Standeisky István _ Villamosságtan

Standeisky István

VILLAMOSSÁGTAN

Készült a HEFOP 3.3.1-P.-2004-09-0102/1.0 pályázat támogatásával.

Szerző: dr. Standeisky István főiskolai docens

Lektor: dr. Kuczmann Miklós egyetemi adjunktus

© Standeisky István, 2006

Villamosságtan A dokumentum használata

A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza 3


A dokumentum használata

Mozgás a dokumentumban A dokumentumban való mozgáshoz a Windows és az Adobe Reader meg-szokott elemeit és módszereit használhatjuk.

Minden lap tetején és alján egy navigációs sor található, itt a megfelelő hivatkozásra kattintva ugorhatunk a használati útmutatóra, a tartalomjegy-zékre, valamint a tárgymutatóra. A és a nyilakkal az előző és a követ-kező oldalra léphetünk át, míg a Vissza mező az utoljára megnézett oldalra visz vissza bennünket.

Pozícionálás a könyvjelzőablak segítségével A bal oldali könyvjelző ablakban tartalomjegyzékfa található, amelynek bejegyzéseire kattintva az adott fejezet/alfejezet első oldalára jutunk. Az aktuális pozíciónkat a tartalomjegyzékfában kiemelt bejegyzés mutatja.

A tartalomjegyzék és a tárgymutató használata

Ugrás megadott helyre a tartalomjegyzék segítségével Kattintsunk a tartalomjegyzék megfelelő pontjára, ezzel az adott fejezet első oldalára jutunk.

A tárgymutató használata, keresés a szövegben Keressük meg a tárgyszavak között a bejegyzést, majd kattintsunk a hozzá tartozó oldalszámok közül a megfelelőre. A további előfordulások megte-kintéséhez használjuk a Vissza mezőt.

A dokumentumban való kereséshez használjuk megszokott módon a Szerkesztés menü Keresés parancsát. Az Adobe Reader az adott pozíció-tól kezdve keres a szövegben.

Villamosságtan Tartalomjegyzék



Tartalomjegyzék

Bevezetés.................................................................................................................. 5

1. A hálózatelmélet és -analízis alapfogalmai, a hálózatok osztályozása.................................................................................... 6

2. Koncentrált paraméterű hálózatok elemei ................................... 10

3. A Kirchhoff-törvények .................................................................. 15

4. Források és generátorok, a helyettesítő generátorok tétele (Thévenin- és Norton-tétel) ......................................................... 19

5. Szinuszos gerjesztésű, lineáris, koncentrált paraméterű, időinvariáns hálózatok ................................................................. 26

5.1. Szinuszosan változó mennyiségek leírása valós időfüggvényekkel ..... 26 5.2. Szinuszosan változó mennyiségek leírása komplex

időfüggvényekkel .......................................................................................29

6. Általánosított Ohm-törvény, az impedancia ................................ 34 6.1. Szinuszos áramú hálózatok állandósult állapotának számítása

szimbolikus módszerrel ............................................................................38

7. Az eredő impedancia meghatározásának módszerei (sorosan és párhuzamosan kapcsolt impedanciák eredője) ....................... 43

8. A dualitás elve............................................................................... 48

9. A szuperpozíció elve..................................................................... 50

10. Hálózatok analízise gráfokkal, a hálózategyenletek teljes rendszere..................................................................................... 54

10.1. A hálózat gráfja ........................................................................................ 54 10.2. A hálózattopológia alapjai ...................................................................... 57 10.3. Fundamentális hurok- és vágatrendszer ............................................... 59 10.4. A hálózategyenletek teljes rendszere..................................................... 62

11. Hálózatok analízise a hurokáramok és a csomóponti potenciálok módszerével ............................................................ 69

12. Lineáris hálózatok DC-analízise................................................. 81

Villamosságtan Tartalomjegyzék



13. Lineáris hálózatok AC-analízise komplex vektorok segítségével ................................................................................. 92

14. Nemlineáris hálózatok............................................................... 113 14.1. Nemlineáris hálózati elemek kezelésének alapvető módszerei........113 14.2. Nemlineáris hálózatok grafikus DC- és kisjelű AC-analízise...........116

Függelék ..............................................................................................................129 Az Euler-egyenlet bizonyítása.................................................................129

Irodalomjegyzék ...................................................................................................132 Tárgymutató ........................................................................................................133

Villamosságtan Bevezetés



Bevezetés

A tantárgy és a jegyzet címe is a rövidség kedvéért Villamosságtan. A ren-delkezésre álló idő- és terjedelmi keretek azonban csak azt teszik lehetővé, hogy a villamosságtan szerteágazó témakörének egy fontos részterületével, nevezetesen a koncentrált paraméterű, időinvariáns, lineáris és nemlineáris hálózatokkal foglalkozzunk. A tárgy előtanulmány is a későbbi szaktár-gyakhoz.

Koncentrált paraméterű egy hálózat, ha az egymástól elkülönült háló-zati elemek (kétpólusok) nulla ellenállású vezetékkel csatlakoznak egymás-hoz. Az időinvariancia egyszerűen azt jelenti, hogy bármikor is történik a gerjesztés, az erre a gerjesztésre a létrejövő válasz (egy elektromos folyamat) mindig ugyanaz. Lineáris egy hálózat, ha a hálózati elemek karakterisztikái lineáris összefüggéssel adhatók meg. Ha ezek az összefüggések nemlineá-risak, akkor a hálózat nemlineáris.

A digitális számítógépek korában a hálózatok vizsgálatát programok (szoftverek) segítségével is megvalósíthatjuk. Azonban ahhoz, hogy a gép által elvégzendő feladatot meg tudjuk fogalmazni, szükséges az alapvető törvények és összefüggések, azaz a fizikai valóságot jól modellező elmélet ismerete.

A villamos hálózatok analízisének általunk is tárgyalandó módszerei más fizikai folyamatoknál is alkalmazhatók, pl. hőáramlás, közegáramlás, haladó- és forgómozgás stb. Ezeket a hálózatokat közös fogalommal Kirchhoff-típusú hálózatoknak szokás nevezni. Előnyösen használhatók a Kirchhoff-típusú hálózatok csatolt, pl. elektrotermikus, elektromechanikus folyamatok modellezésére is.

A jegyzet 14 fejezetre tagolódik. A fejezetekhez tartozó példák alapos áttanulmányozása, sőt önálló megoldása megkönnyíti az új ismeretek meg-értését és elsajátítását.

Köszönöm dr. Kuczmann Miklós és Gyimesi László kollégámnak a gondos lektorálást, ill. szerkesztést, fiamnak, Standeisky Dánielnek az áb-rák megalkotásában való közreműködését.

Villamosságtan A hálózatelmélet és -analízis alapfogalmai, a hálózatok osztályozása



1. A hálózatelmélet és -analízis alapfogalmai, a hálózatok osztályozása

Legáltalánosabb megfogalmazás szerint a hálózat hálózati elemek össze-kapcsolása révén létrejövő objektum.

Villamos hálózatok esetén a hálózati elemek elektromos mennyiségek kapcsolatát megadó egységek, ún. kétpólusok.

A rendszer és a hálózat között alapvető különbség, hogy a rendszerhez alapvetően csak kétféle változó van rendelve: az ismert gerjesztések és a kere-sett válaszok. Ezek a változók felléphetnek a hálózatban is, de a hálózat-ban további változók is lehetségesek. (Néha azonban célszerű a rendszer leírására is a gerjesztéseken és a válaszokon túlmenően további változókat, ún. állapotváltozókat bevezetni, amelyek megkönnyíthetik a válaszok és gerjesztések kapcsolatának leírását.)

Egy hálózat akkor realizál egy rendszert, ha a gerjesztés-válasz kapcso-lataik megegyeznek.

A villamos hálózatok a Kirchhoff-típusú hálózatok csoportjába tartoz-nak. Ezek kétpólusok összekapcsolásából állnak, és minden kétpólushoz egy változópár van rendelve: pl. az áram, ill. a feszültség. Mindegyik kétpó-lusú komponenst egy karakterisztika (ábrázolva: jelleggörbe) jellemez, amely megadja a két változó kapcsolatát. A komponensek között csatolás is lehet, amikor a karakterisztikában a komponens két változóján kívül a vele csatolt kétpólusok változói is szerepelhetnek. Az összekapcsolás által az azonos típusú változók között létrejött összefüggéseket Kirchhoff tör-vényei fejezik ki. Kirchhoff első törvénye, az ún. csomóponti törvény a csomópontba befolyó és elfolyó áramokra, huroktörvénye egy tetszőleges zárt görbe mentén lévő feszültségekre vonatkozik. Az áramokat és a fe-szültségeket irányuk, ill. polaritásuk megkülönböztetésére előjellel látjuk el.

Kiválasztható a csomópontok és a zárt görbék, azaz a hurkok egy-egy fundamentális rendszere, amely maximális számú független egyenletet jelent.

A hálózat két csomópontja közötti hálózati elemnek vagy elemeknek a hálózat egy ága feleltethető meg.

Ha egy csomópontból elindulva, az ágak mentén haladva visszaérke-zünk a kiindulási pontunkhoz, akkor kijelölünk a hálózatban egy hurkot.




A lehetséges hurkok száma igen nagyra adódhat, de gyakorlati jelentő-sége csak a független hurkok számának van. Valamely hurok biztosan füg-getlen az előzőktől, ha legalább egy új ágat tartalmaz.

Az ily módon előállítható független hurkok legnagyobb számát jelöljük ℓ-lel (loop). Az ágak, a független hurkok és a csomópontok száma között az alábbi fontos összefüggés áll fenn:

b n 1,= + − (1)

ahol b (branch) az ágak, n (node) a csomópontok száma. Az (1) összefüggéssel b és n ismeretében ℓ meghatározható. Az össze-

függést teljes indukcióval igazoljuk. A hálózatot ehhez gráfjával helyettesít-jük, ahol a csomópontok és hurkok száma és elrendezése változatlan, de a konkrét hálózati elemeket nem tüntetjük fel, hanem csak egy vonallal he-lyettesítjük (lásd részletesebben a 10. fejezetben).

Induljunk ki a legegyszerűbb hálózatból, amely két csomópontból és két ágból áll. Erre az (1) összefüggés közvetlenül belátható (1.1/a ábra).

1.1 ábra. A b = ℓ+n−1 összefüggés igazolása teljes indukcióval

Ha a hálózatot egy ággal bővítjük (1.1/b ábra), akkor b és ℓ eggyel növek-szik, míg n változatlan marad, tehát az összefüggés továbbra is érvényes. Ha viszont a hálózatot egy csomóponttal bővítjük (1.1/c ábra), akkor b kettő-vel, míg ℓ és n eggyel növekszik, tehát az összefüggés továbbra is érvényes. Mivel bármely hálózat ily módon felépíthető, ezért az összefüggés általá-nosan érvényes.




Ha a teljes hálózat p számú induktíven (vezetékek nélkül) csatolt részhá-lózatból áll, akkor annak minden részhálózatára érvényes a b = ℓ+n−1 re-láció, tehát végeredményben a teljes hálózatra azt kapjuk, hogy

b n p= + − (2)

A hálózatok osztályozásakor három szempontot vizsgálunk:

• a hálózati elemek mennyiségei közötti linearitást, • a mennyiségek térbeli megjelenését, • a mennyiségek közötti kapcsolat időbeli állandóságát.

Ezek figyelembevételével az alábbi felosztást kapjuk (1.2. ábra).

1.2. ábra. Hálózatok osztályozása

A hálózatokat a fenti három szempont szerint osztályozva nyolc csoportot különböztethetünk meg (1.2. ábra). A következőkben csak a lineáris, kon-centrált paraméterű, invariáns, valamint a nemlineáris, koncentrált paramé-terű, invariáns hálózatokkal foglalkozunk. Először azonban ismerkedjük meg ezen fogalmakkal részletesebben.

A linearitási szempont az elektromos mennyiségek közötti kapcsolat jellegére vonatkozik. Például egy vasmagos tekercs Ψ fluxusának függése i áramától általában nemlineáris. Ha azonban a tekercs légmagos, akkor a kapcsolat lineáris. A lineáris hálózatok tárgyalása jóval egyszerűbb, ezért sokszor közelítésképpen akkor is lineárisnak tekintjük a kapcsolatot, ami-kor valójában nem az.

A második szempont (térbeli változás) az elrendezés geometriájával kapcsolatos. Ha pl. egy kettős vezetéket vizsgálunk, akkor a feszültséget és az áramot nemcsak meghatározott pontokban értelmezzük, mint a kon-centrált paraméterű hálózatoknál, hanem a vezeték mentén bárhol. Kon-




centrált paraméterű megközelítésben a hálózat véges számú induktivitás-ból, kapacitásból és ellenállásból épül fel. Elosztott paraméterű megközelí-tésben végtelen számú elosztott paraméterrel, azaz elemi induktivitással, kapacitással és ellenállással modellezzük a hálózatot. Az elosztott paramé-terű hálózatok tipikus példája a kettős vezeték, amelynél a vezetékpárt végtelen számú dx hosszúságú szakaszra bontjuk, és ezen elemi szaka-szokhoz rendelhető elemi (koncentrált paraméterű) hálózatok együttesét vizsgáljuk, felhasználva eközben a koncentrált paraméterű számítás mód-szereit. Az elosztott paraméterű hálózat is lehet lineáris és nemlineáris. Az utóbbiak az előzőnél jóval komplikáltabbak.

A harmadik csoportosítási szempont végül az, hogy a hálózat mennyi-ségei közötti kapcsolat időben állandó vagy változó. Ha a kapcsolat idő-ben állandó, akkor időinvariáns, ha változó, akkor variáns a hálózat.

Villamosságtan Koncentrált paraméterű hálózatok elemei



2. Koncentrált paraméterű hálózatok elemei

A koncentrált paraméterű hálózatok generátort, ellenállást, induktivitást, kapacitást és az ágak közötti csatolást tartalmaznak.

Ahhoz, hogy a hálózatban áramok folyjanak, feszültségek lépjenek fel az szükséges, hogy a hálózatban egy vagy több energiaforrás legyen. Ilyen energiaforrások modellezéséhez a feszültséggenerátor és az áramgenerátor használható. A generátorok más energiát elektromos energiává alakítanak át, szokás aktív kétpólusoknak is nevezni őket. A feszültség-áram kapcso-latot karakterisztikájuk adja meg. A feszültségforrást (ideális feszültségge-nerátort) forrásfeszültsége jellemzi, amely az időnek adott függvénye. A feszültségforrás feszültsége tehát független a hozzá kapcsolódó hálózattól, áramát viszont a hozzá kapcsolódó hálózat határozza meg. Az áramforrást (ideális áramgenerátort) forrásárama jellemzi, amely az időnek adott függ-vénye. Az áramforrás árama tehát független a hozzá kapcsolódó hálózat-tól, feszültségét viszont a hozzá kapcsolódó hálózat határozza meg.

2.1. ábra. A feszültségforrás, a) és az áramforrás,

b) szimbóluma a referenciairányokkal

Az ideális generátorok karakterisztikái, ill. teljesítményei a 2.1. ábrán látha-tó referenciairányokkal:

g g gu u (t), p u i,= = − (1)

g g gi i (t), p i u.= = − (2)

Kis betűvel jelöljük az időben változó áramokat és feszültségeket, naggyal általában a változatlan mennyiségeket (pl. egyenfeszültség, egyenáram).




A „generátor” kifejezést két értelemben is használják. Egyrészt a fe-szültségforrás és az áramforrás gyűjtőneveként (ideális generátor helyett), másrészt az ideális generátorból és belső ellenállásból álló hálózatrész (va-lóságos generátor) megnevezéseként. Ez utóbbival részletesebben is fog-lalkozni fogunk.

Az ellenálláson az elektromágneses energia irreverzibilis módon átala-kul (többnyire hőenergiává). Az ellenálláson a feszültség és az áram kap-csolatát lineáris esetben az Ohm-törvény adja meg, mely szerint az ellenál-lás feszültsége arányos a rajta átfolyó árammal és az ellenállás rezisztenciá-jával: u = Ri. Nemlineáris esetben u = f(i), azaz a feszültség és az áram kapcsolata a nemlineáris ellenálláson tetszőleges; a lineáris, variáns ellenál-láson lineáris, de időben változó; a lineáris invariáns ellenálláson az időtől függetlenül lineáris.

Ezt szemlélteti a 2.2. ábra.

2.2. ábra. A feszültség és az áram kapcsolata az ellenálláson

Az ellenállás karakterisztikája és teljesítménye:

NI : u f (i), p ui,= = (3)

2

2 uLV : u R(t)i, p R(t)i ,

R(t)= = = (4)

2

2 uLI : u Ri, p Ri .

R= = = (5)

A kondenzátor elektromos energiát képes tárolni. A kondenzátoron a töltés és a feszültség kapcsolata meghatározott; lineáris esetben ezek há-




nyadosa a C kapacitás. A töltésből számítható az áram. A kondenzátor karakterisztikája (2.3. ábra) és teljesítménye az alábbi:

dq dq du dq

NI : q f (u), i , p udt du dt dt

,= = = = (6)

( ) ( ) ( ) ( )dC t u dC tduLV : q C t u, i C t u ,dt dt dt

= = = +

2du dC(t)C(t)u u ,dt dtp += (7)

2du du d 1LI : q Cu, i C , p uC Cu .

dt dt dt 2= = = = ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

(8)

A lineáris, invariáns kondenzátor pillanatnyi teljesítményének kifejezésé-ben 21

2 Cu nem más, mint a kondenzátor pillanatnyi energiája, hiszen a pillanatnyi teljesítmény a dt idő alatti munkavégzés, azaz a ( )21

2d Cu ener-giaváltozás és a dt idő hányadosa.

2.3. ábra. A kondenzátorkarakterisztikák ábrázolása

A tekercs mágneses energiát képes tárolni. A tekercsen a fluxus és az áramerősség kapcsolata meghatározott; lineáris esetben ezek hányadosa az induktivitás. A fluxus és az áramerősség kapcsolata a nemlineáris teker-csen tetszőleges, a lineáris, variáns tekercsen lineáris, de az idő függvényé-ben változó; a lineáris, invariáns tekercsen az időtől függetlenül lineáris (2.4. ábra). A fluxusból (Ψ) számítható a feszültség.




A tekercs karakterisztikája és teljesítménye a következő:

d d di d

NI : f (i), u , p i ,dt di dt dtΨ Ψ Ψ

Ψ = = = = (9)

2dL(t)i di dL(t) di dL(t)LV : L(t)i, u L(t) i , p L(t)i i ,

dt dt dt dt dtΨ = = = + = + (10)

2di di d 1LI : Li, u L , p Li Li .

dt dt dt 2Ψ = = = = ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

(11)

A lineáris, invariáns tekercs pillanatnyi teljesítményének kifejezésében 12

2Li nem más, mint a tekercs pillanatnyi energiája, hiszen a pillanatnyi teljesítmény a dt idő alatti energiaváltozás, azaz ( )21

2d Li és a dt idő hánya-dosa.

2.4. ábra. A tekercskarakterisztikák ábrázolása

A csatolt tekercsek ugyancsak mágneses energiát tárolnak. Bármelyik te-kercs fluxusa mindkét áram függvénye, így a karakterisztika csak térbeli felülettel, ill. felületsereggel ábrázolható. Lineáris, invariáns tekercsekre e felület egy sík (2.5. ábra).

A karakterisztikák és a feszültségek az alábbiak:

1 1 1 2

2 2 1 2

NI : f (i , i ),

f (i , i ),

Ψ =

Ψ = (12)

1 1 2

1 1 1 2 1 1 1 2

1 2 22 1 2 2 2 1 2 2

di dL (t) di dM(t)LV : L (t)i M(t)i , u L (t) i M(t) i ,

dt dt dt dtdi di dL (t)dM(t)

M(t)i L (t)i , u M(t) i L (t) idt dt dt dt

.

Ψ = + = + + +

Ψ = + = + + +

(13)




1 21 1 1 2 1 1

1 22 1 2 2 2 2

di diLI : L i Mi , u L M ,

dt dtdi di

Mi L i , u M L .dt dt

Ψ = + = +

Ψ = + = + (14)

2.5. ábra. A csatolt tekercsek szimbóluma és a lineáris, invariáns karakterisztika ábrázolása

A csatolt tekercseken együttesen fellépő teljesítmény a következőképpen határozható meg: 1 1 2 2p u i u i ,= + (15)

LI esetben:

2 21 2 2 11 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2

di di di di d 1 1p L i L i Mi Mi L i L i Mi i .

dt dt dt dt dt 2 2= + + + = + +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

(16)

A (16)-os kifejezés zárójelben lévő része nem más, mint a csatolt tekercsek pillanatnyi energiája.

A kondenzátort, a tekercset, valamint a csatolt tekercseket energiatáro-ló képességük miatt dinamikus komponenseknek is nevezzük.

Amint látjuk nemlineáris hálózatokban az alábbi változók szerepelnek: u, i, q, Ψ. Lineáris hálózatokban ezzel szemben a töltés, ill. a fluxus ki-küszöbölhető a kapacitások, ill. az induktivitások segítségével, ezért csak kétfajta változóval kell dolgoznunk: a feszültséggel és az árammal.

Villamosságtan A Kirchhoff-törvények



3. A Kirchhoff-törvények

A hálózatokban fellépő áramok és feszültségek kapcsolatát általánosan Kirchhoff két törvénye fejezi ki. Ezek a törvények egyaránt vonatkoznak lineáris és nemlineáris, invariáns és variáns hálózatokra, sőt nemcsak kon-centrált paraméterű, hanem megfelelő általánosítással az elosztott paramé-terű hálózatokra is érvényesek.

Kirchhoff első vagy csomóponti törvénye azt a tényt fejezi ki, hogy egy csomó-pontban töltések nem halmozódhatnak fel. A csomópontba befutó veze-tékeken áramló töltések algebrai (előjeles) összegének bármely időinterval-lumra nullát kell adnia. Az előjeles összeg úgy értendő, hogy ha a csomó-pontból távozó töltéseket például pozitívnak tekintjük, akkor a csomó-pontba tartókat negatív előjellel vesszük figyelembe, de lehet a távozó töltés a negatív, ez esetben a csomópontba tartó a pozitív előjelű.

Ilyen értelemben tehát írható, hogy ha a k-adik vezetéken Δt idő alatt Δqk töltés áramlik, akkor

n

k 0 0k 1

q 0, t t t t.=

Δ = ≤ < + Δ∑ (1)

Az összefüggés érvényben marad akkor is, ha a Δt intervallummal elosztjuk:

n

k

k 1

q0.

t=

Δ=

Δ∑ (2)

Mivel az áramerősség definíciója szerint

k kk

t 0

q dqlim i ,

t dtΔ →

Δ= =

Δ (3)

ezért végeredményben:

n

kk 1

i 0,=

=∑ (4)

ami Kirchhoff csomóponti törvénye. Az előbbiek szerint (4)-ben pozitívnak tekintendők a csomópontból

elfolyó áramok, negatívnak pedig a befolyók.




3.1. ábra. A hálózat egy kiválasztott csomópontja

az áramok felvett referenciairányával

Az előjelkonvenciót fordítva is választhatjuk, mert az csak annyit jelent, hogy a nullára redukált (4) egyenletet (−1)-gyel megszorozzuk.

Alkalmazzuk a csomóponti törvényt a 3.1. ábrán látható csomópontra:

1 2 3 4 5i i i i i 0.− + + − = (5)

A törvény alkalmazásakor érdektelen, hogy a szóban forgó áram milyen hálózati elem árama.

A csomóponti törvényt átrendezett alakban is használjuk. Jelen esetben:

2 5 1 3 4i i i i i .+ = + + (6)

Szavakban: a befolyó áramok összege egyenlő a kifolyó áramok összegével.

Kirchhoff második vagy huroktörvénye tekinthető közvetlen tapasztalati tételnek, de levezethető általánosabb a tapasztalaton alapuló törvényekből is. E törvény szerint bármely hurokra

n

kk 1

u 0.=

=∑ (7)




Szavakban: ha egy hurkot körüljárva a feszültségeket úgy összegezzük, hogy a körüljárási iránnyal egyező irányú feszültségeket pozitív, az ellenke-ző irányúakat negatív előjellel helyettesítjük, eredményül nullát kapunk.

A körüljárás iránya tetszőleges. Fordított körüljárás esetén a nullára redu-kált egyenlet (−1)-gyel szorzott alakját kapjuk. Tekintsük példaként a 3.2. ábrán felvázolt hurkot.

3.2. ábra. Hurok a feszültségek felvett referenciairányaival

és a kijelölt körüljárási iránnyal

A felvett körüljárási iránnyal a hurokegyenlet az alábbi alakot ölti:

L1 R1 g1 C2 R3 LM3 g3 C4 g4 R 4u u u u u u u u u u 0.− + − + − + + − + − = (8)

3.1. példa Írjuk fel a 3.3. ábrába berajzolt két hurokra a hurokegyenletet a felvett referencia- és körüljárási irányokkal, ha R ≠ ∞ , és ha R = ∞ , valamint fejezzük ki az BDU feszültséget.




3.3. ábra

A hurokegyenletek és az BDU feszültség:

AB BD AD BD AD AB

BC DC BD BD BC DC

U U U 0 U U U ,

U U U 0 U U U .

+ − = → = −

− − = → = −

A megoldás R ≠ ∞ , és R = ∞ esetén ugyanaz. A hurkot akkor is értelmezhetjük, ha egy ágában nem folyik áram

( R = ∞ ), azaz az ágban nincs is hálózati elem! (UBD-re ugyanezt az eredményt kapjuk, ha az A, ill. C pontot 0 poten-

ciálú pontnak tekintjük, és utána képezzük a B és a D pont potenciáljának különbségét.)

Villamosságtan Források és generátorok, a helyettesítő generátorok tétele



4. Források és generátorok, a helyettesítő generátorok tétele (Thévenin- és Norton-tétel)

A koncentrált paraméterű hálózatok elemeinek tárgyalása során megis-merkedtünk az ideális feszültség- és áramgenerátorral. Szokás ezeket feszültség- és áramforrásoknak is nevezni, és ahogyan láttuk, a forrásfeszültségükkel, ill. forrásáramukkal jellemezhetjük őket.

Térjünk most rá az olyan aktív kétpólusok vizsgálatára, amelyek a fe-szültségforrás, ill. az áramforrás mellett belső ellenállást is tartalmaznak. Ezek a feszültség-, ill. az áramgenerátorok.

A generátorokat csoportosíthatjuk pl. annak alapján, hogy milyen energiát alakítanak át villamos energiává. A generátorok csoportosításának másik szempontja a generátor feszültsége és árama közötti kapcsolat, a generátor karakterisztikája. Ez a kapcsolat általában nemlineáris, sok esetben azonban egy meghatározott tartományon belül lineárisnak tekinthető. Mi csak ez utóbbit vizsgáljuk. A lineáris generátorra az a jellemző, hogy ha fel-vesszük a kapocsfeszültség és a kapocsáram kapcsolatát, akkor lineáris összefüggést kapunk. Az áramot és a feszültséget a 4.1. ábra szerint az R ellenállás változtatásával befolyásolhatjuk.

4.1. ábra. A kapocsfeszültség változása

a kapocsáram függvényében, ha a generátor lineáris

Legyenek most a mért mennyiségek időben állandóak. Ez esetben a lineá-ris generátor helyettesíthető egy állandó Ug forrásfeszültségű feszültségfor-rás és egy Rb ellenállás soros kapcsolásával, vagy egy állandó Ig forrására-mú áramforrás és egy Rb ellenállás párhuzamos kapcsolásával (4.2. ábra).




4.2. ábra. Lineáris generátor helyettesítése a) feszültségforrással

és belső ellenállással b) áramforrással és belső ellenállással

A kapcsok felől nézve a két elrendezés az Rb = 0, ill. az Rb = ∞ elméleti határesetektől eltekintve egyenértékű. A veszteségi teljesítményük azonban az R = Rb eset kivételével különböző. Rb elnevezése belső ellenállás.

A generátorok karakterisztikáinak implicit alakja a kapcsolások szerint a következőképpen írható:

g b gbHuroktörvény

Csomóponti törvény

UU R I U , I I .

R= + = + (1)

Mindkét összefüggésből pl. a feszültséget kifejezve az árammal kapjuk, hogy: g b b g bU U R I, U R I R I.= − = − (2)

Ebből azonnal adódik, hogy az

g b gU R I= (3)

megfeleltetéssel a két helyettesítés ugyanazt a törvényszerűséget fejezi ki. A forrásmennyiségek (1)-ből is láthatóan üresjárási, ill. rövidzárási állapot-

ban határozhatók meg közvetlenül:

g s g rU U , I 0; I I , U 0,= = = = (4)




ahol Us a kapocsfeszültség szakadással történő lezárás (I=0) esetén, Ir pe-dig a rövidre záráskor (U=0) fellépő rövidzárási áram.

Mindkét állapot megmérésével (3) alapján az Rb belső ellenállás is meg-határozható:

sb

r

UR .

I= (5)

Kis belső ellenállású generátorok rövidzárási árama gyakran nem határoz-ható meg méréssel, mert a fellépő hőhatás a generátort tönkreteszi. Ilyen-kor az üresjárási mérés mellett egy terhelési méréssel határozható meg a belső ellenállás. Nagy belső ellenállású generátoroknál pedig a nagy üres-járási feszültség átütést okozhat.

Ezek után térjünk rá a helyettesítő generátorok tételére. A helyettesítő generátorok tétele szerint egy tetszőleges lineáris kétpó-

lus helyettesíthető akár egy feszültséggenerátorral (feszültségforrás és ellenállás soros kapcsolásával), akár áramgenerátorral (áramforrás és ellenállás párhu-zamos kapcsolásával). Az első kapcsolás a kétpólus Thévenin-ekvivalense, a második a Norton-ekvivalense (4.3. ábra). Az ekvivalens kapcsolások létezé-sét kimondó tételeket ennek megfelelően Thévenin-, ill. Norton-tételnek neve-zik, gyűjtőnevük: a helyettesítő generátorok tétele vagy Helmholtz tétele.

4.3. ábra. Lineáris kétpólus helyettesítése

a) feszültséggenerátorral, ill. b) áramgenerátorral

A helyettesítő generátorok tétele a kétpólus linearitásának következménye, hiszen az U kapocsfeszültség és az I kapocsáram kapcsolata lineáris esetben

0 0 0 0U U R I, ill. I I G U.= − = − (6)




Ahogyan a lineáris generátorok vizsgálatánál láttuk, ugyanilyen összefüg-gések írják le a feszültség- és áramgenerátor karakterisztikáját. Tehát a kétpólus akár feszültség-, akár áramgenerátorral helyettesíthető. Így R0 nem más, mint a helyettesítő generátor Rb belső ellenállása, U0 és I0 pedig a forrásfeszültsége, ill. forrásárama. Ezeket a továbbiakban Ub-vel és Ib-vel fogjuk jelölni.

A forrásmennyiségek most is az üresjárási, ill. a rövidzárási állapotban határozhatók meg közvetlenül:

b s b rU U , I 0; I I , U 0,= = = = (7)

a belső ellenállás pedig ezek hányadosával:

sb

r

UR .

I= (8)

Az üresjárási vagy rövidzárási állapot meghatározása helyett, ha nincs csa-tolt kétpólus, kényelmesebb lehet a belső ellenállás közvetlen számítása. E célból az eredeti hálózatot dezaktivizáljuk (minden forrásmennyiségét nul-lának tekintjük), és meghatározzuk a csak ellenállásokat tartalmazó kétpólus Rbe bemeneti vagy eredő ellenállását (4.4. ábra), vagyis

b beR R .= (9)

4.4. ábra. A helyettesítő generátorok forrásmennyiségeinek

és belső ellenállásának meghatározása




A helyettesítő generátorok tételét különösen akkor célszerű használni, ha a hálózat egyetlen feszültségét vagy áramát keressük. Ekkor ezt a kétpólust tekintjük lezárásnak, a hálózat többi részét pedig egyetlen generátorral helyettesítjük.

4.1. példa Egy telep Us üresjárási feszültsége 4,5 V. R = 86 ohmmal terhelve az U kapocsfeszültsége 4,3 V lesz. Mekkora a belső ellenállása?

A feszültséggenerátoros helyettesítésből kiindulva:

s s sb b

U U U U U U 4,5 4,3R R, R 86 4 .

UI U 4,3R

− − − −= = = = = Ω

4.2. példa Határozzuk meg két párhuzamosan kapcsolt feszültséggenerátor „eredő-jét”, vagyis helyettesítő generátorait (4.5. ábra).

4.5. ábra. Párhuzamosan kapcsolt feszültséggenerátorok helyettesítése

párhuzamosan kapcsolt áramgenerátorokkal

( )

b b1 g1 b2 g2 b1 b2b1 b2

b b1 g1 b2 g2 b b1 b2b

1 1I G U G U , G , G ,

R R

1U G U G U G G G .

G

= + = =

= + = +




4.3. példa Határozzuk meg a Thévenin- és a Norton-helyettesítőkapcsolást a C0 két-pólusra.

4.6. ábra

( )

AB BC

AC B0

C0 g

R R 220R R 1,5 kR 2,7 k , U 10 V.

= = Ω= = Ω

= Ω =

Rb meghatározásához dezaktivizáljuk a generátort, és a kapcsolást 4.7. ábrán látható módon átrajzoljuk.

Az ábra alapján írhatjuk, hogy:

( )[ ]b AB B0 BC AC

191,86

R R xR R x R

220x1500 220 x 1500 323,136 .

= + =

+ = Ω⎡ ⎤⎛ ⎞⎢⎜ ⎟ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Az üresjárási kapocsfeszültség kiszámításához pedig a 4.8. ábrán látható átrajzolást végezzük el.

4.7. ábra 4.8. ábra

b s RB0 RBCU U U U= = +




Először a feszültségosztó képletével határozzuk meg URB0-t:

B0RB0 g

B0 AB AC BC

RB0

195,052

RU U ,

R R x(R R )

1500U 10 ,

1500 220x(1500 220)

=+ +

=+ +

azaz

RB0

1500U 10 8,85 V.

1695, 052= =

URBC URB0 meghatározásához hasonlóan számítható:

BCRBC g RB0

BC AC 1,15

R 220U (U U ) (10 8,85) 0,1471 V,

R R 220 1500= − = − =

+ +

amivel b s RB0 RBCU U U U 8,85 0,1471 8,997 V.= = + = + =

A Norton-generátor forrásárama tehát:

bb

b

U 8,997I 27,843 mA.

R 323,136= = =

Az 4.9. ábrán a helyettesítő Thévenin-generátort látjuk, az C0R ellenállás-sal kiegészítve.

4.9. ábra

Villamosságtan Szinuszos gerjesztésű, lineáris, koncentrált paraméterű, időinvariáns hálózatok



5. Szinuszos gerjesztésű, lineáris, koncentrált paraméterű, időinvariáns hálózatok

A következőkben az időben szinuszosan változó forrásfeszültségű, ill. forrásáramú generátorok hatására létrejövő állandósult áramok és feszült-ségek számítását tárgyaljuk lineáris, időinvariáns hálózatokban. A szinu-szos mennyiségek vizsgálata (AC-analízis) azért fontos, mert nagy a gya-korlati jelentősége, ill. az általánosabb periodikus, sőt nem periodikus fo-lyamatok vizsgálata a szinuszosra visszavezethető.

5.1. Szinuszosan változó mennyiségek leírása valós időfüggvényekkel

Tágabb értelemben váltakozó mennyiségnek (pl. váltakozó áramnak, ango-lul: alternating current = AC) neveznek minden periodikus mennyiséget. A váltakozó mennyiség elnevezést mi a legegyszerűbb, azaz a szinuszfügg-vénnyel leírható folyamatokra alkalmazzuk. Ez három adattal jellemezhető: az amplitúdójával (csúcsértékével), a periódusidejével és a kezdőfázisával:

( ) 2u u t U cos t .

Tπ

= = + ρ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(1)

5.1. ábra. Szinuszosan változó feszültség ábrázolása




Az egyes mennyiségek jelentését az 5.1. ábra szemlélteti. Az elektrotechni-kai gyakorlatban a csúcsérték vagy amplitúdó helyett szívesebben számol-nak az effektív értékkel. A csúcsérték és az effektív érték között a következő kapcsolat áll fenn:

1

U U 0, 707 U.2

= ≈ (2)

A periódusidő reciproka a frekvencia, amely számszerűleg egyenlő az idő-egység alatt fellépő teljes rezgések (periódusok) számával:

[ ][ ]

1 1 1f , f 1 1 hertz 1 Hz.

T T s= = = = = (3)

Ezzel a szinuszos feszültség:

2ˆu U cos t 2U cos(2 ft ).Tπ

= + ρ = π + ρ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(4)

Célszerű bevezetni az

[ ] [ ][ ]22 rad 1

2 f , 1 1T T s s

ππω = π = ω = = = (5)

definícióval a körfrekvenciát, amely a szinuszos mennyiség fázisának válto-zási sebességét adja meg.

Végeredményben egy szinuszosan változó feszültséget (1) helyett az alábbi alakok egyikével szoktuk megadni:

( )u U cos t 2U cos( t ).= ω + ρ = ω + ρ (6)

Természetesen a koszinuszfüggvény helyett jogosan használhatnánk szi-nuszfüggvényt is. Előbbinek az az előnye, hogy 0,ω = és 0ρ = esetén cos( t ) 1,ω +ρ = vagyis a koszinuszos feszültség határesete az egyenfeszült-ség (az egyenfeszültség frekvenciája nulla hertz).

Lineáris és stabil hálózatnál, ha a generátor forrásfeszültsége szinuszos, akkor ál-landósult állapotban (azaz a bekapcsolási folyamatok lezajlása után) a hálózat min-den feszültsége és árama szinuszos lesz. Ezek körfrekvenciái megegyeznek, az amplitúdóik és a kezdőfázisaik eltérők lesznek.




5.2. ábra. Azonos köfrekvenciájú és amplitúdójú, de eltérő fázisú szinuszos feszültségek ábrázolása

A 5.2. ábrán három szinuszos feszültséget láthatunk:

0

1 1 1

2 2 2

u U cos t,

u U cos( t ), 0,

u U cos( t ), 0.

= ω

= ω + ρ ρ >

= ω + ρ ρ <

(7)

Az u1 feszültség ρ1 szöggel siet u0-hoz, és (ρ1+ρ2)-vel u2-höz képest, u0 siet u2-höz, és késik u1-hez képest, u2 késik u1-hez és u0-hoz képest. A „siet” és „késik” eldöntésénél azt kell megnézni, hogy a két függvény egymáshoz legközelebbi azonos fázisú pontjai (pl. a maximumok) milyen pozíciójúak. Ha pl. a vizsgált feszültségek közül az egyik később éri el a maximumát, mint a másik, a vonatkoztatási feszültség, akkor hozzá képest késik, ellen-kező esetben siet.

Az egyszerűbb számolás érdekében valamely mennyiség kezdőfázisát mindig választhatjuk nullának. Rendszerint egy adott mennyiség, pl. egy generátor forrásfeszültségét választjuk U cos tω alakúnak.

A hálózat számítása során elegendő az egyes keresett áramokra vagy fe-szültségekre két adatot megadnunk: a csúcsértéket (vagy az effektív értéket) és a kezdőfázist. Ezáltal a szinuszos mennyiséget, ill. folyamatot teljes egészé-ben meghatároztuk, hiszen ω megegyezik a generátor körfrekvenciájával.




5.2. Szinuszosan változó mennyiségek leírása komplex időfüggvényekkel

Egy komplex számot három alakban tudunk felírni:

j

a lg ebrai exp onentrigonometrikus alakalak ciális alak

z x jy z cos j z sin z e ,ϕ

−

= + = ϕ+ ϕ = (1)

ahol j 1= − az ún. képzetes egység. A trigonometrikus és az exponenciá-lis alak közötti azonosság felfedezése és bizonyítása Leonhard Eulertől (1707–1783) származik, és egyike a matematika legfontosabb összefüggé-seinek, mert lehetővé teszi, hogy trigonometrikus függvények helyett a lényegesen egyszerűbb exponenciális függvényekkel számolhassunk. (Bi-zonyítások a Függelékben tanulmányozhatók!)

A komplex szám elnevezés és a komplex szám síkvektorral (ún. fazor-ral) történő ábrázolása (5.3. ábra) Carl Friedrich Gausstól (1777–1855) szár-mazik.

5.3. ábra. Komplex szám ábrázolása fazorral

A három alakból az alábbi összefüggések írhatók fel:

x Re z z cos , y Im z z sin ,= = ϕ = = ϕ (2)

2 2 yz z x y , arc z arc tg ,

x= = + ϕ = = (3)

ahol z z= a komplex szám abszolút értéke, ϕ pedig a fazorjának szöge. ( z x jy= + képzetes (imaginárius) része y, és nem jy!)




Az Euler-egyenlet értelmében az

u U cos( t )= ω + ρ (4)

szinuszosan változó feszültséget felírhatjuk az

( )[ ]j( t )u Ue U cos t jsin( t )ω +ρ= = ω + ρ + ω + ρ (5)

komplex pillanatérték valós részeként:

u Re u U cos( t ).= = ω + ρ (6)

Maga az u komplex pillanatérték egy olyan fazor, amelynek hossza U , szöge (ωt+ρ) vagyis ω szögsebességgel forog pozitív irányban, a t = 0 pil-lanatban szöge ρ. Az u valódi vagy valós pillanatérték (6) szerint e körben forgó fazor (röviden: szinor) vetülete a valós tengelyre (5.4. ábra).

5.4. ábra. A valódi vagy valós pillanatérték az ω szögsebességgel forgó szinor vetülete a valós tengelyre




Gyakran előfordul valamely komplex szám j-vel történő szorzása, amely a komplex szám fazorjának pozitív 900-os fázisforgatását eredményezi, hi-szen a korábbi valós értékből képzetes, a képzetes részből (−1)-gyel szor-zott valós rész lesz, azaz a fazor valós és képzetes része is, tehát végered-ményben a teljes fazor, 900-kal elfordul pozitív irányban.

A továbbiak szempontjából fontos összefüggéshez jutunk, ha meg-vizsgáljuk, hogy egy szinor Δt idő alatt miként változik meg (5.5. ábra).

5.5. ábra. A szinor megváltozása Δt idő alatt

Az ábra alapján u t uΔ ≈ ωΔ (ív = sugár szorozva a szöggel), valamint uΔ szöge ≈ 90°-kal nagyobb u szögénél. Mivel uΔ 90°-os pozitív irányú

elfordulása u -hoz képest j-vel való szorzással vehető figyelembe, a meg-változás komplex értékére azt írhatjuk, hogy

u j tu,Δ ≈ ωΔ (7) ill.:

uj u .

tΔ

≈ ωΔ

(8)

Ha t 0,Δ → akkor a közelítés egyre pontosabb, amit az alábbiak szerint fejezünk ki:

t 0

u dulim j u.

t dtΔ →

Δ= = ω

Δ (9)




Végül szükségünk lesz még egy összefüggésre, mely szerint két komplex szám összegének valós részét úgy is megkaphatjuk, hogy azok valós részeit összegezzük (5.6. ábra):

5.6. ábra. Komplex számok összegezése fazorjaikkal

( )1 2 1 2Re u u Re u Re u .+ = + (10)

Az összefüggés fordítva is értelmezhető, és az u1, u2 valós pillanatértékekre vonatkoztatva az

1 2 1 2 1 2u u Re u Re u Re(u u )+ = + = + (11)

egyenlőséghez jutunk. Ezek után alakítsuk át még az u komplex pillanatérték kifejezését az

alábbiak szerint:

j( t ) j j t j tu e e e e ,ˆˆ Û U Uω +ρ ρ ω ω= = = (12) ahol

jeˆ Û U ρ= (13)

az ún. komplex csúcsérték. Ebből a komplex effektív érték:

U

.2

U = (14)

Látható, hogy

,Û U= és arc .Uρ = (15)




Mivel az ω körfrekvencia a hálózatban közös, ezért egy vizsgált mennyiség-re vonatkozó valamennyi információt, azaz a csúcsértéket (effektív értéket) és a kezdőfázist egyaránt kifejezi a komplex csúcsérték, ill. effektív érték.

Két azonos körfrekvenciájú feszültség összegezésekor nemcsak a pil-lanatértékeket összegezhetjük, hanem a komplex effektív értékeket, ill. a komplex csúcsértékeket is. Ennek belátásához írjuk fel az 0 1 2u u u= + összefüggést a komplex pillanatértékek exponenciális alakjával:

0 1 20 1 2

j j jj t j t j te e e e e e .ˆ ˆ Û U Uρ ρ ρω ω ω= + (16)

Mindkét oldalt elosztva j te ω -vel azt kapjuk, hogy

0 1 2j j j0 1 2e e e ,ˆ ˆ Û U Uρ ρ ρ= + (17)

azaz

0 1 2 .ˆ ˆ Û U U= + (18)

Az eddigiekben az u mennyiséget feszültségnek tekintettük. Ugyanezek az összefüggések érvényesek és alkalmazhatók értelemszerűen más szinuszo-san változó mennyiségekre is.

Villamosságtan Általánosított Ohm-törvény, az impedancia



6. Általánosított Ohm-törvény, az impedancia

Vizsgáljuk meg, hogy a komplex írásmódban milyen kapcsolat van a lineá-ris invariáns ellenállás, tekercs és a kondenzátor kapcsain fellépő feszültség és a rajtuk átfolyó áram között. Induljunk ki az ismert

CLR R L C

dudiu Ri , u L , i C

dt dt= = = (1)

összefüggésekből. A feszültséget és az áramot komplex pillanatértékével helyettesítve:

R R L L C Cu R i , u j L i , i j Cu .= = ω = ω (2)

j tu 2Ue ω= és j ti 2 Ie ω= figyelembevételével az előbbi egyenleteink:

j t j t j t j t j t j t

R R L L C C2U e R 2 I e , 2U e j L 2 I e , 2 I e j C 2U eω ω ω ω ω ω= = ω = ω (3)

j t2e ω -vel való egyszerűsítés után a komplex effektív értékek kapcsolatára kapunk összefüggéseket:

R R L L C C

1U R I , U j LI , U I .

j C= = ω =

ω (4)

Mindhárom esetben egy, az Ohm-törvénnyel analóg, egyszerű összefüg-gést kaptunk, amelyet az

[ ] VU Z I , Z 1 1 ohm 1

A= = = = Ω (5)

alakban szokás megfogalmazni. Ez az ún. általánosított Ohm-törvény. Az ellenállás helyére most egy Z komplex szám, az impedancia került.

Az összefüggések egybevetéséből látható, hogy az egyes elemek impedan-ciája a következő:

R L C

1Z R, Z j L, Z .

j C= = ω =

ω (6)




Az impedancia valós, ill. képzetes részére az R, ill. X jelölés, szögére a ϕ használatos, tehát

jZ R jX Ze .ϕ= + = (7)

Az impedanciát is szemléltethetjük fazorral (6.1. ábra).

6.1.ábra. Az impedancia ábrázolása fazorral

A valós jellemzők kapcsolatára az alábbi összefüggéseket írhatjuk fel:

[ ] [ ]

2 2 0XZ R X , arc tg ; 90

RR Z cos , X Z sin ; R X 1 .

= + ϕ = ϕ ≤

= ϕ = ϕ = = Ω (8)

Itt R a hatásos ellenállás vagy rezisztencia, X a meddő ellenállás vagy reaktancia, Z az impedancia abszolút értéke, amit szokás látszólagos ellenál-lásnak is nevezni.

A tekercsnek és a kondenzátornak csak reaktanciája van, ezek az ún. reaktáns elemek.

A csak reaktanciákat tartalmazó hálózatokat reaktáns hálózatoknak ne-vezzük. Az induktív, ill. kapacitív reaktancia kifejezése az alábbi:

L C

1X L, X .

C= ω = −

ω (9)




(Az induktív reaktancia pozitív, a kapacitív pedig negatív!) A látszólagos ellenállások:

L L C C

1Z X L, ill. Z X .

C= = ω = =

ω (10)

Az impedancia mellett használják annak reciprokát, az admittanciát is (6.2. ábra).

6.2. ábra. Az admittancia ábrázolása fazorral

[ ] [ ] [ ]j1Y , Y G jB Ye ; Y G B S (siemens).

Z− ϕ= = + = = = = (11)

Itt G a hatásos vezetés vagy konduktancia, B a meddő vezetés vagy szuszceptancia, Y pedig a látszólagos vezetés. Ügyeljünk arra, hogy míg Y=1/Z, addig G l / R,≠ és B 1/ X.≠ A ϕ jelölést az impedancia szögére tartják fenn, így Y .ϕ = −ϕ Az admittanciával Ohm törvénye így alakul:

I YU.= (12)

Az (5) általánosított Ohm-törvény felírható az alábbi alakban is:

u

u i

i

jj( ) j

j

U Ue Ue Ze .

I Ie I

ρρ −ρ ϕ

ρ= = = (13)




Az abszolút értékek, ill. a szögek egyenlőségéből következik, hogy

u i

UZ, .

I= ρ −ρ = ϕ (14)

Megállapíthatjuk, hogy a feszültség az impedancia szögével siet az áramhoz képest. Ha ϕ negatív, akkor a feszültség negatív szöggel siet, vagyis késik.

Csatolt tekercsek esetében is alkalmazhatjuk a komplex pillanatérté-kekkel és effektív értékekkel történő számítási módszert. Kiindulva a line-áris, invariáns csatolt tekercspár

1 21 1

1 22 2

di diu L M ,

dt dtdi di

u M Ldt dt

= +

= + (15)

karakterisztikájából, a komplex effektív értékekre vonatkozó összefüggé-sek a következők lesznek:

1 1 1 2

2 1 2 2

U j L I j M I ,

U j M I j L I ,

= ω + ω

= ω + ω (16)

ahol j Mω az ún. csatolási impedancia. Ezek után foglaljuk össze a szimbolikus számítási eljárás lépéseit. Leg-

előbb a valódi pillanatértékhez hozzárendeljük a komplex pillanatértéket. A Kirchhoff-törvényeket, valamint az általánosított Ohm-törvényt már a komplex amplitúdókra vagy effektív értékekre írjuk fel. A keresett meny-nyiség komplex pillanatértékének meghatározása után képezzük annak reális részét, hogy megkapjuk a valódi pillanatértéket.

A számolást valós időfüggvényekkel is elvégezhetjük, de sokkal körül-ményesebb módon (lásd 6.3., 6.4. feladat).

A két számolási eljárás összehasonlítását láthatjuk a következő oldalon (szinuszos áramú hálózatok állandósult állapotának számítása szimbólikus módszerrel).

Végül az (5) összefüggés értelmében a kétpólus impedanciája vagy komplex ellenállása nem más, mint a kétpóluson lévő feszültség komplex effektív értékének és a kétpóluson átfolyó áram komplex effektív értéké-nek a hányadosa.




6.1. Szinuszos áramú hálózatok állandósult állapotának számítása szimbolikus módszerrel

( )

( )

általánosított Ohm-törvénykiindulási i v.u

j t CR R L L C

LR R L C

kiindulási i v.u

Iˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆKomplex i t Ie U RI , U j LI , Uj C

Euler relációdiˆValós i t I cos t u Ri , u L , idt

ω= → = = ω = →ω

↑ − ↑ ↑ ↑

= ω → = = = C

differenciálegyenletek

duCdt

→

végeredmény komplex alakban

j t j( t )

végeredmény valós alakban

algebrai egyenletek

differenciál és trigonometrikus egyenletek

ˆ û(t) Ue Ue

u(t) Re u(t)û(t) U cos( t ).

ω ω +ρ

−

→ = =

↓ =

→ = ω +ρ

6.1. példa Határozzuk meg a 6.3. ábrán felvázolt hálózatban folyó I áramot.

6.3. ábra

( )( )( )

j tu

û t U e , 0û t U cos t

ω= ρ =

↑ = ω

Kirchhoff huroktörvénye a komplex amplitúdókkal így írható:

( )R L

UR j L R j L .

R j Lˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Û U U I I I I= + = + ω = + ω → =

+ ω




2 2 2

UI ;R L

Lârc I arc tgR

=+ω

ω= −

( ) ( )Lj t arc tg

R

Komplex pillanatértékValódi pillanatérték

Lˆ î t Ie Re i t Icos t arc tg .R

ω⎛ ⎞ω −⎜ ⎟⎝ ⎠

→

ω⎛ ⎞= = ω −⎜ ⎟⎝ ⎠

6.2. példa

Mekkora a soros RL-kapcsolás generátorfeszültsége, ha i(t) cos tI= − ω ?

Az előző példa szerint ( )R j L ,ˆ Û I= + ω azaz 2 2 2R L ,ˆ Û I= + ω és

u i i

Larc tg .

Rω

ρ = ρ + = ρ + ϕ

Ezzel 2 2 2 j( t ) 2 2 2u(t) R L e u(t) R L cos( t )ˆ Î Iω +ϕ= − +ω → = − +ω ω +ϕ . Összehasonlításként oldjuk meg ez utóbbi feladatot valós időfüggvé-

nyekkel is (lásd 6.3., 6.4. példa).

6.3. példa

Egy L induktivitású önindukciós tekercsre az 0 sin tU ω hálózati feszültsé-get kapcsoljuk (6.4. ábra). Mekkora lesz az áramerősség?

6.4. ábra

Az önindukciós feszültség minden pillanatban egyensúlyt tart a tekercsre rákapcsolt feszültséggel, azaz

0

isin t L .

tU Δ

ω =Δ

(1)




Kifejezve az áram megváltozását azt kapjuk, hogy

0Ui t sin t.

LΔ = Δ ω (2)

Először bebizonyítjuk, hogy i(t) cos tI= − ω estén az áram megváltozása, i t sin tIΔ = ωΔ ω , tehát szintén szinuszfüggvénnyel írható le, összhangban a

(2)-es összefüggéssel. Az cos tI ω függvény előállítható az I hosszúságú ω szögsebességgel forgó vektor vízszintes tengelyre képzett vetületeként.

6.5. ábra. A koszinuszfüggvény szerint váltakozó áram

Δt idő alatti megváltozása

A 6.5. ábra alapján ˆi I t sin tΔ = − ωΔ ω , ha i(t) cos tI= ω . i(t) cos tI= − ω esetén Δi is előjelet vált, ahogy az ábrán is látható. Tehát végeredményben:

ˆi I t sin tΔ = ωΔ ω (3)

A (2)-es összefüggés, figyelembevételével írhatjuk, hogy

0Ut sin t t sin t,

LIωΔ ω = Δ ω (4)

azaz

0U

.L

I =ω (5)




Végül az áram kifejezése:

o0 0ˆ Û U

i(t) cos t cos t sin( t 90 ).L L

I= − ω = − ω = ω −ω ω

(6)

A fáziskésés a feszültséghez képest 90°.

6.4. példa Kapcsoljunk sorba az önindukciós tekerccsel egy R ellenállást (6.6. ábra). Mekkora a kapocsfeszültség a soros RL-tagon, ha az áram i(t) cos tI= − ω ?

6.6. ábra

Ha a körben i(t) cos tI= − ω áram folyik, akkor a tekercs feszültsége az előző példa értelmében:

L

î I t sin tu L L L sin t

t tIΔ ωΔ ω

= = = ω ωΔ Δ

(1)

Az ellenállás feszültsége: RU R cos t.I= − ω (2)

Kirchhoff huroktörvénye értelmében:

u(t) R cos t L sin t.ˆ Î I= − ω + ω ω (3)

Bővítsük (3)-at 2 2 2R L+ ω -tel:

2 2 2

2 2 2 2 2 2

R Lu(t) R L cos t sin t .

R L R LI − ω

= + ω ω + ω+ω + ω

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(4)




Ha R-t és ωL-t egy derékszögű háromszög két befogójának tekintjük (6.7. ábra), akkor 2 2 2R L+ ω éppen az átfogó, és

2 2 2

Rcos ,

R Lϕ =

+ ω (5)

ill.

2 2 2

Lsin .

R L

ωϕ =

+ ω (6)

6.7. ábra

Ezzel ( )2 2 2u(t) R L cos t cos sin t sin ,I= − + ω ω ϕ− ω ϕ (7) illetve 2 2 2u(t) R L cos( t ),I= − + ω ω + ϕ (8) vagy 2 2 2 ou(t) R L sin( t 90 ).I= + ω ω + ϕ− (9)

Ha R = 0, akkor ϕ = 90°, és

u(t) L sin tI= ω ω , (10)

az előző példa kapocsfeszültségével egyezően.

Villamosságtan Az eredő impedancia meghatározásának módszerei



7. Az eredő impedancia meghatározásának módszerei (sorosan és párhuzamosan kapcsolt impedanciák eredője)

A hálózatok számítását nagyon megkönnyíti, ha több összekapcsolt kétpó-lust, amelyek együtt újból kétpólust alkotnak, egyetlen kétpólusnak tekin-tünk. A két tipikus ilyen kapcsolás a soros és párhuzamos kapcsolás.

Kétpólusok akkor vannak sorba kapcsolva, ha az áramuk közös, és a feszült-ségeik összegeződnek. Kétpólusok akkor vannak párhuzamosan kapcsolva, ha a feszültségük közös, és áramaik összegeződnek.

Vizsgáljuk először a lineáris, időinvariáns impedanciák soros kapcsolását (7.1. ábra).

7.1. ábra. Impedanciák sorba kapcsolása

Alkalmazzuk Kirchhoff huroktörvényét a kapcsolásra:

n

1 2 3 1 2 3 kk 1

U U U U 0 U U U U U U .=

− + + + = → = + + → =∑ (1)




Az eredő kétpólus maga is egy lineáris, időinvariáns impedancia, amelynek értéke sZ . Az (1)-es összefüggés és az általánosított Ohm-törvény alapján

n n n

s k k kk 1 k 1 k 1

U Z I U Z I I Z .= = =

= = = =∑ ∑ ∑ (2)

A közös árammal egyszerűsítve kapjuk az eredő impedancia kifejezését:

n

s kk 1

Z Z .=

= ∑ (3)

A soros eredő impedancia valós része nagyobb bármelyik összetevő impe-danciájának valós részénél. Ha valamennyi impedancia képzetes része nul-la, de a valós része, R≠0, akkor ellenállások soros kapcsolásáról van szó, amelynek eredő rezisztenciája értelemszerűen:

n

s kk 1

R R .=

= ∑ (4)

Az egyes impedanciákon fellépő feszültségek arányosak az impedanciával:

kk k

s

ZU Z I U.Z

= = (5)

Ha valamennyi impedancia egyenlő, vagyis kZ Z,= akkor SZ nZ,= és

k

UU .

n=

Speciálisan két sorba kapcsolt impedancia (7.2. ábra) esetében:

7.2. ábra. Feszültségosztó kapcsolás

s 1 2Z Z Z ,= +




22

1 2

ZU U.

Z Z=

+ (6)

Ezt a kapcsolást feszültségosztónak hívjuk. Ha valamennyi képzetes érték nulla, akkor

22

1 2

RU U.

R R=

+ (7)

Most vizsgáljuk lineáris, időinvariáns impedanciák párhuzamos kapcsolását (7.3. ábra).

7.3. ábra. Impedanciák párhuzamos kapcsolása

Alkalmazzuk Kirchoff csomóponti törvényét a kapcsolásra:

n

1 2 3 1 2 3 kk 1

I I I I 0 I I I I I I .=

− + + + = → = + + → =∑ (8)

Az eredő kétpólus maga is egy lineáris, időinvariáns impedancia, amelynek értéke pZ . A (8)-as összefüggés és az általánosított Ohm-törvény szerint

n n n

kk 1 k 1 k 1p k k

U U 1I I U

Z Z Z= = =

= = = =∑ ∑ ∑ . (9)

A közös feszültséggel egyszerűsítve az eredő impedancia reciprokára azt kapjuk, hogy

n

k 1p k

1 1Z Z=

= ∑ . (10)




Nulla képzetes részű impedanciák esetén az összefüggés az alábbi:

n

k 1p k

1 1R R=

= ∑ . (11)

Az egyes impedanciákon átfolyó áramok fordítottan arányosak az impe-danciával:

pk

k k

ZUI I

Z Z= = . (12)

Ha valamennyi impedancia egyenlő, vagyis kZ Z= , akkor pZ Z / n= , és

kI I / n= . Speciálisan két párhuzamosan kapcsolt impedancia esetén (7.4. ábra):

7.4. ábra. Áramosztó kapcsolás

p 1 2

1 1 1,

Z Z Z= + (13)

p

11

ZI I .

Z= (14)

A (13)-as összefüggés szerinti műveletre, reciprokképzés és összeadás (vagyis plusz), alkalmazzuk a replusz elnevezést és a x műveleti jelet:

1 2p 1 2

1 2

Z ZZ Z x Z .

Z Z=

+ (15)




(15)-tel az áramosztó képlete a következő:

21

1 2

ZI I .

Z Z=

+ (16)

Az impedanciák párhuzamos kapcsolására kapott összefüggéseket az ad-mittanciákkal is felírhatjuk:

n

kp k k

k 1 p

YY Y , I I

Y=

== ∑ . (17)

Ha speciálisan n=2, akkor

1p 1 2 1

1 2

YY Y Y , I I .

Y Y= + =

+ (18)

A párhuzamos kapcsolásra vonatkozó összefüggések az admittanciákkal ugyanolyan alakúak, mint a soros kapcsolásra vonatkozóak az impedanci-ákkal.

Ha a hálózat csak egyetlen forrást tartalmaz, és a forráshoz csatlakozó rész impedanciák soros és párhuzamos kapcsolásából épül fel, akkor a forráshoz csatlakozó kétpólus eredő impedanciája meghatározható a sZ és

pZ kiszámítására kapott összefüggések ismételt alkalmazásával.

7.1. példa

Határozzuk meg 1Z (3 j2)= + Ω és 2Z (1 j4)= − Ω impedanciák soros és párhuzamos eredőjét.

s 1 2

1 2p

1 2

Z Z Z 3 j2 1 j4 (4 j2) ,

Z Z (3 j2)(1 j4) 3 j2 j12 8Z

Z Z 4 j2 4 j2

11 j10 (11 j10)(4 j2) 44 j40 j22 204 j2 (4 j2)(4 j2) 16 4

64 j18(3, 2 j0,9) .

20

= + = + + − = − Ω

+ − + − += = = =

+ − −

− − + − + += = = =

− − + +

−= = − Ω

Villamosságtan A dualitás elve



8. A dualitás elve

A párhuzamosan és sorosan kapcsolt impedanciák eredő impedanciáját a következőképpen írtuk fel:

n

k 1p k

1 1,

Z Z=

= ∑ ill. n

s kk 1

Z Z .=

= ∑ (1)

k1/ Z helyett kY t− (a k-adik ág admittanciáját) írva a két összefüggés:

n

p kk 1

Y Y ,=

= ∑ ill. n

s kk 1

Z Z ,=

= ∑ (2)

amelyek hasonlósága azonnal szembetűnik. Ha pl. azonos körfrekvenciájú feszültséggenerátorokat kapcsolunk sorba, akkor az eredő forrásfeszültség:

n

bs gkk 1

U U ,=

= ∑

az eredő belső impedancia:

n

bs bkk 1

Z Z ,=

= ∑ (3)

ill. ha áramgenerátorokat párhuzamosan, akkor az eredő forrásáram: n

bp gkk 1

I I ,=

= ∑

és az eredő belső admittancia:

n

bp bkk 1

Y Y=

= ∑ . (4)

Ezekben az esetekben azt mondjuk, hogy a két elrendezés, ill. hálózat egymásnak duálja. Két sorba kapcsolt ág duálja két párhuzamosan kap-csolt ág. Két párhuzamosan kapcsolt ág duálja két sorba kapcsolt ág. A duálhálózat ágadmittanciája megfelel az eredeti hálózat ágimpedanciájának. (Összefüggéseink az egyik esetben impedanciákra, a másikban admittan-ciákra vonatkoznak). Az ágfeszültség duálmennyisége az ágáram, és vi-szont: U I↔ . (5)

Villamosságtan A dualitás elve



Az eredeti és a duálhálózat változóinak összerendelése egy R rezisztanciá-val (lehet 1 Ω vagy 1 kΩ stb. is) a következők szerint valósul meg:

k k k k

1U R I , I U ,

R′′ ′ ′′ ′= = (6)

ahol k kI , U′ ′ (k = 1, 2, …, b) az eredeti hálózat ágfeszültségeit és ágárama-

it, k kI , U′′ ′′ (k = 1, 2, …, b) pedig a duálhálózatét jelenti.

Képezzük az k kU / I′′ ′′ hányadost:

k k2 2kk k

k k k

I R IUZ R R Y .

I U / R U

′ ′′′′ ′= = = =

′′ ′ ′ (7)

A duálhálózat ágimpedanciája tehát megfelel az eredeti hálózat ágadmit-tanciájának.

A dualitás elvét pl. tételek igazolásánál lehet felhasználni. Ha egy tétel igazolt, akkor duálisát nem kell külön igazolni. Pl. a feszültségosztó képle-téből azonnal adódik az áramosztóé:

1 1Z1 g Y1 g

1 2 1 2

Z YU U I I .

Z Z Y Y= ↔ =

+ + (8)

Egy összetett hálózat duálját szisztematikusan az ún. duálgráf segítségével kaphatjuk meg. Eszerint egy S′ összefüggő síkgráfhoz mindig rendelhető egy S″ duális összefüggő síkgráf úgy, hogy ágnak ág, vágatnak hurok, hu-roknak pedig vágat felel meg. (A vágat azon ágak összessége, amelyek el-metszésével az összefüggő gráf két különálló részre esik szét.)

Villamosságtan A szuperpozíció elve



9. A szuperpozíció elve

A lineáris hálózatok áramaira és feszültségeire vonatkozó törvények a két Kirchhoff-törvény, az impedanciákra vonatkozó általánosított Ohm-tör-vény és a forrásmennyiségekre vonatkozó kifejezések:

k kk k

I 0, U 0,= =∑ ∑

(1) k kk k

k kgkgk

Y UZ IU , I

IU.= =

⎧⎧⎨ ⎨⎩ ⎩

Mivel ezek az egyenletek mind lineárisak, ezért a lineáris hálózatokra érvé-nyes a szuperpozíció elve, amely az alábbiakat mondja ki:

Ha egy lineáris hálózat több forrást tartalmaz, akkor bármely ág árama vagy feszültsége úgy számítható, hogy egyenként meghatározzuk az egyes források által létrehozott részáramokat, ill. részfeszültségeket, és ezeket összegezzük (szuperponáljuk). Az egyes források hatásának vizsgálata során a többi forrásmennyiséget nullának tekintjük, vagyis a nem vizsgált feszültségforrást rövidzárral helyettesítjük (Ug=0), a nem vizsgált áramfor-rást pedig szakadással (Ig=0).

A szuperpozíció elvének alkalmazását szemlélteti egy egyszerű hálózatra a 9.1. ábra.

9.1. ábra. A szuperpozíció elvének szemléltetése

(A szuperpozíció elve szerint egyszerre mindig csak egy forrás hatását vizsgáljuk, majd a hatásokat összegezzük.)




Írjuk fel az eredeti és a két, csak egy-egy forrást tartalmazó hálózatra az egyenletek teljes rendszerét.

1 2 g

1 2 g

1 1 1

2 2 2

I I I 0

U U U 0

U R I

U R I

− + − =

+ − =

=

=

1 2

1 2 g

1 1 1

2 2 2

I I 0 0

U U U 0

U R I

U R I

′ ′− + − =

′ ′+ − =

′ ′=

′ ′=

1 2 g

1 2

1 1 1

2 2 2

I I I 0

U U 0 0

U R I

U R I

′′ ′′− + − =

′′ ′′+ − =

′′ ′′=

′′ ′′=

(2)

Ha mindkét forrás egyszerre aktív, akkor a két egyforrású hálózatra felírt két egyenletrendszer egymásnak megfelelő egyenleteit összegezve, a kapott új egyenletrendszer ekvivalens lesz a kétforrású hálózatra felírt egyenlet-rendszerrel, hiszen a szuperpozíció elvének megfelelő

1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2I I I , I I I , U U U , U U U′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′= + = + = + = +

helyettesítések a lineáris karakterisztikák miatt nemcsak a Kirchhoff-egyen-letekre, hanem a kétpólusokra is alkalmazhatók. Ha a források száma s, akkor a k-adik ág árama, ill. feszültsége:

s s

( j) ( j)k k k k

j 1 j 1

I I , U U ,= =

= =∑ ∑ (3)

ahol ( j)kI , ill. ( j)

kU a j-edik forrás által a k-adik ágban létrehozott áram, ill. feszültség (miközben a többi forrásmennyiség nulla).

Ugyanilyen összefüggéseket írhatunk fel szinuszos áramú hálózatokra is, ha azok lineárisak. A különbség csak annyi, hogy az ellenállások helyett ez esetben impedanciák szerepelnek, a forrásmennyiségek pedig komplex csúcsértékek, ill. effektív értékek lesznek.

A szuperpozíció elve lehetővé teszi, hogy egyetlen forrást tartalmazó hálózatra érvényes számítási módszerek ismételt alkalmazásával vizsgál-hassunk több forrást tartalmazó lineáris hálózatot is.

A szuperpozíció elvének érvényessége annyira jellegzetes a lineáris há-lózatokra, hogy nem tételnek, hanem definíciónak szokás tekinteni.

Lineáris az a hálózat, amelyre a szuperpozíció elve érvényes.




Tekintsük azt a speciális esetet, amikor a lineáris hálózat csak egyetlen forrást tartalmaz, tehát úgy reprezentálható, mint egy forrásra kapcsolt olyan kétpólus, amely forrásokat nem tartalmaz (9.2. ábra).

9.2. ábra. A szuperpozíció speciális esete

az egyetlen forrást tartalmazó lineáris hálózat

Ha Ug forrásfeszültség (vagy Ig forrásáram) hatására a hálózat k-adik ellen-állásának árama Ik, feszültsége Uk, akkor a szuperpozíció elvének értelmé-ben cUg forrásfeszültség (vagy cIg forrásáram) hatására az illető áram, ill. feszültség cIk, ill. cUk lesz, ahol c konstans érték.

Valamely generátor komplex forrásmennyisége egy koszinuszfüggvény szerint változó valós és egy szinuszfüggvény szerint változó képzetes rész összege. A szuperpozíció-tétel értelmében a hálózat bármely ágának ára-ma, ill. feszültsége a forrás ezen két részmennyiségének hatására létrejövő két részáram, ill. részfeszültség összegeként adódik. Mivel fizikai tartalmat csak az egyik részmennyiséghez (pl. a valós értékhez) rendelünk, a másik nullának tekintendő (szimbolikus módszer).

9.1. példa

Meghatározandó a Z impedancia áramának és feszültségének effektív értéke és feszültségének időfüggvénye (9.3. ábra).

1 2Z Z (1 j2)= = + Ω 3 4Z Z 10= = Ω Z (20 j10) ,= − Ω

( ) [ ]1u 2 110 cos t Vt = ω ( ) [ ]2u 2 110 sin t Vt .= ω

9.3. ábra




Oldjuk meg a feladatot a szuperpozíció elvének felhasználásával.

Áttérés komplex mennyiségekre

Legyen az u1 feszültség komplex effektív értéke valós, vagyis 1U 110 V.= Ez esetben 2U j110 V.= −

Komplex mennyiségekkel való számolás

Az AB-kapocspár üresjárási feszültsége a helyettesítő Thévenin-generátor bU forrásfeszültsége. A szuperpozíció elve alapján:

3 4b AB A B 1 2

1 3 2 4

Z ZU U U U U U (114 j 79, 2) V.

Z Z Z Z= = − = − = +

+ +

A helyettesítő generátor belső impedanciája:

b 1 3 2 4

(1 j2)10Z Z x Z Z x Z 2 (2, 4 j 3, 2) .

1 j2 10+

= + = = + Ω+ +

A keresett áram és feszültség komplex, ill. valódi effektív értéke:

b

b

UI (5,33 j 0,38) A, I 5,39 A;

Z Z= = + =

+

U Z I (102,8 j 60,9) V, U 119,5 V= = + = .

Visszatérés a valós időfüggvények tartományába

A feszültség pillanatértéke:

( ) j tu t Re( 2Ue ) 2 Re(102,8 j 60,9)(cos t j sin t)

2(102,8cos t j60,9sin t)V.

ω= = + ω + ω =

= ω − ω

A másik alak előállításához számítsuk ki u kezdőfázisát:

60,9arc U arc tg 30, 6

102,8ρ = = =

Ezzel a feszültség időfüggvénye:

( ) j t j( t )

o

u t Re( 2Ue ) Re( 2Ue ) 2U cos( t )

2 119,5cos( t 30, 6 ) V.

ω ω +ρ= = = ω + ρ =

= ⋅ ω +

Villamosságtan Hálózatok analízise gráfokkal, a hálózategyenletek teljes rendszere



10. Hálózatok analízise gráfokkal, a hálózategyenletek teljes rendszere

Az 1. fejezetben már láttuk, hogy milyen hasznos eszköz a hálózatanalízis-ben a hálózat struktúrájának (topológiájának) gráfokkal történő vizsgálata. Különösen igaz ez, ha bonyolultabb hálózatokról van szó, ill. ha számító-gépes analízist szeretnénk megvalósítani. A most tárgyalandó módszerek – amelyek mind a Kirchhoff-törvények adta egyenletrendszerre vezetnek – teljesen általánosak. Ebben a fejezetben először a hálózat gráfjával és az ahhoz kapcsolódó Kirchhoff-egyenletekkel foglalkozunk, azután áttérünk az ismeretlenekre vonatkozó teljes egyenletrendszerre. Utóbbit csak a line-áris esetben tárgyaljuk.

10.1. A hálózat gráfja A hálózatok két alapvető törvénye a két Kirchhoff-törvény, éspedig a csomópon-ti törvény:

kk

i 0,=∑ minden csomópontra, (1)

és a huroktörvény: k

k

u 0,=∑ minden hurokra. (2)

Ezek a törvények a lineáris és nemlineáris hálózatokra egyaránt érvénye-sek. A Kirchhoff-törvények konkrét alakját a hálózat struktúrája (az ele-mek összekapcsolásának módja) határozza meg, az elemek konkrét saját-sága (az elem karakterisztikája) a Kirchhoff-törvényekben közvetlenül nem jelentkezik.

A hálózat struktúrája vagy topológiája a hálózat gráfjával szemléltethető. A gráf bizonyos elemek összerendelését adja meg, amit a gráf ábrájával érzé-keltethetünk, de leírhatjuk a gráfot mátrixával is.

A hálózat gráfját úgy kapjuk, hogy az egyes kétpólusokat (források és passzív elemek) egy-egy vonaldarabbal helyettesítjük, a vonaldarabok úgy csatlakoznak egymáshoz, mint az egyes kétpólusok.




10.1. ábra. Különböző hálózatokhoz azonos gráfok tartozhatnak

Ebből következik, hogy több különböző hálózat topológiája ugyanazzal a gráffal szemléltethető (10.1. ábra).

Az ág két csomópont közötti hálózati elem szimbóluma, olyan vonalda-rab, amely két csomópontot köt össze.

Az ág mindig csomópontból indul, és csomópontban végződik, de a cso-mópontnak az ágak nem részei. Magától értetődik, hogy általában nincs minden csomópontpár között ág. A hálózat gráfja éppen arról ad felvilá-gosítást, hogy a hálózat mely csomópontjai között helyezkedik el kétpólus.

Az azonosítás érdekében valamilyen (többnyire önkényes) módon meg-számozzuk a csomópontokat (n1, n2, …, nn) és az ágakat (b1, b2, …, bb), amit az a 10.1. ábrán is látható.

A csomópont fokszáma azon ágak száma, amelyek az illető csomópont-ban találkoznak.

A 10.1. ábrán n1 és n3 fokszáma 2, n2 fokszáma 3, n4 fokszáma 4, n5 fok-száma 5.




Ha egy ág mindkét vége ugyanahhoz a csomóponthoz illeszkedik (ön-hurok), az kettővel növeli a fokszámot.

A 0 fokszámú csomópont izolált csomópont, az 1 fokszámú végcsomópont.

Összefoglalva: a gráf alkotóelemei a csomópontok és az ágak. (Egy cso-mópont is lehet gráf.)

A hálózat számítása során az ágak árama és feszültsége ismeretlen vagy adott mennyiség. Ezek az ágáramok szerepelnek a Kirchhoff-törvények-ben is. Mivel a törvények felírásához a feszültségeknek és áramoknak irányt (referenciairányt) kell tulajdonítanunk, a gráf ágait is irányítottnak tekinthetjük.

Az ág iránya megegyezik a feszültség és az áram közösnek választott refe-renciairányával.

A 10.2. ábrán láthatunk egy hálózatot és a hozzárendelt irányított gráfját.

10.2. ábra. A gráf ágainak irányítása megegyezik

a kétpólusok feszültségeinek (és áramainak) irányával

A gráf megrajzolása során a vezetékekkel összekötött, vagyis az azonos potenciálon lévő csomópontokat egyetlen csomópontnak kell tekinteni (az ábrán n5 és 5n′ ). Általában is az mondható, hogy a gráf a hálózat topológi-áját és nem a geometriáját tükrözi, a hosszúságoknak, a vonaldarabok alak-jának nincs jelentősége: a gráf tetszőlegesen deformálható. A sorba és pár-huzamosan kapcsolt elemeket egyetlen ágnak vagy különálló ágaknak te-kinthetjük.




Az ábrákon minden elemet külön ágnak tekintettünk, habár elképzel-hető, hogy az ellenállások eleve eredőket jelentenek, és a generátorok bo-nyolultabb kétpólusok Thévenin-, ill. Norton-képei. A b4 és b5, a b1 és b2 vagy a b7 és b8 ágak tekinthetők egyetlen ágnak is, ekkor persze valamilyen egységes irányt kell választanunk.

10.2. A hálózattopológia alapjai

A gráf bizonyos csomópontjainak és ágainak összessége az eredeti gráf egy részgráfját alkotja. A részgráfba nem tartozó csomópontok és ágak összes-sége a részgráf komplemens- (kiegészítő) gráfja.

A következőkben a gráf néhány, számunkra fontos részgráfját definiáljuk.

Az út p számú csomópont (p = 2, 3, …) és p−1 számú ág olyan halmaza, amelyben két csomópont fokszáma 1, a többi csomópont fokszáma 2. Az út önkényesen irányítható.

Szemléletesen: az út egy csomópontból ágak mentén és csomópontokon keresztül egy másik csomópontba vezet úgy, hogy önmagát nem metszi és nem ismétli.

A gráf összefüggő, ha bármely csomópontja bármely csomópontjából úttal elérhető. Ha a gráf nem összefüggő, akkor több összefüggő részgráfból áll, ezek a gráf komponensei.

Ilyen különálló részgráfokból áll az olyan hálózathoz tartozó gráf, amely-nek csak induktívan csatlakozó részei is vannak. A villamos probléma rendszerint lehetővé teszi, hogy egy-egy közös pont létesítésével (esetleg közös földeléssel) ilyenkor is összefüggő gráfot hozzunk létre.

A következőkben három részgráf játssza a főszerepet: a hurok, a fa és a vágat.

A hurok olyan összefüggő részgráf, amelyben minden csomópont fokszá-ma 2. A hurok önkényesen irányítható.




Egy összefüggő hálózatgráf azon összefüggő részgráfját, amelyben bárme-lyik csomópontból bármelyik csomóponthoz el lehet jutni egymáshoz csatlakozó ágakon át, amely részgráf azonban zárt hurkot nem tartalmaz fának nevezzük.

A megmaradt ágakat húrágaknak vagy kötőágaknak, ezek rendszerét pótfának nevezzük (10.3. ábra).

10.3. ábra. A gráf fája és kötőágai

Egy gráfhoz igen nagyszámú fát találhatunk. Bármely fa ágainak száma összefüggő gráf esetén n−1, ahol n a csomópontok száma. Kiindulva ugyanis egy tetszőlegesen választott (1) csomópontból, minden következő csomóponthoz egy ág igénybevételével jutunk, így az n-edik csomópontot az (n−1)-edik ág csatolja a fához. Ha a gráf p különálló részből áll, mind-egyik részére egy-egy fát szerkeszthetünk. Az így adódó „liget” ágainak száma, mint azt a személet mutatja, n-p.

Az ágak összességét, amelyek elmetszésével, ill. elvételével (miközben a csomópontok a helyükön maradnak) az összefüggő gráf két különálló részre esik szét, viszont bármelyik ág visszarakása már összefüggést létesít, vágatnak nevezzük (10. 4. ábra)

A vágatot önkényesen választott iránnyal láthatjuk el, amely az egyik kü-lönálló részből a másik felé mutat.




10.4. ábra. Síkgráf irányított vágatokkal

Bármely csomóponthoz illeszkedő ágak halmaza vágatot alkot. Ezek az ún. csomóponti vagy csomópont által generált vágatok (10.4/b ábra).

10.3. Fundamentális hurok- és vágatrendszer Egy gráf általában igen sok hurkot és vágatot tartalmaz. Számunkra azon-ban csak a hurkok és vágatok olyan rendszerének van jelentősége, ame-lyekre a két Kirchhoff-törvényt alkalmazva lineárisan független és teljes (maximális számú) egyenletrendszert kapunk. A hurkok, ill. vágatok ilyen rendszere fundamentális hurok-, ill. vágatrendszert alkot.

Függetlennek akkor nevezzük az egy adott gráfhoz tartozó hurkok rendsze-rét, ha mindegyik legalább egy olyan ágat tartalmaz, amely a rendszerhez tartozó többi hurokban nincs benne.

A gráf fundamentális hurokrendszere a gráf hurokjainak egy olyan rendszere, amely maximális számú független hurkot tartalmaz. Egy gráfnak általában sok fundamentális hurokrendszere van, de mindegyik azonos számú hur-kot tartalmaz (10.5. ábra).

Az 1. fejezetben már teljes indukcióval meghatároztuk a független hurkok, az ágak és a csomópontok száma között fennálló

b n 1= + − (3)

összefüggést. Természetesen ugyanerre az eredményre jutunk a gráf egy tetszés szerinti fájának révén is. Ehhez vegyük fel az (összefüggő) gráf egy tetszés szerinti fáját. Ha egy húrágat (kötőágat) visszateszünk, hurok kelet-




kezik, mert a húrág két végpontja a fán keresztül is össze van kötve. (A hurok tehát egy húrágból és a fa egy vagy több egyértelműen meghatáro-zott ágából áll.) A húrágakat rendre berakva

b (n 1)= − − (4)

hurkot kapunk. ([n−1] a fa ágainak száma!) Ezek a hurkok biztosan füg-getlenek egymástól, hiszen egy kötőág csak egyetlen hurokban szerepel. Több független hurkot nem tudunk létrehozni, mert mindegyik ág szere-pel valamelyik hurokban, ezért az ℓ számú húrág által generált hurkok rendszere a maximális számú hurkot tartalmazza.

10.5. ábra. Egy gráf két fundamentális hurokrendszere

A fa megkonstruálásával tehát könnyen eljutunk a fundamentális hurok-rendszerhez: a hurkok generálásához elegendő a hiányzó húrágakat elhe-lyezni.

A gráf minden fája egy fundamentális hurokrendszert generál oly módon, hogy minden kötőág egy olyan hurkot hoz létre, amelynek a többi ága faág. A hurkok irányát a generáló húrág irányával egyezőnek választjuk.

A fundamentális hurokrendszerhez hasonlóan definiáljuk a fundamentális vágatrendszert:

A gráf egy fundamentális vágatrendszere a gráf vágatainak olyan rendszere, amely maximális számú független vágatot tartalmaz. Egy gráfnak általában sok fundamentális vágatrendszere van, de mindegyik azonos számú vága-tot tartalmaz.




Függetlennek akkor nevezzük egy adott gráfhoz tartózó vágatok rendszerét, ha mindegyik legalább egy olyan ágat tartalmaz, amely a rendszerhez tar-tozó többi vágatban nincs benne.

A gráf csomópontjai a fundamentális csomóponti vágatrendszert generál-ják, ha az összefüggő gráfban egy csomópont kivételével valamennyi cso-móponthoz csomóponti vágat tartozik (10.6. ábra). Ha van szeparáló csomó-pont, akkor ehhez ne tartozzon csomóponti vágat.

Szeparáló csomópont az olyan csomópont, amelynek elhagyásával az ad-dig összefüggő gráf nem összefüggővé válik. A csomópont elhagyásakor a hozzá illeszkedő ágakat is elhagyjuk.

10.6. ábra. Csomóponti vágatrendszer kifelé irányított vágatokkal

A csomóponti vágatrendszer fundamentális, mert minden vizsgált csomó-pontjának van legalább egy olyan ága, amely a korábban vizsgáltakban még nem szerepelt. Az utolsó csomóponthoz viszont csupa olyan ág illeszke-dik, amely már valamelyik másik csomóponthoz illeszkedett.




10.4. A hálózategyenletek teljes rendszere A hálózattopológia legfontosabb fogalmainak áttekintése után térjünk vissza a hálózatok számításához. Célunk annyi független egyenlet felállítá-sa, hogy azok megoldásával a hálózatszámítás alapfeladata, az ágáramok és ágfeszültségek meghatározása a forrásmennyiségek és a kétpólusok karak-terisztikáinak ismeretében megoldható legyen.

A Kirchhoff-törvények konkrét alakja kizárólag a hálózat topológiájá-tól függ, hiszen az tükrözi az egyes kétpólusok összekapcsolásának mód-ját. Ebből máris következik, hogy az n számú lehetséges csomóponti egyenlet közül csak (n−1) független, hiszen ennyi a független vágatok száma egy fundamentális vágatrendszerben, így a csomóponti vágatrendszerben is, amelynek vágataira, ill. csomópontjaira alkalmazzuk Kirchhoff csomópon-ti törvényét. Kirchhoff csomóponti törvénye egészen általánosan vala-mennyi vágatra érvényes, mert mindegyik vágat két önálló, egymással kap-csolatban nem lévő részre bontja a hálózatot. Töltés egyikben sem halmo-zódhat fel, ezért bármely vágathoz tartozó ágakban folyó áramok előjeles összegének nullának kell lennie.

A független hurokegyenletek száma pedig megegyezik a fundamentális hu-rokrendszerek független hurkainak ℓ számával.

A Kirchhoff-egyenletek teljes és független rendszere a következőkép-pen fogalmazható meg:

k

k

kk

(n-1) számú csomópontra (fundamentális vágatra),

számú fundamentális hurokra.

i 0

u 0

=

=

∑

∑ (5)

A Kirchhoff-egyenletek tehát (n−1) + ℓ = b számú lineáris és független egyenletet szolgáltatnak.

A hálózat b számú ágát b számú áram és b számú feszültség jellemzi, ösz-szesen tehát 2b számú ismeretlen. A Kirchhoff-törvények b számú egyen-letet adnak, így további b egyenletre van szükségünk. Ezeket az ágtörvények szolgáltatják. Az ágtörvény az egyes ágak feszültségére és áramára vonat-kozó törvényszerűség, amelyet kizárólag az ágat alkotó elem (vagy elemek) fizikai tulajdonságai határozzák meg a hálózat topológiájától függetlenül.




Az alapfeladatnál mindegyik ágra egy-egy egyenlet írható fel, amely az adott ágnak mint kétpólusnak a karakterisztikája.

A b számú ágra vonatkozó ágtörvények szolgáltatják tehát a b számú további egyenletet, amelyek egymástól és a Kirchhoff-egyenletektől termé-szetesen függetlenek.

Összefoglalva megállapíthatjuk, hogy a Kirchhoff-törvények és az ágtör-vények alapján mindig felírható annyi független egyenlet, amennyi az isme-retlen áramok és feszültségek száma.

Lineáris esetben az egyenletek lineárisak, így megoldásuk nem okoz elvi nehézséget. Lineáris, időinvariáns rendszereknél az ágak karakterisztikái lineáris, az időtől független egyenletek. Az áram és a feszültség kapcsola-tát, ha az ágban forrás nincsen, egyenáramú hálózatoknál Ohm törvénye, szinuszos áramú hálózatoknál az általánosított Ohm-törvény írja le. A forrásmennyiségek ismert értékek, így ha egy ágban csak feszültségforrás vagy csak áramforrás szerepel, csökken a meghatározandó mennyiségek száma és a felírandó egyenleteké is.

10.1. példa Írjuk fel a hálózategyenletek teljes rendszerét a 10.7. ábra hálózatán a kap-csoló bekapcsolt állapotában.

10.7. ábra




Az ismeretlen mennyiségek száma 7 (4 ágáram és 3 ágfeszültség). A füg-getlen csomóponti egyenletek száma: n−1=3−1=2, a hurokegyenleteké:

b (n 1) 4 2 2.= − − = − =

Kirchhoff-egyenletek:

1 2 0 g 0

R1 g R 0 R1 L

K. I. : i i i 0, i i 0,

K. II. : u u u 0, u u 0.

+ − = − + =

− + = − + =

Az ágtörvények:

2g 0 R 0 0 0 R1 1 1 L

diu U , u i R , u R i , u L .dt

= = = =

11.2. példa Írjuk fel a felvázolt lineáris, invariáns hálózat (11.8. ábra) ismeretlen ág-áramainak meghatározásához a független Kirchhoff-egyenleteket.

10.8. ábra

Megoldás: Hat ismeretlen ágáram van, így hat egyenletet kell felírnunk. A csomópontok száma n=4, így a felírható független csomóponti egyenletek száma ncs = 4 −1 = 3. Ezek az A, B és C csomópontokra:




0 1 3

1 2 0 2 4

3 4

(Ha a három egyenletet összeadjuk, megkapjuk a Dcsomópontra vonatkozó egyenletet.Tehát ez nem független a másik háromtól).

I I I 0,I I I 0, I I I 0.I I I 0.

−− + − =

− + + = →− + + =

− + + =

⎫⎪⎬⎪⎭

Szükség van még 3 független hurokegyenletre. Ezek lehetnek az ABDA, ABCA és BDCB hurkokra vonatkozó egyenletek, amelyek az ágtörvénye-ket is figyelembe véve a következők:

1 1 2 2 0 0 0

1 1 3 3

2 2 4 4

R I R I R I U 0,R I RI R I 0,R I R I RI 0.

+ + − =

+ + =

− − =

Az egyenletrendszer felírása után az ismeretlen ágáramok meghatározhatók.

10.3. példa Vizsgáljuk azt az ellenállásból és tekercsből álló hálózatot, amelyet a t 0= pillanatban U0 egyenfeszültségre kapcsolunk (10.9. ábra).

10.9. ábra

A kvantitatív tárgyaláshoz írjuk fel a bekapcsolás után létrejövő hurokra Kirchhoff huroktövényét:

R L gu u u 0.+ − = Az ágtörvények:

R

L 0

g 0

u Ri,di di

u L Ri L U 0, t 0.dt dt

u U

,

.

=

= ⇒ + − = >

=

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭




Az ismeretlenek és a független egyenletek száma három. Rendezve az egyenletet:

0

diL Ri U , t 0.

dt+ = >

1. Az összetevőkre bontás módszerének alkalmazásával határozzuk meg először a tranziens áramösszetevőt. Ehhez írjuk fel és oldjuk meg a karak-terisztikus egyenletet. tAeλ -t a homogén differenciálegyenletbe helyettesít-ve, az egyszerűsítések után kapjuk, hogy

R 1 LL R 0 ; T .

L T Rλ + = → λ = − = − =

A homogén differenciálegyenlet általános megoldása ezek után a következő: t

t Ttri Ae Ae ,

−λ= =

ahol A még meghatározandó állandó, T az ún. időállandó. 2. Állandósult (stacionárius) állapotban a tekercs rövidzárnak tekinthe-

tő, így 0

stUi .R

=

3. A differenciálegyenlet általános megoldása az összetevőkre bontás mód-szere szerint a következő:

t0 T

st tr

Ui i i Ae .

R

−= + = +

4. Az A állandó az i(0)=0 kezdeti feltételből határozható meg:

0 0U Ui(0) A 0 A .

R R= + = → = −

Ezzel az áramerősség kifejezése:

( )t

0 TUi t 1 e , t 0.R

−⎛ ⎞= − ≥⎜ ⎟

⎝ ⎠




Az egyes elemek feszültsége (10.10. ábra): t

TR 0

t t0 T T

L 0

U Ri U 1 e ,

Udi 1U L L e U e .

dt R T

−

− −

= = −

= = − − =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

10.10. ábra

t

TR 0u U 1 e

−

= −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

t

TL 0u U e

−

=

10.4. példa Kapcsoljunk az előző példa hálózatára a t = 0 időpillanatban

g 0u cos tU= ω feszültséget.

A differenciálegyenlet, ha a generátorfeszültséget komplex alakban ír-juk fel:

j t

0

diL Ri e .

dtU ω+ =

A próbafüggvény a stacionárius megoldáshoz ebben az esetben a követke-zőképpen választandó:

j ti (t) e .I ω=




A differenciálegyenletbe helyettesítve:

j tI j L e ωω j tˆRI e ω+ j t0U e ω= ,

azaz

0(R j L) ,ˆ Î U+ ω = amiből

0 0ˆ Û U

.R j L Z

I = =+ ω

Látjuk, hogy az impedancia segítségével tulajdonképpen az inhomogén differenciálegyenlet egy partikuláris megoldása határozható meg. ˆ

0I isme-retében felírhatjuk a stacionárius áram kifejezését:

sti cos( t ),I= ω −ϕ ahol ,Î I= és arc tg L / R.ϕ = ω

Az általános megoldás tehát az alábbi: tT

st tri i i cos( t ) Ae .I−

= + = ω −ϕ +

(A tranziens alakja ugyanaz, mert az független a gerjesztéstől!) Az i(0)=0 kezdeti feltételből A-t kiszámíthatjuk:

0 cos A A cos .ˆ Î I= ϕ + → = − ϕ Ezzel

t / Ti(t) cos( t ) I(cos )e .I −= ω −ϕ − ϕ

Villamosságtan Hálózatok analízise a hurokáramok és a csomóponti potenciálok módszerével



11. Hálózatok analízise a hurokáramok és a csomóponti potenciálok módszerével

Az eddigiekben általános hálózatszámítási módszerként a hálózategyenletek teljes rendszerének felírását és megoldását tekintettük. Ekkor a felírandó Kirchhoff-egyenletek száma megegyezik az ágak számával, b-vel. Alkalmas új ismeretlenek bevezetésével az egyenletek száma jelentősen csökkenthető. Az egyik ilyen eljárás a hurokáramok módszere, a másik a csomóponti po-tenciálok módszere.

A hálózati elemeknek a gráfokban alkalmazott vonalszimbóluma mel-lett szokásos a passzív elemeknek a 11.1. ábra szerinti közös szimbólum-mal történő ábrázolása is, amelyet most a 11.2. és a 11.3. ábra hálózatánál alkalmazunk.

11.1. ábra. Kétpólusú komponens általános rajzjele (Az áram és feszültség

referenciairánya szimmetrikusnak is nevezett irányválasztás esetén.)

A hurokáramok módszerét a 11.2. ábra hálózatán tanulmányozzuk.

11.2. ábra. a) Az ágáramok és hurokáramok felvétele, b) a hálózat gráfja




A hálózatban először kijelöljük a független hurkokat (számuk b n 1= − + , példánkban 5 3 1 3= − + = ), és ezekben felveszünk olyan fiktív hurokára-mokat (j1, j2, j3), amelyek e hurkoknak megfelelő zárt körben folynak a kétpólusokon keresztül.

Az áramgenerátor ig5 forrásáramát ismert hurokáramként (j3) vesszük figyelembe, azaz ig5 = j3. Az ágáramok ezen hurokáramok szuperpozíciója-ként adódnak. Esetünkben:

1 1 2 1 2 3 3 2 3 4 2 g 35i = j , i = j j j , i = j j , i = j , i = j .+− − (1)

Látjuk, hogy mindegyik hurokáram valamelyik ágárammal azonosítható. A hurokáramokat ezért j helyett a megfelelő i-vel is jelölhetjük.

A hurokáramok a csomóponti törvényt automatikusan kielégítik, hi-szen a hurokáram „keresztülfolyik” a csomópontokon. Példánkban a két független csomópontra (n−1=3−1=2):

( ) ( )( )

1 2 3 1 1 2 3 2 3

3 4 g5 2 3 2 3

i i i j j j j j j 0,

i i i j j j j 0.

− + + = − + − + + − =

− + − = − − + − = (2)

A hurokáramok a hurokegyenletekből határozhatók meg, mivel pontosan annyi hurokáram van, ahány független hurok. Esetünkben j3 ismert, ezért elég csak két hurokegyenletet felírni. Ezek pl. a j1 és j2 hurokáramok által kijelölt két hurokra a következők:

g1 1 2

2 3 4

u u u 0,

u u u 0.

− + + =

− + + = (3)

A feszültségek a karakterisztikák ismeretében kifejezhetők a hurokára-mokkal, és az egyenletrendszer a két ismeretlen hurokáramra megoldható. Ha pl. valamennyi passzív kétpólus lineáris, invariáns ellenállás, és a for-rásmennyiségek időben állandóak, akkor a két hurokegyenlet:

( )

( ) ( )g1 1 1 2 1 2 3

2 1 2 3 3 2 3 4 2

U R J R J J J 0,

R J J J R J J R J 0.

− + + − + =

− + − + − + = (4)

Gyakorlatilag kényelmesebb, ha az egyenleteket nem az ellenállásoknak (im-pedanciáknak), hanem a hurokáramoknak megfelelően rendezve írjuk fel

( )

( ) ( )1 1 2 2 2 3 2 g1

1 2 2 2 3 4 3 2 3

J R R J R J R U 0,

J R J R R R J R R 0.

+ − + − =

− + + + − + = (5)




(R1 + R2)-t és (R2 + R3 + R4)-et szokás a hurok saját ellenállásának nevez-ni. Akár a (4)-es, akár az (5)-ös egyenletrendszert rendezve, és figyelembe véve, hogy J3 = Ig5, azt kapjuk, hogy

( )

( ) ( )1 2 1 2 2 g1 2 g5

2 1 2 3 4 2 2 3 g5

R R J R J U R I ,

R J R R R J R R I .

+ − = −

− + + + = + (6)

A hurokáramok ismeretében (1) alapján az ágáramok már könnyen szá-míthatók.

A csomóponti potenciálok módszere A hálózatra felírható egyenletek száma csökkenthető a csomóponti poten-ciálok bevezetésével is, mely szerint az egyik csomópont potenciálját ön-kényesen nullának választjuk, és a többi csomóponthoz egy-egy (egyelőre ismeretlen) potenciált rendelünk (11.3. ábra).

Az i-edik és a j-edik csomópont közötti uij feszültség kifejezhető a két csomóponthoz rendelt potenciál különbségeként:

ij i ju , i, j 0,1, 2, , n 1,= ϕ −ϕ = −… (7)

Ebből következik, hogy ϕi az i-edik csomópont és az alappont (báziscso-mópont) közötti feszültséget jelenti

( )i i 0 i iu 0 .= ϕ −ϕ = ϕ − = ϕ

11.3. ábra. A csomóponti potenciálok (ϕi) a vizsgált hálózatban




A felírható független egyenletek száma (n−1), esetünkben n−1=3−1= 2. A módszer feleslegessé teszi a független hurkok kiválasztását és a rájuk vo-natkozó egyenletek felírását, mert azok automatikusan teljesülnek, hiszen a feszültségek összegezésekor minden csomóponti potenciál kétszer szere-pel: egyszer pozitív, egyszer negatív előjellel. Példánkban a bal oldali és a középső hurokra:

( )

1 2 1 1

2 3 4 1 1 2 2

u u 0u u u 0.

− + = −ϕ +ϕ ≡

− + + = −ϕ + ϕ −ϕ +ϕ ≡ (8)

A csomóponti potenciálok a csomóponti egyenletekből határozhatók meg.

Ehhez először írjuk fel a csomóponti egyenleteket:

1 2 3

3 4 g5

i i i 0,i i i 0.

− + + =− + − =

(9)

A karakterisztikák ismeretében ϕ1-re és ϕ2-re kapunk ebből egyenletrend-szert. Ha pl. valamennyi kétpólus lineáris, időinvariáns ellenállás, és a for-rásmennyiségek időben állandók, akkor a két csomóponti egyenlet a karak-terisztikák figyelembevételével így alakul:

1 g1 1 1 2

1 2 3

1 2 2g5

3 4

U0,

R R R

I 0.R R

φ − φ φ − φ+ + =

φ − φ φ− + − =

(10)

Rendezve az egyenletet:

1 2 g1

1 2 3 3 1

1 2 g53 3 4

1 1 1 1 1U

R R R R R

1 1 1I

R R R

+ + φ − φ =

− φ + + φ =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(11)

Némi gyakorlat után a szuperpozíció-elv alapján mindjárt a rendezett egyenletet kaphatjuk meg. Ehhez a csomóponti potenciálokat úgy tekint-




jük, mintha forrásmennyiségek lennének. A zárójelben lévő vezetést szo-kás a csomópont „saját vezetésének” nevezni. A csomóponti potenciálok ismeretében az ágáramok már számíthatók.

11.1. példa a) Számítsuk ki a 11.4. ábrán látható hálózat U0 feszültségét a csomópon-

ti potenciálok módszerével. b) Határozzuk meg a párhuzamosan kapcsolt feszültséggenerátorok Thé-

venin-helyettesítőkapcsolását.

11.4. ábra

a) Az egyetlen ismeretlen csomóponti potenciálra felírható egyenlet:

0 g1 g 2 g31 2 3 0 1 2 3

1 1 1 1 1 1 1U U U U 0.

R R R R R R R+ + + − − − =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

A Gi = 1/Ri vezetésekkel:

( )1 2 3 0 0 1 g1 2 g2 3 g3G G G G U G U G U G U 0.+ + + = + + =

Ebből az U0 feszültség (mindjárt tetszőleges számú ágra általánosítva): n

k gkk 1

0 n

k 0k 1

G UU .

G G

=

=

=+

∑

∑




b) A helyettesítő Thévenin-generátor forrásfeszültségét megkapjuk, ha G0 = 0:

n

k gkk 1

b n

kk 1

G UU .

G

=

=

=∑

∑

A belső ellenállás pedig a feszültséggenerátorok dezaktivizálásával: n

b kk 1

R 1/ G .=

= ∑

11.2. példa

11.5. ábra

a) Számítsuk ki a 11.5. ábra kapcsolására az I0 áramot a hurokáramok módszerével.

b) Határozzuk meg a sorosan kapcsolt áramgenerátorok Norton-helyette-sítőkapcsolását.

a) A berajzolt hurokra felírható hurokegyenlet:

0 1 2 3 0 g1 1 g2 2 g3 3I (R + R + R + R ) I R I R I R = 0 ,− − −

amiből I0 (mindjárt tetszőleges számú generátorra általánosítva): n

gk kk 1

0 n

k 0k 1

I RI .

R R

=

=

=+

∑

∑




b) A helyettesítő Norton-generátor forrásáramát megkapjuk, ha R0 = 0: n

gk kk 1

b n

kk 1

I RI

R.=

=

=∑

∑

A belső ellenállást úgy számítjuk, hogy az áramgenerátorok helyére szaka-dást képzelünk. Ekkor

n

b kk 1

R R .=

= ∑

A helyettesítőkapcsolás (11.6. ábra):

11.6. ábra

11.3. példa Határozzuk meg az i4 áramot a Thévenin- és a Norton-helyettesítőkép segítségével, alkalmazva a csomóponti potenciálok és a hurokáramok módszerét (11.7. ábra).

11.7. ábra




ug = 50cosωt [V] , ig = 2cos(ωt − 30°) [A], f = 5 kHz , R1 = 3 Ω, C1 = 7,96 μF. R2 = 5 Ω, L2 = 63,6 μH, R3 = 3 Ω, L3 = 95,5 μH, R4 = 2 Ω, C4 = 31,8 μF.

Az impedanciák a szokásos módon kiszámítva:

1 2

3 4

Z (3 j4) , Z (5 j2) ,

Z (3 j3) , Z (2 j) .

= − Ω = + Ω

= + Ω = − Ω

A Thevenin-helyettesítőkapcsolás meghatározásához távolítsuk el 4Z -et (11.8. ábra).

11.8. ábra

A csomóponti potenciálok módszerének alkalmazásával Cφ közvetlenül

bU -t adja.

A g g

j30g

50U U 35,5 V,

22

I e (1, 22 j0, 71) A.2

−

φ = = = =

= = −

A B és a C csomópontra felírható egyenletek:

cAB g

1 3 1 3

B Ac

3 2 2 3

1 1I 0

Z Z Z Z

1 10

Z Z Z Z

φφφ + + − − =

φ φ− − + φ + =

⎫⎛ ⎞⎪⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎪⎬

⎛ ⎞ ⎪⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎭




gcB g 1 2 3

1 3 3 1

g2 3 1 3B C

3 3 2

U1 1I / Z Z Z

Z Z Z Z

U1 1 1 / Z Z (Z Z )Z Z ZZ

φφ + − = − ⋅

⋅ +− φ + φ + =

⎫⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎪

⎬⎛ ⎞ ⎪⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎭

( )( ) ( )( ) ( )

1 3 2 B 1 2 c g 2 3 1 2 3 g

1 3 2 B 2 3 1 3 C 1 3 3 g

Z Z Z Z Z U Z Z Z Z Z IZ Z Z Z Z Z Z Z Z Z U

+ φ − φ = −

− + φ + + + φ = +

⎫⎪⎬⎪⎭

Összeadás után:

( )( ) ( )c 2 3 1 3 1 2 g 2 3 1 3 3 1 2 3 gZ Z Z Z Z Z U Z Z Z Z Z Z Z Z Iφ + + − = + + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )1 2 3

C g g3 1 2 3

Z Z ZU I

Z Z Z Zφ = −

+ +

Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha a két generátorra a szuperpozíció-tételt alkalmazzuk. gU közvetlenül a kimenetre jut, gI hatását pedig áramosztó-val számíthatjuk. Ehhez rajzoljuk át a kapcsolást (11.9. ábra):

11.9. ábra

és

1gZ2

1 2 3

1 2gZ2

1 2 3

ZI I ,

Z Z Z

Z ZU I .

Z Z Z

= −+ +

= −+ +

Tehát a Thévenin-generátor forrásfeszültsége:

1 2b c g g

1 2 3

Z ZU U I

Z Z Z= φ = −

+ +

Az adatokat behelyettesítve kapjuk, hogy:

b

(3 j4)(5 j2)U 35,5 (1, 22 j0, 71) (34,14 j3,16) V.

5 j2 3 j4 3 j3− +

= − − = ++ + − + +




bZ meghatározásához a feszültséggenerátort rövidre zárjuk, az áramgene-rátort pedig szakadással helyettesítjük (11.10. ábra):

11.10. ábra

( )b 1 3 2Z Z Z xZ= + = (3 j4 3 j3)x(5+j2)== − + +

(2,94 j 0,369) .= + Ω

A helyettesítőkapcsolásból (11.11. ábra) az 4I áram számítható:

11.11. ábra

b4

b 4

UI

Z Z= =

+

34,14 j3,16(2,94 j0,369) (2 j)

+= =

+ + −

j12,6(6, 72 j1,5) 6,88e A.= + =

b) A Norton-képet a Thévenin-képből közvetlenül kaphatnánk. Gyakorlá-sul határozzuk meg a hálózatból.

Most a belső ellenállás mellett a rövidzárási áramot kell meghatározni, amely a helyettesítő generátor áramforrásának forrásárama lesz.

Ha a hurokáramok módszerét alkalmazzuk, és a rövidzáron csak egy hurokáram folyik át, akkor az közvetlenül az rI rövidzárási áram (11.12. ábra). Ezért alkalmazzuk most ezt a módszert. Bár a hálózat fundamentá-lis hurokrendszere három hurokból áll, elegendő csak két hurokra egyenle-tet felírni, mert egy hurokáram lehet az áramgenerátor ismert forrásárama, amit tehát nem kell meghatározni.




Ezek figyelembevételével a felvett hurokáramok a 11.12. ábra szerintiek.

11.12. ábra

Írjuk fel a hurokegyenleteket a 2. és a 3. hurokra:

( )1 1 2 1 2 3 3 2

2 2 3 2 g

J Z J Z Z Z J Z 0J Z J Z U 0

− + + + + =

+ − =

⎫⎪⎬⎪⎭

A 1 gJ I= értéket behelyettesítve és rendezve:

2 3

2 3

(11 j) J (5 j2) J 0,82 j7,01

(5 j2) J (5 j2) J 35,5

+ + + = −

+ + + =

⎫⎬⎭

Megoldva a minket érdeklő 3J -ra:

r 3I J (11,52 j 0,373) A.= = −

bZ -re az előzőekkel teljesen egyező módon kapjuk, hogy:

bZ (2,94 j 0,369) .= + Ω




11.13. ábra

A kapott Norton-helyettesítőképből (11.13. ábra) az I4 áram számítható:

j12,7b4 b

b 4

Z 2,94 j 0,369I I (11,52 j 0,373) 6,85 e A,

Z Z 2,94 j 0,369 2 j+

= = − =+ + + −

ami a számítási pontatlanságoktól eltekintve megegyezik az előző eredmé-nyünkkel.

Villamosságtan Lineáris hálózatok DC-analízise



12. Lineáris hálózatok DC-analízise

A következőkben azt az esetet vizsgáljuk, amikor a hálózat forrásainak forrásmennyisége (feszültség, áram) az időben nem változik. Ilyenkor va-lamennyi ágáram egyenáram, angolul direct current (DC). Ezért az ilyen hálózatok vizsgálatát egyenáramú vagy DC-analízisnek hívjuk. Az időben állandó forrásmennyiségek tekinthetők a cosωt időfüggvény szerint válto-zó forrásmennyiségek 0 körfrekvenciájú határesetének. Ilyenkor cos 0 = 1 függetlenül az időtől: így mind a feszültség, mind az áram az időben állan-dó értékű lesz. Ezért ha a hálózatban reaktáns elemek is előfordulnak, azt kell vizsgálni, mekkora az impedanciájuk az ω = 0 körfrekvencián. Mivel

L C

1X L, és X ,

C= ω =

ω ezért

L C0 0lim X 0, ill. lim X ,ω→ ω→

= = ∞ (1)

azaz a tekercs rövidzárral, a kondenzátor pedig szakadással helyettesíten-dő. A hálózatban tehát csak források és ellenállások szerepelnek.

Az analízis során mindazok a módszerek, amelyeket a lineáris, invari-áns hálózatok számításánál megismertünk ez esetben is alkalmazhatók (Kirchhoff-törvények, hurokáramok és csomóponti potenciálok módsze-re, helyettesítő generátorok tétele, szuperpozíció elve, ellenállások össze-vonása). A következő példák nem csupán az ismeretek elmélyítését segítik, hanem gyakorlati szempontból is fontosak.

12.1. példa Változtatható feszültség legegyszerűbben potenciométer segítségével állítható elő, amelynek kapcsolása a 12.1. ábrán látható.

0max

R Rαα

=α

12.1. ábra




Az R0 ellenállás végeire állandó U0 feszültség van kapcsolva. Az egyik vég-pont és a mozgatható csúszka között vehető le az U változtatható feszült-ség. Rα a végpont és a csúszókontaktus közötti ellenállásrész 0(0 R R )α≤ ≤ .

Ha a potenciométer nincs terhelve, akkor a feszültségosztó-képlet ér-telmében

0 00 0

R RU U U ,

(R R ) R Rα α

α α

= =− +

azaz a beállított U feszültség az Rα ellenállás, ill. a csúszka helyzetével (α) arányos:

0max

0 00 max

RU U U .

R

αα α

= =α

Az 0 maxU U= jelöléssel U-ra kapott összefüggés így is írható:

max max

U ,U

α=α

amely derékszögű koordináta-rendszerben egy 45°-os dőlésszögű egyenes-nek felel meg (12.2. ábra).

12.2. ábra

12.2. példa Az Ug forrásfeszültségű, Rb belső ellenállású feszültséggenerátor R ellenál-lású fogyasztót táplál. Mekkorának válasszuk az R ellenállást ahhoz, hogy rajta maximális teljesítmény lépjen fel?




Az R ellenállással lezárt generátort a 12.3. ábra szemlélteti.

13.3. ábra. R ellenállású fogyasztót tápláló feszültséggenerátor

Ha a terhelő-ellenállást vételen nagynak választjuk (üresjárás), akkor áram nem folyik, így P = UI = 0. Végtelen kis terhelő-ellenálláson (rövidzárás) U = 0, így ismét P = UI = 0. Ebből következik, hogy valamely R ellenál-lásértéknél a teljesítménynek maximuma van. Ennek meghatározásához írjuk fel a fogyasztó teljesítményét:

12.4. ábra

( )

2

g2 2g 2

b b

U RP RI R U .

R R R R= = =

+ +

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠




Maximum esetén:

( )22 2b b bg g4 3

b b

R R 2(R R )R R RdPU U 0,

dR (R R ) (R R )+ − + −

= = =+ +

ami akkor teljesül, ha R = Rb. Ez a teljesítményillesztés esete, amelynél a feszültség, az áram, ill. a maxi-

mális teljesítmény a következő: 2

g g0 g 0 max

b b

U U1U U , I , P .

2 2R 4R= = =

A belső ellenálláson fellépő veszteségi teljesítmény: 2

g2 2 bv b b g 2

b b

U RP R I R U .

R R (R R)= = =

+ +

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

A 12.4. ábrán P és Pv változását láthatjuk R/Rb függvényében. Előbbinek maximuma van, utóbbi monoton csökken. A hatásfok kifejezése:

v b

P R.

P P R Rη = =

+ +

Ennek változása is látható a 12.4. ábrán. A hatásfok monoton növekszik, illesztés esetén η = 50%. Ha tehát a hatásfok a lényeges, akkor a fogyasz-tót nem illeszthetjük, hanem R >> Rb választandó.

A Thévenin-tétel értelmében az illesztés több generátor esetén is biz-tosítható. Ekkor Ug, ill. Rb a helyettesítő generátor forrásfeszültségét, ill. belső ellenállását jelenti.

A teljesítményillesztés áramgenerátornál (áramforrás Rb belső ellenál-lással párhuzamosan kapcsolva) is akkor valósul meg, ha R = Rb hiszen az Rb belső ellenállású áramgenerátor egy szintén Rb belső ellenállású feszült-séggenerátorral helyettesíthető.

12.3. példa Valamely Ug forrásfeszültségű, Rb belső ellenállású feszültséggenerátor R rezisztenciájú fogyasztót táplál. Mekkora legyen Rb, hogy a fogyasztón maximális teljesítményt kapjuk?




Írjuk fel most is a fogyasztó teljesítményét: 2

g2 2g 2

b b

U RP RI R U .

R R (R R )= = =

+ +

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

A kapott kifejezésből kitűnik, hogy P Rb csökkenésével egyre nő, így

( )b

2g2

max g 2R 0b

URP lim U .

RR R→= =

+

Tehát a generátorból akkor tudjuk a legnagyobb teljesítményt kinyerni, ha a belső ellenállása nulla.

12.4. példa Valamely Ig forrásáramú, Rb belső ellenállású áramgenerátor (áramforrás és Rb párhuzamos kapcsolása) R rezisztanciájú fogyasztót táplál. Mekkora legyen Rb, hogy a fogyasztón maximális teljesítményt kapjunk (12.5. ábra)?

12.5. ábra

A fogyasztó teljesítménye: 2 2

2b bg g 2

b b

R R RP I R I .

R R (R R)= =

+ +

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

A kapott kifejezésből kitűnik, hogy P Rb növekedésével egyre nő, azaz

( )b b

22 2 2b

max g g g2R Rb

b

2R R R

P lim I lim I I R.R R R

1R

→∞ →∞= = =

++

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

A generátorból most akkor tudjuk a legnagyobb teljesítményt kinyerni, ha a belső ellenállása végtelen, vagy a belső konduktanciája 0 (dualitás elve!).




12.5. példa

12.6. ábra

R1 = 200 Ω, R2 = 1200 Ω, R3 = 600 Ω, R4 = 250 Ω, Ug = 20 V.

Adja meg az A – B pontokra az áramkör (12.6. ábra) Thévenin-helyettesí-tőkapcsolását. Milyen Rt -nél lesz maximális a kivehető teljesítmény? Hatá-rozza meg PRt/Pg-t.

Oldjuk meg a feladatot átrajzolással (12.7. ábra).

12.7. ábra

A Thévenin-genererátor belső ellenállása:

Rb =[(R1 x R3) + R4] x R2 = [(200 x 600) + 250] x 1200 = =(150 + 250) x 1200 = 400 x 1200 = 300 ohm.




Határozzuk meg először a generátorból elfolyó Ig áramot:

gg

3 2 4 1

U 20I

R x(R R ) R 600x(1200 250) 200

20 20 2032,03125 mA.

600x1450 200 424,39024 200 624,39024

= = =+ + + +

= = = =+ +

Ebből áramosztóval adódik, hogy

3R 2 g

2 3 4

R 600I I 32,03125 9,375 mA

R R R 1200 600 250= = =

+ + + + Végül UAB = UR2 = IR2R2 = 9,375⋅10-3⋅1200 = 11,25 V Ezek után a helyettesítőkapcsolás (12.8. ábra):

12.8. ábra

Ub = UAB, ha tR = ∞ .

A maximális kivehető teljesítményt Rt = 300 ohmnál kapjuk. PRt-t a Thé-venin-kapcsolás alapján határozzuk meg:

2 bRt Rt t Rt

b t

U 11, 25P I R , I 0, 0125 A

R R 300 600= = = =

+ +,

2 2Rt Rt tP I R (0, 0125) 600 0, 09375 W.= ⋅ = ⋅ =

Pg meghatározása Rt = 600 ohm esetén:

g g gP U I ,′= −

ahol gI′ a generátorból Rt = 600 ohm esetén elfolyó áram, amit Ig-hez ha-sonlóan számíthatunk ki:




( )[ ] ( )[ ]g

g3 2 t 4 1

U 20I

R x R xR R R 600x 1200x600 250 200

20 2039, 0625 mA.

600x(400 250) 200 312 200

′ = = =+ + + +

= = =+ + +

Ezzel

g g gP U I 20 0, 0390625 0, 78125 W,′= − = − ⋅ = − és tR

g

P 0,093750,12.

P 0, 78125= = −−

Hány egyenletből álló egyenletrendszerhez vezet a Kirchhoff-egyenletek teljes rendszerén, a hurokáramok, ill. a csomó-pontipotenciálok módsze-rén alapuló megoldás, ha Rt az A és B kapcsokon van? A független hurokegyenletek száma: ℓ = b − n + 1 = 5 − 3 + 1 = 3. A független csomóponti egyenletek száma: ncs = n − 1 = 3 − 1 = 2. A független Kirchhoff-egyenletek száma, nk = ℓ + ncs = b = 5.

A hurokáramok és a csomóponti potenciálok módszerén alapuló meg-oldáshoz is elegendő két egyenletet felírni. Gyakorlásképpen oldjuk meg a feladatot a csomóponti potenciálok módszerével. Az egyenletek a 2φ és a

3φ csomóponti potenciálokkal:

2 g 2 32 1

1 3 4

3 3 2 3 1

t 4 2

U0,

R R R

0.R R R

φ − φ − φφ − φ+ + =

φ φ − φ φ − φ+ + =

Átrendezve és figyelembe véve, hogy 1 0φ = :

2 3 g1 3 4 4 1

2 34 t 2 4

a csomóponti potenciálokat

forrásfeszültségeknek tekintjük

1 1 1 1 1U ,

R R R R R

1 1 1 10.

R R R R

φ + + − φ =

−φ + φ + + =

⎫⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎪

⎬⎛ ⎞ ⎪⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎭




Az ellenállásokat behelyettesítve:

2 3

2 3

1 1 1 1 20, / 600

200 600 250 230 2001 1 1 1

0. / 1200250 600 1200 250

φ + + − φ = ⋅

−φ + φ + + = ⋅

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

,

2 3

2 3

(3 1 2, 4) 2, 4 60

(4,8) (2 1 4,8) 0

φ + + − φ =

−φ + φ + + =,

2 3

2 3 2 3 3

6, 4 2, 4 60

7,84,8 7,8 0 1, 625

4,8

φ − φ =

− φ + φ = → φ = φ = φ.

2φ -t az 1. egyenletbe behelyettesítve: 3 36, 4 1, 625 2, 4 60,⋅ φ − φ = azaz:

3 38 60 7,5 Vφ = → φ = .

( )AB 3 2 3

g 2 g 1

U 7,5 V, 1, 625 1, 625 7,5 12,1875 V.

I U / R (12,1875 20) / 200 39, 0625 mA,

= φ = φ = φ = ⋅ =

= φ − = − = −

azaz az áram a csomópontba folyik a negatív előjel miatt. A helyettesítő Thévenin-generátor elemeinek meghatározásához zárjuk

rövidre az A és B kapcsokat, és számítsuk ki a rövidzárási áramot. Mivel így R2 azonos potenciálú pontok között van, ezért benne áram nem folyik, és figyelmen kívül lehet hagyni. A rövidzárási áram megegyezik IR4-gyel, azaz

g3 3r R 4 g

3 4 1 3 4 3 4

UR RI I I

R R R (R x R ) R R

20 60037,5 mA.

200 176, 471 600 250

= = = ⋅ =+ + +

= ⋅ =+ +

Az Rt = 600 ohmmal lezárt Thévenin-generátor felírható két egyenlet:

a kapocsfeszültségre; bb

600U 7,5,

R 600=

+

a rövidzárási áramra; -3b bU /R = 37,5 10⋅ .




A felső egyenletet az alsóval osztva azt kapjuk, hogy

bb

b

600 R200 R 300.

R 600= → =

+

Ezt az alsó egyenletbe helyettesítve: -3

bU = 37,5 10 300 = 11,25 V⋅ ⋅

Most jóval több számolásra volt szükség, mint az átrajzolásos megoldásnál.

12.6. példa Valamely Ug forrásfeszültségű, Rb belső ellenállású feszültséggenerátor R ellenállású fogyasztót táplál. Igazoljuk, hogy az R ellenálláson akkor lép fel maximális teljesítmény, ha R = Rb.

A kapcsolási vázlat a 12.9 ábrán látható.

12.9. ábra

A fogyasztó teljesítménye: 2P = I U = I(IR) = I R,

ami az áram behelyettesítése után;

( )

2g

2b

UP R.

R R=

+

A kiindulási feltételezés szerint 2 2

g gmax b

b b

U UP R .

2R 4R= =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Legyen R = Rb ± ΔRb. Azt állítjuk, hogy

( )

2 2g b b g

2bb b

U (R R ) UP ,

4R2R R

± Δ= <

± Δ

azaz 2

b b b b b4 R (R R ) (2R R ) .± Δ < ± Δ




Hajtsuk végre a lehetséges egyszerűsítéseket: 2 2 2b b b b b b b

2b

4R 4R R 4R 4R R R ,

0 R ,

± Δ < ± Δ + Δ

< Δ

ami akár pozitív, akár negatív ΔRb-re teljesül, tehát a kiindulási egyenlőt-lenség állítása igaz, mely szerint akár nő, akár csökken az R = Rb ellenállás,

2g bU / 4R -nél mindig kisebb lesz a rajta fellépő teljesítmény: következés-

képpen 2g bU / 4R a maximális érték.

Villamosságtan Lineáris hálózatok AC-analízise komplex vektorok segítségével



13. Lineáris hálózatok AC-analízise komplex vektorok segítségével

Ha a lineáris, időinvariáns hálózatban a forrásmennyiségek szinuszosak, akkor valamennyi kétpólusának szinuszos lesz a feszültsége és az árama, amelyek meghatározása a váltakozó áramú vagy AC-analízis (az angol al-ternating current szavak kezdőbetűiből).

Ebben a szakaszban lineáris hálózatok AC-analízisét végezzük komp-lex vektorok (fazorok) segítségével. A szinuszos mennyiségek komplex leírása lehetővé teszi, hogy ezeket a mennyiségeket fazorjaikkal ábrázoljuk. A szerkesztés alapján kapott értékek megfelelő nagyságú ábra esetén kielé-gítő pontosságúak lehetnek. A fazorábra előzetes kvalitatív felrajzolása sok esetben a számítást is megkönnyíti. Bonyolultabb hálózatoknál sajnos a fazorábra is bonyolultabbá válik. Ebben a szakaszban egyszerű hálózato-kon keresztül ismerkedünk meg a módszerrel ezen hálózatok frekvencia-függő viselkedésének vizsgálata kapcsán.

Az eljárás általánosítható arra az esetre is, amikor a változó mennyiség nem a frekvencia, hanem a hálózat valamely más valós paramétere (pl. egy R rezisztancia, egy C kapacitás stb.).

13.1. példa Két szinuszos áram kifejezése:

1 2i 4 cos( t 60 ) A, i 6 cos( t 120 ) A.= ω + = ω +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Határozzuk meg az i = i1 + i2 áram effektív értékét, kezdőfázisát és idő-függvényét. A két adott áram komplex effektív értéke az alábbi:

1j j601 1

1 1 4I e 4e (cos 60 j sin 60 )

2 2 22,83(0,5 j 0,866) (1, 41 j 2, 45) A.

I ρ= = = + =

= + = +

j1202

6I e 4, 24( 0,5 j 0,866) ( 2,12 j 3,67) A.

2= = − + = − +

Az eredő áram komplex effektív értéke:

1 2I I I (1, 41 j 2, 45) ( 2,12 j 3, 67) ( 0, 71 j 6,12) A.= + = + + − + = − +




Ebből az effektív érték és a kezdőfázis: 2 2I I 0,71 6,12 6,16 A,

6,12arc tg arc tg( 8,62) 83, 4 180 96,6 ,

0, 71

= = + =

ρ = = − = − + =−

mert a képzetes rész pozitív. Az eredő áram komplex pillanatértéke:

j t j( t 96,6 )i 2 I e 2 6,16 e A.ω ω += = ⋅

Ebből a valódi pillanatérték:

i Re i 8,72 cos( t 96, 6 ) A.= = ω +

A fazorok szerkesztése alapján is megkaphatjuk az eredményeket, ha nincs szükségünk nagy pontosságra (13.1. ábra).

13.1. ábra

1 2I I I= + , mert 1 2i i i ,= + de 1 2I I I ,≠ +

ahogyan ez a kapott eredményekből is kitűnik (6,16 ≠ 2,83 + 4,24). Ennek oka az, hogy az effektív értékek összege fizikailag értelmetlen mennyiség.




13.2. példa Határozzuk meg a 13.2. ábra kapcsolási vázlatába berajzolt valamennyi ismeretlen áram és feszültség effektív értékét.

13.2. ábra

ω = 5000 rad/s.

Az egyes ágak impedanciája:

00

11

2 2 2

1Z j100 ,

j C

1Z j 200 ,

j C

Z (R j L ) (40 j 40) .

= = − Ωω

= = − Ωω

= + ω = + Ω

A két párhuzamosan kapcsolt impedancia eredője:

1 212 1 2

1 2

Z Z j 200(40 j 40)Z Z x Z (58,8 j 35,3) .

Z Z ( j 200) (40 j 40)⋅ − +

= = = = + Ω+ − + +

Az eredő vagy bemeneti impedancia:

0 12Z Z Z (58,8 j 64, 7) .= + = − Ω

A befolyó áram komplex, ill. valódi effektív értéke (a kapocsfeszültséget valósnak választva):

2 2 20 0

UI (0,0770 j 0,0847) A, I 10 7,70 8,47 0,1145 A.

Z−= = + = + =




A C0 kapacitású kondenzátoron fellépő feszültség:

0 0 0 0 0 0U Z I (8, 47 j 7, 70) V, U Z I 11, 45 V,= = − = =

vagy 2 20U 8, 47 7,70 11, 45 V.= + = Az U1 feszültséget legegyszerűbben a

huroktörvény alapján számíthatjuk:

2 21 0 1U U U (1,53 j 7, 70)V, U 1,53 7, 70 7,85 V.= − = + = + =

(Az U−U0 = − 1,45 V értéknek nincs fizikai tartalma!) Egyébként U1 = Z12 I0 alapján is számolhattunk volna.

A C1 kapacitású kondenzátor árama:

1 11 1

1 1

U UI ( 0, 0385 j 0,0077) A, I 0,0392 A.

Z Z= = − + = =

Az 2I áram számítható 2 1 2I U / Z= alapján, de kényelmesebb, ha a csomó-ponti törvényt alkalmazzuk:

2 0 1 2I I I (0,1155 j 0, 0770)A, I 0,1388 A.= − = + =

(Az I0 – I1 = 0,0753 A értéknek nincs fizikai tartalma!)

13.3. ábra. a) A számított mennyiségek fazorábrája és

b) a fazorábra léptékhelyes szerkesztése




Az a) ábra a számítással kapott feszültségek és áramok komplex vektorok-kal való ábrázolása. Ha a vektorábrát megszerkesztjük, akkor ezzel ellen-őrizhetjük a számítási eredményeket. Induljunk ki az 2I áramból, b) ábra. Az 2 2R I feszültség fazorja ezzel párhuzamos, a 2 2j L Iω feszültség fazorja ehhez képest 90°-kal siet. A két fazor eredője adja 1U -et. Az 1I áram fazorja erre merőleges, és 90°-kal siet. Az 2I és 1I fazorok eredője 0I . Az

0U feszültség fazorja erre merőleges, és 90°-kal késik. 1U és 0U eredője az U feszültség. A szerkesztés során a kiinduláskor 2I -t valósnak tekin-tettük, ezért a b) ábra az a) ábrához képest elfordul, ennek azonban nincs jelentősége.

Mivel az ábra minden vektora 2I -vel arányosan változik (a hálózat li-neáris!), ezért 2I -t első lépésben szabadon felvehetjük. A valódi 2I -t (és az összes többi értéket) úgy kapjuk meg, hogy a szerkesztés befejeztével U -nak a tényleges kiindulási értékét adjuk.

13.3. példa: Soros RL-kör vizsgálata

13.4. ábra. Soros RL-kör és impedanciájának,

valamint feszültségeinek fazorábrája

Az impedancia kifejezése az alábbi:

( )0

LZ R j L R 1 j R 1 j ,

Rω ω

ω = + ω = + = +ω

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ahol 0

R.

Lω =




Ebből a látszólagos ellenállás, a látszólagos vezetés (amplitúdókarakte-risztikák) és a fázisszög (fáziskarakterisztika):

2

2 20 0

20

1Z( ) R 1 ; Y( ) ( ) arc tg

R 1

, .ω ωω = + ω = ϕ ω =

ω ωω+ω

13.5. ábra. Z(ω)/R, RY(ω) és ϕ(ω) karakterisztikák

frekvenciafüggésének ábrázolása

13.4. példa: Soros RC-kör vizsgálata

13.6. ábra. Soros RC-kör impedanciájának és feszültségeinek fazorábrája




Az impedancia kifejezése a következő:

01 1Z( ) R R 1 R 1 j ,

j C j CRω

ω = + = + = −ω ω ω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

ahol 0

1.

RCω = Az amplitúdó- és a fáziskarakterisztika:

20 02 2

02

1Z( ) R 1 , Y( ) , arc tg .

R 1

ω ωω = + ω = ϕ = −

ω ωω+ω

13.7. ábra. Az amplitúdókarakterisztikák és a fáziskarakterisztika

frekvenciamenete soros RC-kör esetében

13.5. példa: Párhuzamos RC-kör vizsgálata

13.8. ábra. Párhuzamos RC-kör admittanciájának és áramainak fazorábrája




Most az admittanciából célszerű kiindulni:

1Y( ) j C,

Rω = + ω

2

2 20 0

20

1 RY( ) 1 , Z( ) , ( ) arc tg ,

R1

ω ωω = + ω = ϕ ω = −

ω ωω+ω

ahol 0

1.

RCω =

13.9. ábra. Y(ω), Z(ω) és ϕ(ω) frekvenciamenete

Figyeljük meg, hogy a soros, ill. párhuzamos RC-kör frekvenciafüggése egészen más jellegű.

13.6. példa: Veszteséges kondenzátor modellezése A soros és párhuzamos RC-kört elterjedten használják valódi (veszteséges) kondenzátor legegyszerűbb modelljeként. A veszteséges kondenzátor szi-getelőanyagának jóságát a veszteségi tényezővel (jele: tgδ jellemzik, amely álta-lában 10-4 és 10-2 közötti értéktartományba esik. A veszteséges kondenzá-tor feszültsége és árama közötti fáziskülönbség nem 90°, hanem ennél kisebb: ϕ = 90 − δ, ahol δ a veszteségi szög. Emiatt van az áramnak a fe-szültséggel fázisban lévő összetevője is, és így az ún. hatásos teljesítmény




nem nulla. A veszteséges kondenzátort egy (ideális) kondenzátor és egy ellenállás párhuzamos vagy soros kapcsolásával modellezve (13.10. ábra), a veszteségi tényező a két kapcsolásban a következőképpen adható meg:

R Rs s

C p p c

I 1 Utg , tg C R .

I C R Uδ = = δ = = ω

ω

13.10. ábra. A veszteséges kondenzátor modellezése

párhuzamos, ill. soros RC-körrel

A párhuzamos, ill. soros veszteségi ellenállás kifejezése az adottnak tekint-hető veszteségi tényezővel és kapacitással:

p sp s

1 tgR , R .

C tg Cδ

= =ω δ ω

Látható, hogy a helyettesítőkapcsolás nem valósítható meg a frekvenciától függetlenül.




13.7. példa: Soros rezgőkör vizsgálata

13.11. ábra. A soros rezgőkör; impedanciaábrája és fazorábrája három

különböző frekvencián (a rezonanciafrekvencia alatt, a rezonanciafrekvencián és a rezonanciafrekvencia fölött)




Induljunk ki az impedanciából:

1 1Z( ) R j L R j L .

j C Cω = + ω + = + ω −

ω ω⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

13.12. ábra. A soros rezgőkör látszólagos ellenállásának, látszólagos

vezetésének és szögének frekvenciafüggése

A látszólagos ellenállás, ill. az impedancia szöge:

22 1 L 1

Z( ) R L , ( ) arc tg .C R CR

ωω = + ω − ϕ ω = −

ω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Igen jellegzetes az ω0 rezonáns körfrekvencia, amelyen

0 00

1X( ) L 0,

Cω = ω − =

ω

amiből

0

1.

LCω =

Ez az ún. Thomson-képlet.




Rezonancia esetén:

( )0 0 min 0 max

1Z( ) R, Z Z R, Y( ) Y ,

Rω = ω = = ω = =

0( ) 0.ϕ ω =

Ha ω < ω0, a soros rezgőkör kapacitív jellegű, ha ω > ω0, akkor induktív jellegű, míg ω = ω0 esetén tiszta ellenállásként viselkedik. Ez akár a fazor-ábrából (13.11. ábra), akár a fázisszög frekvenciafüggéséből (13.12. ábra) látható.

Az R ellenállás reprezentálja a soros rezgőkör veszteségeit, amely többnyire a tekercs vesztésége. (A 13.11. ábrán ezért külön feltüntettük a soros RL-tagon, vagyis a veszteséges tekercsen fellépő feszültségeket is.) Ha a tekercs veszteségmentes, vagyis a rezgőkör ideális (R = 0), akkor rezonancián Z(ω0) = 0 lenne, tehát tetszőleges kis feszültség hatására vég-telen nagy áram lépne fel. A valóságban mindig van veszteség, de a maxi-mális áram így is jelentékeny lehet.

Az ideális állapot megközelítésének mértékét számszerűleg a Q0 rezo-nacia-jóságitényezővel jellemezzük (nevezik körjóságnak is).

Ennek kifejezése definiciószerűen:

0 0R 0 0

W W 2 W WQ 2 2 ,

W PT T P Pπ

π = π = = ω

ahol W a rezgőkörben tárolt energia, WR az egy periódus alatt disszipált munka rezonanciafrekvencián, P az ellenállás (veszteségi) teljesítménye, T0 pedig a periódusidő rezonanciafrekvencián. Amikor a kondenzátor fe-

szültsége éppen nulla, akkor az áram maximális, így ( )21 ˆW L I ,2

= más-

részt ( )21 ˆP R I ,2

= tehát

( )

( )

2

00 0 2

1 ˆL I L2Q .1 RˆR I2

ω= ω =

ω0 helyére 1/ LC -t írva (Thomson-képlet), és a törtet C-vel bővítve azt kapjuk, hogy




00

LC LC LC 1Q .

CRLCCR LC CR= = =

ω

A 0

LCQ

CR= összefüggés még így is átalakítható:

0

LC 1 LQ .

R CC CR= =

Nagy rezonancia-jóságitényezőt tehát akkor kapunk, ha L nagy, R pedig kis értékű. A jósági tényezővel Z(ω) kifejezésének új alakjához jutunk:

2 22

2 2

0 0 00 0

0 0 0

2

2 00

0

1 L 1Z( ) R L R 1

C R CR

L 1R 1 R 1 Q Q

R CR

R 1 Q .

ωω = + ω − = + − =

ω ω

ω ω ωω ω= + − = + − =

ω ω ω ω ω

ωω= + −

ω ω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

13.13. ábra. A soros rezgőkör áramának függése az állandó kapocs-feszültség frekvenciájától. A rezgőkör sávszélességének értelmezése.




Vezessük még be az 0

0

ωωη = −

ω ω jelölést, amivel a látszólagos ellenállás-

ra az alábbi összefüggést kapjuk:

2 20Z( ) 1 Q .η = + η

(Az η = ω/ω0 − ω0/ω értéket szokás relatív elhangolásnak hívni.) A rezgőkör jóságát nemcsak a Q0 rezonancia-jóságitényezővel, hanem

a Δω sávszélességgel is jellemezhetjük (13.13. ábra).

2 1,Δω = ω −ω

ahol ω1, ill. ω2 az a két körfrekvencia, amelyeknél teljesül, hogy

( )1 2 0I( ) I( ) I / 2.ω = ω = ω Ilyenkor

( ) ( )1 2 0Z( ) Z 2Z ,ω = ω = ω ill.

( )1 2Z( ) Z 2Z( 0).η = η = η =

A 2 20Z( ) 1 Qη = + η összefüggésre tekintve azonnal látható, hogy az impe-

dancia abszolút értékére felírt feltétel 2 20Q 1η = esetén teljesül, amiből

0Q 1,η = ± azaz

1 2

0 0

1 1, .

Q Qη = − η = +

Határozzuk meg Δω-t is. Ehhez írjuk fel 1 2( )η + η -t és 1 2( )η −η -t.

0 01 21 2 1 2 0

0 1 0 2

0 /ω ωω ω

η + η = − + − = ⋅ω ω ωω ω ω ω

2 2 2 21 2 0 2 2 1 0 10 = ω ω −ω ω + ω ω −ω ω

21 2 1 2 0 1 2 1 2( ) ( ) 0 / : ( )ω ω ω + ω −ω ω + ω = ω + ω




21 2 0 ,ω ω = ω

azaz ω0 ω1 és ω2 mértani közepe. Ezek után

0 02 12 1

0 2 0 1 0

2,

Qω ωω ω

η −η = − − + =ω ω ω ω

ami még így is írható:

0 2 12 10

0 1 2 0

20 2 1

2 1 01 2 0

( ) 2, /

Q

( ) 2( ) .

Q

ω ω −ωω −ω+ = ⋅ω

ω ω ω

ω ω −ωω −ω + = ω

ω ω

Figyelembe véve, hogy 21 2 0 ,ω ω = ω azt kapjuk, hogy

02 1

0

22( ) ,

Qω

ω −ω =

azaz

02 1

0Qω

ω −ω = Δω =

A kapott összefüggés alapján a jósági tényezőt a sávszélesség mérésével is meghatározhatjuk.

13.8. példa: Tiszta párhuzamos rezgőkör vizsgálata Az admittancia kifejezése:

1 1Y( ) j C j ,

R Lω = + ω −

ω

amiből

2

Y2

1 1 RY( ) C , ( ) ( ) arc tg CR .

R L Lω = + ω − ϕ ω = −ϕ ω = − ω −

ω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠




13.14. ábra. A tiszta párhuzamos rezgőkör; admittanciaábrája és

fazorábrája három különböző frekvencián (a rezonanciafrekvencia alatt, a rezonanciafrekvencián és a rezonanciafrekvencia fölött)




A tiszta párhuzamos rezgőkör látszólagos ellenállásának látszólagos vezeté-sének és impedanciája szögének frekvenciafüggése látható a 13.15. ábrán.

13.15. ábra. Tiszta párhuzamos rezgőkör látszólagos ellenállásának, látszólagos vezetésének és impedanciája szögének frekvenciafüggése

A B = ωC – 1/ωL szuszceptancia nulla az

0

1LC

ω =

antirezonáns körfrekvencián. Ekkor

( )0 0 min 0 max 0

1 1Y , Y( ) Y , Z( ) Z R, ( ) 0.

R Rω = ω = = ω = = ϕ ω =

Ha 0ω < ω , a párhuzamos rezgőkör induktív jellegű, ha 0ω > ω , akkor kapacitív jellegű, és ha ω = ω0, akkor tiszta ellenállásként viselkedik. Ez




ismét akár a 13.14. fazorábrából, akár a 13.15. ábra fázisszög-karakterisz-tikájából látható.

A rezonancia-jóságitényező a 0 0

WQ

Pω definícióból kiindulva számít-

ható. A tárolt energia 2

W CU / 2,= a veszteségi teljesítmény 2

P U / 2R,= így

2

0 0 020

CU / 2 R RQ CR

L L / CU / 2R.= ω = ω = =

ω

Ez ismét annál nagyobb, minél jobb a rezgőkör. Y(ω)-t a dualitás elvének alkalmazásával írjuk fel a soros rezgőkörre

kapott 2

2 00

0

Z( ) R 1 Qωω

ω = + −ω ω

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

kifejezés duáljaként. Ehhez csak Z-t Y-ra, R-et pedig G-re kell cserélni:

2

2 00

0

Y( ) G 1 Q ,ωω

ω = + −ω ω

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ahol G = 1/R. Így a sávszélességre is érvényes a soros rezgőkör

0

0Qω

Δω = .

sávszélességképlete.

13.9. példa Határozzuk meg a soros rezgőkör induktivitásának feszültségét rezonan-ciafrekvencián, ha kapcsain a feszültség csúcsértéke U .

0L 0 0 0

ˆ LUj L j L j jQ ,

R Rˆ ˆ ˆ ˆU I U Uω

= ω = ω = =

azaz a feszültség 90°-kal siet a kapocsfeszültséghez képest, és nagysága annak Q0-szorosa.




13.10. példa Adjuk meg a relatív elhangolás közelítő kifejezését kis frekvenciaeltéré-sekre.

A rezonanciafrekvencia környezetében ω-t ω0-lal vehetjük figyelembe, így

( )

2 20 0

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

( ) 2 ( ) 2,

ω ω −ωωη = − = =

ω ω ω ω

ω+ω ω−ω ω ω−ω δω= ≈ =

ω ω ω ω ω

ahol 0δω = ω−ω .

13.11. példa: Vegyes párhuzamos rezgőkör vizsgálata Vizsgáljuk az ábrán látható párhuzamos rezgőkört, ahol az induktivitással sorba kapcsolt ellenállásba koncentráljuk a kör összes veszteségét.

13.16. ábra

2

2

1 R j LZ (R j L)x

j C 1 j CR CL

R j L1 LC j CR

.

+ ω= + ω = =

ω + ω −ω

+ ω=

−ω + ω

Definiáljuk rezonánsnak azt a frekvenciát, ahol Z nevezőjének valós része nullává válik (antirezonáns körfrekvencia):

201 LC 0.−ω =




Ha R Lω (ami reális feltevés, hiszen R veszteségeket reprezentál), ak-kor az előbb definiált antirezonáns körfrekvencián

00

0

j L LZ( ) .

j CR RCω

ω ≈ =ω

0Z( )ω az ún. paralel rezonanciaimpedancia: ( )0 pZ Z L / RC.ω = = Határozzuk meg Q0-t. A helyettesítőkapcsolás a rezonanciafrekvencia

környezetében a 13.17. ábra szerinti, és így:

00

p 0 p

p

0 0 0

C 1Q

G LG

Z L 1 1.

L RC L RC

ω= = =

ω

= = =ω ω ω

0 0C L1 ω = ω

figyelembevételével pedig: 0

0

LQ .

Rω

=

13.17. ábra

Az áramok és feszültségek fazorábráját a 13.18. ábrán LI -ből kiindulva rajzoltuk meg. (Ebből adódik RU és LU , ezek eredője U , ezután CI -t rajzoltuk be, majd az L CI I I= + áram fazorját.)




13.18. ábra. A vegyes párhuzamos rezgőkör fazorábrája

három különböző frekvencián (a rezonanciafrekvencia alatt, a rezonanciafrekvencián és a rezonanciafrekvencia fölött)

2 2 2

2 2 2 2 2

R LZ( )

(1 LC) C R+ω

ω =−ω +ω

2

L CR( ) arc tg arc tg

R 1 LCω ω

ϕ ω = −−ω

13.19. ábra. A vegyes párhuzamos rezgőkör látszólagos ellenállásának, látszólagos vezetésének és impedanciája szögének frekvenciafüggése

Villamosságtan Nemlineáris hálózatok



14. Nemlineáris hálózatok

A különböző nemlineáris működésű áramkörök az elektronika minden területén széles körben használatosak. Jelentős szerepet játszanak a hír-adástechnikai, méréstechnikai berendezésekben, a szabályozástechnikában és automatikában, valamint az analóg és digitális működésű számítógé-pekben is.

Nemlineáris hálózatoknak legalább egy kétpólusa nemlineáris.

Azok a módszerek, amelyekkel a nemlineáris áramköröket analizáljuk álta-lában a nemlineáris rendszerek vizsgálatára szolgáló módszerek elméleté-ből származnak. A téma jellegéből és nehézségéből következően ezek a módszerek gyakorlatilag mindig közelítő módszerek. Ennek az a legfőbb oka, hogy a nemlineáris rendszerek és ezen belül a nemlineáris áramkörök messzemenően nem tárgyalhatók olyan egységesen, mint a lineáris rend-szerek, ill. a lineáris áramkörök. Általánosságban elmondható, hogy min-den egyes problémához egyedi megoldási módszer tartozik, mely mód-szert külön kell megkeresnünk.

14.1. Nemlineáris hálózati elemek kezelésének alapvető módszerei

Tűzzük ki célul azon hálózatok vizsgálatát, amelyek nem tartalmaznak energiatároló, passzív, nemlineáris elemeket (nemlineáris tekercset és kon-denzátort). Az ilyen hálózatokat más szóval és gyakrabban memóriamentes hálózatnak is nevezzük. A memóriamentesség arra utal, hogy a gerjesztés-re adott válaszjel csak és kizárólag az adott időpillanat gerjesztésétől függ. Ha pl. megszűnik a gerjesztés, ugyanakkor szűnik meg a válasz is. A me-móriamentes elem a mi esetünkben azonos a valós, tehát nem reaktív jel-legű elemmel. A legegyszerűbb memóriamentes elem a memóriamentes ellenállás. A 14.1. ábra a nemlineáris ellenállás áram-feszültség jelleggörbé-jét tünteti fel.




14.1. ábra. Memóriamentes ellenállás áram-feszültség jelleggörbéje

Karakterisztikáját, ahogy azt a 2. fejezetben is láttuk, az

( )u f i= (1)

összefüggéssel adjuk meg. A karakterisztikának megfelelő diagram a nem-lineáris elem jelleggörbéje.

Lineáris esetben a fenti összefüggés a jól ismert Ohm-törvénybe megy át, amelyben az ellenállás az egyenessel megadható jelleggörbe meredeksége:

u R i= ⋅ (2)

Itt a lineáris kapcsolat egyértelműen utal arra, hogy az elem maga is lineáris. Foglaljuk össze az eddigieket. Ha egy hálózat tartalmaz nemlineáris

áramköri elemet, akkor a hálózat szintén nemlineáris. Nemlineáris áram-köri elemről akkor beszélünk, ha a gerjesztés-válasz kapcsolat nem adható meg a válasz konstans gerjesztés= ⋅ (3)

összefüggéssel. Természetesen a nemlineáris hálózatokra is érvényesek a Kirchhoff-

egyenletek, de a szuperpozíció elve már nem, hiszen éppen a szuperpozí-ció elvének érvényességét tekintettük a linearitás kritériumának. Ez utób-bit érzékelteti a következő példa. Legyen i = i1 + i2 , és u = f(i) = a2 i2, tehát a karakterisztika nemlineáris.




A gerjesztésre adott válasz:

2 2 2 22 1 1 2 2 2 1 2 2u a (i 2 i i i ) a i a i ,= + + ≠ + (4)

azaz a gerjesztések összegére adott válasz nem egyezik meg az egyes ger-jesztésekre adott válaszok összegével.

Nemlineáris elemet tartalmazó hálózatok esetén a gerjesztésre adott választ legáltalánosabban a hálózatra felírható nemlineáris differenciálegyenlet, ill. differenciálegyenlet-rendszer megoldása szolgáltatja. Erre a feladatra a számí-tógépes szoftverek kiválóan alkalmazhatók.

A nemlineáris hálózati elemeket − mint láttuk − karakterisztikájukkal vesszük figyelembe. Ha sikerül ezeket a karakterisztikákat a gyakorlati kö-vetelményeknek megfelelő módon linearizálni, akkor a továbbiakban a line-áris hálózatokra megismert módszerek alkalmazhatók.

Az elektronikában gyakran előfordul, hogy a gerjesztés egy nagy értékű DC- és egy kis érékű AC-komponensből áll. Ilyenkor a karakterisztikát a DC-gerjesztés által meghatározott pontjában, az ún. munkapontban az AC-komponens számára lineáris összefüggéssel közelítjük, és a kisjelű össze-tevőre adott választ már a linearizált karakterisztikával határozzuk meg (14.2/a ábra).

A linearizálás egy másik módja a lineáris töréspontos közelítés. Ennél a jel-leggörbét szakaszonként más meredekségű egyenessel (egyenesekkel) kö-zelítjük (14.2/b ábra). A gerjesztés értéktartományától függően lehet kü-lönböző számítási eljárásokat alkalmazni a válasz meghatározására.

14.2. ábra. Nemlineáris karakterisztikák linearizálása

a) munkaponti linearizálás, b) lineáris töréspontos közelítés




14.2. Nemlineáris hálózatok grafikus DC- és kisjelű AC-analízise

Az ismertetendő módszer olyan hálózatokra vonatkozik, amelyek az egyet-len nemlineáris kétpóluson kívül csak feszültség- és áramforrásokat, vala-mint ellenállásokat tartalmaznak. A forrásmennyiségek értéktartományára csak azt a kikötést tesszük, hogy a nemlineáris elemen megjelenő AC-komponensek a linearizált jelleggörbeszakaszon belül maradjanak.

14.3. ábra. Helyettesítőkapcsolás a munkapont

grafikus meghatározásához

A DC-komponens meghatározásához helyettesítsük a hálózatnak a nemli-neáris kétpólushoz csatlakozó részét Thévenin-ekvivalensével (14.3. ábra), miközben egyelőre az AC-komponenst szolgáltató feszültségforrás ub(t) forrásfeszültségét nullának tekintjük. Ez esetben csak egyenáram folyik az áramkörben. A Kirchhoff-törvények – ahogyan már szó volt róla – most is érvényesek:

( )

( )b

b

R NL

b R NL

I I , K.I. ,

U U U . K.II.

=

= + (5)

Mivel b bR b RU R I= , ezért a hurokegyenlet még így is írható:

bb b R NLU R I U ,= + (6)

amiből

b

b NLR

b b

U UI

R R.= −




bRI helyére INL-t írva kapjuk, hogy

b NLNL

b b

U UI ,

R R= − (7)

azaz a körben folyó INL egyenáram lineáris függvénye a nemlineáris kétpó-luson lévő UNL egyenfeszültségnek. A (7) összefüggés ábrázolva egy −1/Rb meredekségű egyenes (14.4. ábra). Ezt hívjuk munkaegyenesnek.

14.4. ábra. A munkapont grafikus meghatározása

Az áram és feszültség konkrét értéke függ még a nemlineáris elem jelleggör-béjétől is. A munkaegyenes és a jelleggörbe metszéspontja adja meg a nem-lineáris elem ún. IM munkaponti áramát és UM munkaponti feszültségét.

Hasonló helyettesítőkapcsolással (14.5. ábra) számítható a kis jelű ger-jesztésre adott válasz, az AC-komponens is.

Most csak ub(t) hatását vizsgáljuk, ezért az Ub egyenfeszültségű feszült-ségforrást be sem rajzoltuk a helyettesítőkapcsolásba (14.5. ábra). A nem-lineáris kétpólust úgy linearizáljuk, hogy jelleggörbéjét a munkapontban és környezetében érintőjével vesszük figyelembe, ahol diffu / i rΔ Δ = , az ún. differenciális ellenállás (14.2. ábra). Ezek után a lineáris hálózatokra meg-ismert számítási módszerek alkalmazhatóak, feltéve, hogy a kisjelű gerjesz-tés értéktartománya megengedi a munkapontban az érintővel történő kö-zelítést. A nemlineáris kétpólust tehát egyszerűen az rdiff ellenállással he-lyettesíthetjük.




A két helyettesítőkapcsolásban az Rb belső ellenállás azonos értékű, hi-szen a dezaktivizált forrásokat mindkét esetben azonos módon vesszük figyelembe: a feszültségforrásokat rövidzárral, az áramforrásokat szaka-dással.

14.5. ábra. Helyettesítőkapcsolás az AC-komponens meghatározásához

Összefoglalva:

A differenciális helyettesítőkapcsolás a differenciális gerjesztésre adott differenciális válasz meghatározására szolgál.

Végül uNL(t) a helyettesítőkapcsolás alapján:

diffNL b

b diff

ru (t) u (t) .

R r=

+ (8)

A teljes válasz a differenciális gerjesztésre adott válasz és a munkaponti érték összege.

A linearizálás egy másik módja a lineáris töréspontos közelítés. Ennél a jel-leggörbét, ahogyan már említettük, szakaszonként más meredekségű egye-nessel közelítjük (14.2.b ábra). A gerjesztés jellegétől, ill. értéktartományá-tól függően lehet különböző számítási eljárásokat alkalmazni a válasz meghatározására. Pl. ha ub(t) a jelleggörbe azonos meredekségű tartomá-nyán belül marad, akkor a számítás a (8)-as összefüggés szerinti, a jelleg-görbe érintett szakaszán rdiff állandó. Ha ub(t) a legközelebbi törésponton túlér, akkor a gerjesztésnek erre a részére a töréspont utáni szakasz mere-deksége, ill. differenciális ellenállása vonatkozik.

A számítás ez esetben már összetettebb lesz.




14.1. példa Adott a 14.6. ábrán látható nemlineáris hálózat.

14. 6. ábra

14.7. ábra

g gi (t) cos t,I= ω

g 20 mA.I =

a) Ábrázolja iNL(t)-t, ha Ug = 18 V. b) Ábrázolja iNL(t)-t, ha Ug = 36 V. c) Adja meg a b) ponthoz tartozó lineáris helyettesítőkapcsolást.

Először számítsuk ki az Uk könyökfeszültséget. A 14.7. ábra alapján felír-ható összefüggés:

3

kk

2,5 10 1, U 3,75 V.

5 U 500

−⋅= → =

−

Ezek után határozzuk meg a lineáris hálózatrész Thévenin-helyettesítő-kapcsolását (14.8. ábra).




14.8. ábra

Ki kell számítanunk Rb-t, Ub-t és ub(t)-t. Az 14.6. ábra szerint Rb =[( R2 + R3 + R4) × R6 + R1] × R5 R2 + R3 + R4 = 320 + 480 + 400 = 1200 Ω (R2 + R3 + R4) × R6 = 1200 × 600 = 400 Ω (R2 + R3 + R4) = 400 + 700 = 1100 Ω Végül Rb = 1100 × R5 = 1100 × 500 = 343,75 Ω.

Ha a lineáris hálózatrészben az Ug, R6 feszültséggenerátort Norton-ekviva-lensével helyettesítjük (14.9. ábra), akkor Ub-t kevés számolással kapjuk meg.

gg

6

U 18 VI 0,03 A.

R 600= = =

Ω

14.9. ábra




Az R2, R3, R4, R6 ellenállásokat egyetlen ellenállással helyettesíthetjük, amelynek értéke az előbbi számítás eredményeként 400 Ω.

Áramosztóval az R5-ön folyó áram:

R5 g1 5

400 400I I 0,03 7,5 mA.

400 R R 400 700 500= = =

+ + + + Végül

b AB R5 R5 5U U U I R 7,5 mA 500 3,75 V,= = = = ⋅ Ω =

azaz a munkapont éppen a könyökpontban lesz. Az ig(t) forrásáramú áramgenerátorból az R5 ellenálláson átfolyó ára-

mot az 14.6. ábra alapján kétszeres áramosztással kapjuk:

( )[ ]

( )[ ]

3R4 g

1 5 6 2 3 4

RR R xR R R R

48020 6 mA.

700 500 x600 320 480 400

ˆ Î I= =+ + + +

= =+ + + +

6R5 R4

1 5 6

R 6006 2 mA,

R R R 700 500 600ˆ Î I= = =

+ + + +

amivel

b R5 5R 2 mA 500 1V.ˆ Û I= ⋅ = ⋅ Ω =

Ezek után iNL(t) csúcsértéke:

bNL

diff b

U 1V1,1851mA

r R 500 343,75I = = =

+ Ω + Ω.

A b) esetben a munkaponti áram nem 0, hanem

b KM

diff b

U U 7,5 3,75I 4, 44 mA.

r R 500 343,75− −

= = =+ Ω + Ω

Így a nemlineáris elemen folyó áramok időfüggvényei a 14.6. ábra szerinti-ek lesznek (a feladat a és b pontja):




14.10. ábra

A lineáris helyettesítőkapcsolás (14.11. ábra) a b) esetben (a feladat a és b pontja):

b

b

u (t) cos t

( 1V)U

= ω

=

14.11. ábra

14.2. példa Adott a 14.12 ábrán látható kapcsolás.

14.12. ábra

[ ]gi (t) 3sin t mA= ω




a) Határozzuk meg a munkapontot és a munkaegyenest. b) Határozzuk meg az áramkör linearizált helyettesítőkapcsolását. c) Határozzunk meg a jelleggörbe mindkét szakaszára egy-egy munka-

pontot, hogy a szinuszos jel a lineáris tartományokon belül maradjon.

a) A munkaegyenes az egyenáramú kör Thévenin-helyettesítőkapcsolása alapján határozható meg.

A Thévenin-generátor belső ellenállása:

( )[ ]bR 2R x 2R R x 2R R.= + =

Forrásfeszültsége meghatározásához először számítsuk ki a 9,6 V-os fe-szültségforrásból elfolyó Ig áramot:

g g gg

U U U5I .

62R (2R x 3R) 16 R2R R5

= = =+ +

A C csomópontból az A csomópont irányába folyó áram:

g g

2R 2I I I .

2R 3R 5= =

+

Az A-B pontok közötti feszültség, amely egyben a Thévenin-geenerátor forrásfeszültsége is: 2RI, azaz

g gb g

U U2 4 5 9, 6U 2R I R 2, 4V.

5 5 16 R 4 4= = = = =

A munkaegyenes és a munkapont ezek után (14.12. ábra):

14.13. ábra




A munkaponti feszültségre felírható egyenlet a jelleggörbe 1. szakaszán:

diff 1M1 M1M1

diff 1 diff 1

rU 2, 4 UU 2, 4 .

r R r R−

= → =+

A jelleggörbe alapján diff 1r U / I 1, 6V / 2 mA 800 ,= Δ Δ = = Ω amivel

M1

800U 2, 4 .

800 R=

+

A munkaponti áram: M1M1

diff 1

U 2, 4I .

r 800 R= =

+

Az M2 munkapontra felírható egyenletek:

3M 2 M2M 2

2, 4 U U 1, 6 96 1,52 R2 10 U .

R 40 40 R−− − +

= + ⋅ → =+

M2M 2

2, 4 U 2, 4 96 1,52RI

R R R(40 R)− +

= = −+

b) Az áramkör linearizált helyettesítőkapcsolása (14.14. ábra):

14.14. ábra

A belső ellenállás: Rb = R. A helyettesítőgenerátor forrásfeszültsége:

3 3

áramosztóáramosztó

b2R 2R

3 10 2R 1,5 10 R2R (2R x 3R) 2R 3R

U − −= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅+ +




c) A munkapont meghatározása a szinuszos jel figyelembevételével a jel-leggörbe 1-es szakaszára.

A felírható két egyenlőtlenség:

M1

M1

U 1, 6

U 0,

U

U

+ ≤

− ≥

ahol U a szinuszos jel csúcsértéke a nemlineáris kétpóluson. Az 1. egyenlőtlenség szerint:

3800 8002, 4 1,5 10 R 1, 6 V R 1600 ohm,

800 R 800 R−+ ⋅ ⋅ ≤ → ≥

+ +

a 2. egyenlőtlenségből:

3800 8002,4 1,5 R 10 R 1600 ohm,800 R 800 R

−≥ ⋅ ⋅ → ≤+ +

azaz R csak 1600 ohm lehet, amivel a munkaponti értékek:

M1 M1

800 2, 4U 2, 4 0,8 V, I 1 mA.

800 1600 800 1600= = = =

+ +

A jelleggörbe 2-es szakaszára felírható egyenlőtlenség:

M2

3

U 1, 6;

96 1,52 R 401,5 10 R 1, 6 R 228,57 ,

40 R 40 R

U

−

− ≥

+− ⋅ ≥ → ≤ Ω

+ +

amivel

M 2

M 2M 2

96 1,52 228,57U 1, 651 V,

40 228,57

2, 4 U 2, 4 1, 651I 3, 277 mA.

R 228,57

+ ⋅≥ =

+

− −≥ = =




14.3. példa

14.15. ábra

0

0

2NL 2 NL NL

NL NL

i(t) cos t,

0,1 mA.

I a U , ha U 0.

I 0, ha U 0.

I

I

= ω

=

= >

= <

2 2

mAa 0,5

V= .

Határozzuk meg az R3 ellenálláson a szinuszos feszültségösszetevő ampli-túdójának értékét, ha U0 = 0,75 V, illetve U0 = 2 V.

Megoldás: Helyettesítsük a munkapontbeállító áramkört Thévenin-generátorral.

A Thévenin-generátor forrásfeszültsége az üresjárási feszültséggel egye-zik meg:

14.16. ábra




A 14.15. ábra alapján Ub = Uü = U0. Szintén az ábra alapján Rb = R1 + R2 + R3 = 100 + 900 + 1000 = 2000 ohm.

Határozzuk meg a NL kétpólus munkaponti feszültségét. A helyettesí-tőkapcsolás alapján:

2 20 NL b NL 0 2 NL b NL 2 b NL NL 0U I R U U (a U )R U a R U U U 0.= + → = + → + − =

Rb és a2 értékét behelyettesítve: 3 3 2

NL NL 00,5 10 2 10 U U U 0.−⋅ ⋅ ⋅ + − =

Oldjuk meg a kapott másodfokú egyenletet UNL meghatározása céljából.

0NL1,2

1 1 4UU

2− ± +

= ⋅ A 15.15. ábra referenciairányait figyelembe

véve NLU csak pozitív lehet:

( )NL 0 NL 0

NL 0

1U 1 4U 1 . U (U 0, 75) 0,5 V.

2U (U 2 V) 1 V.

= + − = =

= =

A meredekségek:

3 3

NL2 NL

NL3 3

A mA2 0,5 10 0,5 0,5 10 0,5 ,

V Vd I

2a Ud U

A mA2 0,5 10 1 1 10 1 .

V V

− −

− −

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =

=

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =

A differenciális ellenállás két szélső értéke:

diffNL

NL

2 k1

rdI

1 kdU

Ω

= ⋅

Ω




A linearizált helyettesítőkapcsolás (14.17. ábra):

14.17. ábra

Az áramgenerátort feszültséggenerátorral helyettesítve, a forrásfeszültség:

g ü 0 2

3

R

0,1 10 900 0, 09 V.

ˆ ˆ ˆU U I−

= = ⋅ =

= ⋅ ⋅ =

A belső ellenállás most: Rb=R1+R2+R3=2000 Ω Az R3 ellenálláson eső feszültséget a feszültségosztó képletével hatá-

rozhatjuk meg: 3R3 g

b diff

Rˆ ˆU UR r

=+

0

0

R 3 U 0,75 V

R 3 U 2 V

1000U 0, 09 0, 0225 V

2000 20001000

U 0, 09 0,03 V2000 1000

=

=

= =+

= =+

Látjuk, hogy a nemlineáris kétpólus lehetővé teszi AC-komponensnek DC-komponenssel történő változtatását.

Villamosságtan Függelék



Függelék

Az Euler-egyenlet bizonyítása Írjuk fel az ejx függvény hatványsorát:

2 2 3 3 4 4jx jx j x j x j x

e 1 .... ,1! 2! 3! 4!

= + + + + +

ahol j 1= − az ún. képzetes egység. Figyelembe véve, hogy

2 3 4j 1, j j, j 1,...,= − = − =

a hatványsor így is írható: 2 3 4

jx jx x jx xe 1 ... .

1! 2! 3! 4!= + − − + + −

A valós és képzetes tagok szétválasztásával kapjuk, hogy 2 4 3 5

jx x x x xe 1 ... j x ... .

2! 4! 3! 5!= − + − + + − + − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A zárójelekben a cosx és a sinx függvények hatványsorait ismerhetjük fel. Ezért írható, hogy

jxe cos x jsin x.= +

Az összefüggést Euler-egyenletnek hívjuk. A matematika egyik legfonto-sabb összefüggése, mert lehetővé teszi, hogy a tirogonometrikus függvé-nyek helyett a lényegesen egyszerűbb exponenciális függvényekkel szá-molhatunk.

A következőkben azt fogjuk belátni, hogy a j tz re ω= skalárváltozás komplex függvény által a komplex számsíkon kijelölt pontok egy origó középpontú, r sugarú kört adnak meg ugyanúgy, mint a

z r(cos t jsin t)= ω + ω (1)

függvény. Ez az állítás az Euler-egyenletből az x = jωt helyettesítéssel és a két oldal r-rel való szorzásával azonnal adódik.




Tegyük fel, hogy az Euler-relációt még nem ismerjük. A szemléltető ábra alapján z megváltozásának nagyságára, zΔ -re azt írhatjuk, hogy

z t r t z .Δ ≈ ωΔ = ωΔ (2)

Másrészt zΔ merőleges z -re, amit j-vel való szorzással tudunk figyelem-be venni.

z teljes megváltozását (nagyság és irány) megadja a

z jz tΔ ≈ ωΔ (3)

kifejezés. Rendezzük át (3)-at a következő módon:

z / tj .

zΔ Δ

≈ ω (4)

Δt → 0 esetén a differenciahányados helyett differenciálhányadost írha-tunk:

dzdt jz

= ω (5)

A kapott összefüggést még

dzd dt(ln z)dt z

= figyelembevételével az alábbiak

szerint átalakíthatjuk:

d d(ln z) ( j t c).

dt dt= ω + (6)




(6)-ból következik, hogy ln z j t c,= ω + (7) azaz j t c c j tz e e eω + ω= = (8) ec = r helyettesítéssel:

j tz re ,ω= (9)

amivel az állítást bizonyítottuk.

Villamosságtan Irodalomjegyzék



Irodalomjegyzék

Simonyi Károly: Elméletei villamosságtan. Budapest, 1967, Tankönyvkiadó. Simonyi – Fodor – Vágó: Elméleti villamosságtan példatár. Budapest, 1967,

Tankönyvkiadó. Fodor György: Elméleti elektrotechnika I–II. Budapest, 1970, Tankönyvki-

adó. R.P.Feynmann – R.B.Leighton – M.Sands: Mai fizika. Budapest, 1970,

Műszaki Könyvkiadó. Gonda Gábor, Iványi Miklósné, Mérey Imréné, Veszeli Gyula: Villamosság-

tan példatár. Budapest, 1972, Tankönyvkiadó. Budó Ágoston: Kísérleti fizika II. Budapest, 1989, Tankönyvkiadó. Fodor György: Jelek, rendszerek és hálózatok I–II. Budapest, 1998, Műegye-

temi Kiadó.

Villamosságtan Tárgymutató



Tárgymutató

A, Á

AC-analízis 27, 93 admittancia 49 ágtörvények 63 alappont 72 általánosított Ohm-törvény 35 amplitúdó 28 amplitúdókarakterisztikák 98 antirezonáns körfrekvencia 111 áramerősség 13, 16 áramgenerátor 20 áramosztó kapcsolás 47 B

báziscsomópont 72 belső ellenállás 21, 23, 119 Cs

csatolás 7 csatolási impedancia 38 csatolt tekercs 38 csomóponti törvény 7, 55 csúcsérték 28, 33 D

duálhálózat 49 dualitás elve 86 E

effektív érték 28, 33, 94 egyenfeszültség 11, 28 Euler-egyenlet 31, 130 F

fa 59 fáziskarakterisztika 98 fazor 31

fazorábra 93 feszültséggenerátor 20 feszültségosztó kapcsolás 45 fluxus 13 frekvencia 28 független hurokegyenletek 63 H

hálózat 7, 10, 29, 56 hatásos ellenállás 36 Helmholtz tétele 22 helyettesítő generátorok tétele 22 hertz 28 homogén differenciálegyenlet 67 hurok 8, 50, 58 huroktörvény 55 I

időállandó 67 imaginárius 30 impedancia 35, 36, 45, 49 induktivitás 13 invariáns 10, 12, 13 J

jelleggörbe 7, 115, 118, 119 K

karakterisztika 7, 14 kétpólusok 7, 20, 55 kezdőfázis 94 Kirchhoff-típusú hálózatok 7 Kirchhoff-törvények 16, 51, 117 komplemens 58 komplex

~ pillanatérték 31, 33 ~ vektorok 93

Villamosságtan Tárgymutató



koncentrált paraméterű hálózat 11 konduktancia 37 koszinuszfüggvény 28 L

látszólagos vezetés 37, 98 liget 59 lineáris 9, 10, 12, 13

~ generátor 20 ~ hálózat 51

M

meddő ellenállás 36 memóriamentes 114 munkaegyenes 118 munkapont 117, 118, 122 N

nemlineáris 9, 10, 12, 13 nemlineáris hálózat 15 Norton-generátor 26, 76 Ö

összefüggő gráf 50, 58 P

párhuzamos RC-kör 99 potenciométer 82 R

reaktancia 36 reaktáns elemek 36, 82 rendszer 7 replusz 47 részgráf 58 rezisztencia 36 rezonáns körfrekvencia 103

S

sávszélesség 107 síkgráf 50 soros és párhuzamos kapcsolás 44 soros RC-kör 98 soros rezgőkör 102 stacionárius állapot 67 Sz

szeparáló csomópont 62 szimbolikus számítási eljárás 38 szinor 31 szinuszos 28

~ áram 93 ~ mennyiségek vizsgálata 27

szuperpozíció elve 51 szuszceptancia 37, 109 T

teljesítményillesztés 85 Thomson-képlet 103 tiszta párhuzamos rezgőkör 107 topológia 55 töréspontos közelítés 116, 119 V

vágat 50, 59 valódi vagy valós pillanatérték 31 variáns 10, 12, 13 vegyes párhuzamos rezgőkör 111 veszteségi

~ szög 100 ~ teljesítmény 85, 110

veszteségmentes 104

Standeisky István _ Villamosságtan

Documents

Transcript of Standeisky István _ Villamosságtan