MA(1)Zt = c+ at - 1at-1 at WN(0, 2

a)

Invertibilità richiede di poter riscrivere Zt in funzione del suo passato e di at

Zt = at - 1at-1 at = Zt + 1at-1

at-1 = Zt-1 + 1at-2

at-2 = Zt-2 + 1at-3

ecc.

Ne segue: Zt = at - 1(Zt-1 + 1at-2)

= at - 1Zt-1 - 21 at-2

= at - 1Zt-1 - 21 (Zt-2 + 1at-3)

= at - 1Zt-1 - 21 Zt-2 - 3

1at-3

= … = - 1Zt-1 - 2

1 Zt-2 - … - h1at-h

Per ||<1 il termine h1at-h tende a 0 per h e Zt risulta invertibile.

N.B.: un modello MA(1) invertibile può essere scritto come un modello AR()

INVERTIBILITÀ DI UN MA(1)Consideriamo i due modelliZt = c+ at - 1at-1 e Zt = c+ at – (1/1) at-1

Essi hanno la stessa funzione di autocorrelazione.

Quindi, nei modelli MA(1) non c’è corrispondenza biunivoca tra modello e funzione di autocorrelazione.

Tuttavia: tra i due modelli, uno solo è invertibile. Infatti, se |1|<1 si avrà |1/1|>1, e viceversa.

Per i modelli MA(1) invertibili c’è corrispondenza biunivoca tra modello e funzione di autocorrelazione.

CONDIZIONE DI INVERTIBILITÀ

La condizione di invertibilità di un MA(1) può essere espressa su 1 oppure sulla radice del polinomio caratteristico (B) = 1 - 1B

1 - 1B = 0 B = 1/1

Ne segue:|1|< 1 |B| > 1

Nei modelli di ordine superiore a 1 la condizione di invertibilità viene SEMPRE espressa sulle radici del polinomio caratteristico.

MODELLO MA(q)Zt = ( 1 - 1B - … - qBq )at at WN(0, 2

a)

- Sempre stazionario- Invertibile se le radici del polinomio caratteristico

(B)= 1 - 1B - … - qBq sono in modulo maggiori di 1

- La f.a.c. si tronca per k>q- La f.a.c.p. non si annulla mai ma tende

velocemente a 0- Se le condizioni di invertibilità sono soddisfatte

MA(q) AR()